1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Курский государственный технический университет Кафедра высшей математики Р азвитие И ндивидуального Т ворческого М ышления ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Индивидуальные задания к модулю №15.1 Курск 2002 2 Составители: Е.А .БОЙЦОВА, В.И.ДРОЗДОВ УДК 510(083) Рецензент: Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.Дмитриев В.И Операционное исчисление. Методические указания к выполнению модуля 15.1 / Курск. гос. техн. ун.-т; Сост. Е.А Бойцова., В.И. Дроздов. Курск, 2002. 26 с. Работа предназначена для студентов всех специальностей. Библиогр. 6 назв. Текст печатается в авторской редакции ИД № 06430 от 10.12.2001. ПЛД № 50-25 от 1. 04. 97. Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,56. Уч. изд. л.0,52. Тираж 100 экз. Заказ . Курский государственный технический университет. Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94. 3 СОДЕРЖАНИЕ Общие указания……………………………………………………… 4 Общие теоретические положения……………………….…………...4 Теоретические вопросы………………………………………………8 Задание №1………………………………………………………… ..9 Задание №2………………………………………………………… ..9 Задание №3………………………………………………………… 15 Задание №4………………………………………………………… 18 Задание №5………………………………………………………… 20 Примеры выполнения заданий……………………………………..23 Библиографический список……………………………………….. 26 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих курс операционного исчисления и работающих в системе «Ритм». Оно содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетные задания к модулю 15.1 – «Операционное исчисление». Самостоятельное выполнение этих заданий послужит закреплению у студентов умения использовать теорию преобразования Лапласа в прикладных вопросах высшей математики. Теоретические сведения по данному разделу курса высшей математики см. в работах [1,3,4,5]. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Определение. Любая комплексная функция f(t) действительного аргумента t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) f(t) – кусочно-непрерывная функция, т.е. на любом конечном отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода; 2) f(t)=0 при t<0; 3) f(t) – функция ограниченного роста, т. е. существуют такие постоянные M>0 и s, что для всех t выполняется соотношение f(t) Меst (1) Нижняя грань s0 всех чисел s, для которых справедливо неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда: 1, t 0 t 0, t 0 Очевидно, умножение функции (t) на (t) “гасит” эту функцию при t<0 и оставляет без изменения при при t0, т. е. t , t 0 f t t t 0, t 0 5 Определение. Изображением функции f(t) (по Лапласу) называется функция комплексного переменного p=s+i, определяемая соотношением: F p f t e pt dt , (2) 0 где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу “функция f(t) имеет своим изображением F(p)” будем записывать символом: f(t) ÷ F(p) или F(p) ÷ f(t). Теорема 1. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено в полуплоскости Rep>s0 , где s0 - показатель роста для f(t), и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Теорема 2. Если функция f является оригиналом и F(p) служит ее изображением, то в любой точке t, в которой функция f непрерывна, справедливо равенство: 1 a i pt f t e F p dp, 2i a i (3) где интеграл берется вдоль любой прямой Rep=а>s0 и понимается в смысле главного значения, т. е. как предел интеграла вдоль отрезка [a-ib; a+ib] при b . Теорема 3. Оригинал f(t) вполне определяется своим изображением F(p) с точностью до значений в точках разрыва f(t). Теорема разложения. Пусть функция F(p): 1) мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости Rep>s0; 2) существует система окружностей Сп : pRn, R1<R2<…<Rn, на которой F(p) стремится к нулю равномерно относительно arg p; a i 3) для любого а>s0 абсолютно сходится интеграл e pt F p dp. Тогда a i оригиналом F(p) служит (умноженная на (t)) функция 6 f t resF p e pt , (4) p pk k где сумма вычетов берется по всем особым точкам рk функции F(p) в порядке неубывания их модулей. 1. Свойство линейности. Для любых (комплексных) постоянных и : f(t)+ g(t) F(p)+ G(p). 2. Теорема подобия. Для любого постоянного 1 p f t F (5) 3. Дифференцирование оригинала. Если функция f(t) непрерывна при t>0 и f’(t) или вообще f ( п)(t) является оригиналом, то f’(t) ÷ pF(p)-f(0) (6) или f (п)(t) ÷ pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f (0)-…-f (n-1)(0), (7) k где под f k(0) понимается правое предельное значение lim f (0) . t 0 4. Дифференцирование изображения: Дифференцирование изображения сводится к умножению на –t оригинала, или вообще F(п)(p) ÷ (-1)пtnf(t). (8) 5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р t f t dt 0 F p p (9) 6. Интегрирование изображения. Если интеграл F p dp р сходится, то он служит изображением функции f(t)/t : f t F p dp t р (10) (интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала). 7. Теорема запаздывания. Для любого положительного f(t-) ÷ е-рF(p) (11) (включение оригинала с запаздыванием на равносильно умножению изображения на е-р). 7 8. Теорема опережения. Для любого положительного f t e p ( F p f t e pt dt ) (12) 0 9. Теорема смещения. Для любого комплексного р0 е р0t f(t) ÷ F(p-p0) (13) (“смещение” изображения на р0 равносильно умножению оригинала р t на е 0 ). 10. Теорема умножения (Э. Борель) ( или теорема о свертке). Произведение двух изображений F(p) и G(p) является изображением, причем t f g t d F p G p (14) 0 11. Интеграл Дюамеля. t рF p G p f 0g t f g t d (15) 0 Кроме того, имеют место следующие предельные соотношения: lim pF p lim f t ; lim pF p f 0 , 1) p Re p 2) p Re p 3) 0 t 0 f t dt F p dp, t f t t dt. 0 f t f ; если существует предел tlim если сходится несобственный интеграл 0 Таблица оригиналов и их изображений № Оригинал Изображение 8 1 2 (t) et п! 3 t 4 5 6 7 n р sint cost sht cht 8 tneat 9 10 11 12 1 р 1 р etsint etcost tsint tcost п 1 , п N р2 2 р р2 2 р2 2 р р2 2 п! ( р ) п 1 ( р )2 2 р ( р )2 2 2 р ( р 2 2 )2 р2 2 ( р 2 2 )2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 9 1. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и аналитичность преобразования Лапласа. 2. Свойства преобразования Лапласа (линейности, подобия, смещения, запаздывания). 3. Дифференцирование оригинала и изображения. 4. Интегрирование оригинала и изображения. 5. Понятие свертки. Изображение свертки. Интеграл Дюамеля. 6. Методы отыскания оригинала по изображению. 7. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом. ЗАДАНИЯ Задание1. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций: 1.1. 1.4. 1.7. 1.10. 1.13. 1.16. 1.19. 1.22. 1.25. 1.28. 1.31 1.34. 1.37 1.40. 1.43. 1.46. 1.49. t ch t sin 2t 3t t - sin t sin2t sin 3t 5t sh t t2 2t - e2t t - cos t sin23t 2t - 5t t2sh2 t te -3t t cos2 t 1.2. sin t 1.5. et 1.8. cos 2t 1.11. 1 - 2t 1.14. tet 1.17. tsh t 1.20. cos 3t 1.23. te-2t 1.26. ch 2t 1.29. cos 3t 1.32. t cos t 1.35. 5 - et 1.38 tsh5 t 1.41. t2-3t+7 1.44 t cos2 t 1.47. 3t - 2t2 1.50. t sin2t 1.3. 1.6. 1.9. 1.12. 1.15. 1.18. 1.21. 1.24. 1.27. 1.30. 1.33 1.36. 1.39 1.42 1.45. 1.48. cos t 2t sh 2t sin 3t t - et cos2t sh 3t t sin t e-5t tch t 3 -5t 3t - 3t t sin2 t cos22t t3 7 t –cos3 t Задание 2. Найти изображения следующих функций: 10 2.1 a) 2sint-cos3t б) t2cost г) sin(t-2)(t-3) t t в) д) sh2(t )d sh2d 0 0 2.2 a) t2et б) t2sint г) cos(t-3)(t-2) t t 2 e d в) д) 0 2.3 0 б) t2sht 1 t a) te 2 sin 2t 2 t в) e г)sin(t-3)(t-2) t t д) e sin d sin d a) t-sin3t б) t2cht t в) e г) cos(t-2)(t-1) t д) e sin d 0 2.5 a) t+2sin3t t д) 0 a) e sint б) t sin2t г) t(t-1) t t д) (t )e d e d 0 0 2.7 a) etsin3t б) t2ch2t t г) t(t-2) t в) (t ) e d 3 3 д) e d 0 2.8 2t a) e cos3t 0 б) t sh2t в) sin(t )e 0 2.9 a) t +sin3t г) (t-1)(t-2) 2 t 3 sin 2d 0 2 в) sin d г) et-2(t-1) б) t cost в) (t ) sh2d 2.6 (t ) 0 2 t 2t 0 0 2.4 2 ( t ) e d б) t sh3t 2 2 t d д) sin e 2 0 г) sin(t-1)(t) d 11 t в) sin e 3 t 3(t ) sin d д) e d 0 0 2.10 a) cos2t б) t2sin3t t e в) 2 (t ) г) (t-3)(t-3) t d д) 0 2 2.11 a) sin t 0 б) t cos3t г) (t+2)(t-1) 2 t в) cos 2 (t )d 0 2 2.12 a) 4t cos2t+sh2t t д) cos 2d 0 г) et(t-1) б) e cos t 2 2 t в) cos(t )e 2 0 2.13 a) tet+cht d t д) cos e б) t2ch3t 3 в) cos e d d г) et+2(t-1) t 3 д) cos(t )e d 0 0 б) costcos3t г) sint(t-3) t в) (t ) sin 2d 0 2.15 a) tsin5t 2 0 t 2.14 a) (t+1)sint 2 e d t д) sin 2d 0 б) sintcos3t г) cost (t ) 3 t в) sin 3d 0 2.16 a) tcost б) etsin2t t д) (t ) sin 3d 0 г) sint(t- ) 6 t t в) (t ) cos 3d 0 0 2.17 a) tsin2t д) cos 3d б) e cos t t 2 г) cost(t- ) 6 12 t t д) (t ) cos 2d в) cos 2d 0 0 2.18 a) t-sin2t г) et(t-4) б) t4et t t в) (t )chd д) chd 0 2.19 a) t-cos2t 0 б) t2e-2t г) (t-1)(t-1) t t д) (t ) cos d в) cos d 0 0 2.20 a) t3+tcost б) sin23t t в) e г) t(t-2) (t ) 2 d 0 2.21 a) tsh2t г) e2t(t-1) t д) e t 2 d 2 в) e d 0 5t 2.22 a) e cos3t 0 г) e3t(t-1) б) t sin4t 2 t t д) (t )e 3 d 3 в) e d 0 5t 2.23 a) e sin3t 0 г) e-2t(t-1) б) tcos 2t 2 t в) (t ) cos d 2 0 2.24 a) (t+1)sin3t б) tsin 3t в) (t ) sin d 2 0 б) t cht t д) 2 sin d г) t(t+2) в) sin 3(t ) d 0 д) 2 cos d 0 2 t t 0 г) e-5t(t-2) 2 t 2.25 a) (t+2)sh3t 2 e d д) 0 б) cos2tcos3t t t 2 t д) 2 sin 3d 0 13 2.26 a) (t+2)ch3t г) e3t(t-1) б) t3e-4t t в) cos 2(t )d 0 б) t cos 2t 2 3 2.27 a) cos 2t 2 t в) ch(t )d t д) cos 2d 0 г) et+1(t-2) t д) chd 0 0 б) tsin 2t 3 2 2.28 a) sin 2t t в) sh(t )d г) (t+1)(t-2) t д) shd 0 2.29 a) tcost+t 4 0 б) t e г) t(t-5) t t 3 -5t в) e 2.30 a) e3tcost t sin 3d 0 0 б) t3e4t в) t2(t-3) t г) e sin 3(t )d t д) e sin 3d 0 3 2.31 a) cos 2t 0 –2t б)te sin3t t в) sin sin 2(t )d г) (t-1)2(t-2) t д) sin sin 2d 0 2.32 a) 3sint-cos5t 0 б) t sint в) sin(t-2)(t-3) 3 t г) e 2 sin d б) t2sh3t t г) (t ) sh5d 0 2.34 б) t3cht 1 t a) te 4 sin 3t 3 t г) 3e d 0 2.35 a) t-sin5t t д) sin 3d 0 0 2.33 a) t3et e sin 3d д) в) cos(t-3)(t-2) t д) (3t )e d 0 в) et-1(t-2) t 2 д) e d 0 б) t cos3t 3 в) t(t-3) 14 t 2 г) (t ) e d t д) sin e б) t3cost г) t(t-3) t в) sin(t )e 3 d 0 4t 2.37 a) e sint б) t ch3t д) e 0 б) t sh4t г) e t д) e 3(t ) д) cos 3d d 0 б) t2sh6t в) (t-5)(t-5) t 0 t д) cose 5 d 0 б) t sin2t в) (t+1)(t-2) 3 t г) cos(t )e 3 d t д) sin 3d 0 2 2.41 a) sin 3t 0 б) e cos t 3 2 t г) (t ) sin 3d 0 2 2.42 a) 5t cos3t+sh3t б) t ch5t г) (t ) sin 5d 0 2.43 a) 3te +ch2t б) cos5tcos3t t г) cos 4d 0 2.44 a) (t+7)sint в) et+1(t-2) t д) sin 2d 0 2 t t d t г) cos 3 (t )d 2.40 a) t +sin5t 5 в) sin(t-2)(t) 0 5 sin d 0 4 t 2.39 a) etsin5t 2 (t ) в) (t-3)(t-2) г) sin( t )e d 2.38 a) e sin5t t 0 3 t t d 0 0 2.36 a) t+3sin2t 3 б) sin3tcost в) sint(t-4) t д) cos 2d 0 в) cost (t ) 6 t д) (t ) cos 4d 0 в) sint(t- ) 3 15 t t г) (t )ch2d д) ch2d 0 0 в) e-5t(t-5) б) e sin t 2t 2.45 a) tsin7t 2 t t д) (t ) cos 4d г) cos 4d 0 0 б) t3e-4t 2.46 a) t5-2sin2t t в) t(t-4) t д) e t 3 d 3 г) e d 0 2 0 в) e4t(t-2) б) sin 6t 2 2 2.47 a) t -2cos t t t д) e t 4 d 4 г) e d 0 0 в) e4t(t-3) б) cos2tcos5t 2 2.48 a) t +tcos3t t г) (t ) cos d 3 0 б) t ch3t t г) sin 6(t ) d 3 0 –3t б)te 2.50 a) (t+1)ch7t t в) e t д) 3 sin 6d 0 в) et+2(t-1) sin2t t д) 3 cos d 0 в) e6t(t-4) 2 2.49 a) (t+3)sin5t t t sin 7d д) 0 e sin 7d 0 Задание 3. Найти оригиналы по заданным изображениям: 3.1 3.2 3.3 а) а) а) р4 р2 4 р 5 1 р2 2 р ; ; 3р 7 р2 4 р 8 ; б) ре р . р 2 25 е 4 р б) 5 . р е 3 р б) . ( р 7) р 16 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 а) а) 5 р ( р 2 2 р 5) р р 2 8 р 25 б) ; 10 а) б) ; р ( р 2 2 р 10) 2 р а) ; р ( р 3) ; б) а) а) а) а) а) а) а) а) б) 3р 2 р2 4 р 3 6р ; ( р 3)( р 2 16) 3р ( р 2 9)( р 1) 2 4р 8 р ( р 2 р 1) ; ; ; 4 р р3 4 р2 5 р 11 р 15 ; р 1( р 6 р 25) 2 2 р 1 р 2( р 2 р 5) 2 4 р ( р 5) 2 р 2( р 2 р 2) 2 ; ; р5 . р 9 е 0,5 р 2 ( р 1) р 2 . е 1,5 р б) . р7 р3 а) ; р ( р 2) а) е 5 р ; ; р 1е 3 р р2 р 1 . е2 р р 4 р 13 2 е 3 р б) . ( р 8) р е 4 р б) 2 . р 36 е р б) 2 . ( р 1) р е 2 р б) 2 . р 25 е 2 р б) . р3 е 3 р б) 2 . р 16 е 0,5 р б) 2 . р 2р 5 е 3 р б) 2 . р 5р е р б) . ( р 4) р . 17 3.18 3.19 а) а) 15 р 11 р 1( р 2 8 р 25) 6 р 14 3.20 ; ( р 2 4)( р 2 9) p5 а) ; ( p 1)( p 2 2 p 2) 3.21 1 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 а) ( p 2)( p 2 4 p 5) p 10 а) ; 2 p ( p 4 p 5) а) ; 1 ; б) ; 15 p 11 ; ( p 2)( p 2 6 p 25) 18 а) ; ( p 1)( p 2 8 p 25) а) а) 5 ( p 2)( p 2 2 p 5) 3.28 3p 5 а) 2 2 ; p ( p 2 p 5) р 7 р 12 е р б) 2 . р р 12 e p б) . 2 p( p 4) 2 e 2 p б) 2 . p 9 e 2 p p ( p 3) 2 p 1 а) ; p ( p 2 2 p 2) 2 б) е 2 р ; . p 1 e3 p б) 2 . p 4 3e p e 3 p б) 3 . p2 p e p б) . p( p 1) 2 e p б) 2 . p ( p 1) e3 p б) 2 . p 5 e p б) 2 . p 1 p а) 2 ; ( p 1)( p 2 4) pe 3 p б) 2 . p 4 8 p 16 а) 2 ; ( p 1)( p 2 9) 3.31 2 а) ; 2 p ( p 2 p 2) e 2 p б) . 2 ( p 1) pe 2 p б) 2 . p 9 3.29 3.30 . 18 p2 1 а) ; 2 p( p p 1) 3.33 10 а) ; ( p 3)( p 2 4 p 13) 3.32 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 1 ; p 2 ( p 3) 2p 3 а) ; 2 p ( p 4 p 5) 8 а) ; p ( p 2 4 p 8) 3 а) ; p ( p 2 2 p 3) 8p а) ; ( p 1)( p 2 2 p 5) а) e 2 p б) 2 . p 16 e 2 p б) . 6 p e 4 p б) . p( p 1) e p б) . p( p 1) e 2 p б) . p( p 2) e p б) . p( p 3) 1 3e 2 p б) 2 . 2 p p 2 p а) 3 ; p 2 p2 5 p б) 3.40 2 3p а) ; ( p 2)( p 2 2 p 3) e p б) 2 . p 4p 3 3.41 p 1 а) ; p ( p 2 2 p 6) e 3 p б) . p р 2 p3 а) ; ( p 1)( p 2 2 p 3) 3.43 10 а) ; ( p 2)( p 2 2 p 10) 3.44 1 а) ; 2 ( p 1)( p 2) 3.45 6 а) 3 ; p 8 e 2 p б) . p3 e 0,5 p б) p 1 e p б) . p( p 3) 3.39 3.42 p 2 e . p3 e 2 p б) 2 . p 2 p 10 19 3.46 3p 2 а) ; ( p 1)( p 2 6 p 10) e 2 p б) 2 . p 8 p 25 3.47 4 p 10 а) ; p ( p 2 4 p 5) e p б) 2 . p 2p 5 3.48 p а) 2 ; ( p 1)( p 2 2) e 2 p б) 2 . p 4p 8 3.49 2 p 1 а) ; ( p 1)( p 2 2 p 3) e 2 p б) 2 . p 2p 3.50 p а) 2 ( p 4 p 8) 2 p 4e 2 p б) . p2 4 p 5 Задание 4. Операционным методом решить дифференциальные уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям: 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 20 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 21 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40 4.41 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений: х' y, x0 2, 5.1. y ' x, y0 0. х' x 2 y, x0 1, 5.2. y ' x 4 y, y0 1. x0 1, х' y, 5.3. y ' 2( x y ), y0 1. х' 2 y 3t , x0 2, 5.4. y ' 2 x 4, y0 3. 22 х' 2 x y, x0 2, 5.5. t y ' x 2 y 5e sin t , y 0 3. х' y ' sin t , x0 1 / 2, 5.6. x' y ' cos t , y0 1 / 2. х' 2 x 4 y 4t 1, x0 0, 5.7. 2 y ' x y 1,5t , y0 0. х' x y e t , x0 1, 5.8. y ' x y e t , y 0 1. х' 7 x y 5, x0 1, 5.9. y ' 2 x 5 y 37t , y0 1. х' 2 x y, x0 0, 5.10. y ' x 3 y, y0 0. х' x y, x0 0, 5.11. y ' 2 x 4 y, y0 1. х' 4 x 5 y, x0 0, 5.12. y ' x, y0 1. х' x 8 y, x0 0, 5.13. y ' x y, y0 3. х' x y, x0 2, 5.14. y ' x y, y0 1. х' 2 x y, x0 1, 5.15. y ' x 4 y, y0 3. х' x 5 y, x0 5, 5.16. y ' 2 x y, y0 5. х' 3x 4 y, x0 1, 5.17. y ' 2 x 5 y, y0 4. х' x 5 y, x0 2, 5.18. y ' x 3 y, y0 1. х' 3x 8 y, x0 6, 5.19. y ' x 3 y, y0 2. x x 4 y 1, x(0) 1, 5.20. y 2 x 3 y 2; y (0) 2 x 5 x 4 y 1, x(0) 1, 5.21. y 2 x 11y; y (0) 2 x 5 x 4 y, x(0) 1, 5.22. y 2 x 11y 2; y (0) 1 x x 4 y, x(0) 1, 5.23. y x y 5; y (0) 0 x 3x y 5, x(0) 0, 5.24. y x 3 y 1; y (0) 1 x x 4 y 1, x(0) 1, 5.25. y 2 x 3 y 2; y (0) 2 x x 2 y 2, x(0) 1, 5.26. y 3x 6 y 2; y (0) 1 23 x 5 x y 1, x(0) 0, 5.27. y 3x 9 y; y (0) 2 x x 6 y 1, x(0) 0, 5.28. y 2 x 9 y; y (0) 1 x x 3 y 3, x(0) 2, 5.29. y x y 1; y (0) 0 x 2 x 3 y, x(0) 0, 5.30. y 2 x y 1; y (0) 5 x x 2 y, x(0) 3, 5.31. y x 4 y; y (0) 1 x x 3 y 1, x(0) 1, 5.32. y x 5 y; y (0) 0 x x 4 y 1, x(0) 0, 5.33. y 2 x 3 y; y (0) 1 x 3 y 2, x(0) 1, 5.34. y x 2 y; y (0) 2 x 7 x 5 y, x(0) 1, 5.35. y 4 x 8 y 3; y (0) 0 x 5 x 4 y 1, x(0) 2, 5.36. y 2 x 3 y; y (0) 1 x 4 x 6 y 2, x(0) 0 5.37. y 4 x 2 y; y (0) 1 x 2 x 8 y, x(0) 1, 5.38. y x 4 y 1; y (0) 0 x 2 x y 2, x(0) 0, 5.39. y 3x; y (0) 1 x x 5 y 2, x(0) 0, 5.40. y 7 x 3 y; y (0) 1 x 2 x 6 y 1, x(0) 0, 5.41. y 2 x 2 y; y (0) 1 x 3x y, x(0) 2, 5.42. y 8 x y 1; y (0) 0 x 2 x 6 y, x(0) 1, 5.43. y 2 x 2 y 1; y (0) 0 x x 3 y, x(0) 1, 5.44. y x 5 y; y (0) 0 x 4 x 5 y, x(0) 1, 5.45. y 2 x y; y (0) 0 x 7 x y, x(0) 2, 5.46. y 2 x 5 y; y (0) 1 x x 3 y 2, x(0) 0, 5.47. y 2 x 6 y 1; y (0) 1 x 3x 4 y, x(0) 2, 5.48. y x 2 y 1; y (0) 0 24 x 2 x 2 y, x(0) 1, 5.49. y 3x y 1; y (0) 0 x x 3 y 2, x(0) 0, 5.50. y x y 1; y (0) 1 ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1: Пользуясь определением, найти изображение функции е . Решение: В силу формулы (2) имеем 2t е 2t e e 2t pt dt e 0 0 p 2 t e p 2 t 1 dt , p 2 0 p2 1 . p2 Пример 2: Найти изображение функции е2tsin7t. Решение:Применяя формулу 9 из таблицы изображений при =2, =7, будем иметь 7 7 e 2t sin 7t . 2 2 p 2 49 р 4 р 53 Пример 3: Найти изображение функции отсюда e 2t t e sin 7d . 2 0 Решение: Воспользуемся свойством интегрирования оригинала и результатом решения предыдущего примера, будем иметь 7 e 2t sin 7t . р ( р 2 4 р 53) Пример 4: Найти изображение функции t 0 e 2 sin 7(t )d . 25 Решение: Т. к. e 2t 1 7 , sin 7t 2 , то в силу теоремы о р2 р 49 свертке (см. (14)) будем иметь t e 2 sin 7(t )d 0 1 7 2 . р 2 р 49 Пример 5: Найти изображение функции е2tsin7(t-3)(t-3). Решение: Преобразуем выражение так, чтобы можно было воспользоваться теоремой запаздывания е2tsin7(t-3)(t-3)=е6е2(t-3)sin7(t-3)(t-3) е6 е3 р 7 7е 3 р 2 7e 3 p 2 2t 2 2 , е sin 7t 3 t 3 2 . р 4 р 49 р 4 р 53 p 4 p 53 Пример 6: Найти изображение функции (t2+1 )е-t. Решение: Используя свойство линейности и формулы 2 и 8 в таблице изображений, получим 2 1 p2 2 p 3 t 1 е t e e . 3 3 p 1 ( p 1) p 1 2 t 2 t t Пример 7: Найти оригинал функции F p 1 p p 1 2 2 . Решение: Представим данную дробно-рациональную функцию в виде суммы простейших дробей: 1 1 1 1 1 1 1 t 1 t t e e t sh t. 2 2 2 2 р 1 2 р 1 2 2 p p 1 р Здесь мы воспользовались формулами 2 и 3 из таблицы оригиналов. Операционный метод особенно просто применяется к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентами и систем таких уравнений. Рассмотрим это на конкретном примере. Пример 8: Решить дифференциальное уравнение х+х=е2t. Решение: Пусть x(t)X(p), тогда x(t)рX(p)-1, x (t)р2X(p)-р-2, x (t)р3X(p)-р2-2р-0 согласно свойству дифференцирования изобра- 26 2t e жения, кроме того, 1 . р 2 Тогда данное уравнение в изображе- ниях примет вид: р 3 Х ( р) р 2 2 р рХ ( р) ( р3 р) Х ( р) Х ( р) 1 р2 1 р2 2 р 1 р2 р3 3 р 1 р( р 2 1)( р 2) . Разложив функцию Х(р) на простейшие дроби с помощью неопределенных коэффициентов, получим Х р 0,5 0,1 0,4 р 1,8 0,5 0,1е 2t 0,4 cos t 1,8 sin t. 2 р р2 р 1 Тогда решение х(t)=0,5+0,1e2t+0,4cost+1,8sint. Пример 9: Решить систему (2 х х 9 х) ( у у 3 у) 0 (2 х х 7 х) ( у у 5 у) 0 при начальных условиях х(0)=х(0)=1, у(0)=у(0)=0. Решение: Пусть x(t)X(p), у(t)У(p), тогда x(t)рX(p)-1, x(t)р2X(p)-р-1, у(t)рУ(p), у (t)р2У(p), согласно свойству дифференцирования изображения. Перейдем к операторной системе (2 р 2 р 9) Х ( р) ( р 2 р 3)У ( р) 2 р 1 (2 р 2 р 7) Х ( р) ( р 2 р 5)У ( р) 2 р 3 Для упрощения системы найдем сумму и разность ее уравнений: 27 2( р 1) 2 Х ( р ) У ( р ) р2 4 . Х ( р) У ( р) 1 р 1 Отсюда 2 р 2 1 1 1 Х ( р) 3 р 2 4 3 р 2 4 3 р 1 У ( р ) 2 1 2 1 2 р 3 р 1 3 р2 4 3 р2 4 . Переходя к оригиналам, найдем решение 1 t х t e 2 cos 2t sin 2t 3 y t 1 2et 2 cos 2t sin 2t . 3 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. “Наука” 1983. (Гл. с. 492-587) 2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М. “Наука“ 1985. 3. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М. “Мир“ 1985. 4. Карлслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М. “Наука“ 1983. 5. Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. М. “Наука“ 1983. 6. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. “Высшая школа“ 1988. (с. 205-216)