Сегодня: среда, 11 декабря 2024 г.
Тема:
Практика 2
Анализ размерностей
Содержание лекции:
1. Планковские единицы
2. Сфера Шварцшильда
Задача: Определить, какой массе вещества M, летящей со скоростью звука
V=300v/c, соответствует по энергии пучку протонов с энергией в T=7 ТэВ =
7·1012эВ=1,12·10-6 Дж и полной массой m=1 нг=10-9 г =10-12 кг.
Масса протона mp=1.67·10-27кг.
Решение:
Mv2/2 = T(m/mp) M=2Tm/mpv2 =2·1.12·10-6Дж ·10-12 кг/ 1.67·10-27 кг·9·104 (м/с)2=
2,24 ·10-18 /15,03 ·10-23= 1,4 ·10 4кг =14т.
Пла́нковские едини́цы — система
«естественных единиц измерения», впервые
предложенная в 1899 году Максом Планком на
основе скорости света , гравитационной
постоянной и двух введенных им новых
постоянных теории теплового излучения и
(они отличаются от современных постоянных
и на безразмерные множители).
Первоначально планковские единицы были
введены в докладе, сделанном 18 мая 1899
года на заседании Академии наук в Берлине и
посвящённом обзору теории явлений теплового
излучения, рассматриваемых с точки зрения
электромагнитной теории света, и значению
второго начала термодинамики в ней.
Планковская длина (обозначаемая ) — фундаментальная единица длины
равная в примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная
единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные
константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная
постоянная.
Планковская длина равна:
G
lp
c3
≈ 1,616199(97)·10−35 м
где:
ħ — (h/2π);
G — гравитационная постоянная(6,672·10-11Н·м2кг2);
c — скорость света в вакууме.
Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (1,3·1026 м или 13,7
миллиардов световых лет) равен 4,84·1061 планковских длин.
С точностью до множителя π, Планковская масса равна массе чёрной
дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине
волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен
планковской длине.
Анализ показывает, что измерение положения
физических объектов с точностью до планковской длины
проблематично. Действительно, проведём следующий
мысленный эксперимент. Допустим, мы хотим
определить положение объекта и посылаем на него
поток электромагнитного излучения, то есть фотоны.
Чем больше энергия фотонов, тем короче их длина
волны и тем более точным будет измерение. Если бы
фотон имел энергию, достаточную для измерения
объектов размером с планковскую длину, он бы
сколлапсировал в микроскопическую чёрную дыру и
провести измерение было бы невозможно, таким
образом, планковская длина накладывает
фундаментальные ограничения на точность измерения
длины.
Этот мысленный эксперимент использует как
общую теорию относительности, так и принцип
неопределённости квантовой механики. Обе
теории предсказывают, что невозможно
измерение с точностью, которая превосходит
планковскую длину. Таким образом, в любой
теории квантовой гравитации, комбинирующей
общую теорию относительности и квантовую
механику, традиционное представление о
пространстве и времени неприменимо на
расстояниях меньше планковской длины или
для промежутков времени меньше чем
Планковское время.
Частица масой m имеет комптоновскую длину
волны
λс=ħ/mc.
Радиус Шварцильда той же частицы равен
rg =2Gm/c2
Их произведение равно
rg C
lP
rg λс= 2G ħ/c3 =2l2P где
2
-планковская длина волны.
Соотношение неопределенностей между
радиусом Шварцшильда частицы и
комптоновской длиной волны частицы будет
иметь вид Δrg Δ λс≥ G ħ/c3 =l2P
И является следствием соотношения
неопределенностей гейзенберга
Δ(mc)Δ(λс) ≥ ħ/2
Отсюда следует, что планковская длина является
пределом расстояния, меньше которого сами понятия
пространства и длины перестают существовать. Любая
попытка исследовать существование более коротких
расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров),
осуществляя столкновения при более высоких
энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной
дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо
того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки,
приведут к рождению черных дыр все большего
размера. Уменьшение комптоновской длины волны
частицы приведет только к увеличению радиуса
Шваршильда чёрной дыры. Соотношение
неопределенностей между радиусом Шварцшильда и
комптоновской длиной волны порождает на
планковском масштабе виртуальные черные дыры.
Пла́нковские едини́цы — система
«естественных единиц измерения», впервые
предложенная в 1899 году Максом Планком на
основе скорости света , гравитационной
постоянной и двух введенных им новых
постоянных теории теплового излучения и
(они отличаются от современных постоянных
и на безразмерные множители).
Первоначально планковские единицы были
введены в докладе, сделанном 18 мая 1899
года на заседании Академии наук в Берлине и
посвящённом обзору теории явлений теплового
излучения, рассматриваемых с точки зрения
электромагнитной теории света, и значению
второго начала термодинамики в ней.
"Все до сих пор используемые системы единиц, в том
числе так называемая абсолютная СГС-система,
обязаны своим происхождением пока что случайному
стечению обстоятельств, поскольку выбор единиц,
лежащих в основе каждой системы, сделан не исходя
из общей точки зрения, обязательно приемлемой для
всех мест и времен, но исключительно исходя из
потребностей нашей земной культуры… В связи с этим
представляло бы интерес заметить, что, используя обе
постоянные а и b …, мы получаем возможность
установить единицы длины, массы, времени и
температуры, которые не зависели бы от выбора какихлибо тел или веществ и обязательно сохраняли бы
свое значение для всех времен и для всех культур, в
том числе и внеземных и нечеловеческих, и которые
поэтому можно было бы ввести в качестве
«естественных единиц измерений».
— Планк М. Избранные труды — М.: Наука, 1975, с. 232
•
под планковской системой понимается
система единиц, в которой в качестве единиц
выбраны следующие константы:
• ħ — постоянная Дирака (постоянная Планка,
делённая на 2π)
• с — скорость света (электродинамическая
постоянная)
• G — гравитационная постоянная
• k— постоянная Больцмана
• 1/4π ε0 — коэффициент пропорциональности в
законе Кулона, где ε0— электрическая
постоянная.
Задача -домашняя
• 𝐸𝑝 = 𝐺 𝛼 𝑐 𝛽 ℏ𝛾 =
𝐺
м
м3
𝛼
𝑐
кгс2
3𝛼+𝛽+2𝛾
кг
м 𝛽
ℏ
кгм2
𝛾
с
с
−𝛼+𝛾 −2𝛼−𝛽−𝛾
с
=
= Дж =
кгм2
;
2
с
3𝛼 + 𝛽 + 2𝛾 = 2; −𝛼 + 𝛾 =
1; −2𝛼 − 𝛽 − 𝛾 = −2.
•
1
𝛼=−
2
𝐺
−1
2
5
2
𝑐 ℏ
1
2
;
5
𝛽=
2
=
1,22 ∙ 1019 ГэВ
1
;𝛾= .
2
𝐸𝑝 =
ℏс5
= 1.959 ∙ 109
𝐺
Дж =
кг
Планковская масса
м , Планковская длина
с, Планковское время
c 5
E p mпл c
1,959 10 9 Дж 1,22 1019 ГэВ
G
2
Планковская энергия
Современная физика имеет дело с
немногим числом фундаментальных
законов, или фундаментальных
физических теорий, охватывающих все
разделы физики. Эти наши знания о
физических процессах и явлених,
приближенные, но они пока наиболее
полно отражают различные формы
движения материи в природе.
Наиболее фундаментальной проблемой
физики остается исследование материи
на самом глубоком уровне. Накоплен
огромный экспериментальный материал
по взаимодействиям и превращениям
элементарных частиц. Произвести же
теоретическое обобщение всего этого
материала с единой точки зрения пока не
удается.
Остается нерешенной проблема
определения спектра масс элементарных
частиц. Возможно, для решения
проблемы спектра масс и устранения
бесконечностей в квантовой теории поля
необходимо введение некоторой
фундаментальной длины, которая
ограничивала бы применимость обычных
представлений о пространстве-времени
как о непрерывной сущности.
До расстояний ~10–15 см и
соответственно времен ~10–25 с обычные
пространственно-временные
соотношения, по-видимому, справедливы.
Но на меньших расстояниях, возможно,
это и не так. Делаются попытки введения
фундаментальной длины в различных
вариантах квантования пространствавремени. Эти попытки пока не привели к
ощутимым результатам.
«Чёрная дыра» Мичелла
Концепция массивного тела, гравитационное
притяжение которого настолько велико, что
скорость, необходимая для преодоления
этого притяжения (вторая космическая
скорость), равна или превышает скорость
света, впервые была высказана в 1784 году
Джоном Мичеллом в письме, в Королевское
общество. В из расчета в письме следовало,
что для тела с радиусом в 500 солнечных
радиусов и с плотностью Солнца вторая
космическая скорость на его поверхности
будет равна скорости света.
«Чёрная дыра» Мичелла
Таким образом, свет не сможет покинуть это
тело, и оно будет невидимым[10]. Мичелл
предположил, что в космосе может
существовать множество таких недоступных
наблюдению объектов.
В ньютоновском поле тяготения для
частиц, покоящихся на бесконечности, с
учётом закона сохранения энергии:
«Чёрная дыра» Мичелла
то есть
Пусть гравитационный радиус rg —
расстояние от тяготеющей массы, на
котором скорость частицы становится
равной скорости света v=c. Тогда
Сфера Шварцшильда
• Радиус
сферы
Шварцшильда,
решение Шварцшильда (1916 год,
Карл Шварцшильд) — статичное
решение
для
сферическисимметричной чёрной дыры без
вращения и без электрического
заряда.
