таблица оригиналов и изображений для l

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Курский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
Р азвитие
И ндивидуального
Т ворческого
М ышления
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Индивидуальные задания к модулю №15.1
Курск 2002
2
Составители: Е.А .БОЙЦОВА, В.И.ДРОЗДОВ
УДК 510(083)
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей
математики.Дмитриев В.И
Операционное исчисление. Методические указания к выполнению
модуля 15.1 / Курск. гос. техн. ун.-т; Сост. Е.А Бойцова., В.И. Дроздов. Курск, 2002. 26 с.
Работа предназначена для студентов всех специальностей.
Библиогр. 6 назв.
Текст печатается в авторской редакции
ИД № 06430 от 10.12.2001. ПЛД № 50-25 от 1. 04. 97.
Подписано в печать
. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0,56. Уч. изд. л.0,52. Тираж 100 экз. Заказ
.
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного
технического университета. 305040 г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Общие указания……………………………………………………… 4
Общие теоретические положения……………………….…………...4
Теоретические вопросы………………………………………………8
Задание №1………………………………………………………… ..9
Задание №2………………………………………………………… ..9
Задание №3………………………………………………………… 15
Задание №4………………………………………………………… 18
Задание №5………………………………………………………… 20
Примеры выполнения заданий……………………………………..23
Библиографический список……………………………………….. 26
4
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих
курс операционного исчисления и работающих в системе «Ритм».
Оно содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и
расчетные задания к модулю 15.1 – «Операционное исчисление».
Самостоятельное выполнение этих заданий послужит закреплению
у студентов умения использовать теорию преобразования Лапласа в
прикладных вопросах высшей математики.
Теоретические сведения по данному разделу курса высшей
математики см. в работах [1,3,4,5].
ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение. Любая комплексная функция f(t) действительного аргумента t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) f(t) – кусочно-непрерывная функция, т.е. на любом конечном отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;
2) f(t)=0 при t<0;
3) f(t) – функция ограниченного роста, т. е. существуют такие постоянные M>0 и s, что для всех t выполняется соотношение
 f(t) Меst
(1)
Нижняя грань s0 всех чисел s, для которых справедливо неравенство (1), называется показателем роста функции f(t).
Простейшей функцией-оригиналом является так называемая
единичная функция Хевисайда:
1, t  0
 t   
0, t  0
Очевидно, умножение функции (t) на (t) “гасит” эту функцию при t<0 и оставляет без изменения при при t0, т. е.
 t , t  0
f t    t  t   
0, t  0
5
Определение. Изображением функции f(t) (по Лапласу) называется функция комплексного переменного p=s+i, определяемая соотношением:

F  p    f t e  pt dt ,
(2)
0
где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу “функция f(t)
имеет своим изображением F(p)” будем записывать символом:
f(t) ÷ F(p) или F(p) ÷ f(t).
Теорема 1. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено в полуплоскости Rep>s0 , где s0 - показатель роста для f(t), и
является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Теорема 2. Если функция f является оригиналом и F(p) служит
ее изображением, то в любой точке t, в которой функция f непрерывна, справедливо равенство:
1 a  i pt
f t  
e F  p dp,

2i a  i
(3)
где интеграл берется вдоль любой прямой Rep=а>s0 и понимается в
смысле главного значения, т. е. как предел интеграла вдоль отрезка
[a-ib; a+ib] при b .
Теорема 3. Оригинал f(t) вполне определяется своим изображением F(p) с точностью до значений в точках разрыва f(t).
Теорема разложения. Пусть функция F(p):
1) мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости Rep>s0;
2) существует система окружностей Сп : pRn, R1<R2<…<Rn, на
которой F(p) стремится к нулю равномерно относительно arg p;
a  i
3) для любого а>s0 абсолютно сходится интеграл

e pt F  p dp. Тогда
a  i
оригиналом F(p) служит (умноженная на (t)) функция
6
f t    resF  p e pt ,
(4)
 p  pk
k
где сумма вычетов берется по всем особым точкам рk функции F(p) в
порядке неубывания их модулей.
1. Свойство линейности. Для любых (комплексных) постоянных  и :
f(t)+ g(t) F(p)+ G(p).
2. Теорема подобия. Для любого постоянного 
1  p
f   t   F  
(5)
  
3. Дифференцирование оригинала. Если функция f(t) непрерывна при t>0 и f’(t) или вообще f ( п)(t) является оригиналом, то
f’(t) ÷ pF(p)-f(0)
(6)
или
f (п)(t) ÷ pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f (0)-…-f (n-1)(0),
(7)
k
где под f k(0) понимается правое предельное значение lim f (0) .
t  0
4. Дифференцирование изображения: Дифференцирование
изображения сводится к умножению на –t оригинала, или вообще
F(п)(p) ÷ (-1)пtnf(t).
(8)
5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала
сводится к делению изображения на р
t
 f t dt 
0
F  p
p
(9)

6. Интегрирование изображения. Если интеграл
 F  p dp
р
сходится, то он служит изображением функции f(t)/t :
f t  
  F  p dp
t
р
(10)
(интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала).
7. Теорема запаздывания. Для любого положительного 
f(t-) ÷ е-рF(p)
(11)
(включение оригинала с запаздыванием на  равносильно умножению
изображения на е-р).
7
8. Теорема опережения. Для любого положительного 
f t     e p ( F  p  


f t e  pt dt )
(12)
0
9. Теорема смещения. Для любого комплексного р0
е р0t  f(t) ÷ F(p-p0)
(13)
(“смещение” изображения на р0 равносильно умножению оригинала
р t
на е 0 ).
10. Теорема умножения (Э. Борель) ( или теорема о свертке). Произведение двух изображений F(p) и G(p) является изображением, причем
t
 f    g t   d  F  p   G p 
(14)
0
11. Интеграл Дюамеля.
t
рF  p   G p   f 0g t    f    g t   d
(15)
0
Кроме того, имеют место следующие предельные соотношения:
lim
pF  p   lim f t ;
lim
pF  p   f 0 ,
1)
p 
Re p  
2)
p 
Re p  

3)

0
t  0

f t 
dt  F  p dp,
t
f t 
 t dt.
0
f t   f  ;
если существует предел tlim


если сходится несобственный интеграл
0

Таблица оригиналов и их изображений
№
Оригинал
Изображение
8
1
2
(t)
et
п!
3
t
4
5
6
7
n
р
sint
cost
sht
cht
8
tneat
9
10
11
12
1
р
1
р 
etsint
etcost
tsint
tcost
п 1
, п N

р2   2
р
р2   2

р2   2
р
р2   2
п!
( р   ) п 1

( р   )2   2
р 
( р  )2   2
2 р
( р 2   2 )2
р2   2
( р 2   2 )2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
9
1. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и
аналитичность преобразования Лапласа.
2. Свойства преобразования Лапласа (линейности, подобия, смещения, запаздывания).
3. Дифференцирование оригинала и изображения.
4. Интегрирование оригинала и изображения.
5. Понятие свертки. Изображение свертки. Интеграл Дюамеля.
6. Методы отыскания оригинала по изображению.
7. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений операционным методом.
ЗАДАНИЯ
Задание1. Пользуясь определением, найти изображения следующих
функций:
1.1.
1.4.
1.7.
1.10.
1.13.
1.16.
1.19.
1.22.
1.25.
1.28.
1.31
1.34.
1.37
1.40.
1.43.
1.46.
1.49.
t
ch t
sin 2t
3t
t - sin t
sin2t
sin 3t
5t
sh t
t2
2t - e2t
t - cos t
sin23t
2t - 5t
t2sh2 t
te -3t
t cos2 t
1.2.
sin t
1.5.
et
1.8.
cos 2t
1.11. 1 - 2t
1.14. tet
1.17. tsh t
1.20. cos 3t
1.23. te-2t
1.26. ch 2t
1.29. cos 3t
1.32. t cos t
1.35. 5 - et
1.38 tsh5 t
1.41. t2-3t+7
1.44 t cos2 t
1.47. 3t - 2t2
1.50. t sin2t
1.3.
1.6.
1.9.
1.12.
1.15.
1.18.
1.21.
1.24.
1.27.
1.30.
1.33
1.36.
1.39
1.42
1.45.
1.48.
cos t
2t
sh 2t
sin 3t
t - et
cos2t
sh 3t
t sin t
e-5t
tch t
3 -5t
3t - 3t
t sin2 t
cos22t
t3
7 t –cos3 t
Задание 2. Найти изображения следующих функций:
10
2.1
a) 2sint-cos3t
б) t2cost
г) sin(t-2)(t-3)
t
t
в)
д)  sh2(t   )d
 sh2d
0
0
2.2
a) t2et
б) t2sint
г) cos(t-3)(t-2)
t
t
2 

e d
в) 
д)
0
2.3
0
б) t2sht
1 t
a) te  2 sin 2t
2
t

в) e
г)sin(t-3)(t-2)
t 
t
д)  e sin d
sin d
a) t-sin3t
б) t2cht
t
в)  e

г) cos(t-2)(t-1)
t
д)  e
sin d
0
2.5
a) t+2sin3t
t
д)
0
a) e sint
б) t sin2t
г) t(t-1)
t
t


д) (t   )e d


e
 d
0
0
2.7
a) etsin3t
б) t2ch2t
t
г) t(t-2)
t
в)  (t   ) e d
3 
3 

д)  e d
0
2.8
2t
a) e cos3t
0
б) t sh2t

в) sin(t   )e
0
2.9
a) t +sin3t
г) (t-1)(t-2)
2
t
3
  sin 2d
0
2
в)
sin d
г) et-2(t-1)
б) t cost
в)  (t   ) sh2d
2.6
(t  )
0
2
t
2t

0
0
2.4
2  ( t  )

 e d
б) t sh3t
2
 2
t
d
д)
 sin e
 2
0
г) sin(t-1)(t)
d
11
t

в) sin e
3
t

 3(t  )
sin d
д) e
d
0
0
2.10 a) cos2t
б) t2sin3t
t
e
в) 
 2 (t  )
г) (t-3)(t-3)
t
d
д)
0
2
2.11 a) sin t
0
б) t cos3t
г) (t+2)(t-1)
2
t

в) cos 2 (t   )d
0
2
2.12 a) 4t cos2t+sh2t
t

д)  cos 2d
0
г) et(t-1)
б) e cos t
2
2
t
в)  cos(t   )e
 2
0
2.13 a) tet+cht
d
t
д)  cos e
б) t2ch3t

3
в) cos e d
d
г) et+2(t-1)
t

3
д) cos(t   )e d
0
0
б) costcos3t
г) sint(t-3)
t

в) (t   ) sin 2d
0
2.15 a) tsin5t
 2
0
t
2.14 a) (t+1)sint
 2

e
 d
t
д)
  sin 2d
0
б) sintcos3t
г) cost (t   )
3
t
в)
  sin 3d
0
2.16 a) tcost
б) etsin2t
t
д)  (t   ) sin 3d
0
г) sint(t-  )
6
t
t

в) (t   ) cos 3d
0
0
2.17 a) tsin2t

д)  cos 3d
б) e cos t
t
2
г) cost(t-  )
6
12
t
t
д)  (t   ) cos 2d

в)  cos 2d
0
0
2.18 a) t-sin2t
г) et(t-4)
б) t4et
t
t
в)  (t   )chd

д) chd
0
2.19 a) t-cos2t
0
б) t2e-2t
г) (t-1)(t-1)
t
t
д)  (t   ) cos d

в)  cos d
0
0
2.20 a) t3+tcost
б) sin23t
t

в) e
г) t(t-2)
(t  ) 2
 d
0
2.21 a) tsh2t
г) e2t(t-1)
t
д)  e t   2 d
 2
в)  e  d
0
5t
2.22 a) e cos3t
0
г) e3t(t-1)
б) t sin4t
2
t
t
д)  (t   )e 3 d
3
в)  e d
0
5t
2.23 a) e sin3t
0
г) e-2t(t-1)
б) tcos 2t
2
t
в)  (t   ) cos d
2
0
2.24 a) (t+1)sin3t
б) tsin 3t
в)  (t   ) sin d
2
0
б) t cht
t
д)   2 sin d
г) t(t+2)
в)  sin 3(t   ) d
0
д)   2 cos d
0
2
t
t
0
г) e-5t(t-2)
2
t
2.25 a) (t+2)sh3t
2 

e d
д) 
0
б) cos2tcos3t
t
t
2
t
д)   2 sin 3d
0
13
2.26 a) (t+2)ch3t
г) e3t(t-1)
б) t3e-4t
t
в)   cos 2(t   )d
0
б) t cos 2t
2
3
2.27 a) cos 2t
2
t
в)  ch(t   )d
t
д)   cos 2d
0
г) et+1(t-2)
t
д)  chd
0
0
б) tsin 2t
3
2
2.28 a) sin 2t
t
в)  sh(t   )d
г) (t+1)(t-2)
t
д)  shd
0
2.29 a) tcost+t
4
0
б) t e
г) t(t-5)
t
t
3 -5t
в)  e
2.30 a) e3tcost
t 
sin 3d
0
0
б) t3e4t
в) t2(t-3)
t
г)  e

sin 3(t   )d
t
д)  e  sin 3d
0
3
2.31 a) cos 2t
0
–2t
б)te
sin3t
t
в)  sin  sin 2(t   )d
г) (t-1)2(t-2)
t
д)  sin  sin 2d
0
2.32 a) 3sint-cos5t
0
б) t sint
в) sin(t-2)(t-3)
3
t
г)  e
 2
sin d
б) t2sh3t
t
г)  (t   ) sh5d
0
2.34
б) t3cht
1 t
a) te  4 sin 3t
3
t

г)  3e d
0
2.35 a) t-sin5t
t
д)   sin 3d
0
0
2.33 a) t3et

 e sin 3d
д)
в) cos(t-3)(t-2)
t
д)  (3t   )e  d
0
в) et-1(t-2)
t
2 
д)   e d
0
б) t cos3t
3
в) t(t-3)
14
t
2 
г)  (t   ) e d
t
д)  sin e
б) t3cost
г) t(t-3)
t
в)  sin(t   )e
 3
d
0
4t
2.37 a) e sint
б) t ch3t
д)  e

0
б) t sh4t
г)  e
t
д)  e
 3(t  )
д)   cos 3d
d
0
б) t2sh6t
в) (t-5)(t-5)
t
0
t
д)  cose  5 d
0
б) t sin2t
в) (t+1)(t-2)
3
t
г)  cos(t   )e
 3
d
t
д)   sin 3d
0
2
2.41 a) sin 3t
0
б) e cos t
3
2
t
г)  (t   ) sin 3d
0
2
2.42 a) 5t cos3t+sh3t
б) t ch5t
г)  (t   ) sin 5d
0
2.43 a) 3te +ch2t
б) cos5tcos3t
t
г)   cos 4d
0
2.44 a) (t+7)sint
в) et+1(t-2)
t
д)   sin 2d
0
2
t
t
d
t
г)  cos 3 (t   )d
2.40 a) t +sin5t
 5
в) sin(t-2)(t)
0
5
sin d
0
4
t
2.39 a) etsin5t
 2 (t  )
в) (t-3)(t-2)
г)  sin( t   )e d
2.38 a) e sin5t
t
0
3
t
t
d
0
0
2.36 a) t+3sin2t
 3
б) sin3tcost
в) sint(t-4)
t
д)   cos 2d
0

в) cost (t  )
6
t
д)  (t   ) cos 4d
0

в) sint(t- )
3
15
t
t
г)  (t   )ch2d
д)  ch2d
0
0
в) e-5t(t-5)
б) e sin t
2t
2.45 a) tsin7t
2
t
t
д)  (t   ) cos 4d
г)   cos 4d
0
0
б) t3e-4t
2.46 a) t5-2sin2t
t
в) t(t-4)
t
д)  e t   3 d
 3
г)  e  d
0
2
0
в) e4t(t-2)
б) sin 6t
2
2
2.47 a) t -2cos t
t
t
д)  e t   4 d
 4
г)  e  d
0
0
в) e4t(t-3)
б) cos2tcos5t
2
2.48 a) t +tcos3t
t
г)  (t   ) cos d
3
0
б) t ch3t
t
г)  sin 6(t   ) d
3
0
–3t
б)te
2.50 a) (t+1)ch7t
t
в)  e
t
д)   3 sin 6d
0
в) et+2(t-1)
sin2t
t 
д)   3 cos d
0
в) e6t(t-4)
2
2.49 a) (t+3)sin5t
t
t
sin 7d
д)
0

 e sin 7d
0
Задание 3. Найти оригиналы по заданным изображениям:
3.1
3.2
3.3
а)
а)
а)
р4
р2  4 р  5
1
р2  2 р
;
;
3р  7
р2  4 р  8
;
б)
ре  р
.
р 2  25
е 4 р
б) 5 .
р
е 3 р
б)
.
( р  7) р
16
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
а)
а)
5
р ( р 2  2 р  5)
р
р 2  8 р  25
б)
;
10
а)
б)
;
р ( р 2  2 р  10)
2 р
а)
;
р ( р  3)
;
б)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
б)
3р  2
р2  4 р  3
6р
;
( р  3)( р 2  16)
3р
( р 2  9)( р  1) 2
4р 8
р ( р 2  р  1)
;
;
;
4 р
р3  4 р2  5 р
11 р  15
;
 р  1( р  6 р  25)
2
2 р 1
 р  2( р  2 р  5)
2
4
р ( р  5)
2
 р  2( р  2 р  2)
2
;
;
р5
.
р 9
е 0,5 р
2
( р  1) р
2
.
е 1,5 р
б)
.
р7
р3
а)
;
р ( р  2)
а)
е 5 р
;
;
 р  1е  3 р
р2  р  1
.
е2 р
р  4 р  13
2
е 3 р
б)
.
( р  8) р
е 4 р
б) 2
.
р  36
е р
б) 2
.
( р  1) р
е 2 р
б) 2
.
р  25
е 2 р
б)
.
р3
е 3 р
б) 2
.
р  16
е  0,5 р
б) 2
.
р  2р  5
е 3 р
б) 2
.
р  5р
е р
б)
.
( р  4) р
.
17
3.18
3.19
а)
а)
15 р  11
 р  1( р 2  8 р  25)
6 р  14
3.20
;
( р 2  4)( р 2  9)
p5
а)
;
( p  1)( p 2  2 p  2)
3.21
1
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
а)
( p  2)( p 2  4 p  5)
p  10
а)
;
2
p ( p  4 p  5)
а)
;
1
;
б)
;
15 p  11
;
( p  2)( p 2  6 p  25)
18
а)
;
( p  1)( p 2  8 p  25)
а)
а)
5
( p  2)( p 2  2 p  5)
3.28
3p  5
а) 2 2
;
p ( p  2 p  5)
р  7 р  12
е р
б) 2
.
р  р  12
e p
б)
.
2
p( p  4)
2
e 2 p
б) 2
.
p 9
e 2 p
p ( p  3)
2 p 1
а)
;
p ( p 2  2 p  2)
2
б)
е 2 р
;
.
p 1
e3 p
б) 2
.
p 4
3e  p e 3 p
б)
 3 .
p2
p
e p
б)
.
p( p  1)
2
e p
б) 2
.
p ( p  1)
e3 p
б) 2
.
p 5
e p
б) 2
.
p 1
p
а) 2
;
( p  1)( p 2  4)
pe 3 p
б) 2
.
p 4
8 p  16
а) 2
;
( p  1)( p 2  9)
3.31
2
а)
;
2
p ( p  2 p  2)
e 2 p
б)
.
2
( p  1)
pe  2 p
б) 2
.
p 9
3.29
3.30
.
18
p2  1
а)
;
2
p( p  p  1)
3.33
10
а)
;
( p  3)( p 2  4 p  13)
3.32
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
1
;
p 2 ( p  3)
2p 3
а)
;
2
p ( p  4 p  5)
8
а)
;
p ( p 2  4 p  8)
3
а)
;
p ( p 2  2 p  3)
8p
а)
;
( p  1)( p 2  2 p  5)
а)
e 2 p
б) 2
.
p  16
e 2 p
б)
.
6
p
e 4 p
б)
.
p( p  1)
e p
б)
.
p( p  1)
e 2 p
б)
.
p( p  2)
e p
б)
.
p( p  3)
1 3e  2 p
б) 2 
.
2
p
p
2 p
а) 3
;
p  2 p2  5 p
б)
3.40
2  3p
а)
;
( p  2)( p 2  2 p  3)
e p
б) 2
.
p  4p 3
3.41
p 1
а)
;
p ( p 2  2 p  6)
e 3 p
б)
.
p р  2
p3
а)
;
( p  1)( p 2  2 p  3)
3.43
10
а)
;
( p  2)( p 2  2 p  10)
3.44
1
а)
;
2
( p  1)( p  2)
3.45
6
а) 3
;
p 8
e 2 p
б)
.
p3
e  0,5 p
б)
p 1
e p
б)
.
p( p  3)
3.39
3.42

p
2
e
.
p3
e 2 p
б) 2
.
p  2 p  10
19
3.46
3p  2
а)
;
( p  1)( p 2  6 p  10)
e 2 p
б) 2
.
p  8 p  25
3.47
4 p  10
а)
;
p ( p 2  4 p  5)
e p
б) 2
.
p  2p 5
3.48
p
а) 2
;
( p  1)( p 2  2)
e 2 p
б) 2
.
p  4p 8
3.49
2 p 1
а)
;
( p  1)( p 2  2 p  3)
e 2 p
б) 2
.
p  2p
3.50
p
а) 2
( p  4 p  8) 2

p  4e  2 p
б)
.
p2  4 p  5
Задание 4. Операционным методом решить дифференциальные уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
20
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
21
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
4.48
4.49
4.50
Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений:
 х'   y, x0  2,
5.1. 
 y '   x, y0  0.
 х'   x  2 y, x0  1,
5.2. 
 y '   x  4 y, y0  1.
x0  1,
 х'   y,
5.3. 
 y '  2( x  y ), y0  1.
 х'  2 y  3t , x0  2,
5.4. 
 y '  2 x  4, y0  3.
22
 х'  2 x  y, x0  2,
5.5. 
t
 y '   x  2 y  5e sin t , y 0  3.
 х' y '   sin t , x0  1 / 2,
5.6. 
 x' y '  cos t , y0  1 / 2.
 х'  2 x  4 y  4t  1, x0  0,
5.7. 
2
 y '   x  y  1,5t , y0  0.
 х'   x  y  e t , x0  1,
5.8. 
 y '  x  y  e t , y 0   1.
 х'  7 x  y  5, x0  1,
5.9. 
 y '  2 x  5 y  37t , y0  1.
 х'  2 x  y, x0  0,
5.10. 
 y '  x  3 y, y0  0.
 х'  x  y, x0  0,
5.11. 
 y '  2 x  4 y, y0  1.
 х'  4 x  5 y, x0  0,
5.12. 
 y '  x, y0  1.
 х'   x  8 y, x0  0,
5.13. 
 y '  x  y, y0  3.
 х'  x  y, x0  2,
5.14. 
 y '   x  y, y0  1.
 х'  2 x  y, x0  1,
5.15. 
 y '   x  4 y, y0  3.
 х'  x  5 y, x0  5,
5.16. 
 y '  2 x  y, y0  5.
 х'  3x  4 y, x0  1,
5.17. 
 y '  2 x  5 y, y0  4.
 х'  x  5 y, x0  2,
5.18. 
 y '   x  3 y, y0  1.
 х'  3x  8 y, x0  6,
5.19. 
 y '   x  3 y, y0  2.
 x  x  4 y  1, x(0)  1,
5.20. 
 y  2 x  3 y  2; y (0)  2
 x  5 x  4 y  1, x(0)  1,
5.21. 
 y  2 x  11y; y (0)  2
 x  5 x  4 y, x(0)  1,
5.22. 
 y  2 x  11y  2; y (0)  1
 x  x  4 y, x(0)  1,
5.23. 
 y  x  y  5; y (0)  0
 x  3x  y  5, x(0)  0,
5.24. 
 y  x  3 y  1; y (0)  1
 x  x  4 y  1, x(0)  1,
5.25. 
 y  2 x  3 y  2; y (0)  2
 x  x  2 y  2, x(0)  1,
5.26. 
 y  3x  6 y  2; y (0)  1
23
 x  5 x  y  1, x(0)  0,
5.27. 
 y  3x  9 y; y (0)  2
 x  x  6 y  1, x(0)  0,
5.28. 
 y  2 x  9 y; y (0)  1
 x  x  3 y  3, x(0)  2,
5.29. 
 y  x  y  1; y (0)  0
 x  2 x  3 y, x(0)  0,
5.30. 
 y  2 x  y  1; y (0)  5
 x  x  2 y, x(0)  3,
5.31. 
 y  x  4 y; y (0)  1
 x  x  3 y  1, x(0)  1,
5.32. 
 y  x  5 y; y (0)  0
 x  x  4 y  1, x(0)  0,
5.33. 
 y  2 x  3 y; y (0)  1
 x  3 y  2, x(0)  1,
5.34. 
 y  x  2 y; y (0)  2
 x  7 x  5 y, x(0)  1,
5.35. 
 y  4 x  8 y  3; y (0)  0
 x  5 x  4 y  1, x(0)  2,
5.36. 
 y  2 x  3 y; y (0)  1
 x  4 x  6 y  2, x(0)  0
5.37. 
 y  4 x  2 y; y (0)  1
 x  2 x  8 y, x(0)  1,
5.38. 
 y  x  4 y  1; y (0)  0
 x  2 x  y  2, x(0)  0,
5.39. 
 y  3x; y (0)  1
 x  x  5 y  2, x(0)  0,
5.40. 
 y  7 x  3 y; y (0)  1
 x  2 x  6 y  1, x(0)  0,
5.41. 
 y  2 x  2 y; y (0)  1
 x  3x  y, x(0)  2,
5.42. 
 y  8 x  y  1; y (0)  0
 x  2 x  6 y, x(0)  1,
5.43. 
 y  2 x  2 y  1; y (0)  0
 x  x  3 y, x(0)  1,
5.44. 
 y   x  5 y; y (0)  0
 x  4 x  5 y, x(0)  1,
5.45. 
 y  2 x  y; y (0)  0
 x  7 x  y, x(0)  2,
5.46. 
 y  2 x  5 y; y (0)  1
 x  x  3 y  2, x(0)  0,
5.47. 
 y  2 x  6 y  1; y (0)  1
 x  3x  4 y, x(0)  2,
5.48. 
 y   x  2 y  1; y (0)  0
24
 x  2 x  2 y, x(0)  1,
5.49. 
 y  3x  y  1; y (0)  0
 x   x  3 y  2, x(0)  0,
5.50. 
 y  x  y  1; y (0)  1
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1: Пользуясь определением, найти изображение функции е .
Решение: В силу формулы (2) имеем
2t
е
2t

 e e
2t
 pt

dt   e
0
0
 p  2 t

e  p 2 t
1
dt 

,
  p  2 0
p2
1
.
p2
Пример 2: Найти изображение функции е2tsin7t.
Решение:Применяя формулу 9 из таблицы изображений при =2,
=7, будем иметь
7
7
e 2t sin 7t 

.
2
2
 p  2  49 р  4 р  53
Пример 3: Найти изображение функции
отсюда
e 2t 
t
 e sin 7d .
2
0
Решение: Воспользуемся свойством интегрирования оригинала и
результатом решения предыдущего примера, будем иметь
7
e 2t sin 7t 
.
р ( р 2  4 р  53)
Пример 4: Найти изображение функции
t

0
e 2 sin 7(t   )d .
25
Решение: Т. к.
e 2t 
1
7
, sin 7t  2
, то в силу теоремы о
р2
р  49
свертке (см. (14)) будем иметь
t

e 2 sin 7(t   )d 
0
1
7
 2
.
р  2 р  49
Пример 5: Найти изображение функции
е2tsin7(t-3)(t-3).
Решение: Преобразуем выражение так, чтобы можно было воспользоваться теоремой запаздывания
е2tsin7(t-3)(t-3)=е6е2(t-3)sin7(t-3)(t-3)
е6  е3 р  7
7е  3 р  2 
7e  3 p  2 
2t
 2
 2
, е sin 7t  3 t  3  2
.
р  4 р  49 р  4 р  53
p  4 p  53
Пример 6: Найти изображение функции
(t2+1 )е-t.
Решение: Используя свойство линейности и формулы 2 и 8 в
таблице изображений, получим


2
1
p2  2 p  3
t 1 е  t e  e 


.
3
3
p 1
( p  1)
 p  1
2
t
2 t
t
Пример 7: Найти оригинал функции
F  p 

1

p p 1
2
2
.
Решение: Представим данную дробно-рациональную функцию в
виде суммы простейших дробей:
1
1 1 1
1 1
1 t 1 t








t

e  e  t  sh t.
2
2
2
2
р

1
2
р

1
2
2
p p 1
р
Здесь мы воспользовались формулами 2 и 3 из таблицы оригиналов.
Операционный метод особенно просто применяется к решению
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентами и систем таких уравнений. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример 8: Решить дифференциальное уравнение х+х=е2t.
Решение: Пусть x(t)X(p), тогда x(t)рX(p)-1, x (t)р2X(p)-р-2,
x (t)р3X(p)-р2-2р-0 согласно свойству дифференцирования изобра-


26
2t
e

жения, кроме того,
1
.
р  2 Тогда данное уравнение в изображе-
ниях примет вид:
р 3 Х ( р)  р 2  2 р  рХ ( р) 
( р3  р) Х ( р) 
Х ( р) 
1
р2
1
 р2  2 р 1
р2
р3  3 р  1
р( р 2  1)( р  2)
.
Разложив функцию Х(р) на простейшие дроби с помощью неопределенных коэффициентов, получим
Х  р 
0,5
0,1
0,4 р  1,8


 0,5  0,1е 2t  0,4 cos t  1,8 sin t.
2
р
р2
р 1
Тогда решение х(t)=0,5+0,1e2t+0,4cost+1,8sint.
Пример 9: Решить систему
(2 х  х  9 х)  ( у  у  3 у)  0

(2 х  х  7 х)  ( у  у  5 у)  0
при начальных условиях х(0)=х(0)=1, у(0)=у(0)=0.
Решение: Пусть x(t)X(p), у(t)У(p), тогда x(t)рX(p)-1,
x(t)р2X(p)-р-1, у(t)рУ(p), у (t)р2У(p), согласно свойству дифференцирования изображения. Перейдем к операторной системе
 (2 р 2  р  9) Х ( р)  ( р 2  р  3)У ( р)  2 р  1

(2 р 2  р  7) Х ( р)  ( р 2  р  5)У ( р)  2 р  3
Для упрощения системы найдем сумму и разность ее уравнений:
27
2( р  1)

2
Х
(
р
)

У
(
р
)


р2  4


.
 Х ( р)  У ( р)  1

р 1
Отсюда
2
р
2
1
1 1

 Х ( р)  3  р 2  4  3  р 2  4  3  р  1


У ( р )  2  1  2  1  2  р

3 р 1 3 р2  4 3 р2  4

.
Переходя к оригиналам, найдем решение
1 t



х
t

e  2 cos 2t  sin 2t

3

 y t   1 2et  2 cos 2t  sin 2t .

3




БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. “Наука” 1983. (Гл.  с. 492-587)
2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М. “Наука“ 1985.
3. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.
“Мир“ 1985.
4. Карлслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М. “Наука“ 1983.
5. Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные
явления в электрических цепях. М. “Наука“ 1983.
6. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. “Высшая школа“ 1988. (с. 205-216)