Практическое занятие №3 Проверка домашнего задания. Тема. Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов. Цель: освоить методику составления и решения уравнений по методу узловых потенциалов и методу двух узлов. В методе узловых потенциалов за неизвестные принимаются потенциалы узлов схемы. Для схемы с n узлами записывается (n – 1) уравнение ⎧ϕ1 ⋅ G11 − ϕ 2 ⋅ G12 − ... − ϕ n −1 ⋅ G1, n −1 = I11 ⎪ ⎪ϕ1 ⋅ G21 − ϕ 2 ⋅ G22 − ... − ϕ n −1 ⋅ G2, n −1 = I 22 (3.1) ⎨ .......... .......... .......... .......... .......... .......... . ⎪ ⎪ϕ1 ⋅ Gn −1,1 − ϕ 2 ⋅ Gn −1,2 − ... − ϕ n −1 ⋅ Gn −1, n −1 = I n −1, n −1, ⎩ где Gkk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k; Gkm – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со знаком « – »; Ikk – узловой ток k-го узла. Если между узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю. После определения потенциалов узлов по закону Ома рассчитываются токи в ветвях. Формулу для метода двух узлов можно получить из (4.1) для n = 2. Задача. Рис.1 Цель. Определить токи по методу узловых потенциалов. Условие. Е1 = 6 В, E2 = 6 В, E3 = 10 В, Е4 = 24 В, Е5 = 4 В, R1 = 4 Ом, R3 = 4 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 2 Ом, R7 = 2 Ом J = 4 A. План решения: 1. Произвольно выбираем направления токов в ветвях. 2. Определяем число узлов и число уравнений. 3. Записываем систему узловых уравнений, решаем ее и находим значение потенциалов всех узлов. 4. Определяем токи в ветвях. Решение. 1. Направления токов в ветвях показано на рис1. 2. Число узлов у = 4. Так как есть ветвь, содержащий только ЭДС Е, то число уравнений к = у - 2 = 2. 3. φ4 = 0, тогда φ1 = E1 = 6 В Для 2-го и 3-го узлов запишем уравнения: ⎧ 1q 21 + − 2 q 22 − − 3 q 23 = ∑ J 2 ⎨ ⎩ 1q 31 + − 2 q 32 − − 3 q 33 = ∑ J 3 q 21 = 1 / R5 = 1 / 4 См q 22 = 1 / R5 + 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 4 = 5 / 8 См q 23 = q 32 = 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 8 + 1 / 4 = 3 / 8 См q 31 = 0 q 33 = 1 / R 3 + 1 / R 4 + 1 /( R 6 + RT ) = 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 4 = 5 / 8 См ∑ J 2 = − (E 4 / R 4 ) − ( E 5 / R5 ) = − ( 24 / 8 ) − ( 4 / 8 ) = − 4 A ∑ J 3 = − (E 3 / R3 ) − ( E 4 / R 4 ) = − (10 / 4 ) − ( 24 / 8 ) = 9 .5 A ⎧ ( 5 / 8 ) ⋅ 2 − ( 3 / 8 ) ⋅ 3 = − 20 / 8 ⎨ ⎩ ( 3 / 8 ) ⋅ 2 − ( 5 / 8 ) ⋅ 3 = 16 / 8 2 =8B 3 = 20 B 4. Записываем закон Ома для каждой ветви, содержащей R и Е или только R. Ток I2 в ветви, содержащей только ЭДС. Е2, находится по I закону 5. Кирхгофа для I или 4-го узлов. 1− 4 = − E1 + R1 I1 3 − 4 = E 3 + R3 I 3 2 − 1 = R5 I 5 − E5 3− 2 = E 4 + R4 I 4 3− 2 = ( R6 + R7 ) I 6 I1 = ( 1 + E1 ) / R1 = 3 A I 3 = ( 3 + E 3 ) / R3 = 2.5 A I 5 = ( 2 − 1 + E 5 ) / R 5 = 1 .5 A I 4 = ( 3 − 2 − E 4 ) / R41 = 1.5 A I 6 = ( 3 − 2 ) / R6 + R7 = 3 A Выводы. 1. Метод узловых потенциалов позволяет сократить число уравнений по сравнению с методом по законам Кирхгофа. Его применение особенно оправдано в тех схемах, где число ветвей превышает число узлов. 2. Число узлов в схеме, содержащей источники тока, можно уменьшить если перейти от источника тока к источнику ЭДС. 3. Если в схеме есть ветвь только с источником ЭДС, то число уравнений уменьшается. Домашнее задание. Пример 4.7 [9.1.7].