Геометрия-10: Тезисы лекций Вавилова для школы Колмогорова

Вавилов В.В.
Геометрия-10
(тезисы лекций)
Школа имени А.Н. Колмогорова
2008
45-летию школы им. А.Н. Колмогорова
Вавилов В.В.
Геометрия -10 (Тезисы лекций). -М.: Школа им А.Н. Колмогорова, 2008, -38с.
Одной из отличительных и существенных особенностей учебного плана школы им.
А.Н. Колмогорова при МГУ им. М.В. Ломоносова является то, что наши десятиклассники
практически весь учебный год продолжают изучать (и повторять) планиметрию. Конечно,
в более широком плане, чем это обычно принято. В книге изложены тезисы одночасовых
лекций для десятиклассников двухгодичного потока обучения физико-математического
профиля и она адресована, главным образом, учителям.
Тематика семинарских занятий по курсу геометрии в этом в первом семестре
такова: Геометрия треугольника, Площадь многоугольника, Задачи на клетчатой бумаге,
Основные математические принципы, Площадь круга и его частей. Второй семестр
посвящен преобразованию инверсии, классической геометрии треугольника, геометрии
масс, основам проективной геометрии.
© В.В.Вавилов,2008
©СУНЦ МГУ
Введение
Общие цели изучения курса геометрии мало чем отличаются от тех целей,
которые пытаются достигнуть в массовой средней (да и высшей) школе. Если говорить о
них коротко, то это – изучение свойств геометрических фигур на плоскости и в
пространстве, формирование пространственных представлений в широком понимании
этого слова, развитие логического мышления, подготовка аппарата, необходимого для
изучения смежных дисциплин.
На курс геометрии отводится 102 часа в учебный год (3 часа в неделю) как при
двухгодичном, так и при одногодичном обучении в физико-математическом потоке. Так
же и в массовой школе. Однако, мы в процессе обучения придерживаемся лекционносеминарской системы; при этом, как правило, еженедельно читается одночасовая лекция.
Одним из существенных отличий нашего курса является то, что при каждой возможности
(тема, наличие времени, соответствующая подготовка) мы не упускаем из виду принцип «
элементарная математика с точки зрения высшей», т.е. включаем (по крайней мере, в
лекционный материал) те темы, которые выходят за рамки обычной школьной
программы, но нацелены на расширение кругозора и более точного понимания изучаемой
темы; при этом выбираем те темы и фрагменты из них, которые в высшей школе, как
правило, даже не обсуждаются. В конце каждого семестра проходит зачет или экзамен
(это зависит от потока и класса).
Учебный процесс по курсу геометрии и контроль за ним в школе организован
следующим образом. Один час в неделю отводится лекции (3-4 лекции в год
используются на контрольные работы); тематика этих лекций приведена ниже. Два часа
в неделю отводится на практические занятия и, частично, на текущие коллоквиумы.
Лектор, совместно с другими преподавателями, разрабатывает тематические списки
задач по изучаемой теме, часть из которых изучается на уроках, часть – в ходе
самостоятельной работы. Однако, потом все учащиеся без исключений должны сдать этот
список задач преподавателю на соответствующем тематическом коллоквиуме или
отчитаться перед преподавателем в другой выбранной им форме, предъявив тетрадь с
соответствующими записями. При этом неукоснительным требованием является система
оформления задач, выносимых на такой коллоквиум: четкие чертежи, выполненные
линейкой, циркулем и обязательно с применением цвета, полнота аргументации в
решениях, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если у школьника к
первой попытке отчитаться за список задач эти требования не выполнены, то он не
допускается к коллоквиуму и в дальнейшем уже не может получить отличную оценку (до
двойки ни один учащийся не опускается, однако 3-4 тройки все-таки, как правило,
имеются). Сдачу очередного коллоквиума мы организуем как за счет внеклассных часов,
так и в течение основного времени, используя наличие двух преподавателей в каждом
классе и на каждом уроке. Кроме того, контролю за качеством обучения служат
контрольные работы, зачеты и экзамены.
Учебный план курса геометрии и его реализация в нашей школе сильно
отличаются от учебных планов средних школ (как массовой, так и специализированной).
Главное отличие состоит в том, что в десятом классе проходит повторительный курс
планиметрии и только в одиннадцатом классе изучается систематический курс
стереометрии (иногда этот курс начинается во втором полугодии десятого класса, что
зависит только от руководителя курса; сказанное относится к двухгодичному обучению).
Такой учебный план нам позволяет не только повторить и систематизировать знания,
умения и навыки, полученные ранее, но и расширить объем знаний, уделить особое
внимание конкурсным экзаменам в вузы, использовать ПК в обучении, привить интерес к
изучению математики, а также реализовать на практике принципы обучения, связанные с
развитием математической культуры школьников (напомним здесь снова, что наши
учащиеся уже проявили интерес к изучению математики и физики). Кроме того, такая
возможность преподавания позволяет уделить более серьезное внимание по-настоящему
прикладным вопросам и использованию ПК, установить межпредметные связи, а также
не забыть «деятельность руками» (склеить, построить, сосчитать, нарисовать и т.д.);
последнему обстоятельству служат задания математического практикума (см. ниже).
Остановимся кратко на некоторых моментах исторического характера, связанные с
деятельностью А.Н.Колмогорова по постановке, в частности, геометрических курсов, как
в школе, которая сейчас носит его имя, так и во всей массовой средней школе.
Специализированная школа-интернат при МГУ (наряду с аналогичными школами
при университетах в Новосибирске, Ленинграде и Киеве) были открыты в 1963 году. В тот
период, и вплоть до реформы математического образования в 70-х годах, программы по
математике были едиными для всех школ СССР (специализированных школ, классов,
факультативных курсов - как системы – тогда не было) и единственным действующим
учебником по геометрии был учебник А.П. Кисилева. Напомним, что широкому
распространению этого учебника способствовал задачник Н.А.Рыбкина, ориентированный
на этот учебник А.П. Кисилева. Менее известными в учительской среде были учебники
более давнего времени – А.Ю. Давидова, Н.А. Извольского, Н.А.Глаголева, А.А.
Глаголева, Ж.Адамара, Э.Бореля и некоторые другие.
Реформа математического образования к шестидесятым годам прошлого века
назрела. Школьный курс математики пришел в явное противоречие с потребностями
общества в математических знаниях и умениях. Отчетливо понимая это,
преподавательский коллектив школы, при непосредственном руководстве А.Н.
Колмогорова, и разрабатывал первоначальные программы математических курсов в
школе при МГУ, ныне – школе им. А.Н.Колмогорова при МГУ.
Формулируя цели, задачи и основные дидактические принципы преподавания
математических курсов в специализированной школе при университете, А.Н.Колмогоров
не только опирался на историю постановки математического образования в нашей стране
и за рубежом , с которой он хорошо был знаком, но и постоянно экспериментировал.
“При современном состоянии нашей общеобразовательной школы занятия в
первом семестре специализированной математической школы неизбежно в значительной
мере состоит в переучивании учащихся, которые должны понять логический стиль
современной математики и разобраться в том, что из сложившихся обычаев
удовлетворяться более расплывчатыми знаниями должно быть отброшено.
Вместе с тем, этот переход на более современный логический уровень мышления
не должен быть слишком резким и не должен привести к отрыву постепенно
накапливающихся более отчетливых и формально строго изложенных знаний от уже
имеющегося запаса наглядных представлений и навыков решения задач с реальным
содержанием”.
Именно так мы и пытаемся работать.
Лекция 1. Теоремы Пифагора и Евклида.
Содержание этой лекции составляет непопулярное сейчас доказательство одной
из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Хотя не так уж и давно,
именно такое доказательство содержалось в обязательной части школьных
учебников. Конструкция, при помощи которой она доказывается, богата задачным
материалом и имеет интересные обобщения. Довольно емкий материал может быть
положен в основу исследовательского проекта школьников (см. [4]).
«Пифагоровы штаны на все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и
показать» - так поется в одной шутливой песенке. Эти «штаны» появляются, когда на
каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены
квадраты. А сам этот рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида
«Начала», написанного в III веке до н.э., и был положен ее автором в основу
доказательства теоремы Пифагора. В англоязычных странах так полученную фигуру
часто называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты
(существует мнение, что слово “ невеста” появилось из-за того, что переводчик с
греческого неправильно истолковал слово “нимфа“). А французы называли ее
ослиным мостом.
Эта, пожалуй, самая известная теорема математики имеет множество
доказательств. В некоторых странах в средние века, чтобы получить ученое звание
магистра, нужно было изобрести свое собственное доказательство этой теоремы. В
книге английского педагога Е. Лумиса, например, обсуждаются и классифицируются
370 доказательств теоремы Пифагора.
Доказательство Евклида теоремы Пифагора основано на утверждении о том,
что если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной его основанию,
то его площадь при этом не изменяется (то есть два треугольника с равными
основаниями и равными соответствующими им высотами, являются равновеликими).
Здесь уместно сделать одно замечание: в своей первой книге "Начал" все теоремы о
площадях (в частности, и теорема Пифагора) формулируются как предложения о
равновеликости и для их доказательств формулы для вычисления площадей не
используются. Так, например, вместо привычного нам предложения, что площадь
треугольника равна половине произведения основания на высоту, доказывается, что
треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равное
основание и высоту.
Евклид во второй книге своих "Начал" (предложения 12 и 13; см. [1]) рассмотрел,
более общую, чем в теореме Пифагора, ситуацию.
Теорема Евклида. Имеют место следующие два утверждения:
а) квадрат стороны, лежащий против острого угла треугольника, равен
сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих
сторон на проекцию на нее другой стороны;
б) квадрат стороны, лежащий против тупого угла тупоугольного
треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с
удвоенным произведением одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны.
Теорема Пифагора является, конечно, частным случаем теоремы Евклида. В
качестве еще одного следствия теоремы Евклида отметим следующее утверждение:
Квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов двух
других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или
тупой.
А отсюда немедленно получается и следующее обобщение обратной теоремы
Пифагора:
Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря потому, будет
ли квадрат противолежащей этому углу стороны равен, меньше или больше суммы
квадратов двух других его сторон.
Литература:
1. Евклид. Начала. (тт. 1-3) // М.-Л.: Гостехиздат, 1948-1950.
2. Литцман В. Теорема Пифагора. // М.: Просвещение, 1960.
3. Вавилов В.В. По следам теоремы Пифагора. -М: Школа имени А.Н.
Колмогорова, 2000.
4. Вавилов В.В., Пифагоровы штаны. – Журнал «Потенциал», 9(2007).
Лекция 2. Теоремы Пифагора и Паппа
Первая часть лекции посвящена двум различным доказательствам теоремы
Пифагора (отличных от доказательства Евклида), которые используют идею
равносоставленности многоугольников. С одной стороны, это два других доказательства, а
с другой – это методическая заготовка для следующей лекции.
Во второй части лекции рассматривается одно любопытное обобщение теоремы
Пифагора, которое получил еще один знаменитый древнегреческий математик Папп
Александрийский (2-я пол. III в.).
Теорема Паппа. Пусть ABC- произвольный треугольник и на сторонах АВ и АС
во внешнюю сторону построены произвольные параллелограммы АА'B'В и АСС''А"
таким образом, чтобы они не накладывались друг на друга. На стороне ВС построим
параллелограмм ВВ'"С'"С также во внешнюю сторону, у которого ВВ'" || АР и ВВ'" =
АР, где Р - точка пересечения прямых A'B' и А"С". Тогда площадь третьего
параллелограмма равна сумме площадей первых двух.
Теорема Пифагора является, конечно, простым частным случаем этой теоремы.
Отметим, что лекции сопровождаются историческими рассказами, а на них
приносится основополагающий труд Евклида «Начала», с которым все желающие
могут ознакомиться на уроках по геометрии; обычно, мы просто «пускаем ее по
рядам».
Литература:
1. Литцман В. Теорема Пифагора. // М.: Просвещение, 1960.
2. Вавилов В.В. По следам теоремы Пифагора. - М: Школа имени А.Н.
Колмогорова, 2000.
3. В.В. Вавилов, П.М. Красников. Пифагоровы штаны. -Учебно-методическая
газета «Математика», 17(2005).
Лекция 3. Теорема Бойяи – Гервина
(о равносоставленности многоугольников)
Считается, что теорема, о которой идет речь ниже, доказали независимо друг от
друга венгерский математик и поэт Фаркаш Бойяи (1832), друг К.Ф. Гаусса и (годом
позже) простой любитель математики Пауль Гервин, который был лейтенантом пехотного
полка прусской армии. Доказательство Фаркаша Бойяи (он отец Яноша Бойяи, одного из
создателей неевклидовой геометрии) было довольно громоздким, а доказательство П.
Гервина довольно элегантным и простым, которое и по сей день излагается в
математической литературе.
Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно
разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить другой многоугольник.
Теорема Бойяи - Гервина. Два любых многоугольника равновелики тогда и
только тогда, когда они равносоставлены.
Если не удается на лекции, то мы знакомим учащихся с одним малоизвестным
доказательством теоремы косинусов с использованием метода дополнения, суть которого
( в одном из случаев) ясна из рисунка
a2
с
b2
C
a
b
с
-abcosC
Математический практикум: 1.Разрезать два равносторонних треугольника на
части, из которых можно сложить один квадрат. Изготовить картонную модель.
2. Возьмите плотный лист бумаги и нарисуйте любые три квадрата. Дважды
проделайте описанные на лекции разбиения квадратов на многоугольники. Используя
ножницы, вырежьте полученные части и сложите из них квадрат. Интересно, сколько
времени вам на это потребуется? Можно предложить сложить из этих готовых частей
квадрат школьнику, который не проделывал сам этих разбиений – эффект гарантирован.
Литература:
1. Болтянский В.Г. “Равновеликие и равносоставленные фигуры”. Популярные лекции
по математике. Выпуск 22. -М.: Государственное издательство Технико-теоретической
литературы.1956.
2. Кордемский Б.А. Русалев Н.В. “Удивительный квадрат”. -М.: Государственное
издательство Технико-теоретической литекратуры,1952.
3. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. -М.: Мир, 1986.
4. В.В. Вавилов, П. М. Красников, Разрезание и складывание многоугольников. –
Учебно –методическая газета «Математика. 1 сентября», 3(2006).
Лекция 4. Правильные многоугольники на решетках
Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с достаточно
интенсивным двусторонним движением), который позволяет задачи алгебры, анализа,
теории чисел переводить на геометрический язык и наоборот – задачи дискретной
геометрии облекать в аналитическую форму.
Сначала даются необходимые здесь определения и обсуждается правило
параллелограмма: Если три вершины параллелограмма являются узлами некоторой
решетки точек, то четвертая его вершина также является узлом этой же решетки.
Теорема. Плоский правильный n-угольник при n = 5 и n > 6 нельзя расположить ни
на одной решетки на плоскости ( или в пространстве).
Отдельно выделяется целочисленная решетка точек Z2, на которой никакой
правильный многоугольник расположить нельзя, кроме квадрата, а также рассматривается
решетка, на которой можно расположить правильные треугольник и шестиугольник, но
нельзя расположить никакой другой правильный многоугольник.
Следствие: При любом n >3 число cos(/n) – иррационально.
Данное следствие ярко демонстрирует геометрические возможности для решения
задач теории чисел.
На решетке Z2 рассматриваются также полуправильные многоугольники двух
типов: с равными сторонами (равносторонние) и с равными углами (равноугольные).
Теорема. 1. Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z2
можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.
2. Среди всех равносторонних многоугольников на решетке Z2 можно
расположить многоугольник с любым четным числом сторон и нельзя расположить ни
одного многоугольника с нечетным числом сторон.
Литература:
1. А.А. Егоров, Решетки и правильные многоугольники. – Журнал «Квант»,
12(1974).
2. В.В. Вавилов, А.В. Устинов, Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.
3. В.В. Вавилов, А.В. Устинов, Полуправильные многоугольники на решетках.Журнал «Квант», 6(2007).
Лекция 5. Формула Пика
Формула чешского математика Георга Александра Пика была доказана в 1899 году,
но стала широко известной только после публикации прекрасной книги Г. Штейнгауза [1].
Мы доказываем несколько более общую теорему, чтобы подчеркнуть также ее
комбинаторный характер и подготовить аудиторию к восприятию следующей лекции.
Напомним, что многоугольник называется простым, если его границей является
простая замкнутая непересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две
стороны.
Теорема Пика. Следующие три утверждения эквивалентны:
1. Для любого простого многоугольника М на решетке  имеет место формула
Пика:
[M] = (Ni + Ne/2 – 1)(),
где [M] и ()– площади М и фундаментального параллелограмма решетки ,
соответственно; Ni – число узлов решетки, расположенных внутри М, а Ne – число узлов
решетки, расположенных на границе М.
2. Площадь примитивного треугольника на решетке  равна ()/2.
3. В любом разбиении простого многоугольника (расположенного на решетке) на
примитивные треугольники для их числа N выполняется равенство:
N = 2Ni + Ne – 2.
Здесь примитивным называется треугольник, все вершины которого являются
узлами решетки  и который ни на своей границе, ни внутри не имеет узлов решетки.
Под эквивалентностью здесь понимается то, что каждое из утверждений теоремы
может быть получено в качестве следствия из любого другого указанного утверждения.
Из многих имеющихся доказательств (см [4]) мы выбираем то (в пропедевтических
целях), в котором широко используется принцип математической индукции.
Вопрос об аналогах этой теоремы в пространстве не затрагивается – см. работу [5].
Лабораторная работа: Найти площадь восьмиугольника, который получается
после соединения каждой вершины параллелограмма с серединами «противоположных»
ей сторон. Рассматриваются и другие варианты этой задачи, в которых удается построить
решетку (которая в задаче не фигурирует), на которых расположены интересующие нас
многоугольники.
Литература:
1. Г. Штейнгауз, Математический калейдоскоп, -М.: Наука, 1981.
2. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
3. В.В. Вавилов, Избранные лекции по геометрии. – Алматы: Дарын, 2000.
4. В.В. Вавилов, А.В. Устинов, Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.
5. А.Г. Кушниренко, Целые точки в многоугольниках и многогранниках. – Журнал
«Квант», 4(1977).
Лекция 6. Две знаменитые формулы
Правильная триангуляция простого многоугольника – это такое разбиение его на
треугольники, когда любые два треугольника либо имеют общую сторону, либо имеют
только одну общую вершину, либо вообще не имеют общих точек.
Пусть многоугольник М правильно триангулирован и число треугольников равно
N; через Ni и Ne обозначено, соответственно, число вершин треугольников, находящихся
строго внутри М, и число вершин треугольников, находящихся на границе М.
Тогда, если Е – общее число всех сторон треугольников, то для любой правильной
триангуляции имеют место два комбинаторных равенства:
3N = 2E – Ne,
E = 3Ni + 2Ne – 3.
Один из самых важных комбинаторных результатов для правильных карт (связанных
графов) был обнаружен Л. Эйлером в 1750 году. Правильная карта – это такое разбиение
многоугольника на другие многоугольники, которые удовлетворяют тем же требованиям,
что и при правильной триангуляции. Тогда формула Эйлера утверждает, что для любой
правильной карты
V + F – E = 1,
где V обозначает число вершин всех многоугольников, F – число всех многоугольников
разбиения, Е – общее число всех сторон многоугольников разбиения.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
1. Для триангуляции простого многоугольника N = 2Ni + Ne – 2;
2. Для триангуляции простого многоугольника E = 3Ni + 2Ne – 3;
3. Для правильной плоской карты имеет место формула Эйлера
V + F – E = 1.
Теорема 2. Формулы Эйлера и Пика эквивалентны.
Под эквивалентностью здесь понимается то, что каждое из утверждений теоремы
может быть получено в качестве следствия из любого другого указанного утверждения.
Связи между формулами Пика и Эйлера подсказывают, что существует аналог
формулы Пика и в более общем случае. Простейшим таком обобщением является
распространение теоремы Пика на простые многоугольники с «лакунами» (отверстиями),
которые сами являются простыми многоугольниками.
Теорема 3. Для любого простого многоугольника М с n простыми лакунами на
решетке  имеет место равенство
[M] = (Ni + Ne/2 – 1+ n)(),
где [M] и ()– площади М и фундаментального параллелограмма решетки ,
соответственно; Ni – число узлов решетки, расположенных внутри М, но не на границе
лакун и не внутри лакун, а Ne – число узлов решетки, расположенных на границе М и на
границах всех лакун.
Литература:
1. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
2. В.В. Вавилов, А.В. Устинов, Многоугольники на решетках. – М.: МЦНМО, 2006.
3.В.В. Вавилов, А.В. Устинов, Две знаменитые формулы.- Журнал «Квант»,
2(2008).
Лекции 7,8. Плоские мозаики
Широко известны покрытия плоскости правильными многоугольниками (без
самопересечений), которые состоят только из квадратов, или только из правильных
треугольников (шестиугольников).
Доказывается, что других покрытий плоскости такого типа не существует
Специфика отмеченных покрытий состоит в том, что в каждом из них участвуют
правильные многоугольники одного вида и «звезды» в каждом узле такой мозаики
одинаковы (звезда – это какой-либо узел и стороны всех многоугольников, его
содержащих).
Попробуем снять ограничение о том, что в покрытии правильными
многоугольниками участвуют только одинаковые правильные многоугольники. Но, что
важно, сохраним условие, что в каждом таком возможном покрытии правильными
многоугольниками без наложений, все «звезды устроены одинаково». Именно такие
покрытия плоскости и называются мозаиками (или правильным паркетами).
Теорема. Существует только одиннадцать различных, т.е. не накладывающихся
друг на друга, мозаик.
Наметим здесь доказательство. Рассмотрим какой-либо узел мозаики и обозначим
через pk – число примыкающих к нему правильных k – угольников, а через k = (1 – 2/k) величину внутреннего угла правильного k – угольника. Тогда в каждом узле мозаики
имеет место соотношение
 k pk  2 ,
где в сумму включаются все слагаемые с номерами k, для которых к узлу примыкает хотя
бы один k – угольник (для остальных k, по определению, полагаем pk = 0.
Таким образом,
2
(*)
 (1  k ) pk  2.
Ясно, что в узле мозаики сходится не менее трех и не более шести правильных
многоугольников
Рассмотрим, по отдельности, мозаики с тремя, четырьмя, пятью и шестью
многоугольниками в узле.
А) В случае трех многоугольников в узле, они могут быть все одинаковыми; тогда
из (*) получаем 3(1-2/k) = 2, т.е.k = 6.
Возможна ситуация, когда в узле сходятся два одинаковых k – угольников и один,
отличный от них, правильный n – угольник. Здесь уравнение (*) влечет, что (1-2/n) + 2(1–
2/k)= 2, т.е.
k = 4n/(n-2) = 4 + 8/(n-2).
Целые k получаются только при n = 3,4,6,10; соответствующие им k = 12,8,6, 5. Таким
образом, для построения мозаик здесь возникают три различных возможных устройств
узлов.
Итак, для случая трех многоугольников осталось изучить уравнение
1/n + 1/m + 1/k = 1/2 ,
(**)
т.е. когда в к узлу примыкают три различных многоугольника (с n, k и m сторонами).
Заметим, что среди троек натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению (**) и
отвечающих некоторой мозаике нет таких, среди которых имеется хотя бы одно нечетное
число. Действительно, предположив, например, что k – нечетное число, легко убеждаемся,
что попеременно к его сторонам нельзя приставить правильные n- угольники и m –
угольники так, чтобы получить мозаику.
Таким образом, можно считать, что n = 2n1, m = 2m1 , k = 2k1 и из (**) заключаем,
что
1/n1 + 1/m1 + 1/k1 = 1.
Без ограничения общности можно считать, что k1 < m1 < n1. Тогда
1 = 1/n1 + 1/m1 + 1/k1 < 3/k1
и, следовательно, k1 = 2 и
1/n1 + 1/m1 = 1/2.
Единственным нужным решением этого уравнения служит пара натуральных чисел
m1 = 3, n1 = 6.
Б) Изучим теперь те возможности, когда в узле мозаики сходятся четыре
правильных многоугольника; здесь мы имеем уравнение
1/n + 1/m/ + 1/k/ + 1/l =1,
причем можно считать, что l  k  m  n.
Заметим, что если l > 4, то 1/l < 1/ 4 , 1/n < 1/ 4 , 1/m < 1/ 4 , 1/k < 1/ 4 и поэтому
1/n + 1/m + 1/k + 1/l < 1.
Таким образом, l  4.
С) Рассмотрим еще одну возможность – в каждом узле встречаются 5 правильных
многоугольников. Здесь мы получаем уравнение вида
1/n + 1/m + 1/k + 1/l +1/j = 3/2 ,
где также считаем, что j  l  k  m  n . Легко показать (также, как и выше), что j = l = k =
3 и поэтому
1/n + 1/m = 1/ 2.
Д) Ясно, что если в узле сходится шесть правильных многоугольников, то они все
являются правильными треугольниками.
Для подведения итогов исследования (для завершения доказательства теоремы)
нужно не только найти все возможные здесь целочисленные решения уравнений, но и
затем убедиться, что им отвечают соответствующие мозаики (что происходит не всегда!).
При изучении этой темы крайне полезным является компьютерный продукт [4],
разработанный с участием преподавателей школы им. А.Н. Колмогорова, и который мы
используем.
Математический практикум: 1) Построить при помощи циркуля и линейки одну
из мозаик 2) Познакомиться с темой «Мозаики» при демонстрациях в классе (см.[4]).
Литература:
1. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
2. А.Н. Колмогоров, Паркеты из правильных многоугольников. – Журнал «Квант»,
8(1986).
3. О. Михайлов, Одиннадцать правильных паркетов. –Журнал «Квант», 2(1979).
4. Дубровский В.Н., Башмаков М.И., Вавилов В.В., Высоцкий И.Р., Земляков А.Н.,
Калиниченко В.В., Ландо С.К., Наумов А.., Пантуев А.В., Первин Ю.А., Поздняков С.Н.,
Прохоров А.В., Сиротин А.Н., Храповицкий И.С., Чехлова А.В., Шабат Г.Б., Шестаков
П.С., Образовательный комплекс «Математика 5-11» // Москва: ЗАО «1С», АНО
«Учебно-издательский центр «Интерактивная линия», Учреждение «Институт новых
технологий», 2004.
Лекции 9,10,11. Основные математические принципы
Рассматриваются три основных математических принципа и их применения в
геометрии: принцип математической индукции, принцип Дирихле, принцип включенияисключения.
Основной акцент в изучении этих принципов делается на классные занятия,
предусматривающие и проведение соответствующего коллоквиума.
1. Принцип математической индукции.
Принцип математической индукции в привычной форме двух шагов впервые
появился в 1654 году в работе Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»,
в которой индукцией доказывается простой способ вычисления числа сочетаний
(биномиальных коэффициентов). Д. Пойа в книге [1] цитирует Б. Паскаля с небольшими
изменениями, данными в квадратных скобках:
«Несмотря на то, что рассматриваемое предложение [явная формула для
биномиальных коэффициентов] содержит бесчисленное множество частных случаев, я
дам для нее совсем короткое доказательство, основанное на двух леммах.
Первая лемма утверждает, что предположение верно для основания – это очевидно.
[При n = 1 явная формула справедлива…].
Вторая лемма утверждает следующее: если наше предположение верно для
произвольного основания [для произвольного n], то оно будет верным и для следующего
за ним основания [для n+1].
Из этих двух лемм необходимо вытекает справедливость предложения для всех
значений n. Действительно, в силу первой леммы оно справедливо для n = 1;
следовательно, в силу второй леммы оно справедливо для n = 2; следовательно, опять-таки
в силу второй леммы оно справедливо для n = 3, и так до бесконечности».
Итак, логическая схема, состоящая из двух шагов:
 Первый шаг – базис индукции (проверка предположения для основания),
 Второй шаг – индуктивный переход или шаг индукции, включающий в
себя предположение (утверждение верно при n = k) и заключение
(утверждение верно при n = k + 1),
и позволяющая заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных
чисел (или для всех, начиная с некоторого), так как справедливы и базис и переход,
называется принципом математической индукции, на котором и основан метод
математической индукции. Параметр n называется параметром индукции.
Ранее уже использовался принцип математической индукции в геометрии при
вычислении суммы углов простого многоугольника, теоремы Бойяи-Гервина о
равносоставленности, формул Пика и Эйлера. Еще один пример применения принципа
математической индукции дается на следующей лекции.
2. Принцип исключенного третьего
Этот впервые был сформулирован Аристотелем и представляет собой принцип
классической формальной логики, утверждающий, что всякое суждение или истинно, или
ложно, третьего не дано. На этом принципе основываются:
а) один из наиболее используемых приемов установления истины в математике –
метод доказательства от противного. А именно, чтобы убедиться в справедливости
некоторого утверждения А, мы берем противоположное ему не-А и путем строгих
логических рассуждений приходим к некоторому абсурдному следствию из него, “reductio
ad absurdum”. Отсюда, согласно принципу исключенного третьего заключаем, что если неА ложно, значит А – истинно, третьего не дано, “tertium non datur”.
Наиболее яркий пример использования этого метода представляет собой известная
в планиметрии теорема Сильвестра: Никакое конечно число точек нельзя расположить на
плоскости так, чтобы прямая, проходящая через любые две из них, проходила бы также
через третью, если только эти точки не лежат все на одной прямой. Эта теорема имеет
богатую историю, но простое и изящное ее доказательство было получено только тогда,
когда сильвестровское “отрицательное” утверждение
было переформулировано в
“положительной форме”.
Теорема. Если n точек плоскости не лежат на одной прямой, то существует прямая,
проходящая в точности через две из этих точек.
б) метод доказательства основанный на построении контрпримера, то есть
примера, который опровергает истинность какого либо утверждения, доказывая тем
самым, согласно принципу исключенного третьего, его ложность. Построение
контрпримера является классическим способом опровержения гипотез.
в) метод доказательства, опирающийся на эквивалентность доказываемой
теоремы и теоремы противоположной для обратной к данной.
Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом
многоугольнике?
3. Принцип Дирихле
При решении самых различных задача часто бывает полезен так называемый
“принцип Дирихле”, названный в честь немецкого математика Петера Густава Лежена
Дирихле; по-другому этот принцип еще называют “принципом ящиков” или “принципом
голубятни”. Этот принцип часто является хорошим средством при доказательстве
важнейших теорем в теории чисел, алгебре, геометрии.
Наиболее часто принцип Дирихле формулируется в одной из следующих форм:
Если пять кроликов помещены в четыре клетки, то в одной из клеток находятся
не менее двух кроликов; или, другими словами, нельзя посадить пять кроликов в четыре
клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не более одного кролика.
В более общей форме этот принцип выглядит так: если (n+1) кролик помещен в n
клетках, то имеется клетка, в которой находятся не менее двух кроликов.
Это просто утверждение можно обобщить: если (2n+1) кроликов помещены в n
клетках, то по крайней мере, в одной клетке находятся не менее трех кроликов.
Более общая форма принципа Дирихле, включающая все предыдущие, такова:
Если (kn+1) кролик помещен в n клетках, то в одной из клеток находятся не менее
(k+1) кролика; или в эквивалентной форме – нельзя посадить (kn+1) кролика в n клеток
так, чтобы в каждой клетке находилось не более k кроликов.
Задача 1. Равносторонний треугольник АВС и квадрат MNPQ вписаны в
окружность длины L. Ни одна из вершин треугольника не совпадает с вершинами
квадрата. Их вершины делят окружность на семь частей. Докажите, что, по крайней мере,
одна из них имеет длину не больше L/24.
Задача 2. В квадрате со стороной 1 расположено несколько окружностей с суммой
их длин, равной 10. Докажите, что существует прямая, параллельная сторонам квадрата,
которая пересекает не менее четырех окружностей.
4. Принцип включения-исключения.
Наряду с рассмотренными выше принципами принцип (формула) включения исключения является важнейшим математическим инструментом. Особенно, в
комбинаторике, когда, зная число элементов в каждом из конечных данных множеств,
нужно найти число элементов другого множества, которое составлено из данных при
помощи некоторых операций (объединений, пересечений и т.д.).
Если множества А1 и А2 состоят из конечного числа элементов, то
n(A1A2) = n(A1) + n(A2) – n (А12),
(1)
где n(X) обозначает число элементов множества Х, А12 = A1A2 .
Эта одна из важных формул в комбинаторике; ее называют правилом сложения. С
ее помощью можно получить формулу для числа элементов объединения любого числа
конечных множеств. Например, для трех множеств имеем (обозначения вида А ij и A123
носят описанный выше характер)
n(A1  А2  А3) = n(A1  (А2  А3)) =
= n(A1) + n(A2  A3) – n( (A1  (A2  A3)) =
= n(A1) + n(A2) + n(A3) – n(A23) – n(A12  A13) =
= n(A1) + n(A2) + n(A3) – n(A23) - n(A12) - n(A13) + n(A12  A13).
Таким образом,
n(A1  А2  А3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) – n (A12) – n (A13) – n(A23) + n(A123).
Здесь мы применили два раза правило сложения для двух множеств и использовали
то, что A1  (A2  A3) = А12  А13.
Полученная формула, как и формула (1), являются частными случаями общего
принципа (формулы) включений – исключений.
Задача (Л. Кэрролл). В ожесточенной драке более 70% участников повредили
глаз, 75% - ухо, 80% - руку, 85% - ногу.
Каково наименьшее количество повредивших глаз, ухо, руку и ногу?
Ответ: Полных неудачников драки - не менее 10%.
Эта задача придумана известным детским писателем и математиком Льюисом
Кэрроллом, автором книг «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье», давно уже
ставших достоянием мировой культуры.
Задача На столе, площади 1, лежат три журнала, площади которых K1, K2, K3 не
меньше 1/2. Какую наибольшую площадь пересечения могут иметь два журнала? Ответ:
Решенные задачи позволяют сформулировать принцип включения – исключения в
общем виде. Пусть имеется n объектов и n() из них обладают некоторым свойством ;
подобным же образом через n() , n() обозначим, соответственно, число тех объектов,
которые обладают свойствами , ,... Если через n(,), n(,), n(,), n(,,) обозначить
число объектов, которые обладают теми свойствами, которые указаны в скобках, то число
объектов, которые не обладают ни одним из свойств , , , … равно
n – n() – n() – n() + n(,) + n(,) + n(,) – n(,,) + …
Этот общий прием (формула) имеет место, конечно, для любого конечного числа
свойств объектов. При этом, если свойств у объектов много, то число членов в
написанном выражении, естественно, возрастает.
Во втором семестре рассматриваются и изучаются еще два математических
принципа: принцип непрерывности и принцип двойственности.
Коллоквиум: Основные математические принципы
Литература
1. Д. Пойа, Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.
2. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
3. В.В. Вавилов, Принцип Дирихле. – Газета «Математика. 1 сентября», 15(2006).
4. В.В.Вавилов, М.Е. Колоскова, Принцип математической индукции. – Журнал
«Потенциал», 2(2008).
5. В.В. Вавилов, М.Е. Колоскова, Принцип включения-исключения, Журнал
«Потенциал», 3(2008).
6. В.В. Вавилов, П.М. Красников, Математические коллоквиумы. Части I, II. – М.:
Школа им. А.Н. Колмогорова, 2006.
Лекция 12. Задача Успенского
Рассматривается
один
замечательный
пример
применения
принципа
математической индукции, в котором сначала нужно ввести два натуральных параметра и
затем провести индукцию по их сумме.
Отметим, что к разбираемой задаче мы возвращаемся еще раз на уроках по
математическому анализу, где рассматриваемая ниже задача решается при помощи
средств дифференциального исчисления.
Задача (Д. Успенский). Для любого треугольника АВС,  = САВ,  = СВА,
имеют место неравенства
AC

BC



,
.
AB    BA   
Решение. Рассмотрим два случая: углы α, соизмеримы и несоизмеримы.
1) Если углы  и  соизмеримы, то это по определению означает, что эти углы
имеют общую меру , для которой  = р,  = q (p,q – натуральные взаимно простые
числа).
Воспользуемся методом математической индукции и проведем ее по сумме n = p+q
натуральных взаимно простых чисел.
База индукции. При p + q = 2 имеем p = 1 и q = 1. Тогда треугольник АВС
равнобедренный и нужные неравенства очевидны: они следуют из неравенства
треугольника.
Шаг индукции. Предположим теперь, что нужные неравенства установлены для p
+ q = 2, 3, …, k-1, k > 2. Докажем, что неравенства справедливы и для p + q = k.
Пусть АВС данный треугольник АВС, у которого p + q = k > 2. Тогда сторона АС и
BС не могут быть равными: пусть АС > ВС. Построим теперь как на рис. 1
равнобедренный треугольник АDС; имеем:
АС = DС и 2АС > АD = АВ + ВD.
(1)
C
A
pδ
qδ
B
pδ
D
Рис.1
Рассмотрим теперь треугольник ВDС, углы которого также соизмеримы:
 DСB = (q-p),  ВDС = р.
Для этого треугольника выполнено индуктивное предположение и поэтому
q p
ВD 
СD
q
или
q p
ВD 
AС .
(2)
q
Складывая (1) и (2), имеем:
q p
2 AC  BD 
AC  AB  BD ,
q
и поэтому
AC
q



.
AB p  q   
Из того же треугольника BDC по предположению индукции заключаем, что
p
CB  CA .
q
Учитывая предыдущее неравенство, отсюда заключаем, что
BC


.
BA   
Таким образом, индуктивный переход (при соизмеримых углах α и ) установлен и
утверждение задачи следует из принципа математической индукции.
2) Утверждение задачи остается в силе и в том случае, когда углы  и  не
являются соизмеримыми. В основе рассмотрения в общем случае уже приходится применять
другой важный математический принцип – принцип непрерывности.
Разделим  на р равных частей (так, что  = р) и определим q из условия
q <  < (q+1).
Рассмотрим теперь треугольник АВC’, углы которого при стороне АВ равны p и q. Так
как углы при стороне АВ этого треугольника соизмеримы, то по доказанному в п.1)
имеем:
AC '
q
BC '
p


и
.
AB
pq
AB
pq
Легко видеть, что

p


q





и
.
   p  q    
   p  q    
Следовательно, при р   (то есть при 0) отношения p/(p+q) и q/(p+q) имеют пределы
и из предыдущих неравенств заключаем, что
AC

ВC

и
.
(3)


AB   
AB   
Это следует из того, что при р  стороны AC’ и BC’ стремятся к АС и ВС
соответственно, что вытекает из неравенств 0 <  - q < .
Доказательство того, что (3) знак равенства невозможен, основано на
использовании еще раз той же конструкции (рис.3).
Из треугольника BDC имеем:
 
BD 
AC и 2 AC  AB  BD.

Следовательно,
(2 
или
 
) AC  AB

AC


.
AB   
Комбинируя с неравенством
CB 
 ,
AC 
( которое следует по доказанному выше из треугольника BDC), окончательно получаем
CB


.
AB   
Что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть АВ и АС две дуги окружности, не превышающие по длине
половину длины окружности. Тогда
АВ [дугаАВ]

.
АС [дугаАС ]
Следствие 2. Функция
sin x
x
убывает на полуинтервале (0;/2].
Следствие 3. Периметр вписанного в окружность правильного многоугольника
возрастает с увеличением числа его сторон.
Литература:
1. Л.И. Головина, И.М. Яглом, Индукция в геометрии. – М.: Физматлит, 1961.
2. Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Наука, 1975.
3. J.V. Uspensky, A case of the use of mathematical induction in geometry. – Amer.
Math. Monthly, 34(1934), pp.247-250.
4. В.В. Вавилов, М.Е. Колоскова, Принцип математической индукции. – Журнал
«Потенциал», 2(2008).
Лекции 13,14. Формулы Архимеда и Гюйгенса
Длина окружности радиуса 1/2 может быть определена как предел
последовательности длин периметров pn правильных многоугольников, вписанных в
данную окружность при неограниченном увеличении числа его сторон. Определяемое
таким образом число обозначается символом . Аналогично можно определить число  и
как предел периметров
многоугольников. Имеем:
qn
правильных
описанных
около
этой
окружности
pn <  < qn , n  3.
.
Когда n возрастает последовательности pn и qn монотонно приближаются к числу
В своем знаменитом сочинении «Измерение круга» Архимед (287-212 гг. до н. э.)
дал следующее приближение для числа :
3
10
10
<<3
,
70
71
то есть
3,14084507 <  < 3,14285714.
Этот результат Архимед получил при помощи вычисления периметров правильных
вписанного и описанного многоугольников. Один из последователей Архимеда в этом
вопросе Христиан Гюйгенс (1629-1695) в 25-летнем возрасте получил совершенно
неожиданный результат: приближение, указанное Архимедом для числа , можно
получить из рассмотрения периметров правильных 12-угольников. Этот результат
Гюйгенс опубликовал в своей работе «О квадратуре круга». В основе его идеи лежали
новые идеи, получившие в наше время дальнейшее развитие.
Теорема Гюйгенса. При любом n 3 имеет место неравенство
pn   
2
1
pn  qn .
3
3
Основу доказательства составляют четыре простых геометрических леммы.
Главной из них является следующая: Если в некоторый сегмент круга АСВ вписан
равнобедренный треугольник АВС и в точках А и В проведены касательные,
пересекающиеся в точке К, то
[Sсегмента] ≤
2
[ABC];
3
[F] – площадь фигуры F.
Для доказательства этой леммы приходится апеллировать к интуитивному понятию
площади и использовать операцию предельного перехода в геометрически ясной
ситуации; подробности см. в [3].
Х. Гюйгенс в своей работе, в частности, использовал следующую приближенную
формулу

2
1
pn + qn,
3
3
то есть в качестве приближения для числа  он взял выражение в правой части
доказанного им неравенства.
Соответствующие числовые результаты (которые школьники находят при помощи
калькуляторов на семинарских занятиях) позволяют экспериментально сравнить
эффективности приближенных формул Архимеда и Гюйгенса.
Тематику, связанную с приближенным вычислением числа , ввел в наши учебные
курсы А.Н. Колмогоров и по его же инициативе был организовано специальное задание
математического практикума; активно пропагандировал экспериментальную проверку
теоремы Гюйгенса в школе преподаватель математики А.А. Шершевский.
Замечание. В курсе математического анализа мы возвращаемся к неравенствам
Гюйгенса еще раз, где основной
методической особенностью занятий является
возможность с применением производной довольно просто не только доказать теорему
Гюйгенса еще раз, но и сравнить «эффективности» приближенных формул Архимеда и
Гюйгенса. Более точно, доказываются следующие равенства:
q 
lim n
 2,
n    p
n
2 lim n 2 (  p n )  lim n 2 (q n   )  C1 , lim n 4 (rn   )  C 2 ,
n 
n 
n 
где
rn 
2
1
pn  qn ,
3
3
C1 , C2 - положительные постоянные.
Литература:
1. Ф.О. Рудио, О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт). –М.:
Матезис, 1911.(Имеется современное издание).
2. И.Н. Веселовский, Христиан Гюйгенс. – М.: Учпедгиз, 1959.
3. В.В. Вавилов, Об одной формуле Христиана Гюйгенса, - Журнал «Квант»,
11(1985).
Лекция 15. Задача Дидоны.
Вергилий (полное его имя - Публий Вергилий Марон), один из знаменитых поэтов
Древнего Рима воспроизвел в своей "Энеиде" легенду, по-видимому относящуюся к
событиям IX века до н.э., и получившую большое распространение. Финикийская
царевна Дидона, спасаясь от преследований, после многих приключений прибыла на берег
Африки (ныне - Тунисский залив), где она впоследствии стала основательницей города
Карфагена и ее первой легендарной царицей. Дидона начала с того, что купила у туземцев
участок земли "не больше, чем можно окружить бычьей шкурой". Затем она разрезала
бычью шкуру на узкие полоски, из которых связала длинную веревку и столкнулась с
математической задачей: участок земли какой формы нужно окружить веревкой данной
длины, чтобы получить наибольшую площадь? В память об этой истории карфагенская
крепость была названа "Бирса", что на языке жителей Карфагена означает "бычья шкура".
Точная математическая постановка этой задачи такова: Среди замкнутых плоских
кривых, имеющих данную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Эту задачу называют задачей Дидоны или изопериметрической задачей
(Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр). Многие
историки считают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной
литературе. Вергилий, описывая эту легенду, использовал глагол "circumdare"(окружать),
содержащий корень "circus" (круг), что позволяет предположить, что Дидона правильно
решила задачу, т.е. что участок нужно было окружить в форме круга.
Часто задачей Дидоны называют также задачу о том, когда нужно "отгородить
наибольший участок на берегу моря": Какую кривую данной длины нужно взять, чтобы
между этой кривой и данной прямой площадь была максимальной? Однако эта вторая
задача является следствием задачи Дидоны для "внутренней части континента".
Действительно, отразим симметрично относительно данной прямой исследуемую кривую.
Кривая и ее образ вместе ограничивают площадь ровно в два раза большую, чем
ограничивает прямая и исходная кривая, максимум которой нам нужно найти. Эта
площадь максимальна, когда замкнутая кривая окружность (здесь мы предположили, что
это уже доказано), для которой данная прямая является осью симметрии. Следовательно,
решение второй задачи Дидоны является полукруг с центром на берегу моря.
Наша основная цель состоит в решении классической изопериметрической задачи,
что не является столь простым делом, как это может показаться на первый взгляд.
Теорема (изопериметрическое неравенство). Из всех фигур с данным
периметром наибольшую площадь имеет круг.
Другими словами, если L – периметр плоской фигуры F, то
L2 - 4[F]  0,
где [F] – площадь фигуры F; при этом, равенство достигается только в случае круга.
Можно примерно оценить размеры территории, которую по легенде Дидона могла
получить у туземцев. Представим себе бычью шкуру в форме прямоугольника размером
1 2 м. и разрежем ее на полоски шириной 1мм. вдоль длинной стороны. Тогда легко
подсчитать, что получается "веревка" длиной примерно 2км., так что Дидона могла бы в
этом случае отгородить, например, прямоугольный участок площади 0,5 км. 2 = 500м.
1000м.
На упражнениях рассматриваются и другие классические задачи на нахождение
экстремумов в планиметрических задачах.
Литература:
1. В. М. Тихомиров, Рассказы о максимумах и минимумах. –М.: Наука, 1986.
2. Г. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Наука, 1975.
3. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
Лекция 16. Инверсия.
Определение преобразования инверсии и установление простейших ее свойств
проходит на лекции традиционно (см., например, [1]).
Особое внимание здесь уделено построению при помощи только одного циркуля
точки, инверсной данной.
Рассматривается задача о делении пополам отрезка при помощи одного циркуля и
общая задача деления отрезка в данном отношении.
Вводится понятие стереографической проекции и рассматриваются образы
окружностей на сфере при такой проекции.
Литература:
1. И.Я. Бакельман, Инверсия. –М.: Наука, 1966. (Популярные лекции по
математике. Вып.44).
2. А.Н. Костовский, Геометрические построения одним циркулем. –М.: Наука,
1989. (Популярные лекции по математике. Вып.29).
3. Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.
4. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
Лекция 17. Круговое свойство инверсии
Устанавливается (чисто геометрическими средствами) ряд основных теорем.
Теорема 1. Инверсия переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии,
саму на себя, т.е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.
Теорема 2. Инверсия переводит прямую, не проходящую через центр инверсии О, в
окружность, проходящую через точку О.
Теорема 3. Инверсия преобразует окружность, проходящую через центр инверсии
О, в прямую, не проходящую через точку О.
Теорема 4. Инверсия преобразует окружность, не проходящую через центр
инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через точку О.
Математический практикум «Геометрия круга»: Самостоятельно нарисовать
фигуру (рисунок), составленную из m отрезков и n дуг окружностей и при помощи одного
циркуля построить ее образ при инверсии относительно заданной окружности.
Литература:
1. И.Я. Бакельман, Инверсия. –М.: Наука, 1966. (Популярные лекции по
математике. Вып.44).
2. А.Н. Костовский, Геометрические построения одним циркулем. –М.: Наука,
1989. (Популярные лекции по математике. Вып.29).
3. Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.
4. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
Лекция 18. Инверсоры Поселье и Гарта
Интерес П.Л. Чебышева к шарнирным механизмам, превращающим вращательное
движение в прямолинейное не иссякал в течение всей его творческой жизни и возник у
него в детстве, когда он занимался конструированием различных механических приборов
(Одна нога у него была сведенной, он немного хромал и ходил с палкой и поэтому избегал
детских игр и много времени проводил дома). Чебышев за всю свою жизнь
сконструировал 40 собственных шарнирных механизмов и более 80 усовершенствовал,
написал на эту тему 15 научных статей и здесь стоит подчеркнуть, что на изготовление
своих механизмов и их испытания не жалел никаких личных средств. Его главный
интерес был сосредоточен на механизмах, преобразующих круговое движение в
прямолинейное. Из них особенно замечательно так называемое прямило Чебышева; всего
же он изготовил 7 различных систем коленчатых рычагов, которые преобразовывали
вращательное движение в приближенно прямолинейное и обратно. Эти простейшие
механизмы нашли свое применение
в самых разнообразных его конструкциях:
параллелограмм Чебышева (одноцилиндровая паровая машина Чебышева), центробежный
регулятор, самокатное кресло (дамский велосипед), сортировалка зерна, лодка с гребным
механизмом, стопоход или «лошадь Чебышева» и многие другие. Некоторые из этих
механизмов участвовали в качестве экспонатов на международных выставках в Лондоне,
Чикаго, Филадельфии, Париже, демонстрировались в Петербурге, Москве, Киеве и др.
городах России.
Нельзя не упомянуть хотя бы, об удививших всех и знаменитом
арифмомерте Чебышева для сложения и вычитания, оригинальная конструкция которого
содержала особенное устройство для перенесения десятков, где остроумно применялись
одни и те же приемы для выполнения различных действий. Арифмомерт
демонстрировался на пятой сессии французской ассоциации содействия преуспеванию
наук в 1876 году.
Сортировалка
Лодка Чебышёва
При разработке одной из конструкций лунохода 30 лет тому назад появилась
необходимость использовать некоторые идеи и конструкции Чебышева. Вот что писалось
в те дни в газете «Правда»: «Академик И.И. Артоболевский толкает настольную модель
многозвенного механизма, отдаленно напоминающую лошадиный скелет. И скелет шагает
по столу. Это старый классический «стопоход», или «лошадь Чебышева» предшественник шагающих механизмов. Сегодня создание шагающих механизмов –
«педипуляторов» - освещается романтикой покорения неизведанных земель и планет.
- Колесо, - улыбается академик Артоболевский, - слишком долго развивалось в
симбиозе с дорогой, чтобы существовать без нее в условиях относительного земного
бездорожья, не говоря уже о поверхности чужих планет, где дороги нам вообще не
строили. Необходимы стопоходы!»
Удивительно, что сделав собственными руками так много шарнирных механизмов
и посвятив их конструкциям много теоретических исследований, П.Л. Чебышев сам не
заметил инверсоров, которые преобразуют вращательное движение теоретически в
точное прямолинейное (инверсор – прибор для преобразования инверсии). На одной из
своих лекций в1869 году Чебышев показал, что с помощью четырехзвенного механизма
(простейшего параллелограмма, как тогда говорили) этого добиться нельзя и поставил
задачу о поиске какого-либо другого механизма. Вскоре один из его слушателей Л.И.
Липкин принес схему семизвенного механизма (рис.1; точки О и R закреплены и
движению точки P по окружности, проходящей через точку О, соответствует движение
точки Q в точности по некоторой прямой) полностью решавшую поставленную задачу.
Чебышев был крайне доволен успехом своего ученика и на очередной лекции подчеркнул,
что у лектора не может быть большего удовлетворения, чем испытываемое им в подобном
случае. Отвлекаясь, заметим, что любая аудитория слушателей его лекций, выступлений
на съездах и конференциях для Чебышева всегда имела удивительно притягательную силу
и служила источником вдохновения, а само преподавание он очень любил и получал от
него удовольствие; по свидетельству профессора К.А. Поссе, часы, проведенные в
аудитории среди слушателей, были лучшими в жизни Чебышева. Итак, Липкин, решил
поставленную задачу. Впоследствии, правда выяснилось, что за шесть лет до этого какието намеки на этот механизм сделал французский полковник (впоследствии генерал)
Поселье, которые остались незамеченными широкой научной общественности. Вся
история с обсуждением приоритета открытия инверсора была причиной многодневных
дискуссий на сессии французской ассоциации содействия преуспеванию наук в Лионе в
1873 году изложена в [3]. И, на мой взгляд, приоритет принадлежит Л.И. Липкину, хотя
сейчас этот инверсор и называют инверсором Поселье. Позднее были придуманы и другие
подобные механизмы – на рис. 5 показан инверсор английского математика Г. Гарта
(известен еще и инверсор, который называется «клетка А. Кемпе»), в котором закреплены
точки A и S и движению точки P по окружности, отвечает движение точки Q по прямой
(рис.2).
Рис.1 Инверсор Липкина-Поселье
Рис.2. Инверсор Гарта
На лекции, используя свойства преобразования инверсии, объясняется работа
инверсоров Липкина – Поселье и Гарта.
Дальнейшие исследования в этом направлении, которые завершил англичанин
Альфред Кемпе, показали, что любая алгебраическая кривая (F(x,y) =0, F –полином от
двух переменных) может быть теоретически точно начерчена с помощью некоторого
шарнирного механизма. Можно построить, тем самым, шарнирные механизмы, которые
будут рисовать параболы, гиперболы, эллипсы. Это, конечно, очень красивая и важная
теорема. Правда, если взглянуть на эту теорему глазами практика, пожелавшего построить
своими руками шарнирный механизм даже для какой-нибудь простой кривой, то он
оказывается очень громоздким – при его помощи трудно чертить, а сделать «в материале»
еще труднее. В современной теории при разработке деталей машин и конструировании
роботов, манипуляторов и т.д. приходится использовать уже не только такие
прямолинейные шарнирные механизмы, а более замысловатые; но классические корни и
основы этой теории как раз и обсуждаются на лекции.
К вопросу о шарнирных механизмах мы возвращаемся в курсе анализа при
изучении кривых Уатта, их классификации и задачи Чебышева о наилучшем приближении
функций алгебраическими многочленами.
По итогам проводится коллоквиум по теме «Инверсия»
Литература:
1. Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.
2. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
3. В.В. Вавилов, Шарнирные механизмы. Кривые Уатта. – Журнал «Квант»,
1(1977).
4. П.Л. Чебышев – архитектор и строитель математического знания. – Журнал
«Потенциал», 6(2007), 16 - 31.
Лекция 19. Задача Аполлония
Рассматривается один из классических примеров применения преобразования
инверсии.
Задача Аполлония. Построить (при помощи циркуля и линейки) окружность,
касающуюся трех данных окружностей.
Изложение традиционно ….. и на лекции рассматривается сразу все случаи, когда
хотя бы две окружности касаются друг друга (внутренним или внешним образом).
Поскольку мы причисляем к окружностям и точки и прямые, то общая задача
Аполлония позволяет построить окружность или прямую, касающуюся:
1) трех данных окружностей;
2) данной прямой и двух данных окружностей;
3) двух данных прямых и данной окружности;
4) трех данных прямых;
5) данной точки и двух данных окружностей;
6) данной точки, данной прямой и данной окружности;
7) данной точки и двух данных прямых;
8) двух данных точек и данной окружности;
9) двух данных точек и данной прямой;
10) трех данных точек.
Все перечисленные задачи на построения подробно обсуждаются на упражнениях.
Обращается внимание на одну задачу А.Н. Колмогорова (см…..) и возможные ее
варианты обобщения (в частности, для подготовки докладов для участия в научных
конференциях школьников).
Замечание. Аполлоний (ок.262-190 г.г. до н.э.) родился в г. Перга – одной из
колоний Греции в Малой Азии. Долгое время работал в Александрии. Его главное
сочинение (в восьми книгах) называется «О конических сечениях». Метод, который он
применял в этом сочинении привел позднее Декарта и Ферма к созданию аналитической
геометрии. Ввел многие термины: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
Литература:
1. А.П. Савин, Инверсия и задача Аполлония. –Журнал «Квант», 8(1971).
2. Б.А. Розенфельд, Аполлоний Пергский. - -М.: МЦНМО, 2004.
3. А.В. Акопян, А.А. Заславский, Геометрические свойства кривых второго
порядка. –М.:МЦНМО, 2007.
Лекция 20. Прямая Эйлера
Доказательство основного здесь результата основано на двух леммах.
Лемма 1. Пусть АВС – треугольник; О – его центр описанной окружности; Н –
ортоцентр. Тогда угол АВО равен углу НВС (аналогично равны углы ВАО и САН; ВНС и
АСО).
Лемма 2. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно 2R,
умноженное на модуль косинуса угла в этой вершине.
Теорема Эйлера. Пусть АВС – треугольник, Н – его ортоцентр, О – центр
описанной окружности, G – барицентр. Точки H, G,O лежат на одной прямой, причем
HG:GO=2:1 (эта прямая называется «прямой Эйлера»).
Замечание. Основной конструкцией здесь является рисунок, который получается
после продолжения высоты, медианы и биссектрисы одного угла до пересечения с
описанной окружностью данного треугольника.
Дополнительно рассматриваются некоторые задачи (отвечающие теме) на
построение при помощи циркуля и линейки. В качестве примера приведем результат,
который появился сначала в качестве одного из вопросов на уроках, а затем вылился в
самостоятельную исследовательскую работу учащихся.
Теорема («о Н2О») Множество всех точек плоскости π, где могут находиться
вершины треугольников (рис.1) представляет из себя плоскость, из которой удалены
окружность Г1 без Н с диаметром НG и внутренность круга с диаметром GH1, где Н –
такая точка плоскости, что 2ОG=GH (ортоцентр треугольника), а Н1 – точка,
симметричная Н относительно О. При этом (А – одна из вершин треугольника, G – его
центр тяжести, О – центр описанной окружности, Г3 – окружность с диаметром НН1):
1. Если А принадлежит Г3, то треугольник – прямоугольный.
2. Если А расположена внутри Г3, но вне Г1 и «запретной зоны», то
треугольник – тупоугольный и А – острый.
3. Если А расположена внутри Г1, то треугольник – тупоугольный, А – тупой.
4. Если А расположена вне Г3, то треугольник остроугольный.
Литература:
1. Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией. –М.: Наука 1978.
2. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
3. В.В. Вавилов, Избранные лекции по геометрии. – Алматы, Дарын, 1999.
Лекция 21. Проективные теоремы Паппа и Брианшона
Целью этой лекции является знакомство с двумя классическими теоремами
проективного характера.
Теорема Паппа. Если вершины шестиугольника лежат поочередно на двух
пересекающихся прямых, то точки пересечения их противоположных прямых лежат на
одной прямой.
Теорема Брианшона. Если стороны шестиугольника проходят поочередно через
две данные точки, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины
шестиугольника, кокуррентны.
Сходство этих теорем бросается в глаза, если обе теоремы выписать рядом на
доске, разделив ее на две части. Проводя такой анализ, указывается на общий принцип
двойственности.
Внутренняя причина принципа двойственности (а не прямые доказательства
двойственных теорем) в проективной плоскости устанавливается нами позже.
На лекциях и на семинарских занятиях учащимся сообщаются сведения
исторического характера. Отметим здесь особо, что Блез Паскаль (1623-1662) доказал
свою теорему «о мистическом шестиугольнике» в возрасте 16 лет.
Литература:
1. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
2. О.К. Житомирский, Проективная геометрия в задачах. – М.: Физматгиз, 1954.
Лекция 22. Теорема Евклида о трех параллелограммах
Медиана АD треугольника АВС делит его на два равновеликих по площади
треугольника. Кроме того, отметим, что точка Р внутри треугольника АВС принадлежит
медиане треугольника, тогда и только тогда, когда [ВАР] = [САР]; здесь и всюду в
дальнейшем [F] обозначает площадь F.
Рассмотрим теперь параллелограмм и точку Р внутри него. Проведем через Р
прямые KL и MN, параллельные соответственно сторонам AD и AB параллелограмма
ABCD. Тогда, если точка Р расположена на диагонали АС этого параллелограмма, то
[PMDL] = [PKBN]. Это равенство площадей является следствием того, что диагональ
параллелограмма делит его на два равновеликих по площади треугольника.
Теорема 1. (О мотыльке). Пусть Р - точка внутри параллелограмма и через нее
проведены прямые, параллельные его сторонам, которые делят его на четыре других
параллелограмма. Точка Р принадлежит диагонали исходного параллелограмма тогда и
только тогда когда равновелики два из четырех указанных параллелограммов,
расположенных по разные стороны от нее.
Важным дополнением к теореме о мотыльке является следующий классический
результат.
Теорема 2 (Евклид). Пусть Р- произвольная точка внутри параллелограмма АВСD,
через которую проведены прямые KL и MN, параллельные сторонам параллелограмма
(рис.5). Тогда прямые DK, BM и CP (диагонали трех параллелограммов или их
продолжений) пересекаются в одной точке.
Замечание 1. Теорема 2, конечно, остается справедливой, если мы выбираем три
параллелограмма, о которых идет речь, и другим образом. (А сколько всего различных
случаев имеется?) При выборе таких параллелограммов нужно лишь позаботиться о
том, чтобы любая пара из них имела ровно одну общую вершину. А это можно обеспечить
так: выберем из девяти точек пересечения двух троек параллельных между собой прямых
три точки так, чтобы на каждой прямой была выбрана ровно одна точка. Любой выбор
такой тройки точек и задает те общие вершины у нужных параллелограммов (стороны
треугольника, показанные на рис.1, с вершинами в таких точках, являются другими
диагоналями выбираемой тройки параллелограммов, а не тех диагоналей, о которых идет
речь в теореме).
Рис.1
Простым следствием теоремы о трех параллелограммах является еще одна
классическая теорема.
Теорема 3 (Прямая Гаусса для четырехугольника). Если противоположные
стороны AB,CD и AD,BC четырехугольника ABCD пересекаются (при продолжении) в
точках X и Y , то середины его диагоналей AC , BD и середина отрезка XY принадлежат
одной прямой.
Вернемся к теореме о трех параллелограммах. В этой теореме речь идет о том, что
три прямые пересекаются в одной точке. Другими словами, она носит «проективный
характер». А что понимается под этим?
Представим себе, что одну из возможных картинок, показанных на рис.1, при
помощи параллельной проекции мы спроектировали на какую-то другую плоскость (тень
рисунка от пучка параллельных лучей). Параллельная проекция прямой есть прямая (если
только эта прямая не параллельна направлению проекции) и, кроме того, параллельная
проекция сохраняет параллельность прямых. С другой стороны, величины углов,
параллельная проекция, вообще говоря, не сохраняет. Поэтому, чтобы доказать
теорему о трех параллелограммах можно решить задачу сначала для прямоугольников.
Затем нужно будет только показать, что рисунок из теоремы о трех параллелограммов
можно получить из рисунка для трех прямоугольников при помощи некоторой
параллельной проекции. Попробуйте самостоятельно доказать, что такая процедура всегда
возможна.
Кроме параллельной проекции имеется еще и центральная проекция (как при
фотографировании), когда пучок параллельных прямых заменяется пучком прямых,
проходящих через одну точку («тень» от пучка лучей от точечного источника света).
Центральная проекция сохраняет факт о принадлежности трех точек одной прямой, но,
вообще говоря, не сохраняет свойство параллельности прямых. Например, если
расположить нужный рисунок на одной грани прозрачного параллелепипеда и выбрать
центр проекции как показано на рис. 2, то на плоскости, которая содержит основание
параллелепипеда, мы получим «тень» рисунка с боковой грани (Объясните построение
этой «тени»)
Рис.2
Наличие такой проекции показывает, что верна такая теорема: Если три прямые,
имеющие одну общую точку О1 , пересекаются тремя параллельными прямыми (рис. 3),
то три выделенные на рисунке прямые пересекаются в одной точке.
Рис.3
Поместим теперь рис.3 на боковую грань параллелепипеда и посмотрим на его
«тень» после центральной проекции из центра О2. Ясно, что на плоскости содержащей
нижнюю грань параллелепипеда мы получим «тень», похожую на рис.4.
Рис.4
Мы не будем здесь точно формулировать полученный результат. Отметим лишь,
что перевоплощения параллелограммов после двух центральных проекций привели нас к
довольно общей теореме о точках пересечения двух троек прямых (каждая тройка
имеет общую точку), где никаких параллельностей нет.
Мы только чуть-чуть прикоснулись к теоремам проективного характера.
Изучением свойств фигур, которые не меняются после конечного числа центральных
проекций – это предмет так называемой проективной геометрии.
Литература:
1. Евклид, Начала. Кн. I-YI. –М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
2. О.К. Житомирский, Проективная геометрия в задачах. – М.: Физматгиз, 1954.
3. В.Н. Дубровский, Геометрические метаморфозы. -Журнал «Квант», 6(1997).
Лекция 23. Построения одной линейкой и задачи Штейнера
Задачи на построение при помощи только линейки заимствованы из одной работы
Я. Штейнера, в которой им было установлено, что если на плоскости задан круг с его
центром, то все построения при помощи циркуля и линейки могут быть реализованы
только линейкой. По этому поводу см. [1].
Задачи на построение, которые рассматриваются (на лекциях и упражнениях):
1. а) На прямой р заданы три такие точки А,В,С, что С есть середина отрезка АВ.
Построить прямую, параллельную р и проходящую через заданную точку Х.
б) Даны две различные параллельные прямые. Разделить отрезок пополам, который
расположен на одной из этих прямых.
в) Через данную точку провести прямую параллельную двум различным
параллельным прямым.
г) Разделить отрезок АВ на n равных частей, если задана прямая, параллельная
АВ.
2. Дан параллелограмм.
а) Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.
б) Увеличить данный отрезок в n раз.
в) Разделить данный отрезок на n равных частей.
3. Дан неподвижный круг с центром.
а) Провести через данную точку прямую, параллельную данной прямой.
б) Увеличить (уменьшить) данный отрезок в n раз.
в) Провести через данную точку перпендикуляр к данной прямой.
4. Две данные прямые пересекаются в точке А за пределами чертежа. Постройте
прямую, соединяющую данную точку В с точкой А.
5. Провести прямую через данные точки, между которыми расстояние больше, чем
длина линейки.
6. На плоскости дан отрезок АВ и область F. Желательно продолжить прямую АВ
за область F. Как это можно сделать одной линейкой, чтобы в процессе построения не
перекрывать линейкой никакой части области F?
7. Одна пара прямых пересекается в точке А, а другая пара – в точке В; обе точки А
и В находятся за пределами чертежа. Построить ту часть прямой АВ, которая находится в
пределах чертежа.
На упражнениях рассматриваются также задачи, связанные с построениями одной
двусторонней линейкой.
Литература:
1. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2001.
2. Ж. Адамар, Элементарная геометрия. Часть1: Планиметрия. -М.: Просвещение,
1957.
3. Б.И. Аргунов, М.Б. Балк, Геометрические построения на плоскости. –М.:
Учпедгиз, 1957.
4. Д.В. Юнг, Проективная геометрия. –М.: Гос. изд-во ИЛ, 1949.
Лекция 24. Лемма Архимеда и площадь треугольника
Лемма Архимеда. Пусть D – середина дуги АС окружности и В некоторая точка
этой дуги. Тогда основание Е перпендикуляра, опущенного из точки D на ломаную АВС,
делит эту ломаную пополам.
Одно из доказательств в пересказе арабского математика аль - Беруни (973-1050гг.)
содержится в [2]. Мы приводим другое доказательство.
Архимед на три века раньше Герона Александрийского (жившего, вероятно, в I
веке) получил формулу для площади треугольника АВС через длины его сторон a,b,c:
1
p( p  a)( p  b)( p  c), p  (a  b  c).
2
При выводе этой формулы для площади треугольника Архимед, используя свою
лемму, показал, что площадь заданного треугольника равна разности площадей двух
подобных равнобедренных треугольников (тесно связанных с исходным); подробности
см. в [2].
Литература:
1. Архимед, Сочинения. –М.: Физматгиз, 1962.
2. В. В.Прасолов, Геометрические задачи древнего мира. –М.: ФАЗИС, 1997.
(Библиотека «Ступени знаний, серия «Математика»).
[ABC] =
Лекция 25. Парабола и касательная
Пусть на плоскости заданы точка F и прямая d . Параболой (F;d) называется
множество точек плоскости P, равноудаленных от точки F и прямой d; при этом, F
называется фокусом параболы, а d - ее директрисой.
Для построения точек параболы проведем окружность радиуса r с центром в
фокусе F и прямую, параллельную директрисе d на расстоянии r от неё; если эта прямая
пересекает окружность, то точки пересечения принадлежат параболе. Отсюда, в
частности, следует, что парабола симметрична относительно прямой, проходящей через
точку F и перпендикулярна прямой d; ось симметрии будем обозначать через l.
Вершина параболы – точка пересечения параболы с ее осью симметрии.
Параболический сегмент - фигура, граница которой состоит их дуги параболы и
стягивающей ее хорды.
Устанавливаются следующие свойства:
1. Парабола делит плоскость на две области: расстояние от любой точки первой
области до фокуса параболы меньше расстояния от этой точки до директрисы параболы
(внутренность параболы), а для второй области (внешность параболы) указанные
расстояния связаны противоположным неравенством.
2. Для произвольной точки Р параболы (F;d) через P’ обозначим (здесь и всюду в
дальнейшем) точку пересечения директрисы d с прямой, содержащей точку Р и
параллельной оси симметрии параболы.
Касательной к параболе (F;d) в ее точке Р назовем серединный перпендикуляр
отрезка РР’(медиатрису отрезка РР’).
а) Касательная к параболе имеет с ней только одну общую точку.
б) Для любой точки Р параболы касательная в ее вершине пересекает касательную
к параболе в точке Р в середине отрезка FP’.
в) (Оптическое свойство параболы). Пусть прямая, параллельная оси параболы
пересекает ее в точке Р и t – касательная в этой точке. Тогда прямые FP и PP’ образуют
равные углы с касательной t.
3. Прямая, перпендикулярная касательной t к параболе в точке Р, называется
нормалью к параболе (обозначим через n) в ее точке Р.
Для параболы (F,d) и ее точки Р через S и Q обозначим соответственно точки
пересечения нормали n и касательной t (обе в точке Р) с осью параболы l; пусть Т
обозначает точку пересечения прямой, проходящей через Р и параллельной директрисе d с
ее осью симметрии l . Тогда
а) ST = FF’ и QF = FS;
б) четырехугольник QFPP’ - параллелограмм.
4. Пусть А и В две точки параболы (F,d) и касательные к параболе в этих точках
пересекаются в точке S. Тогда S - центр описанной окружности треугольника A’B’F.
5. Множество точек плоскости, из которых парабола (F,d) видна под прямым
углом является директрисой параболы d.
Литература
1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. И.Н. Веселовского. –М.: Физматгиз, 1962.
2. Б.А. Розенфельд, Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.
3. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.
4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.
5. Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер, Прямые и кривые. –М.: МЦНМО, 2002.
Лекция 26. Треугольник Архимеда
Пусть А и В две точки параболы и касательные в этих точках пересекаются в точке
S. Треугольник ABS называется треугольником Архимеда.
Теорема Архимеда 1. Пусть Т - точка параболы, в которой касательная
параллельна прямой АВ и R – середина хорды АВ. Тогда (в обозначениях предыдущей
лекции)
а) Точки R, S, T ,T’ принадлежат медиатрисе (серединному перпендикуляру)
отрезка A’B’.
б) Парабола делит медиану треугольника Архимеда на две равные части. (Другими
словами, точка Т – середина отрезка SR).
Литература
1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. И.Н. Веселовского. –М.: Физматгиз, 1962.
2. Б.А. Розенфельд, Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.
3. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.
4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.
Лекция 27. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента
На лекции доказывается (методом Архимеда) одна из первых теорем
математического анализа, намного опередившая его основных создателей Ньютона и
Лейбница.
Теорема Архимеда 2. Площадь параболического сегмента, стянутого хордой AB,
составляет 2/3 от площади треугольника ABS, где – S точка пересечения касательных к
параболе, содержащих точки A и B (рис.1).
B
P
E
F
N
R
O
M
S
L
A
Рис.1
G
C
Рис.2
Рассматривается любопытная ситуация, когда произвольный треугольник АВС
является треугольником Архимеда для трех различных парабол. Для этого через каждые
две вершины треугольника проведены параболы, касающиеся двух сторон треугольника
(рис.2). Построение точек таких парабол можно произвести циркулем и линейкой,
используя основное утверждение теоремы Архимеда из предыдущей лекции. Основная
работа по вычислению площадей всех частей на рис.2 проходит на упражнениях;
приведем здесь итоги таких рассмотрений.
Теорема (три параболы с общим треугольником Архимеда). В конструкции и
обозначениях рисунка 2 имеют место следующие утверждения:
а) Любая пара парабол пересекается в точке, которая принадлежит медиане
треугольника АВС и эта точка делит эту медиану в отношении 8:1, считая от вершины
треугольника.
б) Три параболы и три медианы треугольника делят треугольник АВС на 18
криволинейных треугольников двух типов: первые имеют две прямолинейные стороны и
одну параболическую, а вторые – две параболические стороны и одну прямолинейную.
Все 12 криволинейных треугольников первого типа равновелики и их площадь
равна (5/162)[ABC], а 6 треугольников второго типа также равновелики и их площадь
равна (17/162)[ABC].
Литература
1. Архимед, Сочинения. / Пер. и комм. И.Н. Веселовского. –М.: Физматгиз, 1962.
2. Б.А. Розенфельд, Аполлоний Пергский. –М.: МЦНМО, 2004.
3. Г.С.М. Коксетер, Введение в геометрию. –М.: Наука, 1966.
4. М. Берже, Геометрия, Т.1,2. – М.: Мир, 1984.
Лекция 28. Геометрия масс
Архимед в своем послании к Эратосфену «О механических теоремах», который
очень умело использовал механические соображения писал: «Я счел нужным написать
тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность
находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет не ничуть
не менее полезен и для доказательства самих теорем» –См. [1].
Определение. Центром масс (или барицентром) системы материальных точек
m1A1, m2A2, ... , mnAn
(1)
называется точка Z, для которой
m1 ZA1  m2 ZA2  ...  mn ZAn  0,
(2)
где XY обозначает вектор с началом Х и концом Y.
Теорема 1. а) Если Z служит центром масс системы материальных точек (1), то для
любой точки О пространства
m OA  m2 OA2  ...  mn OAn
(3)
OZ  1 1
.
m1  m2  ...  mn
б) Если хотя бы при одном выборе точки О имеет место равенство (3), то Z – центр
масс системы материальных точек (1).
Следствие.
Всякая система материальных точек (1) имеет однозначно
определенный центр масс Z, определяемый формулой (3).
Теорема 2 (Правило рычага Архимеда). Центр масс двух материальных точек
расположен на отрезке, соединяющим эти точки: его положение определяется
архимедовым правило рычага m1d1 = m2d2.
Теорема 3. Пусть система материальных точек
m1A1, m2A2, ... , mkAk
имеет центр масс в точке С. Тогда система материальных точек
(m1+ m2 + ... + mk)С, mk+1Ak+1, ... , mnAn
и система материальных точек (1) имеют один и тот же центр масс.
На лекции (и как продолжение на семинарских занятиях) рассматриваются
следующие примеры применения центра масс:
1) Теоремы о пересечении медиан и биссектрис в треугольнике.
2) Нахождение масс, которые нужно поместить в вершины треугольника, чтобы
их центр масс находился в ортоцентре этого треугольника.
Литература:
1. Архимед, Сочинения. –М.: Физматгиз, 1962.
2. М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант».
Вып.61).
Лекция 29. Момент инерции и формула Лагранжа
Г. Дарбу: «… Две замечательные теоремы, которые со времен Лагранжа были
установлены различными геометрами»
Определение (Эйлер). Для системы материальных точек
m1A1, m2A2, ... , mnAn
моментом инерции относительно точки S называется величина
J S  m1SA12  m2 SA22  ...  mn SAn2 .
Теорема Лагранжа. Пусть Z – центр тяжести системы материальных точек, S –
заданная точка. Тогда
J S  J Z  mSZ 2 , m  m1  m2  ...  mn .
Теорема Якоби. Имеет место равенство
1
JZ 
mi mk rik2 , rik  Ai Ak .

m 1i  k  n
Литература:
1. М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант».
Вып.61).
Лекция 30. Теорема Эйлера о вписанной и описанной окружностях
Одно из доказательств этой теоремы было получено ранее (на упражнениях) как
пример использования преобразования инверсии. Здесь приводится доказательство,
основанное на использовании формул Лагранжа и Якоби для системы материальных
точек.
Теорема Эйлера. Пусть R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей
треугольника, а d- расстояние между центрами этих окружностей. Тогда
d2 = R(R-2r) = R2 – 2Rr.
Доказательство. Пусть Z – центр вписанной окружности, который, как известно,
совпадает с центром масс системы материальных точек аА, bB,cC треугольника АВС; a,b,c
– длины сторон.
Тогда, если О – центр описанной окружности, то
J O  aOA2  bOB 2  cOC 2  (a  b  c) R 2 .
По формуле Лагранжа
J O  J Z  (a  b  c)OZ 2  (a  b  c)d 2 ,
а по формуле Якоби
1
JZ 
(abAB 2  bcBC 2  acAC 2 )  abc.
abc
Таким образом,
abc
R2 
 d 2.
abc
Из известных формул легко следует, что
abc
 2 Rr
abc
и теорема доказана.
Литература:
1. М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Геометрия масс. –М.: Наука, 1987. (Б-чка «Квант».
Вып.61).
Лекция 31. Аффинная плоскость
Определение. Аффинной плоскостью называется произвольное множество П,
элементы которого называются «точками», вместе с выделенной системой L подмножеств
множества П, называемых «прямыми», если для этой пары (П,L) выполнены следующие
три аксиомы (точки обозначаются большими латинскими буквами, а прямые малыми;
если, А  l то говорят, что «точка А лежит на прямой l» или «прямая l проходит через
точку А»):
А1. Любые две различные точки А и В принадлежат одной и только одной прямой.
А2. Для любой прямой l и любой точки P найдется одна и только одна прямая p,
параллельная l и проходящая через P. При этом, прямые l и p параллельны, если они либо
совпадают, либо не имеют общих точек.
А3. На плоскости имеются три различные точки, не принадлежащие одной прямой.
Прежде, чем получить следствия из аксиом А1, А2, А3, стоит удостовериться, что
наши труды не будут напрасными: что эти аксиомы выполняются хотя бы для одной
плоскости, или как говорят, что система аксиом А1, А2, А3 совместна. Совместность
системы аксиом доказывается построением модели, которая удовлетворяет этой системе.
Положим П = {A,D,C.D}; в качестве множества прямых L выберем систему из
следующих шести подмножеств П: {A,B}, {B,C},{C,D},{D,A}, {A,C}, {B,D}. Эта
плоскость схематично изображена на рис.1. Итак, система аксиом А1, А2, А3 совместна.
B
Б
А
C
В
D
Г
Рис.1
Другое важное наших аксиом – независимость, то есть невозможность вывести ни
Рис. 1
одну аксиому из двух других. Независимость аксиомы доказывается построением модели,
в которой эта аксиома не выполнена, а остальные – выполнены. Приведем такие модели
для каждой из трех аксиом (см. рис.2).
 A1
 A2
 A3
Рис.2
Отметим, что независимость вовсе не является обязательным условием на систему
аксиом – стремление к ней вызвано, скорее, соображениями эстетики. Например, аксиомы
школьной геометрии образуют зависимую систему.
Систему аксиом обычно рассматривают еще с точки зрения ее полноты: полной
называется такая система, к которой нельзя присоединить утверждение, не
противоречащее ей и независимое от нее. В нашем случае такие утверждения существуют
(например, что аффинная плоскость «состоит из четырех точек»; другой пример – теорема
Паппа, о которой речь пойдет позже). Таким образом, система А1, А2, А3 не полна.
Тематику, связанную с аффинными плоскостями впервые ввел в нашу школу А.Н.
Колмогоров, который в своих лекциях доходил до довольно тонких и трудных вопросов в
аксиоматических построениях геометрии.
На лекциях рассматриваются некоторые модели различных аффинных плоскостей.
Более подробно рассматривается пример Гильберта аффинной плоскости. В этой
плоскости точками являются точки обычной плоскости. Множество же прямых (которое
мы постулируем) состоит из прямых четырех типов. В него входят все вертикальные
прямые х = а, все горизонтальные прямые у = b и все прямые с уравнением у = kx + b, k
< 0. Кроме этих семейств, имеется семейство ломаных (рис.3) с изломом на оси Ох,
причем tg / tg  = 2 и 0 <  < /2; в верхней половине плоскости прямая имеет уравнение
у = kх + b, но при k > 0.
X
Рис.5
Легко проверить, что для такая пара множеств <П,L> является аффинной
плоскостью.
На лекции доказывается, что в аффинной плоскости Гильберта теорема Паппа
доказана быть не может. (Желающим было предложено самостоятельно убедиться, что
плоскость Гильберта является и недезарговой плоскостью).
Литература:
1. Д. Гильберт, основания геометрии. –М.-Л., Гостехиздат, 1948.
2. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.
3. Р.Курант, Г. Роббинс, Что Такое математика?. – М.: МЦНМО, 2001.
4. В.В. Вавилов, М.Е. Колоскова, Уроки в цветущем саду. – Журнал «Потенциал»,
5(2007), 12-18.
Программа экзамена по геометрии
(2008 год; 10 А,Г классы)
1. Теоремы Пифагора и Евклида.
2. Теорема Паппа.
3. Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
4. Теорема Евклида о трех параллелограммах.
5. Две теоремы «о бабочках» для четырехугольника.
6. Косоугольная шахматная доска и основные свойства площадей ее клеток.
7. Лемма Архимеда о ломаной в окружности.
8. Формула Архимеда-Герона для площади треугольника.
9. Теорема Рота о сравнении площадей треугольников.
10. Теорема Бойяи – Гервина о равносоставленности многоугольников.
11. Формула Пика.
12. Правильные паркеты на плоскости.
13. Задача Дидоны и основное изопериметрическое неравенство.
14. Принцип математической индукции и задача Успенского.
15. Принцип включения-исключения и его применения.
16. Принцип Дирихле в геометрии и его применения.
17. Инверсия. Деление отрезка в данном отношении при помощи одного циркуля.
18. Круговое свойство инверсии.
19. Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике.
20. Задача Апполония о касающихся окружностях.
21. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами вписанной и описанной
окружностей треугольника.
22. Теорема о пересечении высот треугольника и его ортоцентрический
треугольник.
23. Прямая Эйлера и теорема о расположении на ней трех замечательных точек
треугольника.
24. Теорема Паппа.
25. Пример Гильберта недезарговой плоскости.
26. Построения при помощи линейки и основные задачи Штейнера.
27. Парабола и касательной к ней, проходящая через заданную точку плоскости.
28. Треугольник Архимеда и теорема о делении параболой его медианы.
29. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента.
30. Центр масс материальной системы точек и его основные свойства.
31. Момент инерции и формула Лагранжа.
Билеты для экзамена по геометрии
(10 АГ классы, 2007/08 уч. год)
Билет 1
1. Теорема Евклида о площади квадрата, построенного на стороне треугольника.
2. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с
боковой стороной 2√2, если синус одного его угла равен косинусу другого.
Билет 2
1. Теорема Евклида о трех параллелограммах.
2. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом.
Доказать, что радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей
равен 1.
Билет 3
1. Теорема Вариньона и две теоремы «о бабочках» для четырехугольника.
2. Докажите, что в любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше
удвоенного радиуса вписанной окружности, причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда треугольник равносторонний.
Билет 4
1. Теорема о «косоугольной шахматной доске».
2. В четырехугольнике АВСД точки M и N – середины сторон АВ и СД
соответственно, причем АВ = a, BC = b, CД = с, AN = CM. Найти АД.
Билет 5
1. Лемма Архимеда о ломаной в окружности.
2. Вершины треугольника являются узлами клетчатой бумаги и на его сторонах нет
других ее узлов. Докажите, что если такой треугольник внутри себя содержит ровно один
узел клетчатой бумаги, то он является центром тяжести (точкой пересечения медиан)
этого треугольника.
Билет 6
1. Формула Архимеда-Герона для площади треугольника.
2. Окружность, проходящая через вершины В, С и Д параллелограмма АВСД,
касается прямой АД и пересекает прямую АВ в точках В и Е. Найти длину отрезка АЕ,
если АД = 4 и СЕ = 5.
Билет 7
1. Теорема Рота о сравнении площадей треугольников.
2. На каждой стороне выпуклого четырехугольника, как на диаметре, построен
круг. Докажите, что эти четыре круга полностью покрывают четырехугольник.
Билет 8
1. Теорема Бойяи – Гервина о равносоставленности многоугольников.
2. В треугольнике АВС проведена медиана АД, при этом АД:ВС=7:15.
Остроугольный или тупоугольный этот треугольник?
Билет 9
1. Формула Пика.
2. Докажите, что в любом треугольнике ABC
.
Билет 10
1. Правильные паркеты на плоскости.
2. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С на стороны ВС и АВ
опущены высоты AD и CE. Периметры треугольников АВС и BDE равны 15 и 9
соответственно. Длина стороны АВ равна 24/5. Найти радиус окружности, описанной
около треугольника BDE.
Билет 11
1. Задача Дидоны и основное изопериметрическое неравенство.
2. Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого
последовательно равны 1 -7а, 7 – 6а, 5 – 3а, 14а +5?
Билет 12
1. Принцип математической индукции и задача Успенского.
2. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D такая, что окружность,
проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найти АD, если АС = 9, ВС = 12 и
СD = 6.
Билет 13
1. Инверсия. Деление отрезка в данном отношении при помощи одного циркуля.
2. Пусть a, b, c, d длины последовательных сторон четырехугольника АВСD; e и f
длины его диагоналей, а m, n - длины средних линий. Докажите, что
а) [ABCD]  (1/4)(e2 + f2);
b) [ABCD]  (1/2)(m2 + n2):
c) [ABCD]  (1/4)(a + c)(b + d).
Билет 14
1. Круговое свойство инверсии.
2. Найти длины медианы, биссектрисы и высоты треугольника с длинами сторон
a, b и c.
Билет 15
1. Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике.
2. Докажите, что высоты AP, BQ и CR остроугольного треугольника ABC
являются биссектрисами углов треугольника PQR.
Билет 16
1. Задача Апполония о касающихся окружностях.
2. Точка Р расположена внутри квадрата АВСД, причем углы РАВ и РВА равны
150. Доказать, что треугольник ДРС –равносторонний.
Билет 17
1. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами вписанной и описанной
окружностей треугольника.
2. Восстановите квадрат по четырем точкам, лежащих на его сторонах.
Билет 18
1. Прямая Эйлера и теорема о расположении на ней трех замечательных точек
треугольника.
2. В комнате площадью 6м2 постелили 3 ковра произвольной формы площадью 3м2
каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей
1м2.
Билет 19.
1. Проективная теорема Паппа.
2. Каждая из вершин правильного треугольника со стороной а является центром
круга радиуса а. Найдите площадь общей части трех кругов.
Билет 20
1. Построения при помощи линейки и основные задачи Штейнера.
2. В треугольнике АВС длины всех сторон – целые числа, причем длины сторон АВ
и ВС – простые; величина угла В равна 1200. Найдите длину стороны АС.
Билет 21
1. Парабола и касательной к ней, проходящая через заданную точку плоскости.
2. Как разрезать правильный треугольник на части, из которых можно сложить
квадрат?
Билет 22
1. Треугольник Архимеда и теорема о делении параболой его медианы.
2. Постройте образ квадрата, описанного вокруг окружности инверсии.
Билет 23
1. Теорема Архимеда о площади параболического сегмента.
2. При помощи одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные
точки.
Билет24
1. Момент инерции и формула Лагранжа.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины
диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC. Найдите
величину угла, образованного продолжением сторон AB и CD.
Валерий Васильевич ВАВИЛОВ
Геометрия-10 (тезисы лекций)
Школа имени академика А.Н. Колмогорова
Специализированный учебно-научный центр
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Кафедра математики
127357 Москва, ул. Кременчугская, 11
тел./факс: (095) 445- 4634, тел.(095)445 –4054
электронный адрес:
[email protected]