Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ
§1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Учебные вопросы
Алгебраические операции и их свойства. Алгебры.
Группоиды. Понятие изоморфизма.
Полугруппы и группы.
Кольца и поля.
1.
2.
3.
4.
Введение
Алгебраические методы описания моделей находят широкое применение при формализации различных предметных областей. Грубо говоря, при построении модели предметной
области все начинается с введения подходящих обозначений для операций и отношений с
последующим исследованием их свойств. Владение алгебраической терминологией, таким
образом, входит в арсенал средств, необходимых для абстрактного моделирования.
Алгебраические структуры являются основными математическими моделями для программного и аппаратного обеспечения компьютеров.
Вопрос 1. Алгебраические операции и их свойства. Алгебры
Пусть А – произвольное множество и nN.
О.1.1. Декартовой n-й степенью множества А называется множество A n , состоящее
из всевозможных упорядоченных наборов длины n элементов из А:
A n a 1 , a 2 ,..., a n : a i A, i 1,2,..., n.
Декартов квадрат: A 2 a , b : a A, b A.
Пример 1. Для множества А = {1,2,3} получим
А2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.
О.1.2. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве А называется
произвольное правило f, которое любой упорядоченной паре (а,b) элементов множества А
сопоставляет вполне определенный элемент с из того же множества А.
Другими словами, бинарная алгебраическая операция на множестве А есть отображение А² в А, т.е. f : A 2 A .
f
Обозначение: f(а,b) = с или (a , b)
c.
Аналогично определяется n-арная алгебраическая операция на множестве А (как
отображение A n в А).
Далее будем рассматривать только бинарные алгебраические операции, называя их
просто операциями.
Пример 2.
1. Операция + на множествах N, Z, Q, R алгебраическая.
2. Операция – на множествах Z, Q, R алгебраическая, а на множестве N – нет.
1
Если при записи операции используется знак «+», то операция называется аддитивной,
а если используется знак «•», то – мультипликативной.
В общем случае операция обозначается знаком .
О.1.3. Операция на множестве А называется:
1) ассоциативной, если для а,b,сА: (а b) с = а (b с);
2) коммутативной, если для а,bА: а b = b а.
Пример 3. На множестве R операция + коммутативна и ассоциативна.
О.1.4. Алгебраической структурой (алгеброй) называется упорядоченная пара А; ,
где А – непустое множество, ‒ множество операций на А.
Таким образом, алгебра – это непустое множество, на котором задана система операций.
Основные алгебры условно можно разделить на три группы:
с одной внутренней бинарной операцией (группоиды, полугруппы, группы);
с двумя внутренними бинарными операциями (кольца, поля);
с внешними операциями (линейные алгебры, полные матричные алгебры, векторные пространства).
Рассмотрим основные алгебры с одной и двумя внутренними бинарными операциями.
Вопрос 2. Группоиды. Понятие изоморфизма
Группоиды
О.2.1. Непустое множество G с одной бинарной алгебраической операцией называется
группоидом.
Обозначение: G; .
О.2.2. Группоид G; называется ассоциативным (коммутативным), если операция
ассоциативна (коммутативна).
Пример 4. Z; + – ассоциативный и коммутативный группоид.
В некоторых группоидах могут существовать так называемые нейтральные элементы.
О.2.3. Элемент е группоида G; называется нейтральным, если для аG:
а е = е а = а.
О.2.4. Элемент а' группоида G; с нейтральным элементом е называется симметричным для элемента аG, если а' а = а а' = е.
Если операция есть умножение •, то е = 1 – единичный элемент (единица); а' = а 1 –
обратный элемент к а.
Если операция есть сложение +, то е = 0 – нулевой элемент (нуль); а' = – а – противоположный элемент к а.
2
Понятие изоморфизма
При изучении множеств с операциями, в частности группоидов, в алгебре обращают
внимание лишь на их свойства, которые обусловлены определенными на них операциями, и
не интересуются свойствами, обусловленными природой их элементов.
Алгебры, «устроенные одинаково» с точки зрения операций, т.е. отличающиеся лишь
природой и обозначениями элементов и обозначением операций, называются изоморфными.
Приведем точное определение изоморфизма группоидов.
О.2.5. Группоиды G; и Н; ◦ называются изоморфными, если существует биективное отображение φ: G→Н, которое сохраняет групповую операцию, т.е. для а,bG:
φ(а b) = φ(а) ◦ φ(b).
(1)
При этом отображение φ называется изоморфизмом группоида G; на группоид
Н; ◦.
Обозначение: G; ≅ Н; ◦.
Отображение φ играет роль переобозначения элементов.
Пример 5. Группоиды R+; · и R; + изоморфны. В качестве биективного отображения φ можно взять φ: R+→ R, по которому φ(а) = ln а. Известное основное свойство логарифма
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
как раз моделирует условие изоморфизма.
Если операции в группоидах обозначаются одинаково (например, ), то условие изоморфизма (1) принимает вид
φ(а b) = φ(а) φ(b).
В этом случае говорят, что отображение φ является изоморфизмом относительно операции .
В алгебре, изучающей множества лишь с точки зрения свойств операций, изоморфные
группоиды попросту не различают, т.е. изучают группоиды (да и другие множества с операциями) лишь с точностью до изоморфизма. Это объясняется тем, что при изоморфизме сохраняются все свойства группоидов, обусловленные операциями.
Вопрос 3. Полугруппы и группы
О.3.1. Ассоциативный группоид G; называется полугруппой.
О.3.2. Полугруппа G; называется коммутативной, если операция коммутативна.
Пример 6. ; + – коммутативная полугруппа.
Из всех группоидов наибольшую роль в математике и ее приложениях играют группы.
О.3.3.Группоид G; называется группой, если выполнены условия (аксиомы):
1. Операция ассоциативна.
2. В G; существует нейтральный элемент е.
3. Для каждого элемента аG существует симметричный к нему элемент а'G.
3
О.3.4. Группа G; называется коммутативной или абелевой, если операция коммутативна.
Пример 7.
1. Z; + – аддитивная абелева группа.
2. R\{0}; · – мультипликативная абелева группа.
Свойства групп
1. В группе существует единственный нейтральный элемент.
2. Каждый элемент группы имеет единственный симметричный элемент.
3. В любой группе G; для любых элементов а,bG однозначно разрешимы уравнения
а х = b, у а = b.
О.3.5. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если оно
само является группой относительно алгебраической операции в G.
Пример 8.
1. Простейшими (тривиальными) подгруппами любой группы являются ее
нейтральный элемент и сама группа.
2. Z 2n ; + ‒ подгруппа группы Z; +, где Z 2n ‒ множество четных чисел.
Изоморфизм групп определяется аналогично.
Вопрос 4. Кольца и поля
Кольца
Из алгебр с двумя бинарными операциями наиболее важными являются так называемые
кольца и поля.
О.4.1. Кольцом называется произвольное непустое множество К с двумя бинарными
алгебраическими операциями сложения + и умножения ·, удовлетворяющее условиям (аксиомам):
1. К; + – абелева группа.
2. К; · – полугруппа.
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для а,b,сК справедливы равенства:
а·(b + с) = а·b + а·с, (b + с)·а = b·а + с·а.
При этом группа К; + называется аддитивной группой кольца.
Определенное таким образом кольцо будем обозначать К;+,· или К.
О.4.2. Кольцо К; +,· называется:
1) коммутативным, если операция умножения · коммутативна;
2) кольцом с единицей, если оно содержит нейтральный элемент по умножению.
Пример 9.
1. Множества Z, Q, R с обычными операциями сложения и умножения образуют
коммутативные кольца с единицей (числовые кольца).
4
2. Множество Z 2n с теми же операциями образует коммутативное кольцо без
единицы.
Свойства колец
1. В кольце К; +,· всегда разрешимо уравнение а + х = b, где а,bК, т.е. в кольце выполняются три операции: +, − и · .
2. В кольце имеют место следующие правила оперирования со знаками:
(+) · (+) = (+),
(+) · (−) = (−),
(−) · (+) = (−),
(−) · (−) = (+).
3. Для а,bК: если а = 0 или b = 0, то а · b = 0. Обратное утверждение не всегда имеет
место.
О.4.3. Если а · b = 0 при а 0 и b 0, где а,bК, то а называется левым, а b – правым
делителем нуля (в коммутативных кольцах говорят просто о делителях нуля).
О.4.4. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью
целостности.
Все числовые кольца Z, Q, R являются областями целостности.
В кольце с единицей особо выделяются обратимые элементы.
О.4.5. Элемент а кольца К с единицей называется обратимым, если для него в К существует обратный элемент а 1 .
Т.4.1. Множество всех обратимых элементов кольца К с единицей образует группу относительно операции умножения. Данная группа называется мультипликативной группой
кольца К.
Т.4.2. В любом кольце К множество обратимых элементов и множество делителей нуля
не пересекаются.
Поля
Одним из наиболее важных для всей математики классов колец является класс так
называемых полей.
О.4.6. Полем Р называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором любой ненулевой элемент обратим.
Пример 10.
1. Кольца Q, R являются полями (числовые поля).
2. В качестве примера нечислового поля построим множество из двух элементов
0, е с операциями сложения и умножения, заданными таблицами:
0 е
0 е
0 0 е
0 0 0
е е 0
е 0 е
Множество {0,е} с указанными операциями образует поле с нулем 0 и единицей е
(поле Галуа GF(2)).
5
Свойства полей
1. Поле обладает всеми свойствами коммутативного кольца с единицей.
2. Поле является областью целостности (не содержит делителей нуля).
Если а·b = 0, то а = 0 или b = 0.
3. Множество ненулевых элементов поля образует абелеву мультипликативную группу.
4. Если а,b – элементы поля Р и а 0, то уравнение а · х = b имеет единственное решение
в Р.
О.4.7. Подкольцом (подполем) кольца К (поля Р) называется любое подмножество М
множества К (множества Р), которое замкнуто относительно операций +, · и является кольцом (полем) с этими операциями.
Пример 11.
1. Кольцо Z – подкольцо кольца Q.
2. Кольцо Z – подкольцо, но не подполе поля Q.
3. Поле Q – подполе поля R.
О.4.8. Два кольца К и К′ (поля Р и Р′) называются изоморфными, если существует биективное отображение φ: К→К′ (φ: Р→Р′), сохраняющее операции, т.е. для а,bК (а,bР):
φ(а + b) = φ(а) + φ(b), φ(а·b) = φ(а)·φ(b).
Изоморфные кольца (или поля) могут отличаться друг от друга только природой своих
элементов, но они тождественны по своим алгебраическим свойствам.
Заключение
Изученные алгебраические структуры или алгебры имеют фундаментальное прикладное значение в области математических моделей различных информационных процессов, в
частности в теории связи, передачи информации, кодирования, криптографии и т.п.
6
