ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ЯРОСЛАВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГПОУ ЯО РЫБИНСКИЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Утверждаю
зам. директора по учебной работе
_______________ Кируца Е.И.
"____" ___________ 2016 г.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА
«Контрольная работа по математике
и методические рекомендации для студентов заочного отделения»
2016
1
Цветкова Е.Н., преподаватель дисциплины «Математика», «Контрольная
работа и методические рекомендации для студентов заочного отделения»,
п. Тихмениво,2016 г. стр.28
Аннотация
Методическая разработка предназначается студентам 1 курса
СПО, заочного отделения. Данное пособие ставит своей целью оказание
помощи студентам в организации их самостоятельной работы по овладению
системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.
Творческая методическая работа рассмотрена на заседании цикловой
комиссии общеобразовательных дисциплин и рекомендована к использованию
в учебном процессе.
Протокол № ____ от ___________
дата
Составитель работы Цветкова Е.Н., преподаватель дисциплины
«Математика».
Рецензент:
Валентюк Т. А., преподаватель , ГПОУ ЯО Рыбинский лесотехнический
колледж.
2
Содержание
1. Пояснительная записка
1.1.
Методические указания к выполнению контрольной работы
1.2.
Требования к выполнению контрольной работы
2. Перечень рекомендуемой литературы
3. Задания для контрольной работы
3
1. Пояснительная записка
Учебная дисциплина «Математика» в соответствии с федеральным государственным
образовательным стандартом предназначена для реализации государственных требований к
минимуму содержания и уровню подготовки выпускников основной профессиональной
образовательной программы по специальности среднего профессионального образования, по
направлению подготовки 35.02.01 «Лесное и лесопарковое хозяйство»
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся
должен уметь:
- выполнять действия над векторами;
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;
- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального
исчисления;
- решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;
знать:
- о роли и месте математики в современном мире, общности её понятий и представлений;
- основы аналитической геометрии;
- основные понятия и методы математического анализа, теории вероятности и математической
статистики;
- основные численные методы решения прикладных задач;
- простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности.
Внеаудиторная самостоятельная и контрольная работа проводятся с целью:
- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических
умений студентов;
- углубления и расширения теоретических знаний;
- формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную
документацию и специальную литературу;
- развития познавательных способностей и активности студентов: творческой
инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;
- формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию,
совершенствованию и самоорганизации;
- формирования общих и профессиональных компетенций - развитию исследовательских
умений.
Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без
его непосредственного участия.
1.1. Методические указания к выполнению контрольной работы
Данное пособие ставит своей целью оказание помощи студентам в организации их
самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме
действующей программы.
Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого затрата сил и
времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его практически вот в чем суть умения работать с учебными пособиями.
Программный материал по разделам и темам распределяется следующим образом
4
РАЗДЕЛ 1.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Тема 1.1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.
Матрицы и определители. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядка и
их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Системы линейных уравнений.
Формулы Крамера
Тема 1.2.
Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции с векторами. Скалярное произведение
векторов.
Числовая ось. Понятие вектора. Сложение, вычитание векторов, умножение векторов на число.
Проекция вектора на ось. Координаты вектора и их свойства.
Скалярное произведение векторов.
Тема 1.3. Системы координат на плоскости и в пространстве Векторный базис на плоскости и в
пространстве. Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Переход от одной
системы координат к другой. Формулы нахождения расстояния между двумя точками и деление
отрезка в данном отношении.
Тема 1.4. Уравнения прямых на плоскости Способы задания прямой на плоскости. Уравнения
прямых. Общее уравнение прямой. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Тема 1.5. Кривые Окружность и эллипс.
Гипербола и парабола.
Неканонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
РАЗДЕЛ 2.
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и двух
переменных.
Тема 2.1. Функция одной переменной. Понятие множества. Числовые множества.
Величина. Постоянные и переменные величины. Интервалы.
Понятие функции. Область ее определения, способы задания.
Понятие о производственных функциях в лесном хозяйстве. Понятие сложной функции.
Тема 2.2. Предел и непрерывность функции.Понятие последовательности.
Сходящиеся последовательности. Предел последовательности. Число е.
Натуральные логарифмы.Бесконечно большие последовательности. Основные теоремы о
пределах последовательностей. Предел функции. Бесконечно большие бесконечно малые
функции. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы.
Приращение функции и независимой переменной. Непрерывность функции в точке и на
интервале. Таблица известных пределов. Практика вычисления пределов. Свойства непрерывной
функции на замкнутом интервале. Точки разрыва.
Тема 2.3.
Производная и дифференциал функции. Производные высших порядков.
Правила дифференцирования. Производные от основных элементарных функций. Производная
сложной функции. Дифференциал функции. Производные высших порядков. Теоремы о
возрастании и убывании функции. Экстремум функции. Выпуклость графика функции. Точки
перегиба. Наибольшее и наименьшее значения функций.
Тема 2.4. Функции нескольких переменных. Геометрическое истолкование функции двух
переменных. Понятие непрерывности функции. Частные производные первого и второго
порядков.
5
РАЗДЕЛ 3.
Интегральное исчисление функций одной переменной.
Тема 3.1.Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Тема 3.2.Таблица основных формул интегрирования. Простейшие Таблица неопределенных
интегралов. Примеры непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены
переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям.
Тема 3.3. Определенный интеграл. Основные свойства определенных интегралов и их следствия.
Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции.
Тема 3.4.Приложения определенного Вычисление площадей плоских фигур с помощью
определенного интеграла. Нахождение среднего значения функции на отрезке.
РАЗДЕЛ 4.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Тема 4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися
переменными. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений
первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Правило нахождения общего решения.
Тема 4.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные
дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение линейного уравнения первого
порядка. Уравнение Бернулли.
Тема 4.3. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянны
Нахождение общего и частного решений линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
Отличительные признаки решения дифференциального уравнения второго порядка.
РАЗДЕЛ 5.
Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 5.1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей. Случайные величины Общие
правила комбинаторики. События и их классификация. Относительная частота событий и ее
свойства. Вероятность события и ее свойства. Теоремы сложения и умножения.
Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона. Непрерывная случайная величина. Интегральная
функция (закон) распределения.
Тема 5.2. Элементы математической статистики Предмет и задачи математической статистики.
Способы отбора статистического материала. Статистическое распределение. Статистические
оценки параметров распределения.
Некоторые практические советы. Прежде всего, необходимо ознакомиться с
содержанием программы. Затем следует выбрать в учебное пособие и придерживаться его при
изучении всей части курса, так как замена учебника может привести к утрате логической связи
между отдельными вопросами.
6
Конспекты по математике главным образом должны содержать определения, чертежи и
выводы основных формул. Записи должны быть аккуратными. Они делаются для того, чтобы
впоследствии ими пользоваться.
Учитесь самоконтролю. Для заочника это важнейшая форма проверки правильности
понимания и усвоения материала.
Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является
понимание, знание забывается - понимание никогда; повторение - важнейшее средство,
предотвращающее
забывание;
необходимо
выработать
привычку
систематической
самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену дает слабые и поверхностные знания.
О решении задач.
Решение задач является лучшим способом закрепления материала. Конечно, общих
рецептов для решения разнообразных задач не существует, рекомендуется придерживаться
следующих советов:
1. Величины, данные в условии задачи, необходимо перевести в одну систему единиц;
нарушение этого правила является распространенным источником ошибок у студентов.
2. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические
положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.
3. Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.
4. Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых
вам известен.
5. Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано;
что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестные, и т.п.
6. Попробуйте разбить данную задачу на серию простых задач, последовательное решение
которых может составить решение данной задачи.
7. Найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого
шага, произведите попытку решения и, если нужно, его исследование.
8. Подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе; известно, что одна и та же задача может
иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное.
9. Если решить задачу не удается, отыщите в учебной литературе уже решенную задачу,
похожую на данную, изучите внимательно это «готовое» решение и постарайтесь извлечь
из него пользу для решения своей задачи.
Контрольные работы следует выполнять самостоятельно и лишь после того, как
проработан соответствующий теоретический материал и решен необходимый минимум задач. Так
как к каждой теме соответствует задача или упражнение, то контрольную работу следует
выполнять постепенно по мере изучения материала.
При решении задач следует обосновывать каждый шаг решения, исходя из теоретических
основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно
быть доведено до окончательного ответа.
1.2. Требования к выполнению и оформлению контрольной работы
1.Каждая работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать
страницы и оставить на них поля не менее 3 см для замечаний преподавателя.
2.На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца или
аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр, специальность, если она не отражена в
шифре, фамилия, имя, отчество студента, предмет и номер работы.
3.Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.
4.Каждую задачу надо начинать с новой страницы.
7
5.Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании, номера задач
следует указывать перед условием.
6. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь;
геометрическим задачам, кроме того, дается установленная краткая запись условия.
7. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их
ведения:
■ студенты должны соблюдать абзацы, всякую новую мысль следует начинать с красной
строки;
■ важные формулы, равенства, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы
сделать их более обозримыми;
■ при описании решения задачи краткая запись условия отделяется от решения и в конце
решения ставится ответ;
■ серьезное внимание следует уделять правильному написанию сокращенных единиц,
величин;
■ необходимо правильно употреблять математические символы.
8. Решение задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями,
используемые формулы нужно выписывать.
9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов,
соблюдая масштаб.
10. В конце работы следует указать литературу, которой вы пользовались, проставить дату
выполнения работы и подпись.
11.Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен выполнить все указания
преподавателя, сделанные в рецензии.
12.Контрольные
работы должны быть выполнены в срок (в соответствии с учебным планомграфиком).
13.Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без
оценки.
14.Студенты, не имеющие зачета по контрольной работе, к экзамену не допускаются.
2. Перечень рекомендуемых
дополнительной литературы
учебных
изданий,
Интернет-ресурсов,
Основные источники:
1.
2.
3.
4.
5.
В.П. Омельниченко, Э.В. Курбатова. Математика 2-е изд., перераб. и доп. Ростов н/Д.
Феникс, 2007
Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика. Учебник для ССУЗов 6-е изд., стереотип.
М.: Дрофа, 2009
Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. Учебное пособие для ССУЗов 5-е изд.,
стереотип. М.: Дрофа, 2009
А.В. Дадаян. Математика. Учебник 2-е изд. М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2006
Н.В. Богомолов. Задачи по математике с решениями. Учебное пособие для средних проф.
Учебных заведений. М.: Высшая школа. 2006
Дополнительные источники:
8
Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991
Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. М.: Наука, 1974
Каченовский М.И., Ю.М. Колягин и др. Алгебра и начала анализа. М.: Наука, 1981
Яковлев Г.Н. Геометрия. М.: Наука, 1989
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980
1.
1.
2.
3.
4.
3. Задания для контрольной работы.
Таблица вариантов.
вариант
Номера заданий
1
1
31
61
91
116
140
165
190
225
245
273
298
2
2
32
62
92
117
141
166
191
226
246
274
299
3
3
33
63
93
118
142
167
192
227
247
275
300
4
4
34
64
94
119
143
168
193
228
248
276
301
5
5
35
65
95
120
144
169
194
229
249
277
302
6
6
36
66
96
121
145
170
195
230
250
278
303
7
7
37
67
97
122
146
171
196
231
251
279
304
8
8
38
68
98
123
147
172
197
232
252
280
305
9
9
39
69
99
124
148
173
198
233
253
281
306
10
10
40
70
100
125
149
174
199
234
254
282
307
11
11
41
71
101
126
150
175
200
235
255
283
308
12
12
42
72
102
127
151
176
201
236
256
284
309
13
13
43
73
103
128
152
177
202
237
257
285
310
14
14
44
74
104
129
153
178
203
238
258
286
311
15
15
45
75
105
130
154
179
204
239
260
287
312
16
16
46
76
106
131
155
180
205
240
261
288
313
17
17
47
77
107
132
156
181
206
241
262
289
314
18
18
48
78
108
133
157
182
207
242
263
290
315
19
19
49
79
109
134
158
183
208
243
264
291
316
20
20
50
80
110
135
159
184
209
244
265
292
317
21
21
51
81
111
136
160
185
210
225
266
293
309
22
22
52
82
112
137
161
186
211
226
267
294
310
23
23
53
83
113
138
162
187
212
227
268
295
311
24
24
54
84
114
139
163
188
213
228
269
296
312
25
25
55
85
115
116
164
189
214
229
270
297
313
26
26
56
86
91
117
143
170
215
230
271
286
314
27
27
57
87
92
118
144
171
216
231
272
287
315
28
28
58
88
93
119
145
172
217
232
245
288
316
9
29
29
59
89
94
120
146
173
218
233
246
289
317
30
30
60
90
95
121
147
174
219
234
247
290
298
31
1
32
63
96
122
148
175
220
235
248
291
299
32
2
33
64
97
123
149
176
221
236
249
292
300
33
3
34
65
98
124
150
177
222
237
250
293
301
34
4
35
66
99
125
151
178
223
238
251
294
302
35
5
36
67
100
126
152
179
224
239
252
295
303
36
6
37
68
101
127
153
180
190
240
253
296
304
37
7
38
69
102
128
154
181
191
241
254
297
305
38
8
39
70
103
129
155
182
192
242
255
273
306
39
9
40
71
104
130
156
183
193
243
256
274
307
40
10
41
72
105
131
157
184
194
244
257
275
308
41
11
42
73
106
132
158
185
195
225
258
276
310
42
12
43
74
107
133
159
186
196
226
260
277
311
43
13
44
75
108
134
160
187
197
227
261
278
312
44
14
45
76
109
135
161
188
198
228
262
279
313
45
15
46
77
110
136
162
189
199
229
263
280
314
46
16
47
78
111
137
163
165
200
230
264
281
315
47
17
48
79
112
138
164
166
201
231
265
282
316
48
18
49
80
113
139
140
167
202
232
266
283
317
49
19
50
81
114
116
141
168
203
233
267
284
299
50
20
51
82
115
117
142
169
204
234
268
285
300
51
21
52
83
91
118
144
171
205
235
269
287
301
52
22
53
84
92
119
145
172
206
236
270
288
302
53
23
54
85
93
120
146
173
207
237
271
289
303
54
24
55
86
94
121
147
174
208
238
272
290
304
55
25
56
87
95
122
148
175
209
239
245
291
305
56
26
57
88
96
123
149
176
210
240
246
292
306
57
27
58
89
97
124
150
177
211
241
247
293
307
58
28
59
90
98
125
151
178
212
242
248
294
308
59
29
60
61
99
126
152
179
213
243
249
295
309
60
30
31
62
100
127
153
180
214
244
250
296
310
61
1
33
64
101
128
154
181
215
225
251
297
311
62
2
34
65
102
129
155
182
216
226
252
273
312
63
3
35
66
103
130
156
183
217
227
253
274
313
64
4
36
67
104
131
157
184
218
228
254
275
314
65
5
37
68
105
132
158
185
219
229
255
276
315
66
6
38
69
106
133
159
186
220
230
256
277
316
67
7
39
70
107
134
160
187
221
231
257
278
317
68
8
40
71
108
135
161
188
222
232
258
279
298
69
9
41
72
109
136
162
189
223
233
260
280
299
70
10
42
73
110
137
163
165
224
234
261
281
300
71
11
43
74
111
138
164
166
190
235
262
282
301
10
72
12
44
75
112
139
140
167
191
236
263
283
302
73
13
45
76
113
116
141
168
192
237
264
284
303
74
14
46
77
114
117
142
169
193
238
265
285
304
75
15
47
78
115
118
143
170
194
239
266
286
305
76
16
48
79
91
119
145
172
195
240
267
288
306
77
17
49
80
92
120
146
173
196
241
268
289
307
78
18
50
81
93
121
147
174
197
242
269
290
308
79
19
51
82
94
122
148
175
198
243
270
291
309
80
20
52
83
95
123
149
176
199
244
271
292
310
1. Даны матрицы:
2
1
А
5
2
1 1
1 4
2 1
0
6
4
11
1
14
1 2 3 4
3 0 2
1 0 0
0 3 15 18
В
С 2 1 0 D 3 1 1
3 5 4 6
1 2 1
4 2 1
7 10 1 4
Найти: а) 3А+2В ; б) 2С – 4D в) СхD ; г) АхВ
2. Даны матрицы:
0 3
1 3
1 2 3 4
А
0 1 1 1
0 7 3
1
2
1
В
5
2
1 1
1 4
2 1
0
6
4
2 1 1
2 1 2
11
С
0
3
1
D
5
3
3
1
1 1 0
1 0 2
14
Найти: а) 2C+5D; б) 4А-2В ; в) СхD ; г) АхВ
3. Даны матрицы:
2
1
А
5
2
1 1
1 4
2
1
0
6
4
11
1
14
1 2 3
0 3 15
В
3 5 4
7 10 1
2
3 0 2
1 0 0
1
С
2
1
0
D
3
1
1
3
1 2 1
4 2 1
4
Найти: а) 3А+2В ; б) 5С – 2D ; в) СхD ; г) АхВ
4. Даны матрицы:
2
1
А
5
2
1 1
1 4
2
1
0
6
4
11
1
14
1 2 3 4
2 1 2
3 0 2
0 3 15 18
В
Ñ 5 3 3 D 2 1 0
3 5 4 6
1 0 2
1 2 1
7 10 1 4
Найти: а) 3А+2В ; б) 2С – 4D в) СхD ; г) АхВ
11
5. Даны матрицы:
1
4
А
1
6
4
11
1
2 0 14
1 3
3 4
В
2 1
3 3
2 1
1 1
5 2
2 1
2 1 1
1 1 1
5 2
С
0
2
3
D
1
3
1
3 1
6 1
2
2 1
0
4 1
Найти: а) 2А+2В ; б) 3С – 2D в) СхD ; г) АхВ
6. Даны матрицы:
0
1
А
4
1
3 18 15
1 4
3
5 2
3
0 8
7
1
1
В
2
0
2 1
1 4
5 1
2
6
4
2 1 1
1 1 1
11
D
0
2
1
С
0
2
1
1
2 0 1
2 0 1
14
Найти: а) 3А+2В ; б) 2С – 4D в) СхD ; г) АхВ
7. Даны матрицы:
2
1
А
0
3
1
1
1
4 3 1
3
2
1
1
1 2 1
1 1 0
3 1 1
3 1 11 1
В
D
1
0
1
С
0
1
1
2 3 1 1
2 1 0
1 0 3
0 4 11 3
1
3
7
Найти: а) А-3В ; б) 2C+5D в) СхD ; г) АхВ
8. Даны матрицы:
1
3
А
2
3
2 3 1
5 4 2
3 1 1
4 3 1
1
1
2 1
1 1 2
1 1 1
1
1 3 11
В
С 1 0 1 D 2 1 1
3 2
1 1
1 1 1
1 1 2
4
0 11 3
Найти: а) 5А-В ; б) 3C+5D в) СхD ; г) АхВ
9. Даны матрицы:
0 3
1 3
1 2 3 4
А
0 1 1 1
0 7 3
1
1
2
В
4
3
1
1 1 1
2 1 1
3
С 1 3 1 D 0 3 1
3 5 5
1 1 3
1 1 0
1 2 4
2 3
1 1
Найти: а) 3А-2В ; б) 2C+4D в) СхD ; г) АхВ
12
10. Даны матрицы:
2
1
А
5
2
1 1
1 4
2 1
0
6
4
11
1
14
1 2 3 4
2 1 2
3 0 2
0 3 15 18
В
С
5
3
3
D
2
1
0
3 5 4 6
1 0 2
1 2 1
7 10 1 4
Найти: а) 4А+В ; б) 2С – 4D в) СхD ; г) АхВ
11. Даны матрицы:
1 2 3 4
0 1 1 1
А
1 3
0 3
0 7 3
1
1
2
В
4
3
2 3 1
2 1 1
1 1 1
1 1 3
С
1
1
0
D
1
3
1
3 5 5
1 1 1
1 1 3
1 2 4
Найти: а) 2А+3В ; б) 5С – 2D в) СхD ; г) АхВ
12. Даны матрицы:
1
4
А
1
6
4
11
1
2 0 14
2 1
1 1
5 2
1 3
3 4
В
2 1
3 3
2 1
2 1 1
1 1 1
5 2
С
0
2
3
D
1
3
1
3 1
6 1
2
2 1
0
4 1
Найти: а) 2А+2В ; б) 3С – 2D в) СхD ; г) АхВ
13. Даны матрицы:
0
1
А
4
1
15
3
5 2
3
0 8
7
3
1
18
4
1
1
В
2
0
2 1
1 4
5
1
2
6
4
2 1 1
1 1 1
11
С 0 2 1 D 0
2 1
1
2 0 1
2 0 1
14
Найти: а) 2А-В ; б) 2C+5D в) СхD ; г) АхВ
14. Даны матрицы:
2
1
А
0
3
1
1
1 7 1
4 3 1
3
2
1
3
1
1 2 1
1 1 0
3 1 1
3 1 11 1
В
С 0 1 1 D 1 0 1
2 3 1 1
2 1 0
1 0 3
0 4 11 3
Найти: а) А-3В ; б) 3C+5D
в) СхD ; г) АхВ
13
15. Даны матрицы:
2 1
1 2
А
2 4
1 3
3 1
1 3
5 5
2 4
1 2 3 4
0 5 1
2 1 1
0 1 1 1
В
С
1
1
1
D
1
1
0
1 3
0 3
1 1
0
1 1 1
0 7 3
1
Найти: а) 2А+2В ; б) 3С – 2D в) СхD ; г) АхВ
16. Решить системы методом определителей
х у 3
х у 1
2 х у 2 z 4
3х у 5 z 12
4 x 3 y 2 z 3
17. Решить системы методом определителей
3х 4 у 9
2 х 5 у 6
2 х у 5 z 17
3х 2 у 2 z 13
4 x 2 y 7 z 9
18. Решить системы методом определителей
5 х 3 у 16
2 х 4 у 22
4 х у 2 z 8
3х 2 у 5 z 14
5 x 3 y 3z 2
19. Решить системы методом определителей
3х 2 у 13
х 2 у 1
2 х 3 у z 4
2 х у 2 z 16
4 x 3 y 5 z 26
20. Решить системы методом определителей
х у 3z 4
2 х у 2 z 5
3x 3 y z 6
21. Решить системы методом определителей
2 х у 2 z 1
3х 4 у 253
х у 3z 4
5 х у 0
3x y z 4
22. Решить системы методом определителей
3х 4 у 2 z 5
8 х 5 у 3
5 х 6 у 4 z 3
4 х у 18
4 x 5 y 3z 1
23. Решить системы методом определителей
9 х 4 у 98
5 х 3 у 0
14
3х 2 у 18
4 х 3 у 7
х у z 4
х 2 у 3z 7
x y 5z 8
24. Решить системы методом определителей
4 х 2 у 2
2 х 3 у 11
3х 3 у 2 z 2
4 х 5 у 2 z 1
5 x 6 y 4 z 3
25. Решить системы методом определителей
2 х 5 у 3 z 4
4 х 3 у 5 z 11
5 x 4 y 2 z 18
26. Решить системы методом определителей
3х 2 у 4 z 8
5 х у 7
2 х 4 у 5 z 11
3х 2 у 12
4 x 3 y 2 z 1
2 х 3 у 18
х 2 у 11
27. Решить системы методом определителей
2 х у 5
х у 3
5 х 3 у z 7
4 х 2 у 3 z 3
x y z 3
28. Решить системы методом определителей
4 х у 17
3х 5 у 7
2 х у 5 z 17
3х 2 у 2 z 13
4 x 2 y 7 z 9
29. Решить системы методом определителей
5 х 2 у 6
7 х 5 у 4
х 2 у 3z 0
2 х у 4 z 5
3x y z 2
30. Решить системы методом определителей
4 х 3 у 7
8 х 6 у 14
5 х 3 у 4 z 7
2 х 2 у 3 z 5
7 x 8 y 5 z 13
31. Доказать, что ∆ АВС – равнобедренный, если А(5;2), В(3;-4), С(-3;-2).
32. В ∆ АВС найти длину медианы BD и площадь треугольника, если А(-4;-1), В(2;3), С(7;-3).
33. В параллелограмме ABCD: А(1;0), В(2;1), С(3;-2). Найти координаты вершины D и
координаты точки пересечения диагоналей.
34. На оси Оу найти точку, равноудалённую от точек А(-4;0) и В(-3;7).
35. Найти периметр ∆ АВС, если А(-4;4), В(-3;1), С(2;5).
15
36. Лежат ли точки А(0;5), В(2;1), С(-1;7) на одной прямой ( проверить двумя аналитическими
способами).
37. В параллелограмме ABCD даны две смежные вершины А(2;0) и В(-3;3), точка пересечения
диагоналей О(-1;0). Найти координаты точек С и D.
38. На оси Ох найти точку, удалённую от точки В(9;12) на 13 единиц.
39. Доказать, что ∆ АВС – прямоугольный, если А(5;1), В(1;-3), С(-1;-1).
40. В ∆ АВС найти длину медианы АЕ и площадь треугольника,если А(8;4), В(-2;6), С(4;0).
41. В параллелограмме ABCD: А(-1;1), В(1;1), С(2;-1). Найти координаты вершины D и
координаты точки пересечения диагоналей.
42. На оси Оу найти точку, равноудалённую от начала координат и точки М(4;5).
43. Найти периметр ∆ АВС, если А(3;4), В(3;8), С(6;4).
44. Лежат ли точки А(0;2), В(-1;5), С(3;4) на одной прямой ( проверить двумя аналитическими
способами).
45. В параллелограмме ABCD даны две смежные вершины А(1;-2) и В(3;2),точка пересечения
диагоналей О(5;1). Найти координаты точек С и D.
46. Найти расстояние от точки М(2;5) до прямой 6х + 8у – 5 = 0.
47. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-1) параллельно прямой х – 4у +
4 = 0.
48. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;-3) и имеющей угловой
коэффициент 2.
49. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(4;3).
50. Преобразовать к уравнению в отрезках 3х – 4у – 5 = 0.
51. Найти угол между прямыми 2х – 3у + 6 = 0 и х + 5у – 2 = 0.
52. Найти расстояние от точки М(-6;3) до прямой 3х – 4у + 15 = 0.
53. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;1) перпендикулярно прямой 6х
– 5у - 30 = 0.
54. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3;-4) и имеющей угловой
коэффициент 3.
55. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;-6) и В(7;2).
56. Преобразовать к уравнению в отрезках 2х – 3у + 1 = 0.
57. Найти угол между прямыми 3х + 4у – 12 = 0 и 15х – 8у -45 = 0.
58. Найти расстояние от точки М(3;2) до прямой 4х – 3у + 14 = 0.
59. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;-4) параллельно прямой
3х + 4у - 12 = 0.
60. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2;-6) и имеющей угловой
коэффициент 2.
61. Даны точки А(1;-2), В(2;0), С(-6;-5), D(-2;-1). Найти векторы АВ, DC , CB, AC и разложить
по базису.
62. Даны векторы: a (2;3), b (4;1), c (6;3). Найти: а) a b;
б) 7a;
в)
3c 4a 2b;
63. Найти скалярное произведение векторов: a (6;2) и b (3;1).
64. Найти угол между векторами: a (1;7) и b (9;6).
65. Даны векторы: a (1;1) , b (2;9), c (4;2). Найти (2a b) (c 4b);
66. Даны точки А(0;3), В(4;0), С(-1;-1), D(3;5). Найти абсолютную величину векторов
АВ, CD, BC.
16
67. Даны векторы: c (1;5), d (2;7), e (1;0). Найти: а) d e;
б) 2c;
в) 3e d 6c;
68. Проверить перпендикулярность векторов: a (3;2) и b (2;3).
69. Найти косинусы углов, образованных вектором АВ с осями координат, если А(-2;10) и
В(0;3).
70. Даны векторы: a 2i 3 j , b i j , c 3i 6 j. Найти (a b) (c 2a);
71. Даны точки А(2;-3), В(1;0), С(-5;3), D(-2;-8). Найти векторы ВC , CD, BA, DB и разложить по
базису.
72. Даны векторы: a (3;1), b (7;0), c (9;1). Найти: а) a b;
б) 9b;
в) 6c 4a 2b;
73. Найти скалярное произведение векторов: a (2;5) и b (3;2).
74. Найти угол между векторами: a (2;5) и b (3;4).
75. Даны векторы: a (4;2) , b (1;8), c (2;3). Найти (4b 2c) (2a c);
76. Даны точки А(1;4), В(5;1), С(-1;0), D(4;3). Найти абсолютную величину векторов
DА, BD, BC.
77. Даны векторы: b (2;3), c (1;6), d (1;0). Найти: а) c d ; б) 2b;
в) 2c 4d b;
78. Проверить перпендикулярность векторов: a (2;6) и b (3;4).
79. Найти косинусы углов, образованных вектором АВ с осями координат, если А(4;9) и В(2;-
7).
80. Даны векторы: a 2i j , b 2i j , c 4i 2 j. Найти (b c) (3a 2b);
81. Даны точки А(2;7), В(-3;0), С(4;1), D(0;9). Найти векторы ВC , CD, BD, DA и разложить по
базису.
82. Даны векторы: a (1;7), b (2;3), c (5;1). Найти: а) a b;
б) 6a;
в) 5a 2b c;
83. Найти скалярное произведение векторов: a (11;12) и b (1;6).
84. Найти угол между векторами: a (1;9) и b (2;7).
85. Даны векторы: a (3;1) , b (4;5), c (1;9). Найти (3a c) (b 4c);
86. Даны точки А(1;4), В(-1;6), С(-1;9), D(2;7). Найти абсолютную величину векторов
АD, DC , BC.
87. Даны векторы: c (3;1), b (2;6), e (1;4). Найти: а) b e; б) 2c; в) 4b 2e c;
88. Проверить перпендикулярность векторов: a (4;6) и b (3;2).
89. Найти косинусы углов, образованных вектором АВ с осями координат,
если А(4;1) и В(-6;-2).
90. Даны векторы: a 2i 4 j , b 3i j , c 5 j. Найти (2a b) (c 3b);
Вычислить пределы:
91.
92.
x2 9
lim
2
x 3 x 4 х 3
х 16
lim х 4
x 16
5х x 3 1
lim
4х 2x3
x
3х 6 x 2
lim
x2 1
x
tg 2 x
lim 3х
x 0
x2
lim
x 0 1 cos х
17
93.
94.
x 2 6х 5
lim
x 2 25
x 5
6x3 1
lim
3
x 2 х 1 x
lim sin 2 х
x 2 7 х 10
lim
x5
x 5
1 x3 х
lim
5х 3 1
x
lim sin 3х
sin 5 x
x 0
x
x 0
x 2 27
lim
x3
x 3
lim 2 х x
x 2 4х 5
lim
x 1
x 1
lim 8 x 1
lim 2 sin 2 х
х3 2
x 1
3x 2 х
lim
х2 1
x
lim 5х
98.
x 2 4х 3
lim
x2 1
x 1
3х 1
lim
x x 5
х 2 sin 2 3 x
lim
2х 2
x 0
99.
х5
lim
3
x 5 x 125
2 3x 3
lim
3
x х x 1
lim 2 х
95.
96.
97.
lim
x 1
4х
2
x
3х 5
x
1 cos x
х2
x 0
lim
sin x
x 0
1 cos x
x 0
2
sin 8 x
x 0
100.
x 2 6х 8
lim
x 2 16
x4
x 4 2х5
lim
1 x5
x
lim
101.
x2
lim
2
x2 x х 6
3x 2 2
lim
2
x х x 1
lim
102.
3x 3 2 х 2
lim
x2
x 0
7 х x 2 10
lim
2x 2 1
x
103.
х 25
lim х 5
x 25
104.
х4
lim х 2
5х 6x 3 1
lim
2
3
x 3 х x 8
x 2 4х 5
lim
x5
x 5
2х x 4
lim
x4
x
x 4
105.
x2
lim
3
2
x 3 х 5 x
3х sin x
2х
x 0
2 х sin x
sin х
x 0
х sin 5 x
3х
x 0
lim
х sin 2 x
х
x 0
lim
3x 2
lim
x 0 1 cos 2 х
1 cos 4 x
х2
x 0
lim
18
106.
x2 х 6
lim
x2
x2
3x 2 х
lim
х2 1
x
107.
x 3х 2
lim
x3 х
x 0
х x2 6
lim
3x 2 2
x
108.
x 2 6х 5
lim
2
x 5 x 7 х 10
109.
2 x 2 7,5 х 7
lim
x2 4
x 2
110.
x3 8
lim
2
x2 x 4
111.
х9
lim
х 3
x 9
112.
x 2 4х 3
lim
x2 9
x 3
113.
х 25
sin 5 x
lim sin х
x 0
3х 3 6 x 1
lim
3
x 2 х x 5
lim
х 2x5 6
lim
x5 1
x
lim
х 2 3x 1
lim
1 х2
x
5 6x 2
lim
2
x 1 2 х
lim х 5
x 25
cos 2 x 1
4х 2
x 0
lim
х 5 sin x
sin х
x 0
sin х sin 2 x
х
x 0
3x 2
lim
x 0 1 cos 6 х
3х sin 2 x
2х
x 0
lim
4х 2x3
lim
3
x 1 х 5 x
3х 2 x 3 1
lim
4x3 8
x
1 cos 2 x
4х 2
x 0
lim
sin 4 x
lim 2 sin х
x 0
114.
x 2 7 х 10
lim
x2
x2
1 2x 4 х
lim
4
x 10 x 3
lim
115.
x 2 7 х 10
lim
x2 4
x2
6x3 1
lim
2
3
x х 2 x 5
lim
2 х sin x
sin х
x 0
4 х sin 2 x
6х
x 0
Найти значение функции в точках:
116.
117.
x 2z
, А(1;2;0), В(-3;-7;2), С(1;7;9)
y 2 6 xz
3z y
U ( x, y , z ) 2 x 2
, А(1;1;1), В(3;-2;4), С(7;-2;-2)
x
U ( x, y , z )
118.
U ( x, y , z )
z x2 y
,
2 x 3z
А(1;2;7), В(0;3;9), С(-1;-3;-2)
119.
U ( x, y , z )
x y2 z2
,
3y 4z
А(1;3;2), В(-4;0;7), С(1;9;12)
120.
U ( x, y, z ) y 3 2 y 2 z 3xzy x 3 А(2;1;-3), В(1;-8;3), С(0;2;10)
19
121.
122.
123.
124.
х yz
, А(1;3;7), В(2;-1;-1), С(-6;4;-1)
2x 7z
x yz
U ( x, y , z ) 2
, А(1;2;0), В(-3;-7;2), С(1;7;9)
3z 6 y 2
U ( x, y , z )
3x y
, А(1;1;1), В(3;-2;4), С(0;2;9)
z2
z x 2y
U ( x, y , z ) 2
, А(1;2;7), В(0;3;9), С(-1;-3;-2)
x y2
U ( x, y , z ) 2 x 2
x y2 z2
,
2 x 3z
125.
U ( x, y , z )
126.
U ( x, y, z ) x 3 2 x 2 y 3xyz z 3 ,
127.
U ( x, y , z )
x yz
,
2x 7 z
А(1;3;2), В(-4;0;7), С(1;9;12)
А(2;1;-3), В(1;-8;3), С(0;2;10)
А(1;3;7), В(2;-1;-1), С(-6;4;-1)
Найти частные производные функции
128.
U ( x, y, z ) 3 y 2 x 2 z 4 z 3 y 2 в точке А(2;-6;1)
129.
U ( x, y, z ) 5 y 2 4 yz 2 xz 7 x 3 в точке А(3;-1;3)
U ( x, y, z ) 4 z 3 y 2 xy 3x 4 z x 6 в точке А(1;2;3)
U ( x, y, z ) 2 yz z 4 3 y 2 x x 5 в точке А(7;-1;5)
U ( x, y, z ) yz x 2 z xy 2 x 4 в точке А(1;-7;9)
U ( x, y, z ) 7 ó 2 z 5x 2 6 xz 1 в точке А(3;1;-2)
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
U ( x, y, z ) 3x 2 z 2 y 4 y 3 x 2 в точке А(2;-6;1)
U ( x, y, z ) 5x 2 4 xy 2 zy 7 z 3 в точке А(3;-1;3)
U ( x, y, z ) 4 xy 3 2 zx 3z 4 y z 6 в точке А(1;2;3)
U ( x, y, z ) 2 xy y 4 3x 2 z z 5 в точке А(7;-1;5)
U ( x, y, z ) xy z 2 y x 2 z z 4 в точке А(1;-7;9)
U ( x, y, z ) 7 x 2 y 5z 2 6 zy 1 в точке А(3;1;-2)
Найти интегралы
140.
10 х 3 cos x 2dx;
141.
4 x 5 sin x 3dx;
142.
3х 1 x 5 dx;
2 sin x 1 dx;
143.
5 х 2 sin x 1dx;
x
144.
х
1
5 6 3 cos 2 x dx;
9
2
2
2
4
1
2
3х 2
3х 2 dx;
3
3
sin x 2 cos xdx;
3 cos x
4
33
5 x 4 dx;
х5
3 2 x dx;
6 4
20
145.
6
2
dx;
7
х
3
1 х2
3 cos x sin x 1dx;
3
146.
6 х e 5dx;
x
147.
7 2 5 dx;
5 3 sin x dx;
148.
4 х 5 sin x 2dx;
2 3x dx;
149.
3 4 cos x dx;
3 sin x 3 cos x dx;
5
x
х
x
2 cos x
3
3
х
5
2 4 x 3 dx;
2
х4
5 2
2
3
2
5x 7 x 5 dx;
150.
9 х 4 sin x 2dx;
151.
3х 2 1 х 4 dx;
7 3 cos x dx;
152.
7 х 1 x 1dx;
x cos x dx;
153.
3 3 cos x dx;
x sin x dx;
8
1
2
23
sin х
2
2
5
8
4
2
х
2
5
2
2
3
154.
5х 2e 3dx;
sin xe
155.
5 4 7 dx;
cos 7 x ;
156.
4 х 2 sin x 7dx;
x ln xdx;
157.
3 5 х sin x dx;
4
x
х
x
dx;
2
3
cos x
dx
1
3
4
2
2
2
dx
;
x
sin
5
23
3
x 3 х dx;
2
158.
10 х 5 cos x 3dx;
159.
5 3 sin x dx;
1 cos x dx;
160.
1
6
7 х sin x 2 x dx;
х2
9
х
2
2
5
sin х
3
3
1 х
3
2
dx;
161.
3 x 4 x dx;
cos x sin xdx;
162.
2е x 3х dx;
1 2 х dx;
163.
2 4 1 x dx;
2 3х dx;
164.
7 cos x 2 х dx;
2 х dx;
3
х
2
х
3
2
х
2
х
2
3
2
3
2
21
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями(сделать рисунок).
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
у = 6x – x2 и y = 0
у = x2 + 4x и x – у + 4 = 0
у = 4 – х2 и у = х2 – 2х
у = 4х – х2 и у = 0
у = 2х – х2 и у = -x
у = 3 – 2х и у = х2
2
у = х2 / 3 и у = 4 – 3x2
y = x2 , x = -1, x = 2 и у = 0
у = х2 – 2х + 2, x = -1, у = 0, x = 2
y = x2 + 1, y = 0, x = 0, x = 2
y = 2x2 – x + 2, y = 0, x = 0, x = 3
y = 9 – x2 и y = 0
y = x2 – 5x + 4 и y = 0
y = 2x – x2 и y = x
1
y = 2 x2 и y = 4 – x
y = 4 (1 – x3), y = 0 и x = 0
x2 – 9y = 0 и x – 3y + 6 = 0
4y – x3 = 0 и y – x = 0
y2 = x и y = x2
y = x2 и y = 1 – x2
y = x3 – 4x и y = 0
y2 = 2x и 2y = x2
y = x2, y = 0, x = 0, x = 3
y2 – 4x = 0 и x – y = 0
y = 8 + 2x – x2 и y = 2x + 4
Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx
фигуры, ограниченной данными линиями:
190.
191.
192.
193.
xy = 1, x = 2, x = 3, y = 0
y = x3, y = 0, x = 0, x = 2
y2 – 3x = 0 и x – 3 = 0
1
y = 3x2, y = 0, x – 3 = 0, x = 0
Сделайте чертеж и вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной данными линиями:
y = x2 + 1, y = 2, у = 5
1
y =3- 3 x2 , y = 2, у = 0
x2 – 2y = 0 и y - 2 = 0
Тело движется прямолинейно со скоростью t t 3 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за 6 секунд.
198.
Тело движется прямолинейно со скоростью 3t t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом от начала движения до остановки.
199.
Тело движется прямолинейно со скоростью 5 2t t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за вторую секунду.
194.
195.
196.
197.
22
Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 7 см, если
для её сжатия на 2 см требуется сила 15 Н.
201.
Сила 200 Н растягивает пружину на 19 см. Какую работу она производит?
202.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила 50 Н растягивает её на 1
см. Найти работу, совершенную при растяжении пружины от 22 см до 32 см.
203.
Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу в 25 Дж. На какую
длину можно растянуть пружину, совершив работу в 81 Дж?
204.
Тело движется прямолинейно со скоростью 6t t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за 9 секунд.
205.
Тело движется прямолинейно со скоростью 6t t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом от начала движения до остановки.
206.
Тело движется прямолинейно со скоростью 7t t 3 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за третью секунду.
207.
Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 9 см, если
для её сжатия на 3 см требуется сила 18 Н.
208.
Сила 100 Н растягивает пружину на 15 см. Какую работу она производит?
209.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 10 см. Сила 20 Н растягивает её на 1
см. Найти работу, совершенную при растяжении пружины от 12 см до 14 см.
210.
Для растяжения пружины на 1 см необходимо совершить работу в 9 Дж. На какую
длину можно растянуть пружину, совершив работу в 100 Дж?
211.
Тело движется прямолинейно со скоростью 8t 3t 3 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за 5 секунд.
212.
Тело движется прямолинейно со скоростью 8t 2t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом от начала движения до остановки.
213.
Тело движется прямолинейно со скоростью 6t t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за четвёртую секунду.
214.
Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 10 см, если
для её сжатия на 4 см требуется сила 20 Н.
215.
Сила 160 Н растягивает пружину на 12 см. Какую работу она производит?
216.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 15 см. Сила 40 Н растягивает её на 2
см. Найти работу, совершенную при растяжении пружины от 25 см до 35 см.
217.
Для растяжения пружины на 9 см необходимо совершить работу в 121 Дж. На какую
длину можно растянуть пружину, совершив работу в 225 Дж?
218.
Тело движется прямолинейно со скоростью 2t 6t 3 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за 7 секунд.
219.
Тело движется прямолинейно со скоростью 18t 3t 2 (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом от начала движения до остановки.
220.
Тело движется прямолинейно со скоростью 4 8t (м/с). Вычислить путь,
пройденный телом за шестую секунду.
221.
Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 7 см, если
для её сжатия на 3 см требуется сила 12 Н.
222.
Сила 120 Н растягивает пружину на 6 см. Какую работу она производит?
223.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 5 см. Сила 100 Н растягивает её на 1
см. Найти работу, совершенную при растяжении пружины от 15 см до 20 см.
200.
23
Для растяжения пружины на 16 см необходимо совершить работу в 196 Дж. На
какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 100 Дж?
224.
Найти общее решение дифференциального уравнения
225.
x 2 dx 3 y 2 dy
226.
x dy y dx
dy 3dx
x
y
227.
228.
229.
230.
231.
232.
1 y dx x 1dy
xуdx 1 х 2 dy
у 2 dx х 2dy 0
у 2 хy 2 dx x 2 ух 2 dy 0
х 2 dу 2 xу 3 у dх 0
233.
1 y dx хdy 0
234.
1 х 2 dу х 1 у 2 dх 0
2
у 16 у
у 6 у 9 у 0
у 3 у
у 3 у 2 у
4 у 9 у
у 9 у 0
у 12 у 7 у
у 2 у 10 у 0
4 у 12 у 9 у 0
у у у 0
Группа учащихся должна сдавать экзамен по 6-ти предметам. Сколькими способами
можно составить расписание?
246.
В группе 18 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, культорга и
физорга?
247.
В ящике 12 красных и 7 зеленых шаров. Сколькими способами можно выбрать
5
шаров, чтобы 3 из них были красными?
248.
В бригаде 15 человек. Сколькими способами можно выбрать шестерых для работы
на новом участке?
249.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
250.
Надо в подарок отобрать две из имеющихся 9 книг. Сколькими способами это можно
сделать?
251.
Из 20 деталей 6 бракованных. Сколькими способами можно выбрать 5 деталей,
чтобы три из них оказались бракованными?
252.
На собрании четверо выступающих. Сколькими способами можно распределить
порядок выступления?
253.
Сколькими способами можно расставить 9 книг на полке?
254.
Сколько можно составить сигналов из 2-х полотнищ разного цвета,
располагающихся друг под другом, если имеются 8 разноцветных полотнищ?
255.
В группе 20 человек. Сколькими способами можно отобрать пятерых для участия в
спортивном соревновании?
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
24
В ящике 7 черных и 8 красных шаров. Сколькими способами можно взять 5 шаров,
чтобы три из них были красные?
257.
В классе 12 стульев. Сколькими способами можно рассадить пятерых гостей?
258.
В группе 30 человек. Сколькими способами можно выделить двоих для дежурства
по классу?
259.
Сколькими способами можно составить список из пяти человек?
260.
Из 15 красных и 6 белых роз надо составить букет так, чтобы в нем были 4 красные
и 3 белые розы. Сколькими способами можно составить букет?
261.
В группе 14 юношей и 10 девушек. Для участия в соревнованиях надо отобрать
6
человек, среди которых должно быть 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
262.
На шесть сотрудников выделены 3 одинаковых путевки в дом отдыха. Сколькими
способами их можно распределить?
263.
Сколькими способами можно рассадить семерых гостей за праздничным столом?
264.
Сколькими способами можно выбрать 3-х человек на три различные должности из
восьми кандидатов на эти должности?
265.
Сколькими способами в бригаде, состоящей из 7 рабочих можно распределить
3
путевки: в дом отдыха, в санаторий и на турбазу?
266.
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 ?
267.
Сколькими способами можно назначить в патруль трех солдат и одного офицера,
если имеется 15 солдат и 4 офицера?
268.
Сколькими способами можно увезти со склада 10 ящиков, если на машину грузят по
5 ящиков?
269.
Группа учащихся должна сдавать экзамен по 4-м предметам. Сколькими способами
можно составить расписание?
270.
В группе 22 студента. Сколькими способами можно выбрать старосту, культорга и
физорга?
271.
В ящике 10 красных и 6 зеленых шаров. Сколькими способами можно выбрать 4
шара, чтобы 2 из них были красными?
272.
В бригаде 13 человек. Сколькими способами можно выбрать пятерых для работы на
новом участке?
273.
В урне находятся 4 белых, 9 синих, 8 красных шаров. Какова вероятность, что
вынутый шар окажется: А – белым, В – синим, С – чёрным, D – красным?
274.
Среди 50 электроламп 10 испорченных. Какова вероятность, что выбранные 4 лампы
окажутся исправными?
275.
В лотерее из 25 билетов 5 билетов выигрышных. Какова вероятность, что среди 4-х
купленных билетов, 2 билета с выигрышем?
276.
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна шести?
277.
В урне находятся 100 шаров, пронумерованных от 1 до 100. Какова вероятность, что
номер вынутого шара содержит цифру 3?
278.
В группе 34 учащихся, из них 18 юношей, остальные девушки. Известно, что к доске
должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?
279.
В урне 10 белых и 18 черных шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров. Какова
вероятность, что 2 из них белого цвета?
280.
Монета бросается трижды. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет герб?
281.
Из 40 экзаменационных вопросов учащийся выучил 25. В билет входят 2 вопроса.
Какова вероятность, что билет взятый учащимся, содержит выученные им вопросы?
282.
В группе 20 юношей и 12 девушек. Нужно выбрать делегацию из 4-х человек.
Какова вероятность, что среди них 2 девушки?
283.
Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 40. Какова вероятность, что
наудачу взятый билет имеет номер кратный 7?
256.
25
Какова вероятность событий при одном бросании игральной кости:
А – появление очка 4, В – появление не более 4-х очков.
285.
Из слова «таракан», наудачу извлекается 5 букв. Какова вероятность получить слово
«аркан» ?
286.
В ящике 40 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлекаются 6 деталей. Какова
вероятность, что среди них нет бракованных?
287.
В урне 15 красных и 25 синих шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров. Какова
вероятность, что 3 из них синего цвета?
288.
В урне находятся 5 белых, 4 синих, 10 красных шаров. Какова вероятность, что
вынутый шар окажется: А – белым, В – синим, С – чёрным, D – красным?
289.
Среди 60 электроламп 12 испорченных. Какова вероятность, что выбранные 3
лампы окажутся исправными?
290.
В лотерее из 28 билетов 6 билетов выигрышных. Какова вероятность, что среди 5ти купленных билетов, 2 билета с выигрышем?
291.
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна пяти?
292.
В урне находятся 100 шаров, пронумерованных от 1 до 100. Какова вероятность, что
номер вынутого шара содержит цифру 9?
293.
В группе 40 учащихся, из них 25 юношей, остальные девушки. Известно, что к доске
должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?
294.
В урне 15 белых и 12 черных шаров. Наудачу извлекаются 4 шара. Какова
вероятность, что 2 из них белого цвета?
295.
Монета бросается трижды. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет
решка?
296.
Из 50 экзаменационных вопросов учащийся выучил 32. В билет входят 2 вопроса.
Какова вероятность, что билет взятый учащимся, содержит выученные им вопросы?
297.
В группе 18 юношей и 15 девушек. Нужно выбрать делегацию из 6-ти человек.
Какова вероятность, что среди них 3 девушки?
298.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
284.
х
р
299.
5
10
20
0,2 0,25 0,55
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
х 10 12 14 16 18
р 0,1 0,1 0,6 0,1 0,1
300.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
301.
х 10 20 30
р 0,15 0,1 0,75
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
х -10 0 10 20 30
р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
302.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
26
х
р
1
0,1
4
0,8
7
0,1
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
303.
х 110 120 130 140 150
р 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1
304.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
2
0,2
6
0,2
8
0,6
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
305.
х -5 -1 3
7 11
р 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
306.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
-4
0,4
-2
0,4
0
0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
307.
х 2
3
4
5
6
р 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
308.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
1
0,3
4
0,3
9
0,4
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
309.
х 3
8 13 18 23
р 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1
310.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
-3
0,1
-2
0,7
-1
0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
311.
х 5 15 25 35 45
р 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2
312.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
-2
2
4
27
р
0,3
0,6
0,1
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
313.
х 5 10 15 20 25
р 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1
314.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
1
0,1
5
0,5
7
0,4
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
315.
х 25 30 35 40 45
р 0,2 0,3 0,2 0,1 0,2
316.
Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание,
дисперсию и квадратическое отклонение.
х
р
317.
-2
0,2
3
0,3
5
0,5
Найти математическое ожидание, дисперсию и квадратическое отклонение.
х -1 6 13 20 27
р 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
28
