Затухающие и вынужденные колебания: конспект

. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ. ДЕКРЕМЕНТ И ДОБРОТНОСТЬ.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Затухающие механические колебания
Дифференциальное
затуханием
уравнение
движения
пружинного
маятника
с
mx = −kx − rx
или
x + 2x + 02 x = 0 ,
(2.1)
где r – коэффициент сопротивления среды;  = r / 2m – коэффициент затухания
колебаний; 0 = k / m – собственная частота незатухающих колебаний.
Уравнение (2.1) называется дифференциальным уравнением затухающего
гармонического осциллятора.
1) при 0   (т. е. при r 2  4km ) решение, описывает колебательное
движение маятника с экспоненциальным затуханием амплитуды
x = A(t )cos(t + ) .
(2.2)
Частота затухающих колебаний
 = 02 − 2 .
(2.3)
Период затухающих колебаний
T = 2 / 02 − 2 .
(2.4)
Амплитуда затухающих колебаний
A(t ) = Ae−t .
(2.5)
Постоянные A и  имеют смысл констант интегрирования и задаются
начальными условиями.
Временем релаксации колебаний  называют промежуток времени, в
течение которого амплитуда A(t ) уменьшается в e(= 2.718) раз, для него
справедливы соотношения
A(t )
= e ,
A(t + )
=
1
.

(2.6)
Число колебаний N  за время релаксации  равно
N =

T
=
1
1
= ,
T 
(2.7)
где  – логарифмический декремент затухания, определяемый выражением

A(t ) 
 = T .
 A(t + T ) 
 = ln 
(2.8)
Полная энергия затухающего колебательного движения зависит от
времени
E (t ) =
 2

mx 2 kx 2

+
= E0e −2t 1 +
cos(2(t + )) +
sin(2(t + ))  .
2
2


2
2
0
 0

2 2
где E0 = m0 A
2
(2.9)
- полная энергия незатухающего колебательного движения при
 = 0 . При слабом затухании, таком что 
E (t )  E0e −2t .
0 имеем
(2.10)
Добротность колеблющейся системы характеризует темп релаксации
(затухания) колебаний в системе и определяется как произведение 2 на
отношение энергии E (t ) , запасенной системой в момент времени t к убыли
этой энергии за период колебания, т. е.
 = 2
E (t )
.
E (t ) − E (t + T )
(2.11)
При слабом затухании  0 добротность системы описывается простым
выражением

 0

.
 2
(2.12)
2) при   0 (т. е. при r 2  4km ) в неколебательном экспоненциальном режиме
затухания
x = Ae −1t + Be − 2t , 1,2 =    2 − 02 ;
(2.13)
3) при  = 0 (т. е. при r 2 = 4km ) в особом промежуточном неколебательном
режиме затухания
x = ( A + Bt )e−t ,
(2.14)
где A и B – постоянные интегрирования, определяемые начальными
условиями.
Затухающие электромагнитные колебания в колебательном контуре
Дифференциальное уравнение колебательного контура с сопротивлением
дается
выражение 2-го закона Кирхгофа
R
L
dI
Q
R
1
+ IR + = 0 , или Q + Q +
Q = 0.
dt
C
L
LC
(2.15)
Вводя параметры  = R / 2 L и 02 = 1/ LC , записываем (2.15) в виде
Q + 2Q + 02Q = 0 .
(2.16)
Это дифференциальное уравнение тождественно уравнению (2.1). Его
решения имеют аналогичный (2.2) - (2.14) вид:
1) при 0   (т. е. при R 2  4L / C ) в колебательном режиме с
экспоненциальным затуханием амплитуды
Q = Ae−t cos(t + ) = A(t )cos(t + ) ,
 = 02 −  2 =
 = 2 =
2
;
T
(2.18)
Q
= U 0e −t cos(t + ) ;
C
(2.19)
 −

dQ

= Ae −t 0 
cos(t + ) −
sin(t + )  ;
dt
0
 0

(2.20)
UC =
I=
1
R2
,
−
LC 4 L2
A(t ) = Ae−t ; (2.17)
Логарифмический декремент затухания для колебательного контура
 = ln
A(t )
R
.
= T =
A(t + T )
L
(2.21)
Добротность колебательного контура  также определяется формулой
(2.11), в которой электромагнитная энергия колебательного контура равна
E (t ) =
Q2 (t ) LJ 2 (t )
,
+
2C
2
(2.22)
И зависит от времени аналогично (2.9) и (2.10), в которых  = R / 2 L , 02 = 1/ LC
2
, E0 = A .
2C
При слабом затухании 
0 имеем E (t ) 
=
A2 −2t
и добротность
e
2C
 0 L0
L 1
=
=
=
.
 2
R
C R
(2.23)
2) при   0 (т. е. при R 2  4L / C ) в неколебательном экспоненциальном
режиме затухания
Q = Ae −1t + Be − 2t , 1,2 =    2 − 02 ;
3) при  = 0 (т. е. при R 2 = 4L / C )
неколебательном режиме затухания
Q = ( A + Bt )e −t ,
в
особом
(2.25)
(2.24)
промежуточном
где A и B – постоянные интегрирования, определяемые начальными
условиями.
Вынужденные механические колебания
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного
маятника (осциллятора)
x + 2x + 02 x = f cos t ,
(2.26)
где f = F / m , а F – амплитуда внешней периодической силы, действующей на
маятник с частотой  .
Решение, описывающее стационарное вынужденное колебательное
движение
x = A() cos(t +  ()) .
(2.27)
Амплитуда вынужденных колебаний (рис. 2.1, а)
A() =
f
(2 − 02 )2 + (2)2
.
(2.28)
Фаза вынужденных колебаний (рис. 2.1, б) определяется из выражения
tg =
2
 − 02
2
.
(2.29)
Резонансная частота вынужденных колебаний
r = 02 − 22 .
(2.30)
Резонансная амплитуда вынужденных колебаний
Ar = A(r ) =
f
2
02 − 2

f
.
20
a
б
(2.31)
Рис. 2.1. Амплитудно-частотная характеристика (а), фазочастотная
характеристика (б). Здесь  = 2 – ширина резонансной кривой на
A(  r ) / 2
высоте
Вынужденные электромагнитные колебания. Цепи переменного тока
Если в цепи переменного тока действует ЭДС, которая изменяется со
временем по гармоническому закону с частотой  , то такая ЭДС играет роль
гармонической внешней вынуждающей силы для токов, текущих в ветвях
контуров цепи. По аналогии с результатом решения механической задачи о
вынужденных колебаниях гармонических осцилляторов можно утверждать,
что при этом токи, заряды и напряжения на элементах цепи тоже
изменяются по гармоническому закону с той же частотой  . Это
справедливо для моментов времени t  после включения ЭДС, где  –
максимальное из времен релаксации в цепи, когда переходные процессы в
цепи закончились и релаксационные токи затухли, а остались только
установившиеся стационарные гармонические колебания тока –
гармонические переменные токи.
Временные зависимости (зарядов Qn , токов I n и напряжений U n на
элементах цепи) описываются гармоническими функциями
X n = An ()cos(t + n ()) ,
(2.32)
где X n = Qn , I n ,U n ,... При этом амплитуды An () и фазы  n () зависят от частоты.
Чтобы рассчитать эти зависимости, удобно использовать метод комплексных
амплитуд, основанный на формуле Эйлера
exp(i) = cos  + i sin  ,
(2.33)
где i 2 = −1 , когда действительные величины (2.32) находят из
X n = Re{ X n } ,
(2.34)
а комплексные величины X n = Aneit , где An = An ()ein () – комплексные
амплитуды, рассчитывают по методу векторных диаграмм. Амплитуды An ()
пропорциональны амплитуде внешней гармонической ЭДС.
Закон Ома для комплексных элементов цепи
U = ZI ,
(2.35)
где U , I , Z – комплексные напряжение, ток, сопротивление на участке цепи
соответственно.
Активное сопротивление резистора
Z =R,
(2.36)
U R = RI ,
(2.37)
напряжение на сопротивлении R синфазно с током.
Реактивное емкостное сопротивление
Z = X C = 1/ iC = −iRC ,
RC = 1/ C ;
UC = (1/ iC) I = RC e−i/2 I ,
(2.38)
(2.39)
напряжение на конденсаторе C отстает по фазе на  / 2 от тока.
Реактивное индуктивное сопротивление
Z = X L = iL = iRL ,
RL = L ;
(2.40)
U L = (iL) I = (L)ei/2 I ,
(2.41)
напряжение на индуктивности L опережает по фазе на  / 2 ток.
Для электрической цепи с одним источником гармонической ЭДС,
характеризуемой комплексной ЭДС  =  meit ,  m =  mei ,  m =  (ЭДС внешнего
источника переменного тока) можно использовать аналог закона Ома для
замкнутой цепи в виде
 = ZI ,
(2.42)
где Z = Z ei = X + iY – полное комплексное сопротивление (импеданс) цепи,
X = Re Z – активное сопротивление, Y = Im Z – реактивное сопротивление цепи.
Разность фаз  между колебаниями ЭДС  и тока I равна
tg  = Im Z / Re Z = Y / X .
(2.43)
Если в цепи переменного тока действует несколько гармонических
источников ЭДС (источников переменного тока) одной частоты, то для одного
из них фаза  обычно принимается равной нулю.
Вынужденные электромагнитные колебания в колебательном контуре
Если имеется всего один контур, в который последовательно включены
сопротивление R , индуктивность L , емкость C и источник тока с ЭДС
ε(t ) = ε m cos t (рис.2.2), то дифференциальное уравнение принимает вид
L
d 2Q
dt 2
+R
dQ Q
+ = ε m cos t ,
dt C
I=
dQ
,
dt
(2.44)
или

Q + 2Q + 02Q = m cos t ,
L
(2.45)
где 0 = 1 / LC – частота собственных колебаний в идеальном колебательном
контуре, а  = R / 2 L – коэффициент затухания свободных колебаний. Последнее
уравнение эквивалентно (2.26). Дифференцируя его по времени, получаем
дифференциальное уравнение для силы тока
Рис.2.2. Электрический контур

I + 2I + 02 I = − m sin t ,
L
(2.46)
комплексная форма которого
I + 2I + 02 I =
i
m
L
(2.47)
имеет вид уравнения (2.42), в котором Z = R + i( RL − RC ) . Отсюда следует, что
вынужденные колебания тока происходят по закону
(2.48)
I = I m ()cos(t − ) .
Амплитуда вынужденных колебаний тока I m () = m Z (рис. 2.3, а),
Z =
L

( 02 − 2 ) + (2)2 =
2
= R 2 + ( RL − RC ) 2 = R 2 + (L − 1 / (C )) 2 ,
I m () =
m
R 2 + ( RL − RC ) 2
=
m
R 2 + (L − 1/ (C )) 2
. (2.49)
Рис. 2.3. Частотная зависимость амплитуды тока (ширину резонанса
принято
определять
на
уровне
амплитуды
тока

I m () = I m (r ) / 2 = I m (r ) / 1, 4142 и при малом затухании  r она равна
 = 2 ) (а); частотная зависимость разности фаз между током и
напряжением (б)
Разность фаз между током и напряжением (рис. 2.3, б)
tg  =
2 − 02 RL − RC L − 1 / (C )
=
=
.
2
R
R
(2.50)
Резонансная частота вынужденных колебаний
r = 02 − 2 2 =
1
R2
.
−
LC 2 L2
(2.51)
Резонансная амплитуда вынужденных колебаний тока
I m (r ) =
 m


 m = m.
2L 2 −  2 2L R
(2.52)
0
Мощность переменного тока
Мгновенная мощность P на участке электрической цепи переменного тока
P = UI = Re(UI * ) / 2 = Re(U *I ) / 2 .
(2.53)
Средняя по периоду T мощность Pe на участке цепи переменного тока
1T
 Pdt = U e I e cos 
T → T
0
Pe = P = UI = lim
(2.54)
где U e = U m / 2 – действующее (эффективное) значение напряжения, I e = I m / 2
– действующее (эффективное) значение тока на элементе цепи, U m , I m –
амплитуды напряжения и тока соответственно,  – разность фаз между
колебаниями напряжения U и тока I .
Свободные затухающие колебания
Пример 2.1. Период затухающих колебаний Т = 4 с; логарифмический
декремент затухания  = 1.6 с; начальная фаза колебаний  = − / 2 . В момент
времени t1 = T / 4 смещение точки x1 = 4.5 см. Написать уравнение движения для
этого колебания.
Решение
Из (2.8) найдем  =  / T = 0.4 с −1 Используя (2.2) и (2.5), запишем
уравнение колебания в момент времени t1 : x1 = Ae−t1 cos(t1 + ), из которого
найдем амплитуду: A = x1et1 cos(t1 + ) . Подставляя численные значения
параметров, получаем A = 6.7 см. Искомое уравнение колебаний имеет вид
  
x = 6.7e−0.4t cos  t −  см.
2 2
 
Ответ: x = 6.7e−0.4t cos  t −  см.
2 2
Пример 2.2. При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что для
двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды
первого на 60 %. Период колебаний Т = 0.5 с. Определить коэффициент
затухания  и собственную частоту незатухающих колебаний 0 .
Решение
По условию задачи A(t + T ) / A(t ) = 0.60
0.6. Тогда, учитывая (2.8), получаем
 = − ln( A(t + T ) / A(t )) / T . Частоту незатухающих колебаний вычислим по (2.3):
0 = 2 + 2 , где  = 2 / T . Подставляя численные значения, получаем
 = − ln(0.60) / 0.50 = 1.022 c−1 и 0 = 12.61 c−1 . Частота затухающих колебаний
 = 2 / T  12.56 c−1 меньше частоты незатухающих колебаний 0 .
Ответ:   1.02 c−1 , 0  12.6 c−1 .
Пример 2.3. Гиря массой m = 0.5 кг подвешена к пружине жесткостью
k = 20 Н/м и совершает свободные затухающие колебания в некоторой среде.
Логарифмический декремент затухания колебаний  = 0.004 . Определить
число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы
амплитуда колебаний уменьшилась в два раза. За какое время произойдет это
уменьшение?
Решение
Пусть t1 – промежуток времени, за который амплитуда затухающих
колебаний уменьшилась в n1 раз, тогда n1 = exp(t1 ) и t1 = ln n1  . Полное число
колебаний есть N = [t1 / T ] , где T = 2 / 02 − 2 – период затухающих колебаний.
Из (2.8) имеем  =  / T , тогда T = T0 1 +  2 / 4 2 , где T0 = 2 / 0 = 2 m / k .
Подставляя численные значения параметров, получаем:
2
2
T = T0 1 +  / 4 = 0.99 с, t1 = ln n1 /   172 c и N = [ln n1 / ] = [173.3]  173 .
Ответ: N = 173 , t1  172 c.
Пример 2.4. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью
C = 2, 22 нФ и катушку длиной l = 0, 2 м из медной проволоки диаметром d = 0,5
мм. Найти логарифмический декремент затухания.
Решение
Пусть намотка катушки произведена плотно виток к витку в один слой.
Считаем, что затухание слабое, т. е.  0 и   0 . Логарифмический
декремент затухания рассчитаем по формуле (2.21):
 = R / L0 = R C / L ,
(2.51)
где R = l1 / S1 – омическое сопротивление катушки; l1 = N D – длина провода; D
– диаметр поперечного сечения катушки; N = l / d – число витков плотной
намотки; S1 = d 2 / 4 – площадь поперечного сечения медного провода;  = 0,017
мкОм ∙ м – удельное сопротивление меди, тогда R = 4lD / d 3 .
Индуктивность катушки равна L = 0n2Sl , где n = N / l = 1/ d , S =  D2 / 4 –
площадь сечения катушки, т. е. L = 0D2l / 4d 2 . Подставляя данные задачи в
формулу (2.51), выразим логарифмический декремент затухания:
 = R C / L = 8 C / 0l / d 2  0,018 .
Проверим расчетную формулу по размерности (см. Приложение части 2 [7]
и Приложение): [] = [R C / L ] = L2MT −3I −2 (L−2M −1T 4 I 2 L−2M −1T 2 I 2 )1/2 = 1, т.е.
логарифмический декремент затухания является безразмерной величиной.
Ответ:   0,018 .
Вынужденные колебания
Пример 2.5. Найти фазу  вынужденных колебаний при резонансе, если
собственная частота 0 = 50 с−1 и коэффициент затухания  = 5.2 с−1.
Решение
Используя (2.29) при  = r и (2.30), представим аргумент арктангенса из
−2r
(2.29) в виде
=
02 − r2
02 − 22
−
 −9.51 , тогда искомая разность фаз колебаний
 2 − 22 
0
 = −1.466 = −84.


−


равна  = arctg 
Ответ:  = −84.
Пример 2.6. Шарик массой m = 50 г подвешен к пружинке жесткостью k = 20
Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с
частотой  = 25 c−1 шарик совершает установившиеся колебания в некоторой
среде. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на
0.75  . Найти добротность для свободных затухающих колебаний шарика в
этой среде.
Решение
По условию задачи:  = −0.75 , 02 = k / m = 400 c−2 . Добротность вычислим по
(2.12): Q =  /  =  /  T , где T = 2 / 02 − 2 – период затухающих колебаний, а
коэффициент затухания колебаний найдем из фазочастотной характеристики
(2.29):  = −(02 − 2 ) tg  / 2 . Подставляя численные значения, получаем  = 4.5 c−1,
Т = 0.3 с и Q  2.2 .
Ответ: Q  2.2 .
Пример 2.7. Под действием момента сил M = M m cos t тело совершает
установившиеся вынужденные крутильные колебания по закону
 = m cos(t + ) . Найти работу сил трения, действующих на тело, за период
колебания.
Решение
Работа сил трения при установившихся колебаниях равна работе внешних
T
A =  M (t ) d (t ) . Дифференциальный элемент угла
0
поворота равен d  = (d  / dt )dt = −m sin(t + )dt .
sin(t + ) = sin t cos  + cos t sin  ,
Учитывая,
что
имеем
A=
сил за период колебаний
T
= −M m m  cos t (sin t cos  + cos t sin )dt .
0
T
= −M mm .
2
Ответ: A = −M mm .
A = −M mm
После
интегрирования
получаем
Пример 2.8. К сети с действующим напряжением U e = 100 В подключили
катушку, индуктивное сопротивление которой RL = 30 Ом и модуль импеданса
Z = 50 Ом. Найти разность фаз  между током и напряжением (рис. 2.4), а
также мощность, выделяемую в катушке.
Решение
Разность фаз между током I e и напряжением U e
(внешнее ЭДС) найдем из (2.43) в форме (2.50) с учетом
того, что
Z = R 2 + RL2 = R 2 + (L) 2 .
tg  = RL / R = L / R ,
(
 = arctg RL /
Рис. 2.4. К примеру 2.8
)
Z 2 − RL2 = arctg ( 30 / 40 ) = 36,9  37 .
Усредненная мощность тока, согласно (2.54), равна
Pe = U e I e cos  =
U e2
U2
cos  = e R = 160 Вт.
Z
Z2
На рис. 2.4 изображена векторная диаграмма системы. Ток I и напряжение
U R на активном сопротивлении синфазны и соответствующие векторы
направлены вдоль оси абсцисс, напряжение на катушке индуктивности
опережает ток на 90°, следовательно, вектор U L направлен вверх по оси
ординат. Угол между током и напряжением  определяется через тангенс
tg  = U L / U R = X L / R .
Ответ:   37 , Pe = 160 Вт.
Пример 2.9. Конденсатор емкостью C = 1 мкФ и
резистор с сопротивлением R = 3 кОм соединены
параллельно и подключены к сети переменного тока
частотой 50 Гц. Найти полное сопротивление | Z | цепи и
разность фаз  между током и напряжением на входе
Рис. 2.5. К примеру 2.9
(рис. 2.5).
Решение
Напряжение в сети U = U meit , U m = U 0ei удобно характе-ризовать нулевой
начальной фазой  = 0 . Согласно первому правилу Кирхгофа для
параллельно соединенных конденсатора и резистора I = I R + I C , где I – ток
на входе схемы; I R = 0 / R , IC = 0 / X C = −iC0 = C0e−i/2 . По определению
(2.42) U = ZI , т. е. 1/ Z = 1/ R + 1/ X C = 1/ R − iC и Z = (1/ R − iC)−1 . Тогда сдвиг фаз
между напряжением и током на входе, согласно (2.43), определяется как
tg  = Im Z / Re Z = −1 / CR ,
откуда  = − arctg(1 / CR) = −0,756 рад = = −43,3 , а
Z = 1 R −2 + (C ) 2 = 2,138 кОм.
Ответ:  = −0,756 рад = −43.3 ; | Z | = 2,138 кОм.
Пример 2.10. В цепь переменного тока с действующим напряжением
 = 50 Гц включены последовательно емкость
U e = 220 В и частотой
C = 35, 4 мкФ,
сопротивление R = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти
действующее значение тока I e в цепи и действующие значения напряжений
UC , U R и U L на емкости, сопротивлении и индуктивности.
Решение
Согласно формуле (2.33) действующие значения тока и напряжения на входе цепи связаны соотношениям U e = Z I e , где Z = R2 + (RL − RC )2
, RL = L , RC = 1/ С . Откуда I e = U e / Z = = 220 / 1002 + (220 − 90) 2  1,34 А.
Действующие значения напряжений U R = I e R = 134 В, UC = I e RC = 121 В,
U L = I e RL = 295 В.
Ответ: I e = 1,34 А, U R = 134 В, UC = 121 В, U L = 295 В.
Пример 2.11. Найти добротность колебательного контура с емкостью
C = 2 мкФ и индуктивностью L = 5 мГн, если на поддержание в нем
незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе
U Cm = 10 В необходимо подводить среднюю мощность P мВт. Затухание
колебаний в контуре достаточно мало.
Решение
Добротность колебательного контура при малом затухании можно
вычислить по формуле (2.23)
=
L0
,
R
где 0 = 1 / LC , а сопротивление контура R найдем из условия, что вся
подводимая извне в единицу времени энергия компенсирует ее тепловые
потери на этом активном сопротивлении, т. е. P = I 2 R .
T
По определению среднего значения P = I 2 R = 1  I 2 Rdt , где I = I m sin(0t + ) ,
T0
T
или P = RI m2 1  sin 2 (0t + )dt = 1 RI m2 . Сила тока I = dQ / dt = CdUC / dt , где Q – заряд
T0
2
на конденсаторе, а UC – напряжение на конденсаторе
1
 Idt = −U Cm cos(0t + ) , т. е. I m = 0CU Cm = U Cm C L . Таким образом,
C
1
1 2
2
P = RI m2 = U Cm
RC L , откуда R = 2 P L / CUCm
, и добротность контура есть
2
2
2
 L
C U Cm
= 0 =
= 2  10 4 .
R
L 2 P
Ответ:   2 104 .
UC =
Пример 2.12. В резонансном контуре во входной цепи телевизионного
приемника, показанном на рис. 2.6, емкость C = 0,567 пФ, индуктивность
L = 1, 26 мкГн, активное сопротивление R = 20 Ом. Амплитуда входного сигнала
с антенны равна in = 100 мкВ. Выходной сигнал образуется напряжением и
током на конденсаторе. Найти амплитуды выходных напряжений  m out = U Cm
девятого и десятого каналов при частотах 9 = 188 МГц и 10 = 194 МГц.
Показать, что резонансный контур настроен на частоту девятого канала.
Определить добротность контура.
а
б
Рис. 2.6. Входной контур приемника телевизионного сигнала (а);
одноконтурная эквивалентная схема (б)
Решение
С помощью формулы (2.49)
I m () =
m
R 2 + (L − 1/ (C )) 2
построим график частотной зависимости амплитуды колебаний тока во
входном колебательном контуре (рис. 2.7, а), а с помощью формулы (2.39)
UCm = (1/ C) I m () – график частотной зависимости колебаний амплитуды
напряжения на конденсаторе (рис. 2.6, б). Резонансная частота входного
контура согласно формуле (2.51) равна
r =
1
R2
−
= 1,18  109 с −1,
LC 2 L2
где  = 2 , т. е.  =  / 2 = 188 МГц = 9 . Из этой оценки и графиков,
изображенных на рис. 2.7, видно, что входная цепь телевизионного приемника
настроена на девятый канал.
Рис. 2.7. Резонансная характеристика входного тракта
телевизионного приемника:
а – тока; б – выходного напряжения
Добротность контура найдем из формулы (2.23)
Q
L0 1 L
=
 74,6 .
R
R C
Для пикового значения тока (2.52) имеем I m (r )  m / R = 5 мкА, а амплитудное
значение выходного напряжения на конденсаторе U Cm,9 = I m (r ) / 9C = 7, 46 мВ.
Таким образом, при данных параметрах элементов C , L и R входного
колебательного контура резонанс внешнего телевизионного сигнала с
входным контуром выделяет частоту девятого канала, а амплитудные
значения сигналов на частотах других каналов значительно меньше (рис. 2.7).
Ответ: U Cm,9 = 7, 46 мВ, Q = 74,6 .
Задачи для аудиторной работы
А2.1. Начальная амплитуда затухающих колебаний A0 = 3 см. Через t1 = 10 с
амплитуда стала A1 = 1 см. Через какое время амплитуда станет равной 0.3 см?
А2.2. Найти число полных колебаний системы, в течение которых энергия
системы уменьшилась в два раза. Логарифмический декремент затухания
 = 0.01 .
А2.3. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом
сопротивления r = 1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное
значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда Ar = 0.5 см и
частота собственных колебаний равна  0 = 10 Гц.
А2.4. Катушка с индуктивностью L = 0,318 Гн и активным сопротивлением
R = 100 Ом подключена к источнику синусоидального напряжения частотой
50 Гц, действующее значение которого U e = 120 В. Определить мощность,
выделяемую в катушке.
А2.5. В колебательный контур последовательно включен генератор
переменного напряжения с амплитудой m = 1,5 В. Амплитуда напряжения на
конденсаторе при резонансе равна UCm = 30 В. Определить добротность 
контура.
А2.6. Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур
с активным сопротивлением R = 0, 45 Ом, чтобы в нем поддерживались
незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока 30 мА?
Задание на дом
В2.1. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен
0.003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать
маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.
В2.2. Вагон массой 80 т имеет четыре рессоры. Жесткость пружин каждой
рессоры равна k = 500 кН/м. При какой скорости вагон начнет сильно
раскачиваться вследствие толчков на стыках рельсов, если длина рельса равна
12.5 м?
В2.3. Пружинный маятник (жесткость пружины k = 10 Н/м, масса груза
m = 0.1 кг) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом
сопротивления r = 0.02 кг/с. Определить коэффициент затухания и резонансную
амплитуду, если амплитудное значение вынуждающей силы F0 = 10 мН.
В2.4. Чему равно эффективное значение силы тока в последовательной RL
цепочке ( R = 65 Ом, L = 50 мГн), включенной в сеть 220 В, 50 Гц? Чему равен
сдвиг фаз между напряжением и током? Какая мощность рассеивается в
цепочке?
В2.5. Цепь переменного тока образована последовательно включенными
активным сопротивлением R = 800 Ом, индуктивностью L = 1, 27 Гн и
емкостью C = 1,59 мкФ. На зажимы цепи подано действующее напряжение
U = 127 В частотой 50 Гц. Найти: 1) действующее значение силы тока I в цепи;
2) сдвиг по фазе между током и напряжением; 3) мощность, выделяющуюся в
цепи.
В2.6. Последовательный контур ( R = 100 Ом, L = 1 Гн, C = 1 мкФ) подключен
к генератору переменного напряжения (частота 50 Гц). Найти сдвиг фаз между
током и напряжением на концах всей цепи (на клеммах генератора).