Министерство образования и науки
Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ
И МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие по дисциплине «Методика преподавания
математики» для индивидуальной и самостоятельной работы
студентов математических и физико-математических специальностей
(для внутривузовского пользования)
Павлодар
УДК 373:51
ББК 22.1я72
М 89
Рекомендовано к изданию ученым советом ПГУ
им. С.Торайгырова
Рецензенты:
М.Х.Хамитов – кандидат физико-математических наук, профессор;
С.Э. Шрамек – зав. кафедрой математики и информатики
многопрофильной школы-лицея при ПГУ.
ISBN
Мубараков А.М., Захарова О.А., Абдрахманова А.М.
М89 Практические работы по теории и методике обучения
математике:
Учебное
пособие.
–
Павлодар:
ПГУ
им. С. Торайгырова, 2002. 69 стр.
Данное пособие предназначено для студентов математических и
физико-математических специальностей университетов, оно поможет
им определить уровень своей педагогической и профессиональной
подготовки, окажет большую помощь студентам–заочникам, которые
смогут самостоятельно проработать темы занятий, оформить и
подготовить к написанию курсовые работы.
ББК 22.151.5я7
ISBN
Мубараков А.М., Захарова О.А., Абдрахманова А.М.
Павлодарский государственный университет имени С.Торайгырова
2
Введение
Одна из задач курса теории обучения математики в вузе связана
с формированием у студентов практических умений и навыков,
составляющих основу технологии учительского труда. Эта работа
требует творческого осмысления теоретических знаний по общей и
частной методике преподавания математики и вызывает
определенные трудности содержательного и организационного
характера.
Настоящее учебное пособие предназначено, прежде всего, для
студентов математических и физико-математических специальностей
университетов, оно поможет им определить уровень своей
педагогической и профессиональной подготовки.
Пособие написано в соответствии с программой обучения в
вузе. Данное пособие отличается от других известных методических
пособий тем, что в нем рассматривается опыт работы учителейпрактиков и большое количество развивающих заданий для
студентов.
В пособии разработано 13 практических занятий по основным
темам курса «Теоретические основы обучения математике». К
каждому занятию приведено около 10 заданий, многие из которых
могут использоваться в качестве индивидуальных. Работа с пособием
предназначена также для студентов-заочников, самостоятельно
работающих над изучением предложенных тем.
Цель практических занятий по курсу «Теоретические основы
обучения математике» состоит в формировании у студентов
следующих умений и навыков: проводить анализ учебнометодической литературы по математике, анализировать отдельные
темы школьного курса математики, планировать учебную работу и
учебный материал по математике, правильно выбирать методы,
формы и средства обучения для каждой конкретной темы с учетом
индивидуальных особенностей учащихся с целью активизации их
познавательной деятельности, знакомиться с основными методами
решения задач, составлять варианты самостоятельных работ,
оценивать работы учащихся, анализировать урок, планировать и
проводить внеклассные мероприятия по математике в школе.
Учитывая некоторые трудности в проведении внеклассной работы
студентами-практикантами, в пособии приведен нестандартный уроквикторина и разработка «Заседания клуба «Знатоков».
Для работы с данным пособием предполагается, что студенты
знакомы с общими понятиями и идеями современной математики;
3
также имеют знания по педагогике и психологии школьников.
Рекомендуем также ознакомиться с литературой, список которой
приведен в конце пособия.
Представленная тематика практических занятий может быть
использована как на занятиях по общим теоретическим вопросам
обучения математики (№ 1–8), так и по вопросам частной методики
математики (№ 9–13).
Приведенные в конце пособия методические рекомендации к
написанию курсовых и дипломных работ по методике преподавания
математики могут послужить ориентиром для студентов по выбору
тем, организации и проведении исследовательской работы, по
оформлению курсовых и дипломных работ по данной дисциплине.
4
Практические занятия
1.1 Практическое занятие №1
Тема Планирование учебного процесса по математике в средней
школе.
Цель Ознакомиться с основными идеями школьного курса
математики, со структурой программ по математике для
общеобразовательных школ, с принципами построения
учебников, с приемами организации классной и внеклассной
работы с учащимися.
Методические особенности работы
Важным условием правильной организации учебного процесса
является выбор учителем рациональной системы методов и приемов
обучения, ее оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их
математической подготовки, специфики решаемых образовательных
задач.
Деятельность учителя должна быть направлена на достижение
основной цели обучения: овладение всеми учениками программным
материалом, поэтому для учителя важно прежде всего ознакомиться с
основными идеями, заложенными в школьном курсе математики,
тщательно изучить все разделы программы.
Опыт показывает, что применение разнообразных средств
обучения повышает эффективность коллективной и индивидуальной
деятельности учащихся, важно ознакомиться с основными
требованиями,
предъявляемыми
к
современному
кабинету
математики, ролью ТСО на каждом этапе учебно-познавательной
деятельности, применением и изготовлением некоторых видов
наглядных пособий и ТСО.
При выполнении заданий особое внимание уделите различным
системам построения учебного материала (теоретического и
практического), наличию мотивации излагаемого материала,
реализации функций наглядности и методам работы с учебником.
Отдельно
следует
проанализировать
систему
упражнений:
соответствие фабулы задач возрастным особенностям учащихся,
постепенное нарастание сложности упражнений; показать реализацию
требований, предъявляемых к построению учебного материала и к
составлению системы упражнений и другие.
5
Задания
Раскрыть практическую значимость основных целей обучения.
Показать прикладное значение математики и необходимость
реализации межпредметных связей при ее изучении.
Сформулировать основные требования к математической
подготовке учащихся 5-6 классов. Перечислить основные знания,
умения и навыки учащихся по математике к окончанию неполной
средней школы.
Ознакомиться с содержанием календарного плана по
математике 5 класса. Сопоставить его с последовательностью
изложения тем в учебнике.
Проанализировать предъявляемые к учебникам по математике
требования и способы их реализации в учебниках для 7-9 и 10-11
классов.
Изучить структуру учебников по математике 5-7 классов.
Отметить их методические особенности. Сформулировать требования,
предъявляемые к системе упражнений подготовительного курса
математики, рассмотреть их реализацию в учебниках.
Изучить структуру учебников по алгебре для 7-9 классов.
Отметить их методические особенности. Сформулировать требования,
предъявляемые к системе упражнений данного курса. Рассмотреть их
реализацию в действующих учебниках.
Изучить структуру учебника по геометрии для 7-11 классов.
Отметить
его
методические
особенности.
Сформулировать
требования, предъявляемые к системе геометрических упражнений в
неполной средней школе. Рассмотреть их реализацию в данном
учебнике.
Ознакомиться со структурой дидактических материалов и
методических
пособий
для
неполной
средней
школы.
Проанализировать их соответствие действующим учебникам.
Ознакомиться с требованиями по оформлению кабинета
математики, с "Типовым перечнем учебно-наглядных пособий и
учебного
оборудования
для
общеобразовательных
школ",
планированием работы кабинета с учетом особенностей обучения
математике в 5-6 классах.
Разработать примерный план внеклассной работы по курсу
математики 5-6 классов.
Перечислить
виды
и
формы
внеклассной
работы.
Сформулировать цели и задачи проведения внеклассной работы по
математике в школе. Подготовить беседу: "История развития понятия
числа"
6
Сопоставить классные и внеклассные формы работы с
учащимися.
Изучить особенности внеклассной работы в 5-6 классах и в 7-9
классах. Каково влияние возрастных особенностей учащихся на
подбор видов и форм внеклассной работы?
Дополнительные вопросы и задания
Перечислить учебные заведения, дающие среднее образование.
Каково содержание календарного плана по математике по
классам?
Сравнить структуру действующей программы по математике
для средней общеобразовательной школы и программы для школ
(классов) с углубленным изучением математики.
Каковы воспитательные возможности урока математики?
Продумать возможные методы и формы работы при изучении
темы "Построение перпендикуляра к прямой" (6 класс).
Из каких основных разделов состоит курс школьной
математики?
Как происходит расширение понятия числа?
Какие геометрические величины изучаются в школьном курсе
математики?
Какие виды функций изучаются в средней школе?
Какие виды уравнений и неравенств изучаются в средней
школе?
Охарактеризовать
методические
особенности
изучения
содержания геометрического материала на каждом этапе обучения
геометрии (5-6, 7-9, 10-11кл.).
Какие, с вашей точки зрения, умения и навыки, формируемые
программой школьного курса математики, имеют наибольшее
общеобразовательное и практическое значение?
Каково назначение факультативов?
Ознакомиться с методикой проведения домашних сочинений по
математике как одной из форм итоговых и обзорных работ. В каких
классах целесообразно использовать эту форму заданий?
Подготовить беседу "О возникновении дробей".
В чем заключается использование элемента игры при обучении
математике? Продумать возможные варианты использования этого
метода при изучении темы "Применение переместительного и
сочетательного законов сложения" (6 класс).
7
1.2 Практическое занятие № 2
Тема Подготовка учителя к работе над темой.
Цель Ознакомиться с основными требованиями к уроку, с его
структурой, рассмотреть различные формы деятельности учителя
при подготовке к уроку.
Методические особенности изучения работы
Организующим моментом в деятельности учителя является
планирование им учебного процесса. Тщательно продуманное
тематическое планирование нормализует нагрузку учащихся, дает
учителю перспективу, полное представление о материале всего
годового курса.
Органической частью тематического планирования является
выделение времени на систематизацию и закрепление знаний по
всему курсу. Нельзя допускать, чтобы повторение учебного материала
большого объема сосредоточилось в конце учебного года и
проводилось в ущерб изучению нового. Значительная часть материала
должна быть повторена в течение учебного года одновременно с
овладением новым и при его обобщении по завершении изучения
определенного раздела курса.
Продумывая план проведения уроков по той или иной теме,
необходимо предусмотреть объем и содержание заданий на
повторение, используемых при введении нового и составляющих
прочную базу для усвоения последующего материала; точно
спланировать содержание работы на уроке и домашнего задания.
При разработке содержания каждого урока темы необходимо
тщательно продумывать методы изучения учебного материала и
форму организации работы учащихся на уроке.
Работая над тематическим планом, целесообразно ставить перед
собой и решать специальные задачи - использовать изучаемый
материал для развития прикладных умений учащихся, показать
взаимное проникновение и использование знаний, полученных при
изучении смежных предметов. Это надо делать постепенно и
систематически в течение всех лет обучения, чтобы у учащихся не
создалось впечатление разобщенности знаний.
По окончании изучения темы учитель подводит итог,
анализирует полученные результаты, выявляет затруднения, типичные
ошибки, намечает пути их устранения при проведении итоговых
повторений.
8
Задания
Конкретизировать цели изучения определенной темы курса
математики неполной средней школы.
Сформулируйте цели изучения темы "Обыкновенные дроби" или
"Единицы измерения" (5 класс) - по выбору.
Рассмотреть возможные методы сообщения новых заданий.
Какие из перечисленных методов целесообразно использовать при
изучении темы "Столбчатые диаграммы" (6 класс)? В соответствии с
выбранным методом подобрать необходимые модели, таблицы и ТСО.
Продумать различные формы организации самостоятельной
работы на уроке по теме "Графики" (6 класс). Составить
самостоятельную работу с использованием индивидуальных карточекзаданий. Продумайте различные варианты использования ТСО и
других средств наглядности.
Выбрать оптимальное сочетание форм организации работы
учащихся на уроке при изучении темы "Сравнение дробей" (6 класс).
Составьте фрагмент урока с использованием групповой, фронтальной
и индивидуальной работы учащихся. Охарактеризуйте роль учителя в
каждом случае.
Разработать несколько карточек-заданий творческого характера
для учащихся различных групп (по заданию 4). Следует помнить, что
задания должны быть творческими для каждой группы учащихся;
необходимо продумать организацию помощи слабым учащимся для
выполнения задания.
Составить фрагмент урока на закрепленные темы "Умножение и
деление десятичных дробей" (5 класс) с использованием элемента
игры. Рассмотреть возможные варианты использования этого метода,
рассмотрев различные варианты использования элемента игры на
уроке по данной теме, выберите наиболее оптимальный из них сточки
зрения привития интереса к предмету, развития творческой
активности учащихся, навыка работать в коллективе. Отдельно
обсудите формы устной и письменной работы учащихся.
Выявить знания, умения и навыки, приобретенные учащимися
на уроках географии, рисования и труда, необходимые для изучения
темы "Графики" в 6 классе. Для выполнения заданий сопоставьте
программы по указанным предметам, по возможности с
соответствующими учебниками. Составьте тематический план по теме
" Умножение и деление" ("Действия с рациональными числами", 6
класс).
Привести различные варианты подведения итога урока по теме
"Модуль числа" (6 класс) или "Основное свойство дроби" (6 класс).
9
Выясните цель подведения итога урока, его значение для выяснения
глубины усвоения учебного материала, изложенного на уроке.
Методический обзор
Системы уроков по теме
Основные разделы
1 Цели изучения темы.
2 Используемая литература.
3 Оборудование.
4 Тематический план.
Графы тематического плана могут быть следующие: номер
урока, тема урока, задание на уроке, задание на повторение, домашнее
задание, задания на углубление знаний, метод обучения, тип урока,
использование ТСО и наглядных пособий, задания для реализации
межпредметных связей, знания и умения.
Планирование обязательных результатов обучения, примерные
варианты контрольной работы, примерные вопросы итогового устного
опроса, анализ результатов обучения.
Выявление типичных ошибок учащихся, их затруднений при
изучении темы, рекомендации к их устранению с целью повышения
уровня успеваемости учащихся.
Дополнительные вопросы и задания
Сформулировать цели и задачи (образовательные, развивающие,
воспитательные) изучения темы "Отрицательные числа".
Какие новые понятия вводятся при изучении темы
"Положительные и отрицательные числа"?
Каким методом вводятся новые понятия в курсе математики 5-6
классов?
Какие требования предъявляются к объему и содержанию
домашнего задания?
Какие из форм проверки домашнего задания являются наиболее
эффективными в соответствии с целями урока: опрос с места, опрос у
доски, общий письменный опрос?
Конкретизировать объем работы на уроке по теме
"Противоположные числа" (6 кл.).
Определить содержание заданий на повторение при изучении
темы "Применение распределительного закона умножения",
"Действия с рациональными числами", 6 кл..
10
Разработать содержание заданий на углубление знаний по теме
"Умножение и деление", "Действия с рациональными числами", 6 кл..
Продумать метод и тип урока на тему "Пропорции" (6 кл.).
Какую помощь оказывает использование средств наглядности и
ТСО в работе учителя? Всегда ли их следует применять на уроке?
Продумать систему использования наглядных пособий и
дополнительной информации на каждом уроке по теме "Основное
свойство дроби".
Разработать систему практических и лабораторных работ в
соответствии с требованиями программ по математике на тему
"Умножение дробей", "Действия с рациональными числами", 6 кл..
Сравнить психолого-педагогические особенности применения
наглядных пособий и ТСО в 5-6 и 7-9 классах.
Обосновать преемственность в изучении геометрического
материала в 5-6 и 7-9 классах.
Перечислить основные знания, умения и навыки, которыми
должны обладать учащиеся по геометрическому материалу к
окончанию 5-го класса.
Определить последовательность действий в работе учителя над
составлением тематического плана.
1.3 Практические занятие №3
Тема Подготовка учителя к уроку
Цель Ознакомиться с основными требованиями к уроку, с понятием
"дидактическая структура урока"; рассмотреть различные формы
деятельности учителя при подготовке к уроку; при его
проведении ознакомиться с различными видами конспектов
урока.
Методические особенности изучения работы
Понятие урока трактуется как важнейшая категория дидактики.
Урок рассматривается как система, все элементы которой отражают
основные положения дидактики и направлены на воспитание
учащихся и формирование их познавательной самостоятельности.
Знание преподавателем общих закономерностей, принципов и правил
дидактики, содержания и сущности урока как формы организации
учебно-познавательного процесса может быть гарантией достижения
необходимого качества и эффективности обучения и воспитания.
11
Прежде всего, должны быть четко определены конкретные цели
обучения на каждом уроке, которые непосредственно следуют из
программных требований. Решение любой задачи, любой вопрос
учителя, любые его действия должны отвечать достижению этих
целей.
При составлении плана урока, кроме его цели, определяются
методы, соответствующая литература, типы самостоятельных работ,
возможности использования межпредметных связей, ТСО. Все это
вписывается в структуру урока. Понятие структуры урока включает в
себя следующие компоненты: актуализацию прежних знаний и
способов действий, формирование новых знаний, их применение,
формирование умений и навыков.
Дидактическая наука требует комплексного подхода к анализу
урока с точки зрения и результата и самого процесса. С одной
стороны, определяется уровень актуализации, формирование новых
понятий и способов действий, с другой стороны, соответствие урока
требованиям дидактических целей урока, осуществление связи
обучения с жизнью.
Основным критерием анализа урока считается конечный
результат: достижение цели урока, т.е. что и как усвоили учащиеся.
Учитель должен четко следовать замыслу плана урока и
одновременно быть в постоянной готовности гибко перестраивать его
ход при изменении учебных ситуаций, переходить к реализации
запасных методических вариантов – в этом сущность подготовки
учителя к уроку.
Требования к современному уроку
Четкость определения учебных задач.
Единство образовательных и воспитательных задач.
Определение оптимального содержания и отбор учебного
материала в соответствии с уровнем подготовки учащихся.
Выбор соответствующих методов и приемов обучения.
Установление связей с предыдущим последующим материалом,
с другими предметами, с жизнью и практической деятельностью
людей.
Организационная четкость урока.
12
Формы деятельности учителя при подготовке к уроку
и его проведении
1 Творчески подходить к выполнению программно-методических
требований к уроку, видеть особенности каждого урока, его место
в теме.
2 Учитывать реальные учебные возможности учащихся различных
возрастов, уровень сформированности классного коллектива,
принимать во внимание интересы и потребности учащихся.
3 Продумывать и решать в единстве задачи образования, воспитания
и развития. Выделять важнейшие задачи урока, конкретизировать
их с учетов особенностей и возможностей классного коллектива.
4 Выбирать рациональную структуру и темп урока.
5 Обеспечивать практическую направленность учебного процесса,
создавать возможности применения учащимися полученных
знаний, умений и навыков, не допуская формального усвоения
теоретических сведений.
6 Использовать на уроке оптимальное сочетание словесных,
наглядных и практических методов обучения, в наибольшей
степени активизировать познавательную деятельность учащихся.
7 Рационально использовать различные средства обучения
(учебники, наглядные пособия, ТСО, средства информатики).
8 Сочетать общеклассные, групповые и индивидуальные формы
работы на уроке, добиваясь организации учебного труда как
коллективной деятельности.
9 Стремиться
к
тому,
чтобы
обучение
осуществлялось
преимущественно на уроке, а объем домашнего задания там, где
это возможно, сокращался.
10 Четко следовать замыслу плана урока и одновременно быть
готовыми перестроить его ход при изменении учебных ситуаций.
11 В ходе самоанализа урока выявлять полученные на уроке
результаты образования, воспитания, развития; находить
важнейшие причины недостатков, учитывать результаты
самоанализа при планировании следующих уроков.
Основные требования к конспекту урока
Основные разделы
Тема урока. Дата проведения урока.
Цель урока. Основные задачи.
Оборудование урока.
Структура урока (последовательность приемов и форм работы
на уроке, ориентировочное время, отводимое на каждый этап урока).
13
Подробный ход урока по форме (табл. 1)
Этап
урока
Деятель
ность
учителя
Деятельность
учащихся
Использование
ТСО и других
средств
наглядности
Таблица №1
Вид
Примечадоски
ния
Используемая литература.
Замечания к проведенному уроку.
В изложении хода урока должно быть показано
Каким методом учитель подводит к начинающейся новой теме?
Каким методом будет сообщен новый материал?
Как будет сообщена учащимся цель урока и как проведен с
ними итог урока?
Кто будет опрошен и по каким вопросам?
Сочетание индивидуальной, групповой, фронтальной форм
работы на уроке (при изучении нового материала, при его
закреплении)?
Как осуществляется дифференцированный подход к обучению?
Какие пояснения будут сделаны к домашнему заданию?
Какие оценки поставлены учащимся на уроке (оценки должны
быть прокомментированы учителем)?
Задания
Проанализировать различные методы подготовки учащихся к
восприятию нового учебного материала (задание выполняется по теме
"Сравнение чисел", 6 класс).
Разработать методику изложения нового материала по теме
задания 1.
Выявить наиболее эффективные методы закрепления и
применения полученных знаний по теме задания 1.
Разработать методику постановки и проверки домашнего
задания на уроке. Определите оптимальный объем и продумайте
сложность домашнего задания к уроку по теме "Сравнение чисел".
Определить формы организации проверки и контроля знаний,
полученных учащимися на уроке по теме "Направления и числа" (6
класс). При выполнении задания желательно предусмотреть
ознакомление с различными формами устного контроля на уроке (с
14
использованием графопроектора, диапроектора, магнитофона и т.д.),
математическими диктантами, решением задач по готовым чертежам
и т.д., письменным контролем.
Рассмотрите различные виды самостоятельных и контрольных
работ и форму их проведения.
Составьте примерное содержание проверочных работ по теме.
Разработайте
содержание
индивидуальных
карточек-заданий
(информационных, контролирующих, по работе с книгой и т.д.).
Рассмотрите различные варианты написания конспекта урока.
Проанализируйте различные варианты написания конспекта с точки
зрения основных требований, предъявляемых к конспекту урока.
1.4 Практическое занятие №4
Тема Научные методы в преподавании математики.
Цель Научиться в ходе выполнения работы аналитическому и
синтетическому методам в математике, применять в
преподавании индукцию и дедукцию, использовать аналогию при
решении задач.
Методические особенности изучения темы
Математические понятия, суждения и умозаключения
составляют основное содержание науки математики, ее фактический
материал. Необходимо также понимать, как и откуда эти факты
взялись, как следует получать их впредь, как облегчить их постижение
обучаемыми; для этого нужно знать не только формально-логические
принципы построения математики, но и владеть методами познания,
основа которых заложена в философии.
Индукция (лат. - наведение)- способ рассуждения от частного к
общему, от фактов к обобщениям. Например, 2, 4, 6, 8,…делятся на 2
без остатка, следовательно, существуют числа, делящиеся на 2 без
остатка. Индукция бывает полная и неполная. Полная индукцияумозаключение обо всех частных случаях. Например, теорема о
вписанном угле в окружность доказывается отдельно для угла с
центром на стороне, затем - внутри угла и, наконец, вне угла и на
этом основании заключаем, что вписанный угол в любом случае
измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Неполная
индукция – это умозаключение не для всех, а лишь для нескольких
частных случаев. Например, вывод формулы n-ого члена
арифметической прогрессии основан на неполной индукции.
15
Дедукция (лат. - выведение) – способ рассуждения от общего к
частному. Например, если 3 стороны треугольника равны, то
треугольники равны.(большая посылка). В треугольниках ABC и
А1В1С1: АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1 (малая или подводящая посылка).
Следовательно, ∆АВС =∆А1В1С1 (заключение).
Анализ (лат. - расчленение) – процесс мышления, направленный на
расчленение целого на части.
Синтез (лат. - объединение) – процесс мышления, направленный на
установление связей между отдельными частями.
При решении задач и доказательстве, аналитический метод
применяется в форме движения мысли оттого, что надо найти
(доказать) к тому, что дано. Синтетический метод – в форме движения
мысли оттого, что известно к тому, что требуется найти и доказать.
Аналогия – умозаключение по сходству. Например, свойства ромба
выясняются по аналогии свойствам параллелограмма.
В дальнейшем будем говорить лишь о применении указанных
методов в преподавании математики, а не о самих методах.
Общие методы обучения решению задач
1 Анализ и синтез
Анализ (метод рассуждения от искомых к данным) и синтез
(метод рассуждения от данных к искомым) применяются во
взаимосвязи. Оба метода находят применение при решении каждой
задачи, в том числе при решении текстовых задач. При составлении
уравнения идут от искомых (введению переменных) к данным, т.е.
применяют анализ. Решение уравнения (системы уравнений)
выполняют методом синтеза.
Задача
15 ч
13 ч
Теплоход прошел за 15 часов против
течения некоторое расстояние.
Какое расстояние он проходит за 13
часов по течению? Найти скорость
течения реки, если скорость теплохода
Vт = 70 км/час.
Анализ
Для вычисления скорости течения реки Vр достаточно знать
собственную скорость теплохода (70 км/час) и скорость движения его
по течению или против течения. Если Vр - скорость течения реки, то
(70 + Vр) км/ч - скорость движения теплохода по течению, а (70 – Vр) 16
скорость движения против течения. Выразив с учетом времени
движения пройденное расстояние, составим уравнение равенства
расстояний (т.е. придем к данным).
Синтез
(70 + Vр)13 = (70 – Vр)15
Распространенный закон переноса
членов уравнения,
вычисление,
13·70 +13·Vр = 15·70 – 15·Vр
28·Vр = (15 – 13)·70
28·Vр = 2·70
деление обеих частей на 28 ≠ 0.
Vр = 5
При решении задач на доказательство
Задача
Шар касается трех боковых граней треугольной пирамиды в
точке пересечение биссектрис. Доказать, что пирамида правильная.
Анализ
Чтобы доказать, что пирамида правильная надо доказать, что в
основании лежит правильный треугольник, боковые грани равнобедренные треугольники.
Для
доказательства
первого,
достаточно доказать, что АС = ВС =АВ.
Это необходимое условие того, что
∆ASC = ∆CSB= ∆ASB (по боковому
O3
ребру и двум прилежащим углам),
чтобы это доказать, нужно доказать,
O1
что ∆О1SC = ∆О2SС, ∆О2SВ = ∆О3SВ.
O2
B Это верно, так как О1S = О2S = О3S,
О1C = О2С = О3С, как отрезки
D
E
касательных. Анализ выполнен.
Если
установить
достаточность
C
каждого из последних предложений
Рисунок №1
доказательство будет выполненным.
S
A
Синтез
Пусть О1 и О2 - точки пересечения биссектрис ∆ASC и ∆CSB.
Имеем: плоскость SDE пересекает шар по кругу, СО1О2 по другому
кругу.
17
1) О1S = O2S; О1С = О2С отрезки касательных, проведенных из
общей точки к окружности равны по трем сторонам. SС - общая
сторона этих треугольников в равных треугольниках лежащие против
их равных сторон равны из 3) О1S = O2S О1С = О2С - биссектриса
ASC BSC ACS BCS по стороне SC и углам см. 4) В равных
треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Аналогично, из предложения ∆BSC = ∆ASB (или ∆ASC = ∆ASB)
следует, что ВС = АВ по транзитивности АС = ВС = АВ, т.е. ∆АВС правильный. ∆ASC = ∆АSB = ∆ВSC, AS = BS = CS, т.е. боковые грани равнобедренные треугольники, таким образом, пирамида прямая.
Задачи
Является ли данное высказывание по индукции верным:
Ученик 5 класса, проверив все пятые степени чисел от 1 до 9, пришёл
к выводу, что всякое натуральное число в пятой степени
заканчивается той же цифрой, что и само число: например 25=32,
35=243, 175=…7
Верен ли вывод?
Одним из методов доказательства теорем в школьном курсе
математики является метод полной индукции (совершенной или
Аристотелевой). Покажите, как используется полная индукция при
доказательстве теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда,
при выводе признаков делимости чисел на 2, на 5, на 3; при
доказательстве возрастания показательной функции y=ax, для а 1
Большинство теорем в учебниках геометрии доказывается
синтетическим методом. Докажите две теоремы из программы какоголибо класса средней школы аналитическим методом; одну теорему
возьмите из курса планиметрии, вторую – из курса стереометрии.
Составьте к каждой из доказанных теорем по одной задаче: одну
на вычисление, вторую – на построение.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в
отношении 1:2, Докажите аналогичную теорему для тетраэдра, если
под медианой тетраэдра понимать отрезок прямой, соединяющий его
вершину с центром тяжести противоположной грани.
Если треугольник пересечь прямыми, параллельными
основанию, то мы получим ряд подобных треугольников.
Сформулируйте аналогичную теорему для пирамиды. Сравните
периметры, площади и объемы полученных при этом фигур. Сделайте
соответствующие чертежи. От треугольника прямой, не параллельной
18
основанию, можно отсечь треугольник, подобный данному. Будет ли
верно аналогичное предложение для тетраэдра?
Рассмотрите аналогичные свойства на плоскости и в
пространстве: параллелограмма и параллелепипеда, окружности и
сферы, круга и шара.
Привести примеры межпредметных аналогий.
Рассмотрите несколько примеров метода математической
индукции из алгебры и геометрии.
1.5 Практическое занятие № 5
Тема Оценка знаний и умений учащихся учителем.
Цель Научить студентов определять уровень сложности задания,
время и место проведения, единообразно и объективно оценивать
знания и умения учащихся.
Методические особенности работы
В задания для проверки включаются основные типичные,
различной сложности вопросы, соответствующие проверяемому
разделу. При этом оценка «1» ставится, если ученик обнаруживает
полное незнание программного материала, не умеет устно изложить, а
в письменных работах подает или совсем неначатую, или только
начатую работу. В письменных работах «1» ставится, если допущено
свыше 6 ошибок. Оценка «2» ставится в том случае, если ученик
обнаруживает незнание большей части программного материала,
слабо понимает и плохо заучивает, не умеет применять правила в
решении самых простых задач, отвечает с наводящими вопросами
учителя. В письменных работах «2» ставится в том случае, если
допущено от 3 до 6 ошибок, причем 3 из них не грубые (недочеты).
Оценка «3» ставится в том случае, если ученик обнаруживает знание
основного материала в такой мере, что может усвоить последующий
материал, применить имеющиеся знания в несложных примерах, «3»
ставится в письменных работах, если допущено от 2 до 4 ошибок (из
них не более 2-х грубых). Оценка «4» ставится, если ученик знает весь
программный материал, в большинстве случаев может применить
ранее полученные знания к решению задач и примеров. В письменных
работах «4» ставится в том случае, если допущено 1-2 ошибки, из них
1 – не грубая. «5» ставится, если примеры и задачи выполнены
правильно, решения и вычисления рациональны, записи аккуратны и
последовательны, действия обоснованы.
19
К ошибкам (грубым) относят:
незнание основных формул, правил, теорем и неумения
применять их к решению задач;
ошибки в порядке действий, в основных тождественных
преобразованиях;
ошибки в составлении уравнений, решении геометрических
задач.
К недочетам относят:
не рациональный ход преобразований;
ошибки по рассеянности, недосмотру.
К мелким недочетам относят:
недостаточная аккуратность в записях, чертежах;
ошибки в написании математических терминов.
Если ошибка в одном случае допущена, а в аналогичном случае
– нет, то ее можно отнести к недочету.
Требования к учителю, проверяющему контрольную
работу по математике
1 Записи красными чернилами в ученических тетрадях делаются
четко и аккуратно.
2 В 4-6 классах ошибки в рабочих тетрадях учащихся надо
обязательно исправлять. В 7 – 10 классах ошибки в контрольных
работах можно только подчеркнуть, а исправлять их необходимо в
тетрадях слабо успевающих по математике учащихся.
3 В конце работы полезно указать учащимся номер параграфа в
учебниках для повторения материала, незнание которого привело к
ошибке.
4 Полезно в тетради учащегося (особенно в 4–5 классах) выразить
свое отношение к выполненной им работе. Можно написать:
«Молодец!», «Отличный рисунок (чертеж)!», «Работа выполнена
красиво», «Найди второй способ решения» или «Неверно», «Не
рационально», «Чертеж не соответствует данным условиям
задачи», «Небрежно».
5 Грамматические ошибки нужно исправлять, не снижая за них
оценки, так как оцениваются знания по математике. В
20
математических
снижается на
терминах
ошибка
считается
недочетом
и
1
балла.
3
Задачи
На сколько минут и в каком классе вы предложите контрольную
работу такого содержания:
а) найти острый угол , если известно, что sin 0,1345 .
Найти cos и tg .
б) найти острый угол при основании равнобедренной трапеции,
если известно, что диагонали ее взаимно перпендикулярны и в
точке пересечения делятся на части в отношении 3:4?
В каком классе вы дадите контрольную работу следующего
содержания:
а) в трапеции ABCD (BCAD) проведена средняя линия МК.
Будут ли трапеции МВСК и AMKD подобны? Почему?
б) прямая МК пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке
М, а сторону АС – в точке К и так, что угол В равен углу
АКМ. Какую часть площади треугольника АВС составляет
площадь треугольника АКМ, если АК=5, а АВ=10?
в) вычислите длину дуг окружностей, если они относятся как
2 3
:
5 2
Какую вы поставите оценку ученице, если в задаче она
вычислила длину радиуса вписанной окружности вместо радиуса
описанной окружности?
Задачу (б) она решила верно, рационально;
Задачу (в) она решила верно, но не рационально (не заменяла
отношение дробных чисел отношением целых чисел).
Важен ли порядок расположения задач в контрольной работе?
Надо ли задачи в контрольной работе располагать в порядке их
возрастающей трудности?
Какую вы поставите оценку ученику, выполнившему
контрольную работу по геометрии следующим образом:
а) Стороны параллелограмма 4,5 и 12 см. Из вершины острого
угла проведена биссектриса. На какие части она делит
большую сторону?
AD BC 4,5 , AB DC 12 , AQ QB 12 ,
AQ 4,5 ,
QB 12 4,5 7,5 , т.к. при проведении
биссектрисы будет делиться угол пополам, то ∠1=∠3,
21
значит, ∆ADQ – равнобедренный, а в равнобедренном
треугольнике две стороны равны. AD AQ , т.е. AQ 4,5 ;
следовательно, AD 4,5 , а QB 7,5 , т.к. вся сторона 12 см.
нужно
12-4,5=7,5
б) Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол
при вершине в 3 раза больше угла при основании.
Пусть угол при основании х, тогда угол при вершине 3х,
составим уравнение:
х+х+3х=1800, 5х=1800 , х=360, 36*3=1080.
Ответ: углы при основании по 360, а при вершине 1080.
Дать определение параллелограмма. Можно ли квадрат назвать
параллелограммом и наоборот, любой ли параллелограмм есть
квадрат?
Параллелограммом называется четырехугольник, имеющий две
пары параллельных сторон. Любой квадрат есть параллелограмм.
Любой параллелограмм есть квадрат.
Верно ли ученик решил первую задачу? Достаточно ли
основательно он объяснил, что ∆ADQ-равнобедренный? Какую
ошибку допустил в 3-ем задании. В каком классе учится ученик?
Составьте один вариант контрольной работы для 7 класса.
В каком классе вы предложите такую контрольную работу:
а) определить объем куба, если площадь его полной
поверхности равна 96 см2.
б) основанием прямой треугольной призмы служит
равносторонний треугольник со стороной а. Найдите высоту
призмы, если площадь ее боковой поверхности равна
площади полной боковой поверхности куба с ребром а.
в) найдите ребро прямой четырехугольной призмы, основанием
которой служит квадрат со стороной а, если известно, что
площадь ее поверхности численно равна объему этой
призмы?
Какую оценку вы поставите ученице, если она две первые
задачи решила верно, а последнюю совсем не решила (очевидно, не
успела)?
Какую оценку вы поставите ученику, если он две первые задачи
решил верно, а на третью задачу ответил так: «Такой призмы быть не
может, т.к. объем, выраженный в кубических единицах, не может
быть равен площади поверхности, выраженный в квадратных
единицах?». Есть ли элемент здравого смысла в его неверном ответе?
22
Ученица решила все задачи верно и рационально, но в одном из
3-х случаев вместо слова «площадь» написала «плоскость». Какую
оценку вы поставите этой ученице?
Ученица по болезни пропустила предыдущие уроки математики,
не смогла решить ни одной задачи и сдала чистый листок. Будете ли
вы ставить ей «1» или «2» за невыполнение работы? Может быть,
вместо контрольной работы вы ей дадите самостоятельную
предварительную работу на уроке?
Составьте для 6 класса два варианта контрольных работ по
геометрии и алгебре, рассчитанных:
а) на 15-20 минут,
б) на 45 минут.
Рекомендации при проверке письменной работы
Содержание и объем материала, подлежащего проверке,
определяется программой. При проверке усвоения материала нужно
выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения
применять ее на практике.
Основными формами проверки знаний и умений учащихся по
математике являются письменная контрольная работа и устный опрос.
При оценке ответов учитель учитывает показанные учащимися знания
и умения. Оценка зависит от наличия и характера погрешностей,
допущенных учащимися.
Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты.
Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что
ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в
программе. К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие
о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении
основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не
считающихся в программе основными. Недочетами также считаются:
погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного
учеником задания или способа его выполнения (неаккуратная запись;
небрежное выполнение чертежа).
Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из
теоретических вопросов и задач.
Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе
проводится по пятибалльной системе, т.е. за ответ выставляется одна
из
отметок:
1
(плохо),
2
(неудовлетворительно),
3
(удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).
23
Учитель может повысить оценку за оригинальный ответ на
вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о
высоком математическом развитии учащегося; за решение более
сложной задачи или за ответ на более сложный вопрос, предложенные
учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.
Оценка письменных контрольных работ учащихся
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и
ошибок;
в решениях нет математических ошибок (возможна одна
неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или
непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения
недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось
специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два - три недочета в выкладках,
рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись
специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух – трех недочетов
в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет
обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что ученик не
владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится, если:
работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных
знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть
работы выполнена не самостоятельно.
24
1.6 Практическое занятие №6
Тема Определение математических понятий. Виды теорем и методика их доказательства.
Цель Научиться выделять существенные признаки определяемого
понятия;
отличать
определения
понятий
от
других
математических предложений; ознакомиться с необходимыми и
достаточными условиями и их связью с прямой и обратной
теоремами.
Методические особенности работы
Совокупность общих существенных признаков математических
объектов, отражающихся в сознании, составляет математическое
понятие. В каждом понятии логика различает содержание и объем.
Например, содержание понятия параллелограмм составляют
следующие существенные признаки: выпуклый плоский 4-х угольник,
стороны которого параллельны, или выпуклый плоский 4-х угольник,
две противоположные стороны которого равны и параллельны, или
выпуклый плоский 4-х угольник, диагонали которого делятся
пополам. Объем понятия параллелограмм составляют те фигуры,
которые обладают существенными признаками параллелограмма. Это
– параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник.
Определить понятие – значит, свести его к ранее установленным
понятиям. Одним из способов построения понятия является
построение путем указания рода и признака видового отличия.
Например, трапецией называется выпуклый четырехугольник, две
стороны которого параллельны. Здесь «выпуклый четырехугольник» ближайший род для трапеции. Выражение «две стороны которого
параллельны» - видовое отличие трапеции.
Существуют также определения: генетические, которые
указывают на способ образования определяемого объекта; через
абстракцию (множество, число, конгруэнтность, геометрическое тело
и др.); аксиоматическое (понятие вектора в геометрии, скалярного
произведения в линейной алгебре).
К формулировке определения предъявляются требования определение должно быть:
содержательным, т.е. определяя понятие, учащийся должен
представлять конкретные объекты, охватываемые этим определением;
25
соразмерным, т.е. содержать только существенные, независимые
признаки,
сформулировано ясно, четко,
не должно содержать порочного круга, – например, нельзя
определять радиус через половину диаметра, а диаметр через
удвоенный радиус.
Предложения, истинность которых доказывается на основе
ранее рассмотренных истин, называется теоремой. Для любой
теоремы существует еще три: обратная, противоположная ей и
противоположная обратной. Первую, исходную, называют прямой.
1 Прямая теорема (А В): если есть А, то есть В.
2 Обратная теорема (В А): если есть В, то есть А.
3 Теорема, противоположная обратной ( B A ): если нет В, то нет
А.
4 Теорема, противоположная прямой ( A B ): если нет А, то нет В.
Условие А достаточно для В, если из А В. (например, если
углы вертикальные, то они равны (здесь вертикальность углов –
достаточное условие для их равенства).
Условие А необходимо для В, если ( A B ), т.е. выполняется
теорема противоположная прямой или обратная теорема. (например,
если число четное, то оно делится на 2, здесь A B , т.е. истинна
теорема противоположная прямой, следовательно, четность числа –
необходимый признак делимости на 2).
Признак А необходим и достаточен для В, если выполняется
условие: из А В и обратно: из В А, т.е. А В. Здесь истинны обе
теоремы: прямая и противоположная прямой или обратная. Если
четырехугольник параллелограмм, то, пересекаясь, диагонали делятся
пополам. Эта теорема – истинная, обратная – также истинная,
следовательно, деление диагоналей пополам в точке пересечения –
необходимый и достаточный признак того, чтобы четырехугольник
был параллелограммом.
Задачи
Определение какого-либо понятия в математике дается не
только через указания ближайшего рода и видового отличия. Иногда
определение понятия дают гипотетически: с указанием способа
образования определенного понятия, например:
а) сфера есть поверхность, образованная вращением
полуокружности (окружности) вокруг своего диаметра,
26
б) равнобедренный треугольник – это треугольник, полученный
из прямоугольного треугольника путем поворота его вокруг
катета на 1800 (или путем симметрии относительно катета).
Приведите примеры двух – трех известных вам генетических
определений или придумайте сами генетическое определение каких –
либо понятий в математике.
В математике часто используют условные соглашения, которые
также являются определениями и которые записываются в виде
равенств, формул (выражений). Например:
а0=1, если а 0;
n!= 1 2 3 ….n, 0!=1;
а-n=
1
, а 0;
an
C n0 1 .
Говорить о доказательстве этих равенств не имеет смысла, так
как эти равенства суть определения, можно лишь говорить о
целесообразности введенных определений.
Приведите примеры других определений, записанных в виде
формул. Используйте понятие степени с дробным показателем,
понятие четного, рационального числа.
Каким способом вы установите, что больше: sin 200 или
sin 180 + sin 20?
Указание. Используйте формулы sin( ), sin +sin , sin2 .
На четыре делятся те и только те числа, две последние цифры
которых образуют число, делящееся на четыре. Сформулируйте это
предложение в терминах «необходимо
С
и достаточно».
а
Теорему о свойстве биссектрисы
внутреннего угла треугольника ученик
доказал так:
в
S BCD 0,5a CD sin 0,5 xh
S ACD 0,5b CD sin 0,5 yh
В
x
D
с
A
и т.д.
y
Рисунок №2
27
или
a x
b y
Учительница же дала классу другое доказательство этой
теоремы и снизила этому ученику отметку за то, что он отступил от
стандартного способа доказательства. Права ли учительница? В каком
классе, по вашему мнению, учится ученик?
Докажите самостоятельно теорему о биссектрисе треугольника,
воспользовавшись теоремой синусов.
Решите эту задачу с использованием метода симметрии, отразив
зеркально данный треугольник АВС относительно биссектрисы СD (А
перейдет в А ’, В – в В ) и проводя АА и ВВ , мы получим пары
подобных треугольников АDА и ВВ C .
1.7 Практическое занятие № 7
Тема Обучение решению математических задач
Цель Изучить основные этапы решения задач, ознакомиться с
задачами на составление уравнений и методами их решений.
Методические особенности работы
Решение каждой математической задачи осуществляется по
четырем основным этапам: понимание условия и требования задачи;
усвоение отдельных элементов условия, составление плана решения,
реализация плана, окончательное рассмотрение задачи и ее решения с
целью усвоения моментов, которые могут быть полезными для
решения.
При реализации каждого этапа необходимы общие советы,
годные для решения различных задач, иначе ученики не научатся
решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную
задачу.
Эти вопросы и советы в соответствии с этапами решения можно
разделить на четыре группы:
Этап первый. Вопросы и советы для усвоения содержания.
Не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает
работать медленно, а заключается в следующем: ознакомиться с
задачей, вникнуть в ее содержание, т.е. выделить данные и искомые, а
в задаче на доказательство - посылки и заключение.
Пример №1 Вывести формулу для вычисления длины диагонали
прямоугольного параллелепипеда по длинам ребер.
Выделим данные и искомые.
28
Данные: прямоугольный параллелепипед и длины ребер. Искомые:
формула для вычисления длины диагонали.
Этап второй. Составление плана решения.
Это главные шаг на пути решения - гарантия решения. Но
составление плана может оказаться сложным и длительным. Поэтому
необходимы ненавязчивые вопросы, советы, помогающие лучше и
быстрее составить план решения задачи, открыть идею ее решения.
Известна ли вам родственная задача? Аналогичная? Если да, то
решение не будет затруднительным. В примере 1 родственной
является задача о диагонали прямоугольника, но не всегда такая
задача есть, тогда может помочь совет:
а)подумайте, известна ли задача, к которой можно свести
решаемую (в предложенном примере - гипотенузу треугольника)?
Если известна, то следующий совет - перефразируйте задачу, не
меняя ее математического содержания.
Пример №2 Докажите, что n выражение (n2 - n) можно разложить
на множители, из которых хотя бы один делился на два.
(при
перефразировании
заменяют
термины
их
определениями, либо признаками, т.е. достаточными
условиями. Перефразировка есть показатель понимания
содержания задачи).
а) Составляя план, следует задавать себе или решающему вопрос:
"Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных
данных облегчает составление плана решения.
При составлении плана полезен совет: "Попытайтесь
преобразовать искомое или данное. При этом искомые так
преобразовывают, чтобы они приблизились к данным, а данные - так,
чтобы они приблизились к искомым. Например, в случае
тождественных преобразований прежние данные преобразовываются,
приближаясь к результату (искомому). Система уравнений,
неравенств преобразовывают в равносильные, чтобы найти корни.
Если решающий все же не может составить план, еще совет:
"Попробуйте решить лишь часть задачи, то есть удовлетворите лишь
части условий, с тем, чтобы дальше удовлетворить оставшимся
условиям".
Пример №3 В данный треугольник вписать квадрат. Так, чтобы две
вершины его лежали на одной стороне треугольника, а две
другие вершины квадрата лежали на других сторонах.
Удовлетворим части условий.
29
Решение: Построим треугольник и впишем в него квадрат так, чтобы
две вершины лежали на одной стороне треугольника, а на третьей другие. Таких квадратов бесконечно много. Все они гомотетичны с
центром в точке А, следовательно, четвертая вершина должна лежать
на пересечении прямых, проходящих через точку А сторону ВС
данного треугольника. План решения очевиден. Совет: Попробуйте
решить лишь часть задачи, расчлените задачу на более простые
задачи. Так поступают при решении некоторых конструктивных
задач геометрии, задач на составление уравнений и неравенств.
Нередко помогает в составлении плана ответ на вопрос: "Для какого
частного случая, возможно, достаточно быстро решить задачу?".
Обнаружив частный случай, решающий ставит новую цель воспользоваться частным случаем для общего решения. Этот вариант
- явное применение полной индукции.
Пример №4 Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней
точки М правильного треугольника до его стороны
постоянна.
Возможны три случая: 1) точка М вершина треугольника. Тогда необходимо
доказать, что расстояние от М до двух
B
сторон треугольника равно нулю. 2) точка
М на одной из сторон. Проведем MNAC,
M
N
получим правильный треугольник MNB, в
A
C
котором М - вершина. Решение ясно из
чертежа. 3) точка М - произвольная.
Рисунок №3
Проведем через М
A'C'AC. Сведем к
предыдущему.
Этап третий. Реализация плана решения.
Реализация плана рассматривает все детали, которые
вписываются в этот контур. Рассматривать их нужно тщательно,
кропотливо.
Советы:
проверяйте каждый свой шаг. Убеждаясь, что он верен, т.е.
доказывать ссылками на известные математические факты.
замените термины и символы их определениями. Например,
термин "параллелограмм" - "четырехугольник, у которого
30
противоположные стороны параллельны". Воспользуйтесь свойствами
данных в условии объектов.
Пример: Докажите, что в параллелограмме противоположные углы
равны.
Можно
воспользоваться
определением
параллелограмма (второй совет) или параллельностью и
равенством двух противоположных сторон (третий совет).
Анализ и проверка правильности решения
Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ и тщательно
изложив ход решения, считают задачу решенной, но получение
результата не означает, что задача решена правильно.
Задача решена, если это решение:
безошибочно, но обоснованно
имеет исчерпывающий характер, анализ решения проверен,
поэтому решение и достоверность результата должны быть этапом
решения.
Итак, два совета:
1 проверьте результат
2 проверьте ход решения.
а) Проверить узловые пункты решения.
б) Нельзя ли тот же результат получить иначе?
в) Решите задачу другим способом.
От общих советов к частным.
Начинать надо от общих советов, если не помогут, обратиться к
частным, соответствующих уровню развития и математической
подготовке ученика. Вопросы должны направлять мысль ученика в
нужную сторону, заставляя активно мыслить.
Применение рекомендуемых советов и вопросов при решении задачи:
Пример: Три пункта соединены прямыми-дорогами к отрезку АВ
дороги примыкает квадратное поле, длина стороны которого
равна половине длины АВ. К отрезку АС примыкает участок
леса, длина которого равна АС и ширина 4 км. Площадь леса
на 20 км2 больше суммы площадей квадратных полей. Найти
площадь леса.
Усвоение содержания задачи:
ознакомившись с задачей, начинаем работу с усвоением
содержания ее.
31
Выделим данные:
Даны: пункты А, В, С поля площадью (0,5АВ)ВС, ЛЕС - 4АС.
Известно, что площадь леса на 20 км2 больше площади полей.
Искомой является площадь леса, точнее, его длина АС.
Полезен чертеж
Введем обозначения АВ = х, ВС = у, АС = z. Окончили работу
над усвоением условия.
Составление плана решения задачи.
Часть связей между данными и искомыми установлена. Запишем ее
ввиде уравнения:
4z = x2/4 + y2 + 20.
При первом взгляде уравнение не определено, но зададим
вопрос: "Все ли данные использованы? Не содержит ли условие
задачи неявно заданных связей между искомыми и данными?"
Внимательно исследуя условие, распознать объекты, которые
помогут установить связи между данными и искомыми: х, у - длины
сторон АВС, они удовлетворяют аксиоме треугольника. поэтому
4z = x2/4 + y2 + 20.
x+ y z или x+ y x2/16 + y2/4 + 5
Внимательное рассмотрение неравенства позволяет рассмотреть
квадраты двучленов.
Реализация плана
Перенесем неравенства в правую часть, получим многочлен
x /16 - x + y2/4 - y + 5 = x2/16 -2 (x/4)·2 + 4 + y2/4 -2( y/2)·1 + 1 =
= (x/4 -2)2 + (y/2 - 1)2
2
но т.к. сумма квадратов не может быть отрицательной, то получим
эквивалентное уравнение
(x/4 -2)2 + (y/2 - 1)2 = 0
отсюда
x/4 -2 = 0 и
y/2 - 1 = 0
или x = 8 и
y = 2.
2
Тогда z = 10, а S = 40(м )
Проверка решения
подстановкой в уравнение
можно вычислить площадь заданных в условии квадратных
полей и сравнить их с площадью леса.
32
(0,5АВ)2 = 16 км2; ВС2 = 4 км2; 4АС - 20 = (0,5АВ)2 + ВС2
последнее соответствует условию задачи.
Остается установить геометрический смысл результата,
поскольку x, y, z - длины сторон треугольника и х + у = z , то
треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. точки А, В, С лежат
на прямой.
C
B
A
Рисунок №4
Начиная решать, мы не смогли выполнить этот чертеж т.к. связь
между x, y, z выявилась в процессе решения.
Схема решения задачи на составление уравнений
с двумя неизвестными
Схема решения всякой задачи на составление уравнения второй
степени с одним неизвестным или на составление системы уравнений
второй степени с двумя неизвестными аналогично схеме решения
задачи на составление уравнения первой степени с одним
неизвестным или, соответственно, системы уравнений первой степени
с двумя неизвестными.
Обычная схема решения задачи такова:
выбор неизвестного (или неизвестных);
установление зависимости между известными и неизвестными
величинами;
составление уравнения или системы уравнений;
решение уравнения или системы уравнений;
проверка решения и запись ответа.
33
Задания
Составьте одну из текстовых задач (наметьте различные способы
ее решения):
на сравнимость чисел (больше или меньше на столько-то,
больше или меньше во столько-то раз) или на НОД, ил на НОК этих
чисел;
на движение по течению и против течения реки (по ветру или
против ветра);
на совместную работу (на заполнение бассейна, на выполнение
всей работы двумя лицами или двумя бригадами и т.д.);
на проценты (задачи на сплавы, на выполнение плана выпуска
продукции или урожайности сельскохозяйственных культур и т.д.);
Составьте геометрические задачи: одну - планиметрическую,
другую - стереометрическую нетривиального содержания;
Наметить различные способы их решения.
1.8 Практическое занятие № 8
Тема Анализ урока по математике.
Цель Ознакомиться с различными схемами анализа урока по
математике; научиться слушать урок, выделять отдельные этапы
урока; уметь оценить каждый этап урока.
Методические особенности работы
Прочитать по учебному пособию Колягин Ю. и др. "Общая
методика преподавания математики" схему анализа урока, гл.10, § 2.3.
Сравнить эту схему с нижеприведенной.
Анализ
и оценка урока математики в _____ классе школы № _____
по теме __________________________
учитель __________________________
урок посетил ______________________
34
Этап
урока
Таблица №2
Деятельность учителя и учащихся по Оценка
реализации
педагогических
и деятельности
дидактических требований к уроку
1
Организация
урока
а) готовность класса, организация 0,1,2,3
учащихся на работу
б) распределение времени по этапам 0,1,2,3
урока
в)
использование
инструментов. 0,1,2,3
Цветного мела. Переносной доски,
дидактических материалов
2
Проверка д/з,
повторе
ние
а)
проверка
выполнения
всеми
учащимися д/з
б) работа учащихся во время проверки,
подведение итогов
в) общая методика опроса, формы
контроля
г) оценка знаний учащихся
0,1,2,3
а) переход к новой теме, проявление
основной идеи
б) общая методика объяснения нового
материала,
историческая
справка,
практические приложения, исследование,
проблемные методы, обобщение
в) наглядные пособия. ТСО
г) речь и письмо учителя
д)
общая
методика
закрепления
материала
0,1,2,3
Время задания, объяснение задания
0,1,2,3
3
Объясне
ние нового материала
4
Задание
на дом
0,1,2,3
0,1,2,3
0,1,2,3
0,1,2,3
0,1,2,3
0,1,2,3
0,1,2,3
Количество баллов: до 12 - "неудовлетворительно",
12-22 - "удовлетворительно",
23-30 - "хорошо",
31-36 - "отлично".
35
Памятка по самоанализу урока
Краткая характеристика класса:
а) разная степень работоспособности;
б) характер запоминания и усвоения материала;
в) отношение класса к учению;
г) степень подготовки учащихся к работе по самостоятельному
приобретению знаний;
д) уровень воспитанности, (нравственная воспитанность);
е) общественная и трудовая активность учащихся (добровольно
включаться в общественные и школьные дела, на совесть
выполнять поручения, самообслуживание);
ж) состояние здоровья, степень утомляемости, процент больных
детей;
з) воспитательное влияние семьи (помогают ли?).
Чем руководствуется учитель при подготовке к данному уроку?
Место урока в теме
Комплексное планирование задач урока (обучение, воспитание,
развитие)
Тип урока
a) усвоение навыков и умений
b) усвоение новых знаний
c) комплексное применение знаний
d) проверка
e) комбинированный.
Средства обучения
Формы обучения (групповые, общеклассовые, индивидуальные,
коллективные).
Методы обучения:
словесные,
наглядные,
практические,
иллюстрационнообъяснительные, репродуктивные работают по образу учителя;
проблемные, частично-поисковые, индуктивные (от частного к
общему), дедуктивные (от общего к частному), самостоятельной
работы (учебной деятельности учащихся), метод работы под
руководством учителя.
Оценка учителем результата труда, были ли созданы
благоприятные условия
учебно-материальные
школьно-гигиенические
морально-психологические
эстетические
36
Использовались ли методы контроля и самоконтроля
учителем
устный и письменный
фронтальный, групповой, индивидуальный
итоговый текущий
с применением ТСО или без них
Правильно ли учитель отбирает содержание учебного
материала
межпредметная связь
выделение главного
Как намеченный план реализован (какие затруднения у учителя
и учащихся, какие корректировки по ходу урока и почему).
Собственная оценка урока.
Задачи
В чем особенности каждой из указанных схем анализа урока?
Посетите урок математики, где учащиеся знакомятся с
доказательством некоторой теоремы (или решается задача на
доказательство). Особое внимание обратите на следующие его
моменты:
а) Как возникло доказываемое суждение на уроке?
б) На сколько учащиеся поняли его сущность?
в) В какой мере они убеждены в необходимости предстоящего
доказательства?
г) Насколько активны учащиеся в отыскании плана (идеи)
доказательства и реализации этого плана?
д) Как проверено понимание и закреплено доказательство?
е) Каково значение урока в воспитании у учащихся потребности в
обосновании суждений и умений обосновывать?
Составьте протокол наблюдений и комментарий к нему. Для
посещения рекомендуется урок алгебры, геометрии.
Посетите урок закрепления изученного учащимися. Составьте
протокол наблюдений, комментарий к нему и выводы по уроку. На
этой основе составьте конспект урока на ту же тему. Мотивируйте
внесенные при этом изменения. Для решения задачи рекомендуется
урок по:
a) алгебре,
b) геометрии.
37
1.9 Практическое занятие № 9
Тема Методика решения стереометрических задач на построение.
Методические обоснования работы
При изображении пространственных фигур, прежде всего на
каждом чертеже должна быть изображена основная плоскость,
относительно которой фиксируется положение всех остальных точек
и линий.
Основная плоскость может не изображаться в тех случаях, когда
ее положение ясно видно из изображений других точек и линий
(например: в качестве основной плоскости у пирамиды или призмы
принимают плоскость основания). Все остальные точки и линии
изображаются в связи с основной плоскостью. Если говорится "дана
точка А", то имеется в виду, что на чертеже показана не только точка
А, но и ее проекция на основную плоскость.
Изображение фигуры на листе бумаги, доске и т.д. представляет
собой проекцию оригинала, полученную путем внешнего
параллельного проектирования.
В
качестве
направления
внутреннего
параллельного
проектирования у призмы принимается боковое ребро призмы. При
проектировании в пирамиде берется центральное проектирование
относительно вершины пирамиды.
При изображении оснований многогранников используются
свойства параллельного проектирования: в частности, треугольник
любой формы изображается любым треугольником, параллелограмм
любого типа - произвольным параллелограммом, (в том числе
прямоугольник, квадрат, ромб), трапеция (в том числе равнобедренная
или прямоугольная)- произвольной трапецией. Правильный
шестиугольник - шестиугольником, у которого противоположные
стороны попарно равны и параллельны, и три большие диагонали
пересекаются в одной точке.
К основным задачам на построение относятся:
задачи на построение точки встречи прямой с плоскостью;
построение линии пересечения двух данных плоскостей;
построение сечений многогранника плоскостью, определенной
надлежащим образом.
38
Задача №1 Дана прямая (АВ) и основная плоскость. Найти точку
пересечения прямой (АВ) и плоскости.
Задача №2 Некоторая плоскость задана точками А, В, С, не
лежащими на одной прямой. Требуется построить линию
пересечения плоскости АВС с основной плоскостью.
Задача №3 Построить сечение призмы (с пятиугольником в
основании) плоскостью, заданной следом сечения на
основании плоскости и точкой на поверхности призмы.
Задача №4 Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью,
проходящей через отрезок DD1 , где D1 АС и АD1= D1С и
также через точку N, принадлежащую внутренней области
треугольника АВС.
Изображение тел вращения связано с тем, что проекция круга на
плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна плоскости
круга, есть эллипс.
Основания цилиндра изображаются в виде двух равных
эллипсов, малые оси которых лежат на одной прямой. Крайние
видимые образующие параллельны оси цилиндра. Еще проще
изображение конуса, а для усеченного конуса нужны изображения
двух подобных эллипсов. Построение осевых сечений этих тел под
определенными углами между сечениями требуют знакомства
учащихся с сопряженными диаметрами. На практике в школе
определяют сопряженные диаметры эллипса как такие, что каждый из
них делит пополам хорды, параллельные друг другу.
Изображение шара строится в ортогональной проекции в
следующем порядке:
При помощи эллипса изображается экватор.
Центр эллипса есть центр контура изображения шара, большая
ось эллипса - диаметр изображения.
После этого строят изображения полюсов шара с помощью
окружности с таким же диаметром.
Задача №5 Основания цилиндра и конуса лежат в одной плоскости.
Прямая пересекает поверхность цилиндра в точке А и
поверхность конуса в точке В. Построить другие точки
пересечения прямой (АВ) с поверхностями этих тел.
Задача №6 Точка М находится на поверхности равностороннего
конуса. Построить сечение, проходящее через точку М,
перпендикулярно образующей, на которой находится точка
М.
39
Задача №7 В цилиндр вписать прямую призму.
Задача №8 Описать цилиндр около шара.
Задача №9 Вписать в шар конус.
1.10 Практическое занятие № 10
Тема Самостоятельная работа учащихся
Цель
Научить изображению пространственных фигур и решению
простейших позиционных задач в стереометрии
Методические обоснования работы
I
Самостоятельная работа - одно из условий получения
учащимися прочных знаний. В развитии творческого мышления
большая роль принадлежит систематичности проводимой и
правильно организованной самостоятельной работе. Наиболее
распространены
задания
трех
типов:
репродуктивные,
реконструктивные,
вариативные.
Репродуктивные
задания
выполняются как простое воспроизведение изученного на основе
образца известных формул или подробных указаний. Например:
"раскрыть скобки", "привести к общему знаменателю", "возвести в
куб" и т.д.
a) Составьте вариант задания репродуктивного типа для
самостоятельной работы по заданной ранее теме.
Реконструктивные задания требуют знания общего
принципа их решения и характеризуются тем, что учащимся
необходимо проанализировать возможные пути нахождения
решения. Например: "решить графически систему уравнений",
"решить задачу путем составления уравнения" и т.д.
b) Приведите
пример
реконструктивного
задания
для
самостоятельной работы учащихся 4-6 классов.
Вариативные
задания
помогают
учителю
дифференцировать обучение, сделать письменную работу
интересной. Они требуют от учащихся поисков способов,
методов и средств для раскрытия новых сторон изучаемых
явлений. Составляется несколько вариантов карточек различной
степени трудности. Некоторые из них могут включать и образец
решения. Например: Решить уравнение:
(4х2 - 20х = 0) => (4х(х -5) = 0) =>
4 х 0
х 5 0
=>
40
х1 0
х2 5
Решить уравнения:
1) 8х2 - 32х = 0; 2) х2 - х = 0; 3) mx2 + nx = 0.
c) Изучите по школьному учебнику предложенную тему и
составьте задания вариативного типа для закрепления с
учащимися учебного материала.
Все самостоятельные работы можно разделить на две категории:
обучающие и контролирующие. Обучающие работы используются
для формирования понятий и навыков. Самостоятельные работы по
формированию понятий рекомендуется проводить сразу после
объяснения нового материала.
Составьте по выбранной теме вариант самостоятельной работы
обучающего характера.
Самостоятельные работы по формированию навыков
состоят из небольшого числа однотипных заданий
репродуктивного и реконструктивного типов и могут
проводиться практически на каждом уроке.
Составьте такую самостоятельную работу.
Контролирующие самостоятельные работы подразделяются на
проверочные, текущие, тематические и итоговые.
Каковы функции и цели проведения работ каждого вида?
Разработайте по заданной теме одну из проверочных работ указанного
типа.
II
1.11 Практическое занятие № 11
Тема Дифференцированный подход в обучении математике.
Цель
Методические рекомендации по организации уроков
дифференцированной работы по теме «Планирование
результатов обучения математике».
Методические обоснования работы
Ставятся две задачи:
Разработать пути достижения уровня обязательной подготовки
самими школьниками и одновременно создать условия для работы в
классе.
Обеспечить на этой основе более высокий уровень усвоения
материала для развития математической подготовки школьников,
проявляющих интерес к предмету.
41
Очевидно, что центральным путем решения этих задач является
дифференциация учебных требований в ходе организаций усвоения
материала учащихся.
Разным ученикам требуется разное время и объем работы для того,
чтобы овладеть ОРО (обязательными результатами обучения):
некоторым достаточно интенсивной работы, на первоначальном
этапе, небольшого количества упражнений на применение
изучаемых фактов.
другим для достижения этого же результата требуется больший
объем упражнений, более длительное время, значит, помощь
учителя.
Для первых эффективность обучения снижается, если долго
задержать на типовых, тренировочных упражнениях, а вторые не
получат необходимые подготовки, если их необоснованно переводить
на сложные задачи.
Поэтому для повышения эффективности обучения эту разницу в
усвоении математики, следует учитывать.
Способы организации дифференцированной работы могут быть
различны (зависят от опыта учителя; состава класса; сложности
материала), приведем некоторые возможные формы организации
дифференцированной работы при обучении учащихся решению задач.
Способ организации - групповая работа.
Коллективная работа должна проходить на том уровне, который в
настоящий момент доступен учащимся и в тоже время не задерживает
их развития, т.е. в максимальной степени отвечала подготовленности
и возможностям учеников. Удобна и проста такая форма.
Класс делится на две группы:
кто достиг уровня ОРО;
кто не достиг, не овладел ОРО.
Основное назначение этих уроков - для одних продлить этап
овладения ОРО, и дать возможность другим работать на продвинутом
уровне, развивать свои знания и умения.
Учитель может работать с одной из групп, а другая группа самостоятельно, (внимание учителя определяется тем, какая из
данных групп - доминирует и нуждается в таком внимании в большей
степени).
Эти группы непостоянны, могут меняться иногда в ходе урока,
их надо формировать по объективным результатам работы ученика.
Например, по выполнению предшествующей самостоятельной
работе по ОРО, или по выполнению задач обязательного уровня в
42
домашней работе и т. п. - не следует игнорировать и самооценку;
ученик пусть сам оценит степень своей подготовленности.
Эти уроки целесообразно проводить после того, как основная
работа по первичному закреплению знаний и умений проведена, и
учитель имеет сведения о состоянии знаний учеников по данному
уроку-моменту.
Урок может строиться по-разному:
а) ориентирован на работу по достижению уровня обязательной
подготовки;
б) ориентирован на работу на продвинутом уровне.
Урок а) ребята достигли уровня ОРО, работают самостоятельно над
индивидуальными заданиями, но не целый урок, а основное
внимание учителя направлено на остальных.
Если надо учитель показывает снова приемы решения
задач, повторяет правила, формулировки, определения,
свойства. Ученики решают на доске, с пояснениями,
комментированием,
ошибки
совместно
выявляются,
исправляются, обсуждаются.
Урок б): к концу изучения темы остается все меньше тех, кто не
овладел ОРО. Тогда эти ученики работают самостоятельно, а
основное внимание учителя направлено на тех, кто уже достиг
ОРО и цель:
математическое развитие;
расширение и углубление знаний. Можно предложить
нестандартные задачи, требующие логики, расширяющие
их знания.
для слабых - образцы решения, набор задач, карточкиинструкции.
Проверять результат обеих групп: опросить, проверить тетради
(выборочно), провести небольшую самостоятельную работу.
Способ организации работы в индивидуальном темпе
Задачный материал при отработке навыков, умений,
предлагается всем.
обязательный уровень;
продвинутый уровень.
Объем и содержание учебных заданий, выполнение
упражнений.
43
Внимание уделяется подбору задач и выбору рациональных
форм и методов работы с классом (простые упражнения, задания
развивающего характера, различные ситуации).
Полезны задачи – блоки: 4 задачи, а в каждой еще по 2-4.
Приступая к работе с блочными наборами задач, учитель
должен дать четкие указания: работу начать с первой задачи; если
справился и уверен, что можешь решить аналогичную из 4-х в 1-ой
задаче, то переходишь к первому заданию 2 блока, но если при
решении первой задачи ученик испытал затруднение, то тогда надо
решить еще одну задачу из 1 блока.
1.12 Практическое занятие № 12
Тема Нестандартные уроки по математике.
Цель Изучить нестандартные уроки по математике и методику их
проведения.
Методические обоснования работы
Нестандартные уроки по математике являются одной из
интересных форм обучения математике. Такие уроки активизируют
учащихся, уводят их от стандартной программы, развивают
творческие способности обучаемых. Нижеприведенные уроки взяты
из опыта работы учителей.
Обобщающий урок по теме «Многогранники» в 11 классе
(групповой метод)
Класс разбивается на 5 команд (в классе 25 человек), выбирают
капитанов каждой команды. Продумывают название, девиз, песню,
эмблему каждой команды. Домашнее задание - сочиняют сказку, и все
это связывают с данной темой.
Жюри - учащиеся 11 класса, учителя.
Столы в кабинете расставляют на 5 команд, под музыку и два
стола для карточек. Оформляется соответственно и кабинет.
Начинается мероприятие с музыки, ведет урок учитель.
Каждая команда говорит название, девиз, песню, все это сдается
жюри и оценивается по пятибалльной системе. Потом каждая команда
знакомит со своей сказкой, это тоже оценивается жюри. Далее
капитаны команд берут карточку по теории и практике, отвечают на
все вопросы за определенное время (на столе у каждой команды
чистая бумага, карандаши, инструменты).
44
Готовые ответы сдаются членам жюри. В перерывах звучит
музыка, песни, предлагаются небольшие математические задачки.
Пока жюри проверяет выполненные задания, командам предлагаются
фрагменты из передачи «Поле Чудес». К кругу выходят капитаны
команд и необходимо угадать буквы из слова «Додекаэдр», а для
зрителей слово «Апофема». На все готовы призы.
Команде, которая заняла наибольшее количество очков,
ставится в журнал оценка «5» и вручается приз. Команде, занявшей 2
место тоже приз и в журнал оценку «4», остальные тоже поощряются.
Урок - викторина
Цель Ознакомиться с литературой по данному вопросу; использовать
различные приемы, стимулирующие активизацию творческой
мыслительной деятельности учащихся на уроке, применять
различные формы проведения таких уроков.
Содержание работы.
Современной методикой обучения рекомендуется организация
работы на уроке в школе с включением игровых элементов "домино",
"эстафет", "кроссвордов". Среди уроков такого типа хорошо
зарекомендовали уроки-викторины. Урок-викторина привлекает своей
занимательностью, динамичностью, возможностью рассмотреть
всесторонне проблему и найти наиболее удачное решение. Уроки
такого типа воспитывают коллективность, быстроту реакции,
пытливость, самостоятельность. Проводятся в конце раздела, блока
темы.
Приведем одну из возможных структур этого урока:
1 этап- экскурс в историю;
2 этап- конкурс капитанов;
3 этап- соревнование команд.
Соревнующиеся команды задают по 5 вопросов (на
обдумывание - не более 3 минут). Сам преподаватель является
активным участником.
Большое значение имеет стимулирующий этап. На этом этапе
идет оценка и награждение команд.
В заключение преподаватель подводит итоги и отмечает
активность команд.
Приведем примерные вопросы команд-участников урокавикторины:
45
1 Товарный поезд длиной в 1 км движется со скоростью 50 км/ч. За
какое время он пройдет тоннель длиной в 1 км? (Ответ: t=
2:50=0,04ч). (5 класс).
2 Не используя таблицы, найдите α, если sinα = 2 (8-9 класс).
3 sinα = 1/5; sinβ = 0,5. Какой из углов больше α или β?(8 класс).
4 Дан равнобедренный треугольник со сторонами 5 см и 2 см. Какая
из сторон является основанием?(5-7 класс).
5 Известно, что 10log 7=7 по определению логарифма. Отличаются
друг от друга графики функций у=х и у= 10lgx? (11 класс).
Для формирования творческого мышления учащихся и усиления
роли сотрудничества на уроке используется следующий прием.
Группа разбивается на две команды: "Генераторы" и "Эксперты".
Формулируется задача. Группа генераторов приступает к работе.
Предлагаются идеи, которые преподаватель записывает на доске, но
вот время кончилось. В "бой"
вступают эксперты, которые
анализируют предлагаемые идеи. Здесь важно, чтобы предлагаемые
идеи учащимися были связаны с темой урока, углубляли и дополняли
ее. По затронутой проблеме возможен диспут. Защищая свою точку
зрения, учащиеся не только развивают творческое мышление, но
формируют свой интерес к предмету. Обогащается педагогика
сотрудничества, способствующая коллективным формам труда на
уроке. Это может быть коллективное решение проблемных задач,
кроссвордов,
в том числе во внеклассной работе. Широко
используется бригадная форма организации труда. Учащиеся
обучаются работать в новых условиях. Учитель может быть
консультантом, руководителем, членом. Независимо от выбранной
роли, он сотрудничает с учащимися, подводит итоги.
Задания
1 Составьте план – конспект урока – викторины. (Примерные темы:
«Площади фигур», «Делимость чисел», «Дробные числа»,
«Проценты», «Функции», «Графики», «Уравнения», «Векторы»,
«Преобразования»).
2 Приведите примерные вопросы командам для 5-9 классов.
3 Используя раздел «Задачи повышенной трудности» подберите
серию задач (3-4) по конкретным темам учебника (например,
«Делимость
чисел»,
«Неравенства»,
«Многогранники»,
«Построение графиков» и др.) для их использования на указанном
уроке. Предложите различные варианты решения этих задач.
46
Разработка заседания «Клуба знатоков»
Оформление кабинета.
В противоположных концах кабинета столы для знатоков (по 6
человек в команде), стулья для болельщиков, на доске (на плакатах)
интересные
вопросы, задачи, конкурсы (по математике)
для
болельщиков.
На одном из плакатов:
Пословицы:
Все за одного, … за всех.
Не имей …рублей, а имей … друзей.
… раз отмерь, … раз отрежь.
За … зайцами погонишься, ни … одного не поймаешь.
Ум хорошо, а … лучше.
Отгадай загадку:
7 братьев: годами равные, именами разные (дни недели).
1 говорит, 2 глядят, 2 слушают (язык, глаза, уши).
У 2 матерей по 5 сыновей, все на одно имя (пальцы рук).
2 головы, 2 руки, 6 ног. Кто это? (Всадник на лошади).
Оборудование: секундомер, флажки двух цветов, карточки с
заданиями, табло (с набором цифр от 0 до 6), колокольчик.
Ведущий представляет знатоков каждой команды, напоминает
правила игры (выигрывает тот, кто раньше набрал 6 баллов).
Вопросы знатокам:
Против команды знатоков играет
Мартынова Света.
Уважаемые знатоки!
Выразите 1, употребив все девять цифр.
Ответ: 1234567890 или 2345679-8-1.
Вопрос Евсиковой Инны 9-В класса.
ученица
9-В
класса
Уважаемые знатоки!
В одной из новогодних передач по телевидению поэт
А.Вознесенский прочитал свое стихотворение, в котором
утверждалось, что шоферы считают счастливыми те номера машин, в
которых равна сумма цифр первой и второй половины. Например, 1982 считается счастливым номером, т.к. 1+9=8+2. А в одной из передач
«Следствие ведут знатоки» утверждалось, что по шоферскому
поверью счастливым является тот номер, в котором сумма чисел
первой и второй половины равна 100.
47
Внимание! Вопрос: Перечислите все номера, счастливые в
первом и втором случаях.
Ответ: единственным ответом будет 50-50.
Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников,
древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих
учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу,
седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении,
остальную часть составляют 3 девы».
Внимание! Вопрос: Сколько учеников было у Пифагора?
Ответ: 28 учеников.
1.13 Практическое занятие № 13
Тема Внеклассная работа по математике
Цель Ознакомиться с литературой по внеклассной работе по
математике, а также характером различных внеклассных
упражнений по математике на различных ступенях обучения.
Методическое обоснование работы
Под внеклассной работой понимают занятия, проводимые во
внеурочное время и по принципу добровольности.
Внеклассная работа должна доставлять детям радость
творческого труда и прививать любовь к математике. Оно проводится
в форме постоянно работающих кружков и в форме мероприятий
эпизодического характера: математических вечеров, школьных
олимпиад, викторин, эстафет, издания математических газет и
журналов.
В какой бы форме не проводилась внеклассная работа по
математике, она должна быть живой, увлекательной, носить характер
спортивных соревнований.
Задачи
а) Приведите названия каких-нибудь 6-8 тем для занятий
математического кружка в 7 классе. Укажите литературу для
кружка по математике в 7 классе.
б) «Докажите» софизм 2=3 или а=b (где а и b – различные числа),
основываясь на «Делении на нуль» и на операции извлечения
квадратного корня.
в) Начертите окружность, постройте её диаметр АВ и возьмите
произвольную точку М вне окружности. Затем с помощью
48
одной только линейки (односторонней, математической)
опустите перпендикуляр из М на прямую АВ.
У к а з а н и е Используйте теоремы: 1) Угол, опирающийся на
диаметр – прямой; 2) Три высоты всякого треугольника
пересекаются в одной точке.
На вопрос учителя один ученик 7 класса ответил: «Это будет
центр вписанной в треугольник окружности». Другой ученик того же
класса ответил: «Это будет точка пересечения биссектрис
треугольника». Какой вопрос, по вашему мнению, учитель задал
ученикам при условии, что оба ответа были правильными?
а) Составьте тематику кружковых занятий по математике для 10
класса. Назовите литературу для внеклассных занятий по
математике в этом классе.
б) Постройте схематически графики функций:
у=хsinx; у=(sinх)/х.
У к а з а н и е Используйте для построения графика первой
функции график функции у=х, а для построения графика второй
функции – график функции у=1/х.
в) Докажите, что в сечении куба плоскостью нельзя получить
прямоугольный треугольник. Желательно доказать это
различными способами.
В треугольнике перемножения буквенных сомножителей, в
которых одинаковым соответствуют одинаковые цифры, получилось
четыре произведения: «где», «мышка», «там», «кошка»:
о ш а
д а д
о ш а
а д
д е
д ш е
а д
г д е
д ы
г ы
д д м
е д
т а м
д т ш к
о ш а
м ы ш к а
г д к
д е г
м к а
д е ы ш
г д к
к о ш к а
49
Найти значения букв. Из 1-го, 2-го, 4-го произведений легко
найти чему равно Д и Ш. Как это сделать?
Задачи
1 а) Какие способы вы примените для решения системы уравнений?
х+у=а
y+z=b
z+x=c
Как расположены плоскости, изображающие эти уравнения?
Пересекаются ли эти плоскости?
б) Доказать различными способами (черт.25), что диагональ BD
параллелограмма ABCD делиться отрезками AK и AL, где К середина ВС, L - середина CD , на три равных отрезка.
У к а з а н и е.
Использовать
свойства
B
K
C
параллелограмма,
средней
линии
K0
треугольника, его медианы, равенство
треугольников
и
теорему
о
L0
L
пропорциональных
отрезках
на
параллельных прямых, пересекаемых
A
D
пучком прямых.
Рисунок №5
в) Решить систему уравнений
a1x + b1y = c1 (1)
a2x + b2y = c2 (2)
различными способами, используя метод неопределенных
коэффициентов, определителей и графически.
Что вы можете сказать о решении системы уравнений, если
a1
a2
b1
b2
0
c1
c2
b1
0?
b2
Как в этом случае расположены прямые (1) и (2) ? может ли при
этом система уравнений иметь решение х=0, у=0 ?
50
2 На вопрос учителя ученик ответил: "Это такие два уравнения, все
корни первого из которых являются корнями второго, и все корни
второго уравнения являются корнями первого". Какой вопрос был
задан ученику учителем? В каком классе этот вопрос изучается по
программе.
3 В предлагаемом зашифрованном
соответствует цифра, не большая 5:
б а
б
сложении
каждой
букве
р а б а н
б а р а н
к р к б н
Расшифровать сумму нельзя, так как шифр содержит ошибку. В
чем состоит ошибка? Исправьте ошибку. Чему равны н, а и б?
Правильно ли сложены буквы а в обоих случаях? Чему равно р?
Чему равно к?
а) Составьте тематику кружковых занятий по математике для 8
класса. Назовите литературу для внеклассных занятий по
математике в этом классе.
б) Уравнение х + 1/х = 2,5 можно решить устно, представив 2,5
как 2 + 1/2 , откуда х1 = 2, х2 = 1/2, так как если х = 2, 1/х =
1/2, а если х = 1/2, то 1/х = 2.
Составьте 2-3 уравнения такого же типа и решите их устно.
в) Какими способами с помощью циркуля и линейки вы построите
касательную из внешней точки к окружности? Как к данной
окружности с помощью только одной линейки построить
касательную, проходящую через внешнюю точку?
У к а з а н и е. Используйте понятие полюса и поляры.
Логическая пауза (миниатюра)
На сцене за столом сидит ученик-старшеклассник. Он в роли
учителя математики. К столу прикреплен плакат: «»Экзамен по
математике».
Вбегает ученик.
- Извлекать корни умеете? – спрашивает экзаменатор.
Ученик: - Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растение
посильнее и корень его извлечется из почвы.
- Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
- Это будет «девять», так как в слове «девять» суффиксом
является «ть».
- Вы меня не совсем поняли, я имел ввиду корень квадратный.
51
- Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и
стержневые.
Арифметический корень из девяти (ученик берет со стола
плакат с соответствующей записью и показывает его аудитории).
Команда знатоков продолжает игру.
Рассказывают, что основательница чешского государства
принцесса Либуше предложила трем претендентам на ее руку задачу:
«Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и
еще одну, второму - половину остатка и еще одну сливу, а третьему
половину того, что осталось, то корзина опустела бы».
Вопрос: Сколько слив было в корзине?
Ответ: 16 слив.
Известный всем император был любителем математики. Он
находил время заниматься ею для собственного удовольствия,
чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия
и изобретательности. Одно из свидетельств тому несколько
составленных им геометрических задач.
Назовите имя этого императора.
Ответ: Наполеон Бонапарт.
Какую последнюю цифру может иметь квадрат (куб)
натурального числа?
Вставьте в каждую из пословиц имя числительное.
А теперь попробуйте отгадать загадки.
Игра заканчивается подведением итогов и заключительным
словом ведущего. Выигравшей команде
вручаются медали и
сувениры.
Проигравшей – памятные подарки.
Пирамида, пирамида!
До чего ж ты хороша!
В пирамиде есть вершина,
Основанье, высота,
Грани, ребра тоже естьВсех их можно перечесть.
Сказки
«Красная шапочка»
Есть такая загадочная страна «планиметрия». В этой стране
жила маленькая вершиночка по прозвищу красная шапочка. В
52
соседней, не менее загадочной стране «стереометрии», жила ее
любимая бабушка апофема.
Однажды бабушка апофема заболела, и вершинка внучка
решила проведать бабушку и отнести ей гостинец. Вершинка шла по
лесу и внезапно ей встретилась большая, серая, злая пирамида,
которая спросила вершинку, куда и зачем она идет. Вершинка
помолчала, а потом ответила: «Я иду к бабушке апофеме, несу ей
гостинцев, она приболела, и я решила ее навестить». Пирамида
уговорила ничего не подозревающую вершинку идти по длинной
дорожке, а сама побежала по короткой прямой дороге. Прибежав в
страну «стереометрию», в деревню «геометрушку», пирамида
притворилась бабушке маленькой вершинкой-внучкой. Обманув
старую и добрую апофему, пирамида ворвалась и съела её, но этого
ей оказалось недостаточно. И когда пришла, наконец-то, вершинка,
она притворилась бабушкой и, слукавив, хитро поступила с
вершинкой: она тоже ее съела.
В это время мимо избушки проходил дровосек-сечение и,
услышав какие-то странные звуки и голоса, он зашел в домик и
увидел злую, серую, толстую пирамиду. Недолго думая, он отсек ей
голову и оттуда вышли здоровые и невредимые вершинка с бабушкой
апофемой.
И с тех пор мы часто можем видеть усеченную пирамиду, возле
которой бегает маленькая простая обыкновенная пирамида, которая
очень похожа на бывшую серую страшную пирамиду.
«Белая бусинка, красная бусинка…»
На весь аул славилась красотой девушка Маржан, не только
лицом она была пригожа – руки у неё были золотые. Решила она
сшить себе катипу. По краям украсила её орнаментом, на макушку
пришила пучок нежных перьев, и вспомнила она, что есть у неё бусы,
но бус оказалось немного и всего двух цветов: белого и красного.
Думала девушка, думала и решила бусинки пришивать так: белую,
красную, потом ещё белую – по три в каждом рядке. Сделала Маржан
несколько рядков, смотрит – осталось у неё семь красных бусинок.
Решила красавица украшать свою катипу по-иному. Отпорола
бусинки и стала пришивать их в таком порядке: красную, белую,
красную – по три бусинки в каждый ряд. Подсчитала Маржан рядки –
их оказалось на один больше, чем прежде, к тому же остались
лишними несколько белых бусинок. Сколько было у девушки белых
бусинок и сколько красных?
53
2 Методические рекомендации к написанию курсовых
и дипломных работ по теории обучения математике
Методическая подготовка будущего учителя математики, кроме
занятий по методике преподавания математики (лекций, семинарских
занятий, спецсеминаров, практикумов, лабораторных работ,
педагогической практики), включает в себя написание и защиту
курсовых и дипломных работ.
Работа над определенной темой в течение года (а над
дипломной в ряде случаев в течение двух-трех лет) позволяет
выпускнику не только глубоко ознакомиться с теорией изучаемой
проблемы, но и изучить состояние практики и овладеть основами
методики научно-педагогического исследования.
Задачами курсовой работы являются углубление, расширение и
закрепление знаний по педагогике и ТООМ, формирование
творческого подхода к решению педагогических задач, способности
критически оценивать явления школьной практики и результаты своей
работы, анализировать и обобщать передовой педагогический опыт.
Дипломная работа – более сложная, чем курсовая, в научном
отношении заключительный и обобщающий этап профессиональнопедагогической подготовки будущего учителя. Она представляет
собой небольшое научное исследование. Основой для выполнения
дипломной работы служит весь комплекс научной, специальной
методической и психолого-педагогической подготовки студентов.
Поэтому эта работа выполняется на стыке теории педагогики и
специальной методике преподавания предмета.
В дипломной работе глубже представлены процедуры
исследования: обоснования темы, выделение проблемы, предмета
изучения, выдвижения гипотезы, постановки цели и задач, отбор
методов научно-педагогического исследования.
Для курса ТООМ характерны следующие направления исследования:
I Проблема совершенствования содержания школьного обучения
(частная методика).
II Повышение эффективности учебного процесса
а) изучение и описание передового опыта учителя;
б) практическая работа учащихся при изучении математики;
III Проверка и оценка знаний учащихся.
Система образования за рубежом.
54
При написании курсовых и дипломных работ, выделяют
такие виды исследования:
методическое (разрабатывается новая методика);
описательное (описание фактов, их исследование);
смешанное.
Последовательность выполнения, основные этапы исследования:
выбор темы;
изучение литературы (в том числе отбор статей из журналов
“Математика в школе”, “Советская педагогика”, “Квант”, ”Народное
образование”) и её реферирование;
вычисление вопросов, еще не нерешенных в методике
преподавания предмета или нуждающихся в дополнительной
проверке;
составление плана работы с учетом всех методических указаний
по теме исследования;
сбор, изучение, анализ материалов из опыта работы;
методика решения соответственных задач и примеров;
формулировка основных выводов и предложений;
литературное оформление курсовой или дипломной работы;
рецензирование;
защита.
Предложенный ниже перечень курсовых (дипломных) работ,
методические указания к ним, помогут в выборе темы при
выполнении и оформлении курсовых и дипломных работ по методике
преподавания математики.
Методические рекомендации к написанию курсовых и
дипломных работ по МПМ.
2.1 Выбор темы исследования
При выборе темы рекомендуется учитывать её актуальность,
имеющийся опыт, класс, в котором предстоит студенту проходить
практику, а так же способности, интерес к изучению, исследованию
методики преподавания математики. Каждая тема должна быть
конкретизирована на материале определенной раздела курса
математики средней школы, лицея. Это позволит рассмотреть тот или
иной вопрос курса математики в различных психологопедагогических аспектах. Например, при выборе темы “Вычитание и
сложение отрицательных чисел” можно рассмотреть её с точки зрения
55
организации индивидуального подхода к учащимся в процессе её
обучения, или с точки зрения формирования приемов самоконтроля,
или с точки зрения обучения методов обучения.
В содержании рекомендуется раскрыть задачи и содержание
рассматриваемой темы. Например, в теме “Решение задач с помощью
составления уравнения в 5-6 классах”, нужно дать краткую
характеристику таким задачам, привести их конкретные примеры. Из
учебников математики 5-6 классов выявить знания, умения и навыки,
необходимые учащимся для их решения. Кроме того, нужно показать,
какие конкретные методы, приемы, средства, формы работы можно
использовать в процессе обучения учащихся решению таких задач.
Методические указания по разработке тем.
2.2 Составление плана
При составлении плана надо ориентироваться на содержание
темы. Необходимо, чтобы все отмеченные в нём вопросы нашли свое
отражение в плане и, соответственно, в самой работе.
Каждый пункт плана (включая подпункты) должен
фиксироваться в тексте, для этого необходимо выделить и озаглавить
соответствующие разделы. Наиболее распространенные разделы:
введение, основная часть, заключение.
Во введении должна быть отражена актуальность темы, цель
работы (иногда здесь же делается обзор литературы).
В основной части рассматривается место темы в программе,
приводятся примеры из практики, т.е. излагается содержание и
методика раскрытия темы.
В заключительной части подводятся краткие итоги, обобщаются
результаты собранного материала, даются рекомендации по изучению
данного вопроса в школе, лицее.
Например, по теме “Индивидуальный подход к учащимся в процессе
обучения формулам сокращенного умножения на уроках алгебры в 6
классе” можно составить следующий план изложения:
Введение. (Актуальность темы. Задачи и методы исследования).
Задачи и содержание темы.
Анализ основных математических понятий.
Фрагменты конспектов уроков и их анализ.
Дифференцирование задания и их выполнение учащимися.
Индивидуальная работа с детьми:
Характеристика учеников;
Анализ результатов выполнения заданий;
56
Приемы индивидуальной работы по предупреждению
ликвидации ошибок.
Заключение (итоги, выводы, рекомендации).
и
2.3 Организация и проведение исследовательской работы
Методические
исследования
выявляют
закономерности
обучения и воспитания учащихся в процессе изучения школьного
предмета (математики), раскрывают конкретные, специфические для
данного учебного предмета условия успешного решения
образовательно-воспитательных задач как курса в целом, так и его
отдельных тем и проблем.
При выполнении курсовой и дипломной работ применяют
следующие методы научно-педагогического исследования:
изучение литературы по избранной теме и соответствующей
школьной документации;
углубленное изучение опыта передовых школ и учителей;
наблюдение педагогического процесса;
педагогический эксперимент.
Как же необходимо использовать эти методы исследования при
выполнении работ?
Изучение литературы по избранной теме предполагает
тщательное изучение методологических, монографических и
журнальных статей по вопросам содержания курса и избранной темы,
хорошее знание современного состояния педагогической науки и
методики преподавания предмета, изучение школьной документации:
ознакомление с планами и другими записями учителей, с классными
журналами, письменными работами учащихся и т.п.
Анализ тетрадей и письменных работ учащихся познакомит
исследователя с развитием у школьников ряда умений, с уровнем их
знаний, а так же позволит сделать важные дополнительные
наблюдения о системе работы учителя.
Для фиксации и накопления изученных материалов необходимо
выписывать основные положения читаемой книги или статьи,
отдельных наиболее ярких фактов, примеров цифрового материала из
школьной документации в тетради или на карточки.
Изучение педагогического опыта не сводится к его описанию,
не ограничивается анализом и объяснением того, что нашел
исследователь у учителя класса или школы в готовом виде. Изучая
деятельность педагогов и учащихся, исследователь должен наметить
пути дальнейшего усовершенствования школьной практики,
57
попытаться разработать способы преодоления типичных трудностей,
подобрать новые методы и приемы учебной работы, организовать
совместно с учителем проверку этих новых методов.
Важным методом исследования в области методики
преподавания являются наблюдение педагогического процесса.
Нужно не вообще наблюдать работу учителя, а целенаправленно,
заранее выделить те вопросы, которые необходимо выяснить в первую
очередь. Эти вопросы намечаются в соответствии с темой и задачами
исследования.
Важно подвергнуть наблюдению и анализу целую тему курса
или систему уроков, объединенных общей проблемой. При
организации научного наблюдения должны быть заранее намечены
его объекты, поставлены цели, составлен план.
При проведении педагогического эксперимента исследователь
целенаправленно изменяет те или другие условия обучения и
воспитания: или содержание обучения и воспитательной работы, или
организационные формы обучения и воспитания, или методы и
приемы обучения и воспитания, или, наконец, всё это вместе.
Экспериментальной проверке обычно подвергается какая-либо одна
сторона обучения и воспитания, например, содержание курса (темы)
или методы обучения. Например, изменив в одном или нескольких
классах одно из этих условий (способ раскрытия сложного понятия) –
такие классы называются
“Экспериментальными”,
сравнив
достигнутые результаты (с усвоением того же понятия) в
параллельных классах, где в обучение не вносилось предлагаемых
изменений – такие классы называются “Контрольными”, можно
установить эффективность предложений. В отдельных случаях можно
проверить эффективность какого-либо методического приёма в
различных учебных ситуациях: например, установить, как влияет на
активизацию и результаты познавательной деятельности учащихся
создание на уроках различного типа и содержания так называемой
“проблемной ситуации”. Сопоставление результатов, достигнутых
при этом в различных классах и на различных по содержанию уроках,
позволит убедительно показать общую эффективность данного
методического приёма. Педагогический эксперимент органически
включает в себя наблюдение процесса обучения и воспитания. При
этом очень важно фиксировать ход и результаты эксперимента. Этой
цели служат планы уроков, дневник наблюдений, протоколы уроков,
анализ образовательно-воспитательных результатов проводимой
работы.
58
Если в ходе эксперимента проводится беседа с учащимися, то
окончательные ее результаты могут быть записаны в виде таблицы,
называемой психометрической матрицей. В ней столбцы
соответствуют испытуемым, а строки – наблюдаемым признакам.
Если же величина признака шкалирована, то в таблице проставляются
соответствующие ответам числа шкалы. Такая таблица представляет
собой исходный материал для проверки гипотезы с помощью
статистических критериев.
Например, нужно проверить гипотезу: существует ли связь между
активизацией познавательной деятельности учащихся на уроке
математики, с одной стороны, и решением задач с практическим
содержанием, с другой. По результатам беседы с испытуемыми
(например, 15 человек) составляется матрица:
№
испыту-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
емых
Приз
наки:
Х
1 0 0 1 1 0 0 0 1 0
У
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0
11 12 13 14 15
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
Р (вероятность)
0,47
0,40
Символы Х и У означают соответственно признаки:
Х – активизация познавательной деятельности на уроке,
У – решение задач с практическим содержанием.
Цифра 1 означает наличие признака, 0 – его отсутствие. Для того
чтобы точно установить зависимость между изучаемыми величинами,
производится математическая обработка результатов беседы с
помощью так называемого коэффициента корреляции, обозначаемого
в статистике ХУ. P(X) и P(Y) – вероятности проявления признаков Х и
У в данной выборке. Чем ближе коэффициент корреляции, тем
сильнее проявляются признаки Х и У, тем большая взаимосвязь
признаков.
В нашем примере число учащихся, у которых в первой и второй
строке матрицы совпадают признаки (стоит 1)
P(XY) = 5 / 15 = 0,33.
Вероятность проявления признака Х (в первой строке 7 единиц) равна
P(X) = 7 / 15 = 0,47.
Соответственно, признака У:
Р(У) = 6 / 15 = 0,40.
59
Коэффициент корреляции получается:
ХУ = 0,54.
В результате можно утверждать, что при решении задач с
практическим содержанием на уроке создает благоприятные условия
для активизации познавательной деятельности на уроке. То есть,
гипотеза проверена и определена зависимость признаков.
2.4 Оформление работы
При оформлении необходимо соблюдать следующие
правила:
объем работы должен составлять примерно 25-30 страниц
стандартной писчей бумаги для курсовой работы;
заполняется одна сторона листа;
поля – 3 см, справа – 1 см;
страницы нумеруются сверху, посередине листа;
заголовки отделяют от текста, оформляя иным шрифтом и его
размерами;
пишут разборчиво, аккуратно, выполняя чертежи;
применяют лишь те сокращения, которые приняты в печати;
обращают внимание на эстетику оформления работы;
в начале работы нужно написать план, начинающийся с пункта
“Введение”, затем изложить весь материал;
не забудьте о приложениях (таблицы, модели, наглядные
пособия, разработки внеклассных мероприятий, развернутый
план или конспекты уроков; разработанная система упражнений,
материал для ТСО), их можно поместить отдельно, в конверте,
или папке или сброшюровать вместе с работой;
список литературы, используемый в работе, составляется в
алфавитном порядке (отдельные издания, статьи из журналов,
сборников);
при проведении исследовательской работы в школе,
эксперимента, изучении опыта учителя, методического
объединения; указывается номер школы, фамилии учителей,
учебный год;
на первой странице приводится план работы, начиная с пункта
“Введение”;
титульный лист.
60
2.5 Критерии оценки курсовой и дипломной работы
При оценке научно-исследовательской работы студентов в
ходе выполнения курсовых и дипломных работ учитываются
следующие критерии:
Основательную
психолого-педагогическую
подготовку
студентов по исследуемой проблеме.
Овладение процедурой и методикой научно-педагогического
исследования.
Овладение научным аппаратом.
Качество выполнения выдвинутых в курсовой и дипломной
работе исследовательских задач.
Уровень самостоятельности студентов при выполнении научноисследовательской работы.
Систематичность работы студентов над курсовыми и
дипломными исследованиями.
Умение внедрять результаты научно-исследовательской работы
в процессе педпрактики.
Работа оценивается в два этапа; сначала рецензент дает
заключение о допуске или не допуске курсовой (дипломной) работы к
защите, затем защита (но для дипломной работы – промежуточная на
кафедре).
“Отлично” ставится, если в работе :
отражены все вопросы примерного содержания темы;
описание носит исследовательский характер;
соблюдены требования по оформлению;
материал изложен грамотно, логично;
рекомендуемая литература подобрана и использована по теме,
применены другие источники, статьи из журналов.
“Хорошо”, если:
не освещен какой-либо вопрос примерного содержания темы;
имеются недочеты в оформлении.
“Удовлетворительно”, если:
отсутствуют результаты исследований в работе;
не использована дополнительная работа;
не выполнены требования по написанию и оформлению работы.
К защите студент готовит краткое сообщение (не более чем на
10-15 минут), в котором излагает цель работы, ее содержание, предмет
и методы исследования, полученные результаты, значение их для
использования в школе, лицее.
61
После выступления студент отвечает на вопросы и замечания
членов комиссии, присутствующих на защите.
Примерная тематика курсовых и дипломных работ
1 Воспитание у учащихся на уроках математики профессионального
интереса.
2 Роль школьного курса математики в воспитании учащихся.
3 Методика работы с отстающими учащимися.
4 Взаимоотношения учащихся в процессе обучения математике.
5 Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения
математике.
6 Подготовка будущего учителя к решению задач эстетического
воспитания в процессе преподавания математики.
7 Пути осуществления межпредметных связей в процессе
преподавания математики.
8 Индивидуальный подход к учащимся в процессе обучения
математике в 5-6 классах.
9 Профессиональная ориентация учащихся в процессе обучения
математике в старших классах.
10 Пути активизации познавательной деятельности учащихся на
уроке.
11 Работа учителя по формированию математических способностей
учащихся.
12 Проблемное обучение – один из путей оптимизации учебного
процесса.
13 Научно-мировоззренческое воспитание в процессе преподавания
математики.
14 Организация домашней работы учащихся.
15 Внеклассная работа по предмету и ее роль во всестороннем
развитии учащихся.
16 Методика проведения внеклассной работы.
17 Использование ТСО в процессе обучения математики.
18 Взаимосвязь домашнего задания с изучением нового материала.
19 О формировании практических умений в курсе геометрии 6-8
классах.
20 Организация работы по учету знаний учащихся в 4-5 классах.
21 Общественный смотр знаний по теме «Многогранники» в 11
классе.
22 Обязательные результаты обучения, методика их достижения.
62
23 Самоконтроль на уроках алгебры.
24 Тематический контроль знаний в старших классах.
25 Групповая работа на уроках алгебры (геометрии).
26 Опорные конспекты в процессе преподавания алгебры (геометрии)
в средней школе.
27 Оптимальные методы обучения алгебре (геометрии) в средней
школе.
28 Наглядность на уроках геометрии.
29 Различные способы доказательств теорем планиметрии.
30 Опорные задачи в курсе геометрии 6 класса.
31 Неделя математики в школе и методика ее проведения.
32 Задачи на готовом чертеже и на моделях как средство активизации
деятельности учащихся на уроке.
33 Элементы историзма как средство повышения эффективности
уроков математики.
34 Методика решения конструктивных задач.
35 Методика введения и доказательство теорем по геометрии.
36 Организация самостоятельной работы учащихся на уроках
геометрии (алгебры).
37 Организация контроля усвоения математических умений, знаний,
навыков учащимся в восьмилетней школе.
38 Система учета и проверки знаний учащихся по теме и
предупреждение ошибок учащихся.
39 Методика изучения отдельных разделов (по выбору) курса
алгебры (геометрии) на основе изучения и обобщения передового
опыта учителей математики.
40 Методика проведения современного урока математики.
41 Способы введения понятий в курсе школьной алгебры.
42 Современные требования к уроку математики.
43 Воспитание потребности в доказательствах.
44 Пропедевтика понятий функции в 5-6 классах.
45 Методика составления и использования математических диктантов
и заданий для работы с дискетами в 5 классе, в 6 классе, в 7 классе,
в 8 классе.
46 Альбом заданий для изучения функций и их графиков в курсе
алгебры 6-8 классов.
47 Алгоритмизация деятельности учащихся в процессе обучения
тематике.
63
48 Построение обучающих алгоритмов: а) распознавания; б)
преобразования.
49 Методы поиска решений нестандартных задач.
50 Решение нестандартных геометрических задач (материалы
факультативного курса).
51 Школьникам о “математических” профессиях (экономист,
программист).
52 Методика изучения темы “Применение производной” в 10 классе.
53 Анализ системы задач данной главы учебника.
54 Дифференцированный подход в обучении математики.
55 Дидактическое обеспечение курса математики.
56 Математические фокусы и их использование во внеклассной
работе в школе.
57 Логические задачи на уроках и внеклассной работе по математике
в школе.
58 Факультативный курс “Математическая мозаика”.
59 Особенности обучения математических дисциплин в лицее.
60 Объем и содержание темы “Производная и ее применение” в курсе
математики в лицее.
61 Методика изучение темы “Перпендикулярность в пространстве”.
62 Методика изучения темы “Параллельность в пространстве”.
63 Система
задач
на
геометрические
преобразования:
а) на плоскости; б) в пространстве.
64 Метод координат в средней школе.
65 Система упражнений для введения понятия вектора.
Курсовая и дипломная работа могут быть выполнены на одну и
ту же тему.
Студент может сам предложить тему курсовой (дипломной)
работы, не входящей в рекомендуемый список.
Возможны рекомендации преподавателя конкретному студенту
по выбору темы работы.
Полезно взять тему на 1 курсе, на котором предусмотрена
непрерывная педагогическая практика, до начала активной практики в
школе,
чтобы
можно
было
провести
необходимую
экспериментальную работу.
64
Литература
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Аменицкий Н.Н. Забавная арифметика. -М.: Просвещение. 1992.
Гайдштут А.Г. Приемы интенсификации обучения математике
в 4-5 классах.. -Киев. -1980.
Колягин Ю.М., Луканкин Н.Г., Мокрушин Е.Л. и др.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная
методика. -М.: Просвещение. -1977.
Аут К.Х., Виленкин Н.Я. О роли основных принципов
дидактики в преподавании школьного курса математики //
Математика в школе. -1987. - №1.
Лященко Н.Н., Никулин М.С., Соколовский И.Ф., Фадеев Д.К.
Задачи по алгебре для 6-8 классов. -М.: Просвещение. -1988.
Гусев В.А. и др. Практикум по решению задач. -М.:
Просвещение. -1985.
Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. -М.:
Педагогика.-1986.
Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней
школе. Часть 1. -М.: Просвещение. -1977.
Кордемский Б.А.. Увлечь школьников математикой. // М.:
Просвещение. -1981.
Лященко Е.И., Зобкова К.В. и др. Лабораторные и
практические работы по методике преподавания математики. М.: Просвещение. -1988.
Пойа Д. Как решать задачи. -М.: Наука. -1970
Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.:
Просвещение. -1985.
Стратилатов П.В. О системе работы учителя математики. -М.:
Просвещение. -1984.
Тершин Н.А. Прикладная направленность школьного курса
математики. -М.: Просвещение. -1984.
Федин Н.Г. и др. Сборник вопросов и упражнений по
методике преподавания математики. -М.: Просвещение, 1967.
Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения
математике в школе. -М.: Просвещение. -1983.
Нурк Э. Р. и др. Математика: Учебник для 5-6кл. -М.:
Просвещение, 1990.
65
18 Виленкин Н. Я. и др. Математика: Учебник для 5, 6 класса ср.
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
школы. - М.: Просвещение. -1991.
Миндюк Н. Г. и др. Учебник алгебры для 7-8-9 класса.- М.:
Просвещение. -1989.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. -М.:
Просвещение. -1990.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Учебник для 9-10кл. ср.
школы. -М.: Просвещение. -1990.
Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7-11кл. ср. школы.М.: Просвещение. -1992.
Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра в 6-8кл. Пособие для учителя.–
М.: Просвещение. -1988.
Березина Л.Ю. и др. Геометрия в 7-9кл. Пособие для учителя.М.: Просвещение. -1990.
Денищева Л.О. и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 кл.
Пособие для учителя. -М.: Просвещение. - 1988.
Фадеев Д.К. и др. Задачи по алгебре для 6-8кл. -М.:
Просвещение. -1988.
Герасимова И.С. и др. Сборник задач по геометрии для 9-10
кл. - М.: Просвещение. -1977.
Ивлев Б.М. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа
для 9-10кл. -М.: Просвещение. -1978.
Денищева Л.О. и др. Планирование обязательных результатов
обучения математике. -М.: Просвещение. -1989.
Апанасов П. Т. и др. Сборник математических задач с
практическим содержанием. -М.: Просвещение. -1987.
Белиманов М. И.. Уравнения и неравенства. Учебное
руководство. -М.: Просвещение. -1986.
Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе.-М.:
Просвещение. -1988.
Шарыгин И.Ф. Сборник задач по геометрии. -М.: Наука. -1984.
Якуба Э.Г. Совершенствовать методическое мастерство
учителей математики // Математика в школе. -1987. -№6.
66
Содержание
Введение
3
1 Практические занятия
5 - 55
1.1 №1. Планирование учебного процесса по математике в средней школе
1.2 №2. Подготовка учителя к работе над темой
1.3 №3. Подготовка учителя к уроку
1.4 №4. Научные методы в преподавании математики
1.5 №5. Оценка знаний и умений учащихся учителем
1.6 №6. Определения математических понятий. Виды
теорем и методика их доказательства
1.7 №7. Обучение решению математических задач
1.8 №8. Анализ урока по математике
1.9 №9. Методика решения математических стереометрических задач на построение
1.10 №10. Самостоятельная работа учащихся
1.11 №11. Дифференцированный подход в обучении математике
1.12 №12. Нестандартные уроки по математике
1.13 №13. Внеклассная работа по математике
5
8
12
16
20
26
29
35
39
41
43
45
47
2 Методические рекомендации к написанию
курсовых и дипломных работ по теории 55-69
56
обучения математике
2.1 Выбор темы исследования
2.2 Составление плана
2.3 Организация и проведение исследовательской работы
2.4 Оформление работы
2.5 Критерии оценки курсовой и дипломной работы
57
Литература
65
Содержание
67
67
58
61
62
Учебное пособие
Мубараков Акан Мукашевич
Захарова Ольга Александровна
Абдрахманова Асель Маратовна
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ И МЕТОДИКЕ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Подписано к печати 27.02.03. Формат 29,742´½.
Объем 2,8 усл.печ.л.. Тираж 200. Заказ ____.
Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова
637000. г. Павлодар, ул. Ломова – 64.
68
