ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
В. П. ГРИГОРЬЕВ, Ю. А. ДУБИНСКИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Допущено
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов образовательных учреждений
среднего профессионального образования, обучающихся
по группе специальностей 2200
«Информатика и вычислительная техника»
10е издание, стереотипное
ÓÄÊ 51(075.32)
ÁÁÊ 22.1ÿ723
Ã834
Ð å ö å í ç å í ò û:
äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî èíñòèòóòà ñòàëè è
ñïëàâîâ (ÒÓ) Ò. Í. Ñàáóðîâà (çàâ. êàôåäðîé — ïðîô. Á. Ã. Ðàçóìåéêî);
ïðåïîäàâàòåëü Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî êîëëåäæà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé
Â. Ï. Ðîäè÷åâ
Ã834
Ãðèãîðüåâ Â. Ï.
Ýëåìåíòû âûñøåé ìàòåìàòèêè : ó÷åáíèê äëÿ ñòóä. ó÷ðåæäåíèé ñðåä. ïðîô. îáðàçîâàíèÿ / Â.Ï.Ãðèãîðüåâ, Þ. À.Äóáèíñêèé. —
10-å èçä., ñòåð. — Ì. : Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2014. —
320 ñ.
ISBN 978-5-4468-0784-0
 ó÷åáíèêå ïðåäñòàâëåíû âñå îñíîâíûå ðàçäåëû âûñøåé ìàòåìàòèêè: ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ, ëèíåéíîé àëãåáðû, àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ; ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè; îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
Òåîðåòè÷åñêóþ ÷àñòü ó÷åáíèêà äîïîëíÿåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷; â ïðèëîæåíèè äàíî êðàòêîå îïèñàíèå ïàêåòà ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì ïî
ìàòåìàòèêå MAPLE.
Ó÷åáíèê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè èçó÷åíèè äèñöèïëèíû â åñòåñòâåííîíàó÷íîì öèêëå â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè ÔÃÎÑ ÑÏÎ äëÿ óêðóïíåííîé
ãðóïïû ñïåöèàëüíîñòåé 230000 «Èíôîðìàöèîííàÿ è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà».
Äëÿ ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé ó÷ðåæäåíèé ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ.
ÓÄÊ 51(075.32)
ÁÁÊ 22.1ÿ723
Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà
«Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì áåç ñîãëàñèÿ ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Ãðèãîðüåâ Âàëåðèé Ïåòðîâè÷, Äóáèíñêèé Þëèé Àíäðååâè÷
Ýëåìåíòû âûñøåé ìàòåìàòèêè
Ó÷åáíèê
Ðåäàêòîð Ë. Â. ×åñòíàÿ. Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Å. Ô. Êîðæóåâà.
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà: Ä. Â. Ôåäîòîâ. Êîððåêòîðû Ã. Í. Ïåòðîâà, Â. À. Æèëêèíà
Èçä. ¹ 110106426. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 10.02.2014. Ôîðìàò 60 × 90/16. Ãàðíèòóðà «Òàéìñ».
Áóìàãà îôñåòíàÿ ¹ 1. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 20,0. Òèðàæ 2 500 ýêç. Çàêàç ¹
ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ». www.academia-moscow.ru
129085, Ìîñêâà, ïð-ò Ìèðà, 101Â, ñòð. 1.
Òåë./ôàêñ: (495) 648-0507, 616-00-29.
Ñàíèòàðíî-ýïèäåìèîëîãè÷åñêîå çàêëþ÷åíèå ¹ ÐÎÑÑ RU. AE51. H 16476 îò 05.04.2013.
Îòïå÷àòàíî ñ ýëåêòðîííûõ íîñèòåëåé, ïðåäîñòàâëåííûõ èçäàòåëüñòâîì,
â ÎÀÎ «Ñàðàòîâñêèé ïîëèãðàôêîìáèíàò». www.sarpk.ru
410004, ã. Ñàðàòîâ, óë. ×åðíûøåâñêîãî, 59.
ISBN 978-5-4468-0784-0
© Ãðèãîðüåâ Â. Ï., Äóáèíñêèé Þ. À., 2011
© Îáðàçîâàòåëüíî-èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2011
© Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2011
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Ñîäåðæàíèå ó÷åáíèêà ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì Ãîñóäàðñòâåííîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ñòàíäàðòà äëÿ ñïåöèàëüíîñòåé òåõíè÷åñêîãî ïðîôèëÿ ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, òàêèõ, êàê
«Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû, êîìïëåêñû, ñèñòåìû è ñåòè» (2201),
«Àâòîìàòèçèðîâàííûå ñèñòåìû îáðàáîòêè èíôîðìàöèè è óïðàâëåíèÿ» (2202), «Ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è àâòîìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåì» (2203).
Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî êíèãà áóäåò âîñòðåáîâàíà ïðè ðåàëèçàöèè ó÷åáíûõ ïðîãðàìì ïî ìàòåìàòèêå è äëÿ äðóãèõ ñïåöèàëüíîñòåé.
Äåëî â òîì, ÷òî ó÷åáíûé ìàòåðèàë, ïðåäñòàâëåííûé â êíèãå,
ñîîòâåòñòâóåò òîé áàçîâîé ÷àñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ,
êîòîðàÿ äëÿ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé êàê äàëüíåéøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, òàê è ïðèëîæåíèé ê ðåøåíèþ òåõíè÷åñêèõ çàäà÷, îòâå÷àþùèõ êîíêðåòíûì ïðîáëåìàì.
×òî êàñàåòñÿ ìåòîäèêè èçëîæåíèÿ, òî àâòîðû ñòðåìèëèñü äîáèòüñÿ ìàêñèìàëüíîãî óðîâíÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè è áåçóñëîâíî èñêëþ÷èòü êàêèå-ëèáî íåäîãîâîðåííîñòè íàó÷íîãî õàðàêòåðà.  òåõ æå ìåñòàõ, ãäå ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì ïîëíîãî îáîñíîâàíèÿ òåîðåì äàòü íåâîçìîæíî, ïðèâîäÿòñÿ «íåôîðìàëüíûå» ðàçúÿñíåíèÿ ñóùåñòâà ñôîðìóëèðîâàííûõ óòâåðæäåíèé, à òàêæå ïîÿñíÿþùèå ðèñóíêè è êîíêðåòíûå ïðèìåðû.
Òàêîìó ïîäõîäó èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà ñïîñîáñòâóåò è ñîâðåìåííàÿ òåíäåíöèÿ øèðîêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ îáó÷àþùèõ
ïðèêëàäíûõ ïàêåòîâ â ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ. Ðàçóìååòñÿ, äàæå ñàìûå ëó÷øèå ïàêåòû îáó÷àþùèõ ïðîãðàìì íå ìîãóò
çàìåíèòü âäóì÷èâîãî èçó÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâ ìàòåìàòèêè.
Îäíàêî â ñàìîì ïðîöåññå îñâîåíèÿ ó÷åáíûõ ïðîãðàìì èõ ñáàëàíñèðîâàííîå èñïîëüçîâàíèå âåñüìà ïîëåçíî è ñóùåñòâåííî. Ïîýòîìó â äîïîëíåíèå ê îñíîâíîìó òåêñòó êíèãè äàíî ïðèëîæåíèå
êðàòêîå îïèñàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà MAPLE, ïðèìåíèìîå ê
ëþáîé åãî âåðñèè. Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî ýòîò ïàêåò áóäåò èñïîëüçîâàí ÷èòàòåëÿìè ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, ñîîòâåòñòâóþùèõ îñíîâíîìó òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó êíèãè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîìî÷ü ÷èòàòåëþ ëó÷øå îðèåíòèðîâàòüñÿ â òåêñòå,
à òàêæå â ñòðóêòóðå è â ëîãèêå äîêàçàòåëüñòâà, èñïîëüçîâàí ñïåöèàëüíûé çíàê p, îçíà÷àþùèé îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà.
Àâòîðû áóäóò áëàãîäàðíû âñåì ÷èòàòåëÿì, êîòîðûå ñîîáùàò ñâîè
çàìå÷àíèÿ è ïîæåëàíèÿ ïî àäðåñó: 111250, Ìîñêâà, Êðàñíîêàçàðìåííàÿ óë., 14, ÌÝÈ (ÒÓ), êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
3
Ã Ë À  À 1
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
1.1. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ â ìàòåìàòèêå áàçèðóþòñÿ íà
íàøèõ èíòóèòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ îá îáúåêòàõ è èõ ñâîéñòâàõ. Îäíèì èç òàêèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî íåëüçÿ îïðåäåëèòü ÷åðåç êàêèå-òî óæå èçâåñòíûå
ïîíÿòèÿ, ýòî âîçìîæíî òîëüêî áëàãîäàðÿ èíòóèòèâíûì, ò. å. ïîëó÷åííûì èç îïûòà, ïðåäñòàâëåíèÿì. Ñëîâî «ìíîæåñòâî» èñïîëüçóåòñÿ è â áûòó. Ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ïî
ñìûñëó ïî÷òè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò «áûòîâîãî» ïîíÿòèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ðàññìîòðåíèè íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ, îáúåäèíÿåìûõ ïî êàêîìó-òî ïðèçíàêó, óïîòðåáëÿåòñÿ ñëîâî «ìíîæåñòâî». Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ â ãðóïïå; ìíîæåñòâî àâòîìîáèëåé,
âûïóùåííûõ çàâîäîì çà ãîä; ìíîæåñòâî ãðèáîâ â äàííîì ëåñó. Ýòè
ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî â îäíèõ ñëó÷àÿõ ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü
ëåãêî îõàðàêòåðèçîâàíî íåêîòîðûì ÷èñëîì, à â äðóãèõ ýòî ñäåëàòü çíà÷èòåëüíî òðóäíåå, õîòÿ, â ïðèíöèïå, âñåãäà âîçìîæíî.
Íî âñòðå÷àþòñÿ òàêèå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíîñòü «ïåðåñ÷åòà» âñåõ èõ ýëåìåíòîâ íåî÷åâèäíà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà
íåëüçÿ ñîñ÷èòàòü, ò. å. îõàðàêòåðèçîâàòü êàêèì-ëèáî ÷èñëîì. Åñëè
íà÷àòü ýòîò ïåðåñ÷åò, òî îí íèêîãäà íå çàêîí÷èòñÿ. Ñóùåñòâóåò
ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé íàáîð èç ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ
÷èñåë óâåëè÷èòü åùå íà åäèíèöó. Ïîýòîìó íèêàêîå ÷èñëî íå ãîäèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë.
Èõ êîëè÷åñòâî áåñêîíå÷íî.
Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì. Åñëè íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ÷èñëà, îïðåäåëÿþùåãî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå,
òî òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì. Òàê, ìíîæåñòâî àâòîìîáèëåé, âûïóùåííûõ çàâîäîì, êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî.
Ê ÷èñëó ìíîæåñòâ îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì îòíåñòè è ïóñòîå ìíîæåñòâî, ò. å. ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà. Åãî
ðîëü àíàëîãè÷íà ðîëè íóëÿ â àðèôìåòèêå ÷èñåë.
4
Ìíîæåñòâà îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: A, B, C, à èõ ýëåìåíòû ìàëûìè áóêâàìè: a, b, c. Ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòà äàííîìó ìíîæåñòâó îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a ∈ À. Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî a ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À. Åñëè æå a íå
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À, òî ïèøóò a ∉ A. Äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ: À ⊂
 âñå ìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå B (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B); A = B ëþáîé
ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B è íàîáîðîò,
ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ. Êðîìå îïèñàòåëüíûõ ñïîñîáîâ, êîòîðûå áûëè óïîìÿíóòû âûøå, êîãäà îïðåäåëÿëèñü ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ, ïî êîòîðûì îíè îáúåäèíÿëèñü â îäíî
ìíîæåñòâî, ìîæíî, íàïðèìåð, ïåðå÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ãîðîäîâ, âõîäÿùèõ â ìàðøðóò «Çîëîòîå êîëüöî Ðîññèè», ñîñòîèò èç Ñåðãèåâà Ïîñàäà, Ïåðåñëàâëÿ-Çàëåññêîãî, Ðîñòîâà, ßðîñëàâëÿ, Êîñòðîìû, Ñóçäàëÿ è Âëàäèìèðà.
Ìîæíî çàäàòü ìíîæåñòâî ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé çàïèñè: A = {1, 4,
¾, n2, ¾}. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñïîñîá, êîãäà óêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà
ýëåìåíòîâ ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèìâîëîâ. Íàïðèìåð, A =
= {x: x 2 + 3x − 2 > 0} åñòü ìíîæåñòâî âñåõ x, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óêàçàííîå íåðàâåíñòâî.
Íàèáîëåå âàæíûå îïåðàöèè, êîòîðûå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñ äâóìÿ ìíîæåñòâàìè A è B, îáúåäèíåíèå äâóõ ìíîæåñòâ è ïîñòðîåíèå èõ ïåðåñå÷åíèÿ.
Îáúåäèíåíèå äâóõ ìíîæåñòâ íîâîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç
ýëåìåíòîâ êàê ìíîæåñòâà A, òàê è ìíîæåñòâà B. Ýòî ìíîæåñòâî
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A U B.
Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, â êîòîðîå
âõîäÿò òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàò
îáîèì ìíîæåñòâàì A è B. Îáîçíà÷àåòñÿ ýòî ìíîæåñòâî ÷åðåç A I B.
Íàïðèìåð, ïóñòü A = {x: x 2 − 3x + 2 = 0}, B = {1, 3, 5, 7}. Òîãäà,
ïîñêîëüêó óðàâíåíèå x 2 − 3x + 2 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: x1 = 1 è x 2 = 2,
A U B = {1, 2, 3, 5, 7}, A I B = {1}.
Îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñ
ëþáûì êîíå÷íûì ÷èñëîì ìíîæåñòâ, à òàêæå è ñ áåñêîíå÷íûì
÷èñëîì. Íàïðèìåð, ïóñòü Àn = {n}, ãäå n öåëîå ïîëîæèòåëüíîå
÷èñëî. Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî ÷åðåç N, áóäåò ñîâïàäàòü ñ îáúåäèíåíèåì âñåõ ìíîæåñòâ Àn äëÿ
n = 1, 2, ¾ . Ýòîò ôàêò ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå:
∞
N = U An .
n =1
Êîãäà îáúåäèíÿåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî ìíîæåñòâ À1, À2, ¾, Àn,
n
îáúåäèíåíèå îáîçíà÷àåòñÿ êàê U Ak . Àíàëîãè÷íî îáîçíà÷àþò ïåðån
k =1
ñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ: ëèáî I Ak â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ÷èñëà «ïåðåk =1
5
∞
ñåêàþùèõñÿ» ìíîæåñòâ, ëèáî I Ak åñëè èõ ÷èñëî áåñêîíå÷íî.
k =1
Ïóñòîå ìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî ÷åðåç ∅, ïðè îáúåäèíåíèè èãðàåò ðîëü íóëÿ ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë: äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà
A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A U ∅ = A.
1.2. Êîíå÷íûå è áåñêîíå÷íûå, ñ÷åòíûå
è íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà
Åñëè êîíå÷íûå ìíîæåñòâà õàðàêòåðèçóþòñÿ êîëè÷åñòâîì ñâîèõ
ýëåìåíòîâ, âûðàæàåìûì êîíå÷íûì ÷èñëîì, òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ òàêîé õàðàêòåðèñòèêè íå ñóùåñòâóåò. Óïîòðåáëÿåòñÿ ñèìâîë ∞, êîòîðûé óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì, íî ýòîò ñèìâîë íå òàê õîðîøî õàðàêòåðèçóåò ìíîæåñòâî,
êàê êîíå÷íîå ÷èñëî. Åñëè ìíîæåñòâî êîíå÷íî è èçâåñòíî ÷èñëî åãî
ýëåìåíòîâ, òî ýòî ÷èñëî ãîâîðèò íå òîëüêî î êîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà, íî è î òîì, íàïðèìåð, íà ñêîëüêî ðàâíûõ ãðóïï åãî ìîæíî
ðàçáèòü. Áîëåå òîãî, âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ îáëàäàþò îäíèìè è òåìè æå ñâîéñòâàìè, ìåæäó
ëþáûìè äâóìÿ òàêèìè ìíîæåñòâàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, êîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó îäíîãî ìíîæåñòâà ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäèí ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà è
ïðè ýòîì ëþáîìó ýëåìåíòó âòîðîãî ìíîæåñòâà ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå òîëüêî îäèí ýëåìåíò èç ïåðâîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð,
ïóñòü A = {1, 3, 5, 7} è B = {2, 6, 10, 14}. Òîãäà, ñòàâÿ â ñîîòâåòñòâèå
êàæäîìó ÷èñëó Õ èç ìíîæåñòâà À òî ÷èñëî èç ìíîæåñòâà Â, êîòîðîå ðàâíî 2Õ, ïîëó÷èì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
ìíîæåñòâàìè À è Â.
Ñ áåñêîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè äåëî îáñòîèò ñëîæíåå: ìåæäó
íåêîòîðûìè áåñêîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, à ìåæäó íåêîòîðûìè íåëüçÿ.
Íàèáîëåå ïðèâû÷íîå íàì áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N = {1, 2, 3, ¾, n, ¾}. Äðóãèå áåñêîíå÷íûå
ìíîæåñòâà, íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå â ìàòåìàòèêå, ýòî:
· Z ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (âêëþ÷àÿ 0, ïîëîæèòåëüíûå è
îòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà);
· R1 ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (âñå îáû÷íûå ÷èñëà,
íàçûâàåìûå åùå âåùåñòâåííûìè);
· Q ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë (÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî
m
ïðåäñòàâèòü â âèäå äðîáè , ãäå m è n ∉ Z, n ≠ 0);
n
· [a, b], ãäå a < b äâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëà; ýòî ìíîæåñòâî,
íàçûâàåìîå îòðåçêîì, ñîñòîèò èç âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë Õ,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì:
6
a ≤ Õ ≤ b;
· Rn = { x : x = (x1, x 2, ¾, xn), xj ∈ R1, j = 1, 2, ¾, n}, n ∈ N. Ýòî
ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n äåéñòâèòåëü2
íûõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, íàáîðû ÷èñåë (−5; 3 ; 0), ( ; 4; −1, 5) ÿâëÿ7
þòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà R3.
Âàæíóþ ðîëü â òåîðèè áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ èãðàþò ñ÷åòíûå
ìíîæåñòâà. Ýòî òàêèå áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ ìîæíî çàíóìåðîâàòü, ò. å. óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íèìè è ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N = {1,
2, ¾, n, ¾}.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷åòíûõ ÷èñåë N2 = {2, 4, ¾,
2n, ¾} áóäåò ñ÷åòíûì. Åãî ëåãêî çàíóìåðîâàòü, ò. å. êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà äàòü ñâîé íîìåð: ÷èñëó 2 äàäèì íîìåð 1, ñëåäóþùåìó ÷èñëó 4 — íîìåð 2 è âîîáùå, ÷èñëó 2n — íîìåð n. Òàêèì
îáðàçîì êàæäîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïîëó÷èëî ñâîé íîìåð.
Íàïðèìåð, ÷èñëî 100 áóäåò èìåòü íîìåð 50. Çäåñü ìû ñòàëêèâàåìñÿ
ñ óäèâèòåëüíûì ôàêòîì: ÷åòíûå ÷èñëà, ñîñòàâëÿþùèå ïîëîâèíó
âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæàò òàêîå æå «êîëè÷åñòâî» ÷èñåë,
êàê è ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñëîâî «êîëè÷åñòâî» çäåñü
óæå íåóìåñòíî, è ïîýòîìó ãîâîðÿò èíà÷å: ìíîæåñòâà N2 è N èìåþò
îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà — ýòî
òàêèå ìíîæåñòâà, êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü ñ ìíîæåñòâîì N. Òàêèõ ìíîæåñòâ äîâîëüíî ìíîãî. Íî íå âñåãäà áûâàåò ïðîñòî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì. Òàê, íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë — áóäåò ñ÷åòíûì.
Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà íåñêîëüêî òÿæåëîâåñíî, ïîýòîìó çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ. Ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê «ìèíèìàëüíîå» áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî: ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî
ëþáîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ñ÷åòíûì. Ïîýòîìó íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà,
êîòîðîå íå ñîäåðæàëî áû ñ÷åòíîãî ïîäìíîæåñòâà, ò. å. íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, êîòîðîå áûëî áû â ýòîì ñìûñëå
«ìåíüøå», ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëþáîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì. Ýòîò è åùå íåñêîëüêî ôàêòîâ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà:
· îáúåäèíåíèå äâóõ è áîëåå (â êîíå÷íîì ÷èñëå) ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíî;
· îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíî;
· ñóùåñòâóþò íåñ÷åòíûå áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ïðèìåðàìè
êîòîðûõ ìîãóò ñëóæèòü òàêèå ìíîæåñòâà, êàê [a, b], R1, Rn.
Èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì, ó íåãî äðóãàÿ è, åñòåñòâåííî,
áëüøàÿ ìîùíîñòü. Ýòó ìîùíîñòü îáû÷íî íàçûâàþò ìîùíîñòüþ
êîíòèíóóìà. Ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà îáëàäàþò ìíîãèå ÷èñëîâûå
7
ìíîæåñòâà: êðîìå âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R1, ýòî âñåâîçìîæíûå îòðåçêè [a, b], êîíå÷íûå èíòåðâàëû (a, b) = {X | a < X < b},
ïîëóèíòåðâàëû [a, b) = {X | a ≤ X < b}, (a, b] = {X | a < X ≤ b}; áåñêîíå÷íûå ïîëóèíòåðâàëû [a, +∞) = {X | a ≤ X}, (−∞, a] = {X | X ≤ a}; áåñêîíå÷íûå èíòåðâàëû (a, +∞) = {X | a < X}, (−∞, a) = {X | X < a} è,
íàêîíåö, R1 òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå áåñêîíå÷íîãî
èíòåðâàëà (−∞, +∞).
1.3. ×èñëîâûå ìíîæåñòâà. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Òåîðèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåîáõîäèìà äëÿ îáîñíîâàííîãî
èñïîëüçîâàíèÿ èõ ñâîéñòâ ïðè ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ è âûêëàäêàõ. Ñâîéñòâà ÷èñåë äîñòàòî÷íî õîðîøî èçâåñòíû
èç øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè, è âñå âûøåïðèâåäåííûå óïîìèíàíèÿ î íèõ áàçèðîâàëèñü èìåííî íà ýòèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè èíòóèòèâíûõ. Íî âî ìíîãèõ äîêàçàòåëüñòâàõ,
ãäå ñóòü äåëà ïîðîé ïðîñìàòðèâàåòñÿ ñ òðóäîì, ÷åòêàÿ àðãóìåíòàöèÿ è ññûëêè íà êîíêðåòíûå ôàêòû ñòàíîâÿòñÿ íåîáõîäèìûìè íå
òîëüêî äëÿ óñïåøíîãî ïðîâåäåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà, íî è äëÿ åãî
âîñïðèÿòèÿ è ïîíèìàíèÿ.  äàííîì êóðñå íåöåëåñîîáðàçíî èçëàãàòü òåîðèþ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë â ïîëíîì îáúåìå, êàê ýòî îáû÷íî
äåëàåòñÿ â êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Çäåñü áóäåò äàí íàáîð
àêñèîì, ôèêñèðóþùèõ âñå ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà ÷èñåë, è
òî÷íîå îïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïðèãîäíîå äëÿ âñåõ
ïîñëåäóþùèõ ïðèìåíåíèé â ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ. Ýòî
äåëàåòñÿ íà îñíîâå àêñèîìàòèêè.
Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìíîæåñòâî R1 íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, à åãî ýëåìåíòû äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, åñëè è
òîëüêî åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, íàçûâàåìûå àêñèîìàìè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Àêñèîìû ñëîæåíèÿ
Íà ìíîæåñòâå R1 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ, êîãäà êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, ó èç R1 ñòàâèòñÿ â
ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò x + ó ∈ R1, íàçûâàåìûé ñóììîé x è
ó. Ïðè ýòîì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 0 (íàçûâàåìûé íóëåì) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R1 x + 0 = 0 + x = x;
2) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ R1 íàéäåòñÿ â R1 ýëåìåíò −x (íàçûâàåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê x) òàêîé, ÷òî x + (−x) = (−x) + x = 0;
3) îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è ó èç R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî x + ó = ó + x;
4) îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, ó è z èç R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (x + ó) + z =
= x + (ó + z).
8
Àêñèîìû óìíîæåíèÿ
Íà ìíîæåñòâå R1 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ, êîãäà êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, ó èç R1 ñòàâèòñÿ â
ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò xó ∈ R1, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì x è ó. Ïðè ýòîì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 1 (íàçûâàåìûé åäèíèöåé)
òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
x · 1 = 1 · x = x;
2) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ {R1 \ 0} íàéäåòñÿ â {R1 \ 0} ýëåìåíò
−1
x (íàçûâàåìûé îáðàòíûì ê õ) òàêîé, ÷òî xx −1 = x −1x = 1;
3) îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è ó èç R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî õó = óõ;
4) îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y è z èç R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (õy)z =
= õ(yz);
5) îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ äèñòðèáóòèâíà ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ õ, y è z
èç R1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (õ + y)z = õz + yz.
Àêñèîìû ïîðÿäêà
Äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ x, y èç R1 óñòàíîâëåíî, âûïîëíÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèå x ≤ y èëè íåò. Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
1) äëÿ ëþáîãî x èç R1 x ≤ x;
2) åñëè x ≤ y è ó ≤ x, òî x = ó;
3) åñëè x ≤ y è ó ≤ z, òî x ≤ z;
4) äëÿ ëþáûõ x è y èç R1 ëèáî x ≤ y, ëèáî y ≤ x;
5) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, ó è z èç R1 ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: åñëè x ≤ y, òî x + z ≤ y + z;
6) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è ó èç R1 ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå:
åñëè 0 ≤ x è 0 ≤ y, òî 0 ≤ õy.
Àêñèîìà ïîëíîòû
Åñëè E è Y äâà íåïóñòûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâà, îáëàäàþùèõ
òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ x èç E è y èç Y ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå x ≤ y, òî ñóùåñòâóåò β ∈ R1 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ x èç E è y èç Y ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå x ≤ β ≤ y.
Çàìå÷àíèå. Åñëè äëÿ ëþáûõ x ∈ E è y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x ≤ y, òî ãîâîðÿò, ÷òî E ≤ Y. Àêñèîìà ïîëíîòû òðåáóåò, ÷òîáû
äëÿ ëþáîé ïàðû ìíîæåñòâ E è Y, ò. å. òàêèõ, ÷òî Å ≤ Y, ñóùåñòâîâàëî áû äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî β òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x ∈ Å è y ∈ Y
âûïîëíÿëèñü áû íåðàâåíñòâà x ≤ β ≤ y.
Ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìà àêñèîì, ÿâëÿÿñü íåïðîòèâîðå÷èâîé, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òàêîé ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êàê äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Èç àêñèîì ìîãóò áûòü âûâåäåíû âñå àëãåáðàè÷åñêèå
ñâîéñòâà ÷èñåë, à òàêæå ñâîéñòâà èõ íåïðåðûâíîñòè (ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ÷èñëàìè âñåãäà åñòü äðóãèå ÷èñëà).
9
Ìíîãèå èç ýòèõ àêñèîì, ñîãëàñóÿñü ñ íàøåé èíòóèöèåé, êàæóòñÿ íàñòîëüêî «åñòåñòâåííûìè», ÷òî âûçûâàþò íåäîóìåíèå. Íî äëÿ
÷åòêî àðãóìåíòèðîâàííîé òåîðèè îíè íåîáõîäèìû, âñå ñâîéñòâà
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë äîëæíû âûòåêàòü èç ýòèõ àêñèîì. Íåêîòîðûå èç ýòèõ àêñèîì íàîáîðîò, êàæóòñÿ íåïîíÿòíûìè. Íàïðèìåð,
àêñèîìà ïîëíîòû, åå íàçûâàþò åùå àêñèîìîé íåïðåðûâíîñòè.
Öåëåñîîáðàçíîñòü ýòîé àêñèîìû ëåã÷å ïîíÿòü, åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü åå â äåéñòâèè. Äëÿ äàëüíåéøåãî îêàçûâàåòñÿ âàæíîé ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î òàê íàçûâàåìîé âåðõíåé ãðàíè ìíîæåñòâà. Äîêàæåì ýòó òåîðåìó, îïèðàÿñü íà àêñèîìó ïîëíîòû, ïðåäâàðèòåëüíî
äàâ íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó
(ñíèçó), åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî M òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x ≤ M (x ≥ M ).
Îïðåäåëåíèå 1.3. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè îíî
ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îãðàíè÷åííûì ñíèçó è îãðàíè÷åííûì ñâåðõó.
Îïðåäåëåíèå 1.4. ×èñëî M, ôèãóðèðóþùåå â îïðåäåëåíèè 1.2,
íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X.
 íåêîòîðûõ êíèãàõ ìîæíî âñòðåòèòü òåðìèí: M ìàæîðàíòà
(ìèíîðàíòà) ìíîæåñòâà X.
Îïðåäåëåíèå 1.5. Íàèìåíüøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà X
íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ (èëè òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöåé) ìíîæåñòâà X è îáîçíà÷àåòñÿ sup X (÷èòàåòñÿ «ñóïðåìóì X»).
Îïðåäåëåíèå 1.6. Íàèáîëüøàÿ èç íèæíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà X
íàçûâàåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ (èëè òî÷íîé íèæíåé ãðàíèöåé) ìíîæåñòâà X è îáîçíà÷àåòñÿ inf X (÷èòàåòñÿ «èíôèìóì X»).
Äàííûå îïðåäåëåíèÿ òðåáóþò óòî÷íåíèÿ: âåäü íå êàæäîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî X = (0, 1] ñîäåðæèò íàèáîëüøèé ýëåìåíò x = 1,
íî íå ñîäåðæèò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà, òàê êàê 0 ∉ X. Ýòîò âîïðîñ
ðåøàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà. Åñëè íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî ñâåðõó,
òî ó íåãî ñóùåñòâóåò âåðõíÿÿ ãðàíü, ò. å. sup X, è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà åäèíñòâåííîñòü sup X. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóþò äâå âåðõíèõ ãðàíè A = sup X è B =
= sup X. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ sup X, òàê êàê A è B ÿâëÿþòñÿ
íàèìåíüøèìè âåðõíèìè ãðàíèöàìè ìíîæåñòâà X, òî A ≤ B è B ≤ A.
Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà A = B, ò. å. sup X, åñëè îíà
ñóùåñòâóåò, òî îíà åäèíñòâåííà.
Äîêàæåì òåïåðü ñóùåñòâîâàíèå sup X. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
Y, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå âåðõíèå ãðàíèöû
ìíîæåñòâà X. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû X íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî òàê æå, êàê è Y. Î÷åâèäíî, ÷òî X ≤ Y.
 ñèëó àêñèîìû ïîëíîòû ñóùåñòâóåò ÷èñëî β òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ
x ∈ X è y ∈ Y âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà x ≤ β ≤ y. Ïî îïðåäåëåíèþ
10
âåðõíåé ãðàíèöû ìíîæåñòâà X, ÷èñëî β ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì (x ≤ β).
Âòîðàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà β ≤ y ïîêàçûâàåò, ÷òî β ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé èç âñåõ âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà X, ò. å.
β = sup X. p
Ñëåäñòâèå. Ó íåïóñòîãî ìíîæåñòâà E, îãðàíè÷åííîãî ñíèçó,
ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ íèæíÿÿ ãðàíü inf E.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîæåñòâî Å îãðàíè÷åíî ñíèçó, òî ìíîæåñòâî G, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë (−x), ãäå x ∈ Å, áóäåò ìíîæåñòâîì,
îãðàíè÷åííûì ñâåðõó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ÷èñëî M îãðàíè÷èâàåò
ìíîæåñòâî Å ñíèçó (M ≤ x), òî ÷èñëî (−Ì ) îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî G ñâåðõó (−x ≤ −Ì ). Ïîýòîìó, â ñèëó òåîðåìû, ñóùåñòâóåò è
ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü sup G. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ inf Å = −sup G. p
Çàìå÷àíèå. Ñàìè ÷èñëà sup X è inf X ìîãóò êàê ïðèíàäëåæàòü
ñàìîìó ìíîæåñòâó X, òàê è íå ïðèíàäëåæàòü. Íàïðèìåð, åñëè X =
= (0, 1], òî sup X = 1, à inf X = 0.  äàííîì ñëó÷àå sup X ∈ X, à
inf X ∉ X. Äëÿ ìíîæåñòâà Y = [0, 1), íàîáîðîò, sup Y ∉ Y, à inf Y ∈ Y.
Äëÿ ìíîæåñòâà E = (0, 1) íè âåðõíÿÿ, íè íèæíÿÿ ãðàíè íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó.
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ
1. Ïóñòü A è B äâà ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà C, ò. å. A ⊂ C è B ⊂ C.
Äîïîëíåíèåì ïîäìíîæåñòâà A äî ìíîæåñòâà C íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òåõ
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà C, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A. Îáîçíà÷àåòñÿ ýòî ìíîæåñòâî ÷åðåç A . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâî B
äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà B. Ðàçóìååòñÿ, A ⊂ C è B ⊂ C, ò. å. è A , è B
ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà C.
Äîêàæèòå ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ A U B = A I B .
2. Ïóñòü ìíîæåñòâî Ω ìíîæåñòâî äèàãîíàëåé â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF. Îïèøèòå ìíîæåñòâî Ω, ïåðå÷èñëèâ âñå åãî ýëåìåíòû.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì.
4. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè ìåæäó ýëåìåíòàìè äâóõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ
ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî ýòè ìíîæåñòâà
èìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà êîíå÷íûõ îòðåçêà [a, b] è [c, d ] (a < b, c < d ), ðàññìàòðèâàåìûå êàê ìíîæåñòâà ÷èñåë x è y,
óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, èìåþò îäèíàêîâóþ
ìîùíîñòü.
5. Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî ÷èñåë îòðåçêà [−5, 2]. Íàéäèòå sup Ω è inf Ω.
6. Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî ÷èñåë èíòåðâàëà (1, 4). Íàéäèòå sup Ω è inf Ω.
(−1) n
, ãäå n ∈ N.
7. Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî ÷èñåë âèäà 3 + (−1)n +
n
Íàéäèòå sup Ω è inf Ω.
x
. Äîêàæèòå, ÷òî
8. Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè ó =
1 + x2
ýòî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî.
Ã Ë À  À 2
ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ
2.1. Ìàòðèöû è äåéñòâèÿ íàä íèìè
 ìàòåìàòèêå ïðè ðåøåíèè ðÿäà çàäà÷, íàïðèìåð ïðè ðåøåíèè
ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì òàêîå ïîíÿòèå, êàê ìàòðèöà. Ïîä ìàòðèöåé ïîíèìàþò òàáëèöó ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû, çàïîëíåííóþ ÷èñëàìè èëè ñèìâîëàìè,
èõ îáîçíà÷àþùèìè. Îáîçíà÷àþò ýòè îáúåêòû áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè, à ñàìó òàáëèöó çàêëþ÷àþò â ñêîáêè êðóãëûå, êâàäðàòíûå èëè äðóãîé ôîðìû. Íàïðèìåð,
x1
x
−
−
−
1
0
3
2
1
E =
, D=
, X = 2.
y
0 x
0 1
K
x n
×èñëà èëè ñèìâîëû, çàïîëíÿþùèå òàáëèöó, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, ðàñïîëîæåííûõ â îäíîé ñòðîêå, åñòåñòâåííî íàçûâàòü ñòðîêîé ìàòðèöû. Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèå ñòîëáöà ìàòðèöû. Åñëè â ìàòðèöå ñîäåðæèòñÿ m
ñòðîê è n ñòîëáöîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöà èìååò ðàçìåðû m × n.
Åñëè m = n, òî ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé, à åñëè m ≠ n, òî
ïðÿìîóãîëüíîé. Ñòðîêè è ñòîëáöû óäîáíî çàíóìåðîâàòü: ñâåðõó âíèç
è ñëåâà íàïðàâî ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû
ïîëó÷àåò äâà íîìåðà: i íîìåð ñòðîêè è j íîìåð ñòîëáöà, â
êîòîðûõ ýòîò ýëåìåíò ðàñïîëîæåí.
Åñëè ìàòðèöà çàïîëíåíà ñèìâîëàìè, òî èõ ñíàáæàþò äâîéíûì
èíäåêñîì, íàïðèìåð, aij. Ïåðâûé èíäåêñ ÿâëÿåòñÿ íîìåðîì ñòðîêè,
à âòîðîé íîìåðîì ñòîëáöà, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåí ýëåìåíò ìàòðèöû. Òàê, ìàòðèöà A ñ ýëåìåíòàìè aij ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
K a1n
K a2 n
.
K K
K amn
Åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, êàêîâû ðàçìåðû ìàòðèöû, è âàæíî
îáîçíà÷èòü òîëüêî îáùèé âèä ýëåìåíòà ìàòðèöû, òî ìàòðèöó çàäà a11 a12
a
a22
A = 21
K
K
a
m1 am 2
12
þò â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå: A = || aij ||, ïî óìîë÷àíèþ ïîëàãàÿ,
÷òî i è j èçìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Â äàëüíåéøåì
áóäåì çàïèñûâàòü ìàòðèöó â ðàçâåðíóòîì âèäå, èñïîëüçóÿ êðóãëûå
ñêîáêè, à äëÿ êðàòêîé çàïèñè äâîéíûå ïðÿìûå ñêîáêè, ò. å.
a11 a12 K a1n
a
a22 K a2n
A = 21
, èëè A = aij .
K
K K K
am1 am 2 K amn
Îïðåäåëèì îñíîâíûå äåéñòâèÿ ñ ìàòðèöàìè. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå
âñåãî íåîáõîäèìî îòâåòèòü íà âîïðîñ: ÷òî îçíà÷àåò ðàâåíñòâî äâóõ
ìàòðèö ìåæäó ñîáîé.
Îïðåäåëåíèå 2.1. Ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè
èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðû è ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà îäèíàêîâûõ
ìåñòàõ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Îïðåäåëåíèå 2.2. Ñóììîé äâóõ ìàòðèö A = || aij || è B = || bij || îäèíàêîâîãî ðàçìåðà m × n íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C = || cij || òåõ æå ðàçìåðîâ,
ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A è B :
C = A + B îçíà÷àåò, ÷òî cij = aij + bij äëÿ âñåõ i è j (i = 1, 2, ¾, m;
j = 1, 2, ¾, n).
Îïåðàöèÿ íàõîæäåíèÿ ñóììû äâóõ ìàòðèö íàçûâàåòñÿ ñëîæåíèåì ìàòðèö.
1
3 2
0 1 −2
Ïðèìåð 2.1. Ïóñòü A =
, B =
. Òîãäà
1
−1 −2 −3
3 2
3 3 −1
C = A+B =
.
2 0 −2
Ïðè ñëîæåíèè ìàòðèö ðîëü íóëÿ ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë èãðàåò
íóëåâàÿ ìàòðèöà Î = || 0 || ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà, ò. å. ìàòðèöà,
âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A + Î = A.
Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö îáëàäàåò
âñåìè ñâîéñòâàìè, ïðèñóùèìè îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÷èñåë:
1) A + B = B + A êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ;
2) (A + B) + C = A + (B + C ) àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ;
3) äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A íàéäåòñÿ åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà B òàêàÿ, ÷òî A + B = Î.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè A = || aij || è B = || bij ||, òî bij = −aij äëÿ âñåõ i è j.
 îáîñíîâàíèå ïðèâåäåííûõ ñâîéñòâ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ìàòðèö
çàìåòèì, ÷òî îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó ñëîæåíèþ ÷èñåë äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö. Äëÿ îáû÷íûõ ÷èñåë ýòè ñâîéñòâà èìåþò ìåñòî. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.2, ñâîéñòâà 1 3
ìîãóò áûòü ëåãêî âûâåäåíû. Íàïðèìåð, âîçüìåì ñâîéñòâî 1. Èìååì:
A + B = || aij + bij || = || bij + aij || = B + A. p
13
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A = || aij || íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà B = || bij ||, ýëåìåíòû êîòîðîé
ïîëó÷àþòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A óìíîæåíèåì
èõ íà ÷èñëî λ: B = λA îçíà÷àåò, ÷òî bij = λaij äëÿ âñåõ çíà÷åíèé i è j.
Îïåðàöèÿ íàõîæäåíèÿ ìàòðèöû B íàçûâàåòñÿ óìíîæåíèåì ìàòðèöû A íà ÷èñëî λ.
5 8 −1
Ïðèìåð 2.2. Ïóñòü A =
è λ = −2. Òîãäà
0 7 −6
−10 −16 2
(−2) A =
.
0 −14 12
 ÷àñòíîñòè, ïðè óìíîæåíèè ìàòðèöû A íà (−1) ïîëó÷èòñÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ â ñóììå ñ ìàòðèöåé A äàåò íóëåâóþ ìàòðèöó: A +
+ (−1)A = O. Ýòó ìàòðèöó îáîçíà÷àþò êàê (−A), îïðåäåëÿÿ îïåðàöèþ
âû÷èòàíèÿ äëÿ ìàòðèö ïî ôîðìóëå
A − B = A + (−1)B.
Ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ìàòðèö A è B.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èìååòñÿ íåñêîëüêî ìàòðèö À1, À2, ¾, Àk,
òî ìîæíî, ïðèìåíÿÿ íåñêîëüêî ðàç îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö íà ÷èñëî, ïîëó÷èòü ìàòðèöó C = λ1À1 + λ2À2 + ¾ +
+ λkÀk. Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ìàòðèö À1,
À2, ¾, Àk, à ïðî ìàòðèöó C ãîâîðÿò, ÷òî îíà ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ
÷åðåç ìàòðèöû À1, À2, ¾, Àk.
Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî è îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö
ïðè ñîâìåñòíîì ïðèìåíåíèè, êàê íåòðóäíî äîêàçàòü, îáëàäàþò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) λ(A + B) = λA + λB;
2) (λ + µ)A = λA + µA;
3) (λµ) A = λ(µA) = µ(λA).
Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ìàòðèö
a11 a12
a21 a22
A=
K K
am1 am 2
K a1n
b11 b12
b21 b22
K a2 n
èB =
K K
K K
K amn
bn1 bn 2
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà
c11 c12
c 21 c 22
C =
K K
cm1 cm 2
14
K c1 p
K c2 p
,
K K
K cmp
K b1 p
K b2 p
K K
K bnp
èìåþùàÿ ñòîëüêî æå ñòðîê, ñêîëüêî èõ èìååò ìàòðèöà A, è ñòîëüêî
æå ñòîëáöîâ, ñêîëüêî èõ èìååò ìàòðèöà B, è ýëåìåíòû êîòîðîé
íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
n
cij = ∑ aik bkj , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p.
k =1
Îïåðàöèÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö A è B íàçûâàåòñÿ
óìíîæåíèåì ìàòðèö, è åãî ðåçóëüòàò çàïèñûâàåòñÿ òàê: Ñ = ÀÂ.
Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö A è B,
îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âîçìîæíà ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî ñòîëáöîâ ó ìàòðèöû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ó ìàòðèöû B. Ïðè ýòîì ìàòðèöû A è B íå îáÿçàíû èìåòü îäèíàêîâûå ðàçìåðû. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî íå âñåãäà ïðîèçâåäåíèÿ ÀÂ è ÂÀ ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî, à
åñëè ñóùåñòâóþò, òî íå âñåãäà ñîâïàäàþò. Ýòî âèäíî èç ñëåäóþùèõ
ïðèìåðîâ.
5 3
2 −3 4
Ïðèìåð 2.3. A =
, B = 4 0,
3 4 1
−1 2
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ ( −1) 2 ⋅ 3 + ( −3) ⋅ 0 + 4 ⋅ 2 −6 14
C = ÀÂ =
=
,
3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 30 11
3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 4 + 1 ⋅ ( −1)
5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 5 ⋅ ( −3 ) + 3 ⋅ 4 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 19 −3 23
D = BA = 4 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 4 ⋅ ( −3 ) + 0 ⋅ 4 4 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 = 8 −12 16 ,
( −1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ( −1) ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 4 11 −2
îòêóäà âèäíî, ÷òî À è BA ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûå ìàòðèöû.
x1
x2
Ïðèìåð 2.4. A = || aij ||, i = 1, 2, ¾, m; j = 1, 2, ¾, n, X = , òîãäà
K
x
n
a11 x1 + a12 x 2 + … + a1n x n
a21 x1 + a22 x 2 + … + a2n x n
.
AX =
.................
a x + a x + … + a x
m2 2
mn n
m1 1
b1
b2
Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ìàòðèöó B = , òî ìàòðè÷íîå
K
bm
ñîîòíîøåíèå ÀÕ = B áóäåò ýêâèâàëåíòíî, êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äâóõ ìàòðèö, ñëåäóþùåé ñèñòåìå ñîîòíîøåíèé:
15
a11 x1 + a12 x 2 + … + a1n x n = b1;
a x + a x + … + a x = b ;
21 1
22 2
2n n
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 x1 + am 2 x 2 + … + amn x n = bm .
Åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëà aij è bi èçâåñòíûìè, à õ1, õ2, ¾, õn íåèçâåñòíûìè, òî ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé ïðåâðàùàåòñÿ â ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáóþ òàêóþ ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (íåèçâåñòíîé
ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà Õ ) ÀÕ = B.
Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ìàòðè÷íîé ôîðìîé.
Ïðèìåð 2.5. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé (ðàçìåðîì m × m) ìàòðèöåé ñïåöèàëüíîãî âèäà
1 0 0 K 0
0 1 0 K 0
A=
,
K K K K K
0 0 0 K 1
à B = || bij || ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, èìåþùàÿ m ñòðîê. Òîãäà
1 0 0 K 0 b11 b12
0 1 0 K 0 b21 b22
AB =
K K K K K K K
0 0 0 K 1 bm1 bm 2
K b1n b11 b12
K b2n b21 b22
=
K K K K
K bmn bm1 bm 2
K b1n
K b2n
,
K K
K bmn
ò. å. ïîëó÷èëîñü, ÷òî À = B. Åñëè òåïåðü óìíîæèòü ïðîèçâîëüíóþ
ìàòðèöó C, èìåþùóþ m ñòîëáöîâ, íà ìàòðèöó A, òî ïîëó÷èòñÿ
c11 c12
c 21 c 22
K K
c n1 c n 2
K c1m 1 0 0 K 0 c11 c12
K c 2m 0 1 0 K 0 c 21 c 22
=
K K K K K K K K K
K c nm 0 0 0 K 1 c n1 c n 2
K c1m
K c 2m
,
K K
K c nm
ò. å. îïÿòü èìååì, ÷òî ÑÀ = C. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà A
âåäåò ñåáÿ êàê åäèíèöà ïðè óìíîæåíèè ÷èñåë: 1 ⋅ 5 = 5 ⋅ 1 = 5. Ïîýòîìó ýòó ìàòðèöó íàçûâàþò åäèíè÷íîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà m è îáîçíà÷àþò Åm.
Èòàê, Åm ýòî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîì m × m (óïîòðåáëÿþò òàêæå òåðìèí «êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m»), èìåþùàÿ
âèä:
16
1 0 0 K 0
0 1 0 K 0
.
Em =
K K K K K
0 0 0 K 1
Ïî äèàãîíàëè, èäóùåé ñëåâà âíèç íàïðàâî, èìåíóåìîé ãëàâíîé
äèàãîíàëüþ, ñòîÿò åäèíèöû, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû
ðàâíû íóëþ.
Äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû F ïîðÿäêà m áóäåò ñïðàâåäëèâûì ðàâåíñòâî ÅmF = FÅm = F.
Ïðèìåð 2.6. Â ýòîì ïðèìåðå ïîêàæåì, ÷òî äàæå òîãäà, êîãäà
ñóùåñòâóþò ìàòðèöû À è ÂÀ, îíè, êàê ïðàâèëî, ðàçëè÷íû. Áûâàþò ñëó÷àè, êîãäà îíè ñîâïàäàþò, è â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî
ìàòðèöû A è B ïåðåñòàíîâî÷íû. Ýòî áûâàåò äîâîëüíî ðåäêî. Âîçüìåì
â êà÷åñòâå ìàòðèö A è B ñëåäóþùèå ìàòðèöû:
3 2
A=
,
−1 0
5 1
B =
.
3 4
21 11
14 15
Òîãäà AB =
, à BA =
.
−5 −1
5 6
Ñâîéñòâà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö îòëè÷àþòñÿ îò àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ÷èñåë èìåííî òåì, ÷òî ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ ìàòðèö çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå îíè
óìíîæàþòñÿ:
1) ÀÂ ≠ ÂÀ (âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàâíû);
2) A(B + C ) = ÀÂ + AÑ è (B + C )A = ÂÀ + ÑÀ;
3) (ÀÂ)C = A(ÂÑ ).
Ñïðàâåäëèâîñòü ñâîéñòâà 1 âèäíà èç ïðèìåðà 2.6. Ñâîéñòâà 2 è 3
ìîãóò áûòü áåç îñîáûõ çàòðóäíåíèé äîêàçàíû èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèé ðàâåíñòâà äâóõ ìàòðèö è ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ñâîéñòâî 2:
A(B + C ) =
m
m
m
k =1
k =1
k =1
∑ aik (bkj + ckj ) = ∑ aik bkj + ∑ aik ckj = ÀÂ + AÑ. p
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî (B + C )A = ÂÀ + ÑÀ, à òàêæå
ñâîéñòâî 3.
2.2. Îïðåäåëèòåëè ìàòðèö
2.2.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Åñëè A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, òî ñ íåé ìîæíî ñâÿçàòü ÷èñëî, íàçûâàåìîå îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû A è îáîçíà÷àåìîå
÷åðåç | A |.  íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ ìîæíî âñòðåòèòü äðóãîé òåðìèí:
17
äåòåðìèíàíò ìàòðèöû A è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó îáîçíà÷åíèå det(A).
Åñòåñòâåííî, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû çàâèñèò îò âñåõ åå ýëåìåíòîâ, è åñëè êàêîé-òî ýëåìåíò èçìåíèòü, òî îïðåäåëèòåëü, âîîáùå ãîâîðÿ, èçìåíèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ îò n2 àðãóìåíòîâ. Ýòà ôóíêöèÿ, çàïèñàííàÿ â
âèäå ôîðìóëû, óæå ïðè n > 3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé î÷åíü ãðîìîçäêîå
âûðàæåíèå. Ïîýòîìó åå èñïîëüçîâàíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ íåðàöèîíàëüíî. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ãîðàçäî óñïåøíåå, åñëè
èçó÷èòü åãî ñâîéñòâà.
Åñëè A = || aij ||, (i = 1, 2, ¾, n; j = 1, 2, ¾, n), òî îïðåäåëèòåëü
ìàòðèöû A îáîçíà÷àþò êàê ìàòðèöó, âçÿòóþ â ïðÿìûå ñêîáêè:
a11
a21
A =
K
a12 K a1n
a22 K a2n
.
K K K
an1 an 2 K ann
Ïðè n = 1, A = (a11) è ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì | A | = a11; ïðè
a11 a12 a13
a11 a12
= a11a22 − a12a21; ïðè n = 3 |A| = a21 a22 a23 =
n = 2 |A| =
a21 a22
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
Êàê âèäèì, ñ ðîñòîì n ãðîìîçäêîñòü ôîðìóë, äàþùèõ âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèöû A, âîçðàñòàåò.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëèòåëü
n-ãî ïîðÿäêà (òàê íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü, ìàòðèöà êîòîðîãî èìååò ïîðÿäîê n), íåîáõîäèìî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ òàêèì ïîíÿòèåì, êàê
ïåðåñòàíîâêà.
Åñëè èìååòñÿ ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ, òî åãî âñåãäà ìîæíî
ñäåëàòü óïîðÿäî÷åííûì, èëè, êàê åùå ãîâîðÿò, ââåñòè îòíîøåíèå
ïîðÿäêà, êîãäà ïðî ëþáûå äâà ýëåìåíòà îäíîçíà÷íî ðåøàåòñÿ âîïðîñ, êàêîé èç íèõ ïåðâûé, à êàêîé âòîðîé. Ýòîò ôàêò ìîæíî îáîçíà÷èòü òàê: åñëè èç äâóõ ýëåìåíòîâ α è β ïåðâûì ÿâëÿåòñÿ α, òî
ïèøóò α p β. Íàïðèìåð, åñëè ýòî ìíîæåñòâî n ðàçëè÷íûõ ÷èñåë, òî
åñòåñòâåííûì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà áóäåò ñðàâíåíèå èõ ïî âåëè÷èíå. Ïåðâûì ñ÷èòàåòñÿ òî èç äâóõ ÷èñåë, êîòîðîå ìåíüøå.
Íî âîçìîæíû è äðóãèå ñïîñîáû ââåäåíèÿ îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà.
Ýòè ñïîñîáû äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ íåêîòîðûì ïðàâèëàì, íà êîòîðûõ íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ. Åñëè èìååòñÿ ìíîæåñòâî Ì èç n
ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ, òî áóäåì ñ÷èòàòü åãî óïîðÿäî÷åííûì ñëåäóþùèì ñïîñîáîì: âñå ýëåìåíòû çàïèñàíû â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè i1, i2, i3, ¾, in, êîòîðàÿ è îïðåäåëÿåò, êàêîé ýëåìåíò èç äâóõ ik
èëè il ïåðâûé. Åñëè k < l, òî ïåðâûì ÿâëÿåòñÿ ik. Åñëè i1, i2, i3, ¾, in
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âûáðàíà òàê, ÷òîáû ïðè k < l âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî ik < il, ò. å.
18
íàáîð èç n ðàçëè÷íûõ ÷èñåë óïîðÿäî÷åí åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì:
ñ ïîìîùüþ ñðàâíåíèÿ ïî âåëè÷èíå (α p β òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà α < β).
Òåïåðü çàïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
íå â ïðàâèëüíîì, à â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå iα , iα , ¾, iα . Íàïðèìåð, ïðè n = 5, âìåñòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè i1, i2, i3, i4, i5 ðàññìîòðèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü i3, i1, i5, i2, i4. Îíà ñîñòîèò èç òåõ æå ýëåìåíòîâ,
÷òî è «ïðàâèëüíàÿ» ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íî çàïèñàííûõ â «íåïðàâèëüíîì» ïîðÿäêå.
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
èç n ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ i1, i2, i3, ¾, in íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâîì ïåðåñòàíîâîê èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, à ýëåìåíòû ýòîãî
ìíîæåñòâà ïåðåñòàíîâêàìè.
Ïðèìåð 2.7. Ïóñòü n = 3; i1 = 1; i2 = 5; i3 = 7. Ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê èç ýòèõ òðåõ ÷èñåë ñîñòîèò èç øåñòè ýëåìåíòîâ: (1, 5, 7),
(1, 7, 5), (5, 1, 7), (5, 7, 1), (7, 1, 5), (7, 5, 1).
Êîëè÷åñòâî ïåðåñòàíîâîê ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà n äîâîëüíî áûñòðî âîçðàñòàåò. Ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî âñåõ ïåðåñòàíîâîê
èç n ýëåìåíòîâ ðàâíî n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ¾ (n − 2)(n − 1)n (÷èòàåòñÿ «ýí
ôàêòîðèàë»). Íàïðèìåð, åñëè n = 5, òî 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120, ïðè
n = 10: 10! = 3 628 800. Ðàññìîòðèì ïðîèçîëüíóþ ïåðåñòàíîâêó, íàïðèìåð, ïðè n = 3 (7, 1, 5). Åñëè âçÿòü â íåé ïðîèçâîëüíóþ ïàðó
÷èñåë, íàïðèìåð, 7 è 5, òî ýòè ÷èñëà ñòîÿò â íåïðàâèëüíîì ïîðÿäêå: ÷èñëî 5 ìåíüøå ÷åì 7, à ñòîèò ïðàâåå íåãî. Ýòîò «áåñïîðÿäîê»
íàçûâàåòñÿ èíâåðñèåé, êîòîðóþ îáðàçóåò ïàðà ÷èñåë 7 è 5. Åùå îäíó
èíâåðñèþ îáðàçóåò ïàðà 7 è 1, à ïàðà 1 è 5 èíâåðñèè íå îáðàçóåò.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ïåðåñòàíîâêà (7, 1, 5)
ñîäåðæèò äâå èíâåðñèè. Åñëè ñîñ÷èòàòü ÷èñëî èíâåðñèé â äðóãîé
ïåðåñòàíîâêå, íàïðèìåð, â (5, 1, 7), òî îêàæåòñÿ, ÷òî ýòî ÷èñëî
ðàâíî åäèíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàçíûõ ïåðåñòàíîâêàõ ÷èñëî èíâåðñèé ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì.
Îïðåäåëåíèå 2.6. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè îíà
ñîäåðæèò ÷åòíîå ÷èñëî èíâåðñèé, è íå÷åòíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Óòâåðæäåíèå. Åñëè â ïåðåñòàíîâêå ïîìåíÿòü ìåñòàìè äâà ýëåìåíòà, òî ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè èçìåíèòñÿ: åñëè îíà áûëà ÷åòíîé, òî ñòàíåò íå÷åòíîé, è íàîáîðîò, åñëè îíà áûëà íå÷åòíîé, òî
ñòàíåò ÷åòíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ïåðåñòàâëÿåìûå ýëåìåíòû ðàñïîëîæåíû ðÿäîì. Òîãäà, åñëè îíè îáðàçîâûâàëè èíâåðñèþ, òî ïîñëå ïåðåñòàíîâêè ýòà èíâåðñèÿ èñ÷åçíåò, à åñëè
íå îáðàçîâûâàëè èíâåðñèè, òî òåïåðü îíà ïîÿâèòñÿ. Èíâåðñèè,
êîòîðûå îáðàçóþò ýòè äâà ýëåìåíòà ñ äðóãèìè ýëåìåíòàìè, ïðè
òàêîé ïåðåñòàíîâêå íå ïîñòðàäàþò, èõ ÷èñëî îñòàíåòñÿ ïðåæíèì.
Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ÷èñëî èíâåðñèé ëèáî óìåíüøèòñÿ íà åäèíèöó, ëèáî óâåëè÷èòñÿ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åòíîñòü ÷èñëà èíâåðñèè â ëþáîì ñëó÷àå èçìåíèòñÿ.
1
2
n
19
Çíà÷èò, â ñëó÷àå ïåðåñòàíîâêè ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïåðåñòàíîâêó íå ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ, à òàêèõ, ìåæäó êîòîðûìè èìååòñÿ åùå k ýëåìåíòîâ, îñóùåñòâëÿþò ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåñòàíîâîê ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ýëåìåíò,
ðàñïîëîæåííûé ëåâåå, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿòü ñ ñîñåäñòâóþùèìè ñïðàâà ýëåìåíòàìè è ïåðåìåñòèòü åãî íà íóæíóþ
ïîçèöèþ ñ ïîìîùüþ k + 1 òàêèõ ïåðåñòàíîâîê. Ïðè ýòîì âòîðîé
ïåðåñòàâëÿåìûé ýëåìåíò îêàæåòñÿ ñìåùåííûì íà îäíó ïîçèöèþ
âëåâî. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ åãî ñ ýëåìåíòàìè, ñòîÿùèìè
ñëåâà, ìîæíî çà k ïåðåñòàíîâîê ïåðåâåñòè åãî íà òðåáóåìóþ ïîçèöèþ, äëÿ ÷åãî ïîíàäîáèòñÿ 2k + 1 ïåðåñòàíîâîê ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ. Ïðè êàæäîé òàêîé ïåðåñòàíîâêå ÷åòíîñòü ìåíÿåòñÿ, à ïîñêîëüêó
÷èñëî 2k + 1 íå÷åòíî, ÷åòíîñòü èçìåíèòñÿ íå÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Ñëåäîâàòåëüíî, îêîí÷àòåëüíàÿ ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè èçìåíèòñÿ. p
Îïðåäåëåíèå 2.7. Îïðåäåëèòåëåì êâàäðàòíîé ìàòðèöû A = || aij ||
ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ ñóììà
∑
(α1 , α 2 , …, α n )
S (α1 , α 2 , …, α n )
a1α a2α … anα ( −1)
1
2
n
,
ãäå S(α1, α2, ¾, αn) ÷èñëî èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (α1, α2, ¾, αn)
èç n íîìåðîâ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì òàêèì
ïåðåñòàíîâêàì.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ðàíåå ââåäåííûå îïðåäåëèòåëè
ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó îïðåäåëåíèþ.
Ðàññìàòðèâàÿ ïðèâåäåííóþ â îïðåäåëåíèè ñóììó, çàìåòèì, ÷òî
åå ñëàãàåìûå, íàçûâàåìûå ÷ëåíàìè îïðåäåëèòåëÿ, ñòðîÿòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: âñå ýëåìåíòû ïðîèçâåäåíèÿ ñòîÿò â ðàçíûõ ñòðîêàõ è â ðàçíûõ ñòîëáöàõ ìàòðèöû A, ïðè÷åì êàæäàÿ ñòðîêà è êàæäûé ñòîëáåö èìåþò îäíîãî è òîëüêî îäíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ â êàæäîì ÷ëåíå îïðåäåëèòåëÿ. Îáùåå ÷èñëî ñëàãàåìûõ â ñóììå ðàâíî
÷èñëó ïåðåñòàíîâîê èç n íîìåðîâ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A, ò. å. ïåðåñòàíîâîê (1, 2, ¾, n), (2, 1, ¾, n), ¾, (n, n − 1, ¾, 1). Èõ ÷èñëî
ðàâíî n!, ò. å. ïðè áîëüøèõ n âåñüìà âåëèêî. Íàïðèìåð, ïðè n = 10
îíî ðàâíî, êàê áûëî óêàçàíî âûøå, 3 628 800. Ïîýòîìó ôîðìóëà,
ôèãóðèðóþùàÿ â îïðåäåëåíèè, êàê ïðàâèëî, ìàëî ïðèãîäíà äëÿ
âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé. Íî îíà ïîçâîëÿåò äîêàçàòü ðÿä ñâîéñòâ
îïðåäåëèòåëÿ, èñïîëüçîâàíèå êîòîðûõ ïðèâîäèò ê áîëåå ïðîñòûì
ïðèåìàì åãî âû÷èñëåíèÿ.
2.2.2. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ
Ïóñòü À = || aij || êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Ðàññìîòðèì
ìàòðèöó  = || bij || ïîðÿäêà n òàêóþ, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé i è j èìåþò
ìåñòî ðàâåíñòâà bij = aji. Ýòè ðàâåíñòâà îçíà÷àþò, ÷òî ýëåìåíò ìàò20
ðèöû B, ñòîÿùèé â i-é ñòðîêå è â j-ì ñòîëáöå, ñîâïàäàåò ñ ýëåìåíòîì ìàòðèöû A, ñòîÿùèì â j-é ñòðîêå è â i-ì ñòîëáöå. Íàïðèìåð,
0 −2
0 3
åñëè A =
, òî B =
, ìàòðèöà A êàê áû ïîâîðà÷èâàåò3 1
−2 1
ñÿ âîêðóã ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå A è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç À Ò.
3 8 7
3 −1 0
T
Ïðèìåð 2.8. A = −1 2 1 , A = 8 2 4 .
0 4 5
7 1 5
Ïåðåõîä îò ìàòðèöû A ê ìàòðèöå À Ò íàçûâàåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì ìàòðèöû A. Èç ïðèìåðà âèäíî, ÷òî ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè
ñòðîêè ìàòðèöû A ñòàíîâÿòñÿ ñòîëáöàìè ìàòðèöû À Ò, à ñòîëáöû
ñòðîêàìè.
Èíîãäà áûâàåò òàê, ÷òî ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöà íå èçìåíÿåòñÿ, ò. å. À Ò = A. Òîãäà ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé
ìàòðèöåé. Íàïðèìåð, ìàòðèöà
3 −1 7
A = −1 −2 5
7 5 8
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöåé. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
ìàòðèöà áóäåò ñèììåòðè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ýëåìåíòû, ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè, ñîâïàäàþò, ò. å. aij = aji äëÿ âñåõ çíà÷åíèé i è j. Òåïåðü ìîæíî
ñôîðìóëèðîâàòü ïåðâîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ.
Ñâîéñòâî 1. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A íå ìåíÿåòñÿ ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû, èëè | A | = | AT |.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ 2.7 èìååì
A =
∑
(α1 , α 2 , …, α n )
S (α1 , α 2 , …, α n )
a1α a2α … anα ( −1)
1
n
2
.
Êàæäîå ïðîèçâåäåíèå a1α a2α … anα ìîæíî ïåðåïèñàòü, ïåðåñòàâèâ ìíîæèòåëè òàê, ÷òîáû íà ïåðâîì ìåñòå ñòîÿë ïðåäñòàâèòåëü
ïåðâîãî ñòîëáöà aβ 1, íà âòîðîì ìåñòå ïðåäñòàâèòåëü âòîðîãî
ñòîëáöà aβ 2 è ò. ä.
Îáùåå ïðîèçâåäåíèå áóäåò èìåòü âèä aβ 1aβ 2 … aβ n, ò. å. âñå ìíîæèòåëè ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå íîìåðîâ ñòîëáöîâ, èç êîòîðûõ îíè
áåðóòñÿ. Íàïîìíèì, ÷òî âòîðîé èíäåêñ ó ýëåìåíòà aij ýòî íîìåð
ñòîëáöà, â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ.
Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ïðè óïîðÿäî÷èâàíèè â åñòåñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå âòîðûõ èíäåêñîâ (α1, α2, ¾, αn), ìû ïðîèçâîäèì èç ÷èñåë
1, 2, ¾, n (ïåðâûõ èíäåêñîâ) íîâóþ ïåðåñòàíîâêó (β1, β2, ¾, βn).
Ïðè ýòîì, åñëè äâà ÷èñëà αs è αt íå îáðàçîâûâàëè èíâåðñèþ, òî èõ
1
2
n
1
2
1
2
n
21
ïåðåñòàíîâêà â ïðàâèëüíîå ðàñïîëîæåíèå (αt ðàíüøå, ÷åì αs) ïðèâåäåò ê ïåðåñòàíîâêå ÷èñåë s è t, íàðóøàþùåé èõ åñòåñòâåííûé
ïîðÿäîê, ò. å. ê îáðàçîâàíèþ èíâåðñèè. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå óñòðàíåíèÿ âñåõ èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (α1, α2, ¾, αn) îíà ïðåâðàòèòñÿ â ïåðåñòàíîâêó (1, 2, ¾, n), à èòîãîâàÿ ïåðåñòàíîâêà èç
âòîðûõ èíäåêñîâ (β1, β2, ¾, βn) áóäåò èìåòü ñòîëüêî æå èíâåðñèé,
ñêîëüêî èõ èìåëà ïåðåñòàíîâêà (α1, α2, ¾, αn).
 òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå ðàññìàòðèâàåìîå ïðîèçâåäåíèå
ïðèìåò âèä a1β a2β … anβ , à åãî çíàê áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñëîì
èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (β1, β2, ¾, βn), êîòîðîå, êàê ìû óáåäèëèñü, ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (α1, α2, ¾, αn),
ò. å. ñ ÷èñëîì S(α1, α2, ¾, αn). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå
a1β a2β … anβ âõîäèò â ñóììó ÷ëåíîâ îïðåäåëèòåëÿ | A Ò | ñ òåì æå
çíàêîì, ÷òî è ïðîèçâåäåíèå a1α a2α … anα â ñóììó ÷ëåíîâ îïðåäåëèòåëÿ | A |. Ïîýòîìó áóäåì èìåòü
1
1
2
2
n
n
1
A =
=
(α1 , α 2 , …, α n )
(β1 , β 2 , …, β n )
n
S (α1 , α 2 , …, α n )
∑
∑
2
a1α a2α … anα ( −1)
1
2
n
S (β1 , β 2 , …, β n )
a1β a2β … anβ ( −1)
1
2
n
=
=A T. p
Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î
òîì, ÷òî ëþáîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ, ñïðàâåäëèâîå äëÿ åãî ñòðîê,
áóäåò ñïðàâåäëèâûì ïðèìåíèòåëüíî ê åãî ñòîëáöàì, è íàîáîðîò,
ëþáîå ñâîéñòâî, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ñòîëáöîâ, áóäåò ñïðàâåäëèâûì
è äëÿ åãî ñòðîê. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè
ìàòðèöû îïðåäåëèòåëü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, à ñòðîêè è ñòîëáöû
ìåíÿþòñÿ ðîëÿìè, òî ëþáîå óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ ñòðîê, äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ñòîëáöîâ, è íàîáîðîò. Ïîýòîìó â
äàëüíåéøåì, ó÷èòûâàÿ ýòî çàìå÷àíèå, ìîæíî äîêàçûâàòü ñâîéñòâà
îïðåäåëèòåëÿ ëèáî òîëüêî äëÿ ñòðîê, ëèáî òîëüêî äëÿ ñòîëáöîâ, à
ñïðàâåäëèâû îíè áóäóò êàê äëÿ òåõ, òàê è äëÿ äðóãèõ.
Ñâîéñòâî 2. Ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñòðîê èëè äâóõ ñòîëáöîâ
îïðåäåëèòåëü ìåíÿåò çíàê.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïåðåñòàâëåíû i-ÿ è j-ÿ ñòðîêè (i < j), òî â
íîâîì îïðåäåëèòåëå êàæäûé ÷ëåí ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷ëåíà ñòàðîãî îïðåäåëèòåëÿ: íàïðèìåð, â ÷ëåíå
a1α a2 α K ai α K a j α K an α ñëåäóåò ïåðåñòàâèòü ñîìíîæèòåëè ai α è a j α .
Òàêèì îáðàçîì, ÷ëåíû íîâîãî îïðåäåëèòåëÿ ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà
ñîâïàäàþò ñ ÷ëåíàìè ñòàðîãî. Âûÿñíèì, êàê îáñòîèò äåëî ñî çíàêàìè. Ïåðåñòàíîâêà (α1, α2, ¾, αi, ¾, αj, ¾, αn), îïðåäåëÿþùàÿ
çíàê ïðè ÷ëåíå ñòàðîãî îïðåäåëèòåëÿ, îòëè÷àåòñÿ îò ïåðåñòàíîâêè
(α1, α2, ¾, αj, ¾, αi, ¾, αn), îïðåäåëÿþùåé çíàê ïðè ÷ëåíå íîâîãî
îïðåäåëèòåëÿ, òåì, ÷òî â ïîñëåäíåé ïåðåñòàâëåíû äâà ýëåìåíòà: αi
è αj. Òàêèì îáðàçîì, ýòè äâå ïåðåñòàíîâêè èìåþò ðàçíóþ ÷åòíîñòü.
1
22
2
i
j
n
i
j
