Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГБОУ СПО СО Техникум индустрии питания и услуг «Кулинар»
Рассмотрено на МК
«___»________2012 г
Руководитель МК
_____________________
Е.В. Костылева
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УР
Т.Ю.Полякова
«___»________2012г.______
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практических работ
по дисциплине Математика для студентов 1 курса специальности
260807 -Технология продукции общественного питания
Разработчик: преподаватель
ТИПУ «Кулинар»
Е.В.Костылева
Екатеринбург, 2012г.
1
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Тема практической работы
№
п/п
1 Основные свойства функции
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Простейшие показательные уравнения
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Свойства степени. Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Простейшие логарифмические неравенства
Тригонометрические преобразования
Тригонометрические уравнения
Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Построение графиков функций с помощью производных
Решение задач на вычисление площади криволинейной трапеции
Вычисление площади поверхности и объема многогранников
Вычисление площади поверхности и объема круглого тела
Решение задач методом координат
2
Практическая работа № 1
Тема: Основные свойства функции
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) Закрепить умения исследования, построения и описания графиков функции,
Ход работы
I. Ответить на вопросы по вариантам.
II. Решить задачи
III. Составить вывод по работе.( в выводе указать свойства функций,
применяемые при решении задач)
Методические рекомендации
1. При решении задач на исследования ООФ следует учитывать дробные и
рациональные выражения знаменатель дроби не должен быть равен нулю,
подкоренное выражение арифметического корня четной степени не отрицательно.
2. При исследовании функции на четность (нечетность) следует помнить, что
функция общего вида не меняет и не сохраняет знак.
3. Ymax – это самое большое из всех значений функции (наибольшее значение
функции)
Ymin – самое меньшее (наименьшее значение функции)
4. Монотонность функции следует определять по графику слева на право.
5. при построении графика функции следует применять свойства соответствия
– каждому x должно соответствовать только одно y.
3
Задание к практической работе №1
Тема: Основные свойства функции
Вариант I
1. Дайте определение функции и приведите примеры функциональных зависимостей.
2. Перечислите способы задания функций и приведите примеры.
3. Какая функция называется монотонной?
4. Закончите предложение. Областью определения функции называется ___________
_______________________
5. Какие виды промежутков вы знаете. Приведите примеры.
6. Что представляет собой множество значений функции?
7. Функция называется четной, если __________________________________________
8. Запишите условие нечетной функции. ______________________________________
9. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.
10. Изобразите график линейной функции.
Решите задачи.
1. Найти область определения следующей функции:
а) y x x 1
*г) y
4 x 10
2x 8
б) y x 2 x 8
*д) y
*в) y
9 x
x 3
x 1 2 x 3
x 2 6x 8
2. Исследуйте функцию на четность (нечетность):
а) y 3t 4 2t 3 1
г) y x 4
б) y
x2 5
2x 1
*в) y
9 x
x 3
x
3
3. Функция задана условием:
X 1 4 -1 5 6 7 8 0 -2
Y 5 0 4
2 1 0 4 5 3
-3
4
-4
0
Найти: Наибольшее и наименьшее значение на промежутке [-1;8]
Построить график.
4. Решите графически уравнение:
а) x 3 x 1
5. Постройте график функций:
а) y 3x 7 x 2
*б) y 2 x 1
2
г) y ( x 4) 2
б) 2 x 8 6 x 5
*в) y 2 x 2 x 1
4
Задание к практической работе №1
Тема: Основные свойства функции
Вариант II
1. Что называется функцией? Приведите примеры.
2. Закончите предложение. Все действительные значения аргумента. При которых
функция имеет смысл называться ________________________
3. Запишите условия четности функции.
4. Что называется постоянством знака функции?
5. Изобразите график квадратичной функции.
6. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.
7. Графиком функции называется ___________________________________
8. Что называется аргументом функции?
9. Какое значение функции называется наибольшим/наименьшим?
10. Как найти область определения дробной функции?
Решите задачи.
1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:
а) y 2 x 3
б) y
1
x2
*в) y x 2 2 x
*г) y 4 x 1
2. Функция задана условием:
2 x 2 2,
x
если x 1
3
x
4
,
если x 1
Найти (0) ; (1) ; (4,5) ; (6); (18)
Построить график.
3. Решите графически уравнение:
x 2 2x 2 x 2
4. Найдите область определения уравнения следующих функций:
а) y 2 x 2 x
г) y 3x 7 x 2
б) y
x4
в) y
x 2
x
д) y x 3
3
5. Построить график функций:
а) y 2 x 2 3x 1
б) y 2 x 1
*г) y ( x 2)(x 3)
1
1 x 2x 2
*в) y 4 x 2
5
Оценочный лист
Практическая работа № 1
Тема: Основные свойства функции
Компетенции
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность,
выбирать типовые методы и
способы выполнения
профессиональных задач,
оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации, необходимой
для эффективного выполнения
профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Основные свойства
функций».
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
6
42
Практическая работа № 2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) Закрепить умения применения свойств степени и арифметического корня при
решении простейших показательных уравнений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы
1) Что называется степенью
2) Какую теорему применяют при решении простейшего показательного
уравнения?
3) Какие преобразования необходимо провести для решения простейшего
показательного уравнения?
4) Какие простейшие показательные уравнения не могут иметь решений?
II y (4,3) x
5) Построить и описать графики: I y (0,2) x ;
II. Решить уравнения
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Степень всегда положительное число
2. На выражение степени можно делить или умножать обе части уравнения
3. Любое
показательное
уравнение
следует
привести
к
виду
a f(x) a g(x)
f(x) g(x)
4. Основание степеней должны быть одинаковыми (равными)
5. Если основание степени больше единицы, показательная функция y = ax
возрастает, если же основание степени больше нуля, но меньше единицы, то
функция y = ax убывает на всей области определения
7
Задание к практической работе №2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Вариант I
1. 3 128 4
5
6.
3
2х
х
9
25
х 2 2 х 11
х
2
9
27
2.
64
3 8
7. 5 х 15 25 х
2
8. 7
3. 2 х 6 х2,5 16 2
2
3
4.
х 1
3 х 7
7
7
3
3х
1/ 3х
5. 2 512
х 2 х {3
2
74 7
7 х 3
9. 10 х 100
10. 2 х1 16 0,25
Вариант II
1.
1
2
64
3
2.
4
х 1
4
6. 5,2х 5 х 6 1
1
8
2
8
4 х
9
16
3
3. 15 х х 2
2
1
4. 3
3
7. х 27 2 х 1 9 2 х 1
1
х4
х 3
х
1
27
8. 7 х 3 343
х
9. 8 х 5 х6 1
2
10. 2 х 5 х 0,1 10 х 1
2
х
5
5. 5 625
8
Оценочный лист
Практическая работа № 2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Компетенции
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
ОК 2. Организовывать собственную
1.Владеет терминологией по теме « Простейшие
деятельность, выбирать типовые методы и показательные уравнения»
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
ОК 4. Осуществлять поиск и
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
использование информации, необходимой решения задачи на вычисление искомых величин
для эффективного выполнения
7. Правильно использует информацию, необходимую для
профессиональных задач,
решения задачи
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
9
42
Практическая работа № 3
Тема: Показательные уравнения
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы
и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность
и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести
за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки студентов решения показательных уравнений (с
наименьшей степенью, приводимых к квадратным);
2) закрепить свойства степени и арифметического корня для решения задач;
4) Закрепить свойства показательной функции.
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1. Какова область определения показательной функции?
2. Почему при решении показательного уравнения не делают проверку и не
находят ОДЗ?
3. Описать один из методов решения показательного уравнения
соответствующего вида.
4. В каких видах показательных уравнений применяется свойство
монотонности показательной функции?
5.
Построить: I
y = 2x;
II y = (0,3) x
II. Решить задачи.
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. В показательных уравнениях наименьшую степень коэффициенты перед x в
показателе степени должны быть равны.
2. В показательных уравнениях, приводимом к квадратному коэффициенты
перед x в показателе степени отличаются в 2 раза.
3. В однородных показательных уравнениях необходимо сделать наименьшие
общие основания степеней и поделить на степень вида a2x>0.
f(x) = g(x)
4. Любое уравнение приводится к виду: af(x) = ag(x)
10
Задание к практической работе №3
Тема: Показательные уравнения
Вариант I
1
x 1
3
4 2 9
6.
6
4
3
x
x
7. 4 9 2 8 0
8. 2 x1 5 x1 0,001 10 2 x2
1. 7 x 343
2. 4 x2 9 2 x2 8 0
3. 10 x 10 x1 0,11
x 1
x 2 2 x 11
5
9
5
4.
3
25
3
x
x
x
x
*5. 3 3 3 3 2
9
9. 15 2 x1 15 2 2 x 135
*10. 8 x 18 x 2 27 x
Вариант II
2
1. 5 x 625
2. 2 4 x 5 6 3 9 x 0
3. 4 2 2 x 6 x 18 32 x
4. 9 x 5 x6 1
5. 2 x 1 2 x 12 2 x 1
2
6. 182 x 2 2 x 3 x1 3 x1
7. 2 x2 2 2 x 15 0
8. 16 15 4 ч 4
9. 10 ч 1 101ч 99
10. 4 ч2 16 10 2 ч2
ч 1
2
11
2
2
Оценочный лист
Практическая работа № 3
Тема: Показательные уравнения
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации, необходимой
для эффективного выполнения
профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Показательные
уравнения»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
12
42
Практическая работа № 4
Тема: Показательные неравенства
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки решения показательных неравенств;
3) закрепить навыки применения свойств степени к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1.В каком случае в показателе степени может стоять сумма или разность выражений
(чисел)?
2.Как влияет возрастание функции y = ax?
3.Изменится ли знак неравенства при сравнении показателей степени, если
основание степени 0<a<1?
4.Какие показательные неравенства не имеют решений?
x
1
5.Изобразите на координатной плоскости решение неравенства: 1 1
3
II. Решить уравнения
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Если основание степени больше 1, то при сравнении показателей степеней
знак неравенства необходимо сохранить.
2. Если основание степени 0<a<1, то при сравнении показательных степеней
знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
af(x)>ag(x)
af(x)>ag(x)
0<a<1
a>1
f(x)<g(x)
f(x)<g(x)
3. Степени необходимо приводить к одному основанию.
13
Задание к практической работе № 4
Тема: Показательные неравенства
Вариант I
6. 3 х1 18 3 х 29 1
7. 52 х1 5 х1 250
8. 2 2 х1 5 6 х 32 х1 0
*9. 4 х 6 х 9 х 0
*10. 0,22 х 3 х2 5
1. 153 х 3375
2. 2 х2 5 2 х3 27648
3. 3 х 17 х63,5 27 3
4. 0,2х 16 х 37 ,5 5,5
5. 5 х 52х 26
2
2
Вариант II
1. 7 3 х 343
2. 3 х2 3 х 72 0
3. 7 5 х 5 х2 450
4. 5 х 6 х1 / 3 6253 25
6. 5 2 х 3 2 х1 56
7. 2 х1 4 х 80
8. 52 х3 2 5 х2 3 5
*9. 3 16 х 2 81х 5 36 х 0
*5.107 х1 6 1017 х 5 0
10. 5 3 х
2
3456
7
х
3
14
Оценочный лист
Практическая работа № 4
Тема: Показательные неравенства
Компетенции
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
ОК 2. Организовывать собственную
1.Владеет терминологией по теме « Показательные
деятельность, выбирать типовые методы и неравенства»
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
ОК 4. Осуществлять поиск и
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
использование информации, необходимой решения задачи на вычисление искомых величин
для эффективного выполнения
7. Правильно использует информацию, необходимую для
профессиональных задач,
решения задачи
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
15
42
Практическая работа № 5
Тема: Свойства степени и логарифмов
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки вычисления степенных и логарифмических выражений;
3) закрепить свойства показательной и логарифмической функций;
4) закрепить навыки применения свойств степени и логарифмов к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Какие геометрические преобразования применяются для построения
графиков показательной и логарифмической функций?
2) Как преобразовать степенное выражение?
3) Какие преобразования проводят при вычислении логарифмического
выражения?
4) Запишите основное логарифмическое тождество.
5) Запишите формулу перехода от степени к логарифму.
6) Перечислите виды логарифмов.
II . Решит задачи
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства логарифмов,
которые применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Если число стоит около переменной x в скобках логарифмического выражения или в
показателе
степени,
то
сдвиг
нужно
производить
по
оси
Ox
(a>0 y = f(x + a) влево на а единиц, a<0 вправо на а единиц).
2. Если число записано после формулы функции, то сдвиг производят по оси Oy (а>0 y =
f(x) + a вверх на а единиц, a<0 вниз на а единиц).
3. Степени и логарифмы нужно приводить к одному основанию и применять
соответствующие свойства.
4. При решении уравнения графически необходимо построить график функции, стоящей в
левой и правой частях уравнения и найти точку их пересечения.
Абсцисса точки пересечения будет являться решением уравнения. Если графики не
пересекаются, то уравнение решений не имеет.
5. При логарифмировании выражений необходимо подставить знак логарифма в правой и
левой части выражения и произвести необходимые преобразования.
6. Для решения уравнения следует применять определение логарифма или переход от
степени к логарифму.
16
Задание к практической работе №5
Тема: Свойства степени. Свойства логарифма
Вариант I
Часть I
Часть II
1. Свойства степени
Решить уравнения:
2. Упростить:
1. 3 2log x 2log x 64
1
a) 25log 3
2. 2 3 x 512 3 x
b) log a b 2 log a b 4
3. 4 x 2 9 2 x 2 8 0
3. Построить графики:
4. 10 x 10 x1 0,11
a) y log 2 x 1
5. 5 / 3x1 (9 / 25) x 2 x11 (5 \ 3) 9
b) y log 0,5 ( x 4)
6. 4 2 2 x 6 x 18 32 x
4. Вычислить:
log 5 ( 1 ) log 64
2
a) 49
log 5 log 4
b) 4
c) 160,5 log 101
5. Найти х:
5
5
5
2
2
2
2
4
49
4
4
4
8 3 / 2
log x 1
6. Решить графически уравнения:
а) 3 x 7
b) 2 x1 5
Вариант II
Часть I
Часть II
1. Свойство логарифма
Решить уравнения:
2. Упростить:
1. 3 х 4 х0.5 81 3
1 / log 4
х 1
1/ х
а) 2
2.
3 / 4 4 / 3 9 / 16
b) 3e / log 9
3. 4 х 9 2 х 8 0
3. Построить графики:
4. 2 х 2 2 х 1 12 2 х 1
а) y log 4 x 4
5. 7 log х / 2 5log 0,75
b) y 2 log1 / 3 ( х 2)
6. 2 / 32 х 1 2 26 log 3
4. Вычислить:
а) 1 / 322 log 5
b) 1 / 712 log 3
с) 3 log 2 log 4 16
5. Найти :
2
2
3
7
5
8
1/ 3
1/ 7
log 3 x 2
6. Решить графически уравнения:
а) 5 х2 4
b) 2 x1 x 1
17
Оценочный лист
Практическая работа № 5
Тема: Свойства степени и логарифмов
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме « Свойства степени и
логарифмов»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
18
42
Практическая работа № 6
Тема: Логарифмические уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки решения логарифмических уравнений;
3) закрепить навыки преобразования логарифмических выражений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Какие ограничения накладываются на выражения стоящие под знаком
логарифма?
2) По какой теореме решается простейшее логарифмическое уравнение?
3) Что называется логарифмом?
4) Перечислите виды логарифмических уравнений.
5) Какие свойства логарифмов применялись при решении уравнений?
II. Решить уравнения.
II. Составить вывод (в выводе указать основные этапы решения
логарифмического уравнения).
Методические рекомендации
1. Решение логарифмического уравнения следует начинать с ОДЗ. Для этого
необходимо составить неравенство или систему неравенств. Каждое выражение,
стоящее под знаком логарифма должно быть положительно. Общее решение
неравенства (системы неравенств) необходимо изобразить на рисунке.
2. Логарифмическое
уравнение
необходимо
привести
к
виду:
log a f(x) log a g(x) , при этом основания всех логарифмов должны быть равны.
3. Найденные значения неизвестного x необходимо проверить по ОДЗ.
4. Если в уравнении не найдено ОДЗ, то необходимо сделать проверку, путем
подстановки найденного неизвестного в логарифмическое уравнение.
5. Необходимо помнить, что отрицательные числа и ноль логарифмов не
имеют.
19
Задания к практической работе №6
Тема: Логарифмические уравнения.
Вариант I
1. log 10 x 2 log 10 5
2. log 10 3x 6 2 log 10 4 log 10 3
3. log 7 2 x 2 5 x 31 2
4. log 10 x
5.* 4
2
1
log x
3
9 log 10 x 2 =40
1
0,5
1
x 1 2 log 1 x 1 log 1 1 x 2 2
3
3
3
7. log 2 log 3 x 1
6. log
8. log 5 x
2
11x 43 2
9. log 2 x 3 2 log 2 x
2
2
10. log 4 x 12 log 4 2 1
Вариант II
1.
2.
3.
log 10 4 x 28 2 3 log 10 3
log10 x log10 x 15 2
log x 3 7 2
x 1
x
log 3
x
2 x
4.
1
1
log
2 x 1 log x 2 0
3
3
5.
log 3
6.
log 3 x 2 6 log 3 3x 6
7.
log x 1 x 2 3x 1 1
8.* x
2 log 10 x 1, 5 log 10 x
9.* 0,1x
log 10 x 2
10
10 2
log 10 10 log 10 x 21 log 10 x
1
10.
20
Оценочный лист
Практическая работа № 6
Тема: Логарифмические уравнения
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме « Логарифмические
уравнения»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
21
42
Практическая работа № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки решения логарифмических неравенств;
3) закрепить навыки применения свойств логарифмов к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) В каком случае сохраняют или меняют знак при сравнении выражений,
стоящих под знаком логарифма?
2) В чем заключается смысл решения логарифмического неравенства?
3) Укажите основные этапы решения логарифмического неравенства?
4) Можно ли делить или умножать обе части логарифмического неравенства
на логарифм?
5) Приведите примеры логарифмических неравенств не имеющих решения.
II. Решить логарифмические неравенства
III. Составить вывод по работе (в выводе указать основные этапы решения
логарифмическогонеравенства).
Методические рекомендации
1. В логарифмическом неравенстве сначала необходимо найти ОДЗ. Для этого
составляют систему неравенств и находят общее ее решение. Выражения, стоящие
под знаком логарифма должны быть положительны.
2. Решать неравенство необходимо с учетом свойств монотонности
логарифмической функции.
0a1
log a f(x) log a g(x)
a1
log a f(x) log a g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
22
3. Найденное решение логарифмического неравенства необходимо совместить
с ОДЗ. Для этого составляют систему неравенств, в которую входят ОДЗ и решение
самого неравенства, и найти общее решение. Решение системы лучше изображать на
рисунке.
4. При решении логарифмического неравенства в общем случае должно быть
три рисунка: один для ОДЗ, другой для решения логарифмического неравенства,
третий – общий.
Задание к практической работе № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Вариант I
1. log 0, 2 х log 5 ( x 2) log 0, 2 3
2. log 0, 2 ( x 5) 2
3. log1 / 2 (2 x 1) 2
4. log 3 (5 4 x) log 3 ( x 1)
5. log 5 ( x 2 2 x 2) 1
6. log 6 ( x 4) log 6 ( x 1) 2
7. log 3 (8x 2 x) 2 log 3 x 2 log 3 x
8. log1 / 5 ( x 10) log1 / 5 ( x 2) 1
9. * log 1 / 3 (2 x2 4 x ) 2
10. log 6 (2 x) log 6 (2 x 5)
Вариант II
1. lg x log 0,1 ( x 1) log 0,1 0,5
2. log 3 (7 x) 1
3. log1 / 2 (3 5x) 3
4. log 0,3 (2 x 5) log 0,3 ( x 1)
5. log 3 ( x 2 7 x 5) 1
6. log1 / 7 ( x 10) log1 / 7 ( x 4) 2
7. log 3 2 ( x 5) log 3 2 ( x 12) 2
8. log 2 x log 2 ( x 3) log 2 4
9. * log1 / 5 (6 x 1 36 x ) 2
10. log 7 ( x 2 2) 1
23
Оценочный лист
Практическая работа № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Простейшие
логарифмические неравенства»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
24
42
Практическая работа № 8
Тема: Тригонометрические преобразования
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений;
3) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Запишите формулу основного тригонометрического тождества и его
следствие.
2) Чему равен синус двойного угла?
3) Как определить ctg( β) ?
4) Заполните пропуски:
Sin(
π
)
2
Cos(2 π )
tg(
π
)
2
5) Построить графики функций:
I вар. y Sinx
II вар. y tgx
III вар. y Cosx
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод ( в выводе указать принципы тригонометрических
преобразований).
Методические рекомендации
1. При решении задачи следует четко определить формулу тригонометрии, которую
необходимо применить.
2. При вычислении тригонометрической функции угла следует учитывать что:
Cos 1, Sin 1, tg R, ctg R , т.е. значения косинуса и синуса угла
ограничены промежутком 1; 1 , значение тангенса и котангенса не ограничены.
3. При вычислении тригонометрической функции необходимо учитывать четверть, в
которой находится угол.
4. При решении задачи на вычислении значения функции угла следует помнить, что период
функции необходимо исключить период функции и привести оставшейся угол к острому.
Например: Sin (3660 ) Sin (360 10 60 ) Sin 60
tg (545 ) tg (180 3 45 ) tg 45 1 ,
25
3
2
TSin 2π k ,
k Z , k число оборотов
TCos α 2π k ,
k Z,
π 180 2π 360
Ttg α π k ,
k Z,
Tctg α π k, k Z
5. Для перехода от градусной мере к радианной применяют формулы:
рад
π
180
град
26
рад 180
π
Задание к практической работе №8
Тема: Тригонометрические преобразования
Вариант I
1. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно
значение: Sin 0.6 270 360
sin 2 tg 2
cos 2 ctg 2
2. Упростите выражение:
3. Выразить в радианах углы: 540,1260,450
4. Привести к тригонометрической функции острого угла: cos1914 , sin 1560
5. Упростите выражение:
cos 90
tg ( 180 )
sin 180
6. Найдите значение выражения:
а) cos107 cos17 sin 107 sin 17 , б) sin 2 sin , 90
в) cos( ) , если sin
8
4
, cos ,0 90,0 90
17
5
sin 2
7. Упростите выражение: а)
, б) cos 2 sin 2 , в)*
2 cos
1 cos
1 cos
2
2
sin
sin
2
2
3
3
4
2
9. Представить в виде произведения: а) sin 20 sin 40 ; б) cos 20 cos 30
2
10.Найдите sin , cos , tg , если cos , 270 360
2
2
5
2
8. Найдите: sin 2 , cos 2 , если tg
Вариант II
1. Вычислите остальные тригонометрические функции, если известно:
tg 2 , 180 270
2. Упростить выражение: sin x cos x 2 cos x sin x 2 2
3. Выразите в радианах углы: 390,405,720
4. Приведите к тригонометрической функции острого угла: cos(1560) , sin(1560)
cos( 90) tg ( 180 ) cos(180 )
sin(180 )
tg (270 )
6. Найдите значение выражения: а) sin 63 cos 27 cos 63 sin 27 ,
5. Упростите выражение:
б)
sin 51 cos 21 cos 51 sin 21 ,
в)
cos(x y) ,
если
sin x
8
4
, cos y ,
17
5
0 x 90 ,0 y 90
sin 2 18 cos 36 *
sin 40
, б)
7. Упростите выражение:а)
, в)
2 cos 20
cos 2 18
1 sin
1 sin
2
2
cos
cos
3
8. Найдите: sin 2 , cos 2 , ctg 2 , если cos 0,6
2
9. Представьте в виде произведения: а) cos 2 x cos 3x , б) sin x sin 3x
2
2
2
10.Найдите: sin , cos , tg , если cos 0,8 0 90
27
2
2
Оценочный лист
Практическая работа № 8
Тема: Тригонометрические преобразования
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Тригонометрические
преобразования»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
28
42
Практическая работа № 9
Тема: Тригонометрические уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
2) закрепить навыки преобразования тригонометрических уравнений;
3) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Что называется арксинусом числа а?
2) Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?
3) Перечислите частные случаи уравнения Cos x a, a 1 .
4) Запишите общую формулу корней уравнения tg x a, a R .
5) Изобразите график функции y arcctg x .
II. Решить уравнения.
III. Составить вывод( в выводе указать основные этапы решения
тригонометрического уравнения).
Методические рекомендации
1. Коэффициент перед неизвестной функцией или аргументам должен быть
равен единице.
2. Sin 1, Cos 1, поэтому уравнения вида Sin x a, Cos x a, где
a 1 решений не имеют.
3. При решении уравнения следует выбирать общий или частный случай.
4. В уравнениях, приводимых к квадратным должна содержаться функция в
квадрате, в первой степени и свободный коэффициент. Такие уравнения должны
содержать синус (косинус, тангенс или котангенс). Поэтому применяют замены:
29
Cos 2 x 1 Sin 2 x
Sin 2 x 1 Cos 2 x
tg x
1
ctg x
ctg x
1
tg x
5. При решении однородных тригонометрических уравнений применяют
замены:
Sin 2 2 Sin Cos
Cos 2 Cos 2 Sin 2
A A 1 A Cos 2 A Sin 2 , где A число
1 Sin Cos 2 Sin 2
Задание к практической работе №9
Тема: Тригонометрические уравнения
Вариант I
7. 3SinxCosx 4Cos 2 x 0
8. 2Cos 2 x 3Sin2 x 2Cosx 0
9. 4Cos 2 x Sinx 1
10. 2Sin2 x Cos 2 x 5SinxCosx
11. 1 tgx 2tg 2 x
12. Sin2 x SinxCosx Cos 2 x
1. SinxCosx Sin2 xCosx 0
2. Cos4 xSin4 x 1
2
3. Sin2 xCos2 x 2 sin 2 x 0
4. Sin2 2x 3Sin2x
5. Sin2 x 2Sinx 3 0
6. Cos 2 x 2Cosx 3 0
Вариант II
1. Sin2 x Sin10 x
2. CosxCos2 x SinxSin2 x 0
3. Cos5 x Cos3x 0
4. Cos( 2 x) Cos(2 x )
5. 3Cos2 x 7 Sinx
6. 2Cos2 x 7Cosx
7. Sin2 x 3 Sin2 x Cos 2 x
2
8. Cos x 4Sin2 x 2Sin2x
2
2
2
9. Cos2 x 5Sinx 3
10. Cos 2 x 3Sin2 x 2 3SinxCosx 3
11. 22Cos 2 x 4Sin2x 7
12. 7tg 2 x 15
30
Оценочный лист
Практическая работа № 9
Тема: Тригонометрические уравнения
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Тригонометрические
уравнения»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
31
42
Практическая работа № 10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
2) закрепить навыки решения на определение уравнения касательной в заданной
точке.
Ход работы
1.Ответить на вопросы:
1) Что называется касательной к графику функции?
2) Закишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке?
3) Каким свойством обладает угловой коэффициент касательной?
4)В чем заключен геометрический смысл производной?
2. Решить задачи.
Задание к практической работе №10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Сделать чертеж.
Вариант 1
1. y = x - 7x+10 в точке x0 = 1.
2
2. y =x2 - 2x в точке x0 = 2.
3. y = x2 + 3x в точке x0 = -2.
1
4. y x x ; x0 .
2
2
5. y = x2 -3x, в точке x0 = 3.
Вариант 2
1. 2 7 6 в точке х0 = 2.
2. y x 2 6 x 8 в точке x0 = -2.
3. y x 2 4 x 3 x0 3 .
4. y x 2 3x 5 x0 2 .
5. y x 2 3 в точке x0 = 1.
32
6.y = x2 -x в точке x0 = 2.
7.y = x2 - 1 в точке x 0= 1.
.
8. y x 2 2 x 3 в точке x0 =1.
6. y
1
, x0 1 .
x
7. y = x2 - 7x+10 в точке x0 = 1.
8. y = x2 - 3x, в точке x0 = 2.
Методические рекомендации
1.При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
1)Определение: Прямя линия y kx b называется касательной, если она имеет
только одну общую точку с линией, изображающей график функции.
2)Уравнение касательной: y y 0 y ( x0 ) ( x x 0 ) ,где
x0; y0 – координаты точки касания;
y (x 0 ) - значение производной в точке касания;
(х;у) – координаты любой точки, принадлежащей касательной или нормали;
Если производная в точке равна нулю y (x 0 ) , то касательная имеет уравнение:
y y 0 . В этом случае касательная параллельна оси ОХ.
Нормаль имеет уравнение x x0 и параллельна оси ОУ.
2.Пример: Найти уравнения касательной к графику функции y=3x2+2x+2 в
точке x0=1. Сделать чертеж.
Решение:
1) y0 y ( x0 ) 3 12 2 1 2 7, координаты точки касания А(1;7)
2) y (3x 2 2 x 2) 6 x 2
3) y ( x0 ) 6 1 2 8
4) Касательна я имеет уравнение y K 7 8( x 1)
y K 7 8x 8 8x 1
5) Построим
заданные и полученные линии на одной координатной
плоскости. В этой же плоскости строим график заданной функции.
y 3x 2 2 x 2 - парабола
Вершины параболы:
b
2
1
2a
23
3
1
1
1 2
1 2
1 2 6 5
2
y в 3( ) 2 2 ( ) 2 3
2 23
1
3
3
9 3 3
3 3
3
3
3
Xв
1
3
2
3
Координаты вершины параболы ( ;1 )
3x 2 2 x 2 0
Корни:
x1,2
2 2 2 4 3 2 2 20
6
6
33
, корней нет.
D 0 парабола не пересекает ось ОХ. у(0)=2.
Дополнительные
у=8х-1
х 1 -1 2 -2
у 7 3 18 10
точки
х 0 1
у -1 7
у
y 3x 2 2 x 2
х
-1
0
-1
y K 8x 1
34
Оценочный лист
Практическая работа № 10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Решение задач на
определение уравнения касательной к графику функции в
заданной точке»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
35
42
Практическая работа № 11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
Цель :1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
2) закрепить навыки построения трафиков функций с помощью производных.
Ход работы
1 Ответить на вопросы:
1) Что называется монотонностью графика функции?
2) Перечислите виды экстремумов?
3) Укажите основные этапы исследования графика функции на экстремум.
4) При каких условиях точка является стационарной?
5) Как определить промежутки выпуклости ( вогнутости )графика функции?
2.Решить задачи.
3) Сформулировать вывод ( в выводе указать основные этапы исследования и
построения графика Функции)
Задание к практической работе №11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
1. Найти экстремумы графика функции:
Вариант 1
Вариант 2
2
2
а) у = х 2 2 х 8
б) у = - х 3 х
3
3
3
4
2
в) у = - х 3х 2
г) у = х 2 х 3
2
3
д) у = 3х х
е) у = х 3 3х 2
2.Найти промежутки монотонности функции:
Вариант 1
Вариант 2
4
х
а) у =
б) у = х 3 5х2 3х 11
8х 5
4
36
в) у = 0,25 х 4 х 2 6
г) у = -х 3 6 х 2 9 х 5
д) у = 6х – х 3
е) у = х 2 3х
3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке:
Вариант 1
Вариант 2
а) у = 3х 5 5х3 , 2;3
в) у = х 4 2 х2 4, 2;3
4.Построить графики функций:
Вариант 1
а) у = х 2 2 х 8
в) у = 0,25 х х 6
4
2
д) у = 6х - х 3
б) у = х 3 3х 2 9 х, 4;0
г) у = 5х 3 3х5 , 0;4
Вариант 2
2
2
б) у = - х3 х
3
3
г) у = - х 6х 9 х 5
е) у = х 2 3х
3
2
5.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
Вариант 1
1) y x 3 6 x 2 9 x 3
2) y
9 x2
3x
3) y
x2
x 1
4) y
x2 1
x
5) y
x2
x2
Вариант 2
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
1) y 16 x 3 12 x 2 4
2) y
x2 1
x
3) y
x2
x3
4) y
x2 x 6
x2
5) y
x3
9 x2
37
Методические рекомендации
При исследовании и построении графика функции с помощью производных
необходимо:
1. Найти область определения функции: допустимые значению х. если
функция представлена в виде дроби, то необходимо определять при каких значениях
х знаменатель дроби не может равняться нулю.
2. Найти область значений функции, допустимые значения у. Значения у
зависят от х.
3. Определить является ли функция четной (нечетной), функцией общего
вида. y x yx - функция четная; y x y(x) - функция нечетная.
4. Определить точки пересечения с осями координат (если это возможно).
Заданную функцию следует приравнять к нулю, тогда получается точки
пересечения с осью ОХ (х1; 0) (х2; 0) и т.д.
В заданную функцию подставить вместо х ноль и вычислить у, тогда
получится точка пересечения с осью Оу (0; у)
5. Найти асимптоты графика функции. Чтобы определить асимптоты для
дробной функции необходимо:
Найти значения х, при которых знаменатель не может быть равен нулю. В
этих точках должны проходить вертикальные асимптоты вида х=а.
Асимптоты – это ограничительные прямые линии на плоскости ХОУ, к
которым стремится график функций при неограниченном удалении от начала
координат точки О (0;0).
Для асимптот других видов применяют вычисление пределов заданной
функции.
6. Исследовать функцию на экстремум, монотонность с помощью первой
производной у (х). Если на промежутке [а; в] у1<0, то функция убывает, если у1> 0,
то функция возрастает.
Если при переходе через точку х=а у1 меняет знак с «-» на «+», то исследуемая
точка – точка минимума (хmin).
Если при переходе через точку х=а у меняет знак с «+» на «-», то исследуемая
точка – точка максимума (хmax).
Значение функции в точках экстремума находят путем подстановки х max и хmin
в выражение функции у=f(х).
7. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с
помощью второй производной у11. Вторую производную находят от первой: у11=(у1)1
по правилам и формулам дифференцирования. Если на промежутке [а; в] у11> 0, то
на этом промежутке функция имеет вогнутость графика «вниз», если на промежутке
[а; в] у11< 0, то на этом промежутке функции имеет выпуклость графика «вверх».
Точка х=а, около которой у11 меняет знак с «-» на «+» и наоборот, называется точкой
перегиба графика функции.
8. Найденные значения точек экстремума, перегиба занести в таблицу. В
таблицу добавить точки находящиеся около точек хmax, хmin, х перегиба и рассчитать
значение у = f(x) в этих точках.
38
х
у
хmax
хmin
х перегиба
9. По полученным результатам построить график функции.
Примеры исследования и построения графика функции с помощью
производной
Пример 1: Построить график функции: у=х3 - 2х2 + х
Решение:
1. Область определения: х любое действительное число (х R ).
2. Область значения: у- любое действительное число (х R ).
3. y x x 3 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 2 x x
y x yx
y x yx
Функция ни четная, ни нечетная
4. у=0
х3-2х2+х=0
х (х2-2х+1)=0
x 0
x 0
x1 0
2
2
x 2 x 1 0 x 1 0 x 2 1
Или x 2 2 x 1 0
x1, 2
a 1
b b 4ac
(2) 4 4 1 1 2 0 2 0 2
b 2
1
2a
2 1
2
2
2
c 1
2
В точках с координатами (0; 0); (1; 0) график функции у=х3-2х2+х пересекает
ось Ох.
Х=0
у(0)=03-2 0 2 0 0
В точке с координатами (0; 0) график функции пересекает ось Оу.
5. График данной функции непрерывен, поэтому асимптот не имеет.
1
1
1
6. y x 3 2 x 2 x ( x 3 )1 (2 x 2 )1 ( x)1 x 3 2x 2 x 1 3x 2 2 2 x 1 3x 2 4 x 1
y 1 0; 3x 2 4 x 1 0
a3
4 (4) 2 4 3 1 4 16 12 4 4 4 2
b b 2 4ac
x1, 2
b 4
;
2a
23
6
6
6
c 1
42 6
1
6
6
42 2 1
x2
6
6 3
x1
Стационарные точки х1=1; x2
1
3
Стационарные точки – это те значения х, при которых у1=0.
У1 +
+
39
1
3
у
1
1
y 1 3 x 2 4 x 1 3 x 1 x
3
х
Здесь применяется формула разложения квадратичного выражения на множители.
ax 2 bx c ax x1 x x2 1 , где x1, 2
хmax=
b b 2 4ac
и метод интервалов. Экстремумы:
2a
1
3
Xmin=1
Значение функции в точках экстремума:
1
1 1 1 2 1 1 23 9 1 6 9 4
y max 2
0,2
3 27 9 3
27
27
27
3
3
y min 13 2 12 1 1 2 1 0
3
2
3x 4 x 1 3x 4 x 1 3x 4x 0 3 2 x 4 1 6 x 4
y 11 y 1
7.
У11
у
1
1
2
y 11 0
6x 4 0
2 1
6x 4
1
x
1
2 1
1
4 2
6 3
+
-
2
3
2
2
y 11 6 x х - точка перегиба
3
3
х
2 8
4 2 8 8 2 8 8 3 2 9 8 24 18 2
2 2
2
y 2
2
0,1
3 27
9 3 27 9 3
27
27
27
3 3
3
3
2
х
8.
-2
-1
0
1
3
1
2
у
-18
-4
0
0,2 0,1 0
2
2
3
y x 3 2x 2 x
40
y 2 2 2 2 2 8 2 4 2 8 8 2 18
3
2
y 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 4
3
2
y 0 0 3 2 0 2 0 0
1 4
y 0,2
3 7
2 2
y
0,1
3 27
y 1 13 2 12 1 1 2 1 0
y 2 2 3 2 2 2 8 2 4 2 8 8 2 2
41
у
9.
y x 3 2x 2 x
2
1
1
-2
-1
-1
-4
- 10
- 18
42
2
х
Пример 2. Построить график функции y
x2 2
x2 1
Решение:
1) Область определения функция (О.О.Ф.) D (f): х R, x 2 1 0 . Знаменатель
дроби не может быть равен нулю.
x 2 1 0,
x 2 1,
x 2 1, x1 1, x 2 1
D f : x R, x 1, x 1
2) Область значения функции: (О. З. Ф.) Е (f): y R, y 1, y 1 не существует.
3) х=1, х=-1 – вертикальные асимптоты. Х=1-прямая, параллельная оси Оу и
проходящая через точку (1; 0)
Х=-1 – прямая, параллельная, оси Оу и проходящая через точку (-1; 0).
Асимптота – это ограничительная прямая, к которой стремится график
функции при неограниченном удалении от начала координат точки О (0;0).
В точках х=1 и х=-1 функция терпит разрыв.
4) y ( x)
x 2 2 x 2 2 yx - функция четная.
x 2 1 x 2 1
5) Точки пересечения с осями координат:
1) с осью Ох:
x 2 2 0 x 2 2
x2 2
y 0; 2
0; 2
x 1
x 1 0 x 2 1
Уравнение х2=-2 решений не имеет в точках х=1, х=-1 – функция терпит
разрыв. Точек пересечения с осью Ох график функции не имеет.
2) с осью Оу:
x 0; y 0
02 2
2
2 в точке (0; 2) график функции пересекает ось Оу.
2
0 1 1
6)
f ( x)
f 1 x g x g 1 x f ( x)
y
g 2 ( x)
g ( x)
1
1
1
x2 2
2 x x 2 1 2 x x 2 2 2 x 3 2 x 2 x 3 4 x
6x
2
1
2 1
1
y 2 f x x 2; f x 2 2 x 0 2 x
2
2
2
2
2
x 1
x 1
x 2 1
x 1
2
1
2 1
1
g x x 1; g x x 1 2 x 0 2 x
1
6 x 0
x 0
y1 0 2
2
x 1 0 x 0, x 1
Стационарная точка х=0
Точки разрыва х=1 и х=-1.
у1 +
+
у
-1
0
1
y1
х
43
6x
x 1
2
2
хmax=0, хmin нет
Значение функции в точке экстремума.
y 0
х
у
02 2
2
2
2
0 1 1
7) y 11 в виду сложности вычислений не находим.
8)
-4
-3
-2
-0,5
0
0,5
1,2
1,4
2
-3
-2
-3
2
2
42 2 16 2 18 1,2
42 1 16 1 15
y 4 y 4 т.к. функция четная.
32 2 9 2 11 1,4; y 3 y3 1,4
y 3
32 1 9 1 8
2
2 2 4 2 6
y 2
2; y (2) y (2) 2
3
1,4
4
1,2
y 4
(2) 2 1
y (1)
y ( 0)
4 1
3
(0,5) 2 2 0,25 2
2,25
3; y (0,5) y (0,5) 3
2
(0,5) 1 0,25 1 0,75
02 2
2
2
2
0 1 1
у
9)
-2
y
-1
-4
-3
-2
-1
2
- -1
. -2
Х=-1
Х=1
44
3
4
x2 2
x2 1
х
Оценочный лист
Практическая работа № 11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Построение
графиков функций с помощью производных »
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
45
42
Практическая работа № 12
Тема: Приложение интеграла к решению задач
Цель: : 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
2)Закрепить: навыки вычисления определенных интегралов; площадей
плоских фигур с помощью интервала.
Ход работы:
1. Решить задачи по вариантам.
2. Сформулировать вывод (в выводе перечислить основные формулы и
правила интегрирования, применяемые при решении задач).
1. Вычислить интеграл:
Вариант I
Вариант II
2
3
1. 3x 4 dx
1. 4 x 3 dx
1
8
3
0
1
2. 3 x dx
2. x 2 dx
0
1
2
3. 2 x 2 3x 4 8 x 3dx
3. 2 x 3x 2 4 x 3 5 x 4 dx
1
1
1
1
4. e dx
x
3
4. Sin x dx
0
0
2
5. х dx
1
3
5. e x dx
2
1
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. у = 2х + х2, у=0
1. у = -х2 + 2х + 8, у = х+6
2. у =2х, х =1, х =2
2. у = х2 +1, х =-2, х = 2, у = 0
3. у = х2 - 2х + 2, х = -1, х =2, у = 0
3. у = -х2+4, у = 0
4. у = х3, х =3, х =-3
46
4. у =
1
3
х + 2, у = - х + 6, у = 0
2
2
5. у =
1
х + 1, у = -2х + 2, у = 0
3
5. у = х3, х = 2, х =-2
Методические указания
1.При решении задач применяются правила и формулы:
1. Правила интегрирования:
1) f x g x W x dx f x dx g x dx W x dx
Чтобы найти интеграл от алгебраической суммы нескольких функций, нужно
найти интеграл от каждого слагаемого.
2) m f x dx, m const
Постоянный множитель m нужно вынести за знак интеграла, найти
первообразную и умножить ее на постоянный множитель:
2
2
3x dx 3 x dx 3
x3
c
3
3)Интеграл от постоянной величины равен: Adx Ax C , A const
2.Формулы интегрирования:
Функция
1. Cтепенная
функция
y = xp
Первоообразная
функции
p
x dx
x p 1
c
p 1
Частные случаи и формулы
от (kx+b)
xdx
Примеры
1.
x2
c
2
1
x3
x
dx
c
3
2
dx
1
x x dx ln x c
ln x – натуральный логарифм
x
dx x c
1
2
1
x2
x dx x dx
c
1
1
2
3
2
3
x
2
3 3
c * x2
x c
3
3
2
2
mn m n
a a
2.
dx
x 21
2
x 2 x dx 2 1 c
1
x 1 c c
x
4
x
x dx 4 c
3
1 (kx b)
kx b dx *
p
k
47
p 1
p 1
c
1
n
n a
a
3.
1 3x 5
3x 5 dx 3 * 7 c
1
7
3x 5 c
21
7
6
2.
Показательная
функция
y ax
3.
Тригонометр
ические
функции и
выражения
x
a dx
ax
c
ln a
ln
а
–
натуральный
логарифм числа
а
e dx e c
x
e
kx b
x
dx
1 kxb
*e
c
k
Sinxdx Cosx c Sin(kx b)dx 1 Cos(kx b) c
Cosxdx Sinx c
dx
Sin2 x Ctgx c
dx
Cos 2 x tgx c
k
1
Cos(kx b)dx k Sin(kx b) c
3x
c
ln 3
1.
x
3 dx
2.
e dx 3 * e c
3x
1
3x
1.
3Cosxdx 3 Cosxdx 3Sinx c
2.
2Sinxdx 2 Sinxdx
(2)( Cosx) c 2Cosx c
dx
1
Sin2 x(kx b) k Ctg(kx b) c
dx
1
Cos 2 x(kx b) k tg(kx b) c
Примеры с решением
Найти интегралы:
1) 4 x 3 6 x 2 2 x 3dx
2) cos 3x x 4 x dx
48
3.
1
Sin(8 x 5)dx 8 * Cos(8x 5)
Решение:
1)
4 x 6 x 2 x 3dx = 4 x dx 6 x dx 2 xdx 3dx 4 x dx 6 x dx 2 xdx 3 dx
3
3
2
2
3
4 x 3 dx 6 x 2 dx 2 xdx 3 dx 4 *
4*
2
x 31
x 21
x11
6*
2*
3x C
3 1
2 1
11
x4
x3
x2
6* 2*
3x c x 4 2 x 3 x 2 3x C
4
3
2
2) cos 3x x 4 x dx =
1) Cos3xdx
Cos(kx b)dx
k 3; b 0
1
Сos3xdx
1
Sin(kx b) C1
k
1
2
1
3
3
x2
x2
2
2
x dx 4 x dx 2) x dx x dx
c2
c2 * x 2 c2 * x 3 C 2 ;
1
3
3
3
1
2
2
x
4
3) 4 x dx
C3
ln 4
1
2 3 4x
Sin3x
x
C
3
3
ln 4
3.Правила вычисления площади плоской фигуры:
1. По условию задачи построить графики функции на одной координатной
плоскости ХОУ.
2. Найти пределы интегрирования путем приравнивания функций друг к
другу. Найти точки пересечения функций, точки пересечения с осями координат.
3. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей
криволинейных трапеций.
4. Вычислить площадь фигуры с применением формулы Ньютона-Лейбница:
S
b
f ( x)dx F (b) F (a) (ед) 2
ф a
Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0,
у = 0, х = -3, х =2.
Решение:
1) х+2у-4=0 – прямая линия.
у=0 – ось ОХ, х=-3–прямая параллельная оси ОУ, проходящая через точку (3;0).
49
х=2 – прямая параллельная ОУ (2;0), проходящая через точку (2;0)
х+2у-4=0;
1
2
х+2у=4 у=- x 2
х 0 4
у 2 0
2) Построим график функции:
у
х=2
х=-3
1
2
у=- x 2
-3
0
х
2
Рис. 1
2
1
1 x2
S ( x 2)
ф
2 2
3 2
x2
1
2
2
2
4
9
3 2 x 3 4 2 x (3) 4 4 4 6 11 4
(ед2).
Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
х - 2у + 4=0, х + у -5= 0, у = 0
Решение:
1) Преобразуем прямые:
1
2
х-2у+4 =0 к виду у = x 2
х + у-5 = 0 к виду у =-х+5.
2) Построим графики функций:
1
y x2
2
у
у=-х+5
х у
0 2
2 3
у=
5
S1
у=-х+5
х у
0 5
5 0
1
x25
2
S2
х
0
-4
2
Рис. 2
5
3) Найдем точку пересечения прямых между собой и с осями координат.
-х+5=0
х=5
50
1
х=-4
x20
2
1
-х+5= x 2 2
2
-2х+10=х+4
-3х=-6
х=2
Разбиваем фигуру на две части
S
ф
S1 S 2
22
42
2 1
x2
2
S1 x 2 dx
2 x 4
2 2
8 1 4 4 8 9 (ед 2 )
4
4
4
4 2
Пример 3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
S ; y 4x x 2 ; x 5 .
ф
Решение:
1)Вершина параболы: x 0
b
4
2; y 0 4 2 4 4
2a
2
2) Ветви вниз, корни 4х-х2=0 х(4-х)=0
х1=0, х2=4
3) х=5 – прямая, параллельная оси ОУ ,проходящая через точку (5; 0).
Если фигура располагается ниже оси ОХ, то ее площадь вычисляется по
абсолютной величине (модулю):
у
b
S f ( x)dx
a
х=5
S1
х
0
4
5
S2
у=-х2+4х
Рис. 3
Разбиваем фигуру на две части :
S
ф
S1 S 2
2 4 x 2 x 3
4
2
S1 (4 x x )dx
2
3
0
2 16
x3
4
2
0 x 3
64 32
(ед 2 )
3
3
51
4 2 4 3 2 0 3
0 4 3 0 3
5
x3
S 2 (4 x x 2 )dx x 2
3
4
S
ф
5 2 5 3 2 4 3 7
2
4 5 3 4 3 3 (ед )
32 7 39
13 (ед 2 )
3 3 3
Пример 4: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией y x 2 1 .
Решение:
Построим графики заданных функций:
1) у=х2 – парабола.
у=2х2-1 – парабола у=х2, сжатая в два раза и сдвинутая по оси ОУ на 1 ед.
вниз.
у=х2
Sф=2S1
для симметричной фигуры
S2
у=2х2-1
S1
Рис. 4
2) Найдем точки пересечения графиков функций:
x 2 2 x 2 1; x 2 2 x 2 1; x 2 1, x 2 1, x
1
1, 2
3) Вычислим площадь фигуры ,применив ее симметрию:
x3
1
1 2
1
2 4
13
2
2
S 2 x 2 x 1 dx 2 ( x 1)dx 2
x 0 2 1 2 (ед 2 )
ф
3
3 3
3
0
0
Если два графика расположены один над другим, то при вычислении
площади фигуры из верхнего графика вычитают нижний.
52
Оценочный лист
Практическая работа № 12
Приложение интеграла к решению задач
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Приложение интеграла к
решению задач»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и
оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно –
отчетную документацию
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
53
42
Практическая работа №13
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Цель:
1) сформулировать у студентов представление о взаимном
расположении прямых и плоскостей в пространстве;
2) сформулировать навыки логического мышления студентов при
решении пространственных задач;
3) сформулировать навыки построения элементов стереометрии;
4) выявить склонности к дедуктивному мышлению.
Ход работы
I. .Ответить на вопросы (по вариантам).
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод.
Методические рекомендации
1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
об основных аксиомах стереометрии, объектах стереометрии и их свойствам, о
взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.
2. Задача разбивается на три основных этапа:
1) Построение;
2) Выработка хода решения;
3) Решение задачи.
3. Задачи требуют знаний о планиметрических фигурах и их свойствах. В
частности, свойств подобия треугольников, свойств трапеции, параллельных
прямых.
54
Задания к практической работе №11
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Вариант I
Ответьте на вопрос или закончите предложение.
1. Что изучает стереометрия?
2. Через любые три точки не лежащие на одной прямой ________________
3. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?
4. Если две плоскости имеют одну общую точку ______________________
5. Какие прямые в пространстве называются параллельными?
6. Через точку, лежащую на прямой, проходит ________________________
7. Признак параллельности прямой и плоскости:______________________
8. Если одна параллельная прямая пересекает плоскость, то ____________
9. Лежат ли в одной плоскости скрещивающиеся прямые? (ответ обоснуйте)
10.Теорема о скрещивающихся прямых:______________________________
11.Изобразите следующее: а) а , б) а || , в) а A.
12.Если две точки прямой лежат в плоскости, то ______________________
13.Можно ли через прямую и не лежащую на ней точку провести плоскость?
(ответ обоснуйте)
14.Равны ли два угла с соноправленными сторонами? (ответ обоснуйте)
15.Известно, что одна из параллельных прямых пересекают плоскость, как
расположена и пространстве другая прямая?
Решите задачи
1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую в, параллельную
прямой а. Докажите, что прямые в и с скрещиваются.
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е
так, что DЕ=5см. BD: DA = 2:3. Плоскость проходит через точки В и С и
параллельна отрезку DE. Найти длину ВС.
3. Докажите, что если прямая а параллельна прямой по которой пересекаются
две плоскости, и не лежат в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
4. Средняя линия трапеции АВСЕ лежит в плоскости . Докажите, что
основания трапеции параллельны плоскости.
5. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСЕ. Докажите, что
прямая СЕ параллельна плоскости АВМ.
Вариант II
55
Ответьте на вопрос или закончите предложение.
1. Перечислите объекты стереометрии.
2. В каком случае прямая лежит на плоскости?_______________________
3. Через прямую и не лежащую на ней точку_________________________
4. Какие лучи называются соноправленными?
5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то____________________
6. Существует ли плоскость, в которой лежали бы скрещенные прямые? (ответ
обоснуйте).
7.
Как
могут
располагаться
прямые
в пространстве?
(ответ
проиллюстрируйте).
8. Углы с соноправленными сторонами_______________________________
9. Сформулируйте третью аксиому стереометрии.
10. Второе следствие из признака параллельности прямой и
плоскости:___________________________
11. Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то _________
.
12. Изобразите следующее: а) АВ // , б) АВ а , в) АВ А
13. Прямая и плоскость называются параллельными____________________
14. Через каждую из двух скрещивающихся прямых____________________
15. В каком случае через три точки проходит единственная плоскость?
Решите задачи
1. На скрещивающихся прямых а и в отмечены точки М и Р. Через прямую а
и точку Р проходит плоскость , а через прямую в и точку М проходит плоскость
. Лежит ли прямая в в плоскости ? По какой прямой пересекаются плоскости
и ?
2. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна
третьей прямой?
3. Прямая р параллельна диагонали ВЕ ромба АВСЕ и не лежит в его
плоскости, <АВС= 128 . Докажите, что прямые р и АЕ скрещиваются. Найдите угол
между прямыми р и АЕ.
4. Точка Е не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки М, Р, Н, К –
середины отрезков ВЕ, СЕ, АС, АВ. Найдите периметр четырехугольника МРНК,
если АЕ=12см, ВС=16см.
5. Плоскости и пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна
прямой АВ. Докажите, что прямые а и параллельны.
56
Практическая работа №12
Тема: Вычисление площади поверхности многогранной фигуры
Цель: 1) систематизировать и обобщить знания студентов о площадях
геометрических фигур;
2) сформулировать у студентов практические навыки вычисления
площади поверхности многогранной фигуры на примере модели
многогранника.
Ход работы
I. .Определить многогранную фигуру.
II. Изобразить многогранную фигуру.
III. Определить число оснований многогранника, число боковых граней, число
ребер основания и боковых граней.
IV. Выделить элементы фигуры, которые необходимы для вычисления площади
основания, боковой и полной поверхности и измерить их.
V. Результаты исследования занести в таблицу.
Вид
Число
Число
Элемент
S осн.
S бок.
S поверхн
многогранной оснований боковых
для
Формула Результат, Формула Результат, Формула Ре
фигуры
граней вычисления
см2
см2
площади,
см.
hосн=
hбок=
аосн=
восн=
VI. Сделать выводы.
VII. Ответить на вопрос или закончить предложение:
1. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
2. Будет ли пирамида правильной, если ее боковые грани правильные
треугольники?
3. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь
пирамида?
4. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными
треугольниками?
5. Призма называется правильной, если.………………………………….……
6. Грани усеченной пирамиды – ………………………………………………..
7. Усеченной пирамидой называется……………………………………………
8. Площадь боковой поверхности правильной призмы………………………..
9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды……………………..
10. Площадь боковой поверхности правильной поверхности правильной
усеченной пирамиды……………………………………………………………..
Методические рекомендации
1. При решении выполнения работы необходимо четко определить вид
многогранной фигуры.
2. Измерить величины высоты, длины сторон основания, данные занести в
таблицу. Вычислить площадь поверхности модели многогранной фигуры.
3. при ответе на вопросы следует руководствоваться теоретическими
сведениями о свойствах многогранников (пирамиды, призмы, параллепипеда).
57
4. Вычисление следует производить в одних единицах (см. или мм.).
Задания к практической работе № 12
На практической работе преподаватель выдает модели геометрических тел,
представляющие собой многогранные фигуры. Студенты делают необходимые
измерения и выполняют этапы хода работы.
58
Практическая работа № 13
Тема: Цилиндр. Конус
Цель: 1) закрепить навыки применения свойств цилиндра и конуса для
решения задач;
2) сформулировать практические навыки вычисления площади
поверхности цилиндра и конуса, площадей сечений цилиндра и конуса.
Ход работы
I. Ответить на вопросы (по вариантам).
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод.
Методические рекомендации
1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
о свойствах цилиндра и конуса, вычислении площадей сечений, площадей
поверхности цилиндра и конуса.
2. Задача разбивается на три основных этапа:
1) Построение.
2) Выработка хода решения.
3) Решение задачи.
3. Задачи требуют теоретических знаний о планиметрических фигурах и их
свойств,
в
частности,
четырехугольников
(квадрата,
прямоугольника,
параллелограмма), кругового сектора, центрального угла.
59
Задание к практической работе № 13
Тема: «Цилиндр, конус»
Вариант I
Выберите правильный ответ:
1. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью,
проходящей через образующую цилиндра? а) 30 , б) 90 , в) 45
2. Чему равен угол между осевым сечением конуса и плоскостью основания
конуса? а) 90 , б) 70 , в) 30 .
3. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его
основанию? а) круг, б) квадрат, в) треугольник.
4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его
образующей? а) квадрат, б) прямоугольник, в) параллелограмм.
5. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные между собой хорды. Что
можно сказать о расстоянии от одной хорды до другой: а) оно может быть больше
высоты цилиндра, б) оно может быть равным высоте цилиндра, в) оно может быть
меньше высоты цилиндра.
6. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью
основания? а) да, б) нет. Ответ обосновать.
7. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и его осью?
а) да, б) нет (ответ обоснуйте)
8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его
вершину? а) квадрат, б) равнобедренный треугольник, в) круг
9. Что представляет собой развёртка цилиндра? а) прямоугольник, б) трапецию,
в) треугольник
10. Что представляет собой развертка конуса? а) трапецию, б) круговой сектор,
в) параллелограмм
11. Высота цилиндра равна H, а его радиус R. Вычислите: площадь осевого
сечения, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности тела.
12. высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите: длину образующей,
площади осевого сечения, площадь боковой и полной поверхности тела. Изобразите
развертку усеченного конуса на плоскость.
Решите задачи
1.Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади
боковой поверхности, если осевое сечение цилиндра: а) квадрат АВСД, б)
прямоугольник АВСД, в котором АВ:АД=1:2.
2. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 7/8.
Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
3. через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу 120 , проведено
сечение, составляющее с плоскостью основания угол 45 . Найдите площадь сечения,
если радиус основания равен 4см.
60
4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из
оснований осевого сечения равно 40см, а его площадь 36 2 дм. Вычислите площади
полной и боковой поверхностей усеченного конуса.
Вариант II
Выбрать правильный ответ:
1. Какая фигура получится в сечении плоскостью, параллельной его оси? а)
квадрат, б) прямоугольник, в) круг.
2. Чему равен угол между плоскостью осевого сечения цилиндра и
плоскостью основания? а) 30 , б) 90 , в) 60 .
3. Какая фигура получится в сечении конуса и плоскостью, параллельной его
оси? а) равнобедренный треугольник, б) квадрат, в) трапеция.
4. Чему равен угол между плоскостью кругового сечения конуса и
плоскостью основания? а) 800, б) 1800, в) 00.
5. Равны ли друг другу углы между образующими цилиндра и плоскостью
основания? а) да, б) нет. (ответ обосновать).
6. Сколько плоскостей, параллельных основания конуса можно провести
внутри тела? а) ни одной, б) бесконечное множество, в) две.
7. Сечение конуса проходит через его вершину и хорду основания. Какая
фигура получается в сечении? а) трапеция, б) равнобедренный треугольник, в)
квадрат.
8. Сечение проходит через две хорды оснований цилиндра, лежащие в
разных основаниях. Какая фигура может получится в сечении? а) прямоугольник, б)
параллелограмм.
9. Что представляет собой развертка цилиндра? а) прямоугольник, б) квадрат,
в) трапеция.
10. Что представляет собой развертка конуса? а) ромб, б) круговой сектор, в)
круг.
11. Высота цилиндра равна Н, а его радиус R. Вычислите образующую,
площадь боковой и полной поверхностей, площадь осевого сечения цилиндра.
12. Высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите площади: осевого
сечения, боковой поверхности, площадь полной поверхности. Изобразите развертку
усеченного конуса на плоскость.
Решите задачи
1. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если его развертка
сектор с дугой 2700.
2. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения
цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания
перпендикулярно ему.
3. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 10 см острым углом 600
вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности
полученного те__(?)__.
61
4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из
оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь 36 дм2. вычислите площадь
боковой и полной поверхности тела.
62
Приложение 1
Свойства степени и логарифмов
Свойства степени с действительным показателем
а п а а а....а , а 0 , п N
п множителей
1. а 1
2. а1 а , п Z , а 0
1
3. а п п
а
п
n
4. а m m a n , Q , а 0
m
1
2
1
3
5. а а , а а , а 0
6. а 2к а 2к , 2 к - четное число
7. а 2к 1 а 2к 1 , 2к 1 - нечетное число
8. а п а m а пm
9. а п а m а пm
m
10. а п a пm
11. а в п а п в п
3
п
а
ап
12. п , п , m R , а 0 , в 0
в
в
Свойства логарифмов
log а в п a n в, а 0 , а 0 , в 0 , п R
1. а log 2 в
2. log a вс log a в log a c
в
3. log a с log a в log a c , в, с 0
4. log a в r r log a в , r R
1
r
log в
1
6. log a в c , log a в
log c a
log в а
5. log a rв log a в , r 0
7. log a 1 0
8. log a a 1
1
r
9. log a r в log a в
63
Приложение 2
Таблица углов
градусы
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
2700
3600
радианы
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
3/2
2
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
Cos
1
3
3
2
2
1
2
0
-
3
2
-1
0
1
Tg
0
3
3
1
3
Неопр.
- 3
-1
3
3
0
-
0
Ctg
Неопр.
3
1
3
3
0
3
3
-1
- 3
Неопр.
0
Неопр.
64
1
2
-
2
2
-
