Доказательство неравенств одномонотонными последовательностями

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 4
Секция: математика
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
по теме
Доказательства неравенств с
помощью одномонотонных
последовательностей
Позолотина Наталья Андреевна, 9б класс,
МОУ СОШ №4 Центрального района.
224-49-85
Руководитель: Тропина Наталья
Валерьяновна,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры математического анализа
НГПУ.
(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)
1
Содержание
Введение………………………………………………………...
§1. Основные понятия и определения……………………...
§2. Обоснование метода одномонотонных
последовательностей для случая с произвольным числом
переменных ……………………………………………………
2.1 Доказательство неравенств с минимальным
числом переменных…………………………………………….
2.2 Случай с двумя последовательностями из двух
переменных……………………………………………………...
Упражнения…………………………………………………..
2.3 Случай с двумя последовательностями из трех
переменных……………………………………………………...
Упражнения………………………………………………….
2.4 Случай с двумя последовательностями из n
переменных……………………………………………………...
Упражнения…………………………………………………..
2.5 Случай с n последовательностями из n
переменных……………………………………………………...
Упражнения…………………………………………………..
Заключение……………………………………………………..
Список использованной литературы………………………..
2
3
4
6
6
6
7
8
9
11
13
14
16
17
17
Введение.
В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в
основном двумя способами:
 сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;
 графически (исследование свойств и построение графиков
 функции)
Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и
более того, не существует конкретных указаний для выбора способа
доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств
представляет особый интерес.
В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство
неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.
Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю
основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором
параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.
3
§ 1. Основные понятия и определения
В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения,
которые нам понадобятся для дальнейшей работы.
Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор
некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.
Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа
1, 2, 3, 4, 5,…
Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:
Z = N  -N  {0}
Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые
обычными дробями в виде
m
, где m є Z , n є N (или конечными, или
n
бесконечными периодичными дробными).
Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые
бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в
виде
m
.
n
Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение
множества рациональных и иррациональных чисел.
R=Q  I
Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами,
показывающее, что одна величина больше или меньше другой.
Например: ху  25 , 25 у  13х
Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам,
таким как:
а) a<b, b<c  a<c
b) a  b, b  a  a=b
c) a  b  a+c  b+c
d) a  0  -a  0
Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность
неравенства.
Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со
степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств.
Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные
последовательности.
Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является
следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит
в себе область истинности первого неравенства.
Обозначение: f1(x)>f2(x)  φ1(x)>φ2(x) – второе неравенство – следствие
первого.
Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если
каждое из них является следствием другого. Иначе это можно
4
сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их
множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.
Обозначаются равносильные неравенства: f1(x)>f2(x)  φ1(x)>φ2(x)
Эти определения аналогичны соответствующим определениям для
уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о
действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими
действиями могут быть:
– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;
– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части
неравенства в другую;
– умножение обеих частей на положительное число или положительную
функцию и т.д.
Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась
область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность
этих неравенств.
Определение 11. Метода математической индукции – метод
доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого
к самому сложному.
Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N
1) Проверяем правдивость Р(1)
2) Предполагаем, что P(k) истинно
3) Доказываем истинность Р(k+1)
4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.
Определение 12. Одномонотонные последовательности – это
последовательности чисел вида (а1 а2 … аn)(b1 b2 … bn) записанных в виде
таблицы, где наибольшее из чисел а1 а2 … аn находится над наибольшим
числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1 а2 … аn над
вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе
последовательности одновременно возрастающие или одновременно
убывающие.
Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей
(а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …( d 1, d 2,…, d n) это число вида
a1 a2 ... a n 
b b ... b 
n 
 1 2
.......... .......  = а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn


d1 d 2 ... d n 
5
§ 2. Обоснование метода одномонотонных
последовательностей для случая с произвольным числом
переменных
Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к
самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом
переменных, с помощью метода математической индукции.
2.1. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных.
а1*b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда
а1 
b  = a1b1.
 1
Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то
сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.
2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных
а1 а2 
а1 
Если   = a1b1. то 
 =а1b1+а2b2
b1 b2 
b1 
Теорема 1. Пусть (а1а2)  (b1b2) – одномонотонные
последовательности. Тогда
а1 а2  а1 а2 
b b   b b 
 1 2   2 1
Доказательство
Действительно,
а1 а2  а1 а2 
b b  – b b  =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2)  (b1-b2)
 1 2   2 1
Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1b2 имеют одинаковый знак. Поэтому
(a1-a2)  (b1-b2)  0.
Теорема доказана.
6
Упражнения
Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1
Упражнение №1.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство
a3 +b3  a2b+b2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
a 2 b 2 
a 2 b 2 
2
2
,
a
b+b
a
=



a b 
b a 
a3 +b3 = 
А так как последовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то
a 2 b 2  a 2 b 2 



a b  b a 
А это значит, что a3 +b3  a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Докажем это же неравенство, но другим способом.
a 3  b 3  a 2b  b 2 a  a 3  a 2b  b 3  b 2 a  0
a  a b  b a  b   0  a a  b  b a  b  0
a  b a  b  0  a  ba  b  0
3
2
2
2
2
3
2
2
2
Значит a3 +b3  a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче,
так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно
одинаковые по сложности.
Упражнение №2.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство.
а3 b3

 а2+b2.
b
a
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
a 3
а2+b2 =  1

 a
b3 

1 ,
b 
a 3 b 3 
а3 b3 


 1
1,
b
a 
a 
 b
1 1
А так как последовательности ( a 3 , b 3 ), ( , ) одномонотонны, то
b a
3
3
3
a
b3 
b  a


 
1   1
1 .
1
 b
b 
a   a
Что и требовалось доказать.
7
2.3 Случай с двумя последовательностями из трех
переменных
Рассмотрим последовательность (а1,а2,а3) и (b 1, b2,b3), и запишем в виде
таблицы
 a1 a 2 a3 


 b1 b2 b3 
Если последовательность (а1,а2,а3)  (b1, b2 ,b3) записанных в виде
таблицы, где наибольшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наибольшим из
чисел b 1,b2,b3, а второе по величине а1,а2,а3 находиться над вторым по
величине из чисел b 1,b2,b3 , и где наименьшее из чисел а1,а2,а3 находиться
над наименьшим из чисел b 1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.
а1 а2 
а1 
a1 a2 a3 
Если   =a1b1, и 
=а
b
+а
b
,
то
 1 1 2 2
b b b  =а1b1+а2b2+a3b3
b1 b2 
b1 
 1 2 3
Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство
одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.
Лемма. Если (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn) одномонотонные
последовательности, то их произведение не изменится при перестановки
местами столбцов.
Доказательство.
Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух
переменных.
а1 а2 
b b  =а1b1+а2b2. Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по
 1 2
переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже
можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется
одномонотонность последовательности. То есть
а1 а2  a 2 a1 
b b  = b b 
 1 2  2 1
Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями
из трех переменных.
a1 a2 a3 
b b b  =а1b1+а2b2+a3b3. Кроме того, что мы можем поменять
 1 2 3
переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству
мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность
последовательности. То есть
a a 2  a1 
  b 
b
b
 3 2   1
а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =  3
Лемма доказана
8
Теорема 2. Пусть (а1 а2 а3), (b1 b2 b3) – одномонотонные
последовательности и ( b1 b2 b3 )(здесь и в дальнейшем) любая
перестановка чисел b1 b2 b3. Тогда
a1 a 2 a3 
a1 a2 a3 
b b

b b b  .
 1 2 b3 
1 2 3

Доказательство.
Действительно, если последовательность  b1 b2 b3  отличается от (b1
b2 b3) то найдется пара чисел k, l (1  k<l  3) такая, что последовательности
(ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа bk и bl ,
a1 a 2 a 3 
 . То есть
b1 b2 b3 
мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму 
a m
b
 m
al  a m a k al 
 a m   a k al   a m   a k al 

, так как    
  b   b b  .
bk bl  bm bl bk 
b
b
b
l
k
 m  k
 m  l
Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой
строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана
ak
Упражнения
Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2
Упражнение №1.
Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
a3+b3+c3  a2b+b2c+c2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
a 2 b 2 c 2  2
a 2 b 2 c 2 
2
2
,
a
b+b
c+c
a
=



a b c 
b c a 
a3+b3+c3= 
А так как последовательности (a2, b2, c2), (a, b , c) одномонотонны, то
a 2 b 2 c 2  a 2 b 2 c 2 


.
a b c  b c a 
А это значит, что a3+b3+c3  a2b+b2c+c2a.
Что и требовалось доказать.
9
Упражнение №2.
Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
a
b
c
3


 .
bc ca ab 2
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
b
c 
 a
a
b
c



 1
1
1 

bc ca ab
b  c c  a a  b 
1
1
1
и (a, b, c) и (
) одномонотонные последовательности, то
,
,
bc ca ab
b
c   a
b
c 
 a
 1


1
1  1
1
1  ,

b  c c  a a  b  c  a a  b b  c 
b
c   a
b
c 
 a
 1


1
1  1
1
1  .

b  c c  a a  b   a  b b  c c  a 
Складывая эти неравенства, мы получаем
b
c 
a
b
c
a
b
c
 a
2







.

bc ca a b ca ab bc a b bc ca
Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части
b
c   c
a   a
b   b
c 
 a
2








.
bc ca ab ca ca ab ab bc bc
Вычислив, получаем
b
c 
a
b
c
3
 a
2




 .
3
bc ca ab 2
bc ca a b
a
b
c
3



А это значит, что
bc ca ab 2
Что и требовалось доказать
10
2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных
Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1, а2, …аn) и (b 1,
b2,…bn)
а1 а2 
а1 
a1 a2 ... an 
Если   =a1b1, и 
=а1b1+а2b2, то 

 =а1b1+а2b2…anbn
b1 b2 
b1 
b1 b2 ... bn 
Теорема 3. Пусть (а1 а2 … аn), (b1 b2 … bn) – одномонотонные
последовательности и ( b1 b2 ... bn )перестановка чисел b1 b2 … bn. Тогда
a1 a 2 ... a n  a1 a2 ... a n 
b b .... b   b b ... b  .
n
n 
1 2
1 2
Доказательство.
Действительно, если последовательность ( b1 b2 ... bn ) отличается от (b1
b2 … bn) то найдется пара чисел k, l (1  k<l  n) такая, что последовательности
(ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и bk и
a1 a 2 ... a n 
 . То есть
b1 b2 ... bn 
bl , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму 
am ... ak al ...a n  a m ... ak al ... a n 
b ... b b ... b   b ... b b ... b  , так как
 m k l n   m l k n
am ...an  ak al  am ...an  ak al 
b ...b   b b   b ...b   b b  .
l
k
 m n  k
 m n  l
Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой
строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана.
Следствие.
Для любого n  N верно
a
a1 a 2

 ...  n  n .
a 2 a3
a1
Доказательство.
a1 a 2 ... a n 
an 
a1 a 2

 ... 
 1 1
1
... 
a 2 a3
a1 
 a 2 a3 a1 
a1 a 2 ... a n 
n1 1
1 .

... 
 a1 a 2 a n 
11
Но последовательности (а1 а2 … аn) и (
1 1
1
,
, ... ,
) не являются
a1 a 2
an
одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.
Однако эти последовательности противомонотонны: числа в
последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому
по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому
соответствует самое большое. А из противомонотонных
последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно
все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае
одномонотонными являются последовательности
(а1 а2 … аn) и ( 
1
1
1
,
, ... ,
)
a1
a2
an
Поэтому
a 2 ... a n   a1
a 2 ... a n 
 a1
 1
1
1  1
1
1

 ...   
 ...  
a n   a 2
a3
a1 
 a1 a 2
Отсюда и следует искомое неравенство.
Следствие.
Для любого n  N верно


n a1 b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1  a 2  ...  a n b1  b2  ...  bn 
(Неравенство Чебышева).
Доказательство.
В силу теоремы 3 справедливы следующие n неравенства
a 2 ... a n 
a1 a 2 ... a n  a1
b b ...b   b

n 
 1 2
 k 1 bk  2 ...bk 
Значит
a 2 ... a n 
a1 a 2 ... a n  a1
b b ...b   b

n 
 1 2
 k  2 bk 3 ...bk 1 
…………………………………
a 2 ... a n 
a1 a 2 ... a n  a1
b b ...b   b

n 
 1 2
 k 1 bk ...bk 2 
В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части
элементы второй строки меняются циклически.
Складываем все и получаем


n a1 b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1  a 2  ...  a n b1  b2  ...  bn 
Что и требовалось доказать
12
Упражнение №1.
Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
a3+b3+c3+d3  a2b+b2c+c2d+d2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
a 2 b 2 c 2 d 2  2
a 2 b 2 c 2 d 2 
2
2
2
a +b +c +d = 
 , a b+b c+c d+d a = 
.
a b c d 
b c d a 
3
3
3
3
А так как последовательности (a2, b2, c 2, d3), (a, b , c, d) одномонотонны,
то
a 2 b 2 c 2 d 2  a 2 b 2 c 2 d 2 


.
a
b
c
d
b
c
d
a

 

3
3
3
3
А это значит, что a +b +c +d  a2b+b2c+c2d+d2a.
Что и требовалось доказать.
Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных
последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так
как доказать другим способом это неравенство я не смогла.
13
2.5 Случай с n последовательностями из n переменных
Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1, а2, …аn), (b1,
b2,…bn), …(d 1, d 2,…, d n).
а1 а2 
а1 
a1 a2 ... an 
Если   =a1b1, и 
=а1b1+а2b2, и 

 =а1b1+а2b2…anbn,
b1 b2 
b1 
b1 b2 ... bn 
a1 a2 ... a n 
b b ... b 
n 
 1 2
то .......... .......  = а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn


d1 d 2 ... d n 
Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последовательности
(а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn). Тогда
a1 a2 ... a n  a1 a2 ... a n 
b b ... b  b b ... b 
n 
n 
 1 2
 1 2
.......... .......  .......... .......  .


 
d1 d 2 ... d n  d1 d 2 ... d n 
Доказательство.
Действительно, если последовательность (a1, а2, …аn), (b'1, b'2,…b'n), …,
(d'1, d'2,…,d'n) отличается от (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn), то
найдутся переменные k, l (1  k<l  n) такие, что последовательности (ak, al) и
(bk, bl) …(dk, dl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа bk , bl , ak,
a1 a2 ... a n 
b b ... b 
n 
 1 2
al … dk, dl мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму .......... .......  . То





d
d
...
d
n
 1 2
a1 a 2 ... a k al ... a n  a1 a 2 ... a k al ... a n 
b b ... b b ... b  b b ... b b ... b 
k
l
n 
k
l
n 
1 2
 1 2
есть .......... .......... .......... ..  .......... .......... .......... ..  , так как

 

d1 d 2 ... d k d l ... d n  d1 d 2 ... d k d l ... d n 
a1 a 2 ... an   ak al  a1 a2 ... an  ak al 
b b ... b      
bk bl  b1 b2 ... bn   bk bl 
n 
 1 2l




.......... .......  .........  .......... .......  .........  .

 
 
 

d1 d 2 ... d   d k d l  d1 d 2 ... d n   d k d l 
Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой
строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана.
14
Пример
1 2 3 4   1 2  3 4   1 2  3 4  1 2 3 4 
4 5 8 7   4 5   8 7   4 5   7 8   4 5 7 8  

 
 
 
 
 

9 10 13 11 9 10  13 11 9 10  13 11 9 10 13 11
мы поменяли местами пару чисел 7 и 8 из 2  ой переменной
1 2 3 4   1 2  3 4   1 2  3 4  1 2 3 4 
 4 5 8 7    4 5   7 8    4 5   7 8    4 5 7 8  

 
 
 
 
 

9 10 13 11 9 10  13 11 9 10  11 13 9 10 11 13
мы поменяли местами пару чисел 11 и 13 из 3  ей переменной
1 2 3 4  1 2 3 4 
4 5 8 7   4 5 7 8  

 

9 10 13 11 9 10 11 13
так за 2 хода из неодномонотонной последовательности мы селали одномонотонную.
15
Упражнение 1
Пусть а 1 , а 2 , …а n - положительные вещественные числа.
Докажите, что
a 1  a 2  ...  a n n
 a1 a 2 ... a n .
n
Это неравенство называется неравенством Коши о среднем
арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя
способами
Доказательство.
Перепишем его в виде:
x1n  x2n  ...  xnn  nx1 x2 ... xn , введя новые переменные
xi  n ai (i  1, 2, ..., n)
Имеем
 x1 x2 ... xn   x1 x2 ... xn 
 x x ... x   x x ... x 
n
1 
n
n
n
x1  x2  ...  xn   1 2
 2 3
 nx1 x2 ... xn
.......... .......  .......... ....... 

 

 x1 x2 ... xn   xn x1 ... xn 1 
a1  a2  ...  an n
 a1a 2 ... a n  G.
n
Доказательство.
Можно считать, что а1  а 2  ...  а n . Рассмотрим
наборы чисел
a a ...a
а1 a1 a2
;
; ... 1 2 n n  1
2
G G
G
2
G G
Gn
;
; ...
1
а1 a1 a2
a1 a2 ...a n
Эти наборы противоположно упорядочены. Поэтому,
a1 a2 ...a n
a a ...a
a1 G a1 G 2
a
a G
Gn
n   
 ... 

 1 1  1   ...  1 2 n n 
n
G a1 G a1 a2
a1 a 2 ...a n G
G a1
G
G
a  a  ...  an
G n1

 1 2
.
a1 a2 ...a n1
G
a1  a2  ...  an
G
G  na1  a2  ...  an
n
Что и требовалось доказать
Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно
заметить, что доказательство с помощью одномонотонных
последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством
Коши.
16
Заключение
Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства
неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства
неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.
Список использованной литературы
1. Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.
2. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная
математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.
3. Р. Б. Алексеев, Л. Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы
доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе.
1991 г. №4
4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и
неравенства. /Квант. 1985 г. №12.
17