ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
На правах рукописи
Лапина Анастасия Павловна
РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ
ИЗГИБА БАЛОК ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С
УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
2.1.9. Строительная механика
Диссертация
на соискание учёной степени кандидата технических наук
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Батыр Меретович Языев
Ростов-на-Дону — 2021
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение....................................................................................................................... 4
Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи ................................................ 11
1.1 Обзор публикаций по теории и методам расчета балок на боковое
выпучивание ............................................................................................... 11
1.2 Обзор экспериментальных исследований по боковому выпучиванию
балок ............................................................................................................ 21
1.3 Выводы по главе ......................................................................................... 23
Глава 2. Устойчивость плоской формы изгиба упругих балок ........................ 24
2.1 Боковое выпучивание идеальных балок постоянного поперечного
сечения ........................................................................................................ 24
2.1.1 Случай шарнирно закрепленной по концам балки под действием
равномерно распределенной нагрузки .................................................. 26
2.1.2 Консольная балка под действием нагрузки, распределенной
равномерно и по треугольному закону ................................................. 32
2.1.3 Шарнирно опертая по концам балка под действием
сосредоточенной силы ........................................................................... 37
2.2 Боковое выпучивание идеальных балок переменного поперечного
сечения ........................................................................................................ 43
2.3 Боковое выпучивание балок с учетом начальных несовершенств .......... 48
2.4 Выводы по главе ......................................................................................... 53
Глава 3. Кручение брусьев некруглого поперечного сечения из физически
нелинейного материала ........................................................................................... 55
3.1 Кручение вязкоупругого бруса некруглого поперечного сечения .......... 55
3.2 Конечно-элементная реализация задачи о кручении вязкоупругого
бруса ............................................................................................................ 59
3
3.3 Решение тестовых задач ............................................................................. 63
3.3.1 Кручение полимерного бруса прямоугольного поперечного
сечения .................................................................................................... 63
3.3.2 Релаксация напряжений в закрученном полимерном брусе ........... 68
3.3.3 Кручение деревянного бруса прямоугольного сечения с учетом
ползучести ............................................................................................... 71
3.4 Приближенная методика расчета на ползучесть для узких
прямоугольных сечений ............................................................................. 72
3.5 Кручение бруса прямоугольного сечения из упругопластического
материала .................................................................................................... 75
3.6 Выводы по главе ......................................................................................... 80
Глава 4. Устойчивость плоской формы изгиба балок с учетом физической
нелинейности ............................................................................................................ 82
4.1 Вывод разрешающих уравнений ............................................................... 82
4.2 Методика расчета ....................................................................................... 84
4.3 Решение тестовых задач ............................................................................. 87
4.3.1 Устойчивость полимерной балки при ползучести........................... 87
4.3.2 Устойчивость деревянной балки при ползучести ............................ 92
4.4 Выводы по главе ......................................................................................... 96
Заключение ............................................................................................................... 97
Список литературы ................................................................................................. 99
Приложение А. Программы расчета на ЭВМ .................................................... 109
Приложение Б. Внедрение результатов диссертационной работы ................. 113
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы исследования. Анализ несущей способности любых
конструкций помимо расчета на прочность и жесткость должен включать проверку
устойчивости как в целом системы, так и ее элементов в отдельности. Для
строительной отрасли это особенно актуально, так как потеря устойчивости
происходит внезапно, зачастую при напряжениях существенно ниже предела
прочности материала, а также может приводить к значительным разрушениям.
Во многих строительных конструкциях применяются балки постоянной
жесткости. С целью снижения материалоемкости целесообразно использовать
элементы переменной по длине геометрии. При конструировании элементов
сплошного прямоугольного сечения стремятся к наименьшему отношению
ширины балки к высоте, из чего следует необходимость проверки на устойчивость
плоской формы изгиба. Наиболее актуально это для дощатоклееных балок,
поскольку древесина отличается низким модулем сдвига, и плохо работает на
кручение.
Кроме того, в настоящее время все большее распространение получают
конструкции из полимерных композиционных материалов, для которых также
характерен низкий модуль сдвига.
Многие материалы, включая дерево, полимеры и композиты на полимерной
основе, характеризуются явно выраженными реологическими свойствами, которые
могут существенно влиять на устойчивость элементов конструкций. Таким
образом,
имеется необходимость в более точной формулировке
задачи
устойчивости плоской формы изгиба балок с учетом физической нелинейности,
обусловленной ползучестью материала.
Степень
нелинейного
разработанности
расчета
а
также
проблемы.
анализа
Вопросами
устойчивости
геометрически
плоской
формы
деформирования балочных конструкций занимались многие отечественные и
зарубежные исследователи, в том числе Л. Прандтль, С.П. Тимошенко,
А.С. Вольмир, Ф. Блейх, А.Р. Ржаницын. Существует сравнительно немного
5
публикаций, в которых рассматриваются балки переменного сечения, например,
работы А.А. Журавлева и А.А. Карамышевой. Довольно редко при расчете на
устойчивость плоской формы изгиба учитывается физическая нелинейность, и в
основном, как правило, рассматривается нелинейная зависимость между
напряжениями и мгновенными деформациями без учета эффекта времени.
Вопросы бокового выпучивания балок в условиях ползучести остаются
незатронутыми. Экспериментальные исследования показывают значительное
отклонение теоретических величин критических нагрузок от экспериментальных,
вероятно связанные с неучтенными начальными несовершенствами и работой
материала за пределами упругости.
Цель работы: разработка методов расчета балок на устойчивость плоской
формы изгиба в условиях ползучести с учетом переменной жесткости и начальных
несовершенств.
Задачи исследования:
- разработка алгоритма расчета упругих идеальных балок постоянной и
переменной жесткости на устойчивость плоской формы изгиба с учетом
вертикального смещения нагрузки относительно центра тяжести поперечного
сечения;
- получение разрешающих уравнений и разработка алгоритма расчета на
боковое выпучивание упругих балок постоянной и переменной жесткости с
начальными несовершенствами;
- получение зависимостей между углом закручивания и крутящим моментом,
соотношений между углом закручивания и напряжениями для бруса некруглого
поперечного сечения из вязкоупругого материала, а также материала с нелинейной
зависимостью между напряжениями
и мгновенными деформациями при
закручивании;
- построение разрешающих уравнений и разработка алгоритма их решения
для расчета на боковое выпучивание вязкоупругих балок с учетом переменной
жесткости и начальных несовершенств.
6
Постановка первых двух задач обоснована тем, что для некоторых
материалов возможен переход от решения упругой задачи к решению задачи с
учетом ползучести при замене упругих характеристик материала на введенные
определенным образом длительные характеристики.
Научная новизна работы:
– разработан итерационный алгоритм определения критической нагрузки для
упругих идеальных балок при приложении нагрузки с вертикальным смещением
относительно
центра
тяжести
поперечного
сечения,
состоящий
в
последовательном решении обобщенных вековых уравнений с корректировкой
параметра, соответствующего критической нагрузке;
– впервые получено разрешающее уравнение для анализа бокового выпучивания
балок из идеализированного материала с начальными неправильностями в виде
эксцентриситета приложения нагрузки, начальной погиби в плоскости наименьшей
жесткости и начального угла закручивания;
– установлены зависимости между углом закручивания и крутящим моментом,
соотношения между углом закручивания и напряжениями для бруса некруглого
поперечного сечения из вязкоупругого материала, а также материала с нелинейной
зависимостью между напряжениями
и мгновенными деформациями при
закручивании;
– впервые получена группа дифференциальных уравнений для расчета бокового
выпучивания балки переменной жесткости из вязкоупругого материала с учетом
начальных несовершенств, и разработан алгоритм их решения;
– предложен новый критерий для определения критического времени, основанный
на особенностях изменения во времени нормальных напряжений.
Теоретическая значимость работы:
– установлены ранее не изученные закономерности изменения напряженнодеформированного состояния в процессе ползучести и релаксации в вязкоупругих
брусьях некруглого поперечного сечения при кручении;
– выявлены ранее не исследованные особенности изменения во времени
напряжений при боковом выпучивании балок в условиях ползучести;
7
– установлено, что для балок из упругоползучего материала начальные
несовершенства существенно влияют на критическое время при боковом
выпучивании.
Практическое значение работы: для различных вариантов закрепления и
нагружения балок определен поправочный коэффициент к величине критической
нагрузки, учитывающий приложение нагрузки над или под центром тяжести;
введена величина длительной критической нагрузки при боковом выпучивании
балок с учетом ползучести; разработан пакет прикладных программ в среде Matlab
для расчета упругих и вязкоупругих балок на боковое выпучивание с учетом
переменной жесткости и начальных несовершенств, позволяющий использовать
произвольные законы ползучести.
Методы исследования. В основе исследования лежат современные методы
строительной механики и теории упругости. Исследование базируется на
численном моделировании с применением метода конечных разностей и метода
конечных элементов. Вычисления производились с использованием современных
ПЭВМ и пакета
MatLab. Выполнялось сравнение результатов с решением в
программном комплексе ЛИРА-САПР.
Основные положения, выносимые на защиту:
– алгоритм расчета идеальных упругих балок постоянного и переменного сечения
на устойчивость плоской формы изгиба;
– разрешающее уравнение и алгоритм расчета на боковое выпучивание упругих
балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств;
– разрешающие уравнения и алгоритм определения напряжений при закручивании
брусьев некруглого поперечного сечения с учетом ползучести;
–
решение
задачи
о
закручивании
бруса
прямоугольного
сечения
из
упругопластического материала;
– разрешающие уравнения и алгоритм расчета на боковое выпучивание
вязкоупругих балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных
несовершенств;
8
– результаты теоретического исследования бокового выпучивания балок при
ползучести, понятие длительной критической нагрузки, критерий устойчивости
при ползучести для изгибаемых элементов.
Достоверность полученных результатов обеспечивается:
–
проверкой
удовлетворения
решения
всем
граничным
условиям,
дифференциальным и интегральным соотношениям;
– сопоставлением полученных результатов с известными решениями других
исследователей;
– сравнением результатов с решениями в МКЭ комплексах.
Внедрение результатов работы. Разработанные автором программные
продукты по расчету деревянных балок на боковое выпучивание с учетом
нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, а также
предложенные
автором
рекомендации
по
учету
переменной
жесткости
конструкции, начальных несовершенств и ползучести используются в практике
проектирования института ООО «Севкавнипиагропром».
Апробация
международных
работы.
Результаты
научно-практических
исследования
докладывались
на
конференциях
«Строительство
и
архитектура: теория и практика развития отрасли» (г. Нальчик, 2018, г. Кисловодск,
2019), XXVIII R-P-S Seminar 2019 (г. Жилина, Словакия, 2019), XXII International
Scientific Conference “Construction the Formation of Living Environment” (FORM2019) (г. Ташкент, 2018).
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав,
основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена
на 114 страницах машинописного текста и содержит 54 рисунка и 2 таблицы.
Основное содержание работы.
Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления
исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена
краткая аннотация всех глав работы.
9
В главе 1 приведен литературный обзор теоретических и экспериментальных
работ по вопросам бокового выпучивания балок постоянного и переменного
сечения с учетом различных факторов.
В главе 2 рассматриваются вопросы устойчивости плоской формы изгиба
упругих балок. Для идеальных балок постоянной и переменной жесткости
приводится итерационный алгоритм определения критической нагрузки на основе
метода конечных разностей. Исследуется влияние приложения нагрузки с
вертикальным смещением относительно центра тяжести поперечного сечения на ее
критическую величину.
Для
балок
разрешающего
с
начальными
уравнения,
несовершенствами
учитывающего
приводится
приложение
вывод
нагрузки
с
эксцентриситетом, начальную погибь балки в плоскости наименьшей жесткости, а
также начальный угол закручивания. Проводится исследование влияние начальных
несовершенств на процесс бокового выпучивания упругих балок.
Глава 3 посвящена вопросам кручения брусьев некруглого поперечного
сечения из физически нелинейного материала. Для вязкоупругого стержня
произвольного сечения получено дифференциальное уравнение относительно
функции напряжений. Предложена методика решения, основанная на применении
метода конечных разностей и метода конечных элементов. Проводится
исследование напряженно-деформированного состояния бруса прямоугольного
поперечного сечения при кручении с использованием линейного (материал –
дерево) и нелинейного (материал – ПВХ) закона ползучести. Также исследуется
процесс релаксации в брусе, относительный угол закручивания которого во
времени остается постоянным.
Приведен вывод разрешающего уравнения для бруса, модуль сдвига
которого в поперечном сечении непостоянен. С использованием полученного
уравнения решается задача о кручении деревянного бруса с учетом нелинейной
зависимости между напряжениями и мгновенными деформациями.
Представлена приближенная методика расчета вязкоупругих брусьев с
сечением в виде узкого прямоугольника.
10
В главе 4 рассматриваются вопросы бокового выпучивания балок из
физически нелинейного материала. Получено дифференциальное уравнение,
позволяющее рассчитывать балки из вязкоупругопластического материала с
учетом переменной жесткости и начальных несовершенств. Изложены вопросы
определения длительных критических нагрузок для балок из вязкоупругого
материала. На примере деревянной и полимерной балки исследуется влияние
начальных несовершенств на величину критического времени при нагрузках,
превышающих длительную критическую.
Предлагается новый критерий устойчивости при ползучести, основанный на
характере изменения во времени нормальных напряжений.
В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.
11
ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1 Обзор публикаций по теории и методам расчета балок на боковое
выпучивание
Вопросы деформационного расчета, а также устойчивости плоской формы
изгиба для упругих балок постоянного прямоугольного сечения рассматривались в
работах многих отечественных и зарубежных исследователей. Одни из первых
публикаций по этой теме принадлежат Л. Прандтлю, С.П. Тимошенко [1, 2, 3], Ф.
Блейху [4], А.Р. Ржаницыну [5, 6], А.С. Вольмиру [7].
Проблема бокового выпучивания балок постоянного и переменного
прямоугольного сечения всегда представляла интерес для исследователей. Одной
из первых работ, в которых исследуется боковая потеря устойчивости
тонкостенных балок постоянной жесткости на основе метода конечных элементов
является публикация M. Attard [8]. В указанной статье автор использует
положительную определенность второй вариации полной энергии в качестве
критерия устойчивости. В статье H. W. Hufendiek и C. Borri [9] производится вывод
формул
для
элементов
матрицы
жесткости
геометрически
нелинейного
пространственного стержневого конечного элемента. В основу при этом положена
общая формулировка Лагранжа. Методика конечно-элементного анализа задач
изгиба балок постоянного сечения с учетом геометрической нелинейности описана
в работах [10, 11].
Статья [12] посвящена обзору работ по вопросам устойчивости тонкостенных
стержней, испытывающих изгиб. Проблема обеспечения устойчивости балки от
опрокидывания в случае ее закрепления в одной или нескольких точках по длине
рассматривается в работе R. Krumm [13]. В статье P. Dumonteil [14] при анализе
устойчивости плоской формы изгиба для балки постоянного сечения также
применяются численные методы. Работы [13] и [14] имеют один общий недостаток,
состоящий в том, что авторы ограничиваются простейшими расчетными схемами,
рассматривая однопролетные и консольные балки постоянной жесткости.
12
Более сложные задачи, а именно проблемы бокового выпучивания балок
переменного сечения, начали исследоваться сравнительно недавно. Одними из
первых работ по устойчивости от бокового выпучивания непризматических балок
являются статьи Н. Г. Агаева [15, 16]. В первой из указанных статей используется
довольно сложный подход, полученное автором разрешающее уравнение
представляет собой интегральное уравнение Вольтерры второго рода. Решение
указанного уравнения ищется в виде ряда Маклорена и содержит также остаточный
член в интегральной форме. Автор также рассматривает вопросы применимости
вариационных методов для решения дифференциального уравнения бокового
выпучивания. Другая работа Н.Г. Агаева [17], выполненная совместно с Т.Х.
Алиевым,
посвящена
упругопластического
вопросам
материала.
бокового
Расчет
выпучивания
выполняется
балок
методом
из
конечных
элементов, матрица жесткости выводится из условия минимума полной энергии
системы. Необходимо отметить, что применение предложенной авторами
методики на практике затруднено, поскольку она требует экспериментального
определения коэффициентов, устанавливающих связь между интенсивностями
деформаций и напряжений за пределами упругой работы материала.
Некоторые
примеры
расчета
на
устойчивость
плоской
формы
деформирования для балок с ломаным очертанием представлены в статье [18]
авторов
А. Я. Дривинг и В. А. Косиченко. Этой же проблеме посвящена
публикация Б. Дурднева [19]. Указанные работы базируются на модификации
аппарата метода перемещений, который используется при анализе устойчивости
балки, имеющей один перелом оси в случае чистого изгиба. А. Я. Дривинг в работе
[18] отмечает, что задача бокового выпучивания балок покрытия в случае их
раскрепления из плоскости действия нагрузки при помощи связей или прогонов
является статически неопределимой, несмотря на свою кажущуюся простоту.
Статическая неопределимость задачи объясняется тем, что при боковом
выпучивании конструкции связи жесткости включаются в работу, увеличивая
величину критической нагрузки. Учет статической неопределимости позволил бы
существенно снизить расход материала.
13
Одна из работ А.Я. Дривинга более раннего периода [20] посвящена
исследованию
устойчивости
плоской
формы
деформирования
балочных
конструкций, имеющих различное число расположенных с одинаковым шагом
точечных
подкреплений.
Автор
касающиеся характера потери
обнаружил
качественные
особенности,
устойчивости, а также определил величины
критических изгибающих моментов для конструкций, имеющих различное
отношение высоты поперечного сечения к пролету. Недостатком представленного
решения является невозможность его применения к расчету балок переменного
сечения, например одно- и двухскатных. Этому же автору принадлежит серия
работ [21, 22, 23], в которых разрабатывается специальная форма метода
перемещений, позволяющая решать задачи бокового выпучивания балок с
различными
дискретными
подкреплениями.
Описанная
методика
имеет
недостаток, состоящий в замене стержневых элементов, жесткость которых
представляет непрерывную функцию, элементами кусочно-постоянной жесткости.
Еще один недостаток предлагаемого подхода состоит в неопределенности
жесткостей пружин, моделирующих раскрепление в концевых сечениях.
В работе [24] исследуются вопросы сопротивления конструкций из дерева в
условиях длительных нагрузок. Ползучесть древесины при этом учитывается
приближенно путем введения длительного модуля деформации. В статье [25]
рассматриваются
проблемы
расчета
на
устойчивость
плоской
формы
деформирования балок, испытывающих чистый изгиб, материал которых обладает
свойствами пластичности и разупрочнения.
В статье I. D. Aristizabal-Ochoa [26] приводится описание разработанного
автором
общего
алгоритма,
позволяющего
анализировать
напряженно-
деформированное состояние (НДС) и устойчивость конических балок. Упрощенная
методика расчета устойчивости балок с высоким поперечным сечением,
учитывающая изгибающие моменты в двух плоскостях, предлагается в работе
C. Scheer [27, 28, 29]. Стоит также отметить публикацию D. A. Nethercot [30], в
которой выполняется обзор работ по упругой и неупругой потери устойчивости, в
том числе и экспериментальных. Перечисленные в обзоре [30] приемы расчета
14
имеют общий недостаток, заключающийся в том, что авторы не учитывают
раскрепление балок при помощи горизонтальных связей жесткости.
В.С. Шейнкман в своей статье [31] предлагает методику расчета с учетом
геометрической нелинейности системы, представляющей собой совокупность
стержней-полос, которые объединены между собой упругой плоскостью связей. В
описываемой
методике дается механическая трактовка, а также содержатся
формулы элементов матрицы жесткости раскреплений между смежными узлами в
случае прогонного и беспрогонного решения. Почти такая же постановка,
получившая более законченный и общий вид в другой статье указанного выше
автора [32], используется в задаче устойчивости конструкции, представляющей
собой систему балок, объединенную упругой плоскостью связей. Отклоненное
равновесное состояние для каждой из балок описывается при помощи теории
тонкостенных упругих стержней В.З. Власова [33]. После применения метода
Бубнова-Галеркина задача сводится к системе линейных алгебраических
уравнений. Следует отметить, что предпринятая автором попытка учета работы
связей жесткости при решении задач бокового выпучивания балок постоянного
сечения является не совсем удавшейся, поскольку автор рассматривал в качестве
раскреплений только расположенные в горизонтальной плоскости разрезные
балки. Также следует обратить внимание на то, что в заключительной части статьи
[32] автор указывает на возможность применения предложенного подхода при
расчете устойчивости покрытий зданий, состоящих только из призматических
балок.
Р. А. Островерх в своих двух публикациях [34, 35] исследовал вопросы
устойчивости стержневых элементов переменного сечения. В указанных работах
предлагается достаточно оригинальный прием, позволяющий перейти от расчета
стержней переменной жесткости к решению задачи о расчете стержней
постоянного сечения. Недостаток предложенного подхода состоит в его
ограниченной
применимости,
а
также
невозможности
непосредственного
использования в анализе устойчивости плоской формы деформирования
непризматических балок.
15
В работе B. Heimeshoff [36] объектом исследования выступают составные
деревянные балки, состоящие из отдельных слоев, которые связаны между собой
при помощи механических связей. Автор устанавливает, что несущая способность,
а также деформативность рассматриваемых конструкций существенно зависит как
от характеристик материала слоев, так и от податливости соединений. Опираясь на
анализ многочисленных экспериментальных данных, B. Heimeshoff приходит к
выводу о том, что в существующих методиках расчета не учитывается влияние
податливости соединений на положение центра тяжести поперечного сечения.
Утверждение автора о пригодности полученных им простых расчетных
зависимостей для определения НДС многослойных конструкций как в случае
наличия механических связей, так и при использовании клеевых соединений,
требует дополнительной проверки, более того, автор рассматривает только балки
постоянного таврового и двутаврового сечения, применяемые для небольших
пролетов и в основном как несущие конструкции в междуэтажных и чердачных
перекрытиях.
В работах И.С. Заривняк [37, 38, 39] также рассматриваются вопросы
бокового выпучивания многослойных балок, имеющих связи, которые работают на
сдвиг в продольном направлении. Так, в статье [37] исследуется устойчивость
плоской формы изгиба элементов с начальными неправильностями. Последние две
работы основаны на вероятностном подходе. В них представлено получение
формул для вычисления критических величин начальных несовершенств для балок
постоянного
сечения
с
использованием
энергетического
метода.
Также
определяются вероятностные характеристики, показывающие степень исчерпания
несущей способности многослойных балок при потере устойчивости их плоской
формы деформирования вследствие наличия начальных погибей. Использование
приведенных в указанных выше статьях результатов при проектировании балок
переменного сечения, в том числе односкатных и двускатных, не представляется
возможным.
В статье авторов И. С. Заривняк и В. Ю. Перель [40] предельная величина
начальной технологической или конструктивной погиби полок для составных
16
двутавровых балок, высота стенки которых изменяется по линейному закону,
определяется на основе гипотезы о равенстве критических величин начальных
несовершенств для конструкций постоянного и переменного сечения. Такой
искусственный прием вызывает большие сомнения в его корректности, поскольку
авторы заведомо предполагают идентичными начальные искривления в двух
совершенно разных конструкциях, к тому же еще и с двутавровым поперечным
сечением. Вместе с этим следует отметить, что вопросы, возникающие при
прочностном расчете конструкций и их элементов в случае проведения работ по
восстановлению, а также реконструкции зданий и сооружений, включают в себя
расчет балок с начальным искривлениями в плоскости наименьшей жесткости.
Указанная
проблема
в
настоящее
время
является
одной
из
наименее
исследованных. Также отметим, что действующие нормы проектирования
деревянных конструкций [41], несмотря на их актуализацию, этот вопрос вообще
не рассматривают. К одним из первых публикаций, в которых исследовалось
влияние начальных несовершенств для конструкции в целом, относится
монография А.Р. Ржаницына [5]. В указанной работе рассматривались вопросы
расчета двутавровых металлических балок с начальным искривлением в
горизонтальной плоскости. Б.Е. Родин в статье [42], указывая на недостатки
методики, представленной в
СНиП II-25-80 и не учитывающей начальные
несовершенства, предлагает начальное искривление изгибаемых элементов
принимать в соответствии с первой формой потери устойчивости с наибольшей
амплитудой в середине пролета.
Отметим
также,
что
подавляющее
большинство
исследователей,
рассматривающих влияние начальных неправильностей, делают совершенно
произвольные априорные предположения касательно характера начальных
искривлений изгибаемых элементов конструкций. Довольно часто решение
основывается на анализе влияния начального прогиба, заданного уравнением с
одним случайным параметром. В результате проблема сводится к решению
относительно более простых задач строительной механики. Однако начальные
погиби могут иметь разнообразные свойства, и более корректным при оценке
17
устойчивости изгибаемых элементов с начальными несовершенствами будет
использование полученной о них информации в виде массива дискретных
значений. Наиболее существенно начальные геометрические неправильности
влияют на устойчивость тонкостенных элементов открытого сечения. Указанная
проблема исследуется авторами Y. Wang и D. Nethercot в статье [43], в которой они
обсуждают, какую опасность представляет потеря устойчивости плоской формы
деформирования при поперечном изгибе, изгибно-крутильное выпучивание, а
также закритическое поведение для тонкостенных балок двутаврового сечения без
боковых ограничителей. Авторы определяют необходимые условия при введении
дополнительных подкрепляющих элементов, включающих настилы, обрешетку,
прогоны, анализируют два ключевых аспекта рассматриваемой проблемы:
определение требуемой жесткости элементов подкрепления с целью увеличения
несущей способности балочных конструкций до необходимого уровня, а также
анализ прочности вводимых элементов подкрепления при действии нагрузок,
передаваемых на них основной балкой.
Проблема расчета с учетом геометрической нелинейности, а также
устойчивости упругих стержневых и балочных элементов тонкостенного сечения
при совместном действии осевых сжимающих сил и изгибающих моментов
рассматривалась в работах многих исследователей. Так, в работе А.З. Зарифьяна
[44], выполняется анализ устойчивости для металлических балочных конструкций
двутаврового
сечения
в
случае
приложения
поперечной
нагрузки
с
эксцентриситетом.
В статье W. Duy [45] объектом исследования выступают упругие стержни,
сжатые продольной силой и испытывающие изгиб в разных плоскостях от
поперечной нагрузки.
В работе H. Mollman и P. Golterman [46] подробно
описывается методика анализа устойчивости для балок тонкостенного сечения,
шарнирно опертых по концам, в случае продольно-поперечного изгиба. В основу
исследования взаимодействия местной и общей формы потери устойчивости
положена асимптотическая теория Койтера. Той же проблематике посвящена
работа V.Nevrly [47], в которой рассматривается применение метода начальных
18
параметров при решении задачи продольно-поперечного изгиба балок постоянного
сечения.
В работе Р. Williams и A. Jemach [48] исследуются вопросы боковой
устойчивости балок постоянного прямоугольного сечения большой высоты при
действии изменяющихся по длине продольных сил. Авторы исследуют случай
упругого закрепления балок только с одной стороны вдоль пролета. Выполняется
оценка погрешности при приближенном подходе на основе сравнения полученных
решений с существующими результатами для балок на упругом основании.
Статья С. Wang и S. Kitipornehai [49] посвящена обзору применяемых в
настоящее время приемов для вычисления корректирующих коэффициентов,
позволяющих учесть осевые усилия при расчете балок постоянного сечения на
устойчивость. Базируясь на проведенном с использованием энергетического
подхода исследовании устойчивости балок постоянной жесткости, авторы
показывают, что в случае упругой работы материала расчетная формула для
критической нагрузки может быть обобщена и для варианта с осевыми усилиями,
если ввести в нее дополнительный параметр, зависящий от геометрии поперечного
сечения. Следует отметить, что во всех указанных выше публикациях, которые
посвящены
вопросам
устойчивости
элементов,
подверженных
действию
продольных сил совместно с изгибом, исследовались исключительно балки
постоянного поперечного сечения. В то же время для пространственных
стержневых конструкций широко используются балки тонкостенного профиля с
переменной жесткостью, для которых вопросы устойчивости плоской формы
изгиба в случае совместного действия продольных и поперечных сил представляют
отдельный интерес.
Также заметим, что для плоскостных сплошных деревянных конструкций,
как правило, выполняется раскрепление из плоскости действия нагрузки при
помощи элементов ограждающей части покрытия и горизонтальных связей
жесткости, что превращает их в случае взаимного соединения в пространственную
конструкцию, для которой должны удовлетворяться требования безотказной
работы при самых неблагоприятных сочетаниях нагрузок, возникающих при
19
эксплуатации сооружения. Однако вопросы учета связей жесткости при расчете
устойчивости плоской формы изгиба балочных конструкций рассматриваются в
относительно небольшом числе публикаций.
Так, С.П. Тамакулов в статье [50] рассматривает задачу расчета балки с узким
прямоугольным сечением, испытывающей действие двух сосредоточенных сил,
приложенных на уровне нейтральной линии в третях пролета. Автор исследует,
насколько влияет раскрепление балки при помощи дискретных связей со стороны
ее растянутой и сжатой кромки. В работе [51] авторов P. Goltermann и S. Svensson
излагается идея простой методики для исследования устойчивости балок
постоянного сечения, имеющих боковые ограничения по линейным и угловым
перемещениям. При использовании данной методики задача может быть сведена к
обыкновенному
дифференциальному
уравнению
четвертого
порядка.
Как
отмечается в статьях [52, 53] M. Kessel, проблема бокового выпучивания балочных
конструкций связана с решением трехмерной задачи. Первая из перечисленных
работ посвящена простейшим моделям элементов с растяжками. Для таких
элементов пространственная задача может быть сведена к анализу отдельных
плоских систем. Вторая работа в основном сосредоточена на вычислении величин
боковых нагрузок, которые передаются на элементы связевых ферм в случае
искривлений верхнего пояса несущих конструкций в виде треугольных
стропильных ферм при потере устойчивости их плоской формы изгиба. Автор
устанавливает, что при синусоидальной форме начального искривления боковая
нагрузка на панели связевой фермы также будет синусоидальной.
В статье [54] K. Mohler и W. Schelling при описании формы начальных
неправильностей используют полином четвертой степени и получают в результате
расчетную зависимость, позволяющую определить эквивалентную боковую
нагрузку, равномерно распределенную по длине пролета связевой фермы.
Деревянные элементы стропильных ферм также выступают в качестве объекта
исследования в статье R. Pienaar [55]. В указанной работе приводится вывод
основных соотношений теории устойчивости, имеющей полуэмпирический
характер. Также проводится исследование влияния жесткости распорок на
20
характер
потери
устойчивости
стропил
в
случае
действия
на
ферму
несимметричной нагрузки. Многие вопросы, связанные с анализом бокового
выпучивания балок с поперечным сечением в виде неравнополочного двутавра,
рассматриваются в публикации С. Wang, S. Kitipomchai, V. Thevendran [56].
Статья E. Reyer и D. Stojic [57] также посвящена вопросам расчета с учетом
геометрической нелинейности деревянных балок со сплошным прямоугольным
сечением, постоянным по длине. Рассматривается нагружение равномерно
распределенной нагрузкой, действующей на уровне центра тяжести поперечного
сечения, а также на верхней грани. Первая часть исследования представляет
описание процедуры вычисления коэффициента устойчивости на примере
однопролетной балки, у которой отсутствуют закрепления в горизонтальной
плоскости. Этот случай приводится авторами для демонстрации наглядности
расчетного алгоритма, поскольку для такой задачи имеется возможность
выполнения деформационного расчета, а также аналитического определения
критических
величин
изгибающих
моментов.
Авторы
анализируют
чувствительность балочной конструкции постоянного сечения с точки зрения ее
бокового выпучивания с учетом различного числа равноотстоящих раскреплений
сжатой зоны в плоскости наименьшей жесткости. Также в статье отмечается, что
необходимо
учитывать
различные
варианты
начальных
искривлений
однопролетной балочной конструкции, как симметричные, так и несимметричные,
поскольку для первого случая характерен максимум напряжений в середине
пролета в угловых точках сечения, а для второго случая – посередине длины
полуволны
синусоиды.
Выполненный
деформационный
расчет
позволил
определить предельную несущую способность дощатоклееной балки постоянного
сечения, а также было установлено, что в некоторых случаях по сравнению с
приближенным расчетом расхождение может достигать 19%. Однако в ряде
случаев расхождение может быть отрицательного знака, и тогда несущую
способность конструкции следует определять по приближенной методике расчета
балок на устойчивость.
21
Что касается учета ползучести в вопросах устойчивости плоской формы
деформирования балок, в существующей литературе, как отечественной, так и
зарубежной, данный вопрос не рассматривается. Имеется большое число
публикаций по выпучиванию сжатых стержней с учетом ползучести, включая
[58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67]
и
др.
Они
отличаются
разнообразием
подходов, так, в работах [60, 65, 67] используется метод конечных разностей, в
статьях [58, 62] к указанной проблеме применяется метод конечных элементов, а в
работе [61] используется метод Бубнова-Галеркина. Также для расчета может быть
применен энергетический метод в форме Ритца-Тимошенко [63, 64]. Однако для
расчета балок на боковое выпучивание предложенные в перечисленных
публикациях подходы напрямую использовать нельзя.
1.2 Обзор экспериментальных исследований по боковому выпучиванию
балок
Рассмотренные
выше
теоретические
исследования
базировались
на
различных гипотезах и упрощениях, требующих экспериментальной проверки. В
настоящее время практически нет сколько-нибудь надежных экспериментальных
данных по испытаниям на устойчивость плоской формы изгиба балок переменного
сечения, даже в случае кратковременного действия нагрузки. Указанный вывод
сделан на основе тех немногочисленных работ, в которых проводились
экспериментальные исследования бокового выпучивания таких конструкций.
В статье L. Horvath, M. Ivanyi и К.Wolf [68] выполняется экспериментальное
и численное исследование проблемы устойчивости при изгибе неразрезных балок
с учетом только упругой работы материала.
Публикация N. Ings и N. Trahair [69] посвящена неконсервативным задачам
потери устойчивости плоской формы изгиба для консольных стоек и балок
постоянного сечения при действии следящих за некоторым центром нагрузок.
Данная работа интересна тем, что авторы производят в ней сравнение
теоретических результатов с экспериментальными данными, делая в итоге вывод о
22
возникновении
горизонтальной
составляющей
нагрузки,
которая
создает
стабилизирующий эффект в случае нахождения центра ниже точки, где приложена
следящая сила.
В методическом плане некоторый интерес представляют статьи I. Lindner
[70] и I. Melcher [71], в которых рассматривается проблема устойчивости плоской
формы деформирования металлических изгибаемых элементов. Первая из
указанных
работ
посвящена
экспериментальному
исследования
влияния
второстепенных балок, а также профнастила на ограничение боковых деформаций
главных балок, имеющих двутавровое сечение. Авторы дают подробное описание
экспериментальной установки, представлены образцы исследуемых конструкций,
измерительная
аппаратура,
методики
выполнения
натурного
испытания.
Программа проведения испытаний для конструкций балок постоянного сечения,
соединенных связями в пространственную систему, представлена также в работе
[71].
К
одним
из
немногочисленных
работ,
в
которых
проводится
экспериментальное исследование устойчивости балок переменной жесткости,
относится диссертация А.А. Журавлева [72]. Также в его работах [73, 74, 75, 76]
имеются предложения по корректировке норм проектирования деревянных
конструкций в части расчета на устойчивость плоской формы изгиба.
Работа, начатая А.А. Журавлевым, была продолжена А.А. Карамышевой в
публикациях [77, 78, 79, 80, 81, 82]. Ею было получено дифференциальное
уравнение устойчивости идеальной балки переменного сечения с учетом
приложения нагрузки со смещением относительно центра тяжести. В ходе
проведенного А.А. Карамышевой экспериментального исследования деревянных
балок переменной жесткости были выявлены существенные отклонения (до 21%)
теоретических величин критических нагрузок от экспериментальных, вероятно
связанные с наличием начальных несовершенств и неупругой работой материала.
23
1.3 Выводы по главе
Представленный литературный обзор показывает, что большинство работ по
рассматриваемой проблеме посвящено в основном вопросам упругой устойчивости
балок. Довольно редко авторы пытаются учитывать физическую нелинейность,
причем, как правило, это нелинейная связь между напряжениями и мгновенными
деформациями без учета эффекта времени. Проблемы устойчивости плоской
формы изгиба балочных конструкций при ползучести в существующей литературе
не затрагиваются. Имеется большое количество публикаций по устойчивости при
ползучести сжатых стержней, однако предлагаемые в них подходы и разрешающие
уравнения неприменимы для тонкостенных изгибаемых элементов.
Также в литературе практически не рассматриваются балки переменной
жесткости, а если и исследуются такие конструкции, то в основном идеальные, без
учета начальных несовершенств. Однако, как показывают экспериментальные
исследования, начальные несовершенства могут существенно влиять на боковое
выпучивание призматических и непризматических балочных конструкций.
24
ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
УПРУГИХ БАЛОК
2.1 Боковое выпучивание идеальных балок постоянного поперечного
сечения
В диссертационной работе А.А. Карамышевой [77] на основе статического
критерия Эйлера получено дифференциальное уравнение устойчивости плоской
формы изгиба балки переменного сечения, учитывающее приложение нагрузки не
в центре тяжести поперечного сечения (над или под центром тяжести):
𝑀𝑦2
𝑑 2 𝜃 𝑑(𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃
𝐺𝐼к 2 +
+ (𝑞𝑎 +
) 𝜃 = 0,
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑧
(2.1)
где 𝐺 – модуль сдвига материала, 𝐼к – момент инерции при кручении, 𝜃 –
относительный угол закручивания, 𝑞 – интенсивность распределенной нагрузки,
𝑀𝑦 – изгибающий момент, 𝐼𝑧 = 𝑏3 ℎ/12 – осевой момент инерции (направления
осей показаны на рисунке 2.1), 𝑎 – расстояние от центра тяжести до места
приложения нагрузки.
Рисунок 2.1 – Направления осей
Для балки постоянного сечения уравнение (2.1) перепишется в виде:
25
𝑀𝑦2
𝑑 2𝜃
𝐺𝐼к 2 + (𝑞𝑎 +
) 𝜃 = 0.
𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑧
(2.2)
Существующие нормы проектирования деревянных конструкций [41] не
учитывают приложение нагрузки не в центре тяжести, т.е. базируются на решении
уравнения (2.2) при 𝑎 = 0. Для некоторых расчетных схем такие решения были
получены еще в работах С.П. Тимошенко [1, 3] и А.С. Вольмира [7].
Расчет на устойчивость плоской формы изгиба в нормах расчета конструкций
из дерева предлагается выполнять по формуле:
𝑀
≤ 𝑅и ,
𝜑М 𝑊бр
(2.3)
где 𝑅и – расчетное сопротивление древесины изгибу, 𝑊бр – момент сопротивления
брутто, 𝑀 – максимальный изгибающий момент, 𝜑М – коэффициент устойчивости.
В случае элементов с прямоугольным постоянным сечением, которые от
смещения из плоскости изгиба закреплены шарнирно, а также имеют в опорных
сечениях закрепление от поворота вокруг продольной оси, коэффициент 𝜑М
вычисляется по формуле:
𝑏2
𝜑М = 140
𝑘 ,
𝑙р ℎ ф
(2.4)
где 𝑙р – расстояние между сечениями, закрепленными от поворота, 𝑘ф –
коэффициент, который зависит от формы эпюры изгибающего момента 𝑀𝑦 на
участке 𝑙р и определяется в соответствии с таблицей Е.2 [41].
А.А. Карамышевой для учета положения точки приложения нагрузки
предложено ввести поправочный коэффициент 𝑘п . На этот коэффициент следует
дополнительно умножать коэффициент устойчивости 𝜑𝑀 .
Однако в ее
диссертации коэффициент 𝑘п вычислен только для двух частных случаев:
шарнирно опертой по концам балки с сосредоточенной силой в середине пролета,
а также консольной балки с сосредоточенной силой на конце. Ни в том, ни в другом
случае уравнение (2.1) ей не использовалось.
26
2.1.1 Случай шарнирно закрепленной по концам балки под действием
равномерно распределенной нагрузки
Рассмотрим получение расчетной зависимости для коэффициента 𝑘п на
примере шарнирно опертой по концам балки, испытывающей действие равномерно
распределенной нагрузки 𝑞 на расстоянии 𝑎 от центра тяжести поперечного
сечения (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – Расчетная схема
Изгибающий момент 𝑀𝑦 вычисляется по формуле:
𝑞𝑙
𝑞𝑥 2
𝑀𝑦 = 𝑥 −
.
2
2
(2.5)
Чтобы полученное решение было применимо для балок с произвольными
геометрическими
и
физико-механическими
характеристиками,
введем
безразмерную координату 𝜉 = 𝑥/𝑙, а также следующие безразмерные величины:
27
𝛼=
𝑎 𝐸𝐼𝑧
√
;
𝑙 𝐺𝐼к
(2.6)
𝑞2 𝑙6
𝜆=
.
𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
С учетом введенных величин уравнение (2.2) можно переписать в виде:
𝑑 2𝜃
+ (√𝜆𝛼 + 𝜆𝑓 (𝜉 )) 𝜃 = 0,
𝑑𝜉 2
(2.7)
𝜉 2(1 − 𝜉 )2
где 𝑓 (𝜉 ) =
.
4
Будем считать, что на опорах исключен поворот поперечного сечения
относительно оси 𝑥, т.е. 𝜃 (0) = 𝜃 (1) = 0.
Решение уравнения (2.7) выполним численно при помощи метода конечных
разностей. Введем равномерную сетку с шагом Δ𝜉 = 1/𝑛, где 𝑛 – количество
отрезков. Конечно-разностная аппроксимация уравнения (2.7) второго порядка
точности с использованием формулы центральных разностей запишется в виде:
𝜃𝑖+1 − 2𝜃𝑖 + 𝜃𝑖−1
+ (√𝜆𝛼 + 𝜆𝑓 (𝜉𝑖 )) 𝜃𝑖 = 0.
Δ𝜉 2
(2.8)
Уравнение (2.8) составляется для всех внутренних узлов сетки при 𝑖 = 2 … 𝑛.
В итоге имеем систему линейных алгебраических уравнений:
([𝐴] + √𝜆𝛼[𝐸] + 𝜆 [𝐵 ]){𝑋} = 0,
−2
1 1
где 𝐴 = 2 0
Δ𝜉
…
[0
1
0
−2 1
1 −2
…
…
0
0
…
…
…
…
1
0
𝑓(𝜉2 )
0
…
0
0
𝑓(𝜉3 ) …
0 ,𝐵 = [
…
…
…
…
0
0
0
−2]
(2.9)
0
0
],
…
𝑓(𝜉𝑛 )
𝑋 = {𝜃2 𝜃3 … 𝜃𝑛 }𝑇 , [𝐸] – единичная матрица.
Система (2.9) является однородной и имеет ненулевое решение только в
случае равенства нулю ее определителя:
|[𝐴] + √𝜆𝛼[𝐸] + 𝜆 [𝐵 ]| = 0.
(2.10)
При 𝛼 = 0, т.е. в случае приложения нагрузки в центре тяжести поперечного
сечения, задача сводится к обобщенному вековому уравнению:
28
|[𝐴] + 𝜆[𝐵 ]| = 0.
(2.11)
Критической нагрузке, при которой происходит потеря устойчивости,
соответствует минимальное из собственных значений 𝜆. Зная величину 𝜆𝑚𝑖𝑛 ,
критическую нагрузку можно вычислить по формуле:
𝑞кр =
√𝜆√𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
√𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
=
𝐾
,
𝑙3
𝑙3
(2.12)
где 𝐾 = √𝜆.
Для случая приложения нагрузки в центре тяжести коэффициент 𝐾 равен 28.3.
Этой величине 𝐾 соответствует собственное значение 𝜆1 = 800. В случае 𝛼 ≠ 0
уравнение (2.10) не является обобщенным вековым, и для его решения может быть
применен метод
последовательных приближений.
Итерационный процесс
организуется следующим образом:
1.
В первом приближении вместо уравнения (2.10) выполняется решение
обобщенного векового уравнения, имеющего вид:
|[𝐴1 ] + 𝜆 [𝐵 ]| = 0,
(2.13)
где [𝐴1] = [𝐴] + √𝜆1 𝛼[𝐸 ].
2.
Решив уравнение (2.13), получим минимальное собственное число 𝜆′1. На
втором шаге в матрицу [𝐴1 ] вместо 𝜆1 подставляется 𝜆2 = (𝜆1 + 𝜆′1 )/2.
Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не выполнится условие:
|𝜆𝑖 − 𝜆′𝑖 |
· 100% < 𝛿,
𝜆𝑖
(2.14)
где 𝛿 – допустимая погрешность в %.
Расчетная блок-схема приведена на рисунке 2.3.
Рассмотрим возможные пределы изменения коэффициента 𝛼. Для узких
прямоугольных полос момент инерции 𝐼к можно вычислять по формуле:
ℎ𝑏3
𝐼к =
.
3
(2.15)
Тогда отношение 𝐼𝑧 к 𝐼к будет равно ¼. Для изотропного материала
отношение модуля упругости к модулю сдвига составит:
29
𝐸
= 2(1 + 𝜈 ) ≤ 3.
𝐺
(2.16)
Параметр 𝑎, определяющий положение нагрузки относительно центра
тяжести может изменяться в пределах от −ℎ/2 до ℎ/2. Тогда возможный диапазон
изменения параметра 𝛼 примет вид:
|𝛼| ≤
ℎ⁄2 3
ℎ
√ = 0.433 .
𝑙
4
𝑙
Ввод 𝛼
𝜆1 = 800, 𝑖 = 1
Формирование матриц [A] и [B]
[𝐴1] = [𝐴] + √𝜆𝑖 𝛼[𝐸]
Определение 𝜆′𝑖 из уравнения
|[𝐴1] + 𝜆 [𝐵 ]| = 0
|𝜆𝑖 − 𝜆′𝑖 |
𝛿=
· 100%
𝜆𝑖
да
𝛿 ≤ 0.1% или 𝑖 > 𝑖𝑚𝑎𝑥
𝜆𝑖+1 =
нет
𝜆𝑖 + 𝜆′𝑖
2
𝑖=𝑖+1
Вывод 𝜆𝑖
Рисунок 2.3 – Расчетная блок-схема
(2.17)
30
Из курса теории упругости известно, что для балок с ℎ⁄𝑙 > 1⁄8 гипотеза
плоских сечений не выполняется [83]. Таким образом, для изотропного материала
параметр 𝛼 может лежать в достаточно узких пределах: −0.0541 ≤ 𝛼 ≤ 0.0541.
Для анизотропного материала, в отличие от изотропного, соотношение (2.16)
не выполняется. Так, для дерева модуль упругости вдоль волокон обычно
принимается равным 𝐸 = 104 МПа, а модуль сдвига 𝐺 = 500 МПа, т.е. 𝐸 ⁄𝐺 = 20.
Диапазон изменения параметра 𝛼 для дерева будет лежать в пределах:
– 0.14 ≤ α ≤ 0.14.
Для расчета была разработана программа в пакете Matlab. Собственные
значения вычислялись при помощи встроенной функции eig. На рис. 2.4
представлен полученный в результате график, показывающий зависимость
коэффициента 𝐾 от параметра 𝛼.
Из рис. 2.4 видно, что если 𝛼 > 0 (нагрузка приложена над центром тяжести),
ее критическая величина понижается, а при 𝛼 < 0 (приложение нагрузки под
центром тяжести) – повышается.
При
помощи
метода
наименьших
квадратов
зависимость
𝐾(𝛼)
аппроксимировалась линейной функцией. В результате была получена следующая
формула:
𝐾(𝛼 ) = −40.2𝛼 + 28.31.
(2.18)
Прямая, построенная по формуле (2.18), показана на рис. 2.4рисунок 2.4
штриховой линией. Коэффициент 𝑘п , учитывающий приложение нагрузки не в
центре тяжести, можно вычислить по формуле:
𝑘п (𝛼 ) =
𝐾(𝛼)
= 1 − 1.42𝛼.
𝐾(0)
(2.19)
Для контроля правильности результатов был выполнен конечно-элементный
расчет деревянной балки в программном комплексе ЛИРА-САПР 2013. Исходные
данные для расчета: b = 5 см, h = 20 см, l = 6 м. При расчете учитывалась
ортотропия материала, значения упругих постоянных принимались равными:
E1 = 104 МПа, E2 = 400 МПа, G = 500 МПа, ν12 = 0.018, ν21=0.45. Балка
моделировалась
плоскими
оболочечными
конечными
элементами.
При
31
приложении нагрузки в центре тяжести поперечного сечения получена величина
критической нагрузки qкр = 1.23 кН/м (рис. 2.5), а при приложении над центром
тяжести – qкр = 1.17 кН/м (рис. 2.6). Теоретические значения, полученные по
формуле (2.12), c использованием формулы (2.15) для момента инерции при
кручении составили 1.22 и 1.16 кН/м. Совпадение результатов свидетельствует о
их достоверности.
В то же время заметим, что для рассмотренного примера поперечное сечение
нельзя считать узким, и момент инерции при кручении следует определять по
формуле [2]:
ℎ𝑏3
𝑏
𝐼к =
(1 − 0.63 ).
13
ℎ
(2.20)
При использовании формулы (2.20) критическая нагрузка окажется
несколько ниже, чем было указано.
Рисунок 2.4 – Зависимость коэффициента 𝐾 от параметра 𝛼
32
Рисунок 2.5 – Потеря устойчивости при приложении нагрузки в центре тяжести
поперечного сечения
Рисунок 2.6 – Потеря устойчивости при приложении нагрузки над центром
тяжести поперечного сечения
2.1.2 Консольная балка под действием нагрузки, распределенной равномерно
и по треугольному закону
Расчетная схема для случая равномерно распределенной нагрузки приведена
на рис. 2.7.
33
Рисунок 2.7 – Расчетная схема
Изгибающий момент вычисляется по формуле:
𝑞𝑥 2
.
2
(2.21)
𝑞𝑙2
𝑀𝑦 (𝜉 ) = −
𝜉.
2
(2.22)
𝑀𝑦 (𝑥 ) = −
Или в безразмерных координатах:
Задачу также можно свести к уравнению (2.7) при 𝑓(𝜉 ) = 𝜉 4 /4. Граничные
условия запишутся в виде:
При 𝑥 = 0 (𝜉 = 0):
При 𝑥 = 𝑙 (𝜉 = 1):
𝑀к = 𝐺𝐼к
𝑑𝜃
𝑑𝜃
=0→
= 0.
𝑑𝑥
𝑑𝜉
(2.23)
𝜃 = 0.
(2.24)
Уравнение (2.8) составляется для всех узлов сетки кроме первого и
последнего (𝑖 = 2 … 𝑛). В первом узле граничные условия аппроксимируются
следующим образом:
𝑑𝜃
1
(−3𝜃1 + 4𝜃2 − 𝜃3) = 0.
| =
𝑑𝜉 1 2Δ𝜉
(2.25)
Задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, имеющей
вид:
34
(2.26)
([𝐴] + 𝜆 [𝐵 ] + √𝜆𝛼[𝐶]){𝜃} = 0,
где
−3
1
Δ𝜉 2
[𝐴] =
[
0
…
4
−2
Δ𝜉 2
1
Δ𝜉 2
…
−1
1
Δ𝜉 2
−2
Δ𝜉 2
…
0
0
0
0
0
0
0 𝑓(𝜉2 )
0
[𝐵 ] = 0
0
𝑓(𝜉3 )
0
0
0
[0
0
0
…
…
…
…
…
0
…
0
0
0
…
0
0
1
Δ𝜉 2
…
…
…
0
…
0
…
1
Δ𝜉 2
0 ;
…
−2
Δ𝜉 2 ]
0
0
0
0
0 ; [𝐶 ] = 0
0
0
[0
𝑓(𝜉𝑛 )]
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
…
…
…
…
…
0
0
0.
0
1]
Алгоритм расчета такой же, как в предыдущем параграфе. Отличие лишь в
том, что вместо единичной матрицы в системе (2.26) стоит матрица [𝐶].
Критическая нагрузка вычисляется по формуле (2.12). Приложению нагрузки в
центре тяжести поперечного сечения соответствует собственное значение 𝜆1 =
165.15 и коэффициент 𝐾 = 12.85. Такое же значение 𝐾 получено в работе
профессора А.С. Вольмира [7]. Зависимость коэффициента 𝐾 от параметра 𝛼
приведена на рис. 2.8.
Полученная зависимость 𝐾(𝛼) с 𝑅 2 = 0.9963 аппроксимируется следующей
линейной функцией:
𝐾(𝛼 ) = 12.85(1 − 1.75𝛼 ) = 12.85𝑘п (𝛼).
(2.27)
Построенная по формуле (2.27) прямая показана на рис. 2.8 штриховой
линией. Более точная аппроксимация с достоверностью 𝑅 2 = 0.9998 получается
при использовании полинома второй степени:
𝐾 (𝛼 ) = 12.85(−0.941𝛼 2 − 1.75𝛼 + 1) = 12.85𝑘п (𝛼).
(2.28)
35
Рисунок 2.8 – Зависимость коэффициента 𝐾 от параметра 𝛼 для консольной балки
под действием равномерно распределенной нагрузки
Рассмотрим далее случай нагрузки, меняющейся по линейному закону рис.
2.9. Функция изменения нагрузки записывается в виде:
𝑞0 𝑥
𝑞 (𝑥 ) =
или 𝑞(𝜉 ) = 𝑞0 𝜉.
𝑙
(2.29)
Рисунок 2.9 – Консольная балка под действием нагрузки, меняющейся по
линейному закону
36
Изгибающий момент определяется по формуле:
𝑞0 𝑥 3
𝑞0 𝜉 3𝑙2
𝑀𝑦 (𝑥 ) = −
или 𝑀𝑦 (𝜉 ) = −
.
6𝑙
6
(2.30)
Задача сводится к следующему дифференциальному уравнению:
𝑑2𝜃
+ (√𝜆𝛼𝜉 + 𝜆𝑓 (𝜉 )) 𝜃 = 0,
𝑑𝜉 2
(2.31)
𝑞02𝑙 6
𝜉6
где 𝜆 =
; 𝑓(𝜉 ) = .
𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
36
Критическую величину 𝑞0 можно определить по формуле (2.12).
Граничные условия такие же, как в предыдущей задаче. После замены
производных приближенными разностными выражениями, получим систему
уравнений вида (2.26), в которой матрицы [𝐴] и [𝐵] вычисляются как и для балки с
равномерно распределенной нагрузкой. Отличается только матрица [𝐶], которая
для рассматриваемой задачи вычисляется по формуле:
0
0
[𝐶 ] = 0
…
[0
0
𝜉2
0
…
0
0
0
𝜉3
…
0
…
…
…
…
…
0
0
0 ,
…
𝜉𝑛 ]
(2.32)
где 𝜉𝑖 = (𝑖 − 1)Δ𝜉.
При приложении нагрузки в центре тяжести критической величине 𝑞0
соответствует собственное значение 𝜆1 = 2809 и коэффициент 𝐾 = 53 (в
монографии А.С. Вольмира [7] 𝐾 = 52.8). Зависимость коэффициента 𝐾 от
параметра 𝛼 приведена на рис. 2.10. Штриховой линией на данном графике
показана линейная аппроксимация зависимости 𝐾(𝛼), имеющая вид:
𝐾 (𝛼 ) = 53(1 − 2.425𝛼 ) = 53𝑘п (𝛼).
(2.33)
37
Рисунок 2.10 – Зависимость 𝐾(𝛼) для консольной балки под действием
треугольной нагрузки
2.1.3 Шарнирно опертая по концам балка под действием сосредоточенной
силы
Рассмотрим сначала случай приложения силы в середине пролета (рис. 2.11).
Данная задача была решена аналитически проф. А.С. Вольмиром [7], а также
численно А.А. Карамышевой [77]. В работах указанных авторов использовалось
следующее дифференциальное уравнение:
𝑑 2𝜃 𝑀𝑦2
𝐺𝐼к 2 +
𝜃 = 0.
𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑧
(2.34)
Данное уравнение является частным случаем уравнения (2.2) и не учитывает
приложение нагрузки не в центре тяжести. Чтобы было возможным его
использование, авторы работ [7] и [77] рассматривают половину балки, и
приложение силы 𝐹 с вертикальным смещением относительно центра тяжести
38
учитывают в записи граничных условий. Такой подход позволяет получить
решение только когда сила приложена в середине пролета.
Нами будет рассмотрена вся балка, и решение будет выполнено с
использованием уравнения (2.2).
Рисунок 2.11 – Шарнирно опертая по концам балка под действием
сосредоточенной силы в середине пролета
Для изгибающего момента будут справедливы следующие формулы:
𝐹𝑥
𝑙
, при 0 ≤ 𝑥 ≤ ,
2
2
𝐹𝑙
𝑥
𝑙
𝑀𝑦 (𝑥) = (1 − ) , при ≤ 𝑥 ≤ 𝑙.
2
𝑙
2
𝑀𝑦 (𝑥) =
(2.35)
В безразмерных координатах формулы (2.35) примут вид:
𝑀𝑦 (𝜉 ) =
𝐹𝑙
𝜉, при 0 ≤ 𝜉 ≤ 0.5,
2
𝐹𝑙
𝑀𝑦 (𝜉 ) = (1 − 𝜉 ), при 0.5 ≤ 𝑥 ≤ 1.
2
(2.36)
Безразмерный параметр 𝜆 введем по формуле:
𝐹2 𝑙4
𝜆=
.
𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
Тогда из (2.37) критическая нагрузка будет определяться по формуле:
(2.37)
39
𝐹кр =
√𝜆√𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
√𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
=
𝐾
.
𝑙2
𝑙2
(2.38)
Параметр 𝛼 как и ранее будем определять по формуле (2.6). От
сосредоточенной силы 𝐹 к равномерно распределенной нагрузке 𝑞 можно перейти
по формуле:
𝑞=
𝐹
𝐹
=
.
Δ𝑥 𝑙Δ𝜉
(2.39)
Для узла, в котором приложена сила F, уравнение (2.2) можно представить в
виде:
𝑑 2𝜃
𝛼
+
(√𝜆
+ 𝜆𝑓 (𝜉 )) 𝜃 = 0,
𝑑𝜉 2
Δ𝜉
(2.40)
𝜉2
, при 0 ≤ 𝜉 ≤ 0.5
4
𝑓(𝜉 ) =
(1 − 𝜉 )2
, при 0.5 ≤ 𝜉 ≤ 1.
{
4
где
Для остальных внутренних узлов балки используется следующее уравнение:
𝑑2𝜃
+ 𝜆𝑓 (𝜉 )𝜃 = 0.
𝑑𝜉 2
(2.41)
Граничные условие такие же, как для задачи, рассмотренной в параграфе
2.1.1: 𝜃 (0) = 𝜃(1) = 0. Заменяя вторую производную угла закручивания в (2.40) и
(2.41) приближенным разностным выражением для каждого внутреннего узла
сетки, получим систему линейных алгебраических уравнений:
([𝐴] + 𝜆[𝐵 ] +
0
…
0
где [𝐶 ] = 0
0
…
[0
…
…
…
…
…
…
…
0
…
0
0
0
…
0
0
…
0
1
0
…
0
0
…
0
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
√𝜆𝛼
[𝐶 ]) {𝜃 } = 0,
Δ𝜉
0
…
0
0 .
0
…
0]
(2.42)
40
Рисунок 2.12 – Зависимость 𝐾(𝛼) для случая приложения силы в середине
пролета
Матрицы [𝐴] и [𝐵] в (2.42) вычисляются по формулам, приведенным в
параграфе 2.1.1. Методика определения параметра 𝜆 такая же, как в предыдущих
параграфах. При 𝛼 = 0: 𝜆 = 286.96, и этому значению 𝜆 соответствует
коэффициент 𝐾 = 16.94.
Полученный
в
результате
расчета
график
зависимости 𝐾(𝛼) приведен на рис. 2.12. Штриховой линией на данном рисунке
показана аппроксимирующая прямая, построенная по формуле:
𝐾(𝛼 ) = 16.94(1 − 1.831𝛼 ) = 16.94𝑘п (𝛼 ).
(2.43)
В табл. 2.1 представлено сравнение результатов, полученных автором при
помощи разработанной им методики, с аналитическим решением проф. А.С.
Вольмира [7], который для расчета использовал Бесселевы функции. Отклонение
результатов незначительное.
41
Таблица 2.1 – Сравнение решения автора с результатами, полученными А.С.
Вольмиром
Над центром тяжести
α
0
0.03
0.143
0.293
0.544
К (Автор)
16.94
15.9857
12.7765
9.6056
6.3512
K(Вольмир)
16.94
16.0
12.8
9.6
6.4
Под центром тяжести
α
0
-0.069
-0.166
-0.271
-0.396
-0.562
-0.815
К (Автор)
16.94
19.2151
22.3576
25.5395
28.7354
31.9455
35.1239
K(Вольмир)
16.94
19.2
22.4
25.6
28.8
32.0
35.2
Предложенный автором подход позволяет исследовать случай, когда сила
приложена не в середине пролета (рис. 2.13).
Изгибающий момент в этом случае вычисляется по формулам:
𝑃 (1 − 𝛽 )𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽𝑙
𝑀𝑦 (𝑥 ) = {
𝑃𝛽 (𝑙 − 𝑥 ), 𝛽𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙.
(2.44)
Или в безразмерных координатах:
𝑃𝑙 (1 − 𝛽 )𝜉, 0 ≤ 𝜉 ≤ 𝛽
𝑀𝑦 (𝜉 ) = {
𝑃𝑙𝛽 (1 − 𝜉 ), 𝛽 ≤ 𝜉 ≤ 1.
(2.45)
Для узла с координатой 𝜉 = 𝛽 составляется уравнение (2.40), а для остальных
узлов – уравнение (2.41). Функция 𝑓(𝜉) записывается в виде:
𝑓(𝜉 ) = {
(1 − 𝛽 )2𝜉 2 , 0 ≤ 𝜉 ≤ 𝛽
(1 − 𝜉 )2 𝛽 2 , 𝛽 ≤ 𝜉 ≤ 1.
(2.46)
42
Рисунок 2.13 – Приложение силы не в середине пролета
Рисунок 2.14 – Изменение коэффициента 𝐾 в зависимости от параметров 𝛼 и 𝛽
43
Матрицы [𝐴] и [𝐵] определяются, как и ранее. В матрице [𝐶] отличен от нуля
только один элемент на главной диагонали, соответствующий узлу с координатой
𝜉 = 𝛽. Критическую нагрузку также можно найти по формуле (2.38), однако теперь
коэффициент 𝐾 будет функцией двух переменных – 𝛼 и 𝛽. Полученный в
результате расчета график зависимости 𝐾(𝛼, 𝛽) приведен на рис. 2.14.
В табл. 2.2 приведены величины коэффициента 𝐾 для некоторых значений 𝛼
и 𝛽.
Таблица 2.2 – Значения коэффициента K для некоторых величин 𝛼 и 𝛽
𝛽
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-0.14
28.97
25.79
23.75
22.48
21.78
21.55
-0.112
28.13
24.92
22.86
21.57
20.86
20.63
-0.084
27.22
24.00
21.93
20.64
19.92
19.70
-0.056
26.24
23.03
20.98
19.70
18.99
18.76
-0.028
25.19
22.03
20.01
18.75
18.06
17.84
0
24.10
21.00
19.04
17.82
17.15
16.94
0.028
22.96
19.97
18.07
16.90
16.26
16.05
0.056
21.82
18.94
17.13
16.01
15.39
15.20
0.084
20.67
17.93
16.21
15.15
14.56
14.38
0.112
19.55
16.96
15.33
14.32
13.77
13.60
0.14
18.46
16.02
14.49
13.55
13.03
12.86
𝛼
2.2 Боковое выпучивание идеальных балок переменного поперечного
сечения
Рассмотрим вопрос устойчивости плоской формы изгиба балок переменного
сечения на примере консольной балки, высота сечения которой меняется по
линейному
закону
(рис.
2.15).
Пусть
на
балку
действует
равномерно
распределенная по длине нагрузка 𝑞. Начало отсчета примем в защемлении.
Закон изменения высоты сечения можно записать в виде:
44
ℎ(𝜉 ) = 𝐻 (1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 ).
(2.47)
Будем считать, что положение точки приложения нагрузки относительно
центра тяжести также меняется по линейному закону:
𝑎(𝜉 ) = 𝑎0 (1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 ).
(2.48)
Изгибающий момент определяется по формуле:
𝑞𝑙2
𝑞𝑥 2
𝑀𝑦 (𝑥 ) = −
+ 𝑞𝑙𝑥 −
.
2
2
Или в безразмерных координатах:
𝑞𝑙2
(−1 + 2𝜉 − 𝜉 2).
𝑀𝑦 (𝜉 ) =
2
(2.49)
(2.50)
Рисунок 2.15 – Консольная балка переменного сечения
Осевой момент инерции 𝐼𝑧 и момент инерции при кручении 𝐼к запишутся в
виде:
ℎ (𝜉 )𝑏3
= 𝐼𝑧0 (1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 );
12
ℎ(𝜉 )𝑏3
𝐼к (𝜉 ) =
= 𝐼к0(1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 ),
3
𝐼𝑧 (𝜉 ) =
(2.51)
где 𝐼к0 = 𝐻𝑏3 ⁄3 , 𝐼𝑧0 = 𝐻𝑏 3/12.
Введем следующие обозначения:
𝑎0 𝐸𝐼𝑧0
𝛼 = √ 0;
𝑙 𝐺𝐼к
(2.52)
45
𝑞2𝑙6
𝜆= 0 0.
𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
С учетом принятых обозначений уравнение (2.1) можно представить в виде:
𝑑 2 𝜃 𝑑𝜃
+
𝑓 (𝜉 ) + 𝜃 (√𝜆𝛼 + 𝜆𝑓2(𝜉 )) = 0,
𝑑𝜉 2 𝑑𝜉 1
где
(2.53)
(−1 + 2𝜉 − 𝜉 2)2
𝛾−1
𝑓1(𝜉 ) =
; 𝑓 (𝜉 ) =
.
1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 2
4(1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 )2
Граничные условия запишутся в виде:
при 𝜉 = 0: 𝜃 = 0;
(2.54)
𝑑𝜃
при 𝜉 = 1:
= 0.
𝑑𝜉
Задача может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений
вида
(2.26).
Соответствующие
дифференциальному
уравнению
(2.53)
с
граничными условиями (2.54) матрицы [𝐴], [𝐵 ], [𝐶] запишутся следующим
образом:
−2
1
1 0
[𝐴] = 2 …
Δ𝜉 0
1
−2
1
…
0
0 0
1 0
−2 1
… …
0 0
…
…
…
…
…
0
0
0
0
0
0
0
0
0
…
…
… +
1
−2
1
Δ𝜉
3
0
0
0
0
…
−2Δ𝜉
Δ𝜉
[
2
2 ]
0
𝑓1(𝜉2 )
0
0
…
0
0
0
−𝑓1(𝜉3 )
0
𝑓1 (𝜉3 )
0
…
0
0
0
1
0
−𝑓1(𝜉4 )
0
𝑓1(𝜉4 ) …
0
0
0
+
;
2Δ𝜉
…
…
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
… −𝑓1 (𝜉𝑛 ) 0 𝑓1(𝜉𝑛 )
[ 0
0
0
0
…
0
0
0 ]
𝑓2 (𝜉2 )
0
…
0
0
1 0 … 0 0
0 1 … 0 0
0
𝑓2 (𝜉3) …
0
0
[𝐵 ] =
…
…
…
…
… ; [𝐶 ] = … … … … … .
0 0 … 1 0
0
0
… 𝑓2 (𝜉𝑛 ) 0
[
[ 0
0 0 … 0 0]
0
…
0
0]
Критическая нагрузка может быть определена по формуле:
(2.55)
46
√𝐺𝐼к0𝐸𝐼𝑧0
√𝜆√𝐺𝐼к0 𝐸𝐼𝑧0
(2.56)
𝑞кр =
=𝐾
.
3
3
𝑙
𝑙
График, показывающий изменение коэффициента 𝐾 в зависимости от 𝛼 и 𝛾,
приведен на рис. 2.16.
Рисунок 2.16 – Изменение коэффициента 𝐾 в зависимости от 𝛼 и γ
Рассмотрим также действие на консольную балку переменной жесткости
сосредоточенной силы 𝐹 на расстоянии 𝑎 от центра тяжести (рис. 2.17). Начало
отсчета как и ранее примем в защемлении. Изгибающий момент определяется по
формуле:
𝑀𝑦 = −𝐹 (𝑙 − 𝑥 ).
(2.57)
Или в безразмерных координатах:
𝑀𝑦 (𝜉 ) = −𝐹𝑙 (1 − 𝜉 ).
(2.58)
Задачу можно свести к следующему уравнению:
𝑑 2𝜃
𝑑𝜃
(
)
+
𝑓
𝜉
+ 𝜆𝑓2(𝜉 )𝜃 = 0,
1
𝑑𝜉 2
𝑑𝜉
(2.59)
47
где
(1 − 𝜉 )2
𝛾−1
𝐹2 𝑙4
𝑓1(𝜉 ) =
; 𝑓 (𝜉 ) =
; 𝜆 = 0 0.
(1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 )2
1 − 𝜉 + 𝛾𝜉 2
𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧
Критическая сила определяется по формуле:
𝐹кр =
√𝐺𝐼к0 𝐸𝐼𝑧0
√𝜆√𝐺𝐼к0𝐸𝐼𝑧0
=
𝐾
.
𝑙2
𝑙2
(2.60)
Рисунок 2.17 – Консольная балка переменной жесткости под действием
сосредоточенной силы 𝐹
Граничные условия записываются в виде:
При 𝑥 = 0:
при 𝑥 = 𝑙:
𝜃 = 0;
𝑀к = −𝑃𝑎𝜃 = 𝐺𝐼к
(2.61)
𝑑𝜃
.
𝑑𝑥
(2.62)
Условие (2.62) можно представить в следующем виде:
𝑑𝜃 1
+ √𝜆𝛼𝜃 = 0,
𝑑𝜉 𝛾
(2.63)
48
где
𝛼=
𝑎 𝐸𝐼𝑧0
√
.
𝑙 𝐺𝐼к0
При использовании метода конечных разностей задачу можно свести к
системе уравнений (2.26). Матрицы [𝐴] и [𝐵] вычисляются по формулам (2.55), а
матрица [𝐶] записывается в виде:
0
1 0
[𝐶 ] = …
𝛾
0
[0
0
0
…
0
0
…
…
…
0
0
0
0
….
0
1]
(2.64)
Полученный в результате график изменения коэффициента 𝐾 в зависимости
от параметров 𝛼 и 𝛾 представлен на рис. 2.18.
Рисунок 2.18 – Изменение коэффициента 𝐾 в зависимости от параметров 𝛼 и 𝛾
2.3 Боковое выпучивание балок с учетом начальных несовершенств
Получим разрешающее уравнение для балки переменного поперечного
сечения, имеющей начальное искривление, которое задается двумя функциями:
𝑣0 = 𝑣0(𝑥) и 𝜃0 = 𝜃0 (𝑥) (рис. 2.19). Помимо начального искривления будем также
49
учитывать приложение нагрузки 𝑞 с эксцентриситетом 𝑒. Элемент балки после
деформации представлен на рис. 2.20.
Рисунок 2.19 – Элемент балки с начальными несовершенствами
Рисунок 2.20 – Элемент балки после деформации
При боковом выпучивании балки в ней возникает крутящий момент 𝑀𝑥 .
Сумму моментов запишем для оси 𝑥 идеальной недеформированной балки:
50
𝑀𝑥 + 𝑑𝑀𝑥 + 𝑞𝑑𝑥 (
𝑣 + 𝑣0 + (𝑣 + 𝑣0 + 𝑑(𝑣 + 𝑣0 ))
+ 𝑒 + 𝑎(𝜃 + 𝜃0 )) −
2
(2.65)
−𝑀𝑥 = 0.
После отбрасывания величин более высокого порядка малости, получим:
𝑑𝑀𝑥
= −𝑞(𝑣 + 𝑣0 + 𝑒 + 𝑎 (𝜃 + 𝜃0)).
𝑑𝑥
(2.66)
Крутящий момент, действующий относительно оси 𝑥′, можно вычислить по
формуле:
𝑀𝑥 ′ = 𝑀𝑥 − 𝑄 (𝑣 + 𝑣0 ) + 𝑀𝑦 (
𝑑𝑣 𝑑𝑣0
+
).
𝑑𝑥 𝑑𝑥
(2.67)
Связь крутящего момента с относительным углом закручивания для упругой
балки имеет вид:
𝑀𝑥 ′ = 𝑀к = 𝐺𝐼к
𝑑𝜃
,
𝑑𝑥
(2.68)
где 𝐼к – момент инерции при кручении.
Приравняем (2.67) к (2.68):
𝑀𝑥 − 𝑄 (𝑣 + 𝑣0 ) + 𝑀𝑦 (
𝑑𝑣 𝑑𝑣0
𝑑𝜃
+
) = 𝐺𝐼к .
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
(2.69)
Продифференцируем далее равенство (2.69) по 𝑥:
𝑑𝑀𝑥
𝑑𝑣 𝑑𝑣0
𝑑𝑄
𝑑 2 𝑣 𝑑 2𝑣0
(𝑣 + 𝑣0 ) + 𝑀𝑦 ( 2 +
−𝑄( +
)−
)+
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
2
+
(2.70)
𝑑𝑀𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑣0
𝑑 𝜃 𝑑(𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃
( +
) = 𝐺𝐼к 2 +
.
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
С учетом того, что
𝑑𝑀𝑦
𝑑𝑥
= 𝑄, а
𝑑𝑄
𝑑𝑥
= −𝑞 равенство (2.70) перепишется в виде:
𝑑 2 𝑣 𝑑 2𝑣0
𝑑 2𝜃 𝑑(𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃
𝑀𝑦 ( 2 +
) = 𝐺𝐼к 2 +
+ 𝑞(𝑒 + 𝑎(𝜃 + 𝜃0)).
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
(2.71)
Изгибающий момент 𝑀𝑧 ′ можно вычислить как:
𝑑 2𝑣
𝑀𝑧 ′ = 𝑀𝑦 (𝜃 + 𝜃0 ) = −𝐸𝐼𝑧 2 .
𝑑𝑥
(2.72)
51
Выражая из (2.72) величину
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥 2
и далее подставляя ее в (2.71), получим
основное разрешающее уравнение:
𝑀𝑦2
𝑑 2𝜃 𝑑(𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃
𝑑 2𝑣0 𝑀𝑦2 𝜃0
𝐺𝐼к 2 +
+𝜃(
+ 𝑞𝑎) = −𝑞(𝑒 + 𝑎𝜃0) + 𝑀𝑦
−
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑧
𝑑𝑥 2
𝐸𝐼𝑧
(2.73)
Приведем пример расчета шарнирно опертой по концам деревянной балки
(рис. 2.21), к которой нагрузка 𝑞 приложена с эксцентриситетом 𝑒. В опорных
сечения рассматриваемой балки исключен поворот относительно ее продольной
оси.
Вычисления выполнялись при 𝑙 = 4 м, 𝑏 = 5 см, ℎ = 15 см, 𝐸 = 104 МПа,
𝐺 = 500 МПа. При отсутствии начальных несовершенств потеря устойчивости для
такой балки происходит при 𝑞кр = 2.56 кН/м.
На рис. 2.22 представлены графики зависимости максимального угла
закручивания 𝜃 от нагрузки 𝑞 при различной величине эксцентриситета 𝑒. Из
представленного графика видно, что для упругой балки начальные несовершенства
не оказывают значительного влияния на процесс потери устойчивости. Во всех
случаях при приближении к критической нагрузке наблюдается резкий рост
относительного угла закручивания.
Рисунок 2.21 – Расчетная схема
52
Рисунок 2.22 – Зависимость максимального угла закручивания 𝜃 от нагрузки при
различной величине эксцентриситета 𝑒
Также была решена задача для рассмотренной выше балки при отсутствии
эксцентриситета, но с учетом начальной погиби 𝑣0(𝑥) и начального угла
закручивания 𝜃0 (𝑥), которые задавались выражениями:
𝜋𝑥
𝜃0(𝑥) = 𝑇0 sin
;
𝑙
𝜋𝑥
𝑣0 (𝑥 ) = 𝑓0 sin ,
𝑙
(2.74)
где 𝑇0 и 𝑣0 – соответственно максимальная величина угла закручивания и
начальной погиби в плоскости наименьшей жесткости.
Графики зависимости максимального угла закручивания от нагрузки при
различных величинах 𝑇0 и 𝑣0 приведены на рис. 2.23. Из представленных графиков
видно, что независимо от величины начальных несовершенств при значениях 𝑞,
близких к 𝑞кр, наблюдается резкий рост перемещений.
53
Рисунок 2.23 – Зависимость максимальной величины 𝜃 от нагрузки при различной
величине начальной погиби и начального угла закручивания балки
2.4 Выводы по главе
Разработана методика расчета идеальных упругих балок постоянного и
переменного сечения на устойчивость плоской формы изгиба с учетом приложения
нагрузки не в центре тяжести поперечного сечения. Для расчета предложен
итерационный алгоритм, реализованный в пакете MATLAB и заключающийся в
последовательном решении обобщенных вековых уравнений.
Для
некоторых
коэффициент,
вариантов
учитывающий
нагружения
положение
определен
точки
корректирующий
приложения
нагрузки.
Достоверность результатов подтверждена конечно-элементным моделированием в
программном комплексе ЛИРА-САПР 2013, а также путем сравнения с
аналитическим решением проф. А.С. Вольмира.
Получено дифференциальное уравнение для расчета на устойчивость
плоской формы изгиба балок переменной жесткости с учетом начальных
несовершенств в виде эксцентриситета приложения нагрузки, а также начальной
погиби в плоскости наименьшей жесткости и начального угла закручивания.
54
Установлено, что для упругих балок начальные несовершенства не оказывают
влияния на потерю устойчивости: при приближении к критической нагрузке,
независимо от величины начальных неправильностей, перемещения балки резко
возрастают.
55
ГЛАВА 3. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ НЕКРУГЛОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ
НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
3.1 Кручение вязкоупругого бруса некруглого поперечного сечения
Прежде чем перейти к расчету балок на устойчивость плоской формы изгиба
с учетом вязкоупругости, необходимо рассмотреть задачу ползучести брусьев
некруглого поперечного сечения при кручении. Расчетная схема бруса
с
произвольным поперечным сечением представлена на рис. 3.1.
Решение задачи о свободном кручении упругого стержня некруглого
поперечного сечения было получено Сен-Венаном [84].
Рисунок 3.1 – Расчетная схема
При решении будем использовать допущения, введенные Сен-Венаном:
1. Для перемещений 𝑣 и 𝑤 в плоскости 𝑂𝑦𝑧 справедливы те же соотношения,
что и при кручении стержней круглого поперечного сечения [84]:
𝑣 = −𝜗𝑥𝑧; 𝑤 = 𝜗𝑥𝑦,
где 𝜗 =
𝑑𝜃
𝑑𝑥
(3.1)
– относительный угол закручивания.
2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания
𝜗, т.е.
𝑢 = 𝜗𝜓(𝑦, 𝑧).
(3.2)
Перемещения и деформации связаны соотношениями Коши [83]:
𝜀𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑤
= 0; 𝜀𝑦 =
= 0; 𝜀𝑧 =
= 0;
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.3)
56
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑣 𝜕𝑤
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝜓
+
= 0; 𝛾𝑥𝑦 =
+
= 𝜗 (−𝑧 +
);
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝛾𝑥𝑧 =
𝜕𝑤 𝜕𝑢
𝜕𝜓
+
= 𝜗 (𝑦 +
).
𝜕𝑥 𝜕𝑧
𝜕𝑧
Связь между касательными напряжениями и деформациями сдвига с учетом
ползучести записывается в виде:
∗
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺(𝛾𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦
) = 𝐺 (𝜗 (−𝑧 +
𝜕𝜓
∗
) − 𝛾𝑥𝑦
);
𝜕𝑦
𝜕𝜓
∗ )
∗
𝜏𝑥𝑧 = 𝐺 (𝛾𝑥𝑧 − 𝛾𝑥𝑧
= 𝐺 (𝜗 (𝑦 +
) − 𝛾𝑥𝑧
),
𝜕𝑧
(3.4)
∗
∗
где 𝐺 – модуль сдвига, 𝛾𝑥𝑦
и 𝛾𝑥𝑧
– сдвиговые деформации ползучести.
Крутящий момент определяется следующим образом:
𝑀к = ∫(𝜏𝑥𝑧 𝑦 − 𝜏𝑥𝑦 𝑧)𝑑𝐴,
(3.5)
𝐴
где 𝐴 – площадь поперечного сечения стержня.
Подставив (3.4) в (3.5), получим:
𝑀к = 𝐺𝜗 ∫ (𝑦 2 + 𝑧 2 +
𝐴
𝜕𝜓
𝜕𝜓
∗
∗
𝑦−
𝑧) 𝑑𝐴 + 𝐺 ∫(𝛾𝑥𝑦
𝑧 − 𝛾𝑥𝑧
𝑦)𝑑𝐴 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝐴
(3.6)
= 𝜗𝐺𝐼к − 𝑀к∗ ,
∗
∗
где 𝐼к – момент инерции при кручении, 𝑀к∗ = 𝐺 ∫𝐴(−𝛾𝑥𝑦
𝑧 + 𝛾𝑥𝑧
𝑦)𝑑𝐴.
Уравнения равновесия записываются в виде:
𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑧
+
+
+ 𝑋 = 0;
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑧
+
+
+ 𝑌 = 0;
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.7)
𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝜎𝑧
+
+
+ 𝑍 = 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 – объемные силы.
Подставив в третье уравнение (3.7) выражения для напряжений (3.4) при
отсутствии объемных сил получим:
57
∗
∗
𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕2 𝜓 𝜕2 𝜓
𝜕𝛾𝑥𝑧
+
= 𝐺𝜗 ( 2 +
)−𝐺(
+
) = 0;
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑧
2
𝜗∇ 𝜓(𝑦, 𝑧) =
+
.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.8)
Таким образом, в отличие от упругой задачи, функция 𝜓(𝑦, 𝑧) не является
гармонической функцией.
Введем функцию напряжений Ф(𝑦, 𝑧) по формулам:
𝜏𝑥𝑦 =
𝜕Ф
𝜕Ф
; 𝜏𝑥𝑧 = −
.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.9)
Из равенств (3.4) и (3.9) получим:
𝜕Ф
𝜕𝜓
∗
= 𝐺 (𝜗 (−𝑧 +
) − 𝛾𝑥𝑦
);
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.10)
𝜕Ф
𝜕𝜓
∗
−
= 𝐺 (𝜗 (𝑦 + ) − 𝛾𝑥𝑧
).
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Исключим
из
(3.10)
функцию
𝜓.
Для
этого
первое
равенство
продифференцируем по 𝑦, а второе по 𝑥 и вычтем из первого равенства второе:
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕2 Ф
𝜕2 𝜓
= 𝐺 (𝜗 (−1 +
)−
);
𝜕𝑧 2
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑧
∗
𝜕2 Ф
𝜕𝜓
𝜕𝛾𝑥𝑧
− 2 = 𝐺 (𝜗 (1 +
)−
);
𝜕𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.11)
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕2 Ф 𝜕2 Ф
𝜕𝛾𝑥𝑧
+
= −2𝐺𝜗 + 𝐺 (
−
).
𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Граничное условие на контуре для односвязных сечений имеет вид Ф = 0 [84].
Крутящий момент связан с функцией Ф следующим образом [84]:
𝑀к = 2 ∫ Ф 𝑑𝐴.
(3.12)
𝐴
Методика решения задачи. В случае прямоугольного сечения уравнение
(3.11), которое представляет собой уравнение Пуассона, может быть решено
методом конечных разностей. В остальных случаях оно решается методом
конечных элементов. Интервал времени, на котором исследуется процесс
ползучести, разбивается на 𝑛 шагов ∆𝑡. На первом этапе решается упругая задача
58
∗
∗
при 𝑡 = 0, 𝛾𝑦𝑧
= 𝛾𝑥𝑧
= 0. Зная крутящий момент, можно определить величину
относительного угла закручивания:
𝜗=
𝑀к
.
𝐺𝐼к
(3.13)
Далее величина 𝜗 подставляется в уравнение (3.11) и определяется функция
Ф. По функции Ф определяются касательные напряжения. Если закон ползучести
задан в дифференциальной форме, то, зная величины напряжений, можно
определить скорости роста деформаций ползучести
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑡
и
∗
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑡
∗
. Деформации 𝛾𝑥𝑦
и
∗
𝛾𝑥𝑧
в момент времени 𝑡 + ∆𝑡 можно найти следующим образом:
∗
𝛾𝑡+∆𝑡
= 𝛾𝑡∗ +
𝜕𝛾 ∗
∆𝑡.
𝜕𝑡
(3.14)
Данная аппроксимация имеет всего лишь первый порядок точности, однако
при достаточно густой сетке по времени она дает приемлемые результаты. Более
эффективным является метод Рунге-Кутта четвертого порядка, однако его
использование усложняет расчет.
∗
∗
Определив величины 𝛾𝑥𝑦
и 𝛾𝑥𝑧
, можно путем численного интегрирования
найти величину 𝑀к∗ . Далее определяется относительный угол закручивания 𝜗:
𝑀к + 𝑀к∗
𝜗=
.
𝐺𝐼к
(3.15)
Затем все перечисленные выше операции повторяются для момента времени
𝑡 + ∆𝑡. Расчетная блок-схема показана на рис. 3.2.
59
Ввод исходных данных
Определение 𝐺𝐼к
∗
∗
𝑖 = 1; 𝑡 = 0; 𝛾𝑥𝑧
= 0; 𝛾𝑥𝑦
=0
Определение 𝑀к∗
𝑀к + 𝑀к∗
𝜗=
𝐺𝐼к
Определение функции Ф из уравнения:
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕2 Ф 𝜕 2 Ф
𝜕𝛾𝑥𝑧
+
= −2𝐺𝜗 + 𝐺 (
−
).
𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Определение напряжений,
нет
𝜕𝛾∗
𝜕𝑡
𝑖 ≤ 𝑛𝑡 + 1
да
𝑖 = 𝑖 + 1; 𝑡 = 𝑡 + Δ𝑡
∗
𝛾𝑡+∆𝑡
= 𝛾𝑡∗ +
𝜕𝛾 ∗
∆𝑡.
𝜕𝑡
Вывод результатов
Рисунок 3.2 – Расчетная блок-схема
3.2 Конечно-элементная реализация задачи о кручении вязкоупругого бруса
Перепишем третье равенство в (3.11) в следующем виде:
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝛻 Ф(𝑦, 𝑧) + 2𝐺𝜗 − 𝐺 (
−
) = 0.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
2
(3.16)
60
Решение
уравнения
(3.16)
удовлетворяет
минимуму
следующего
функционала [85]:
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
1 𝜕Ф 2 1 𝜕Ф 2
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝜒 = ∫ [ ( ) + ( ) − 𝐺 {2𝜗 − (
−
)} Ф] 𝑑𝐴.
2 𝜕𝑦
2 𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.17)
𝐴
Построение системы уравнений МКЭ рассмотрим на примере треугольного
конечного элемента, изображенного на рис. 3.3.
Рисунок 3.3 – Используемый конечный элемент
Для функции Ф принимается следующая аппроксимация:
Ф = 𝑁𝑖 Ф𝑖 + 𝑁𝑗 Ф𝑗 + 𝑁𝑘 Ф𝑘 ,
(3.18)
где 𝑁𝑖 , 𝑁𝑗 , 𝑁𝑘 – функции формы.
𝑁𝑖 =
где
1 𝑦i
1
𝐴 = |1 𝑦𝑗
2
1 𝑦𝑘
𝑧𝑖
𝑧𝑗 |
𝑧𝑘
1
(𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 + 𝑐𝑖 𝑧),
2𝐴 𝑖
(3.19)
– площадь конечного элемента, 𝑎𝑖 = 𝑦𝑗 𝑧𝑘 − 𝑦k 𝑧𝑗
𝑏𝑖 = 𝑧𝑗 − 𝑧𝑘 , 𝑐i = 𝑦𝑘 − 𝑦𝑗 .
Функции 𝑁𝑗 и 𝑁𝑘 определяются по аналогии с 𝑁𝑖 . Выражения для
коэффициентов 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 , 𝑐𝑗 , 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 , 𝑐𝑘 можно получить циклической заменой индексов
𝑖 → 𝑗 → 𝑘 → 𝑖.
Градиент функции Ф можно записать в виде:
𝜕Ф
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑦
=
𝜕Ф
𝜕𝑁𝑖
{ 𝜕𝑧 } [ 𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑗
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑗
𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑘
Ф𝑖
𝑏
𝜕𝑦
{ Ф𝑗 } = [ 𝑐𝑖
𝑖
𝜕𝑁𝑘
Ф𝑘
𝜕𝑧 ]
𝑏𝑗
𝑐𝑗
𝑏𝑘
{ }
𝑐𝑘 ] Ф .
(3.20)
61
Первые два слагаемых в функционале (3.17) можно записать в виде:
2
𝜕Ф
𝜕Ф 𝜕𝑦
}
=
𝜕𝑧 𝜕Ф
{ 𝜕𝑧 }
2
1 𝜕Ф
1 𝜕Ф
1 𝜕Ф
( ) + ( ) = {
2 𝜕𝑦
2 𝜕𝑧
2 𝜕𝑦
1
𝑏𝑖
= {Ф}𝑇 [ 𝑐
2
𝑖
𝑏𝑗
𝑐𝑗
𝑏𝑘 𝑇 𝑏𝑖
𝑐𝑘 ] [ 𝑐𝑖
Будем считать, что производные
∗
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑦
𝑏𝑗
𝑐𝑗
и
(3.21)
𝑏𝑘
{ }
𝑐𝑘 ] Ф .
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑧
в пределах конечного элемента
постоянны. Тогда оставшуюся часть функционала (3.17) можно записать в виде:
∗
∗
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝜕𝛾𝑥𝑧
∫ 𝐺 {2𝜗 − (
−
)} Ф 𝑑𝐴 = 𝐺 {2𝜗 − (
−
)} ∫ Ф𝑑𝐴.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝐴
(3.22)
𝐴
Интеграл в (3.22) вычисляется следующим образом:
∫ Ф𝑑𝐴 = ∫{𝑁𝑖
𝐴
𝑁𝑗
𝑁𝑘 }{Ф}𝑑𝐴 =
𝐴
𝐴
{1
3
1 1}{Ф} =
1
𝐴
{Ф}𝑇 {1}.
3
1
(3.23)
Подставив (3.23) в (3.22), а затем (3.22) и (3.21) в (3.20) и далее
минимизировав функционал 𝜒 по вектору узловых значений функции Ф (
𝜕𝜒
𝜕{Ф}
= 0),
получим систему линейных алгебраических уравнений:
[𝐾 ]{Ф} = {𝑃},
(3.24)
где [𝐾] – матрица жесткости, {𝑃} – вектор нагрузки.
𝑏
[𝐾 ] = [ 𝑖
𝑐𝑖
𝑏𝑗
𝑐𝑗
𝑏𝑘 𝑇 𝑏𝑖
𝑐𝑘 ] [ 𝑐𝑖
𝑏𝑗
𝑐𝑗
𝑏𝑘
𝑐𝑘 ] ∙ 𝐴.
(3.25)
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝐴 1
{𝑃} = 𝐺 {2𝜗 − (
−
)} {1}.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
3
1
(3.26)
Производные от деформаций ползучести в элементе вычисляются по
∗
∗
узловым значениям 𝛾𝑥𝑧
и 𝛾𝑥𝑦
:
∗
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝜕𝑦
= [𝑏𝑖
𝑏𝑗
∗
𝛾𝑥𝑧,𝑖
∗
𝑏𝑘 ] { 𝛾𝑥𝑧,𝑗
};
∗
𝛾𝑥𝑧,𝑘
(3.27)
62
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝑧
= [𝑐𝑖
∗
𝛾𝑥𝑦,𝑖
∗
𝑐𝑘 ] { 𝛾𝑥𝑦,𝑗
}.
∗
𝛾𝑥𝑦,𝑘
𝑐𝑗
Касательные напряжения в элементах можно вычислить по формулам:
𝜕Ф
𝜏𝑥𝑧 = −
= −[𝑏𝑖
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑦 =
𝜕Ф
= [𝑐𝑖
𝜕𝑧
𝑏𝑗
𝑐𝑗
Ф𝑖
𝑏𝑘 ] { Ф𝑗 } ;
Ф𝑘
Ф𝑖
𝑐𝑘 ] { Ф𝑗 }.
Ф𝑘
(3.28)
Напряжения в узлах определяются по напряжениям в элементах следующим
образом: для каждого узла суммируются напряжения в элементах, которым
принадлежит узел, и затем полученное число делится на количество элементов,
содержащих данный узел. Деформации ползучести в узлах определяются по
напряжениям в узлах.
Рассмотрим также получение матрицы жесткости и вектора нагрузки для
прямоугольного конечного элемента, представленного на рис. 3.4.
Рисунок 3.4 – Прямоугольный КЭ
Аппроксимация функции Ф записывается в виде:
Ф = 𝑁𝑖 Ф𝑖 + 𝑁𝑗 Ф𝑗 + 𝑁𝑘 Ф𝑘 + 𝑁𝑙 Ф𝑙 ,
где
1 𝑎
𝑏
1 𝑎
𝑏
( − 𝑦) ( − 𝑧) ; 𝑁𝑗 =
( + 𝑦) ( − 𝑧) ;
𝑎𝑏 2
2
𝑎𝑏 2
2
1 𝑎
𝑏
1 𝑎
𝑏
𝑁𝑘 =
( + 𝑦) ( + 𝑧) ; 𝑁𝑙 =
( − 𝑦) ( + 𝑧).
𝑎𝑏 2
2
𝑎𝑏 2
2
𝑁𝑖 =
Градиент функции Ф примет вид:
(3.29)
63
где
𝜕Ф
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑗 𝜕𝑁𝑘 𝜕𝑁𝑙 Ф𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦 Ф𝑗
=
{ } = [𝐵 ]{Ф},
𝜕Ф
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑗 𝜕𝑁𝑘 𝜕𝑁𝑙 Ф𝑘
{ 𝜕𝑧 } [ 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧 ] Ф𝑙
1 𝑏
1 𝑏
1 𝑏
1 𝑏
− ( − 𝑧)
( − 𝑧)
( − 𝑧) − ( + 𝑧 )
𝑎𝑏 2
𝑎𝑏 2
𝑎𝑏 2
[𝐵 ] = [ 𝑎𝑏 2
].
1 𝑎
1 𝑎
1 𝑎
1 𝑎
− ( − 𝑦) − ( + 𝑦)
( + 𝑦)
( − 𝑦)
𝑎𝑏 2
𝑎𝑏 2
𝑎𝑏 2
𝑎𝑏 2
(3.30)
Матрица жесткости с учетом (3.30) запишется в виде:
𝑎/2
[𝐾 ] = ∫[𝐵 ]𝑇 [𝐵]𝑑𝐴 = ∫
𝐴
𝑏/2
∫ [𝐵 ]𝑇 [𝐵]𝑑𝑦𝑑𝑥 .
(3.31)
−𝑎/2 −𝑏/2
Элементы матрицы [𝐾] имеют вид:
𝑎2 + 𝑏 2
𝑎
𝑏
𝐾1,1 = 𝐾2,2 = 𝐾3,3 = 𝐾4,4 =
; 𝐾1,2 = 𝐾2,1 = 𝐾3,4 = 𝐾4,3 =
−
;
3𝑎𝑏
6𝑏 3𝑎
𝑎2 + 𝑏 2
𝑏
𝑎
𝐾1,3 = 𝐾3,1 = 𝐾2,4 = 𝐾4,2 = −
; 𝐾1,4 = 𝐾4,1 = 𝐾2,3 = 𝐾3,2 =
−
.
6𝑎𝑏
6𝑎 3𝑏
Вектор {𝑃} вычисляется следующим образом:
𝑎
2
𝑏
2
𝑁𝑖
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝑁𝑗
{𝑃} = 𝐺 (2𝜗 − (
−
)) ∫ ∫ { } 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑁𝑘
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑎 𝑏
−2 −
2 𝑁𝑙
∗
𝜕𝛾𝑥𝑧
(3.32)
1
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑧
𝑎𝑏 1
= 𝐺 (2𝜗 − (
−
)) ·
{ }.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
4 1
1
3.3 Решение тестовых задач
3.3.1 Кручение полимерного бруса прямоугольного поперечного сечения
Рассматривается брус прямоугольного поперечного сечения размерами 𝑏 =
2 см, ℎ = 4 см из вторичного поливинилхлорида (𝐸 = 1480 МПа, 𝜈 = 0.3),
испытывающий действие крутящего момента 𝑀к = 10 кН · см.
64
В качестве закона ползучести выбрано обобщенное уравнение МаксвеллаГуревича, имеющее вид [86]:
∗
∂𝜀𝑖𝑗
∂𝑡
=
𝑓𝑖𝑗∗
𝜂∗
,
𝑖 = (𝑥, y , 𝑧), 𝑗 = (𝑥, y, 𝑧),
(3.33)
∗
где 𝜀𝑖𝑗
– деформации ползучести, 𝑓𝑖𝑗∗ – функции напряжений, 𝜂 ∗ – релаксационная
вязкость.
𝑓𝑖𝑗∗ =
3
∗
(𝜎𝑖𝑗 − 𝑝𝛿𝑖𝑗 ) − 𝐸∞ 𝜀𝑖𝑗
;
2
∗ |
|𝑓max
1
1
= exp ( ∗ ),
𝜂∗ 𝜂0∗
𝑚
(3.34)
(3.35)
где 𝑝 – среднее напряжение, 𝐸∞ – модуль высокоэластичности, 𝜂0∗ – начальная
релаксационная вязкость, 𝑚∗ – модуль скорости.
Из формулы (3.35) видно, что релаксационная вязкость экспоненциально
зависит от напряжений, что обуславливает нелинейность задачи.
Реологические параметры вторичного ПВХ приводятся в работе [87]: 𝐸∞ =
5990 МПа, 𝑚∗ = 12.6 МПа, 𝜂0∗ = 9.06 ∙ 105 МПа ∙ мин.
В случае свободного кручения относительно оси 𝑥 отличны от нуля только
напряжения 𝜏𝑥𝑧 и 𝜏𝑥𝑦 . Уравнения (3.33) и (3.34) запишутся в виде:
∗
∗
∗
∗
∂𝜀𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑦
∂𝜀𝑥𝑧
𝑓𝑥𝑧
= ∗;
= ∗;
∂𝑡
𝜂
∂𝑡
𝜂
3
3
∗
∗
∗
∗
𝑓𝑥𝑧
= 𝜏𝑥𝑧 − 𝐸∞ 𝜀𝑥𝑧
; 𝑓𝑥𝑦
= 𝜏𝑥𝑦 − 𝐸∞ 𝜀𝑥𝑦
.
2
2
1
1
2
2
(3.36)
∗
∗
∗
∗
В формулах (3.40) 𝜀𝑥𝑧
= 𝛾𝑥𝑧
, 𝜀𝑥𝑦
= 𝛾𝑥𝑦
.
Решение выполнялось при помощи метода конечных разностей, а также
метода конечных элементов с использованием треугольных и прямоугольных КЭ.
При использовании прямоугольных КЭ сечение разбивалось на 8 отрезков по 𝑦 и
16 отрезков по 𝑧 (∆𝑦 = ∆𝑧 = 0.25 см). Для треугольных КЭ минимальный размер
стороны принимался равным 0.25 см (сетка показана на рис. 3.5). При
использовании МКР расчет выполнялся для сетки с ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0.25 см, а также для
более густой сетки ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0.1538 см.
65
На рис. 3.6 приведен график изменения во времени относительного угла
закручивания. Расхождение результатов, полученных различными методами,
незначительное. Из представленных графиков также видно, что при использовании
МКР по сравнению с МКЭ требуется более густая сетка.
Рисунок 3.5 – Сетка КЭ при использовании треугольных элементов
Рисунок 3.6 – Изменение во времени относительного угла закручивания
66
На рис. 3.7 представлено изменение во времени наибольшей величины
касательных напряжений 𝜏𝑥𝑦 . Напряжения 𝜏𝑥𝑦 принимают свое максимальное
значение на серединах коротких сторон прямоугольника. Рис. 3.8 – то же для
напряжений 𝜏𝑥𝑧 , которые принимают максимальные значения на серединах
длинных сторон.
Из рис. 3.7-3.8 видно, что в начале процесса ползучести напряжения в
стержне быстро убывают, и затем происходит возврат к упругому решению.
Графики изменения напряжений 𝜏𝑥𝑦 и 𝜏𝑥𝑧 как функций от 𝑦 и 𝑧 при 𝑡 → ∞
приведены на рис. 3.9-3.10.
Рисунок 3.7 – Изменение во времени наибольшей величины касательных
напряжений 𝜏𝑥𝑦
67
Рисунок 3.8 – Изменение во времени наибольшей величины напряжений 𝜏𝑥𝑧
Рисунок 3.9 – Изменение напряжений 𝜏𝑥𝑦 в зависимости от 𝑦 и 𝑧 при 𝑡 → ∞
68
Рисунок 3.10 – Изменение напряжений 𝜏𝑥𝑧 в зависимости от 𝑦 и 𝑧 при 𝑡 → ∞
Если материал стержня подчиняется уравнению Максвелла-Гуревича, то
имеется возможность получить решение в конце процесса ползучести, заменив
мгновенный модуль сдвига 𝐺 на длительный 𝐺дл, вычисленный по формуле:
𝐺дл =
𝐺 ∙ 𝐺∞
,
𝐺 + 𝐺∞
(3.37)
где 𝐺∞ = 𝐸∞ /3.
Отношение величин 𝜗 при 𝑡 → ∞ и при 𝑡 = 0 должно быть равно отношению
мгновенного модуля сдвига к длительному, которое для рассмотренного примера
составило:
𝐺
𝐺дл
=1+
𝐺
𝐺∞
= 1.2851. При численном расчете отношение
𝜗|𝑡→∞
𝜗|𝑡=0
оказалось равным 1.2863.
3.3.2 Релаксация напряжений в закрученном полимерном брусе
Исследуем
процесс
релаксации
напряжений
в
полимерном
брусе,
относительный угол закручивания которого во времени остается постоянным.
Алгоритм расчета при этом немного отличается от изложенного в параграфе 3.1.
∗
∗
На первом шаге решается уравнение (3.11) при 𝑡 = 0, 𝛾𝑥𝑧
= 0, 𝛾𝑥𝑦
= 0. После
69
вычисления функции Ф по формулам (3.9) вычисляются касательные напряжения.
Далее по напряжениям определяются скорости роста деформаций ползучести, а
также деформации ползучести в момент времени 𝑡 + Δ𝑡 с использованием метода
Эйлера. Также по формуле (3.5) путем численного интегрирования можно
определить крутящий момент.
Расчет выполнялся для полимерного элемента из полиметилметакрилата при
𝑏 = 2 см, ℎ = 4 см, 𝜗 = 0.002 рад⁄см , 𝐸 = 2940 МПа, 𝜈 = 0.3. Для данного
материала также справедливо нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича.
Реологические параметры ПММА [88]: 𝐸∞ = 2940 МПа, 𝑚∗ = 4.5 МПа, 𝜂0∗ =
1010 МПа ∙ с.
На рис. 3.11-3.12 представлены соответственно графики изменения
максимальных величин напряжений 𝜏𝑥𝑦 и 𝜏𝑥𝑧 во времени. Напряжения в начале и
в конце процесса релаксации отличаются в 2.34 раза. Рис. 3.13 показывает
изменение во времени крутящего момента, который в процессе релаксации также
снизился в 2.34 раза. Отметим, что отношение 𝐺 ⁄𝐺дл для ПММА составляет 2.35.
Рисунок 3.11 – Изменение во времени максимальной величины напряжений 𝜏𝑥𝑦
70
Рисунок 3.12 – Изменение во времени максимальной величины напряжений 𝜏𝑥𝑧
Рисунок 3.13 – Изменение во времени крутящего момента
71
3.3.3 Кручение деревянного бруса прямоугольного сечения с учетом
ползучести
Рассмотрим далее задачу кручения деревянного бруса. Для дерева при
одноосном
растяжении-сжатии широко используется
линейное
уравнение
Максвелла-Томпсона, имеющее вид:
𝜕𝜀 ∗
1
𝐸дл
=
[(1 −
) 𝜎 − 𝐸дл 𝜀 ∗ ],
𝜕𝑡
𝑛𝐸
𝐸
(3.38)
где 𝐸 – мгновенный модуль упругости материала (𝐸 = 1.48 ∙ 104 МПа), 𝐸дл –
длительный модуль деформации (𝐸дл = (0.6 ÷ 0.75)𝐸 = 1 · 104 МПа) 𝑛 – время
релаксации (𝑛 = 10 ÷ 25 сут, обычно принимают 𝑛 = 18 сут).
Применительно к сдвиговым деформациям перепишем уравнение (3.38) в
виде:
𝜕𝛾 ∗
1
𝐺дл
=
[(1 −
) 𝜏 − 𝐺дл𝛾 ∗ ].
𝜕𝑡
𝑛𝐺
𝐺
(3.39)
Для расчетов примем 𝐺 = 500 МПа, а 𝐺дл = 0.675𝐺 = 338 МПа.
Вычисления выполнялись при 𝑏 = 4 см, ℎ = 10 см, 𝑀к = 10 кН ∙ см. График
роста относительного угла закручивания приведен на рис. 3.14.
Рисунок 3.14 – Рост относительного угла закручивания во времени
72
Отношение величин 𝜗 при 𝑡 → ∞ и 𝑡 = 0 составило 0.678, что примерно
равно отношению мгновенного модуля сдвига к длительному. Касательные
напряжения при использовании линейного закона ползучести во времени
постоянны.
3.4 Приближенная методика расчета на ползучесть для узких
прямоугольных сечений
В случае 𝑏 ≪ ℎ (рис. 3.15) обычно пренебрегают влиянием граничных
условий на коротких сторонах (𝑧 = ±ℎ/2) на распределение напряжений в
поперечном сечении. Следуя [84], примем функцию напряжений в виде:
𝑏2
Ф = 𝑎 ( − 𝑦 2 ).
4
(3.40)
где 𝑎 – параметр, подлежащий определению.
Функция (3.40) на длинных сторонах полосы
(y = ± b/2) обращается в нуль. На коротких сторонах
(z = ± h/2) она не равна нулю, однако этим будем
пренебрегать.
Подставляя (3.40) в выражение для крутящих
моментов (3.12), получим:
𝑏/2
𝑏2
𝑀к = 2 ∫ Ф𝑑𝐴 = 2𝑎 ∫ ( − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 ∙ ℎ =
4
𝐴
−𝑏/2
(3.41)
𝑎ℎ𝑏 3
=
.
3
Для принятой функции напряжений касательные
напряжения вычисляются следующим образом:
𝜏𝑥𝑧 = −
Рисунок 3.15 – Узкая
прямоугольная полоса
𝜕Ф
= −2𝑎𝑦;
𝜕𝑦
𝜕Ф
𝜏𝑥𝑦 =
= 0.
𝜕𝑧
(3.42)
73
Таким образом, влиянием напряжений 𝜏𝑥𝑦 на величину относительного угла
закручивания для узких полос обычно пренебрегают. Напряжения 𝜏𝑥𝑧 при заданной
функции напряжений по ширине сечения распределяются по линейному закону.
Явное задание функции напряжений предполагает, что напряжения во
времени постоянны. Последовательность расчета по приближенной методике
следующая:
1.
Зная величину крутящего момента, определяем из формулы (3.40) параметр
𝑎:
𝑎=
3𝑀к
.
ℎ𝑏3
(3.43)
2. Сечение по ширине разбивается на 𝑚 отрезков 𝛥y. Далее по формуле (3.40)
определяются касательные напряжения в каждой точке.
3. Интервал времени, на котором исследуется процесс ползучести, разбивается
на 𝑛 шагов 𝛥t. Поскольку при принятых допущениях 𝜏𝑥𝑦 = 0, то равны нулю на
∗
всем временном интервале и деформации ползучести 𝛾𝑥𝑦
.
4. При 𝑡 = 0 𝑀к∗ = 0. По формуле (3.15) определяем относительный угол
закручивания 𝜗, полагая 𝐼к = ℎ𝑏3/3.
5. По величинам касательных напряжений определяем скорость роста
деформаций ползучести. Деформации ползучести в момент времени 𝑡 + ∆𝑡
находим при помощи метода Эйлера (формула (3.14)).
6. Далее для момента времени 𝑡 + ∆𝑡 определяется величина 𝑀к∗ при помощи
численного интегрирования по формуле:
ℎ/2
∗
𝑀к∗ = 𝐺ℎ ∫ 𝛾𝑥𝑧
𝑦𝑑𝑦.
(3.44)
−ℎ/2
7. По формуле (3.15) определяется величина 𝜗 для момента времени 𝑡 + ∆𝑡.
Далее операции 5-7 повторяются для следующего шага по времени.
Предложенная методика является наиболее простой. Возможен еще один
вариант упрощения, основанный на пренебрежении касательными напряжениями
74
𝜏𝑥𝑦 . Вместо уравнения (3.11) в частных производных предлагается использовать
следующее дифференциальное уравнение:
∗
𝑑 2Ф
𝑑𝛾𝑥𝑧
= −2𝐺𝜗 + 𝐺
.
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
(3.45)
Граничные условия принимаются в виде Ф(−𝑏/2) = Ф(𝑏/2) = 0. Решение
уравнения (3.45) может быть выполнено при помощи метода конечных разностей.
После определения функции Ф касательные напряжения вычисляются путем
численного дифференцирования по формуле:
𝜏𝑥𝑧 = −
𝑑Ф
.
𝑑𝑦
(3.46)
Такой подход позволяет учесть возможность изменения напряжений 𝜏𝑥𝑧 во
времени.
Была решена тестовая задача для деревянного стержня c размерами
поперечного сечения 𝑏 = 1 см, ℎ = 10 см, закрученного крутящим моментом 𝑀к =
1 кН · см. На рис. 3.16 представлены графики роста относительного угла
закручивания. Черной сплошной линии соответствует решение без упрощающих
гипотез, красной штриховой – по приближенной методике при допущении, что
𝜏𝑥𝑦 = 0, а напряжения 𝜏𝑥𝑧 во времени постоянны. Синей сплошной линии
соответствует решение уравнения (3.45).
Из представленных графиков видно, что пренебрежение напряжениями 𝜏𝑥𝑦
даже для узких прямоугольных сечений приводит к существенным погрешностям.
Если в начале процесса ползучести результаты практически совпадают, то к концу
процесса расхождение составляет 17.7% для первого варианта упрощенной
методики и 18.8% для второго.
75
Рисунок 3.16 – Графики роста относительного угла закручивания
3.5 Кручение бруса прямоугольного сечения из упругопластического
материала
Пусть
для
материала
стержня
задана
зависимость
интенсивности
касательных напряжений 𝜏𝑖 от интенсивности деформаций сдвига 𝛾𝑖 при
кратковременном нагружении:
𝜏𝑖 = 𝑓 (𝛾𝑖 ),
где 𝜏𝑖 =
1
√6
2
(3.47)
2
2 + 𝜏 2 + 𝜏 2 ),
√(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 ) + (𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 )2 + 6(𝜏𝑥𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
2
2
2
3
2 + 𝛾 2 + 𝛾 2 ).
𝛾𝑖 = √ √(𝜀𝑥 − 𝜀𝑦 ) + (𝜀𝑦 − 𝜀𝑧 ) + (𝜀𝑧 − 𝜀𝑥 )2 + (𝛾𝑥𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
3
2
Если задана зависимость 𝜏𝑖 (𝛾𝑖 ), то касательный модуль сдвига 𝐺кас можно
найти по формуле:
𝐺кас =
𝜕𝜏𝑖
.
𝜕𝛾𝑖
(3.48)
76
При свободном кручении относительно оси 𝑥 напряжения 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 а
также линейные деформации 𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝜀𝑧 , 𝛾𝑦𝑧 отсутствуют. Выражения для
интенсивностей касательных напряжений и деформаций сдвига примут вид:
2 + 𝜏2 ;
𝜏𝑖 = √𝜏𝑥𝑦
𝑥𝑧
(3.49)
2 + 𝛾2 .
𝛾𝑖 = √𝛾𝑥𝑦
𝑥𝑧
Физически нелинейную задачу сведем к последовательному решению
упругих задач для стержня, у которого модуль сдвига является функцией от 𝑦 и 𝑧.
При выводе уравнений учтем также наличие ползучести материала. Уравнения
(3.4) для неоднородного в плоскости 𝑂𝑦𝑧 материала перепишутся в виде:
∗
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺(𝑦, 𝑧)(𝛾𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦
) = 𝐺(𝑦, 𝑧) (𝜗 (−𝑧 +
𝜕𝜓
∗
) − 𝛾𝑥𝑦
);
𝜕𝑦
𝜕𝜓
∗ )
∗
𝜏𝑥𝑧 = 𝐺 (𝑦, 𝑧)(𝛾𝑥𝑧 − 𝛾𝑥𝑧
= 𝐺 (𝑦, 𝑧) (𝜗 (𝑦 +
) − 𝛾𝑥𝑧
).
𝜕𝑧
(3.50)
Для получения разрешающего уравнения воспользуемся уравнением
равновесия:
𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑧
+
= 0.
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.51)
Подставляя (3.50) в (3.51), получим:
𝐺 (𝑦, 𝑧)∇2𝜓 +
𝜕𝐺 𝜕𝜓 𝜕𝐺 𝜕𝜓
𝜕𝐺
𝜕𝐺
+
=𝑧
−𝑦
+
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
1 𝜕
𝜕
∗
∗ )
+ [ (𝐺 (𝑦, 𝑧)𝛾𝑥𝑦
) + (𝐺 (𝑦, 𝑧)𝛾𝑥𝑧
].
𝜗 𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.52)
При отсутствии ползучести уравнение (3.52) переписывается в виде:
𝐺 (𝑦, 𝑧)∇2𝜓 +
𝜕𝐺 𝜕𝜓 𝜕𝐺 𝜕𝜓
𝜕𝐺
𝜕𝐺
+
=𝑧
−𝑦 .
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3.53)
Для прямоугольника размерами 𝑏 × ℎ (рис. 3.15) граничные условия
записываются в виде:
при 𝑧 = ±ℎ/2:
∗
𝜏𝑧𝑥 = 0, 𝛾𝑧𝑥
=0→
𝜕𝜓
= −𝑦;
𝜕𝑧
(3.54)
77
∗
𝜏𝑥𝑦 = 0, 𝛾𝑥𝑦
=0→
при 𝑦 = ±𝑏/2:
𝜕𝜓
= 𝑧.
𝜕𝑦
(3.55)
Крутящий момент вычисляется следующим образом:
𝑀к = ∫(𝜏𝑥𝑧 𝑦 − 𝜏𝑥𝑦 𝑧)𝑑𝐴 = 𝜗 ∫ 𝐺 (𝑦, 𝑧) (𝑦 2 + 𝑧 2 +
𝐴
𝐴
𝜕𝜓
𝜕𝜓
𝑦−
𝑧) 𝑑𝐴 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(3.56)
∗
∗
+ ∫ 𝐺(𝑦, 𝑧)(𝛾𝑥𝑦
𝑧 − 𝛾𝑥𝑧
𝑦)𝑑𝐴 = 𝜗𝐺𝐼к − 𝑀к∗ ,
𝐴
где 𝐺𝐼к = ∫𝐴 𝐺 (𝑦, 𝑧) (𝑦 2 + 𝑧 2 +
𝜕𝜓
𝜕𝑧
𝑦−
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑧) 𝑑𝐴 – крутильная жесткость стержня,
∗
∗
𝑀к∗ = − ∫𝐴 𝐺 (𝑦, 𝑧)(𝛾𝑥𝑦
𝑧 − 𝛾𝑥𝑧
𝑦)𝑑𝐴.
Алгоритм расчета состоит в следующем. На первом этапе решается задача
при
𝑡=0
и
∗
∗
𝛾𝑥𝑧
= 𝛾𝑥𝑦
= 0,
используется
уравнение
(3.53).
Нагрузка
прикладывается небольшими порциями. Решение уравнения (3.53) выполняется
методом конечных разностей. После определения функции 𝜓 вычисляется путем
численного интегрирования крутильная жесткость 𝐺𝐼к . Далее определяется
приращение относительного угла закручивания по формуле:
∆𝜗 =
∆𝑀к
𝐺𝐼к
(3.57)
Затем определяются приращения деформаций сдвига по формулам:
∆𝛾𝑥𝑦 = ∆𝜗 (−𝑧 +
𝜕𝜓
);
𝜕𝑦
(3.58)
𝜕𝜓
∆𝛾𝑥𝑧 = ∆𝜗 (𝑦 +
).
𝜕𝑧
Полученные
приращения
прибавляются
к
деформациям
сдвига,
вычисленным на предыдущем шаге и затем определяется интенсивность сдвиговых
деформаций. Далее по интенсивности сдвиговых деформаций во всех узлах сетки
определяется касательный модуль сдвига. Затем процесс повторяется для
следующего шага. После завершения расчета при 𝑡 = 0 выполняется шаговый
расчет на ползучесть.
Приведем пример расчета деревянного стержня прямоугольного сечения
(𝑏 = 4 см, ℎ = 10 см). В работе [89] приводится следующее уравнение,
78
устанавливающее связь между напряжениями и мгновенными деформациями для
одноосного сжатия:
𝐸02 2
𝜎 = 𝐸0 𝜀 −
𝜀 ,
4𝑅
(3.59)
где 𝐸0 – начальный модуль упругости, 𝑅 – прочность древесины на сжатие.
Применительно к интенсивностям касательных напряжений и сдвиговых
деформаций уравнение (3.59) можно переписать в виде:
𝐺02 2
𝜏𝑖 = 𝐺0 𝛾𝑖 −
𝛾 ,
4𝑅ск 𝑖
(3.60)
где 𝐺0 – начальный модуль сдвига, 𝑅ск – прочность древесины на скалывание.
Подставляя (3.60) в (3.48), получим:
𝐺02
𝐺кас = 𝐺0 −
𝛾.
2𝑅ск 𝑖
(3.61)
Расчет выполнялся при 𝐺0 = 500 МПа, 𝑅ск = 7.5 МПа. На рис. 3.17 приведен
график зависимости относительного угла закручивания от величины крутящего
момента. Разрушение происходит при 𝑀кр = 42 кН ∙ см.
Рисунок 3.17 – Зависимость относительного угла закручивания от величины
крутящего момента
79
На рис. 3.18-3.19 представлены соответственно графики распределения
касательных напряжений 𝜏𝑥𝑧 и 𝜏𝑥𝑦 при 𝑀кр = 42 кН ∙ см. Закрашенным
поверхностям соответствует решение с учетом физической нелинейности, а
сетчатым – без учета физической нелинейности.
Представленная задача могла быть решена и с учетом ползучести, однако в
настоящее время для дерева не существует общей теории, которая позволяла бы
одновременно определять деформации ползучести и пластические деформации при
сложном напряженном состоянии.
Рисунок 3.18 – Распределение касательных напряжений 𝜏𝑥𝑧 в зависимости от 𝑦 и z
80
Рисунок 3.19 – Распределение касательных напряжений 𝜏𝑥𝑦 в зависимости от 𝑦 и 𝑧
3.6 Выводы по главе
Получено разрешающее уравнение для задачи о кручении вязкоупругого
бруса некруглого поперечного сечения. Предложена методика его решения на
основе метода конечных разностей, а также метода конечных элементов с
использованием треугольных и прямоугольных КЭ.
Исследован процесс ползучести полимерного стержня прямоугольного
поперечного сечения, материал которого подчиняется нелинейному уравнению
Максвелла-Гуревича. Установлено, что в случае нелинейного закона ползучести
касательные напряжения в стержне непостоянны во времени. В начале процесса
они быстро убывают, а затем происходит медленный возврат к упругому решению.
Также исследован процесс релаксации напряжений в полимерном стержне,
относительный угол закручивания которого остается постоянным во времени.
Представлены графики изменения во времени касательных напряжений и
крутящего момента.
81
Решена задача о ползучести закрученного деревянного стержня с
использованием линейного уравнения Максвелла-Томпсона. В случае линейного
закона ползучести напряжения в стержне во времени не меняются.
Предложена приближенная методика расчета для узких прямоугольных
сечений, основанная на пренебрежении граничными условиями на коротких
сторонах. Установлено, что даже для очень узких полос (ℎ⁄𝑏 = 10) пренебрежение
напряжениями 𝜏𝑥𝑦 приводит к существенным погрешностям.
Получено дифференциальное уравнение для задачи о кручении бруса,
модуль сдвига которого в поперечном сечении непостоянен (𝐺 = 𝐺(𝑦, 𝑧)). Данное
уравнение позволило решить задачу о кручении деревянного стержня с учетом
нелинейной зависимости между напряжениями и мгновенными деформациями.
Физически нелинейная задача была сведена к последовательному решению
упругих задач для неоднородного в поперечном сечении стержня.
82
ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
БАЛОК С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
4.1 Вывод разрешающих уравнений
Рассмотрим сначала случай вязкоупругого материала. В качестве критерия
устойчивости будем использовать критерий начальных несовершенств. Задавать
начальные несовершенства будем так же, как и в главе 2, в виде начальной погиби
𝑣0 (𝑥 ), начального угла закручивания 𝜃0(𝑥) и эксцентриситета 𝑒. Критическое
время при использовании критерия начальных несовершенств определяется
условно путем задания предельной величины перемещений или предельной
скорости их роста.
Для балки, испытывающей изгиб в двух плоскостях, полные линейные
деформации на основе гипотезы плоских сечений можно определить по формуле:
𝑑 2𝑣
𝑑 2𝑤
𝜀𝑥 = −𝑦 2 − 𝑧 2 .
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(4.1)
С другой стороны, полные деформации 𝜀𝑥 представляют сумму упругих
деформаций и деформаций ползучести:
𝜎𝑥
𝜀𝑥 =
+ 𝜀𝑥∗ .
𝐸
(4.2)
Подставляя (4.1) в (4.2) и выражая напряжения через деформации, получим:
𝑑 2𝑣
𝑑2𝑤
𝜎𝑥 = −𝐸 (𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝜀𝑥∗ ).
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(4.3)
Изгибающие моменты вычисляются следующим образом:
𝑀𝑦 = − ∫ 𝜎𝑥 𝑧𝑑𝐴 ;
𝐴
(4.4)
𝑀𝑧 ′ = ∫ 𝜎𝑥 𝑦𝑑𝐴.
𝐴
Подставив (4.3) в (4.4), получим:
𝑑 2𝑤
𝑀𝑦 = 𝐸𝐼𝑦
− 𝑀𝑦∗ ;
2
𝑑𝑥
(4.5)
83
𝑑 2𝑣
𝑀𝑧 ′ = −𝐸𝐼𝑧 2 − 𝑀𝑧∗,
𝑑𝑥
где 𝑀𝑦∗ = −𝐸 ∫ 𝜀𝑥∗ ∙ 𝑧𝑑𝐴 , 𝑀𝑧∗ = 𝐸 ∫ 𝜀𝑥∗ ∙ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
𝐴
Из (3.6) связь между углом закручивания и крутящим моментом имеет вид:
𝑀𝑥 ′ = 𝑀к = 𝐺𝐼к
𝑑𝜃
− 𝑀к∗.
𝑑𝑥
(4.6)
Приравнивая (4.6) к (2.67), получим:
𝐺𝐼к
𝑑𝜃
𝑑𝑣 𝑑𝑣0
− 𝑀к∗ = 𝑀𝑥 − 𝑄 (𝑣 + 𝑣0) + 𝑀𝑦 ( +
).
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
(4.7)
Продифференцируем далее равенство (4.7) по 𝑥, учитывая, что крутильная
жесткость 𝐺𝐼к является функцией от 𝑥:
𝑑 2𝜃 𝑑 (𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃 𝑑𝑀к∗ 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑄
𝑑(𝑣 + 𝑣0 )
(𝑣 + 𝑣0 ) − 𝑄
𝐺𝐼к 2 +
−
=
−
+
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑀𝑦 𝑑(𝑣 + 𝑣0)
𝑑 2 (𝑣 + 𝑣0 )
+
+ 𝑀𝑦
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
Подставим далее (2.66) в (4.8) и учтем, что
𝑑𝑄
𝑑𝑥
= −𝑞, а
𝑑𝑀𝑦
𝑑𝑥
(4.8)
= 𝑄:
𝑑 2𝜃 𝑑 (𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃 𝑑𝑀к∗
𝐺𝐼к 2 +
−
= −𝑞(𝑣 + 𝑣0 + 𝑒 + 𝑎(𝜃 + 𝜃0)) + 𝑞(𝑣 + 𝑣0 ) −
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑 (𝑣 + 𝑣0 )
𝑑 (𝑣 + 𝑣0)
𝑑2𝑣
𝑑 2𝑣0
−𝑄
+𝑄
+ 𝑀𝑦 2 + 𝑀𝑦
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
(4.9)
После упрощений равенство (4.9) примет вид:
𝑑 2 𝜃 𝑑(𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃 𝑑𝑀к∗
𝑑 2𝑣
𝑑 2𝑣0
𝐺𝐼к 2 +
−
= −𝑞(𝑒 + 𝑎(𝜃 + 𝜃0 )) + 𝑀𝑦 2 + 𝑀𝑦
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
Выразим из (4.5) величину
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥 2
(4.10)
:
𝑑 2𝑣
𝑀𝑧 ′ + 𝑀𝑧∗
=−
.
𝑑𝑥 2
𝐸𝐼𝑧
(4.11)
Учитывая, что 𝑀𝑧 ′ = 𝑀𝑦 (𝜃 + 𝜃0), перепишем равенство (4.11) в виде:
𝑀𝑦 (𝜃 + 𝜃0 ) 𝑀𝑧∗
𝑑 2𝑣
=−
−
.
𝑑𝑥 2
𝐸𝐼𝑧
𝐸𝐼𝑧
Подставив (4.12) в (4.10), получим основное разрешающее уравнение:
(4.12)
84
𝑀𝑦2
𝑑 2𝜃 𝑑 (𝐺𝐼к ) 𝑑𝜃
𝐺𝐼к 2 +
+(
+ 𝑞𝑎) 𝜃 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑧
𝑑𝑀к∗
𝑑 2𝑣0 𝑀𝑦 𝑀𝑧∗ 𝑀𝑦2 𝜃0
=
− 𝑞(𝑒 + 𝑎𝜃0) + 𝑀𝑦
−
−
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
𝐸𝐼𝑧
𝐸𝐼𝑧
(4.13)
Для расчета балки из вязкоупругопластического материала необходимо
положить в формуле (4.3), что модуль упругости является функцией от 𝑥, 𝑦, 𝑧. Тогда
формулы (4.5) останутся справедливыми, если в них произведения модуля
упругости
на
моменты
инерции
заменить
приведенными
жесткостями,
вычисленными по формулам:
𝐸𝐼𝑦 (𝑥 ) = ∫ 𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧 2 𝑑𝐴;
𝐴
(4.14)
𝐸𝐼𝑧 (𝑥 ) = ∫ 𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦 2 𝑑𝐴.
𝐴
Величины 𝑀𝑦∗ и 𝑀𝑧∗ для вязкоупругопластического материала следует
вычислять по формулам:
𝑀𝑦∗ = ∫ 𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜀𝑥∗ ∙ 𝑧𝑑𝐴 ;
𝐴
(4.15)
𝑀𝑧∗ = − ∫ 𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜀𝑥∗ ∙ 𝑦𝑑𝐴.
𝐴
С учетом указанных поправок уравнение (4.13) может использоваться и для
вязкоупругопластического материала.
4.2 Методика расчета
Рассмотрим методику решения задачи для вязкоупругой балки. Для расчета
вводится сетка по времени 𝑡, координате 𝑥, а также поперечное сечение
разбивается на плоские треугольные или прямоугольные конечные элементы (при
определении напряжений от кручения методом конечных элементов) либо на
отрезки Δ𝑦 и Δ𝑧 при использовании метода конечных разностей. На первом этапе
85
выполняется решение уравнения (4.13) методом конечных разностей при 𝑡 = 0,
∗
∗
𝜀𝑥∗ = 0, 𝛾𝑥𝑧
= 𝛾𝑥𝑦
= 0, 𝑀к∗ = 0, 𝑀𝑦∗ = 0, 𝑀𝑧∗ = 0.
Определив из уравнения (4.13) угол закручивания 𝜃(𝑥), вычисляем для
каждого сечения относительный угол закручивания 𝜗 =
𝑑𝜃
𝑑𝑥
. Далее для каждого
сечения по 𝑥 выполняется решение уравнения (3.16) методом конечных разностей
или методом конечных элементов. После определения функции напряжений Ф
вычисляются касательные напряжения. Также определяются изменения кривизн.
Величина
𝑑2 𝑣
𝑑2 𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
определяется по формуле (4.12), а значения
2
можно вычислить по
формуле:
𝑑 2𝑤 𝑀𝑦 + 𝑀𝑦∗
=
.
𝑑𝑥 2
𝐸𝐼𝑦
(4.16)
Зная изменения кривизн, можно определить нормальные напряжения по
формуле (4.3). Далее по величинам нормальных и касательных напряжений
определяются скорости роста деформаций ползучести. Затем при помощи метода
∗
∗
Эйлера находятся деформации 𝛾𝑥𝑧
, 𝛾𝑥𝑦
, 𝜀𝑥∗ в момент времени 𝑡 + Δ𝑡, а также
величины 𝑀к∗ , 𝑀𝑦∗ , 𝑀𝑧∗ . Далее процесс повторяется для следующего шага. Расчетная
блок-схема представлена на рис. 4.1.
86
Ввод исходных данных
Определение 𝐺𝐼к
∗
∗
𝑖 = 1; 𝑡 = 0; 𝛾𝑥𝑧
= 0; 𝛾𝑥𝑦
= 0; 𝜀𝑥∗ = 0
Определение 𝑀к∗, 𝑀𝑦∗ , 𝑀𝑧∗
Определение
уравнения (4.13)
Определение 𝜗 =
𝑑𝜃(𝑥)
𝑑𝑥
𝜃(𝑥)
из
для каждого сечения
Определение функции Ф для каждого сечения
из уравнения:
∗
∗
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕2 Ф 𝜕2 Ф
𝜕𝛾𝑥𝑧
+
= −2𝐺𝜗 + 𝐺 (
−
).
𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
𝜕𝑦
𝜕𝑧
2
2
𝑑 𝑣 𝑑 𝑤
Определение изменений кривизн 𝑑𝑥
2 и 𝑑𝑥 2
Определение напряжений,
нет
𝜕𝜀∗ 𝜕𝛾∗
𝜕𝑡
,
𝜕𝑡
𝑖 ≤ 𝑛𝑡 + 1
да
𝑖: = 𝑖 + 1; 𝑡: = 𝑡 + Δ𝑡
∗
𝛾𝑡+∆𝑡
= 𝛾𝑡∗ +
𝜕𝛾 ∗
𝜕𝜀 ∗
∗
∗
∆𝑡; 𝜀𝑡+∆𝑡 = 𝜀𝑡 +
∆𝑡;
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Вывод результатов
Рисунок 4.1 – Расчетная блок-схема для вязкоупругой балки
87
4.3 Решение тестовых задач
4.3.1 Устойчивость полимерной балки при ползучести
В работах [90, 91] для сжатых стержней, материал которых подчиняется
нелинейному уравнению Максвелла-Гуревича вводится понятие длительной
критической нагрузки. При определении ее величины в выражении для мгновенной
критической силы модуль упругости 𝐸 заменяется на длительный модуль
деформации 𝐸дл . В случае учета только одного члена спектра времен релаксации
полимера выражение для длительного модуля 𝐸дл принимает вид:
𝐸дл =
𝐸 · 𝐸∞
.
𝐸 + 𝐸∞
(4.17)
Характер роста перемещений сжатого стержня с начальной погибью при
ползучести зависит от того, в каком интервале находится величина сжимающей
силы. Если она меньше длительной критической 𝐹дл , то ползучесть носит
ограниченный характер, и потеря устойчивости не происходит. При 𝐹 = 𝐹дл рост
перемещений происходит с постоянной скоростью, а если же 𝐹 > 𝐹дл то скорость
роста перемещений во времени возрастает. При 𝐹 ≥ 𝐹дл можно условно определить
критическое время, ограничив величину максимального перемещения, либо
скорость роста прогибов.
Исследование проведем на примере консольной балки постоянного сечения
из ПВХ, к которой приложена сила 𝐹 с эксцентриситетом 𝑒 (рис. 4.2). Граничные
условия запишутся в виде:
При 𝑥 = 0:
𝜃 = 0.
При 𝑥 = 𝑙:
𝑀к = 𝑃𝑒 = 𝐺𝐼к
(4.18)
𝑑𝜃
− 𝑀к∗.
𝑑𝑥
(4.19)
Для идеальной упругой балки потеря устойчивости происходит при
следующей величине критической силы:
𝐹кр =
4.01
√𝐺𝐼к 𝐸𝐼𝑧 .
𝑙2
Введем величину длительной критической нагрузки по формуле:
(4.20)
88
𝐹дл =
4.01
√𝐺дл𝐼к 𝐸дл 𝐼𝑧 .
𝑙2
(4.21)
В формуле (4.21) 𝐺дл вычисляется по формуле (3.37), а 𝐸дл – по формуле
(4.17).
Рисунок 4.2 – Расчетная схема
Исследуем поведение балки при 𝐹 < 𝐹дл , 𝐹 = 𝐹дл и 𝐹 > 𝐹дл . Исходные
данные принимаются следующие: 𝑏 = 1 см, ℎ = 10 см, 𝐸 = 1480 МПа, 𝐸∞ =
5990 МПа, 𝜂0∗ = 9.04 ∙ 105 МПа ∙ мин, 𝑚∗ = 12.6 МПа, 𝜈 = 0.3, 𝑒 = 0.01 см.
Длительная критическая сила для рассматриваемой балки составляет 𝐹дл =
0.0465 кН.
На рис. 4.3 представлены графики изменения во времени максимальной
величины угла закручивания при трех значениях нагрузки (𝐹 = 0.044 кН < 𝐹дл ,
𝐹 = 0.0465 кН = 𝐹дл и 𝐹 = 0.048 кН > 𝐹дл ).
89
Рисунок 4.3 – Изменение во времени максимального угла закручивания при
различных величинах силы 𝐹
Из рис. 4.3 видно, что, как и для сжатых стержней, при нагрузке меньше
длительной критической скорость роста перемещений во времени затухает. При
𝐹 = 𝐹дл перемещения растут с постоянной скоростью, и при 𝐹 > 𝐹дл скорость роста
перемещений возрастает во времени.
Исследуем далее влияние начальных несовершенств на процесс ползучести
при 𝐹 = 0.05 кН > 𝐹дл . На рис. 4.4 показаны графики роста
максимальной
величины угла закручивания при различных значениях эксцентриситета 𝑒. Из
представленных графиков видно, что, если за критерий потери устойчивости
принимать величину перемещений, либо скорость
их роста, начальные
несовершенства оказывают существенное влияние на величину критического
времени. Таким образом, нагрузки, действующие на балку, не должны превышать
длительную критическую.
90
Рисунок 4.4 – Рост максимальной величины угла закручивания при различных
значениях эксцентриситета 𝑒
Довольно интересная картина наблюдается на графиках изменения во
времени максимальных величин нормальных напряжений. До определенного
момента времени, несмотря на рост угла закручивания, нормальные напряжения
убывают, но затем начинают возрастать. Из рис. 4.5 видно, что чем выше величина
эксцентриситета 𝑒, тем раньше наступает момент, с которого нормальные
напряжения начинают расти. Время, соответствующее точке экстремума на
графиках 𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝑡), можно принять за критическое. В случае использования такого
критерия потери устойчивости при 𝑒 = 0.01 см 𝑡кр = 11.8 ч, при 𝑒 = 0.02 см 𝑡кр =
9.4 ч, при 𝑒 = 0.03 см 𝑡кр = 7.9 ч и при 𝑒 = 0.04 см 𝑡кр = 7 ч.
Касательные напряжения 𝜏𝑥𝑦 и 𝜏𝑥𝑧 , в отличие от нормальных, во времени
только возрастают. Графики изменения максимальных их величин представлены
соответственно на рис. 4.6-4.7.
91
Рисунок 4.5 – Изменение во времени максимальной величины нормальных
напряжений при различных значениях эксцентриситета 𝑒
Рисунок 4.6 – Изменение во времени максимальных величин напряжений 𝜏𝑥𝑦
92
Рисунок 4.7 – Изменение во времени максимальных величин напряжений 𝜏𝑥𝑧
4.3.2 Устойчивость деревянной балки при ползучести
Не меняя расчетную схему, исследуем процесс потери устойчивости
деревянной балки с учетом ползучести. Скорость роста продольных деформаций
∗
∗
ползучести 𝜀𝑥∗ пусть определяется выражением (3.38), а сдвиговых 𝛾𝑥𝑧
и 𝛾𝑥𝑦
–
формулой (3.39). Длительную критическую силу в случае использования
указанных уравнений можно также определить по формуле (4.21). Вычисления
будем выполнять при 𝑙 = 3 м, ℎ = 15 см, 𝑏 = 5 см. Упругие и реологические
параметры дерева были приведены ранее в главе 3. Мгновенная потеря
устойчивости происходит при 𝐹кр = 3.34 кН. Длительная критическая сила для
рассматриваемой балки 𝐹дл = 2.26 кН.
На рис. 4.8 представлены графики роста максимального угла закручивания
при различной величине силы 𝐹, построенные при 𝑒 = 0.1 см. Характер кривых
𝜃(𝑡) такой же, как и на рис. 4.3.
93
Рисунок 4.8 – Графики роста максимального угла закручивания при различных
значениях силы 𝐹
Рассмотрим далее реологическое поведение балки при 𝐹 = 2.4 кН > 𝐹дл при
различной величине эксцентриситета 𝑒. Соответствующие кривые 𝜃(𝑡) приведены
на рис. 4.9. Как и для полимерной балки, при 𝐹 > 𝐹дл начальные несовершенства
оказывают существенное влияние на процесс ползучести.
На графиках изменения во времени нормальных напряжений (рис. 4.10), как
и в случае использования нелинейного закона ползучести, имеется точка
экстремума, которую можно принять за критическое время. При 𝑒 = 0.1 см
критическое время составило 154 суток, при 𝑒 = 0.2 см – 113 суток, при 𝑒 = 0.3 см
– 91 суток и при 𝑒 = 0.4 см – 76 суток.
Касательные напряжения, как и в случае полимерной балки, во времени
только возрастают, что видно из рис. 4.11-4.12.
94
Рисунок 4.9 – Кривые 𝜃(𝑡) при различной величине эксцентриситета 𝑒
Рисунок 4.10 – Изменение во времени максимальных величин нормальных
напряжений по отношению к первоначальным значениям
95
Рисунок 4.11 – Изменение во времени максимальной величины напряжений 𝜏𝑥𝑦
Рисунок 4.12 – Изменение во времени максимальной величины напряжений 𝜏𝑥𝑧
96
4.4 Выводы по главе
Получено разрешающее уравнение для расчета на устойчивость плоской
формы изгиба балок прямоугольного сечения с учетом ползучести и начальных
несовершенств. Данное уравнение применимо и для балок переменной жесткости,
а также для конструкций из вязкоупругопластического материала. Кроме того, оно
позволяет использовать произвольный закон ползучести, в том числе и
нелинейный.
Исследован процесс потери устойчивости при ползучести для полимерной
балки с использованием нелинейного уравнения Максвелла-Гуревича, а также для
деревянной балки с использованием линейного закона Максвелла-Томпсона.
Установлено, что как в случае линейного, так и нелинейного уравнения связи
между деформациями ползучести и напряжениями существует величина
длительной критической нагрузки. Если действующая на балку нагрузка меньше
длительной критической, то ползучесть носит ограниченный характер, и потеря
устойчивости не наблюдается. При нагрузке равной длительной критической
перемещения растут с постоянной скоростью, а при превышении этой величины
скорость роста перемещений возрастает во времени.
Проведено исследование ползучести деревянной и полимерной балки на
примере консольной конструкции с сосредоточенной силой на конце при нагрузке
выше длительной критической 𝐹дл . Установлено, что при 𝐹 > 𝐹дл начальные
несовершенства оказывают существенное влияние на величину критического
времени, поэтому нагрузки, действующие на балку, не должны превышать
длительную критическую.
Также установлено, что при 𝐹 > 𝐹дл максимальная величина нормального
напряжения сначала убывает во времени, а затем с определенного момента
начинается рост напряжений 𝜎𝑥 . Время, соответствующее на графиках 𝜎𝑥 (𝑡) точке
минимума нормальных напряжений можно принять за критическое. Изменение
касательных напряжений во времени носит исключительно возрастающий
характер.
97
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итоги выполненного исследования:
1. Разработан алгоритм определения критической нагрузки для упругих
балок постоянного и переменного сечения без начальных несовершенств с учетом
приложения нагрузки с вертикальным смещением относительно центра тяжести
поперечного сечения. Для различных вариантов нагружения и закрепления балок
определен корректирующий коэффициент, учитывающий положение точки
приложения нагрузки. Достоверность результатов подтверждена конечноэлементным моделированием в программном комплексе ЛИРА-САПР, а также
сравнением с решением проф. А.С. Вольмира.
2. Получено разрешающее уравнение для расчета на боковое выпучивание
балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств в
виде эксцентриситета приложения нагрузки, а также начальной погиби в плоскости
наименьшей жесткости и начального угла закручивания. Установлено, что для
упругих балок начальные неправильности не оказывают влияния на выпучивание:
при приближении к критической нагрузке, независимо от величины начальных
несовершенств, перемещения балки резко возрастают.
3. Получено решение задачи о закручивании вязкоупругого бруса некруглого
поперечного сечения с использованием метода конечных разностей и метода
конечных элементов для определения напряжений в балке при боковом
выпучивании.
4. Построена группа разрешающих уравнений и разработан алгоритм расчета
на
боковое
выпучивание
балок
постоянного
и
переменного
по
длине
прямоугольного сечения с учетом ползучести и начальных несовершенств. Данные
уравнения также применимы и для конструкций из вязкоупругопластического
материала. Кроме того, они позволяют использовать произвольный закон
ползучести, в том числе и нелинейный.
5. Исследовано явление бокового выпучивания при ползучести для
полимерных балок с использованием нелинейного закона Максвелла-Гуревича, а
98
также для деревянных балок с применением линейного уравнения МаксвеллаТомпсона. Введена величина длительной критической нагрузки, справедливая как
для линейного, так и нелинейного уравнения связи между деформациями
ползучести и напряжениями. Если действующая на балку нагрузка меньше
длительной критической, то ползучесть носит ограниченный характер, и потеря
устойчивости не наблюдается. При нагрузке равной длительной критической
перемещения растут с постоянной скоростью, а при превышении этой величины
скорость роста перемещений возрастает во времени.
6. Выполнено теоретическое исследование ползучести деревянной и
полимерной балки при нагрузке выше длительной критической 𝐹дл . Установлено,
что при 𝐹 > 𝐹дл начальные неправильности существенно влияют на величину
критического времени, поэтому нагрузки, действующие на балку, должны быть
меньше длительной критической.
7. Введен новый критерий устойчивости при ползучести, основанный на
эффекте начального убывания нормальных напряжений с последующим их
возрастанием. За критическое время предлагается принимать значение, которому
на графике 𝜎(𝑡) соответствует минимум напряжений.
99
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней пластин и оболочек [Текст] /
С.П. Тимошенко. – М.: Наука, 1971. – 810 с.
2. Тимошенко, С.П. Механика материалов [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж.
Гере. – М.: Мир, 1976. – 669 с.
3. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем [Текст] / С.П. Тимошенко.
– Л., М.: Гостехиздат, 1946. – 532 с.
4. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций [Текст] / Ф.Блейх. –
М.: Физматгиз, 1959. – 544 с.
5. Ржаницын, А.Р. Расчет металлических двутавровых балок, получивших
начальное искривление в горизонтальной плоскости [Текст] / А.Р. Ржаницын. – Л.,
М.: Стройиздат, 1946. – 30 с.
6. Ржаницын, А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем [Текст] / А.Р.
Ржаницын. – М.: Гостехиздат, 1955. – 475 с.
7. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А.С.
Вольмир. – М.: Наука, 1975. – 984 с.
8. Attard, M. M. Lateral buckling analysis ol beams by the FEM [Текст] / M.M.
Attard // Comput. and Struct. – 1986. – № 2. – Pp. 217-231.
9. Borri, С. Geometrically nonlinear behavior of space beam structures [Текст] /
C. Borri, H.W. Hulendiek // J. Struct. Mech. – 1985. – № 1. – Pp. 1-26.
10. Hsiao, K.M. A practical large displacements inplane analysis of elastic beams
[Текст] / K.M. Hsiao, G.Y. Hou // Comput. Mech. 86: Theory and Appl. Proc. Int. Conf.,
Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. 1. Tokyo e.a., 1986, III/59-III/64.
11. Рыбаков, В. А. Напряженно-деформированное состояние элементов
каркасных сооружений из тонкостенных стержней [Текст] / В.А. Рыбаков, О.С.
Гамаюнова // Строительство уникальных зданий и сооружений. – 2013. – №7. URL:
http://unistroy.spb.ru/index_2013_12/10_rybakov_.
12. Гарифуллин, М. Р. Устойчивость тонкостенного холодногнутого профиля
при изгибе – краткий обзор публикаций [Текст] / М.Р. Гарифуллин, Н. И. Ватин //
100
Строительство уникальных зданий и сооружений. – 2014. – №6. URL:
http://www.unistroy.spb.ru/index_2014_21/3_gari.
13. Krumm, R. Bemessung eines Stabilisierungsriegels unter Beriicksichtigung der
Riegelhohe [Текст] / R. Krumm // Stahlbau. – 1987. – № 9. – Pр. 267-270.
14. Dumonteil, P. Calcul numerique exact du deversement ela-stique d’une poutre
flechie [Текст] / P. Dumonteil // Constr. met. – 1986. – № 26. – Pp. 17-70.
15. Агаев, Н. Г. Вычисление значений критического параметра для балок с
переменным поперечным сечением [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов.
Строительство и архитектура. – 1985. – №12. – С. 19-22.
16. Агаев, Н.Г. Некоторые особенности решения задач устойчивости плоской
формы изгиба балок [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов. Строительство и
архитектура. – 1986. – № 12. – С. 20-24.
17. Алиев, Т. Х. Решение задач неупругой устойчивости плоской формы
изгиба методом конечных элементов [Текст] / Н.Г. Агаев, Т.Х. Алиев //
Строительная механика сооружений. – 1989. – С. 66-71.
18. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба балок ломанного
очертания [Текст] / А. Я. Дривинг, В. А. Косиченко // Исследования по
строительной механике и надежности конструкций. – 1986. – №5. – С. 143-153.
19. Дурднев, Б. Устойчивость плоской формы чистого изгиба балок
ломанного очертания с точечными подкреплениями [Текст] / Б. Дурднев // Теория
сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского канала им.
В.И. Ленина. – 1985. – №1. – С. 106-119.
20. Дривинг, А. Я. Исследование устойчивости плоской формы чистого
изгиба балок с дискретными подкреплениями [Текст] / А. Я. Дривинг, Б. Дурднев
// Теория сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского
канала им. В.И.Ленина. – 1985. – №1. – С. 126-.
21. Дривинг, А. Я. Аппарат метода перемещений в задачах устойчивости
плоской формы сжато-изгибаемых стержневых систем [Текст] / А.Я. Дривинг //
Строительная механика и расчет сооружений. – 1987. – №1. – С. 56-62.
101
22. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба стальных
стержневых конструкций [Текст] // Металлоконструкции и испытание сооружений
/ А.Я. Дривинг. – Л., 1987. – С. 49-55.
23. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба статически
неопределимых тонкостенных балок [Текст] / А.Я. Дривинг // Строительная
механика и расчет сооружений. – 1988. – № 5. – С. 34-37.
24. Пятикрестовский, К. П. Силовое сопротивление пространственных
деревянных конструкций при кратковременных и длительных нагрузках : дис. ...
докт. техн. наук : 05.23.01 / – К.П. Пятикрестовский. - Москва, 2011. – 320 с.
25. Стружанов, В. В. Итерационные процедуры расчёта параметров
равновесия и устойчивость процесса чистого изгиба балок из пластических и
хрупких разупрочняющихся материалов [Текст] / В. В. Стружанов, Е.А. Бахарева
//Вестник Самарского гос. техн. ун-та. – 2010. – №. 1.
26. Aristizabal-Ochoa, I. D. Statics, stability and vibration ol nonprismatic beams
and columns [Текст] / I.D. Aristizabal-Ochoa // J. Sound and Vibr. – 1993. – № 3. – Pp.
441-445.
27.
Scheer,
C.
Vorschlag
einer
erwei-terten
Seiten
last
q
bei
Normalkraftbeamspruchung [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F. S. Szu // Bauen mit
Holz. – 1992. – Pp. 1014-1021.
28. Scheer, C. Beitrag zum Kipp-Stabi-litatsnachweis im Holzbau. Vorschlag eines
lastabhangigen K-Werts [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, S. Eang. // Bauen Holz. –
1994. – № 1. – Pp. 17-21.
29. Scheer, C., Laschinski C., Szu F.S. Vorschlag eines lastabhangigen К –Werts
[Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F.S. Szu // Holzbau-Statik-Aktuel. Information zur
Berechnung von Holzkonstruktionen. – 1992. – №4. – Pp. 12-16.
30. Nethercot, D.A. Lateral buckling [Текст] / D.A. Nethercot // Stabil.
Steel.Struct. – 1988. – №1. – Pp.217-235.
31. Шейнкман, В. С. Расчет по деформированной схеме стержней-полос,
соединенных плоскостью связей [Текст] / В.С. Шейнкман // Изв. вузов.
Строительство и архитектура. – 1983. – №2. – С. 18-22.
102
32. Шейнкман, В.С. Устойчивость плоской формы изгиба системы балок с
непрерывными связями [Текст] / В.С. Шейнкман // Строительная механика и расчет
сооружений. – 1989. – № 4. – С. 44-48.
33. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни [Текст] / В.З. Власов. – М.:
Физматгиз, 1959. – 586 с.
34. Островерх, Р. А. Исследование потери устойчивости стержней
переменного сечения [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и зашита судов
от коррозии. – 1985. – №3. – С. 38-40.
35. Островерх, Р.А. Собственные значения при потере устойчивости
стержней [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и защита судов от
коррозии. – 1989. – №5. – С. 80-85.
36. Heimeshoff, В. Zur Berechnung von Biegetragern aus nach-giebig miteinander
verbundenen Querschnittsteilen im Ingenieurholzbau [Текст] / B. Heimeshoff // Holz
Roh- und Werkst. – 1987. – № 6. – Pp. 237-241.
37. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба криволинейного
составного стержня с учетом начальных неправильностей [Текст] / И. С. Заривняк,
Г. Р. Заривняк // Проблемы прочности. – 1986. – № 2. – С. 43-44.
38. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба слоистого стержня
под воздействием начальных прогибов [Текст] / И. С. Заривняк // Проектирование
самолетных конструкции и их соединений. – 1986. – №3. – С. 132-136. .
39. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составного стержня
со случайными начальнымим неправильностями [Текст] / И. С. Заривняк // Изв.
вузов. Строительство и архитектура. – 1988. – № 5. – С. 32-35.
40. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составных балок с
переменными поперечными сечениями и начальными неправильностями [Текст] /
И.С. Заривняк, В.Ю. Перель // Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1988. –
№1. – С. 36-39.
41. СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции.
редакция СНиП II-25-80.
Актуализированная
103
42. Родин, Б. Е. Деформационный метод расчета устойчивости деревянных
изгибаемых элементов [Текст] / Б.Е. Родин // Исследование прочности и
эффективности современных конструкций из древесины и пластмасс. – МИСИ им.
В. В. Куйбышева. – 1987. – С. 62-66.
43. Wang, Y. C. Bracing reguirements for elate-rally unrestrained beams / Y.C.
Wang, D.A. Nethercot [Текст] // J. Constr. Steel Res. – 1990. – №4. – Pp. 305-315.
44. Зарифьян, А. З. Об устойчивости двутавровых балок при действии
внецентренно приложенной поперечной нагрузки [Текст] / А.З. Зарифьян //
Строительство и архитектура. – 1966. – № 1. – С. 69-74.
45. Duy, W. Das Ersatzstabverfahren im Holzbau [Текст] / W. Duy //
Bauingenieur. – 1988. – № 6. – Pp. 253-266.
46. Mollman, H. Interactive buckling in thin-walled beams. Part. 1. Theory [Текст]
/ H. Mollman, P. Golterman // Rept. Dan. Cent. Appl. Math and Mech. – 1987. – № 344.
– Pp. 1-26.
47. Nevrly, V. Pouziti metodi prenosovych matic pro reseni kombinace ohybu a
tlaku (tahu) primych nosniku [Текст] / V. Nevrly // Strojirenstvi. – 1988. – № 11. – P.
597-603.
48. Williams, F. W. Buckling curves for elastically-supported columns with
varying axial force, to predict lateral buckling of beams [Текст] / F. W. Williams, A.K.
Jemah // Constr. Steel Res. – 1987. – № 2. – Pp. 133-147.
49. Wang, C. M. Out-of-plane buckling formulae for beam-columns (tiebeams)
[Текст] / C.M. Wang, S. Kitipornehai // Res. Rept. Univ. Queensl. Dep. Civ. Eng. – 1988.
– № 92. – Pp. 11-23.
50. Тамакулов, С. П. Исследование устойчивости плоской формы изгиба
клееных деревянных балок, раскрепленных боковыми жесткими связями [Текст] /
С.П. Тамакулов // Новые облегченные конструкции зданий. – Ростов-на-Дону:
РИСИ, 1982. – С. 102-107.
51. Goltermann, P. Lateral distirtional buckling: pedicting elastic critical stress
[Текст] / P. Goltermann, S.E. Svensson // J. Struct. Eng. (USA). – 1988. – №7. – Pp.
1606-1625.
104
52. Kessel, M. H. Zur seitlichen Stabilisierung des unterspannten Tragers [Текст]
/ M. H. Kessel // Bauingeniertr. – 1988. – № 6. – Pp. 281-287.
53. Kessel, M. H. Zum raumlichen Tragverhalten von Nagelplatten-bindern
[Текст] / M. H. Kessel // Bauingenieur. – 1996. – №71. – Pp. 211-218.
54. Mohler, K. Zur Bemessung von Knickverbanden und Knickaussteif ungen im
Holzbau [Текст] / K. Mohler, W. Schelling // Bauingenieur. – 1968. – №. 2. – Pp. 43-48.
55. Pienaar, R. P. The effective length and bracing requirments for out of plane
buckling of timber rafters in compression [Текст] / R.P. Pienaar // J. Afr. Forest. J. –
1986. – № 137. – Pp. 13-25.
56. Wang, C. M. Buckling of braced monosymmetrie cantilever [Текст] / C.M.
Wang, S. Kitipornehai, V. Thevendran // Int. J. Mech. Sci. – 1987. – № 5. – Pp. 321-337.
57. Reyer, E. Zum genaueren Nachweis der Kippstabi-litat biegebeanspruehter
parallelgurtiger Brettschichtholz-Trager mit seitliehen Zwisehenabstiitzimgen des
Obergurtes nach Theorie II.Ordnung [Текст] / E. Reyer, D. Stojic // Holzbau-StatikAktuel. – 1992. – № 4. – Pp.2-11.
58. Чепурненко, А.С. Расчёт на устойчивость полимерных стержней при
изменении температуры в поперечном сечении [Текст] / А.С. Чепурненко, С.В.
Литвинов, А.А. Тараева // Строительство–2013: Материалы международ. науч.–
практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ, 2013. — С.194-195.
59. Чепурненко, А.С. Расчёт стержней на продольно-поперечный изгиб с
учётом
деформаций
ползучести
и
начальных
несовершенств
[Текст]
/
А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов, М.А. Филенко // Строительство–2013: Матер.
междунар. науч. – практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ,2013. — С.195.
60. Козельская, М.Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней
с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций [Текст] /
М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно–технический
вестник Поволжья. — 2013. — №4. — С. 190–194.
61. Козельская, М.Ю. Применение метода Галёркина при расчете на
устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / М. Ю. Козельская, А.
105
С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2013. — №2. —
URL: http:/ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
62. Козельская, М.Ю. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней
с учетом физической нелинейности методом конечных элементов [Текст] / М. Ю.
Козельская, А. С. Чепурненко, С.Б. Языев // Науковедение. — 2013. — № 3. — URL:
http://naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.
63. Чепурненко, А.С. Энергетический метод при расчете на устойчивость
сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / А. С. Чепурненко, В. И. Андреев,
Б. М. Языев // Вестник МГСУ. — 2013. — №1. — С. 101–108.
64. Andreev, V.I. Energy method in the calculation stability of compressed
polymer rods considering creep [Текст] / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M.
Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.
65. Дудник, А.Е. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с
учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / А.Е. Дудник,
Н.И. Никора, А.С. Чепурненко, С.Б. Языев // Известия Кабардино-Балкарского
государственного университета. — 2015. — C. 106-108.
66. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня в условиях нелинейной
термовязкоупругости [Текст] / Н. И. Никора, А. С. Чепурненко, А. Е. Дудник //
Научно-технический вестник Поволжья. — 2015. — № 4. — С. 107-110.
67. Чепурненко, А.С. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменной
жесткости [Текст] / А.С. Чепурненко, Н.И. Никора // Строительство–2015:
Материалы международ. науч.-практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ, 2015. — С. 103–
104.
68. Horvath, L. Lateral buckling of continuous beams [Текст] / L. Horvath, M.
Ivanyi, W. Karoly // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986:
Mem Otto Halasz. – Vol. 1. – Budapest. – 1988. – Pp. 287-294.
69. Ings, N. L. Beam and column buckling under directed loading [Текст] / N.L.
Ings, N.S. Trahair // J. Struct. Lng. – 1987. – № 6. – Pp. 1251-1263.
106
70. Lindner, J. Comments to theme III: lateral buckling [Текст] / J. Lindner //
Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem. Otto Halasz. –
Vol.1. – Budapest, 1988. – Pp. 345-348. .
71. Melcher, J. Restrained beam buckling-theory and experiments [Текст] / J.
Melcher // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Collog., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem Otto
Halasz. – Vol.1. Budapest, 1988. – Pp. 303-310.
72. Журавлев, А. А. Устойчивость плоской формы деформирования
непризматических дощатоклееных балок : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.01. –
Ростов-на-Дону, 1998. – 154 с.
73. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при чистом
изгибе [Текст] / А. А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1995. – № 5 - 6. – С.
29-35.
74. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при действии
сосредоточенной силы [Текст] / А.А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1996.
– № 4. – С. 110-113.
75. Журавлёв, А. А. Влияние положения точки приложения силы на
устойчивость плоской формы изгиба непризматической балки [Текст] / А.А.
Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1996. – № 7. – С. 7-10.
76. Мартемьянов, В. И. Об устойчивости призматических деревянных балок
при изгибе силой, приложенной не посередине пролёта [Текст] / В. И.
Мартемьянов, А. А. Журавлев // Лёгкие строительные конструкции. – Ростов-наДону: РГАС, 1996. – С. 58-69.
77. Карамышева, А. А. Совершенствование расчета на устойчивость плоской
формы изгиба деревянных балок переменного сечения и их оптимизация: дис. ...
канд. техн. наук: 05.23.17 / А.А. Карамышева. – Ростов-на-Дону, 2016 – 124 с.
78. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок
переменной жесткости [Текст] / А. А. Карамышева, С. Б. Языева, А. С. Чепурненко
// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия:
Технические науки. — 2016. — № 1. — С. 95-98.
107
79. Карамышева, А.А. Устойчивость плоской формы изгиба односкатной
дощатоклееной балки [Текст] / А.А. Карамышева, А.С. Чепурненко, Б.М. Языев //
Научное обозрение. — 2016. — № 7. — С. 25-27.
80.
Карамышева,
А.А.
Расчет
на
устойчивость
плоской
формы
деформирования односкатной балки [Текст] / А.А. Карамышева, Н.И. Никора, С.Б.
Языев // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. – 2015. –
С. 32-35.
81. Карамышева, А.А. Выпучивание двухскатной балки при чистом изгибе //
А.А. Каамышева, С.Б. Языев, А.Е. Дудник [Текст] // Актуальные проблемы
технических наук в России и за рубежом. – 2015. – С. 35-37.
82. Karamisheva, A.A. Calculation of plane bending stability of beams with
variable stiffness [Текст] / A.A. Karamisheva, S.B. Yazyev, A.A. Avakov // Procedia
Engineering. – 2016. – Vol.150. – Pp. 1872-1877.
83. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] / В.И.
Самуль. – М.: Высшая школа, 1982. – 264 с.
84. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости
и пластичности [Текст] / Г.С. Варданян [и др.] – М.: Издательство АСВ, 2015. – 568
с.
85. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л.
Сегерлинд. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
86. Andreev, V.I. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep [Текст]
/ V. I. Andreev, B. M. Yazyev, A. S. Chepurnenko // Advanced Materials Research. —
2014. — Т. 900. — С. 707-710.
87.
Сhepurnenko,
A.S.
Determination
of
Rheological
Parameters
of
Polyvinylchloride at Different Temperatures [Электронный ресурс]/ A.S. Chepurnenko,
V.I. Andreev, A.N. Beskopylny, B.M. Jazyev // MATEC Web of Conferences. — 2016.
—
Т.
67.
—
С.
06059.
—
Режим
доступа:
https://www.matec-
conferences.org/articles/matecconf/abs/2016/30/matecconf_smae2016_06059/mateccon
f_smae2016_06059.html
108
88. Клименко, Е. С. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом
физической нелинейности материала : дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Е.С.
Клименко. – Ростов-на-Дону, 2011. – 112 с.
89. Вареник, К. А. Расчет центрально-сжатых деревянных элементов с учетом
ползучести: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.01 / К.А. Вареник. – Великий Новгород,
2015. – 167 с.
90. Никора, Н.И. Определение длительных критических нагрузок для сжатых
полимерных стержней при нелинейной ползучести [Электронный ресурс] / Н. И.
Никора, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2015.
— № 1. — Режим доступа: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2796.
91. Никора, Н. И. Продольный изгиб стержней переменной жесткости с
учетом деформаций ползучести и температурных воздействий: дисс. ... канд. техн.
наук: 05.23.17 / Н.И. Никора. – Махачкала, 2016. – 118 с.
92. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с
учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / Н.И. Никора [и
др.] // Научное обозрение. — 2016. — № 4. — С. 40-43.
109
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА НА ЭВМ
Расчет деревянной балки прямоугольного сечения на боковое выпучивание с
учетом ползучести
clc
clear variables
b=5;%ширина сечения, см
h=15; %высота сечения, см
%Осевые моменты инерции
Iz=b^3*h/12;
Iy=b*h^3/12;
E=1.48e3;%Модуль упругости, кН/см2
G=50;%Модуль сдвига,кН/см2
El=1e3;%Длительный модуль упругости
Gl=33.8;%Длительный модуль сдвига
n=18; %Время релаксации, сут
l=300;%Длина балки, см
ny=10;%количество интервалов по y
nz=30;%количество интервалов по z
dy=b/ny;%шаг по y
dz=h/nz;%шаг по z
P=1.25;%Нагрузка, кН
e=0.04;%Эксцентриситет,см
nx=20;%количество интервалов по х
dx=l/nx;%шаг по х
t=200; %Время, сут
nt=100;%количество отрезков по времени
dt=t/nt;%шаг по времени
%Определение крутильной жесткости
ind=zeros(ny+1,nz+1);
k=1;
for i=1:ny+1
for j=1:nz+1
ind(i,j)=k;
k=k+1;
end
end
Matr=zeros((ny+1)*(nz+1),(ny+1)*(nz+1));
Svob=zeros(1, (ny+1)*(nz+1));
for i=1:ny+1
for j=1:nz+1
if i~=1&&j~=1&&i~=ny+1&&j~=nz+1
k=ind(i,j);
Matr(k,k)=-2/dy^2-2/dz^2;
k1=ind(i+1,j);
Matr(k,k1)=1/dy^2;
k1=ind(i-1,j);
Matr(k,k1)=1/dy^2;
k1=ind(i,j-1);
Matr(k,k1)=1/dz^2;
k1=ind(i,j+1);
Matr(k,k1)=1/dz^2;
Svob(k)=-2;
else
110
k=ind(i,j);
Matr(k,k)=1;
Svob(k)=0;
end
end
end
Fi=Matr\Svob';
Ik=0;
for i=1:ny+1
for j=1:nz+1
y=-b/2+(i-1)*dy;
z=-h/2+(j-1)*dz;
Ik=Ik+Fi(ind(i,j))*2*dy*dz;
end
end
Pkr=4.01/l^2*(G*Ik*E*Iz)^0.5;%Мгновенная критическая нагрузка
Pdl=4.01/l^2*(Gl*Ik*El*Iz)^0.5;%Длительная критическая нагрузка
Tmax=zeros(1,nt+1);
Mkr=zeros(1,nx+1);
Mkr_=zeros(1,nx+1);
Mz=zeros(1,nx+1);
My=zeros(1,nx+1);
gamma_zx_=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
gamma_yx_=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
tau_yx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
tau_zx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
gamma_yx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
gamma_zx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
ez=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
sigma=zeros(nx+1,ny+1,nz+1);
tau_yx_max=zeros(1,nt+1);
tau_zx_max=zeros(1,nt+1);
smax=zeros(1,nt+1);
for it=1:nt+1
matr=zeros(nx+1,nx+1);
svob=zeros(nx+1,1);
matr(1,1)=1;
Mkr_=dif(Mkr,dx);
for i=2:nx
x=(i-1)*dx;
matr(i,i)=-2/dx^2*G*Ik+P^2*(l-x)^2/E/Iz;
matr(i,i-1)=1/dx^2*G*Ik;
matr(i,i+1)=1/dx^2*G*Ik;
svob(i)=Mkr_(i)+P*(l-x)/E/Iz*Mz(i);
end
matr(nx+1,nx-1)=1/2/dx;
matr(nx+1,nx)=-2/dx;
matr(nx+1,nx+1)=3/2/dx;
svob(nx+1)=(P*e+Mkr(nx+1))/G/Ik;
Theta=matr\svob;
Tmax(it)=max(abs(Theta));
Theta_=dif(Theta,dx);
%Определение напряжений
Mkr=zeros(1,nx+1);
My=zeros(1,nx+1);
Mz=zeros(1,nx+1);
for i=1:nx+1
111
x=(i-1)*dx;
V_=(P*(l-x)*Theta(i)-Mz(i))/E/Iz;
W_=(-P*(l-x)-My(i))/E/Iy;
Svob=zeros(1, (ny+1)*(nz+1));
for j=2:ny
for k=2:nz
m=ind(j,k);
Svob(m)=-2*G*Theta_(i)+G*(gamma_zx_(i,j,k)-gamma_yx_(i,j,k));
end
end
fi=Matr\Svob';
Fi=zeros(ny+1,nz+1);
for j=1:ny+1
for k=1:nz+1
Fi(j,k)=fi(ind(j,k));
end
end
%Определение напряжений и деформаций ползучести`
for j=1:ny+1
for k=1:nz+1
if k~=1&&k~=nz+1
tau_yx(i,j,k)=(Fi(j,k+1)-Fi(j,k-1))/2/dz;
elseif k==1
tau_yx(i,j,k)=(-3*Fi(j,k)+4*Fi(j,k+1)-Fi(j,k+2))/2/dz;
else
tau_yx(i,j,k)=(3*Fi(j,k)-4*Fi(j,k-1)+Fi(j,k-2))/2/dz;
end
if j~=1&&j~=ny+1
tau_zx(i,j,k)=-(Fi(j+1,k)-Fi(j-1,k))/2/dy;
elseif j==1
tau_zx(i,j,k)=-(-3*Fi(j,k)+4*Fi(j+1,k)-Fi(j+2,k))/2/dy;
else
tau_zx(i,j,k)=-(3*Fi(j,k)-4*Fi(j-1,k)+Fi(j-2,k))/2/dy;
end
y=-b/2+(j-1)*dy;
z=-h/2+(k-1)*dz;
sigma(i,j,k)=-E*(y*V_+z*W_+ez(i,j,k));
ez(i,j,k)=ez(i,j,k)+(1/n/E*((1-El/E)*sigma(i,j,k)El*ez(i,j,k)))*dt;
gamma_yx(i,j,k)=gamma_yx(i,j,k)+(1/n/G*((1-Gl/G)*tau_yx(i,j,k)Gl*gamma_yx(i,j,k)))*dt;
gamma_zx(i,j,k)=gamma_zx(i,j,k)+(1/n/G*((1-Gl/G)*tau_zx(i,j,k)Gl*gamma_zx(i,j,k)))*dt;
if j~=1&&k~=1&&j~=ny+1&&k~=nz+1
delt=dy*dz;
elseif or(j==1&&k==1,j==ny+1&&k==nz+1)
delt=dy*dz/4;
elseif or(j==1&&k==nz+1, j==ny+1&&k==1)
delt=dy*dz/4;
else
delt=dy*dz/2;
end
Mkr(i)=Mkr(i)+G*(-gamma_yx(i,j,k)*z+gamma_zx(i,j,k)*y)*delt;
My(i)=My(i)+E*ez(i,j,k)*z*delt;
Mz(i)=Mz(i)+E*ez(i,j,k)*y*delt;
end
112
end
end
tau_yx_max(it)=max(max(max(abs(tau_yx))));
tau_zx_max(it)=max(max(max(abs(tau_zx))));
smax(it)=max(max(max(abs(sigma))));
clc
proc=fix(it/(nt+1)*100)
end
time=0:dt:t;
%Вывод графика изменения относительного угла закручивания
figure;
plot(time, Tmax);
%Вывод графика изменения максимальной величины касательных напряжений
figure;
plot(time,tau_zx_max*10);
hold on
%Определение критического времени
tkr=0;
for i=1:nt
if smax(i+1)>smax(i)
tkr=(i-1)*dt;
break
end
end
tkr
113
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
114
