Теория автоматического управления: временные и частотные характеристики

Теория автоматического управления и защит. Часть 1
Лекция 2
Временные и частотные характеристики систем.
Преобразования Лапласа. Передаточные функции систем
Томск - 2019
Временные характеристики систем
В качестве временных характеристик
(импульсную) характеристики систем.
различают
переходную
и
весовую
Под
переходной
характеристикой
понимается
реакция
системы
из
установившегося состояния (при нулевых начальных условиях) на воздействие в
виде единичной ступенчатой функции.
1 при t  0
1(t )  
0 при t  0
Иллюстрация реакции ДЗ1 на единичное ступенчатое воздействие
2
Временные характеристики систем
Если известна передаточная функция динамического
функция определяется разложением Хевисайда.
звена,
то переходная
Пусть W(P)=K(P)/D(P). Если, к примеру, уравнение D(P)=0 не имеет кратных
корней, то переходная функция принимает вид:
K (0) n K ( Pi ) Pti
h(t ) 

e
D(0) i 1 PD
'( Pi )
i
где D '( P ) 
i
dD( P)
– первая производная от D(P) при P=Pi; Pi – корни
P P  Pi
характеристического уравнения D(P)=0
3
Временные характеристики систем
Весовой или импульсной переходной функцией w(t) называют функцию,
описывающую реакцию динамического звена (системы) на идеальное импульсное
воздействие δ(t) при нулевых начальных условиях.
Математически идеальное импульсное воздействие описывается
дельта-функцией δ(t):

 при t  0
d1(t )
 (t )  
;  (t ) 
;   (t )dt  1
dt
0 при t  0

Иллюстрация реакции ДЗ1 на идеальное импульсное воздействие
4
Временные характеристики систем
Весовая функция (так же как и переходная) может быть определена при известной
передаточной функции этого звена с помощью формулы Хевисайда:
n
K ( Pi ) Pti
w(t )  
e
i 1 D '( Pi )

d1(t )
dh(t )
; w(t ) 
; h(t )   w(t )dt.
поскольку  (t ) 
dt
dt
0
В свою очередь, передаточная функция динамического звена может быть определена
по его временным характеристикам.
Передаточная функция динамического звена есть изображение Карсона его
переходной функции W(P) = K{h(t)}.
Передаточная функция динамического звена есть изображение Лапласа его
весовой функции W(P) = L{w(t)}.
5
Временные характеристики систем
Определение реакции динамического звена на произвольное входное
воздействие с помощью временных характеристик
Если известна реакция звена на единичное ступенчатое воздействие h(t), то при
произвольном воздействии f(t), f(t≤t0)≡0, переходный процесс x(t) можно
выразить через h(t) и f(t) с помощью интеграла Дюамеля:
t
t
t0
t0
x(t )  f (t )h(0)   h(t   )d  f (t )h(0)   h( ) f '(t   )d
Реакцию звена на произвольное воздействие f(t) можно выразить и через весовую
(импульсную переходную) функцию с помощью интеграла:
t
t
0
0
x(t )   w(t   ) f ( )d   f (t   ) w( )d
Эта формула справедлива только при нулевых начальных условиях.
6
Аналитическое определение переходных характеристик путем решения
дифференциального уравнения системы
Пусть система описывается ДУ общего вида:
dny
d n1 y
dy
d mx
d m1 x
dx
an n  an1 n1  ...  a1  a0 y  bm m  bm1 m1  ...  b1  b0 x
dt
dt
dt
dt
dt
dt
a, b – постоянные коэффициенты
Требуется путем решения ДУ определить переходную характеристику системы.
Рассмотрим частный случай, когда правая часть ДУ не содержит производной от x:
dny
d n1 y
dy
an n  an1 n1  ...  a1  a0 y  b0 x
dt
dt
dt
1. Представим y(t) в виде:
y(t )  yсвоб (t )  yвын (t )
где усвоб(t) – есть составляющая переходного процесса (характеристики),
представляющая собой движение системы за счет начальных условий;
увын(t) – определяет движение системы, обусловленное действием внешней
вынуждающей силы.
7
Аналитическое определение переходных характеристик путем решения
дифференциального уравнения системы
увын(t) решение ищется в форме правой части дифференциального уравнения
b0
yвын (t )  1(t ) при а0  0
a0
a1dy  b0 dt
 a dy   b dt
1
0
a1 y  b0t
yвын (t ) 
b0
t при a0  0, а1  0
a1
Свободная составляющая определяется видом корней характеристического уравнения
системы.
8
Аналитическое определение переходных характеристик путем решения
дифференциального уравнения системы
Тогда:
d
P
dt
dy d
 y  Py
dt dt
d 2 y d dy
2

(
)

P
y
2
dt
dt dt
dny
n

P
y
n
dt
an P n y  an1P n1 y  ...a1Py  a0 y  0 / : y
an P n  an1P n 1  ...a1P  a0  0
- характеристическое уравнение системы
9
Аналитическое определение переходных характеристик путем решения
дифференциального уравнения системы
Виды корней
1. Корни вещественные (действительные) разные:
Пусть Рk   k , k  1,..., n
n
тогда усвоб (t )   Ck e k t
k 1
2. Корни действительные, кратные l
усвоб (t )  (C0  C1t  ...  Cl 1t l 1 )et
α – корень кратности l
C0,C1,Cl-1 – постоянные интегрирования, определяющиеся из н.у.
10
Аналитическое определение переходных характеристик путем решения
дифференциального уравнения системы
3. Корни комплексные сопряженные
Для случая пары сопряженных комплексных корней:
Рk ,k 1   k  i  k
усвоб (t )  C1 cos(  k t )  C2 sin(  k t )  e k t
усвоб (t )  Ae k t sin(  k t   )
C1,C2,А, φ – постоянные интегрирования, определяющиеся из н.у.
4. Корни комплексные сопряженные, кратные l
усвоб (t )  (C0  С1t  C2t 2  ...  Cl 1t l 1 ) cos( k t )  ( D0  D1t  D2t 2  ...  Dl 1t l 1 )sin( k t )  ek t
11
Принцип суперпозиций
Выполняется для линейных систем и состоит в следующем:
Пусть ряд системы на входной сигнал x(t) соответствует выходной сигнал y(t)
x(t )  y (t )
ax(t )  ay (t )
x1 (t )  y1 (t )
x2 (t )  y2 (t )
x1 (t )  x2 (t )  y1 (t )  y2 (t )
ax1 (t )  bx2 (t )  ay1 (t )  by2 (t )
Для нелинейной системы этот принцип не выполняется.
12
Экспериментальные временные характеристики САУ
Экспериментально снятые временные характеристики широко используются для
идентификации объектов управления. По виду переходной (либо весовой)
функции определяют тип звена, а по специальным методикам рассчитывают
параметры уравнения (передаточной функции) этого звена.
Так для переходной функции технологического объекта управления (ТОУ), можно
предположить, что ТОУ описывается дифференциальным уравнением
dy
kоб e об P
Tоб
 y(t )  kоб x(t   об ) или передаточной функцией W ( P) 
dt
Tоб P  1
13
Экспериментальные временные характеристики САУ
Последовательность определения параметров звена (Tоб, τоб, kоб) по методу Орманса:
1. по экспериментальной переходной функции (кривой разгона) определяется время
t0,7 при y(t0,7) = y(0) + 0,7∆y(∞) и t0,33 при y(t0,33) = y(0) + 0,33∆y(∞);
2. вычисляется время запаздывания τоб по формуле:
 об  0,5(3t0,33  t0,7 );
3. вычисляется величина постоянной времени Tоб:
t0,7  
Tоб 
 1, 25(t0,7  t0,33 );
1, 2
4. коэффициент передачи звена kоб находится из выражения:
y ()
kоб 
x
14
Частотные характеристики систем
Наряду
с
вышеперечисленными
способами
математического описания
(дифференциальные
уравнения,
передаточные
функции, временные
характеристики) динамических звеньев и систем автоматического управления в
целом в теории автоматического управления для математического описания
звеньев и систем широко применяются также частотные характеристики,
которые определяют поведение отдельных звеньев и системы в целом при
действии на их входе гармонических колебаний.
Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие
реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся
режиме (т. е. вынужденные синусоидальные колебания звена).
Известно, что гармонические колебания описываются периодической функцией
времени X (t )  A sin(t   ) , (A – амплитуда; φ – фаза; ω – частота колебаний)
описываются периодической функцией времени X (t )  X (t  nT ) , где T  2 –
период колебаний; n – любое целое число.

15
Частотные характеристики систем
Отличительной особенностью периодических функций является то, что они
существуют на бесконечном отрезке времени от t = –∞ до t = +∞. С этой точки
зрения они являются математической абстракцией, т. к. любой реальный процесс
имеет начало и конец. Однако, если реальный процесс длится достаточно долго
с периодическим повторением предыдущих значений, то его можно с
достаточной точностью считать периодическим. Таким образом, в реальных
условиях реакцией системы на периодические входные воздействия могут
считаться только установившиеся колебания выходной величины, т. е. колебания,
которые возникают в САУ по истечении достаточно большого времени после
начала воздействия. В этом принципиальное отличие метода частотных
характеристик от метода временных характеристик, так как в последнем
рассматривается поведение САУ в переходных режимах.
16
Частотные характеристики систем
В линейной САУ установившиеся колебания выходной величины, вызванные
гармоническими воздействиями на входе, являются гармоническими колебаниями
той же частоты, но амплитуда и фаза их будут уже другими.
X вх (t )  Aвх sin(t  вх )
X вых (t )  Aвых sin(t  вых )
Запишем гармонические функции входа и выхода динамического звена в
символической (комплексной) форме:
X вх (t )  Aвх ei (t вх ) ; X вых (t )  Aвыхei (t вых ) .
И взяв их отношение, получим:
X вых (t ) Aвых i (вых вх )

e
 W (i ).
X вх (t )
Aвх
17
Частотные характеристики систем
При изменении частоты от 0 до +∞ получаем комплексную функцию частоты
W(iω), которая называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой
динамического звена. Ее модуль Aвых ( ) определяет отношение амплитуд
Aвх ( )
выходных и входных колебаний при изменении частоты ω от 0 до +∞. Эта
зависимость отношения амплитуд выходных и входных гармонических сигналов
от
частоты
называется амплитудно-частотной
характеристикой
(АЧХ)
A ( )
динамического звена
А( )  вых
 W (i )  0
Aвх ( )
Амплитудно-частотная характеристика динамического звена
18
Частотные характеристики систем
Аргумент φвых(ω)–φвх(ω) определяет разность фаз выходных и входных колебаний.
Зависимость разности фаз выходных и входных гармонических сигналов от
частоты называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) динамического
звена
 ( )  вых ( )  вх ( )  ArgW (i )
 0
Фазочастотная характеристика динамического звена
19
Представление АФЧХ на комплексной плоскости
Комплексная функция частоты W (i )  A()ei ( ) называется
амплитуднофазовой частотной характеристикой – АФЧХ динамического звена Ее модуль
есть АЧХ, а аргумент – ФЧХ. На комплексной плоскости величина W (i )  A()ei ( )
изображается вектором, длина которого равна отношению амплитуд, а угол –
разности фаз выхода и входа.
Im
Re(ω1)
Re
Im(ω1)
Изображение на комплексной плоскости величины АФЧХ для определенного
значения частоты ω1
20
Представление АФЧХ на комплексной плоскости
Соответственно на комплексной плоскости АФЧХ представляется кривой
–
годографом, которую вычерчивает конец вектора A( )ei ( ) при изменении ω от 0
до +∞.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика динамического звена
21
Представление АФЧХ на комплексной плоскости
АФЧХ может быть записана не только в показательном виде, но также в виде
суммы вещественной и мнимой частей:
W (i)  Re()  i Im()
которые определяются через АЧХ и ФЧХ:
Re()  A() cos  (); Im()  A()sin  ()
С другой стороны A(ω) и φ(ω) выражаются через Re(ω) и Im(ω):
Im( )
2
2
A( )  Re ( )  Im ( );  ( )  arctg
Re( )
22
Определение АФЧХ звена по его дифференциальному уравнению
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(iω) динамического звена может
быть легко определена по его дифференциальному уравнению. Действительно,
заметим, что для получения производной по времени от функции X (t )  A( )ei ( )
достаточно умножить ее на iω.
dX (t ) d

Aei (t  )  i Aei (t  )  i X (t )
dt
dt
d 2 X (t ) d 2
i (t  )
2
i (t  )
2

Ae

(
i

)
Ae

(
i

)
X (t )
2
2
dt
dt
d n X (t ) d n
i (t  )
n
i (t  )
n

Ae

(
i

)
Ae

(
i

)
X (t )
n
n
dt
dt
23
Определение АФЧХ звена по его дифференциальному уравнению
Поэтому, подставляя в дифференциальное уравнение динамического звена
(an Pn  an1Pn1  ...a1P  a0 )Y (t )  (bm P m  bm1P m1  ...b1P  b0 ) X (t )
выражения для входных и выходных координат и их производных
комплексной форме (если входной сигнал является гармоническим), получим:
в
(an (i)n  an1 (i)n1  ...a1 (i)  a0 )Y (t )  (bm (i) m  bm1 (i) m1  ...b1 (i)  b0 ) X (t )
Согласно приведенному выше определению
X вых (t ) bm (i )m  bm1 (i ) m1  ...b1 (i )  b0
W (i ) 

X вх (t ) an (i )n  an1 (i )n1  ...a1 (i )  a0
Сравнивая с выражением для передаточной функции звена
X вых ( P) bm ( P)m  bm1 ( P) m1  ...b1 ( P)  b0
W ( P) 

X вх ( P) an ( P)n  an1 ( P)n 1  ...a1 ( P)  a0
24
Определение АФЧХ звена по его дифференциальному уравнению
Можно заметить, что АФЧХ динамического звена можно получить
передаточной функции этого звена формальной заменой P на iω и наоборот.
из
Между амплитудно-фазовой частотной характеристикой и весовой функцией
существуют соотношения, определяемые прямым и обратным преобразованиями
Фурье:


1
 it
it
W (i )   w(t )e dt ; w(t ) 
W
(
i

)
e
d

2 
0
25
Преобразование Лапласа
Пусть дан оригинал функции x(t), тогда ее изображением будет:

X ( P)   x(t )e  Pt dt

Данное выражение называется прямым преобразованием Лапласа.
Обратным преобразованием Лапласа называется выражение вида:

1
Pt
x(t ) 
X
(
P
)
e
dP

2 
L  x(t )   X ( P)
x(t )  X ( P)
L1  X ( P)  x(t )
26
Свойства Преобразования Лапласа
1. Свойство линейности.
x(t) – оригинал, X(P) – изображение, тогда:
ax(t )  aX ( P)
x1 (t )  X 1 ( P)
x2 (t )  X 2 ( P)
ax1 (t )  bx2 (t )  aX 1 ( P)  bX 2 ( P)
2. Свойство дифференцирования оригинала.
x(t )  X ( P)
dx(t )
 PX ( P)
dt
dx(t )
 PX ( P)  x(0)
dt
при нулевых Н.У.
при ненулевых Н.У.
dx n (t )
n
n 1
n2

P
X
(
P
)

P
x
(0)

P
x(0)  ...  x(0)
n
dt
27
Свойства Преобразования Лапласа
3. Свойство интегрирования оригинала.
x(t )  X ( P)
X ( P)
 x(t )dt  P
4. Теорема о начальном и конечном значениях оригинала.
x(0)  lim PX ( P)
P 
x()  lim PX ( P)
P 0
5. Уравнение свертки.
x1 (t )  X 1 ( P)

x2 (t )  X 2 ( P)

X 2 ( P) X 1 ( P)   x1 ( ) x2 (t   )d   x2 ( ) x1 (t   )d


28
Свойства Преобразования Лапласа
6. Теорема о разложении.
Пусть X ( P)  B( P)
A( P)
1
d nk 1
тогда x(t )  
lim nk 1  X ( P)( P  Pk ) nk e Pt  1(t )
P  Pk dP
k 1 ( nk  1)!
l
Pk – корни уравнения
nk – кратность корней
l – число различных корней
l
B( Pk ) Pk t
x(t )  
e
k 1 A '( Pk )
7. Теорема запаздывания.
x(t )  X ( P)
x(t   )  X ( P)e  P
τ – запаздывание
29
Свойства Преобразования Лапласа
30
Передаточные функции
Рассмотрим ДУ общего вида:
dny
d n1 y
dy
d mx
d m1 x
dx
an n  an1 n1  ...  a1  a0 y  bm m  bm1 m1  ...  b1  b0 x
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Преобразуем это уравнение по Лапласу, используя свойство линейности и правило
дифференцирования оригинала:
an P nY ( P)  an 1P n 1Y ( P)  ...a1PY ( P)  a0Y ( P) 
 bm P m X ( P)  bm 1P m 1 X ( P)  ...b1PX ( P )  b0 X ( P)
(an P n  an 1 P n 1  ...a1P  a0 )Y ( P)  (bm P m  bm 1P m 1  ...b1P  b0 ) X ( P )
Y ( P) bm P m  bm1P m 1  ...b1P  b0

 W ( P)
n
n 1
X ( P) an P  an 1 P  ...a1P  a0
Отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных
условиях
bm (i )m  bm1 (i )m1  ...b1 (i )  b0
W (i ) 
an (i )n  an1 (i )n1  ...a1 (i )  a0
31
Передаточные функции
y(t )  yсвоб (t )  yвын (t )
eit  e it
x(t )  Aвх cos(t )  Aвх
 x1 (t )  x2 (t )
2
Aвх it
где x1 (t ) 
e
2
A
x2 (t )  вх e  it
2
Решение можно определить как сумму реакции системы на каждое воздействие в
отдельности
Aвх
x1 '(t ) 
ieit  i x1 (t );
2
Aвх
x1 ''(t ) 
(i ) 2 eit  (i ) 2 x1 (t );
2
A
x1m (t )  вх (i ) m eit  (i ) m x1 (t ).
2
32
Передаточные функции
y1 (t )  A1  x1 (t )
 an (i ) n  an 1 (i ) n 1  ...a1 (i )  a0  A1  x1 (t ) 
 bm (i ) m  bm 1 (i ) m 1  ...b1 (i )  b0  x1 (t )
bm (i ) m  bm 1 (i ) m 1  ...b1 (i )  b0
i
A1 (i ) 

A
(
i

)

e
an (i ) n  an 1 (i ) n 1  ...a1 (i )  a0
Aвх it
Aвх i (t  )
y1 (t )  A( )e
e  A( )
e
2
2
Aвх
x2 '(t ) 
(i )eit  i x2 (t );
2
Aвх
k
x2 (t ) 
(i ) k eit  (i ) k x2 (t );
2
y2 (t )  A2  x2 (t )
i
bm (i ) m  bm 1 (i ) m 1  ...b1 ( i )  b0
 i
A1 (i ) 

A
(
i

)

e
an (i ) n  an 1 (i ) n 1  ...a1 (i )  a0
33
Передаточные функции
a  ib  A(i )  ei a  ib  A(i )  e i
A  a 2  b2
A  a 2  b2
b
b
  arctg
  arctg
a
a
A
y2 (t )  A2  x2 (t )  A( )e  i вх e  it
2
ei (t  )  e  i (t  )
y (t )  y1 (t )  y2 (t )  A( ) Aвх
2
y (t )  A( ) Aвх cos(t   )
Aвых
 A( )  АЧХ
Aвх
A( )  Re 2 ( )  Im 2 ( )
Im( )
 ( )  arctg
Re( )
Re( )  A( ) cos  ( ) 
Im( )  A( ) sin  ( ) 
 ( )  t    t  
W (i )  A( )ei ( )
W (i )  A( )
arg W (i )   ( )
34