Типовые задачи по математике: алгебра, тригонометрия, прогрессии

Типовые задачи по математике
I Действия с числами.
1. Найти значение функции f  x  


1
1
2 x  x  3 при x  2 .
2
4
x
 1  32
Ответ: f  2  
.
4
27
 
2. Вычислить:
3
3
 0,25 2  60  34 : 92  4 2 .
Ответ: 38 .
II Действия с алгебраическими выражениями.
Упростить
3 a
3b
.

ab  a 2 b 2  a 2
3b  a 2
Ответ:
.
a b2  a 2 
III Решение алгебраических уравнений,
неравенств.
1. Решить уравнение
2x  3 x  1

 1.
x  4 x 1
5
Ответ: x1  1, x2   .
2
2. Решить иррациональное уравнение
1  4 x  x2  x  1.
Ответ: x  3 .
3.Решить систему уравнений
 2 x  2 y  3xy
.
 2
2
2 2
4 x  4 y  5 x y
Ответ:  0; 0  ,  2; 1 ,  1; 2  .
IV Решение алгебраических неравенств.
1. Решить неравенство
x8
 2.
x2
Ответ: x   2,4  .
2. Решить неравенство
4 x  2  2 x  10 .
Ответ: x   3, 1 .
систем
уравнений
и
V Решение показательных и логарифмических уравнений, систем
уравнений и неравенств.
1. Решить уравнение
32 x  4  3x  3  0 .
Ответ: x1  0, x2  1.
2. Решить уравнение
log x3  x 2  4 x   4 .
2
9
.
2
3. Решить систему уравнений
7 x1  2 y  4
.

y

x

3

Ответ:  1; 2  .
4. Решить неравенство
log 1  x 2  11x  6   5 .
Ответ: x 
2
Ответ: x   , 2  13,   .
5.Решить неравенство
5  25x
 0.
2x  5
5  1 

Ответ: x   ,     ,   .
2  2 

VI Преобразование тригонометрических выражений и решение
тригонометрических уравнений.
1. Упростить тригонометрическое выражение
sin       tg     
.


tg  2     cos    
2

Ответ: 1.
2. Доказать тождество:
1  cos 2  sin 2
 tg  .
1  cos 2  sin 2
3. Решить уравнение
 3

2sin 2 x  5sin   x   2  0 .
 2


Ответ: x   2k  1 , k  .
2
4. Решить уравнение
sin 2 x  sin 6 x  3cos 2 x .

Ответ: x   2k  1 , k  .
4
5. Решить уравнение
cos2 x  cos2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x .


Ответ: x  k  ; x  k  , k  .
2
5
VII Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.
1. Числа b1 , b2 , b3 , b4 , b5 образуют геометрическую прогрессию, причем
b1  1, b3  b5  90 . найти знаменатель q прогрессии.
Ответ: q1  3, q2  3.
2. Сколько нужно сложить последовательных натуральных чисел, начиная
с 32, чтобы их сумма равнялась 170?
Ответ: n  5 .
VIII Задачи из планиметрии.
Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м . Найти его
стороны, если основание меньше боковой стороны на 3 м .
Ответ: 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м .
IX Задачи на исследование функции.
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции
y  x3  3x 2  9 x  1 .
Ответ: функция возрастает на  ,  3 и 1,   , убывает на  3, 1 .
2.
Найти
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
3
2
y  2 x  3x  12 x  1 на отрезке  1; 2 .
Ответ: M  y  1  12, m  y 1  8 .
3. Найти точки экстремума функции y  sin x  cos x на промежутке  0,  .
3
Ответ: x 
– точка максимума.
4
X Решение задач на составление алгебраических уравнений.
1. Воинское подразделение прошло пешком путь в 6 км, после чего
проехало на автомобиле 90 км. Скорость автомобиля в 12 раз больше
скорости пешего передвижения. Время движения на автомобиле на 18 мин.
больше, чем время пешего хода. Определить скорость пешего передвижения
и скорость автомобиля.
Ответ: v1  5 км / час, v1  60 км / час .
2. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 20 дней. За
сколько дней может выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно,
если известно, что для этой цели первому понадобится на 9 дней меньше, чем
второму.
Ответ: 36; 45 дней.