Первообразная и интеграл».

Неопределенный интеграл.
§1 Первообразная и неопределенный интеграл.
Как по данной функции f(х) найти такую функцию F(х), производная
которой равна данной функции.
Опр.1 Функция F(х) называется первообразной от функции f(х) если
выполняется равенство
F x   f x 
(1)
Например, x /3 является первообразной от функции x , т.к. (x3/3)’=x2.
Опр.2 Операция нахождения первообразной от функции f(х) называется
3
2
интегрированием этой функции и записывается в виде:  f x dx
Опр.3 Если F(х) является первообразной от f(х) и С - произвольная
константа, то выражение F(х) + С называется неопределенным интегралом от
функции f(x) и записывается:
 f x dx  F x   C
(2)
x3
C
Пример:  x dx 
3
2
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство
функций.
Свойства неопределенных интегралов.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, то есть
(  f x dx)  f x 
(3)
Доказательство:
(  f x dx)  2  ( F x   C )  F x   1  f x  ч.т.д.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, то есть
d (  f  x dx)  f  x dx

(4)






d
(
f
x
dx
)

f
x
dx
dx  3  f x dx ч.т.д.
Доказательство: 

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции плюс произвольная постоянная С, то есть
 dF x   F x   C
Доказательство: согласно определению дифференциала
(5)
 dF x    F ( x)dx  1   f x dx  2  F x   C ч.т.д.
Частный случай: F(x)=x, то  dx  x  C
4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме
(разности) интегралов от слагаемых функций:
 ( f x   f x )dx   f x dx   f x dx
1
2
1
(6)
2
Доказательство: рассмотрим левую часть равенства (6):













(
f
x

f
x
)
dx

1

F
x

F
x
dx   d F1 x   F2 x   5
2
2
 1
 1
 F1 x   F2 x   C
a 
а теперь рассмотрим правую часть равенства (6):
 f x dx   f x dx  2  F x   C  F x   C  F x   F x   C b
1
2
1
1
2
2
1
2
При условии, что С1+С2 = С. Сравнивая выражения (а) и (b), получаем
равенство (6) ч.т.д.
5. Константу можно выносить за знак интеграла:
 af x dx  a  f x dx
(7)
Доказательство:












af
x
dx

1

a
F
x
dx

aF
x
dx   d aF x   5  aF x   C1 



 aF x   C   (2)  a  f  x dx,
Табличные интегралы:
xa1
 C , а  1
1.  x dx 
a 1
dx
 ln x  C
2. 
x
ax
x
C
3.  a dx 
ln a
x
x
4.  e dx  e  C
a
5.  sin xdx   cos x  C
6.  cos xdx  sin x  C
dx
 cos2 x  tgx  C
dx
 ctgx  C
8. 
sin 2 x
7.
где С 
С1
а
dx
x
C
9. 
a
a2  x2
dx
1
x
 arctg  C
10.  2
2
a x
a
a
dx
1
ax

ln
C
11.  2
2
a x
2a a  x
dx
 ln x  x 2  a 2  C
12. 
x2  a2
 arcsin
Беря производные от функций, стоящих справа в этой таблице, мы будем
получать подынтегральные функции.
§2 Замена переменных.
Процесс интегрирования заключается в том, чтобы с помощью
тождественных преобразований данный интеграл свести к табличному
или комбинации табличных интегралов. Один из основных методов
интегрирования является метод замены переменных или подстановка.
Этот метод заключается в том, что путем введения новой переменной
t=f(x) данный интеграл сводится к табличному. Рассмотрим пример:
x2 1
t
t
t
t2
t 2  1 1
dx  
dx  
dt  
dt  
dt 

2 1
2 1
x
2
2
2
t
t
t 1
t 1 t 1
t 2 1
1
1

dt  
dt   dt  
dt  t  arctgt  C  x 2  1  arctg x 2  1 
2
2
2
t 1
t 1
t 1
C
В этом примере сделаны замены:
t 2  x 2  1,
   2 xdx
d x  5  2 xdx
d x  a   dx
d x
x  t 2  1, dx 
2t
dt
2
2 t 1
Подведение констант под знак интеграла.
2
2
Т.е. под знаком дифференциала можно прибавлять или отнимать любое
число.
Кроме того:
1
d b x  a   dx
b
Рассмотрим примеры:
1
1
1
1
 cos 2 x  3dx  2  cos 2 x  3d 2 x  3  2  cos tdt  2 sin t  C  2 sin 2 x  3  C
e
34 x dx   1 e34 x d 3  4 x    1 et dt   1 et  C   1 e 4 x3  C
4
4
4
4
Подведение функций под знак дифференциала.
Основано на определении дифференциала функции dy  ydx
xdx  1 dx 2
2
1
2. x 2dx  dx3
3
1 dx  d 1
3.
x
x2
1 dx  d ln x
4.
x
5. e x dx  de x
6. cos xdx  d sin x
7. sin xdx  d cos x
1 dx  dtgx
8.
cos 2 x
1 dx  dctgx
9.
sin 2 x
1 dx  d arcsin x  d arccos x
10.
1 x 2
1 dx  darctgx
11.
1 x 2
1.
Рассмотрим примеры:
d  x 2  3
xdx  1 
  1 dt  1 ln x 2  3  C
 2

2 t 2
x  3 2 x2  3
x 2dx  1 dx3  1 dt  1 arctgx3  C



1 x6 3 1 x6 3 1 t 2 3
dx
d ln x dt
 x ln x   ln x   t  ln ln x  C
e x dx  de x  dt  1 ln 1  e x  C



1 e2x 1 e2x 1 t 2 2 1 e x
6x
sin
5
5
5
 sin x cos xdx   sin xd sin x   t dt  6  C
3
1
tgx
tg 2 x
2
dx

tgx
dtgx

t
dt




 3 C
2
cos x
2
arcsin 3 xdx  arcsin 3 xd arcsin x  arcsin 4 x  C


4
2
1 x
§3 Интегрирование по частям.
Пусть даны две дифференцируемые функции u(x) и v(x), тогда
d(uv)=udv+vdu, проинтегрируем
 d uv   udv   vdu  по свойству 3 параграфа1
  udv  uv   vdu
Это формула интегрирования по частям:
∫udv = uv - ∫vdu
(1)
Интегрирование по частям применяется для определенных типов интегралов:
∫ xk sinax dx
∫ xk eax dx
∫ xk arctgax dx
∫ xk cosax dx
∫ xk lnax dx
∫ xk arcsinx dx
Где к и а—числа. Красным цветом отмечены функции, которые мы
принимаем за u.
Рассмотрим пример:
2
21
2
x
x
x
1
 x ln xdx  2 ln x   2 x dx  2 ln x   2 xdx 
2
2
2
 x ln x  1  xdx  x ln x  x  C,
2
2
2
4
2
где _ u  ln x, dv  xdx, du  1 dx, v  x
x
2
Примечание: формула интегрирования по частям может применяться 2 и
более раз. Кроме того, метод интегрирования по частям может совмещаться с
подведением под знак дифференциала. Рассмотрим примеры:
2 x
2 x
x
2 x 
x
x 
 x e dx  (1)   x e  2 xe dx   x e  2  xe   e dx  
 (2)  e  x x 2  2( xe  x  e  x  C ),
первый раз : u  x 2 , dv  e  x dx, du  2 xdx, v  e  x ,
второй раз : u  x, dv  e  x dx, du  dx, v  e  x .
arctg ln x
dx   arctg ln xd ln x   arctgtdt  tarctgt   tdt 
x
1 t 2
d (t 2  1)
1
 tarctgt  
 tarctgt  1 ln(1  t 2 )  C 
2 1 t 2
2
 ln xarctg ln x  1 ln1  (ln x) 2   C;
2 

u  arctgt, dv  dt, du  dt , v  t, tdt  1 d (t 2 ).
2
1 t 2

§4 Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен.
 (1) 
dx
1
dx
 
 ... выделяем полный квадрат
b
c
a
2
2
ax  bx  c
x  x
a
x2 
суммы или разности:
a
b
c 
b
b2  b2
c
x    x 2  2 x  2   2  
a
a 
2a
a
4a  4a
2
2
b 
c b2
b 


 x     2  x    K2
2a 
a 4a
2a 


b 

d x 

1
dx
1
b
2a 



....  
 
 x 
 t 
2
2
a 
a 
2a


b 
b 
2
2
x 
 K
x 
 K
2a 
2a 


1
dt
  2
""  10 табличный интеграл, ""  11 табличный интеграл.
a t  K2
Рассмотрим пример:
3

d x  
dx
1
dx
1
dx
1
2

 

2
 2 x 2  6 x  10  2  x 2  3x  5  2  2
3
9
9 2 
3
11

(x  2 * x  )  5 
x   
2
4
4
2
4

3
x
1 1
2 C

arctg
2 11
11
2
2
 (2) 
Ax  B dx  .... В числителе «лепим» производную от
ax 2  bx  c
знаменателя т.е.: 2ax+b
A
2ax  b  b   B
A
2ax  b
Ab 
dx

2
a
...  
dx 
dx   B 

 2
2
2

2a ax  bx  c
2a  ax  bx  c
ax  bx  c

dx


  2
вычисляем по (1), (ax 2  bx  c)  t  dt  (2ax  b)dx 
 ax  bx  c

A dt 
Ab 
A
Ab 


B 
ln ax 2  bx  c   B 
  (1) 
  (1)  C.

2a t 
2a 
2a
2a 

Рассмотрим пример:
3
2 x  4  4  5
3x  5
3
2x  4
dx
2
 x 2  4 x  8dx   x 2  4 x  8 dx  2  x 2  4 x  8dx  1 x 2  4 x  8 
3 dt
dx
3
1
x2
x 2  4 x  8  t , dt  2 x  4dx     2
 ln x 2  4 x  8  arctg
C
2 t
2
2
x  4x  8 2



(3) 
dx
ax 2  bx  c
(3a) a>0: аналогично (1)
1

a
dx
x2 
(3b) a<0:
b
c
x
a
a
1
1
dt
 t  K  12 табличный интеграл.
a
 (1) 
2
dt
2
 K  t  9 табличный интеграл.
a
2
2

(4) 
Ax  B dx Аналогично (2), в числителе надо получить
ax 2  bx  c
производную от квадратного трехчлена и разбить интеграл на сумму
(разность) двух интегралов, согласно (2):
1
A dt 
Ab 
A t2 
Ab 

B

*
(
3
)

B 


 * (3)  C.

2a
2a 
2a 1 
2a 
t 
2
§5 Интегрирование рациональных дробей.
Pm (x) и Qn (x) – многочлены.
Pm ( x) A0  A1x  A2 x 2  ...  Am x m

Qn ( x) B  B x  B x 2  ...  B x n
n
0 1
2
(1)
Интегрирование дроби (1) осуществляется путем разложения этой дроби на
сумму простейших дробей, тогда интеграл от дроби (1) разбивается на сумму
простых интегралов.
Различают три вида простейших дробей:
1)Простейшая дробь первого типа: с, а – константы
d ( x  a)
c
c
dx  c 
 c ln x  a – второй табличный интеграл.
, тогда 
xa
xa
xa
2) Простейшая дробь второго типа:
d ( x  a)
( x  a) k 1
c
c
, тогда 
– первый
dx  c 
c
k
k
k

k

1
( x  a)
( x  a)
( x  a)
табличный интеграл
3) Простейшая дробь третьего типа:
Cx  D
интегрируем согласно §4 (2). Корни знаменателя являются
2
x  px  q
комплексными (если бы они были действительные, то эта дробь
интегрировалась по 1) или 2) типу).
Примечание:
Дробь (1) должна быть правильной, то есть максимальная степень
числителя должна быть меньше максимальной степени знаменателя (m<n),
в противном случае (m  n) дробь (1) считается неправильной. В этом случае
необходимо выделить целую часть (в виде целой рациональной функции)
путем деления многочлен на многочлен (уголком).
Пример:
x 4  2 x 3  3x 2  4 x  2
... 
2
x  3x  2
_ x 4  2 x 3  3x 2  4 x  2 x 2  3x  2
x 4  3x 3  2 x 2 .......... ........ x 2  x  4  целая часть
_ x3  x 2  4x
x 3  3x 2  2 x
_ 4x 2  6x  2
4 x 2  12 x  8
6 x  6  остаток
...  x 2  x  4 
6x  6
x 2  3x  2
Правильная дробь (1) разбивается на сумму простейших дробей следующим
образом:
(Первый случай) Знаменатель дроби (1) имеет n различных
действительных корней, тогда этот знаменатель можно разложить на
множители:
Qn (x) = (х-а1)(х-а2)…(х-аn),
где а1, а2, аn– корни знаменателя.
В этом случае дробь (1) раскладывается на сумму простейших дробей
первого типа:
C
C
Pm ( x)
C
 1  2  ...  n
x  an
Qn ( x) x  a x  a
1
2
(2)
Для нахождения неизвестных С1 ,C2..Cn существует два метода:
(¤)Метод неопределенных коэффициентов.
C
C
x6
x6
1  2


x 2  3x  2 ( x  2)( x  1) ( x  2) ( x  1)
C ( x  1)  C ( x  2)
x6
2
 1
2
(
x

2
)(
x
 1)
x  3x  2
x  6  C ( x  1)  C ( x  2)
1
2
x  6  x(C  C )  C  2C
1
2
1
2
Согласно методу неопределенных коэффициентов, мы приравниваем между
собой коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа,
 С  1  C  1  С С  4
2
1
2 1
, тогда


6


С

2
С
С

5

 2
1
2
C
приравниваем и свободные члены:  1
x6
dx
dx
dx  4
 5
 4 ln x  2  5 ln x  1  C
 2
x

2
x

1
x  3x  2
(¤¤) Метод выборных значений x.
C
C
x6
x6
1  2


x 2  3x  2 ( x  2)( x  1) ( x  2) ( x  1)
x  6  C ( x  1)  C ( x  2)
1
2
при х  1:  5  C  C  5
2
2
при х  2 :  4  C  C  4.
1
1
(Второй случай) Знаменатель имеет n одинаковых действительных
корней, то есть он имеет один корень кратности n. В этом случае
знаменатель дроби (1) можно записать:
Qn(x) = (x - a) n
Тогда дробь (1) раскладывается на сумму простейших дробей первого и
второго типов:
C
C
Pm ( x)
1 
2  ...  Cn

Qn ( x) ( x  a) ( x  a) 2
( x  a) n
(3)
Пример:
C
C
C
x6
3 ,
2 
 согласно(3)  1 
( x  3) ( x  3) 2 ( x  3)3
( x  3)3
нахождение С1, С2 и С3 смотри (первый случай)
x  6  C1( x  3) 2  C2 ( x  3)  C3
(Третий случай) Знаменатель имеет n только комплексных корней.
Знаменатель Qn(x) можно представить так:
n
Qn( x)  ( x 2  p x  q )( x 2  p x  q )...( x 2  pt x  qt ), где t 
1
1
2
2
2
В этом случае вся дробь (1) представляется в виде суммы простейших
дробей третьего типа:
C xD
C xD
Pn ( x)
1
1
2
2  ...  Ct x  Dt


Qn( x) x 2  p x  q x 2  p x  q
x 2  pt x  qt
1
1
2
2
(C x  D ) (C x  D )
( x  3)
1  2
2
 1
( x 2  2)(x 2  1)
( x 2  1)
( x 2  2)
( x  3)  (C x  D )(x 2  2)  (C x  D )( x 2  1)
1
1
2
2
Находим неизвестные коэффициенты методом неопределенных
коэффициентов:
( x  3)  (C  C ) x3  ( D  D ) x 2  x(2C  C )  2D  D
1
2
1
2
1
2
1
2
Коэффициенты при одинаковых степенях x приравниваются слева и
справа между собой:
C  C  0  C  1
2
1
 1
D  D  0  D  3
 1
2
1

2C1  C2  1  C2  1

2 D1  D2  3  D2  3

( x  3)
x3
x3


( x 2  1)( x 2  2) ( x 2  1) ( x 2  2)
(Четвертый случай) Комбинированный случай. Знаменатель имеет
различные и кратные действительные, а также мнимые корни. В этом
случае дробь (1) раскладывается на сумму простейших дробей всех трех
типов по формуле, представляющей собой комбинацию первых трех
пунктов.
Пример:
1
 4 dx...... 
x 1
C xD
C
C
1
1
1


 1  2  3
x 4  1 ( x 2  1)( x 2  1) ( x  1)( x  1)( x 2  1) ( x  1) ( x  1) ( x 2  1)
1  C ( x  1)( x 2  1)  C ( x  1)( x 2  1)  (C x  D)( x  1)( x  1)
1
2
3
1
x 1 C 
1 4
1
x  1  C  
2
4
1
x 0 D 
2
x 2C 0
3
1 dx
1 dx
1 dx
1
1
1
....  
 
 
 ln x  1  ln x  1  arctgx  C
4 ( x  1) 4 ( x  1) 2 x 2  1 4
4
2
§6 Интегрирование простейших иррациональностей.
l n
r
p
m
1)  R( x, x , x ,......, x s )dx , используется подстановка х =tk,
l n r
где k общий знаменатель дробей , ... , тогда dx  kt k 1dt .
m p s
Пример:
x  t 6 , dx  6t 5 dt
8
x
t3
5 dt  6 t dt... 
dx

6
t
3
 2
 2
x 2
t 2
t 2
.
После деления уголком
.  6 (t 6  2t 4  4t 2  8 
16
)dt 
t2  2


16
 6  t 6 dt  2 t 4 dt  4 t 2 dt  8 dt  
dt  
t2  2 

 t7

t5
t3
16
t

 6  2  4  8t 
arctg
 C  
7
5
3
2
2


5
3
1
 7

1
 6

x
x6
x6
16
x6

6
 6
2
4
 8x 
arctg
 C 
7
5
3
2
2




n
l
r
m
2) ∫ P( x, (ax  b) , (ax  b) p ,...., (ax  b) s )dx , используется подстановка
ах+b = tk, x=
k
tk b
, dx  t k 1dt
a
a
где k общий знаменатель дробей
l n r
, ... .
m p s
§7 Интегрирование тригонометрических функций.
1) Универсальная тригонометрическая подстановка: t  tg
x,
2
применяется для всех интегралов вида  R(sin x, cos x)dx .
Однако данная подстановка является довольно громоздкой, поэтому ее
рекомендуется использовать только для интегралов вида:
dx
 a sin x  b cos x  c
Выразим Sinx , Cosx и dx через t.
2 sin x cos x
2tg x
2
2 
2  2t
sin x 
sin 2 x  cos 2 x tg 2 x  1 1  t 2
2
2
2
2
cos2 x  sin 2 x 1  tg x 1  t 2
2
2
2
cos x 
x
x
x
1 t 2
cos2  sin 2
1  tg 2
2
2
2
x  2arctgt
dx  2 dt
1 t 2
Рассмотрим пример:
x
1

tg
2
(1  t )2
dx
2 C
dt  2 dt  ln 1  t  C  ln
 cos x  
1 t
(1  t 2 )(1  t 2 )
(1  t 2 )
1  tg x
2
2)  R(sin x) cosn xdx   R(sin x) cosn1 x cos xdx ,
n- целое нечетное число.
t  sin x , dt  cos xdx
cos 2 x  1  sin 2 x  1  t 2
Рассмотрим пример:
6
3
6
2
6
2
 sin x cos xdx   sin x cos x cos xdx   t (1  t )dt 
7 t9
7 x sin 9 x
t
sin
6
8
  t dt   t dt    C 

C
7 9
7
9
3)  R(cos x) sin n xdx   R cos x sin n1 x sin xdx ,
n- целое нечетное число.
t  cos x , dt   sin xdx
sin 2 x  1  cos 2 x  1  t 2
Рассмотрим пример:
sin 3 x dx  sin 2 x sin xdx   1  t 2 dt 


 6
cos6 x
cos6 x
t
5 3
(cos x) 5 (cos x) 3
  t 6dt   t 4dt   t  t  C 

C
5 3
5
3
Примечание: в случае  sin m x cos n xdx , когда m и n- целые нечетные
числа, используем любой метод (за основу берем тот случай, где степень
меньше).
4)  sin m x cos n xdx , где m и n-натуральные четные числа.
Используются формулы понижения степени:
cos 2 x  1  cos 2 x
2
Рассмотрим пример:
sin 2x  1  cos 2 x
2
(1  cos 2 x)(1  cos 2 x)
2
2
dx  1  (1  cos 2 2 x)dx 
 cos x sin xdx  
4
4


 1  1  cos 4 xdx  1  dx   cos 4 xdx  1  x  1 sin 4 x   C
4
2
8
8 4

5)
 R(tgx)dx
t  tgx
x  arctgt
dx  dt
1 t 2
 R(ctgx)dx
t  ctgx
или
x  arcctgt
dx   dt
1 t 2
Примечание: если интеграл имеет вид  R(tgx, ctgx)dx ,
то этот интеграл сводится к одному из вышепредставленных с помощью
формулы tgx 
1
ctgx
Рассмотрим пример:
t 3 dt   t  t dt  tdt  tdt  tdt  1 d (t 2  1) 






2  t 2 1
1 t 2
1  t 2 
1 t 2

2 1 2
tg 2 x 1
t
  ln t  1  C 
 ln tg 2 x  1  C
2 2
2
2
tg 3 xdx 
R (cos m x)
R (sin m x)
1
6) 
dx или  1
dx , где m и n – целые четные
n
R (sin x)
R (cos n x)
2
2
числа (включая случай, когда одно из них равняется нулю).
Подстановка:
t  tgx
cos 2 x 
1
 1
1  tg 2 x 1  t 2
2
sin 2 x  1  cos 2 x  1  1  t
1 t 2 1 t 2
dx  dt
1 t 2
Рассмотрим пример:
dx
1
dt  (1  t 2 ) dt  1 arctg tgx  C




2
2
2  sin 2 x 2  t 2 1  t 2
2  t 2 (1  t 2 )
1 t 2
7)  cos mxcos nxdx ;  sin mxsin nxdx ;  sin mxcos nxdx ;
cos mx cos nx  1 cosm  nx  cos(m  n) x
2
sin mx sin nx  1 cosm  nx  cos(m  n) x
2
sin mx cos nx  1 sin m  nx  sin( m  n) x
2
Рассмотрим пример:
1
1
1 sin 5x 1 sin 11x
 sin 8x sin 3xdx  2  cos 5xdx  2  cos11xdx  2 5  2 11  C