Численные методы: Теория упругости и закон Гука

Численные методы
решения задач механики
сплошных сред
1. Теория упругости и
идеальная среда
1
Лекция 4
Закон Гука
2007. Численные методы…Лекция 4
2
Цели изучения:
Установление основного закона
упругих деформаций в сплошной
среде под действием внешних сил и
изменения температуры, а также
характеризующих эти деформации
свойств.
2
2007. Численные методы…Лекция 4
3
Содержание
4.1 Свободная энергия деформируемого тела.
4.2. Закон Гука.
4.3. Однородная деформация тела.
4.3.1. Растяжение стержня.
4.3.2. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
4.4. Неизотермическое деформирование.
4.4.1. Свободная энергия.
4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций.
4.4.3. Адиабатическое деформирование.
4.4.4. Адиабатические и изотермические модули.
2007. Численные методы…Лекция 4
4
4.1. Свободная энергия
деформируемого тела
•
•
•
•
•
Для решения конкретных задач необходимо иметь связь между
компонентами тензора деформаций ik и тензора напряжений σik .
Воспользуемся термодинамическим соотношением σik= (∂F/∂ik)T (3.3.11).
Свободная энергия F в силу малости деформаций (ik<<1) не может быть
представлена в виде ряда нечетных степеней по компонентам ik.
Это связано с тем, что в этом случае прекращения действия всех внешних
сил, когда ik→0, тело должно возвращаться в свое исходное состояние с
F0, в котором и все компоненты σik →0, а не некоторой величине в
соответствии с (3.3.11).
Свободная энергия F является скаляром, поэтому каждое слагаемое в ряду
по ik должно быть скаляром. Но из компонент симметричного тензора ik
можно составить только три скаляра, инвариантных при различных
преобразованиях координат:
─ сумма диагональных элементов ii - линейный инвариант,
─ сумма квадратов всех элементов ik - квадратичный инвариант,
─ определитель матрицы ik - кубический инвариант.
5
Коэффициенты Ламэ
• Ограничиваясь лишь квадратичными членами разложения, свободную
энергию можно представить в виде:

F  F   ii     ik  .
(4.1.1)
o 2
• Здесь величины ,  - некоторые коэффициенты пропорциональности,
называемые коэффициентами Ламэ; Fо - свободная энергия единицы
объема недеформированного тела.
• Как отмечалось в п.2, любую деформацию в произвольной системе
координат можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига,
происходящего без изменения объёма, и деформации всестороннего сжатия
или растяжения, приводящего к изменению объёма деформируемого
элемента.
• Поэтому и тензор деформаций ik можно записать в виде
(4.1.2)
2
2
 ik   ik  13  ik  ll   13  ik  ll .
6
Модули всестороннего сжатия и сдвига
• Сумма диагональных элементов первого тензора в (4.1.2) равна нулю, и
поэтому он представляет собой тензор сдвига. Сумма же диагональных
элементов второго слагаемого представляет собой тензор всестороннего
сжатия или растяжения, поскольку εll =ΔV/V.
• С учетом (4.1.2) выражение для свободной энергии (4.1.1) удобно
привести к следующему виду:

•



F  F0   ll     ik  1  ik  ll  1  ik  ll .
3
3
2
После элементарных преобразований данного выражения получаем
2
F  F  ( )     1    ,
3
2

2
2
2





.
(4.1.3)
• Здесь коэффициенты  и  называют модулем всестороннего сжатия и
модулем сдвига соответственно.
• В недеформированном состоянии свободная энергия F0 минимальна,
поэтому F-F0 ≥ 0 при ik→0. Так как деформация может быть сдвигом без
всестороннего сжатия (=0) или всесторонним сжатием без сдвига
(=0), модули  и  - положительные величины, т.е.  > 0 и  > 0.
0
ll
ik
ik
ll
2
2
3
7
4.2. Закон Гука
• Дифференциал свободной энергии dF из (4.1.3) равен
(4.2.1)
dF   ll d ii  2   ik  13  ik  ll d  ik  13  ik  ll  ,
• Так как ( ik  13  ik ll ) ik = ( kk  13  ii ll ) = 0 и d ii   ik d ik , то в соответствии с
(3.3.11) из (4.2.1) следует
 F 
(4.2.2)
1
   ll ik  2    ik   ik  ll  .
 ik  
3


  ik T
• Выражение (4.2.2) устанавливает линейную связь σik = σik (ik) при малых
изотермических деформациях.
• Можно получить и обратную связь ik = ik (σik ). Для этого найдём сумму
диагональных элементов тензора напряжений σll (4.2.2), т.е.
3
1
 ik =  ii =  ii ll = 3 ll ,  ll   ll .
3
k 1
• После подстановки данного соотношения в (4.2.2) и элементарных
преобразований получим
1
1
 ik   ll ik 
 ik  1  ik ll .
(4.2.3)
3
9
2
• Данное определение тензора деформаций называют законом Гука.


8
Изотермическая сжимаемость
• В п. 2.3 было показано, что относительное изменение объёма при
деформации определяется диагональными элементами тензора деформаций.
Используя закон Гука (4.2.3), получим
V
1
1
(4.2.4)
  ii   ii ll   ll .
V
9
3
• При равномерном всестороннем сжатии газов и жидкостей силами давления
P = - σll /3 (3.1.6) относительное изменение объёма равно
V
P
(4.2.5)
 .
V

• Если деформации малы, температура среды постоянна, а давление
изменяется на малую величину, т.е. P ~ P ≈ ∂Р, то соотношение (4.2.5)
можно записать в дифференциальной форме
1  V 
1
(4.2.6)

  .
V  P T

• Величину 1/к называют коэффициентом всестороннего сжатия при
постоянной температуре или изотермической сжимаемостью.
• Так как изменение свободной энергии при деформации F=F-Fо согласно
(4.1.3) есть однородная квадратичная функция ik , то, используя уравнения
(4.1.3), (4.2.3) и (3.2.3), можно получить следующее соотношение для ΔF:
1
(4.2.7)
F   ik   ik .
2
9
4.3. Однородная деформация
4.3.1. Растяжение стержня
• Деформацию тела называют однородной, если компоненты тензора
напряжений постоянны по всему тела. В качестве примера рассмотрим
растяжение стержня вдоль оси x2 (рис. 4.1).
• Один из концов стержня закреплен, а на другой действует некоторая
растягивающая вдоль оси x2 сила F = F(0, F2, 0).
x3
Если S - площадь поперечного сечения стержня, то
n
F2 = PS , где P- нормальное к S напряжение.
F
Но деформация стержня однородна, поэтому
x2
компоненты тензора напряжений постоянны вдоль
x1
стержня, и их можно определить из граничных
условий.
Рис. 4.1
• На боковую поверхность стержня не действуют никакие внешние силы,
следовательно, на ней выполняется условие:
(4.3.1)
 i( n)   ik nk  0 .
10
Единственная растягивающая сила при
однородной деформации
• Нормальный единичный вектор n к любой площадке боковой
поверхности стержня перпендикулярен к оси x2 и имеет компоненты
n = n(n1, 0, n3) .
• Поэтому условие (4.3.1) дает следующую систему уравнений для
определения компонент тензора напряжений σik :
 11n1   12  0   13n3  0
 21n1   22  0   23n3  0 .
(4.3.2)
 31n1   32  0   33n3  0
• При произвольных n1 и n3 данная система уравнений имеет решение
только тогда, когда все компоненты тензора напряжений, входящие в
неё, равны 0. Поэтому равны нулю как диагональные (11   33  0), так и
недиагональные ( 21   12  0,  23   32  0) компоненты тензора
напряжений.
• Единственной отличной от нуля компонентой σik на боковой
поверхности стержня является компонента σ22, которую можно
определить из граничных условий на торце стержня (n1  n3  0), где
приложена сила F2 = РS или единичная поверхностная сила  2( n2 ) ,
равная
 2( n2 )   2k nk  P,   22  P .
(4.3.3)
11
Модуль Юнга
• Для однородного стержня, как показано ранее, все недиагональные
элементы σik (i≠k) = 0, так и диагональные σik (i=k) = 0, кроме  22  P .
• В соответствии с законом Гука (4.2.3) недиагональные элементы тензора
деформаций εik (i≠k) = 0, а диагональные εik (i=k) равны
(4.3.4)
1 1
1 
1 1
1
 P ,  22  
11   33   
  P .
3  3 2 
3  3  
• Согласно определению (2.1.4) компоненты тензора деформаций
ε11=du1/dx1 и ε33= du3/ dx3 определяют относительное сжатие стержня в
поперечном направлении, а компонента ε22= du2/ dx2 – его относительное
удлинение вдоль оси x2. Из (4.3.4) следует
2  3
P
9
(4.3.5)
11   33 
P ,  22  , E 
.
18
E
3 + 
• Величину E называют модулем Юнга. Он имеет размерность давления и
представляет собой приложенную к единице поверхности торца стержня
силу растяжения P, при которой удлинение стержня равно его длине.
12
Коэффициент Пуассона
• Отношение относительного поперечного сжатия и относительного
продольного удлинения называют коэффициентом Пуассона ,
определяемым формулой

1 3  2
(4.3.6)
   11  
.
 22
2 3  
• Модули всестороннего сжатия  и сдвига  всегда положительны,
поэтому из (4.3.6) следует, что коэффициент Пуассона может
изменяться в пределах  1    1 2 , определяемых состояниями,
когда тело не сопротивляется сжатию ( = 0) и не сопротивляется
сдвигу ( = 0) соответственно.
• В природе не известны тела, у которых увеличивались бы поперечные
размеры при их растяжении, и значения коэффициента Пуассона были
бы отрицательными. Коэффициент Пуассона, близкий к 1/2,
наблюдается у тел типа резины, у которых модуль сдвига очень мал.
• Для реальных тел справедливо неравенство
(4.3.7)
0    1/ 2.
13
Феноменологические коэффициенты
• Используя определения (4.1.3), (4.3.5) и (4.3.6), можно выразить модуль
всестороннего сжатия , модуль сдвига  и коэффициент Ламэ  через
модуль Юнга E и коэффициент Пуассона σ с помощью формул
E
E
E
(4.3.8)

, 
, 
.
1  2 1   
31  2 
21   
• Все предыдущие соотношения между ik(σik) и σik(ik) могут быть
записаны с использованием только модуля Юнга Е и коэффициент
Пуассона σ.
• Таким образом, два из любых введенных коэффициентов (λ, μ), (к, μ) или
(Е, σ) полностью характеризуют упругие свойства среды. В механике
сплошных сред они являются феноменологическими коэффициентами,
определяемыми из опыта.
• Необходимость введения новых модулей Юнга и Пуассона подтверждается
чистотой и простотой опыта, из которого они могут быть определены. Для
этого достаточно измерить лишь изменение продольных и поперечных
размеров стержней при растяжении.
14
Изменение свободной энергии при
однородной деформации
• Относительное изменение объёма стержня при растяжении
(однородная деформация) согласно (2.3.4) и (4.3.5) равно
V
1P
  ii 
.
V
3
(4.3.9)
• Сравнение данного результата с изменением относительного объёма
при всестороннем равномерном сжатии (4.2.5) показывает, что при
одноосном растяжении относительное изменение объёма в три раза
меньше, чем при всестороннем сжатии. Различие знаков в
определениях (4.2.5) и (4.3.9) связано с противоположным
направлением действия внешних сил на поверхность тела.
• Изменение свободной (упругой) энергии единицы объёма стержня при
растяжении согласно (4.2.8), (4.2.3) и (4.3.5), а также с учетом (4.2.4)
равно
1
1 P2
F   22 22 
.
(4.3.10)
2
2 E
15
4.4. Неизотермическое деформирование.
4.4.1. Свободная энергия
• При изменении температуры от начальной Т0 элемент объёма испытывает
температурную деформацию, даже если внешние силы отсутствуют.
Если такие деформации малы, то можно считать их пропорциональными
изменению температуры T=T-T0.
• Рассмотрим изотропное тело, характеризуемое одним коэффициентом
линейного теплового расширения . Так как свободная энергия является
скалярной величиной, то единственным выражением для дополнительного
слагаемого FT в определении свободной энергии, связанной также и с
действием внешних сил, является следующее:
F T  AT  T0  ii  AT  T0  ik ik ,
(4.4.1)
где A - коэффициент, независящий в первом приближении от Т.
• В соответствии с (4.1.3) и (4.4.1) свободная энергия F(T) равна
2
(4.4.2)
κ 2
1


F T   Fo To  
2
εll  μ εik  δik εll   A(T  T0 )δik εik .
3


Здесь F0(T0) – свободная энергия в недеформированном состоянии.
16
4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций
• Дифференцируя F(T) по ik , как и в п.4.2, получим:
1
(4.4.3)
 ik  ik ll  2 ( ik   ik ll )  A(T  T0 ) ik .
3
• Коэффициент A может быть определен из условия, что при свободном
однородном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил)
внутренние напряжения должны отсутствовать, т.е. σik = 0:
1
0  k ll ik  2 ( ik   ll ik )  A(T  T0 ) ik .
3
• Если данное равенство умножить скалярно на ik , то второе слагаемое в
полученном равенстве обращается в нуль, и из него следует
A
 V 
 ll   T  To    iiT=
 = 3 T  To  , A  3 .
(4.4.4)
•

 V P
Полный тензор напряжений , учитывающий деформацию под действием
внешних сил и температуры для изотропного тела, имеет вид:
1
(4.4.5)
 ik  ll ik  2 ( ik   ll ik ) - 3 (T - T0 ) ik .
3
• Повторяя вывод закона Гука для тензора деформаций, получим для ik
1
1
1
(4.4.6)
 ik   ll ik 
( ik   ll ik )   (T-T0 ) ik .
9
2
3
17
4.4.3. Адиабатическое деформирование
• Если деформирование тела происходит при T = const, то модули  и 
в определении (4.1.3) свободной энергии F называют
изотермическими . Однако деформация может совершаться и
адиабатически, т.е. без притока тепла в элемент объёма извне и без
передачи тепла из выделенного элемента соседним, или при его
постоянной энтропии SV (например, при быстром деформировании).
В этом случае коэффициенты  и  имеют другое, адиабатическое
значение.
• Из равенства (3.3.10) SV  (F / T ) ikпосле подстановки определения
(4.4.2) для F, разложения разности энтропий до и после
адиабатического деформирования в ряд по малой разности
температур и не сложных преобразований следует закон Гука для
адиабатического деформирования:
1
 ikад  kaд ll ik  2 ( ik   ll ik ) ,
3
1
1
1
 ikад 
 ll ik  ( ik   ll ik ) .
9kад
2
3
(4.4.7)
Зависимость давления от высоты
Магдебурские полушария
18
4.4.4. Адиабатические и изотермические модули
• В (4.4.7 ) ад называют адиабатическим модулем сжатия, который
связан с изотермическим  соотношением
9 2 2T
(4.4.8)
 ад 
 .
CV
• В соответствии с (4.2.6) для изотермического и адиабатического
деформирования можно записать
1  V 
1
1  V 
1
.

  ,

 
(4.4.9)
V  P T

V  P  S
 ад
• Используя правила преобразования термодинамических величин,
соотношения (4.4.8) и (4.4.9), можно получить формулы, связывающие
адиабатический и изотермический модули в виде:
1
1 9 2T
  CV  1 ,
 
.
(4.4.10)
 ад C p 
 ад 
CP
• Здесь γ - показатель адиабаты. Из (4.4.10) видно, что ад > . Поэтому
из (4.4.9) следует, что адиабатическое относительное изменение объема
меньше изотермического, т.е. (V / V ) S  (V / V )T .
• Модуль сдвига, связанный в общем случае с поворотом главных осей
деформаций, для изотропных тел при неизотермическом и
адиабатическом деформировании одинаков, т.е. ад =  .
19
Выводы
Введены основные понятия, термины и
основные законы, используемые в теории
упругости:
• Коэффициенты Ламэ.
• Модули всестороннего сжатия и сдвига.
• Модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
• Изотермические и адиабатические модули.
• Изотермическая сжимаемость.
• Закон Гука для изотермического деформирования.
• Закон Гука для адиабатического деформирования.
2007. Численные методы…Лекция 4
20
Информационное
обеспечение лекции
Литература по теме:
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.:
Наука. 2002. 735с.
• Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:
Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.
• Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950.
814 с.
• Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:
Наука. 1970. 736 с.
2007. Численные методы…Лекция 4
21
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: [email protected]
22