ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. Арифметика
Вариант 1
Вариант 2
1. Вычислите:
1. Вычислите:
1⎞
3 ⎞
3
⎛
⎛
.
⎜ 26,7 − 13 ⎟ : 1,8 + 0,125⎜1,88 + 2 ⎟ + 22 ⋅
5⎠
25 ⎠
5,5
⎝
⎝
1⎞
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎜ 4 − 0,004 ⋅ 300 ⎟ : 29,25 + ⎜ 4 − 3 ⎟ : 70.
2⎠
⎝ 8
⎠
⎝ 5
Ответ: 20.
2. ⎛⎜ 41 − 17 ⎞⎟ ⋅ 18 + ⎛⎜ 8 − 23 ⎞⎟ : 99 + 7 .
Ответ: 0,11.
2. 10 + 3 ⋅ ⎛⎜ 17 : 17 ⎞⎟ + 3,75 : 5 .
Ответ: 2.
Ответ: 5,5.
3. ⎛⎜ 16 − 1,7 ⎞⎟ : 0,05
⎝ 18
36 ⎠ 65
⎝7
49 ⎠ 49
16
6
25 ⎞
⎛
⎜ 2,3 + 5 : ⎟ ⋅ 7
4⎠
⎝
.
0,8 ⋅ 0,125 + 6,9
3.
Ответ: 300.
4. Найдите x из пропорции:
⎛ 108
⎞
+ 0,56 ⎟ 0,25 : 5 − 4
9⎜
⎝ 75
⎠=
6 25 .
33 124
5x
−
2
9
⎛ 94 53 ⎞ 3
⎜ + ⎟⋅
x
⎝ 50 25 ⎠ 16 =
.
5 13 1
2
99
− ⋅
+ 7,7 :
72 18 26
15
4
Ответ: 70.
5. Найдите число, если 8% его равны
24.
Ответ: 300.
6. Вычислить:
Ответ: 8.
5.Найдите число, если 140% его
равны 182.
Ответ: 130.
6. Вычислить:
−2
0
⎞
⎛
⎜ 8 − 6 ⋅ ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎟ .
⎟
⎜
18
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ −3 ⎛ 3 ⎞ −4 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 0
⎞
⎜ 2 + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎜ ⎟ − 12 ⋅ 3 −3 ⎟ ⋅ 18.
⎜
⎟
⎟ ⎜⎝ 6 ⎠
4
2
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠ ⎝
Ответ: 0,25.
7. (2 −1 / 2 ) −6 − (0,125) −1 + (21 / 2 ) 0 .
Ответ: 1.
Ответ: 29,65.
7. ⎛⎜ (3 ) + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎞⎟ .
⎜
⎝
5
3
⎝ 16 ⎠
2
1/ 3
⎝ 49 ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠
Ответ: 6.
10. (10 − 7 )( 100 + 70 + 49 )
1/ 3
2
4
3
3
3
3
⎛ 16
6⎞
⎟
(3 16 − 3 6 ) ⎜⎜
+
3 ⎟⎠
⎝ 3
2
.
−1
Ответ: 48.
244
9. 12
5
2
−2
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
2
Ответ: 1,6.
9. 12 63 − 27 .
2
0
−1 / 4 8
Ответ: 0,81.
8. ⎛⎜ 7 ⎞⎟ ⋅ 56 ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 160
2
⎛ 1 ⎞
3 ⋅ 27 ⋅ 45 ⋅ ⎜ ⎟ +
4
⎝ 32 ⎠
.
245
8.
6
⎠
⎠
⎝5
.
⎞
⎛ 33
⎜ − 1,5 ⎟ : 1,5
⎠
⎝ 20
Ответ: 3,1.
4. Найдите x из пропорции:
2
2 ⎝ 4
.
25 15(38 2 − 23 2 )
.
Ответ: 0,4.
10. (7 27 − 7 8 )(27
2
1/ 2
27 − 64
2
Ответ: 0,03.
Ответ: 0,2.
66
+ 81 / 2 )
.
Задание 2. Алгебра
Вариант 1
Вариант 2
1.Упростите выражение:
1. Упростите выражение:
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
.
a2 − b2
(a 2 − b 2 )(a 2 − ab + b 2 )
.
a−b
Ответ: (a + b) .
2
Ответ: a + b .
2.Выполнить действия:
3
a −b
2.Выполнить действия:
b 2 + 2b − 3
− b.
b −1
2
a 2 + 4a + 2
−a− .
a
a
Ответ: 4.
3. 2 x +
a + ax
Ответ: 3.
3. a − b − a − b .
2
1
.
a+x
Ответ: 1 .
a
4.
2ax
x−2
.
2 x( x − 3 y )
2
c + 1 ⎠ 1 − 5c
c +1
−1
1 ⎛ b2 ⎞
− ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
2
2 −1
2
2 −1
2⎝ x ⎠
(x − b ) − (x + b )
⎟
⎠
2 −1
2
2 −1
Ответ: x .
2
2b 2
2ax
7. ⎛⎜ 1 − a
−1 / 2
1 + a −1 / 2 ⎞ a + 1
⎜ 1 + a −1 / 2 + 1 − a −1 / 2 ⎟⎟ : a − 1 .
⎝
⎠
+b
2b 0,5
0,5 0,5 ⎞
⎜ a 0,5 + b 0,5 − a b ⎟⎟ : (a − b) + a 0,5 + b 0,5 .
⎝
⎠
Ответ: 2
8. ⎛⎜ a + x + a − x + 1⎞⎟ :
Ответ: 1.
8. ⎛⎜⎜ 1 + 1 ⎞⎟⎟ : 2 a .
⎝a− b a + b ⎠ a −b
⎜ a+x − a−x
⎝
1
⎟ ( a + x − a − x) a + x .
⎠
Ответ: 2(a + x) .
9.Упростить выражение и вычислить
его
при
заданном
значении
параметра:
Ответ: 2.
9.Упростить выражение и вычислить
его
при
заданном
значении
параметра:
⎛ 3m + 15 ⎞
при
⎟
( m m + 5 m + m 18 + 15 2 ) : ⎜
3
1
2
1
+
+
.
x 2 + 3 xy 9 y 2 − x 2 2 x − 6 y
2
2
1, 5
3
ab
.
a+b
Ответ: c − 1.
6. ( x − b ) + ( x + b )
2
7. ⎛⎜ a
Ответ:
⎝ 5c − 1
Ответ: (a + x + 1) .
1, 5
a − b2
2
Ответ: –1.
6. 1 + (a + x) ⎛⎜1 − 1 − (a + x ) ⎞⎟.
1 − (a + x ) −1 ⎜⎝
3
5. ⎛⎜ c + 5 + c + 5 ⎞⎟ : c + 5c + c + 5 .
⎛ a
⎞
12a − 9a
9
9a
⎟⎟.
− 1 : ⎜⎜
+
+ 2
3
−
a
3
a
a
a
27
3
9
−
+
+
(3 − a) 2
⎝
⎠
2
3
2
Ответ:
2
−1
2
a−b
4.
4a 2 b − ab 2
b2
a
+
+
.
2
2
a−b
a + ab + b
b3 − a3
(b − a ) 2
.
2
a + ab + b 2
Ответ:
5.
3
n n + n3 n
4n n (1 + 6 n )
3
⎜
⎟
3
⎝2 m −6 2 ⎠
при n = 5 .
64
Ответ: 3,2.
10. ⎛⎜ ( a 3 − 27a ): ⎛⎜ a + 9 + 1⎞⎟ ⎞⎟ (a − 3)
m = 3.
Ответ: 6.
10. a + a 18 + 6 a + 2 2 − 1 при a = 2.
⎜
⎝
3
3
−3
a = 18 2 .
a3 + 2 a + a 2 + 8
Ответ: 36.
Ответ: 1.
65
−3
2
⎜ 3a
⎝
−1
⎟ ⎟ (6a 3 ) −1 / 2
⎠⎠
при
Задание 3. Функции и их графики
Вариант 1
Вариант 2
Построить графики функций.
Построить графики функций.
1.
y = 2− x.
1.
y = 2x − 1.
2.
y = x2 + 2x + 3 .
2.
y = 2 ( x − 3 )2 .
3.
y = 1−
2
.
x
3.
y=
4.
y=
x3 .
4.
y=
5.
y=
x.
5.
y = x2 3 .
x
6.
y = 32 x .
6.
⎛ 1⎞2
y=⎜ ⎟ .
⎝3⎠
7.
y = 2 log( 1 2 ) x .
7.
y = log 2 x .
3
(2 )
3x + 4
.
x−1
3
x4 .
8. y = 3cos ( 2x ) .
8. y = sin2 x .
9. y = tg 3x .
9. y = 2 + ctg x .
10. y = arctg x .
10. y = arccosx .
66
Задание 4. Многочлены
Вариант 1
1.Выполнить умножение и привести подобные члены:
(a + 5)(a 2 − 5a + 25).
Ответ: a 3 + 125.
2. Выполнить умножение и привести подобные члены:
5a ( 2 x − 3) − 3 x ( 2 x − 3) + (3 − 2 x ).
Ответ: (2 x − 3)(5a − 3 x − 1).
3. Вставить нужные числа вместо символов:
(⊗ x + 3) 2 = 4 x + ⟨⟩ x + 9.
Ответ: ⊗ = ±2 , ⟨⟩ = ±12.
4.Разложить на множители:
(2c + 1) 3 − 27.
Ответ: 2(c − 1)(4c 2 + 10c + 13).
5.Выделить полный квадрат:
x 2 − 2 x + 5.
Ответ: ( x − 1) 2 + 4.
6.Произвести деление многочленов:
(−2 x + x 2 − x + 2 x 3 ) : ( x + 1).
Ответ: 2 x 2 − x − 1.
7.Найти значение коэффициента при x 2 в выражении:
( x − 2)(2 − 3 x)(2 x + 5) + 2( x 2 − 1).
Ответ: 3.
8.Найти значение a , при котором данное равенство верно для всех x :
8 x − 35a − 3 ⎛ 7 1 ⎞
x
= ⎜ + ⎟( x − 1) + .
15a
3
⎝ 3 5a ⎠
Ответ: 0,125.
9.Найти значения a и b , при которых данное равенство является верным
для всех x : (3x + 4) = (3b − 4a) x + 12 (17 − a) x + 16.
2
2
b
Ответ: 3; 7.
10.Найти числа A, B, C , при которых справедливо равенство:
1
A
B
C
= +
+
.
x( x − 1)( x + 2) x x − 1 x + 2
Ответ: − 1 ; 1 ; 1 .
2 3 6
67
Вариант 2
1.Выполнить умножение и привести подобные члены:
(2b − 1)(1 + 2b + 4b 2 ).
Ответ: 8b 3 − 1.
2. Выполнить умножение и привести подобные члены:
135a 12 x 8 + 90 a 10 x 11 − 36 a 6 x 16 .
Ответ: 9a 6 x 8 (15a 4 + 10a 4 x 3 − 4 x 8 ).
3.Вставить нужные числа вместо символов:
(3 x + ⊗) 2 = 9 x 2 +
1
x + ⟨⟩ .
2
Ответ: ⊗ = 1 , ⟨⟩ = 1 .
12
144
4.Разложить на множители:
( p − 2) 3 + 27.
Ответ: ( p + 1)( p 2 − 7 p + 19).
5.Выделить полный квадрат:
a2 +
1
a + 3.
2
2
Ответ: ⎛⎜ a + 1 ⎞⎟ + 47 .
⎝
4⎠
4
6.Произвести деление многочленов:
(1 − x 2 − 3 x + 6 x 3 ) : (2 x − 1).
Ответ: 3x 2 + x − 1.
7.Найти значение коэффициента при x 2 в выражении:
1⎞
⎛
⎜ x − ⎟(4 x − 2) + (1 − x)( 2 x + 5) x.
4⎠
⎝
Ответ: 1.
8.Найти значение a , при котором данное равенство верно для всех x :
( 2 x + 5)( 2a + 7) = (6a + 1) x + 10 a + 35.
Ответ: 6,5.
9.Найти значения a и b , при которых данное равенство является верным
для всех x :
( x + 7)( x + 8) = x 2 + (4a + b) x + 2a − b + 56.
Ответ: 2,5; 5.
10.Найти числа A, B, C , при которых справедливо равенство:
x
A
B
C
=
+
+
.
( x − 1)( x + 2)( x + 3) x − 1 x + 2 x + 3
Ответ: 1 ; 2 ; − 3 .
12 3
4
68
Задание 5. Рациональные уравнения и системы
Вариант 1
Вариант 2
1Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
71 − 3 x 1
= .
6x − 9 3
17
7
= 2− .
x
5x
Ответ: 14,8.
Ответ: 5,2.
2.Найти меньший корень уравнения:
2.Найти меньший корень уравнения:
24 x( x + 1) = 4 x 2 − 7.
61x( x + 1) = 31x 2 − 30.
Ответ: –0,7.
Ответ: –1,2.
3.Решить уравнение:
3.Решить уравнение:
2
− 15 = 8 x.
x
1−
Ответ: –2; 0,125.
Ответ: –1; 16.
15 16 .
=
x x2
4. ax − b + a + bx = (a2 + b)2 .
a+b
a −b
4. 5
Ответ:
2ab
.
a2 + b2
Ответ: –5.
2
b+3
a −b
−
6x
x
=
.
3 − b b2 − 9
5. 4 x 4 + 3x 3 + 32 x + 24 = 0.
5. 3 + 27 + x 2 + 813 = 0.
x
x
Ответ: –2; -0,75.
Ответ: –3.
6. ( x 2 − 0,01)(2 x − 5) = ( x − 2,5)( x + 0,1) 2 .
6. ( x + 0,5)( x 2 − 9) = (2 x + 1)( x + 3) 2 .
Ответ: –0,1; 0,3; 2,5.
Ответ: –9; -3; -0,5.
7. x − 256
= 2(7 x + 12).
2
4
16 − x
7. x − 8 = 12 x − 8.
3
2x − 4
Ответ: -10.
Ответ: 20.
8.Решить систему уравнений:
8.Решить систему уравнений:
⎧15 x + 2 y = 2
⎨
⎩13 x − 3 y = −3
⎧2 x + 11 y = −2
⎨
⎩ x − 3 y = −1
Ответ: (0; 1).
Ответ: (-1; 0).
8
⎧1
=0
⎪ +
9. ⎨ x 191 − 35 y
⎪19 x + 12 y = 22
⎩
⎧7 x + 24 y = 65
9. ⎪⎨ 3
1
⎪ 4 x + 13 − y = 0
⎩
Ответ: (-2; 5).
Ответ: (-1; 3).
⎧x + y + z = 1
10. ⎪⎨2 x + 2 y + z = 1
⎪x + 3 y + 2z = 3
⎩
⎧4 x − 7 y + 8 z = 0
10. ⎪⎨ x − 2 y − z = −3
⎪6 x + 2 y + 3 z = −9
⎩
Ответ: (-0,5; 0,5; 1).
Ответ: (-2; 0; 1).
69
Задание 6. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
5 − 4 x = 1.
2 − 5 x = 16.
Ответ: 1; 1,5.
Ответ: –2,8; 3,6.
2.Найдите целочисленные решения
уравнения:
2.Найдите целочисленные решения
уравнения:
x 2 − 3 x + 2 x − 2 = 0.
x 2 + 2 − x − 3 − 5 x = 0.
Ответ: 1.
Ответ: 5.
3.Решить неравенство:
3.Решить неравенство:
0,5 − x < 3.
x − 3 < 1.
Ответ: (-2,5; 3,5).
Ответ: (2; 4).
4.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
4.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
5 x − 3 > 6 x − 2.
x − 3 > 2 x.
Ответ: 0.
Ответ: 0.
5.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
5.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
2x + 5
> 1.
x +1
3x − 4
> 2.
x−3
Ответ: 0.
Ответ: 4.
6.Решить неравенство:
6.Решить неравенство:
1 ≤ x − 1 ≤ 3.
2 ≤ x + 1 ≤ 4.
Ответ: x ∈ [−2,0] ∪ [2,4].
Ответ: x ∈ [−5,−3] ∪ [1,3].
69
x,
x,
Задание 7. Иррациональные уравнения и системы
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
x +1+ 2 = 4 2 .
3−x =4 3.
Ответ: –1.
2.
Ответ: 0.
9 − 5x
1
.
=
3 − 8x
2
2.
4− x
1
=
.
x+2
3
Ответ: 5.
Ответ: 2,5.
3. x + 2 = 2 + x − 6 .
3. x + 25 − x = 5.
Ответ: 7.
Ответ: 0; 25.
4. ( x 2 + 4 x) x − 3 = 0.
4. ( x 2 − 1) 2 x + 1 = 0.
Ответ: 3.
Ответ: –0,5; 1.
5. x + 1 = 11 − x.
5. 4 − x = x + 2.
Ответ: 8.
Ответ: 0.
6. 2 x + 1 −
4
x +1
+ 7 = 0.
6. 10 x + 3 + 17 =
Ответ: –0,75.
7.
8
10 − x
6
x+3
.
Ответ: –2,91.
− 10 − x = 2.
7. x + 3 +
4
x+3+3
= 2.
Ответ: 6.
Ответ: -2.
8. x − 7 = x − 1.
8. x − 10 = x + 2.
Ответ: 3.
Ответ: 1.
9. 4 x 2 − 1 + x = x − 2 .
9. 1 − x 2 − x = 2 x + 1.
Ответ: 0,625.
Ответ: 0; 0,6.
10.Решить систему уравнений:
10.Решить систему уравнений:
⎧⎪ x + x + y = 4
⎨
⎪⎩ y − x = 7
⎧⎪ 2 x + y + 1 − x + y = 1
⎨
⎪⎩3x + 2 y = 4
Ответ: (1; 8).
Ответ: (2; -1).
71
Задание 8. Свойства логарифмов
Вариант 1
Вариант 2
Вычислить:
Вычислить:
1. log 2 0,25.
1. log1 / 9 3.
Ответ: –2.
Ответ: –0,5.
2. log 32 9.
2. log 32 8.
Ответ: 4.
Ответ: 27.
3. log 6 34 − log 6 17 + log 6 18.
2
3
3. log 2 27 − 2 ⋅ log 2 3 + log 2 .
Ответ: 2.
Ответ: 1.
4. 6 log
1/
4. 2
log 2 5
.
.
5. log 9 log 4 (3 4 ).
1
5. log 2 log1 / 3 .
9
Ответ: –0,5.
Ответ: 2.
6. 27
2
Ответ: 0,25.
Ответ: 25.
1
3 log16 81
6
6. 3
.
3
log ⎛ 3 ⎞ 3
⎜
⎝
6⎟
⎠
.
Ответ: 6.
Ответ: 2.
7. 0,8(1 + 9 log 8 ) log 5 .
3
7. log1 / 4 (log 2 3 ⋅ log 3 4).
Ответ: 4.
Ответ: –0,5.
72
65
Задание 9. Логарифмические уравнения
Вариант 1
Вариант 2
Решить уравнение:
49 ⎞
⎟
⎝ 16 ⎠
1. ⎛⎜
x +1
Решить уравнение:
−3
2x
9
3
25
1. ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ .
⎛4⎞
=⎜ ⎟ .
⎝7⎠
⎝5⎠
⎝ 9 ⎠
Ответ: –5,5.
Ответ: 3.
2. 2 x −1 = 2 2 .
2. 5 2− x = 125.
Ответ: 2,5.
Ответ: -1.
3. 7 x −1 − 62 − 2 x = 0.
3. 53 x − 7 −2 x = 0.
Ответ: 1.
Ответ: 0.
4. 8 ⋅ 3 x = 243 ⋅ 2 x −2.
4.
Ответ: 5.
Ответ: 3.
5. 9 x − 75 ⋅ 3 x −1 − 54 = 0.
5. 4 x +1 − 15 ⋅ 2 x −1 − 1 = 0.
Ответ: 3.
Ответ: -3.
1
2
17 x −1 = 102 ⋅ 6 x − 4.
6. log1 / 4 x = −2.
6. log 4 2 x = .
Ответ: 16.
Ответ: 1.
7. log 3 (2 − x) = 2.
7. log 0,5 (3x + 1) = −2.
Ответ: -7.
Ответ: 1.
8. log1 / 3 3 x + 1 = −1.
8. log 2 x − 1 = 1.
Ответ:26.
Ответ:3.
9. log 8− x 11 − 0,5 = 0.
9. log 12− x 3 − 1 = 0.
x
Ответ: -113.
Ответ: 3.
10. log 3 (2 x 2 + 5 x + 6) = lg100.
10. log 2 ( x 2 + 4 x + 11) = log 0,5 0,125.
Ответ: 0,5; -3.
Ответ: –3; -1.
73
Задание 10. Рациональные и иррациональные неравенства
Вариант 1
Вариант 2
1.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
1.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
2 x + 1 3x − 1
−
> 1.
3
2
9 x + 2 10 x − 2
−
> 2.
10
9
Ответ: –1.
Ответ: –8.
2.Найти целочисленные
неравенства:
решения
2.Найти целочисленные
неравенства:
x,
решения
6x − 5
< 0.
4x + 1
2x − 3
< 0.
x +1
Ответ: 0.
Ответ: 0; 1.
3. Найти целочисленные решения
неравенства:
3. Найти целочисленные решения
неравенства:
2 x 2 − 9 x + 4 < 0.
x 2 − 6 x + 5 < 0.
Ответ: 1; 2; 3.
Ответ: 2; 3; 4.
4.Решить неравенство:
4.Решить неравенство:
1 1
> .
x 3
2
1
> .
2x + 3 4
Ответ: (0; 3).
Ответ: (-1,5; 2,5).
5.Решить неравенство:
7 x
− > 0.
x 7
5.Решить неравенство:
Ответ: (−∞,−7) ∪ (0; 7).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее условию:
x 8
< .
2 x
Ответ: (−∞,−4) ∪ (0; 4).
x,
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее условию:
x > 2.
2 − 2 x < 1.
Ответ: 5.
Ответ: 1.
7.Решить неравенство:
7.Решить неравенство:
x − 0,5 < 1.
4 + 2 x < 1,5.
Ответ: [-2; -0,875].
Ответ: [0,5; 1,5].
8. Решить неравенство:
8. Решить неравенство:
14 − x > 2 − x.
2 x − 1 > x − 4.
Ответ: (-2; 14].
Ответ: [1; 10].
74
x,
Задание 11. Показательные и логарифмические неравенства
Вариант 1
1.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
2−x < 2 .
Ответ: 0.
2.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
3
2x
Вариант 2
1.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝7⎠
< 3 3.
Ответ: 0.
3.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
3 ⋅ 5 x +1 + 6 ⋅ 5 −( x +1) <
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
Ответ: 5.
3. Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
81
.
5 x +1
2
5. ⎛⎜ ⎞⎟
⎝5⎠
lg 3
x −1
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
− lg 3
⎛1⎞
>⎜ ⎟
⎝9⎠
16 − x
.
2 x +1
−3
1− x
5. ⎛⎜ 1 ⎞⎟ > ⎛⎜ 1 ⎞⎟ .
⎝5⎠
⎝5⎠
Ответ: (1; 4).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
lg 8 + lg 20 < lg 5 + lg 2 2 x −5.
< lg 3.
Ответ: –5.
7.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x2 +2 x
Ответ: (-8; 4).
25
> .
4
2 x+4
x,
Ответ: 6.
4.Решить неравенство:
27
<
.
64
Ответ: (-2; -0,4).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
162 ⋅ 35− x − 2 ⋅ 3 x −5 > 0.
Ответ: (-1; 7).
6 −5 x
2+5 x
> 7.
4 x / 3 < 16.
Ответ: –1.
4.Решить неравенство:
6 x +10 − x 2
−x / 3
Ответ: 4.
2.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
Ответ: 6.
7.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
x⎞
⎛
log 2 ⎜ 4 − ⎟ − log 2 8 < 0.
2⎠
⎝
log 3,1 (2 x − 8) − log 3,1 6 < 0.
Ответ: 6.
8.Найти целые числа x , при которых
выполняется неравенство:
Ответ: 7.
8.Найти целые числа x , при которых
выполняется неравенство:
log1 / 2 (2 x − 1) + log1 / 2 12 > log1 / 2 10 + log1 / 2 6.
log 2 / 3 (3x + 6) > log 2 / 3 3 + 2 log 2 / 3 2.
Ответ: 1; 2.
9.Решить неравенство:
Ответ: -1; 0; 1.
9.Решить неравенство:
log1 / 5 ( x − 5) > −2.
log1 / 9 ( x + 3) > −0,5.
Ответ: (5; 30).
9. log 5 ( x + 1) < 2.
Ответ: (-13; 12).
Ответ: (-3; 0).
10. log 3 ( x + 20) < 3.
Ответ: (-20; 7).
74
Задание 12. Тригонометрия
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
cos x = −1.
cos x = 1.
Ответ: р + 2рk , k ∈ Z .
2. Решить уравнение:
Ответ: 2рk , k ∈ Z .
2. Решить уравнение:
sin x = 1 / 2.
Ответ: π + 2πk ; 5π + 2πk , k ∈ Z .
6
6
tgx = − 3.
Ответ: − р + рk ; k ∈ Z .
3
3. Решить уравнение:
tgx = 3 .
Ответ: р + рk , k ∈ Z .
3.Решить уравнение:
sin x = −1 / 2.
Ответ: − р + 2рk , k ∈ Z .
6
3
4.Найти решения уравнения
заданном промежутке:
4.Найти решения уравнения
заданном промежутке:
на
sin(р( x − 2)) = 0, 0 < x < 4.
cos(р( x − 3)) = 0, 4 < x < 6.
Ответ: 1; 2; 3.
5. 3 + 2 cos πx = 0, 8 < x < 20.
Ответ: 5.
5.1 + 2sin рx = 0, 2 < x < 4.
Ответ: 10,5.
6.Решить уравнение:
Ответ: 3,5.
6.Решить уравнение:
3
9
tg
x
= 1.
2
sin 4 x =
3
.
2
Ответ: р + рk , k ∈ Z .
Ответ: ± р + рk ; ± р + рn, k , n ∈ Z .
7.Решить уравнение:
7. Решить уравнение:
1
.
2
Ответ: π
Ответ: ± р + рk , k ∈ Z .
12
2
+
πk
2
6
1
ctg 2 x = .
3
cos 2 x =
4
2
, k ∈ Z.
3
8.Решить уравнение:
8.Решить уравнение:
2 sin 2 2 x + 7 sin 2 x − 4 = 0.
2 cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0.
Ответ: р + 2рk , 5р + 2рn, k , n ∈ Z .
Ответ: р + рk , 5р + π n, k , n ∈ Z .
9. Решить уравнение:
9.Решить уравнение:
sin 2 x = sin 3x.
cos
6
12
6
12
x
= cos 2 x.
3
Ответ: 2πk , π + 2πn , k , n ∈ Z .
Ответ: 6рk ; 6рn , k , n ∈ Z .
10.Решить неравенство:
10.Решить неравенство:
5
cos x < −
5
7
3
.
2
sin x >
5
3
.
2
Ответ: ⎛⎜ 2πk + 5π ; 2πk + 7π ⎞⎟, k ∈ Z .
Ответ: ⎛⎜ 2рk + π ; 2рk + 2р ⎞⎟ , k ∈ Z .
11.Решить неравенство:
11.Решить неравенство:
⎝
6
6 ⎠
⎝
tgx < 1.
3 ⎠
3
ctgx < −1.
Ответ: ⎛⎜ рk − р , рk + р ⎞⎟ , k ∈ Z .
2
4⎠
⎝
Ответ: ⎛⎜ рk + 3р , рk + р ⎞⎟ , k ∈ Z .
⎝
75
4
⎠
на
Задание 13. Планиметрия
Вариант 1
1. Найти основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона
равна 23, а периметр равен 81.
Ответ: 25.
2. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если даны две другие
его стороны: 2 5 и 4 .
Ответ: 2; 6.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетом 2,5 и гипотенузой
281
.
2
Ответ: 10.
4. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2( 2 − 1) .
Найти его периметр.
Ответ: 2.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 3 раза больше меньшего из
катетов. Найти медиану, проведенную к гипотенузе, если больший катет
равен 4 2 .
Ответ: 3.
6. Одна из сторон параллелограмма равна 21, а периметр равен 123. Найти
длину стороны параллелограмма, смежной с данной.
Ответ: 40,5.
7. Одна из диагоналей параллелограмма, равная 9 6 , составляет с основанием
2
угол 60 . Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же
основанием угол 45D .
D
Ответ: 13,5.
8. Хорда делит окружность на части в отношении 5:7. Найти вписанный угол,
опирающийся на меньшую из дуг, стягиваемых этой хордой.
Ответ: 75D
9. Окружность радиуса 6 3 описана около равнобедренного треугольника с
углом 120 D . Найти его основание.
Ответ: 18.
10. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную
окружности.
Ответ: 15D.
81
1
длины
12
Вариант 2
1. Периметр треугольника равен 156. Найти периметр треугольника,
вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.
Ответ: 78.
2. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если даны две другие
его стороны: 5 и 4.
Ответ: 3; 41 .
3. Высота равностороннего треугольника равна 7 ⋅ ( 4 3 ) . Найти площадь
треугольника.
Ответ: 49.
4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 25, а высота
равна 20. Найти периметр треугольника.
Ответ: 80.
5. Катет прямоугольного треугольника равен 4, а медиана треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна 2,5. Найти периметр треугольника.
Ответ: 12.
6. Диагональ ромба, лежащая против угла 60 D , равна 11,2. Найти периметр
ромба.
Ответ: 44,8.
7. В параллелограмме одна из сторон равна 2 3 , а диагональ равна 8. Найти
синус угла между диагоналями, если другая диагональ составляет с заданной
стороной угол 60 D .
Ответ: 75.
8. Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соответственно равны
40 и 20. Секущая удалена от центра на 8. Определить радиус круга.
Ответ: 17.
9. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40 D . Определить
острый угол между радиусом описанной окружности, проведенным в
вершину прямого угла, и гипотенузой.
Ответ: 80 D
10. Найти длину дуги сектора, если его площадь равна 15, а радиус круга
равен 6.
Ответ: 5.
77
Задание 14. Стереометрия
Вариант 1
1. Боковая поверхность куба равна 3. Чему равна длина диагонали куба?
Ответ: 1,5.
2. Основанием призмы служит ромб со стороной 2 и острым углом 30 D . Найти
объем призмы, если ее высота равна 3.
Ответ: 6.
3. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник,
основание которого равно 8, а боковая сторона равна 5. Найти площадь
боковой поверхности призмы, если ее высота равна высоте треугольника,
проведенной к его основанию.
Ответ: 54.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона
основания равна 8. Определить боковое ребро.
Ответ: 9.
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранный
угол при основании равен 45 D . Определить объем пирамиды.
Ответ: 9.
6. Найти диаметр шара, если его объем равен
2048р
.
3
Ответ: 16.
7. В куб вписан шар. Найти объем шара, если объем куба равен
156
.
р
Ответ: 26.
8. Найти высоту конуса, если его объем равен 48р , а диаметр основания равен
3
.
2
Ответ: 768.
9. Площадь полной поверхности цилиндра равна 172 р . Найти площадь осевого
сечения цилиндра, если диаметр его основания равен 8.
Ответ: 140.
10. Объем цилиндра равен 572. Найти объем другого цилиндра, у которого
диаметр основания в 3 раза больше, а высота в 3 раза меньше, чем у данного
цилиндра.
Ответ: 1716.
78
Вариант 2
1. Полная поверхность куба равна 3. Чему равна длина диагонали грани куба?
Ответ: 1.
2. Основанием призмы служит равносторонний треугольник, площадь
которого равна 9 3 . Найти объем призмы, если ее высота в 3 раз больше
стороны основания.
Ответ: 162.
3. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7, а стороны основания
равны 4 и 5. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Ответ: 126.
4. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3 2 .
Ответ: 9
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а ее боковая
поверхность 0,5 3 . Найти высоту пирамиды.
Ответ: 0,5.
6. Объем конуса равен 162 р . Найти диаметр основания конуса, если его высота
равна 6.
Ответ: 18.
7. В куб вписан шар. Найти площадь поверхности шара, если площадь полной
поверхности куба равна
1170
.
р
Ответ: 195.
8. Высота конуса равна диаметру основания. Найти радиус основания конуса,
если объем конуса равен
128р
.
3
Ответ: 4.
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15р . Найти площадь
основания цилиндра, если его высота равна длине окружности основания.
Ответ: 3,75.
10. Объем шара равен 12. Найти объем другого шара, у которого площадь
поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.
Ответ: 324.
79
18. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных
учреждений / Ш.А. Алимов [и др.] 7-е изд. М.: Просвещение, 1999.
2. Геометрия: учебник для 10 – 11 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян [и др.] 2-е изд.
М.: Просвещение, 1993.
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала
анализа / В.С. Крамор. М.: Просвещение, 1990.
4. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы /
М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1988.
5. Цыпкин А.Г. Справочник по методам решения задач по математике для
средней школы / А.Г. Цыпкин, А.И. Лидский. М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.
6. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту / В.В. Ткачук. МЦНМО, 1998.
7. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике / Д.Т. Письменный.
Айрис Рольф. М.: 1997.
8. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для поступающих в вузы / Р.Б.
Райхмист. Московский лицей. М.: 1996.
80
Учебное пособие
Соболев Александр Борисович
Вигура Марина Александровна
Рыбалко Александр Федорович
Рыбалко Наталья Михайловна
I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор Н.П.Кубыщенко
Подписано в печать 15.04.2005
Формат 60x84 1/16
Бумага писчая
Плоская печать
Усл.печ.л. 4,70
Уч.-изд.л. 4,4
Тираж
Заказ
Цена “C”
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ООО «Издательство УМЦ УПИ»
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17
81
