Введение в линейную алгебру: матрицы, векторы, СЛАУ

Введение в
линейную алгебру
Матрицы.
Определение. Таблица m× n чисел aij вида
 a11 a12

 a21 a22



a
 m1 am2
 a1n 

 a2 n 
  

 amn 
состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей.
Элементы матрицы aij нумеруются аналогично элементам
определителя т.е. i – номер строки, j – номер столбца.
Обозначение: А, В, С. m×n – размерность матрицы
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Определение. Система уравнений вида
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...

am x1  am2 x2  ...  amn xn  bm
(1)
называется системой линейных уравнений, содержащей m
уравнений и n неизвестных.
Числа aij – коэффициенты системы, bi – свободные члены
системы, xi – неизвестные.
Определение. Коэффициенты, стоящие перед неизвестными,
записанные в виде матрицы называются матрицей системы.
 a11 a12

a22
a
A   21



a
 m1 am2
 a1n 

 a2 n 
  

 amn 
 x1 
 
 x2 
X  

 
x 
 n
вектор – столбец неизвестных
Матричная форма записи:
 b1 
 
 b2 
B 

 
b 
 m
вектор – столбец свободных членов
А×X = B.
Если в матрицу системы добавить столбец свободных членов, то
получим расширенную матрицу системы.
 a11 a12

 a21 a22
A 
 

a
 m1 am2
 a1n
 a2n
 
 amn
b1 

b2 


bm 
Определение. Совокупность из n чисел называется решением
системы (1) если каждое уравнение системы обращается в
числовое равенство после подстановки в него этих чисел
вместо соответствующих неизвестных.
Система уравнения называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни
одного решения.
Матрица системы:
Пример.
3x1  2x2  x3  8

4x1  7 x2  6x3  3
 x  5x  x  0
2
3
 1
3 2

A  4 7
1 5

Расширенная матрица системы:
1

6 
 1 
8
 
B 3 
 0 
 
3 2

A  4 7
1 5

Столбец
свободных
членов
1  8 

6
3 
 1 0 
Определители
Определение 1. Пусть задана квадратная таблица из 4-х чисел:
a1, a2, b1,b2.
 a1 a2 


 b1 b2 
Это матрица 2-го порядка.
a1b2 – a2b1 определитель 2 –го порядка.
a1 a2
Обозначение: b b
1
2
a1, a2, b1,b2 - элементы определителя.
Строки 1-я и 2-я,
Побочная
Главная
Столбцы 1-й и 2-й.
диагональ
диагональ
Общее обозначение элементов
определителя с двумя индексами
a11 a12
a21 a22
i – номер строки
j – номер столбца
aij – элементы определителя.
а12 – элемент в первой строке и втором столбце.
Определитель 2-го порядка:
a11 a12
 a11a22  a21a12
a21 a22
Примеры:
5
2
1
3
7
4
2
0
 5   3   1  2  17
 7  0  2   4   8
Замечание: Элементами определителя могут быть не только
числа, но и любые алегебраические выражения.
cos x sin x
 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x
sin x cos x
Определитель третьего порядка
Соответствует таблица из 9-ти чисел:
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Это число:
a11
a12
a21 a22
a31 a32
a13
a22
a23  a11 
a32
a33
a23
a33
a21 a23
a21 a22
 a12 
 a13 
a31 a33
a31 a32
Разложение по первой строке определителя.
Правило Саррюса
a11
-
a12
a13
a21 a22
a31 a32
a23
a33
a11 a12
a13
a21 a22
a23
+
 a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23 
 a31a22 a13  a11a32 a23  a21a12 a33
Примеры
3
2
4 3
7 5
1
3 0
4 0
4 3
2
1 
 3  6  2   8   1  41  7
0  3
5 2
7 2
7 5
2
По правилу Саррюса:
3 2 1
4  3 0  3   3    2   4  5   1  7  2  0 
7 5 2
3 2 1
  1   3   7  0  5  3   2   2  4 
4 3 0
 18  20  21  16  7
Методы решения систем
линейных уравнений.
Метод Крамера.
Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными,
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
(2)
 21 1
22 2
2n n
2

...

 an x1  an2 x2  ...  ann xn  bn
и пусть detA ≠ 0.
Метод Крамера.
Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n
неизвестными (2) в случае, когда определитель системы не
равен 0 (detA ≠ 0), имеет единственное решение, вычисляемое
по формулам:
i
xi 

формула Крамера
где Δ – определитель системы, а Δi – определитель матрицы,
получаемой из матрицы системы, заменой i – того столбца
столбцом свободных членов.
Примеры: 1. Решим систему методом Крамера
7 x1  6 x2  5

8 x1  7 x2  10

7
6
8
7

 95
x1  1 
 95

1
2.
x2 
 1 1 
5
10  7
 95
2 
7
5
8  10
 110
 2  110

 110

1
1 2 3
x1  2 x2  3 x3  1

2x1  3 x2  1x3  0
3x  x  2 x  0
2
3
 1
  2 3 1  18
3 1 2
1 2 3
1 1 3
1  0 3 1  5
0 1 2
2  2 0 1  1
3 0 2
1
5
5



 18
18
x2 
x1 
6
2
1
1



 18 18
1 2 1
 3  2 3 0  7
3 1 0
x3 
3
7
7



 18 18
Метод Гаусса.
Наиболее универсальный и эффективный из методов решений
систем линейных уравнений: метод Гаусса или метод
последовательного исключения неизвестных.
Пусть дана система уравнений:
Расширенная матрица системы:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2 (1)

...

am x1  am2 x2  ...  amn xn  bm
 a11 a12  a1n b1 


 a21 a22  a2 n b2 
A 

   


a

a

a
b
 m1
m2
mn
m
Выполняя элементарные преобразования строк расширенной
матрицы системы можно привести ее к ступенчатому виду:
~
~ x  ...  a
~ x  a
~ x b
~

~
~
~
x

a
 1 a12  a1k  a1n b1 
1
12 2
1k k
1n n
1



~
~
~ x  a
~ x b
~
~

x

...

a
0 1  a


a
b
2
2k k
2n n
2
2k
2n
1

A 












~

~
~ x b
~
0 0  1  a
x



a
b

k
mn n
m
mn
1

Исключение неизвестных - прямой ход метода Гаусса.
Определение неизвестных из ступенчатой системы – обратный
ход метода Гаусса.
Элементарные преобразования
матрицы.
1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2. Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля.
3. Перестановка строк (столбцов).
4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца)
соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на одно и то же число.
Пример. 1.
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  5

x2  2 x3  3 x4  1


 3 x3  4 x4  2
 x1
 x1  x2  5 x3  6 x4  1
1 2

0 1
0  2

0 1

3 4
5 

2 3 1   2 1
0 0  3  ~


2 2  4 
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  5

x2  2 x 3  3 x4  1


4x3  6 x4  1


 x4  2
1

0
1

1

1

0
0

0

2 3 4 5    1   1

1 2 3 1
~


0 3 4 2

1 5 6 1  
2 3 4
1 2 3
0 4 6
0 4 5
5 

1 
 1~

 3 
1

0
0

0

x1  5  4 x4  3 x3  2 x2 
3
x2  1  3 x4  2 x3 
2
 1  6 x4
13
x3 

4
4
x4  2
15
4
2 3
1 2
4
3
5 

1 
0 4 6 1 

0 0  1  2 
Векторы. Основные определения.
Определение 1. Направленный отрезок (или, что то же,
упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором.

Обозначение: AB , a , a.

Нулевой вектор (у которого начало и конец совпадают): 0 .
a
Вектор характеризуется длиной и направлением.
А
Под модулем (длиной) вектора понимаем его численное значение
безучета направления.

a a
0 0

Вектор, длина которого равна 1 – единичный вектор. e  1 .

Если ненулевой вектор a разделить на его длину
 получим
 a
e
 
единичный вектор (орт) направления.
a
Определение 2. Два вектора называются равными, то есть не
различаются как векторы, если соответствующие отрезки
параллельны, имеют одинаковую длину и направление.
В
Линейные операции над
векторами


Определение 3. Суммой
векторов a и b называется такой

третий вектор c , что присовмещенных началах этих трех

векторов, векторы
a и b служат сторонами параллелограмма,

а вектор c его диагональю.
  
c  ab
a
b
Это сложение по правилу параллелограмма.
Более удобно правило треугольника.
b
a
  
c  ab

Для каждого вектора a существует вектор ему
противоположный – имеющий ту же длину, но противоположный
по направлению.

a
Обозначение:  a
-a


a   a   0
 

Определение 4. Разностью векторов
сумма a
  a и b называется

и вектора противоположного b : a   b  a  b
 
a
.
d  ab
b

a
Определение 5. Произведением
на вещественное
 вектора
число
α называется вектор b , определяемый условием


1. b    a
;

2. вектор b коллинеарен
вектору a ;


3. векторы a и b направлены одинаково, если α > 0, и
противоположно, если α < 0.

Обозначение: a

 1,5 a
 
0 ,5 a a

2a
Замечание. Иногда числа называют скалярами. Эта операция
умножения вектора на скаляр.
Декартова прямоугольная система координат
Декартова система координат в
пространстве задается началом
координат точкой О и базисом,
состоящим из трех взаимно
перпендикулярных
 единичных
 
векторов (ортов) i , j , k координатных
осей OX, OY и OZ соответственно.
Z
z
Обозначим: М -конец вектора.
k
Вектор OM радиус – вектор
имеет такие же координаты, что и
точка М:

Вектор a  OM может быть
М

a
iО j
x
Х
Y
М (x; y; z)
единственным
  образом разложен по
базису i , j , k .

a  OM  x  i  y  j  z  k

a  OM  x , y , z 
y
Модуль
вектора:
абсцисса
ордината
аппликата

a  x 2  y 2  z2
Линейные операции над векторами
заданными в координатной форме.
 
Пусть
 векторы a и b заданы своими координатами:
a  x1 , y1 , z1  b  x2 , y 2 , z2 


Тогда
a  b  x1  x 2 , y 1  y 2 , z1  z 2 

.
a  x1 ,y1 ,z1 
Примеры:


a  1, 2 , 3  b  4 , 0 , 5 
 
a  b  1  4 , 2  0 , 3  5    3 , 2 , 2 
 
a  b  1  4 , 2  0 , 3  5   5 , 2 , 8 

2 a  2 1, 2   2 , 2  3   2 , 4 , 6 

 3 b   3   4 ,  3   0 ,  3   5    12 , 0 , 15 
Расстояние между двумя
точками

Найдем координаты вектора a  AB , если известны координаты
точек Ax1 , y1 , z1  и Bx2 , y 2 , z2  .
z
AB  OB  OA  x2  x1 , y 2  y1 , z2  z1 
A
B
Координаты вектора равны
разности координат его конца
o
y
и начала.
x
Расстояние между точками А и В:
AB 
x2  x1 2  y 2  y1 2  z2  z1 2
Пример:
A1, 0 , 3 
B4 , 2 , 1
AB  4  1,2  0 ,1   3   3 , 2 , 2 
AB  3 2  2 2  2 2  17  4 ,12
Скалярное произведение векторов.
Определение.
 Углом между векторами

a
a и b называют наименьший
угол φ ( 0     ) на который

нужно повернуть один из векторов,
чтобы их направления
b
совпали.

Определение:
Назовем скалярным произведение двух векторов a

и b число, равное произведению длин этих векторов и
косинуса угла φ между
 
  ними.

a, b
Обозначение: a  b ab
Выражение скалярного произведения через координаты
векторов:
 
 
a , b  x1 x2  y1y 2  z1z2
 
x1 x2  y1y 2  z1z2  0
Условие перпендикулярности
векторов


Примеры: 1. Даны векторы: a  4 ,2 ,4 
b  6 ,3 , 2 
 



2a  3b  a  3b
Вычислить: ab


a , b  x1 x2  y1 y 2  z1z2  4  6   2    3    4   2  24  6  8  22



 
 


2
2

2

2

2a  3b  a  3b   2a  6ab  3ba  9b  2a  3ab  9b 
2
2  2  2
2
2
a  a   4   2    4    36


2
2  2  2
b  b   6   3 2  2 2   49


 2  36  3  22  9  49  303
2. Даны вершины четырехугольника А(1, -2, 2), В(1, 4, 0), С(-4, 1, 1),
D(-5, -5, 3). Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.
Нужно доказать, что векторы AC и BD перпендикулярны.
AC   5 , 3 , 1
BD   6 , 9 , 3 
AC  BD   5    6   3   9    1  3  0
Угол между векторами


Определим угол φ между векторами a  x1 , y1 , z1  и b  x2 , y 2 , z2 .
Из определения скалярного произведения:
 
a b
cos    
ab
cos  
x1 x2  y1 y 2  z1z2
x12  y12  z12  x22  y 22  z22
Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(-1, -2, 4), В(-4, -2, 0),
С(3, -2, 1). Вычислить внешний угол при вершине В.
Внешний угол будет определяться как угол между векторами
BA и  BC .
BA   3 , 0 , 4 
В
φ
А
cos  
С
BC  7 , 0 ,1
 3   7   4  1

2
2
 3    4   7 2  12
φ = 3π/4
 25
1
2


2
25  50
2
Векторное произведение векторов
левой
Тройка некомпланарных векторов a ; b ; c называется правой
если наименьший поворот с конца третьего вектора c от первого
по
вектора a ко второму вектору b виден против
часовой стрелки
c  a b
c
c
b
a

a
b

  
c  a, b
 
Векторным произведением вектора a на вектор b называется
вектор c , определяемый следующим образом:
c  a  b  sin(a ; b ) .
c  a; c  b
Вектор c направлен так, что тройка векторов
a ; b ; c - правая.






 
a , b  x1i  y1 j  z1k 
 x2 i  y2 j  z2 k 
  

 x1x 2 i  i  x1y 2 i  j  x1z2 i  k 
 
 
 
 y 1x 2 j  i  y 1y 2 j  j  y 1z2 j  k 
 
 
 
z1x 2 k  i  z1y 2 k  j  z1z2 k  k 
 
  
i  j  j i  k
    
k i  i k  j


i


a  b  x1

j
y1

k
z1
x2
y2
z2
    
j k  k  j  i






 x1y 2k  x1z2 j  y 1x 2 k  y 1z2 i  z1x 2 j  z1y 2 i 






 y 1z2i  z1y 2 i  z1x 2 j  x1z2 j  x1y 2k  y 1x 2 k 



 y 1z2  z1y 2 i  x1z2  z1x 2  j  x1y 2  y1x 2 k  
i
j
k
y1 z1  x1 z1  x1 y1 

i 
j
 k  x1 y1 z1
y 2 z2
x2 z2
x2 y 2
x 2 y 2 z2
Выражение векторного произведения в
координатной форме:
Найти векторное произведение векторов:
a  2i  3 j  k
i
j

i
 
a  b  x1

j
y1

k
z1
x2
y2
z2
b  3i  j  4k
k
a  b  2  3 1
3 1  4

3
1
1  4
i 
2
1
3
4
j
2
3
3
1
k
 12  1  i   8  3   j   2  9   k   11i  5 j  7k
Пример 2.
Найти площадь треугольника с вершинами:
A 2; 3; 1
B 5; 6; 3 
В
C 7; 1; 10 
Найдем координаты векторов:
AB  5  2; 6  3; 3  1  3; 3; 2
AC  7  2; 1  3; 10  1  5;  2; 9
S
А
1
a b
2
i
j
k
a  b  3 3 2  31i  17 j  21k
5 2 9
1
1
2
2
2
1691  20.6
S
31  ( 17)  ( 21) 
2
2
С
Смешанное произведение
векторов.
Определение. Смешанным (иливекторно-скалярным)
  


произведением векторов a , b и c называется число a  b  c ,
где первые два вектора перемножаются векторно, а их результат
скалярно на третий вектор.
 

,
a b c .
Геометрический смысл выражения
Смешанное произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах,
взятому со знаком «плюс», если эти векторы
образуют правую тройку, и со знаком «минус»,
если они образуют левую тройку.


В координатной форме:
x1



a  b  c  x2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3



c
b
a

Вычисление объемов параллелепипеда и треугольной
пирамиды.
Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения
 

объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c
вычисляется как

V  a bc ,
а объем треугольной пирамиды, построенной на тех же векторах:

1
V   a bc
6
Примеры:


1. Даны a  2 ,1, 0 
b  3 , 2 , 4 
x1 y1 z1
2 1 0

 
ab c  x2 y 2 z2  3  2 4 
x3 y 3 z3 1  3 5

c  1, 2 , 5 
2 4
3 4
3 2
2
  1 
0
 2  2   1 11  15
3 5
1 5
1 3

ab c  ?
2. Проверить, лежат ли 4 точки А(1, 2, -1), В(0, 1,5), С(-1, 2, 1) и
D(2, 1, 3) в одной плоскости.
Составим 3 вектора из данных точек и найдем их координаты:
AB   1, 1, 6 
A
B
C
AC   2 , 0 , 2 
D
AD  1, 1, 4 
Данные векторы должны лежать в одной плоскости и
следовательно быть компланарными.
1 1 6
AB  AC  AD   2
1
0
2   1 
1 4
0 2
2 2
2 0
  1 
6

1 4
1 4
1 1
  1  2   1   10   6  2  2  10  12  0
Условие компланарности векторов выполняется,
т.е. точки лежат в одной плоскости.
Пример 3.
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:
A 2; 2; 2  B 4; 3; 3  C 4; 5; 4  D 5; 5; 6 
А
Найдем координаты векторов:
AB  4  2; 3  2; 3  2  2; 1; 1
D
AC  4  2; 5  2; 4  2  2; 3; 2
AD  5  2; 5  2; 6  2  3; 3; 4
2 1 1
0
0 1
В
С
2
1
7
AB AC AD  2 3 2   2 1 2 
 5 1
3 3 4
 5 1 4
1
V  abc
6
Объем треугольной
7 пирамиды
равен 1/6 части
V параллелепипеда,

6
построенного на векторах
a;b ;c