МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Забайкальский государственный университет»
(ФГБОУ ВПО «ЗабГУ»)
Факультет Энергетический
Кафедра Математики
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
для студентов заочной формы обучения
по Теории вероятностей и математической статистике
наименование дисциплины (модуля)
для направления подготовки (специальности) 210700
«Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
Профиль (специализация): «Оптические системы и сети связи»
Форма обучения: Заочная
Виды занятий
1
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия, в т.ч.
Лекции
Практические занятия
Семинары
Лабораторные работы
Самостоятельная работа студентов
Форма итогового контроля
Общая трудоемкость в зачетных
единицах
Распределение по
семестрам
2 семестр
Всег
о
часов
2
144
72
36
36
3
144
72
36
36
72
Экзамен
5
72
Форма текущего контроля – Контрольная работа.
Рекомендации по определению варианта и оформлению контрольной
работы.
1. Студенты выполняют контрольную работу в соответствии с учебным
планом в сроки, установленные факультетом.
2. Студенты должны выполнить один из 10 вариантов, номер которого
определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
3. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку,
ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым
почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием
инструмента.
4. На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество студента,
группу, номер зачетной книжки, номер варианта.
5. Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно
расположению их в варианте. Обязательно записывать условия задач.
6. На заключительном листе контрольных работ следует указать список
литературы, которым Вы пользовались при их выполнении.
7. Если контрольные работы выполнены с нарушением всех
вышеперечисленных указаний или не полностью, то они возвращаются
слушателю для доработки без проверки.
8. Если работы не зачтены, внимательно изучите все замечания рецензента.
Переделайте работы в соответствии с рекомендациями рецензента.
9. Переделанные работы предоставляются на проверку вместе с не
зачтенными работами.
Варианты контрольной работы
№
варианта
Задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№№531; 541; 551; 561
№№532; 542; 552; 562
№№533; 543; 553; 563
№№534; 544; 554; 564
№№535; 545; 555; 565
№№536; 546; 556; 566
№№537; 547;557; 567
№№538;548; 558; 568
№№539; 549; 559; 569
№№540;550; 560; 570
Краткое содержание курса
1. Математические основы теории вероятностей. Элементы комбинаторики.
Предмет теории вероятностей. Элементарная теория вероятностей случайных
событий. Методы вычисления вероятностей.
2. Элементарная теория вероятностей случайных событий. Пространство
элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события.
3.Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об
аксиоматическом построении теории вероятностей.
4. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей
несовместных событий. Зависимые и независимые события. Теорема
умножения для независимых событий.
5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых
событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
6. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной
вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
7. Последовательность независимых испытаний. Формулы Бернулли,
Муавра-Лапласа, Пуассона.
8. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Ряд
распределения. Функции распределения, ее свойства.
9. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и
дисперсия дискретной случайной величины.
10. Примеры различных распределений. Нормальное распределение, его
характеристики.
11. Показательное распределение непрерывной случайной величины.
Надежность и ее критерии.
12. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и
Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
13. Случайные векторы. Законы распределения. Условные распределения
случайных векторов. Условные математические ожидания. Функции
регрессии. Ковариационная матрица. Коэффициенты корреляции.
14. Математические основы случайных процессов. Случайные процессы.
Осредненные характеристики случайного процесса: математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение,
(авто)ковариационная функция, (авто)корреляционная функция, взаимная
ковариационная и корреляционная функции.
15. Модели случайных процессов. Стационарные случайные процессы.
Корреляционный и спектральный анализ случайных процессов.
16. Методы математической статистики. Статистические оценки
генеральной средней и доли. Погрешность оценки. Точечное и интервальное
оценивание. Определение необходимого объема выборки.
17. Понятия о критериях согласия. Проверка статистических гипотез о
равенстве долей и средних. Принцип максимального правдоподобия.
18. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом
наименьших квадратов непосредственно и с помощью линеаризующих
переменных.
Задания для выполнения контрольной работы.
Задание 1
531. Три стрелка выстрелили по зверю, который после этого оказался убитым
одной пулей. Определить вероятность того, что зверь был убит каждым
охотником, если вероятности попадания для них соответственно равны
0,2;0,4;0,6.
532. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели
первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков вероятности
соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только из
стрелков поразит цель; б) только два стрелка поразят цель; в) все три стрелка
поразят цель; г) хотя бы один из стрелков поразит цель.
533. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96.
Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
534. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
535. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо.
Вероятности безотказной работы (за время t ) первого, второго и третьего
соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятность того, что за время t
безотказно будут работать 6 а) только один элемент; б) только два элемента;
в) все три элемента.
536. В каждой из двух урн содержатся 4 черных и 6 белых шаров. Из второй
урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую урну, после чего из
первой урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар,
извлеченный из первой урны, окажется белым.
537. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20
шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а
затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того,
что этот шар будет белым.
538. Две команды из 10 спортсменов производят жеребьевку для присвоения
номера участникам соревнований. Два брата входят в состав различных
команд. Найти вероятность того, что оба брата будут участвовать в
соревнованиях по номером 5.
539. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них не более двух
мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.
540. Из трех орудий произвели залп по цепи. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего
орудия эти вероятности соответственно равна 0,7 и 0,9. Найти вероятность
того, что: а) только один снаряд попадет в цель; в) хотя бы один снаряд
попадет в цель.
Задание 2
551-560. В партии из N изделий имеется n нестандартных. Наудачу
отобраны два изделия. Найти математическое ожидание и дисперсию
дискретной случайной величины X - числа нестандартных изделий среди
двух отобранных.
541. N 10, n 3.
546. N 25, n 5.
542. N 15, n 4.
547. N 18, n 6.
543. N 12, n 3.
548. N 22, n 5.
544. N 20, n 4.
549. N 21, n 7.
545. N 14, n 3.
550. N 16, n 3.
Задание 3
551-560. Дан дифференциальный закон распределения непрерывной
случайной величины X . Найти неизвестный параметр a , интегральный закон
распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное
отклонение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций
распределения.
a cos x, при x 2 ,
551. f x
0,
при x .
2
a cos x, при 0 x 4 ,
f x
0, при x или x 0.
4
556.
ax 2 , при 0 x 2,
552. f x
0, при x 2 или x 0.
a
sin
3
x
,
при
x
,
6
3
f x
0, при x или x /
6
3
a sin x, при 0 x ,
553. f x
0, при x 0 или x .
a sin 2 x, при 0 x 4 ,
f x
0, при x 0 при x .
4
2
a x 2 x , при 0 x 1,
554. f x
0, при x 1 или x 0.
2a
f x
при x .
1 x2
a x 0,5 при 0 x 1,
f x
0, при x 0 или x 1.
a x 0,5 при 1 x 2.
f x
0, при x 1 или x 2.
555.
557.
558.
559.
560.
Задание 4
Математическая статистика
В результате эксперимента получены, данные, записанные в виде
статистического ряда. В задачах 561-570 требуется:
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов;
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график
эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки X в , Dв ;
д) приняв в качестве нулевой гипотезу H 0 : генеральная совокупность, из
которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее,
пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости a 0,25;
е) найти доверительный интервал для математического ожидания при
надёжности 0,9.
561.
17,1
19,1
16,2
17,5
18,8
15,6
18,4
22,8
20,8
18,9
21,4
20,5
17,3
19,2
14,3
17,4
18,7
17,5
16,5
14,7
15,9
14,2
22,5
18,5
17,1
21,3
14,3
20,2
18,3
19,5
19,1
16,9
19,9
15,7
19,5
22,1
18,2
15,5
21,7
20,9
22,4
17,8
21,1
14,0
16,3
20,1
19,1
21,6
17,4
15,8
20,7
18,1
15,1
18,6
20,3
14,5
15,3
18,1
23,0
20,2
17,9
19,1
17,7
21,2
17,9
19,3
21,5
20,5
21,1
21,8
18,6
15,8
19,8
16,8
23,0
18,4
17,2
14,0
19,8
18,2
21,8
18,8
14,9
19,3
17,2
16,7
22,6
18,9
15,4
21,2
16,1
17,2
20,5
17,8
15,2
18,2
20,4
16,5
18,1
20,1
562.
16,8
19,5
21,5
17,2
22,8
20,6
17,9
22,1
19,2
15,8
17,9
18,5
14,9
19,7
17,4
15,5
21,8
17,6
14,8
20,8
21,4
22,5
18,6
16,3
22,7
19,4
14,2
16,7
19,7
17,1
14,1
18,4
20,4
18,7
16,5
17,5
21,2
20,4
17,7
20,1
19,1
16,2
15,2
14,4
21,7
20,9
16,1
15,7
16,5
22,6
18,1
18,1
18,5
18,8
15,4
23,0
18,4
18,1
17,8
18,9
15,1
19,1
17,1
19,5
21,3
18,9
17,5
16,6
18,5
15,6
18,2
21,4
22,4
21,6
14,3
15,9
19,3
18,3
14.0
21,1
20,3
14,5
20,8
15,3
20,5
18,2
22,7
15,5
21,9
20,2
16,7
16,1
19,8
17,3
16,4
20,7
19,6
17,7
16,9
15,1
563.
189
202
197
211
193
234
204
225
210
185
207
211
227
214
203
215
184
216
190
217
213
220
187
220
232
196
217
233
207
225
208
236
226
195
202
220
193
223
205
201
186
227
213
182
215
203
216
208
232
208
219
220
191
228
195
236
205
204
222
211
198
210
209
202
220
225
197
207
198
189
210
183
196
207
233
221
203
182
217
205
231
213
202
192
214
193
229
216
211
207
227
190
235
226
185
215
204
191
201
199
564.
9,4
8,7
1,1
10,0
8,3
7,9
11,1
7,3
11,6
7,6
6,3
7,7
3,7
5,2
0,7
6,8
1,8
4,4
2,1
7,3
4,2
5,5
11,8
5,7
3,4
11,9
10,5
8,6
4,8
11,4
7,8
4,3
1,9
7,4
5,7
1,7
3,8
5,6
0,8
9,9
5,1
1,4
10,1
4,7
2,2
8,8
11,2
8,4
3,6
7,2
2,3
5,0
9,5
10,2
1,2
4,7
0,4
5,9
2,6
6,4
9,7
8,9
1,0
4,5
11,9
11,3
7,1
9,1
3,1
6,9
5,8
9,6
2,5
6,2
8,1
4,9
11,5
6,0
11,7
6,5
3,3
5,9
8,2
6,3
2,9
0,5
9,0
3,2
0,2
6,2
7,5
5,3
10,9
7,0
4,4
4,6
2,4
6,1
9,2
10,3
565.
1,6
2,9
6,6
1,9
6,8
7,0
7,6
2,3
4,8
7,4
4,4
5,3
4,2
10,2
3,2
10,7
9,3
0,8
6,1
8,5
10,9
1,7
5,5
7,9
4,4
8,1
3,4
7,2
3,6
5,8
6,4
7,7
0,5
2,5
9,1
2,1
4,6
8,3
9,5
1,1
4,0
6,9
8,9
5,7
10,3
5,8
5,0
11,1
8,4
5,9
2,8
10,1
4,5
3,1
6,0
6,4
3,8
6,5
2,4
4,9
5,2
5,4
1,8
6,7
7,9
0,3
5,9
3,5
6,3
3,7
1,2
4,1
5,6
4,3
6,9
4,5
8,2
9,4
7,3
9,6
7,6
8,8
7,8
0,6
8,0
9,2
2,2
10,8
5,7
2,6
3,4
6,5
3,0
9,0
2,0
3,3
7,1
4,7
0,9
6,1
566.
20
30
34
30
20
34
28
20
28
18
26
28
24
22
30
26
22
26
35
24
32
18
28
26
17
24
36
30
32
26
34
22
20
35
24
28
30
24
22
28
26
24
32
28
32
22
20
32
26
35
28
26
17
24
28
30
26
17
24
30
32
34
22
30
22
35
28
22
26
26
30
28
24
32
26
32
23
28
24
22
17
22
26
28
24
20
24
35
30
26
24
20
30
18
30
17
32
26
24
28
567.
57
37
31
47
38
35
42
29
45
38
46
49
43
34
41
46
59
42
25
53
33
51
58
54
30
27
43
33
54
34
49
26
41
39
51
45
31
41
50
47
29
55
35
60
37
41
38
24
37
35
50
42
47
49
55
34
58
39
30
49
38
59
23
25
47
50
54
53
41
57
41
43
45
50
43
29
37
45
60
39
27
46
49
31
35
51
26
33
42
55
34
30
37
53
42
39
43
51
46
31
568.
37
32
38
41
38
50
46
49
37
44
49
44
24
35
29
34
37
32
25
34
43
47
49
43
41
25
41
46
40
29
31
29
40
25
32
37
35
26
34
47
44
51
32
37
34
40
29
38
24
37
33
28
34
46
49
32
43
35
44
49
40
43
31
38
44
35
38
40
32
43
31
38
28
24
37
28
31
51
28
35
28
41
37
41
31
44
26
37
34
47
43
32
46
50
47
43
34
46
38
50
569.
70
90
62
73
86
82
91
73
87
95
95
78
81
79
68
62
58
85
58
83
75
57
77
98
55
70
81
65
72
65
95
76
72
63
93
78
97
90
92
57
60
84
97
83
71
67
75
86
66
80
77
82
68
85
96
87
83
61
98
87
55
75
85
70
77
91
71
54
65
61
63
68
56
90
81
99
66
75
81
92
80
73
92
66
86
78
61
78
76
56
67
62
71
91
72
97
76
93
63
71
570.
57,3
81,1
77,6
75,3
62,7
73,5
66,3
71,3
71,6
61,3
75,1
69,4
65,8
58,0
73,8
58,1
73,0
63,7
72,9
71,4
78,1
63,1
78,3
60,7
68,9
64,0
79,1
71,2
61,9
71,8
69,3
67,4
57,7
81,3
83,8
83,9
71,1
78,9
71,5
65,0
60,1
77,1
80,7
67,1
57,0
84,0
80,4
65,2
75,4
67,8
77,3
82,6
64,4
69,8
72,6
63,5
62,1
77,9
71,1
75,5
66,1
64,8
72,8
82,4
65,6
74,1
66,7
74,9
59,9
71,9
69,5
72,5
67,3
62,3
78,7
77,7
83,7
69,1
74,3
64,9
72,1
62,5
83,1
66,9
59,5
68,5
76,8
70,8
76,1
74,7
68,7
80,7
70,6
80,6
70,0
80,5
59,3
74,8
70,9
62,9
Методические рекомендации по выполнению заданий.
Пример 1. В результате эксперимента получена выборка для
дискретного признака X объёма n = 50:
15 16 15 15 18 15 14 19 18 16
19 12 14 18 15 14 16 13 12 17
15 18 15 15 17 14 16 16 17 14
20 15 17 20 17 13 13 14 16 14
19 17 16 16 15 15 18 15 14 17
Требуется: 1) составить вариационный ряд; 2) составить таблицу
относительных частот; 3) построить полигон.
Решение: 1) выбираем различные варианты из выборки и записываем в
возрастающем порядке ( наим. 12; наиб. 20 )
13 14 15 16 17 18 19 20;
2) для каждой варианты определяем частоты ni и вычисляем
относительные частоты. Результаты записываем в таблицу:
12
i
ni
i
12
2
13
3
14
8
15
12
16
8
17
7
18
5
19
3
20
2
2
50
3
50
8
50
12
50
8
50
7
50
5
50
3
50
2
50
n
n
i 1
i 1
i 1 ( ni 50 );
3) полигон: по горизонтальной прямой откладываем значения вариант,
а по вертикальной – значения относительных частот. Полигон не является
графиком в смысле функциональной зависимости, а лишь графическое
изображение таблицы относительных частот. Поэтому наименьшее значение
варианты y наносим в точке пересечения осей.
μi
12/50
8/50
7/50
5/50
3/50
2/50
12
13
14
15
16
17
18
19
20
αi
Рис. 1. Полигон
Замечание. В теории вероятностей дискретная случайная величина Х
задаётся законом распределения, записанным в виде таблицы:
Таблица 2
хi
x1
x2 … xn
pi
p1
p2 …
p
n
где хi – значения, принимаемые дискретной случайной величиной, pi –
n
соответствующие им вероятности, причём pi 1.
i 1
Этот закон геометрически изображается в виде ломаной линии на
плоскости, соединяющей точки (хi; pi) и называемой многоугольником
распределения.
В основе понятия вероятности лежит статистический подход – частота
событий.
Частотой события А называется число ( А)
n( A)
, где n(A) – число
n
появления события А в произведённых n независимых опытах. Эмпирически
установлено, что для большого числа опытов частота обладает свойствами
устойчивости, т.е. начинает колебаться около некоторого постоянного Р(А) и
амплитуда этих колебаний уменьшается с увеличением n, т.е.
( А) n
P( A) .
Таким
образом,
при
достаточно
большом
объёме
выборки,
относительная частота i в таблице начинает стремиться к Рi, т.е.
эмпирический закон распределения дискретного признака будет
приближаться к истинному (теоретическому) закону распределения (табл. 2),
и, соответственно, полигон приближенно будет принимать форму
многоугольника.
Непрерывный вариационный ряд: в этом случае для изучения
непрерывного признака X по выборке составляют интервальный
вариационный ряд. Для этого весь диапазон изменения признака X разбивают
на k частичных интервалов равной длины и вычисляют относительную
n
n
частоту попадания варианты i в i- интервал: ~i i , где ni – число членов
выборки, попавших в i-интервал [ сi ; ci 1 ].
Таблица 3
[ сi ; ci 1 ] [c1;c2) [c2;c3) … [cn;cn+1]
~i
~1
~2
~n
…
n
где ~i =1, называется интервальной таблицей относительных частот.
i 1
Замечание. Если при построении интервалов какая-либо из вариантов
попадает точно на границу соседних интервалов, то её относят к следующему
(правому) интервалу. Для последующей обработки сгруппированных данных
по формулам за значение интервала принимаем его середину (обозначим ~i ),
т.е. центральное значение.
Интервальная таблица относительных частот изображается в виде
гистограммы относительных частот – ступенчатой фигурой, состоящей из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы
длиной, равной сi ci 1 ci , а площадь каждого i-го интервала Si равна
соответствующей частоте ~i , т.е. Si= ~i .
Тогда высота i-го прямоугольника Нi равна: Н i
~i
с i
(i=1,2,…n).
При построении интервальных таблиц актуальными становятся
вопросы о выборе числа интервалов и их длине. Они решаются конкретно
для каждой задачи, исходя из целей исследования, объёма выборки и степени
варьирования признака в выборке. Но приближенное число интервалов k и
соответственно длину интервалов сi можно оценить исходя только из
объёма n выборки. Делается это по формуле Стерджеса:
k=1+3,32lg n
или с использованием готовой таблицы.
Таблица 4
Объем выборки (n)
Число интервалов (k)
25-40
5-6
40-60
6-8
60-100
7-10
100-200
8-12
Более 200
10-15
Длина частичных интервалов определяется по формуле
сi
наиб наим
k
.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Рекомендуемая литература
1. Гмурман, В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учеб.пособие/ В.Е.Гмурман.- М.: Высш.шк.,
2002 . – 406 с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
учеб.пособие для вузов/ В.Е.Гмурман.- М.: Высш.шк., 2002 . – 479 с.
3. Венецкий, И.Г., Теория вероятностей и математическая статистика:
учеб.пособие для вузов/ И.Г.Венецкий, Г.С.Кильдишев.- М.: Статистика,
1975.
4. Бородин, А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики: учеб.пособие/А.Н.Бородин.- С-П.: Лань, 1998.
5. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: учебник/ Б.В.Гнеденко.- М.:
Наука, 1988.
6. Боровков, А.А. Теория вероятностей: учебник/А.А.Боровков.- М.: Наука,
1986.
7. Лихолетов, И.И. Руководство к решению задач по высшей математике с
основами математической статистики и теории вероятностей: учеб.пособие
для вузов/И.И.Лихолетов, И.П.Мацкевич.-Минск: Высшая школа, 1966.
8. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С.Вентцель. - М.: Высшая школа,
2002.
Ведущий преподаватель
Заведующий кафедрой
Лескова Г.А.
Швецова И.И.
