11 Производная по направлению, градиент
Первые частные производные f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) функции z=f(x,y) в точке
М0 ( x0 , y0 ) характеризуют скорость изменения функции z в направлении
осей ОХ и ОУ. Геометрически они определяют крутизну поверхности этой
функции в точке
( x0 , y0 , z0 ) поверхности, соответствующей функции
z=f(x,y) .Здесь z0 f ( x0 , y0 ) .Производная по направлению определяет и
скорость изменения функции, и крутизну поверхности по любому
направлению, исходящему из точки М0 ( x0 , y0 ) , поэтому первые частные
производные являются частным случаем производной по направлению.
Предположим, что из точки М0 ( x0 , y0 )
указано направление с помощью единичного
,
вектора l ,образующего
углы
соответственно с осями координат
ОХ и
ОУ,т.е. l = (Cos , Cos ) .
Определение 10.27.
f M 0
Производной f l M 0 (или
)от
l
функции z=f(x,y)
в точке М0 ( x0 , y0 ) в направлении вектора l
называется предел отношения приращения z М 0 функции z=f(x,y)
,возникшего при перемещении точки М ( х , у ) из положения М0 ( x0 , y0 ) в
точку M1 ( x0 x, y0 y ) вдоль вектора l , к расстоянию
этими точками при стремлении к нулю ,т.е.
f l M 0 =
f M 0
lim
между
z M 0
0
l
Найдем
выражение для вычисления производной по направлению,
предполагая ,что исходная функция дифференцируема в точке М0 ( x0 , y0 ) .
Из условия дифференцируемости рассматриваемой функции следует,что
Так
как
z ( М 0 ) f x М 0 x f у М 0 y x , y .
x Cos , y Cos (см. рисунок), то имеет место следующее равенство
z ( М 0 ) f x М 0 x f у М 0 y x , y
x
y
f x М 0
f у М 0
( х , у ) , из которого, переходя к пределу, находим формулу
f M 0
z M 0
lim
= lim ( f x М 0 x f у М 0 y ( х , у ) )=
0
0
l
= lim ( f x М 0 Cos f у М 0 Cos ) lim ( х , у ) )=
0
0
f x М 0 Cos f у М 0 Cos ) ( ни углы, ни частные производные не
зависят от , а
lim ( х , у ) =0) для
вычисления
0
производной по
направлению
f l M 0 =
Заметим, что
2
2
f M 0
l
f x М 0 Cos f у М 0 Cos )
при 0 , и
f M 0
l
f x М 0 ,
f M 0
l
(10.32)
f у М 0 ,если
0.
,потому что при этом
Задача 25.Вычислить производную по направлению вектора а = i j от
функции f(x,y)=2xy в точке (1,-1).
Решение.
В качестве единичного вектора, задающего направление, возьмем вектор
а
i j
1
1
1
1
.
, Cos
i
j . Значит, Cos
l = =[ а i j = 2 ]=
а
2
2
2
2
2
Далее: f x х, у 2 ху х у 2 ху ln 2, f x 1, 1 у 2 ху ln 2
х2 ln 2, f 1, 1 х2 ln 2
f у х , у 2 ху
у
ху
у
ху
1,1
1,1
ln 2
.
2
ln 2
,
2
Полученные
значения подставляем в формулу (10.32) и находим искомую производную
f 1, 1
ln 2 1
ln 2
1
2
ln 2. Функция в данном направлении
l
2
2
2
2
2
убывает, так как производная отрицательна.
Аналогично определяется понятие производной по направлению и для
функций от трех и более переменных. В случае функции u=f(x,y,z)
производная по направлению определяется по формуле :
u
u
u
u
(M 0 ) (M 0 ) cos (M 0 ) cos (M 0 ) cos ,
l
x
y
z
где l (cos , cos , cos ) -единичный вектор направления, , , - углы
вектора соответственно с осями Ox,Oy,Oz.
Задача отыскания направления ,в котором функция имеет наибольшую
скорость возрастания, и направления быстрейшего убывания функции
является основной при изучении поведения функции в окрестности точки.
Для решения этой задачи введем понятие градиента.
Определение 10.28.
Градиентом функции z=f(х,у) в точке М0 ( x0 , y0 ) называется вектор
gradf(M0) с началом в точке М0 ( x0 , y0 ) ,расположенный в плоскости
ХОУ, с координатами
равными
значениям
первых частных
производных функции z=f(х,у) в точке М0 ( x0 , y0 ) :
gradf(M0)= f x M 0 i f x M 0 j
(10.33)
Легко заметить, что производная по направлению представляет собой
скалярное произведение
градиента функции и единичного вектора
направления
f M 0
f x M 0 Cos f y M 0 Cos =(gradf(M0) l ) =
l
gradf ( M 0) l Cos = gradf ( M 0) Cos ,где
-угол между векторами
gradf(M0) и l .
Из последнего равенства видно, что производная по направлению принимает
наибольшее свое значение, когда направления градиента и единичного
вектора совпадают, т.е. когда угол между этими векторами =0,причем
наибольшее ее значение равно модулю градиента
max
f M 0
l
gradf ( M 0)
f x M0 f y M0
2
2
(10.34)
Значит, функция имеет наискорейший рост в направлении градиента.
Если вектор l направлен в противоположную сторону градиента, то
производная по направлению принимает наименьшее свое значение, которое
равно
f M 0
2
2
min
gradf ( M 0) - f x M 0 f y M 0
l
В этом направлении функция убывает с наибольшей скоростью.
Задача26.
Указать направления быстрейшего возрастания и убывания функции
z=х2+2ху+3 в точке (0,-1). Вычислить скорости быстрейшего возрастания
и убывания функции .
Решение.
Вычисляем частные производные данной функции в точке (0,-1 ):
z
z
x 2 2 xy 3 x 2 x 2 y , (0, 1) 2 x 2 y (0,1) 2,
x
x
z
z
x 2 2 xy 3 y 2 x , (0, 1) 2 x (0,1) 0.
y
x
z
z
Значит, gradz (0,-1 )=
(0, 1) i (0, 1) j 2i 0 j . В направлении
x
y
этого вектора скорость возрастания функции наибольшая и равна
z
направлении противоположном
max gradz 0, 1 2i 0 j 2, в
l
градиенту, т.е. в направлении вектора 2i 0 j функция убывает с наибольшей
z
скоростью, которая равна min gradz 0, 1 2i 0 j 2.
l
Градиент вводится и для функций от более чем двух аргументов. Например,
для функции u (x,y,z) градиентом в точке M0 (x 0 , y 0 , z0 ) называют вектор
u
u
u
grad u( M 0 ) ( M 0 )i ( M 0 ) j ( M 0 )k
(10.35)
x
y
z
Градиент функции z=f(x,y), вычисленный в точке
М0 ( x0 , y0 ) ,направлен по нормали, проходящей через
точку М0 ( x0 , y0 ) к линии уровня, также проходящей
через эту точку.
Градиент функции u (x,y,z) , вычисленный в
точке
на
M0 (x 0 , y 0 , z0 ) ,расположенной
поверхности уровня этой функции ,направлен по
нормали к касательной плоскости, проведенной в
точке M0 (x 0 , y 0 , z0 ) к поверхности уровня.
