Резонанс в RLC цепи: Лабораторная работа МЭИ

Национальный исследовательский университет "МЭИ"
Кафедра Теоретических Основ Электротехники
Лабораторная работа № 7
Исследование резонанса в цепи
с последовательно соединенными элементами R, L, C
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2017
1
Лабораторная работа №7
Исследование резонанса в цепи
с последовательно соединенными элементами R, L, C
Целью работы является исследование резонансных явлений в
последовательном RLC контуре.
Ключевые слова: резонанс (в электрической цепи); резонанс
напряжений; резонансная частота; характеристическое сопротивление;
резонансные кривые; частотные характеристики; ширина резонансной кривой
(полоса пропускания), добротность
Теоретическая часть
В электрических цепях, как правило, в качестве критерия режима
резонанса принимают условие совпадения по фазе тока и напряжения в
пассивных двухполюсниках, содержащих индуктивные, емкостные и
резистивные элементы. На рис. 7.1 представлено последовательное
соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (RLC –
контур).
Рис. 7.1. Схема RLC – контура
Пусть напряжение на входе – синусоидальное u (t )  U m sin t , частота
 может меняться в пределах от нуля до . Составим уравнение для
контура:
di
1
u (t )  uR (t )  uL (t )  uC (t ) , uR (t )  Ri(t ) , uL (t )  L , uC (t )   idt .
dt
C
Применим комплексный метод расчета. Комплексная схема замещения
и векторные диаграммы комплексных напряжений на заданной частоте
( X L  L , X C  1 C ) имеют вид, представленный на рис. 7.2:
Рис. 7.2. Комплексная схема RLC – контура
2
При X L  X C характер цепи – резистивно-индуктивный (ток отстает от
напряжения, рис. 7.3,а); при X L  X C
– резистивно-емкостной (ток
опережает напряжение, рис. 7.3,б); при X L  X C – резистивный, т.е. ток
совпадает по фазе с напряжением (рис. 7.3,в). В таком случае цепь
настроена в резонанс, а на участке (b d) наблюдается резонанс напряжений.
а)
б)
в)
Рис. 7.3. Векторные диаграммы для:
(а) резистивно-индуктивного характера цепи;
(б) резистивно-емкостного характера цепи;
(в) в режиме резонанса.
Действительно, если X L  X C , то
U bd  U bc  U cd  U L  U C  jX L I  jX C I  jI ( X L  X C )  0 и Zbd  0 .
Тогда U  U ab  U bd  U R  U L  U C  U R  RI . Входное сопротивление цепи
U
Z   Z ab  R – чисто активное.
I
Из условия X L  X C следует, что резонанса можно достичь, изменяя
частоту напряжения источника или параметры реактивных элементов –
индуктивность и емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс,
называется резонансной
угловой
частотой:
0 L 
1
и
0 
1 .
LC
0C
Индуктивное и емкостное сопротивление при резонансной частоте равны
1
L
.
C
Величина
ρ
называется
характеристическим
0C
сопротивлением цепи или контура. Напряжения на индуктивности и емкости
при резонансе равны и могут значительно превышать входное напряжение,
которое равно напряжению на активном сопротивлении. Отношение
напряжения на индуктивности или емкости к входному напряжению при
резонансе называют добротностью контура:
0 L 

3
U L U C I



U
U
RI
LC.
R
В общем случае комплексное входное сопротивление зависит от
частоты и параметров элементов:

1 
j()
,
Z ()  R  jX ()  R  j  L 
  Z ()e

C


Q
модуль комплексного входного сопротивления Z ()  R 2   L 

2
1 
 , угол
C 
1 

 L 

C 
комплексного входного сопротивления ()  arctg 
.
R
В теоретическом случае при R=0 полное сопротивление цепи при
резонансе равно нулю, а ток в контуре бесконечно велик. При R≠0 полное
сопротивление при X L  X C минимально, а ток максимален и равен
U
I  Ip  .
R
Зависимости действующего (или амплитудного) значения тока,
U
напряжений на элементах I () 
, U R ()  RI () , U L ()  LI () и
Z ()
I ()
от частоты приложенного напряжения называют резонансными
U C () 
C
кривыми. Зависимость параметров цепи Z () , X () , () от частоты
приложенного напряжения называют частотными характеристиками.
U
Действующее значение входного напряжения при этом U  m  const .
2
Резонансные кривые тока и напряжения также строят в относительных
I
() имеют
единицах; для разных значений добротности контура кривые
Ip
вид, представленный на рис. 7.4.
4
Рис. 7.4. Резонансные кривые (в относительных единицах) при разной
добротности
Резонансные кривые
представлены на рис. 7.5:
напряжений
и
пояснения
к
построению
Рис. 7.5. Резонансные кривые и пояснения к построению кривых
Замечание: Для цепи с добротностью Q  1
2 возрастание UL от нуля
до значения U происходит монотонно, а для цепи с добротностью Q  1 2
напряжение UL при некоторой частоте L  0 достигает максимального
значения ULmax>U, а затем уменьшается до значения U. Для цепи с
5
добротностью Q  1
2 напряжение UС монотонно убывает от U до нуля, а
для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UС при некоторой частоте
C  0 достигает максимального значения UCmax >U, а затем уменьшается до
нуля.
Частотные характеристики последовательного контура имеют вид,
представленный на рис. 7.6:
Рис. 7.6. Частотные характеристики последовательного контура
Резонансные кривые и частотные характеристики показывают, что цепь
обладает
избирательными
свойствами:
обладает
наименьшим
сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к
резонансной.
Избирательные
свойства
широко
используются
в
электротехнике и радиотехнике. При этом режим резонанса является
нормальным режимом работы устройства. Наоборот, в устройствах, где
резонансный режим не предусмотрен, значительные токи и напряжения
могут быть опасными. Для оценки избирательных свойств цепи вводят
условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания
контура, которую определяют как разность частот, между которыми ток
I
I
1
превышает значение p ( 
). Пересечение горизонтальной линии
2
2 Ip
I
I
1
I p ( 
) с резонансными кривыми определяет граничные частоты
2
2 Ip
1 и 2, между которыми расположена полоса пропускания (рис. 7.7).
6
Рис. 7.7. Полоса пропускания на резонансной кривой
Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания: Q 
0
.
1 2
Модуль комплексного сопротивления цепи
2
1 
1 
0 

2
2 2 
2 
Z ()  R   L 

R


L


R
1

Q





0

C 

 0 0LC 
 0  
Ip
Действующее значение тока I () 
.
2
  0 
1  Q2 
 

 0 
2
2
2
Замечание: При   1 и   2 выполняется соотношение I 
следовательно
полное
сопротивление
цепи
Z   2 R ,
Ip
,
2
реактивная
1,2
составляющая X   X L  X C  R , сдвиг фаз 1,2  45 .
1,2
Подготовка к работе
1. Начертить схему последовательного RLC контура – последовательно
соединенных катушки La с параметрами (Rк, L), конденсатора C и
резистора R. Значения емкости конденсатора представлены в табл. 7.1, для
катушки La индуктивность L=0,13 Гн, сопротивление резистора R =10 Ом.
Вычислить резонансную частоту f 0 , характеристическое сопротивление
контура ρ. Записать аналитические выражения для определения добротности
контура Q , граничных частот f1 и f 2 , ширины резонансной кривой (полосы
пропускания) f  f1  f 2 с учетом сопротивления проводов катушки RК .
Объяснить как, используя показания приборов в режиме резонанса,
определить сопротивление проводов катушки RК .
7
2. Как изменится добротность контура и ширина резонансной
кривой, если сопротивление резистора R увеличить в 2 раза?
3. Записать аналитические выражения резонансных кривых I ( f ) , U R ( f ) ,
Э
U L ( f ) , UC ( f ) (при неизменном действующем значении напряжения U на
входе); частотных характеристик Z ( f ) , ( f ) , где Z — модуль входного
сопротивления контура,   u  i .
4. Построить качественно:
а) частотные характеристики Z ( f ) , ( f ) , отметить значения Z и  при
частотах f  f 0 , f  f1 и f  f 2 ;
U
U
б) в одной координатной плоскости резонансные кривые R ( f ) , L ( f ) ,
U
U
UC
( f ) , отметить значения при частотах f  f 0 , f  f1 и f  f 2 .
U
5. Построить качественно векторно-топографические диаграммы для
частот f  f 0 , f  f1 , f  f 2 .
Э
Таблица 7.1
1
N
С,
22
3
2
33
47
4
56
5
68
мкФ
N
С,
мкФ
6
47; 47
последовательно
7
8
9
10
11
56; 56
68; 68
82; 82
22; 22
33; 33
последовательно последовательно последовательно параллельно параллельно
12
33; 47
параллельно
Содержание и порядок выполнения работы рабочее задание
Схема исследуемой цепи представлена на рис. 7.8. Источником
синусоидального напряжения является модуль ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
ГЕНЕРАТОР. В работе используют измерительные приборы из блоков
ИЗМЕРИТЕЛЬ ФАЗЫ и МОДУЛЬ МУЛЬТИМЕТРОВ.
7.1. Собрать электрическую цепь по схеме, приведенной на рис. 7.8
протокола измерений. Тумблер SA2 модуля ИЗМЕРИТЕЛЬ ФАЗЫ установить в
положение I2. Резистор R выбрать из МОДУЛЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ R=10 Ом.
7.2. Проверить собранную электрическую цепь в присутствии
преподавателя.
7.3. Включить автоматический выключатель QF блока МОДУЛЬ
ПИТАНИЯ и тумблер Сеть модуля ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ГЕНЕРАТОР.
Переключатель Форма установить в положение
. Установить регулятором
Частота значение частоты f  50 Гц.
8
7.4. Регулятором Амплитуда модуля ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ГЕНЕРАТОР
установить действующее значение напряжения U  3–5 В.
7.5. Плавно меняя частоту генератора, модулем ИЗМЕРИТЕЛЬ ФАЗЫ
измерить действующее значение напряжения u, тока i; угол сдвига фаз .
Напряжение U поддерживать в работе неизменным. Заполнить табл. 7.2:
записать значения частоты и действующего значения тока, при котором =0
(резонанс), =±45° (граничные частоты). Провести необходимые
вычисления.
7.6. Повторить опыт, увеличив сопротивление резистора R в 2 раза
(последовательное включение двух резисторов R=10 Ом). Данные занести в
табл. 7.2.
7.7. Рассчитать сопротивление проводов катушки RК (табл. 7.3).
7.8. Рассчитать при R=10 Ом или R=20 Ом по формулам п.1
Подготовки к работе характеристическое сопротивление контура ρ,
добротность контура Q , граничные частоты f1 и f 2 , ширину резонансной
кривой (полосы пропускания) f  f1  f 2 с учетом сопротивления проводов
катушки RК .
7.9. Сравнить опытные и расчетные данные (табл. 7.4).
7.10.Установить R=10 Ом или R=20 Ом.
7.11. Плавно изменяя частоту в пределах от 0,2 f 0 до 2 f 0 , выполнить
измерения действующих значений напряжения на катушке U к и
конденсаторе U C мультиметрами РР, действующее значение тока I , угла
сдвига фаз между напряжением и током на входе  модулем
ИЗМЕРИТЕЛЬ ФАЗЫ. Измеренные значения занести в табл. 7.5.
7.12. Построить в масштабе на миллиметровой бумаге частотные
характеристики и резонансные кривые по аналитическим выражениям п. 3
подготовки к работе.
7.13. Нанести опытные данные на построенные частотные
характеристики и резонансные кривые, проанализировать полученный
результат.
7.14. Выключить тумблер Сеть модуля ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
ГЕНЕРАТОР и автоматический выключатель QF модуля питания.
9
Протокол измерений к лабораторной работе № 7
Схема исследуемой электрической цепи представлена на рис. 7.8.
Рис. 7.8. Схема для исследования резонанса напряжений
Параметры элементов цепи: L=0,13 Гн; С 
Экспериментальные данные при U 
мкФ.
B занесены в табл. 7.2.
Таблица 7.2.
R=10 Ом
теоретический расчет: f0 =_______ Гц
=0
f0 =
Гц
I0 =
мА
f 
=-45°
f1 =
Гц
I1 =
мА
Q
=+45°
f2 =
Гц
I2 =
мА
I0

I1
f0

f
I0

I2
R=20 Ом
теоретический расчет: f0 =_______ Гц
=0
f0 =
Гц
I0 =
мА
f 
Q
=-45°
f1 =
Гц
I1 =
мА
=+45°
f2 =
Гц
I2 =
мА
10
I0

I1
f0

f
I0

I2
Таблица 7.3
R=10 Ом
U  B I0 =
мА
RК =
Ом
R=20 Ом
U  B I0 =
мА
RК =
Ом
RК 
RК  RК
=
2
Ом
Таблица 7.4
R=
Ом, RК =
Ом
Теоретический расчет
Эксперимент (табл. 7.2)
f0
f1, f2
f  f1  f 2
ρ
Q
Экспериментальные данные при U 
7.5. RЭ  R  RК = _______ Ом.
B, R=
Ом занесены в табл.
Таблица 7.5
f , Гц
f1
f0
I, мА
 , град
UC , В
Uк , В
U Rэ  ( R  RК ) I , В
U L  U К2   RК I 
2
UC
U
UL
U
U Rэ
U
11
f2
Содержание отчета
Заполнить табл. 7.4, провести проверку результатов теоретического
расчета и экспериментальных данных. Построить теоретические зависимости
частотных характеристик и резонансных кривых. Сравнить теоретические
зависимости с экспериментальными. Построить векторные диаграммы тока и
напряжений при резонансной и граничных частотах.
Контрольные вопросы
1. По каким из резонансных характеристик следует определять
добротность и ширину резонансной кривой?
2. В последовательном RLC контуре при резонансе известны
приложенное напряжение U, напряжение на катушке U К и напряжение на
конденсаторе U С . Почему добротность цепи, определенная как Q1 
Q2 
UК
и
U
UC
получается различной? В каком случае она больше?
U
3. Как доказать равенство 12  02 , где 1 , 2 и 0 — граничные
частоты полосы пропускания и резонансная частота последовательного RLC
контура?
4. Как влияет на добротность и ширину резонансной кривой изменение
резистивного сопротивления последовательного RLC контура? Сравните
данные теоретического расчета и экспериментальные данные Таблицы 7.2.
Объясните расхождение данных.
5. Построить зависимости I (С ) , U R (С ) , U L (С ) , UC (С ) (при неизменном
Э
действующем значении напряжения U и частоте f= f0).
6. Построить зависимости I ( L) , U R ( L) , U L ( L) , U C ( L) (при неизменном
Э
действующем значении напряжения U и частоте f= f0).
12