Целые уравнения и их корни: план уроков

УРОК 1.
Тема. Целое уравнение и его корни.
Цель: ввести понятие целого уравнения ,степени уравнения, познакомить
учащихся с уравнениями высших степеней, повторить решение уравнений
первой и второй степени.
УРОК 2.
Тема "Решение целых уравнений«
Цели: сформировать умение решать некоторые виды целых уравнений,
используя разложение многочлена на множители, введение новой
переменной и графически.
УРОК 3,4(2 часа).
Тема:"Решение целых уравнений»
Цели: обобщить и углубить сведения об уравнениях; закрепить умения
и навыки решения целых уравнений систематизировать материал по
данной теме.
УРОК 5.
Тема: «Решение целых уравнений»
Цели: закрепить знания, умения и навыки при решении уравнений
высших степеней
Тема урока: «Целое уравнение и его
корни»
Тип урока: урок объяснения нового материала.
ход урока.
1. Проверка домашнего задания.(Фронтальный опрос учащихся)
ПРОДОЛЖИТЬ ОТВЕТ
1. Уравнением называется …..
2. Корнем уравнения с одной переменной
называется…
3. Решить уравнение –значит …
4. Уравнения с одной переменной , имеющие одни и
те же корни, называются …
ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА РАВНОСИЛЬНОСТИ.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОМИНО
-2;7
3х  1  0
х  7 х  12  0
2
-4;4
2 уравненья
Не -3
всегда
3
х

8
х

3

0
0;3 ( х  2)( х  4)  0
Разрешают сомненья,
Но итогом сомненья
1
2 озаренье.
Может быть
2
х  6х  9  0
-4;2
1
3
х  16  0
5х  15х  0
2
-3;
3
А.Н.Колмогоров.
3и4
х  5х  14  0
2
Повторите алгоритм решения
уравнений первой степени.
1. Раскрыть скобки.
2. Перенести слагаемые с
переменной в одну часть, без
переменной в другую.
3. Привести подобные слагаемые.
4. Решить получившееся линейное
уравнение ах=b.
b
х  , при _ а  0 ;
а
корней нет , при а=0,b≠0
Уравнение второй степени
ах  bx  c  0
2
•КАК НАЗЫВАЮТСЯ УРАВНЕНИЯ ТАКОГО ВИДА?
•КАК РЕШИТЬ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ?
•СКОЛЬКО КОРНЕЙ МОЖЕТ ИМЕТЬ КВАДРАТНОЕ
УРАВНЕНИЕ?
•СДЕЛАЙТЕ ВЫВОД О КОЛИЧЕСТВЕ КОРНЕЙ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Алгоритм решения квадратного уравнения
1. Вычислить дискриминант по формуле
D  b2  4ac.
2. Если D  0 , то квадратное уравнение не имеет корней.
b
x .
3. Если D  0 , то квадратное уравнение имеет один корень:
2a
x1,2 
4. Если D  0 , то квадратное уравнение имеет два корня:
2
В случае ели b – четное число, то
D b
    ac, тогда
4 2

х1, 2 
Уравнение вида
x 2  px  q  0
b  D
2a
b
D

2
4
a
является приведенным квадратным уравнением.
Если числа x1 , x2таковы, что x1  x2   p, x1 x2  q, то эти числа – корни уравнения. С
помощью этого утверждения, а точнее утверждения, обратного теореме Виета можно
решать приведенные квадратные уравнения
Для уравнений 3 и 4 степени
известны формулы корней, но они
очень сложны и неудобны для
практического применения.
Что касается уравнений пятой и
более высоких степеней, то общих
формул корней не существует.
Индивидуальная работа по
карточкам.
Карточка №1.
Карточка №2.
Решите уравнение:
Решите уравнение
(8 х  1)( 2 х  3)  1  (4 х  2)
2
Карточка №3
Разложить
многочлен на
множители:
х3  5х 2  15х  27
2х 4  х 3
(3  2 х ) 2  (2 х  3)(1  6 х )
БЛИЦ-ОПРОС.
(РАБОТА С КЛАССОМ.)
КАКОЕ УРАВНЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕЛЫМ?
ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ?
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ЦЕЛОГО
УРАВНЕНИЯ?
СКОЛЬКО КОРНЕЙ МОЖЕТ ИМЕТЬ ЦЕЛОЕ
УРАВНЕНИЕ?
К КАКОМУ ВИДУ МОЖНО ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ
ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ?
К КАКОМУ ВИДУ МОЖНО ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ
ВТОРОЙ СТЕПЕНИ?
Проверка работы учащихся у
доски..
План ответа
К карточкам №1 и №2.
Назвать степень уравнения.
К какому виду уравнение приведено.
Сколько корней может иметь уравнение данного
вида.
Алгоритм решения
К карточке №3.
Назвать способы разложения на
множители.
Установить соответствие
А. у  кх  b
Б. у  х
В. у  х
3
1.Кубическая
парабола
2.Прямая
2
3.Гипербола
к
Г.у 
х
4.Парабола
Изучение нового материала.
На прошлом уроке мы познакомились с понятием
степени целого уравнения , научились определять
степень целого уравнения и повторили решение
уравнений первой и второй степеней
Сегодня на уроке мы будем учиться
решать уравнения более высоких
степеней.
Из предложенных на слайде
уравнений , найдите уравнения
первой и второй степени и
решите их устно.
Р
Е
Ш
х 2  5х  6  0
х 4  5х 2  36  0
И
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
Т
4  (2 х  7)  5(2  х)
5
Е
А
Е
Н
И
Я
2
х  х2 0
х 3  8х 2  х  8  0
3
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
В
Н
3
(2 х  7)(9 х  6)(4  2 х)  0
2
2
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
У
Р
4
х  6х  0
3х  х  18х  6  0
3
3
2
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
Какое из уравнений на
слайде вы можете
решить?
Р
х 4  5х 2  36  0
Е
Ш
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
И
4
3
2
Т
Е
(2 х  7)(9 х  6)(4  2 х)  0
2
2
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
У
Р
А
Е
Н
И
Я
3
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
В
Н
х  х2 0
х 3  8х 2  х  8  0
х  6х  0
3х  х  18х  6  0
3
3
2
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
(2 х  7)(9 х  6)(4  2 х)  0
(2 х  7)( 9 х  6)( 4  2 х )  0
2 х  7  0, или
9
х

6

0
,
или
4

2
х

0
Как определить
степень
х  3,5 _______
х  2целого
/ 3 _______ х  2
уравнения?
Какое свойство вы использовали при
решение этого уравнения?
Определим, уравнение какой степени мы решили.
(2 х  7)(9 х  6)( 4  2 х)  0
(18 х 2  12 х  63 х  42)( 4  2 х)  0
(18 х 2  51х  42)( 4  2 х)  0
72 х 2  204 х  168  36 х 3  102 х 2  84 х  0
 36 х 3  174 х 2  120 х  168  0
Мы решили уравнение третьей степени,
благодаря тому, что его левая часть
была представлена в виде произведения
множителей, а правая - равна 0.
Что значит представить многочлен
в виде произведения?
Какие способы разложения
многочлена на множители вы
знаете?
Нет ли на слайде уравнения, левую
часть которого можно легко разложить
на множители?
Р
х 4  5х 2  36  0
Е
Ш
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
И
4
3
2
Т
Е
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
У
Р
А
2
Е
Н
И
Я
х  х2 0
х 3  8х 2  х  8  0
3
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
В
Н
2
х  6х  0
3х  х  18х  6  0
3
3
2
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
х  8х  х  8  0.
3
2
Разложим многочлен в левой части уравнения на
множители способом группировки.
( х  8х )  ( х  8)  0,
3
2
х ( х  8)  ( х  8)  0,
2
( х  8)(х  1)(х  1)  0
Решим уравнения
х-8=0 или х-1=0 или х+1=0
Получаем
х=8, х=1 ,х= -1.
Ответ: -1;1;8.
При решении данного уравнения мы
применили один из методов решения
целых уравнений - метод разложения
многочлена на множители.
Суть его заключается в следующим:
В уравнении Р(х)=0 многочлен
Р(х)разложить на множители и затем
прировнять каждый множитель к 0.Решив
получившиеся уравнения , находим корни
уравнения Р(х)=0.
Р
х 4  5х 2  36  0
Е
Ш
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
И
Т
Е
4
3
2
Какие из уравнений можно решить методом
разложения на множители?
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
У
2
Р
2
х  х2 0
3
А
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
В
Н
Е
Н
И
Я
3х  х  18х  6  0
3
х  6х  0
2
3
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
Решите уравнения используя разложение
многочлена на множители.
3х  х  18х  6  0
3
2
3х 3  х 2  18 х  6  0
(3х  х )  (18 х  6)  0
3
2
х (3х  1)  6(3х  1)  0
2
(3х  1)( х  6)  0
2
3х  1  0 _ или _ х 2  6  0
Корней нет
1
х
3
х  6х  0
3
х 3  6х  0
х ( х  6)  0
2
х  0 _ или _ х  6  0
2
__________ х 2  6,
       х1, 2   6
Р
х 4  5х 2  36  0
Е
Ш
И
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
4
3
2
Т
Е
У
Р
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
2
2
х  х2 0
3
А
В
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
Н
Е
Н
И
Я
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
4
3
2
х ( х  1)  6 х ( х  1)  5( х  1)  0
4
2
( х  1)( х  6 х  5)  0
4
х 1  0
х  1
2
или
х  6х  5  0
4
2
Как решить это
уравнение?
Немного теории.
Уравнение
х4  6х2  5  0
биквадратным.
является
Определение. Уравнение вида
ах 4  bx 2  c  0
, где хпеременная,
а,b,с
–некоторые
Биквадратное
уравнение
является
квадратным
2
числа, причём
а≠0 называется
относительно
х
биквадратным.
Решить
его можно используя метод введения новой
переменной. x
 t , t≥ 0
уравнение запишется в виде :
2
at
2
 bt  c  0
Находим корни t1 и
И
х  t2 .
2
Тогда исходное
t2 .Решаем уравнения
х  t1
2
Решим уравнение
х  х  6 х  6 х  5х  5  0
5
4
3
2
х ( х  1) метод
 6 х (введения
х  1)  новой
5( х переменной
1)  0
Применим
4биквадратного
2
для( х
решения
 1)( х  6 х  5)  уравнения.
0
4
х 1  0
2
или
х  1
х4  6х2  5  0
х2  у
у2  6 у  5  0
у1  1 _ и _ у2  5
Если у=1, то
Если у=5, то
х  1, х1, 2  1
2
х  5, х3, 4   5
2
НАЙДИТЕ НА СЛАЙДЕ
БИКВАДРАТНОЕ
УРАВНЕНИЕ И РЕШИТЕ
ЕГО.
Р
х 4  5х 2  36  0
Е
Ш
И
Т
Е
У
Р
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
2
2
х  х2 0
3
А
В
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
Н
Е
Н
И
Я
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
х  5х  36  0
4
2
х  5 х  36  0
4
2
х 2  у,
у  5 у  36  0
2
у1  4, у2  9
х 2  4  корней _ нет ;
х  9, х1, 2  3.
2
Ответ: -3 и 3
Проверить
решение
Метод введения новой
переменной применяется при
решении не только биквадратных
уравнений.
Этим методом можно решить и
такие уравнения, как
(2 х  3)  12(2 х  3)  11  0
2
2
2
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
2
2
РЕШИМ УРАВНЕНИЕ
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
Решение.
(2 х 2  3) 2  12(2 х 2  3)  11  0
Обозначим _ 2 х 2  3  у, тогда
получим _ квадратное _ уравнение
у 2  12 у  11  0
По _ теореме _ Виета _ найдём _ корни
у1  1 _ и _ у2  11
2 х 2  3  1;2 х 2  2, х 2  1 _ корней _ нет;
2 х 2  3  11,2 х 2  8, х 2  4, х1, 2  2
Ответ:-2;2
( х  5х  4)( х  5х  6)  120
2
2
Какую замену можно выполнить при решении
этого уравнения?
х 2  5 х  у.Получим _ уравнение
( у  4)( у  Замечание!
6)  120
Новой переменной можно
обозначитьуравнение.
выражение
Решите полученное
у 2  10 у  242  120
( х  5х  4)
у 2  10 х  96  0
у1  16 _ и _ у 2  6
запишется
х 2 Тогда
5 х  уравнение
16,
х 2  5 х  16  0в, виде
у(у+2)=120
D  0  корней
_ нет;
х 2  5 х  6,
х 2  5 х  6  0,
х1  1 _ и _ х2  6.
Ответ : 1;6.
ПРОВЕРИТЬ
Р
Е
Ш
У нас на слайде осталось три
уравнения.
И
Т
Е
У
Р
х  х2 0
3
А
В
Н
Е
Н
И
Я
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
3
4
Можно выделить целую группу
уравнений, которые решить одним
из рассмотренных методом
трудно.
И тогда на помощь приходят
графики функций.
Решим уравнение
х  х2 0
3
используя графики функций.
Такой метод решения уравнений
называется графическим
методом
•Суть графического метода:
• левую и правую части уравнения
рассматриваем как две функции.
•В одной системе координат строим
графики этих функций.
•Находим точки пересечения графиков.
•Абсциссы точек пересечения являются
корнями уравнения.
х  х2 0
3
Решим графически уравнение
х3   х  2
у  х3
Строим графики функций
у  х3
и
у  х  2
у  х3
Графиком функции
является кубическая парабола.
Графиком функции
у  х  2
является прямая.
у  х  2
Находим точку пересечения графиков.
Абсцисса этой точки является
решением данного уравнения
Ответ:х=1
Как вы думаете, в чём недостаток
данного метода решения?
Графический способ решения
уравнений не всегда обеспечивает
высокую точность результата, и
поэтому иногда приходится этот
результат уточнять при помощи
вычислений.
Итог урока
Сегодня на уроке мы рассмотрели
некоторые методы решения
целых уравнений.
Какие методы решения целых
уравнений мы разобрали на уроке?
Какое уравнение называется
биквадратным?
Сколько корней может иметь
биквадратное уравнение?
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ
Уравнение
большей 2
P( x)  0, P(x) - многочлен стандартного вида, степени
Способы решения:
Графический
Введение новой
переменной
вынесение
общего
множителя за
скобки
Разложение на
множители
тождества
сокращенного
умножения
способ
группировки
делением
многочлена на
многочлен
Домашнее задание
№273(а,д)
№278(а,г)
№276(б)
Провести исследование
корней биквадратного
уравнения.
У нас остались не решены два уравнения
3
х ( х  1)( х  2)( х  3)  
4
х  5х  6 х  5х  1  0
4
3
2
К сожалению мы разобрали не все приёмы
используемые при решении целых уравнений.
Значит нам есть над чем работать на
следующем уроке.
УРОК ОКОНЧЕН.
СПАСИБО ЗА УРОК.