Компьютерный курс лекций по математическому анализу

Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
V. A. Sadovnichii, O. D. Avraamova, A. S. Pechentsov, Computer course of
mathematical analysis, Fundam. Prikl. Mat., 1996, Volume 2, Issue 2, 595–609
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement
Download details:
IP: 94.130.139.15
December 11, 2024, 22:59:08
Компьютерный курс лекций
по математическому анализу
В. А. С А Д О В Н И Ч И Й , О. Д. ABPAAMOBA, А. С. П Е Ч Е Н Ц О В
Московский
государственный
университет
им. М. В. Ломоносова
УДК 517.681.3
К л ю ч е в ы е слова: математический анализ, компьютерные обучающие си­
стемы.
Аннотация
В статье освещается опыт создания и использования в учебном процессе
МГУ компьютерного курса лекций по математическому анализу.
Abstract
V. A. Sadovnichy, О. D. Avraamova, A. S. Pechentsov, Computer course
of mathematical analysis, Fundamentalnaya
i prikladnaya matematika 2(1996),
595-609.
In this paper we cover the design, development and practical use of a computer
course of mathematical analysis.
1
Общая концепция
Компьютерный учебник «Математический анализ» базируется на курсе
лекций, читаемых одним из авторов, членом-корреспондентом РАН, профес­
сором В. А. Садовничим студентам 1-го и 2-го курсов механико-математи­
ческого ф а к у л ь т е т а МГУ имени М. В. Ломоносова. А в т о р ы и р а з р а б о т ч и к и
стремились следовать классическим университетским т р а д и ц и я м в изложении
материала, заложенным на кафедре математического анализа, и использовать
современную вычислительную технику именно в русле этих традиций.
Чем же вызвана необходимость создания компьютерного учебника по ма­
тематическому анализу? Старые, ставшие классическими книги (например,
трехтомник Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц а «Курс дифференциального и интегрально­
го исчисления», 1969) отличались образностью изложения и большим коли­
чеством вычислительных, физических, механических примеров. С другой
стороны, с т р о г о с т ь изложения материала в этих пособиях уже не отвечает со­
временным требованиям. Р я д появившихся относительно недавно учебников
имеет много несомненных и очевидных достоинств. Э т о — м а т е м а т и ч е с к а я
с т р о г о с т ь , большая общность доказываемых утверждений, связь с новейшими
Фундаментальная
и прикладная математика 1996, 2, № 2, 595—609.
(с) 1996 Центр новых информационных технологий
МГУ,
Издательский дом "Открытые
системы"
596
В. А. САДОВНИЧИЙ, О. Д. АВРААМОВА, А. С. ПЕЧЕНЦОВ
областями м а т е м а т и к и . Однако в учебнике, в отличие от с т а т ь и или моно­
графии, важно не только д о к а з а т ь утверждение в максимальной общности,
но и привести т е конкретные частные случаи, из к о т о р ы х оно, собственно, и
возникло.
Явно ощущается потребность в пособии, сочетающем современную мате­
матическую с т р о г о с т ь с осязаемостью конкретных примеров, яркостью исто­
рических замечаний, которое способствовала бы развитию образного мышле­
ния как в области чистой м а т е м а т и к и , т а к и в области ее приложений. На наш
взгляд, компьютер является достойной средой для решения подобной задачи.
Компьютерный учебник «Математический анализ» представляет собой за­
м к н у т ы й курс, не требующий, вообще говоря, обращения ни к какой книге.
Мы стремились создать полную, математически строгую в т р а д и ц и я х Мо­
сковского университета и в т о же время живую обучающую систему.
Центральной идеей было соединение преимуществ книги и лекции: сту­
дент может выбирать собственную скорость изучения материала, в любой
момент вернуться назад или найти ссылку. В т о же время последовательное
появление на экране текста, графических образов и мини-мультфильмов по­
могает з а д а т ь должный р и т м изучения. Мы стремились исподволь приучить
студентов к использованию современной математической нотации, а т а к ж е
способствовать формированию общей математической культуры.
М а т е м а т и к мыслит не формулами, а образами. Многие сложные матема­
тические понятия имеют своей основой некую достаточно простую идею. Мы
считали исключительно в а ж н ы м проиллюстрировать эту идею неформаль­
ным, но в т о же время математически к о р р е к т н ы м образом.
Широкое использование геометрических образов и иллюстраций позволило
включить в учебник весьма изысканные утверждения, обычно опускаемые в
Рис. 1.
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
597
академических курсах по причине сложности их доказательств. В качестве
примера сказанному выше приведем доказательство теоремы К а н т о р а - Б е р н штейна, размещенное на распечатках с экрана компьютера (см. рис. 1-5).
ТГээрэаа Batamupa = ЭэриштэИиа
Пусть ф: Д 0 - > Д 2 - биекция. Определим последовательность
множеств:
* 0 . * 1 . А д ^ С А о ) . А 3 = >р(А,)
An=f(An-2), ...
том
AQDA^AJDAJD
Пусть
С =
...
зАлЭАп»|Э
n Ai
i= I
Тогда
А 0 = и (А
\ А. ,) и С
i=0
'
' '
А,= и (А . \ А ( + ] ) и С .
1=1
ш
Вынод
Рис. 2.
ТГаарасза SaawDtpa = ааэшш^эЭша
Действительно, пусть а е Д 0 . Тогда либо а входит в t аждое из
множеств А , , 1 = 0 , 1 , 2 , . . . , и следовательно, принадлежит С. либо
существует наименьшее число п
такое, что
а £ Д п Но тогда а е А , , . , и.
следовательно, а е А п \ А п _ |
Обратное включение очевидно,
так как каждое слагаемое
правой части есть
подмножество А 0 .
Второе равенство
доказывается аналогично.
Вынод
Рис. 3.
Самую же интересную иллюстративную часть доказательства теоремы
можно наблюдать, лишь сидя за экраном компьютера. Попытаемся, напри­
мер, описать действия, происходящие на самом первом экране. Вначале на
чистом экране появляются формулировка теоремы и текст: «> Пусть А\ С J4O,
ВгСВ0ж
фА1 = # 5 0 , фВ1 = #А0».
598
В. А. САДОВНИЧИЙ, О. Д. АВРААМОВА, А. С. ПЕЧЕНЦОВ
ТГээрэаа Batamupa = Вэвыш'йчаИыа
Заметим, ЧТО 9 ^ A n ^ A n * l J - A n * 2 ^ A n * 3 - П = 0 , 1 , 2
со
Введем вспомогательное множество
D = и ( A
\
2
i= 1
*-'
А = и ( А
0
i=n
l
\ А
l+1
U
( A
i=1
и с
2 l
) и С
V ( А
\ А „ . ,)
i=n
Zi
2i+1
А = и ( А . \ А
l
i=1
А „.)
«D
) и С
?i Ч А 2i + 1 > U
"
£
D
• Вынод;
Рис. 4.
З а т е м на экране последовательно появляются графические образы, соот­
ветствующие этому тексту: множество AQ, подмножество А\, множество Во,
подмножество В\. В процессе мультфильма множество А\ переносится (иллю­
страция биекции) на Во, а В\ переносится на AQ. З а т е м на экране появляется
текст: «Пусть ф — биекция из Во в А ] . При отображении ф множество В\
о т о б р а ж а е т с я на ф(В\) = А^ С А\ь.
Снова с помощью мультфильма иллюстрируется предыдущий текст: мно­
жество Во переносится на А\, а его подмножество В\ переносится биекциеи ф
на некоторое множество А^, являющееся подмножеством А\. Аналогично опи-
ТГээрэаа Batawupa = ЭариштэИиа
Определим отображение чрf множества А 0 условием:
-^4A ,i - биекцич.
биекция. та\
, Л
Г а . если a E D
Тогда f<р|:
, : А 0„ -> А
т \а\ при этом
9 i ( a ) —I
отображении множество D остае
остается на месте,
[ f ( а ) . если a 6 D
множество A 0 \ A ! биекциеи у отображается
на А 2 \ А 3 . А 2 \ А 3 - на А 4 \ А 5 и Т Д
Ш
Следовательно. # Д 0 = # Д 1 , а так как ttA^ttBo . то # А 0 = # В 0
Рис. 5.
Q
Вынод
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
599
санному происходит заполнение последующих страниц доказательства.
Именно иллюстративная, живая часть в доказательстве теоремы оказыва­
ет большую помощь в ее усвоении. В э т о м а в т о р ы убедились, демонстрируя
теорему в студенческой группе 1-го курса механико-математического факуль­
тета.
Р а з р а б о т ч и к и стремились д а т ь студентам возможность проявить макси­
мальную активность — например, позволить изменить т о т или иной п а р а м е т р
при построении г р а ф и к а . Такого рода оживляющие моменты (см. рис. 6) ино­
гда приходилось и з о б р е т а т ь специально — все-таки математический анализ в
значительной степени является наукой «о существовании и единственности».
ГээаэтэичэаниИ аЕишад шгаашээааыаИ
y=sin(1.8
(K+0.2)-1)cos(K+0.2J+0.4
1U
Для
п о с т р о е ння к а с а т е л ь н о й
п о д в е д нте к урсс Р к и н т е р е с у ю щ е й
т о ч к е граФк ка у щел к н н т е ' м ы ш к о
Бас
ш
I
Рис. 6.
Материал курса в значительной степени з а т р а г и в а е т темы, являющиеся
пограничными с современными областям м а т е м а т и к и — функциональным
анализом, дифференциальной геометрией, абстрактной алгеброй, теорией
множеств. Планируется з а т р о н у т ь проблемы и перспективы развития этих
пограничных областей, а т а к ж е р а с с м о т р е т ь большое количество примеров из
физики, техники, экономики и биологии. Б у д у т освещены алгоритмические
вопросы, связанные с практическим решением а к т у а л ь н ы х и поучительных
з а д а ч из различных разделов естествознания.
Учебник может б ы т ь использован на аудиторных занятиях (при наличии
соответствующего оборудования для проецирования изображения на экран)
и обладает достаточными сервисными функциями для самостоятельного изу­
чения.
Система р а з р а б о т а н а для компьютеров Apple Macintosh в среде паке­
т а «HyperCard» версии 2.0v2 с присоединением внешних модулей (XCMDs,
XCFNs) на я з ы к а х M P W С, M P W Pascal, Think Pascal. Предпочтительный
600
В. А. С А Д О В Н И Ч И Й , О. Д. А В Р А А М О В А , А. С. П Е Ч Е Н Ц О В
размер оперативной памяти — 1200К. На жестком диске должен присут­
ствовать пакет «HyperCard» версии 2.x или п р о г р а м м а «HyperCard Player».
Система в полной конфигурации занимает около 9 Мб на жестком диске.
К настоящему времени реализованы следующие разделы курса:
Л е к ц и я 1 Множества и отображения
Л е к ц и я 2 Действительные числа
Л е к ц и я 3 Мощность множества
Л е к ц и я 4 Предел
Л е к ц и я 5 Непрерывные функции
Л е к ц и я 6 Сравнение функций
Л е к ц и я 7 Производная и дифференциал
Л е к ц и я 8 Основные теоремы анализа
Л е к ц и я 9 Формула Тейлора
Л е к ц и я 10 Исследование функций
Л е к ц и я 11 Неопределенный интеграл
Л е к ц и я 12 Определенный интеграл Р и м а н а
Л е к ц и я 13 Приложения интеграла Р и м а н а
В творческий коллектив под руководством профессора В.А.Садовничего,
помимо авторов, входят доцент механико-математического ф а к у л ь т е т а МГУ
В. Г. Чирский и сотрудники Научно-исследовательского вычислительного цен­
т р а МГУ Л. В. Суркова, Т. В. Рыльская, Л. А. Никольская и Н. Б . Коваленко.
З а в е р ш и т ь э т о т раздел хотелось бы следующим в а ж н ы м замечанием. Ни
один учебник (компьютерный в т о м числе) не заменит живого общения с пре­
подавателем. Создаваемое учебное пособие однозначно и безусловно рассма­
тривается авторами как дополнение к существующим ф о р м а м занятий.
2
Интерфейс пользователя
О п ы т показал, ч т о в компьютерных обучающих системах следует макси­
мально использовать преимущества графического интерфейса пользователя.
Продуманный графический интерфейс позволяет практически исключить не­
корректные действия студента и тем самым сберечь его время и нервы.
Для ввода тех или иных п а р а м е т р о в была использована технология пря­
мого манипулирования объектами на экране. Так, для установки какой-либо
К О М П Ь Ю Т Е Р Н Ы Й К У Р С Л Е К Ц И И ПО М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М У А Н А Л И З У
601
Рассмотрим график функции
f(«) =R-Rsin2« + (L/2)sin«.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
R
2R
3R
С помощью "мышки" у с т а н о в и т е
правый
-К
конец
с т о л б и к а L в любую т о ч к у
нежду 2R и 4R
и нажните к н о п к у
график"
"Новый
Новый график]
Очистить
]
Я/2
Рис. 7.
численной величины бегунок на экране при помощи «мыши» передвигается
в нужную точку шкалы (см. рис. 7). Такая технология позволяет как ми­
нимизировать ошибки пользователя (ввод неправильных типов данных или
недопустимых значений), т а к и облегчить труд разработчиков — все эти по­
тенциальные ошибки не нужно отлавливать и о б р а б а т ы в а т ь .
Мы считаем признаком хорошего тона, ч т о б ы весь интерфейс в русско­
язычной версии был выдержан на русском языке. В отличие от некоторых
существующих практикумов, базирующихся на пакете «Mathematical), диалог
с пользователем происходит только на русском языке, без каких бы т о ни было
вкраплений английской диагностики.
При разработке мы стремились постепенно и последовательно добавлять
текст и графику к «компьютерной странице» и следили за тем, ч т о б ы ничто
не исчезало с экрана неожиданным образом, без явно выраженной на т о воли
студента. Собственно, материал все время добавляется. Резкая «смена экс­
позиции» возможна только при переходе на другую страницу. О грядущем
переходе студента предупреждает потемневшая стрелка вправо.
Учитывая то, ч т о доказательства утверждений в курсе математического
анализа часто являются многошаговыми, мы стремились синхронизировать
появление т е к с т а определенных частей доказательства и соответствующих им
построений на чертеже, причем появление каждой новой порции информации
контролируется студентом.
На ранних э т а п а х р а з р а б о т к и рассматривалась идея локализовать графи­
ческий иллюстративный материал в отдельном окне, зафиксировав положение
последнего на экране. В дальнейшем мы отказались от этой идеи. Поскольку
студентам нужно будет запоминать отдельные экраны, эти экраны, по воз­
можности, должны визуально отличаться друг от друга.
На всех стадиях р а з р а б о т к и уделялось большое внимание обеспечению
устойчивости учебника к смене системного п р о г р а м м н о г о обеспечения. В на­
стоящее время компьютерный учебник полностью независим от наличия т о г о
или иного ш р и ф т а в операционной системе и может функционировать в неру-
602
В. А. САДОВНИЧИЙ, О. Д. АВРААМОВА, А. С. ПЕЧЕНЦОВ
сифицированной системе.
Вход в учебник осуществляется двойным щелчком «мышкой» на пикто­
грамме «Математический анализ». При входе нас встречает з а с т а в к а (рис. 8).
' 1 ш I M | : I I ИИ I i n 1|||.||и 11 =• -IIIII114 1||1И1:м|н И И - 1 И Ш - М И ' 1.1!. ЦмГИШ
'1I-:MIIHI •• п.| |мп.|
1ИЧ1Ч
|:>|
11>|1|Ч1||| № • | | м | | м | : . | l M i l l . i l ИИ
i ии
|:||'1И1 ||И I •••11-1111И •••-•• 1|в
•i-iii|iii.ii-i
JJ
J
ив
•л вт е:а.ч к* а 1 иrasкпд fry
*11КИИМу
Рис. 8.
На следующей странице студентов ж д е т приветствие научного руководи­
теля авторского коллектива профессора В и к т о р а Антоновича Садовничего.
З а т е м пользователи попадают на экран с содержанием (см. рис. 9).
^rinn:i:i4
^1
d
••:•• и • • • • • • • • • • • ш м м и ч
l h - № | | : И | М | | | . | | | | | - Ч№ ••••
'1iнишн м- MIIM:I:I-I
и:
^J III n - l l i - i l Mill •!• -1 !••!=-1 I • - • II .1 !• •• Ш
VJ
11| •• -1 •• - • I • М | М Н 1 И И
I•• - I l | • • -|•• II =1II •• - -М|11Н1ИИ
i/l
I |1.||:|Ц-11И1- -l-lllll Н И И
i/l
11|шИ =1 =• •• II I-1 -1 И 11И-1»1-м|1М|1МИ.|||
VJ
I I I I•• •• =1II | i - | i - i i | n - M I I • Н И М И :•!
i/l
•|Hi|iril|il>I | I - H I | M | I > I
S\ I • | l - | | l l | : . | | I H i - - l - l l l l l Н И И
I
I
I
-v I
J
Нннпд I
Рис. 9.
Учебник имеет модульную с т р у к т у р у . К а ж д ы й раздел, представленный
в оглавлении, расположен в отдельном модуле. Э т о сделано по нескольким
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
603
соображениям. Во-первых, в классе ПК «Макинтош», где проходят занятия с
компьютерным учебником, пространство на дисках ограничено. Поэтому, в
зависимости от обстоятельств, на жестких дисках размещаются те части кур­
са, которые изучаются в данный момент. Кроме т о г о , совместно с лектором
т о г о или иного п о т о к а продумывается с т р а т е г и я развертывания, призванная
не подорвать посещаемости лекций. Во-вторых, к а ж д ы й раздел помещается
на одну дискету. Э т о обеспечивает удобство переноса с компьютера на ком­
пьютер, да и распространения вообще. Впрочем, для распространения курса
т а к и х объемов скорее подходит CD-ROM.
Те лекции, которые в данный момент развернуты на диске, автоматически
помечаются «галочкой». Папка с учебником может находиться в любом месте
диска с любым уровнем вложенности и иметь любое имя. Единственное усло­
вие функционирования этой системы — лекции должны л е ж а т ь в одной папке
с заглавным модулем «Математический анализ».
Щелчок «мышью» на кнопке с названием лекции перенесет на первую стра­
ницу этой лекции. При отсутствии лекции в текущей папке команда перехода
будет молча проигнорирована. Нужно о т м е т и т ь , ч т о студент может напря­
мую войти в интересующую его лекцию двойным щелчком «мышью» на ее
п и к т о г р а м м е (рис. 10) — и в этом случае все будет р а б о т а т ь абсолютно кор­
ректно.
Первый семестр
13,5 МБ на диске
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
lect5
lectl
lect2
lect3
lectfi
~№
Ш.
Рис. 10.
К а ж д а я лекция снабжена своим подробным оглавлением (рис. 11). Щелчок
«мышью» на названии т е м ы перенесет нас непосредственно в начало соот­
ветствующего раздела. Таким образом, за считанные секунды пользователь
может выйти на интересующий его материал.
На второй к а р т е заглавного модуля «Математический анализ» находится
планка регулирования громкости звука. При помощи «мыши» можно уста­
новить «бегунок» на нужном уровне. В окошке сверху появится численное
значение установленной громкости — от 0 до 7. При установке значения
п а р а м е т р а ноль звук вообще будет отключен.
Предусмотрены два режима знакомства с материалом: основной, с после­
довательным просмотром всех мультфильмов, и ускоренный, используемый,
например, для т о г о , ч т о б ы выйти на нужную страницу или просто освежить
604
В. А. САДОВНИЧИЙ, О. Д. АВРААМОВА, А. С. ПЕЧЕНЦОВ
l l l l l n - J t i ' i l i ' l l H i ' llpiiH : I : I I J U I I I H
|
l i ' i i M i ' l l i H ' l i ' i l H H I M i l l П |||111И:|:иД||11И
||,
||
J ЦНЧ"|-1Ч 111ЦН| |'*
М1
" " • 'I'lllll ЦИН
|
I
I I ' l i M i ' l l i H ' l i ' i I ИИ I MMi П JlH-l"l4-|n4IHH.Ifl.l I
J ^Ы-|--|-1-|11-|||^Ы|ш| I - I I I H I - U • IpU-l-Mi- 1НЧ1Ч I Hi- MMi-p-lllHU
Л.И'|"|ч , р1'1|Ц.Ири|:.|||И1 | nli|i.l И Щ И 'I'lllll Ц.ИИ
l l i ' l II l i i p M n П р и м и р и
|
I
l l p i i l l :I:|IJUI-I4 И nU-l--l-i-pi , lllllMrl I M M I I M ШЦНН •l-ipill^l
МрмИ ilniJUIHM
МрмИ i l i i i H I I N i
1
i f l i ' M i ' l l I .IIHIHK -l-llllt Ц.НН
|
И JlH'I'-l'i'pi'llHH.IHH l:Mi ШИХ И и р Ч Д П И :
J
, J
Рис. 11.
в памяти формулу. Ускоренный режим напоминает листание страниц кни­
ги. Технически э т о основано на свойстве к а р т о ч к и б ы т ь маркированной —
как маркированные описаны все заключительные к а р т ы каждой страницы.
В т о р а я польза о т этой системы — легкость создания твердой копии. Един­
ственная команда «Print Stack. ..» с отмеченной опцией «Print Marked Cards»
выведет на печать т е и только т е экраны, которые должны присутствовать
на распечатке — содержащие полное построение на чертеже и полный текст
страницы. Переключатель режимов просмотра расположен в правом верхнем
углу экрана.
В правом нижнем углу к а р т ы расположена панель управления.
кнопок распределены, к а к показано на рисунке 12.
возврат к предыдущему Фрагменту •
Выход на первую карту текущей
лекции (для перехода к другому
Фрагменту этой же лекции)
—
I1
••
Переход к следующему
фрагменту
г-Выход из системы
/
Выход в оглавление учебника —
Функции
/
(окончание работы
с учебником)
(для перехода к другой лекции)
Рис. 12.
При н а ж а т и и кнопки «?» о т к р о е т с я экран подсказки. Для возврата к своей
работе нужно щелкнуть «мышью» в любом месте экрана.
При работе на в т о р о м (ускоренном) уровне кнопки «Вперед-назад» всегда
окрашены в темный цвет. При работе на первом уровне э т и кнопки пери­
одически меняют свой цвет. К о г д а кнопка «Стрелка вправо» светлая, э т о
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Шшэааашша и швинкави
605
,Щ;шааа01
Пример 1 Множества точе на люб ы:: дву:: отрез* a:: [AB]. /S I B
-;и [ C D ] , C * D , имеют одинаковую мощность.
Установим ^iejoijHHD f между точками этих отрезков с помощью вспомогатель­
ного отрезка [EF].
При отображении f точка
N ставится в соответ­
ствие точке М в том
и только том случае.
если М и N являются
проекциями одной и
той же точки R
с центрами Р и Q
соответственно
t
V
i V 1
||
4/
.
д
'
[м^-.__ в
^=^=
-
____ C-^TNI
L 1
f(M)=N
-
h.
Ш
D
Пп ПГКПИП
Пиипл]
1 : X —>Y hlii'l I U I M I I I
f СЮ
1време
'
_Г
шшшт
Рис. 13.
означает, ч т о н а ж а т и е на нее инициирует действие внутри текущей страни­
цы (скорей всего, начнется мультфильм или появится следующий ф р а г м е н т
т е к с т а ) . К о г д а все содержание к а р т ы уже появилось, и следующий шаг пе­
ренесет нас на другую страницу, стрелка станет темной. З а м е т и м , ч т о все
время, пока идет мультфильм, стрелка «Вправо» будет находиться в «запав­
шем» состоянии. Если она принимает прежнюю форму, значит, мультфильм
закончился.
То же относится и к кнопке «Стрелка влево». Если она светлая, н а ж а т и е на
нее вернет нас в начало текущей «динамической страницы». Если темная —
мы перейдем на предыдущую страницу.
О п ы т показал, ч т о студенты легко воспринимают и усваивают все пере­
численные приемы навигации (см. р е з у л ь т а т ы анкетирования ниже). В этом
и заключается прелесть графического интерфейса — те функции, словесное
описание к о т о р ы х заняло несколько страниц, интуитивно постигаются поль­
зователем за считанные минуты.
3
Справочная подсистема
Реализованы две системы помощи. Первая дает чисто техническую под­
сказку о навигации в системе и о существующих режимах р а б о т ы . В т о р а я —
это содержательная многоуровневая справочная система собственно по мате­
матическому анализу. В любой момент в отдельном окошке студент может
606
В. А. САДОВНИЧИЙ, О. Д. АВРААМОВА, А. С. ПЕЧЕНЦОВ
найти толкование вызвавшего затруднение термина или освежить в памяти
формулировку теоремы. Более т о г о , можно получить «подсказку на подсказ­
ку» без ограничения уровня вложенности. Б л а г о д а р я строгой логике постро­
ения курса эту систему удалось сделать достаточно компактной.
Справочный материал содержится в отдельном модуле. Э т о позволяет ис­
пользовать режим «истинной многооконности»: среди подсказок можно пе­
ремещаться независимым образом. При вызове подсказки студент никуда не
уходит с той страницы, над которой работал — просто на экране о т к р ы в а е т с я
небольшое окошко. К тому же его можно передвинуть в любое удобное место.
Э т о окошко раскрывается от простого щелчка «мышью» на интересующем нас
термине. (Если слово подчеркнуто серой линией толщиной в два пикселя, это
означает, ч т о его толкование можно найти справочной системе). Предполо­
жим, мы попали в справочный стек, и прочли т а м следующее: «/: X —У Y
биективно (взаимно-однозначно), если / сюръективно и инъективно одновре­
менно» (см. рис. 14). Мы видим на рисунке 14, ч т о слова «инъективно» и
Рис. 14.
«сюръективно» подчеркнуты, а значит, о них можно получить дополнитель­
ную информацию. Щелчок «мышью» на слове «инъективно» перенесет нас на
к а р т о ч к у с определением инъективного отображения (рис. 15).
Рис. 15.
Можно при помощи стрелки вверх вернуться на шаг назад, к определению
биективного отображения, и поинтересоваться, а ч т о же такое сюръекция. В
любой момент щелчок «мышью» в окне лекции з а к р о е т справочное окошко и
вернет нас к работе с основным текстом учебника.
4
Апробация
Компьютерный учебник использовался для занятий на геологическом и на
механико-математическом ф а к у л ь т е т а х МГУ.
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
607
В частности, компьютерным учебником широко пользовались студенты
1-го курса отделения геофизики геологического ф а к у л ь т е т а МГУ. На этом
специальном отделении курсу математического анализа отводится достаточ­
ное количество времени, поэтому изложение традиционно ведется на высоком
уровне строгости и полноты. Набор студентов 1993 г о д а оказался слабее, чем
в предыдущие г о д ы . У большинства студентов п о т о к а возникли трудности
с усвоением материала, излагаемого на лекциях. Э т и трудности были свя­
заны, с одной стороны, с большим объемом материала на каждой лекции, а
с другой — с высоким уровнем его сложности. Выход был найден, причем
не пришлось ж е р т в о в а т ь сложившимся содержанием курса математического
анализа. В качестве «дополнительной литературы» по курсу лекций студентам
были предложены следующие главы компьютерного учебника: «Множества
и отображения», «Пределы», «Непрерывные функции», «Сравнение функций»,
«Производная и дифференциал», «Основные теоремы анализа», «Формула Тей­
лора» и «Исследование функций». Студентам была предоставлена возможность
д в а ж д ы в неделю по два часа заниматься в классе ПК «Макинтош».
При том, ч т о занятия в компьютерном классе носили сугубо доброволь­
ный х а р а к т е р и проводились в дополнительное к основному расписанию вре­
мя, их посещаемость была исключительно высокой. На занятиях в классе ПК
«Макинтош» шло очень интенсивное обсуждение предмета — парадоксально,
но присутствие компьютера давало стимул к общению студентов между со­
бой. Преподаватели отмечали повышение мотивации к обучению и интереса к
предмету, усиление внутригрупповых дискуссий и увеличение числа вопросов,
задаваемых лектору и преподавателям.
По завершении занятий с компьютерным курсом студентам была предло­
жена следующая анкета (рядом с к а ж д ы м о т в е т о м приводится процент сту­
дентов, выбравших данный о т в е т ) .
Дорогие
друзья!
Нам очень важно узнать Ваше мнение о компьютерной обучающей системе
«Математический анализ». Ответы на предложенные вопросы помогут нам спла­
нировать дальнейшую работу в этой области и коррекцию программного обеспе­
чения существующего курса.
Вы не обязаны указывать свою фамилию.
1. Принесли ли, на Ваш взгляд, пользу занятия с компьютерным учебником?
а) Очень полезны — 56%
б) Полезны — 44%
в) Безвредны — 0%
г) Лучше бы я почитал(а) в это время книгу — 0%
2. Какие еще компьютерные обучающие системы хотели бы Вы использовать
в своих занятиях?
а) Курс лекций следующего семестра — 78%
б) Комплекс упражнений — 11%
в) Систему для самотестирования знаний — 44%
г) (впишите недостающее)
608
В. А. С А Д О В Н И Ч И Й , О. Д. А В Р А А М О В А , А. С. П Е Ч Е Н Ц О В
3. Нужно ли, на Ваш взгляд, добавить в конце разделов вопросы для самопро­
верки?
а) Да — 78%
б) Нет — 22%
4- Помогла ли бы Вам в работе твердая копия компьютерного курса?
а) Да — 78%
б) Нет — 0%
5. Пожалуйста, оцените дополнительную нагрузку на зрение:
а) Сильная — 55%
б) Ощущалась, но не приносила сильного дискомфорта — 56%
в) Не ощущалась — 11%
6. Легко ли было освоить управление системой?
а) Легко — 100%
б) Потребовалось некоторое время — 0%
в) Ничего понять невозможно — 0%
7. Какие еще сервисные возможности хотели бы Вы видеть в аналогичных
системах?
а) Предметный указатель — 33%
б) Систему перекрестных ссылок — 11%
в) (впишите недостающее) — 11% (компьютерные игры).
Благодарим Вас.
К а к мы видим, все студенты оценили систему управления учебником как
легкую в освоении и использовании. По мнению студентов, занятия с ком­
пьютерным учебником были «Полезны» (44%) или «Очень полезны» (56%). 78%
респондентов высказались за то, ч т о б ы добавить в конце к а ж д о г о раздела во­
просы для самопроверки. Столько же студентов считают, ч т о им помогла бы
в работе твердая копия компьютерного курса. Наконец, один из заданных во­
просов касался дополнительной нагрузки на зрение. Две т р е т и респондентов
оценили ее как вполне допустимую («Не ощущалась» — 1 1 % и «Ощущалась,
но не приносила сильного дискомфорта» — 56%). Тем не менее, текст, конеч­
но же, удобнее ч и т а т ь с листа бумаги, и вопрос об издании твердой копии
компьютерного курса представляется весьма а к т у а л ь н ы м .
5
Перспективы
К а к о в ы же, по мнению авторов, перспективы развития э т о г о проекта?
Во-первых, конечно, следует полностью завершить лекции по программе пер­
вого курса. Далее, с учетом существующего парка компьютеров, весьма ак­
туальной, но отнюдь не легкой представляется з а д а ч а переноса курса с «Ма­
кинтоша» в среду Windows. Нужно о т м е т и т ь , ч т о обе версии могли бы сосу­
ществовать на одном диске CD-ROM. Э т о т комплекс в идеале должен б ы т ь
дополнен книгой, содержащей текст лекций, сохраняющей рубрикацию и, по
возможности, иллюстрации из компьютерного курса. Создание как компью­
терного учебника, т а к и книги и, на их основе, целого обучающего комплекса,
позволяющего в максимальной степени учесть индивидуальные потребности,
КОМПЬЮТЕРНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
609
дало бы основания с ч и т а т ь э т о т проект серьезным ш а г о м в деле построения
качественно новых систем обучения.
В среднесрочной перспективе планируется создание тренажеров и тести­
рующих систем по данному курсу. Тут, впрочем, необходима одна оговорка.
Компьютерные тестирующие системы м о г у т с ы г р а т ь свою положительную
роль, но, на наш взгляд, подробный разговор с опытным преподавателем на
экзамене всегда является наилучшей проверкой знаний и приносит наиболь­
шую пользу студенту.
В заключение а в т о р ы хотели бы подчеркнуть необходимость не заходить
слишком далеко по пути реформирования преподавания математического ана­
лиза и строго у ч и т ы в а т ь степень г о т о в н о с т и общественного сознания к вос­
приятию т а к и х реформ.
А в т о р ы в ы р а ж а ю т благодарность сотрудникам к а ф е д р ы математического
анализа О. В. Селезневу, Г. С. Типенко, В. Е. Подольскому за плодотворные
и ценные обсуждения материала учебника и за участие в создании начальных
вариантов лекций первого семестра.
Статья поступила
в редакцию
в ноябре 1995 г.