Пояснительная записка
Сознательное овладение учащимися системой алгебраических знаний и умений
необходимо в повседневной жизни для изучения смежных дисциплин и продолжения
образования.
Практическая значимость курса «Решение нестандартных задач» обусловлена тем, что его
объектом являются количественные отношения действительного мира. Математическая
подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования
современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей. Математика
является языком науки и техники. С её помощью моделируются и изучаются явления и
процессы, происходящие в природе. В первую очередь это относится к предметам
естественно-научного цикла, в частности к физике. Развитие логического мышления
учащихся при решении нестандартных задач способствует усвоению предметов
гуманитарного цикла. Практические умения и навыки алгебраического характера
необходимы для трудовой и профессиональной подготовки школьников.
Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и происхождении
алгебраических абстракций, соотношении реального и идеального, характере отражения
математической наукой явлений и процессов реального мира, месте алгебры в системе
наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике
способствует формированию научного мировоззрения учащихся и качеств мышления,
необходимых для адаптации в современном информационном обществе. Требуя от
учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого
воображения, решение нестандартных задач развивает нравственные черты личности
(настойчивость, целеустремлённость, творческую активность, самостоятельность,
ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение
аргументированно отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность принимать
самостоятельные решения.
Изучение алгебры, функций, вероятности и статистики существенно расширяет кругозор
учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, анализом
и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагированием, аналогией. Активное
использование задач на всех этапах учебного процесса развивает творческие способности
школьников.
Изучение курса «Решение нестандартных задач» позволяет формировать умения и навыки
умственного труда - планирование своей работы, поиск рациональных путей её
выполнения, критическая оценка результатов. В процессе изучения курса «Решение
нестандартных задач» школьники должны научиться излагать свои мысли ясно и
исчерпывающе, лаконично и ёмко, приобрести навыки чёткого, аккуратного и грамотного
выполнения математических записей.
Важнейшей задачей школьного курса «Решение нестандартных задач» является развитие
логического мышления учащихся. Сами объекты математических умозаключений и
принятые в алгебре правила их конструирования способствуют формированию умений
обосновывать и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают
логическую интуицию, кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и
учат их применению. Тем самым «Решение нестандартных задач» занимает одно из
ведущих мест в формировании научно-теоретического мышления школьников. Раскрывая
внутреннюю гармонию математики, формируя понимание красоты и изящества
математических рассуждений, «Решение нестандартных задач» вносит значительный
вклад в эстетическое воспитание учащихся.Методической особенностью курса является
расширение традиционных тем за счет теоретико-множественной и историко-культурной
линий.Обращение к теоретико-множественному подходу в изложении некоторых
вопросов связано с удобством введения функции как соответствия между множествами,
равносильности уравнений и т.п.
Общая характеристика учебного предмета
Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в
развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.
Исторически сложились две стороны назначения математического образования:
практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого
человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека,
с овладением определенным методом познания и преобразования мира математическим
методом.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются
фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные
отношения - от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до
достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без
конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и
использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и
интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации,
малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей
жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться
общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять
нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и
построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков,
понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы
и др.
Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования
современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения
смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни
становится
непрерывное
образование,
что
требует
полноценной
базовой
общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И, наконец, все больше
специальностей, требующих высокого уровня образования, связаны с непосредственным
применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника,
информатика, биология, психология и многое другое). Таким образом, расширяется круг
школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического
стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе
математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления
естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация,
анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты
математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм
логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и
доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль
принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании
умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения
задач - основной учебной деятельности на уроках математики - развиваются творческая и
прикладная стороны мышления.
Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков
дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь,
умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические,
графические) средства.
Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры
человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании
является общее знакомство с методами познания действительности, что включает
понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о
предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных
наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач.
Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию
красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм,
усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение,
пространственные представления. История развития математического знания дает
возможность пополнить запасы историко-научных знаний школьников, сформировать у
них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с
основными историческими вехами возникновения и развития математической науки,
судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в
интеллектуальный багаж каждого культурного человека.
В курсе алгебры можно выделить следующие основные содержательные линии:
арифметика; алгебра; функции; вероятность и статистика. Наряду с этим в содержание
включен дополнительный методологический раздел - множества. Содержание
разворачивается в содержательно-методическую линию, пронизывающую все основные
содержательные линии. При этом первая линия - «Множества» - служит цели овладения
учащимися некоторыми элементами универсального математического языка, вторая «Математика в историческом развитии» - способствует созданию общекультурного,
гуманитарного фона изучения курса.
Содержание линии «Арифметика» служит базой для дальнейшего изучения учащимися
математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения
пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в
повседневной жизни. Развитие понятия о числе в 7 классе связано с рациональными
числами.
Содержание линии «Алгебра» способствует формированию у учащихся математического
аппарата для решения задач из разделов математики, смежных предметов и окружающей
реальности. Язык алгебры подчёркивает значение математики как языка для построения
математических моделей процессов и явлений реального мира.
Развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса
информатики, и овладение навыками дедуктивных рассуждений также являются задачами
изучения алгебры. Преобразование символьных форм вносит специфический вклад в
развитие воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству. В
основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений.
Содержание раздела «Функции» нацелено на получение школьниками конкретных знаний
о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования
разнообразных процессов. Изучение этого материала способствует развитию у учащихся
умения использовать различные языки математики (словесный, символический,
графический), вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии
цивилизации и культуры.
Раздел «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования,
усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим прежде
всего для формирования у учащихся функциональной грамотности - умения
воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных
формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить
простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся
осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в
простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как
источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного
мышления.
Цели и задачи изучения курса «Решение нестандартных задач»
На основании требований Государственного образовательного стандарта в содержании
предполагается реализовать актуальные в настоящее время компетентностный, личностно
ориентированный, деятельностный подходы, которые определяют задачи обучения:
сформировать
практические
навыки
выполнения
устных,
инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
письменных,
- овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные
алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и
нематематических задач;
- изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать
функционально-графические представления для описания и анализа реальных
зависимостей;
- развить логическое мышление и речь - умения логически обосновывать суждения,
проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры,
использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для
иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
- сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших
средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
АРИФМЕТИКА -1 час
1. Рациональные числа. Расширение множества натуральных чисел до множества целых.
Множества целых чисел до множества рациональных. Рациональное число как
отношение, где т - целое число, п - натуральное.
АЛГЕБРА – 8 часов
1.Уравнения.
- Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств.
Равносильность уравнений.
-. Линейное уравнение. Равносильность уравнений.Решение уравнений, сводящихся к
линейным. Уравнения с параметрами. Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля.
- Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры
решения уравнений в целых числах.Система уравнений с двумя переменными.
Равносильность систем. Системы трех линейных уравнений с двумя переменными;
решение подстановкой и сложением. Системы двух линейных уравнений с двумя
переменными, содержащие параметры.
- Решение текстовых задач алгебраическим способом.
- Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя
переменными. График линейного уравнения с двумя переменными; угловой коэффициент
прямой; условие параллельности и перпендикулярности прямых. Графики простейших
нелинейных уравнений: парабола, кубическая парабола. Графическая интерпретация
систем уравнений с двумя переменными.
ФУНКЦИИ – 8 часов
1.Основные понятия.
- Зависимости между величинами. Понятие функции. Область определения и множество
значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их
отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные
процессы.
- Числовые функции. Функции, описывающие прямую пропорциональные зависимости,
их графики и свойства. Линейная функция, её график и свойства. Степенные функции с
натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.График функции, содержащий
модуль. График функции, содержащей параметр.
СТАТИСТИКА – 1 час
Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Случайная изменчивость
МНОЖЕСТВА – 2часа
-Теоретико-множественные понятия. Множество, элемент множества. Задание множеств
перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения
числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и
пересечение множеств, разность множеств.
-Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлер-Венна.
Календарно – тематическое планирование
№
п.п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
тема
Арифметика
Уравнение с одной переменной. Корень
уравнения. Свойства числовых равенств.
Равносильность уравнений.
Линейное уравнение. Равносильность уравнений.
Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Уравнения с параметрами.
Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля.
Уравнение с двумя переменными. Линейное
уравнение с двумя переменными, примеры
решения уравнений в целых числах. Система
уравнений с двумя переменными. Равносильность
систем. Системы трех линейных уравнений с
двумя переменными; решение подстановкой и
сложением. Системы двух линейных уравнений с
двумя переменными, содержащие параметры.
.Декартовы координаты на плоскости.
Графическая интерпретация уравнения с двумя
переменными. График линейного уравнения с
двумя переменными; угловой коэффициент
прямой; условие параллельности и
перпендикулярности прямых. Графики
простейших нелинейных уравнений: парабола,
кубическая парабола. Графическая интерпретация
систем уравнений с двумя переменными.
Зависимости между величинами. Понятие
Количество Сроки
часов
проведения
1
1
1
2
2
1
1
2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
функции. Область определения и множество
значений функции. Способы задания функции.
График функции. Свойства функций, их
отображение на графике. Примеры графиков
зависимостей, отражающих реальные процессы.
Числовые функции. Функции, описывающие
прямую пропорциональные зависимости, их
графики и свойства. Линейная функция, её
график и свойства.
Степенные функции с натуральными
показателями 2 и 3, их графики и свойства.
График функции, содержащий модуль.
График функции, содержащей параметр.
Описательная статистика. Представление данных
в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная
изменчивость
Теоретико-множественные понятия. Множество,
элемент множества. Задание множеств
перечислением элементов, характеристическим
свойством. Стандартные обозначения числовых
множеств. Пустое множество и его обозначение.
Подмножество. Объединение и пересечение
множеств, разность множеств.
Иллюстрация отношений между множествами с
помощью диаграмм Эйлер-Венна.
итого
1
1
2
2
1
1
1
20
Литература
1. Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: Лицей,
2004.
2. Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (алгебра и элементарные функции).
Учебное пособие. – М., Высшая школа, 1976.
3. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. - М.:Наука, 1975.
4. Бернштейн Е. А., Пушкарь Е. Е. Методические разработки для экспериментального
курса математического отделения. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ
им. Ломоносова. – М.: 2004.
5. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М.: Просвещение,
1992.
6. Горбачёв Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.
7. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел, ч. 1.Числа. Учебное пособие для
студентов физ.– мат. фак-тов. пед. ин-тов.- М.: Просвещение, 1974.
8. Мочалов В. В., Сильвестров В. В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное
пособие. – 2-е изд., доп., перераб. –Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 2000.
9.Сикорский К. П. Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для
факультативных занятий. Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1969.
10.Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике: кн. для учащихся 5 – 7 кл. – 2-ое
изд. - М.: Просвещение, 2005.
11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное
пособие. Под ред. М. И. Сканави. - 3-е изд., доп. – М.: Высшая школа, 1978.
