Четырехполюсники: Уравнения, Параметры, Схемы

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющей две пары
зажимов (входные и выходные). К входным зажимам обычно подключают источник
питания, к выходным – приемники энергии.
Уравнения
четырехполюсника.
Связь
между
входными
и
выходными
напряжениями и токами (U 1 и I 1 , U 2 и I 2) линейных пассивного и активного
неавтономного четырехполюсников может быть выражена одной из шести форм
уравнений.
A-форма: U1 = AU2 + BI2;
I1 = CU2 + DI2,
где A, B, C, D - A-параметры, обобщенные или комплексные параметры.
Y-форма: I1 = Y11U1 + Y12U2;
I2 = Y21U1 + Y22U2,
где Y11, Y12, Y21, Y22 - Y-параметры, или параметры проводимостей.
Z-форма: U1 = Z11I1 + Z12I2;
U2 = Z21I1 + Z22I2,
где Z11, Z12, Z21, Z22 - Z-параметры, или параметры сопротивлений.
H-форма: U1 = H11 I1 + H12 U2; I2 = H21 I1 + H22 U2,
где H11, H12, H21, H22 - H-параметры, применяются при рассмотрении схем с
транзисторами.
G-форма: I1 = G11U1 + G12I2;
U2 = G21U1 + G22I2,
где G11, G12, G21, G22 - G – параметры, используются при рассмотрении ламповых схем.
B-форма: U2 = B11U1 + B12I1; I2 = B21U1 + B22I1 ,
где B, B12, B2, B22 - B – параметры, обобщенные или комплексные параметры,
используются при обратном питании.
Способы определения первичных параметров четырехполюсника.
1. Метод сопоставления. На основании законов Кирхгофа составляются уравнения для
схемы четырехполюсника, связывающие входные ток и напряжение с выходными.
Сравнение коэффициентов при токах и напряжениях полученных уравнений и основных
уравнений
четырехполюсника
позволяет
определить
первичные
параметры
четырехполюсника.
2. На основе расчетных режимов холостого хода и короткого замыкания. При
известной
схеме
четырехполюсника
расчетным
путем
определяют
входные
сопротивления частных режимов (короткого замыкания и холостого хода): Z 1К , Z 1X , Z 2K ,
Z 2X , мысленно замыкая или размыкая соответствующие зажимы и подсчитывая
сопротивления путем свертывания схемы. С учетом соотношений, для уравнений в А
форме: Z 1X = A / C , Z 1К = В / D , Z 2K = В / A , Z 2X = D / C и AD - ВC = 1 (уравнение связи
параметров) определяются А-параметры:
A  Z 1X / (Z 2 X  Z 2 K ) ; B  AZ 2 K ; C  A / Z 1X ; D  C Z 2 X  AZ 2 X / Z 1X .
3. Посредством приведения исходной схемы (путем эквивалентных преобразований) к
виду одной из типовых схем четырехполюсников и использования связи параметров этих
схем с параметрами четырехполюсника.
4.
Разбивкой
сложного
четырехполюсника,
на
более
простые
(типовые)
четырехполюсники, параметры которых известны, и определение параметров исходного
четырехполюсника , используя матричную форму записи уравнений четырехполюсника.
5. Используя взаимосвязь между параметрами различной формы записи уравнений
четырехполюсника.
H
H
Y
Z
G
H 11 1/ Y 11 ;
H 12   Y 12 / Y 11 ;
H 21  Y 21 / Y 11 ;
H 11   Z / Z 22 ;
H 11  G 22 /  G ;
H 11 H 12
H 12  Z 12 / Z 22 ;
H 21   Z 21 / Z 22 ;
H 12   G12 /  G ;
H 22  Y / Y 11 ;
H 22 1/ Z 22 ;
 H  Z 11 / Z 22 .
H 22  G11 /  G ;
 H 1/  G .
Y 11  Z 22 /  Z ;
Y 11   G / G 22 ;
H 21 H 22
H 12  H 21
Y
Y 11 1/ H 11 ;
Y 12   H 12 / H 11 ;
Y 21  H 21 / H 11 ;
Y 11 Y 12
Y 21 Y 22
Y21   Z 21 /  Z ;
Y 22   H / H 11 ;
Y 12   Y 21
Y 22  Z 11 /  Z ;
Y   H 22 / H 11 .
Z 11   H / H 22 ;
Z
G
B
A
 H   Y 22 / Y 11 .
Y 12   Z 12 /  Z ;
Y  1/  Z .
Z 11  Y 22 / Y ;
Z 12   Y 12 / Y ;
Z 12  H 12 / H 22 ;
Z 21   H 21 / H 22 ; Z 21   Y 21 / Y ;
H 21   G 21 /  G ;
Y 12  G12 / G 22 ;
Y 21   G 21 / G 22 ;
Y 22 1/ G 22 ;
Y  G11 / G 22 .
Z 11 1/ G11 ;
Z 11 Z 12
Z 12   G12 / G11 ;
Z 21 Z 22
Z 21  G 21 / G11 ;
Z 22   G / G11 ;
B
A
H 11  B12 / B11 ;
H 12 1/ B11 ;
H 21    B / B11 ;
H 11  B / D ;
H 12   A / D ;
H 22  B 21 / B11 .
H 22  C / D .
Y 11  B11 / B12 ;
Y 12   1/ B12 ;
Y 21    B / B12 ;
Y 11  D / B ;
Y 12    A / B ;
Y 22  B 22 / B12 .
Y 22  A / B .
Z 11  B 22 / B 21 ;
Z 12  1/ B 21 ;
Z 21   B / B 21 ;
Z 11  A / C ;
Z 12   A / C ;
Z 22 1/ H 22 ;
 Z  H 11 / H 22 .
 Z  1/ Y .
G11  H 22 /  H ;
G11  Y / Y 22 ;
G12   H 12 /  H ;
G12  Y 12 / Y 22 ;
G 21   H 21 /  H ;
G 21   Y 21 / Y 22 ;
G 22  H 11 /  H ;
G 22 1/ Y 22 ;
 G  1/  H .
 G  Y 11 / Y 22 .
B11 1/ H 12 ;
B12  H 11 / H 12 ;
B 21  H 22 / H 12 ;
B11   Y 11 / Y 12 ;
B12   1/ Y 12 ;
B 21   Y / Y 12 ;
B11  Z 22 / Z 12 ;
B12   Z / Z 12 ;
B11    G / G12 ;
B 21 1/ Z 12 ;
B 21   G11 / G12 ;
B 22   H / H 12 .
B 22   Y 22 / Y 12 .
B 22  Z 11 / Z 12 .
B 22   1/ G12 .
B11 B 22  B12 B 21  1
A    H / H 21 ;
A   Y 22 / Y 21 ;
B   1/ Y 21 ;
C   Y / Y 21 ;
A  Z 11 / Z 21 ;
B   Z / Z 21 ;
A 1/ G 21 ;
B  G 22 / G 21 ;
A  B 22 /  B ;
B  B12 /  B ;
C 1/ Z 21 ;
C  G11 / G 21 ;
C  B 21 /  B ;
D  Z 22 / Z 21 .
D   G / G 21 .
D  B11 /  B .
B   H 11 / H 21 ;
C   H 22 / H 21 ;
D   1/ H 21 .
Z 22  Y 11 / Y ;
D   Y 11 / Y 21 .
Z 12   Z 21
G11 1/ Z 11 ;
 Z   G 22 / G11 .
G12   Z 12 / Z 11 ;
G11 G12
G 21  Z 21 / Z 11 ;
G 21 G 22
G 22   Z / Z 11 ;
G12  G 21
 G   Z 22 / Z 11 .
B12   G 22 / G12 ;
H 21   1/ D ;
Y 21   1/ B ;
Z 21 1/ C ;
Z 22  B11 / B 21 .
Z 22  D / C .
G11  B 21 / B 22 ;
G11  C / A ;
G12   1/ B 22 ;
G 21   B / B 22 ;
G 22  B12 / B 22 .
B11 B12
B 21 B 22
G12    A / A ;
G 21   A / A ;
G 22  B / A .
B11  D /  A ;
B12  B /  A ;
B 21  C /  A ;
B 22  A /  A .
AB
CD
AD  BC  1
Взаимосвязь между А-параметрами и параметрами эквивалентных схем замещения
типовых четырехполюсников
Мостовой
П-образный
Т-образный
Г-образный
с П-входом
Г-образный
Т-входом
Схема замещения
Параметры схемы
замещения
А-параметры
четырехполюсника
A 1  Z 1Г / Z 2 Г ;
Z 1Г  B ;
B  Z 1Г ;
Z 2 Г 1/ C .
C 1/ Z 2 Г ;
D 1.
A 1;
Z 2 Г 1/ C ;
B  Z 3Г ;
Z 3Г  B .
C 1/ Z 2 Г ;
D 1  Z 3 Г / Z 2 Г .
A 1
;
C
Z 2Т  1/ C ;
A 1  Z 1Т / Z 2Т ;
Z 1Т 
Z 3Т 
B  Z 1Т  Z 3Т 
 Z 1Т Z 3Т / Z 2Т ;
D 1
1.
C
Z 1П  B ;
B
Z 2П 
;
D 1
Z 3П 
C 1/ Z 2Т ;
D 1  Z 3Т / Z 2Т .
A  1  Z 1П / Z 3 П ;
B  Z 1П ;
C 1/ Z 2 П  1/ Z 3 П 
B
.
A 1
A 1
;
C
A 1
Zb 
.
C
 Z 1П / Z 2 П Z 3 П ;
D  1  Z 1П / Z 2 П .
A D 
Za 
Za  Zb
;
Zb Za
B
2Z a Z b
;
Zb Za
C
2
.
Zb Za
Так как четырехполюсник характеризуется тремя независимыми А-параметрами, то и его
простейшая схема замещения должна содержать три независимые элементы. Исходная
схема любого четырехполюсника может однозначно быть представлена звездой (Тобразная схема) или треугольником (П-образная схема) сопротивлений. Поэтому на
практике наибольшее распространение получили Т-образные и
замещения.
П-образные схемы
Схемы соединения двух четырехполюсников
Параллельное соединение
Последовательное соединение
| Y | = | Y′ | +| Y ′′|
| Z | = | Z′ | +| Z ′′|
Последовательно-параллельное соединение
Параллельно-последовательное соединение
| H | = | H′ | +| H ′′|
| G | = | G′ | +| G ′′|
Каскадное соединение
| A | = | A′ | ∙ | A ′′|
Входные сопротивления нагруженного четырехполюсника:
Z 1ВХ 
AZ Н2  B
Z  ZН2
D Z Н1  B
Z  Z Н1
 Z 1Х 2 K
; Z 2 ВХ 
 Z 2 Х 1K
.
C ZН2  D
Z 2X  Z Н 2
C Z Н1  A
Z 1X  Z Н 1
Определение характеристических (вторичных) параметров четырехполюсника
Параметр
Характеристические
Несимметричный
четырехполюсник
Z 1С 
AB
 Z 1 X Z 1K ;
CD
Z 2С 
DB
 Z 2 X Z 2K .
CA
сопротивления
четырехполюсника
Характеристическая
постоянная
передачи
(мера передачи)
Коэффициент
трансформации
Г a jb
1 U I
 ln ( AD  BC )  ln 1 1 .
2 U2I2
Симметричный
четырехполюсник (A = D)
Z 1С  Z 2С  Z С 
B

C
 Z 1 X Z 1K  Z 2 X Z 2 K .
Г a jb
U
I
 ln ( A  BC )  ln 1  ln 1 .
U2
I2
a – постоянная ослабления четырехполюсника (собственное
затухание); b - постоянная фазы (коэффициент фазы);
[a] = Нп, Б, дБ; [b] = рад.
m  Z 1C / Z 2C  A / D .
m  A / D 1.
Взаимосвязь А-параметров с характеристическими параметрами
Симметричный четырехполюсник
(Z 1C = Z 2C = Z C)
Несимметричный четырехполюсник
A  chГ Z 1C / Z 2C
B  shГ Z 1C Z 2C
C  shГ
D  chГ Z 2C / Z 1C
Z 1C Z 2C
B  Z C  shГ
A  chГ
C  shГ
D  chГ
ZC
При согласованном каскадном соединении Z 1BX = Z C , а мера передачи еѐ составляющие:
n
n
n
k 1
k 1
k 1
Г   Г n ; a   a n ; b   bn .
Анализ активных четырехполюсников
Для активных четырехполюсников с зависимыми источниками (неавтономными)
справедливы основные уравнения четырехполюсников, записанные в любой форме.
Особенность – все четыре параметра каждой формы записи уравнений являются
независимыми,
т.е.
не
выполняются
уравнения
связи
первичных
параметров
четырехполюсников.
Для активных четырехполюсников с независимыми источниками (автономными)
применяют схемы a и b.
Основные уравнения активного четырехполюсника с независимыми источниками для
схемы a в А форме:
U1 = AU2 + B (I2 – J 2K);
I1 – J 1K = CU2 + D (I2 – J 2K),
где J 1K и J 2K равны токам I1 и I2 при одновременном коротком замыкании первичных и
вторичных выводов.
Основные уравнения активного четырехполюсника с независимыми источниками для
схемы b в А-форме:
U1 - U1X = A(U2 - U2X) + B I2 ;
I1 = C (U2 - U2X) + D I2 ,
где U1X = E 1 и U2X = E 2 равны напряжениям U1 и U2 , когда одновременно разомкнуты
первичные и вторичные выводы.
Передаточные функции четырехполюсников
Передаточная функция – отношение комплекса тока или напряжения на выходе
четырехполюсника к комплексу тока или напряжения на входе.
Комплексные передаточные функции
Функция
Выражение функции
Коэффициент передачи по напряжению
K U ( j ) 
U 2 U 2 j (U 2 U 2 )

e
 KU e jU
U 1 U1
Коэффициент передачи по току
K I ( j ) 
I 2 I 2 j ( I 2  I 1 )
 e
 K I e j I
I 1 I1
Передаточное сопротивление
K Z ( j ) 
U 2 U 2 j (U 2  I 2 )

e
 Z 21 e j (U 2  I 1 )
I1
I1
Передаточная проводимость
K Y ( j ) 
I 2 I 2 j ( I 2 U 2 )
 e
 Y21 e j ( I 2 U 1 )
U 1 U1
Взаимосвязь комплексных передаточных функций
с А-параметрами и сопротивлением нагрузки
0 ≤ ZH ≤ ∞
ZH = ∞
K U ( j ) 
U2
ZH

U 1 AZ H  B
K I ( j ) 
I2
1

I 1 СZ H  D
K Z ( j ) 
U2
ZH

I 1 СZ H  D
K Y ( j ) 
K UХХ ( j ) 
K ZХХ ( j ) 
I2
1

U 1 AZ H  B
ZH = 0
1
A
K IКЗ ( j ) 
1
D
K YКЗ ( j ) 
1
B
1
C
Связь комплексных коэффициентов передачи по напряжению и току с мерой передачи:
K U ( j )  K I ( j )  e  Г .