Круги Эйлера: Решение логических задач в 5 классе

Муниципальное общеобразовательное учреждение
лицей № 8 «Олимпия»
Дзержинского района г. Волгограда
Телефоны (8442) 58-80-83, 51-81-31 адрес электронной почты lyceum8@mail.ru
Решение логических задач с помощью кругов Эйлера
Выполнил:
Назаретян Сюзана Горовна,
ученица 5 Б класса
Учитель:
Кокиева Лилия Диляверовна, учитель
математики высшей категории
Волгоград, 2011
Оглавление
С.
Введение................................................................................................
3—4
Глава I. Логические задачи и круги Эйлера ……………..…….…...
5—9
1.1. Трудно решать логические задачи? …..……...…………….
5—6
1.2. Немного о множествах ………..…………………………...
6—8
1.3. Из истории кругов Эйлера …….……..…………………….
8—9
Глава II. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера…..
7 — 14
2.1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств.......
9 —12
2.2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств ......
12 — 14
Заключение............................................................................................
15
Список источников и литературы.......................................................
16
Приложения ..........................................................................................
17—20
2
Введение.
Сколько гостей Вам встречать, если собираются друзья с 15 угощениями и
20 украшениями? Может ли хватить всем места за столом, вмещающем 22
человека? Первое, что приходит на ум, это 35 человек. А причём здесь 22
человека? Есть подвох? Конечно! Ведь надо рассмотреть несколько вариантов.
Как узнать количество учащихся класса, посещающих одновременно две
или три секции, если известны количества участников каждой секции
отдельно? Можно ли научиться решать такие задачи, планируя результат?
Хочется ответить положительно.
А как решить такую задачу: «Министерство послало в один из лицеев
инспектора для проверки, как в нём ведётся преподавание иностранных языков.
Сотрудник министерства в отчёте записал, что в лицее учатся 100 детей.
Каждый изучает по крайней мере один из трёх языков: французский, немецкий
и испанский. Причём все три языка изучают 5 человек; немецкий и испанский
10;французский и испанский 8; немецкий и французский 20; испанский 30,
немецкий 23, французский 50. Инспектор, представивший отчёт, был уволен.
Почему?»? Такое длинное условие: пока дочитали до конца – забыли начало.
Что делать?
Оказывается,
такие
задачи
решаются
с
помощью
кругов
Эйлера.
Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и
облегчает путь к её решению.
Актуальность нашей работы заключается в том, чтобы такие задачи не
ставили нас «в тупик» и мы могли их решать.
С учетом этого и была выбрана тема исследования: «Решение логических
задач с помощью кругов Эйлера».
Объект исследования — логические задачи.
Предмет исследования —использование кругов Эйлера для решения
логических задач .
3
Гипотеза исследования. Можно решать логические задачи определённого
вида специальными способами и в 5 – 6 классах.
Целью нашего исследования является исследование механизма решения
определённых логических задач при помощи кругов Эйлера.
Для достижения
цели
исследования
и
обоснования
гипотезы
нам
необходимо решить ряд задач:
1. Найти необходимые сведения о пересечении и объединении множеств, о
кругах Эйлера.
2. Рассмотреть способы решения логических задач на пересечение и
объединение двух и трёх множеств.
3. Вывести в общем виде способ решения логических задач определённого
вида с помощью кругов Эйлера.
4. Научиться решать конкретные логические задачи с помощью кругов
Эйлера.
5. Создать модели «Круги Эйлера» для решения задач с двумя и тремя
множествами в помощь учащимся.
Методы исследования:
1. Поиск, анализ и синтез различных источников информации.
2. Интервьюирование, беседы.
Практическая значимость заключается в расширении аппарата для
решения логических задач. Данный материал можно будет использовать на
некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по
математике. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и
простоту.
Теоретическая значимость заключается в разработке способа действий при
решении логических задач с помощью кругов Эйлера в общем виде.
4
Глава I. Логические задачи и круги Эйлера
1.1. Трудно решать логические задачи?
Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это
не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация
«замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.
Решение логических задач – одно из важнейших средств развития
мыслительных способностей.
Логические задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать
их для развития соображения и улучшения логического
мышления детей,
начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы.
Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С
другой стороны, такие задачи труднее, для их решения часто не требуется
глубоких знаний, а следует применить смекалку.
Вдоль овражка
Шла фуражка,
Две косынки,
Три корзинки
И от них не отставала
Белоснежная панама.
Посчитай поскорей
Сколько было детей?
Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем,
носил ли кто - нибудь и головной убор, и корзинку.
1 Решение. Предполагается, что каждый ребёнок носил 1 предмет. Значит,
детей было 7.
2 Решение. Предполагается, что 1 из детей нёс корзинку и головной убор.
Следовательно, детей было 6.
3 Решение. Предполагается, что 2 из детей носили и корзинку, и головной убор.
Следовательно, детей было 5 .
5
4 Решение. Предполагается, что 3 из детей носили и корзинку, и головной убор.
Следовательно, детей было 4.
1.2. Немного о множествах
Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается
словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Этот смысл
поясняется многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве
всех учащихся 5-го класса, о множестве всех жителей Волгограда, о множестве
всех натуральных чисел, о множестве корней данного уравнения. Основатель
теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) так определил
множество – «многое, мыслимое как единое, целое».
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В,
С, …
О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат
этому множеству или являются его элементами. Множества, элементами
которых являются числа, называются числовыми множествами.
Множество может быть задано перечислением всех его элементов в
произвольном порядке. Такое множество называют конечным. Мы будем
рассматривать только конечные множества.
Множество, в котором нуль элементов, называют пустым.
Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим
некоторые из них: пересечение, объединение и разность.
Пересечение множеств
Возьмем множество X, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество Y,
состоящее из букв г, д, е, ж:
X = {а, б, в, г, д}, Y= {г, д, е, ж}.
Эти множества имеют общие элементы г и д .
Множества X и Y
называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов
X и Y называют пересечением множеств X и Y и обозначают с помощью
знака :Х Y={г, д} (рис. 1).
6
Пусть множество А = {1, 3, 5}. Множества А и X не имеют ни одного
общего элемента. В таком случае
множества А и
X называются
непересекающимися множествами. Пересечением множеств А и X является
пустое множество: А  Х=  (рис. 2).
Пересечением
множеств
называется
новое
множество,
состоящее
из элементов, принадлежащих одновременно нескольким множествам
Y
X
X
A
Рис. 1
Рис. 2
Объединение множеств
Если из элементов множеств X и Y составить новое множество, состоящее
из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то
получится объединение множеств Х и Y, которое обозначают с помощью
знака :
X и Y= {а, б, в, г, д, е, ж) (рис. 4).
Объединение множеств А и X не является пустым:
А X = {1, 3, 5, а, б, в, г, д) (рис. 5).
Объединением
множеств
называется
новое
множество,
состоящее
из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.
Y
Рис. 3
X
X
A
Рис. 4
Рис. 4
Разность
Разность множеств X и Y — это множество всех элементов из X, не
являющихся элементами из Y.Разность обозначают Х\Y = {а, б, в} (рис. 5).
7
X
Y
Рис. 5
1.3. Из истории кругов Эйлера
Часто множество изображают кругами, эти круги обычно называют
«кругами Эйлера» по имени величайшего математика Леонарда Эйлера.
Леонард Эйлер (Euler) (1707 – 1783 г.г.) – математик, механик, физик и
астроном. По происхождению швейцарец, а работал в основном в Росси и в
Германии. В 1726 году был приглашен в Петербургскую АН и в 1727 году
переехал в Россию. В 1741 – 1766 годах работал в Берлине, член Берлинской
АН. Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой
продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу,
дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям,
небесной
механике,
математической
физике,
оптике,
баллистике,
кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на
развитие науки.
Одним из первых, кто разрабатывал метод решения задач с помощью кругов
Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм
Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с
такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский
математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он долгие годы работал в
Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые
«Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В
некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о кругах, которые
«очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера
этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 –
1848).
8
Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные
схемы. Методом кругов пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер
(1841 – 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но
наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского
логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен
им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь
Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда
диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или
кругами) Эйлера – Венна.
Глава II. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера
2.1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств
К Лене на День Рождения пришли гости с подарками. Получилось так,
что подарили только букеты цветов и воздушные шарики. Шесть гостей
подарили букеты цветов, четыре - воздушные шарики. Сколько было
гостей?
Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем, брал
ли кто - нибудь из гостей два подарка.
1 Решение. Предполагается, что каждый гость с одним подарком.
Следовательно, гостей 10.
2 Решение. Предполагается, что 1 из гостей пришел и с шариком, и с
букетом цветов. Следовательно, 6 + 3 = 9 гостей.
3 Решение. Предполагается, что 2 из гостей пришли с двумя подарками.
Следовательно, гостей 8.
4 Решение. Предполагается, что 3 из гостей пришли и с шариком, и с
букетом цветов. Следовательно, 6 + 1 = 7.
5 Решение. Предполагается, 4 из гостей пришли с 2 подарками.
Следовательно, 4 + 2 = 6 гостей.
9
1)
2)
Ц
Ш
6
Ш
Ц
4
5
3)
1
3
4)
Ш
4
Ц
2
2
5)
Ш
2
Ш
3
Ц
3
1
Ц
4
В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколько элементов
может быть в их:
а) пересечении; б) объединении?
Ответ: а) от 0 до 30; б) от 40 до 70.
"Ёлки" и "Неудержимый": Некоторые ребята из нашего класса любят
ходить в кино. Известно, что 12 ребят смотрели фильм «Ёлки», 9 человек –
фильм «Неудержимый», из них 6 смотрели и «Ёлки», и «Неудержимый».
Сколько
человек
смотрели
только
фильм
«Неудержимый»?
Сначала заполняем пересечение. Это будет число 6. Потом заполняем
10
множество ребят, смотревших фильм «Ёлки». Это будет число 6. Так как 6 из
двенадцати к тому же ещё смотрели фильм «Неудержимый». После заполняем
множество ребят, смотревших фильм «Неудержимый». Это будет число 3. Так
как
6
из
9
к
тому
же
ещё
смотрели
фильм
«Ёлки».
Ответ: 3 человека смотрели только фильм «Неудержимый».
Ё
Н
6
6
3
20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и
английский, и немецкий. Сколько человек всего?
Способ 1. С помощью модели «Круги Эйлера» (Приложение 1).
10+20 – 5=25 человек.
Способ 2.
1) 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;
2) 10 – 5 = 5 (чел.) – знают только немецкий язык;
3) 15+5+5 = 25 (чел.) – всего.
? 25
? 25
А
15
5
5
Н
А
15
5
10
Н
11
Можно решать и короче:
1) 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;
2) 10+15 = 25 (чел.) - знают немецкий и только английский
2.2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств
В классе всего 36 человек. Учащиеся посещают математический,
физический и химический кружки, причем, математический кружок посещают
18 человек, физический - 14 человек, химический - 10 человек. Кроме того,
известно, что все три кружка посещают 2 человека, математический и
физический -8,математический и химический - 5, физический и химический - 3.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Способ 1. На рисунке большой круг изображает множество всех учеников
класса. Внутри этого круга расположены три пересекающихся круга меньшего
диаметра:
эти
круги
изображают
соответственно
множества
членов
математического, физического и химического кружков. Эти круги обозначены
буквами М, Ф, Х.
Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посещающих
все три кружка, поэтому она обозначена МФХ.
Через МФХ обозначено множество ребят, посещающих математический и
физический кружки, но не посещающих химический кружок. Аналогичным
образом обозначены и все остальные области. Здесь для удобства обозначений
мы будем отсутствие отмечать чертой над символом.
Теперь обратимся к числовым данным (см. Приложение 2).
В область МФХ впишем число 2, т.к. все три кружка посещают 2 ученика.
Далее известно, что ребят, посещающих математический и физический кружки,
было 8. Значит, в область МФ надо вписать число 8. Но область МФ состоит из
двух частей: МФХ и МФХ, причем в МФХ входят 2 человека. Значит, на долю
МФХ остается 6 человек.
Теперь рассмотрим множество МХ, на которое приходится 5 человек. Эта
область также состоит из двух частей. На МФХ приходится 2 человека, значит,
12
на МФ Х приходится 3.
Рассмотрим теперь множество М, в которое входят 18 учеников. Оно
состоит из 4 частей. Количественный состав трех подмножеств мы уже нашли:
это 2, 6 и 3. Значит, в четвертое подмножество МФ Х входит 18 – (2+3+6) = 7
человек.
Рассмотрим множество ФХ, на которое приходится 3 человека. Эта область
также состоит из двух частей. На МФХ приходится 2 человека, значит, на МФХ
приходится 1.
Рассмотрим множество Ф, в которое входят 14 учеников. Оно состоит из 4
частей. Количественный состав трех подмножеств мы уже нашли: это 2, 6 и 1.
Значит, в четвертое подмножество МФХ входит 14 – (2+1+6) = 5 человек.
36 – (10+7+6+5) = 8 человек. Таким образом, в классе 8 ребят, не
посещающих никаких кружков.
М
Ф
36
МФХ
МФ Х
МФХ
6
7
5
МФХ
МФ Х
2
МФХ
3
1
МФ Х
?8
МФ Х
4
Х
Способ 2. С помощью модели «Круги Эйлера» (Приложение 1).
Представим множества учащихся, посещающих математический, физический и
химический кружки, в виде кругов, вырезанных из плотной бумаги. Будем
13
считать, что площадь каждого из этих кругов равна числу учащихся,
посещающих соответствующий кружок. Наложим круги друг на друга так,
чтобы было понятно, что есть учащиеся, посещающие один, два или три
кружка. Вычислим площадь получившейся фигуры:
14 + 18 + 10 – ((8 + 5 + 3)  2) – 2 = 8 (чел.)— не посещают кружки.
Из
100
туристов,
отправляющихся
в
заграничное
путешествие,
немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42.
Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и
французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов
вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3
из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и
французским владеют 10-3=7 человек.
Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5
человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста.
Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими
языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично
получаем, что одним английским владеют 13 человек,а одним французским - 30.
Всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один
язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.
100
7
13
30
А
Ф
3
5
2
?
20
20
Н
14
Заключение
Существует множество приемов, которые используются при решении
текстовых логических задач (Приложение 3). Очень часто решение задачи
помогает найти рисунок, он делает решение простым и наглядным. Задачи,
решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических
олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной
темы. Ценность использования кругов Эйлера состоит в том, что решения задач
с громоздкими условиями и со многими данными становятся проще.
Подобные задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в
современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению
какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов
решения наиболее простой, легкий путь.
Нами созданы модели «Круги Эйлера» для решения логических задач на
пересечение двух и трёх множеств, которыми можно пользоваться как на месте
(за партой), так и у доски (Приложение 4).
Поиск
готовых
способов
решения
выделенных
логических
задач,
самостоятельное описание способа действий при использовании кругов Эйлера
для их решения, а также попытки рассмотрения другой формы представления
данных условия позволили нам решить поставленные задачи.
Цель была достигнута. С результатами работы были ознакомлены наши
одноклассники, что позволило решать логические задачи этого вида не только
нам.
Теперь наши одноклассники решают такие задачи, используя не только
модели, но и памятку со способом действий, написанных нами.
Теперь мы точно будем знать, сколько друзей нам надо встречать в гости. От
20 до 35! А значит, и за стол всех всё же можно будет посадить.
Данная тема, безусловно, расширяет математический кругозор учащихся,
обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.
15
Литература
1. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие
для учителей Текст/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л.
Гавронского. М.: МИРОС, 1993. с. 42. – ISBN 5-7084-0023-4
2. Занимательная математика. 5 – 11 классы. Текст: (Как сделать уроки
нескучными) / Авт. – сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005.
с.32-38. – 10000 экз. –5-7057-0482-8
3. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие
для учащихся 5 – 6 кл. Текст/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999. с. 189 –
191, 231. – 10000 экз. – ISBN 5-09-007107-1
4. Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5
класса. Текст: СПб: СМИО Пресс, 2009. с.14-20. – 2000 экз. – ISBN 5-77040055-2
5. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.Текст /
А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007. с. 27, 34, 61. – 7000 экз. – ISBN 978-58112-2394-7
6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика Текст/ Глав.ред. М.Д.
Аксёнова. М.: Аванта +,2001. с. 537 - 542. – 20000экз. – ISBN 5-8483-0015-1
7. Иванищев, Д. М. Поляна загадок – математика царица.
http://doomatem1.narod.ru/
8. Дистанционная обучающая олимпиада по математике (ДООМ)
http://doomatem1.narod.ru/
9. Сопова, С. С. Диаграмма Эйлера-Вена и "дерево". Взаимодополнение.
http://doomatem1.narod.ru/
16
Приложение 1
Модель «Круги Эйлера» на пересечение двух множеств
1. На листе бумаги нарисовать два круга.
2. Разрезать по пунктирным линиям и получить детали.
3. На бумаге цвета 1 обвести и вырезать детали № 1 () (), № 2 ().
На бумаге цвета 2 обвести и вырезать детали № 2, № 3 () ().
 - окошко для названия множества,  - окошко для числа
1
2
3
Модель «Круги Эйлера» на пересечение трёх множеств
1. На листе бумаги нарисовать три круга.
2. Разрезать по пунктирным линиям и получить детали.
3. На бумаге цвета 1 обвести и вырезать детали № 5 () (), № 2, № 1, № 4.
На бумаге цвета 2 обвести и вырезать детали № 6 (), (), № 2, № 1, № 3.
На бумаге цвета 3 обвести и вырезать детали № 7 (), (), № 4 (), № 1 (),
№ 3 ().
2
5
6
1
4
3
7
17
Приложение 2.
Способ действий при решении задач
на пересечение и объединение трёх множеств с помощью кругов Эйлера
1. Начертить три пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B, C.
2. Начертить большой круг, в котором окажутся три маленьких. Это общее
количество объектов – множество Е.
3. Начертить отдельное множество D – подмножество множества E Это те, кто
не является элементом множеств А, В и С.
4. Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и
записать данные.
5. Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №2) и
записать данные в №2.
Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №3) и
записать данные в №3.
Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №4) и
записать данные в №4.
6. Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:
5 = А – (1 + 2 + 4), 6 = В – (1 + 2 + 3), 7 = С – (1 + 3 + 4).
7. Должно выполняться: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + D = E/
8. Записываем ответ на вопрос задачи.
В
E
№6
№2
№3
№1
А
№5
№4
D
С
№7
18
Приложение 3.
Задача (http://doomatem1.narod.ru/). а) На 3 курсе факультета обучается 81
студент. Многие из них выбрали одинаковые дисциплины, посещают одни и те
же лекции и хорошо знают друг друга. б) 43 студента посещают лекции по
философии, в)32 - по логике и г)41 - по естествознанию. д) Философию и
логику выбрали 11 человек. е) Философию и естествознание посещает 21
студент, ж)а логику и естествознание - 16. з) 4 человека выбрали только
философию и логику.
Сколько студентов посещают лекции:
1) по всем трём предметам,
2)только по философии и естествознанию,
3)только по логике и естествознанию,
4)только по философии,
5)только по естествознанию,
6)только по логике,
7)не выбрали ни одну из этих дисциплин.
Каждое высказывание из условия записать в виде логического выражения,
строго подписывая друг под другом элементы. Решать систему будем с тех
уравнений, где меньше всего неизвестных, попарно вычитая уравнения. При
решении стремимся убрать как можно больше неизвестных.
1) Возможные варианты перебираем с учетом
а) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ
б) ФЛ Е + 0
+ 0 + ФЛЕ + ФЛЕ + 0
в) 0
+ Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ +
0 + Ф ЛЕ
г) 0
+ 0 + Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ + Ф ЛЕ
д) 0
+ 0 + 0 + ФЛЕ +
0 + 0
е) 0
+ 0 + 0 + 0 + ФЛЕ + 0
ж) 0
+ 0 + 0 + 0 +
0 + Ф ЛЕ
з) 0
+ 0 + 0 + ФЛЕ +
0 + 0
+ ФЛЕ + Ф Л Е
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ 0
+ 0
= 81
= 43
= 32
= 41
= 11
= 21
= 16
=4
2) Четко видно, что ФЛЕ = 4. Подписываем под чертой вычисленные значения
и убираем использованные уравнения. Ниже приведен подробный ход решения.
19
а) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ
б) ФЛ Е + 0
+ 0 + ФЛЕ + ФЛЕ + 0
в) 0
+ Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ +
0 + Ф ЛЕ
г) 0
+ 0 + Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ + Ф ЛЕ
д) 0
+ 0 + 0 + ФЛЕ +
0 + 0
е) 0
+ 0 + 0 + 0 + ФЛЕ + 0
ж) 0
+ 0 + 0 + 0 +
0 + Ф ЛЕ
и)
4
+ ФЛЕ + Ф Л Е
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
= 81
= 43
= 32
= 41
= 11
= 21
= 16
а) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ
б) ФЛ Е + 0
+ 0 + ФЛЕ + ФЛЕ + 0
в) 0
+ Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ +
0 + Ф ЛЕ
г) 0
+ 0 + Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ + Ф ЛЕ
е) 0
+ 0 + 0 + 0 + ФЛЕ + 0
ж) 0
+ 0 + 0 + 0 +
0 + Ф ЛЕ
и)
4
а) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ
б) ФЛ Е + 0
+ 0 + ФЛЕ + ФЛЕ + 0
в) 0
+ Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ +
0 + Ф ЛЕ
г) 0
+ 0 + Ф ЛЕ + 0 + ФЛЕ + Ф ЛЕ
и)
4
14
9
+ ФЛЕ + Ф Л Е
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
7
+ ФЛЕ + Ф Л Е
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
+ ФЛЕ + 0
7
= 81
= 43
= 32
= 41
= 21
= 16
= 81
= 43
= 32
= 41
а) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + Ф Л Е = 81
и) 18
12
11
4
14
9
7
0) ФЛ Е + Ф ЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + ФЛЕ + Ф ЛЕ + ФЛЕ + Ф Л Е = 81
и) 18
12
11
4
14
9
7
6
Ответ:1) по всем трём предметам, ФЛЕ , 7
2)только по философии и естествознанию, ФЛЕ , 14
3)только по логике и естествознанию, Ф ЛЕ , 9
4)только по философии, ФЛ Е , 18
5)только по естествознанию, Ф ЛЕ , 11
6)только по логике, Ф ЛЕ , 12
7)не выбрали ни одну из этих дисциплин, Ф Л Е , 6
20
Приложение 4
Отчёт о проделанной работе перед коллегами
21