Гидростатические расчеты: Учебное пособие

Л.Н. РАИНКИНА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Ухта 1997
УДК 621.65: 532.001.2 (075)
Р18
Раинкина Л. Н. Гидростатические расчеты: Учебное пособие. - Ухта:
УИИ, 1997. - 62с., илл.
ISBN 5-88179-090-1
Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 090700,
170200, 090600, 090900, 170400, 260100.
Пособие содержит методику решения задач гидростатики. Приведено
большое количество примеров решения задач с подробными пояснениями.
Рецензенты: кафедра нефтяной и подземной гидромеханики ГАНГ им.
И.М. Губкина, профессор И.М. Астрахан; гл. инженер завода
УхтаГазстроймаш В.Г. Коптяев.
Редактор И.А. Безродных.
План 1996г., позиция 15. Подписано в печать 30.12.96г.
Лицензия ЛР № 020827 от 29.09.93г. Компьютерный набор.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4.1. Уч-изд. л. 4.3. Тираж 120 экз. Заказ №
©
Ухтинский индустриальный институт, 1996
169400, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
© Раинкина Л. Н. 1996
Отдел оперативной типографии УИИ
169400, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
P
1603040100 - 15
8Я4( 03) - 96
ISBN 5-88179-090-7
Без объявл.
ВВЕДЕНИЕ
Перед вами, уважаемый читатель, не совсем обычное учебное пособие.
Эта книга полностью подготовлена на компьютере в текстовом
редакторе “Word for Windows” и демонстрирует вам мой личный опыт
использования этого замечательного творения человеческой мысли.1
В этой книге приоткрываются тайны гидростатики - науки о силах,
действующих со стороны жидкости на твердые тела и о законах их равновесия
в жидкости.
Эта книга призвана помочь вам, читатель, научиться решать задачи по
гидростатике, как самые простые, так и сложные, имеющие непосредственное
отношение к инженерной практике.
В этой книге вы найдете не только необходимый справочный материал и
множество задач с подробным решением, но и советы, как избежать
“подводных камней”, которые нередко подстерегают нас в статике жидкостей.
Эта книга не только пособие по решению задач. В первом разделе
рассказывается о происхождении различных сил, раскрывается их физическая
природа. На первый взгляд, излагаемая здесь информация не имеет
непосредственного отношения к теме. В конце концов, можно успешно решать
задачи и не знать, что знакомая всем нам до боли сила тяжести есть следствие
искривления пространства, в котором мы с вами живем. Можно, но..... Нет
нужды напоминать вам, читатель, что неучет даже одной силы при решении
задачи зачастую сводит на нет результат трудоемкой работы. Чтобы правильно
решить задачу, необходимо “увидеть” все без исключения силы. А это можно
сделать только в том случае, если хорошо понимать, откуда эти силы берутся.
Эта книга рассчитана на любознательного читателя, умеющего думать,
или, по крайней мере, желающего научиться думать.
Ну что, уважаемый читатель, удалось мне вас хоть немножко
заинтриговать?
Да? Тогда в путь.....
Добро пожаловать в увлекательный мир ГИДРОСТАТИКИ!
1
Я очень признательна В. А. Пантелееву за первые уроки работы на компьютере, за
постоянное дружеское участие и помощь при решении текущих компьютерных проблем.
Раздел 1. Силы в природе
3
СИЛЫ
в
ПРИРОДЕ
В повседневной жизни мы можем говорить о сильной личности, о силе
воли, о силе убеждения, о вооруженных силах. Однако в технике слово “сила”
употребляется главным образом для обозначения того, что тянет или толкает.
Понятию “сила” можно дать практическое определение, описывая способ
ее измерения. Метод измерения может быть основан на производимых силами
действиях. Мы знаем два таких действия. Во первых, приложенная к телу сила
может вызвать его деформацию (растяжение, сжатие или изгиб). Во вторых,
сила может ускорить, замедлить или изменить направление движения тела, то
есть создать ускорение.
Колыбелью научного понимания слова “сила” стала классическая
механика Галилея и Ньютона.
1.1. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
Центральная идея законов движения Ньютона такова: “Изменение
скорости тел вызывается их взаимным действием друг на друга”. Согласно
Ньютону, если тело испытывает различные воздействия, но в результате они
взаимно компенсируют друг друга, то скорость тела при этом не меняется.
Количественная мера воздействия тел друг на друга называется в механике
силой.
2ой закон Ньютона: Сила, действующая на тело, прямо
пропорциональна его ускорению.
(1)
F = ma,
где а- ускорение движения , то есть изменение скорости за единицу времени, а
величина m в механике называется массой. Масса-мера инертности тела,
есть такое свойство тела, которое определяет быстроту изменения его скорости
под действием силы.
Из (1) следует: если ускорение движения тела равно нулю, то и
результирующая сила равна нулю.
Второй закон Ньютона количественно определяет результат влияния
силы на движение. Но возникает естественный вопрос: Откуда появляются
4 Раздел 1. Силы в природе
силы? Наблюдения показывают, что сила, приложенная к любому телу,
возникает в результате воздействия другого тела. Причем ситуация не является
односторонней. Например, мы нажимаем ладонью на край стола и видим, что
край стола оставил вмятину на нашей ладони - это результат воздействия стола
на ладонь. В этом и состоит 3ий закон Ньютона:
Всякий раз, когда одно тело действует с некоторой силой на другое,
со стороны второго тела на первое действует сила противодействия,
равная по величине и противоположная по направлению силе действия.
Действие сил в данном случае проявляется в деформации
взаимодействующих тел, которая определяется их упругими свойствами.
Возникает вопрос: Что такое упругость? Какова физическая природа сил?
Ответу на эти вопросы посвящена замечательная книга под названием “Силы в
природе” (авторы: В. И. Григорьев и Г. Я. Мякишев, Москва, “Наука”, 1983). В
следующих главах первого раздела учебного пособия в тезисной форме
излагаются наиболее важные, на наш взгляд, мысли из этой книги.
1.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ
В природе по современным данным имеется не более четырех типов
взаимодействий: всемирное тяготение и электромагнитные взаимодействия
имеют место в ньютоновской механике, а ядерные и слабые взаимодействия - в
атомных ядрах при взаимном превращении элементарных частиц.
Силы упругости, которые позволяют твердым телам сохранять свою
форму, препятствуют изменению объема жидкостей и сжатию газов; силы
трения, тормозящие движение твердых тел, жидкостей и газов - все это
электромагнитные силы. В их основе лежит взаимодействие между
электрически заряженными частицами.
В реальной жизни мы встречаемся с электромагнитными
взаимодействиями между нейтральными системами - атомами и молекулами.
Этот тип электромагнитных сил называется молекулярным или силами Вандер-Ваальса, по имени голландского ученого, который впервые ввел их в
теорию газов при попытке объяснить превращение газа в жидкость.
На значительных расстояниях ни атомы, ни молекулы не отталкиваются,
а стремятся друг к другу. Молекулярные силы на большом расстоянии - это
силы притяжения.
Электрическое поле системы электрон-ядро не имеет полной шаровой
симметрии. При сближении с другим атомом это поле возмущает движение
электрона соседнего атома таким образом, что “центр тяжести” отрицательного
заряда оказывается смещенным относительно ядра. Каждый атом (или
молекула) поляризуют своего соседа, и он превращается в диполь, в котором
заряды противоположных знаков пространственно разделены (Рис.1).
Раздел 1. Силы в природе
5
У многих веществ, например у воды, молекулы при своем рождении
сразу же оказываются подобными электрическому диполю. Такие молекулы
своим электрическим полем вызывают поляризацию соседей и появление сил
притяжения. Силы Ван-дер-Ваальса - следствие некоторого преобладания
притяжения над существующим одновременно отталкиванием, они резко
убывают с увеличением расстояния (обратно пропорциональны седьмой
степени расстояния!).
Силы Ван-дер-Ваальса не способны объяснить образование молекул. При
сближении атомов начинают работать химические (обменные) силы, которые
приводят к коллективизации внешних (валентных) электронов двух
соединяющихся атомов. Эти электроны, проходя между ядрами, компенсируют
их отталкивание и образуется устойчивое соединение (молекула).
Наличие химических и молекулярных сил позволяет объяснить и понять
структуру газов, жидкостей и твердых тел и, в конечном итоге, их поведение
под действием внешних сил.
1.2.1. СТРУКТУРА ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Газы. Молекулы (или атомы) газа стремительно, как бегуны спринтеры,
проносятся в пространстве, заполненном газом. Расстояния между ними
значительно превышают их собственные размеры, молекулярные силы
отсутствуют. Непрерывно сталкиваясь друг с другом, молекулы газа резкими
зигзагами бросаются из стороны в сторону. Барабанная дробь бесчисленных
молекул о стенки сосуда (равно как и о поверхность жидкости) создает
давление.
Жидкости. Жидкость - беспорядочная, тесно сжатая “толпа” молекул,
беспокойно толкущихся на месте. Молекула жидкости, зажатая, как в клетке
между другими молекулами, колеблется около положения равновесия. Лишь
время от времени она совершает прыжок, прорываясь сквозь “прутья клетки”,
но тут же попадает в новую клетку, образованную новыми соседями. Время
оседлой жизни молекулы продолжается около десятимиллионной доли
секунды.
Твердые тела. Атомы твердого тела занимают определенное место в
пространстве, образуя кристаллическую решетку. Они расположены близко
друг к другу и, вследствие молекулярных и химических сил, не в силах
разорвать “путы”, связывающие их с ближайшими соседями. Правда, из-за
6 Раздел 1. Силы в природе
теплового движения они могут совершать колебания около положения
равновесия.
1.2.2. УПРУГИЕ СИЛЫ
В реальных газах и жидкостях из сил притяжения действуют только силы
Ван-дер-Ваальса, а в твердых телах еще и обменные (химические) силы. Силы
Ван-дер-Ваальса удерживают молекулы жидкости друг возле друга на близких
расстояниях порядка размера самих молекул. Если попытаться жидкость сжать,
то при сближении молекул между ними начнут быстро нарастать силы
отталкивания. Вследствие того, что молекулы расположены очень тесно, уже
при незначительном сближении силы отталкивания достигают очень большой
величины. Величину этих сил характеризует модуль объемной упругости,
который, например, для воды равен 2109 Па. Нетрудно понять, что при сжатии
твердых тел силы отталкивания еще больше (модуль объемной упругости для
стали равен 21011 Па).
Упругие силы возникают в твердых телах не только при объемном, но и
при линейном сжатии. Например, если поместить пружину (рис.2) в некое
гнездо, предварительно уменьшив ее линейный размер на величину x, в ней
возникает упругая сила F, равная:
(2)
F = kx,
где x- предварительное поджатие пружины, а k - коэффициент жесткости,
зависящий от материала пружины, ее размера и способа изготовления.
Иллюстрация к появлению силы упругости в сжатой пружине
Так же просто объяснить, почему жидкость текуча и не способна
сохранять свою форму. Под действием внешней силы перескоки молекул
жидкости, о которых шла речь выше, происходят в направлении действия силы,
и жидкость в результате течет. Однако необходимо, чтобы время действия силы
было много больше времени оседлой жизни молекул, в противном случае сила
вызовет лишь упругую деформацию сдвига и жидкость при этом будет тверда,
как сталь (вязко-упругие жидкости).
Молекулы газа расположены далеко друг от друга и молекулярное
притяжение не властно над ними. Газообразное вещество не может сохранять
не только форму, но и объем. Как бы мы не расширяли сосуд, содержащий газ,
он заполнит его целиком без каких-либо усилий с нашей стороны.
1.2.3. СУХОЕ ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
Раздел 1. Силы в природе
7
Поверхность твердых тел всегда имеет неровности (выступы
шероховатости), величина которых зависит от материала и способа обработки.
При контакте двух тел эти выступы цепляются друг за друга, немного
деформируются и не дают телам скользить друг относительно друга (Рис.3).
Иллюстрация к определению силы сухого трения
При наличии касательной силы Т бугорки начинают скалываться, а
молекулярные связи разрываться. Очевидно, чем больше нормальная к
поверхности трения (прижимающая) сила N, тем сильнее будут
межмолекулярные связи и тем большую силу Т нужно приложить, чтобы
сдвинуть одно тело относительно другого.
Величина силы Т, необходимой для сдвига, определяется по формуле:
(3)
Т = N  f,
где f - коэффициент трения. Он характеризует интенсивность молекулярных
связей, зависит от материала трущихся поверхностей и приводится в
справочной литературе.
Если тело движется в жидкой или газообразной среде (например, в
воздухе или в воде) сила трения зависит от скорости тела. Для большинства тел
тормозящая сила приблизительно пропорциональна квадрату скорости:
(4)
T  с 2
Коэффициент с зависит от геометрических размеров и формы поверхности
тела.
1.2.4. ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
При движении двух соседних слоев жидкости между ними имеется
идеальный контакт, неосуществимый при соприкосновении твердых
поверхностей, как бы тщательно они не были отполированы. Однако молекулы
более быстрого слоя увлекают за собой молекулы более медленного слоя, так
как между ними действует молекулярное притяжение, и, в свою очередь,
тормозятся ими. В этом причина вязкости или внутреннего трения в жидкостях.
Итак, чем больше относительная скорость движения слоев, тем большая сила
трения возникает между ними.
Максимальная сила трения возникает при движении между жидкостью и
твердой поверхностью. Молекулярное притяжение между молекулами твердого
тела и жидкости гораздо сильнее, чем между молекулами самой жидкости. В
8 Раздел 1. Силы в природе
результате частицы жидкости на контакте со стенкой останавливаются и их
скорость становится равной нулю (Рис. 4).
Эпюра скоростей в сечении потока жидкости
Величина силы вязкого (жидкостного) трения определяется, согласно
закону Ньютона, следующим образом:
(5)
T = ТР  du/dy ,
где:  - динамический коэффициент вязкости жидкости;
ТР - поверхность соприкосновения трущихся слоев;
du/dy - градиент скорости.
В газах среднее расстояние между молекулами столь велико, что
молекулярное притяжение не может вызвать трение между слоями газа,
движущимися друг относительно друга. Если бы молекулы не вылетали за
пределы этих слоев, то не было бы и трения. Но тепловое движение
выбрасывает молекулы за пределы слоев. Попадая из быстрого слоя в
медленный, молекулы при столкновениях ускоряют этот слой, а молекулы
медленного слоя, проникая в быстрый, тормозят его. Появление ускорений
означает появление сил. Однако в газах силы трения в сотни раз меньше, чем в
жидкостях.
1.3. СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
Силы тяготения играют огромную роль в жизни нашей планеты. Без
тяготения не существовали бы ни океаны воды, ни воздушный океан. Весь
климат планеты определяется взаимодействием двух основных факторов:
солнечной деятельности и земного притяжения.
Гравитация не только удерживает на Земле людей, животных, воду и
воздух, но и сжимает их. Это сжатие у поверхности Земли не столь уж велико,
но роль его немаловажна. Всем известно, что утонуть кораблю мешает
знаменитая сила Архимеда. А ведь она появляется благодаря тому, что вода
сжата тяготением с силой, увеличивающейся с ростом глубины.
Закон всемирного тяготения, открытый великим Ньютоном в 1682 году,
гласит:
Раздел 1. Силы в природе
9
Сила взаимного притяжения любых двух тел, размеры которых гораздо
меньше расстояния между ними, пропорциональна произведению масс этих
тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими
телами.
Так, сила притяжения G между телом массой m и Землей равна:
(6)
G =  m/ r2,
где М - масса Земли,  - гравитационная постоянная,
поверхности Земли до ее центра ( радиус Земли).
Введем обозначение:
r - расстояние от
 /r2 =g - ускорение свободного падения. Тогда:
G = mg
(7)
Уравнение (7) подтверждает необыкновенное свойство гравитационных
сил, установленное экспериментально: гравитационные силы сообщают всем
телам одинаковое ускорение, которое не зависит ни от состава, ни от
строения, ни от массы самих тел.
Сформулировав свой знаменитый закон всемирного тяготения, Ньютон
поставил перед наукой глубочайший вопрос: что такое гравитация, какова ее
природа, как передается взаимодействие между тяготеющими массами?
Сам Ньютон не мог объяснить природу тяготения вследствие состояния
тогдашней науки, и только в 1916 году гений Альберта Эйнштейна и созданная
им теория относительности позволили ответить на этот вопрос.
1.3.1. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Представьте себе, что вы находитесь в кабине “падающего лифта”
(Рис.5).
На тело массой m действует сила тяжести, равная mg и сила инерции,
направленная в сторону, противоположную ускорению. Если ускорение равно
g, результирующая сила, действующая на тело, равна нулю. Иначе говоря,
гравитационные силы, явственно проявляющиеся в связанной с Землей системе
отсчета, исчезают, если перейти в свободно падающую систему!
10 Раздел 1. Силы в природе
Иллюстрация к принципу эквивалентности Эйнштейна
Принцип эквивалентности Эйнштейна заключается в следующем:
Тяготение
в
каждой
точке
пространства
эквивалентно
соответствующим образом подобранному ускорению системы отсчета.
Этот принцип с неизбежностью приводит к установлению теснейшей
связи между гравитацией и геометрией.
1.3.2. ИСКРИВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ
Покажем, что световой луч, который является эталоном прямой линии,
будет отклоняться в ускоренно движущейся системе отсчета.
Представьте себе, что вы едете в поезде. Идет дождь, и капли прочерчивают
полоски на стеклах. Если поезд движется равномерно, то полоски будут
прямыми. При ускоренном движении поезда они изогнутся. Прямые линии
превратились в кривые!
Вывод:
Ускорение
системы
отсчета
меняет
геометрию
пространства.
1.3.3. СВЯЗЬ ТЯГОТЕНИЯ С ГЕОМЕТРИЕЙ ПРОСТРАНСТВА
А теперь вспомним, что в соответствии с принципом Эйнштейна
ускорение эквивалентно наличию тяготения. Следовательно, отклонение
световых лучей, равно как и лучей, образованных потоками любых частиц, под
влиянием тяготения неизбежно. Астрономические наблюдения подтверждают,
что световые лучи отклоняются под влиянием тяготения в сторону солнца.
В повседневной жизни мы пользуемся привычной нам геометрией
Евклида, которая базируется на ряде постулатов, таких, как: сумма углов
треугольника равна 180; отношение длины окружности к ее диаметру равно
числу ; через две точки можно провести только одну прямую линию; через
точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую,
параллельную данной...
Раздел 1. Силы в природе
11
Геометрическую
модель
нашего
пространства,
обладающего
евклидовыми свойствами, можно легко вообразить, если представить себе
резиновую пленку с нанесенной на нее сеткой (Рис. 6 “а”).
Иллюстрация к идее связи между тяготением и геометрией
Но вот мы надавили пальцем на какой-то участок пленки (Рис. 6“б). Этот
участок растянулся, изменились углы между линиями, сумма углов
треугольника сделалась отличной от , произошло нарушение Евклидовой
геометрии. Отметим, что, чем ближе находится участок пленки к
оказывающему давление пальцу, тем сильнее он искривляется.
Между действием пальца и действием масс, вызывающих тяготение,
можно провести аналогию. Ведь от действия пальца в одном месте в других
местах пленки появляются упругие натяжения, которые так и хочется сравнить
с гравитационными силами (они, кстати, убывают с расстоянием почти так же,
как тяготение).
Таким образом, мы с двух разных позиций - искривленного пространства
и искривленных прямых пришли к выводу о неразрывной связи тяготения с
геометрией.
Для того, чтобы лучше понять этот неожиданный и ошеломляющий
вывод, перенесемся мысленно на другую планету, где сила тяготения в десятки
миллионов раз больше, чем наша. На такой планете направленный
горизонтально луч света не сможет преодолеть притяжения и будет огибать
планету параллельно ее поверхности как спутник. Если такой луч света
послать с помощью прожектора на одном полюсе, то он, обогнув поверхность
планеты, дойдет до второго полюса и, миновав его, вернется в эту же точку только с другой стороны. Немного повернув прожектор, мы получим другой
луч, другую прямую, также проходящую через оба полюса.
Вывод: на этой планете через две точки - в данном случае через два полюса можно провести бесчисленное множество прямых линий!
12 Раздел 1. Силы в природе
Кстати, эти прямые будут иметь вид окружностей и на этой удивительной
планете каждый человек безо всяких зеркал может увидеть свой собственный
затылок.
Вернемся, однако, на Землю и подведем итоги. Мы живем не в плоском, а
в искривленном мире. Кривизна этого мира может дать иллюзию силы
притяжения и эффект силы притяжения есть единственное, в чем такая
кривизна может проявляться.
Кривизна пространства (точнее следует говорить о кривизне
пространства - времени) на Земле ничтожна, что позволяет применять на
практике геометрию Евклида и приводит к малости гравитационных сил (сила
взаимного притяжения двух людей среднего веса при расстоянии между ними в
один метр не превышает 0,03 миллиграмма). Однако, несмотря на свою малую
величину, гравитационные силы играют огромную роль в нашей жизни, о чем
уже было сказано выше.
Раздел 1. Силы в природе
13
РАЗДЕЛ 2
ЗАКОНЫ
ГИДРОСТАТИКИ
Законы гидростатики - физические соотношения между параметрами
жидкости, при которых она остается неподвижной (в равновесии) под
действием приложенных сил. К ним относятся: закон Гука, закон Паскаля,
закон Архимеда и основное уравнение гидростатики, которое является
следствием второго закона Ньютона. Поскольку задачи, основанные на
применении закона Гука, имеют большее отношение к физическим свойствам
жидкости, а не к инженерным гидростатическим расчетам, они в данном
учебном пособии не рассматриваются.
В этом разделе выведены указанные выше законы на основе простейших
физических соображений и приведен ряд задач с подробным решением на
применение этих законов.
2.1
ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
Всякое тело, погруженное в жидкость, а также стенки сосуда, в котором
она находится, испытывают со стороны жидкости силовое воздействие (Рис. 7)
К определению понятия “гидростатическое давление”
Силовое воздействие испытывают как элементы d смоченной
жидкостью поверхности твердого тела, так и вся смоченная поверхность. При
этом в общем случае силы давления dPI на отдельные элементы поверхности
будут неодинаковы по величине и по направлению даже при одной и той же
величине площади d. Однако сила dPi
обязательно должна быть
перпендикулярна к элементу d поверхности, так как в противном случае
14 Раздел 2. Законы гидростатики
появится касательная сила на плоскости контакта, которая приведет жидкость в
движение.
Чтобы разделить влияние величины поверхности и положения
поверхности на силу давления, вводится понятие гидростатического давления в
точке поверхности:
dP
d  0 d
p  lim
(8)
Основной
задачей
гидростатики
является
изучение
законов
распределения давлений жидкости по поверхности твердого тела, а также
вычисление суммарного эффекта от воздействия жидкости на погруженные
тела и стенки сосудов, то есть сил давления.
Для решения этой задачи прежде всего выясним физическую природу
возникновения сил dPi . Равновесие жидкости, изображенной на Рис.7, имеет
место при действии следующих сил: собственного веса
G, реакций
окружающих поверхностей Ri , и силы атмосферного давления Pат (Рис.8).
Равновесие жидкости
Когда молекула жидкости не испытывает силового воздействия, силы
притяжения между молекулами равны силам отталкивания. В реальной жизни
на жидкость всегда действуют сжимающие силы, которые уменьшают
расстояния между молекулами и приводят к появлению межмолекулярных сил
отталкивания dРi, вследствие которых она и оказывает силовое воздействие на
окружающие поверхности. Отметим, что по третьему закону Ньютона сила
давления жидкости на поверхность равна соответствующей силе реакции Ri
(Рис. 8).
В технике для характеристики состояния вещества, находящегося под
силовым воздействием, вводится понятие напряжения. Напряжение - отклик
материала на деформацию. Напряжение сжатия в покоящейся жидкости
называется абсолютным гидростатическим давлением.
Давление и напряжение - это подобные величины, хотя давление
используется при описании явлений в жидкостях и газах, а напряжение
относится к твердым телам. В обоих случаях этим термином обозначается сила,
действующая на единичную площадь. Кстати, давление в точке поверхности
твердого тела есть не что иное, как сжимающее напряжение (давление) в
жидкости, взятое с обратным знаком. Следовательно, если мы будем знать
Раздел 2. Законы гидростатики
15
распределение давлений внутри объема жидкости, тем самым мы будем знать
величину давлений жидкости в каждой точке поверхности твердого тела и
последующим суммированием по поверхности найдем интегральный эффект,
то есть силу давления.
2.2 ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ
Основное уравнение гидростатики есть результат применения второго
закона Ньютона к покоящейся жидкости.
2.2.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Опыт показывает, что во всех точках горизонтальной плоскости,
проведенной через жидкость, давление одинаково (если бы это было не так,
жидкость бы двигалась, чего не наблюдается на практике). Выясним, как
меняется давление в жидкости при переходе с одного горизонтального уровня
на другой. Для этого рассмотрим равновесие объема жидкости в виде призмы
высотой h и площадью основания  (Рис.9).
К выводу основного уравнения гидростатики
На выделенный объем жидкости действуют: сила давления газа РО,
собственный вес жидкости G, и реакция P со стороны сжатой жидкости на
глубине h. Как реакция на сжатие силами Р0 И G, на глубине h в жидкости
появляется сжимающее напряжение (гидростатическое давление) p, которое
связано силой Р, действующей на горизонтальную поверхность  следующим
образом:
Р = р.
(9)
Обратите внимание на обозначения и на структуру формулы (9) !
Строчная буква р - это напряжение сжатия в данной точке объема
жидкости
(на
определенной
глубине),
которое
мы
называем
гидростатическим давлением. Согласно уравнению (8), гидростатическое
давление можно трактовать как силу, действующую со стороны сжатой
жидкости ниже уровня h на единичную площадь основания выделенной
призмы.
16 Раздел 2. Законы гидростатики
Прописная буква Р - сила давления, есть мера взаимодействия между
сжатой жидкостью ниже уровня h и жидкостью, включенной в объем
выделенной призмы. Поскольку контакт между этими двумя телами
осуществляется по площади  , имеет место формула (9).
Сила давления газа на верхнее основание призмы равна:
(10)
Р0 =р0,
где р0 - давление газа на поверхность жидкости. Отметим, что давление газа на
поверхность зависит от плотности молекул у поверхности, их массы и их
средней скорости. Сила давления на поверхность создается в результате
передачи импульса, когда молекула ударяется о поверхность и отскакивает
обратно. Давление газа связано с другими его параметрами уравнением
состояния Клайперона - Менделеева:
(11)
pV = mRT
где m - масса газа; V - объем, который занимает газ; T - абсолютная
температура; R - газовая постоянная.
Вес выделенного объема равен:
G = mg = Vg = hg
Применим второй закон Ньютона к выделенному объему жидкости.
Поскольку он имеет возможность перемещаться в вертикальном направлении,
но не перемещается, это означает , что ускорение его движения и,
следовательно, результирующая вертикальная сила равны нулю (уравнение 1).
Итак, условие равновесия выделенного объема жидкости имеет вид:
P0 + G -P = 0
После преобразований получаем:
p0  + gh - p = 0.
p=p0 +gh
(12)
Уравнение (12) называется основным уравнением гидростатики.
Здесь: gh = pвес. - весовое давление, р0 - давление на свободной поверхности
жидкости (внешнее давление), а р - абсолютное гидростатическое давление на
глубине h.
Из уравнения (12) следует важный для решения практических задач
вывод:
При переходе с одного горизонтального уровня на другой давление в
жидкости изменяется на величину р =  gh (Рис. 10).
Раздел 2. Законы гидростатики
17
Изменение давления в жидкости
Определяем разность давлений на двух горизонтальных уровнях:
p2 - p1 = p = pат + gh2 - ( pат + gh1) = g(h2- h1) = gh.
При переходе на более низкий уровень давление увеличивается на
величину gh, а при переходе на более высокий уровень уменьшается на
эту же величину.
Давление в жидкости можно не только вычислить по уравнению (12), но
и измерить с помощью приборов. Рамки данного учебного пособия не
позволяют подробно остановиться на способах измерения давления. Отметим
только, что приборы измеряют не абсолютное давление на определенном
уровне в жидкости, а избыток рм или недостаток рv этого давления над
атмосферным (Рис. 11).
Измерение давления
Здесь рм и рv - это показания приборов.
Для определения абсолютного давления используются формулы
пересчета:
p = pат + рм
(13)
р = рат - рv
(14)
Так, для Рис. 11 абсолютное давление газа р0 = рат- рv , а давление в жидкости
на глубине h равно рат + рм . Здесь рат- атмосферное давление, которое
измеряется отдельно и определяется по показанию барометра в паскалях или в
18 Раздел 2. Законы гидростатики
миллиметрах ртутного столба. Показание барометра hрт в мм можно перевести
в паскали по формуле:
pат = рт g hрт,
(15)
где рт= 13600кг/м3 - плотность ртути. Не забудьте при этом перевести мм в
метры!
Если не указано показание барометра, в задачах следует принимать
атмосферное давление равным 105 Па, или 0,1 МПа.
2.2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ
Методика решения подобного рода задач основана на записи в виде
уравнений условий равновесия жидкости:
1. Во всех точках горизонтальной плоскости, проведенной через
однородную жидкость, давление одинаково.
2. При переходе с одной горизонтальной плоскости на другую давление в
жидкости меняется на величину р = gh, где h - расстояние между
плоскостями, а  - плотность жидкости.
Далее необходимо решить полученные уравнения относительно
неизвестной величины.
Следует помнить, что под давлением в жидкости понимается абсолютное
давление, а не показания приборов. Если дано показание прибора, необходимо
перевести его в абсолютное давление по формулам пересчета (13) и (14): p =
pат + pм;
р = рат - рv .
Задача 1.
Схема к задаче
Условие задачи
Для определения р0 - абсолютного
давления
газа
в
резервуаре
используется вакуумметр 1, показание
которого равно рv .
Определить давление р0 и плотность
 жидкости в мановакуумметре 2, если
его показание равно h.
Дано: pv, h, рат .
Определить: p0= ?  =?
Решение.
Раздел 2. Законы гидростатики
19
1. Определяем абсолютное давление газа р0 по показанию вакуумметра,
используя связь между ними :
р0= рат - рv .
2.Определяем плотность жидкости  в мановакуумметре, используя
условия ее равновесия, указанные выше.
Горизонтальную плоскость равного давления выбирают так, чтобы
давление на ней было известно по условию. В нашем случае для всех точек
жидкости, расположенных на плоскости M-N, давление равно атмосферному.
С другой стороны, давление на плоскости M-N, равное рат , связано с
давлением на плоскости А-В, равным давлению газа р0 , через весовое давление
gh. В нашей задаче расстояние между плоскостями h=h, и поскольку
плоскость А-В расположена выше плоскости M-N, давление р0 определяется в
виде:
ро = рат - gh.
Отсюда определяем величину :
p
p
p
(p
p )
p
ат
0
ат
ат
v
=

 v ;
gh
gh
gh
Внимание!
Если даны численные значения величин, необходимо сначала решить задачу в
общем виде, далее подставить в результат численные значения в системе СИ и
получить ответ с точностью до 3ех значащих цифр.
Задача 2.
Схема к задаче
Условие задачи
Определить показание рм манометра,
установленного на глубине h под
уровнем жидкости плотностью , а
также абсолютное давление на этой
глубине. На поверхность жидкости
через поршень диаметром D действует
сила Q.
Дано: Q, D, h, .
Определить: рм=? p = ?
Решение.
1. Определяем давление р0 на поверхности A-B:
p0 
Q4
  D2
 pат .
Необходимо помнить, что давление - это сила, действующая на
единичную площадь. Давление - это удельная величина, распределенная
нагрузка по площади.
Кроме давления, создаваемого силой Q, на поверхность A-B передается
также атмосферное давление.
20 Раздел 2. Законы гидростатики
2. Определяем абсолютное давление на плоскости M-N:
p  p0    g  h 
Q4
  D2
 pат    g  h.
Определяем показание рм манометра:
pм = p - pат =
Q4
  D2
   g  h.
Здесь использован тот факт, что манометр показывает всегда избыток
абсолютного давления над атмосферным. Это следует из схемы измерения, так
устроен манометр.
2.3 ЗАКОН ПАСКАЛЯ.
Закон Паскаля - это закон передачи давлений через капельную жидкость.
Этот закон часто используется в различных гидравлических машинах. Сюда в
первую очередь следует отнести гидравлический пресс, гидравлический
мультипликатор, гидравлический домкрат, а также гидравлический привод устройство для приведения в действие рабочих органов машин посредством
жидкости.
2.3.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Выше было получено условие равновесия жидкости - основное уравнение
гидростатики (12):
р = р0 + gh.
Из него следует, что если давление ро на поверхности жидкости увеличится на
какую бы то ни было величину, то на такую же величину вырастет давление р в
любой точке жидкости. В этом и заключается закон Паскаля;
Внешнее давление, создаваемое на жидкость, передается во все точки
внутри жидкости без изменения.
2.3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЗАКОН ПАСКАЛЯ
Задача 1.
Схема к задаче.
Условие задачи
В системе гидравлического пресса для
изменения формы детали 1 через рычаг
2 действует внешняя сила Q на
поршень 3 малого диаметра d, под
которым создается давление. Это
давление по закону Паскаля передается
под поршень 4 большого диаметра D и
создает там силу прессования Р.
Определить силу Р.
Дано: Q, a, b, d, D, h, .
Раздел 2. Законы гидростатики
21
Решение.
1. Искомая сила Р равна:
P  p
  D2
.
4
Здесь р - давление в жидкости на горизонтальном уровне А-В, а D2/4 площадь большого поршня.
2. Для определения давления р используем условие равновесия жидкости:
p = pA-B = pM-N + gh;
3. Определяем давление на уровне M-N.
pM  N 
F4
 d
2
4. Для определения усилия F используем условие равновесия рычага:
суммарный момент относительно точки поворота равен нулю - M0=0.
Согласно 3ему закону Ньютона, поршень 3 действует на рычаг 2 с силой, равной
F, но направленной в другую сторону. Уравнение равновесия рычага имеет вид:
Fa - Q(a + b) = 0;
Из этого уравнения определяем силу F:
F
Q   a  b
a
.
5. Подставляем выражения для силы F и давления на уровне M-N и
получаем окончательную зависимость для силы прессования в виде:
P

Q  a  b  D 2
a d2
   g  h
  D2
4
.
Нетрудно проверить при подстановке численных значений, что второе
слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым и его можно не
учитывать.
Итак: действуя на большее плечо рычага с силой Q, мы получаем
механический выигрыш в силе (a+b)/a. Из-за разницы площадей поршней
выигрыш в силе увеличивается пропорционально (D/d)2 (гидравлический
выигрыш).
Примечание: при решении задачи не учитывалось атмосферное
давление, так как из Рис. 14 очевидно, что оно действует на поршень диаметра
d, передается через жидкость на поршень диаметра D, действует на него снизу
и сверху и таким образом уравновешивается.
Задача 2.
Схема к задаче.
22 Раздел 2. Законы гидростатики
Условие задачи.
На Рис. 15 изображена простейшая схема
гидравлического привода. Насос 1 служит для
преобразования
механической
энергии
приводного двигателя в энергию жидкости. В
результате на выходе из насоса абсолютное
давление в жидкости возрастает до величины
рн+рат (pн–показание манометра). Согласно
закону Паскаля, это давление передается по
трубопроводу 2 в гидроцилиндр 3, где может
перемещаться поршень 4 под действием силы
давления жидкости Рб. Поршень с помощью
штока 5 соединяется с рабочим органом какой
либо машины (нагрузкой) 6, который нужно
привести в движение. Со стороны нагрузки на
поршень действует сила сопротивления Q. В
штоковой полости гидроцилиндра находится
жидкость
под
давлением,
большим
атмосферного (манометр показывает рш).
Дано: рш, Q, D, dш, h0, .
Определить показание манометра рн.
Решение.
Для решения задачи запишем систему уравнений.
1. Условие равновесия жидкости над поршнем:
рM-N+gh0= pА-В,
или рат+рн+gh0 =рб+рат ,
где рб - манометрическое давление в бесштоковой полости гидроцилиндра (над
поршнем).
2. Условие равновесия поршня со штоком:
Рб- Рш- Q -Pат= 0,
или: ( рб+рат)D /4 - (рш+рат) (D2-dш2)/4 -Q -ратdш2/4 = 0
Здесь учтено, что сжатая жидкость в штоковой полости действует на поршень 4
по площади кольца; а на шток, выходящий в атмосферу, действует атмосферное
давление.
После приведения подобных в уравнении равновесия получим:
2
рб D2/4 - ршт(D2-dш2) - Q = 0
Слагаемые с атмосферным давлением сократились! Этот факт очевиден, так как
атмосферное давление само по себе не должно влиять на равновесие тел.
Внимание! Если абсолютные давления выражены через показания
мановакуумметров, и слагаемые с атмосферным давлением в уравнениях
равновесия твердых тел, равно как и жидкости не сокращаются, это признак
наличия ошибки.
Раздел 2. Законы гидростатики
23
3. Определяем рн- показание манометра на выходе из насоса, решая
записанную выше систему из 2ух уравнений.




2 
2
Q

p


D

d
ш
ш

4
4

 ;
pб 
  D2


2 
2
Q

p


D

d
ш
ш

4
4
    g h ;
p н  p б    g h0  
0
2
D


Это и есть результат решения задачи в общем виде.
Задача 3.
В гидравлическую систему (Рис. 16) включен сложный поршень 1,
состоящий из 2ух цилиндрических поясков разного диаметра, соединенных
общим штоком. Такой поршень является основным элементом гидравлического
мультипликатора - устройства для изменения давления жидкости в системе.
Принцип его действия основан на том, что при равновесии поршня 1 усилия с
правой и левой стороны поршня должны быть равны (если рмо0, это условие
несколько видоизменяется). Поскольку сила давления жидкости равна
произведению давления на площадь соответствующей поверхности, то там, где
площадь больше, давление будет меньше и наоборот. Так, в данном случае
мультипликатор позволяет увеличить давление, создаваемое насосом 2, и в
результате поднять груз G на большую высоту ho или при той же высоте ho
увеличить G.
Схема к задаче
Условие задачи
Дано: G - вес груза;  - плотность
жидкости;
d, D, dш 0, h геометрические размеры; рн показание
манометра на выходе из насоса.
В объеме между поршнями находится
воздух при атмосферном давлении и
рмо= 0.
Определить высоту ho и показание
манометра рм.
Решение.
1. Составляем уравнение равновесия поршня 1.
24 Раздел 2. Законы гидростатики
На поршень действуют следующие
силы: Р1-сила давления со стороны
сжатой жидкости слева на поверхность
поршня диаметром d;
P2- сила
давления со стороны сжатой жидкости
справа на поверхность поршня
диаметром D; Р3 и Р4 – силы давления
со стороны воздуха, находящегося в
штоковой полости при атмосферном
давлении.
2. Определяем силу Р1.
Поскольку давление в жидкости увеличивается с глубиной, в разных точках
площади поршня будет разное давление. В учебниках по гидромеханике
доказывается, что в этом случае для определения силы давления необходимо
умножить площадь поверхности на давление в ее центре тяжести (в
точке “c”).
Р1= рс1 
Центр тяжести круга диаметром d находится на глубине ho . Для определения
давления на этой глубине (на плоскости M-N) используем условие равновесия
жидкости слева:
рА-В+gh0 =pM-N=pc1.
2
Здесь рА-В= G4/d0 +pат - давление на поверхности А-В, складывается из
атмосферного давления и давления от силы G.
Итак, сила Р1 равна:

  d2
G 4
P1   pат 
   g  h0  
.
2
4
  d0


3. Определяем силу Р2.
P2  pc 2   2   pн  pат    g  h 
  D2
4
.
Для определения давления рс2
использовано условие равновесия
жидкости справа: рс2= рЕ-F= pO-O -gh=(pн+ рат )-gh
Здесь pн+ рат- абсолютное давление на выходе из насоса, pн показание
манометра.
4. Определяем силы Р3 и Р4 .
При условии рм0 = 0 и dш = 0:
P3 = pатd2/4; P4= pатD2/4;
Подставляем выражения для сил в уравнение равновесия поршня и решаем это
уравнение относительно неизвестной величины h0 .
Раздел 2. Законы гидростатики
25

  d2
G 4
 d2
  D2
  D2
 pат 
   g h0  
 pат 
 pат 
  p н  pат    g  h 
0
4
4
4
  d 02

 4
2
h0 
D
G 4
 p н    g  h     2
d
  d0
g
.
6. Определяем показание рм манометра в правой полости цилиндра.
Манометр подключен выше уровня E-F на величину D/2, поэтому абсолютное
давление на уровне подключения манометра равно:
p= pE-F -gD/2=(pн+ рат )-gh -gD/2.
Показание манометра:
рм= р-рат = pн-gh -gD/2= pн-g(h+D/2).
2.4 ЗАКОН АРХИМЕДА
Закон Архимеда позволяет определить силу, действующую со стороны
жидкости на находящееся в ней тело. На этом законе основана теория плавания
тел.
2.4.1. ВЫВОД ЗАКОНА АРХИМЕДА
Жидкость в состоянии равновесия всегда находится под воздействием
собственного веса (Рис. 17”а”).
К выводу закона Архимеда
Вследствие сжатия молекул весом вышележащей массы жидкости, на
глубине h в ней возникают внутренние сжимающие напряжения р = gh.
Если в жидкость не погружено твердое тело, эти напряжения себя никак
не проявляют. Но как только в жидкости появляется твердое тело (Рис.17”б”),
вследствие своего напряженного состояния она оказывает на него силовое
воздействие. Силы давления на боковые поверхности вследствие симметрии
26 Раздел 2. Законы гидростатики
уничтожаются. Остается вертикальная сила
PZ, действующая на
горизонтальное основание призмы площадью . Очевидно, что величина силы
PZ равна:
PZ = gh .
Замечаем, что h  = VZ - объем погруженной в жидкость части тела. Итак:
PZ = g VZ
(16)
Согласно (16), формулировка закона Архимеда звучит следующим
образом: На тело, погруженное в жидкость, действует со стороны
жидкости выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме
погруженной части тела.
Выталкивающая сила проходит через точку “d” - центр тяжести объема
погруженной в жидкость части тела (центр водоизмещения).
2.4.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАВАНИЯ ТЕЛ
Равновесие и остойчивость плавающего тела
На Рис.18(“а”, “в”) показаны силы, действующие на плавающее тело в
положении равновесия. Здесь PZ = g VZ - выталкивающая сила, приложена в
точке “d” - в центре объема погруженной части тела (в центре водоизмещения);
G -вес тела, приложен в его центре тяжести. Если плотность материала
плавающего тела постоянна по всему объему, центр тяжести тела совпадает с
центром объема(Рис. 18”а”).
На практике плавающее тело нагружено, как правило, неравномерно и
центр его тяжести (точка ”c”) может быть расположен как ниже
геометрического центра , так и выше (Рис.18”в”).
Под равновесием тела в жидкости понимают его способность плавать
в вертикальном положении. Вертикальная ось симметрии тела называется
осью плавания. При этом, очевидно, PZ =G и обе силы направлены по оси
плавания (Рис.18”a” и “в”). Итак, уравнение
PZ =G
(17)
есть необходимое условие для плавания тел.
Между тем плавающий предмет может наскочить на преграду и в
результате получить крен (Рис.18”б” и “г”). При повороте тела положение его
Раздел 2. Законы гидростатики
27
центра тяжести не меняется. Напротив, точка приложения выталкивающей
силы, занимающая положение “d” в состоянии равновесия, перемещается при
повороте в точку “d1”, так как изменилась форма объема погруженной части
тела. Отметим, что величина объема VZ не изменилась и по-прежнему PZ =G.
При повороте плавающего тела пара сил - G и PZ создают вращающий
момент. Этот момент в ситуации, изображенной на Рис.18”б”, возвращает
тело в исходное вертикальное состояние. Такое плавание называется
остойчивым. Наоборот, из Рис.18”г” следует, что вращающий момент
увеличивает крен, и в результате плавающее тело переворачивается. Такое
плавание называется неостойчивым.
Получим математическое условие остойчивости плавающего тела.
Точка пересечения выталкивающей силы с осью плавания называется
метацентром (обозначается “m”). Опыт показывает,
что точка “d”
перемещается при повороте по дуге радиуса r = md = md1. Величина r
называется метацентрическим радиусом. Из Рис.18 следует:
r > cd - плавание остойчивое (Рис.18”б”);
r < cd - плавание неостойчивое (Рис.18”г”).
Здесь cd - расстояние между точками с и d в положении равновесия,
определяется по условию из геометрических соображений.
Для вычисления величины r существует формула:
r = I / VZ ,
(18)
где VZ - объем водоизмещения; I - момент инерции площади сечения
плавающего тела по ватерлинии относительно той центральной оси, вокруг
которой происходит поворот тела при крене (справочная величина,
Приложение 1). Ватерлиния - линия пересечения поверхности жидкости и
плавающего тела.
2.4.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Схема к задаче
Условие задачи
Сферический
запорный
клапан
массой m и диаметром D закрывает
выход из резервуара в трубопровод
диаметра d. Определить, при какой
разнице уровней h0 возможно
равновесие клапана.
Дано: m,
жидкости.
d,
Определить: h0.
Решение.
28 Раздел 2. Законы гидростатики
D,
 - плотность
1. Высоту h0 определяем из условия, что сложное тело, состоящее из
трубопровода диаметром d вместе с жидкостью и шарового клапана диаметром
D находится в равновесии (плавает) в окружающей жидкости.
Условие равновесия имеет вид (17):
PZ =G
Здесь G - суммарный вес клапана и трубопровода с жидкостью,
G  m  g    g 
 d2
4
  h0  H .
Поскольку в условии задачи вес самого трубопровода не задан, им можно
пренебречь.
Внимание! При определении веса жидкости пришлось ввести
геометрический размер H, который не задан по условию. В дальнейшем
величина H должна сократиться. Такой методический прием часто
используется при решении задач.
Выталкивающая сила PZ = g VZ, где VZ- объем части нашего сложного
тела, погруженной в жидкость, находящуюся в резервуаре. Он представляет
собой сумму объемов цилиндра и шара:
V Z
 d2
4
H
1
   D3
6
2. Подставляем выражения для сил в уравнение равновесия и решаем его
относительно h0.
m g   g
 d2
4
  d2

1
  h0  H     g  
 H     D3 ;
6
 4

h0 
1
m
3
   D   4

6
 d
2
.
Задача решена.
Задача 2 (Рис.20).
Решение.
1. Для определения двух неизвестных величин запишем два уравнения:
PZ =G
r  cd
(19)
(20)
- условие равновесия тела;
условие остойчивости.
Здесь: G =(Tgd2/4)H - вес тела;
PZ= =(gd2/4)h - выталкивающая сила;
cd = H/2- h/2 - расстояние между центром тяжести тела и центром
водоизмещения.
Раздел 2. Законы гидростатики
29
Схема к задаче
Условие задачи
В жидкости плотностью  плавает
цилиндрическое тело с размерами d ,
H и плотностью T. Определить
минимальную плотность тела Tmin
и минимальную осадку hmin из
условия остойчивого плавания.
Дано:  , h, d.
Определить: Tmin, hmin .
Метацентрический радиус r равен:
I
 d4
4
d2



;
r =
VZ
64   d 2  h 16  h
I =d4/64 - момент инерции круга
диаметром d (сечение плавающего тела по ватерлинии есть круг, моменты
инерции приведены в Приложении 1 ).
Минимальные значения плотности тела
Tmin и глубины погружения hmin
получаются из условия r = cd. В дальнейшем индекс “min” опускаем.
2. Решаем систему уравнений (19)  (20):

 d2
 d2
H  g
h
T  g 

4
4
 2
 d  Hh
 16  h
2
T
h
h 

;
T 
;

H
H
d2
2  d  16  h  H  16h ; h  H  h 
0
8
2
2
d2
H H 
2 ;
h
2
2
30 Раздел 2. Законы гидростатики
2
РАЗДЕЛ 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
СИЛ
ДАВЛЕНИЯ
Поверхности, на которые оказывает жидкость силовое воздействие,
бывают плоские и криволинейные (рис 21.).
Иллюстрация к появлению сил давления жидкости
На рис. 21”а”плоская крышка 1 закрывает отверстие в боковой стенке
резервуара (форма отверстия может быть любая - круглая, прямоугольная и
т.д.). Крышка 2 - криволинейная. Она является цилиндрической, если
отверстие имеет форму прямоугольника, и сферической - если отверстие
круглое. Крышка 3 - коническая, она закрывает круглое отверстие в стенке
резервуара. Атмосферное давление действует на крышки снаружи и внутри,
передаваясь через жидкость, и в результате не оказывает силового воздействия
на крышки.
Для расчета крепления крышек необходимо знать величину сил давления
жидкости, которые для крышек 1 и 2 растягивают болты, а для крышки 3 растягивают (сила Р3x ) и срезают (сила Р3Z). Для определения направления сил
необходимо вспомнить, что сила давления dP, действующая на элемент
поверхности d, направлена всегда перпендикулярно к нему (Рис. 21”б”).
Чтобы определить суммарное воздействие, надо силы dP сложить
геометрически.
Поскольку для крышки 1 силы dPi горизонтальны, результирующая сила
Р1 также будет горизонтальной.
Раздел 3. Определение сил давления
31
Вследствие симметрии горизонтальные составляющие сил dPi для
крышки 2 уничтожаются и остается вертикальная сила Р2 .
В то же время для крышки 3 вертикальные составляющие на нижнюю
часть будут больше, чем на верхнюю (чем глубже, тем больше давление в
жидкости). В результате для крышки 3 получим горизонтальную силу Р3x и
вертикальную силу Р3Z .
А теперь рассмотрим ситуацию, когда резервуар закрыт и на поверхности
жидкости давление больше атмосферного (показание манометра 4 равно рм ,
Рис.22).
Иллюстрация к появлению сил давления газа
Давление газа р0, равное (рат+рм) , передается по закону Паскаля через
жидкость и оказывает силовое воздействие на крышки изнутри. Вместе с тем
снаружи на крышки действует атмосферное давление. В результате силы
давления газа будут определяться через разницу давлений р0 и рат, то есть через
давление рм и будут направлены изнутри наружу.
В связи с тем, что давление газа одинаково во всех точках крышки,
вертикальная составляющая силы давления на крышку 3 равна нулю.
Если давление газа р0 меньше рат, силы давления газа будут направлены
в противоположную сторону, то есть снаружи вовнутрь и будут прижимать
крышки к стенке резервуара.
Отметим, что результирующее воздействие на крышки будет
складываться из силы давления жидкости и силы давления газа и равно
геометрической сумме этих двух сил. При этом, когда давление газа меньше
атмосферного, возможна гипотетическая ситуация, при которой крышки 1 и 2
будут удерживаться в равновесии без болтов.
Для расчета крепления крышек, изображенных на Рис. 21, 22 достаточно
знать величину и направление суммарной силы давления жидкости и газа.
Далее выбрать материал для болтов, допускаемое напряжение, количество
болтов и рассчитать их диаметр. Между тем для решения многих практических
задач необходимо знать еще и точку приложения сил давления.
32 Раздел 3. Определение сил давления
Иллюстрация к расчету стенки на опрокидывание
На Рис. 23 изображена ситуация, когда на перегораживающую поток
жидкости стенку (плотину) действуют силы давления жидкости слева Р1 и
справа P2 и собственный вес плотины G (силы изображены в проекции на
плоскость чертежа). Эти силы создают вращающие моменты вокруг оси
поворота 0-0. Если момент от силы Р1, равный Р1x, будет больше, чем сумма
моментов от сил G и Р2 (Gz+ P2y), стенка перевернется, в противном случае
будет удерживаться в вертикальном положении.
Для решения вопроса об устойчивости стенки необходимо знать точки
приложения сил и их величину.
Резюме: Для решения практических задач необходимо уметь определять
величину сил давления жидкости и газа, их направление и точки приложения.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА
ПЛОСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
В данном разделе приведены расчетные соотношения без выводов.
Выводы изложены в учебниках по гидромеханике.
3.1.1. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Этот метод базируется на одном из основных понятий механики понятии эпюры распределенной нагрузки.
Эпюра давления - распределение давления вдоль стенки в зависимости от
глубины жидкости.
Эпюра строится со стороны жидкости. Величина давления откладывается
в масштабе перпендикулярно стенке.
Построение эпюр давления
Раздел 3. Определение сил давления
33
В разделе 2 было показано, что давление жидкости увеличивается
пропорционально глубине : p= gh (здесь h - текущая глубина). Если
величину давления жидкости отложить в масштабе перпендикулярно
стенке на разных уровнях и соединить две точки в начале и конце
поверхности, то это и будет распределение давления, то есть эпюра (Рис.24).
Точнее, на этом рисунке изображены проекции эпюр давления на плоскость
чертежа. На самом деле эпюры давления имеют вид пространственных фигур.
Если в основании сосуда на Рис. 24 лежит прямоугольник, эпюры давления
имеют призматический вид. Так, эпюра давления на стенку 1 - треугольная
призма. В ее основании лежит прямоугольный треугольник с катетами H и
gH, а высота призмы равна b (b - размер, перпендикулярный плоскости
чертежа, ширина сосуда).
Правило: Сила давления жидкости равна по величине объему эпюры
давления. Линия действия силы проходит через центр тяжести эпюры
перпендикулярно стенке.
Точка пересечения линии действия силы давления с плоскостью
стенки называется центром давления (обозначается “d”).
В основании эпюр давления для наклонных стенок лежит или
прямоугольный треугольник, или трапеция. Центр тяжести треугольника лежит
на расстоянии 1/3 высоты от основания (точка пересечения медиан).
Координаты центра тяжести трапеции можно определить по справочным
данным (Приложение 1 ).
Для горизонтальной стенки 2 эпюра давления представляет собой
прямоугольный параллелепипед и центр давления такой стенки совпадает с ее
центром тяжести.
Центры давления для всех стенок сосуда показаны на Рис. 24. Точнее,
точки “di”- проекции центров давления на плоскость чертежа. На самом деле
они сдвинуты на расстояние b/2 перпендикулярно чертежу и расположены на
оси симметрии стенок.
Итак, согласно правилу, силы давления равны:
34 Раздел 3. Определение сил давления
1
P     g  H 2  b;
P    g  H  а  b;
1 2
2
gh gH
1
h
P 
  H  h  b; P     g  h 
 b;
3
4 2
2
Sina
Отметим, что графоаналитический способ применяется на практике для
стенок постоянной ширины (b=const) В противном случае эпюры давления
представляют собой сложные пространственные фигуры, и для определения их
объема нужно выводить специальные формулы, что нерационально и очень
сложно. Для стенок переменной ширины удобнее использовать аналитический
метод, который рассматривается ниже.
3.1.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В учебниках по гидромеханике выводится простая формула для
определения величины (модуля) силы давления жидкости на плоскую
поверхность:
Р = рс ,
(21)
где рс - давление жидкости в центре тяжести смоченной поверхности, а  площадь смоченной поверхности стенки.
Давление жидкости на глубине расположения центра тяжести стенки
определяется так:
рс= ghс ,
(22)
где hc -глубина расположения точки “c” под уровнем жидкости (расстояние по
вертикали! Рис. 25)
Для стенки, изображенной на Рис.25, смоченная поверхность
представляет собой прямоугольник с размерами H/Sin и b и ее площадь равна:
 = (H/Sin)b
Величина силы Р равна:
Р = рс  =ghс = =gH/2 (H/Sin)b.
К определению модуля силы и центра давления
Сила давления направлена перпендикулярно стенке и пересекает ее в
точке “d”, которая называется центром давления. Для симметричных стенок
центр давления всегда лежит на оси симметрии.
Раздел 3. Определение сил давления
35
В общем случае центр давления расположен на оси симметрии ниже
центра тяжести, так как сила Р есть сумма элементарных сил dP (Рис. 7, 21”б”),
а с глубиной силы dP возрастают и точка приложения равнодействующей
сдвигается в сторону больших сил.
Расстояние ld по оси симметрии стенки от поверхности жидкости
равно:
ld  lc    lc 
Ic
  lc
(23)
где lc - расстояние от поверхности жидкости до центра тяжести площади  по
оси симметрии стенки, Ic - момент инерции площади  относительно
горизонтальной центральной оси 0 - 0 (справочная величина, Приложение1).
Для Рис. 25 получаем:
H
lc 
;
2Sin
3
b  H 
Ic 

 ;
12  Sin 

H
 b;
Sin
H
b  H 3  Sin  2  Sin 2 H
ld 

 
.
2Sin
3 Sin
Sin3  12  H  b  H
Итак, согласно расчету по формуле (21), сила давления приложена на
расстоянии 1/3 H/Sin от основания стенки, что полностью согласуется с
графоаналитическим способом.
Внимание! При определении модуля силы необходимо давление в
центре тяжести стенки (в точке “c”) умножать на ее площадь. Сама же сила
приложена в центре давления (в точке ”d”), которая в общем случае лежит
ниже точки “c”.
Распространенная ошибка: Р = рd, вместо: Р = рс.
3.1.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Схема к задаче
Условие задачи
Плоская крышка 1
закрывает прямоугольное
отверстие с размерами ab
в боковой стенке , а плоская
крышка 2 закрывает
круглое отверстие диаметра
d в дне резервуара.
Определить силы давления
жидкости Р1, Р2 на эти
крышки и точки их
приложения.
Дано:  - плотность
жидкости, a, b, d, h, H геометрические размеры.
36 Раздел 3. Определение сил давления
Решение.
1. Определяем модуль силы Р1 - силы давления жидкости на крышку
Р1 =рс11.
Здесь: рс1= g (H-h) - давление жидкости в центре тяжести с1 крышки 1,
который расположен на глубине (H-h) под уровнем жидкости; 1 =ab площадь сечения крышки, которое смочено жидкостью. Отметим, что сама
крышка по размерам больше, чем ab, да и форма сечения всей крышки может
быть иная, например, круглая. Жидкость же оказывает силовое воздействие
только на ту часть поверхности крышки, которая находится с ней в контакте (на
смоченную поверхность).
Итак: Р1 = g (H-h) ab - модуль силы Р1.
2. Определяем величину  - сдвиг точки приложения d1 силы Р1
относительно точки с1 - центра тяжести площади 1 :
Ic
a  b3
b2



.
 1  lc1 12  a  b   H  h 12   H  h
Здесь: Ic =ab3/12 - момент инерции площади прямоугольника относительно
горизонтальной оси (параллельной стороне а). Это справочная величина,
(Приложение 1); lc1= H-h - расстояние от центра тяжести площади 1 до
поверхности жидкости по оси симметрии крышки (в данном случае по
вертикали); 1= ab - площадь смоченной поверхности крышки.
3. Проводим вектор силы Р1 перпендикулярно крышке через точкуd1.
4. Определяем модуль силы Р2 - силы давления жидкости на крышку2.
Р2= рс22 = gHd2/ 4.
Здесь рс2=gH - давление в центре тяжести крышки, который расположен на
глубине H под уровнем жидкости; 2=d2/ 4 - площадь смоченной поверхности
крышки.
5. Определяем точку приложения силы Р2.
Поскольку крышка 2 расположена горизонтально, давление жидкости
одинаково во всех точках крышки и сила давления проходит через центр
тяжести площади крышки.
Внимание! Для горизонтальной поверхности центр тяжести и центр давления
совпадают.
6. Проводим вектор силы Р2 через точку с2 перпендикулярно крышке.
3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ НА
ПЛОСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
Раздел 3. Определение сил давления
37
Внешнее давление - это давление, создаваемое на поверхность самой
жидкости в резервуаре.
К определению силы внешнего давления
В ситуации ”а”(Рис. 27) внешнее давление равно давлению газа р0,
а в ситуации “б” складывается из атмосферного давления и давления от силы F:
р0= рат + 4F /D2 .
Внешнее давление передается через жидкость без изменения (закон
Паскаля) и оказывает силовое воздействие на крышку (ее смоченная
поверхность представляет собой круг диаметра d). Величина силы внешнего
давления равна:
Р0 = р0 = ( рат + 4F /D2) 
(24)
Поскольку внешнее давление одинаково во всех точках поверхности,
сила внешнего давления всегда приложена в центре тяжести поверхности.
3.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНОЙ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ
В практических задачах на плоскую стенку действует несколько
параллельных сил. Модуль и точка приложения равнодействующей системы
параллельных сил находится по правилам теоретической механики.
Рис.27”б”.
38 Раздел 3. Определение сил давления
Пусть на стенку действуют три силы: Р0=р0 =( рат + 4F /D2)  -сила
внешнего давления слева; Рат=рат -сила атмосферного давления справа и
Рж=gh -сила весового давления жидкости. Первые две силы приложены в
центре тяжести крышки (в точке с). Сила весового давления жидкости
приложена в центре давления (в точке d), величина  определяется из формулы
(23):  
Ic
. Величина lc в данном случае равна h.
  lc
Модуль
равнодействующей
силы
равен
алгебраической сумме всех сил:
Рсум = Р0 + Рж - Рат.
Для
определения
точки
приложения
равнодействующей
силы
(координаты
x)
применяем теорему Вариньона.
Теорема Вариньона: Момент равнодействующей силы относительно
произвольной точки равен сумме моментов составляющих сил относительно
этой же точки.
Удобно применять теорему Вариньона для точки с, так как моменты от
сил внешнего давления в этом случае равны нулю. Итак, получаем:
Рсум x = Рж  .,
откуда определяется координата x.
3.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
СИЛЫ ВЕСОВОГО ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
3.3.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Иллюстрация к определению суммарной силы давления
и ее составляющих
Силу давления жидкости на всю криволинейную поверхность А А1 В1 В
можно определить как геометрическую сумму сил Р1, Р2, ...Рi , действующих на
отдельные элементарные участки поверхности (силы Рi перпендикулярны к
Раздел 3. Определение сил давления
39
этим участкам). В результате такого сложения сила Р будет направлена под
некоторым углом к горизонту.
Как известно, любую силу можно разложить по двум взаимно
перпендикулярным направлениям, например, силу Р
(Рис. 28) можно
разложить на РX и РZ . В учебниках по гидромеханике выводятся формулы
для определения горизонтальной РX и вертикальной РZ составляющих
суммарной силы давления жидкости на криволинейную поверхность. Ниже без
выводов приводятся основные расчетные соотношения.
К определению РX - горизонтальной составляющей силы давления
Для определения горизонтальной составляющей РX
нужно
спроектировать криволинейную поверхность на вертикальную плоскость.
Проекция цилиндрической поверхности АА1ВВ1 (Рис. 29) представляет собой
прямоугольник (заштрихован на рисунке). Для сферической поверхности
вертикальная проекция есть круг или его часть. В обоих случаях это плоская
поверхность.
Правило: Сила РX численно равна силе давления жидкости на
вертикальную проекцию криволинейной поверхности и проходит через
центр давления этой проекции перпендикулярно к ней.
Согласно разделу 3.1, сила РX равна:
РX = рСвв
(25)
Здесь рСв - давление в центре тяжести вертикальной проекции, а в - площадь
вертикальной проекции. Сила РX проходит через точку “d” - центр давления
вертикальной проекции (определение положения точки “d” также показано в
разделе 3.1.).
Несколько сложнее обстоит дело с определением вертикальной
составляющей РZ.
Правило: Сила РZ численно равна весу жидкости в объеме давления и
проходит через центр тяжести этого объема.
PZ = gVZ
(26)
Для того, чтобы вычислить величину объема VZ, надо предварительно в
каждой конкретной задаче его построить. На Рис.30 показано, как это делается.
Иллюстрация к правилу построения объема давления
40 Раздел 3. Определение сил давления
Объем давления - пространственная фигура, которая со всех сторон
ограничена поверхностями, а именно:
снизу - самой криволинейной поверхностью АА1ВВ1;
сверху - горизонтальной проекцией криволинейной поверхности на свободную
поверхность жидкости или ее продолжение;
сбоку - вертикальными проектирующими поверхностями (плоскости АА1СС1,
АСВ, А1С1В1).
В практических задачах возможны два вида объемов давления.
1. Внутри объема давления есть жидкость (Рис. 30”а”). В этом случае
формула (26) приобретает ясное физическое содержание. Действительно,
вертикальная сила, действующая на поверхность АА1ВВ1 равна весу жидкости
в объеме давления. Сила РZ в этом случае направлена вниз и объем давления
считается положительным.
2.Внутри объема давления жидкости нет (Рис.30“б”). В этом случае
объем давления отрицательный и сила РZ направлена вверх.
В более сложных практических задачах, где построение объемов
давления не столь очевидно, как на Рис.30, предлагается разделять
криволинейную поверхность на любое число частей, определять для каждой
части объемы давления и потом их алгебраически складывать.
3.3.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Круглое отверстие диаметром
D в боковой стенке резервуара
закрыто конической крышкой.
Определить горизонтальную и
вертикальную составляющие
силы давления жидкости на
крышку
и
точки
их
приложении. Дано: D, H, l геометрические размеры;  плотность жидкости.
Решение.
Раздел 3. Определение сил давления
41
1. Определяем РX - горизонтальную составляющую силы давления
жидкости и точку ее приложения. Для этого проектируем конус на
вертикальную плоскость. В проекции получаем круг диаметра D. Сила РX
численно равна силе давления жидкости на этот круг и приложена в центре
давления его площади (Рис. 32).
К определению горизонтальной составляющей силы давления
Сила РX равна:
РX = pCвв = gHD2/4.
Здесь pCв= gH - давление жидкости
на глубине расположения точки “c” центра
тяжести
вертикальной
проекции крышки, а в=D2/4 площадь вертикальной проекции.
Сила РX проходит через точку “d” центр давления площади в. Точка
“d” расположена ниже точки “c” на
величину , которая определяется
так:
Ic
  D4  4
D2



.
  l c 64    D 2  H 16  H
Здесь: Ic =D4/64 - осевой момент инерции площади круга,  =D2/4 - площадь
круга, а lc = H - расстояние от центра тяжести круга до поверхности жидкости
по направлению площади  (в данном случае по вертикали).
2. Определяем РZ - вертикальную составляющую силы давления
жидкости. Согласно уравнению (26):
PZ = gVZ,
где  - плотность жидкости, а VZ - объем давления.
Иллюстрация к построению объема давления
Для построения объема давления (Рис.32) проектируем на продолжение
свободной поверхности жидкости обе части поверхности конуса АВ и ВС. Для
поверхности ВС объем давления BCMN отрицательный, так как внутри этого
42 Раздел 3. Определение сил давления
объема нет жидкости (ситуация “a”). Напротив, для поверхности АВ объем
давления положительный (ситуация “б”). В результате алгебраического
сложения объем MNCB уничтожается, и результирующий объем АВС имеет
знак плюс.
Итак, величина объема VZ равна объему конуса:
VZ =1/3 l  D2/4.
Искомая сила РZ равна:
РZ =g1/3 l  D2/4.
Сила РZ приложена в центре тяжести объема конуса (который находится на
расстоянии 1/3 высоты от основания).
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ НА
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
На практике криволинейные поверхности могут находиться
одновременно под силовым воздействием от внешнего давления и от весового
давления жидкости (Рис. 34).
К определению силы внешнего давления
В ситуации “a” на поверхность жидкости действует через поршень
внешняя сила F. Поскольку давление - это сила, действующая на единицу
площади, внешнее давление от силы F равно:
рf =F4/d2
Конечно же, на поверхность жидкости через поршень передается и
атмосферное давление. Суммарное внешнее давление равно:
p0  p f  pат 
F4
D
2
 pат .
В ситуации “б” внешнее давление равно абсолютному давлению газа:
р0 =рат + рм , или р0 =рат - рv .
Здесь рм (рv) - показания мановакуумметра.
Внешнее давление передается по закону Паскаля через жидкость в
каждую точку криволинейных поверхностей 1 и 2 . Суммарное воздействие для
Раздел 3. Определение сил давления
43
каждой поверхности представляет собой силу Р0 , которую можно разложить на
горизонтальную Р0Xи вертикальную Р0Z.
Правило:
Горизонтальная сила Р0X равна произведению внешнего давления р0
на площадь вертикальной проекции криволинейной поверхности.
Р0X= р0В,ПР.
(27).
Вертикальная сила Р0Z равна произведению внешнего давления р0 на
площадь горизонтальной проекции криволинейной поверхности.
Р0Z= р0Г.ПР.
(28)
В практических задачах необходимо учитывать внешнее давление с
другой стороны криволинейной поверхности. Если оно равно атмосферному
(как на Рис. 33), то составляющая силы атмосферного давления внутри и
снаружи сокращается и сила Р0 будет определяться по избыточному над
атмосферным внешнему давлению.
1. Определяем горизонтальную и вертикальную составляющие
суммарной силы внешнего давления на крышку 1.
Вертикальная составляющая суммарной силы внешнего давления равна:
P   p   Г .ПР .   p F  pат  pат    Г .ПР . 
F4
D
2

 d
2
4
2
d
 F  .
 D
Здесь горизонтальная проекция крышки 1 есть круг диаметра d.
Горизонтальная составляющая силы внешнего давления на крышку 1
вследствие ее симметрии равна нулю.
2. Определяем горизонтальную и вертикальную составляющие
суммарной силы внешнего давления на крышку 2.
Для определения горизонтальной составляющей проектируем
коническую крышку 2 на вертикальную плоскость. В проекции получаем круг
диаметра d. Для случая, когда давление газа больше атмосферного, сила РX
равна:
P X   p0  pат    В , ПР .   p м  pат  pат  
 d2
4
 pм 
 d2
4
.
Для определения вертикальной составляющей необходимо крышку 2
спроектировать на горизонтальную плоскость. В результате получаем
треугольник, проекция которого на плоскость чертежа есть линия LK (Рис. 35).
44 Раздел 3. Определение сил давления
К определению вертикальной составляющей силы для крышки 2
Вследствие симметрии
конические поверхности NK и
MK имеют одну и ту же
горизонтальную проекцию.
Суммарное внешнее давление рм
одинаково во всех точках
крышки. Силы давления на эти
поверхности равны по величине
и противоположны по
направлению.
В результате геометрического сложения силы РМК и РNK взаимно
уничтожаются, и результирующая вертикальная составляющая силы внешнего
давления на крышку 2 равна нулю.
Раздел 3. Определение сил давления
45
РАЗДЕЛ 4
ИНЖЕНЕРНЫЕ
ГИДРОСТАТИЧЕСКИЕ
РАСЧЕТЫ
Гидростатические расчеты в инженерной практике проводятся при
определении рабочих и конструктивных параметров гидравлических затворов,
подпорных стенок, плотин, при расчете на прочность резервуаров и
трубопроводов и в других случаях. Неизвестные величины определяются из
уравнений равновесия твердых тел и самой жидкости.
1. Если твердое тело (клапан, поршень, гидравлический затвор),
находящееся под воздействием давления жидкости и других сил (собственного
веса, упругости пружины, трения покоя, реакции связи) может перемещаться
поступательно, но не перемещается, это означает, что результирующая сила
равна нулю (2ой закон Ньютона: F=ma, =0, a=0, F=0).
n
 Fi  0.
(29)
i2
Здесь Fi - проекция действующей i- той силы на направление возможного
перемещения.
2. Если твердое тело имеет ось вращения, но не поворачивается
вокруг этой оси, это означает, что сумма моментов всех действующих на тело
сил равна нулю.
n
 M i  0.
i 1
(30)
Здесь Мi - момент действующей i - той силы относительно оси поворота.
Кстати, если сила одна - единственная, момент будет равен нулю в том случае,
когда ось вращения проходит через точку приложения силы (плечо равно
нулю).
3. Условие равновесия самой жидкости сводится к уравнению связи
между давлениями в жидкости на двух горизонтальных плоскостях.
p2-2 = р1-1 gh.
(31)
Знак (+) выбирается в том случае, когда плоскость 2-2 расположена
ниже плоскости 1-1 на величину h. Если плоскость 2-2 расположена выше 11 - выбирается знак (-). Другими словами, давление жидкости увеличивается
с глубиной по линейному закону (раздел 2).
46 Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
4.1 МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОСТАТИКИ
1. Выделяем твердое тело, к которому применяем уравнения
(29) или (30). Если в сложной гидравлической системе в равновесии
находятся несколько твердых тел, уравнения (29) или (30) применяются к
каждому из них (в этом случае получаем систему уравнений равновесия).
2. Определяем силы, действующие на тело. Главное здесь - “увидеть”
действующие силы, подобрать формулу для их определения, используя
материал разделов 13 учебного пособия.
3.Расписываем уравнения (29  31) и решаем полученную систему
уравнений в общем виде относительно неизвестной величины.
4. Подставляем в решение задачи в общем виде заданные значения
параметров по условию (предварительно переведя их в систему СИ) и
производим вычисления. Результат представляем в виде 3ех значащих
цифр и степени числа 10. Например, на калькуляторе получили: давление р =
2189856 Па. Ответ: р = 2,19106 Па =2,19 МПа.
Три значащие цифры означают точность не более 5% (большую точность
получить невозможно, так как точность измерения заданных параметров
(плотность жидкости, линейные размеры, силы) не превышает точности
приборов.
4.2. ПРИМЕРЫ ИНЖЕНЕРНЫХ ГИДРОСТАТИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ
Задача 1.
Схема к задаче
Условие задачи
Цилиндрический сосуд массой m,
диаметром D и наполненный водой
до высоты а, висит без трения на
плунжере диаметром d. Определить
показание рv вакуумметра, при
котором обеспечивается равновесие
сосуда.
Дано: D = 200мм, d = 100мм,
а = 0,2м, m = 50кг,  =1000кг/м3.
Определить: pv =?
Решение.
1. Выделяем твердое тело, которое находится в равновесии под
действием сил. Это полый цилиндрический сосуд, заполненный внутри водой
Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
47
и воздухом, находящимся при давлении, меньшем атмосферного. Этот сосуд
может скользить без трения по поверхности плунжера диаметром d, однако
находится в равновесии (неподвижен). Это означает, что все вертикальные
силы, действующие на сосуд, уравновешиваются.
Условие его равновесия имеет вид:  Fi Z = 0.
2. Определяем вертикальные силы, действующие на сосуд (Рис. 37). Во
первых, это силы давления со стороны газа, находящегося под абсолютным
давлением р0<pат. Этот газ оказывает непосредственное силовое воздействие
на верхнюю горизонтальную крышку АВ по площади кольца и создает силу РгВ.
В то же время давление газа р0 передается по закону Паскаля через жидкость
на нижнюю крышку EF, имеющую форму круга, и создает силу РгН.
Появление сил давления атмосферного воздуха РатН и РатВ понятно без
объяснений. Кроме этих сил, действует еще собственный вес сосуда Gc и сила
давления со стороны воды РжН на нижнюю крышку EF.
Известно, что:
Сила давления газа на плоскую поверхность равна произведению
абсолютного давления газа на площадь этой поверхности.
Сила весового давления жидкости на плоскую поверхность равна
произведению давления жидкости в центре тяжести поверхности на ее
площадь.
Более подробно о происхождении и определении всех указанных выше сил
можно прочитать в разделах 1 и 2 !
Итак:
РгВ = р0 /4  (D2-d2);
РгН = р0 /4  (D2);
РатВ = рат /4  (D2-d2);
РатН = рат /4  (D2);
РжН = ga /4  (D2);
(32)
G = mg;
Внимание: - гидростатический парадокс!
При определении силы давления жидкости на поверхность EF
представляется, на первый взгляд, очевидным, что сила РжН равна весу объема
жидкости, расположенного над ней . Между тем часть объема жидкости
занимает плунжер (Рис. 36), и вес жидкости оказывается меньше, чем величина
48 Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
силы РжН, определенная по правилам гидромеханики (уравнение (32)). В этом и
заключается парадокс:
Сила давления жидкости на горизонтальное дно сосуда в общем
случае не равна весу жидкости в сосуде!
Объясняется это явление тем, что жидкость, сжатая собственным весом,
оказывает давление не только на дно сосуда, но и на все другие твердые
поверхности, находящиеся с ней в контакте. Так, из Рис.36 следует, что кроме
силы РжН, существует сила давления жидкости на основание плунжера,
направленная вверх. Алгебраическая сумма этих двух сил как раз и равна весу
жидкости в сосуде.
Совет:
Чтобы не “вляпаться” в гидростатический парадокс, никогда не определяйте
силу давления жидкости на дно сосуда через ее вес. Используйте простое
правило:
Сила давления жидкости на любую плоскую поверхность, в том числе и
на горизонтальное дно сосуда, равна произведению давления в центре
тяжести этой поверхности на ее площадь.
Для определения давления в центре тяжести плоской поверхности
используется условие равновесия жидкости (31). В данном случае центр
тяжести круга диаметром D расположен на глубине а под уровнем жидкости и
давление на этом уровне равно ga.
3. Запишем условие равновесия сосуда. Для этого выбираем одно из
направлений сил за положительное (например, вниз). Тогда силы,
направленные сверху вниз, будут записываться в уравнении со знаком (+), а
силы, направленные снизу вверх - со знаком (-). К слову, выбор
положительного направления является совершенно произвольным!
Итак, получим:
Gc +РжН + РгН + РатВ - РатН - РгВ = 0
(33)
Совет:
Не рекомендую записывать уравнение равновесия в виде: сумма сил,
направленных в одну сторону, равна сумме сил, направленных в другую
сторону. При такой записи легко ошибиться в знаках.
4. Далее расписываем силы в уравнении равновесия через их выражения и
решаем уравнение относительно неизвестной величины - показания
вакуумметра рv . Замечаем, что в уравнение (33) входит абсолютное давление
газа р0, а не величина рv . Однако они связаны между собой соотношением: p0 =
рат - рv (раздел 2).
Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
49

2
 D d
  D2
  D2
m g   ga
  pат  pv  
 pат 
4
4
4
 pат 
2
D
  pат  pv  
4

2

2
  D2  d )
4
  D2
 d2
m g   ga
 pv 
 0;
4
4
 0;
4 m  g
2
 D
pv 
   g a   .
d
 d2
Замечаем, что в конечном выражении для неизвестной величины рv
атмосферное давление не присутствует. Это означает, что на равновесие сосуда
влияет не абсолютное давление газа, а недостаток этого давления до
атмосферного - факт, сам по себе достаточно очевидный. Было бы странно,
если бы равновесие сосуда нарушилось, после того, как прошел дождь!
Запомните: если при решении задачи абсолютные давления выражены через
показания приборов, а атмосферное давление в конечном результате не
сокращается, это признак того, что задача решена неправильно!
5. Подставляем в выражение для величины рv численные данные по
условию задачи в системе СИ и производим вычисления с точностью до трех
значащих цифр.
4 m  g
2
2
4  50  9,8
 0,2 
 D
pv 
   g a   
 1000  9,8  0,2  
 
2
d
 0,1 
 d2
3,14   0,1
62420 + 7840 = 70260 Па = 70,3 кПа.
50 Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
Задача 2.
Схема к задаче
Условие задачи
Клапан
(заштрихован
на
рисунке)
закрывающий
квадратное
отверстие
с
размерами
аа,
может
поворачиваться вокруг оси,
проходящей через точку В.
Дано: h = 0,3м; =45;
F=2 кН; a =300мм;
pм =0,01Мпа; =1000кг/м3.
Определить, при каком уровне
воды H начнет открываться
клапан.
Решение.
1. Выделяем твердое тело, которое находится в равновесии под действием
сил. Это - клапан (заштрихован на рисунке). Поскольку клапан может
поворачиваться вокруг точки В, условие его равновесия имеет вид: MВ = 0 .
Для решения этого уравнения необходимо знать силы, действующие на клапан,
и их плечи относительно точки В.
2. Устанавливаем силы, действующие на клапан.
Слева на смоченную поверхность клапана, имеющую форму квадрата
со стороной а, оказывают силовое воздействие жидкость и газ с абсолютным
давлением р0. Согласно изложенному ранее (в разделе 3), имеем:
Сила давления газа Р0 = ро = (рат +рм) а2; приложена в центре
тяжести квадрата перпендикулярно к поверхности, плечо силы Р0
относительно точки В равно h (Рис. 38).
Плечо силы - перпендикуляр, опущенный из точки поворота на линию
действия силы.
Сила давления жидкости Рж = рс =gHа2. Здесь рс =gH давление жидкости в центре тяжести квадрата, который расположен на глубине
H под уровнем жидкости. Сила Рж приложена ниже центра тяжести квадрата на
величину , которая равна:
Ic
a4
a2



;
  lc 12  a 2  H 12  H
Здесь:
Ic - момент инерции квадрата относительно горизонтальной
центральной оси, Ic = а4/12 (Приложение 1); lc - расстояние по оси симметрии
квадрата от его центра тяжести до поверхности жидкости (в данном случае по
вертикали), lc = H.
Справа на клапан действуют сила упругости пружины F и сила
атмосферного давления. На первый взгляд поверхность, на которую оказывает
Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
51
силовое воздействие атмосферное давление, кажется очень сложной и
неопределимой. Однако при более внимательном рассмотрении оказывается,
что при алгебраическом суммировании сил атмосферного давления по
отдельным участкам поверхности клапана, все они взаимно уничтожаются, за
исключением силы, действующей на поверхность квадрата.
Сила атмосферного давления Рат =рата2. Эта сила приложена в центре
тяжести квадрата, ее плечо относительно точки В равно h.
Сила упругости пружины F приложена под углом к горизонту. При
определении момента этой силы относительно точки В удобно разложить ее на
горизонтальную и вертикальную составляющие. Вертикальная составляющая
проходит через точку В и не дает вращающего момента (ее плечо равно нулю).
Горизонтальная составляющая, равная FCos, имеет плечо h.
3. Расписываем уравнение равновесия клапана и решаем его
относительно неизвестной величины H.
Моменты сил, вращающие клапан по часовой стрелке, считаем
положительными. Итак, получаем:
FГОР.h +Pат h - Р0 h - Рж (h+) = 0
FCosh +pата2 h- (рат +рм) а2 h -gHа2 (h+a2/12H) = 0
  g  a4
2
F  Cos  p м а  h 

H

2
 ga h
12
.
4. Подставляем численные значения параметров задачи по условию и
вычисляем высоту H.
H
4

1000  9,8  0,3
2
2
3
6
 2  10 
 0,01  10  0,3   0.3 
2
12


1000  9,8  0,3  0,3
2
52 Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
 0,558 м
Задача 3.
Схема к задаче
Условие задачи
Вертикальный
цилиндрический
резервуар диаметра d закрыт сверху
полусферической крышкой того же
диаметра весом G и целиком заполнен
водой. Затем в отверстие в верхней
части крышки ввернули вертикальную
трубку пренебрежимо малого диаметра
и залили в нее воду.
Дано: d = 2м; G = 19,6кН;
 = 1000кг/м3;
Определить, при какой высоте h
вертикальная
составляющая
силы
давления воды на крышку уравновесит
ее вес.
Решение.
1. Запишем уравнение, из которого можно определить высоту h:
PZ = G.
Здесь PZ - вертикальная составляющая силы давления воды на
полусферическую крышку, а G - вес крышки.
2. Определяем силу РZ.
В разделе 3 было сформулировано правило для определения вертикальной
составляющей силы давления жидкости на криволинейную поверхность,
которое гласит:
Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную
поверхность равна весу жидкости в объеме давления.: РZ = gVZ.
В свою очередь, чтобы построить объем давления VZ, необходимо
спроектировать нашу полусферическую крышку на свободную поверхность
жидкости (то есть на ту горизонтальную плоскость, где весовое давление
жидкости равно нулю). В нашей задаче это плоскость MN (Рис. 39). Объем,
заключенный между полусферой АВ, ее проекцией на плоскость MN и
вертикальными проектирующими поверхностями и есть объем давления
(заштрихован на рисунке). Из геометрических соображений видно, что этот
объем равен разности объемов цилиндра и полусферы:
 d2 
d 1
h  
   d 3.

4
2  12
3. Определяем высоту h из уравнения G =gVZ, далее подставляем в
Vz 
результат численные значения параметров, заданных по условию и вычисляем:
Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
53
  d2 

d 1
G  g
h  
   d 3 ;

2  12
 4

h
 G

1

   d 3  4

   g 12

 d2

d

2
 19,6  103

1
3

 1000  9,8  12  3,14  2   4


3,14  22

2
 0,303 м
2
Задача решена.
Следует отметить, что для того, чтобы успешно решать задачи,
связанные с определением силы давления жидкости на криволинейную
поверхность, необходимо знать, как определить горизонтальную и
вертикальную составляющие этой силы и очень хорошо понимать правило
построения тела давления. Между тем существует другой способ
определения составляющих РX
и
РZ, основанный на рассмотрении
равновесия соответствующего объема жидкости. Чтобы у Вас, уважаемый
читатель, была возможность выбора, предлагаю Вашему вниманию этот другой
способ.
Жидкость в объеме полусферы
находится в равновесии под
действием следующих сил:
G = g1/12d3 - собственный вес;
R
реакция
сферической
поверхности, равная по величине и
противоположная
по
направлению искомой силе РZ;
Р = g(h+d/2) d2/4 - сила реакции
со стороны сжатой жидкости на
глубине (h+d/2).
Уравнение равновесия имеет вид:
R + G - P = 0, или: R + g1/12d3 - g(h+d/2) d2/4 = 0, откуда:
R = PZ =g(h+d/2) d2/4 - g1/12d3 = gVZ,
где VZ - объем давления.
Преимущество второго способа, на мой взгляд, заключается в том, что он
не требует механического запоминания определенных правил, и использует
широко известный в теоретической механике прием: определение сил из
уравнений равновесия.
54 Раздел 4. Инженерные гидростатические расчеты
РАЗДЕЛ 5
ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ
для САМОПРОВЕРКИ.
Уважаемый читатель!
Надеюсь, вы достаточно внимательно изучили материал предыду-щих
разделов и даже самостоятельно решили задачи в своей расчетно - графической
работе. Я предлагаю вам оценить уровень ваших собственных знаний и
ответить на некоторые вопросы.
Большинство вопросов и экспресс-задач позаимствовано из книги
“Сборник задач по гидравлике и газодинамике для нефтяных вузов” (под
редакцией Г. Д. Розенберга, Москва, “Недра”, 1990). Отдавая дань уважения и
восхищения уму и педагогическому таланту московских коллег, вынуждена
признаться, что ничего лучшего я придумать не смогла. Кстати,
любознательный читатель в этом сборнике задач сможет найти подсказки,
которые помогут ему ответить на большинство вопросов.
1.
2.
Давление измеряется в
паскалях (Па), мегапаскалях
(МПа), и “технических
атмосферах”.
Каково соотношение между этими
единицами измерения давления?
Показание мановакуумметра равно рм
или рv. Мы говорим, что на самом
деле давление газа р0 в сосуде равно
(рат+рм) или (рат-рv). Каким же
образом в герметически закрытый
сосуд
проникло
атмосферное
давление? От каких факторов зависит
абсолютное давление газа р0?
Раздел 5. Вопросы и задачи для самопроверки
55
3.
Показание pv вакуумметра на входе в
насос равно 0,02 МПа, а показание pм
манометра на выходе из насоса 3,1
МПа. Чему равны абсолютные
давления в жидкости на входе в насос
рвх и на выходе из насоса рвых?
4.
На стенке закрытого сосуда с
жидкостью установлен манометр и
вакуумметр. Показания каждого из
них равны 24,5 кПа, а расстояние h
по вертикали между ними 5 м. Какая
из жидкостей находится в резервуаре:
бензин, вода или ртуть?
5.
6.
По трубопроводу течет вода. Какую
из
жидкостей
“
ж”
(ртуть,
четыреххлористый углерод, бензин)
нужно залить в дифференциальный
манометр, чтобы он мог измерить
наименьший перепад давления между
сечениями 1-1 и 2-2?
Под уровнем жидкости находятся две
равновеликие поверхности: квадрат и
круг. Сравните силы давления
жидкости на каждую из этих фигур.
7.
В стакане с ртутью (Рис. ”a”) плавает
стальной шарик (плотность ртути
больше плотности стали). Что
произойдет с шариком, если на ртуть
налить воду? (Рис. ”б”).
8.
Плоская
крышка
перекрывает
квадратное отверстие со стороной а в
перегородке, разделяющей резервуар
на две части. Разность уровней в
отсеках равна h. Постройте эпюру
давления жидкости на крышку и
определите
графоаналитическим
способом
величину
и
точку
приложения силы давления жидкости
56 Раздел 5. Вопросы и задачи для самопроверки
плотностью .
9.
Плоская крышка перекрывает круглое
отверстие диаметра d в боковой
стенке резервуара с жидкостью.
Возможна ли в данной задаче
ситуация, когда крышка будет
удерживаться в равновесии без
болтов? Чему в этом случае будет
равно показание мановакуумметра?
Определите также силу весового
давления жидкости, силу давления
газа, равнодействующую силу и их
точки приложения.
10.
Цилиндрическое тело с размерами d,
H и весом G плавает в воде (ситуация
“a”). После того, как на тело
подействовала вертикальная сила Q ,
оно стало тонуть (ситуация “б”).
Определите величину и направление
силы Архимеда в этих обоих случаях.
11.
Круглое
отверстие
в
боковой
вертикальной
плоской
стенке
резервуара может быть закрыто одной
из
крышек:
плоской
(“a”),
полусферической
(“б”)
или
конической
(“в”).
Определите
соотношение растягивающих болты
усилий для этих крышек.
Раздел 5. Вопросы и задачи для самопроверки
57
12.
Стальная
труба
с
внутренним
диаметром
D
работает
под
манометрическим
давлением
рм.
Определить необходимую толщину
стенок трубы  из условия прочности
на разрыв. Принять допускаемое
напряжение для стали .
13.
Коническая воронка с приставным
дном пренебрежимо малого веса
погружена в жидкость. Вес жидкости
в объеме АВСD равен G. Объяснить,
что произойдет с дном воронки, если:
1) в воронку налить ту же жидкость
до уровня СD; 2) на дно воронки
положить груз весом G.
14.
Толстостенный
цилиндрический
сосуд с размерами d,  и весом G
погружен в жидкость на глубину H и
плавает
в
ней при
наличии
поддерживающей
силы
F.
Определить
абсолютное
и
вакуумметрическое давление газа, а
также высоту h, если атмосферное
давление равно рат.
58 Раздел 5. Вопросы и задачи для самопроверки
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ,
ЦЕНТРОВ ДАВЛЕНИЯ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ФИГУР2
Схема
Площадь
стенки

BL
B
2
BL/2
Глубина
Осевой
погружения момент
центра
инерции
3
тяжести hc
Ic4
L/2
BL3/12
L/6
2
B
2
4
B /12
2
B
12
L/3
BL3/36
L/6
1
L 2b  B
 L  b  B 
2
3 b B
+B)
D2/4
Положение
центра
давления
(сдвиг )
D/2
L3/36
2
b  4bB  B
b B
2
D4/64
L(b2+4bB+B2)/
6(2b+B)(b+B).
D/8
2
Все значения определены для частного случая, когда стенка расположена вертикально, и
уровень жидкости совпадает с верхней плоскостью стенки.
3
Глубина погружения центра тяжести - расстояние всегда по вертикали, сама же стенка
может быть расположена под углом к горизонту.
4
Ic - момент инерции относительно горизонтальной центральной оси.
Приложение 1
59
D2/8
2D/3
D4/
(2/64-1/9)
D3/32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Башта Т. М. И др. Гидравлика, гидравлические машины и гидроприводы. М..., Машиностроение, 1982.
2. Альтшуль А. Д., Животовский Л. С., Иванов Л. П. Гидравлика и
аэродинамика. - М..., Стройиздат, 1987.
3. Сборник задач по гидравлике и газодинамике для нефтяных вузов (под
редакцией Розенберга Г. Д.). - М..., Недра, 1990.
4. Задачник по гидравлике, гидромашинам и гидроприводу (под редакцией Б. Б.
Некрасова). - М..., Высшая школа, 1989.
4. Григорьев В. И., Мякишев Г. Я. - Силы в природе. М..., Наука, 1983.
60 Приложение 1
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
РАЗДЕЛ 1. СИЛЫ В ПРИРОДЕ
4
1.1. Законы Ньютона
1.2. Электромагнитные силы
1.2.1. Структура газов, жидкостей и твердых тел
1.2.2. Упругие силы
1.2.3. Сухое трение скольжения
1.2.4. Трение в жидкостях и газах
1.3. Силы тяготения
1.3.1. Принцип эквивалентности
1.3.2. Искривление световых лучей
1.3.3. Связь тяготения с геометрией пространства
4
5
6
7
8
9
10
11
11
12
РАЗДЕЛ 2. ЗАКОНЫ ГИДРОСТАТИКИ
14
2.1. Гидростатическое давление
2.2. Основное уравнение гидростатики
2.2.1. Основы теории
2.2.2 Примеры решения задач на определение давления
2.3. Закон Паскаля
2.3.1. Основы теории
2.3.2. Примеры решения задач на закон Паскаля
2.4. Закон Архимеда
2.4.1. Вывод закона Архимеда
2.4.2. Основы теории плавания тел
2.4.3. Примеры решения задач
14
16
16
19
22
22
22
26
26
27
28
РАЗДЕЛ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ДАВЛЕНИЯ
3.1. Определение силы давления жидкости
на плоскую поверхность
3.1.1. Графоаналитический метод
3.1.2. Аналитический метод
3.1.3. Пример расчета
3.2. Определение силы внешнего давления
на плоскую поверхность
3.3. Определение силы весового давления жидкости
на криволинейную поверхность
Оглавление
32
34
35
36
37
39
39
61
3.3.1. Основы теории
3.3.2. Пример расчета
3.4. Определение силы внешнего давления
на криволинейные поверхности
39
41
43
РАЗДЕЛ 4
ИНЖЕНЕРНЫЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКИЕ
РАСЧЕТЫ
46
4.1. Методика решения задач гидростатики
4.2. Примеры инженерных гидростатических расчетов
47
47
РАЗДЕЛ 5
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ОГЛАВЛЕНИЕ
62 Оглавление
55
59
60
61
Оглавление
63