Геометрические характеристики сечений стержней

УДК 530.431(076)
ББК 0.131я73
Б432
Р е ц е н з е н т ы:
доктор технических наук А. П. Николаев, профессор кафедры лесного
и водного хозяйства Волгоградского государственного аграрного университета;
доктор технических наук Н. Г. Бандурин, профессор Волгоградского государственного
архитектурно-строительного университета
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-практического пособия
Б432
Беликов, Г. И.
Геометрические характеристики поперечных сечений стержней [Электронный ресурс] : учебно-практическое пособие / Г. И. Беликов ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. — Электронные текстовые и графические данные (6,7 Мбайт). — Волгоград : ВолгГАСУ,
2015. — Учебное электронное издание сетевого распространения. — Систем. требования: РС 486 DX-33; Microsoft Windows XP; Internet Explorer 6.0;
Adobe Reader 6.0. — Официальный сайт Волгоградского государственного
архитектурно-строительного
университета.
Режим
доступа:
http://www.vgasu.ru/publishing/on-line/ — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-98276-752-3
Приводятся правила и способы вычисления основных геометрических характеристик
поперечных сечений стержней: статических моментов, центров тяжести, моментов инерции, радиусов инерции и моментов сопротивления, необходимых для определения напряжений и перемещений при изгибе, кручении и других воздействиях. Дан справочный материал по геометрическим характеристикам различных форм поперечных сечений стержней
и изложены подробные решения задач. Приведены тестовые задания, контрольные вопросы, задания по расчетно-графическим работам и примеры их выполнения.
Для студентов, обучающимся по программам подготовки бакалавров и специалистов
строительных специальностей, а также преподавателей высших технических учебных заведений.
Для удобства работы с изданием рекомендуется пользоваться функцией Bookmarks (Закладки) в
боковом меню программы Adobe Reader и системой ссылок.
Имеется печатный аналог (Беликов, Г. И. Геометрические характеристики поперечных сечений
стержней : учебно-практическое пособие / Г. И. Беликов ; М-во образования и науки Рос. Федерации,
Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. — Волгоград : ВолгГАСУ, 2015. — 55, [2] с.).
УДК 530.431(076)
ББК 0.131я73
ISBN 978-5-98276-752-3
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный
архитектурно-строительный университет», 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................. 4
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ .... 5
1.1. Общие положения ........................................................................................................... 5
1.2. Определение статических моментов и моментов инерции ......................................... 5
1.3. Определение центра тяжести сечения ........................................................................... 6
1.4. Примеры определения статических моментов и центра тяжести сечения ................ 7
1.5. Моменты инерции плоских сечений простой формы. Зависимости между
моментами инерции при параллельном переносе или повороте осей. Главные оси
и главные моменты инерции ............................................................................................... 11
1.5.1. Зависимости между моментами инерции при параллельном переносе осей 12
1.5.2. Зависимости между моментами инерции при повороте осей .......................... 13
1.6. Примеры определения моментов инерции ................................................................. 15
1.7. Радиусы инерции и моменты сопротивления сечения .............................................. 20
1.8. Примеры определения радиусов инерции и моментов сопротивления ................... 21
2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ............................................................................ 25
2.1. Общие положения ......................................................................................................... 25
2.2. Задание к расчетно-графической работе 1 «Определение геометрических
характеристик составного поперечного сечения» ............................................................ 25
2.3. Пример выполнения расчетно-графической работы 1 .............................................. 28
2.4. Задание к расчетно-графической работе 2 «Определение геометрических
характеристик сложного поперечного сечения» ............................................................... 33
2.5. Пример выполнения расчетно-графической работы 2 .............................................. 36
3. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ....................................................................................................... 40
3.1. Определение статических моментов площади сечения и центра тяжести .............. 40
3.2. Определение моментов инерции ................................................................................. 41
3.3. Определение радиусов инерции и моментов сопротивления сечения ..................... 42
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................................................................. 43
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................................... 44
ПРИЛОЖЕНИЕ ......................................................................................................................... 45
3
ВВЕДЕНИЕ
При расчете деревянных, металлических, сборных и монолитных конструкций и их элементов используются стержни с различной формой и размерами поперечного сечения. Для определения напряжений и перемещений
при изгибе, кручении и других воздействиях необходимо знать правила
и способы вычисления геометрических характеристик поперечных сечений
стержней. Геометрические характеристики зависят не только от формы
и размеров сечения, но и от положения сечения по отношению к действующим нагрузкам.
Для успешного решения задач, связанных с расчетами на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и сооружений того или иного типа, студенты должны освоить основы прочностных расчетов и способы
вычисления геометрических характеристик поперечных сечений стержней.
Цель настоящего пособия — оказать помощь студентам в освоении теоретических и практических основ по теме «Геометрические характеристики
поперечных сечений стержней» и способствовать организации самостоятельной работы над материалом по программе. Использование пособия
предполагает предварительное изучение темы по учебнику, хотя в пособии
даются краткие теоретические сведения, вполне достаточные для решения
задач.
Приведены примеры решения задач, расчетные и тестовые задания,
а также примеры выполнения расчетно-графических работ и контрольные
вопросы. В приложении дается справочный материал.
4
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
1.1. Общие положения
Основными геометрическими характеристиками сечений являются площадь, статические моменты плоских сечений, положение центра тяжести,
моменты инерции, радиусы инерции и моменты сопротивления.
1.2. Определение статических моментов
и моментов инерции
Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня (рис. 1.1), площадь которого равна А. Выделим элементарную площадку dA , центр которой имеет координаты x, y.
ρ
Рис. 1.1
Геометрическими характеристиками сечения являются следующие интегралы:
1. Площадь сечения (см2, м2):
A = ∫ dA.
(1.1)
A
5
2. Статические моменты площади сечения относительно осей 0х и 0у соответственно (см3, м3):
S x = ∫ ydA; S y = ∫ xdA;
A
(1.2)
A
S x = Ay c , S y = Axc ,
где xc , yc — расстояния от центра тяжести плоского сечения соответственно
до осей y и x.
3. Осевые моменты инерции сечения относительно осей 0х и 0у (см4, м4):
J x = ∫ y 2 dA; J y = ∫ x 2 dA.
A
(1.3)
A
4. Центробежный момент инерции сечения относительно осей х0у
(см , м4):
4
J xy = ∫ xydA.
(1.4)
A
5. Полярный момент инерции относительно полюса 0 (см4, м4):
J ρ = ∫ ρ2 dA.
(1.5)
A
Имеет место равенство ρ2 = x 2 + y 2 , поэтому
Jρ = J x + J y .
(1.6)
Примечания:
1. Осевые J x , J y и полярные J ρ моменты инерции всегда положительные, так как
координаты х и у в формулах (1.3), (1.5) находятся во второй степени.
2. Центробежный момент инерции J xy в зависимости от знака координат (положения
оси) может принимать положительные и отрицательные значения. Центробежный момент
инерции J xy = 0 , если хотя бы одна из осей 0х или 0у является осью симметрии.
В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения J xy , взятые по модулю.
В расчетах необходимо учитывать знак центробежного момента.
1.3. Определение центра тяжести сечения
С помощью статических моментов и площади сечения определяют координаты центра тяжести (1.2):
xc =
Sy
A
; yc =
Sx
.
A
(1.7)
При определении центра тяжести сложной плоской фигуры, если ее
можно разбить на простейшие составные части, для которых известны пло6
щади и положения центров тяжести, определение координат центра тяжести
можно производить по формулам
n
n
∑S ∑ A y
Ax
S
∑
x =
=
=
; y =
=
=
.
A
A
A
∑A
∑A ∑A
Sy
c
∑S
n
i =1
n
i =1
(i )
y
i ci
c
i
i =1
n
x
i
i =1
(i )
x
i
i =1
n
i =1
i
ci
(1.8)
i
Для симметричных сечений определение центра тяжести значительно
упрощается.
При наличии двух и более осей симметрии центром тяжести является
точка пересечения этих осей (двутавр, прямоугольник, круг и т. п.).
При наличии одной оси симметрии центр тяжести располагается на этой
оси и для определения его положения надо найти только одну координату —
вдоль оси симметрии.
1.4. Примеры определения статических моментов
и центра тяжести сечения
Следует учитывать:
1) что изменение положительного направления оси х или у вызывает изменение знака статических моментов сечения;
2) статический момент сечения равен нулю относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения;
3) если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести располагается на этой оси, т. е. достаточно найти одну координату;
4) если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести располагается на пересечении этих осей;
5) если сечение не имеет осей симметрии, то для определения центра тяжести необходимо найти две координаты xc и yc .
Пример 1.1.
Т р е б у е т с я: Определить положение центра тяжести сечения, изображенного на рис. 1.2, имеющего размеры, приведенные на рис.
Р е ш е н и е:
1. Разобьем сечение на два прямоугольника.
2. Площадь первого прямоугольника:
A1 = b1h1 = 4·12 = 48 см2;
второго:
A2 = b2 h2 = 20·4 = 80 см2.
Площадь сечения равна A = A1 + A2 = 48 + 80 = 128 см2.
3. Предварительно задаемся начальной системой координат. Примем за
начальные оси x2 0 y1.
7
Рис. 1.2
4. Определим статические моменты площади сечения относительно этих
осей. Координаты центров тяжести прямоугольников в начальной системе
координат будут равны
xc1 = 0 , yc1 = 4 см; xс2 = 12 см; yc2 = 0.
Тогда
S x2 = S x(1)2 + S x(2)
= A1 yc1 + A2 yc2 = 48·4 + 0 = 192 см3;
2
S y1 = S y(1)1 + S y(2)
= A1 xc1 + A2 xc2 = 0 + 80·12 = 960 см3.
1
5. Координаты центра тяжести всего сечения находим по формулам (1.8):
xc =
S y1
A
=
S x 192
960
= 7,5 см; yc = 2 =
= 1,5 см.
A 128
128
На рис. 1.2 показано положение центра тяжести сечения С. Центр тяжести лежит на линии, соединяющей центры тяжести прямоугольников.
Пример 1.2.
Т р е б у е т с я: определить положение центра тяжести прямоугольного сечения b = 24 см и высотой h = 12 см, ослабленного круговым отверстием
диаметром d = 8 см (рис. 1.3).
Р е ш е н и е:
Сечение симметрично относительно оси х, поэтому центр тяжести будет
находиться на оси х, т. е. ус = 0 и достаточно найти лишь координату хс.
1. Разобьем сечение на составные части: 1 — прямоугольник и 2 — круг.
2. Площадь прямоугольника равна A1 = bh = 24 ⋅ 12 = 288 см2, а круга
πd 2 3,14 ⋅ 82
A2 =
=
= 50, 24 см2.
4
4
Площадь сечения равна A = A1 − A2 = 288 − 50, 24 = 237,76 см2.
3. Примем за начальные (исходные) оси координат x1 С1 y1.
8
Рис. 1.3
4. Определим статические моменты площади сечения.
Координаты центров тяжести прямоугольника и круга в начальной системе координат x1 С1 y1 равны
xc1 = 0; yc1 = 0; xc = 6 см; yc2 = 0.
2
Тогда
S x2 = 0; S y1 = S y(1)1 − S y(2)
= A1 xc1 − A2 xc2 = 0 – 50,24 6 = –301,44 см3.
1
5. Координаты центра тяжести всего сечения находим согласно формулам (1.8):
xc =
S y1
A
=−
Sx
301,44
= −1,27 см; yc = 2 = 0.
237,76
A
На рис. 1.3 показываем положение центра тяжести сечения С. Знак минус
свидетельствует, что центр тяжести сечения лежит левее центра тяжести С1.
Пример 1.3.
Т р е б у е т с я: для составного стержня, из прокатных профилей двутавра
№ 30 и швеллера № 20 определить положение центра тяжести (рис. 1.4).
Р е ш е н и е:
Сечение симметрично относительно оси у, поэтому центр тяжести будет
находиться на оси у, т. е. хс = 0 и достаточно найти лишь координату ус.
1. Разобьем сечение на составные части: 1 — двутавр и 2 — швеллер.
2. Пользуясь сортаментом прокатных двутавров и швеллеров (прил.,
табл. П.1, П.2), найдем:
площадь двутавра равна A1 = 46,5 см2; высота h1 = 300 мм = 30 см;
b1 = 135 мм = 13,5 см;
площадь швеллера A2 = 23,40 см2; высота h = 200 мм = 20 см; b = 76 мм =
7,6 см; z0 = 2,07 см;
площадь сечения равна A = A1 + A2 = 46,5 + 23,40 = 69,90 см2.
3. Примем за начальные оси центральные оси двутавра x1 C1 y1 .
9
Рис. 1.4
4. Координаты центров тяжести двутавра и швеллера в начальной системе координат равны
h
xc1 = 0; yc1 = 0; xс2 = 0; yc2 = 1 + z0 = 15 + 2,07 = 17,07 см.
2
Статические моменты площади сечения относительно осей у и x1 равны
S y = 0;
S x1 = S x(1)1 + S x(2)
= A1 yc1 + A2 yc2 = 0 + 23,40 17,07 = 399,44 см3.
1
5. Координаты центра тяжести всего сечения находим согласно формулам (1.8):
yc =
S x1
A
=
399,44
= 5,71 см; xc = 0.
69,90
На рис. 1.4 показываем положение центра тяжести сечения С. Центр тяжести лежит на линии С1С2, соединяющей центры тяжестей двутавра и
швеллера.
Пример 1.4
Д а н о: неоднородное поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника (b = 6 см; h = 24 см) .
Т р е б у е т с я: найти центр тяжести сечения стержня. Коэффициент приведения материала второй части к первой равен 1 ; принятый за основной,
E
равен n = 2 = 3 (рис. 1.5). Соединение считать абсолютно жестким.
E1
Р е ш е н и е:
1. Примем в качестве основного материал с модулем упругости E1. Приведем материал 2 к материалу 1, т. е. неоднородное сечение заменяем услов10
но однородным сечением. В результате стержень с приведенным однородным сечением по упругим свойствам не будет отличаться от неоднородного
стержня.
2. Определим площадь приведенного сечения:
A1 = A2 = 6 ⋅ 12 = 72 см2;
Aпр = A1 + nA2 = 72 + 3 ⋅ 72 = 288 см2.
Рис. 1.5
3. Определим положение центра тяжести сечения. Сечение имеет одну
ось симметрии у, центр тяжести будет находиться на оси у, т. е. хс = 0 и достаточно найти лишь координату ус.
Задаемся начальными осями х10у. Положительное направление оси у направим вверх, тогда yc2 = −12 см . Координата центра тяжести приведенного
сечения равна
yc =
S x1пр
Aпр
=
nS x(1)1
Aпр
=
nA2 yc2
Aпр
=
3 ⋅ 72(−12)
= −9 см.
288
На рис. 1.5 показано положение центра тяжести неоднородного сечения.
1.5. Моменты инерции плоских сечений простой формы.
Зависимости между моментами инерции
при параллельном переносе и повороте осей.
Главные оси и главные моменты инерции
Моменты инерции плоских сечений простой формы определяются по
формулам (1.3)—(1.6). В прил., табл. П.3, приводятся формулы для вычисления моментов инерции простейших фигур — прямоугольника, квадрата, треугольника, трапеции, круга, полукруга и т. д. Из этих фигур могут быть образованы более сложные сечения.
11
1.5.1. Зависимости между моментами инерции
при параллельном переносе осей
Пусть известны осевые моменты инерции J x , J y и центробежный момент инерции сечения J xy относительно осей х0 у. Необходимо определить
моменты инерции относительно осей X 01Y , параллельных осям x0 y и отстоящих от них на расстояния а и b.
На рис. 1.6. показано, что оси x0 y не проходят через центр тяжести сечения, а на рис. 1.7 — проходят.
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Формулы для вычисления моментов инерции J X , J Y и J XY имеют вид:
J X = J x + 2aS x + a 2 A;
J Y = J y + 2bS y + b 2 A;
(1.9)
J XY = J xy + bS x + aS y + abA,
где А — площадь поперечного сечения; а — расстояние между параллельными осями х и Х; b — расстояние между параллельными осями y иY.
Если точка 0 пересечения осей xy совпадает с точкой С — центром тяжести сечения (см. рис. 1.7), формулы (1.9) значительно упрощаются, так как
относительно центральных осей S x = 0; S y = 0.
J X = J x + a 2 A;
J Y = J y + b 2 A;
(1.10)
J XY = J xy + abA.
12
1.5.2. Зависимости между моментами инерции
при повороте осей
Пусть известны осевые моменты инерции J x , J y и центробежный момент
инерции сечения J xy относительно осей х0 y. Необходимо определить моменты инерции относительно осей x1 0 y1 повернутых к осям x0 y на угол α
(рис. 1.8).
Рис. 1.8
Формулы для вычисления моментов инерции J x1 , J y1 и J x1 y1 имеют вид:
J x1 = J x cos 2 α + J y sin 2 α _ J xy sin 2α;
J y1 = J x sin 2 α + J y cos 2 α + J xy sin 2α;
J x1 y1 =
J x_ J y
2
(1.11)
sin 2α + J xy cos 2α.
При этом положительный угол α отсчитывается от оси 0x против хода
часовой стрелки.
Практический интерес представляет поворот осей вокруг центра тяжести
сечения. При повороте центральных осей x0 y значения моментов относительно этих осей меняются. При этом их сумма после сложения остается постоянной
J x1 + J y1 = J x + J y = J ρ = const.
(1.12)
При расчете стержней на изгиб, устойчивость и т. п. нас интересуют
главные центральные оси, проходящие через центр тяжести сечения.
Положение главных центральных осей в сечении по формуле
tg2α 0 = −
2 J xy
Jx − Jy
(1.13)
.
13
Эта формула дает два значения угла: α 0 ; α′0 = α 0 + 90°. Если α 0 > 0, то
главные центральные оси относительно осей 0 xy будут повернуты на угол
α 0 против хода часовой стрелки. В этом случае ось, составляющая с осью х
угол α 0 , при J x > J y является главной центральной осью, относительно которой момент инерции максимальный J1 = J v = J max , в противном случае
( J y > J x ) J 2 = J u = J min .
Примечания:
1. Относительно главных осей сечения центробежный момент инерции равен нулю.
2. Относительно главных центральных осей осевые моменты инерции принимают
максимальные и минимальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю.
3. Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (х или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большое значение.
Значения главных моментов инерции сечения определяются по формуле
J1, 2 = J v , u = J max, min =
Jx + Jy
2
2
⎛ J − Jу ⎞
2
± ⎜ x
⎟ + J xy .
⎝ 2 ⎠
(1.14)
В формуле (1.14) знак «+» соответствует максимальному моменту инерции сечения J1 = J v = J max , а знак «–» — минимальному J 2 = J u = J min .
Очевидно, что сумма моментов инерции остается неизменной:
J x + J y = J max + J min = J ρ = const.
При любом повороте взаимно перпендикулярных осей сумма моментов
инерции остается постоянной.
Более удобными оказываются формулы, которые однозначно определяют
положение главных осей 1 и 2. Положительный угол отсчитывается от оси х
против хода часовой стрелки.
tgα1 =
J xy
J y − J1
; tgα 2 =
J xy
J y − J2
(1.15)
.
⎛ J xy ⎞
⎛ J xy ⎞
α1 = arctg ⎜
; α 2 = arctg ⎜
.
⎟
⎜J −J ⎟
⎜ J − J ⎟⎟
y
y
1
2
⎝
⎠
⎝
⎠
α 2 − α1 = ±90° .
Примечания:
1. Ось симметрии сечения всегда является главной центральной осью. Для симметричных профилей (прямоугольник, квадрат, двутавр, швеллер и т. п.) главными центральными осями инерции будут оси симметрии.
2. Для равнополочного уголка в сортаменте показаны максимальные и минимальные
главные центральные оси инерции, а также даны значения главных моментов инерции.
3. Для неравнополочного уголка в сортаменте показана минимальная главная центральная ось инерции, а также значение минимального момента инерции.
14
1.6. Примеры определения моментов инерции
Пример 1.5
Т р е б у е т с я: определить главные центральные моменты инерции прямоугольника, ослабленного вырезом в виде круга, изображенного на рис. 1.9.
Вычислить момент инерции сечения относительно оси v, совпадающей с
диагональю. Размеры сечения: b = 12 см, h = 24 см; d = 6 см.
Рис. 1.9
Решение
1. Разобьем сечение на составные части: 1 — прямоугольник, 2 — круг.
Центры тяжести этих фигур совпадают.
2. Главные центральные оси прямоугольника x1Cy1 и круга x2Cy2 совпадают с осями xCy. Оси сечения xCy являются главными центральными осями сечения, J xy = 0.
3. Определим главные моменты инерции сечения J x и J y :
J x = J x(1) – J x(2) ; J y = J y(1) – J y(2) .
Используем формулы, приведенные в прил. табл. П.3 для вычисления
осевых моментов инерции прямоугольника и круга.
Прямоугольник:
J
(1)
x
= J
(1)
x1
bh3 12 ⋅ 243
=
= 13 824 см4;
=
12
12
J y(1) = J y(1)1 =
24 ⋅ 123
hb3
= 3456 см4.
=
12
12
Круг:
J
(2)
x
= J
(2)
у
= J
(2)
x2
=J
(2)
y2
3,14 ⋅ 64
πd 4
=
= 63,59 см4,
=
64
64
15
Тогда главные центральные моменты инерции сечения равны
J x = J x(1) – J x(2) = 13 824 – 63,59 см4 = 13 760,41 см4 = J max ;
J y = J y(1) – J y(2) = 3456 – 63,59 = 3392,41 см4 = J min .
4. Момент инерции относительно оси, совпадающей с диагональю прямоугольника, определяется по формуле (1.7):
J v = J x cos 2 α + J y sin 2 α _ J xy sin 2α.
Здесь J xy = 0, так как оси x и y являются главными осями.
Определим диагональ прямоугольника:
a = b 2 + h 2 = 122 + 242 = 26,83 см.
Тогда sin α =
h
24
b
12
=
= 0,8946; cos α = =
= 0, 4473.
a 26,83
a 26,83
J v = J x cos 2 α + J y sin 2 α = 13 760,41·0,44732 + 3392,41·0,89462 = 5468,12 см4.
Пример 1.6.
Т р е б у е т с я: определить главные центральные моменты относительно
главных осей x, y для двухканальной трубы прямоугольного сечения
48 × 24 см с двумя круглыми отверстиями диаметром каждого d = 10 см
(рис. 1.10).
Рис. 1.10
Р е ш е н и е:
1. Сечение разобьем на составные части: 1 — прямоугольник, 2 и 3 —
круги. На рисунке показаны главные центральные оси этих частей x1C1 y1 ,
x2C2 y2 , x3C3 y3 .
16
2. Оси xCy являются главными центральными осями сечения. Центры
тяжести этих фигур С1, С2 и С3 расположены на оси х.
3. Определим главные моменты инерции прямоугольника и кругов относительно собственных главных центральных осей.
Прямоугольник:
J
(1)
x1
bh3 48 ⋅ 243
=
=
= 9216 см4;
12
12
hb3 24 ⋅ 483
J =
=
= 221184 см4.
12
12
Круг:
(1)
y1
πd 2 3,14 ⋅ 102
A2 = A3 =
=
= 78,5 см2;
4
4
πd 4 3,14 ⋅ 104
=
= 490,625 см4.
64
64
4. Определим значения главных моментов инерции, используя формулы
перехода к параллельным осям:
J x(2)
= J y(2)
= J x(3)
= J y(3)2 =
2
2
3
a1 = a2 = a3 = 0;
J x = J x(1) − J x(2) − J x(3) = J x(1)1 − J x(2)
− J x(3)
= 9216 − 2 ⋅ 490,625 = 8234,75 см4 = J min ;
2
3
b1 = 0; b2 = 12 см; b3 = −12 см.
J y = J y(1) − J y(2) − J y(3) = J y(1)1 − ( J y(2)
+ b22 A2 ) − ( J y(3)3 + b32 A3 ) =
2
= 221184 − 2 ⋅ (490,625 + 122 ⋅ 78,5) = 197 594,75 см 4 = J max .
Пример 1.7
Т р е б у е т с я: определить величины главных центральных моментов сечения из двух швеллеров № 20, изображенного на рис. 1.11.
Рис. 1.11
17
Р е ш е н и е:
Сечение разбиваем на составные части: 1 — швеллер № 20, 2 — швеллер
№ 20. На рисунке показаны главные центральные оси этих частей x1C1 y1 и
x2C2 y2 .
2. Оси xCy являются главными центральными осями сечения. Центры
тяжести этих фигур С1, С2 и С расположены на оси х.
3. Из прил., табл. П.2 для швеллера № 20 выписываем геометрические
характеристики: площадь A1 = A2 = 23,40 см2; h = 20 см; z0 = 2,07 см,
b = 76 мм = 7,6 см.
Моменты инерции относительно собственных центральных осей:
J x(1)1 = J x(2)
= 1520 см4; J y(1)1 = J y(2)
= 113 см4.
2
2
4. Определяем главные центральные моменты инерции сечения, используя формулы перехода к параллельным осям.
a1 = a2 = b1 = b − z0 = 7,8 − 2,07 = 5,53 см; b2 = −5,53 см.
J x = J x(1)1 + J x(2)
= 1520 + 1520 = 3040 см 4 = J max .
2
J y = J y(1) + J y(2) = J y(1)1 + A1b12 + J y(2)
+ A2b22 = 2(113 + 23,40 ⋅ 5,532 ) =
2
= 1657,19 см 4 = J min .
Пример 1.8
Т р е б у е т с я: определить величины главных центральных моментов
инерции трубчатого прямоугольного сечения, изображенного на рис. 1.12.
b = 24 см, h = 48 см с квадратным отверстием a = 12 см.
Рис. 1.12
18
Р е ш е н и е:
1. Сечение разобьем на составные части: 1 — прямоугольник, 2 — квадрат. На рисунке показаны главные центральные оси этих частей x1C1 y1 ,
x2C2 y2 .
2. Задаемся начальными (вспомогательными) осями x1C1 y1. Определяем
положение центра тяжести сечения С в этой системе.
Центры тяжести частей сечения С1, С2 расположены на оси у, поэтому
xc1 = 0; xc2 = 0; yc1 = 0; yc2 =
a 12
= = 6 см.
2 2
Площади частей и сечения равны
A1 = 24 ⋅ 48 = 1152 см2;
A2 = 12 ⋅ 12 = 144 см2;
A = A1 − A2 = 1152 – 144 = 1008 см2.
Тогда
S x(1)1 − S x(2)
2
A1 yc1 − A2 yc2
0 − 144 ⋅ 6
= −0,857 см.
1008
A
A
На рисунке показано положение центра тяжести сечения С. Оси xCy являются главными центральными осями сечения.
2. Определяем моменты инерции прямоугольника и квадрата относительно собственных центральных осей, используя формулы, приведенные в
прил., табл. П.3.
Прямоугольник:
xc = 0; yc =
=
J
(1)
x1
bh3 24 ⋅ 483
=
=
= 221184 см4;
12
12
J
(1)
y1
hb3 48 ⋅ 243
=
=
= 55 296 см4;
12
12
J
(2)
x2
=J
(2)
y2
=
a 4 124
=
=
= 1728 см4.
12 12
3. Используя формулы перехода к параллельным осям, определяем значения главных центральных моментов инерции относительно осей Cxy,
Оси y1 , y2 совпадают с осью у, поэтому b1 = b2 = 0.
J y = J y(1) − J y(2) = J y(1)1 − J y(2)
= 55 296 − 1728 = 53 568 см4 = J min .
2
Оси x1 , x2 не совпадают с осью х, при этом координаты центров тяжести
для каждой части в системе центральных осей соответственно равны
19
a1 = 0,857 см; a2 = 0,857 +
12
= 6,857 см;
6
J x = J x(1) − J x(2) = J x(1)1 + A1a12 − ( J x(2)
+ A2 a22 ) =
2
= 221184 + 1152 ⋅ 0,857 2 − (1728 + 144 ⋅ 6,857 2 ) = 213 531,43 см 4 = J max .
1.7. Радиусы инерции и моменты сопротивления сечения
В некоторых разделах дисциплин «Сопротивление материалов» и «Техническая механика» встречаются геометрические характеристики, которые
называются радиусами инерции и моментами сопротивления сечения.
Величины
ix =
Jx
; iy =
A
Jy
(1.16)
A
называются радиусами инерции сечения относительно осей x и y , и имеют
размерность длины в первой степени (м, см).
Радиусы инерции относительно главных осей называются главными радиусами инерции:
imax =
J max
; imin =
A
J min
.
A
(1.17)
Величины
Wx =
J
Jx
; Wy = y
xmax
ymax
(1.18)
называются моментами сопротивления сечения относительно осей x и y и
имеют размерность длины в третьей степени (м3, см3).
В формуле (1.18) ymax — расстояние от оси х до наиболее удаленной точки
сечения, xmax — расстояние от оси у до наиболее удаленной точки сечения.
При расчете балок на прочность используются моменты сопротивления
сечения. Моменты сопротивления сечения для нижних и верхних волокон
относительно оси (рис. 1.13) будут определяться по формулам
Wxн =
Jx
J
; Wxв = x ,
ун
ув
(1.19)
где J x — осевой момент инерции сечения относительно оси х; ун —
расстояние от оси х до наиболее удаленного нижнего волокна (до нижней
точки сечения); ув — расстояние от оси х до наиболее удаленного верхнего
волокна (до верхней точки сечения).
20
Рис. 1.13
Примечания:
1. Для симметричных сечений относительно оси х расстояния ун = ув = ymax = h/2 и
Wхн = Wхв = Wx .
2. В таблицах приложения геометрических характеристик плоских фигур и в сортаменте для двутавра и швеллера в соответствующих колонках даны моменты сопротивления.
Вычисление момента сопротивления сложного сечения нельзя производить сложением и вычитанием W = ∑ W , это будет ошибкой.
1.8. Примеры определения радиусов инерции
и моментов сопротивления
Пример 1.9
Т р е б у е т с я: определить радиусы инерции относительно осей x, y и момент сопротивления относительно оси х для плоского поперечного сечения,
изображенного на рис. 1.14 ( b = 6 см, h = 12 см).
Р е ш е н и е:
1. Найдем осевые моменты инерции и площадь для прямоугольного сечения:
bh3 6 ⋅ 123
hb3 12 ⋅ 63
4
Jx =
=
= 864 см ; J y =
=
= 216 см4; A = bh = 6 ⋅ 12 см2.
12
12
12
12
Рис. 1.14
21
2. Определяем радиусы инерции прямоугольного сечения:
ix =
iy =
Jx
bh3
h
12
=
=
=
= 3,46 см;
A
12bh 2 3 2 3
Jy
hb3
b
6
=
=
=
= 1,73 см.
A
12bh 2 3 2 3
3. Определяем момент сопротивления прямоугольного сечения.:
Jx
bh3 2 bh 2 6 ⋅ 122
Wx =
=
=
=
= 144 см3.
ymax 12 h
6
6
Пример 1.10
Т р е б у е т с я: определить момент сопротивления относительно оси х для
сечения из двух двутавров № 20 (рис. 1.15).
Рис. 1.15
Р е ш е н и е:
1. Выпишем геометрические характеристики для двутавра № 20 из прил.,
табл. П.1.
A = 26,8 см2; J x = 1840 см4; Wx = 184 см3; h = 20 см.
2. Определяем момент сопротивления сечения:
Wx =
2 J x 2 ⋅ 1840
=
= 368 см3.
h/2
10
Пример 1.11
Т р е б у е т с я: определить радиус инерции и момент сопротивления сечения, изображенного на рис. 1.16, относительно центральных осей. d = 20 см,
a = 6 см.
Рис. 1.16
22
Р е ш е н и е:
Используем формулы из прил., табл. П.3.
1. Определяем осевой момент инерции сечения:
πd 4 a 4 3,14 ⋅ 204 64
− =
− = 7742 см4.
Jx = Jy =
64 12
64
12
2. Определяем осевой момент сопротивления сечения:
Wx = Wy =
Jx
7742
=
= 774,2 см3.
d/2
10
Примечание. Вычисление осевого момента сопротивления сечения как разности моментов сопротивления круга и квадрата будет ошибкой.
Пример 1.12
Т р е б у е т с я: определить осевые момент инерции и моменты сопротивления сечения для нижних и верхних волокон относительно главной центральной оси х поперечного сечения в виде равнобокой трапеции, изображенного на рис. 1.17. h = 48 см, b = 24 см, b1 = 12 см.
Р е ш е н и е:
Используем формулы из прил., табл. П.3.
1. Найдем положение центра тяжести сечения С:
a=
h(2b1 + b) 48(2 ⋅ 12 + 24)
=
= 21,33 см.
3(b + b1 )
3(24 + 12)
С
Рис. 1.17
2. Определяем осевой момент инерции сечения:
h3 K
Jx =
; K = b 2 + 4bb1 + b12 .
36(b + b1 )
K = 242 + 4 ⋅ 24 ⋅ 12 + 122 = 1872 см2.
23
483 ⋅ 1872
Jx =
= 159 744 см4.
36(24 + 12)
3. Определяем моменты сопротивления нижних и верхних волокон относительно главной центральной оси х:
Wхв =
Jx
J
159744
= x =
= 5989,65 см3 .
yв h − a 48 − 21,33
Wxн =
J x J x 159744
=
=
= 7489,17 см3 .
ун a
21,33
24
2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
2.1. Общие положения
Результаты расчетно-графической работы (РГР) оформляются в виде пояснительной записки, включающей расчеты и графический материал. Все
сечение вычерчивается в масштабе 1 : 2 или 1 : 5.
Выполнение и отчет за РГР осуществляется в строго установленные сроки. При отчете студенту могут быть заданы вопросы по РГР и разделу дисциплины, предложено решить задачу по теме.
Работа считается завершенной лишь в том случае, если она зачтена преподавателем и об этом объявлено студенту.
2.2. Задание к расчетно-графической работе 1
«Определение геометрических характеристик
составного поперечного сечения»
Для составного сечения по схеме сечения №____ табл. 2.1 при размерах,
указанных в строке №___ табл. 2.2, требуется: определить положение центра
тяжести сечения, найти положение главных центральных осей инерции, вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции относительно этих
осей. Все размеры на рисунке даны в см.
Порядок расчета:
1. Составное сечение разбить на части, у которых положение центров
тяжести известны.
2. Каждой части сечения присвоить порядковый номер. Поперечное сечение вычертить в масштабе 1 : 5 либо 1 : 2 с нанесением центральных осей
xi , yi для каждой части и размеров сечения.
3. Для прокатных профилей из таблиц приложения выписать геометрические характеристики, а для листа — вычислить. Из табл. 2.2 взять лишь те
прокатные профили, которые входят в заданную схему.
4. Определить положение центра тяжести сечения С в принятой начальной системе координат xн 0 yн . Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести.
5. Через найденный центр тяжести провести центральные оси сечения xCy.
25
6. Определить моменты инерции сечения относительно центральных
осей xCy.
7. Вычислить главные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции. Показать на рисунке положение главных центральных осей.
8. Определить квадраты главных радиусов инерции.
Таблица 2.1
Схемы сечений
26
Окончание табл. 2.1
27
Таблица 2.2
Числовые данные
Номер
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Лист (мм)
b
18
20
14
16
18
20
24
30
26
36
18
20
20
22
24
26
28
20
30
32
34
26
28
20
50
42
30
16
38
20
h
300
200
400
260
400
300
400
380
480
180
180
180
240
260
280
220
280
270
320
420
520
220
320
220
240
260
280
340
300
440
Двутавр,
табл.
Швеллер,
табл.
Равнополочный
уголок, мм , табл.
Неравнополочный
уголок, мм, табл.
22
24
22
24
27
30
36
40
22
24
22
24
27
30
36
40
18
16
22
24
22
24
27
30
36
40
24
22
24
27
16
18
20
22
24
27
30
33
36
40
16
18
20
22
24
27
30
33
36
40
16
18
20
22
24
27
30
33
36
40
90 × 90 × 9
100 × 100 × 10
100 × 100 × 12
110 × 110 × 8
125 × 125 × 12
140 × 140 × 10
140 × 140 × 12
160 × 160 × 12
180 × 180 × 12
200 × 200 × 12
160 × 160 × 14
100 × 100 × 10
100 × 100 × 12
110 × 110 × 8
125 × 125 × 12
140 × 140 × 10
140 × 140 × 12
160 × 160 × 12
180 × 180 × 12
200 × 200 × 12
160 × 160 × 14
160 × 160 × 12
180 × 180 × 12
200 × 200 × 12
160 × 160 × 14
100 × 100 × 10
100 × 100 × 12
110 × 110 × 8
125 × 125 × 12
140 × 140 × 10
100 × 63 × 8
100 × 63 × 10
110 × 70 × 8
125 × 80 × 10
140 × 90 × 8
140 × 90 × 10
160 × 100 × 10
160 × 100 × 12
180 × 110 × 10
100 × 63 × 8
100 × 63 × 10
110 × 70 × 8
125 × 80 × 10
140 × 90 × 8
140 × 90 × 10
160 × 100 × 10
160 × 100 × 12
180 × 110 × 10
100 × 63 × 8
100 × 63 × 10
110 × 70 × 8
125 × 80 × 10
140 × 90 × 8
140 × 90 × 10
160 × 100 × 10
160 × 100 × 12
180 × 110 × 10
100 × 63 × 10
110 × 70 × 8
160 × 100 × 10
2.3. Пример выполнения расчетно-графической работы 1
На рис. 2.1 изображено составное сечение: лист 600 × 20 мм, неравнополочный уголок 100 × 65 × 10 мм, швеллер № 30.
Рис. 2.1
28
Р е ш е н и е:
1. Представленное сечение разобьем на три части, каждой из которых
присвоим порядковый номер:
1 — прямоугольник, b1 = 60 см, h1 = 2 см;
2 — неравнополочный уголок № 10/6,5, (100 × 65 × 10 мм);
3 — швеллер № 30.
2. Поперечное сечение вычерчиваем в принятом масштабе 1:5 с нанесением местных осей x1C1 y1 , x2C2 y2 , x3 C3 y3 , проходящих через центры тяжести каждой части, а также размеры сечения.
3. Выпишем из прил., табл. П.2, П.5 геометрические характеристики неравнополочного уголка и швеллера, а для прямоугольника их вычисляем.
Прямоугольник:
b1 = 60 см, h1 = 2 см (центр тяжести в точке С1):
A1 = 60 ⋅ 2 = 120 см2;
b1h13 60 ⋅ 23
h1b13 2 ⋅ 603
4
(1)
J =
= 36 000 см4; J x(1)1 y1 = 0.
= 40 см ; J y1 =
=
=
12
12
12
12
Неравнополочный уголок:
100 × 65 × 10 мм (центр тяжести в точке С2): B = 100 мм = 10 см; b = 65
мм = 6,5 см; t = 10 мм = 1 см; A2 = 15,67 см2; J y = 51,68 см4; J x = 155,52 см4;
(1)
x1
J xy = 51,18 см4;
x0 = 1,64 см,
y0 = 3,37 см,
(2)
J min
= J u(2) = J u = 30,60 см4;
tgα = 0,410.
Отметим, что в рассматриваемом сечении уголок расположен не так, как
в сортаменте (более длинная сторона расположена не вертикально, а горизонтально), поэтому у осевых моментов инерции индексы x и y следует поменять местами. Это же замечание относится и к координатам центра тяжести уголка.
В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения центробежных моментов инерции, взятые по модулю. В расчет следует вводить их
значения с учетом знака. Если ось минимум u — u проходит через первую и
третью четверти координат — знак положительный, если через вторую и
четвертую четверти координат — знак центробежного момента отрицательный. В рассматриваемой задаче ось u — u проходит через вторую и четвертую четверти координат, поэтому вводится знак минус.
Учитывая вышесказанное, запишем:
J x(2)
= J y = 51,68 см4; J y(2)
= J х = 155,52 см4,
2
2
x0 2 = y0 = 3,37 см, y02 = х0 = 1,64 см;
J x(2)
= J xy = –51,18 см4.
2 y2
29
Швеллер № 30:
h = 300 мм = 30 см;
b = 100 мм = 10 см;
s = 6,5 мм = 0,65 см;
2
4
(3)
(3)
= 0;
t = 11 мм = 1,1 см; A3 = 40,50 см ; J x3 = 5830 см ; J y3 = 393 см4; J x(3)
3 y3
z03 = z0 = 2,52 см.
Далее поперечное сечение вычерчиваем в масштабе 1 : 5 либо 1 : 2 с нанесением центральных осей для каждой части xi , yi и размеров сечения
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
4. Определим положение центра тяжести. Задаем начальные оси xн 0 yн , и
находим координаты xc и yc по (1.8).
Координаты центров тяжести частей в начальной системе координат равны
b 60
h 2
= 30 см, yc1 = 1 = = 1 см;
С1: xc1 = 1 =
2 2
2 2
С2: xc2 = x02 = 3,37 см; yc2 = h1 + y02 = 2 + 1,64 = 3,64 см;
С3: xc3 = b1 − z0 = 60 − 2,52 = 57,48 см, yc3 = h1 +
h
30
=2+
= 17 см.
2
2
Применяя (1.8), получим:
xc =
yc =
S yн
A
S xн
A
=
=
A1 xc1 + A2 xc2 + A3 xc3
A1 + A2 + A3
=
A1 yc1 + A2 yc2 + A3 yc3
A1 + A2 + A3
120 ⋅ 30 + 15,67 ⋅ 3,37 + 40,50 ⋅ 57, 48
= 33,95 см;
176,17
=
120 ⋅ 1 + 15,67 ⋅ 3,64 + 40,50 ⋅ 17
= 4,91 см.
176,17
30
Здесь площадь сечения равна
A = A1 + A2 + A3 = 120 + 15,67 + 40,50 = 176,17 см2.
На рис. 2.2 показываем центр тяжести сечения С и центральные оси xCy,
проходящие через центр С и параллельные исходным осям.
П р о в е р к а. Статические моменты площади всего сечения относительно
центральных осей должны равняться нулю:
S x = S x(1) + S x(2) + S x(3) = A1a1 + A2 a2 + A3a3 = 0;
S y = S y(1) + S y(2) + S y(3) = A1b1 + A2b2 + A3b3 = 0,
где ai — расстояние между осями x и xi ; bi — расстояние между осями y и
yi ( i = 1,3) .
Расстояние между параллельными осями определяем по формулам
a1 = yc1 − yc = 1 – 4,91 = –3,91 см; b1 = xc1 − xc = 30 – 33,95 = –3,95 см;
a2 = yc2 − yc = 3,64 – 4,91 = –1,27 см; b2 = xc2 − xc = 3,37 – 33,95 = –30,58 см;
a3 = yc3 − yc = 17 – 4,91 = 12,09 см; b3 = xc3 − xc = 57,48 – 33,95 = 23,53 см.
S x = A1a1 + A2a2 + A3a3 = 120 ⋅ (−3,91) + 15,67 ⋅ (−1,27) + 40,50 ⋅ 12,09 = 0,54 см3;
3
S y = Ab
1 1 + A2b2 + A3b3 = 120 ⋅ (−3,95) + 15,67 ⋅ (−30,58) + 40,50 ⋅ 23,53 = 0,22 см .
Погрешность определения центра тяжести:
Δ%( S x ) =
0,54
100 % = 0,11 % < 3 %;
489,64
Δ%( S y ) =
0,22
100 % = 0,023 % < 3 %,
953,19
что считается допустимой величиной.
5. Применив формулы (1.10) к каждой части, определим моменты инерции сечения относительно центральных осей xCy :
3
(
)
J x = ∑ J x(ii ) + ai2 Ai = J x(1)1 + a12 A1 + J x(2)
+ a22 A2 + J x(3)
+ a32 A3 =
2
3
i =1
= 40 + (−3,91) 2 ⋅ 120 + 51,68 + (−1,27) 2 ⋅ 15,67 + 5830 + 12,092 ⋅ 40,50 =
= 13 701 см 4 ;
3
(
)
+ b22 A2 + J y(3)3 + b32 A3 = 36 000 +
J y = ∑ J y( ii ) + bi2 Ai ; = J y(1)1 + b12 A1 + J y(2)
2
i =1
+ (–3,95)2 ⋅120 + 155,52 + (–30,58)2 ⋅15,67 + 393 + (23,53)2 ⋅40,50 =
= 75 497,68 см4;
31
3
(
)
J xy = ∑ J x(iiy)i + aibi Ai = J x(1)1 y1 + a1b1 A1 + J x(2)
+ a2b2 A2 + J x(3)
+ a3b3 A3 =
2 y2
3 y3
i =1
= (−3,91) ⋅ ( −3,95) ⋅ 120 − 51,18 + ( −1, 27) ⋅ (−30,58) ⋅ 15,67 +
+ 12,09·23,53·40,50 = 13 932,08 см4.
= 0, так как известно, что если сечения имеют хотя
Здесь J x(1)1 y1 = 0 и J x(3)
3 y3
бы одну ось симметрии, то относительно этой оси и любой ей перпендикулярной центробежный момент инерции равен нулю.
6. Определим положение главных центральных осей сечения (1.13):
tg2α 0 = −
2 J xy
Jx − Jy
=−
2 ⋅ 13 932,08
= 0,4509.
13 701,33 − 75 497,68
24,27°
= 12,14°, так как α 0 > 0, то глав2
ные центральные оси u и v относительно осей x и y будут повернуты на
угол α 0 против хода часовой стрелки (см. рис. 2.2). При этом ось u , составляющая с осью x угол α 0 , является минимальной, поскольку J y > J x ,
Тогда 2α 0 = arctg(0,4509) и α 0 =
(в противном случае — при J x > J y ось была бы максимальной). Вторая максимальная ось v проходит через центр тяжести и перпендикулярна оси u.
7. Определим главные моменты инерции по (1.14).
Во втором случае получим:
J1, 2 = J v , u = J max, min =
Jx + Jy
2
2
⎛ J − Jу ⎞
13 701,33 + 75 497,68
2
± ⎜ x
±
⎟ + J xy =
2
⎝ 2 ⎠
2
⎛ 13 701,33 − 75 497,68 ⎞
2
± ⎜
⎟ + 13 932,08 = 44 599,51 ± 33 893,95.
2
⎝
⎠
4
J1 = J v = J max = 78 493,46 см ; J 2 = J u = J min = 10 705,56 см4.
В формуле знак «+» соответствует максимальному моменту инерции, а
знак «–» — минимальному.
Положение главных центральных осей можно найти по (1.15), которые
однозначно положение их определяют. При этом положительный угол отсчитывается от оси х против хода часовой стрелки.
tgα1 =
tgα 2 =
J xy
J y − J1
J xy
J y − J2
=
13 932,08
= −4,65;
75 497,68 − 78 493,46
=
13 932,08
= 0,215;
75 497,68 − 10 705,56
α1 = arctg (–4,65) = –77,86°; α 2 = arctg (0,215) = 12,14°.
32
П р о в е р к а:
1. J v = J max > J y = 75 497,68 cм4; J u = J min < J x = 13 701,33 см4.
2. J x + J y = J v + J u = 81199,01 см4;
3. α 2 − α1 = 12,14° − (−77,86°) = 90°.
4. Центробежный момент инерции относительно главных центральных
осей равен нулю (1.11).
J x_ J y
13 701,33 − 75 497,68
sin 24,28° +
2
2
+ 13 932,08cos 24, 28° = −12 705,21 + 12 699,73 = −5,48 см4.
J1, 2 = J u , v =
sin 2α 0 + J xy cos 2α 0 =
Процент расхождения:
Δ( J12 ) % = −
5,48
100 % = −0,043 % < 3 % ,
12 699,73
что является допустимой величиной.
5. Определяем квадраты главных радиусов инерции сечения:
iv2 =
J v 75 497,68
J 10 705,56
=
= 428,55 см2; iu2 = u =
= 60,77 см2.
A
176,17
A
176,17
2.4. Задание к расчетно-графической работе 2 «Определение
геометрических характеристик сложного поперечного сечения»
Для сечения по схеме сечения №___табл. 2.3, имеющего ось симметрии,
при размерах, указанных в строке №___ табл. 2.4, требуется определить положение центра тяжести сечения, найти положение главных центральных
осе инерции, вычислить главные моменты инерции и относительно этих
осей, найти квадраты главных радиусов инерции и моменты сопротивления
сечения.
Порядок расчета:
1. Сложное сечение разбить на простые части, у которых положение центров тяжести известны.
2. Каждой части сечения присвоить порядковый номер. Поперечное сечение вычертить в масштабе 1 : 5 либо 1 : 2 с нанесением местных осей xi , yi ,
проходящих через центры тяжести каждой части Ci с указанием размеров.
3. Вычислить геометрические характеристики каждой части.
4. Определить положение центра тяжести сечения С в принятой начальной системе координат xн 0 yн . Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести.
5. Провести через найденный центр тяжести центральные оси сечения xCy.
6. Определить моменты инерции сечения относительно центральных
осей xCy.
33
7. Вычислить главные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции. Показать на рисунке положение главных центральных осей.
8. Определить квадраты главных радиусов инерции.
9. Определить моменты сопротивления сечения для нижних и верхних
волокон сечения.
Таблица 2.3
Схемы сечений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
34
Окончание табл. 2.3
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Таблица 2.4
Числовые данные
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a,
30 34 30 34 24 36 40 50 36 32 34 24 38 40 42 44 46 48 50 30
см
b,
18 16 14 12 20 18 16 18 14 15 20 16 14 12 20 18 16 18 14 16
см
35
2.5. Пример выполнения расчетно-графической работы 2
Д а н о: a = 30 см; b =12 см (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Р е ш е н и е:
1. Сечение разобьем на три части (рис. 2.4):
1 — прямоугольник, b1 = 90 см, h1 = 48 см;
2 — равнобедренный треугольник, b2 = 90 см, h2 = 24 см;
3 — полукруг, d = 30 см).
2. Вычерчиваем сечение в масштабе 1: 5 с нанесением местных центральных осей x1C1 y1 , x2C2 y2 , x3C3 y3 (рис. 2.4).
Рис. 2.4
3. Вычисляем геометрические характеристики каждой части: площадь,
моменты инерции относительно местных центральных осей.
Формулы для вычисления приведены в прил., табл. П.3.
36
1. Прямоугольник:
b1 = 90 см, h1 = 48 см (центр тяжести в точке С1):
A1 = b1h1 = 90 ⋅ 48 = 4320 см2;
J
(1)
x1
b1h13 90 ⋅ 483
=
=
= 829 440 см4;
12
12
h b3 48 ⋅ 903
J y(1)1 = 1 1 =
= 2 916 000 см4; J x(1)1 y1 = 0.
12
12
2. Равнобедренный треугольник:
b2 = 90 см, h2 = 24 см (центр тяжести в точке С2):
1
1
A2 = b2 h2 = ⋅ 90 ⋅ 24 = 1080 см2;
2
2
J x(2)
=
2
b2 h23 90 ⋅ 243
=
= 34 560 см4;
36
36
J y(2)
=
2
3
h2b21
24 ⋅ 903
= 0.
=
= 364 500 см4; J x(2)
2 y2
48
48
3. Полукруг:
d = 30 см (центр тяжести в точке С3):
A3 =
πd 2 3,14 ⋅ 302
=
= 353,25 см2;
8
8
J x(3)
= 0,00686d 4 = 0,00686 ⋅ 304 = 5556,60 см4;
3
J
(3)
y3
πd 4 3,14 ⋅ 304
= 0.
=
=
= 19 870,31 см4; J x(3)
3 y3
128
128
4. Определяем положение центра тяжести сечения. Очевидно, что он лежит на оси симметрии. За начальную ось отсчета примем ось симметрии,
т. е. центральную ось у сечения. Тогда статический момент площади S y = 0.
Вторую начальную ось хн проводим через основание сечения.
Находим координаты центров тяжести частей сечения в начальной системе координат xн 0 у:
С1: xc1 = 0; yc1 = 24 см;
С2: xc1 = 0; yc2 = 48 − 8 = 40 см;
С3: xc3 = 0; yc3 = 0,212 d = 0, 212 ⋅ 30 = 6,36 см.
По формулам (1.8) находим координаты центра тяжести сечения:
37
xc = 0; A = A1 − A2 − A3 = 4320 − 1080 − 353,25 = 2886,75 см2;
3
∑Ay
S
yc = x = i =13
A
i
ci
∑A
i =1
=
=
A1 yc1 − A2 yc2 − A3 yc3
A
=
i
4320 ⋅ 24 − 1080 ⋅ 40 − 353,25 ⋅ 6,36 58233,33
=
= 20,17 см.
2886,75
2886,75
Показываем центр тяжести сечения С на рис. 2.4 и проводим центральные оси сечения хСу.
Найдем новые координаты центров тяжести отдельных частей сечения в
системе центральных осей хСу:
a1 = yc1 − yc = 24 – 20,17 = 3,83 см; a2 = yc2 − yc = 40 – 20,17 = 19,83 см;
a3 = yc3 − yc = 6,36 – 20,17 = –13,81 см.
Выполним проверку положения центра тяжести:
S x = S x(1) − S x(2) − S x(3) = A1a1 − A2 a2 − A3a3 =
= 4320 ⋅ 3,83 − 1080 ⋅ 19,83 − 353, 25( −13,81) =
= 21 423,98 − 21 416,40 = 7,58 см3 .
S y = 0, так как ось у — центральная ось сечения.
Статический момент площади всего сечения относительно центральных
осей должен быть равен нулю. Погрешность определения центра тяжести
7,58
100 % = 0,035 % < 3 %, что считается допустимой
равна Δ%( S x ) =
21 416, 40
величиной.
5. Вычислим главные моменты инерции сечения и найдем положение
главных центральных осей. Так как сечение имеет ось симметрии у, то она
является главной центральной осью инерции. Ось х является другой главной
центральной осью.
В этом случае, чтобы найти величины главных моментов инерции, надо
просто выбрать из двух найденных осевых моментов инерции — наибольший J max и наименьший J min .
Согласно зависимостям (1.9) моменты инерции равны
3
(
)
J x = ∑ J x(ii ) + ai2 Ai = J x(1)1 + a12 A1 + J x(2)
+ a22 A2 + J x(3)
+ a32 A3 =
2
3
i =1
= 829 440 + 3,832 ⋅ 4320 − (34 560 + 19,832 ⋅ 1080) − (5556,60 +
+ (−13,81) 2 ⋅ 353,25) = 360 635,37 cм 4 = J min = J 2 ;
38
3
(
)
J y = ∑ J y(ii ) + bi2 Ai = J y(1)1 − J y(2)
− J y(3)3 = 2 916 000 – 364 500 – 19 870,31 =
2
i =1
= 2 531 629,70 см4 = J max = J1.
Здесь b1 = b2 = b3 = 0, так как центры тяжести частей сечения С1, С2, С3
расположены на оси симметрии у, т. е. на главной центральной оси.
Центробежный момент инерции сечения относительно главных центральных осей всегда равен нулю.
+ a2b2 A2 + J x(3)
+ a3b3 A3 = 0.
J xy = J x(1)1 y1 + a1b1 A1 + J x(2)
2 y2
3 y3
6. Найдем квадраты главных радиусов инерции:
i12 =
J1 2 531 629,70
J
360635,37
=
= 876,98 см2; i22 = 2 =
= 124,93 см2.
A
2886,75
A
2886,75
7. Определим моменты сопротивления сечения для нижних и
верхних волокон, ун = 20,17 см; ув = 27,83 см:
Wxн =
J x 360 635,37
=
= 17 879,79 см3;
yн
20,17
Wxв =
J x 360 635,37
=
= 12 958,51 см3.
yв
27,83
39
3. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
3.1. Определение статических моментов площади сечения
и центра тяжести
1. Определить статический момент прямоугольного поперечного сечения относительно оси x.
Ответ: S x = 0
2. Определить статический момент поперечного
сечения относительно оси.
Ответ: S x1 = 11 709,44 см3
3. Найти положение центра тяжести С поперечного сечения участка стены таврового сечения.
Ответ: xc = 36,81 см
4. Найти расстояние от центра тяжести поперечного сечения до основания прямоугольника.
Ответ: yc = 23,63 см
5. Найти расстояние от центра тяжести составного сечения, состоящего из швеллера и двутавра, до
основания двутавра.
Ответ: yc = 13,94 см
40
6. Найти положение центра тяжести С составного сечения в начальной системе координат
x0 y.
Ответ: xc = 5,70 см; yc = 8,97 см
3.2. Определение моментов инерции
7. Определите на какое расстояние а следует
удалить друг от друга два двутавра № 20, чтобы
главные центральные моменты инерции сечения
были равны, J x = J y .
Ответ: a = 16,04 см
8. Определите значение момента инерции поперечного сечения стержня относительно главной центральной
оси х, a = 4 см, d = 12 см.
Ответ: J x = 996,03 см4
9. Найти осевой и полярный моменты инерции для
круга, если d = 16 см.
Ответ: J x = 3125,36 см4,
J ρ = 6250,72 см4.
10. Вычислите главный центральный момент инерции J x сечения из
двух швеллеров № 40 и сравните их с
соответствующим моментом инерции
двутавра той же высоты.
Ответ:
J x = 31 370,19 см4 > 19 062 см4.
11. Докажите, что осевой момент
инерции квадратного сечения, относительно оси х не измениться, если
сечение повернуть на 90° вокруг ее
оси.
b4
Ответ: J x =
12
41
3.3. Определение радиусов инерции
и моментов сопротивления сечения
12. Найдите квадрат радиуса инерции поперечного сечения относительно оси х.
Ответ: ix2 = 13,69 см2
13. Определите, как изменится
момент сопротивления квадратного
сечения относительно оси х, если сечение повернуть на 90°.
b3
b3
Ответ: Wx = ; Wx =
6
8,49
14. Определите значение момента инерции сечения
относительно оси х, если n = 0,4.
Ответ: J x = 0,0812 a 4
15. Задача Парана. Найдите соотношение h / b
для выпиленного из круглого бревна диаметром d
прямоугольного сечения с наибольшим моментом
сопротивления.
Ответ: h / b = 2 ≈ 1,4 ≈ 7 / 5
16. Определите момент сопротивления поперечного сечения стержня из четырех жестко соединенных
между собой бревен d = 30 см относительно главной
центральной оси х.
Ответ: Wx = 26 493,75 см3
17. Определите радиус инерции и наибольший момент сопротивления поперечного сечения
стержня, изображенного на рисунке, относительно оси х.
Ответ: ix = 2,53 см, Wxнб = 42,15 см3
42
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется статическим моментом площади сечения относительно
некоторой оси? Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?
2. Запишите формулы для определения координат центра тяжести сечений.
3. По каким формулам вычисляются осевые и центробежные моменты
инерции сечения? Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?
4. Запишите формулы для осевых моментов инерции прямоугольника и
круга относительно осей симметрии, проходящих через их центры тяжести.
5. Какова зависимость между осевыми моментами инерции относительно
двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр тяжести сечения?
6. Запишите формулы, выражающие изменение осевых и центробежного
моментов инерции сечения при повороте осей.
7. Какие оси называются главными и главными центральными осями?
8. Запишите формулу для определения положения главных осей сечения.
9. Запишите формулу для определения величин главных моментов инерции.
10. Как определяются квадраты радиусов и моменты сопротивления сечения?
43
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев, В. И. Техническая механика (для строительных вузов и факультетов) :
учебник / В. И. Андреев, А. Г. Паушкин, А. Н. Леонтьев. — М. : АСВ, 2012. — 256 с.
2. Варданян, Г. С. Сопротивление материалов с основами строительной механики :
учебник / Г. С. Варданян, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. — М. : Инфра-М, 2011. — 480 с.
3. Александров, А. В. Сопротивление материалов : учебник для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Е. П. Державин ; под редакцией А. В. Александрова. — М. : Высшая
школа, 2008. — 559 с.
4. Михайлов, А. М. Сопротивление материалов : учебник для вузов / А. М. Михайлов. — М. : Академия, 2009. — 446 с.
5. Копнов, В. А. Сопротивление материалов : руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В. А. Копнов, С. Н. Кривошапко. — М. : Высшая школа, 2005. — 351 с.
44
ПРИЛОЖЕНИЕ
Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент по ГОСТ8239—89
h — высота двутавра; b — ширина полки; d — толщина стенки; t — средняя толщина полки; J — момент инерции;
W — момент сопротивления; S — статический момент полусечения; i — радиус инерции.
Таблица П.1
Размеры
Номер
двутавра
h
b
d
t
мм
10
12
14
16
18
20
22
24
27
30
33
36
40
45
50
55
60
100
120
140
160
180
200
220
240
270
300
330
360
400
450
500
550
600
55
64
73
81
90
100
110
115
125
135
140
145
155
160
170
180
190
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,4
5,6
6,0
6,5
7,0
7,5
8,3
9,0
10
11
12
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8,4
8,7
9,5
9,8
10,2
11,2
12,3
13,0
14,2
15,2
16,5,
17,8
Площадь
поперечного
сечения, см2
Масса
1 м,
кг
12
14,7
17,4
20,2
23,4
26,8
30,6
34,8
40,2
46,5
53,8
61,9
72,6
84,7
100,0
118,0
138,0
9,46
11,5
13,7
15,9
18,4
21,0
24,0
27,3
31,5
36,5
42,2
48.6
57,0
66,5
78,5
92,6
108,0
45
Справочные значения для осей
х—х
Jx, см4
198
350
572
873
1290
1840
2550
3460
5010
7080
9840
13 380
19 062
27 696
39 727
55 962
76 806
Wx, см3
39,7
58,4
81,7
109,0
143,0
184,0
232,0
289,0
371,0
472,0
597,0
743,0
953,0
1231,0
1589,0
2035,0
2560,0
у—у
ix, см
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
8,28
9,13
9,97
11,2
12,3
13,5
14,7
16,2
18,1
19,9
21,8
23,6
Sx, см3
23,0
33,7
46,8
62,3
81,4
104,0
131,0
163,0
210,0
268,0
339,0
423,0
545,0
708,0
919,0
1181,0
1491,0
Jy, см4
17,9
27,9
41,9
58,6
82,6
115
157
198
260
337
419
510
667
808
1043
1356
1725
Wy, cм3
6,49
8,72
11,5
14,5
18,4
23,1
28,6
34,5
41,5
49,9
59,9
71,1
86,1
101
123
151
182
iy, см
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,07
2,27
2,37
2,54
2,69
2,79
2,79
3,03
3,09
3,23
3,39
3,54
Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент по ГОСТ 8240 — 97 (с уклоном внутренних граней полок)
h — высота швеллера; b — ширина полки; d — толщина стенки; t — средняя толщина полки; J — момент инерции; W —
момент сопротивления; S — статический момент полусечения; i — радиус инерции; z0 — расстояние от оси у — у до
наружной грани стенки
Таблица П.2
Номер
швеллера
h
5
6,5
8
19
12
14
16
16а
18
18а
20
22
24
27
30
33
36
40
59
65
80
100
120
140
160
160
180
180
200
220
240
270
300
330
360
400
Размеры
b
d
t
мм
32
36
40
46
52
58
64
68
70
74
76
82
90
95
100
105
110
115
4,4
4,4
4,5
4,5
4,8
4,9
5,0
5,0
5,1
5,1
5,2
5,4
5,6
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,1
8,4
9,0
8,7
9,3
9,0
9,5
10
10,5
11,0
11,7
12,6
13,5
Площадь
поперечного
сечения,
см2
6,16
7,51
8,98
10,90
13,30
15,60
18,10
19,50
20,70
22,20
23,40
26,70
30,60
35,20
40,50
46,50
53,40
61,50
Масса
1 м,
кг
z0, см
4,84
5,90
7,05
8,59
10,40
12,30
14,20
15,30
16,30
17,40
18,40
21,00
24,00
27,70
31,80
36,50
41,90
48,30
1,16
1,24
1,31
1,44
1,54
1,67
1,80
2,00
1,94
2,13
2,07
2,21
2,42
2,47
2,52
2,59
2,68
2,75
Справочные значения для осей
х—х
4
Wx, см
22,8
48,6
89,4
174,0
304,0
491,0
747,0
823,0
1090,0
1190,0
1520,0
2110,0
2900,0
4160,0
5810,0
7980,0
10 820
15 220
9,1
15,0
22,4
34,8
50,6
70,2
93,4
103,0
121,0
132,0
152,0
192,0
242,0
308,0
387,0
484,0
601,0
761,0
Jx, см
46
3
ix, см
Sx, см
3
4
Jy, см
1,92
2,54
3,16
3,99
4,78
5,60
6,42
6,49
7,24
7,32
8,07
8,89
9,73
10,9
12,0
13,1
14,2
15,7
5,59
9,0
13,30
20,40
29,6
40,80
54,10
59,40
69,80
76,10
87,80
110,0
139,0
178,0
224,0
281,0
350,0
444,0
5,61
8,70
12,80
20,40
31,20
45,40
63,30
78,80
86,00
105,00
113,00
151,00
208,00
262,00
327,00
410,00
513,00
642,00
у—у
Wy, cм3
iy, см
2,75
3,68
4,75
6,46
8,52
11,0
13,8
16,4
17,0
20,0
20,5
25,1
31,6
37,3
43,6
51,8
61,7
73,4
1,16
1,24
1,31
1,44
1,54
1,67
1,80
2,00
1,94
2,13
2,07
2,21
2,42
2,47
2,52
2,59
2,68
2,75
Таблица П.3
Геометрические характеристики некоторых плоских сечений
Сечение
Площадь, см
1
2
A = bh
2
Осевой момент
инерции, см4
3
Центробежный
момент
инерции, см4
4
Момент
сопротивления, см3
Радиус инерции, см
5
6
bh 2
,
6
hb 2
Wy =
6
bh3
,
12
hb3
Jy =
12
J xy = 0
b4
12
J xy = 0
Wx = Wy =
J xy = 0
b 4 − b14
Wx = Wy =
6b
J xy = 0
bh3 − b1h13
Wx =
6h
3
hb − h1b13
Wy =
6b
Jx =
A = b2
Jx = J y =
A = b 2 − b12
b 4 b14
Jx = J y = −
12 12
A = bh − b1h1
bh3 b1h13
Jx =
−
12 12
hb3 h1b13
Jy =
−
12
12
47
Wx =
b3
6
h
,
12
b
iy =
12
ix =
ix = i y =
ix = i y =
b
12
b 4 − b14
12 A
bh3 − b1h13
ix =
12 A
iy =
hb3 − h1b13
12 A
Продолжение табл. П.3
Сечение
Площадь, см2
Осевой момент
инерции, см4
1
A = bh
2
h
c = = yH
3
bh3
Jx =
36
hb3
Jy =
48
1
A = bh
2
c = h/3
J x = hb3 / 48,
1
A = bh
2
J x = bh / 36
A=
πd 2
4
Центробежный
момент инерции,
см4
Wxв =
I xy = 0
Wхн =
I xy = 0
J y = bh / 36
3
3
I xy = −
J y = hb / 36
3
Jx = J y =
Момент
сопротивления, см3
πd 4
64
b2h2
72
J xy = 0
48
J x bh 2
=
24
yв
2
J х bh
=
yн 12
Радиус инерции, см
ix =
Jx
hb 2
Wx =
=
b / 2 24
ix =
Jx
bh 2
=
h / 3 12
Jx
bh 2
b
Wx =
=
2h / 3 24
ix =
Wхн =
Wx = Wy ==
πd 3
32
h
3 2
b
24
h
2 3
ix = i y =
d
4
Окончание табл. П.3
Сечение
Площадь, см2
b + b1
h
2
h ( 2b1 + b )
c=
3 ( b + b1 )
A=
Центробежный
момент инерции,
см4
Осевой момент
инерции, см4
Jx =
h ( b 4 − b14 )
J xy = 0
h3 K
,
Jy =
36 ( b + b1 )
=
K = b + 4bb1 + b .
Jx =
2
1
h3 K
,
36 ( b + b1 )
b + b1
A=
h
2
h ( 2b1 + b )
c=
3 ( b + b1 )
K = b 2 + 4bb1 + b12 .
π ( d 2 − d12 )
π ( d 4 − d14 )
A=
4
A=
с=
πd
8
2
2d
= 0, 212d
3π
Jу =
J
J
W = x = x
yв h − с
Wхн =
48 ( b − b1 )
64
J x = 0, 00686d 4
Jy =
I xy = 0
πd
= 0, 025d 4
128
4
49
J xy = 0
ix =
b 2 − b12
24
ix =
h 2K
6 ( b + b1 )
iy =
b 2 + b12
24
24 ( b 2 − bb1 )
в
х
h ( b 4 − b14 )
Jx = Jy =
Jx
=
b/2
h ( b 4 − b14 )
Радиус инерции, см
Wx =
48 ( b − b1 )
2
Момент
сопротивления, см3
Jх Jх
=
ун
с
Wx = Wy =
π ( d 4 − d14 )
32d
Jx
d / 2−с
J
Wхн = x
с
Jy
πd 3
=
Wy =
d / 2 64
ix = i y =
d 2 + d12
4
Wxв =
J xy = 0
ix = 0,132d
iy = d / 4
Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент
В — ширина большой полки; b — ширина малой полки; t — толщина полки; J — момент инерции;
i — радиус инерции; x0, y0 — расстояние от центра тяжести до наружных граней полок
Таблица П.4
Номер
уголка
Размеры
В
b
t
мм
2,5/1,6
25
16
3/2
30
20
3,2/2
32
20
4/2,5
40
25
4/3
40
30
4,5/2,8
45
28
5/3,2
50
32
3
3
4
3
4
3
4
5
4
5
3
4
3
4
Площадь
поперечного
сечения,
см2
Масса
1 м, кг
1,16
1,43
1,86
1,49
1,94
1,89
2,47
3,03
2,67
3,28
2,14
2,80
2,42
3,17
0,91
1,12
1,46
1,17
1,52
1,48
1,94
2,37
2,26
2,46
1,68
2,20
1,90
2,24
х0,
см
0,42
0,51
0,54
0,49
0,53
0,59
0,63
0,66
0,78
0,82
0,64
0,68
0,72
0,76
у0,
см
0,86
1,00
1,04
1,08
1,12
1,32
1,37
1,41
1,28
1,32
1,47
1,51
1,60
1,65
Справочные характеристики относительно осей
хиу
и
Jx,
ix ,
см4
см
0,70
1,27
1,61
1,52
1,93
3,06
3,93
4,73
4,18
5,04
4,41
5,68
6,18
7,98
0,78
0,94
0,93
1,01
1,00
1,27
1,26
1,25
1,25
1,24
1,48
1,42
1,60
1,59
50
J y , cм4
0,22
0,45
0,56
0,46
0,57
0,93
1,18
1,41
2,01
2,41
1,32
1,69
1,99
2,56
iy ,
J xy ,
J u = J min ,
см
0,44
0,56
0,55
0,55
0,54
0,70
0,69
0,68
0,87
0,86
0,79
0,78
0,91
0,90
cм4
0,22
0,43
0,54
0,47
0,59
0,96
1,22
1,44
1,68
2,00
1,38
1,77
2,01
2,59
см4
0,13
0,26
0,34
0,28
0,35
0,56
0,71
0,86
1,09
1,33
0,79
1,02
1,18
1,52
iи min , см
0,34
0,43
0,43
0,43
0,43
0,54
0,54
0,53
0,64
0,64
0,61
0,60
0,70
0,69
tg α
0,392
0,427
0,421
0,382
0,374
0,385
0,281
0,374
0,544
0,539
0,382
0,379
0,403
0,401
Продолжение табл. П.4
Размеры
Номер
уголка
В
b
Справочные характеристики относительно осей
t
мм
5,6/3,6
56
36
6,3/4,0
63
40
6,5/5
65
50
7/4,5
70
45
7,5/5
75
50
8/5
80
50
8/6
80
60
9/5,6
95
56
4
5
4
5
6
8
5
6
7
8
5
5
6
7
8
5
6
6
7
8
5,5
6
8
Площадь
поперечного
сечения
см2
3,58
4,41
4,04
4,98
5,90
7,68
5,56
6,60
7,62
8,62
5,59
6,11
7,25
8,37
9,47
6,36
7,55
8,15
9,42
10,67
7,86
8,54
11,18
Масса
1 м, кг
х0,
см
у0,
см
хиу
Jx,
2,81
3,46
3,17
3,91
4,63
6,03
4,36
5,18
5,98
6,77
4,39
4,79
5,69
6,57
7,43
4,49
5,92
6,39
7,39
8,37
6,17
6,70
8,77
0,84
0,88
0,91
0,95
0,99
1,07
1,26
1,30
1,34
1,37
1,05
1,17
1,21
1,25
1,29
1,13
1,17
1,49
1,53
1,57
1,26
1,28
1,36
1,82
1,87
2,03
2,08
2,12
2,20
2,00
2,04
2,08
2,12
2,28
2,39
2,44
2,48
2,52
2,60
2,65
2,47
2,52
2,56
2,92
2,95
3,04
см4
11,37
13,82
16,33
19,91
23,31
29,60
23,41
27,46
31,32
35,00
27,76
34,81
40,92
46,77
52,38
41,64
48,98
52,06
59,61
66,88
65,28
70,58
90,87
51
ix ,
см
1,78
1,77
2,01
2,00
1,99
1,96
2,05
2,04
2,03
2,02
2,23
2,39
2,38
2,36
2,35
2,56
2,55
2,53
2,52
2,50
2,88
2,88
2,85
J y , cм4
3,70
4,48
5,16
6,26
7,29
9,15
12,08
14,12
16,05
18,88
9,05
12,47
14,60
16,61
18,52
12,68
14,85
23,18
28,74
32,15
19,67
21,22
27,08
и
iy ,
J xy ,
J u = J min ,
см
1,02
1,01
1,13
1,12
1,11
1,09
1,47
1,46
1,45
1,44
1,27
1,43
1,42
1,41
1,40
1,41
1,40
1,76
1,75
1,74
1,58
1,58
1,56
cм4
3,74
4,50
5,25
6,41
7,44
9,27
9,77
11,16
12,94
13,61
9,12
12,00
14,10
16,18
17,18
13,20
15,50
20,98
21,01
26,83
20,54
22,23
28,33
см4
2,19
2,65
3,07
3,73
4,36
5,58
6,41
7,52
8,60
9,65
5,34
7,24
8,48
9,69
10,87
7,57
3,24
13,61
15,58
17,49
11,77
12,70
16,29
iи min , см
0,78
0,78
0,87
0,86
0,86
0,85
1,07
1,07
1,06
1,06
0,98
1,09
1,08
1,09
1,07
1,00
1,08
1,29
1,29
1,28
1,22
1,22
1,21
tg α
0,406
0,401
0,397
0,396
0,393
0,386
).576
0,575
0,571
0,570
0,406
0,436
0,435
0,435
0,430
0,387
0,386
0,547
0,546
0,544
0,384
0,384
0,380
Окончание табл. П.4
Размеры
Номер
уголка
В
b
Справочные характеристики относительно осей
t
мм
10/6,3
100
63
10/6,5
100
65
11/7
110
70
12,5/8
125
80
14/9
140
90
16/10
160
100
18/11
180
110
20/12,5
200
125
6
7
8
10
7
8
10
6,5
8
7
8
10
12
8
10
9
10
12
14
10
12
11
12
14
16
Площадь
поперечного
сечения
см2
9,58
11,09
12,57
15,47
11,23
12,73
15,67
11,45
13,93
14,06
15,98
19,70
23,36
18,00
22,24
22,87
25,28
30,04
34,72
28,33
33,69
34,87
37,89
43,87
49,77
Масса
1 м, кг
х0,
см
хиу
у0,
см
J x , см
7,53
8,70
9,87
12,14
8,81
9,99
12,30
8,98
10,93
11,04
12,58
15,47
18,34
14,13
17,46
17,96
19,85
23,59
27,26
22,20
26,40
27,37
29,74
34,43
39,07
1,42
1,46
1,50
1,58
1,52
1,56
1,64
1,53
1,64
1,80
1,84
1,92
2,00
2,03
2,12
2,24
2,28
2,36
2,43
2,44
2,52
2,79
2,83
2,91
2,99
3,23
3,28
3,32
3,40
3,24
3,28
3,37
3,55
3,61
4,01
4,05
4,14
4,22
4,49
4,58
5,19
5,23
5,32
5,40
5,88
5,97
6,50
6,54
6,62
6,71
4
98,29
112,86
126,96
153,95
114,05
128,31
155,52
142,42
171,54
226,53
225,62
311,61
364,79
363,68
444,45
605,97
666,59
784,22
897,19
952,28
1122,56
1449,02
1568,19
1800,83
2926,08
52
ix ,
см
3,20
3,19
3,18
3,15
3,19
3,18
3,15
3,53
3,51
4,01
4,00
3,98
3,95
4,49
4,47
5,15
5,13
5,11
5,08
5,80
5,77
6,45
6,43
6,41
6,38
J y , cм4
30,58
34,99
39,21
47,18
38,32
42,96
51,68
45,61
54,64
73,73
80,95
100,47
116,84
119,79
145,54
186,03
204,09
238,75
271,60
276,37
324,09
446,36
481,93
550,77
616,66
и
iy ,
см
1,79
1,78
1,77
1,75
1,85
1,84
1,82
2,00
1,98
2,29
2,28
2,26
2,24
2,58
2,58
2,85
2,84
2,82
2,80
3,12
3,10
3,58
3,57
3,54
3,52
J xy , cм4
31,50
36,10
40,50
48,60
38,00
42,64
51,18
46,80
55,90
74,70
84,10
102,0
118,0
121,0
147,0
194,0
218,0
249,0
282,0
295,0
348,0
465,0
503,0
565,0
643,0
J u = J min ,
см4
18,20
20,83
23,38
28,34
22,77
25,24
30,60
26,94
32,31
43,40
48,82
59,33
69,47
70,27
85,51
110,40
121,16
142,14
162,49
163,44
194,28
263,84
285,04
326,54
366,99
iи min , см
1,38
1,37
1,36
1,35
1,41
1,41
1,40
1,53
1,52
1,76
1,75
1,74
1,72
1,58
1,96
2,20
2,19
2,18
2,16
2,42
2,40
2,75
2,74
2,73
2,72
tg α
0,393
0,392
0,391
0,387
0,415
0,414
0,410
0,402
0,400
0,407
0,406
0,404
0,400
0,411
0,409
0,391
0,390
0,388
0,385
0,376
0,374
0,392
0,392
0,390
0,388
Уголки стальные горячекатаные равнополочные. Сортамент
b — ширина полки; t — толщина полки; J — момент инерции; i — радиус инерции; x0 , y0 — расстояние
от центра тяжести до наружных граней стенки
Таблица П.5
Номер
уголка
Размеры
b
t
мм
2
20
2,5
25
2,8
28
3
30
3,2
32
3,5
35
4
40
4,5
45
3
4
3
4
3
3
4
3
4
3
4
5
3
4
5
3
4
5
Площадь
поперечного
сечения
см2
Масса
1 м, кг
x0 = y0,
см
1,13
1,46
1,43
1,86
1,62
1,74
2,27
1,86
2,43
2,04
2,67
3,28
2,35
3,08
3,79
2,65
3,48
4,29
0,89
1,15
1,12
1,46
1,27
1,36
1,78
1,46
1,91
1,60
2,10
2,58
1,88
2,42
2,98
2,08
2,73
3,37
0,60
0,64
0,73
0,76
0,80
0,85
0,89
0,89
0,94
0,97
1,01
1,05
1,08
1,13
1,17
1,21
1,26
1,30
Справочные характеристики относительно осей
х0
J x 0 max ,
J y 0 min ,
ix0 max,
ix = i y ,
J xy , см4
4
см
см
см
см4
0,59
0,23
0,63
0,75
0,17
0,58
0,28
0,78
0,73
0,22
0,75
9,47
1,29
0,95
0,34
0,74
0,59
1,62
0,93
0,44
0,85
0,68
1,64
1,07
0,48
0,91
0,85
2,30
1,15
0,60
0,90
1,08
2,92
1,13
0,77
0,97
1,03
2,80
1,23
0,74
0,96
1,32
3,58
1,21
0,94
1,07
1,37
3,72
1,35
0,97
1,06
1,75
4,76
1,33
1,25
1,05
2,10
5,71
1,32
1,52
1,23
2,08
5,63
1,55
1,47
1,22
2,68
7,26
1,53
1,90
1,21
3,22
8,75
1,52
2,30
1,39
3,00
8,13
1,75
2,12
1,38
3,89
10,52
1,74
2,74
1,37
4,71
12,74
1,72
3,33
хиу
J x = J y , см4
0,40
0,50
0,81
1,03
1,16
1,45
1,84
1,77
2,26
2,35
3,01
3,61
3,55
4,58
5,53
5,13
6,63
8,03
53
у0
i y 0 min ,
см
0,39
0,38
0,49
0,48
0,55
0,59
0,58
0,63
0,62
0,69
0,68
0,68
0,79
0,78
0,78
0,89
0,89
0,88
Продолжение табл. П. 5
Номер
уголка
Размеры
b
t
мм
5
50
5,6
56
6,3
63
7
70
7,5
75
8
80
9
90
3
4
5
6
4
5
4
5
6
4,5
5
6
7
8
5
6
7
8
9
5,5
6
7
8
6
7
8
9
Площадь
поперечного
сечения,
см2
Масса
1 м, кг
2,96
3,89
4,80
5,69
4,38
5,41
3,90
6,13
7,28
6,20
6,86
8,15
9,42
10,67
7,39
8,78
10,15
11,50
12,83
8,63
9,38
10,85
12,30
10,61
12,28
13,93
15,60
2,32
3,05
3,77
4,47
3,44
4,25
4,96
4,81
5,72
4,87
5,38
6,39
7,39
8,37
5,80
6,89
7,96
9,02
10,07
6,78
7,36
8,51
9,65
8,33
9,64
10,93
12,20
x0 = y0,
см
1,33
1,38
1,42
1,46
1,52
1,57
1,69
1,74
1,78
1,88
1,90
1,94
1,99
2,02
2,02
2,06
2,10
2,15
2,18
2,17
2,19
2,23
2,27
2,43
2,47
2,51
2,55
Справочные характеристики относительно осей
хиу
х0
у0
J x = J y , см4
ix = i y , см
J xy , см4
J x 0 max см4
ix0 max,
см
J y 0 min ,
i y 0 min ,
4
см
7,11
9,21
11,20
13,07
13,10
16,00
18,90
23,10
27,10
29,04
31,90
37,58
42,98
48,16
39,53
46,57
53,34
59,84
66,10
52,68
56,97
65,31
73,36
82,10
94,30
106,11
118,00
1,55
1,54
1,53
1,52
1,73
1,72
1,95
1,94
1,93
2,16
2,16
2,15
2,14
2,12
2,31
2,30
2,29
2,28
2,27
2,47
2,47
2,45
2,44
2,78
2,77
2,76
2,75
4,16
5,42
6,57
7,65
7,69
9,41
11,00
13.70
15,90
17,00
18,70
22,10
25,20
28,20
23,10
27,30
31,20
35,00
38,60
30,90
33,40
38,30
43,00
48,10
55,40
62,30
68,00
11,27
14,63
17,77
20,72
20,79
25,36
29,90
36,80
42,91
46,03
50,67
59,64
68,19
76,35
62,65
73,87
84,61
94,89
104,72
83,56
90,40
103,60
116,39
130,00
149,67
168,42
186,00
1,95
1,84
1,92
1,91
2,18
2,16
2,45
2,44
2,43
2,72
2,72
2,71
2,69
2,68
2,91
2,90
2,89
2,87
2,86
3,11
3,11
3,09
3,08
3,50
3,49
3,48
3,46
2,95
3,80
4,63
5,43
5,41
6,59
7,81
9,52
11,16
12,04
13,22
15,52
17,77
19,97
16,41
19,28
22,07
24,80
27,48
21,80
23,54
26,97
30,32
33,97
38,94
43,80
48,60
1,00
0,99
0,98
0,98
1,11
1,10
1,25
1,25
1,24
1,39
1,39
1,38
1,37
1,37
1,49
1,48
1,47
1,47
1,46
1,59
1,58
1,58
1,57
1,79
1,78
1,77
1,77
54
см
Продолжение табл. П.5
Размеры
Номер
уголка
b
t
мм
10
100
11
110
12,5
125
14
140
16
160
6,5
7
8
10
12
14
16
7
8
8
9
10
12
14
16
9
10
12
10
11
12
14
16
18
20
Справочные характеристики относительно осей
Площадь
поперечного
сечения,
см2
Масса
1 м, кг
12,82
13,75
16,60
19,24
22,80
26,28
29,68
15,15
17,20
19,69
22,00
24,33
28,89
33,37
37,77
24,72
27,33
32,49
31,43
34,42
37,39
43,57
49,07
54,79
60,40
10,06
10,79
12,25
15,10
17,90
20,63
23,30
11,89
13,50
15,60
17,30
19,10
22,68
26,20
29,65
19,41
21,45
25,50
24,67
27,02
28,35
33,97
38,52
43,01
47,44
x0 = y0,
см
2,68
2,71
2,75
2,83
2,91
2,99
3,06
2,96
3,00
3,36
3,40
3,45
3,53
3,61
3,68
3,76
3,82
3,90
4,30
4,35
4,39
4,47
4,55
4,63
4,70
хиу
х0
у0
J x = J y , см4
ix = i y , см
Jxy, см4
J x 0 max , см4
ix0 max,
см
J y 0 min ,
i y 0 min ,
4
см
122,10
130,59
147,19
178,95
208,90
237,15
263,82
175,61
198,17
294,36
327,48
359,82
422,23
481,76
538,56
465,72
512,29
602,49
774,24
844,21
912,89
1046,47
1175,19
1290,24
1418,85
3,09
3,08
3,07
3,05
3,03
3,00
2,98
3,40
3,39
3,87
3,86
3,85
3,82
3,80
3,78
4,34
4,33
4,31
4,96
4,95
4,94
4,92
4,89
4,87
4,85
71,40
76,40
86,30
110,00
122,00
138,00
152,00
106,00
116,00
172,00
192,00
211,00
248,00
382,00
315,00
274,00
301,00
354,00
455,00
486,00
537,00
615,00
690,00
771,00
830,00
193,46
207,01
233,46
283,83
330,95
374,98
416,94
278,54
314,51
466,76
520,00
571,04
670,02
763,90
852,84
739,42
823,62
956,98
1229,10
1340,06
1450,00
1662,13
1865,73
2061,03
2248,26
3,89
3,88
3,87
3,84
3,81
3,78
3,74
4,29
4,28
4,87
4,86
4,84
4,82
4,78
4,75
5,47
5,46
5,43
6,25
6,24
6,23
6,20
6,17
6,13
6,10
50,73
54,16
60,92
74,08
86,04
99,32
111,61
72,68
81,83
121,98
135,88
148,59
174,43
199,62
224,29
192,03
210,96
248,01
319,38
347,77
375,78
430,81
484,64
537,46
589,43
55
см
1,99
1,98
1,98
1,96
1,95
1,94
1,94
2,19
2,18
2,49
2,48
2,47
2,46
2,45
2,44
2,79
2,76
2,76
3,19
3,18
3,17
3,16
3,14
3,13
3,12
Окончание табл. П.5
Номер
уголка
Размеры
b
t
мм
18
180
20
200
22
220
25
250
11
12
12
13
14
16
20
25
30
14
16
16
18
20
22
25
28
30
35
Площадь
поперечного
сечения,
см2
Масса
1 м, кг
38,80
42,19
47,10
50,85
54,60
61,98
76,54
94,29
111,54
60,38
68,58
78,40
87,72
96,96
106,12
119,71
133,12
141,96
163,71
30,47
33,12
36,97
39,92
42,80
48,65
60,08
74,02
87,56
47,40
53,83
61,55
68,86
76,11
83,31
953,97
104,50
111,44
128,51
x0 = y0,
см
4,85
4,89
5,37
5,42
5,46
5,54
5,70
5,89
6,07
5,81
6,02
6,75
6,83
6,91
7,00
7,11
7,23
7,31
7,53
Справочные характеристики относительно осей
хиу
х0
у0
J x = J y , см4
ix = i y , см
Jxy, см4
J x 0 max , см4
ix0 max,
см
J y 0 min ,
i y 0 min ,
4
см
1216,44
1316,62
1822,78
1960,77
2097,00
2362,57
2871,47
3466,21
4019,66
2814,36
3175,44
4117,10
5247,24
5764,87
6270,32
7006,39
7716,86
8176,52
9281,05
5,60
5,59
6,22
6,21
6,20
6,17
6,12
6,06
6,00
6,83
6,89
7,76
7,73
7,71
7,09
7,65
7,61
7,59
7,53
716,00
776,00
1073,00
1156,00
1236,00
1393,00
1689,00
2028,00
2332,00
1655,00
1869,00
2775,00
3089,00
3395,00
3691,00
4119,00
4527,00
4788,00
5401,68
1933,10
2092,78
2896,16
3116,16
3333,00
3755,39
4560,42
5494,04
6351,05
4470,15
5045,37
7492,10
8336,69
9159,73
9961,60
11 125,52
12 243,84
12 964,66
14 682,73
7,06
7,04
7,84
7,83
7,81
7,78
7,72
7,63
7,55
8,60
8,58
9,78
9,75
9,72
9,69
9,64
9,59
9,56
9,47
499,78
540,65
749,40
805,35
861,00
969,74
1181,92
1438,38
1698,16
1158,56
1305,52
1942,09
2157,78
2370,01
2579,04
2887,26
3189,89
3388,98
3879,37
56
см
3,59
3,58
3,99
3,98
3,97
3,96
3,93
3,92
3,89
4,38
4,36
4,98
4,96
4,94
4,93
4,91
4,90
4,89
4,87
Учебное электронное издание
Беликов Георгий Иванович
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
Учебно-практическое пособие
Начальник РИО М. Л. Песчаная
Редактор И. Б. Чижикова
Компьютерная правка и верстка А. Г. Сиволобова
Минимальные систем. требования:
РС 486 DX-33; Microsoft Windows XP; Internet Explorer 6.0; Adobe Reader 6.0.
Подписано в свет 30.06.2015.
Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 2,8. Объем данных 6,7 Мбайт.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»
Редакционно-издательский отдел
400074, Волгоград, ул. Академическая, 1
http://www.vgasu.ru, info@vgasu.ru