Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
Аэрокосмический факультет
Кафедра измерительно–вычислительных комплексов
летательных аппаратов
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ
МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания
для самостоятельной работы по курсу
“Информационно-статистическая
теория измерений”
Пермь 2012
2
Составитель Н.Г. Ламанова
УДК 629.7.05:001.2
Дискретизация динамической непрерывной модели объекта управления: Метод. указания для самост. работы по курсу “Информационно–
статистическая теория измерений” / Сост. Н.Г. Ламанова; Перм. нац. исслед. политехн. ун-т. Пермь, 2012. 15 с.
Приведены краткие сведения о математических моделях динамических систем. Дано краткое описание турбореактивного двигателя, рассмотрен принцип его работы. Рассмотрены непрерывная и дискретная модели ТРДД. Приведена методика определения переходных матриц коэффициентов дискретной модели.
Указания предназначены для студентов по направлению “Системы
управления движением и навигация”.
Табл. 2. Ил. 1. Библиогр: 5 назв.
Рецензент канд. техн. наук А.П. Колеватов
© Пермский национальный исследовательский
политехнический университет 2012
3
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ
ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы – изучить принцип работы ТРДД, его математическую модель, выполнить дискретизацию непрерывной динамической
модели и оценить устойчивость дискретной модели при различных
периодах дискретизации.
Основные понятия и определения
Математическая модель представляет собой математическое
описание физических законов, которым подчинены процессы, происходящие в объекте управления (ОУ). Математические модели могут
быть представлены функциями, функционалами, матрицами, алгебраическими, дифференциальными, разностными, интегральными уравнениями. Ограничим описание математических моделей алгебраическими и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Математические модели связывают переменные входа ОУ с переменными
выхода, т.е. определяют реакцию ОУ на заданное входное воздействие. Математические модели, используемые для описания ОУ,
можно классифицировать по ряду признаков.
Модель называется динамической, если поведение ее выхода зависит не только от входа в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Динамические модели описываются дифференциальными уравнениями, которые для удобства записывают в виде нормальной системы. Нормальной системой или системой в нормальной форме Коши называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Переменные, от которых взяты производные, принято называть переменными состояния. Упорядоченная совокупность переменных состояния называется вектором состояния. Поведение вектора состояния полностью определяет процессы, протекающие в ОУ. ОУ, описываемый уравнением состояния, принято называть динамическим ОУ в
пространстве состояния.
Модель называется статической, если поведение ее выхода зависит от входа в текущий момент времени. Статическая модель описывается алгебраическими уравнениями. ОУ, описываемый статической
моделью, принято называть статическим.
Модель называется линейной, если для ее описания используются линейные алгебраические и дифференциальные уравнения. ОУ в
этом случае называется линейным. Модель называется нелинейной,
4
если для ее описания используются нелинейные алгебраические и
дифференциальные уравнения. ОУ в этом случае называется нелинейным.
Модель называется стационарной (инвариантной во времени),
если для ее описания используются уравнения с постоянными коэффициентами. ОУ в этом случае называется стационарным. Модель
называется нестационарной, если для ее описания используются
уравнения с переменными коэффициентами. ОУ в этом случае называется нестационарным.
Модель называется непрерывной, если состояние ее входов и
выходов изменяется или измеряется непрерывно. ОУ в этом случае
называется непрерывным.
Модель называется дискретной, если состояние ее выходов и
входов изменяется или измеряется лишь в дискретные моменты времени. ОУ в этом случае называется дискретным.
Модель называется детерминированной, если приложенные к
ней воздействия и коэффициенты модели являются известными
функциями времени. ОУ в этом случае называется детерминированным.
Модель называется статистической (стохастической), если приложенные к ней воздействия и коэффициенты модели являются случайными функциями или случайными величинами. ОУ в этом случае
называется стохастическим. Любой реальный объект является стохастическим. Детерминированная модель – это, как правило, идеализированное описание реального объекта.
Для управления ОУ необходима информация о переменных
входа и выхода ОУ. Определение этих переменных с помощью специальных технических средств называется измерением или наблюдением. Совокупность средств измерений образует измерительную систему (ИС). Результат измерения всегда отличается от измеряемой
величины из-за наличия помех. Разность между результатом измерения и измеряемой величиной называют погрешностью измерения.
Для уменьшения погрешности измерения повышают инструментальную точность и помехозащищенность ИС. Другой путь уменьшения
погрешностей основан на дополнительной обработке всей совокупности измерительной информации с использованием сведений о вероятностных характеристиках параметров ОУ и погрешностей, вызываемых действием помех. ИС также, как и ОУ, можно поставить в соответствие ее математическую модель. Математическая модель ИС
классифицируется по тем же признакам, что и модель ОУ. Математические модели ОУ и ИС обычно рассматривают вместе, для чего вводится объединенная модель. Модель динамики включает динамиче-
5
ские части моделей ОУ и ИС. Модель измерения включает статическую модель ОУ. Объединенную модель динамики и измерения в ряде случае рассматривают как модель ОУ.
Краткое описание ОУ
В качестве объекта управления рассматривается двухконтурный
двухвальный турбореактивный двигатель (ТРДД) со смешением потоков воздуха наружного контура и газа внутреннего контура, общим
реактивным соплом и реверсированием тяги в наружном контуре.
Двигатель состоит из следующих основных узлов: вентилятора
или компрессора низкого давления (КНД) с двумя подпорными ступенями, компрессора или компрессора высокого давления (КВД), камеры сгорания (КС), турбины высокого давления (ТВД), турбины
низкого давления (ТНД), сопла, реверсивного устройства.
ВНА
КНД
КВД
НК
СК
ВЗ
С
V0
V1
ВЗ
ВК
КС
ТВД
ТНД
Рис. Схема двухвального двухконтурного ТРДД:
ВЗ – воздухозаборник; НК – наружный контур; ВК – внутренний контур;
КНД – компрессор низкого давления; КВД – компрессор высокого давления; ВНА – входной направляющий аппарат; ТВД – турбина высокого давления; ТНД – турбина низкого давления; КС – камера сгорания; СК – смесительная камера; С – реактивное сопло
Атмосферный воздух поступает в двигатель в осевом направлении и сжимается в рабочем колесе вентилятора. После КНД воздух
делится на два потока и поступает в наружный и внутренний контуры
двигателя.
Воздух, поступивший в наружный контур, проходит через
спрямляющий аппарат вентилятора, канал наружного контура и поступает в камеру смешения. Во внутреннем контуре воздух поступает
6
в подпорные ступени. Две подпорные ступени имеют нерегулируемый входной направляющий аппарат и осуществляют поджатие воздуха во внутреннем контуре перед его поступлением в КВД. Рабочее
колесо вентилятора и подпорных ступеней составляют единый ротор.
Для обеспечения работы подпорных ступеней на нерасчетных
режимах осуществляется перепуск воздуха за спрямляющими аппаратами подпорных ступеней при помощи заслонок перепуска. КВД имеет тринадцать ступеней, регулируемый входной направляющий аппарат (ВНА), регулируемые направляющие аппараты (НА) первой и
второй ступеней. Для обогрева воздухозаборника, обеспечения системы кондиционирования и охлаждения турбины за шестой и седьмой ступенями КВД осуществляется отбор воздуха. Кроме того, здесь
имеются клапаны перепуска воздуха в канал наружного контура для
обеспечения устойчивой работы КВД на неустановившихся режимах.
Применение регулируемого ВНА и НА позволяет обеспечить газодинамическую устойчивость КВД во всем диапазоне эксплуатационных режимов. В КВД механическая энергия вращения ротора преобразуется в энергию сжатия воздуха и его перемещения по газодинамическому тракту. В камерах сгорания установлено 12 двухконтурных форсунок и 2 свечи зажигания.
ТВД двухступенчатая и состоит из двух охлаждаемых сопловых
аппаратов и двух рабочих колес с охлаждаемыми лопатками. Она используется для привода КВД.
ТНД четырехступенчатая и состоит из четырех неохлаждаемых
сопловых аппаратов и четырех рабочих колес с неохлаждаемыми лопатками.
Сжатый и нагретый в КС газ с небольшой скоростью поступает
в межлопаточные каналы соплового аппарата, где происходит частичное преобразование потенциальной энергии в кинетическую
энергию вытекающего потока газов. Этот поток газов приводит во
вращение турбину. В каналах между рабочими лопатками происходит
дальнейшее расширение газа. Большая часть кинетической энергии
газа, полученная в сопловом аппарате и рабочем колесе, превращается в механическую работу вращения турбины.
Реактивное сопло дозвуковое, нерегулируемое, предназначено
для создания прямой тяги. После смешения потоков наружного и
внутреннего контуров в смесительной камере газ поступает в реактивное сопло, где он в результате расширения увеличивает скорость,
создавая тягу двигателя.
7
Непрерывная динамическая модель ТРДД
Поведение ТРДД в малой окрестности установившегося движения описывается линейной упрощенной математической моделью
n в ( t ) f n ( t ) f n ( t ) c G ( t ) c ( t ) g w ( t ) f
11 в
12 к
11
T
12
вна
11 1
01
,
n к ( t ) f 21 nв ( t ) f 22 nк ( t ) c 21GT ( t ) c 22 вна ( t ) g 21 w2 ( t ) f 02
(1)
где
n в ( t ), т k ( t ) – угловые скорости вентилятора и компрессора,
об/мин;
GT ( t ) – расход топлива, кг/ч;
вна ( t ) – угол входных направляющих аппаратов, град;
w1 ( t ), w2 ( t ) – возмущающие воздействия.
Математическая модель (1) – динамическая, непрерывная, стационарная, стохастическая.
Уравнения (1) можно записать в векторно–матричной форме
x( t ) Fx( t ) Cu( t ) Gw( t ) F0 ,
x( t ) – вектор состояния;
u( t ) – вектор управляющего воздействия;
w( t ) – вектор возмущающего воздействия;
Т
T
x( t ) n в ( t ) n к ( t ) ; u( t ) GT ( t ) вна ( t ) ;
T
w( t ) w1 ( t ) w2 ( t ) ;
f
f
f 12
c
c12
g
F 11
; C 11
; F0 01 ; G 11 .
f 02
f 21 f 22
c 21 c 22
g 21
где
(2)
Предположим, что известны значения вектора состояния x( t 0 ) и
сигнал управления u( t ) при t t 0 . Необходимо вычислить вектор
x( t ) при t t 0 . Уравнению (2) соответствует однородное уравнение
x( t ) Fx( t ) ,
решение которого
x( t ) e F ( t t ) x( t 0 ) ,
где eF (t t ) определяется разложением в степенной ряд
0
0
e
F ( t t0 )
[ F ( t t 0 )] m m! .
m0
Ft
Умножив (2) на e , получим
8
e Ft x( t ) e Ft Fx( t ) e Ft [ Cu( t ) Gw( t ) F0 ] .
После преобразования левой части получим
d
[ e Ft x( t )] e Ft [ Cu( t ) Gw( t ) F0 ] .
dt
Проинтегрируем обе части от 0 до t
t
e Ft x( t ) x( 0 ) e F [ Cu( ) Gw( ) F0 ]d .
0
После умножения на e получим решение уравнения (2) при нулевых
начальных условиях.
Ft
t
x( t ) e Ft x( 0 ) [ e F ( t ) [ Cu( ) Gw( ) F0 ] d .
0
Если начальные условия ненулевые, то решение примет вид
x( t ) e
F ( t t0 )
t
x( t 0 ) [ e F ( t ) [ Cu( ) Gw( ) F0 ] d .
(3)
t0
Дискретизация динамической непрерывной модели ТРДД
Построение дискретного эквивалента непрерывной модели ОУ
называют квантованием (дискретизацией) непрерывного ОУ. Полученная в результате дискретизации модель дает связь между переменными ОУ только в моменты квантования. Моменты квантования tk
можно определить как время, когда меняются управляющие и возмущающие воздействия, приложенные к ОУ. Предположим, что измерения проводятся в те же моменты времени. Рассмотрим интервал времени t k t t k 1 , для которого k 0,1... . Предположим, что x( t k ) известно, w( t ) w( k ) const и u( t ) u( k ) const для t k t t k 1 . Тогда
из уравнения (3) следует, что
x( t k 1 ) e
F ( t k 1 t k )
t k 1
x( t k ) e F ( t
k 1 )
[ Cu( k ) Gw( k ) F0 ] d ,
tk
где t k 1 ( k 1 )T ; t k kT ; T t k 1 t k .
Без учета Gw( k ) и F0 (4) примет вид
x( t k 1 ) e x( t k ) e
FT
t k 1
Ft k 1
Cu( t k ) e F d ,
tk
где
t k 1
e d F e
tk
F
1
Ft k
( E e FT ) .
(4)
9
x( t k 1 ) e FT x( t k ) F 1 ( e FT E )Cu( t k ) .
(5)
Введем обозначения
x( t k ) x( k ); x( t k 1 ) x( k 1 ); e FT ; F 1 ( e FT E )C .
Тогда (5) примет вид
x( k 1 ) x( k ) u( k ) ,
а с учетом возмущающего воздействия и вектора постоянного смещения
x( k 1 ) x( k ) u( k ) w( k ) 0 ,
(6)
где F 1 ( e FT E )G ; 0 F 1 ( e FT E )F0 .
Матрицы , , , 0 называются переходными и связаны с матрицами коэффициентов непрерывной модели (2) соотношениями
e FT ; F 1( E )C ; F 1( E )G ; 0 F 1( E )F0 .
Уравнение (6) называется дискретной динамической моделью.
(7)
10
Определение переходных матриц дискретной модели ТРДД
1. Постановка задачи
Имеется динамическая непрерывная модель в векторно–
матричном виде, описывающая состояние ТРДД,
x( t ) Fx( t ) Cu( t ) Gw( t ) F0 ,
(8)
где F ,C ,G , F0 – известные матрицы коэффициентов непрерывной модели;
f
f
f 12
c
g
F 11
; C 11 ;
G 11 ;
F0 01 ;
C G;
f 02
f 21 f 22
c 21
g 21
x( t ) n в ( t ) n к ( t ); u( t ) GT ( t ) .
В дискретные моменты времени модели (8) соответствует дискретная модель, которая описывается разностным уравнением
x( k 1 ) x( k ) u( k ) w( k ) 0 ,
(9)
где , , , 0 – переходные матрицы коэффициентов дискретной
модели;
12
11
;
11 ;
11 ;
0 01 ;
02
21 22
21
21
k –дискретное время; t kT ; T –период дискретизации.
Определить значения переходных коэффициентов дискретной
модели для различных периодов дискретизации. Оценить устойчивость дискретной динамической модели при различных периодах
дискретизации.
2. Алгоритм
2.1. Определение переходных матриц коэффициентов
Матрицы коэффициентов моделей (9) и (8) связаны соотношениями (7). Разложим функцию e FT в степенной матричный ряд
e FT E FT F 2 T 2 2! F 3T 3 3! ... F m T m m!
(10)
11
Для удобства вычисления функции (10) преобразуем ее к виду
e FT E F ( ET FT 2 2! F 2 T 3 3! ... F m 1T m m! ) E FA ,
где
(11)
A ET FT 2 2! ... F m 1T m m! A( 0 ) A( 1 ) A( 2 ) ... A( m ) .
Подставляя (11) в (7), получим выражения для вычисления переходных матриц
E FA; AC; AG; 0 AF0 .
(12)
Такое преобразование функции (10) позволяет использовать предшествующее значение полинома A для вычисления его следующего значения. Таким образом, введение полинома A приводит функцию e FT к
рекурсии. Основным является вычисление матричного ряда (11). После подстановки (11) в (12) получим
E F [ A( 0 ) A( 1 ) ...A( m )] ,
(13)
где A( i ) – i -й член ряда, i 0, m .
Тогда ( i 1 ) -й член ряда A( i 1 ) FTA( i ) . Таким образом каждый
последующий член матричного ряда равен произведению предшествующего на FT .
C [ A( 0 ) A( 1 ) ... A( m )];
G [ A( 0 ) A( 1 ) ... A( m )];
(14)
0 F0 [ A( 0 ) A( 1 ) ... A( m )].
Начальные условия: E
1 0
0 1
; A( 0 ) ET .
2.2. Определение устойчивости дискретной динамической модели
Для определения устойчивости динамической дискретной модели необходимо найти корни полинома
A( z ) z 2 a1 z a 2 0 ,
где a1 ( 11 22 ); a 2 11 22 12 21 .
12
a1
a12
z1 ,2
a2
2
4
(15)
Дискретная модель считается устойчивой, если корни характеристического полинома A( z ) лежат внутри единичной окружности на
плоскости z , т.е. z i 1, i 1,2 .
Структура программного обеспечения
Алгоритм определения переходных матриц коэффициентов дискретной модели реализован в программе “PPDM.FOR”, написанной на
языке Фортран. Идентификаторы, используемые в программе, приведены в табл.1. В “PPDM.FOR” используются следующие программы
библиотеки Фортрана:
GMPRD – умножение двух матриц общего вида;
GMADD – сложение двух матриц общего вида;
SMPY
– умножение матрицы на скаляр.
Текст основной программы находится в файле “DISCR.FOR”.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с методическими указаниями к данной лабораторной работе.
2. Получить у преподавателя вариант задания и соответствующие ему исходные данные для выполнения работы:
коэффициенты непрерывной модели;
периоды дискретизации;
файлы “PPDM.FOR” и “DISCR.FOR”.
3. Ввести исходные данные в программу “DISCR.FOR”.
4. Вычисленные переходные коэффициенты для трех периодов
дискретизации поместить в файлы REZ1.S, REZ2.S, REZ3.S. Показать
результаты преподавателю.
5. Определить корни характеристического полинома A(z ) .
6. Оформить отчет по лабораторной работе. Исходные данные и
результаты занести в табл.2.
13
Таблица 1
Обозначение
Пояснения
математическое в
программе
N
Размерность вектора состояния
n
K
Размерность вектора управления
k
JN
Число членов матричных рядов
m
Матрица состояния непрерывноF ( n, n )
F(N,N)
го ОУ
Матрица состояния дискретного
( n , n )
DF(N,N)
ОУ
Матрица управления непрерывC( n , k )
C(N,K)
ного ОУ
Матрица управления дискретно( n , k )
DC(N,K)
го ОУ
Матрица возмущения непрерывG( n , k )
G(N,K)
ного ОУ
Матрица возмущения дискретно(n, k )
DG(N,K)
го ОУ
Вектор смещения непрерывного
F0 (n)
FS(N)
ОУ
Вектор смещения дискретного
0 (n)
DFS(N)
ОУ
A(i)
XM(N,N) Вспомогательная матрица
A(i 1)
XM1(N,N) Вспомогательная матрица
FT (n, n)
FB(N,N) Вспомогательная матрица
m
Сумма элементов матричного
SUM(N,N)
0 A(i)
ряда
DT
Период дискретизации
T
E (n, n)
E(N,N)
Единичная матрица
Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Постановка задачи.
3. Исходные данные.
4. Алгоритм.
5. Результаты, представленные в виде таблицы.
6. Выводы.
14
Контрольные вопросы
1. Математические модели ОУ. Их характеристика и классификация. Объединенная модель.
2. Принцип действия авиационного газотурбинного двигателя.
3. Непрерывная динамическая модель ТРДД и ее параметры.
4. Дискретная динамическая модель ТРДД и ее параметры.
5. Соотношения, связывающие коэффициенты дискретной и
непрерывной моделей.
6. Критерий устойчивости дискретной модели.
Таблица 2
Коэффициенты дискретной модели
Коэффициенты
Период дискретиT1
T2
T3
непрерывной
зации
модели
Переходная матрица состояния
f 11
f 21
f12
f 22
11
21
12
22
Переходная матрица управления
c11
c 21
11
21
Переходный вектор постоянного смещения
f 01
01
f 02
02
Корни характеристического полинома
z1
z2
15
Библиографический список
1. Интегральные системы автоматического управления силовыми установками самолетов / Под ред. А.А. Шевякова. М.: Машиностроение, 1983. 283 с.
2. Автоматика газотурбинных силовых установок / Под ред.
А.В. Штоды. М.: Воениздат, 1980. 247 с.
3. Идентификация систем управления авиационных газотурбинных двигателей / Под ред. В.Т. Дедеша. М.: Машиностроение,
1984. 200 с.
4. Изерман. Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.
542 с.
5. Соболев В.И. Информационно-статистическая теория измерений. М.: Машиностроение, 1983. 224 с.
