Проверка статистических гипотез: Методические указания

Документ подписан простой электронной подписью
Информация о владельце:
ФИО: Емельянов Сергей Геннадьевич
Должность: ректор
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Дата подписания: 05.02.2021 19:31:36
Уникальный программный ключ:
9ba7d3e34c012eba476ffd2d064cf2781953be730df2374d16f3c0ce536f0fc6
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Юго-Западный государственный университет»
(ЮЗГУ)
Кафедра высшей математики
Проверка статистических гипотез
Методические указания по выполнению
лабораторной работы № 17
Курск 2013
2
УДК 510 (083)
Составитель Е.В.Журавлева
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент Л.В. Карачевцева
Проверка статистических гипотез: методические указания к
выполнению лабораторной работы №17 / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.:
Е.В. Журавлева. Курск, 2013. 39 с.: Библиогр.: с.18.
В данной работе содержатся краткие теоретические положения,
необходимые для выполнения работы, методические указания по
применению программного продукта EXCEL, рекомендуемые данные
для статистической обработки.
Работа предназначена для студентов технических и экономических специальностей.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать _______ . Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .Тираж ____экз. Заказ. Бесплатно.
Юго-Западный государственный университет.
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94
3
Содержание
1 Основные теоретические положения…………………………………4
1.1 Интервальные оценки параметров распределения……………….4
1.1.1 Построение доверительного интервала для
математического ожидания……………………………...….5
1.1.2 Построение доверительного интервала для дисперсии и
среднего квадратичного отклонения…………………….....6
1.2 Проверка статистических гипотез……………………………..…6
1.2.1 Метод исключения грубых ошибок……………………...…6
1.2.2 Проверка гипотез о законе распределения……………..…..8
1.2.3 Сравнение средних……………………………………...…..10
1.2.4 Сравнение дисперсий…………………………………...…..10
1.3 Определение поля допуска по эмпирическому
распределению………………………………………………….…11
2 Порядок выполнения лабораторной работы ………………………..13
Список рекомендуемой литературы……………………………….…..18
Приложения…………………………………………………………..…19
4
Цель работы: 1. Научиться строить доверительные интервалы для
математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
2. Научиться проверять гипотезы о нормальном законе
распределения, о равенстве средних и дисперсий, применяя пакет прикладных программ ЕХСЕL.
Задание
1. Постройте доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
2. Проверьте гипотезу о нормальном законе распределения для изучаемой выборочной совокупности.
3. Разбейте исходные данные на две равные части и проверьте гипотезы о равенстве средних и дисперсий.
1 Основные теоретические положения
1.1 Интервальные оценки параметров распределения
Если числовая характеристика некоторого параметра распределения задана одним числом, то она называется точечной оценкой. В
лабораторной работе №16 были рассмотрены точечные оценки некоторых характеристик распределения случайной величины X через характеристики выборки. Точечные оценки сами являются случайными
величинами, законы которых зависят от закона распределения X и
объема выборки n [2]. Чтобы дать представление о точности и надежности точечных оценок используют так называемые доверительные
интервалы и доверительные вероятности.
Доверительным интервалом для некоторой характеристики 
называют такой интервал (1,2), который с заранее выбранной вероятностью  содержит истинное значение параметра , т.е.
P (1 <  < 2) = .
(1.1)
Здесь  называют доверительной вероятностью. Обычно значение  выбирают близкое к единице : 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.  = 1 - 
называют уровнем значимости.
5
1.1.1 Построение доверительного интервала для
математического ожидания
Если случайная величина X подчиняется нормальному закону
распределения, то доверительный интервал для истинного значения x
измеряемой величины может быть построен следующим образом.
Первый способ. Доверительная оценка при известной точности
измерений (объем выборки большой n  100 ).
Если заранее известно среднее квадратичное
отклонение
  D (или другая связанная с ней характеристика точности измерений), то доверительный интервал имеет вид
(1.2)
x  t ()   M[X]  x  t ()  ,
n
n
где n - объем выборки, x - среднее арифметическое, t() определяется по заданной доверительной вероятности из условия [1,2]:
2 Ф( t ) =  .
t
Здесь Ф( t ) = 
(1.3)
2
z
e 2 dz
- функция Лапласа, значения которой
0
представлены в таблице приложения 1.
Второй способ. Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
Если среднее квадратичное отклонение  заранее неизвестно,
то вместо него используют эмпирическое отклонение. Известно [2],
что статистика
(1.4)
T  x * x n .
S
подчиняется закону Стьюдента с f = n - 1 степенями свободы. Исходя из этого , доверительный интервал в данном случае имеет вид [1,2]
*
*
S
S
x  t (, n  1)
 M[X]  x  t (, n  1)
.
(1.5)
n
n
где t (, n - 1) зависит и от объема выборки. t (, n - 1) определяется из таблицы приложения 2.
6
1.1.2 Построение доверительного интервала для дисперсии и
среднего квадратичного отклонения
Известно [2], что статистика
(n  1)  S*2 (n  1)  S*2
2
(1.6)
 

D[X]
2
подчиняется закону распределения Пирсона или «  - распределению » с f = n − 1 степенями свободы. Исходя из этого, доверительный интервал для дисперсии 2 случайной величины имеет вид
[1,2]
(n  1)  S*2
(n  1)  S*2
2
(1.7)
 
12
 22
где 12 и 22 − значения, определяемые из таблиц для распределения Пирсона ([3] приложение 5) соответственно для вероятностей
1 = (1− ) / 2 и 2 = (1 + ) / 2 и числа степеней свободы
f = n − 1.
(n  1)
(n  1)
2
Пусть 12 
, тогда (2.24) примет вид
:


2
2
2
1
2
12  S*2 < 2 < 22  S*2 ,
(1.8)
где значения 2 протабулированы для n и  (приложение 4).
Для интервальной оценки среднего квадратичного отклонения
служит неравенство
1  S * <  < 2  S * .
(1.9)
1.2 Проверка статистических гипотез
1.2.1 Метод исключения грубых ошибок
Очень часто на практике встает вопрос о том, следует отвергнуть или нет некоторые результаты эксперимента, который резко выделяется среди остальных. Если значение варианта содержит грубую
погрешность - промах, то наличие этого промаха может сильно иска-
7
зить общее представление об исследуемой случайной величине.
Обычно промах имеет значение резко отличающиеся от других измерений. Существенное отличие от значений других измерений не
дает еще права исключить это измерение. Следует проверить гипотезу о наличии грубой ошибки.
Обозначим «выскакивающее» значение через x* , а все остальные результаты через x1,x2, . . . ,xn. Согласно методу Романовского
исследовано распределение статистики
x x
(1.10)
t (, n )  * *
S
и допустимые значения ее протабулированы (Приложение 5). Рассчитывают t расч. по формуле
x  x
t расч 
(1.11)
1 N
(x i  x)2

n 1 1
по желаемой надежности вывода  при данном числе n приемлемых результатов по таблице приложения 5 находят критическое значение t табл. (, n) . Если
t расч. > t табл.,
(1.12)
то с надежностью вывода  можно x* исключить из дальнейшей обработки результатов, в противном случае достаточных оснований
для исключения x* нет. Выбор величины  производится в зависимости от конкретных требований к результатам эксперимента и
обычно принимается равным 0,95; 0,99; 0,999.
Если имеется несколько выделяющихся данных, необходимо
определить x и S* без этих данных, а затем оценить каждое из них
по приведенной выше схеме.
Кроме рассмотренного метода исключения грубых ошибок известен метод Ирвина, Арлея, Грэббса.
Применять тот или иной метод следует осторожно, и там, где
результаты эксперимента имеют принципиальное значение, целесообразно до применения статистических методов стремиться выяснить возможные причины появления резких отклонений в отдельных
наблюдениях.
В дальнейшем выводы и конечные результаты делаются на основе данных, из которых исключены грубые ошибки.
8
1.2.2 Проверка гипотез о законе распределения
При исследовании случайной величины X , часто ставится вопрос
о нахождении ее теоретического закона распределения, например,
дифференциальной функции распределения f (x). По результатам
выборки можно построить эмпирическое распределение f*(x) (геометрическим аналогом являются полигон и гистограмма относительных частот). Исходя из соображений, связанных с физикой величины
X, с учетом характера полученной эмпирической кривой выбирают
класс функций, содержащих некоторое число параметров. Ставится
задача: найти те значения параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказывается
наилучшим. При этом обычно исходят из принципа наименьших
квадратов [1,2], считая, что наилучшим приближением к эмпирической зависимости в данном классе функций является такое, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум.
Сравнение эмпирического и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины
(статистики) - критерия согласия. Известны критерии Пирсона (или
2 - « хи - квадрат »), Колмогорова, Смирнова, Романовского и другие.
Критерий согласия Пирсона 2 употребляется часто. Согласно
этому критерию по результатам выборки строят интервальный вариационный ряд. Предполагая известным теоретический закон распределения f(x), рассчитывают вероятности pi попадания случайной
величины X в i - ый интервал (xi - 1,xi), где i = 1,2, . . . , ℓ. Здесь
ℓ- число интервалов. В общем случае [2,3]
pi 
xi
 f (x )dx .
(1.13)
x i 1
В случае нормального распределения полагают [2,3]
f (x) 
тогда [1 - 3]
1
e
S 2

(x x)2
2S 2
x  x
x  x
p i    i *     i 1 * 
 S 
 S

(1.14)
(1.15)
9
Здесь Ф(t) - функция Лапласа (см. приложение 1.). Зная pi , рассчитывают теоретическое число mi значений X, попавших в i - ый
интервал по формуле
(1.16)
mi  np i ,

где n − объем выборки, n   m j .
j 1
Результаты расчетов сводят в таблицу.
Таблица 1.1 − Значения частот
Интервалы
Эмпирические
частоты (mi )
Теоретические
частоты (mi’)
(x0,x1)
m1
(x1,x2)
m2
. . .
. . .
(xℓ-1,xℓ)
mℓ
m1’
m2’
. . .
mℓ’
Известно [2,3] , что статистика
 (m  m / ) 2
2
(1.17)
  i / i
m
i 1
i
при n   имеет распределение 2 (см. приложение 3) с f    r  1
степенями свободы (r − число параметров распределения f (x) , при
нормальном распределении r = 2).
Замечание. Необходимым условием применения критерия Пирсона в случае нормального закона распределения является наличие в
каждом из интервалов по меньшей мере 5 - 10 наблюдений. Если количество наблюдений в отдельных интервалах очень мало (порядка
1 − 2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы.
По результатам табл.1.1 по формуле (1.17) вычисляют 2расч. По
выбранной доверительной вероятности  и числу степеней свободы
f    r  1 по таблице [3], приложения 5 находят 2табл.
Если
2расч. > 2табл.,
(1.18)
то с надежностью вывода  можно заключить, что эмпирическое
распределение f* (x) отличается от теоретического f (x). В противном случае, для такого вывода нет достаточных оснований.
10
1.2.3 Сравнение средних
Целью эксперимента нередко бывает выявление различий между
значениями определенного параметра в разных объектах исследования или при различных условиях. Для выяснения вопроса о случайном или неслучайном расхождении значений некоторого параметра
X проводят две серии экспериментов (измерений) и для каждой из
них подсчитывают значение параметра x1 и x2. Вопрос сводится к
тому, когда считать разность между этими средними достаточно
большой для того, чтобы иметь практическую уверенность в неслучайном происхождении обнаруженных различий.
Пусть величина X подчиняется нормальному закону, произведено n1 измерений первой серии и n2 - второй. Для решения вопроса
подсчитывают
x1  x 2
,
(1.19)
t расч 
1
1
Ŝ

n1 n 2
где
(n1  1)  S12  (n 2  1)  S22
Ŝ 
n1  n 2  2
(1.20)
Здесь S1*2 и S*22 – исправленные дисперсии для первой и второй
серии.
По выбранной вероятности вывода  и числу степеней свободы f = n1 + n2 − 2 из приложения 2 находят tтабл.(, f ). Если
tрасч. > tтабл.,
(1.21)
то расхождение средних значений можно считать неслучайным (значимым) с надежностью вывода . В противном случае нет оснований считать расхождение значимым.
1.2.4 Сравнение дисперсий
Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в
практике, так как измеряемая дисперсией величина рассеивания характеризует такие важные показатели, как точность машин и приборов, погрешность показаний измерительных приборов, точность технологического процесса и т.д.
11
Пусть случайная величина X подчиняется нормальному закону
распределения и для нее получены две независимые выборки объемами n1 и n2. Пусть S1*2 и S2*2 - соответствующие выборочные дисперсии, причем S1*2 > S2*2
Известно [3,4], что статистика
n
S12  12
n2
S12

(1.22)
F


n1 2 n 2 S22
S2  2

подчинена распределению Фишера (или F - распределению ) с
k1 = n1 - 1 и k2 = n2 - 1 степенями свободы. Поэтому для решения вопроса о случайном или неслучайном расхождении дисперсий рассчитывают их отношение
S1*2
(1.23)
Fрасч  *2
S2
затем, выбрав желаемую надежность вывода  по таблице F - распределения (приложение 3) находят число Fтабл.(, k1,k2). Если
Fтабл. < F расч.,
(1.24)
то расхождение дисперсий считают неслучайным (значимым) с надежностью вывода . В противном случае для такого утверждения
нет достаточных оснований.
1.3 Определение поля допуска по эмпирическому распределению
Во многих технологических процессах наблюдаются отклонения
действительных значений параметров, характеризующих сам процесс, и параметров выпускаемой продукции.
Например, при изготовлении каких - либо деталей действительные размеры отклоняются от заданных.
Номинальный размер - размер, относительно которого определяются предельные размеры и который служит началом отсчета отклонений.
Предельные размеры - два предельно допустимых размера, между
которыми должен находится действительный размер.
12
Допуск - разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами. Допуск характеризует требуемую точность изготовления детали.
Многие эксперименты проводятся с целью определения поля допуска, которое характерно для данного технологического процесса и
дает вероятность риска (брака) не более некоторого задаваемого числа. Значения t1 и t 2 случайной величины X называют практически
предельными значениями ее, если
t2
 f (x)dx  1  2 ,
(1.25)
t1
f (x) − дифференциальная функция распределения для X , 2 - вероятность риска (брака). Обычно принимают 2 = 0,0027. Практически
предельное поле рассеивания 2 = t2 − t1, принимают за поле допуска,
 - половина поля допуска,  = (t1 + t2) / 2 − координата середины поля допуска.
Замечание. Может оказаться, что заданное конструктором поле
допуска не соответствует практически предельному полю рассеивания, т.е. вероятность риска (брака) не равна 2. Если закон распределения для X известен - f (x) , т.е. известны M[x] и D[x], то поле допуска определяется исходя из формулы (1.25). Часто на практике априори (до опыта) теоретические значения параметров распределения
неизвестны, а имеется лишь возможность получить из выборки их точечные оценки x и S*2.
Если закон распределения для X предполагается нормальным, то
поле допуска можно определить лишь с некоторой доверительной вероятностью , как (x − ℓS*, x + ℓS*), где значение ℓ в зависимости
от объема выборки n, (1 − 2) и  протабулированы (см. приложение
6).
Пример 6. Пусть в результате замера некоторого параметра
n = 200 деталей получили x = − 0,0282, S* = 0,0515.Определить поле
допуска 2. Задаемся надежностью определения допуска, положим,
что  = 0,9. Задаемся вероятностью риска (брака), пусть 2 = 0,0027,
тогда 1 − 2 = 0,9973. По таблице приложения 6 ℓ = 3,40, следовательно:
t1 = x − ℓS* = − 0,0282 − 0,515  3,4 = − 0,2033,
t2 = x + ℓS* = − 0,0282 + 0,515  3,4 = 0,1469
13
Отсюда 2 = 0,3502,  = − 0,0282,  = 0,1751.
Таким образом, если за поле допуска брать величину 2 = 0,3502,
то с вероятностью  = 0,9 из всех будущих наблюдений 99,73%
будут лежать в промежутке (− 0,2033, 0,1469).
2 Порядок выполнения лабораторной работы
Используем результаты выполнения лабораторной работы №16
в качестве исходных данных берем значения столбца «Затраты на
производство продукции».
1. Доверительный интервал для математического ожидания находим по формуле:
S
S
х  t (P, n  1) 
 Mх   x  t (P, n  1) 
.
n
n
Для изучаемой выборочной совокупности: объем выборки
n  30 , среднее выборочное х  36,65037 , среднее квадратическое
отклонение S  11,33477 .Для доверительной вероятности P  0,99
квантиль распределения Стьюдента t (0,99;29)  2,76
(см. табл.
приложения
или
в
свободной
ячейке
введем
= СТЬЮДРАСПОБР (0,01;29)).
В ячейках А1−В4 введены эти данные, а в ячейках F4−F5 вычислены границы интервала для математического ожидания (см. рис.
1 и 2). Итак, 30,9387  M[x]  42,3620.
Доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратического отклонения находим по формулам:
12  S2   2   22  S2 ,
1  S     2  S .
Для доверительной вероятности P  0,99 и числа степеней
свободы f  29 находим табличные значения 12  0,554 и  22  2,21
(см.табл. приложения ).
В ячейках А5−В9 введены необходимые данные, а в ячейках
G4−H5 определены границы интервалов для дисперсии и среднего
квадратического отклонения (рис.1 и 2). Таким образом,
71,1763   2  282,6494 и 8,4366    16,8122 .
14
Рисунок 1 – Формульный шаблон расчета доверительных интервалов
Рисунок 2 – Расчет доверительных интервалов
2. Проверим гипотезу о нормальном законе распределения для
изучаемой выборочной совокупности. Сравнение эмпирического (интервального ряда) с теоретическим (нормальным) распределением
производим согласно критерию Пирсона. Для этого рассчитаем вероятности попадания нормальной случайной величины в каждый из полученных интервалов ( х i1 , x i ) по формуле:
x x
х x
Pi  Ф i    Ф i1   .
 S 
 S

Зная Р i , рассчитываем теоретические частоты mi  Pi  n и значение критерия:
(m i  mi ) 2
2
 
.
mi
Вычисления производим в таблице (рис.3 и 4). В первом столбце
указаны концы интервалов, при расчете значений функции Лапласа
используем встроенную статистическую функцию НОРМРАСП(х) с
параметрами: среднее = 0, стандартное отклонение = 1, интегральный =1.
15
Рисунок 3 – Формульный шаблон расчета значения  2расч
Рисунок 4 – Расчет значения  2расч
Таким образом,  2расч  6,0463 .
Определяем число степеней свободы по формуле f    r  1, здесь
  6 − число интервалов, r  2 − число параметров нормального
распределения (математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение). Тогда для f  6  2  1  3 и доверительной вероятности
P  0,99 находим табличное значение  2табл (0,99;3)  11,3 (см.табл. [3]
приложения
5
или
в
свободной
ячейке
введем
= ХИ2ОБР(0,01;3)).
Так как  2расч   2табл , расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое, т.е. данные по затратам на производство
продукции подчиняются нормальному распределению.
3. Для технических специальностей рекомендуется в качестве
второго ряда взять дополнительные значения из таблиц приложений
согласно варианту. Для экономических специальностей рекомендуется разбить исходные данные.
Разобьем исходные данные (затраты на производство) на две
равные части, получим два дискретных ряда, для каждого из рядов
рассчитаем числовые характеристики. Для этого воспользуемся пакетом «Анализ данных», расположенном в меню «Сервис», и его надстройкой «Описательная статистика». Вывод числовых характеристик можно осуществить на этом же листе, для этого в окошке
16
«Входной интервал» указываем диапазон ячеек первого дискретного
ряда, в подзаголовке «Параметры вывода» отмечаем метками «Выходной интервал», «Итоговая статистика», «Уровень надежности». В
окошке «Выходной интервал» указываем диапазон ячеек А44−В54,
куда будут выведены числовые характеристики для первого дискретного ряда (рис.5). Аналогично, в ячейках D44−E54 будут выведены
числовые характеристики для второго дискретного ряда.
Итак, n1  15 , n 2  15 , x1  35,8842 , х 2  37,4165 ,
S12  148,8942 , S22  115,9788 .
Рисунок 5 –Дискретные ряды и вывод их числовых характеристик
Проверим гипотезу о равенстве средних. Для этого найдем
17
t расч 
х1  х 2

S
где
1
1

n1 n 2
,
(n 1  1)  S12  (n 2  1)  S22
.
S
n1  n 2  2
В ячейках А60−В63, А65−В66 введены необходимые данные,


в ячейках В64, В67 рассчитаны значения S и t расч (рис. 6 и 7).
Для доверительной вероятности P  0,99 и числа степеней свободы f  n1  n 2  2  15  15  2  28 находим t табл (0,99;28)  2,77 .
Так как t расч  t табл , то расхождение средних можно считать
незначительным.
Рисунок 6 – Формульный шаблон расчета значений t расч и Fрасч
Рисунок 7 – Расчет значений t расч и Fрасч
18
Табличное значение можно найти по таблице приложения 2
или в свободной ячейке ввести = СТЬЮДРАСПОБР (0,01;28).
Проверим гипотезу о равенстве дисперсий. Для этого находим
S12
Fрасч  2 , где S12  max S12 , S22 , S22  min S12 , S22 .
S2




В нашем случае S12  S22 , следовательно, S12  S12 , S22  S22 . В
ячейке В68 рассчитана величина Fрасч  1,284 . Для доверительной вероятности 0,99 табличное значение Fтабл (0,99;14;14)  3,63 .
Так как Fрасч  Fтабл , то расхождение дисперсий можно считать
незначимым.
Табличное
значение
можно
найти
по
таблице
F−распределения приложения 6 или в свободной ячейке ввести
= FРАСПОБР (0,01;14;14).
Список рекомендуемой литературы
1. Вентцель Е. С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и еѐ инженерные приложения. М.:1986.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высш. шк., 2007.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 2007.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т.2. −М.: Интеграл-Пресс, 2003.
19
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
t
t
2

1
2 dt
e
Значение функции ( t ) 

2 0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
0
0.0000
0398
0793
1179
1554
1915
2257
2580
2881
3159
3413
3643
3849
4032
4192
4332
4452
4554
4641
4713
4772
4821
4861
1
0.0040
0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
3438
3665
3869
4049
4207
4345
4463
4564
4649
4719
4778
4826
4865
2
0.0080
0478
0871
1255
1628
1985
2324
2642
2939
3212
3461
3686
3883
4066
4222
4357
4474
4573
4656
4726
4783
4830
4868
3
0.0120
0517
0909
1293
1664
2019
2357
2673
2967
3238
3485
3708
3907
4082
4236
4370
4484
4582
4684
4732
4788
4834
4871
4
0.0160
0557
0948
1331
1700
2054
2389
2703
2995
3264
3508
3729
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
4793
4838
4875
5
0.0199
0596
0987
1368
1736
2088
2422
2734
3023
3289
3531
3749
3944
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
4798
4842
4878
6
0.0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3316
3554
3770
3962
4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
4803
4846
4881
7
0.0279
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2794
3079
3340
3577
3790
3980
4147
4292
4418
4525
4616
4693
4756
4808
4850
4884
8
0.0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
4812
4854
4887
9
0.0359
0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4706
4767
4817
4857
4890
21
Продолжение приложения 1.
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0
0.4893
4918
4938
4953
4965
4974
4981
1
0.4896
4920
4940
4955
4966
4975
4982
t
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
3.50
(t)
0.49865
49903
49931
49952
49966
49977
t
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
5.0
2
0.4898
4922
4941
4956
4967
4976
4982
(t)
0.49984
49989
49993
49995
49997
4999997
3
0.4901
4925
4943
4957
4968
4977
4983
4
0.4904
4927
4945
4959
4969
4977
4984
5
0.4906
4929
4946
4960
4970
4978
4984
6
0.4909
4931
4948
4961
4971
4979
4985
7
0.4911
4932
4949
4962
4972
4979
4985
8
0.4913
4934
4951
4963
4973
4980
4986
9
0.4916
4936
4952
4964
4974
4981
4986
Приложение 2
Значения t(,n-1) распределения Стьюдента

n-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,90
0,95
0,99
0,999
6.31
2.92
2.35
2.13
2.02
1.94
1.89
1.86
1.83
1.81
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
1.75
1.74
1.73
1.73
1.72
1.72
1.72
1.71
1.71
1.71
1.71
1.70
1.70
1.70
1.70
12.70
4.30
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.12
2.11
2.10
2.09
2.09
2.08
2.07
2.07
2.06
2.06
2.06
2.05
2.05
2.05
2.04
63.70
9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.11
3.05
3.01
2.98
2.95
2.92
2.90
2.83
2.86
2.85
2.83
2.82
2.81
2.80
2.79
2.78
2.77
2.76
2.76
2.75
636.60
31.60
12.90
8.61
6.87
5.96
5.41
5.04
4.78
4.59
4.44
4.32
4.22
4.14
4.07
4.04
3.97
3.92
3.88
3.85
3.82
3.79
3.77
3.75
3.73
3.71
3.69
3.67
3.66
3.65

n-1
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
80
90
100
120
150
200
250
300
400
500

0,90
0,95
0,99
0,999
1.69
1.69
1.69
1.69
1.68
1.68
1.68
1.68
1.68
1.68
1.67
1.67
1.67
1.67
1.66
1.66
1.66
1.66
1.66
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
1.65
2.04
2.03
2.03
2.02
2.02
2.02
2.02
2.01
2.01
2.01
2.00
2.00
2.00
1.99
1.99
1.99
1.98
1.98
1.98
1.97
1.97
1.97
1.97
1.96
1.96
2.74
2.73
2.72
2.71
2.70
2.70
2.69
2.69
2.68
2.68
2.67
2.66
2.66
2.65
2.64
2.63
2.63
2.62
2.61
2.60
2.60
2.59
2.59
2.59
2.58
3.62
3.60
3.58
3.57
3.55
3.54
3.53
3.52
3.51
3.50
3.48
3.46
3.45
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.36
3.34
3.33
3.32
3.32
3.31
3.29
23
Приложение 3
Значение F - распределение
( =0.95 - верхняя строка,  = 0.99 - нижняя строка)
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
50
100

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
154
4052
18.51
98.49
10.13
34.12
7.71
21.20
6.61
16.26
5.99
13.74
5.59
12.25
5.32
11.26
5.12
10.56
4.96
10.04
4.54
8.68
4.35
8.10
4.17
7.56
4.03
7.17
3.94
6.90
3.84
6.64
200
4999
19.00
99.01
9.55
30.81
6.94
18.00
5.79
13.27
5.14
10.92
4.74
9.55
4.46
8.65
4.26
8.02
4.10
7.56
3.68
6.36
3.49
5.85
3.62
5.39
3.18
5.06
3.09
4.82
2.99
4.60
216
5403
19.16
99.17
9.28
29.46
6.59
16.69
5.41
12.06
4.76
9.78
4.35
8.45
4.07
7.59
3.86
6.99
3.71
6.55
3.29
5.42
3.10
4.94
2.92
4.51
2.79
4.20
2.70
3.98
2.60
3.78
225
5625
19.25
99.25
9.12
28.71
6.39
15.98
5.19
11.39
4.53
9.15
4.12
7.85
3.84
7.01
3.63
6.42
3.48
5.99
3.06
4.89
2.87
4.43
2.69
4.02
2.56
3.72
2.46
3.51
2.37
3.32
230
5764
19.30
99.30
9.01
28.24
6.26
15.52
5.05
10.97
4.39
8.75
3.97
7.46
3.69
6.63
3.48
6.06
3.33
5.64
2.90
4.56
2.71
4.10
2.53
3.70
2.40
3.41
2.30
3.20
2.21
3.02
234
5859
19.33
99.33
8.94
27.91
6.16
15.51
4.95
10.67
4.28
8.47
3.87
7.19
3.58
6.37
3.37
5.80
3.22
5.39
2.79
4.32
2.60
3.87
2.42
3.47
2.29
3.18
2.19
2.99
2.09
2.80
237
5928
19.36
99.94
8.88
27.67
6.09
14.98
4.88
10.45
4.21
8.26
3.79
7.00
3.50
6.19
3.29
5.62
3.14
5.21
2.70
4.14
2.52
3.71
2.34
3.30
2.20
3.02
2.10
2.82
2.01
2.64
239
5981
19.37
99.36
8.84
27.29
6.04
14.80
4.82
10.27
4.15
8.10
3.73
6.84
3.44
6.03
3.23
5.47
3.07
5.06
2.64
4.00
2.45
3.56
2.27
3.17
2.13
2.88
2.03
2.69
1.94
2.51
241
6022
19.38
99.38
8.81
27.34
6.00
14.66
4.78
10.15
4.10
7.98
3.68
6.71
3.39
5.91
3.18
5.35
3.02
4.95
2.59
3.89
2.40
3.45
2.21
3.06
2.07
2.78
1.97
2.59
1.88
2.41
242
6056
19.39
99.40
8.78
27.23
5.96
14.54
4.74
10.05
4.06
7.87
3.63
6.62
3.34
5.82
3.13
5.26
2.97
4.85
2.55
3.80
2.35
3.37
3.16
2.98
2.02
2.70
1.92
2.51
1.83
2.32
24
Продолжение приложения 3
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
50
100

11
12
14
16
20
24
30
50
100

243
6082
19.40
99.41
8.76
27.13
5.93
14.45
4.70
9.96
4.03
7.79
3.60
6.54
3.31
5.74
3.10
5.18
2.94
4.78
2.51
3.73
2.31
3.30
2.12
2.90
1.98
2.62
1.88
2.43
1.79
2.24
244
6106
19.41
99.42
8.74
27.05
5.91
14.37
4.68
9.89
4.00
7.72
3.57
6.47
3.28
5.67
3.07
5.11
2.91
4.71
2.48
3.67
2.28
3.23
2.09
2.84
1.95
2.56
1.85
2.36
1.75
2.13
245
6142
19.42
99.43
8.71
26.92
5.87
14.24
4.64
9.77
3.39
7.60
3.52
6.35
3.23
5.56
3.02
5.00
2.86
4.60
2.43
3.56
2.23
3.13
2.04
2.74
1.90
2.46
1.79
2.26
1.69
2.07
246
6169
19.43
99.44
8.69
26.83
5.84
14.15
4.60
9.68
3.92
7.52
3.49
6.27
3.20
5.48
2.98
4.92
2.82
4.52
2.39
3.48
2.18
3.05
1.99
2.66
1.85
2.39
1.75
2.19
1.64
1.99
248
6208
19.44
99.45
8.66
26.69
5.80
14.02
4.56
9.55
3.87
7.39
3.44
6.15
3.15
5.36
2.93
4.80
2.77
4.41
2.33
3.36
2.12
2.94
1.93
2.55
1.78
2.26
1.68
2.06
1.57
1.87
249
6234
19.45
99.46
8.64
26.60
5.77
13.93
4.53
9.47
3.84
7.31
3.41
6.07
3.12
5.28
2.90
4.73
2.74
4.33
2.39
3.29
2.08
2.86
1.89
3.47
1.74
2.18
1.63
1.98
1.52
1.79
250
6258
19.46
99.47
8.62
26.50
5.74
13.83
4.50
9.38
3.81
7.23
3.38
5.98
3.08
5.20
2.86
4.64
2.70
4.25
2.25
3.20
2.04
2.77
1.84
2.38
1.69
2.10
1.57
1.89
1.46
1.79
252
6258
19.47
99.48
8.58
26.27
5.70
13.69
4.46
9.24
3.75
7.09
3.32
5.85
3.03
5.06
2.80
4.51
2.64
4.12
2.18
3.07
1.96
2.63
1.76
2.34
1.60
1.94
1.48
1.73
1.36
1.52
253
6302
19.49
99.48
8.56
26.23
5.66
13.57
4.40
9.13
3.71
7.99
3.28
5.75
2.98
4.96
2.76
4.41
2.59
4.01
2.12
2.97
1.90
2.53
1.69
2.13
1.52
1.82
1.39
1.59
1.24
1.36
254
6366
19.50
99.50
8.53
26.12
5.63
13.46
4.36
9.02
3.67
6.88
3.23
5.65
2.93
4.86
2.71
4.31
2.54
3.91
2.07
2.87
1.84
2.42
1.62
2.01
1.44
1.68
1.28
1.43
1.00
1.00
25
Приложение 4
Значения 1 и 2 , определяющие доверительный интервал для дисперсии
2
2
 = 0.90
f=n-1
1
2
0.260
0.334
0.384
0.422
0.452
0.476
0.498
0.516
0.532
0.546
0.559
0.571
0.581
0.591
0.600
0.608
0.616
0.624
0.630
0.637
0.643
0.648
0.654
0.659
0.664
0.669
0.673
0.677
0.681
0.685
0.689
0.693
0.696
0.700
0.703
0.706
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
 = 0.95
2
3
254
19.5
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.71
2.54
2.40
2.30
2.21
2.13
2.07
2.01
1.96
1.92
1.88
1.84
1.81
1.78
1.76
1.73
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.61
1.59
1.58
1.57
1.56
1.55
2
1
4
0.199
0.271
0.321
0.359
0.390
0.415
0.437
0.456
0.473
0.488
0.502
0.514
0.526
0.536
0.546
0.555
0.563
0.571
0.578
0.585
0.592
0.598
0.604
0.610
0.615
0.620
0.625
0.630
0.634
0.639
0.643
0.647
0.651
0.654
0.658
0.661
2
2
5
1018
39.5
13.9
8.26
6.02
4.85
4.14
3.67
3.33
3.08
2.88
2.72
2.60
2.49
2.40
2.32
2.25
2.19
2.13
2.08
2.04
2.00
1.97
1.94
1.91
1.88
1.85
1.83
1.81
1.79
1.77
1.75
1.73
1.72
1.70
1.69
2
1
6
0.127
0.189
0.234
0.269
0.299
0.324
0.345
0.364
0.382
0.397
0.411
0.424
0.436
0.447
0.457
0.467
0.476
0.484
0.492
0.500
0.507
0.514
0.521
0.527
0.533
0.538
0.544
0.549
0.554
0.559
0.564
0.568
0.572
0.577
0.581
0.585
2
 = 0.99
22
7
25464
199
41.8
19.3
12.1
8.88
7.08
5.96
5.19
4.64
4.23
3.90
3.65
3.44
3.26
3.11
2.98
2.87
2.78
2.69
2.61
2.55
2.48
2.43
2.38
2.33
2.29
2.25
2.21
2.18
2.14
2.11
2.09
2.06
2.04
2.01
26
Продолжение приложения 4
1
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
2
0.709
0.712
0.715
0.717
0.720
0.723
0.725
0.728
0.730
0.732
0.734
0.737
0.739
0.741
0.743
0.745
0.747
0.748
0.750
0.752
0.754
0.755
0.757
0.759
0.762
0.765
0.768
0.771
0.773
0.776
0.778
0.781
0.783
0.785
0.787
0.790
0.792
0.794
0.795
3
1.54
1.53
1.52
1.51
1.50
1.49
1.48
1.48
1.47
1.46
1.46
1.45
1.44
1.44
1.43
1.43
1.42
1.42
1.41
1.41
1.40
1.40
1.39
1.39
1.38
1.37
1.37
1.36
1.35
1.35
1.34
1.34
1.33
1.32
1.32
1.32
1.31
1.31
1.30
4
0.665
0.668
0.671
0.674
0.677
0.680
0.683
0.685
0.688
0.691
0.693
0.695
0.698
0.700
0.702
0.705
0.707
0.708
0.711
0.713
0.715
0.717
0.718
0.720
0.724
0.727
0.730
0.734
0.737
0.740
0.742
0.745
0.748
0.750
0.753
0.755
0.757
0.760
0.762
5
1.67
1.66
1.65
1.64
1.63
1.62
1.61
1.60
1.59
1.58
1.57
1.56
1.55
1.55
1.54
1.53
1.52
1.52
1.51
1.50
1.50
1.49
1.49
1.48
1.47
1.46
1.45
1.44
1.44
1.43
1.42
1.41
1.41
1.40
1.39
1.39
1.38
1.38
1.37
6
0.588
0.592
0.596
0.599
0.602
0.606
0.609
0.612
0.615
0.618
0.621
0.624
0.626
0.629
0.632
0.634
0.637
0.639
0.641
0.644
0.646
0.648
0.650
0.653
0.657
0.661
0.664
0.668
0.672
0.675
0.678
0.682
0.685
0.688
0.691
0.693
0.696
0.699
0.701
7
1.99
1.97
1.95
1.93
1.91
1.90
1.88
1.87
1.85
1.84
1.82
1.81
1.80
1.79
1.77
1.76
1.75
1.74
1.73
1.72
1.71
1.71
1.70
1.69
1.67
1.66
1.64
1.63
1.62
1.61
1.59
1.58
1.57
1.56
1.55
1.54
1.54
1.53
1.52
27
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Приложение 5
Значение t(,n) для грубых ошибок по методу Романовского

0.95
0.99
0.999
15.56
77.96
779.70
4.97
11.46
36.49
3.56
6.53
14.47
3.04
5.04
9.43
2.78
4.36
7.41
2.62
3.96
6.37
2.51
3.71
5.73
2.43
3.54
5.31
2.37
3.41
5.01
2.33
3.31
4.79
2.29
3.23
4.62
2.26
3.17
4.48
2.24
3.12
4.37
2.22
3.08
4.28
2.20
3.04
4.20
2.18
3.01
4.17
2.17
3.00
4.07
2.16
2.95
4.02
2.15
2.93
3.98
2.14
2.91
3.94
2.13
2.90
3.91
2.12
2.88
3.87
2.11
2.87
3.85
2.11
2.85
3.84
2.10
2.84
3.80
2.09
2.83
3.78
2.09
2.82
3.76
2.08
2.81
3.74
2.08
2.80
3.72
2.05
2.74
3.60
2.02
2.68
3.49
1.99
2.63
3.39
1.96
2.58
3.29
28
k=n-1
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
800
1000
Приложение 6
Значение l для определения гарантированного поля допуска
 = 0.9
 = 0.95
 = 0.99
1 - 2
1 - 2
1 - 2
0.9973 0.95
0.9
0.9973 0.95
0.9
0.9973 0.95
0.9
6.76
4.18
3.51
8.26
5.11
4.29
12.80 7.92
6.64
6.07
3.74
3.14
7.17
4.44
3.72
10.31 6.38
5.35
5.60
3.47
2.91
6.50
4.02
3.38
8.91
5.51
4.62
5.80
3.27
2.75
6.05
3.74
3.14
8.01
4.95
4.15
5.07
3.13
2.63
5.72
3.54
2.97
7.38
4.56
3.83
4.89
3.02
2.54
5.48
3.39
2.84
6.91
4.27
3.59
4.75
2.94
2.47
5.28
3.26
2.74
6.55
4.05
3.40
4.54
2.81
2.36
4.99
3.08
2.59
6.03
3.73
3.13
4.39
2.72
2.28
4.78
2.96
2.49
5.67
3.52
2.95
4.28
2.65
2.22
4.62
2.86
2.40
5.41
3.35
2.81
4.19
2.59
2.17
4.50
2.79
2.34
5.21
3.22
2.70
4.11
2.54
2.14
4.39
2.72
2.29
5.05
3.12
2.62
3.98
2.46
2.07
4.20
2.61
2.19
4.76
2.94
2.47
3.89
2.40
2.02
4.10
2.54
2.13
4.57
2.82
2.37
3.78
2.33
1.95
3.94
2.44
2.05
4.31
2.67
2.24
3.69
2.28
1.91
3.84
2.37
1.99
4.15
2.57
2.16
3.63
2.25
1.89
3.76
2.33
1.96
4.05
2.50
2.10
3.59
2.22
1.86
3.70
2.30
1.93
3.96
2.45
2.06
3.55
2.20
1.85
3.66
2.27
1.91
3.90
2.41
2.02
3.53
2.18
1.83
3.63
2.25
1.89
3.84
2.38
2.00
3.51
2.17
1.82
3.60
2.23
1.87
3.80
2.35
1.98
3.40
2.10
1.76
3.47
2.14
1.80
3.59
2.22
1.87
3.35
2.07
1.74
3.41
2.11
1.77
3.50
2.17
1.82
3.32
2.06
1.73
3.37
2.08
1.75
3.45
2.14
1.79
3.30
2.05
1.72
3.35
2.07
1.74
3.41
2.12
1.78
3.29
2.04
1.71
3.33
2.06
1.73
3.39
2.10
1.76
3.27
2.03
1.70
3.30
2.05
1.72
3.36
2.08
1.75
3.26
2.02
1.70
3.29
2.04
1.71
3.33
2.07
1.74
29
Приложение 7
Рекомендуемые варианты для выполнения расчетов студентами
технических специальностей
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Индивидуальные задания выбираются согласно варианту. В каждом варианте первый статистический ряд выбирается для первого кольца (из условий),
второй ряд – для второго кольца лабораторной работы №16 из таблицы ниже.
вариант ряды
1
1+25
5
5+29
9
9+33
13
13+27
17
17+41
21
21+45
25
25+49
29
29+53
ВАРИАНТЫ
вариант ряды
вариант ряды
2
2+26
3
3+27
6
6+30
7
7+31
10
10+34
11
11+35
14
14+38
15
15+39
18
18+42
19
19+43
22
22+46
23
23+47
26
26+50
27
27+51
30
30+54
31
31+55
вариант ряды
4
4+28
8
8+32
12
12+36
16
16+40
20
20+44
24
24+48
28
28+52
32
32+56
30
Таблица П1 – Значения параметры колец после токарной обработки (2-ое
кольцо)
D нар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Dж
d
h
h
H
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
8
8
9
8
11
11
8
13
16
15
13
14
14
14
17
14
13
14
13
12
14
13
14
12
5
5
5
4
3
3
9
9
10
9
13
12
10
14
17
16
14
15
15
16
18
15
15
15
13
13
15
14
15
13
7
7
6
6
4
6
6
9
8
8
8
7
10
6
4
4
8
9
8
9
10
8
12
8
14
15
8
15
11
19
6
9
9
10
11
11
6
10
9
9
9
8
12
7
6
5
9
10
10
10
11
9
13
10
14
16
9
16
11
20
7
11
10
11
13
12
-10
-12
-11
-10
-10
-8
-11
-11
-9
-12
-11
-12
-12
-10
-11
-11
-12
-12
-6
-10
-10
-12
-10
-9
-12
-12
-10
-9
-10
-10
-11
-14
-13
-12
-12
-10
-13
-12
-10
-14
-13
-12
-14
-12
-12
-13
-13
-14
-11
-12
-12
-13
-10
-11
-15
-13
-11
-10
-12
-11
4
4
4
3
5
4
3
4
4
3
4
5
4
9
9
18
8
8
8
9
8
9
9
8
8
8
7
7
8
8
5
5
6
5
7
5
5
6
6
5
5
6
7
10
10
19
10
10
9
10
9
10
10
10
9
10
9
9
10
10
-2
-1
-2
-2
-1
-1
-1
-2
-1
-1
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
0
1
1
1
1
1
1
-2
2
-2
-3
-2
-2
-1
-2
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-1
-2
-1
-1
-1
0
1
2
-2
1
1
1
1
2
2
2
26
27
26
27
27
27
28
29
27
27
29
28
27
30
27
30
30
30
29
30
28
31
29
28
27
28
27
28
29
28
27
28
27
28
28
28
30
30
28
28
30
30
28
31
28
33
31
31
29
31
29
32
30
30
29
29
28
29
30
29
31
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
3
3
3
3
3
2
3
3
6
5
5
5
5
5
6
6
8
8
4
5
5
5
5
3
5
5
8
6
6
7
7
6
8
9
9
9
9
10
9
12
12
8
12
11
11
9
6
7
11
9
9
8
8
8
10
10
10
13
13
9
12
12
12
10
7
9
12
10
11
9
9
9
-11
-9
-11
-11
-11
-11
-9
-12
-12
-11
-9
-11
-13
-10
-12
-10
-10
-9
-12
-11
-12
-12
-12
-12
-10
-14
-14
-12
-10
-12
-14
-12
-14
-12
-12
-10
8
6
6
6
6
4
5
6
6
5
5
5
4
4
4
4
5
6
10
8
8
8
7
6
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
7
8
1
1
2
2
1
2
2
3
2
3
3
3
3
1
1
1
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
2
3
4
3
3
1
1
2
2
3
17
26
27
27
18
29
27
27
17
20
27
27
17
20
19
25
30
28
30
27
28
27
30
30
28
28
28
24
29
28
28
32
30
27
32
30
32
Таблица П2 − Значения параметры колец после токарной обработки (2-ое
кольцо)
D нар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Dж
d
h
h
H
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
5
3
2
13
3
6
14
13
15
14
6
-2
3
3
4
6
9
6
6
7
5
6
6
5
9
8
8
5
5
5
6
3
2
14
4
7
16
15
16
16
7
-4
4
3
5
6
10
8
7
8
7
7
6
7
10
9
10
8
6
6
3
1
2
4
1
7
1
0
3
2
4
1
1
0
0
1
-3
2
2
1
2
2
6
2
4
3
4
2
3
4
3
3
3
5
2
8
3
3
4
3
4
2
3
1
1
2
4
3
4
2
3
3
7
3
6
4
6
5
4
5
0
0
0
-15
0
-5
-14
-1
-18
-17
-19
-4
-2
-3
0
-2
0
-3
-2
-1
-3
-4
-2
-3
0
-5
-4
4
-2
0
-1
8
-3
-16
3
-6
-16
-6
-19
-18
-20
-6
-4
-4
-1
-3
-3
-4
-5
-5
-5
-5
-5
-4
-1
-5
-6
6
-3
-2
12
12
12
14
13
12
14
10
14
13
14
13
11
13
13
13
13
13
12
13
13
13
15
5
5
15
16
13
14
9
12
13
14
15
14
13
14
11
20
13
14
14
11
13
13
13
14
13
14
14
14
14
16
6
6
16
17
13
16
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
-6
2
1
2
2
1
2
2
3
2
2
3
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
2
3
2
-6
3
2
2
2
1
29
28
28
29
29
28
29
28
28
29
29
29
29
30
29
28
29
28
28
29
28
29
28
29
29
29
30
29
29
27
30
29
29
30
30
29
30
29
29
30
29
30
30
31
30
29
30
29
29
30
29
30
29
30
30
30
31
30
30
28
33
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
5
4
3
6
5
7
7
8
6
8
7
6
7
7
7
8
8
7
7
5
3
7
6
9
8
9
8
9
9
8
8
8
9
9
9
9
2
6
5
4
3
5
3
3
3
3
1
3
4
4
2
2
1
9
4
8
7
5
4
5
4
5
5
4
3
4
4
6
3
3
3
10
-5
-6
-4
-6
-2
-5
-7
-4
-4
-5
0
1
-3
-3
-2
-6
0
-2
-7
-8
-5
-7
-2
-6
-8
-6
-7
-6
-2
-3
-4
-5
-3
-7
-2
-3
11
12
12
10
10
8
8
9
6
9
10
8
9
10
5
6
2
4
12
13
13
11
12
8
10
10
5
12
12
11
10
11
6
7
6
5
0
2
3
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
-1
-1
-1
-1
1
2
3
3
2
3
3
3
4
4
4
4
4
4
-2
-2
0
-2
28
29
28
27
28
27
27
28
26
28
27
28
28
27
28
28
26
28
30
30
29
28
29
28
28
29
27
29
28
29
29
28
30
29
28
29
34
Таблица П3 − Значения параметры колец токарной обработки (2-е кольцо)
D нар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Dж
d
h
h
H
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
5
5
5
5
6
9
9
2
12
9
11
11
8
8
13
9
10
10
10
10
8
9
6
-2
3
4
2
2
1
1
6
6
6
7
7
10
11
3
14
10
12
12
9
9
15
10
11
12
11
11
11
10
7
-4
5
6
5
3
3
2
6
6
7
2
-4
8
7
9
10
8
0
8
6
8
10
9
10
10
10
2
6
12
21
6
5
2
5
2
-6
-2
7
7
8
3
-5
9
8
10
13
9
1
9
8
9
11
10
11
10
11
4
8
13
22
7
6
5
5
3
-7
-3
-14
-10
-12
-13
-11
-11
-12
-11
-13
-11
-10
-12
-11
-9
-9
-7
-10
-11
-13
-12
-12
-11
-11
-12
-10
-12
-12
-10
-10
-10
-15
-11
-13
-14
-13
-13
-13
-13
-15
-13
-13
-13
-12
-10
-9
-12
-11
-13
-13
-13
-13
-12
-13
-11
-13
-15
-11
-11
-11
-12
6
5
4
5
5
4
6
5
6
4
5
19
10
9
9
8
8
10
9
8
9
10
8
10
9
9
8
6
9
9
7
6
5
6
6
6
8
7
7
5
6
20
12
10
10
10
10
11
10
10
12
12
10
11
10
10
9
9
10
10
-1
-2
-2
-2
-1
-2
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-2
-1
-1
-1
0
-1
0
0
-1
0
2
2
1
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
-2
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
3
4
2
3
2
3
3
3
25
27
26
25
26
27
26
27
27
28
25
28
27
28
28
29
27
27
29
26
30
30
28
28
27
18
25
26
27
26
26
28
27
26
28
28
27
28
29
29
28
31
28
29
30
30
29
29
30
28
31
32
29
30
29
29
26
27
29
28
35
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
2
2
2
3
3
2
2
3
2
4
4
3
4
4
4
5
5
3
3
3
4
4
3
4
5
4
5
6
5
5
5
5
6
7
0
3
5
7
6
3
0
5
1
4
3
3
2
0
-1
-5
-7
2
4
6
7
6
3
2
7
0
5
3
5
3
2
0
-6
-8
-11
-12
-9
-12
-8
-9
-9
-9
-12
-8
-12
-12
-11
-9
-11
-12
-11
-14
-11
-14
-8
-11
-12
-12
-15
-9
-13
-13
-12
-11
-12
-13
-12
-10
8
5
7
7
6
5
7
5
5
6
8
7
5
7
7
6
5
9
7
10
8
6
6
10
7
6
8
11
9
7
9
8
8
7
2
3
2
2
3
2
3
3
4
4
4
5
4
4
2
2
3
3
3
4
3
3
3
4
4
5
5
5
6
5
5
3
3
4
25
27
28
28
26
29
16
30
28
24
23
23
25
25
26
17
21
27
29
29
30
27
30
29
32
29
28
25
25
27
28
31
28
25
36
Таблица П4−Значения параметры колец токарной обработки (2-ое кольцо)
D нар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Dж
d
h
h
H
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
min
max
15
15
15
14
17
15
3
3
8
5
6
8
7
6
10
4
7
2
8
9
9
10
10
10
7
9
8
7
5
5
17
16
16
16
18
17
4
4
9
7
7
9
8
7
11
5
8
4
10
10
9
11
11
11
8
10
10
8
5
8
9
9
10
8
10
7
9
2
9
6
9
8
5
7
9
10
8
7
5
7
5
5
4
5
7
5
6
5
8
3
11
10
11
11
11
9
12
2
10
9
11
9
8
8
11
11
10
8
7
8
8
7
7
7
9
6
9
6
9
7
-16
-19
-19
-19
-19
3
-1
1
-6
0
-3
-2
-3
-5
-4
-1
-5
-3
0
-1
-5
-2
-3
-4
-3
-3
-4
-3
-1
-2
-18
-20
-21
-20
-20
5
-4
2
-8
-2
-5
-4
-5
-6
-5
-2
-7
-5
-2
-3
-7
-4
-6
-5
-6
-5
-7
-5
-2
-4
9
9
6
8
10
9
8
13
8
9
9
6
9
10
9
9
10
11
11
12
10
9
11
10
12
10
10
12
12
5
10
12
7
10
11
10
10
14
9
9
11
8
10
11
10
11
11
12
12
13
11
11
13
12
13
11
12
13
13
7
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
-2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
5
4
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
-3
3
3
3
3
3
3
3
4
3
2
2
2
3
5
2
2
2
2
2
28
28
29
29
29
28
27
28
28
28
27
28
28
27
28
27
28
27
27
29
28
28
27
28
27
28
27
27
27
27
30
30
30
30
30
29
29
29
30
30
28
29
29
28
29
28
29
28
28
30
29
29
28
30
30
29
29
28
29
28
37
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
5
7
7
7
7
6
7
8
7
7
12
6
7
7
7
8
8
7
10
9
9
8
7
9
9
8
10
14
10
8
8
8
9
10
4
4
5
2
5
4
5
6
5
5
4
5
3
4
5
3
2
5
6
7
5
8
5
7
7
7
7
5
7
6
6
6
5
6
-1
-4
-6
-1
-5
-2
-2
-8
-5
-3
-4
-4
0
-2
0
-4
-2
1
-7
-9
-3
-9
-3
-4
-9
-7
-5
-5
-6
4
-4
2
-7
-5
8
5
6
7
8
11
9
5
9
7
9
10
8
6
15
0
3
9
7
7
8
11
12
10
7
11
8
10
12
9
8
15
2
4
2
0
1
0
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
4
-2
-1
3
2
2
2
4
3
3
4
3
4
3
3
4
5
5
-2
-2
24
28
29
27
28
28
25
25
25
25
26
25
25
26
29
27
27
27
29
30
28
29
30
27
26
28
26
28
27
28
30
30
28
29
38
Приложение 8
Рекомендуемые варианты для выполнения расчетов студентами
экономических специальностей
Таблица П5 − Статистическая информация о результатах производственной
деятельности организации
№ организации
Среднесписочная
численность работников, чел.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
162
156
179
194
165
158
220
190
163
159
167
205
187
161
120
162
188
164
192
130
159
162
193
158
168
208
166
207
161
186
Выпуск
продукции, млн.
руб.
36,45
23,4
46,540
59,752
41,415
26,86
79,2
54,720
40,424
30,21
42,418
64,575
51,612
35,42
14,4
36,936
53,392
41,0
55,680
18,2
31,8
39,204
57,128
28,44
43,344
70,720
41,832
69,345
35,903
50,220
Фонд заработной платы, млн.
руб.
11,340
8,112
15,036
19,012
13,035
8,532
26,400
17,100
12,062
9,540
13,694
21,320
16,082
10,465
4,32
11,502
16,356
12,792
17,472
5,85
9,858
11,826
18,142
8,848
13,944
23,920
13,280
22,356
10,948
15,810
Затраты на
производство
продукции,
млн. руб.
30,255
20,124
38,163
47,204
33,546
22,831
60,984
43,776
33,148
25,376
34,359
51,014
41,806
29,753
12,528
31,026
42,714
33,62
43,987
15,652
26,394
32,539
45,702
23,89
35,542
54,454
34,302
54,089
30,159
40,678
Среднегодовая
стоимость
ОПФ
34,714
24,375
41,554
50,212
38,347
27,408
60,923
47,172
37,957
30,21
38,562
52,5
45,674
34,388
16,0
34,845
46,428
38,318
47,59
19,362
31,176
36,985
48,414
28,727
39,404
55,25
38,378
55,446
34,522
44,839
По результатам выполнения лабораторной работы №16 с вероятностью 0,99
1. Постройте доверительные интервалы для математического ожидания,
дисперсии и среднего квадратического отклонения.
39
2.
3.
Проверьте гипотезу о нормальном законе распределения для изучаемой
выборочной совокупности.
Разбейте исходные данные на две равные части и для каждой из частей
проверьте гипотезы о равенстве средних и дисперсий.
Используемые в дальнейшем экономические показатели и их расчет:
− средняя заработная плата работников – отношение фонда заработной
платы к численности работников;
− фондоотдача – отношение стоимости произведенной продукции к
среднегодовой стоимости основных фондов;
− фондоемкость – отношение среднегодовой стоимости основных фондов
к стоимости произведенной продукции;
– фондовооруженность − отношение среднегодовой стоимости основных
фондов к среднесписочной численности работников;
− прибыль − разность между выпуском продукции и затратами на производство;
− выпуск продукции на одного работника −отношение выпуска продукции к среднесписочной численности работников;
− рентабельность ОПФ − отношение прибыли к средней стоимости ОПФ;
− рентабельность продукции − отношение прибыли к затратам на производство;
− рентабельность персонала − отношение прибыли к среднесписочной
численности работников;
− производительность труда − отношение выпуска продукции к среднесписочной численности работников.
ВАРИАНТЫ
вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
показатель
Среднесписочная численность работников
Выпуск продукции
Фонд заработной платы
Затраты на производство продукции
Среднегодовая стоимость ОПФ
Средняя заработная плата работников
Фондоотдача.
Фондоемкость
Фондовооруженность
Прибыль
Выпуск продукции на одного работника
Рентабельность ОПФ
Рентабельность продукции
Рентабельность персонала
Производительность труда