Практическое занятие №3
Проверка домашнего задания.
Тема. Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов.
Цель: освоить методику составления и решения уравнений по методу
узловых потенциалов и методу двух узлов.
В методе узловых потенциалов за неизвестные принимаются
потенциалы узлов схемы.
Для схемы с n узлами записывается (n – 1) уравнение
⎧ϕ1 ⋅ G11 − ϕ 2 ⋅ G12 − ... − ϕ n −1 ⋅ G1, n −1 = I11
⎪
⎪ϕ1 ⋅ G21 − ϕ 2 ⋅ G22 − ... − ϕ n −1 ⋅ G2, n −1 = I 22
(3.1)
⎨
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
⎪
⎪ϕ1 ⋅ Gn −1,1 − ϕ 2 ⋅ Gn −1,2 − ... − ϕ n −1 ⋅ Gn −1, n −1 = I n −1, n −1,
⎩
где Gkk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k;
Gkm – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со
знаком « – »;
Ikk – узловой ток k-го узла.
Если между узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна
нулю.
После определения потенциалов узлов по закону Ома рассчитываются
токи в ветвях.
Формулу для метода двух узлов можно получить из (4.1) для n = 2.
Задача.
Рис.1
Цель. Определить токи по методу узловых потенциалов.
Условие. Е1 = 6 В,
E2 = 6 В,
E3 = 10 В,
Е4 = 24 В,
Е5 = 4 В,
R1 = 4 Ом,
R3 = 4 Ом,
R4 = 8 Ом,
R5 = 4 Ом,
R6 = 2 Ом,
R7 = 2 Ом
J = 4 A.
План решения:
1. Произвольно выбираем направления токов в ветвях.
2. Определяем число узлов и число уравнений.
3. Записываем систему узловых уравнений, решаем ее и находим
значение потенциалов всех узлов.
4. Определяем токи в ветвях.
Решение.
1. Направления токов в ветвях показано на рис1.
2. Число узлов у = 4. Так как есть ветвь, содержащий только ЭДС Е, то
число уравнений к = у - 2 = 2.
3. φ4 = 0, тогда φ1 = E1 = 6 В
Для 2-го и 3-го узлов запишем уравнения:
⎧ 1q 21 + − 2 q 22 − − 3 q 23 = ∑ J 2
⎨
⎩ 1q 31 + − 2 q 32 − − 3 q 33 = ∑ J 3
q 21 = 1 / R5 = 1 / 4 См
q 22 = 1 / R5 + 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 4 = 5 / 8 См
q 23 = q 32 = 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 8 + 1 / 4 = 3 / 8 См
q 31 = 0
q 33 = 1 / R 3 + 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 4 = 5 / 8 См
∑ J 2 = − (E 4 / R 4 ) − ( E 5 / R5 ) = − ( 24 / 8 ) − ( 4 / 8 ) = − 4 A
∑ J 3 = − (E 3 / R3 ) − ( E 4 / R 4 ) = − (10 / 4 ) − ( 24 / 8 ) = 9 .5 A
⎧ ( 5 / 8 ) ⋅ 2 − ( 3 / 8 ) ⋅ 3 = − 20 / 8
⎨
⎩ ( 3 / 8 ) ⋅ 2 − ( 5 / 8 ) ⋅ 3 = 16 / 8
2 =8B
3 = 20 B
4. Записываем закон Ома для каждой ветви, содержащей R и Е или
только R. Ток I2 в ветви, содержащей только ЭДС. Е2, находится по I закону
5. Кирхгофа для I или 4-го узлов.
1−
4 = − E1 + R1 I1
3 − 4 = E 3 + R3 I 3
2 − 1 = R5 I 5 − E5
3−
2 = E 4 + R4 I 4
3−
2 = ( R6 + R7 ) I 6
I1 = ( 1 + E1 ) / R1 = 3 A
I 3 = ( 3 + E 3 ) / R3 = 2.5 A
I 5 = ( 2 − 1 + E 5 ) / R 5 = 1 .5 A
I 4 = ( 3 − 2 − E 4 ) / R41 = 1.5 A
I 6 = ( 3 − 2 ) / R6 + R7 = 3 A
Выводы.
1. Метод узловых потенциалов позволяет сократить число уравнений по
сравнению с методом по законам Кирхгофа. Его применение особенно
оправдано в тех схемах, где число ветвей превышает число узлов.
2. Число узлов в схеме, содержащей источники тока, можно
уменьшить если перейти от источника тока к источнику ЭДС.
3. Если в схеме есть ветвь только с источником ЭДС, то число
уравнений уменьшается.
Домашнее задание.
Пример 4.7 [9.1.7].
