Виды напряженного состояния 1. 2. 3. 4. 5.

ТАШКЕНТСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ
ИРРИГАЦИИ И МЕХАНИЗАЦИИ
СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
Предмет
Сопротивление материалов
тема
03
Общие сведения о напряженном состоянии тела
их виды. Линейное, плоское и объемное
напряженные состояния.
Кафедра: Механика и компьютерное
моделирование
доцент Э.Тошматов
ПЛАН:
❖ Напряженное и деформированное состояние
в точке
❖ Виды напряженного состояния
❖ Закон постоянства суммы нормальных напряжений
❖ Обобщенный закон Гука
Напряженное и деформированное
состояние в точке
y
y
y
 yz
Тензор
напряжений
 yx
 xy
 zy
A
z
x
x
x
z
 zx
 xz
  x  xy  xz 


( ) =  yx  y  yz 




zy
z 
 zx
z
Индексы при напряжениях проставляются по следующему
правилу первый индекс
указывает, какой оси параллельна
нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения,
второй индекс показывает, какой
оси параллельно данное
напряжение.
Нормальные напряжения, действующие на главных площадках,
называются главными напряжениями.
Направления параллельные главным напряжениям называются
главными направлениями
Главные напряжения принято обозначать 1,2 и 3, при этом
индексы расставляются лишь после того, как эти напряжения
вычислены, так чтобы выполнялись алгебраические неравенства
1   2   3
Для данной точки тела 1 – наибольшее, а 3 – наименьшее, в
алгебраическом смысле, нормальное напряжение. Напряжение 2 это промежуточное главное напряжение
Для данной точки тела 1 – наибольшее, а 3 – наименьшее, в
алгебраическом смысле, нормальное напряжение. Напряжение 2 это промежуточное главное напряжение
При обработке результатов эксперимента были получены
следующие значения главных напряжений: -500 МПа, 300 МПа и –
600 МПа. Выберем обозначения для вычисленных напряжений.
300  −500  −600
1   2   3
Виды напряженного состояния
Вид напряженного состояния зависит от числа главных напряжений.
Если на элемент действуют три главных напряжения (10;
20;30), объемным напряженное состояние.
Если на элемент действуют два главных напряжения (10;
20;3=0 или 10; 2=0;3  0 или 1=0; 20;3 0 ), то такое
напряженное состояние называется плоским.
Если на объем действует одно главное напряжение (10;
2=0;3=0 или 1=0; 2=0;3  0) то такое напряженное состояние
называется линейным.
0 0 0 


( ) =  0 0 0 
0 0  
1

Виды напряженного состояния
Объемное НС
1
2
Линейное НС
Плоское НС
1
3
2
1
2
2
3
1
1
1
Тензор напряжений
 1 0

( ) =  0  2
0 0

0

0
 3 
0
0 0


( ) =  0  1 0 
0 0  
2

Линейное напряженное состояние
Линейным называется напряженное состояние при котором действует только
одно главное напряжение
1
Сжатие
Растяжение
n

3
1

1

3
1
1
  =  1  cos 
2
  =  3  cos 
2
и
и
 =
 =
1
2
3
2
 sin 2
при
растяжении
 sin 2
при
сжатии
Плоское напряженное состояние
Плоским, называется напряженное состояние при котором
выделенного элемента действуют два главных напряжения
Нормальные напряжения в наклонной площадке
грани
  =  1  cos 2  +  2  sin 2 
  =  1  sin  +  2  cos 
2
на
2
Касательные напряжения в наклонной площадке
 − 2
 − 2
 = 1
 sin 2
и
 = − 1
 sin 2
2
Двухосное растяжение
1
2
2
Разноименное плоское
напряженное состояние
1
3
3
2
2
3
1
Двухосное сжатие
3
1
2
Закон постоянства суммы нормальных напряжений
  =  1  cos 2  +  2  sin 2 
  =  1  sin 2  +  2  cos 2 
  +   = ( 1  cos 2  +  2  sin 2  ) + ( 1  sin 2  +  2  cos 2  ) =  1 +  2
На двух взаимно перпендикулярных площадках сумма нормальных
напряжений величина постоянная, которая не зависит от положения
выбранных площадок.
d 
= −2 1 cos  sin  + 2 2 sin  cos  = −( 1 −  2 )sin 2 = 0
d
 =   = 1 =  2 ;
  =   = 0;
Главные напряжения являются экстремальными
нормальных напряжений для выбранной точки.

м акс
=  1;

м иним ум
=2
значениями
Закон парности касательных напряжений
1 − 2
1 − 2
 =
 sin 2
и
 = −
 sin 2
2
2
  = − 
Если по какой-либо площадке действует касательное напряжение, то
по перпендикулярной к ней площадке
непременно будет
действовать касательное напряжение равное ему по величине и
противоположное по знаку.
Максимальные касательные напряжения действуют по площадкам,
расположенным под углом в 450 к главным площадкам

м акс
=
1 − 2
2
Плоское напряженное состояние (обратная задача)
 + 
1
2
2
(  −   ) + 4  ;
1 =
+
2
2
 +  1
2
2
(  −   ) + 4 
2 =
−
2
2

tg 0 = −
1 −  
Объемное напряженное состояние
Когда ни одно из главных напряжений не равно нулю, то такое напряженное
состояние называется объемным.
2
2
2
  =  1 cos 1 +  2 cos  2 +  3 cos  3 ;
  =  12 cos 2 1 +  22 cos 2  2 +  32 cos 2  3 −  2
2
3
II
III
1
1
3
I
2
На площадках параллельных одному из главных
напряжений величины действующих напряжений не
зависят от величины этого главного напряжения.
Наибольшее касательное напряжение будет
действовать на площадке параллельной главному
напряжению 2 и наклоненной под углом в 450 к
двум другим главным напряжениям 1 и 3.
 макс =
1 −  3
2
Обобщенный закон Гука
1

 1 =  1 −  ( 2 +  3 ); 
Е

1

 2 =  2 −  ( 1 +  3 );
Е

1

 3 =  3 −  ( 1 +  2 ) 
Е

Тензор деформаций
 1 0

( ) =  0  2
0 0

0

0
 3 
 x

( ) =   yx

 zx
 xy  xz 

 y  yz 

 zy  z 
ЛИТЕРАТУРА
1.Дарков А.В., Шапиро Г.С. Сопротивление материалов. − М.: Высшая
школа, 1975. − 654 с.
2.Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление
материалов с основами теории упругости и пластичности. − М.: АСВ,
1995. − 572 с.
3.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов. − М.: Высшая школа, 1995. − 560 с.
4.Минин Л.С., Окопный Ю.А., Радин В.П., Хроматов В.Е. Сборник задач
по курсу «Механика материалов и конструкций».- М.: МЭИ, 1998. - 303 с.
5.Смирнов А.Ф. и др. Сопротивление материалов. − М.: Высшая школа,
1975. − 480 с.
6.Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и
пластичности. Основы теории с примерами расчетов. − М.: АСВ, 1998. − 240с.
7.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. − М.: Наука, 1970. − 544с.