Моделирование переходных процессов в технических системах

МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В
ТЕХНИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ.
Дерюшева Валентина Николаевна,
доцент, к.т.н.
• Из чего состоит система?
Формальные модели
систем.
• В чем заключается метод
наименьших квадратов?
X1
α
m
c
F
РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ
ВОЗДЕЙСТВИЕ
 dx
 dt  v

 dv   sin t  v  cx
 dt
m
1 10
8
 Z2  i
0
1 10
8

8
V
7 1 10
8.328 10
40
20
0
1
20
Z i

40
90
c
m
X
 Z1  i
Z i
2
0
 0  i

p Z
40
20
 24.05
1 10
V
9
8

0
 90
7
 9.483 10 1 108
5.547 10
x t 0  0, v t 0  0
0
1
Z i
20
8
 Zr 2  i

X
28.058
90
5 10
6
6
6
6
6
6
0
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
0
8
510
Z
40
i
t
6
7 10
X
 Zr 1  i
 0  i
0
p Z

0

5 10
8
 90
8
 5.554 10 1 109
100
 72.508
50
0
1
 Zr  i
50
100
X
72.389
0
1 10
8
210
6
2 10
6
3 10
6

4 10
0
Zr
i

6
5 10
6
6 10
6
t
6
7 10
РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ
ВОЗДЕЙСТВИЕ
dx

x t 0  0, v t 0  0
 dt  v

 dv   sin t  v  cx
 dt
m

c
m

8
V
8 5 10
3.535 10
X
 0  i

0
 Zn  i
1
 Zn 2  i
0
e Zn
8
 3.534 10 5 108
50
0
1

V
8 2 10
1.244 10
1 10
50
 Zn  i
 46.322
8
 50 50
X
46.323
6
0
1 10
8
2.857 10
2 10
6
3 10
0
Zn

6
i
4 10
6
5 10
6
t
6 10
6
X
 Zm1  i
0


e Zm
8
1 10
0 
 i
0
 25
20
8
 1.247 10 2 108

25 20
8
 Zm 2  i
50
50
40
 22.805
20
0
1
 Zm  i
20
X
22.772
40

6
0
5 10
8
2.857 10
1 10
0
Zm
i

5

1.5 10
5
t
5
2 10
Анализ переходного процесса
включает три этапа:
• интегрирование системы
дифференциальных уравнений
• определение показателей качества
переходного процесса
• оценка степени выполнения технических
требований к проектируемой системе
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС. ПЕРЕХОДНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА
• Переходной характеристикой
называют реакцию технической системы на
ступенчатое воздействие.
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
~
• время переходного процесса t ,
характеризующее длительность пребывания
системы в неустановившемся динамическом
режиме;
~
u  t   u  ku
u  u0  u
k  0.05
~
Это означает, что при t  t значение фазовой
координаты отличается от величины
статического отклонения u0  u не более
чем на 5%.
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
• коэффициент динамичности k d ,
характеризующий максимальное
отклонение фазовой координаты от ее
значения в установившемся конечном
состоянии;
Amax
kd  1 
u0  u
Amax  max u t   u
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
• - декремент колебаний D ,
характеризующий скорость затухания
колебаний в технической системе;

ui  u
Ai
D
 
Ai 1 ui 1  u
 
ui , ui 1 - последовательные экстремальные
значения (одного знака) переходной
характеристики.
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
• - колебательность K , определяющую
число колебаний за время переходного
~
процесса t ;
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
• - интегральные оценки I , характеризующие
отклонение графика переходного процесса от
идеальной или эталонной характеристики.
~
t
I1   u t   u dt
0
~
t
I 3   u t   ue t dt
0
~
t
I 2   u t   u  dt
2
0
~
t
I 4   u t   ue t  dt
2
0
ue t  - заданная эталонная характеристика.
ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА ~t - Время переходного процесса

3.5u t
u0 u- Начальное и конечное
~
t
3
стационарные значения фазовой
переменной
A1
ym i
A3
u - Статическое отклонение
2
u2
u
фазовой переменной при
переходе
из начального состояния в
конечное
2 - Ширина коридора
стабилизации
установившегося состояния
A2
u01
t0
0.5
0
2
1
A1
kd  1 
u0  u
4
6
xi
A1
D
A3
A1 A2 A-3 Последовательные
t
7
K 4
экстремальные отклонения
фазовой
переменной от конечного
стационарного значения
ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ
ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
u t 
3.5
Интегральная
характеристика
~
t
3
~
t
u
ym i
2
2
u
u0
0.5
0
1
0
переходного процесса
численно
равна заштрихованной
площади
t0
1
I1   u t   u dt
2
4
xi
6
t
7
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НОРМАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ ОДУ
• Задача Коши (задача с начальными
данными) для системы уравнений первого
порядка, записанной в нормальной форме
du
 f u ,t 
dt
u t   u1 t ,u2 t , ,un t 
T
ставится так: найти решение
,
u1  u1 t , u2  u2 t ,  , un  un t 
удовлетворяющее начальным условиям
(условиям Коши)
u1 t t  u10 , u2 t t  u20 ,  , un t t  un 0
0
0
0
где t0 , u10 , u20 , , un 0 - заданные числа
(начальные данные).
Метод Рунге-Кутта
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИССИПАТИВНАЯ СИСТЕМА
(ОСЦИЛЛЯТОР ВАН ДЕР ПОЛЯ)
5
4.89
i
i
i
i
5
6
 4.89
0
510
 
5
20
 S0 
 3.667
i
 Q2  i
 4.89
5
30
0
1
S
i
 
 S2  i
0
6
5
5
 S2  i
5
0
1
Q i
0
20
10
30
20
0S 0 
 S  i
6
5
40
30
i
0
5
0
0
6
5
u1 t 0  3.0,
510
20
30
 0 
u 2 t 00  3.0 10 Q i
 Q0 
 
  i

40
 2  i
0
 U2  i
0
5  4.89
5
6
5
5


 R50 
i

U i
3.678
50
60
60
20
5
 U2  i
0
5
0
0
10
20
30
 U0 
i



40
50
0 60
60

a  1, b  0.3
 U1  i
0 U
0
 du1
 dt  u2
 du
 2  a 1  bu12 u2  u1
 dt

U i
0 20
1
60
60
1
5 10
50
5
3.667
5
  

5
1
 Q2  i 0 Q  i
 Q2  i
5
5
10
0
 Q1  i
0
0
u1 t 0  1.0, u 2 t 0  0.1
6

 S1  i
0
3.667
5
 3.667
5
5
 
0
4.89
5
1
S
i
 i
0 2
S

u  a 1  bu u  u  0
u1 t 0  0.01, u 2 t 0  0.01
5
2
10
 U0 
i



20
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
(хаотические (или периодические)
колебания в детерминированной системе с гармоническим
 0.06
ic  

внешним возбуждением)
 0.1 
1.108
2
1.605
u1 t 0  0.6, u 2 t 0  1.0
2
1.108
1
 S2  i
1
 S1  i
0
 S2  i
0
1
 1.068
2
2
1
0
1
S
i
 
1
0
 0.797
1
 1.551
2
1.408
 Q1  i
2
 1.457
1
0
1
Q i
2
1.605
1
 Q2  i
0

1
 1.551
0.795
2
1
 1.457
2
1.408
0
50
0
100
 S0 
i
 
0.795
 Q2  i
0
0
0
50
100
 Q0 
i



u  u  u  u 3   cos t
  0.2,   1,   0.25,   1
2
200

u1 t 0  0.06 , u 2 t 0  0.1
2
2
 1.068
200
150
150
 0.797
200
200
0
50
0
100
 S0 
i
150
100
 Q0 
i
150
 
200
200

1
0
1
0
0
50



200
200
 du1
 dt  u2
 du
 2   cos t  u2  u1  u13
 dt
2
V
0
20
СИСТЕМА ЛОРЕНЦА (СТРАННЫЙ АТТРАКТОР)
40
46.948
3
V
60
19.226
40
1
V
0
20
6.643
0
3
V
20

0 V3
6.643
26.548
2
V
40
20
0
2
V
u
20
540
2010
1520
0
2 0
V
V
4020
25
30
30
40
26.548
46.948
1
V3
V
0
 , ,   0
 17.234
0
1
V
5
10
0
u 2 t 0  20.0, u 3 t 0
20
60
15
0
V .0
 10
20
15
15
0
V0
V
20
20 20
25
30
30
60
40
0 3
V
20
20
20
 du1
 dt  u2  u1 
 du
2
 u1  u2  u1u3

 dt
 du3  u  u u
3
1 2
 dt
0
 22.735 40
0
40
1 t 0  10.0,
40
 22.735 40
30
20
20
2
V
25
20
40
 22.735
26.548
0
0
19.226
60
0
20
40
 17.234 20
0
20
0
1
V
20
0
15
0
V
20
 17.234
46.948
10
60
20
20
5
6.643
20
20
0 0
0
19.226
0
40
20
0 5
5
20
10
10 0
1
V
25
25
30
30
30
  10,   28,   2.7
ХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР АНИЩЕНКО-АСТАХОВА
4.5
4
3
V
3
W
2
 0.2
0
5
5
0
2
2
V W
 du1
 dt  mu1  u2  u1u3
 du
2
 u1

 dt
 du3   gu  gI u u 2
3
1 1
 dt
5
8
6.82
2
V
2
W
 3.148
10
5
0
5
0
50
0
8
2
V
2
W
4.122
1
V3
V
1
W3
W
5
0
4
5
 3.958
0
1
1
V W
150
200
200
m  1.5, g  0.2
10
6
45
u1 t 0  1.0, u 2 t 0  0.1, u 2 t 0  1.0
20
0.2
50
00
7
0
5
100
0
0
V W
1, u  0
I u1    1
0, u1  0
50
50
100
100
0
0
V 0  W
W0
V
150
150
u1 t 0  1.001, u 2 t 0  0.1, u 2 t 0  1.0
200
200
200
Вопросы
• Как вы понимаете, что такое
переходный процесс технической
системы?
• Для чего изучают переходные
процессы?
• Как вы понимаете, в чем заключается
задача Коши?