Контрольная работа №10. Ряды

Контрольная работа № 10
Ряды
ТЕМА 10. Ряды.
1. Числовые ряды.
2. Функциональные ряды.
3. Степенные ряды.
4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
5. Ряды Фурье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е
изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2.
Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие:
в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. 22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. –
5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в
2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями):
в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век,
ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
2
 
n 2  4n  3 
.
а)  
2

n 1 100 n  1 
 2
n  4n  5
.
б)  n
n 1 3  n  1

в)
n!
 5n  2n  3
n 1
n
 
15n 2  6n  4 
.
г)  
2

n 1 3n  2  12 n 

д)
1
 n  ln 2 n .
n2
2
е)

n
n 1
2 n n

3
7
.


1 
ж)  n  ln 1 
 3 4
n 1
n 


sin 2 n
з) 
.
n 1 n 3  5
Решение.
2
а)
 n 2  4n  3 
 .
В данном случае a n  
2

100
n

1


2
2
 n 2  4n  3 
   1   0.
Вычислим lim a n  lim 
2
n 
n  100 n  1 
 100 

Следовательно, ряд расходится.
Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция 3n , то
используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
б)
an 
n 2  4n  5
3n  n  1
; a n1 
n  12  4n  1  5 .
3n1  n  1  1
Вычислим
a n1
n  12  4n  1  5 : n 2  4n  5 
 lim
n 1
n a n
n 3
 n  1  1
3 n  n  1  1
lim
 lim
n
n  12  4n  1  5 
n  4n  5
2
3 n  n  1
3
n 1
 n  1  1

1
 1.
3
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( n! ), то используем
признак Даламбера. Для исследуемого ряда
в)
an 
n!
5  2n  3
n
; an 1 
5
n 1
n  1 !
.
 2n  1  3
Вычислим
a n 1
n  1 !
n  1!  5 n  2n  3 
n!

:

lim
lim
lim
n!
n  a n
n  5 n 1  2n  1  3 5 n  2n  3
n 
5 n 1 2n  1  3
n  1  .
n!n  1
 lim
n!5
5
n 
n 
 lim
В пределе
расходится.
получили
бесконечность,
3
следовательно,
исследуемый
ряд
n
г)
 15n 2  6n  4 
 .
Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь an  
2
3
n

2

12
n


Вычислим
n
lim
n
na
 15n 2  6n  4 
 15n 2  6n  4  15 5



n


  1.
lim
lim 
n
2 
2  12
4
n 
n


3
n

2

12
n
3
n

2

12
n




Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши.
Составим соответствующий интеграл и вычислим его
д)
t  ln x
1
dt  dx

b
ln b 1
 1 ln b 
1
1
x

dx

dx


lim
lim


 2 dt  lim  

2
2
b 2 x  ln x
b  t ln 2 
2 x  ln x
x  2  t  ln 2 b ln 2 t
x  b  t  ln b
1 
1
 1
 lim  

.

ln 2
b  ln b ln 2 
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и
знаменателе лишь старшие степени n:
е)


n 3
n 1 23 n 7  n

n

~
n 1 3 n 7

 
n 1
1
n 2
7
n

1
n 1
7 1
n 3 2
 
3

 
1
11
n 1 n
.
6
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
lim
n 3
n   23 n 7  n
:
1
11
n 6

1
 0,  
2
Таким образом, исходный ряд и ряд

одновременно. Т.к. ряд 
n 1 n
1
11
6


n 1 n
1
11
сходятся и расходятся
6
 11 
  1 сходится, следовательно, исходный ряд
6

также сходится.
ж)

Так как ln 1 
1 
1
~
, то

3 4
n  3 n4



 n1 2

1  
1
1
~  n
  43   56 .
 n ln 1 
 3 4  n1
3 4
n 1
n 1 n
n 1 n
n 
n


1
5
Ряд  5 6 расходится   1 , следовательно, исходный ряд также расходится.
6

n 1 n
з)
Оценим общий член ряда:
4
0  sin 2 n  1


1

1
n 1
n3  5
1
Ряд 

Ряд 
3
n 1 n 2
~ 
3
n 1 n 2
sin 2 n
0
n 5
3
1

n 5
3
.
.

3
сходится   1 , следовательно, эквивалентный ряд 
2

n 1
1
n3  5
также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость
меньшего, то исходный ряд сходится.
n  1  3n .
n 3
n 1 x  2  n

Пример2. Найти область сходимости ряда 
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
n  2 3n 1  x  2 n  n3


n  2  3n 1
n  1  3n
3
lim
:
 lim

.
x2
n   x  2 n 1  n  13 x  2 n  n 3 n   n  13n  x  2 n 1  n  13
Ряд сходится, если
3
1  x  2  3
x2
x  2  3 или x  2  3 ;
x  5 или x  1 ,
x  (;1)  (5;) .
3
 1  x   1;5 .
Ряд расходится, если
x2
3
 1, т.е. x  5 или x  1 ,
x2
Неопределенный случай:

Пусть x  5 : 
n  13 n   n  1 ~  1 - сходится.
n 1

Ряд 
n 1
3n n 3
 n
n 1
n
3
n 1
2
n  1 сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
n3

Пусть x  1 : 
n 1
n  13n   (1) n (n  1) .
(3) n n 3

n 1
n3
Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость
(рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и
при x  5 , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится,
то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что  ;1 5; - область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью   10
3
1
интеграл  x  sin x dx .
0
Решение. Запишем разложение функции y  x  sin x в ряд Маклорена:
5
sin x  t  x 
t t3 t5 t7
(1) n t 2 n 1
    ... 
 ... 
2n  1!
1! 3! 5! 7!
2 n 1
 1 x 2 +...
x
x3
x5



 ... 
2n  1!
1!
3!
5!
n
3
5
7
2 n 1 1
 1 x 2
x2 x2 x2
x sin x 


 ... 
2n  1!
1!
3! 5!
n
 ...
Вычислим интеграл
5
7
2 n 1
 32

n

x2 x2
 1 x 2
x

x

sin
x
dx




...


...
0
0  1! 3! 5!
dx 
2n  1!


5
7
9
2 n 1 1
 2
1
n

x2
x2
 1 x 2
x

  5  7  9  ... 
 ...  
2 n 1
2n  1!  2  1  0
 2 3! 2 5! 2


1
1
1
1
 5 7

 ... 
9
6  2 1  2  3  4  5  2 1  2  3  4  5  6  7  112
2
2 1
1
1
2 1
1
  

 ...   
 10 3 
5 21 540 27720
5 21 540
1512  180  7 1339


 0,354  10 3 .
3780
3780
1
1




Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд.
Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого,
меньшего по абсолютной величине заданной точности 
1

 10 3  .
 27720

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной
ряд решения задачи Коши y  e  x y  2 x, y(0)  1 .
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые
три отличные от нуля значения y0, y0, y0, . По условию задачи y0  1.
Выразим из уравнения y :

y   e  x y  2 x;
y (0)  e 0  1  2  0  1.
Найдем y , продифференцировав обе части равенства  по x :
y  (e  x y  2 x)  e  x y  e  x y  2;
y(0)  e 0  1  e 0  1  2  2.
Окончательно получим:
y 1
1
2
 x  x2  1  x  x2 .
1!
2!
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
6
1 ;  2  x  0
в интервале (-2, 2):
f ( x)  
x ; 0  x  2
x ; 0  x   / 2
б) f ( x)  
по синусам на интервале [0,  ] .
  x ;  / 2  x  
а)
Решение.
Разложение периодической (период 2l ) функции имеет вид:
f ( x) 
a0 
x 
x
  a k cos k
  bk sin k
;
2 k 1
l
l
k 1
а) В нашем примере l=2.
f ( x) 
где a0 
a0 
x 
x
  a k cos k
  bk sin k
;
2 k 1
2 k 1
2
(**)
x
1
1
f ( x)dx; a k   f ( x)  cos k dx;

l l
2
l l
l
l
x
1
bk   f ( x)  sin k
dx
l l
2
l
a0 
0
2
 1 0
1
x2 2 1
  1dx   xdx    x


 2   2 2 0   2 2  2  2
2  2
0



ak 
0
2

1
k
k
  cos

x
dx

x

cos
x
dx


2   2
2
2
0

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
0
kx
2
k x 0
 cos 2 dx  k sin 2  2  0 ;
2
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
V  x; V   1
k x
0 x  cos 2 dx  U   cos k x ;U  2 sin k x 
2
k
2
2
k x 2
k x
2
2

x  sin

sin
dx 
k
2 0 0 k
2
2
k x 2  2 
 2 
 2 
   cos
   cos k  cos 0   
2 0  k 
 k 
 k 
2
2
2
 1  1;
k
2
1  2 
2
a k     (( 1) k  1) 
(( 1) k  1) .
2
2  k 
k 
bk 
0
2

k x
1
k
  sin

dx

x

sin
x
dx


2   2
2
2
0

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
 sin 2 xdx  k cos 2 x  2  k cos 0  cos k    k 1   1 
0
k
2
k
0
2
2
2
Аналогично предыдущему
7
k
V  x; V   1
k
0 xsin 2 xdx  U   sin k x;U   2 cos k x 
2
k
2
2
2
k 2
2
k
2

xcos
x  
cos
xdx   2  cos k  0 
k
2 0 0 k
2
k
2
2
k 2
4  (1) k
 2 
   sin
x 
2 0
k
 k 
и окончательно получим:
1 2
2
 1k  4  1k    1   1


2  k k
k
k
k

Подставляя полученные значения a0 , ak , bk в разложение (**) , получим:
k
bk 
k
 
1  1 
k x  2
k x
k
 sin


f ( x)  1    



1

1
cos


2
k
k 
2
2
k 1 
k 1 k 

2m  1 x
2
2m x 
2
1 
sin

cos
2
2
2
m 1 2m
m 1 2m  1 


б) Продолжим функцию на отрезок [ , 0] нечетным образом (рис. 1).
y



2
x
2





2
2
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только
синусы, т.е. a0  ak  0 .

f ( x)   bk sin kx;
k 1
Найдем коэффициенты bk , используя формулу:
bk 
2

 0
f ( x)  sin kx dx
 /2


2
bk    x  sin kx dx  (  x) sin kx xdx  
 0
 /2

8

2
 /2
 x  sin kx dx 
 0
 
 2 
    sin kx dx    x  sin kx xdx 
  /2
   /2
2
Для вычисления первого
интегрирования по частям:
и
третьего
интегралов
используем
метод
V  x; V   1


1
U   sin kx; U   cos kx
k
 /2
 /2

  cos kx   2  x  cos kx 

2  x  cos kx
1
1






  cos kx dx  2 


  cos kx dx  
 

 
k
k 0
k  / 2   
k
k  /2
0
 /2
 

k
k 

k

 


 /2 

  cos
cos 
 cos




2
sin
kx
cos
k

2


cos
k

sin
kx
2 
2   
2
2 






2




2k
k
k  
k
k
k2 0  
k 2  /2 

 




 



 k
0,
k  2n

4 sin
 4  (1) n 1
2


.
, k  2n  1
 k2
  (2n  1) 2
4  (1) n 1 sin( 2n  1) x
Таким образом, f ( x)  
.
 n1
(2n  1) 2
9
Контрольная работа №10.
Вариант 1.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n!
 2n
n 1

 2n 
б)  

2
n

1


n 1

в)
г)
2n2
1
 n sin n 2
n =1


n 1
1
n 5  3n  6
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 n 2  4n  5

n


n 1 3  n  1
 (3x  1) n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
 cos x dx
3
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   2 y 2  e x , y 0   0
Задание 5. Разложить функцию f ( x)    x в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
10
Контрольная работа №10.
Вариант 2.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n3
 3n
n 1

 3n  1 
б)  

n 1  n  1 
в)
г)

5
 arcsin
n 1


n 1
n 1
n3
n
n 7  4n 2  5
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

n2

n
n
n 1 2 ( x  1)
.
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
 x sin x dx
2
2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x  y  2e y , y 0  0
Задание 5. Разложить функцию f ( x)   
11
x
в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
2
Контрольная работа №10.
Вариант 3.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

3n
а) 
n 1 n!

 3n - 1 
б)  

n 1  3n + 3 

в)
г)
n
1
 n arcsin n3
n 1

3 4
n 1
1
n  2n  9
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

n3

n
n
n 1 3 ( x  3)
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
 x  cos x dx
3
2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   3x  y 3  x 3 , y0  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  1  x в ряд Фурье в интервале (-1, 1) .
12
Контрольная работа №10.
Вариант 4.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

4n
а) 
n 1 n  1!

 4n  2 
б)  

n 1  3n  1 
в)
г)


n 1

n
5
n7  1
7
 tg 3 4
n 1
n 2
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 n  ( 2 x  3) n

n2  1
n 1
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5
 1  x dx
2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x  y  y 2 , y 0  0,1
 x, при -  < x  0
0< x <
0, при
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  
интервале (- ,  ) .
13
в ряд Фурье в
Контрольная работа №10.
Вариант 5.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

 n 
а)  

n 1  2n  1 

б)

 arctg n
n 1

г)
n4
 n!
n 1

в)
n2
1
 4 n  6n  7
n1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 2 n  ( 2 x  1) n

n3
n 1
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5
 arctgx dx
2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x  y 2  2 cos x, y 0  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  2 x  1 в ряд Фурье в интервале (-2, 2) .
14
Контрольная работа №10.
Вариант 6.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n!
 n 2  3n  8
n 1

 n 1 
б)  

n

1


n 1

в)
г)
n2
n
 n  13
n1

 sin
n1

n3  7
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 n  (3 x  1) n

2n
n 1
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
2
1 x
e 3 dx

0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x 2  y 2 , y 0   0,1
Задание 5. Разложить функцию
2 , при -  < x < 0
f ( x)  
1 , при 0  x < 
интервале (- ,  ) .
15
в ряд Фурье в
Контрольная работа №10.
Вариант 7.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

5n
а) 
n 1 n!

n
 n 1 
б)  

n 1  2n  1 

2n  3
в) 
n
2
n 1 n  n  1

г)


1
 n  sin
n3
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

4n

n 1 ( x  5)
2n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5
dx
 1  x3
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   e x y 2  0, y 0   1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  1  x в ряд Фурье в интервале (-2, 2) .
16
Контрольная работа №10.
Вариант 8.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)
б)
в)
г)

n

n2  n  1
 n 5
  2n 
n 1

n 1

4n
1
4 6
n 1


n 1
n n
n ln n
n7  1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:


n3
n 1 n
3
1
 ( 2 x  1) n .
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
 ln 1  x dx
0, 5
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   0,5 y 2  sin x, y 0  1
1 , при - 1  x < 0
1 - x , при 0  x < 1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  
интервале (-1, 1) .
17
в ряд Фурье в
Контрольная работа №10.
Вариант 9.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n4
 2n
n1

 n2 
б)  

n 1  2n  3 
в)
г)
n

n 1
n 1
(n  1)3


ln n
 n3
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 n2  6
 ( x  6) n .
n
n 1 6

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
 x ln 1  x dx
0, 5
2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   e  x y  2 x, y 0   1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x  1 в ряд Фурье в интервале (-1,1) .
18
Контрольная работа №10.
Вариант 10.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

n2  4
а) 
n 1 n!

б)
 3n  5 
  n  2 
n 1
в)
 sin n3

г)
n 1


n 1
n
1
5
n7  3
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

( 2 x  1) n
n 1
n  ( n  1)

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5
x
 x  e dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x  y  2 x 2 , y 0   1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x 2  1 в ряд Фурье в интервале (-2, 2) .
19
Контрольная работа №10.
Вариант 11.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)

n!
 10
n 1
n
  n  2 n
б)  

n 1 3n  1 

1
в)  n  sin 3
n
n =1

1
г) 
n 1 n 3  2n  1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

(3 x ) 2 n
n 1 ln( 2n  1)

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
e
 x2
dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   2 x  y  3 x 2  2 x 4 , y 1  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
20
Контрольная работа №10.
Вариант 12.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)
б)
в)
 4n

n 1 n!

1

n 2 ln n

1
 2 1
n 1
n

1
г)  1  
n
n 1
n2
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
 3n  2
 ( 2 x  3) n
n
n 1 4

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
2
 sin x dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x 2 y  y 3 , y 0   1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x в ряд Фурье в интервале (-1,1) .
21
Контрольная работа №10.
Вариант 13.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)

1
n 1 3n  1

n

n 
б)  

n 1 2n  5 
 3 2 n 1
в)  3n1
n =1 2

1
г) 
n1(n  1)  n
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

(3n  1)
 ( x  2)
n2
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5

1
0 1 x
4
dx
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
x  y   2 y  2 x 4 , y 1  0
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x в ряд Фурье по синусам в интервале
(0, 1) .
22
Контрольная работа №10.
Вариант 14.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)

1
n 1

n

1
б) 
в)
n 1 4  2
 n

n
3
2
n 1 n
10
  2n 2  2n  1 
n

г)   2


n 1 5n  2n  1 
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

(2 x) 2 n

n 1 ln( 4 n  2)
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0, 5

1  x 3 dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   y  cos x  e cos x , y 0   0
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x 
(0,  ) .
23

2
в ряд Фурье по синусам в интервале
Контрольная работа №10.
Вариант 15.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)


3n 2  2
n 4  5n
 3 n  (n  1)!
б) 
n 1
nn
n1
2n
  2n  5 


n 1 4n  3 

2
г)  arcsin
n 1
n5
в)
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
n2  4
( x  4) n

n
4
n 1

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0,5
 e
 x2 / 4
dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   2 y  e x  y 2 , y 0   1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x 
интервале (0,  ) .
24

2
в ряд Фурье по косинусам в
Контрольная работа №10.
Вариант 16.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)
б)
в)
г)
  4 n 2


  2

n 1 4n  1 

n!
 n 1
n 1 7

1
 sin
n
n 1

1

n 1 5n  1
n/2
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

(2 x  3) n
n 1
3

n4  2
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
2/3
dx
0
1  x5
 3
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   y  x  y 2 , y 0   1
Задание 5. Разложить функцию
f ( x) 
интервале (0,  ) .
25

2
- x в ряд Фурье по синусам в
Контрольная работа №10.
Вариант 17.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

2 n
n =1 n  4
 2  n!
б)  n
n 1 4
а)
в)
г)

  n 5

n



1
n 1
n 5  4n  1
n 1 3n

2
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
e n ( x  e) n

n  3 ln( n  e)

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
dx
0
1 x4

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
x  y   y   x 2  y 2 , y 1  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x) 
интервале (0,  ) .
26

2
-x
в ряд Фурье по косинусам в
Контрольная работа №10.
Вариант 18.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)


1 n
2
n =1 n  1
 2  n!
б) 
n 1 n

n
n2
n 
в)  

n 1 n  1 

2
г) 
n 1 n 9  6
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

3n

2
n
n  2 ( n  3)( x  3)
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
3
 x  cos xdx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
x  y   y  y 2  ln x, y 1  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x в ряд Фурье по косинусам в интервале
(0, l ) .
27
Контрольная работа №10.
Вариант 19.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
  n  6 n
 

3n 
1
б) 
2
n 1 ( 2n  1)

n 1
в)  2
n =1 n ( n  1)
а)
г)
n 1 


n2

n 1 2  n!
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
n2  5
(5 x  1) n

n
5
n 1

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
3
3
 x  arctgx dx
3
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   y  tgx  cos x, y0  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)    2 x
интервале (0,  ) .
28
в ряд Фурье по синусам в
Контрольная работа №10.
Вариант 20.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)
  n 5  2n 
 
n 1  3  n
6
n



ln n
n

1
в)  n
n 1 3  2

3n
г)  n 1
n 1 7
б)

n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
2n  3  x 
   1

5n  5 
n 1

n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
1
dx
 1 x
0
3
3
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
x  y   y  y 2  x, y1  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)    2 x в ряд Фурье по косинусам в
интервале (0,  ) .
29
Контрольная работа №10.
Вариант 21.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n 1

б)
2n  5
 4n 3  1
n3
 7n
n 1

в)
1
 (n  3)  ln(n  3)
n 0

г)
 arcsin
n 1
1
n
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

3n  5
 5n  4 (7 x  1)
n 1
n
3
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
5x 2
 sin 2 dx
0, 4
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   cos x  y 2 , y 0   1
2 x, при -  < x  0
в ряд Фурье в
0< x <
0, при
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  
интервале (- ,  ) .
30
Контрольная работа №10.
Вариант 22.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
4n  2
 3n 3  1
n 1

б)
n 1

в)
3
 arctg 6 n
n!
 2n
n 1

г)

n2 n 
1
ln n
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

32n
(9 x  1) n

2
n 1 4 n  7 n  10
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
sin 2 x
dx
x
 0 , 25

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   e x  y 2 , y 0  0
 x   , при -  x  0
в ряд Фурье в
0<x  
-x   , при
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  
интервале (- ,  ) .
31
Контрольная работа №10.
Вариант 23.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n1

б)

n 1

в)
5n  4
 2n 3  3
(n  8) n
3n
1
 n  (ln n  ln 2 n)
n2

г)
 arctg(n  1)
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

(5 x ) 2 n 10 n

n 1 ln(3n  1)
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0

1

3
1  cos 3x
x2
dx
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   y  y 2 , y 0   3
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  cos
32
x
в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
2
Контрольная работа №10.
Вариант 24.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
3n  2
 n2 1
n 1

б)
1
 n!
n 1

в)
1
 n  ln 2 n
n2

г)
1
 sin n 2
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

1
 (2n  1)( x  2)
n2
2
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
 cos
 0 , 25
4x 2
dx
3
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   2e y  x  y, y 0   0
 1, при -  x  0
0 x 
1, при
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  
интервале (- ,  ) .
33
в ряд Фурье в
Контрольная работа №10.
Вариант 25.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
а)

1
 n(n  1)
n1
 n 1
б)
2
 nn
n 1

в)
n2

г)
1
 n  ln n

 tg n 2
n1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
8n 3  1
 ( x  2) n

n
8
n2

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
 cos
0,3
10 x 2
dx
3
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   sin x  y 2 , y 0  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x3 в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
34
Контрольная работа №10.
Вариант 26.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
3
n
 (n  1) n
n 1
 3
б)
n
 en
n 1

 3n 
в)  

3
n

8


n2

г)
2n2
1
 arcsin 2 n
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

ln 3n  4 
 2 ( x  4)
n2
n
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
ln(1  2 x 3 )
dx

x
0, 2
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   e x  y, y 0   4
Задание 5. Разложить функцию f ( x) | x | в ряд Фурье в интервале (- ,  ) .
35
Контрольная работа №10.
Вариант 27.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
1
 (3n  1)(3n  1)
n 1

 2n  1 
б)  

n 2 3n  1 
n/2

в)
n2
 n!
n 1
 arcsin
г)

n 1
1
n
n2
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
n2

 nn  1(3x  1)
n 1
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
5 x
 e dx
2
0, 2
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x 2  y 2 , y 0   2
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x 2  1 в ряд Фурье в интервале (-2, 2) .
36
Контрольная работа №10.
Вариант 28.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
n2
 2n 2  1
n1

 n 
б)  

n  2  3n  1 

в)
en
 n2
n 1

г)
2 n 1
1
 (n  1)  ln(n  1)
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
ln( n  1)  x

   4

n
2

n 1 2 n  1  2


n

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0 ,16
e
 x
dx
0
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   sin x  0,5 y 2 , y 0   1
Задание 5. Разложить
0, при -  x  0
в ряд Фурье в
0 x 
 x, при
функцию f ( x)  
интервале (- ,  ) .
37
Контрольная работа №10.
Вариант 29.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
2n  1
 (n  1) 2 (n  2) 2
n 1

 n 
б)  

n 1  3n  1 

в)
2 n 1
1
 sin 3n
n 1
 2
г)
n
 n!
n 1
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

n
 3 (n  1)( x  1)
n 1
n
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
 sin
1
x2
dx
5
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   2e y  x  y, y0  1
Задание 5. Разложить функцию f ( x)  x 2 в ряд Фурье в интервале (-2 ,2  ) .
38
Контрольная работа №10.
Вариант 30.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

а)
8n  1
 3n  1
n 1

 3n 
б)  

n 1  3n  1 

в)
1
 n  (1  ln n)
n 1

г)
n2
2
 arctg 3 n  7
n 8
Задание 2. Найти область сходимости ряда:

3n  x

   3

3
n 3

n 1
n
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив
подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
0
 arctgx dx
3
0,5
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному
начальному условию:
y   x  x 2  y 2 , y 0  5
Задание 5. Разложить функцию
2, при -  x  0
f ( x)  
0 x 
1, при
интервале (- ,  ) .
39
в ряд Фурье в