Пределы функций: варианты заданий для контрольной работы

1.1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя
Вариант 1
x 2  5x  6
x 2  5x  6
x 2  5x  6
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 10  7 x  x 2
x 5 10  7 x  x 2
x  10  7 x  x 2
x2
4. lim
x0
. 5. lim
x 
x 1 1
2
4 x 2  3  5x
. 6. lim ( x 2  3 x  4  x 2  x  1) .
2x  3
x 
3 x 1
sin( x)
 x  2
7. lim
.
8. lim 
.
9. lim e x /(1 x ) .

x   x  3 
x 1 0
x0
x
Вариант 2
8  9x  x 2
8  9x  x 2
8  9x  x 2
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 10  9 x  x 2
x 10 10  9 x  x 2
x  10  9 x  x 2
4. lim
x2  2 1
. 5. lim
9x 2  4  4x
. 6. lim ( x 2  5 x  x 2  x ) .
3x  4
x 
x 
x2  3
2 x 1
sin 2 (3 x)
 x  7
7. lim
.
8. lim 
.
9. lim e1 /( x 1) .

2
x   x  5 
x0
x 1 0
x
Вариант 3
x 2  8 x  12
x 2  8 x  12
x 2  8 x  12
1.. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x  2 8 x  20  x 2
x 10 8 x  20  x 2
x  8 x  20  x 2
4x  5
x2
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( x 2  4 x  x 2  x  1) .
x 
x   x 2  1  x
x0 x 2  4  2
x 3
7. lim
sin 2 ( x / 5)
.
 x  9
8. lim 

x   x  5 
x / 2 2
.
x2
Вариант 4
2 x 2  5  3x
2 x 2  5  3x
1.. lim
. 2. lim
.
x 1 x  3  2 x 2
x 3 / 2 x  3  2 x 2
x0
9. lim 51 /( x 2) .
x 2  0
3. lim
2 x 2  5  3x
x  x  3  2 x 2
.
3x 2  4  2 3 x
. 6. lim ( x 2  5 x  x) .
1  2x
x 
x2  3  2
. 5. lim
x 
x2 1
x / 2 2
tg( x / 7)
 x  3
7. lim
.
8. lim 
. 9. lim 21 /( x 3) .

x   x  7 
x 3 0
x
x 0
Вариант 5
3x 2  x  2
3x 2  x  2
3x 2  x  2
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 2 x 2  x  3
x 3 / 2 2 x 2  x  3
x  2 x 2  x  3
4. lim
x 1
4. lim
x 1
4
x3  1
x 1
.
5. lim
x  
3x  5
25 x 2  7  6 x
.
6. lim ( x  x 2  3 x  2 ) .
x 
tg 2 (2 x)
7. lim
x 0
x
2
 2x  1 
8. lim 

x   2 x  3 
.
2 x 3
9. lim 51 /( x 5) .
.
x 5 0
Вариант 6
1. lim
5x 2  4x  1
x 1 3 x 2  2 x  1
. 2. lim
x 1 / 3 3 x 2  2 x  1
3
2x  x 3  x 2
5. lim
x  
5x 2  4 x  1
x 2  1  2x
. 3. lim
5x 2  4 x  1
x  3 x 2  2 x  1
. 4. lim
x4
x3  8
x 2
.
. 6. lim ( 4 x 2  5 x  6  4 x 2  3 x  2 ) .
x 
3 x 3
sin( x  1)
 2x  7 
7. lim
. 8. lim 
. 9. lim 31 /( x 1) .

x   2 x  3 
x 1 0
x 1 x 2  1
Вариант 7
2x 2  7x  6
2x 2  7x  6
2x 2  7x  6
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 3 x 2  2 x  8
x 4 / 3 3 x 2  2 x  8
x  3 x 2  2 x  8
4. lim
x  25
7. lim
3
x 5
x 3  125
tg( x  2)
.5. lim
.
8x 3  5x 2  6 x
x  
4x 2  3  4x
 2x  5 
8. lim 

x   2 x  9 
x / 2 1
.
. 6. lim ( 4 x 2  3 x  4 x 2  x  1) .
x 
9. lim e x /( 2 x ) .
x 2  0
x 4
Вариант 8
4x 2  5x  6
4x 2  5x  6
4x 2  5x  6
1.. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 x 2  8 x  12
x 6 x 2  8 x  12
x  x 2  8 x  12
x 2
4. lim
x 0
2
x2  4  2
x 2  16  4
. 5. lim
16 x 2  9 x  20 x
x  
3
. 6. lim ( 4 x 2  5 x  7  2 x) .
x 
3x  x 3  5 x
2 x4
sin(2 x)
 2x  3 
7. lim
.
8. lim 
.
9. lim e1 /( x 3) .

x  2 x  11 
x 3 0
x  0 tg3 x
Вариант 9
6x 2  x  5
6x 2  x  5
6x 2  x  5
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 7 x 2  4 x  3
x 3 / 7 7 x 2  4 x  3
x  7 x 2  4 x  3
4. lim
x 1
x2  8  3
x 2  63  8
7. lim ( x ctg3 x) .
x 0
.
5. lim
x  
7 x  3x  25 x 2
3
4x  1  x 3
 2x  4 
8. lim 

x   2 x  5 
3x 4
.
.
6. lim (2 x  4 x 2  8 x ) .
x 
9. lim 4 2 /( x 3) .
x 3 0
Вариант 10
5
3x 2  4 x  7
1. lim
x 1 4 x 2  13 x  9
. 2. lim
x 9 / 4 4 x 2  13 x  9
x2  7  4
4. lim
x 3
x 2  27  6
1  cos 3x
7. lim
2
x0
3x 2  4 x  7
. 5. lim
x  4 x 2  13 x  9
7x  4x 2  7x
x   3 8 x 3  7 x  3 x
 3x  10 
8. lim 

x   3 x  2 
.
. 3. lim
3x 2  4 x  7
x / 21
.
.
. 6. lim ( x 2  6 x  7  x) .
x 
9. lim 5 3 /( 4 x ) .
x 4  0
x
Вариант 11
3x 2  14 x  16
3x 2  14 x  16
3x 2  14 x  16
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 2 x 2  5 x  18
x 9 / 2 2 x 2  5 x  18
x  2 x 2  5 x  18
3
x
4. lim
x 0 3 x  3  3 3
. 5. lim
1  125 x 3  10 x
x   2 x 
9 x 2  5x
. 6. lim ( x  x 2  7 x  10 ) .
x 
x / 2 1
x2
 3x  7 
7. lim
.
8. lim 
.
9.
lim 2 tgx .

x  3 x  1 
x 0 1  cos 4 x
x  / 2  0
Вариант 12
5 x 2  14 x  8
5 x 2  14 x  8
5 x 2  14 x  8
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 4 x 2  13 x  10
x5 / 4 4 x 2  13 x  10
x  4 x 2  13 x  10
3
4. lim
x 3
7. lim
3
x 33
64 x 3  6 x 2  x
. 5. lim
. 6. lim ( x 2  x  2  x 2  x  2 ) .
x 
x   2 x  x 2  2 x
x3
1  cos 6 x
2
 3x  1 
. 8. lim 

x   3 x  4 
3x2
.
9.
lim
3tg2 x .
x  / 4  0
x
Вариант 13
2 x 2  3x  9
2 x 2  3x  9
2 x 2  3x  9
x
1. lim
.2. lim
.3. lim
. 4. lim
.
x 3 x 2  7 x  12
x 4 x 2  7 x  12
x  x 2  7 x  12
x 0 3 x  8  2
x0
3
4 x 2  1  27 x 3  8
5. lim
. 6. lim ( x 2  2 x  1  x 2  2 x ) .
x 
x3  1  x 2  1
2 x2
cos( 2 (3  x))
 3x  2 
lim 4tg6 x .
7. lim
. 8. lim 
. 9.

x   3 x  8 
x 0
x
x  / 4  0
Вариант 14
3
2x 2  7x  3
2x 2  7 x  3
2x 2  7x  3
x7 2
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
. 4. lim
.
x 3 x 2  8 x  15
x 5 x 2  8 x  15
x  x 2  8 x  15
x 1
x 1
x  
3
3
5. lim
8x 3  1  x 2  3
x   3 1  x 3 
6
x2  2
. 6. lim ( x 2  4 x  x 2  2 x  5 ) .
x 
ctg( 2 ( x  1))
7. lim
x 0
x
 3x  5 
. 8. lim 

x  3 x  13 
x / 33
. 9. lim
1
x  0  0 2ctgx
.
Вариант 15
3x 2  7 x  6
3x 2  7 x  6
3x 2  7 x  6
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 3 x 2  9 x  18
x 6 x 2  9 x  18
x  x 2  9 x  18
16 x 2  5  2 x
x  27  3
. 5. lim
. 6. lim ( x 2  6 x  x 2  2 x  1) .
x 
3  2x
x 
x
3
4. lim
x 0
sin( x / 2)
7. lim
 3x  7 
8. lim 

x  3 x  19 
x 0
x  10
4. lim
x 10 3 x  17  3
7. lim
tg 2 (3x)
x 0 sin 2 4 x
. 5. lim
x  
4  9x 2  4x
3
2  x3
 2x  5 
8. lim 

x   3  2 x 
.
.
7x
.
9.
1
.
tg 3 x
Вариант 16
4 x 2  17 x  15
4 x 2  17 x  15
4 x 2  17 x  15
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 3 2 x 2  3 x  9
x3 / 2 2 x 2  3 x  9
x  2 x 2  3 x  9
2
.
x / 4 3
lim
x  / 2  0 3ctg2 x
. 6. lim ( 9 x 2  6 x  7  3 x) .
x 
9. lim 10 2 /( x 1) .
x 1 0
Вариант 17
5 x 2  16 x  3
5 x 2  16 x  3
5 x 2  16 x  3
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 3 2 x 2  5 x  3
x 1 / 2 2 x 2  5 x  3
x  2 x 2  5 x  3
x
4. lim
x 0 3 x  64  4
7. lim
sin 2 (2 x)
2
x 0
.
. 5. lim
x 
25 x 2  10 x  1  7 x
. 6. lim (3x  9 x 2  18 x  5 ) .
5  3x
x 
 x  3
8. lim 

x  x  2 
2 x 1
.
9. lim 9 3 /( x 2) .
x 2  0
tg 3 x
Вариант 18
3x 2  14 x  8
3x 2  14 x  8
3x 2  14 x  8
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 3 / 2 2 x 2  11x  12
x  2 x 2  11x  12
x 4 2 x 2  11x  12
3
4. lim
x36
x  100  4
7 x  4 x 2  5x
. 5. lim
. 6. lim ( 16 x 2  8 x  7  4 x) .
3
x 
x  
x  36
9  27 x 3
3
7. lim
tg (2 x)
x 0 sin
2
.
 x2  5

8. lim 
x  x 2  5 
x 2 1
.
9. lim 8 2 /(3 x ) .
x 3 0
3x
Вариант 19
5 x 2  23 x  12
5 x 2  23 x  12
5 x 2  23 x  12
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 4 2 x 2  7 x  4
x 1 / 2 2 x 2  7 x  4
x  2 x 2  7 x  4
7
x 1
4. lim
.
x 1 2  3 x  7
3x 2  2  x
5. lim
x  
3
. 6. lim (4 x  16 x 2  6 x  5 ) .
x 
x3  1
( x 1) / 3
arcsin x
 3x  4 
7. lim
.
8. lim 
. 9. lim 7 4 /( 2 x) .

x  3 x  2 
x 2  0
x0
x
Вариант 20
2x 2  9x  4
2x 2  9x  4
2x 2  9x  4
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 4 3 x 2  8 x  16
x4 / 3 3 x 2  8 x  16
x  3 x 2  8 x  16
3 4 x
.
x  81 9  x
4. lim
x2  x  x
5. lim
x  
3
2  8x 3
6. lim ( 9 x 2  7 x  9 x 2  x ) .
.
x 
x/2
arctg 2 x
 1  2x 
7. lim
.
8. lim 
.
9. lim 6 3 /(5 x ) .

x  2 x  3 
x 5 0
x0
x
Вариант 21
7x 2  6x  1
7x 2  6x  1
7x 2  6x  1
1. lim
. 2. lim
.3. lim
.
x 1 3 x 2  2 x  1
x 1 / 3 3 x 2  2 x  1
x  3 x 2  2 x  1
3
4. lim
x 10
27 x 3  25 x 2  2 x
x 1  3
. 5. lim
. 6. lim ( 16 x 2  25 x  16 x 2  1) .
x 
x   2 x  x 2  x  1
x  10
arcsin 2 x
7. lim
.
x0
x
 2x  3 
8. lim 

x  1  2 x 
3x
.
9.
lim
x  / 2 0
31 / cos x .
Вариант 22
8x 2  7 x  1
8x 2  7 x  1
8x 2  7 x  1
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 2 x 2  x  1
x 1 / 2 2 x 2  x  1
x  2 x 2  x  1
3
x2  x
125 x 3  100 x 2  3x
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( 25 x 2  11x  25 x 2  x ) .
x 1
x 
x 1
x  
3x  x 2  2 x
arctg2 x
.
x0
x
7. lim
x
. 9. lim 21 / cos 2 x .
x  / 4 0
x0 ln(1  3 x)
8. lim
Вариант 23
9x 2  2x  7
9x 2  2x  7
9x 2  2x  7
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 3 x 2  2 x  1
x 1 / 3 3 x 2  2 x  1
x  3 x 2  2 x  1
4. lim
x0
7. lim
x0
8
x2  9  3
2
. 5. lim
x 2  3x  x
. 6. lim ( 36 x 2  25 x  36 x 2  x ) .
x 
x 2  4x  5
ln(1  5 x)
. 8. lim
. 9. lim 41 / cos 6 x .
x  / 4 0
x0
x
x3 3
3x
sin 2 x
x  
Вариант 24
8 x 2  23 x  14
8 x 2  23 x  14
8 x 2  23 x  14
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 2 x 2  5 x  2
x 1 / 2 2 x 2  5 x  2
x  2 x 2  5 x  2
3
3x  2
1 x 2 1
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( 25 x 2  20 x  5 x) .
2
x 
x   9 x 4  7  5 x
x0
x
ex 1
x 1 1
7. lim
.
8. lim
. 9. lim 3ctgx .
x 0
x
x0 sin 3 x
x  0
Вариант 25
7 x 2  18 x  8
7 x 2  18 x  8
7 x 2  18 x  8
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x2 2 x 2  3 x  2
x 1 / 2 2 x 2  3 x  2
x  2 x 2  3 x  2
4. lim
1 x2 1
.
5. lim
4x 2  1  x
.
2x  3
6. lim (5 x  25 x 2  x  1) .
x 
x  
x 2  16  4
e 2x  1
1  cos 3x
7. lim
.
8. lim
. 9.
lim 5ctg2 x .
x 0
x
x  / 2  0
x0 x sin x
Вариант 26
9 x 2  11x  14
9 x 2  11x  14
9 x 2  11x  14
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 2 3 x 2  7 x  2
x 1 / 3 3 x 2  7 x  2
x  3 x 2  7 x  2
x  13
x8
4. lim
.
5. lim
. 6. lim ( 36 x 2  13 x  36 x 2  x ) .
3
x 
x  2 x  9 x 2  3
x 8 x  2
x0
x tg x
2x 1
. 8. lim
.
9. lim 2 x /( x 1) .
x 1 0
x 0
x
x0 1  cos 2 x
Вариант 27
4 x 2  15 x  9
4 x 2  15 x  9
4 x 2  15 x  9
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x3 3 x 2  17 x  24
x 8 / 3 3 x 2  17 x  24
x  3 x 2  17 x  24
3 2
x 1  2
n nn
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( 25 x 2  6 x  1  25 x 2  x  6 ) .
x 
n  
x5
n 1
x5
3
x
x 1
1 3
7. lim
. 8. lim
. 9. lim 3 2 x /( x 1) .
x 1 sin( x  1)
x 1 0
x 0
x
Вариант 28
7 x 2  22 x  3
7 x 2  22 x  3
7 x 2  22 x  3
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 3 3 x 2  8 x  3
x 1 / 3 3 x 2  8 x  3
x  3 x 2  8 x  3
3 3
25  x 2
x 3 x
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( 4 x 2  9 x  5  4 x 2  x  9 ) .
x 
x  5 5x  5
x 4x 2  1  x
7. lim
ln(1  10 x)
x3  1
7. lim
. 8. lim
.
x 1 tg( x  1)
x0
2x
9. lim 4 x /(1 x ) .
x 1 0
9
Вариант 29
x 2  4x  5
x 2  4x  5
x 2  4x  5
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 x 2  2 x  3
x 3 x 2  2 x  3
x  x 2  2 x  3
4. lim
3  x 1
x 10 100  x
. 5. lim
2
x  
9x 2  x  x
. 6. lim ( 4 x 2  17 x  6  4 x 2  x  5 ) .
x 
x 1
x9 3
3x
. 8. lim
. 9. lim 5 x /( 2 x) .
tg3 x
x 2  0
x0 ln(1  9 x)
x 0
Вариант 30
x 2  6x  7
x 2  6x  7
x 2  6x  7
1. lim
. 2. lim
. 3. lim
.
x 1 x 2  4 x  5
x 5 x 2  4 x  5
x  x 2  4 x  5
7. lim
9x 4  1  x
x
4. lim
. 5. lim
. 6. lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) .
3
x 
2x  1
x 
x  0 1  3x  1
9x 1
tg( x  1)
7. lim
. 8. lim
.
9. lim 6 2 x /(3 x ) .
x 3 0
x 0 2 x
x 1
x 1
10