МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
КУРСА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Разделы «КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ»,
«МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА»
Под редакцией В.А. Шилова
Москва 2022
УДК 537(076.5)+621.3.083(076.5)
ББК 22.33я7+31.264я7
Л12
Лабораторный практикум курса общей физики. Разделы «Колебания и
волны», «Молекулярная физика»: Учебное пособие / Под ред. В.А. Шилова. М.:
НИЯУ МИФИ, 2022. 344 с.
Авторы: Е.Н. Аксёнова (работа 2.30), Н.А. Иванова (работа 2.2), А.З. Лигидов
(работы 2.29, 2.37), А.А. Плясов (работы 2.2, 2.4, 2.23, 2.28, 2.35а, 2.36, 2.38),
А.И. Романов (работа 2.5), Н.Б. Сперанская (работы 2.10, 2.34), А.Н. Тюлюсов
(работа 2.7), Е.В. Хангулян (работы 2.32, 2.33), В.А. Шилов (работы 2.1, 2.3, 2.3а,
2.6, 2.6а, 2.7, 2.8, 2.9, 2.21, 2.24, 2.25, 2.25, 2.26, 2.27, 2.31, 2.34, 2.37), О.В. Щербачёв (работа 2.35).
Дано описание 33 лабораторных работ по курсу «Колебания, волны, основы
статистической термодинамики» для студентов 1-го курса (2-го семестра) НИЯУ
МИФИ. Пять описаний публикуются впервые, остальные существенно переработаны и дополнены.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.А. Коровин (ИАТЭ НИЯУ МИФИ)
ISBN 978-5-7262-2331-5
©
Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2022
СОДЕРЖАНИЕ
Методические указания ........................................................................................... 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Работа 2.1.
Применение электронного осциллографа
к исследованию колебаний звуковой частоты ............................ 8
Работа 2.2.
Изучение свободных гармонических колебаний ..................... 22
Работа 2.3.
Изучение колебаний с помощью
маятника Поля (вариант 1) ....................................................... 32
Работа 2.3а.
Изучение колебаний с помощью
маятника Поля (вариант 2) ....................................................... 42
Работа 2.4.
Изучение крутильных колебаний
бифилярного подвеса ................................................................ 50
Работа 2.5.
Измерение скорости звука в воздухе
с использованием установки «КОБРА-3»................................. 58
Работа 2.6.
Определение скорости звука в воздухе
и отношения Сp /Сv методом акустического
резонанса .................................................................................. 66
Работа 2.6а.
Исследование зависимости скорости звука
в воздухе от температуры и определение
отношения Сp/Сvметодомакустического
резонанса .................................................................................. 73
Работа 2.7.
Определение скорости ультразвука в воздухе
и отношения Сp/Сv методом стоячих волн................................ 76
Работа 2.8.
Определение скорости звука в твердых телах
и модуля Юнга методом резонанса…… .......... …..………….85
Работа 2.9.
Измерение скорости ультразвука в средах
импульсным методом ......... ……………………..…….……….93
Работа 2.10.
Определение коэффициента поверхностного
натяжения зондовым методом ……............ ………...…....…..103
Работа 2.11.
Изучение колебаний связанных маятников… .......... .……..…113
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Работа 2.21.
Получение и измерение вакуума…………… ............…..….....130
Работа 2.22.
Измерение коэффициента теплопроводности
воздуха (вариант 1) … ...................... ……..……….…….…….141
Работа 2.22а.
Измерение коэффициента теплопроводности
воздуха (вариант 2) ……..................... …………………..…….150
Работа 2.23.
Изучение теплопроводности
неметаллических материалов……….… ............ ………....…...157
Работа 2.24.
Определение удельной поверхности
пористых тел по изотерме адсорбции......................................168
3
Работа 2.25.
Работа 2.26.
Работа 2.27.
Работа 2.28.
Работа 2.29.
Работа 2.30.
Работа 2.31.
Работа 2.32.
Работа 2.33.
Работа 2.34.
Работа 2.35.
Работа 2.35а.
Работа 2.36.
Работа 2.37.
Работа 2.38
Изучение зависимости давления насыщенных
паров жидкости от температуры и определение
теплоты парообразования………………………………………182
Изучение броуновского движения
взвешенных частиц ..................................................................190
Измерение вязкости воздуха по истечению
из капилляра…........... …………………...………………….…..198
Определение удельной теплоемкости металлов
методом вращающихся цилиндров .........................................208
Определение отношения Ср/Сv для воздуха
методом Клемана–Дезорма......................................................220
Определение тройной точки вещества ....................................230
Изучение распределения электронов
по скоростям ............................................................................237
Изучение распределения молекул газа
по скоростям ............................................................................245
Барометрическая формула.
Распределение Больцмана .......................................................257
Определение коэффициента поверхностного
натяжения методом отрыва кольца
с применением установки «КОБРА-3» ....................................267
Определение термического коэффициента
линейного расширения твердых тел
с помощью дилатометра ..........................................................282
Определение коэффициента теплового
расширения жидкостей с помощью дилатометра....................289
Изучение адиабатического процесса.
Измерение отношения Сp/Сv для воздуха
методом адиабатического сжатия............................................299
Измерение теплоемкости металлов
с использованием установки «КОБРА-3»................................316
Изучение методов измерения температуры.
Градуировка термопары ....................................................... 329
4
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Работа в лаборатории требует от студента тщательной подготовки, поэтому, кроме описания работы, рекомендуется ознакомиться с явлением, которое предстоит экспериментально наблюдать и исследовать, по литературе, список которой приводится в
описаниях работ.
К работе в лаборатории допускаются только подготовленные
студенты. При подготовке к лабораторной работе студент обязан
внести в лабораторный журнал:
название работы и ее номер;
принципиальную и рабочую схему установки;
таблицы, расчетные формулы и формулы для расчета погрешностей.
При выполнении задания студент должен быть сосредоточен,
внимателен и осторожен при работе с установками или отдельными их деталями. Он должен руководствоваться правилами техники
безопасности и мерами предосторожности, указанными в описаниях. Выполнение задания требует от студента отчетливого представления о тех действиях, которые необходимо произвести при
работе с установками, причем в том порядке, который рекомендуется в описаниях.
В процессе измерений следует систематически и аккуратно записывать результаты в лабораторный журнал. Отсчеты, как правило, заносятся в таблицы, форма которых приведена в описаниях
работ. Все факторы, способные оказать влияние на точность измерений, должны быть записаны. В тех случаях, когда это рекомендуется, графические построения необходимо производить в процессе работы.
Выполнение работы заканчивается составлением краткого отчета, в котором следует указать:
1) что и каким методом исследовалось или определялось;
2) какой результат и с какими погрешностями (абсолютными и
относительными) был получен;
3) краткое обсуждение полученных результатов (соответствуют
ли полученные результаты теоретическим предсказаниям или таб5
личным данным, если нет, то какова возможная причина этого
несоответствия и т.п.);
4) анализ погрешностей (указать, каков характер погрешностей
результатов – приборный или случайный, какие из непосредственно измеряемых величин вносят наибольший вклад в погрешность
результата).
Заключение обычно занимает около половины страницы лабораторного журнала.
6
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Работа 2.1
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ
ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Цель: изучить устройство, работу электронного осциллографа
и генератора и их применение к исследованию электрических колебаний звуковой частоты.
Оборудование: электронный осциллограф; генератор синусоидальных сигналов звуковых частот (ГЗ-33 или ГЗ-34); генератор синусоидальных сигналов неизвестной частоты.
ВВЕДЕНИЕ
Электронный осциллограф − электроизмерительный прибор,
предназначенный для наблюдения и измерения электрических процессов. С помощью осциллографа можно исследовать форму кривых, описывающих процесс, сравнивать амплитуды и частоты различных сигналов и т.д. Применяя специальные преобразователи, с
помощью осциллографа можно также изучать быстрые неэлектрические процессы, например механические колебания.
В настоящей работе с помощью осциллографа изучается управление амплитудой колебаний генератора и исследуются процессы
сложения колебаний одного направления и сложения взаимно перпендикулярных колебаний. В качестве источников колебаний применяют стандартный генератор звуковой частоты (ГЗ), с помощью
которого можно получить колебания в широком диапазоне частот, и
генератор Гx, частота которого постоянна.
При сравнении интенсивностей периодических процессов
(например, распространения синусоидальных волн) часто используют не само отношение этих интенсивностей, а десятичный логарифм
этого отношения:
L lg I 1 .
I2
8
Логарифмическая шкала особенно удобна, когда измеряемая величина меняется во много раз (на несколько порядков). Единица измерения по логарифмической шкале − бел. Если L = 1 бел, то это
означает, что I1 = 10∙I2. Обычно для измерения отношения интенсивностей используют десятую часть бела – децибел. Таким образом,
отношение интенсивностей, выраженное в децибелах, записывают
как
L дБ 10 lg I 1 .
I2
В колебательных процессах интенсивность пропорциональна
средней энергии колебаний, а энергия колебаний пропорциональна
квадрату амплитуды. Поэтому отношение интенсивностей может
быть выражено в децибелах через отношение амплитуд:
L дБ 20 lg A1 .
A2
При сложении колебаний одного направления с одинаковой амплитудой А и близкими частотами и возникают
сложные колебания, называемые биениями. Запишем уравнения колебаний:
x1 = Acost, x2 = Acos [( + )t].
Сложив эти выражения, получим (учтя, что ):
x x 1 x 2 2A cos
t cost.
2
(2.1.1)
Движение, описываемое формулой (2.1.1), можно рассматривать
как гармоническое колебание частоты с переменной амплитудой.
Величина амплитуды определяется модулем множителя, стоящего в
скобках. Частота пульсаций амплитуды (частота биений) равна разности частот складываемых колебаний, а период изменения амплитуды биений
Tб = 2
Отметим, что колебания x1 и x2 равноправны и период Tб не изменяется, если частота колебания x1 будет на больше частоты
колебания x2.
9
Рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих одну и ту же частоту и происходящих вдоль координатных осей X и Y:
x = Acost; y = Bcos(t ),
где А и В − амплитуды соответствующих смещений; − разность
фаз колебаний.
Уравнение траектории результирующего движения
x2
y2
2xy
cos = sin 2
(2.1.2)
AB
A
B
является уравнением эллипса. Ориентация эллипса относительно
координатных осей X и Y зависит от разности фаз .
2
2
Рис. 2.1.2
Рис. 2.1.1
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид довольно
сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 2.1.1 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз . Траектория для отношения частот
3:4 и разности фаз показана на рис. 2.1.2 (оси x и y смещены).
Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение
частот колебаний, тем сложнее фигура Лиссажу. Если отношение
частот не выражается рациональной дробью, то траектория результирующего движения представляет собой незамкнутую кривую, постепенно заполняющую всю площадь прямоугольника.
10
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
ЭЛЕКТРОННЫЙ ОСЦИЛЛОГРАФ (ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ)
В настоящее время разработаны и применяются осциллографы
различных типов и возможностей. В данной работе используется
осциллограф, главным элементом которого является электроннолучевая трубка (ЭЛТ). Такие осциллографы за несколько десятилетий применения приобрели большую популярность благодаря их
относительной дешевизне и возможности с их помощью наблюдать
и измерять сигналы в широком диапазоне амплитуд и длительностей.
На рис. 2.1.3 схематически представлено устройство электроннолучевой трубки. ЭЛТ имеет стеклянный корпус, из которого откачан
воздух и внутри которого смонтированы системы, обеспечивающие
выполнение главной функции прибора – создания электронного луча
и управления его движением.
Источником электронов в ЭЛТ является подогреваемый катод 1,
представляющий собой отрезок тонкой вольфрамовой проволоки, по
которому пропускают ток. Вольфрам нагревается до температуры
порядка 2000 ºС, при этом возникает термоэлектронная эмиссия –
«высыпание» электронов из металла в окружающее пространство.
Фокусирующая система 2 посредством электрических полей специальной конфигурации формирует из свободных электронов тонкий
(порядка 1 мм диаметром) пучок (луч). Электронный луч 6 проходит
через ускорительную систему 3, после чего электроны приобретают
скорость порядка 107–108 м/с. Далее электронный луч проходит через вертикально отклоняющую систему 4 и через горизонтально отклоняющую систему 5 и попадает на люминесцентный экран 7 −
стеклянную стенку электронно-лучевой трубки, покрытую специальным составом (люминофором), способным светиться при попадании в него быстрых электронов. Таким образом на экране возни11
кает светящаяся точка, которую можно наблюдать снаружи ЭЛТ.
Системы, отклоняющие электронный луч от первоначального
направления, чаще всего представляют собой пары параллельных
друг другу металлических пластин, между которыми создается электрическое поле нужного направления. (Существуют типы электронно-лучевых трубок, в которых луч отклоняется магнитными полями.) Таким образом, меняя напряжение между отклоняющими пластинами, можно изменять положение светящейся точки на экране.
Рис. 2.1.3
Блок-схема осциллографа представлена на рис. 2.1.4.
Осциллограф имеет два входа (см. рис. 2.1.4). Сигнал, поданный
на вход 1, поступает на усилитель У1, а затем подаётся на вертикально отклоняющую систему электронно-лучевой трубки. Сигнал,
поданный на вход 2, поступает на усилитель У2, затем − на горизонтально отклоняющую систему ЭЛТ. В дальнейшем вход 1 будем
называть Y-входом, вход 2 − X-входом.
Различают два основных режима работы осциллографа. В первом
режиме на X- и Y-входы подаются два внешних сигнала. Переключатель П установлен в положение 1. В результате сложения этих
сигналов, действующих по двум взаимно перпендикулярным
направлениям, на экране ЭЛТ появляется линия. Во втором режиме
на Y-вход подается один внешний сигнал. Переключатель П поставлен в положение 2. На усилитель У2 подаeтся напряжение генератора развёртки (ГР), имеющее «пилообразный» характер, т.е. нараста12
ющее линейно, а затем также линейно убывающее. При этом интервал времени сброса значительно меньше интервала времени нарастания напряжения. Генератор развертки обеспечивает равномерное
перемещение луча в горизонтальном направлении. Если отношение
частот внешнего сигнала и ГР выражается рациональной дробью, то
на экране осциллографа возникает устойчивое изображение исследуемого сигнала во времени.
Рис. 2.1.4
Порядок включения и настройки осциллографа указан в приложении, имеющемся на лабораторной установке.
ЗВУКОВОЙ ГЕНЕРАТОР Г3-33 (Г3-34)
Основные сведения
Блок-схема ГЗ приведена на рис. 2.1.5. В задающем генераторе
возбуждаются синусоидальные электрические колебания с частотой
20−200 000 Гц (в зависимости от настройки). Амплитуда колебаний
регулируется усилителем мощности. Затем колебания подаются на
13
вольтметр и на делитель напряжения (аттенюатор), который может
изменять выходное напряжение в широких пределах.
Рис. 2.1.5
Питание генератора производится от сети переменного тока
напряжением 220 В.
Ручки управления звуковым генератором выведены на его панель
(рис. 2.1.6). Частота колебаний устанавливается поворотом ручки
переключателя «Множитель» (ступенчатая регулировка) и поворотом лимба (плавная регулировка). Для определения частоты генератора в герцах нужно отсчёт по шкале лимба умножить на показания
переключателя «Множитель». Вращением ручки «Расстройка, %»
можно плавно изменять частоту в пределах 1,5 % от установленной.
Возбуждаемые в генераторе колебания подаются на клеммы
«Выход». Напряжение на выходе регулируется плавно с помощью
ручки «Рег. выхода» и ступенчато (через каждые 10 дБ) при помощи
переключателя аттенюатора, имеющего гравировку «Пределы шкалослабление».
Переключение пределов шкал в зависимости от выходного сопротивления производится переключателем «Вых. сопротивление».
При работе на сопротивления нагрузки, значительно превышающие
14
600 Ом, для правильного отсчёта выходного напряжения следует
включить внутреннюю нагрузку тумблером «Внутренняя нагрузка».
Рис .2.1.6
Включение генератора
Вилку шнура включить в сеть переменного тока напряжением
220 В. Тумблер включения сети поставить в положение «Вкл.», при
этом должна загореться сигнальная лампочка. К работе следует приступить после предварительного прогрева в течение 20−30 мин. Затем ручкой «Множитель» и поворотом лимба установить нужную
частоту. С помощью ручки «Рег. выхода», а при необходимости и
ручки «Пределы шкал-ослабление», отрегулировать амплитуду
напряжения на выходе генератора.
Сопротивление выходного устройства генератора должно быть
согласовано с сопротивлением нагрузки, поданной на клеммы «Выход». Переключатель «Вых. сопротивление» необходимо поставить
в положение, наиболее соответствующее величине нагрузки (по указанию преподавателя или дежурного сотрудника).
15
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. При работе с осциллографом и генераторами не прилагать
чрезмерных усилий к рукояткам управления (регуляторам частоты,
амплитуды, переключателям диапазонов и т.п.), чтобы не нанести
механических повреждений приборам.
2. В остальном руководствоваться стандартной инструкцией по
технике безопасности при работе в учебных лабораториях кафедры
общей физики, озвученной на вводном занятии.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. УПРАВЛЕНИЕ АМПЛИТУДОЙ КОЛЕБАНИЙ
ЗВУКОВОГО ГЕНЕРАТОРА
1. Колебания со звукового генератора подать на Y-вход осциллографа. Выключить генератор развертки (ГР) осциллографа. Получить на экране осциллографа вертикальную линию, длина которой
должна быть пропорциональна амплитуде колебаний напряжения
звукового генератора. Поворачивая на панели генератора ручку
«Пределы шкал-ослабление», наблюдать изменение амплитуды колебаний генератора. Цифры в окне аттенюатора указывают пределы
напряжения, измеряемого вольтметром, а цифра в нижней строке −
затухание, т.е. отношение интенсивности колебаний на выходе ГЗ к
интенсивности колебаний, подаваемых на вольтметр.
В децибелах может быть выражено отношение двух любых интенсивностей I1 и I2:
I
L1,2 10 lg 1 , дБ.
(2.1.3)
I2
Известно, что интенсивность пропорциональна энергии колебаний, а энергия − произведению квадрата амплитуды на квадрат
чаcтоты колебаний. Следовательно,
I1 A12 12
.
I 2 A22 22
16
Если 1 2 , то
A
L1,2 20 lg 1 , дБ.
(2.1.4)
A2
2. Поставить ручку «Пределы шкал-ослабление» в положение
«0 дБ» и, пользуясь ручкой «Рег. выхода», получить на экране вертикальную прямую наибольшей длины, удобной для измерения.
Устанавливая ручку «Пределы шкал-ослабление» в положения
«−10 дБ», «−20 дБ», «−30 дБ», измерить каждый раз амплитуду (A1,
A2, ...) напряжения генератора по экрану осциллографа. Частоту генератора поддерживать постоянной (примерно 1 кГц). Когда при
увеличении ослабления длина штриха на экране осциллографа становится менее 10 мм, следует увеличить чувствительность осциллографа, изменив положение ручки ступенчатой регулировки чувствительности. При расчёте затухания необходимо пересчитать длину
штриха на то значение чувствительности, которое было установлено
до переключения.
3. Такие же измерения провести, поставив ручку «Пределы шкалослабление» в положение «+30 дБ». Получить на экране вертикальную прямую наибольшей длины. Переключая ручку из положения
«+30 дБ» в положения «+20 дБ», «+10 дБ», «0 дБ», измерить амплитуды сигнала (А3, A2, A1, A0).
A A A
Вычислить отношения амплитуд 1 , 2 3 для каждой серии
A0 A0 , A0
измерений.
По формуле (2.1.4) рассчитать затухание.
Оценить относительные и абсолютные погрешности измерений
затухания по формулам
A A0
L i i
; L i L i L i
Ai
ln
A0
(Ai и A0 − относительные погрешности измерения амплитуд).
4. Результаты измерений занести в табл. 2.1.1. Сравнить полученные результаты с затуханием, определяемым по показаниям генератора «Затухание, дБ». Оценить правильность калибровки генератора.
17
Таблица 2.1.1
Частота колебаний, Гц
Номер
измерения
Затухание
по шкале,
дБ
Размах колебаний
Отношение
амплитуд
L,
дБ
Затухание расчетное L, дБ
1
2
2. ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ БИЕНИЙ
Биения можно получить и наблюдать на экране осциллографа, если соединить звуковой генератор (ГЗ), генератор постоянной частоты Гx и осциллограф по схеме, изображенной на рис. 2.1.7.
Рис. 2.1.7
Условием отчетливой осциллограммы биений является равенство
амплитуд складываемых колебаний. Уравнять наблюдаемые на
экране амплитуды можно следующим образом.
1. Собрать схему по рис. 2.1.7. Ручкой «Рег. выхода» свести
напряжение ГЗ к нулю. Регулируя усиление электронного осциллографа (ЭО) по оси Y, добиться, чтобы двойная амплитуда генератора
Гх, наблюдаемая на экране, не превышала 4 см по вертикали. Длительность развертки осциллографа подобрать такой, чтобы на экране
18
помещалось 20−30 полных колебаний, т.е. чтобы период синусоиды
соответствовал 3−5 мм по экрану.
2. Отключить генератор Гх, поставить на ГЗ частоту порядка
3 кГц, затухание −30 дБ и выходное сопротивление 600 Ом. Не изменяя усиления осциллографа по оси Y и длительность развертки,
подобрать амплитуду и частоту так, чтобы синусоида на экране максимально напоминала синусоиду, полученную от Гх. Включить оба
генератора одновременно. На экране должна возникнуть картина
биений. Если картина неустойчива, ее можно стабилизировать, подбирая положение ручки «Частота» на панели ГЗ.
3. Плавно изменяя частоту ГЗ в пределах 2 − 4 кГц, можно несколько раз наблюдать на экране картину биений.
Для определения частоты генератора Гx нужно получить биения
два раза. Первый раз при частоте ГЗ 1, немного меньшей, чем частота генератора Гх. В этом случае частота биений б х 1.
Второй раз − при частоте ГЗ 2 большей, чем частота генератора Гх,
такой, чтобы частота биений б 2 х совпала с частотой б .
Если частоты биений равны, то равны и периоды пульсаций амплитуды, что легко установить, сравнивая осциллограммы.
Пусть, например, видим на экране осциллографа по два цикла биений при частотах колебаний ГЗ 1 = 2 кГц и 2 = 4 кГц. Очевидно,
что 1 < x < 2. Частоты биений б х 1 и б 2 х равны. Следовательно,
2
х 1
3 кГц.
(2.1.5)
2
4. Эксперимент по определению частоты х проделать для трех
различных значений частот б . Найти среднее значение х и оценить погрешность измерений. Относительная погрешность генераторов ГЗ-33, ГЗ-34 по частоте = 2 %.
19
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ
ПО ФИГУРАМ ЛИССАЖУ
1. Включить генератор ГЗ на X-вход осциллографа, а генератор
Гх − на Y-вход. Выключить генератор развертки и получить на экране
осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний от сигналов ГЗ и Гх (фигуры Лиссажу). Отношение частот складываемых колебаний должно быть равным 1:1, 1:2, 2:3, 3:4 и т.д. (примеры показаны на рис. 2.1.1 и 2.1.2).
Проверить правило, часто используемое для определения отношения частот. Если фигуру Лиссажу ограничить координатными осями
X и Y, как показано на рис. 2.1.2, и подсчитать число касаний фигуры
с осью Y, равное ny, и осью X, равное nx, то частоты колебаний x и
гз будут связаны соотношением
x nx
,
гз n y
где гз − частота звукового генератора ГЗ, x − частота генератора
Гх. (Эта формула верна, если сигнал от неизвестного генератора (частота νx) подается на X-вход осциллографа, а сигнал от ГЗ (частота
νГЗ) – на Y-вход.)
Найти не менее трех раз частоту x по различным фигурам Лиссажу, пользуясь правилом для определения отношения частот.
2. Зарисовать фигуры Лиссажу, по которым определялась частота.
3. Сравнить частоту, найденную по фигурам Лиссажу, со значением частоты, определенной по биениям. Оценить погрешность измерений.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Из каких основных блоков состоит осциллограф? Каково их
назначение?
2. Как устроена электронно-лучевая трубка? Каким образом формируется в ней электронный луч?
3. Какой физической величиной определяется смещение электронного луча на экране осциллографа?
20
4. Каким образом в данной работе измеряются частота и амплитуда колебаний?
5. Каков характер движения частицы, являющегося результатом
наложения двух колебаний одинакового направления и одинаковых
частот?
6. Каким условиям должны удовлетворять колебания, чтобы при
их сложении возникли биения?
7. Какую форму может иметь траектория частицы, движение которой является результатом наложения двух колебательных движений во взаимно перпендикулярных направлениях с одной и той же
частотой?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. М.: Астрель, 2003.
2. Иродов И.В. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2005.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т. 1. М.:
Дрофа, 2001.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1986.
21
Работа 2.2
ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
Цель: изучить свободные гармонические колебания, определить
коэффициенты жесткости пружин.
Оборудование: установка для изучения гармонических колебаний; две спиральные пружины; набор грузов.
ВВЕДЕНИЕ
Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил
деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму. Если после
прекращения действия внешних сил тело возвращается в первоначальное состояние, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если механическое напряжение не превосходит некоторого, определенного для каждого конкретного материала, предела (предела упругости). Если механическое напряжение больше предела упругости, возникает пластическая (необратимая) деформация.
Пусть один конец пружины, имеющей в недеформированном состоянии
длину l0 , закреплен. Если к другому
концу приложить силу F (рис. 2.2.1,а),
то под действием этой силы пружина
растянется на некоторую величину l.
При этом внешняя сила Fбудет полностью скомпенсирована силой упругости со стороны деформированной
пружины. Опыт показывает, что при
упругих деформациях удлинение пружины l оказывается пропорциональРис. 2.2.1
ным растягивающей силе: l F .
22
Следовательно, сила упругости прямо пропорциональна удлинению
пружины:
Fупр l .
Это соотношение носит название закона Гука. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом жесткости пружины, или просто жесткостью пружины, и имеет размерность
[Н/м].
Пусть небольшое тело, массой m, подвешенное на невесомой
пружине жесткости , совершает колебания вдоль вертикальной
оси y (рис. 2.2.1,б). Возьмем начало координат в точке оси y, соответствующей положению равновесия груза (см. рис. 2.2.1,б). В положении равновесия:
(0)
(2.2.1)
mg Fупр
l ,
где l – удлинение пружины.
Если тело сместить вдоль оси y из положения равновесия на небольшое расстояние и отпустить, оно начнет совершать малые колебания. Второй закон Ньютона для такого тела в момент времени,
когда его положение определяется координатой y (см. рис. 2.2.1,б), в
проекции на ось y имеет вид
(2.2.2)
my mg (l y) .
Поэтому с учетом условия (2.2.1) получим
my y .
(2.2.3)
Следовательно, уравнение малых колебаний тела, подвешенного
на пружине, может быть записано в виде
y 02 y 0 ,
(2.2.4)
где введено обозначение
02 .
(2.2.5)
m
Дифференциальное уравнение (2.2.4) называется уравнением свободных гармонических колебаний.
Решение этого уравнения в общем виде имеет вид гармонической
функции времени (косинуса):
y a cos(0t ) .
(2.2.6)
23
Здесь a – амплитуда колебаний; (0t ) – фаза; – начальная фаза; ω0 – циклическая (круговая) частота колебаний.
Период колебаний T связан с циклической частотой соотношением
2
0
,
(2.2.7)
T
следовательно, для тела, подвешенного на пружине, период колебаний имеет вид
m
.
(2.2.8)
T 2
Решение дифференциального уравнения (2.2.4) в виде (2.2.6) содержит две произвольные постоянные: а и . Для каждого конкретного случая эти константы определяются начальными условиями –
смещением y0 и скоростью v0 в фиксированный момент времени t0.
Если две пружины соединить последовательно и подвесить к ним небольшое тело массы m (см. рис. 2.2.2), то
при выведении тела из положения равновесия оно также
будет совершать малые гармонические колебания. Однако при последовательном соединении пружин полное
смещение тела в любой момент времени равно сумме
удлинений пружин, т.е. y y1 y2 . Кроме того, для
каждой пружины из закона Гука следует, что
(1)
(2)
Fупр
1y1; Fупр
2 y2 .
Рис. 2.2.2
По третьему закону Ньютона в любой момент времени сила, с которой первая пружина действует на вторую,
равна по модулю силе, с которой вторая действует на
(1)
(2)
Fупр
. Выражая из этих соотношений
первую: Fупр
удлинение каждой пружины через полное смещение y, получим
(2)
, действующей на подвешенное к
формулу для силы упругости Fупр
пружинам тело:
1
(2)
упр
F
1 1
y kэкв y .
1 2
24
(2.2.9)
Таким образом, применение двух последовательно соединенных
пружин полностью эквивалентно использованию одной пружины с
жесткостью
(2.2.10)
экв 1 2 .
1 2
Если жесткости последовательно соединенных пружин известны,
то жесткость эквивалентной пружины можно рассчитать по формуле
(2.2.10), а ее погрешность − по формуле
eff
42 1 14 2
1 2
2
.
(2.2.11)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для изучения гармонических колебаний спиральных
пружин, используемая в работе, состоит из штатива с горизонтальным стержнем, двух спиральных пружин разной жесткости и набора
грузов, один из которых снабжен крюком для подвешивания на
пружину. Груз с крюком имеет массу 10 г. В набор также входят несколько грузов масс 10 и 50 г. Погрешность каждой массы составляет 5 мг.
Для измерения периода колебаний тела, подвешенного на пружину или систему пружин, в работе используется многофункциональный четырехразрядный счетчик (рис. 2.2.3).
Для включения питания счетчика служит кнопка на задней панели
прибора (на рис. 2.2.3 не показана). На передней панели расположены
две группы кнопок: для установки режима измерения времени и для
управления процессом измерения.
Кнопка «Start» предназначена для запуска счетчика в любом режиме измерения. При нажатии на кнопку «Stop» в режиме ручного
измерения времени, отсчет останавливается. Перед запуском счетчика
необходимо нажать на кнопку «Reset» для обнуления счетчика.
Последовательным нажатием кнопки «Function» можно выбрать
режим измерения счетчика из четырех возможных вариантов. В данной работе используется режим «Time», в котором время измеряется
между нажатиями кнопки «Start» и кнопки «Stop».
25
Рис. 2.2.3
Кнопка «Display» предназначена для выбора единиц измерения соответствующей физической величины. При выбранном режиме измерения последовательное нажатие кнопки «Display» приводит к переключению между возможными для данного режима единицами измерения. В данной работе при выбранном режиме «Time» используются
единицы измерения – секунды (s).
Кнопка «Trigger» предназначена для выбора режима фотодатчика,
подключаемого к счетчику. В данной работе не применяется.
При измерении периода колебаний, если полученное значение не
превышает 9,999 с, то приборная погрешность равна 0,001 с, если же
полученное значение лежит в интервале от 10 до 99 с, то приборная
погрешность составляет 0,01 с.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Внимание! Во избежание порчи пружин не превышайте рекомендованную нагрузку. Не пытайтесь растягивать пружины руками!
2. Подвешивайте на штатив сначала пружины, а потом − грузы.
3. При подвешивании грузов на держателе на пружину не отпускайте сразу грузы. Придерживайте их, пока пружина не растянется
до равновесного положения.
26
4. При возбуждении колебаний не отклоняйте грузы от положения равновесия более чем на 1−2 см!
ЗАДАНИЯ
Задание 1. Определение коэффициентов жесткости
различных пружин
1. Подвесьте пружину № 1 на штатив (пружины в данном описании имеют следующую нумерацию: пружина №1 – витки большого
диаметра; пружина № 2 – витки малого диаметра). Аккуратно подвесьте на пружину нагрузку 20 г (груз с крюком + один груз массой
10 г).
2. Аккуратно отклоните груз из положения равновесия вдоль вертикальной оси на 1−2 см. Проследите за колебаниями. Если груз
движется вдоль одной оси – приступайте к измерениям, если присутствует движение в поперечном направлении – остановите систему и снова запустите.
3. Обнулите показания секундомера нажатием кнопки «Reset».
Когда груз достигнет наибольшего отклонения от положения равновесия (например, будет в самой нижней точке траектории), запустите
секундомер кнопкой «Start». После десяти полных колебаний остановите секундомер кнопкой «Stop». Запишите полученное значение
в заранее подготовленную табл. 2.2.1.
Таблица 2.2.1
Пружина № 1
№
m, г
1
20
…
…
10T, с
T, с
Пружина № 2
T2, с2
m, г
10T, с
T, с
…
…
T2,
с2
220
…
…
…
…
4. Повторите п. 3 еще 4 раза, не перезапуская колебания.
27
…
5. Повторите пп. 3 и 4 для суммарных масс груза от 20 до 80 г с
шагом 10 г.
6. Проделайте измерения, описанные в пп. 1−5, для пружины
№ 2. Рекомендуемая суммарная нагрузка для пружины № 2: от 220
до 340 г с шагом 20 г. Результаты измерений запишите в табл. 2.2.1.
Задание 2. Определение эквивалентного коэффициента
жесткости при последовательном соединении пружин
1. Подвесьте на штатив пружину №2, на нее подвесьте пружину
№1. Аккуратно нагрузите нижнюю пружину грузом суммарной массой 60 г.
2. Отклоните груз из положения равновесия на расстоянии порядка 1 см. Проследите за колебаниями. Если груз движется вдоль одной оси, приступайте к измерениям, если присутствует движение в
поперечном
направлении,
остановите
систему
и снова
Таблица 2.2.2
запустите.
Пружина № 1 + № 2
3. Аналогично заданию 1
2 2
выполните
измерения десяти
m, г
10T, с
T, с
T,с
полных периодов колебаний.
Результаты измерений занесите
в заранее подготовленную
60
табл. 2.2.2.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Задание 1
1. По результатам измерений десяти периодов колебаний для
каждой пружины и каждой нагрузки методом Корнфельда рассчитать период и его погрешность.
2. Рассчитать квадрат периода и его погрешность по формуле
T 2 2T T .
28
3. Для каждой пружины построить график зависимости квадрата
периода колебаний груза от его массы.
4. По графикам методом парных точек определить угловые коэффициенты k.
5. Рассчитать коэффициенты жесткости каждой пружины по
формуле, следующей из выражения (2.2.8):
4 2
,
(2.2.12)
k
а также их погрешности по формуле
42
2 k .
(2.2.13)
k
Задание 2
1. По результатам измерений десяти периодов колебаний системы
из двух последовательно соединенных пружин и груза рассчитать
методом Корнфельда период колебаний и его погрешность.
2. Рассчитать квадрат периода и его погрешность по формуле
(T 2 ) 2T T .
3. Вычислить экспериментальное значение эквивалентного коэффициента жесткости по формуле, следующей из выражения (2.2.8):
4 2 m
(э)
,
(2.2.14)
экв
T2
а также его погрешность по формуле
2
2
m T
(2.2.15)
2 .
m T
4. Рассчитать теоретическое значение эквивалентного коэффициента жесткости по формуле (2.1.10), используя коэффициенты жесткости, полученные в задании 1, и его погрешность по формуле
(2.2.11).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
2
(э)
экв
(э)
экв
В заключении к работе по результатам первого задания представить графики зависимости квадрата периода колебаний груза на
пружине от его массы для двух пружин. Привести рассчитанные ко29
эффициенты жесткости пружин. Сравнить полученные результаты с
табличными значениями.
По результатам второго задания представить экспериментальный
и теоретический эквивалентные коэффициенты жесткости для системы из двух последовательно соединенных пружин. Сравнить полученные значения.
Табличные значения
Коэффициенты жесткости, Н/м
Пружина № 1
3
Пружина № 2
20
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте закон Гука. Укажите область его применимости.
2. Чем отличается упругая деформация от пластической?
3. Как должен выглядеть экспериментальный график зависимости растяжения пружины от величины нагрузки при условии выполнения закона Гука?
4. Какие колебания являются гармоническими?
5. Можно ли считать колебания гармоническими, если не выполняется закон Гука?
6. Чему равен коэффициент жесткости пружин, соединенных последовательно?
7. Что такое эквивалентный коэффициент жесткости? Сформулируйте физический смысл этой величины.
8. Каким образом измеряется период колебаний системы в данной работе?
9. Какую нагрузку следует использовать для каждой пружины?
10. Как следует осуществлять запуск колебаний?
11. Почему рекомендуется измерять 10 периодов колебаний?
30
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. М.: Астрель, 2003.
2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2005.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1986.
4. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. Т. 1. М.: Наука,
1983.
2. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. М.: Мир, 1978.
3. Гапонов-ГреховА.В., Рабинович М.Н.Л.И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // Успехи физических наук. 1979. Т. 128. Вып. 4. С. 579–622.
31
Работа 2.3
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ПОЛЯ
(ВАРИАНТ 1)
Цель: пронаблюдать свободные затухающие и вынужденные колебания механической системы − маятника Поля; экспериментально определить основные характеристики этих колебаний: частоту
свободных затухающих колебаний, коэффициент затухания, зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты, сдвиг по
фазе вынужденного колебания относительно вынуждающей силы.
Оборудование: крутильный маятник со спиральной пружиной;
электрический блок питания; электродвигатель с червячной передачей, эксцентриком и шатуном; электромагнит с источником питания
и реостатом; амперметр; электронный секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
Свободные колебания системы, в которой, кроме упругой (в общем случае − квазиупругой) силы, действуют силы трения, с течением времени затухают. В механических системах при наличии смазки,
сила трения, как правило, пропорциональна скорости относительного движения трущихся деталей («жидкое трение»). Отметим, что
сюда же относятся колебания, например в электрических цепях, где
роль «силы трения» играет напряжение на активном сопротивлении
(U = RJ), пропорциональное «скорости» − силе тока J − через сопротивление R. Можно привести другие примеры: движение маятника
(или тела на пружине) в жидкой или газообразной среде и т.п.
Если сила трения пропорциональна скорости, то амплитуда колебаний экспоненциально убывает во времени, так что зависимость
координаты x системы от времени t имеет вид
x (t ) a0e t cos t ,
(2.3.1)
где a(t ) a0e t — амплитуда колебаний в момент времени t
(a0 = a(0)); − коэффициент затухания; − начальная фаза колеба32
ния; − частота свободных затухающих колебаний системы, связанная с ее собственной частотой 0 (частотой колебаний в отсутствие трения) соотношением
20 2 .
(2.3.2)
Формулы (2.3.1) и (2.3.2) предполагают, что 0 > . Если силы
трения столь велики, что 0, система не способна совершать колебания, ее движение носит апериодический характер. При малом затухании, когда << 0, связь между частотами (2.3.2) принимает вид
0
2
.
2 2
(2.3.3)
Колебания вида (2.3.1) не являются гармоническими, так как их амплитуда зависит ( exp(t)) от времени. Для создания незатухающих гармонических колебаний в системе с трением требуется подвод энергии извне для компенсации ее потерь за счет трения. Это
можно осуществить, действуя на систему гармонической внешней −
вынуждающей − силой
Fx = F0∙ cost,
(2.3.4)
где F0 — амплитуда; — частота вынуждающей силы.
Движение системы под действием вынуждающей силы (2.3.4) является суперпозицией свободного затухающего колебания вида
(2.3.1) и установившегося (вынужденного) гармонического колебания
xуст.вын = a() cos( t ,
(2.3.5)
где a() − амплитуда, () − отставание по фазе установившегося
вынужденного колебания от вынуждающей силы (m − масса системы):
F0 / m
(2.3.6)
a()
;
4
2
0
tg() =
2
2
2
20 2
33
2
.
2
(2.3.7)
Зависимости a и от для различных 1 2 показаны на
рис. 2.3.1 и 2.3.2.
Амплитуда
установившегося
вынужденного
колебания
a()достигает максимального значения, когда частота вынуждающей
силы оказывается равной резонансной частоте системы
рез = 2 2 20 2 2 0 1 2 / 20 .
(2.3.8)
Это явление носит название резонанса.
Рис. 2.3.1
Рис. 2.3.2
При малом затухании 0 амплитуда в момент резонанса
aрез a(рез) F0 / (2m) 1/ может достигать весьма большой величины.
34
Как видно из формулы (2.3.7) (см. также рис. 2.3.2), при малых
частотах вынуждающей силы 20
система колеблется син-
1 с вынуждающей силой, при больших частотах
0 колебания совершаются в противофазе . В окрестности резонанса ( рез), если, кроме того, мало затухание 0
фазно
, то / 2. .
Колебание вида (2.3.5) называют установившимся, так как система колеблется по этому закону лишь по прошествии достаточно
большого времени, а именно: t >> 1/, от момента включения вынуждающей силы, когда амплитуда свободного затухающего колебания уже пренебрежимо мала (a0exp(t ) a()). При временах
t 1 / идет процесс установления колебаний, в течение которого
амплитуда постепенно (не обязательно монотонно) приближается к
значению a().
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе исследование механических колебаний производится с помощью маятника Поля. Схематическое изображение установки приведено на рис. 2.3.3.
Рис. 2.3.3
Маятник Поля представляет собой металлический диск Д, совершающий крутильные колебания вокруг горизонтальной оси под действием спиральной пружины. Одним концом пружина жестко соединена с диском маятника, другим − с рычагом Р, колеблющимся во35
круг той же горизонтальной оси. Периодическое воздействие на
диск передается от вала мотора М с помощью системы, состоящей из
червячной передачи Ч и эксцентрика Э, шатуна, рычага и пружины.
Электромотор питается от сети через автотрансформатор. Изменяя выходное напряжение на клеммах автотрансформатора, можно
варьировать скорость вращения вала электромотора и, следовательно, частоту вынуждающей силы, действующей на маятник. Затухание колебаний маятника обусловлено трением в оси и взаимодействием вихревых токов в диске с магнитным полем электромагнита,
между полюсами которого движется диск. Реостат, включенный в
цепь электромагнита, дает возможность регулировать силу тока в
обмотках электромагнита и тем самым изменять затухание колебаний
диска. Диск маятника снабжен указателем, амплитуда колебаний
диска отсчитывается по шкале лимба Л.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Если у вас длинные волосы, зафиксируйте их (заколкой, косынкой и т.п.). Не допускайте попадания волос в щели защитного кожуха механизма маятника, так как они могут быть намотаны на вал
механизма, что приведет к травме.
1. При снятии резонансных кривых не устанавливайте на выходе
автотрансформатора напряжение большее, чем предельное значение,
указанное на рабочем столе.
2. Напряжение на автотрансформаторе устанавливайте медленно
и осторожно.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ
СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
При выключенном электромоторе в отсутствие тока через электромагнит измерить tn − продолжительность n 10 полных колебаний маятника. Для надежности повторить измерения не менее трех
раз. По формулам
(2.3.9a)
T tn / n; 2 / T ;
36
T T / T t n / t n , T
(2.3.9б)
рассчитать период Т, частоту свободных затухающих колебаний
и их относительные (T, ) и абсолютные (T, ) погрешности.
Погрешность t n измерения продолжительности колебаний принять равной приборной погрешности секундомера.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ
Для определения удобнее получить экспериментально зависимость амплитуды не от времени, а от числа прошедших колебаний.
Пусть a0 − начальное отклонение маятника, am − амплитуда через m
периодов (m = 0, 1, 2, ...). Тогда, как видно из формулы (2.3.1),
am a0e m ,
(2.3.10)
где = T − логарифмический декремент затухания.
Для сокращения времени измерений рекомендуем поступить следующим образом. Приготовьтесь писать на чистой левой странице
своего лабораторного журнала. Отклоните маятник на угол a0 (рекомендуемое значение 100 −120 градусов) и без толчка отпустите. Глядя все время на маятник, запишите его отклонения через 1, 2, ..., m
периодов. Желательно, чтобы m 10. Аккуратно перепишите результаты в табл. 2.3.1. Погрешность измерения амплитуды am составляет
при этом примерно 3−5.
Таблица 2.3.1
J Jmax / 2
J=0
m
am
ln am
ln am
am
1
2
3
4
37
J = Jmax
am
ln am
Измерения провести три раза: в отсутствие тока через электромагнит (J = 0); при средней силе тока (составляющей примерно половину максимальной, J Jmax / 2) и при максимальной силе тока
(J = Jmax). Вычислить и записать в таблицу значения ln am.
На одном листе миллиметровой бумаги построить три графика
(для J = 0, Jmax / 2, Jmax) зависимостей ln a от m. По тангенсам угла
наклона прямых
(2.3.11)
ln am ln a0 m
определить и, используя результат предыдущего задания для периода Т, рассчитать = / T (для трех сил тока).
По разбросу точек на графиках оценить относительную погрешность определения логарифмического декремента затухания. Относительную погрешность коэффициента затухания рассчитать по
формуле
() 2 (T ) 2 .
(2.3.12)
Вычислить абсолютную погрешность = .
Используя формулу (2.3.3) и результаты данного и предыдущего
заданий, заполнить табл. 2.3.2.
Таблица 2.3.2
J
1
, с
0
0
Jmax / 2
Jmax
На основании сравнения относительной погрешности определения частоты и относительной разности частот ( 0 ) /
сделать вывод: можно ли в условиях данного эксперимента частоту
свободных затухающих колебаний и резонансную частоту рез
(см. формулу (2.3.8)) полагать равными собственной частоте системы 0, или нет?
38
3. СНЯТИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КРИВЫХ
Экспериментальное определение зависимости a() провести два
раза: в отсутствие тока через электромагнит и при J = Jmax .
Установить необходимый ток через электромагнит, включить
электромотор. Результаты измерений записывать в табл. 2.3.3.
Таблица 2.3.3
№
п/п
J=0
U, B
T, c
1
, с
J = Jmax
a(),
U, B
град.
T, c
1
, с
a(),
град.
1
2
3
В таблице U − напряжение на двигателе, Т − период, − частота
колебаний рычага, a() − соответствующая им амплитуда колебаний
диска.
Меняя напряжение на двигателе U и грубо (по 1−3 колебаниям)
определяя период колебаний рычага Т, установить близким к периоду свободных затухающих колебаний 2 / (см. задание 1). Установив T 2 / , измерить его «точно» (не менее, чем по десяти колебаниям рычага), измерить амплитуду установившегося вынужденного колебания, записать результаты в табл. 2.3.3.
Замечание. В результате нестрогой гармоничности вынуждающей силы и, возможно, нелинейности колебаний самого маятника вблизи резонанса, при малом
затухании, наблюдается явление похожее на биения: амплитуда нарастает до некоторого значения, затем убывает, опять нарастает и т.д., причeм не обязательно до
прежнего значения. Эти нерегулярные осцилляции амплитуды не прекращаются за
время 1 / и поэтому к процессу установления колебаний отношения не имеют.
За амплитуду установившегося вынужденного колебания рекомендуется принять максимальное из наблюдаемых значений амплитуды.
39
Описанные выше измерения амплитуды выполнить для 4− 6 значений периода больших и меньших 2 / (всего 8−12 точек).
По полученным данным на одном листе построить две (J = 0 и
J = Jmax) резонансных кривых a(). Оценить по графикам рез и сравнить ее с (см. также формулу (2.3.8)). Оценить по графикам значения резонансных амплитуд aрез при разных коэффициентах затухания и, используя полученные в задании 2 коэффициенты затухания,
проверить, наблюдается ли в эксперименте обратная пропорциональность: aрез 1 / .
4. ВИЗУАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РАЗНОСТИ ФАЗ
Наблюдая за относительным движением рычага и диска маятника, оценить сдвиг по фазе установившихся колебаний диска относительно колебаний рычага. Наблюдения провести для трех частот колебаний рычага: вблизи резонанса и при минимальной и максимальной (для данной установки) частотах.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, в котором укажите, что и каким
методом изучалось, каковы полученные результаты, насколько результаты измерений соответствуют теоретическим предсказаниям,
каковы источники экспериментальных погрешностей.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Во сколько раз уменьшится амплитуда затухающего колебания
за время t = 1 / ?
2. Может ли система совершать свободные колебания, если
= 2 0?
3. Собственная частота колебаний 0 = 1 c1, коэффициент зату1
1
хания 1 = 0,01 c и 2 = 0,02 c . Можно ли экспериментально заметить различие резонансных частот, если относительная погрешность
измерения частоты 1 %?
4. Как изменится амплитуда в момент резонанса, если коэффициент затухания уменьшить в два раза (считать, что << 0)?
40
1
5. Коэффициент затухания = 0,01 c . Сколько примерно времени необходимо для установления вынужденных колебаний?
6. Известны значения амплитуды колебаний через 10 периодов: a2
и a12. Чему равен логарифмический декремент затухания?
7. Сила трения пропорциональна квадрату скорости. Можно ли
утверждать, что амплитуда свободных затухающих колебаний будет
экспоненциально убывать во времени?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. М.: Астрель, 2003.
2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2005.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1986.
2. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. Т. 1. М.: Наука,
1983.
41
Работа 2.3а
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ПОЛЯ
(ВАРИАНТ 2)
Цель: пронаблюдать свободные затухающие и вынужденные
крутильные колебания механической системы – маятника Поля;
экспериментально определить основные характеристики этих колебаний (частоту свободных затухающих колебаний, коэффициент
затухания, зависимость амплитуды установившихся вынужденных
колебаний от частоты, сдвиг по фазе установившегося вынужденного колебания).
Оборудование: крутильный маятник со спиральной пружиной;
электрический блок питания; электродвигатель с червячной передачей, эксцентриком и шатуном; мостовая выпрямительная схема; амперметр; электронный секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа незначительно отличается от работы 2.3 конструкцией лабораторной установки. Поэтому теоретическое введение,
контрольные вопросы и список литературы следует изучить по описанию работы 2.3.
Далее даны только описание установки, методики выполнения
измерений, обработки и представления результатов.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе исследование механических колебаний производится с помощью маятника Поля. Установка показана на рис. 2.3а.1.
42
Рис. 2.3а.1
Маятник Поля представляет собой металлический диск 3, совершающий крутильные колебания вокруг горизонтальной оси под действием спиральной пружины. Одним концом пружина жестко соединена с диском маятника, другим – с рычагом 5, колеблющимся
вокруг той же горизонтальной оси. Периодическое воздействие на
диск передается от вала мотора 4 с помощью системы, состоящей из
червячной передачи и эксцентрика (с белой стрелкой – виден на рисунке), шатуна, рычага и пружины. На рис. 2.3а.1 также показаны
входящие в комплект установки: 1 – амперметр; 2 − блок питания;
6 – электронный секундомер; 7 – мостовая выпрямительная схема.
Изменяя выходное напряжение блока питания, можно варьировать скорость вращения вала электромотора и, следовательно, частоту вынуждающей силы, действующей на маятник. Затухание колебаний маятника обусловлено трением в оси и взаимодействием вихревых токов в диске с магнитным полем электромагнита, между полюсами которого движется диск. Реостат, включенный в цепь элек43
тромагнита, дает возможность регулировать силу тока в обмотках
электромагнита и тем самым изменять затухание колебаний диска.
Диск маятника снабжен указателем, амплитуда колебаний диска отсчитывается по шкале лимба Л.
ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Определение частоты
свободных затухающих колебаний
При выключенном электромоторе в отсутствие тока через электромагнит измерить tn – продолжительность n 10 полных колебаний маятника. Для надежности повторить измерения не менее трех
раз. По формулам (см. описание работы 2.3)
T tn / n, 2 / T ;
(2.3а.1)
T T / T tn / tn , T
(2.3а.2)
рассчитать период Т, частоту свободных затухающих колебаний и
их относительные (T, ) и абсолютные (T, ) погрешности.
При этом погрешность tn измерения продолжительности n колебаний принять равной 0,1 с в том случае, если цена деления секундомера меньше этой величины, и равной цене деления секундомера,
если она больше этой величины (0,1 с). Такой выбор соответствует
характерному времени реакции человека как раз и равному, в среднем, 0,1 с.
Задание 2. Определение коэффициента затухания
Для определения удобнее экспериментально получить зависимость амплитуды не от времени, а от числа прошедших колебаний.
Пусть a0 – начальное отклонение маятника, am – амплитуда через m
периодов (m = 0, 1, 2, ...). Тогда, как видно из формулы (2.3.1) (см.
описание работы 2.3),
(2.3a.3)
am a0e m ,
где = T – логарифмический декремент затухания.
44
Для сокращения времени рекомендуем выполнить измерение зависимости амплитуды от числа колебаний следующим образом.
Убедитесь в том, что на «тормозящий» электромагнит не подано
электрическое напряжение от источника питания. При этом перемычка переключателя напряжения (в правой части лицевой панели
источника) одним своим концом должна находиться в центральном
гнезде переключателя, второй конец должен свободно висеть. Если
второй конец перемычки вставлен в одно из гнезд, расположенных
по окружности, двумя пальцами слегка потяните перемычку на себя,
чтобы извлечь периферийный конец перемычки из гнезда. После
этого отпустите перемычку.
Рукой поверните маятник по часовой стрелке на максимальный
угол (190 делений по лимбу) и без толчка отпустите. Глядя на маятник, измерьте угол отклонения по прошествии одного колебания (в
делениях шкалы) и запишите его значение в колонку I первой строки
табл. 2.3a.1. Остановите колебания маятника. Повторите описанное
измерение еще два раза, результаты запишите в колонки II и III соответственно.
Снова поверните диск маятника на 190 делений и троекратно измерьте его отклонение после двух колебаний. Результаты запишите
в ячейки второй строки табл. 2.3a.1.
Таблица 2.3a.1
№
п/п
Uмаг = …
I
am
II
am
III
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
45
ln am
Подобным образом измерьте и запишите амплитудные отклонения маятника после 3, 4 и т.д. (до 10) колебаний маятника.
С помощью перемычки подайте на электромагнит напряжение
Uмаг = 4 В и измерьте зависимость амплитуды колебания от числа
колебаний при этом напряжении, как это описано выше. Результаты
запишите в таблицу, построенную аналогично табл. 2.3a.1.
То же самое проделайте при напряжении на электромагните
Uмаг = 8 В и результаты запишите в новую таблицу, построенную
аналогично табл. 2.3a.1.
Задание 3. Снятие резонансных кривых
Экспериментальное определение зависимости a() провести два
раза: в отсутствие тока через электромагнит и при напряжении на
электромагните, равном Uмаг = 8 В.
С помощью перемычки отключите напряжение питания от электромагнита. Верхний (левый) регулятор на кожухе электромотора 4
установите в положение 40.
Установите напряжение питания электродвигателя Uдвиг = 7 В (по
шкале левого регулятора на панели источника питания 2 (см.
рис. 2.3a.3)), запишите это значение в первую колонку первой строки
табл. 2.3a.2. Рычаг 5, создающий вынуждающую силу, начнет двигаться. С помощью секундомера измерьте время пяти колебаний рычага t5, запишите в таблицу.
Таблица 2.3a.2
Uмаг = …
Uдвиг,
В
t5,
с
T = t5/5,
c
ω = 2π/T,
рад/c
46
φл,
дел.
φпр,
дел.
a
л пр
2
дел.
,
Подождите, пока установится режим колебаний (порядка минуты), после чего измерьте отклонения стрелки колеблющегося диска
влево (φл) и вправо (φпр) в делениях шкалы лимба. Результаты запишите в соответствующие ячейки табл. 2.3a.2. Выполните измерения
времени пяти колебаний и отклонений диска, увеличивая напряжение на электродвигателе с шагом в 1 В. Результаты запишите в
табл. 2.3a.2. Измерения можно прекратить, когда величина отклонения пройдет через максимум и уменьшится (по сравнению с максимальным) в 2–3 раза.
С помощью перемычки подайте на обмотку тормозящего электромагнита напряжение Uмаг = 8 В и выполните вышеописанные измерения зависимости отклонения маятника от напряжения на электродвигателе (т.е. фактически от частоты вынуждающей силы) при
новой (увеличенной) величине коэффициента затухания. Результаты
запишите в таблицу, построенную аналогично табл. 2.3a.2.
Замечание. В результате нестрогой гармоничности вынуждающей силы и, возможно, нелинейности колебаний самого маятника вблизи резонанса, при малом
затухании, наблюдается явление, похожее на биения: амплитуда нарастает до некоторого значения, затем убывает, опять нарастает и т.д., причем не обязательно до
прежнего значения. Эти нерегулярные осцилляции амплитуды не прекращаются за
время 1 / и поэтому к процессу установления колебаний отношения не имеют.
За амплитуду установившегося вынужденного колебания рекомендуется принять максимальное из наблюдаемых значений амплитуды.
Задание 4. Визуальная оценка разности фаз
Наблюдая за относительным движением рычага и диска маятника, оценить сдвиг по фазе установившихся колебаний диска относительно колебаний рычага. Наблюдения провести для трех частот колебаний рычага: вблизи резонанса и при минимальной и максимальной (для данной установки) частотах.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Вычислите и запишите в табл. 2.3a.1–2.3a.3 средние значения амплитуд am и их натуральные логарифмы ln am .
На одном листе миллиметровой бумаги постройте три графика
(для разных значений U) зависимостей ln am от m, проведя по экс47
периментальным точкам три прямых линии. По угловым коэффициентам этих прямых (угловым коэффициентом прямой называется
величина K в уравнении прямой вида: y K x b , величина b в
этом же уравнении носит название «свободный член»)
(2.3a.4)
ln am ln a0 m .
Определите и, используя результат предыдущего задания для
периодаТ, рассчитайте = /T (для трех напряжений на электромагните).
По разбросу точек на графиках оцените относительную погрешность определения логарифмического декремента затухания . Относительную погрешность коэффициента затухания рассчитайте
по формуле
( ) 2 (T ) 2 .
(2.3a.5)
Вычислите абсолютную погрешность = .
Используя формулу (2.3.3) (см. описание работы 2.3) и результаты данного и предыдущего заданий, заполните табл. 2.3а.3.
Таблица 2.3а.3
Напряжение на
электромагните
,
0 рез
рад
с
рез
2
2
U=0
U=4В
U=8В
На основании сравнения относительной разности частот
(0 ) / и относительной погрешности определения частоты
сделайте вывод: есть ли основания (в условиях данного эксперимента) отличать частоту свободных затухающих колебаний и
резонансную частоту рез (см. (2.3.3) и текст после (2.3.8) в описании
работы 2.3) от собственной частоты 0, или, учитывая эксперимен48
тальную погрешность определения частот, можно приближенно
полагать их равными собственной частоте системы 0?
Вычислите и запишите в табл. 2.3а.2 значения периода колебаний Т, циклической частоты колебаний ω и амплитуды колебаний a.
По полученным данным на одном листе постройте две (Uмаг = 0 и
Uмаг = 8 В) резонансных кривых a(). Оцените по графикам рез и
сравнить ее с (см. также формулу (2.3.8) в описании работы 2.3).
Оцените по графикам aрез амплитуды в момент резонанса, используя
полученные в задании 2 коэффициенты затухания, проверьте,
наблюдается ли в эксперименте обратная пропорциональность:
aрез 1/.
49
Работа 2.4
ИЗУЧЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
БИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Цель: изучить крутильные колебания физического маятника на
примере бифилярного подвеса, определить ускорение свободного
падения.
Оборудование: установка для изучения бифилярного подвеса;
набор грузов; секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
Физическим маятником называется подвешенное определенным
образом твердое тело, которое, будучи выведенным из положения
равновесия, начинает совершать малые колебания.
Если подвес устроен таким образом, что маятник при колебаниях
всё время совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через его центр масс, то такие колебания называют крутильными. Простейший пример крутильного маятника − плоский диск, подвешенный на упругой нити так, что плоскость диска горизонтальна,
а центр масс лежит на вертикальной прямой, совпадающей с нитью.
Если диск повернуть на малый угол вокруг этой вертикальной оси и
отпустить, он начнет совершать крутильные колебания.
Другим часто применяемым на практике устройством, способным совершать крутильные колебания, является бифилярный подвес. Бифилярный подвес представляет собой две нити AB и CD одинаковой длины, на которые симметрично подвешен горизонтальный
стержень. Сверху нити закреплены в неподвижной горизонтальной
опоре (рис. 2.4.1, а). Если первоначально покоившийся стержень повернуть на малый угол вокруг оси OO ' , проходящей через его центр
масс, он начнет совершать крутильные колебания.
Бифилярный подвес имеет одну степень свободы, т.е. мгновенное
положение стержня может быть описано одной координатой. В качестве этой координаты удобно взять угол поворота стрежня AC
вокруг оси OO ' .
50
Рассмотрим крутильные колебания бифилярного подвеса, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая нити невесомыми и нерастяжимыми. В таких приближениях в рассматриваемой системе сохраняется полная энергия.
Рис. 2.4.1
В момент времени t, когда стержень, совершающий крутильные
колебания, повернется на произвольный угол (t) вокруг оси OO '
его центр масс поднимается на расстояние h(t) и окажется в точке O1,
а нить перейдет в положение A ' B (рис. 2.4.1, б). Следовательно, если
потенциальную энергию отсчитывать от уровня равновесного положения стрежня, то в рассматриваемом смещенном состоянии потенциальная и кинетическая энергии стержня будут определяться соотношениями
I 2
,
(2.4.1)
Eпот mgh ; Eкин
2
где m – масса стержня; I – момент инерции стержня, относительно
оси OO ' . В выражении (2.4.1) для кинетической энергии отсутствует слагаемое, связанное с поступательным движением центра масс
стержня, поскольку при малых колебаниях бифилярного подвеса оно
пренебрежимо мало.
Определим из геометрии, как связан угол поворота стержня с
высотой подъема его центра масс h, воспользовавшись рис. 2.4.1, б.
Пусть длина нитей равна l, расстояние между точками верхнего
крепления нитей равно 2r, т.е. BO = DO = r, а расстояние между точками крепления нитей на стержне составляет 2R, т.е. AO ' = CO ' = R.
51
Тогда
BF BF1 ,
h OO ' BF BF
2
2
BF BF1
1
BF AB AF l 2 R r ,
2
2
2
BF1 A ' B A ' F1 l 2 R2 r 2 2Rr cos .
2
2
2
Следовательно,
h
2 Rr 1 cos
BF BF1
2 .
2 BF h
2
4 Rr sin 2
(2.4.2)
Поскольку угол мал (т.е. 1 ), а h BF , с учетом обозначения BF H выражение (2.4.2) можно переписать как
Rr 2
.
(2.4.3)
h
2H
Таким образом, используя выражения (2.4.1) и (2.4.3), закон сохранения энергии для бифилярного подвеса может быть записан в
виде
I 2
Rr2
(2.4.4)
mg
const .
2
2H
Дифференцируя соотношение (2.4.4) по времени и проводя алгебраические преобразования, получим уравнение движения бифилярного подвеса:
Rr
mg
0.
(2.4.5)
HI
Уравнение (2.4.5) представляет собой уравнение малых гармонических колебаний. Следовательно, собственная частота малых колебаний бифилярного подвеса и соответствующий ей период равны
HI
Rr
02 mg
; T 2
.
(2.4.6)
mgRr
HI
Если поместить в центр стержня небольшой цилиндрический груз
массы m0 и радиуса b так, что его ось совпадет с осью бифилярного
подвеса, то период колебаний системы изменится:
52
T 2
H I I0
m m0 gRr
,
(2.4.7)
где I0 – момент инерции груза относительно его оси симметрии.
Пусть длина стержня равна L. Тогда, подставляя в (2.4.7) явные
выражения для моментов инерции стержня и груза, получим
mL2 m0b 2
H
12
2
.
T 2
m m0 gRr
(2.4.8)
Конструктивно установка в данной работе выполнена так, что
момент инерции стержня значительно превосходит момент инерции
груза для любой его массы, т.е. m0b2 2 ma 2 12 . Поэтому для расчетов с достаточной степенью точности можно пользоваться упрощенным выражением для периода
T
HmL2
.
3 m m0 gRr
(2.4.9)
Согласно выражению (2.4.9) зависимость величины, обратной
квадрату периода колебаний бифилярного подвеса, от массы дополнительного груза m0 будет линейной: T 2 km0 , причем угловой
коэффициент k определяется соотношением
3gRr
k 2
.
(2.4.10)
HmL2
Следовательно,
снимая
экспериментально
зависимость
T−2(m0),можно рассчитать ускорение свободного падения:
2 HmL2 k
g
.
(2.4.11)
3Rr
Погрешность ускорения свободного падения, вычисленного по
формуле (2.4.11), определяется соотношением
g
L 2a R r k
.
g
L a R r k
2
g
2
2
53
2
2
(2.4.12)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для изучения бифилярного подвеса, используемая в
работе, состоит из массивного штатива с горизонтальным стержнем,
на который подвешен бифилярный подвес, самого подвеса, держателя для грузов, закрепленного в середине стержня подвеса и набора
грузов. Схема установки представлена на рис. 2.4.1, а.
Масса стержня бифилярного подвеса указана на установке. В
набор грузов входят несколько грузов с массами 10 и 50 г. Погрешность массы каждого груза составляет 0,05г.
Для измерения периода колебаний бифилярного подвеса в работе
используется ручной цифровой электронный секундомер. Приборная
погрешность измерений секундомера составляет 0,01 с.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Внимание! Не прилагайте излишних усилий к бифилярному
подвесу, чтобы не оборвать нити. При изменении массы дополнительных грузов придерживайте стержень подвеса рукой.
2. Не отклоняйте стержень подвеса от положения равновесия на
угол превышающий 10º.
ЗАДАНИЕ
Изучение бифилярного подвеса. Определение ускорения
свободного падения
1. С помощью линейки измерьте все необходимые параметры
бифилярного подвеса. Полученные размеры и массы стержня m и
держателя для грузов mд запишите в заранее подготовленную
табл. 2.4.1.
Таблица 2.4.1
L, м
H, м
2r, м
2R, м
54
m, кг
mд, кг
2. В случае если величина H оказалась меньше 75 см или стержень подвеса висит не горизонтально – пригласите преподавателя
или дежурного сотрудника для настройки установки.
3. Снимите с держателя все дополнительные грузы. При этом m0
окажется равной массе держателя, т.е. mд. Аккуратно отклоните
стержень от положения равновесия, взяв его за центральную часть и
повернув на малый угол вокруг оси, проходящей через центр. Проследите за колебаниями. Если подвес колеблется так, что его ось
остается вертикальной и не смещается в горизонтальной плоскости
(т.е. держатель для грузов поворачивается и смещается вверх-вниз
без горизонтальных перемещений), приступайте к измерениям. Если
присутствует движение в поперечном направлении – остановите систему и снова запустите.
4. Сбросьте показания секундомера. Когда подвес достигнет
наибольшего отклонения от положения равновесия, запустите секундомер. После десяти полных колебаний остановите секундомер.
Запишите полученное значение в табл. 2.4.2.
Таблица 2.4.2
№
m0, г
1
mд
2
mд+ 20
…
…
10T, с
T, с
T, с
T−2, с−2
…
…
…
…
T−2), с−2
…
5. Повторите п. 4 еще четыре раза. Если предыдущего измерения
колебания подвеса не затухли, то можно провести измерения, не перезапуская колебания.
6. Повторите пп. 3−5 для суммарных масс груза и держателя от
mд до mд + 160 г с шагом 20 г.
55
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
1. По результатам измерений десяти периодов колебаний для
каждой нагрузки рассчитать методом Корнфельда период и его погрешность.
2. Рассчитать величину обратную квадрату периода и ее погреш-
2T T .
ность по формуле T
2
3
3. Построить график зависимости величины, обратной квадрату
периода колебаний бифилярного подвеса, от массы дополнительных
грузов.
4. По графику методом парных точек определить угловой коэффициент k.
5. Рассчитать ускорение свободного падения и его погрешность
по формулам (2.4.11) и (2.4.12).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключении к работе представить график зависимости величины, обратной квадрату периода колебаний бифилярного подвеса от
массы дополнительного груза. Привести рассчитанное значение
ускорения свободного падения. Сравнить полученный результат с
табличным значением.
Табличные значения
Ускорение свободного падения
Масса держателя для грузов
g = 9,81 м/c2
mд = 36,00 г
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое физический маятник?
2. Что такое крутильные колебания?
3. Как устроен бифилярный подвес?
4. При каких условиях колебания бифилярного подвеса можно
считать гармоническими?
5. Как влияет на период колебаний бифилярного подвеса дополнительный груз, помещенный в центр стержня?
56
6. Почему в работе не учитывается момент инерции дополнительных грузов?
7. Как зависит период колебаний бифилярного подвеса от массы
дополнительных грузов?
8. Как в работе определяется ускорение свободного падения?
9. Каким образом правильно запустить колебания бифилярного
подвеса? Почему это обязательно?
10. Какую зависимость рекомендуется снимать экспериментально?
11. Почему следует измерять десять периодов колебаний?
12. Какие систематические ошибки возможны в данной установке?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1990.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С.Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
57
Работа 2.5
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСТАНОВКИ «КОБРА-3»
Цель: определить скорость звука в воздухе измерением времени
прохождения звуковой волны.
Оборудование: два металлических стержня; микрофон; основания для крепления стержня и микрофона; рулетка; усилительформирователь; соединительные провода; блок «Кобра-3»; персональный компьютер.
ВВЕДЕНИЕ
Распространяющиеся в среде возмущения, переносящие энергию,
называются волнами. При распространении волны в среде частицы
самой среды не участвуют в поступательном движении. Они совершают колебания около положения своего равновесия. В зависимости
от направления этих колебаний волны делят на продольные и поперечные. В поперечных волнах колебание частиц среды происходит
перпендикулярно направлению распространения волны. В случае
продольных волн имеют место колебания вдоль направления распространения волны.
Звуковая волна в газе – распространяющаяся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа.
Это продольная волна.
Идея, на которой основано измерение скорости звука в данной
работе, заключается в следующем. Измеряется время t, за которое
звуковая волна проходит некоторое фиксированное расстояниеL.
Тогда скорость звука определяется по формуле
L
.
t
Надо учитывать, что скорость звука зависит от температуры воздуха. Эта зависимость выражается формулой
RT
,
(2.5.1)
58
где R 8,31 Дж / (моль×К) – универсальная газовая постоянная;
29 г/моль – молярная масса воздуха; 1,4 – показатель адиабаты для воздуха. Поэтому нужно сравнивать полученный в ходе
эксперимента результат с величиной скорости звука, соответствующей температуре воздуха в лаборатории.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Используемая в настоящей работе установка изображена на
рис. 2.5.1, а на рис. 2.5.2 представлена ее принципиальная схема.
Рис. 2.5.1
В состав установки входят массивные металлические стержни 1 и
2, причем стержень 1 установлен на массивном основании, стержень
2 может брать в руку экспериментатор, работающий на установке.
На заданном расстоянии от стержня 1, измеренном рулеткой 3, установлен микрофон 4.
59
Рис. 2.5.2
Стержни 1 и 2 соединены проводами с входом «Старт» измерителя временных интервалов, встроенного в базовый блок6 установки
«Кобра-3» (см. рис. 2.5.1). Микрофон подключен к входу «Стоп»
того же измерителя через усилитель-формирователь 5.
В ходе работы экспериментатор наносит легкий кратковременный удар стержнем 2 по стержню 1. При соприкосновении стержней
цепь замыкается и возникает электрический импульс, который поступает на вход «Старт» измерителя временны́х интервалов. При
соударении стержней возникнет звуковой импульс, распространяю60
щийся в окружающей воздушной среде. Когда звук достигает микрофона, вырабатывается электрический импульс, поступающий на
вход «Стоп» измерителя временны́х интервалов. Блок «Кобра-3»
вырабатывает цифровой код, несущий в себе информацию о длительности временно́го интервала между импульсами «Старт» и
«Стоп». Этот код по кабелю передается в компьютер для дальнейшей программной обработки и отображения (на рис. 2.5.1 не показан).
Посредством компьютерной программы, созданной для обслуживания данной лабораторной работы, длительность измеренного временно́го интервала выводится на экран монитора.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. При выполнении работы следует руководствоваться правилами стандартной инструкции по технике безопасности при работе в
лаборатории молекулярной физики.
2. Не следует соударять стержни с излишней силой, чтобы не
повредить крепление неподвижного стержня.
ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ
1. Убедитесь, что персональный компьютер, входящий в состав
лабораторной установки, включен и находится в режиме ожидания.
2. Убедитесь, что базовый блок «Кобра-3» включен (у включенного прибора светится зеленый светодиод в правом верхнем углу
лицевой панели блока). Если вышеупомянутые устройства не включены, попросите сотрудников лаборатории подготовить их к работе.
3. Найдите на рабочем столе компьютера иконку в виде желтой
латинской буквы m с надписью «Измерение» и дважды щелкните по
ней левой кнопкой «мыши». На экране возникнет диалоговое окно
программы, обслуживающей измерения с помощью блока «Кобра-3», с заголовком «Phywe measure 4».
4. В меню, расположенном в верхней части окна, найдите опцию
«Прибор» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши». На экране появится «выпадающее» меню, в котором перечислены программы,
управляющие различными измерительными приборами, входящими
в комплект оборудования от фирмы Phywe.
61
5. Найдите в этом меню строку «Timer/Counter» и щелкните по
ней левой кнопкой «мыши». На экране появится настроечное окно
для работы с измерителем временны́х интервалов, использующимся
в данной работе (рис. 2.5.3). Окно содержит элементы управления, с
помощью которых можно задавать режим измерений. По умолчанию при запуске программы устанавливаются значения параметров,
необходимые для выполнения данной работы, так что менять эти
установки не следует.
Рис. 2.5.3
6. В нижней части настроечного окна (см. рис. 2.5.3) найдите
клавишу «Далее» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши».
Настроечное окно исчезнет с экрана, вместо него появится окно с
таблицей, в которой после каждого соударения стержней на экране
62
отображается измеренное время распространения звука от источника
до микрофона. Это значение автоматически вводится в память компьютера. При этом программа сразу же готова к следующему измерению, никаких дополнительных настроечных действий не требуется.
ЗАДАНИЕ
Определение скорости звука в воздухе
1. Убедитесь
в
том,
что
компьютерная
программа
«Timer/Counter» готова к измерениям.
2. Расположите закрепленный стержень и микрофон на максимальном расстоянии друг от друга, которое позволяет конструкция
лабораторного стола (около 100 см).
3. Выполните измерение времени прохождения звука между
стержнями пять раз.
Для измерения времени аккуратно ударьте незакрепленным
стержнем по стержню, закрепленному на основании. Удар должен
быть достаточно резким, чтобы не было длительного соприкосновения стержней, что приведет к неверному результату измерения. Если
результат измерения получается слишком малым, то измерение следует повторить: возможно, звук достиг микрофона, распространяясь
через поверхность стола, на котором находится установка. Измеренное время запишите в заранее подготовленную табл. 2.5.1.
4. Выполните аналогичные серии измерений для расстояний
90 см, 80 см и так далее до 20 см.
Таблица 2.5.1
№
1
2
3
…
L, см
100
90
80
t , мс
t, мс
63
Δt, мс
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Вычислите среднее значение времени прохождения звука для
каждого расстояния между стержнем, источником звука и микрофоном. Результаты запишите в табл. 2.5.1.
2. Для каждого расстояния вычислите методом Корнфельда погрешность измерения времени. Результаты запишите в табл. 2.5.1.
3. По полученным результатам постройте график зависимости
времени прохождения звука от расстояния между стержнем, источником звука и микрофоном. Отложите на графике рассчитанные погрешности экспериментальных точек (из табл. 2.5.1). График должен
представлять собой прямую линию.
4. Методом парных точек определите угловой коэффициент построенной прямой и погрешность его определения. По угловому коэффициенту найдите скорость звука в воздухе и ее погрешность.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
По результатам проделанной работы напишите в лабораторном
журнале заключение, в котором:
1) укажите, что (какая физическая величина) измерялось в данной
работе;
2) укажите, каким методом выполнялись измерения;
3) приведите полученное в работе значение скорости звука в воздухе с погрешностью;
4) рассчитайте по формуле (2.5.1) теоретическое значение скорости звука и приведите его в заключении;
5) по справочным таблицам определите (и укажите в заключении)
табличное (измеренное другими авторами) значение скорости звука
в воздухе;
6) если обнаружится расхождение приведенных значений скорости звука, обсудите в заключении возможные причины такого расхождения;
7) обсудите точность измерений и природу погрешности, с которой измерена скорость звука в данной работе.
64
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение звуковой волны.
2. В чем отличие продольных волн от поперечных? Какой волной является звук в газе?
3. Возможно ли возникновение поперечных волн в газах?
4. В каких средах скорость звука выше: твердых или газообразных?
5. В каком газе (гелии или азоте) скорость звука больше (температуры газов одинаковы)? Чем обусловлено различие?
6. Как зависит скорость звука от температуры воздуха?
7. Каковы возможные источники погрешностей в данной работе?
8. Каковы возможные причины неверного измерения времени
прохождения звуком расстояния между стержнями?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 4. Волны. Оптика. М.:
Астрель, 2004.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М.: Мир, 1979.
65
Работа 2.6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
И ОТНОШЕНИЯ CP / CV МЕТОДОМ
АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
Цель: измерить скорость звука в воздухе методом стоячих волн
и определить отношение СP / CV.
Оборудование: установка для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса; электронный осциллограф;
генератор электрических колебаний звуковых частот.
ВВЕДЕНИЕ
Скорость распространения звука в газах определяется формулой
RT
,
(2.6.1)
M
где = CP / CV; Т − абсолютная температура; М − масса моля газа;
R − универсальная газовая постоянная. Таким образом, скорость
звука в газе зависит от температуры и значений М и , характеризующих газ. Зависимость от определяется тем, что процесс сжатияразрежения, протекающий в газах при распространении звука, происходит адиабатически.
Из формулы (2.6.1) следует
V
MV 2
.
(2.6.2)
RT
Измерив при определенной температуре Т скорость звука в газе с
известной М, можно по формуле (2.6.2) вычислить одну из важнейших термодинамических характеристик газа − величину .
В предлагаемой работе измеряется скорость звука в воздухе методом стоячих волн, образующихся в столбе газа, заключенного в
трубе. Один конец трубы закрыт поршнем, у другого расположена
мембрана динамика. При колебаниях мембраны по трубе распространяется звуковая волна, которая интерферирует с волной, отраженной
66
от поверхности поршня. Если частота колебаний мембраны совпадает с одной из частот собственных колебаний воздушного столба (явление резонанса), то в трубе устанавливаются стоячие звуковые
волны.
Уравнение стоячей волны имеет вид
A cos ( kx ) cos (t ),
где − смещение некоторой частицы среды с равновесной координатой x в момент времени t; k = 2 / − волновое число.
Продифференцировав уравнение стоячей волны по t и x, получим
закон, по которому изменяются скорости частиц и деформация среды:
B cos(kx) sin (t );
t
ε
ξ
C sin(kx ) cos(ωt ).
x
Избыточное давление p, возникающее в некоторой точке среды,
пропорционально деформации. Поэтому уравнение для него будет
иметь вид
p C sin( kx ) cos(t ).
У поверхности колеблющейся мембраны образуется пучность
смещения и скорости (узел давления) стоячей волны, у поверхности
поршня, наоборот, узел смещения и скорости (пучность давления).
Одно из возможных распределений узлов и пучностей стоячей волны в трубе показано на рис. 2.6.1.
На рис. 2.6.1 можно видеть, что на длине L воздушного столба
укладывается целое число полуволн и четверть длины волны, т.е.
нечетное число четвертей длин волн n, соответствующих частотам
колебаний мембраны динамика n, при которых в воздушном столбе
возникает резонанс и образуются стоячие звуковые волны.
Зная длину волны и частоту колебаний в волне, легко вычислить
скорость звука
(2.6.3)
V n n.
67
Рис. 2.6.1
Частоты 0, 1, 2 и т.д. называют частотами, соответственно, основного тона, первого, второго и т.д. обертонов звучащей трубы. Им
соответствуют длины волн
4
4
4
L,
0 4L; 1 L; 2 L; ... ; n
3
2n 1
5
где n = 0, 1, 2 и т.д.
Номер обертона равен количеству полуволн, образующихся в
столбе воздуха. На рис. 2.6.1 изображено распределение избыточного давления по трубе для второго обертона.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса изображена на рис. 2.6.2.
Металлическая (или стеклянная) труба Т смонтирована на основании, снабженном миллиметровой шкалой, по которой отсчитывается расстояние между мембраной динамика Д и поршнем П. Поршень передвигается вдоль трубы с помощью штока Ш. Колебания
воздуха в трубе возбуждаются под действием мембраны динамика,
питающегося от генератора электрических колебаний звуковых частот (ГЗ).
Вблизи динамика в трубе имеется паз с вмонтированным в него
датчиком электрических колебаний ДК, главным элементом которо68
го является пьезокристаллическая пластинка. Работа этой пластинки в
качестве датчика электрических колебаний основана на использовании пьезоэлектрического эффекта, заключающегося в возникновении электрического поля в кристаллах при их деформациях. Таким
образом, назначение пьезоэлектрической пластинки − преобразование механических колебаний в электрические.
Рис. 2.6.2
С обкладок пьезоэлектрической пластинки электрическое напряжение подается на вертикальный вход осциллографа ЭО. Амплитуда
смещения электронного луча на экране осциллографа пропорциональна амплитуде давления стоячей звуковой волны в месте расположения пьезоэлектрической пластинки и в случае резонанса достигает наибольшего значения.
Правила работы со звуковым генератором и электронным осциллографом изложены в описании работы 2.1.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Не устанавливайте уровень сигнала генератора выше рекомендованного значения, так как громкий звук динамика мешает работать
окружающим. В остальном следует руководствоваться стандартной
инструкцией по технике безопасности, озвученной на вводном занятии в лаборатории.
69
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить генератор звуковых частот и электронный осциллограф.
2. Установить частоту колебаний ГЗ равной 1000 Гц. Перемещая
поршень в направлении от мембраны динамика, произвести отсчет
трех последовательных его положений (x1, x2, x3), при которых возникает резонанс. Результаты занести в табл. 2.6.1. Отсчеты в каждом
резонансном положении произвести не менее трех раз, определяя
координаты положений поршня как средние арифметические значения этих отсчётов.
Таблица 2.6.1
, Гц
x1, мм
x2, мм
x3, мм
1=2(<x2><x1>), мм
2=2(<x3><x2>), мм
V, м/с
= CP/ CV
1000
1200
1400
1600
1800
3. Подобные измерения произвести на частотах 1200, 1400, 1600 и
1800 Гц.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для каждой из перечисленных частот вычислить длину звуковой волны как удвоенную разность координат соседних резонансных
положений поршня. Найти среднее значение длины волны для
каждой из использованных частот.
2. Используя соотношение полученные значения длин волн, рассчитать по формуле (2.6.3) скорость звука в воздухе и по формуле
(2.6.2) найти отношение теплоемкостей γ = CP / CV для всех использованных частот. Температуру воздуха в трубе считать равной комнатной.
3. Оценить абсолютную случайную погрешность скорости звука
и отношения = CP / CV как полуразность максимального и минимального значений соответствующей величины.
70
4. Для одной из использованных частот (например, 1400 Гц) оценить относительную приборную погрешность скорости звука V и
по формуле
δV (δν)2 (δλ)2 ,
где = 2 % − относительная погрешность частоты, даваемая генератором ГЗ; − относительная погрешность длины волны. Величину найти следующим образом:
вычислить абсолютную приборную погрешность измерения длины волны Δλ по формуле Δλ = 𝛥𝑥 ∙ 2√2, где Δx – абсолютная погрешность измерения координаты резонансного положения поршня,
которую следует принять равной 1 мм;
вычислить относительную приборную погрешность длины волны: = Δλ/.
Используя найденную относительную погрешность скорости звука, вычислить абсолютную погрешность этой скорости:
ΔV = δV·V.
5. Для той же частоты оценить относительную приборную погрешность величины по формуле = 2V + T, где T − относительная погрешность измерения температуры воздуха.
Вычислить абсолютную погрешность величины :
Δ = ·
6. В качестве погрешности результата выбрать наибольшую из
случайной и приборной.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, в котором укажите:
что измерялось в данной работе;
какой метод измерений применялся;
каковы полученные результаты – приведите полученные значения скорости звука и показателя адиабаты с абсолютной и относительной погрешностью.
Сравните полученные в работе значения скорости звука и показателя адиабаты с табличными. В случае, если табличные значения не
71
попадают в полученные в работе доверительные интервалы, прокомментируйте возможные причины такого расхождения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Звуковая волна в газе продольная или поперечная?
2. Каким образом в работе определяется длина звуковой волны?
3. Что такое стоячая волна, и как она образуется в столбе газа?
4. Как зависит скорость звука в газе от частоты звука?
5. В каком газе скорость звука больше, в гелии или азоте? Температуры газов предполагаются одинаковыми.
6. В какую сторону и во сколько раз изменится длина звуковой
волны при нагревании воздуха от 20 до 200 ºС?
7. Как направлены скорости частиц воздуха по обе стороны от
пучности давления? Рассмотрите моменты времени, отстоящие друг
от друга на половину периода.
8. Объясните, почему CP / CV > 1?
9. Каково назначение электронного осциллографа в данной установке?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 4. Волны. Оптика. М.:
Астрель, 2004.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М.: Мир, 1979.
72
Работа 2.6а
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ ЗВУКА В
ВОЗДУХЕ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОТНОШЕНИЯ CP/CV МЕТОДОМ АКУСТИЧЕСКОГО
РЕЗОНАНСА
Цель: изучить зависимость скорости звуковых волн в воздухе от
температуры и измерить отношение СР / CVдля воздуха.
Оборудование: установка для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса; электронный осциллограф;
звуковой генератор; электронагревательная спираль, лабораторный
автотрансформатор (ЛАТР), электронный термометр.
Прежде чем читать дальнейший текст, внимательно изучите описание работы 2.6 настоящего практикума, поскольку там содержится
основная доля сведений, необходимых для выполнения настоящей
работы.
ВВЕДЕНИЕ
Величина CP / CV определяется методом, рекомендованным в работе 2.6.
Для исследования зависимости скорости звука от температуры
установка (рис. 2.6а.1) снабжена электронагревательной спиралью,
намотанной на трубу (на рисунке не показана), а также электронным
термометром, состоящим из термопарного датчика температуры ДТ,
соединенного с блоком индикации БИ. Датчик температуры расположен внутри трубы, где образуется стоячая звуковая волна, блок
индикации – на лабораторном столе. Температура воздуха в трубе
повышается с помощью электронагревательной спирали, питаемой
от лабораторного автотрансформатора (ЛАТР) и измеряется вышеописанным электронным термометром. Приборная погрешность
электронного термометра 0,1 ºС.
73
Рис .2.6а.1
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
К корпусу лабораторного автотрансформатора (ЛАТР), питающего обмотку нагревателя, прикреплена табличка с указанием максимального допустимого напряжения. Категорически запрещается
превышать указанное напряжение!
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить генератор сигналов звуковой частоты, электронный
осциллограф и электронный термометр..
2. Установить частоту колебаний ГЗ, указанную на лабораторном
стенде.
3. Рукоятку регулировки ЛАТРа повернуть против часовой стрелки до упора (установится выходное напряжение U = 0).
4. Измерить координаты соседних резонансных положений
поршня L1 и L2 при комнатной температуре (см. описание работы
2.6). Данные занести в табл. 2.6а.1.
Частота = ... Гц
№ п/п
t, °С
Т, К
1
2
3
Таблица 2.6а.1
L1, мм
L2, мм
, м
74
V, м/c
V2, (м/c)2
5. Медленно вращая рукоятку регулировки напряжения на автотрансформаторе (ЛАТР), установить напряжение U = 100 В.
6. Наблюдать за ростом показаний электронного термометра.
При температуре воздуха в трубе около 50 ºС измерить координаты соседних пучностей давления (резонансных положений поршня)
L1 и L2. Значения t, L1 и L2 занести в табл. 2.6а.1. Измерения нужно
выполнять как можно быстрее, потому что температура воздуха в
трубе все время меняется.
7. Аналогичные измерения выполнить последовательно при возрастании температуры с шагом 20–25 градусов. Если температура
растёт слишком медленно, то напряжение на ЛАТРе можно несколько увеличить. По достижении температуры 180–200 ºС измерения
закончить.
8. По окончании измерений повернуть ручку ЛАТРа против часовой стрелки до упора (U = 0), выключить ЛАТР из сети. Выключить
все приборы
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Построить график зависимости квадрата скорости звука от абсолютной температуры V2 = f(T). Согласно теории (формула (2.6.1))
график должен быть прямолинейным.
2. По формуле (2.6.2) из работы 2.6 вычислить значение = CP/CV.
Оценить погрешности измерений V и (см. работу 2.6). Считать относительную погрешность генератора по частоте равной = 1 %.
Внимание! Рекомендации по представлению результатов работы, контрольные
вопросы и список рекомендованной литературы смотрите в описании работы 2.6
настоящего практикума.
75
Работа 2.7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ УЛЬТРАЗВУКА В ВОЗДУХЕ
И ОТНОШЕНИЯ CP/CV МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН
Цель: измерить скорость ультразвука в воздухе методом стоячих волн и определить отношение Cp/Cv.
Оборудование: ультразвуковой генератор; излучатель; приемник
на подвижном штативе; экран; регулировочный винт; мультиметр.
ВВЕДЕНИЕ
Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в
пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и
разрежения газа. Звуковая волна является продольной, т.е. смещение
частиц среды происходит в направлении распространения волны.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в газе вдоль оси
x. В этом случае волновое уравнение имеет вид
2 2
,
(2.7.1)
x 2 p t 2
где ξ – смещение частиц среды (газа) из положения равновесия; t –
время; ρ – плотность среды; p – давление газа в отсутствие волн;
γ = Cp/Cv.
Коэффициент при второй производной по времени в волновом
уравнении (2.7.1) равен обратному квадрату фазовой скорости волны. Таким образом, скорость распространения звука в газах
P
(2.7.2)
= .
При атмосферном давлении и комнатной температуре большинство газов по своим свойствам близко к идеальному газу. Поэтому из
уравнения состояния идеального газа
m
pV
RT
(2.7.3)
M
получаем для фазовой скорости
76
RT
,
(2.7.4)
M
где T – термодинамическая температура; R – газовая постоянная; M –
масса одного моля газа.
В работе измеряется скорость ультразвука в воздухе методом
стоячих волн.
Стоячая волна возникает при наложении двух встречных плоских
волн с одинаковымичастотами и амплитудами. Практически стоячие
волны возникают при отражении от преград. Падающая на преграду
волна и бегущая ей навстречу отраженная волна образуют стоячую
волну.
Уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:
1 a cos(t kx ) ,
2 a cos(t kx ) ,
=
где k = 2π/λ – волновое число.
Сложив, получим уравнение стоячей волны:
1 2 2a cos kx cos t .
(Начало отсчета координаты и времени выбраны таким образом, что
β – α = 0 и α + β = 0.)
Из уравнения стоячей волны видно, что ее амплитуда зависит от
координаты x:
x
амплитуда = 2a cos 2 .
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
x
2 n (n 0,1, 2, ...) ,
(2.7.5)
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки
называют пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей
xпучн n
(n 0,1, 2, ...) .
(2.7.6)
2
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
77
x
1
n (n 0,1, 2, ...) ,
2
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называют узлами стоячей волны.
Из формулы (2.7.6) следует, что расстояние между соседними
пучностями (так же как и расстояние между соседними узлами) равно λ/2 (рис. 2.7.1).
На рисунке показана стоячая волна (смещение (x, t) при t1 = 0 и
t2 = T/2).
2
Рис. 2.7.1
Избыточное давление Δp, возникающее в некоторой точке среды
при прохождении звуковой волны, пропорционально относительной
деформации ε (Δp ~ ε):
.
x
Поэтому уравнение для избыточного давления будет иметь вид
Δp ~sinkx∙ cosωt.
Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке
пространства можно представить в виде 𝑝̛′ = 𝑝 + ∆𝑝 (рис. 2.7.2).
78
Рис. 2.7.2
По положению пучностей на графике давления можно определить длину звуковой волны.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для определения длины ультразвуковой волны
(рис. 2.7.3) состоит из ультразвукового генератора 1, излучателя 2,
приемника на подвижном штативе 3, экрана 4, регулировочного винта 5 и мультиметра 6.
Генератор 1 генерирует ультразвуковые волны частотой 40 кГц.
Плоская волна от излучателя 2 попадает на экран 4, отражается от
него и распространяется в противоположном направлении. Прямая и
обратная волны складываются, образуя стоячую волну. С помощью
приемника 3 колебания давления преобразуются в электрические.
Сигнал подается на мультиметр 6, показания которого пропорциональны интенсивности волны в данной точке среды. С помощью
винта 5 можно перемещать штангу с приемником 3 и измерять интенсивность волны в различных точках пространства.
79
Рис. 2.7.3
1
Рис. 2.7.4
80
При повороте измерительного винта (рис. 2.7.4) штанга приемника смещается в горизонтальном направлении. Одно деление горизонтальной шкалы равно 1 мм, что соответствует двум полным оборотам винта. Число оборотов винта показано в окошке на корпусе
винта.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
При выполнении работы следует соблюдать стандартные правила, озвученные во время инструктажа по технике безопасности на
вводном занятии в лаборатории.
ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить ультразвуковой генератор.
2. На мультиметре выставить режим DС (постоянный ток, кнопка справа вверху). Выбрать предел измерения «20V».
3. Провести измерения интенсивности стоячей волны в зависимости от положения приемника. Для этого следует перемещать приемник 3 с помощью винта 5. Интенсивность пропорциональна
напряжению на мультиметре 6. Положение приемника (координату
x) менять с таким шагом, чтобы между максимумом и соседним минимумом показаний мультиетра оказывалось 8 – 10 точек. Результаты измерений занести в табл. 2.7.1, где xi – координата приемника по
горизонтальной шкале 2 (на рис. 2.7.4); Ui – показания мультиметра,
В. Измерения проводить до тех пор, пока не будет получено три четких максимума на графике зависимости U(x) (рис. 2.7.5).
Таблица 2.7.1
№
…
xi, мм
…
Ui, В
…
81
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. По данным табл. 2.7.1 построить график U(x).
Рис. 2.7.5
2. Используя построенный график, найти длину волны ультразвука λ. Для этого по графику определить координаты соседних
максимумов и минимумов интенсивности (xmax и xmin) и вычислить
длину волны по формуле
4 xmax xmin .
Длину волны следует определить для всех доступных на графике
U(x) пар соседних максимумов и минимумов интенсивности.
82
Найти методом Корнфельда среднее значение длины волны <λ> и
ее абсолютную статистическую погрешность Δλ.
3. Рассчитать скорость распространения ультразвука по формуле
V .
Частота ультразвуковых волн ν указана в разделе «Описание
установки».
Определить γ для воздуха с помощью формулы (2.7.4).
4. Оценить погрешности ΔV и Δγ по формулам расчета погрешностей косвенных измерений.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Написать заключение по работе, в котором указать, что и каким
методом измерялось в данной работе. Привести полученные в данной работе значения скорости ультразвука в воздухе V и показателя
адиабаты γ с погрешностями. Сравнить полученные значения V и γ
с табличными. В случае заметного (выходящего за пределы указанного доверительного интервала) различия полученных в работе и
табличных значений указать возможные причины такого расхождения.
КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ
1. Какая волна называется продольной?
2. Какой вид имеет волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x?
3. Как определить фазовую скорость волны по волновому уравнению?
4. Что такое стоячая волна?
5. Как определить координаты пучностей (узлов) стоячей волны?
6. Чему равно расстояние между соседними пучностями (узлами)
стоячей волны?
7. Каким образом можно получить стоячую волну? Как ее получают в данной работе?
8. Нарисуйте график зависимости давления от координаты в звуковой волне в некоторый момент времени.
83
9. Опишите процедуру определения длины волны ультразвука в
данной работе.
10. Как определить γ для воздуха, зная длину волны ультразвука?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 4. Волны. Оптика: учебное пособие для втузов. М.: АСТ, Астрель, 2008.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие для втузов. М.: АСТ,
Астрель, 2005.
3. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы: учебное
пособие для вузов. М.: Лаборатория базовых знаний, 2006.
4. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т. 1, 2.
М.: Дрофа, 2004.
5. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974.
84
Работа 2.8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
И МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА
Цель: пронаблюдать резонанс, измерить собственные частоты
продольных колебаний тонких стержней, вычислить скорость продольных волн и модуль Юнга.
Оборудование: установка для измерения скорости звука в твердых телах; электронный осциллограф; звуковой генератор; набор
стержней из исследуемых материалов; мерная линейка.
ВВЕДЕНИЕ
Всякое упругое тело имеет набор, как говорят, собственных мод
колебаний, частоты которых n, n = 0, 1, 2, ... определяются формой
и размерами тела и скоростью распространения в нем упругих волн.
Собственные моды колебаний замечательны следующим. При совпадении частоты внешнего воздействия на тело с одной из его собственных частот n наблюдается резонанс: амплитуда колебаний резко возрастает, становясь существенно больше, чем при любой другой («несобственной») частоте.
В данной работе для определения скорости продольных упругих
волн V и модуля Юнга Е используется это явление.
Меняя частоту внешнего воздействия и следя за амплитудой колебаний, находят те частоты (т.е. n), при которых амплитуда максимальна. Для вычисления V и Е используется их связь с n.
Собственные моды колебаний тонкого стержня представляют собой стоячие волны, являющиеся суперпозицией бегущих волн, отраженных от его концов. В стоячей волне амплитуды колебаний различных точек (элементов) стержня зависят от положений (координат) этих элементов. Точки стержня, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой, называют пучностями стоячей
волны, точки с нулевой амплитудой колебаний − узлами. Если концы
стержня не закреплены, т.е. их движение не ограничено, то амплиту85
да колебаний на обоих концах должна быть максимальна (пучности
смещения и узлы деформации). В стоячей волне минимальное расстояние между точками, где амплитуда колебаний максимальна, составляет половину длины волны (колебания в этих точках происходят в противоположных направлениях, т.е. находятся в противофазе, поэтому / 2, а не ). Следующее расстояние между точками,
где амплитуда колебаний максимальна, равно длине волны
= 2( / 2) (колебания в этих точках происходят в одном направлении, т.е. синфазны) и т.д. В общем случае получаем (n + 1)( / 2),
n = 0, 1, 2, ... . Число n при таком его определении совпадает с номером обертона: n = 0 − основной тон, n = 1 − первый обертон и т.д.
Эти расстояния ((n + 1)( / 2)) должны совпадать (рис. 2.8.1) с длиной стержня L, т.е.
(2.8.1)
( n 1) n L , n = 0, 1, 2, ...,
2
где n − длина волны, соответствующая n-й собственной моде колебаний стержня с незакрепленными концами. Легко сообразить, что
n будут такими же у стержня, оба конца которого закреплены и,
следовательно, неподвижны (узлы смещения и пучности деформации). Длина стоячей волны совпадает с длиной тех бегущих волн,
суперпозицией которых она является. Длина бегущей волны − расстояние, на которое она распространяется за период Т, поэтому
(2.8.2)
VT V / .
В тонком стержне (поперечный размер стержня a << ) скорость
распространения продольных волн связана с модулем Юнга и плотностью вещества стержня следующим соотношением:
V
E
.
(2.8.3)
Используя выражения (2.8.1) − (2.8.3), для V и E легко получить
следующие расчетные формулы:
V 2L n ;
(2.8.4a)
n 1
E V 2 .
86
(2.8.4б)
Величины L и n измеряются непосредственно, известно из таблиц, V и Е вычисляются по формулам (2.8.4).
В данной работе исследуемый стержень закрепляется посередине,
что приводит к существенному ослаблению стоячих волн с пучностями смещения посередине стержня (рис.2.8.2). В результате резонанс хорошо наблюдается на частотах основного тона (n = 0) и четных (n = 2, 4, ...) обертонов, когда в середине стержня находится узел
смещения.
Рис. 2.8.1
С помощью выражений (2.8.4) можно получить формулы для
расчета относительных V, E и абсолютных погрешностей V, E:
V (L ) 2 () 2 , V V V ;
(2.8.5a)
E () 2 4(V ) 2 ; E E E ,
(2.8.5б)
где L, n и − относительные погрешности соответствующих
величин.
87
Рис. 2.8.2
Погрешность измерения длины стержня можно принять равной
приборной погрешности. Погрешность измерения частоты определяется как приборной погрешностью звукового генератора, так и
случайной погрешностью, обусловленной неточностью настройки на
резонанс. Роль последней можно оценить, сравнив разброс величин
n / (n + 1) c приборной погрешностью генератора на частоте 0. При
оценке необходимо учесть, что плотности сплавов (сталь, латунь)
зависят от их состава.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки для измерения скорости звука в твердых телах
изображена на рис. 2.8.2.
Стержень С из исследуемого материала крепится в обойме О,
которая может перемещаться по направляющим стержням держателя Д.
Генератор электрических колебаний ГЗ-33 питает током звуковой
частоты обмотки электромагнита-возбудителя ЭМ-1, расположенного в обойме у нижнего торца стержня. Оба конца стержня снабжены
насадками из ферромагнитного материала.
88
Попеременное притяжение нижнего конца стержня к электромагниту ЭМ-1 приводит к возникновению продольных колебаний в
стержне. У верхнего конца стержня расположен электромагнитный
приемник ЭМ-2, в обмотках которого при колебаниях стержня возникает ЭДС индукции. Переменное электрическое напряжение с обмоток ЭМ-2 подается на вход электронного осциллографа и вызывает колебания электронного луча по вертикали. При резонансе, когда
смещения концов торцов стержня максимальны, амплитуда колебаний электронного луча достигает наибольшего значения. (Правила
работы с осциллографом и генератором изложены в работе 2.1.)
В катушках обоих электромагнитов вмонтированы постоянные
магниты, чем достигается равенство частоты колебаний, задаваемой
ГЗ, и частоты продольных колебаний стержня (в противном случае
частота колебаний стержня была бы в два раза больше частоты генератора).
Верхний и нижний электромагниты, укрепленные в обоймах,
снабжены регулировочными винтами, с помощью которых осуществляются перемещение и точная юстировка электромагнитов.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Устанавливая исследуемые стержни в обойму О (см. рис. 2.8.2),
не затягивайте крепёжные винты слишком сильно. В остальном руководствуйтесь инструкцией по технике безопасности при работе в
лаборатории, озвученной на вводном занятии.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить генератор звуковых колебаний и осциллограф для
предварительного нагрева.
2. Измерив длину исследуемого образца (стержня), закрепить его
в зажиме. Отрегулировать установку электромагнита относительно
оси стержня (нецентральное положение стержня вызывает появление поперечных колебаний и возникновение ложных резонансов).
Верхний и нижний электромагниты установить, не касаясь ими
стержня, таким образом, чтобы расстояние между их полюсами и
торцами было минимально возможным (порядка 1 мм). Это обеспе89
чит большую величину вынуждающей силы и, следовательно, большую резонансную амплитуду.
3. Произвести настройку и регулировку осциллографа. Вращением ручек перемещения луча по вертикали и горизонтали привести
луч в центр координатной сетки экрана. Отрегулировать яркость и
фокусировку луча. Отключить генератор развертки осциллографа.
4. Ручкой регулировки амплитуды выходного напряжения генератора установить такой уровень сигнала, при котором длина вертикального отрезка на экране осциллографа составляет 3−5 мм. Переключатель «Множитель» звукового генератора перевести в положение «×100». Затем, наблюдая за поведением луча на экране осциллографа, медленно вращать лимб частоты ГЗ. Рекомендуется искать
резонанс на основном тоне в диапазонах частот, приведенных в
табл. 2.8.1.
Таблица 2.8.1
Стержень
Диапазон частот, Гц
Стальной
4500−5500
Алюминиевый
4500−5500
Латунный
2500−3500
Медный
3500−4500
При совпадении частоты генератора с резонансной частотой амплитуда колебаний достигает максимума. Ввиду исключительной
остроты резонансного максимума, необходимо лимб частоты ГЗ
вращать крайне медленно. Для более точного отсчета резонансной
частоты следует лимб генератора установить по указателю на ближнем к резонансу делении и, вращая рукоятку «Расстройка, %» в обе
стороны, найти положение, соответствующее резонансу в стержне, и
тем самым определить резонансную частоту основного тона. Если
при резонансе луч выходит за пределы экрана, следует уменьшить
напряжение на выходе ГЗ вращением ручки «Рег. выхода» или же
уменьшить чувствительность электронного осциллографа.
5. Произвести измерение частот четных обертонов стержня. При
90
этом рекомендуется предварительно рассчитать их значения, исходя
из уже найденной частоты основного тона. Результаты измерений
для каждого стержня записать в табл. 2.8.2.
Таблица 2.8.2
n
0
2
4
n, кГц
𝜈𝑛
𝑛+1
, кГц
𝜈
⟨ 𝑛 ⟩, кГц
𝑛+1
V, км/с
Е, Па
6. Аналогичные измерения провести для ряда исследуемых
стержней.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Рассчитать скорость звука в стержне, а по ней — модуль Юнга
материала стержня (см. формулы (2.8.4)).
2. Аналогичные вычисления выполнить для всех стержней, резонансные частоты которых были измерены в ходе работы.
3. Определить погрешности, с которыми найдены скорости звука
в материалах и их модули Юнга (см. формулы (2.8.5)).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по выполненной работе, в котором укажите, что и каким методом измерялось, приведите полученные значения скорости звука и модуля Юнга для всех исследуемых материалов. Приведите также табличные значения этих величин и сравните
измеренные значения с табличными. В случае, если табличные значения не попадают в полученные в работе доверительные интервалы, обсудите возможные причины такого расхождения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какими характеристиками упругой среды определяется скорость продольных упругих волн в ней?
91
2. Зависит ли скорость распространения упругих волн в тонком
стержне от его длины, способа крепления к установке?
3. От каких величин и условий зависят собственные частоты колебаний стержня?
4. Объясните физический смысл формулы, связывающей собственные частоты колебаний стержня с его длиной в условиях данной работы.
5. Где находятся узлы деформации резонирующего стержня при
частоте основного тона?
6. Чему равна разность фаз колебаний в соседних пучностях смещения в стоячей волне?
7. Какую роль в установке играют электромагниты и постоянные
магниты?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. М.: Наука, 1987.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1990.
92
Работа 2.9
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ УЛЬТРАЗВУКА
В СРЕДАХ ИМПУЛЬСНЫМ МЕТОДОМ
Цель: измерить скорость распространения продольных ультразвуковых импульсов в твердых стержнях.
Оборудование: ультразвуковой дефектоскоп-излучатель; трубка,
наполненная водой с подвижным поршнем; набор стержней разной
длины из различных материалов; стойка.
ВВЕДЕНИЕ
Если в одномерной упругой среде, например, стержне, привести в
движение участок малой длины, то остальные участки будут повторять это движение с запаздыванием, пропорциональным расстоянию
от начального участка.
Процесс распространения колебаний вдоль стержня называется
упругой волной. Если смещение малого участка происходит вдоль
направления распространения волны, то волну называют продольной. Чтобы математически описать волновое движение, нужно задать смещение участка из положения равновесия как функцию координаты x его положения равновесия и времени t. Представим себе,
что начало стержня совмещено с началом координат и приводится в
движение по закону (0, t) = f(t). Движение участка с равновесной
координатой x в момент времени t повторяет движение начального
участка в более ранний момент, т.е.
(2.9.1)
( x , t ) f (t t ),
где t − время, на которое смещение участка с координатой x отстает
от смещения участка с нулевой координатой.
Введем понятие скорости распространения волны
x
,
(2.9.2)
t
т.е. скорости, с которой смещение передается от участка к участку.
V
93
Подставляя формулу (2.9.2) в выражение (2.9.1), получаем
x
( x , t ) f t .
V
(2.9.3)
Скорость V определяется упругими и инертными свойствами среды. В конкретном стержне волновое движение полностью определяется движением начального участка. Волну, возбуждаемую одиночным отклонением начального участка из положения равновесия и
возвращением его в положение равновесия, называют одиночным
импульсом. Волны, наблюдаемые в настоящей работе, достаточно
близки к одиночному импульсу. Для ультразвуковых волн время
4
движения участка в одиночном импульсе менее 10 с. Выражение
(2.9.3) при t = const дает картину мгновенных смещений как функцию координат. На рис. 2.9.1 такие картины изображены для моментов времени t = 0 и t = t1 при распространении одиночного импульса.
При распространении волны картина мгновенных смещений перемещается вдоль оси x со скоростью V. На конце стержня конечной
длины волна отражается от границы раздела двух сред. Отраженная
волна распространяется в обратном направлении.
Рис. 2.9.1
Для возбуждения ультразвуковых волн используется обратный
пьезоэлектрический эффект, состоящий в том, что пластинка, вырезанная определенным образом из некоторых кристаллов сегнето94
электриков (кварца, сегнетовой соли, титаната бария и т.д.), под действием электрического поля слегка деформируется (удлиняется в
поле одного направления и сжимается в поле противоположного
направления).
Если хотят возбудить одиночный импульс, то на пьезопластинку
подают импульс электрического напряжения. При этом после прекращения электрического импульса пьезопластинка продолжает совершать слабые затухающие свободные колебания, вызванные
начальным толчком. Чтобы одиночному электрическому импульсу
отвечал одиночный механический импульс, необходимо достаточно
эффективное гашение свободного движения пьезопластинки. В этом
случае механический импульс по форме будет близок к электрическому.
Рис. 2.9.2
Измерения скорости распространения продольных ультразвуковых импульсов в твердых стержнях проводятся по схеме, изображенной на рис. 2.9.2. В пьезоэлектрической головке I возбуждаются
механические импульсы, которые через границу излучателя со
стержнем переходят в стержень II. Импульсы, достигшие конца
стержня, отражаются от него и возвращаются к пьезоэлектрической
головке, где и преобразуются в электрические сигналы. За время
между начальным и вторичным электрическими сигналами импульс
проходит путь 2l, т.е.
2l
V .
(2.9.4)
95
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Устройство излучателя показано на рис. 2.9.2. Чувствительным
элементом излучателя является пластина 3 из титаната бария. Обе
плоские поверхности пластины посеребрены и на них подается с помощью контактов 1 и 2 переменное электрическое поле ультразвуковой частоты. Для ограничения во времени колебаний пластинки
(чтобы последняя была готова к приему отраженного сигнала) необходимо быстро погасить ее колебания после излучения импульса.
Для этого пластина приклеивается к телу значительной массы –
демпферу 5, погруженному в вязкую среду 6. Для предохранения
пластины контакт со стержнем осуществляется через защитный
диск 4.
Ультразвуковой импульсный дефектоскоп предназначен для
определения глубины залегания дефектов в металлических изделиях и работает по принципу посылки ультразвуковых колебаний в
контролируемое изделие и приема отраженных от дефектов или
дна колебаний. Блок-схема дефектоскопа приведена на рис. 2.9.3.
Рис. 2.9.3
Синхронизатор-мультивибратор 4 выдает периодические импульсы, используемые для запуска генераторов радиоимпульсов 2 и
развертки 5. Импульс запуска подается, кроме того, через усилитель
96
3 на вертикально отклоняющие пластины осциллографической
трубки 6.
Генератор радиоимпульсов генерирует кратковременные импульсы высокочастотных электрических колебаний, которыми возбуждается пьезоэлектрическая пластинка излучателя 1. Усиленные усилителем 3 и продетектированные отраженные импульсы с усилителя
поступают на вертикально отклоняющие пластины электроннолучевой трубки 6.
На горизонтально отклоняющие пластины электронно-лучевой
трубки синхронно с излучаемыми (зондирующими) импульсами подается развертывающее пилообразное напряжение, вырабатываемое
генератором развертки 5. Блок питания выдает напряжения, необходимые для нормальной работы прибора.
На экране электронно-лучевой трубки будут видны два сигнала:
излучаемый (в левом конце развертки) и отраженный (на линии развертки), причем расстояние между ними пропорционально времени
прохождения импульса от излучателя до отражающей поверхности и
обратно. Это расстояние измеряется с помощью метки, передвигаемой на экране ручкой шкалы дефектоскопа. Таким образом, при соответствующей градуировке шкалы дефектоскопа можно измерять
время, длину пути импульса в образце или скорость распространения импульса в нем. В данной работе прибор используется для определения скорости.
Рис. 2.9.4
97
Рассмотрим схему всей установки (рис. 2.9.4). Излучатель 1, соединенный экранированным кабелем с дефектоскопом 7, вмонтирован в дно стойки 2. С помощью цилиндра 4 на стойке укрепляются
исследуемые стержни или трубки с исследуемой жидкостью 6. Их
контакт с излучателем осуществляется с помощью жидкой смазки
(вазелиновое или трансформаторное масло, вода и пр.). В твердых
образцах импульс отражается от верхнего конца; в жидкостях отражающей поверхностью служит поршень 3, высота поднятия которого над дном отсчитывается непосредственно по шкале 5, выбитой на
штоке поршня. Метка дефектоскопа перемещается по линии развертки ручкой дефектоскопа 8 («Расстояние»).
Для градуировки шкалы дефектоскопа используется вода (скорость звука V0 = 1,48 · 103 м/c при 20 °С). Как уже указывалось, расстояние между излученным и отраженным сигналами на экране пропорционально времени прохождения импульса от излучателя до
отражателя и обратно:
2l
(2.9.5)
,
V0
где l − расстояние от дна поршня, изменяя которое можно градуировать шкалу глубиномера в единицах времени. Затем, измеряя длину исследуемого образца l и время прохождения сигнала в нем по
шкале, можно определить скорость распространения ультразвука в
исследуемой среде по формуле (2.9.4).
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
При выполнении данной работы следует руководствоваться инструкцией по технике безопасности, озвученной на вводном занятии
в лаборатории.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подготовьте дефектоскоп к работе в соответствии с имеющейся на рабочем месте инструкцией.
2. Отградуируйте шкалу дефектоскопа. Для этого следует нанести на излучатель кисточкой жидкую смазку; установить и притереть наполненную водой трубку с поршнем. Перемещая поршень,
98
наблюдайте на экране сдвиг отраженных сигналов по линии развертки. Зафиксировав поршень в нижнем положении (5 см над дном
трубки), ручкой дефектоскопа совместите метку дефектоскопа с
первым отраженным импульсом. Запишите в табл. 2.9.1 высоту
поршня над дном трубки и показания дефектоскопа по шкале, соответствующей выбранному диапазону. Аналогичные действия выполните для всех фиксированных положений поршня, предусмотренных конструкцией трубки (не менее пяти).
Таблица 2.9.1
Высота поршня, см
Время, дел.
Время, с
УКАЗАНИЕ. При проведении измерений следует убедиться, что
выбранные вами импульсы действительно соответствуют импульсам, отраженным от нижней поверхности поршня или верхнего конца стержня. Помимо них, обычно на экране наблюдаются различные
побочные импульсы, соответствующие, например, отраженным от
нижней границы образца (в силу несовершенства контакта между
преобразователем и образцом). Могут быть отражения от верхней
поверхности поршня и т.д. Побочные импульсы можно отличить от
исследуемых, если передвигать поршень при работе с водой или незначительно передвигать стержни. После идентификации побочных
импульсов их можно устранить, уменьшая чувствительность. Однако нельзя допускать чрезмерного уменьшения чувствительности,
чтобы не потерять исследуемый отраженный сигнал.
Следует обратить внимание на тот факт, что амплитуды отраженных импульсов при измерениях на самых коротких образцах
мало отличаются друг от друга, тогда как для самых длинных образцов разность амплитуд двух соседних отраженных импульсов
может оказаться существенной. Иногда для того, чтобы увидеть
отраженный сигнал, приходится увеличить чувствительность прибора. Это необходимо сделать при измерениях с эбонитовыми
стержнями!
3. Измерьте скорость распространения ультразвуковых волн в образцах из различных материалов (алюминия, латуни, эбонита). Проделайте измерения для трех стержней разной длины. Для каждого
99
образца заготовьте таблицу вида табл. 2.9.2 Установите соответствующий стержень на излучатель (см. п. 2). Материал и длину
стержня запишите в соответствующую этому стержню таблицу вида
табл. 2.9.2. Добейтесь, чтобы на экране дефектоскопа было не менее
двух отражённых импульсов. Вращением рукоятки дефектоскопа
совместите ступенчатую метку на экране с одним из импульсов и
запишите показание по шкале дефектоскопа (t1, дел) в табл. 2.9.2.
Затем совместите метку с соседним импульсом на экране и запишите
новое показание (t2, дел). Модуль разности этих показаний дает
время распространения ультразвукового импульса в делениях шкалы. С каждым стержнем выполните не менее четырех измерений
времени распространения ультразвукового импульса.
Материал:
№
t1,
дел.
t2,
дел.
Длина:
tраспр =
=│ t2- t1│,
дел.
<tраспр>,
дел.
Δ tраспр,
дел.
Таблица 2.9.2
<tраспр>,
с
Δ tраспр,
с
1
2
3
4
5
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для каждого положения поршня в цилиндре с водой по формуле (2.9.5) вычислите время, соответствующее данному показанию
дефектоскопа. Результаты занесите в табл. 2.9.1. Постройте график
зависимости времени прохождения импульса от показаний шкалы
дефектоскопа (градуировочный график).
2. Для каждого из исследованных образцов методом Корнфельда
вычислите среднее значение времени распространения ультразвука в
делениях шкалы дефектоскопа и его статистическую погрешность.
По градуировочному графику (см. п. 1) переведите деления шкалы в
единицы времени. Результаты запишите в табл. 2.9.2.
3. По формуле (2.9.4) вычислите скорости распространения ультразвука в исследуемых образцах. Найдите погрешности значений
100
скорости, используя тот факт, что относительная погрешность скорости равна относительной погрешности измерения времени распространения ультразвукового импульса (погрешность измерения длины образца пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения времени). Полученные значения скорости и их погрешности
занесите в табл. 2.9.2 (для каждого образца – своя таблица).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, в котором укажите, что и каким
методом измерялось, приведите измеренные значения скорости ультразвука с экспериментальными погрешностями во всех исследованных образцах. Сравните полученные значения скорости со значениями, взятыми из справочных таблиц. Если табличные значения не
попадают в полученные вами доверительные интервалы, обсудите
возможные причины такого расхождения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие свойства среды определяют скорость распространения в
ней волны?
2. Чем отличается звук от ультразвука?
3. Каков принцип работы ультразвукового дефектоскопа?
4. На каком принципе основано действие излучателя?
5. С какой целью осуществляется гашение свободных колебаний
пьезопластинки?
6. Что наблюдается на экране электронно-лучевой трубки в процессе работы?
7. Для чего в данной работе измеряется скорость распространения
ультразвука в воде?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 4. Волны. Оптика. М.:
Астрель, 2004.
101
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М.: Мир, 1979.
102
Работа 2.10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ЗОНДОВЫМ МЕТОДОМ
Цель: измерить длину капиллярно-гравитационных волн при заданных частотах и рассчитать коэффициент поверхностного
натяжения.
Оборудование: кювета с водой; подвижный держатель зонда с
микрометрическим винтом; источник постоянного напряжения; генератор электрических колебаний звуковой частоты; электронный
осциллограф.
ВВЕДЕНИЕ
В силу специфики взаимодействия молекул жидкости друг с другом молекулы приповерхностного слоя жидкости находятся в особых
условиях, отличающихся от условий в глубине (на значительных расстояниях от поверхности). На каждую приповерхностную молекулу
действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул, стремящиеся втянуть ее внутрь жидкости. Из-за этого поверхность жидкости пребывает в особом (напряжённом) состоянии, отдаленно напоминающем состояние растянутой упругой плёнки. Такое состояние
поверхности жидкости называют поверхностным натяжением. Более
подробно физические основы поверхностного натяжения описаны во
введении к работе 2.34.
Количественную меру поверхностного натяжения жидкости (коэффициент поверхностного натяжения) можно определить двумя способами. С одной стороны, коэффициент поверхностного натяжения
− это сила поверхностного натяжения, приходящаяся на единицу
длины прямолинейного отрезка, выделенного на поверхности жидкости. С другой, коэффициент поверхностного натяжения − это работа
103
сил поверхностного натяжения, совершаемая при изотермическом
увеличении поверхности жидкости на единицу площади и запасенная
в виде так называемой свободной энергии поверхности. Данные определения эквивалентны друг другу (см. описание работы 2.34).
Если жидкость вывести из состояния равновесия, то силы тяжести
и силы поверхностного натяжения будут стремиться возвратить её в
исходное состояние. Силы тяжести стремятся совместить поверхность жидкости с горизонтальной плоскостью (точнее, расположить
по сфере, центр которой находится в центре Земли). Силы поверхностного натяжения стремятся сократить площадь поверхности
жидкости. Выведенная из состояния равновесия жидкость приобретает в полях силы тяжести и сил поверхностного натяжения некоторую потенциальную энергию. На поверхности жидкости возникают
капиллярно-гравитационные волны.
Если пренебречь некоторыми свойствами реальной жидкости и
рассматривать волны длиной и малой амплитуды в глубокой жидкости (h >> , где h − глубина), то можно найти простое выражение
для скорости распространения капиллярно-гравитационных волн.
Воспользуемся результатами гидродинамики несжимаемой жидкости. В плоской бегущей синусоидальной волне малой амплитуды
каждая частица жидкости движется по окружности, расположенной
в вертикальной плоскости, проходящей через направление волны.
Радиус окружности r мал по сравнению с длиной волны и убывает
экспоненциально при удалении от поверхности жидкости. Амплитуда колебаний частиц жидкости на глубине, близкой к длине волны,
примерно в 500 раз меньше, чем на поверхности (сравниваются частицы с одинаковой координатой положения равновесия).
Допустим, что частицы, расположенные вдоль некоторой прямой
на поверхности жидкости, совершают гармонические колебания.
Тогда по поверхности жидкости перпендикулярно к этой прямой со
скоростью c будет распространяться капиллярно-гравитационная
волна.
Рассмотрим явление в системе отсчёта, равномерно движущейся
со скоростью c в направлении распространения волн. В этой системе
волны будут неподвижны, движение частиц будет складываться из
равномерно-поступательного со скоростью c и равномерного враще104
ния частиц по окружности радиуса r. Так как радиус мал по сравнению с длиной волны , то можно пренебречь горизонтальными колебаниями частицы. Направим ось x введенной подвижной системы
отсчёта по невозмущённой поверхности в сторону распространения
волны, а ось z − вертикально вниз (в глубину жидкости). Тогда движение частиц будет представлено уравнениями
2ct
.
x c t; z r sin
Форма траекторий частиц − синусоида
2x
z r sin
.
(2.10.1)
Частицы, расположенные в глубине жидкости, движутся в выбранной системе отсчёта также по синусоидам, но для них r экспоненциально убывает с глубиной.
На рис. 2.10.1 синусоида ABD представляет траекторию частицы
на поверхности жидкости, синусоида ABD − траекторию бесконечно близкой к ней частицы в глубине жидкости. Течение жидкости в
избранной системе отсчёта стационарно, поэтому можем применить
уравнение Бернулли к трубке тока, ограниченной поверхностями синусоид.
В выбранной системе отсчёта скорость частиц на гребне равна
c u, где u − линейная скорость движения по окружности, а скорость
частиц во впадине c u. Разность высот частиц на гребне и во впадине составляет 2r. Линейную скорость вращения можно вычислить
из соотношения u = 2rc / .
Рис. 2.10.1
105
Уравнение Бернулли для выбранной трубки тока имеет вид
pA (c u) 2 2gr pB (c u) 2 ,
(2.10.2)
2
2
откуда
(2.10.3)
2cu 2gr pA pB ,
где − плотность жидкости; g − гравитационное ускорение. Давление жидкости в точках А и В можно вычислить по формуле Лапласа:
1
1
1
1
(2.10.4)
pA p0
; pB p0
,
R1 R 2
R1 R 2
где p0 − давление под невозмущенной плоской поверхностью жидкости; − коэффициент поверхностного натяжения; R1 и R2 − радиусы
кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений.
Одним сечением будет прямая (вдоль оси y), т.е. R1 = ; радиус R2
второго сечения найдём, дважды продифференцировав формулу
(2.10.1) по x:
R2
1
d 2z
2
4 2 r
.
dx 2
В выражении (2.10.4) учтено положение точек А и В на гребне и
во впадине соответственно.
Подставив равенства (2.10.4) в выражение (2.10.3) с учетом выражений для R2 и u, получим формулу фазовой скорости распространения капиллярно-гравитационных волн:
c
g 2
.
2
(2.10.5)
Из равенства (2.10.5) видно, что фазовая скорость зависит от длины волны, т.е. капиллярно-гравитационные волны обладают дисперсией.
Можно рассмотреть два предельных случая. Для длинных волн
g
2
.
, т.е. 2
2
g
106
В этом случае вклад сил поверхностного натяжения в образование волн на поверхности жидкости много меньше вклада силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Их фазовая скорость
c g / 2 .
В случае коротких волн 2 / g преобладает действие
сил поверхностного натяжения. Эти волны называются капиллярными. Их фазовая скорость
2
.
g
c
Выражение коэффициента поверхностного натяжения можно
получить исходя из формулы (2.10.5) и выражения = c / :
2 g
3 2
.
2
4 2
(2.10.6)
В данном эксперименте удобно измерить / 2, поэтому окончательная расчетная формула для коэффициента поверхностного
натяжения будет иметь вид
3
2
g
42
2 .
2
2
(2.10.7)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
На рис. 2.10.2 изображена зондовая цепь, состоящая из зонда З,
противозонда П, источника напряжения на 10 В, соединенных последовательно. Зонд (тонкий стержень из электропроводящего материала) укреплен на держателе, который может перемещаться в вертикальном и горизонтальном направлениях с помощью микрометрических винтов.
Противозонд − достаточно большая медная пластина, погружённая на дно кюветы с жидкостью. Наибольшим сопротивлением в
цепи зонда обладает острие зонда, погруженного в жидкость. Небольшое изменение глубины погружения зонда ведет к заметному
изменению тока в цепи. Бегущая по поверхности жидкости волна
107
периодически меняет глубину погружения зонда и, как следствие,
ток в цепи зонда. Изменение тока в цепи зонда будет синхронно с
изменением глубины погружения зонда.
Периодическое изменение тока можно регистрировать, снимая
напряжение с сопротивления R и подавая его на Y-вход осциллографа (см. рис. 2.10.2).
Рис. 2.10.2
Колебания в жидкости создаёт вибратор В, питаемый от генератора переменного тока, задающего частоту колебаний. От того же
генератора подается напряжение на X-вход осциллографа. Сложение
взаимно перпендикулярных колебаний одной и той же частоты даст
на экране осциллографа эллипс. Пользуясь горизонтально расположенным микрометрическим винтом, поместим зонд так, чтобы эллипс на экране выродился в прямую (рис. 2.10.3, а), что соответствует нулевой разности фаз периодически изменяющихся напряжений
на X- и Y-входах осциллографа.
Сместим зонд по горизонтали до тех пор, пока на экране опять не
появится прямая с отрицательным углом наклона (рис. 2.10.3, в), что
соответствует изменению разности фаз взаимно перпендикулярных
колебаний на или смещению зонда по горизонтали на / 2.
108
Рис. 2.10.3
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Вращайте рукоятку микрометрического винта осторожно и
плавно, не прилагая заметных усилий. Не выходите за пределы рабочего диапазона винта.
2. Не толкайте лабораторный стол – от его вибраций на поверхности воды возникнут волны, искажающие результаты измерений.
3. После окончания измерений попросите дежурного сотрудника
лаборатории отключить источник постоянного напряжения (батарею
«Крона»).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Заполнить чистую кювету дистиллированной водой.
2. Погрузить вибратор в воду вблизи металлического ограничителя и противозонда.
3. Включить генератор переменного тока и прогреть в течение
пяти минут (при прогреве ручка «Вых. напряжение» должна быть в
крайнем левом положении). Установить по шкале частоту 20 Гц.
Выходное напряжение 5 В.
4. Включить осциллограф, блок питания (10 В). Установить чувствительность Y-входа осциллографа такой, чтобы вертикальный
размер фигуры на экране составлял около половины размера самого
экрана (обычно эта чувствительность составляет около 1 мВ/дел.).
109
Таблица 2.10.1
Частота , Гц
Показания винта
через λ / 2, мм
x1
x2
/ 2 = x2 x1, мм
< / 2>, мм
, Н/м
5. Произвести измерения / 2 бегущих волн по горизонтальному
микрометрическому винту для n = 5−6 частот в интервале от 20 до
50 Гц. Данные занести в табл. 2.10.1.
3
Для дистиллированной воды = 1,00 г/см .
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Для каждого измерения силы отрыва кольца вычислите значение коэффициента поверхностного натяжения воды по формуле
F
,
2d
где d – диаметр кольца (кольцо – тонкое, поэтому его внутренний и
наружный диаметры можно считать совпадающими). Значение d
указано на лабораторном столе.
2. Обработайте полученные результаты измерений методом
Корнфельда, т.е. вычислите:
среднее значение коэффициента поверхностного натяжения
min
max
;
2
абсолютную погрешность коэффициента поверхностного натяжения:
min
max
;
2
110
доверительную вероятность для найденного доверительного интервала:
n 1
1
p 1 ,
2
где n – число выполненных измерений силы отрыва.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите краткое заключение по работе, в котором укажите:
что и каким методом измерялось;
приведите полученный результат – значение коэффициента поверхностного натяжения с погрешностью и доверительной вероятностью, в приводимых численных значениях сохраняйте правильное
количество значащих цифр;
укажите природу и источник экспериментальной погрешности;
сравните полученное значение α и значение, известное из литературы (табличное); если табличное значение не попадает в найденный
вами доверительный интервал, прокомментируйте возможные причины этого различия.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение коэффициента поверхностного натяжения
через силу поверхностного натяжения, возникающую в плоскости,
касательной к поверхности жидкости
2. Сформулируйте определение коэффициента поверхностного
натяжения жидкости через свободную поверхностную энергию.
3. На проволочный каркас натянута мыльная пленка, на которую
положили петлю из легкой нити. Петля может иметь произвольную
форму. Какую форму примет петля, если пленку проколоть внутри
петли?
4. Объясните, почему жидкости малых объемов в свободном состоянии стремятся приобрести форму шара.
5. Почему сила, действующая на молекулу жидкости в пограничном слое, направлена внутрь объема жидкости, если она граничит с
собственным паром?
111
6. От каких параметров жидкости зависит коэффициент поверхностного натяжения?
7. Исходя из различных определений коэффициента поверхностного натяжения, дайте возможные размерности в системе СИ.
8. Что такое краевой угол смачивания?
9. Каковы источники случайных и систематических ошибок в данном методе определения коэффициента поверхностного натяжения?
10. Почему загрязненная поверхность кольца и кюветы могут повлиять на результат измерений?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1982.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1975.
2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Физматгиз, 1976.
3. Лабораторный практикум по общей физике. Т. 1. Термодинамика и молекулярная физика / Под ред. проф. А.Д. Гладуна. М.:
МФТИ, 2003.
4. Руководство к лабораторным занятиям по физике / Под ред.
Л.Л. Гольдина. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1973.
5. Светозаров В.В. Элементарная обработка результатов измерений. М.: МИФИ, 2005.
112
Работа 2.11
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Цель: экспериментально исследовать колебания системы, состоящей из двух связанных математических маятников.
Оборудование: установка «Связанные маятники»; электронный
секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
1. Физический и математический маятники
Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания около неподвижной точки, не совпадающей с
центром масс этого тела.
Если покоящийся маятник отвести в сторону и отпустить (т.е.
создать начальное смещение), то он начнет совершать колебания
около положения равновесия. Время, за которое маятник совершает движение из одного крайнего положения в другое и возвращается обратно в первоначальное положение, называется периодом колебаний маятника.
При плоском движении маятника его положение в каждый момент времени можно задать с помощью одной переменной − угла
отклонения из положения равновесия в плоскости колебаний.
Величина наибольшего угла отклонения маятника из положения
равновесия, достигаемая в ходе его колебаний, называется угловой
амплитудой колебаний.
Из-за наличия силы трения в оси, вообще говоря, колебания маятника будут затухающими, т.е. с течением времени максимальное
отклонение маятника от положения равновесия (амплитуда) будет
уменьшаться.
113
Частным случаем физического маятника является математический маятник. Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити,
на конце которой находится материальная точка массы т.
Достаточно хорошей моделью математического маятника является небольшое массивное тело, подвешенное на длинном легком
стержне или нити (длина стержня l много больше характерного
размера массивного тела R, т.е. l >> R, а его масса тl много меньше
массы тела т, т.е. т >> тl).
На рис. 2.11.1, а изображен физический маятник, подвешенный
на оси z, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости
рисунка. Таким образом,маятник может совершать колебания в
плоскости рисунка, причем все точки тела, лежащие на оси z, остаются неподвижными. Центр масс физического маятника обозначен
точкой С (см. рис. 2.11.1, а). Положение равновесия маятника соответствует моменту, когда центр масс и точка подвеса лежат на вертикальной прямой, т.е. момент силы тяжести относительно оси z
равен нулю.
На рис. 2.11.1, б представлен математический маятник.
Рис. 2.11.1
Рассмотрим малые колебания физического маятника. Если отклонить его на угол (см. рис. 2.11.1, а), то возникает ненулевой
момент силы тяжести, стремящийся вернуть его в положение равновесия. Проекция момента силы тяжести на ось z имеет вид
(2.11.1)
N z mga sin ,
где т − масса маятника; g − ускорение свободного падения; а −
расстояние от точки подвеса O до центра масс маятника C, т.е.
длина отрезка OC.
114
Если рассматривать малые колебания физического маятника,
т.е. угол отклонения мал 1 , то выражение для момента силы
тяжести упрощается:
(2.11.2)
N z mga .
Колебательное движение физического маятника около неподвижной оси z описывается уравнением вращательного движения
твердого тела (уравнением моментов), которое в проекции на ось z
имеет вид
(2.11.3)
I zz N z ,
где z − проекция углового ускорения маятника на ось z; I z −
момент инерции маятника относительно оси z.
Подставляя выражение для момента силы тяжести (2.11.2) в
уравнение движения (2.11.3), получим уравнение малых колебаний
физического маятника:
mga
0.
Iz
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
(t ) 0 cos(t ) ,
где 0 − амплитуда колебаний; mga I z − круговая (циклическая) частота; − начальная фаза.
Как следует из приведенного решения, малые колебания физического маятника являются гармоническими (функциональная зависимость угла отклонения от времени − косинус).
Таким образом, период малых колебаний физического маятника
не зависит от амплитуды колебаний и может быть определен по
формуле:
(2.11.4)
T 2 2 I z / mga .
В случае математического маятника, поскольку массивное тело
можно считать материальной точкой (см. ранее), выражение для
момента инерции имеет вид: I z ml 2 , где l − длина стержня (нити)
маятника, а расстояние от точки подвеса до центра масс равно a = l.
115
Таким образом для математического маятника период и циклическая частота колебаний определяются соотношениями:
(2.11.5)
√ .
√
Сравнивая формулы (2.11.4) и (2.11.5), можно заключить, что
физический маятник массы т колеблется с тем же периодом, что и
математический маятник той же массы m и длины
lпр I z / ma .
Величина lпр называется приведенной длиной физического маятника.
С использованием определения приведенной длины формулу
для периода малых колебаний физического маятника (2.11.4) можно переписать в виде
√ .
2. Два связанных математических маятника
Пусть есть два одинаковых математических маятника длиной l
(массы грузов маятников m), связанных пружиной с небольшой
жесткостью k (рис. 2.11.2). Тогда движение первого маятника будет
влиять на движение второго и наоборот.Рассмотрим подробно малые колебания такой системы.
Рис. 2.11.2
116
На каждый из маятников, кроме силы тяжести, будет действовать сила упругости со стороны пружины F1или F2, причем эти силы равны по модулю и противоположны по направлению: F1 = F2.
Обозначим расстояние вдоль осей маятника от точек подвеса до
мест крепления пружины h. Положение каждого из маятников будем описывать углом его отклонения от вертикали 1 и 2 (см.
рис. 2.11.2). Тогда моменты сил тяжести относительно осей z1 и z2,
соответственно, определяются соотношениями аналогичными
(2.11.2), а моменты сил упругости равны:
,
(2.11.6)
причем по величине сила упругости линейно зависит от углов отклонения обоих маятников (см. рис. 2.11.2):
(2.11.7)
F1x F2 x kh sin 2 sin 1 kh 2 1 ,
где, как и прежде, предполагается, что происходят малые колебания, т.е. φ << 1.
Используя уравнение (2.11.3), запишем систему уравнений движения для двух связанных математических маятников в проекции
на оси z1 и z2, соответственно:
2
2
ml 1 mgl1 kh 2 1 ,
(2.11.8)
2
2
ml
mgl
kh
.
2
2
2
1
kh 2
Перегруппируя члены в (2.11.8), и вводя обозначение 2 2 ,
ml
получим:
2
2
1 0 1 1 2 ,
(2.11.9)
2
2
2 0 2 1 2 .
В каждое из уравнений (2.11.9) входят две неизвестные функции
времени 1 и 2, поэтому для их решения удобно ввести новые переменные 1 1 2 и 2 1 2 . Тогда переменные разделятся, и уравнения (2.11.9) перепишутся в виде
2
1 0 1 0,
(2.11.10)
2
2
2
0.
2
0
2
117
Оба уравнения системы (2.11.10) представляют собой уравнения
гармонических колебаний с частотами
и
√
,
соответственно. Их решения имеют стандартный вид:
1 t A1 cos 1t 1 ,
(2.11.11)
2 t A2 cos 2t 2 .
причем константы A1, A2, 1, 2 определяются начальными условиями.
Вернувшись к переменным 1 и 2, получим результирующие
решения уравнения движения связанных маятников:
A1
A2
1 t 2 cos 1t 1 2 cos 2t 2 ,
(2.11.12)
t A1 cos t A2 cos t .
1
1
2
2
2
2
2
Таким образом, колебания двух связанных маятников могут
быть представлены как наложение двух гармонических колебаний
с собственными частотами 1 и 2. Как будет показано далее, системе можно задать такие начальные условия, что вся она будет
совершать гармонические колебания с одной из этих частот. Эти
два колебания носят название нормальных колебаний, а их частоты
– нормальных частот системы. Если же начальные условия произвольны и не совпадают с условиями нормальных колебаний, то
движение системы будет иметь вид биений.
Рассмотрим отдельно перечисленные три варианта движения
связанных маятников.
1. Нормальные колебания с частотой 1.
Для возбуждения таких колебаний, например, можно сместить
маятники в одну и ту же сторону на один и тот же малый угол 0 и
отпустить без сообщения начальной скорости. Это соответствует
начальным условиям:
1 0 2 0 0 ,
1 0 2 0 0.
118
(2.11.13)
Подстановка (2.11.13) в (2.11.12) дает следующие значения
констант: A1 = 20, A2 = 0, 1 =2 = 0. Следовательно, решение
имеет вид
(2.11.14)
1 t 2 t 0 cos 1t .
Таким образом, действительно наблюдаются колебания системы с
нормальной частотой 1.
2. Нормальные колебания с частотой 2.
Для возбуждения таких колебаний, например, можно сместить
маятники в противоположные стороны на один и тот же малый
угол 0 и отпустить без сообщения начальной скорости. Это соответствует начальным условиям:
1 0 2 0 0 ,
(2.11.15)
1 0 2 0 0.
Подстановка (2.11.15) в (2.11.12) дает следующие значения
констант: A1= 0, A2 = 20, 1 = 2 = 0. Следовательно, решение
имеет вид
,
(2.11.16)
т.е. действительно наблюдаются колебания системы с нормальной
частотой ω2 ω02 22 .
Отметим также, что поскольку связь маятников в установке, используемой в работе, слабая (пружина малой жесткости), то
. Таким образом, для второй нормальной частоты 2 может
быть использовано упрощенное выражение:
2
ω2 ω02 22 ω0
,
(2.11.17)
ω0
т.е. вторая нормальная частота больше первой на малую величину.
3. Колебания в режиме биений.
В общем случае колебания представляют собой биения. Например, если первый маятник в начальный момент времени сместить
на малый угол 0, а второй – удерживать в исходном положении, и
119
затем их одновременно отпустить без сообщения начальной скорости, начальные условия будут иметь вид
1 0 0 , 2 0 0,
(2.11.18)
1 0 2 0 0.
Подстановка (2.11.18) в (2.11.12) дает следующие значения
констант: A1=A2 = 0, 1 = 0,2 = . Следовательно, решение имеет
вид
0
0
1 t 2 cos 1t 2 cos 2t ,
(2.11.19)
t 0 cos t 0 cos t .
1
2
2
2
2
Преобразуя сумму и разность косинусов, окончательно получим:
1 2
2 1
1 t 0 cos 2 t cos 2 t ,
(2.11.20)
t sin 1 2 t sin 2 1 t .
0
2
2
2
Учитывая, что вторую нормальную частоту можно переписать в
виде (2.11.17), выражения для полусуммы и полуразности нормальных частот имеют вид:
2
0
0
0
2
1
0 ,
2
2
(2.11.20a)
2
0
0
2 1
2
0
0 ,
2
2
20
т.е. действительно соотношения (2.11.20) описывают биения с частотой
2
б 2 1
.
(2.11.21)
0
На рис. 2.11.3 приведены характерные зависимости угла отклонения первого и второго маятников от времени при колебаниях
120
системы в режиме биений. Из рисунка видно, что действительно
каждый из маятников совершает биения. Кроме того, биения маятников смещены по времени друг относительно друга на половину
периода биений, т.е. когда один из мятников останавливается, второй колеблется с максимальной амплитудой.
Отсюда следует простой метод измерения периода биений.
Непосредственно измеряя время между моментами последовательной остановки первого и второго маятников, получим половину
периода биений.
Рис. 2.11.3
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для изучения связанных систем представляет собой
два математических маятника, которые соединены пружиной. Схема установки представлена на рис. 2.11.2.
Маятники конструктивно представляют собой длинный тонкий
металлический стержень, на конце которого укреплен массивный
металлический цилиндр. Поскольку реальный маятник лишь приближенно можно считать математическим, в качестве его длины l
следует использовать приведенную длину реального физического
маятника. Соответствующее значение приведено в таблице в конце
описания работы. Там же приведена масса маятника.
Каждый стержень снабжен держателем для пружины. Его положение можно регулировать, используя риски, нанесенные на стержень через каждые 2,5 см. Первая сверху риска отстоит от оси маятника на 10 см. Рекомендуемый диапазон значений h − от 10 до
40 см с шагом 5 см.
121
Крепление пружины к стержню маятника осуществляется с помощью муфты, на центральной части которой есть отверстие.
Муфта закрепляется на стержне с помощью винта. При изменении
положения муфты следует закрепить ее так, чтобы отметка (риска)
на стержне была видна посередине отверстия. При таком способе
закрепления погрешность величины h составляет h = 1,0 мм.
Для измерения периода колебаний системы в работе используется электронный секундомер. Приборная погрешность секундомера tпр = 0,01с. Если был измерен период T, то соответствующую
частоту и ее погрешность можно рассчитать по формулам:
.
(2.11.22)
Процедура исследования колебаний связанных маятников в
данной работе сводится к следующему.
1. Сначала путем задания соответствующих начальных условий
(см. введение) запускаются колебания с первой нормальной частотой. Измеряется соответствующий период колебаний, и по формуле (2.11.22) вычисляется частота ω1 ω0 .
2. Затем запускаются колебания со второй нормальной частотой.
После измерений периода колебаний по формулам (2.11.22) рассчитывается соответствующая частота 2. Согласно выражению
(2.11.17)
2
kh 2
ω0 2 ,
ω 2 ω0
(2.11.23)
ω0
ml ω0
т.е. частота линейно зависит от квадрата величины h, определяющей положение точки крепления пружины.
Таким образом, если снять зависимость h2, построить ее график и определить угловой коэффициент k1, то он будет следующим
образом зависеть от параметров установки:
k
(2.11.24)
k1 2 ,
ml ω0
Если известны масса грузов маятников и их длина, то можно экспериментально определить жесткость пружины:
k k1ml 2 ω0 .
(2.11.25)
122
Погрешность величины k, рассчитанной по формуле (2.11.25),
определяется соотношением
2
k
2
2
2
k
2l m 0 k1
. (2.11.26)
k
l m 0 k1
3. В заключительной части работы исследуются биения
системы, для этого маятники запускаются путем задания
соответствующих начальных условий (см. введение).
Как показано ранее, частота биений определяется соотношением
(2.11.21), следовательно
2
kh 2
ωб
2 ,
(2.11.27)
ω0 ml ω0
т.е. частота б (как и вторая нормальная частота) линейно зависит
от квадрата величины h. Поэтому, если снять зависимость бh2,
построить ее график и определить угловой коэффициент, то он будет равен k1, удовлетворяющему соотношению (2.11.24). Таким
образом, полученная зависимость аналогично предыдущему может
служить для определения неизвестного параметра установки −
жесткости пружины.
ПРАВИЛАТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. При изменении положения точек крепления пружины не допускайте ее излишнего растяжения. Смещайте держатели пружины
не более чем на две риски за один раз!
2. Не отклоняйте маятники от положения равновесия на угол
превышающий 10º. Не допускайте, чтобы при движении маятники
сталкивались.
3. Следите, чтобы колебания маятников происходили в одной
плоскости.
123
ЗАДАНИЕ
Изучение связанных маятников
1. Запишите в лабораторный журнал массу и приведенную длину маятников.
2. Визуально пронаблюдайте три режима колебаний системы:
колебания с первой нормальной частотой, колебания со второй
нормальной частотой и биения. Для этого поочередно запустите
систему соответствующим образом (см. введение).
3. Запустите колебания системы с первой нормальной частотой
(см. введение). С помощью секундомера измерьте время десяти
колебаний маятника. Повторите измерения еще четыре раза. Результаты запишите в лабораторный журнал в заранее подготовленную табл. 2.11.1.
Таблица 2.11.1
10T1, с
T1, с
T1, с
1, с−1
1, с−1
4. Установите положение креплений пружины на расстоянии
h = 10 см от оси маятника (первая риска сверху). Внимание! Если
необходимо переместить крепление пружины на большое расстояние (больше двух рисок), выполняйте это пошагово по
1−2 риски, чтобы не растянуть пружину!
5. Запустите колебания системы со второй нормальной частотой
(см. введение).С помощью секундомера измерьте время десяти
колебаний маятника 10T2. Повторите измерения еще 4 раза. Результаты запишите в заранее подготовленную табл. 2.11.2.
6. Повторите измерения согласно п. 5 для других положений точек крепления пружины, каждый раз увеличивая h на 5 см (каждая
вторая риска), пока не дойдете до значения h= 40 см (т.е. всего семь
разных значений h).
124
Таблица 2.11.2
№
h, см
1
10
2
15
…
…
h2, м2
10T2, с
T2, с
T2, с
2, с-1
2, с−1
…
…
…
…
…
…
7. Запустите колебания системы в режиме биений. Для этого отведите из положения равновесия, например, левый маятник, а правый удерживайте в положении равновесия. Затем отпустите маятники без толчка, и одновременно запустите секундомер. В ходе колебаний системы через некоторое время левый маятник остановится, а правый в этот момент будет иметь максимальную амплитуду.
В этот момент остановите измерение времени. Так будет измерена
половина периода биений Tб/2. Повторите измерения еще 4 раза.
Результаты запишите в заранее подготовленную табл. 2.11.3.
Таблица 2.11.3
№
h, см
1
40
2
35
…
…
h2, м2
Tб/2, с
Tб, с
Tб, с
б, с-1
б, с-1
…
…
…
…
…
…
125
8. Повторите измерения согласно п. 7 для других положений точек крепления пружины, каждый раз уменьшая h на 5 см (каждая
вторая риска), пока не дойдете до значения h = 10 см (т.е. всего
семь разных значений h).
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Рассчитайте первую нормальную частоту и ее погрешность с
помощью формул (2.11.22).
2. Рассчитайте для каждого значения h: величину h2, вторую
нормальную частоту и частоту биений, а также их погрешности с
помощью формул (2.11.22).
3. Постройте на отдельных листах графики зависимостей второй
нормальной частоты и частоты биений от квадрата расстояния h.
Определите методом парных точек угловые коэффициенты графиков.
4. По формулам (2.11.25) и (2.11.26) вычислите коэффициент
жесткости пружины и его погрешность, отдельно для каждого из
угловых коэффициентов.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключении к работе укажите основные особенности колебаний связанных маятников в условиях колебаний с первой и второй
нормальными частотами и в режиме биений.
Приведите рассчитанную первую нормальную частоту.
Приведите графики зависимости второй нормальной частоты и
частоты биений от квадрата расстояния h, их угловые коэффициенты и рассчитанные с их помощью коэффициенты жесткости пружины. Сравните полученные значения с табличным значением.
Табличные значения
Коэффициент жесткости пружины
Масса одного маятника
Приведенная длина маятника
2,5 Н/м
483 2 г
586,0 1,0 мм
126
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое физический и математический маятник?
2. При каких условиях реальный маятник можно считать математическим?
3. Как определяются частота и период колебаний математического маятника?
4. Чем принципиально отличаются колебания системы из двух
связанных маятников от колебаний одного маятника?
5. Что такое нормальные колебания и нормальные частоты?
6. От чего зависят нормальные частоты колебаний двух связанных математических маятников?
7. Как экспериментально определить нормальные частоты?
8. В каком режиме колеблются маятники, если колебания не являются нормальными?
9. Как создается слабая связь маятников в установке?
10. Как правильно запустить маятники, чтобы они колебались с
первой или второй нормальными частотами?
11. Как запустить систему, чтобы наблюдались колебания в режиме биений?
12. Как зависит частота первой и второй нормальных частот от
расстояния от точек крепления пружины до соответствующих осей
маятников?
13. Как зависит частота биений от расстояния от точек крепления пружины до соответствующих осей маятников?
14. Как в работе определяется коэффициент жесткости пружины?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука, 1998.
2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория
базовых знаний, 2001.
127
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I. Механика. М.: Физматлит, 2006.
128
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
Работа 2.21
ПОЛУЧЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ВАКУУМА
Цель: изучить работу вакуумных насосов и установок; научиться измерять низкие давления газа специальными манометрами.
Оборудование: установка для получения и измерения вакуума,
включающая в себя форвакуумный ротационный насос; диффузионный паромасляный насос; образцовый манометр; термопарный и
ионизационный датчики давления; вакуумметр ионизационнотермопарный ВИТ-2.
ВВЕДЕНИЕ
Вакуумом называется состояние газа,при котором длина свободного пробега молекул превышает размеры сосуда, в котором находится газ. Когда давление газа уменьшается настолько, что длина
свободного пробега молекул оказывается больше размеров сосуда,
поведение газа меняется. В частности, коэффициенты внутреннего
трения и теплопроводности обнаруживают зависимость от давления.
Особенности вакуума могут проявиться и при атмосферном давлении, например при пропускании газа через пористые перегородки с
размером пор около 107 см. Но в большинстве случаев свойства вакуума проявляются, начиная с давлений 1÷103 мм рт. ст.
Вакуумные насосы
Вакуум может быть получен в достаточно герметичных установках (стеклянных или металлических) с помощью специальных насосов. Предварительное разрежение до 103 мм рт. ст. обычно создается с помощью форвакуумных насосов (рис. 2.21.1).
Рабочая полость насоса представляет собой цилиндрическую камеру 6, в которой вращается ротор 5, расположенный эксцентрично
по отношению к камере. В роторе высверливаются полости для
смещения центра тяжести к оси вращения.
130
Рис.2.21.1
Пластина 3 скользит вдоль прореза в стенке камеры 6 и при этом
плотно прижимается к внешней поверхности ротора рычагом 2.
Процесс откачки происходит следующим образом. Положение I −
ротор находится в исходном состоянии. Положение II − ротор подвинулся вниз, в камере 6 создается разрежение со стороны впускного отверстия 1. Положение III − происходит дальнейшее всасывание газа из вакуумной системы и выход сжатого газа через выпускное отверстие. Положение IV совпадает с начальным положением I.
Ротор вращается со скоростью несколько сотен оборотов в минуту. Места соприкосновения внутренней поверхности цилиндрической камеры 6 с ротором 5 и пластиной 3 должны быть хорошо смазаны. Для этого вся рабочая часть насоса помещается в коробку, в
которую наливается масло. Насосы такого типа называют ротационными масляными насосами.
Для создания разрежения газа от 103 до 107 мм рт. ст. в вакуумных установках последовательно с насосами, создающими
предварительное разрежение, включаются пароструйные насосы
(рис. 2.21.2). Принцип действия этих насосов основан на использовании откачивающего действия струи пара рабочей жидкости.
Струя пара, образовавшегося в подогреваемом испарителе 1, проходит через паропровод 2 в сопло 5, после чего оказывается в объеме,
соединенном с патрубком 6 предварительного вакуума.
131
Молекулы газа, продиффундировавшие из
откачиваемой системы через впускное отверстие 4, адсорбируются парами рабочей жидкости и вместе со струей пара уносятся к основанию насоса. Здесь пары конденсируются вследствие охлаждения корпуса насоса водой, циркулирующей в водяной рубашке 3. В результате
конденсации паров адсорбирующая поверхность резко уменьшается, что приводит к освобождению адсорбированных молекул газа, которые поступают в выходной патрубок 6.
Рис. 2.21.2
Чтобы диффузионный насос мог действовать, требуется предварительный вакуум порядка 102 мм рт. ст. При таком вакууме средний свободный пробег молекулы газа уже достаточно велик для того, чтобы происходила
диффузия газа в струю пара и молекулы пара могли без столкновений достигать холодных стенок насоса и конденсироваться.
Рис. 2.21.3
Для предотвращения попадания в откачиваемый объем паров рабочей жидкости за пароструйным насосом устанавливается специальная ловушка (ловушки разных конструкций представлены на
рис. 2.21.3). Ловушка включается в вакуумную систему через вводы
1 и 2, в нее наливают жидкий азот, и пары рабочей жидкости пароструйного насоса вымораживаются на охлажденной поверхности.
Вакуум от 107 до 1011 мм рт. ст. может быть получен с помощью
ионных насосов, а также специальных поглотителей (геттеров).
132
Манометры для измерения низких давлений
(вакуумметры)
В зависимости от степени разрежения газа вакуум измеряется
вакуумметрами различных типов. Для измерения давления от сотен
миллиметров до десятых долей миллиметра ртутного столба применяется образцовый вакуумметр (ВО). Если в установке атмосферное давление, то указатель образцового вакуумметра располагается на отметке «0»; при давлении порядка долей мм рт. ст. указатель устанавливается на максимальном делении шкалы.
Рис. 2.21.4
Рис. 2.21.5
Рис. 2.21.4
Рис. 2.21.5
Измерение давлений от 10 до 10 мм рт. ст. производится с помощью термопарного манометра (рис. 2.21.4), соединяемого с установкой патрубком 1. Его действие основано на том, что температура
нити нагревателя 2, помещенной в манометрическую лампу ЛТ, при
достаточном разрежении газа зависит от давления. В диапазоне давлений, где длина свободного пробега молекул больше размеров лампы, с понижением давления уменьшается коэффициент теплопроводности воздуха. Из-за этого с понижением давления растет температура нити нагревателя при неизменном токе, протекающем через
нить. Температура нити регистрируется помощью термопары 3,
133
присоединенной к милливольтметру. Нагреватель питается от источника тока через сопротивление 4. В цепь нагревателя включен
миллиамперметр. Каждый экземпляр термопарной манометрической
лампы имеет свое значение рабочего тока нагревателя, определяемое
в ходе первого подключения данной лампы к установке. Это значение указано на корпусе лампы, вмонтированной в вакуумную установку, и должно быть установлено перед началом измерений регулятором рабочего тока, находящимся на передней панели прибора
ВИТ-2 (или ВИТ-1). Значения термоЭДС, вырабатываемые термопарной манометрической лампой (до 10 мВ), определяются по шкале
милливольтметра, смонтированного на лицевой панели прибора
ВИТ-2 (или ВИТ-1). Показания милливольтметра переводятся в значения давления (в миллиметрах ртутного столба) с помощью градуировочного графика, содержащегося в приложении к описанию работы, выдаваемом студентам дежурными сотрудниками лаборатории.
Давления от 103 до 107 мм рт. ст. измеряются с помощью ионизационного манометра. Лампа этого манометра (рис. 2.21.5) представляет собой триод, на сетку 2 которого подан положительный
потенциал относительно катода 3 (обычно от +120 до +150 В). К
коллектору 1 подан отрицательный потенциал (от 10 до 30 В). Основная часть эмиттируемых катодом электронов пролетает сквозь
сетку; электроны отражаются полем коллектора и, прежде чем попасть на сетку, совершают многочисленные колебания около нее.
При этом происходит интенсивная ионизация молекул воздуха. Образовавшиеся положительные ионы улавливаются коллектором. Отношение регистрируемого гальванометром ионного тока к электронному, измеряемому миллиамперметром, характеризует давление газа. Таким образом, измерение давления газа сводится в этом случае к
измерению ионного тока при заданной эмиссии электронов из катода.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Вакуумная установка, используемая в данной работе (рис. 2.21.6),
включает основные элементы применяемых в настоящее время
134
Рис. 2.21.6
вакуумных систем. Предварительное разрешение создается форвакуумным насосом 8, присоединенным к установке гибким вакуумным шлангом 7, надетым на патрубок трехходового крана 6. С помощью этого крана можно соединить насос с установкой или с атмосферой.
Последовательно с форвакуумным насосом включен диффузионный паромасляный насос 3 с ловушкой 2, охлаждаемой жидким азотом. Между насосами расположен форвакуумный баллон 5, позволяющий в случае необходимости кратковременно выключать форвакуумный насос, не выключая диффузионного, так как его объем
снижает скорость нарастания давления на выходе диффузионного
насоса при выключенном форвакуумном насосе.
Для измерения давления в установке предусмотрен образцовый
вакуумметр 4, а также лампы ЛТ и ЛМ термопарного и ионизационного манометров. Измерительные схемы этих манометров сблокированы в одном приборе ВИТ-2 (или ВИТ-1). Вакуум создаётся в баллоне 1.
ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Поскольку вакуумная система изготовлена из стекла, следует
прикасаться к её частям осторожно, избегая резких движений. Рукоятку трёхходового крана 6 вращать медленно и осторожно, не прилагая чрезмерных усилий.
135
Перед включением форвакуумного насоса поставить трехходовой
кран 6 в положение, в котором насос отсечен от атмосферы и от вакуумной системы. Запрещается включатьфорвакуумный насос, когда
он соединён с атмосферой.
После выключения и остановки форвакуумного насоса обязательно следует поворотом рукоятки трехходового крана 6 соединить
насос с атмосферой.
Запрещается включать нагреватель диффузионного паромасляного насоса, если показание термопарного манометра менее 2 мВ.
Запрещается выключать форвакуумный насос при работающем
(разогретом) диффузионном насосе.
При переливании жидкого азота в азотную ловушку не допускать
соприкосновений стеклянного сосуда Дьюара с корпусом ловушки.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Ознакомление с вакуумной установкой и приборами
для получения и измерения вакуума
1. Ознакомиться с устройством вакуумной установки и определить соответствие между схемой, изображенной на рис.2.21.6, и самой установкой.
2. Осмотреть макет двухступенчатого форвакуумного насоса и,
вращая ротор, проследить действие насоса при откачке газа.
3. Разобрать и собрать макет диффузионного паромасляного
двухступенчатого насоса и объяснить принцип его действия.
4. Изучить правила работы с вакуумметром ВИТ-2 (или ВИТ-1),
изложенные в приложении. Не включая питания вакуумметра, освоить порядок включения термопарного и ионизационного манометров.
Изучение откачивающего действия
форвакуумного насоса
С помощью образцового вакуумметра определить давление в
установке. Если установка откачана, подать воздух до атмосферного
давления, плавно и с небольшими усилиями поворачивая кран 6 (см.
рис. 2.21.6). При повороте, кроме того, рекомендуется фиксировать
136
корпус крана рукой. Поставить трёхходовой кран в нейтральное положение (т.е. отсоединить установку от форвакуумного насоса).
Включить форвакуумный насос, соединить его трёхходовым краном
с установкой.
Снять зависимость давления в установке от времени работы
форвакуумного насоса с момента его подключения к установке.
Давление измерять первоначально по образцовому манометру.
В начале откачки давление в установке падает очень быстро, поэтому отсчёты давления по вакуумметру ВО следует производить
как можно чаще.
Когда давление достигнет 1−2 мм рт. ст., для дальнейшего измерения включить термопарный манометр согласно инструкции, содержащейся в приложении к описанию работы, выдаваемому дежурными сотрудниками лаборатории. Промежутки времени междуизмерениями выбирают так, чтобы фиксировать примерно одинаковые изменения давления. Поэтому при быстром изменении
давления показания манометра снимают через малые промежутки
времени, а при малых изменениях давления промежутки времени
между отсчётами увеличивают.
Откачку установки производить до предельного разрежения, создаваемого форвакуумным насосом, т.е. до тех пор, пока давление
не перестанет изменяться.
Изучение откачивающего действия
диффузионного паромасляного насоса
1. Включить охлаждение водяной рубашки диффузионного насоса. Убедившись в том, что давление в установке не превышает
102 мм рт. ст., включить нагреватель 7 диффузионного насоса (см.
рис. 2.21.2). Следует иметь в виду, что от момента включения нагревателя диффузионного насоса до его выхода на рабочий режим (т.е.
до закипания масла) проходит время порядка 20 мин. В течение этого времени может произойти незначительное повышение давления в
установке из-за выделения газов из масла при его нагревании. Зато
после начала работы диффузионного насоса давление в установке
начнет сравнительно резко уменьшаться, и в течение считанных минут показание термопарного манометра вырастет до его предельного
137
значения (10 мВ). Поэтому необходимо следить за давлением в установке по термопарному манометру, чтобы не пропустить этот важный для выполняемой работы момент.
Когда давление в установке достигнет 103 мм рт. ст. (10 мВ по
термопарному манометру), включить накал лампы ЛМ-2 ионизационного манометра на «Прогрев» согласно инструкции. Давление
ниже 103 мм рт. ст. измеряют ионизационным манометром. По достижении давления примерно 5104 мм рт. ст. в ловушку следует,
строго соблюдая правила техники безопасности, залить жидкий азот
из сосуда Дьюара.
2. Снять зависимость давления в установке от времени работы
диффузионного насоса с момента его включения.
Выключение вакуумной установки
После достижения предельного разрежения в установке выключить нагреватель диффузионного насоса и вакуумметры. Циркуляцию воды в рубашке охлаждения не прекращать до полного остывания насоса. При комнатной температуре процесс остывания
насоса длится не менее получаса. Убедившись в том, что диффузионный насос остыл, отсоединить установку от форвакуумного
насоса с помощью трёхходового крана.
Прекращение откачки установки форвакуумным насосом при
работающем диффузионном насосе и тем более контакт последнего
в рабочем состоянии с атмосферой недопустимы. При таком контакте произойдет окисление рабочей жидкости кислородом воздуха, что сразу же выведет насос из строя.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Постройте единый график зависимости десятичного логарифма
давления в установке (выраженного в мм рт. ст.) от времени откачки при работе разных насосов и разных манометров. По оси абсцисс откладывайте время отсчитанное от момента соединения
установки с форвакуумным насосом трёхходовым краном 6. На
этом едином графике укажите участок, где работал один форвакуумный насос, укажите момент включения нагревателя диффузионного насоса, укажите участок незначительного повышения давле138
ния в установке при разогреве масла в диффузионном насосе до
выхода его на рабочий режим. Укажите на графике участок сравнительно резкого уменьшения давления в установке после начала
эффективной работы диффузионного насоса.
Укажите на едином графике зависимости lgP(t) участки, где
давление измерялось образцовым вакуумметром, термопарным манометром, ионизационным манометром.
Напишите заключение по выполненной работе, руководствуясь
стандартным планом (что делалось, каким методом, каковы полученные результаты, как эти результаты соотносятся с результатами
других авторов, взятыми из учебной, справочной или научной литературы).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Из каких основных элементов состоит вакуумная установка?
2. Как устроен и работает ротационный форвакуумный насос?
3. Опишите работу диффузионного пароструйного насоса. Почему он не может работать баз предварительного разрежения?
4. Почему диффузионный пароструйный насос не может работать
баз предварительного разрежения?
5. Для чего в вакуумной системе устанавливают азотную ловушку?
6. Опишите принцип действия термопарного манометра. Каковы
пределы измеряемых этим прибором давлений?
7. Опишите принцип действия ионизационного манометра. Каковы пределы измеряемых этим прибором давлений?
8. Какие свойства газа и как изменяются при понижении давления?
9. Оцените число молекул газа в 1 см3 при давлении 10−6 мм.
рт. ст. и комнатной температуре.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2005.
139
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Розанов Л.Н. Вакуумная техника: учебник для вузов. 3-е изд.
М.: Высшая школа, 2007.
140
Работа 2.22
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА
( ВАРИАНТ 1)
Цель: изучить явление теплопроводности в газах и измерить коэффициент теплопроводности воздуха.
Оборудование: закрепленная на штативе и закрытая с двух сторон трубка, по оси которой натянута никелевая проволока; источник
постоянного тока (ИПТ); магазин сопротивлений; миллиамперметр;
гальванометр; пульт управления.
ВВЕДЕНИЕ
Если температура заключенного в сосуд газа зависит от координат, в газе возникают процессы, приводящие к выравниванию температуры. Обычно среди этих процессов наибольшую роль играет
конвекция, при которой легкий теплый газ стремится подняться
вверх, а на его место опускаются массы более холодного газа. Конвекция не возникает, если: 1) температура газа повышается с высотой; 2) объем газа невелик; 3) объем разбит на небольшие каналы
или ячейки. В последнем случае возникновению конвекционных
потоков мешает вязкость.
Если перепад температур или объем увеличивать постепенно, то
можно заметить момент, когда возникает конвекция (она всегда
возникает скачкообразно).
При отсутствии конвекции процесс переноса тепла замедляется,
но не прекращается. Он происходит благодаря теплопроводности
газа, связанной с тепловым движением молекул. Выравнивание
температуры происходит при этом вследствие непрерывного перемещения «горячих» и «холодных» молекул, происходящего в процессе их теплового движения и не сопровождающегося макроскопическим движением. В работе рассматривается именно такой механизм теплопередачи.
141
Связь потока тепла с перепадом температур описывается следующей формулой:
𝑄 = −𝜅𝑆
𝑑𝑇
𝑑𝑥
,
(2.22.1)
где Q − поток тепла через поверхность S, ориентированную нормально к оси Х, вдоль которой направлен градиент температуры Т;
− коэффициент теплопроводности. Знак «минус» означает, что поток тепла направлен в сторону меньшей температуры.
Применим уравнение (2.22.1) к задаче с осевой симметрией,
иными словами, рассмотрим два длинных коаксиальных (соосных)
цилиндра, пространство между которыми заполнено газом, коэффициент теплопроводности которого необходимо измерить. Температуры поверхностей и радиусы внутреннего и внешнего цилиндров
соответственно равны T1 , R1 , T2 , R2 .
На рис. 2.22.1 показано поперечное сечение этих цилиндров. В качестве внутреннего цилиндра может служить натянутая металлическая нить.
Представим себе, что нить окружена цилиндрической оболочкой радиуса r. Тогда,
если L − длина цилиндра, поверхность
Рис. 2.22.1
оболочки
S = 2πrL.
(2.22.2)
Теперь (2.22.1) принимает вид
𝑄 = −2π𝑟𝐿κ
𝑑𝑇
.
(2.22.3)
Так как цилиндр считается длинным, т.е. радиус цилиндра много
меньше его длины, то утечкой тепла через торцы цилиндра пренебрегаем по сравнению с утечкой тепла через боковую поверхность
цилиндра.
Уравнение (2.22.3) справедливо для любого R1 r R2 , причем
его левая часть − постоянная величина, не зависящая от радиуса.
Уравнение (2.22.3) можно решить методом разделения переменных:
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑟
=−
142
2πκ𝐿
𝑄
𝑑𝑇.
(2.22.4)
Интегрируя левые и правые части, получаем
𝑟
𝑇
𝑅1
𝑇1
𝑑𝑟
2πκ𝐿
∫
∫ 𝑑𝑇,
=−
𝑟
𝑄
откуда
ln
2 L
r
(T T1 ).
R1
Q
(2.22.5)
В частном случае, при r R2 , (2.22.5) принимает вид
𝑅
ln 𝑅2 =
1
2πκ𝐿
𝑄
(𝑇1 − 𝑇2 ).
(2.22.6)
Из (2.22.5) следует, что температура в пространстве между цилиндрами связана с координатой r следующей зависимостью:
T T1
r
Q
ln .
2L R1
График этой зависимости представлен
на рис.2.22.2.
Выражение (9.6) можно использовать
для вычисления , если известны длина
цилиндра L, радиусы нити R1 и цилинРис. 2.22.2
дра R2 , разность температур поверхностей нити и цилиндра T T1 T2 и поток тепла Q:
𝜅=
𝑄ln(𝑅2 /𝑅1 )
.
(2.22.7)
Нить можно нагревать электрическим током, а изменение ее температуры по сравнению с комнатной Т определять по изменению
сопротивления нити. После установления стационарного режима
тепловой поток Q можно принять равным мощности электрического
тока, выделяющейся в нити.
143
2π𝐿Δ𝑇
Следует иметь в виду, что вблизи поверхностей цилиндра и нити
нарушается температурное распределение, показанное на рис. 2.22.2.
Это обусловлено тем, что на границе твердого тела и газа передача
тепла происходит иначе, чем между слоями газа. Размер области
аномального распределения температуры и длина свободного пробега молекулы имеют одинаковый порядок. Следовательно, можно
считать, что при атмосферном давлении температура слоя воздуха, прилегающего к нити, равна T1 , а прилегающего к стенке
цилиндра − T2 .
Температуру нити T1 можно определить, измеряя ее сопротивление. Температура стенок цилиндра T2 практически равна комнатной.
Описание установки
Структурная схема установки представлена на рис. 2.22.3. Это −
обычный электрический мост, одно плечо которого − никелевая
нить, другое − магазин сопротивлений МСР-63, предназначенный
для измерения сопротивления нити.
Рис. 2.22.3
Нить изготовлена из никеля, так как он имеет максимальный температурный коэффициент сопротивления. Три других резистора мо144
ста − МСР-63, R1 , R2 − изготовлены из материалов с минимальным
температурным коэффициентом.
Резисторы моста R1 и R2 , а также ограничительный резистор R3,
предназначенный для предохранения элементов моста от повреждения слишком большим током, размещены в пульте управления. Там
же расположены элементы управления чувствительностью гальванометра Г, позволяющие постепенно повышать чувствительность
гальванометра и тем самым предохранять его от повреждения. Гальванометр включается в цепь только при нажатии и удержании в
нажатом состоянии одной из кнопок на пульте.
ВНИМАНИЕ! Во избежание повреждения гальванометра кнопки
нажимать только последовательно, слева направо, балансируя при
этом мост магазином сопротивлений на минимальное отклонение
стрелки гальванометра от нуля.
Ток, протекающий через мост, измеряется миллиамперметром.
Все сопротивления моста при малых токах (при ненагретой нити) с
достаточно большой точностью равны между собой, поэтому ток
через нить равен
I I полн / 2,
(2.22.8)
где Iполн − ток, измеряемый миллиамперметром. Сопротивление нити
при любых токах равно сопротивлению магазина.
При комнатной t1 и более высокой t 2 температурах для сопротивления нити можно написать
Rн1 R0 (1 αt1 ), Rн2 R0 (1 αt2 ),
где R0 − сопротивление нити при t = 0 ºC. Исключив из этих двух
уравнений R0 , найдем
t2 t1 T
Rн2 Rн1
(1 α t1 ).
Rн1 α
(2.22.9)
Таким образом, определяется значение T, которое входит в
формулу (2.22.7). Поток тепла, равный мощности, выделяемой на
нити, с учетом (2.22.8) и Rн2 Rн1 определится как
Q
I2
Rн1 .
4
145
Поэтому из (2.22.7) следует
I 2 Rн1 ln( D2 / D1 )
κ
8πLT
(2.22.10)
и, окончательно, из (2.22.9) и (2.22.10)
2
I2
Rн1
α ln( D2 / D1 )
κ
.
R Rн1 8πL(1 αt1 )
(2.22.11)
Второй множитель в (2.22.11) − постоянная, определяемая параметрами установки и условиями работы; R Rн2 ; t1 − температура в
лаборатории в градусах Цельсия; D2 , D1 и L− соответственно диаметры цилиндра, нити и длина цилиндра. Эти значения приводятся
на лабораторной установке; Rн1 − сопротивление нити при I 0
(при комнатной температуре), R − сопротивление нити при соответствующем токе I.
ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Не подавать на никелевую нить напряжения, превышающие
рекомендованные в данной работе значения.
2. Не совершать резких движений, чтобы не повредить стеклянный цилиндр – важный конструкционный элемент установки.
3. В остальном соблюдать правила, озвученные в ходе инструктажа по технике безопасности на первом лабораторном занятии данного семестра.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Измерить комнатную температуру и записать ее.
2. Ручку регулировки выходного напряжения источника постоянного тока поставить на нуль, после чего включить источник.
3. Этой ручкой установить минимальный ток через систему I min ,
значение которого приведено на лабораторном столе.
4. Нажав левую кнопку «Чувствительность» (минимальная чувствительность), декадами магазина сопротивлений добиться воз146
вращения стрелки гальванометра на нуль. После этого нажать
среднюю кнопку и снова добиться возвращения стрелки гальванометра на нуль. Наконец, проделать эту операцию при максимальной чувствительности моста (правая кнопка). Сумма показаний декад магазина даёт сопротивление нити.
Занести эти показания, а также соответствующее значение тока
в табл. 2.22.1, в графу «R».
Примечание. На этих установках работа производится практически с тремя декадами: омы, десятые ома, сотые ома.
5. Разделить диапазон рабочих токов от I min до I max (значения
приведены на установке) так, чтобы получить не менее 8−10 значений токов.
Таблица 2.22.1
№
п/п
1
2
3
I, A
I2, A2
R, Ом
R, Ом
R, Ом
6. Повышать ток от I min до I max , устанавливая взятые в п.5 значения и измеряя при этом согласно п.4 сопротивление нити R. Заполнить графу «R» таблицы. Измерение сопротивления нити R
производить не менее чем через 20−30 с после установки соответствующего тока I.
7. При достижении I max произвести измерение R, выждать
1−2 мин, а затем повторить это измерение и начать производить измерения R при уменьшении тока и при тех же его значениях. Заполнить при этом графу «R» таблицы.
Примечание. Соответствующие значения R и R должны отличаться не более чем на несколько сотых ома. Если это не так, то в процессе измерений произошло изменение окружающих условий (изменилась температура в лаборатории,
возник сквозняк и т.д.). Тогда следует повторить измерения, следя за постоянством окружающих условий.
147
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Заполнить графу R, беря среднее арифметическое R и R.
2. Построить график зависимости R( I 2 ) . Этот график при
R Rн1 представляет собой прямую. Продолжить график до значения I 2 0 и определить Rн1 .
I2
( А 2 / Ом ) − «коR Rн1
тангенс» угла наклона. Определить Rн1 и k.
4. По формуле (2.22.11) вычислить .
5. Оценить погрешность измерения по формулам
3. По графику определить значение k
2
Rн1 α L
κ
2
k
4
δ[ln( D2 / D1 )] ,
κ
k
Rн1 α L
2
2
2
где
2
2
D1 D2
D D
1 2
δ[ln( D2 / D1 )]
.
ln( D2 / D1 )
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Написать заключение по работе, в котором указать, что измерялось (изучалось) в данной лабораторной работе, каким методом.
Привести полученное в работе значение коэффициента теплопроводности воздуха с погрешностью. Сравнить полученное значение с
табличным значением (т.е. со значением, полученным другими авторами и приведённым в учебной и справочной литературе). В случае,
если табличное значение не попадает в полученный в работе доверительный интервал, обсудить возможные причины отмеченного расхождения.
148
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему длина цилиндра должна быть намного больше поперечных размеров?
2. В чем различие между конвекционным переносом тепла и
теплопроводностью?
3. Что представляет собой конвекция?
4. Происходит ли конвекция в условиях невесомости?
5. В каких единицах измеряется коэффициент теплопроводности
в системе СИ?
6. Можно ли проводить измерения, если все плечи моста изготовлены из никелевой проволоки?
7. Можно ли по формуле (2.22.10) вычислять коэффициент теплопроводности для давлений, при которых длина свободного пробега молекулы сравнима с радиусом цилиндра?
8. Почему нельзя температуру нити доводить до величины порядка 103 К?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003.
2.. Анализ и представление результатов эксперимента / Под редакцией Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Т.II. Термодинамика
и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2005.
149
Работа 2.22а
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА
( ВАРИАНТ 2)
Цель: изучить явление теплопроводности в газах и измерить
коэффициент теплопроводности воздуха.
Оборудование: крепежная панель; измерительная ячейка; электрический нагреватель; датчики напряжения, тока и температуры;
источник постоянного напряжения; USB-концентратор; персональный компьютер с соответствующим программным обеспечением;
соединительные кабели и провода.
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа отличается от работы 2.22 конструкцией экспериментальной установки.
Теоретическое введение, контрольные вопросы и список литературы следует изучить по описанию лабораторной работы 2.22 в
настоящем учебном пособии.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Экспериментальная установка для измерения коэффициента
теплопроводности воздуха, используемая в настоящем варианте
работы, по принципу действия сходна с установкой в работе 2.22.
Отличие состоит в том, что внутренним (нагреваемым) цилиндром
служит не никелевая проволока, а кварцевый цилиндр, содержащий
электрический нагревательный элемент. Разность температур внутреннего и наружного цилиндров определяется не по сопротивлению никелевой проволоки, а измеряется непосредственно с помощью термопарного датчика температуры.
Общий вид установки для измерения коэффициента теплопроводности воздуха представлен на рис. 2.22а.1. На панели 1 укреплена измерительная ячейка 2, представляющая собой два коаксиальных цилиндра, в зазоре между их стенками находится воздух,
теплопроводность которого измеряется в данной работе.
150
Рис. 2.22а.1
151
Во внутреннем цилиндре смонтирован электрический нагреватель, с помощью которого можно задавать температуру этого цилиндра.
Питание нагревателя обеспечивается источником постоянного
напряжения 3, на передней панели которого расположены клавиша
включения прибора, регуляторы выходного напряжения и максимального выходного тока, а также вольтметр и амперметр для индикации выходного напряжения и тока. Напряжение непосредственно на нагревателе и ток, текущий через нагреватель, измеряются соответствующими датчиками, закрепленными на панели
установки. Разность температур внутреннего и наружного цилиндров измеряется хромель-копелевой термопарой, термоЭДС от которой подается на датчик температуры. Во всех перечисленных
датчиках аналоговые входные сигналы преобразуются в цифровые
коды, которые через USB-концентратор подаются на один из USBпортов компьютера (на рисунке не показан). Специальное программное обеспечение позволяет наблюдать на экране монитора
временные зависимости и считывать значения напряжения на
нагревателе, тока через нагреватель и разности температур внутреннего и наружного цилиндров.
Задача экспериментатора в данной работе – создание стационарного режима теплопередачи от внутреннего цилиндра к наружному, т.е. получение такого состояния, когда при постоянном тепловыделении в нагревателе внутреннего цилиндра разность температур внутреннего и наружного цилиндров остается неизменной.
Зная мощность тепловыделения в нагревателе (которая в стационарном режиме равна потоку тепла в зазоре между цилиндрами) и
разность температур цилиндров, можно вычислить коэффициент
теплопроводности воздуха (см. далее).
.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Запрещается устанавливать напряжение на нагревателе больше значений, указанных в настоящем описании.
2. После окончания измерений следует установить нулевое значение выходного напряжения источника (поворотом рукоятки регулятора против часовой стрелки до упора) и выключить источник
напряжения нажатием клавиши на его передней панели.
152
ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ ИЗМЕРЕНИЙ
При подготовке к работе начертите в лабораторном журнале
таблицу для записи результатов измерений (табл. 2.22а.1).
Таблица 2.22а.1
№
п/п
U,
В
I,
А
ΔТ,
К
Q = I∙U,
Вт
Примечания
1
2
3
…
…
…
…
…
…
В колонках этой таблицы U – напряжение на нагревателе (в
вольтах), I – ток через нагреватель (в амперах), ΔТ – разность температур внутреннего и внешнего цилиндров (в кельвинах),
Q = I∙U – поток тепла от внутреннего цилиндра к наружному, равный мощности тепловыделения в нагревателе (в ваттах).
Таблица должна содержать семь строк для записи результатов
измерений и расчетов.
ВЫПОЛНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Убедитесь, что компьютер лабораторной установки включен
и программа, обслуживающая выполнение данной работы, загружена и готова к работе. Признаком готовности программы является
наличие на экране монитора трех прямоугольных панелей, каждая
из которых представляет собой координатную сетку для построения графика зависимости от времени одной из измеряемых величин
(напряжения, тока, разности температур).
Внимание! Если описанной картинки на экране нет, обратитеь к
дежурному сотруднику лаборатории с просьбой загрузить программу.
2. Внимательно осмотрите изображение на экране. Обратите
внимание, что правая панель предназначена для индикации напряжения на нагревателе, левая – для тока через нагреватель, средняя –
для разности температур внутреннего и наружного цилиндров.
153
3. Убедитесь, что регулятор напряжения на панели источника
(нижняя рукоятка) повернут против часовой стрелки до упора (при
этом источник выдает нулевое напряжение).
4. Включите источник напряжения нажатием клавиши на его
передней панели.
5. Рукоятку регулятора предельного тока (верхняя рукоятка) поверните по часовой стрелке до упора.
Необходимо иметь в виду следующее. При фиксированном
напряжении на нагревателе стационарный режим теплопередачи от внутреннего цилиндра к внешнему устанавливается весьма медленно (в течение десятков минут). Для
ускорения процесса рекомендуется действовать следующим
образом: установить напряжение, превышающее требуемое
на 0,5 В, некоторое время нагревать внутренний цилиндр в
«форсированном» режиме, после чего понизить напряжение
до требуемого значения и дождаться стационарного режима
(когда разность температур цилиндров перестает зависеть
от времени).
6. Найдите в верхней части картинки на экране монитора, где
расположены инструменты управления работой программы, круглую кнопку, окрашенную в зеленый цвет (кнопка «Пуск»), и щелкните по ней левой кнопкой «мыши». Этим действием будет запущена программа измерения и индикации напряжения, тока и разности температур. На всех трех панелях на экране программа будет
красным цветом строить (в реальном времени) графики временной
зависимости напряжения, тока и разности температур. В начале
процесса все эти величины имеют нулевые значения.
7. Поворотом нижней рукоятки на панели источника установите
выходное напряжение источника равным 1,5 В (напряжение отображается на нижнем индикаторе). Обратите внимание, что в левом
нижнем углу панели на экране, «ответственной» за напряжение,
также появилось числовое значение, близкое к 1,5 В.
8. В течение примерно 10 мин наблюдайте за ростом разности
температур (на средней панели).
154
9. Поворотом нижней рукоятки на источнике уменьшите напряжение до 1,0 В и подождите около 5 мин (разность температур перестанет изменяться).
10. Запишите в табл. 2.22а.1 значения напряжения U, тока I и
разности температур ∆Т, считав их с экрана монитора (в левых
нижних углах соответствующих панелей).
11. Выполните пп. 7−10 для напряжений 1,5, 2,0, 2,5, 3,0, 3,5,
4,0 В. Не забывайте при каждом измерении стачала устанавливать напряжение на 0,5 В больше требуемого, после 10-минутной
выдержки возвращаться к требуемому напряжению и еще после
5-минутной выдержки считывать и записывать значения напряжения, тока и разности температур.
12. После окончания последнего измерения уменьшите напряжение до нуля и выключите источник напряжения.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для всех значений напряжения на нагревателе, при которых
выполнены измерения разности температур, вычислите значения
мощности тепловыделения в нагревателе (произведения тока и
напряжения), полученные значения запишите в соответствующую
колонку табл. 2.22а.1.
2. На листе миллиметровки постройте график зависимости разности температур ΔТ от мощности Q. На графике отложите погрешности экспериментальных точек, используя в качестве абсолютных погрешностей непосредственно измеренных величин (ΔТ,
U, I) единицу младшего разряда значений, считанных с экрана монитора. В идеале график должен получиться прямолинейным, на
практике может наблюдаться разброс экспериментальных точек.
3. Методом парных точек определите угловой коэффициент k
прямой, которую можно провести через экспериментальные точки,
и погрешность этого углового коэффициента. (О методе парных
точек см. пособие под редакцией Н.С. Вороновой «Анализ и представление результатов эксперимента», НИЯУ МИФИ, 2015).
155
4. Из формулы (2.22.6) в теоретическом введении к работе 2.22
следует
𝑄
𝑅2
∆𝑇 =
ln ,
2πκ𝐿 𝑅1
т.е. угловой коэффициент графика зависимости ΔТ = f(Q) равен
𝑅2
1
ln ,
𝑘=
2πκ𝐿 𝑅1
откуда коэффициент теплопроводности воздуха может быть вычислен по формуле
κ=
1
2π𝑘𝐿
𝑅
ln 2 .
𝑅1
(2.22а.1)
В силу вида формулы (2.22а.1) относительные погрешности величин κ и k равны друг другу: δκ = δk.
Используя полученное ранее значение углового коэффициента k
и его абсолютную погрешность Δk найдите по формуле (2.22а.1)
коэффициент теплопроводности воздуха κ и оцените его погрешность.
При вычислениях используйте следующие размеры цилиндров:
d1 = 2R1 = 16,0 ± 0,2 мм; d2 = 2R2 = 21,0 ± 0,2 мм;
L = 300,0 ± 0,5 мм.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по выполненной работе, в котором укажите, что и каким методом измерялось, приведите полученное значение коэффициента теплопроводности воздуха с погрешностью,
укажите источник экспериментальной погрешности. Сравните полученное вами значение со значением, известным из литературы
(табличным значением). Если табличное значение не попадает в
полученный вами доверительный интервал, прокомментируйте
возможные причины такого расхождения.
156
Работа 2.23
ИЗУЧЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Цель: изучить теплопроводящие свойства стекла, дерева и пенопласта; измерить коэффициенты теплопроводности этих материалов.
Оборудование: установка для измерения теплопроводности; пластины из стекла, дерева и пенопласта; четыре термопары; два цифровых термометра; секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
Опыт показывает, что если поместить систему из нескольких тел,
первоначально имеющих различные температуры, в замкнутую
адиабатическую оболочку, т.е. изолировать их от внешних тел, то
по прошествии некоторого времени все тела, входящие в систему,
будут иметь одинаковую температуру и далее эта температура не
будет меняться. Такое состояние системы называется состоянием
термодинамического равновесия, процесс выравнивания температуры в системе – релаксацией, а время, за которое он произойдет, –
временем релаксации.
В случае, если система является открытой, т.е. она находится в
тепловом контакте с другими телами (не входящими в систему) и
содержит в себе источники тепла, то в ней могут возникнуть состояния, в которых тела, ее составляющие, имеют различную температуру или одно и тоже тело имеет неоднородное по его объему распределение температуры. Если такое состояние не меняется со временем, т.е. температура каждого физически бесконечно малого объема
системы остается постоянной, то принято говорить, что система
находится в состоянии динамического равновесия. Подчеркнем, что
установившееся динамическое равновесие исчезает, если рассматриваемую термодинамическую систему изолировать и удалить из нее
источники тепла.
157
Пусть объем и форма тел, входящих в рассматриваемую термодинамическую систему, в ходе ее релаксации не меняются, тогда
тела не совершают работы друг над другом, поэтому, согласно первому началу термодинамики, изменение их внутренней энергии (а
следовательно, и изменение температуры) происходит только посредством обменом тепла, т.е. передачи энергии от одного тела к
другому (или от одних частей одного тела к другим).
Перераспределение тепла между различными телами или между
участками одного и того же тела без совершения работы называется
теплопередачей. Существует три различных механизма теплопередачи (в зависимости от среды, находящейся между телами или частями тел, между которыми идет перераспределение энергии): теплопроводность, конвекция и излучение.
Теплопроводность – процесс передачи энергии от одного участка
тела к соседнему участку тела, от атомов, имеющих большую энергию, к атомам, имеющим меньшую энергию, в ходе столкновений (в
жидкостях и газах) или в ходе их непосредственного взаимодействия
в кристаллической решетке.
В жидкостях и газах в случае неоднородного нагрева кроме
обычной теплопроводности возможно возникновение макроскопических потоков, приводящих к перемешиванию жидкости или газа и
поэтому к более быстрому (по сравнению с обычной теплопроводностью жидкости или газа) нагреву. Такой механизм теплопередачи
называется конвекцией.
Кроме того, любое нагретое тело излучает и поглощает электромагнитные волны, которые взаимодействуют с другими телами, входящими в термодинамическую систему. Таким образом, даже тела,
отделенные друг от друга вакуумной прослойкой, могут обмениваться энергией, испуская и поглощая электромагнитные волны, т.е.
через излучение. Если температура тела – порядка комнатной, то тело излучает электромагнитные волны, в основном, в инфракрасном
диапазоне. При больших температурах (порядка тысяч градусов)
нагретое тело начинает светиться, т.е. испускать электромагнитные
волны оптического диапазона.
В качестве основных величин, характеризующих передачу энергии от одного тела к другому (или от одного участка тела к другому),
принято использовать поток теплоты и плотность потока теплоты.
158
Потоком теплоты q, идущим от тела или некоторого рассматриваемого выделенного объема тела, называется энергия, переносимая
в единицу времени через замкнутую поверхность, окружающую тело
или ограничивающую выделенный объём, т.е.
q
dE
.
dt
(2.23.1)
Из определения потока теплоты следует, что он зависит от размеров и формы тела, от материала, из которого тело сделано, и, вообще
говоря, энергия, которая в виде тепла исходит от тела, в разных точках пространства переносится в различных направлениях. Таким
образом, поток теплоты представляет собой характеристику всего
тела. В практических целях удобнее использовать локальную векторную величину – плотность потока теплоты.
Плотностью потока теплоты j называется вектор, который в
каждой точке тела направлен в сторону передачи энергии и равный
по модулю энергии dE, которая в единицу времени dt проходит через
площадку единичной площади ds , перпендикулярную направлению потока, т.е.
dE
j
.
(2.23.2)
dt ds
Для теплопроводности был экспериментально установлен закон,
связывающий поток тепла в однородном теле с локальной температурой T соответствующего участка тела:
(2.23.3)
j T ,
где – коэффициент теплопроводности; знак «минус» указывает на то,
что энергия течет (тепло переносится) в направлении обратном
градиенту температуры, т.е. в сторону ее уменьшения (от более
нагретых участков тела к менее нагретым).
Выражение (2.23.3) носит название закона Фурье.
Коэффициент
теплопроводности
представляет
собой
характеристику вещества, из которого состоит тело. Для любого
вещества коэффициент теплопроводности является функцией
температуры. Для химических чистых веществ и простых соединений
коэффициенты теплопроводности для широкого диапазона
температур приведены в справочной литературе.
159
В настоящей работе изучается теплопроводность неметаллических
материалов (дерева, стекла и пенопласта) при температурах, близких к
комнатной. T = 20−60 °C. В таких условиях коэффициенты
теплопроводности перечисленных материалов можно считать не
зависящими от температуры.
Рассмотрим плоскопараллельую стенку толщиной d из
теплопроводящего материала с коэффициентом теплопроводности .
Пусть эта стенка разделяет два больших объема, наполненных
воздухом при температурах T3 и T4 (рис. 2.23.1). Для определенности
предположим, что T3 > T4. Тогда если температура воздуха в объемах
будет поддерживаться постоянной, то через некоторое время в
системе установится динамическое равновесие. Стенка при этом
нагреется таким образом, что ее границы будут иметь некоторые
температуры T1 и T2. Опыт показывает, что для температур воздуха в
объемах и температур поверхностей стенки будет выполнятся
неравенство T3 > T1 > T2 > T4.
Рис. 2.23.1
Так как в рассматриваемом участке теплопроводящей стенки нет
источников и стоков тепла, плотность потока тепла будет одинакова
как внутри нее, так и в объемах воздуха ее окружающих (см.
рис. 2.23.1).
Направим ось x перпендикулярно поверхностям стенки. Пусть
стенка занимает пространство с кординатами x 0, d (см.
рис. 2.23.1). Запишем для нее закон Фурье (2.23.3):
dT
j jex
ex .
(2.23.4)
dx
160
Так как плотность потока тепла в условиях рассматриваемой
системы постоянна, т.е. j const , то, интегрируя уравение (2.23.4),
получим
j
(2.23.5)
T x const x,
т.е. температура внутри стенки является линейной функцией
координаты x.
С другой стороны, в случае линейной зависимости температуры
от координаты, учитывая, что температуры правой и левой границ
стенки равны T1 и T2 соответственно, выражение (2.23.5) может быть
переписано в виде
T T
T x T1 1 2 x.
(2.23.6)
d
Сравнивая выражения (2.23.5) и (2.23.6), получим соотношение,
связывающее плотность потока тепла в стенке с разностью температур на ее границах:
T T
j 1 2 .
(2.23.7)
d
Рассмотрим распределение температуры вне стенки. Так как система находится в состоянии динамического равновесия, то распределение температуры непрерывно, т.е. для любого значения координаты
x функция T(x) непрерывна. Однако процесс выравнивания температуры в воздухе из-за наличия конвекции происходит гораздо быстрее,
чем выравнивание температуры между поверхностью стенки и воздухом. Поэтому для практических целей удобно считать, что воздух
находится в равновесии при температуре T4, а на границе стенкавоздух имеется скачок температуры T2 T4 .
Опыт показывает, что для небольшой разности температур стенки и воздуха (как в условиях настоящей работы) это предположение
выполняется. Для количественного описания переноса тепла через
границу при выполнении указанных условий хорошо подходит закон теплопередачи Ньютона, связывающий плотность потока тепла
через границу с разностью температур по обе стороны от нее:
j T2 T4 ,
(2.23.8)
где – коэффициент теплопередачи.
Коэффициент теплопередачи в случае естественного комнатного
движения воздуха при небольшой разности температур на границе
161
стенки можно считать одинаковым для любого из используемых в
работе материалов. Значение коэффициента теплопроводности приведено в таблице в конце описания работы.
Таким образом, если измерить температуры на поверхностях
стенки и в обоих объемах воздуха окружающих стенку известной
толщины d, то, используя выражения для плотности потока тепла
внутри стенки (2.23.7) и на ее поверхности (2.23.8), можно вычислить коэффициент теплопроводности материала стенки:
T T
(2.23.9)
d 2 4 .
T1 T2
В заключение приведем выражение для расчета относительной
погрешности коэффициента теплопроводности материала, рассчитанного по формуле (2.23.9):
2
2
2
2
d 2T 2T
, (2.23.10)
d T2 T4 T1 T2
где , d и T – абсолютные погрешности соответствующих величин.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В настоящей работе используется установка, представленная на
рис. 2.23.2. Установка состоит из теплоизолированного ящика 1 со
сменными стенками 2. Среди сменных стенок есть панели, выполненные из дерева (фанера из лиственницы) разной толщины, стекла и пенопласта.
Рис. 2.23.2
162
Внутри ящика установлен нагреватель с электронным регулятором
температуры, который управляется с приборной панели 3. При установке определенного положения ручки на панели 3 нагреватель повысит температуру воздуха в ящике до определенного значения и будет
поддерживать ее постоянной.
Ящик имеет теплоизолированную крышку 4, которая закреплена
четырьмя винтами. Крышка служит для замены панелей стенок и
установки термопар внутри ящика.
Для измерения температуры в различных точках системы служат
четыре термопары 5, подсоединенные попарно к двум электронным
термометрам 6, выполненным на основе миникомпьютера «Кобра 4».
Термопары жестко прикреплены к поверхностям стенок. Для проведения термопар внутрь ящика на его вертикальных ребрах сделаны
теплоизолированные отверстия. Также к установке прилагается электронный секундомер – для измерения времени.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Убедитесь, что все детали установки достаточно далеко расположены от края рабочего стола. Стеклянные панели могут соскользнуть со стола и разбиться.
Не перегибайте провод термопары! Это может привести к его
поломке и выходу измерителя температуры из строя.
При открытом ящике не прикасайтесь к металлическому кожуху
нагревателя внутри него. Это может привести к ожогу.
Ни в коем случае не пытайтесь самостоятельно настраивать миникомпьютеры «Кобра 4»!
ЗАДАНИЕ
Измерение коэффициентов теплопроводности стекла,
дерева и пенопласта
На крышке установки прочитайте, теплопроводность каких стенок
можно измерить с помощью данной установки. Запишите в лабораторный журнал толщину и материал этих стенок.
Закройте ящик крышкой и завинтите все четыре винта, не прилагая
излишних усилий.
С помощью термометра на стене лаборатории измерьте температуру воздуха в комнате T4. Результат занесите в лабораторный журнал.
163
Включите оба электронных термометра однократным нажатием
клавиши зеленого цвета. Включите нагреватель и с помощью вращающегося регулятора установите четыре деления на его шкале.
На протяжении часа измеряйте температуру по каждой из термопар с интервалом 5 мин. Для переключения дисплея электронного
термометра от одной термопары к другой используйте стрелочки
«вверх» или «вниз». В принципе можно не переключаться от одной
термопары к другой, так как на экране каждого электронного термометра одновременно показаны обе температуры: одна – крупным
шрифтом, а другая – мелким. Разъемы термопар на каждом электронном термометре подписаны «T1» и «T2». Такие же обозначения имеют термопары на экране электронного термометра.
Если некоторое время не нажимать на кнопки электронного термометра, он автоматически отключится для экономии питания. Поэтому если экран цифрового термометра потух, просто включите его
снова. На показаниях термометра это никак не скажется.
За указанное время эксперимента исследуемая термодинамическая
система должна перейти в состояние динамического равновесия, т.е.
температуры, измеряемые термопарами, должны перестать изменяться. Если этого не произошло за один час, продолжайте измерения, пока температуры всех стенок не перестанут изменяться (возможны изменения температуры в несколько десятых градуса). Результаты измерений записывайте в заранее подготовленную табл. 2.23.1.
Таблица 2.23.1
Стенка № 1
Материал:
d
Т1, ᵒС
t, мин
…
…
Т2, ᵒС
Стенка № 2
Материал:
d
Т1, ᵒС
t, мин
Т2, ᵒС
…
…
…
…
С помощью термометра на стене лаборатории еще раз измерьте
температуру воздуха в комнате T4. Результат занесите в лабораторный
журнал.
Выключите нагреватель. Отверните винты, удерживающие крышку ящика, и откройте ее, чтобы установка остывала. Выключите электронные термометры однократным нажатием на зеленую кнопку.
164
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
По результатам табл. 2.23.1 постройте графики зависимости температуры поверхностей обоих стенок от времени на одном листе.
Сделайте вывод о времени установления динамического равновесия и о соотношении коэффициентов теплопроводности пенопласта и
дерева.
По графикам для каждой панели определите температуры внутренней и наружной поверхностей стенок (т.е. T1 и T2 соответственно),
когда система пришла в динамическое равновесие. Так как температура, которую показывают электронные термометры, даже в состоянии динамического равновесия испытывает малые колебания в пределах нескольких десятых градуса около среднего значения, по данным
из табл. 2.23.1 определите методом Корнфельда случайную погрешность полученных значений T1 и T2 для всех панелей.
Рассчитайте среднее значение температуры окружающего ящик
воздуха T4 и его погрешность.
По полученным данным, используя формулы (2.23.8) и (2.23.9),
для материала каждой панели рассчитайте коэффициент теплопроводности и его погрешность.
Если была использована установка с двумя панелями из одного и
того же материала (например, двумя фанерными панелями разной
толщины), то усредните полученные значения коэффициентов теплопроводности и рассчитайте его погрешность.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ
В заключении к работе должны быть представлены графики зависимости температуры обеих поверхностей обеих стенок от времени.
Также нужно привести рассчитанные значения коэффициентов теплопроводности материала для обеих стенок, если они выполнены из
разных материалов. В случае стенок из одного материала должно
быть приведено одно значение коэффициента теплопроводности.
Необходимо сравнить полученные значения коэффициентов теплопроводности исследуемых материалов с табличными значениями и
сделать вывод о причинах, вносящих систематическую ошибку в результаты работы при использовании установки такой конструкции.
165
ТАБЛИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Коэффициент теплопередачи
Вт
при естественном движении
𝛂 = 𝟖, 𝟏
м
∙К
воздуха в комнате
Коэффициенты теплопроводности
Вт
Фанера из лиственницы
𝛋 = 𝟎, 𝟏𝟒
м∙К
Пенопласт плотностью
Вт
𝛋 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟕
15 30 кг м3
м∙К
Вт
Оконное стекло
𝛋 = 𝟎, 𝟓𝟑
м∙К
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое динамическое равновесие?
2. Что такое теплопередача? Какие существуют виды теплопередачи?
3. Какие основные физические величины используются в качестве характеристик передачи тепла?
4. Сформулируйте закон Фурье. Почему в векторной записи закона стоит знак «минус»?
5. От чего зависит коэффициент теплопроводности?
6. Что такое внешняя теплопередача? Сформулируйте закон
Ньютона. При каких условиях он выполняется?
7. Как зависит температура в плоскопараллельной однородной
стенке от координат при фиксированных температурах ее поверхностей?
8. Если стенка находится в состоянии динамического равновесия,
как связан коэффициент теплопроводности материала стенки с температурами ее границ с воздухом?
9. Из каких основных деталей состоит установка?
10. Каким образом и в каком месте панели нужно закрепить термопары и почему?
11. Когда нужно прекратить измерения с выбранной первоначально парой панелей?
12. Каким образом для выбранной панели в работе определяются
температуры T2 и T3, необходимые для расчета коэффициента теплопроводности материала панели?
166
13. Как измерить температуру воздуха в комнате?
14. Как вы думаете, почему в работе не предлагается измерять
температуру воздуха внутри ящика?
15. Какие источники систематических ошибок могут присутствовать в настоящей работе?
16. Исходя из табличных данных, теплопроводность какого материала будет измерена в данной установке с минимальной точностью?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003. С. 175–179, 188–191.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. С. 165–168.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под
ред. Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006. С. 334–343.
2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1981.
С. 363–365, 385–386.
167
Работа 2.24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПОРИСТЫХ ТЕЛ ПО ИЗОТЕРМЕ АДСОРБЦИИ
Цель: определить удельную поверхность пористых тел методом
адсорбции газов.
Оборудование: установка для исследования процессов адсорбции, содержащая форвакуумный насос; сорбционные весы; катетометр; образцовый манометр; нагреватель; сосуд Дьюара.
Введение
Как показывает опыт, истинная поверхность тел, кажущихся
гладкими, во много раз больше поверхности, вычисленной из геометрии тела. Величину истинной поверхности, отнесенную к его
массе, называют удельной поверхностью. Особенно большой удельной поверхностью обладают сильно измельченные и пористые тела.
К числу высокопористых тел относятся активированный (особым
образом обработанный древесный) уголь и силикагель (частично
обезвоженный гель кремниевой кислоты H2SiO3).
Истинная поверхность твердых тел может быть определена различными методами. Одним из сравнительно простых и наиболее
надежных является метод адсорбции газов, который в последнее
время находит всё более широкое применение при физикохимических исследованиях.
Газы или пары, соприкасающиеся с твердым телом, частично им
поглощаются. Это явление называется сорбцией. Поглощенные молекулы газа (пара) проникают внутрь твердого тела или удерживаются на его поверхности. Первое явление называется абсорбцией
(или окклюзией), второе – адсорбцией. В настоящей работе рассматривается только адсорбция.
Твердое тело, адсорбирующее газ или пар, называется адсорбентом. Большинство адсорбентов являются высокопористыми телами
с исключительно большой внутренней поверхностью.
168
Явление адсорбции обусловлено силами взаимодействия между
атомами и молекулами. Молекула газа, приблизившись к поверхности твердого тела, попадает в сферу действия этих сил и может
быть удержана вблизи поверхности.
Силы, удерживающие молекулы газа на поверхности твердого
тела, могут иметь такую же природу, как и силы, связывающие атомы в молекуле. В этом случае адсорбция носит название химической
адсорбции или хемосорбции. Если силы, обусловливающие взаимодействие между молекулами газа и адсорбентом, аналогичны силам
взаимодействия между молекулами газа (силы Ван-дер-Ваальса),
адсорбция называется физической. В дальнейшем речь идет только о
ней.
Силы Ван-дер-Ваальса очень быстро убывают с увеличением
расстояния, поэтому силовое поле адсорбента может удерживать
только один слой газовых молекул, т.е. происходит мономолекулярная адсорбция. Очень часто молекулы газа, адсорбированные на
поверхности, способны адсорбировать второй слой молекул, который в свою очередь может адсорбировать третий слой и т.д. В результате поверхность адсорбента покрывается несколькими слоями
молекул – наблюдается полимолекулярная адсорбция.
Поглощение газа адсорбентом может возникнуть в результате
процесса, называемого капиллярной конденсацией. Упругость насыщенного пара над вогнутой поверхностью меньше, чем над плоской.
Жидкость, смачивающая стенки, имеет в капиллярах вогнутую поверхность. Поэтому в очень узких порах может происходить процесс
конденсации при давлениях, значительно меньших упругости насыщенного пара над жидкостью в обычных условиях.
Таким образом, при адсорбции газов и паров твердыми телами
наблюдается мономолекулярная и полимолекулярная адсорбция и
капиллярная конденсация.
Если адсорбент и какой-либо газ (пар) привести в соприкосновение при неизменных условиях, то установится равновесное состояние, отвечающее определенному количеству адсорбированного вещества. Количество газа m1, адсорбированное единицей массы адсорбента при установившемся равновесии, является функцией температуры, давления, природы адсорбента и адсорбированного вещества. В данном случае имеется в виду как химический состав
169
адсорбента, так и его физическая структура: размеры его поверхности, размеры и форма пор.
Для данного газа и адсорбента масса газа, адсорбированного при
равновесии единицей массы адсорбента, является функцией только
двух переменных – давления и температуры: m1 f ( p, T ) .
При неизменном давлении количество адсорбированного вещества сильно возрастает с понижением температуры. График зависимости m1 f (T ) при p const называется изобарой адсорбции. На
рис. 2.24.1 даны изобары адсорбции аммиака на древесном угле.
Рис. 2.24.1
Кривая, изображающая зависимость количества адсорбированного вещества от давления при постоянной температуре, т.е. график
функции m1 f ( p) при T const , называется изотермой адсорбции.
На рис. 2.24.2 изображены изотермы адсорбции аммиака на древесном угле. При малых давлениях количество адсорбированного
вещества увеличивается пропорционально давлению. Затем рост
замедляется, и при достаточно большом давлении (тем большим,
чем выше температура) количество адсорбированного вещества не
изменяется. Изотермы такого вида наблюдаются при мономолекулярной адсорбции.
170
Рис. 2.24.2
Адсорбция прекращается после того, как вся поверхность адсорбента покроется молекулами адсорбированного вещества.
Если удерживаемый адсорбентом слой молекул может в свою
очередь адсорбировать данный газ (т.е. при полимолекулярной
адсорбции), получаются так называемые S-образные изотермы
(рис. 2.24.3).
Рис. 2.24.3
Подобные изотермы в области малых давлений выпуклы, в области высоких давлений вогнуты, а в промежуточной области пря171
молинейны. В целом изотерма напоминает перевернутую букву S,
чем и объясняется ее название.
Экспериментальные данные указывают на то, что покрытие адсорбента первым слоем молекул заканчивается в точке В, являющейся началом прямолинейного участка изотермы. Таким образом,
сняв изотерму адсорбции и определив на ней положение точки В,
можно найти массу газа, покрывающего одним слоем молекул всю
поверхность адсорбента.
Площадь S1, занимаемую одной молекулой, можно оценить исходя из предположения, что молекулы на поверхности адсорбента упакованы так же плотно, как в соответствующей жидкости или твердом теле.
В единице объема (1 см3) жидкости или твердого тела содержится
NA/ молекул ( – плотность жидкости или твёрдого тела, − молярная масса, NA − число Авогадро). Следовательно, одна молекула
занимает объем V1 = /NA. Площадь, занимаемая одной молекулой
в поверхностном слое, очевидно, пропорциональна V12/3.
Количество молекул в мономолекулярном слое N = mNA/, где
NA – число Авогадро; – масса моля газа. Умножив это число на
площадь S1, занимаемую одной молекулой, получим площадь поверхности адсорбента
𝑚
𝑆 = μ 𝑁𝐴 𝑆1 .
(2.24.1)
Считая, что адсорбированные молекулы располагаются на поверхности адсорбента как плотно упакованные шары, можно из
геометрических соотношений найти
μ 2/3
μ 2/3
√3
) = 1,09 ( ) .
ρ𝑁A
√4 ρ𝑁A
𝑆1 = 3 (
(2.24.2)
Окончательно удельная поверхность адсорбента вычисляется по
формуле
𝑚 3 𝑁
𝑆уд = 1,09 𝑚 √μρА2 ,
где mад – масса адсорбента.
ад
172
(2.24.3)
Метод адсорбции является одним из самых точных (например,
по адсорбции азота площадь поверхности адсорбента может быть
определена с точностью до 20 %).
Количество адсорбированного вещества определяют либо объемным методом, измеряя объём газа, поглощаемого адсорбентом,
либо весовым методом, измеряя увеличение веса адсорбента. Весовой метод получил широкое распространение после того, как МакБэн применил для исследования адсорбции пружинные весы (сорбционные весы Мак-Бэна). Спиральная пружина весов была изготовлена из расплавленного кварца, обладающего весьма упругими
свойствами (плавленый кварц замечателен отсутствием остаточных
деформаций и ничтожным коэффициентом внутреннего трения). В
настоящей работе используется стальная пружина.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для исследования процессов адсорбции схематически
изображена на рис. 2.24.4.
Рис. 2.24.4
Она состоит из сорбционных весов, стеклянного форвакуумного
баллона ФБ и вакуумметра. Сорбционные весы представляют собой
длинную стеклянную трубку, закрывающуюся сверху стеклянным
шлифом Ш. К шлифу прикреплена стальная пружина, на которой
подвешена чашечка с адсорбентом − силикагелем. Растяжение пружины весов измеряется катетометром (см. приложение). Кран К1
соединяет установку с форвакуумным насосом ФН, кран К2 – с
173
атмосферой. Перед краном К2 установлен сосуд, наполненный силикагелем для осушения поступающего в установку воздуха.
Электрическая печь Э и стакан для сосуда Дьюара Д смонтированы на общей подставке, которая может перемещаться по вертикальной стойке.
Вакуумметр позволяет измерять давление в вакуумной установке до 760 мм рт. ст.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. После окончания откачки с прогревом перемещайте электрическую печь осторожно, не прикасайтесь к нагретым частям установки.
2. Соблюдайте правила обращения с жидким азотом, озвученные в ходе инструктажа по технике безопасности на вводном занятии в лаборатории.
3. Закончив измерения и удалив сосуд Дьюара с жидким азотом
от корзинки с силикагелем, не выключайте форвакуумный насос до
отогрева охлаждённой установки до комнатной температуры.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Получив разрешение преподавателя, включить форвакуумный
насос и через 1−2 мин поставить установку на откачку. Для этого
краном К2 соединить форвакуумный баллон ФБ с сорбционными
весами, затем осторожно повернуть кран К1 на установку.
2. Когда давление понизится до нескольких мм рт. ст., надвинуть печь на нижнюю часть сорбционных весов, т.е. на участок
трубки, где расположена чашечка с силикагелем. Закрепить печь на
штативе и включить нагрев.
3. Продолжать откачивать установку при включенной печи не
менее 30 мин для удаления с поверхности силикагеля адсорбированных на ней газов.
4. Поставить краны К2 и К1 в нейтральное положение, выключить
печь и снять её с трубки сорбционных весов. Выждать, пока стекло
охладится до комнатной температуры.
174
5. Налить немного жидкого азота в сосуд Дьюара, надвинуть его
на нижнюю часть сорбционных весов так, чтобы чашечка с силикагелем была полностью закрыта сосудом Дьюара. Укрепить на штативе сосуд Дьюара, долить жидкий азот почти доверху. По мере
выкипания азот необходимо подливать, следя за тем, чтобы уровень жидкости в течение всего эксперимента был у края сосуда
Дьюара. Это в известной мере обеспечит постоянную температуру
при снятии изотермы адсорбции.
6. Включить катетометр. Определить начальное положение указателя сорбционных весов.
7. При закрытом кране К1 осторожно и малыми порциями, слегка
приоткрывая кран К2, впустить порцию воздуха из атмосферы в баллон ФБ, затем – в трубку с адсорбентом. Давление в установке после
впуска не должно превышать 30 мм рт. ст.
Примечание. Следует учесть, что в результате адсорбции давление уменьшается примерно на 10 мм рт. ст. Если в баллон впущена слишком большая порция воздуха, то до открытия крана К2 на установку следует откачать воздух из баллона ФБ
насосом.
8. Измерить равновесное давление и соответствующее ему показание сорбционных весов. Перед снятием отсчёта следует выждать
(примерно 10 мин), когда давление в установке и показание весов
перестанут изменяться. Провести подобные измерения, постепенно
увеличивая давление в установке. По мере приближения к точке В на
изотерме адсорбции (см. рис. 2.24.3) следует уменьшать интервалы
изменения давления (до 10–20 мм рт. ст.), чтобы наиболее точно
определить момент окончания процесса мономолекулярной адсорбции. Для этого одновременно с записью наблюдений постройте на
листе миллиметровой бумаги график зависимости положения указателя сорбционных весов от давления.
9. Провести 3−4 измерения после окончания мономолекулярной
адсорбции. На графике они расположатся на прямолинейном и вогнутом участках изотермы.
10. Окончив измерения, краном К2 соединить сорбционные весы
с форвакуумным баллоном и откачать установку. Снять сосуд Дьюара с трубки сорбционных весов.
Ни в коем случае нельзя, закончив измерения, оставлять закрытым кран К2 при выключенном форвакуумном насосе, так как давле175
ние в установке вследствие десорбции воздуха может превысить атмосферное, в результате чего краны, а затем и установка выйдут из
строя.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Зная коэффициент упругости пружины сорбционных весов и
цену деления шкалы катетометра, из графика зависимости положения указателя сорбционных весов от давления определите массу
воздуха m, адсорбированного на поверхности силикагеля в виде мономолекулярного слоя. По массе адсорбента и плотности жидкого
воздуха рассчитайте удельную поверхность силикагеля.
2. Оцените погрешность полученного значения удельной поверхности.
Основной вклад в погрешность даёт неопределённость положения на изотерме (см. рис. 2.24.3) точки В, соответствующей окончанию мономолекулярной адсорбции. В силу малой кривизны изотермы точно указать начало линейного участка невозможно, можно
лишь указать отрезок кривой, на котором может лежать точка В. Положения концов этого отрезка и определяют погрешность массы адсорбированного воздуха m.
Погрешность удельной поверхности адсорбента вычисляется по
формуле
∆𝑚 3 𝑁
∆𝑆уд = 1,09 𝑚 √ A2 .
μρ
ад
(2.24.4)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, где укажите метод измерения
удельной поверхности, приведите полученное значение удельной
поверхности силикагеля. Сравните полученное вами значение со
значением из справочной литературы. Прокомментируйте различие
этих значений (если они имеют место).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение удельной поверхности вещества.
176
2. В каких единицах измеряется удельная поверхность?
3. Что такое адсорбция и абсорбция? Чем обусловлены эти явления?
4. Чем различаются химическая и физическая адсорбция?
5. Для чего перед началом измерений необходима длительная
откачка установки с нагретым силикагелем?
6. Почему при измерении массы адсорбированного воздуха
необходимо охлаждать адсорбент?
7. Почему при расчёте удельной поверхности адсорбции используется плотность жидкого, а не газообразного азота (воздуха)?
8. Как определить момент окончания мономолекулярной адсорбции?
9. Чем объяснить уменьшение массы адсорбированного вещества при повышении температуры адсорбента?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Грег С., Синг К. Адсорбция, удельная поверхность, пористость.
М.: Мир, 1984.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Оура К., Лифшиц В. Г., Саранин А.А. и др. Введение в физику
поверхности / Под ред. В. И. Сергиенко. М.: Наука, 2006.
177
ПРИЛОЖЕНИЕ
КАТЕТОМЕТР
Катетометр В-630 – прибор, предназначенный для определения размеров вертикальных отрезков на недоступных для непосредственного измерения объектах, расположенных на расстояниях
нескольких десятков сантиметров от объектива зрительной трубы
катетометра.
Рис. П2.24.1
Катетометр (рис. П2.24.1) состоит из вертикального штатива с колонкой 2 на треножнике, измерительной каретки 6, зрительной
трубы 8 с окуляром 4. Подъемными винтами 13 треножника колонку
можно устанавливать по круглому уровню 1 строго вертикально. С
помощью рукояток 11 колонку можно поворачивать вокруг вертикальной оси. Измерительная каретка 6, несущая зрительную трубу 8,
178
перемещается по колонке на шарикоподшипниках. Грубое перемещение каретки по вертикали осуществляется от руки при открепленном винте 5, точное − с помощью микрометрического винта 3 при
закреплённом винте 5.
Зрительная труба имеет фокусирующую линзу, с помощью которой осуществляется наводка на резкость изображения выбранных
точек измеряемого объекта. Фокусирующая линза перемещается
вращением маховичка 7.
Внизу на тубусе зрительной трубы укреплен цилиндрический
уровень 9. При совмещении изображений концов пузырька уровня
визирная ось принимает строго горизонтальное положение. Установка зрительной трубы в вертикальной плоскости по уровню производится микрометрическим винтом 10.
Наводка на резкость изображений масштабной сетки, штрихов
шкалы, измеряемого объекта и пузырька уровня, наблюдаемых в
одном поле зрения, производится окуляром 4.
Измерительная система катетометра состоит из зрительной трубы
и отсчетного микроскопа с осветительной системой. В фокальной
плоскости окуляра отсчетного микроскопа установлена масштабная
сетка (рис. П2.24.2), на которую специальным оптическим устройством проецируется миллиметровая шкала. Измерение расстояний
между двумя точками производится с помощью зрительной трубы и
отсчетного микроскопа путем сравнения измеряемой длины с миллиметровой шкалой.
Рис. П2.24.2
179
Перемещая каретку со зрительной трубой и отсчетным микроскопом по колонке вдоль миллиметровой шкалы, а также вращая
колонку вокруг вертикальной оси, направляют трубу на выбранные
точки объекта; отсчеты снимают через окуляр отсчетного микроскопа по шкале и масштабной сетке. Длины вертикальных отрезков
определяют как разность соответствующих отсчетов по шкале.
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ КАТЕТОМЕТРОМ
Трансформатор осветительной системы включают в сеть. Поле
зрения зрительной трубы имеет перекрестие (рис. П2.24.3), правый
горизонтальный штрих которого выполнен в виде углового биссектора. При наводке трубы выбранная точка объекта должна располагаться в правой половине углового биссектора на уровне горизонтального штриха. Окуляр зрительной трубы снабжен накатанным кольцом для установления резкого изображения сетки.
Рис. П2.24.3
В поле зрения отсчетного микроскопа одновременно видны
изображения двух штрихов миллиметровой шкалы, обозначенные
крупными цифрами, и масштабная сетка (см. рис. П2.24.2).
Порядок измерения легко уяснить из следующего примера. На
рис. П2.24.2 большой штрих располагается по масштабной сетке.
Целое число миллиметров определяется большой по размеру цифрой, соответствующей этому штриху, десятые доли миллиметров –
ближайшей цифрой слева над штрихом. Отсчет сотых и тысячных
долей миллиметра производится в горизонтальном направлении
сетки там, где миллиметровый штрих пересекает наклонные светлые линии. На рис. П2.24.2 миллиметровый штрих 162 находится
180
под цифрой 2 между третьим и четвёртым делениями сетки. Тогда
измерение можно записать равным 162,235 мм. Тысячные доли
миллиметра отсчитываются «на глаз» по положению штриха между вертикальными делениями сетки.
В процессе измерения данного отрезка азимутальная наводка
трубы (т.е. наводка трубы в горизонтальной плоскости) не должна
меняться.
Предельная погрешность измерения на катетометре равна пр =
= 0,021 мм.
181
Работа 2.25
ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЯ
НАСЫЩЕННЫХ ПАРОВ ЖИДКОСТИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ТЕПЛОТЫ ПАРООБРАЗОВАНИЯ
Цель: определить теплоту парообразования воды, используя
полученную в работе зависимость давления насыщенных паров от
температуры.
Оборудование: термостат; запаянный сосуд с водой, соединенный с ртутным манометром; электронный термометр.
ВВЕДЕНИЕ
Пар, находящийся в термодинамическом равновесии со своей
жидкостью, принято называть насыщенным. Давление, при котором наблюдается равновесие, называется давлением насыщенного
пара. Покажем, что давление насыщенного пара Р зависит только
от температуры Т системы «жидкость – пар».
В отсутствие обмена частицами необходимыми условиями термодинамического равновесия двух тел являются равенства температур и давлений. При рассмотрении равновесия двух фаз одного и
того же вещества, например жидкости (жидкая фаза) и ее пара (газовая фаза), необходимо дополнительно учитывать возможность
обмена частицами. При испарении молекулы покидают жидкую
фазу, переходя в газовую, при конденсации – наоборот: молекулы
из газа переходят в жидкость. Пусть за время dt из жидкости в пар
перешло dNж-п молекул, а из пара в жидкость – dNп-ж молекул. Дополнительным необходимым условием равновесия жидкой и газовой фаз является равенство скоростей испарения Nисп dNж-п / dt
и конденсации Nконд dNп-ж / dt .
Таким образом, должно выполняться три условия равновесия
двух фаз:
182
Tп Tж T ;
(2.25.1)
Pп Pж P ;
(2.25.2)
N исп ( Pж , Tж ) N конд ( Pп , Tп ) ,
(2.25.3)
где Тп, Рп, Тж, Рж – температура и давление пара и жидкости; Т и
Р – их равновесные значения.
Как отмечено в (2.25.3), скорости испарения и конденсации в
силу ряда причин зависят и от давления, и от температуры соответствующих фаз (Nисп – жидкой, Nконд – газовой). Укажем лишь на
некоторые, наиболее очевидные. Чтобы покинуть жидкость, молекула должна преодолеть межмолекулярное притяжение и, следовательно, обладать достаточной для этого кинетической энергией.
Чем выше температура жидкости, тем больше таких молекул, и,
следовательно, скорость испарения. Для перехода из газа в жидкость молекула должна по крайней мере подлететь к поверхности
жидкости. Следовательно, скорость конденсации пропорциональна
потоку молекул, т.е. n∙<v>. Чем выше давление газа, тем (при
Т = const) выше n и, соответственно, Nконд; чем выше температура
газа, тем больше <v> T1/2 и (при n = const) Nконд.
Заменив в (2.25.3) давления и температуры фаз на их равновесные значения Р и Т , из (2.25.1) и (2.25.2) получаем уравнение
N исп ( P, T ) N конд ( P, T ) 0 ,
(2.25.4)
связывающее давление насыщенного пара Р с температурой системы Т:
P P(T ) .
(2.25.5)
Таким образом, давление насыщенного пара зависит только от
температуры системы «жидкость – пар». Соответствующая зависимости (2.25.5) кривая на плоскости (Р, Т) называется кривой испарения.
Задача данной работы состоит в экспериментальном получении
(путем прямых измерений Р и Т) кривой испарения (2.25.5).
183
Для испарения жидкости при постоянной температуре необходимо подводить теплоту, частично расходуемую на преодоление
молекулами, покидающими жидкость, сил межмолекулярного притяжения (внутренняя теплота испарения Q1) и частично – на работу
расширения образующегося пара до равновесного при данных Р и
Т значения объема (внешняя теплота испарения Q2). Суммарное
количество теплоты Q = Q1 + Q2, необходимое для изотермического испарения одного моля жидкости, называется молярной теплотой испарения (парообразования). Теплота, необходимая для изотермического испарения единицы массы жидкости, называется
удельной теплотой парообразования q. Очевидно, что
q Q/M ,
(2.25.6)
где М – масса моля.
Используя первое начало термодинамики d Q dU PdV и
учитывая, что в силу (2.25.5) изотермическое ( T const ) испарение
является одновременно и изобарическим ( P const ), для теплоты
парообразования Q получаем
Q U п U ж P(Vп Vж ) ,
(2.25.7)
где U п , U ж и Vп , Vж – внутренняя энергия и объём моля пара и
моля жидкости. Второе слагаемое в (2.25.7) есть работа при изобарическом увеличении объема от Vж до Vп , т.е. внешняя теплота
испарения
Q2 P(Vп Vж ) .
(2.25.8)
Соответственно первое слагаемое, равное приращению внутренней энергии, есть внутренняя теплота испарения Q1:
Q1 U п U ж .
(2.25.9)
С ростом температуры различия между жидкостью и паром
уменьшаются, поэтому, как видно из (2.25.7), с ростом температу184
ры уменьшается теплота парообразования Q. В критической точке
Q обращается в нуль, и кривая испарения (2.25.5) обрывается.
В данной работе исследуется зависимость от Т давления насыщенного водяного пара в узком ( 20−50 оС или 300−330 К) интервале температур, низких по сравнению с критической (для воды
Ткр = 647,3 К). В этих условиях Q можно приближенно считать постоянной; давление насыщенного пара невелико, и для его вычисления можно с хорошей точностью использовать уравнение состояния идеального газа:
PVп RT ,
(2.25.10)
наконец, вдали от Tкр Vп Vж . Отсюда для Q2 имеем
Q2 PVп R T ,
(2.25.11)
где <T> = (Tmax – Tmin) / 2 – середина исследуемого температурного
интервала.
В оговоренных выше условиях уравнение Клапейрона –
Клаузиуса
Q
Q
Q P
dP
(2.25.12)
dT T (Vп Vж ) TVп T RT
t
позволяет получить приближенный вид кривой испарения. Интегрируя уравнение (2.25.12) (Q = const), имеем
Q 1
ln P C .
(2.25.13)
R T
Из (2.25.13) следует, что lnP линейно зависит от 1/Т. Если эту
зависимость представить на графике, то угловой коэффициент
прямой будет равен (Q/R). Определив этот коэффициент, можно
рассчитать молярную Q и удельную q = Q/M теплоты парообразования воды.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Основной частью установки является частично заполненный водой сосуд А, составляющий единое целое с U-образным ртутным
185
манометром (рис. 2.25.1). Манометр показывает давление насыщенного водяного пара в мм рт. ст.
Рис. 2.25.1
Сосуд А погружен в воду, которой заполнен термостат
(рис. 2.25.2). Температура насыщенного пара и воды в сосуде А
принимается равной температуре воды в термостате. Последняя
измеряется с помощью прибора ЭТП-М, датчик которого погружен
в воду термостата вблизи сосуда А. Термостат имеет нагреватель,
питаемый от сети переменного тока. Вода в термостате перемешивается крыльчаткой, вращаемой электромотором. Для охлаждения
воды в термостате имеется змеевик, по которому можно пропускать холодную воду из водопроводной сети. В настоящей работе
термостат используется в режиме непрерывного нагрева (см. п. 2
выполнения работы).
Рис. 2.25.2
186
Прибор ЭТП-М имеет три интервала измерений: −30–20, 20–70
и 70–120 ºС. Порядок работы с прибором ЭТП-М следующий.
Включите питание. Установите интервал измерений 20–70 ºС.
Тумблер «Контроль−измерение» поставьте в положение «Контроль». Ручкой «Регулировка напряжения» установите стрелку
прибора против крайнего правого деления шкалы (70). Переведите
тумблер «Контроль−измерение» в положение «Измерение». Прибор готов к работе. Стрелка прибора показывает температуру в
градусах Цельсия.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Не нагревать воду в термостате выше 60 ºС; U-образный манометр не рассчитан на давления, соответствующие температурам,
превышающим 60 С.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Перед началом работы необходимо убедиться, что температура воды в термостате не превышает 20–30 ºС. Если температура
воды выше, ее надо охладить. Для этого на щитке термостата
включается электродвигатель и открывается доступ холодной воды
в змеевик термостата. Нагреватель должен быть выключен. После
достижения в сосуде с прибором температуры 20–30 ºС следует
закрыть приток холодной воды к змеевику.
2. Начать нагревание прибора, включив нагреватель термостата
и мотор. В процессе нагревания, через каждые 4–5 ºС, записывать
температуру (по прибору ЭТП-М) и уровни ртути h1 и h2 в трубках U-образного манометра в табл. 2.25.1.
3
3. По окончании измерений вычислить Т (в кельвинах), 10 /Т,
lnP (P в мм рт. ст.) и занести в соответствующие колонки
табл. 2.25.1.
187
Таблица 2.25.1
№
п/п
1
2
3
…
t, ºC
h1, мм
h2, мм
P = |h1 – h2|,
мм рт. ст.
Т, К
1
10 /Т, К
3
lnP
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Построить график зависимости давления насыщенного водяного пара Р от его температуры Т.
3
2. Построить график зависимости lnP от 10 /Т. Определить (с
учетом масштаба по осям) угловой коэффициент k (тангенс угла
наклона к оси абсцисс) получившейся прямой. Найти k можно либо
проведя по экспериментальным точкам прямую «на глазок», либо
методом парных точек, либо методом наименьших квадратов.
3. Вычислить молярную и удельную теплоты парообразования
Q Rk и q Q / M .
4. По формуле (2.25.11) вычислить внешнюю теплоту парообразования Q2. Вычислить внутреннюю теплоту парообразования
Q1 Q Q2 и их отношение Q1 / Q2 .
5. Оценить по графику (по разбросу экспериментальных точек
относительно проведенной прямой) абсолютную Q и относительную Q погрешности определения Q.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, где укажите, что изучалось в
данной работе, каким методом, приведите полученные результаты
(внешнюю и внутреннюю теплоту парообразования воды). Сравните ваши результаты с табличными (известными из справочной литературы). В случае заметного отличия ваших результатов от табличных обсудите возможные причины такого расхождения.
188
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как изменяется теплота парообразования с ростом температуры? Чему она равна при критической температуре?
2. Что называется внешней и внутренней теплотой парообразования?
3. Возможно ли изотермическое испарение некоторой массы
жидкости без подвода тепла извне?
4. Удельная теплота парообразования воды в 10 раз превышает
удельную теплоту парообразования бензина. Чем это объяснить?
5. Сформулируйте условия термодинамического равновесия
жидкости и ее пара.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общийкурс физики. Т. 2. Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006.
189
Работа 2.26
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
ВЗВЕШЕННЫХ ЧАСТИЦ
Цель: наблюдать броуновское движение частиц взвеси и проверить на компьютерной модели закон броуновского движения
Эйнштейна, Смолуховского и Перрена.
Оборудование: микроскоп с осветителем; предметное и покровное стекла; сосуд с суспензией; кисточка; персональный компьютер с установленной программой моделирования броуновского
движения; печатающее устройство, подключенное к компьютеру.
ВВЕДЕНИЕ
Взвесью (или суспензией) называют жидкость, содержащую
распределенные по ее объему мелкие твердые частицы. Примером
взвеси может служить мутная глинистая вода. Твердые частицы,
входящие в состав взвеси, называют взвешенными.
Взвешенная в жидкости частица испытывает непрерывные удары молекул среды, причем число этих ударов в каждый данный
момент неодинаково с разных сторон, что вызывает беспорядочное
движение взвешенной частицы. Это явление впервые наблюдалось
Броуном в 1827 г. и получило название броуновского движения.
Теория этого явления, разработанная впоследствии А. Эйнштейном, М. Смолуховским и Т. Перреном, показывает, что броуновское движение взвешенных частиц непосредственно связано с хаотическим тепловым движением молекул среды. Эйнштейн и Смолуховский провели соответствующие статистические расчёты и
обнаружили, что среднее значение квадратов проекций перемещений частицы на какое-либо направление x, происходящих за одинаковые промежутки времени , пропорционально их величине:
x2
RT
,
3rN A
190
(2.26.1)
где R – универсальная газовая постоянная; Т – абсолютная температура; r – радиус частицы, которая предполагается сферической;
– коэффициент вязкости среды; NA – число Авогадро. Формула
(2.26.1) дает возможность определить размеры частиц или найти
число Авогадро, если известны размеры частиц.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для наблюдения броуновского движения включает в
себя микроскоп с осветителем. На предметный столик микроскопа
устанавливают исследуемый препарат − каплю взвеси, помещенную между предметным и покровным стеклами.
Компьютер используется во второй части работы для моделирования броуновского движения взвешенной частицы.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ.
Передвигая тубус микроскопа при его настройке, не допускайте
соприкосновения объектива с покровным стеклом препарата – это
может привески к повреждению оптических элементов.
В остальном придерживайтесь правил техники безопасности,
озвученных при инструктаже на вводном занятии в лаборатории.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Настоящая работа состоит из двух частей. В первой части непосредственно наблюдают броуновское движение мелких частиц
взвешенных в жидкости. Во второй части с помощью моделирующей броуновское движение компьютерной программы получают и
распечатывают изображение траектории взвешенной в жидкости
частицы, на этой распечатке измеряют смещения броуновской частицы за равные промежутки времени и проверяют справедливость
закона Эйнштейна−Смолуховского−Перрена.
НАБЛЮДЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
ВЗВЕШЕННЫХ ЧАСТИЦ
1. Ознакомиться с устройством микроскопа и осветителя.
191
2. Включить в сеть понижающий трансформатор осветителя.
Перемещением штатива и поворотами осветителя в штативе добиться, чтобы пучок света падал на центр зеркала микроскопа. Поворотом зеркала направить пучок света в тубус микроскопа. Освещённость поля зрения микроскопа, регулируемая перемещением
конденсора, не должна быть слишком большой, тогда контрастность изображения будет высокой.
3. Нанести кисточкой каплю суспензии на чистое предметное
стекло. Диаметр капли должен быть примерно 1−2 мм. Накрыть
осторожно каплю покровным стеклом. Поместить предметное
стекло с каплей на столик микроскопа и зажать его лапкой держателя. С помощью винтов горизонтального перемещения установить
каплю против объектива микроскопа. Примерная схема наблюдения в микроскоп броуновских частиц в капле суспензии приведена
на рис. 2.26.1.
Рис. 2.26.1
4. Вращением рукоятки трансформатора установить оптимальный накал лампы осветителя. Перемещением конденсора отрегулировать освещённость препарата (капли).
192
5. Вращением винтов вертикального перемещения тубуса сфокусировать микроскоп на препарат. Порядок фокусировки следующий: а) опустить тубус почти до соприкосновения объектива с
покровным стеклом (следить сбоку за просветом между объективом и покровным стеклом, ни в коем случае не допуская их соприкосновения); б) наблюдая за экраном микроскопа, медленным вращением винта поднимать тубус до появления на экране резкого
изображения движущихся частиц.
6. Наблюдать броуновское движение взвешенных частиц в капле. Предъявить картину преподавателю.
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
НА КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ
Количественные измерения траектории броуновской частицы
требуют применения высококачественной проекционной аппаратурына и на практике оказывается весьма трудоемкими и ненадежными. Не всегда удается изготовить взвесь нужной плотности частиц нужного размера, не просто добиться достаточной четкости и
контрастности изображения, а сам процесс наблюдения и фиксации
траектории броуновской частицы бывает очень утомительным, к
тому же выбранные частицы часто уходят из поля зрения микроскопа и приходится все начинать сначала.
Однако можно изучить основные закономерности броуновского
движения, используя компьютерную модель. В этом случае последовательность действий оказывается следующей.
Перейдите к установленному в лаборатории персональному
компьютеру, запустите программу, моделирующую движение
изображения броуновской частицы на экране дисплея. Программа
составлена так, что она последовательно инструктирует пользователя о тех действиях, которые ему следует предпринять для получения результата.
Изображение частицы совершает случайное блуждание по экрану, реализованное на основе программного генератора случайных
чисел. Через равные промежутки времени координаты частицы на
экране считываются и запоминаются.
По окончании процесса заданной длительности производится
распечатка на листе бумаги пронумерованных зафиксированных
193
положений частицы (получается картинка, подобная изображенной
на рис. 2.26.2).
Рис. 2.26.2
Полученную распечатку предъявить на подпись преподавателю.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. На рис. 2.26.2 изображен неблагоприятный случай, когда
наличие течения приводит к нарушению полной хаотичности движения частицы, наблюдается снос частицы в некотором направлении. Чтобы исключить этот эффект, ось для проецирования перемещений частицы следует выбрать не произвольно, а так, как показано на рис. 2.26.2, т.е. перпендикулярно направлению сноса. Выбрав ось, спроектировать на нее точки 0, 1, 2 и т.д.
2. С помощью окуляр-микрометра или миллиметровой линейки
измерить проекции на ось перемещений 0−1, 1−2, 2−3 и т.д., происходящих за интервал с. На отсчетной оси удобно выбрать положительное направление и проекции записывать со знаком. Результаты следует заносить в табл. 2.26.1 (в колонку с заголовком
«x, мм»).
194
Таблица 2.26.1
Номера
интервалов
0−1
1−2
2−3
…
=…
x, мм
x , мм
2
2
Δ(x ), мм
2
2
Измерить и занести в отдельную таблицу, аналогичную
табл. 2.26.1 проекции следующих перемещений (с учётом знака
первоначальных проекций): 0−2, 1−3, 2−4 и т.д.
Ту же операцию проделать для перемещений 0−3, 1−4, 2−5, 3−6
и т.д. Результаты занести в третью таблицу, подобную табл. 2.26.2.
3. Вычислить и занести в таблицы значения квадратов перемещений броуновской частицы.
4. Для каждого значения интервала времени (τ, 2τ, 3τ) по данным соответствующей таблицы вычислить среднее значение квадратов проекций перемещений броуновской частицы по формуле
x ,
x
2
i
2
(2.26.2)
n
где n – количество усредняемых перемещений.
5. Вычислить и занести в таблицы значения отклонений квадратов перемещений броуновской частицы от среднего квадрата перемещения:
Δ(x2) = x2 − <x2>.
6. Для каждого значения интервала времени (τ, 2τ, 3τ) по данным соответствующей таблицы вычислить значение среднеквадратичного разброса квадратов перемещений броуновской частицы по
формуле
∑𝑛 ∆(𝑥 2)
𝑖=1
.
𝑆∆(𝑥 2) = √ 𝑛∙(𝑛−1)
195
(2.26.3)
7. Полученные значения <x > нанести на график, по оси абсцисс
которого отложить время t (с), а по оси ординат – средние значения
2
2
квадратов проекций <x > (мм ). На графике отложить погрешности
экспериментальных точек, вычисленные по формуле (2.26.3).
Через нанесенные точки провести прямую линию, с учетом разброса и погрешностей. Линейный характер зависимости <x2> = f(t)
служит подтверждением справедливости теории броуновского
движения Эйнштейна и Смолуховского.
8. По графику определить значение углового коэффициента b
в уравнении прямой x2 b t .
Учитывая, что истинный размер квадрата перемещения бро2
2
2
2
уновской частицы <x >ист = <x >/ (мм ), где – увеличение установки, с помощью которой измерялись перемещения, вычислите
истинное значение коэффициента b:
2
b b / 2 .
Увеличение, соответствующее компьютерной модели, используемой в данной работе, указано на рабочем месте в
учебной лаборатории.
9. Из формулы (2.26.1) следует
b
kT
RT
.
3rN A 3r
Приняв температуру суспензии Т равной комнатной, а ее вязкость − равной вязкости воды, вычислить отношение постоянной
Больцмана к линейному размеру частицы r: k/r. Учитывая, что линейный размер реальных броуновских частиц обычно находится в
5
6
пределах от 10 до 10 м, оценить порядок постоянной Больцмана.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое взвесь, суспензия, эмульсия?
2. Как выглядит броуновское движение частиц в жидкости?
3. Будет ли заметно броуновское движение погружённой в воду
частицы размером порядка 1 мм?
196
4. Что является причиной броуновского движения частиц?
5. Какова зависимость скорости броуновских частиц от температуры среды, от размера частиц?
6. Как исключить влияние сноса частиц на результаты измерений?
7. От чего зависит среднее значение квадрата проекций перемещений частицы на некоторую ось?
8. Почему не всегда удаётся зафиксировать достаточное число
последовательных положений частицы?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа,
1981.
197
Работа 2.27
ИЗМЕРЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА ПО ИСТЕЧЕНИЮ
ИЗ КАПИЛЛЯРА
Цель: определить коэффициент вязкости по истечению воздуха из капилляра.
Оборудование: установка для измерения времени истечения
воздуха, содержащая ручной насос (резиновую «грушу»); балластный баллон; дифференциальный водяной манометр; соединительные трубопроводы и краны; два капилляра (разных диаметров);
секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
Наблюдения показывают, что движущиеся слои газа или жидкости увлекают за собой соседние (неподвижные или движущиеся с
меньшей скоростью) слои среды. С другой стороны (что, в принципе, одно и то же), неподвижные слои газа или жидкости оказывают сопротивление движению соседних слоёв. Таким образом,
слои газа или жидкости, движущиеся с разными скоростями, действуют друг на друга с некоторой силой, направленной вдоль поверхности раздела слоев. Эту силу называют силой внутреннего
трения, а факт наличия этой силы − вязкостью среды.
Ньютон сформулировал эмпирический (т.е. основанный на результатах наблюдений и измерений) закон, которому подчиняется
сила внутреннего трения в вязкой среде.
Пусть жидкость (или газ) течет в направлении оси Х
(рис. 2.27.1), причем скорость течения u зависит от координаты Z,
т.е. от положения текущего слоя. Выберем поверхность раздела
текущих слоёв при некотором фиксированном значении координаты Z и на этой поверхности выберем малую площадку S. Тогда, как
показывают измерения, на жидкость, находящуюся ниже поверхности раздела, действует приходящаяся на площадку S сила величиной
η
,
(2.27.1)
198
где η – величина, называемая коэффициентом динамической вязкости (или просто коэффициентом вязкости) соответствующей среды.
Как видно из формулы (2.27.1), коэффициент вязкости имеет в системе единиц СИ размерность [η] = Па·с.
Рис. 2.27.1
Коэффициент вязкости газа зависит от природы газа и его температуры. Чтобы понять, как возникает внутреннее трение, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины z,
движущиеся с различными скоростями u1 и u2. Каждая молекула
газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя
скорость которого равна <v>, и упорядоченном движении со скоростью u (u << <v>). Так как в результате теплового движения молекулы непрерывно переходят из одного слоя в другой, импульсы
слоев изменяются. Согласно упрощенным представлениям, количество молекул, переходящих через площадку S за секунду из слоя
в слой, определяется выражением
1
N n S.
6
(2.27.2)
Попав в другой слой, молекула претерпевает соударения, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам, либо увеличивает свой импульс за счет других молекул. В
итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более
медленного − возрастает. Таким образом, слои ведут себя так, как
199
если бы к первому слою (скорость которого больше) была приложена тормозящая его сила, а ко второму (скорость которого меньше) − такая же по величине ускоряющая его движение сила.
Принципиальная схема установки для измерения вязкости воздуха по истечению из капилляра представлена на рис. 2.27.2.
Рис. 2.27.2
Ручной насос 2 соединён шлангом через вентиль 3 с балластным
баллоном 1. Воздух из балластного баллона может вытекать через
капилляр 5 при открытом вентиле 6. Избыточное (над атмосферным) давление в балластном баллоне контролируется по показаниям U-образного водяного манометра 4.
Измерительная процедура состоит в следующем. При закрытом
вентиле 6 и открытом вентиле 3 насосом 2 нагнетают воздух в балластный баллон до избыточного давления порядка 20 см водяного
столба. Затем закрывают вентиль 3, открывают вентиль 6 и измеряют промежутки времени, за которые давление в баллоне падает
на заданную величину. По скорости падения давления (т.е. по скорости истечения из капилляра) вычисляют коэффициент вязкости
воздуха.
200
При закрытом кране 6 и открытом кране 3 насосом-грушей 2
накачаем в баллон 1 объемом V0 воздух до некоторого начального
давления Р, которое контролируется водяным U-образным манометром 4. Затем, закрыв кран 3 и открыв кран 6, будем «стравливать» избыточный воздух в атмосферу через капилляр 5 диаметром
d и длиной L. Если разность давления P внутри сосуда и атмосферного давления P0 достаточно мала,
(P – P0 ) << P0 ,
и течение газа в капилляре ламинарно, то расход газа (т.е. объем
воздуха, вытекающего за единицу времени) определяется выражением
dV/dt = d4 ( P – P0 ) / (128·L·) ,
(2.27.3)
в которое входит коэффициент вязкости воздуха η. При этом падение давления в баллоне связано с расходом воздуха посредством
уравнения изотермического процесса с убывающей массой газа:
dP / dt = − ( P / V ) dV / dt.
(2.27.4)
При небольших перепадах давления можно заменить P на среднее за время наблюдения значение <P>. В результате получим
(2.27.5)
dP / dt = − ( <P> / V0 ) dV / dt.
Заменив dV / d t в уравнении (2.27.5 ) на его значение в выражении (2.27.3), получим
dP / dt = − (<P> / V ) d4 ( P – P0 ) / (128·L) ,
или
dP / dt = (P – P0 ) / ,
где
= 128 LV0 / (d4 <P>).
Из полученного уравнения следует, что перепад давлений
ΔP = (P−P0) убывает по экспоненте с постоянной времени :
P = Pнач exp(−t / ).
(2.27.6)
График зависимости величины ln (P) от времени будет иметь
вид прямой линии, угловой коэффициент которой равен обратной
величине τ. Определив по графику этот угловой коэффициент,
можно найти значение τ, по которому легко вычислить вязкость:
= d4<P> / (128LV0).
(2.27.7)
Приведенные расчеты основаны на предположении о ламинарном течении газа через капилляр. При больших значениях P
201
течение газа становится турбулентным. Критерием типа течения
является значение числа Рейнольдса
Re = vr/ ,
где r – радиус капилляра; v – средняя скорость газа; – плотность
газа (при нормальных условиях возд = 1,3 кг/м3).
Течение в трубе ламинарно при Re < 1000. В экспериментальной
установке, используемой в настоящей работе, поддерживаются
условия, при которых течение газа через капилляр ламинарно.
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
На рис. 2.27.3 схематически изображена передняя панель установки для измерения скорости истечения воздуха, применяемой в
настоящей работе.
Элементы комплекса соединены шлангами из синтетического
материала. Кран К1 соответствует вентилю 3 на рис. 2.27.2, кран
К2 – вентилю 6 (на том же рисунке).
Воздух нагнетается в балластный баллон ручным насосом
(«грушей») через штуцер Ш1, смонтированный в верхней части
панели слева. Сам балластный баллон размещён за передней панелью установки и покрыт матерчатым чехлом в целях безопасности.
Дифференциальный водяной манометр состоит из нижнего и
верхнего бачков, соединенных прозрачной трубкой (рис. 2.27.3).
Вблизи трубки расположена линейка, по которой отсчитывается
уровень жидкости в пределах от 0 до 22 см с разрешением 1 мм.
Таким образом, цена деления линейки в единицах давления
равна 1 мм вод. ст. (10,16 Па).
В верхней части панели смонтирован таймер, предназначенный
для измерения интервалов времени с разрешением 0,01 с. Управление таймером осуществляется тремя кнопками. Последовательными нажатиями левой кнопки (МОDЕ) осуществляется выбор режима работы. В режиме СЕКУНДОМЕР мигает надпись в верхней
части дисплея. Кнопка ADVANCE (средняя) в режиме СЕКУНДОМЕР поочередно запускает и останавливает отсчет времени.
Кнопка SET (правая), нажатая в процессе отсчета времени,
фиксирует показания, но не останавливает отсчет времени.
202
Рис. 2.27.3
При повторном нажатии этой кнопки показания дисплея будут
соответствовать продолжающемуся отсчету времени. Кнопка SET,
нажатая при остановленном отсчете времени, сбрасывает (обнуляет) отсчет и показания дисплея.
Воздух, вытекающий из балластного баллона при открытом
кране К2 может подаваться на любой из дросселей ДР1 и ДР2,
предназначенных для изучения видов течения газа в капиллярах и
203
измерения вязкости воздуха. Дроссели представляют собой штуцеры, в которые вклеены тонкие трубочки-капилляры. Размеры капилляров:
ДР1 ( диаметр d = 0,55 мм, длина L = 39 мм);
ДР2 ( диаметр d = 0,35 мм, длина L = 25 мм).
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Не прилагайте чрезмерных усилий при вращении рукояток
вентилей на передней панели установки, чтобы не повредить гибкие шланги, которые зажимаются при таком вращении.
2. Накачивая воздух в установку, следите за уровнем воды в
трубке манометра, избегайте подъема этого уровня выше верхнего
конца трубки.
3. Не подвергайте корпус установки резким толчкам – внутри
корпуса находится стеклянный баллон.
4. Соблюдайте требования Инструкции по технике безопасности, с которой вас ознакомили на вводном занятии.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для определения вязкости удобно использовать небольшие значения (до 200−500 мм вод. ст.) избыточного давления, при которых
течение газа в капиллярах данной установки будет ламинарным.
1. Убедитесь, что штуцеры Ш3 и Ш4 соединены друг с другом
гибким шлангом, а шланг ручного насоса соединен со штуцером
Ш1.
2. Соедините шлангом выход баллона (штуцер Ш2) с дросселем
Др1.
3. Запишите в лабораторный журнал значения диаметров и
длин капилляров, вмонтированных в дроссели Др1 и Др2 (они указаны в разделе «Описание установки»).
4. Измерьте зависимость избыточного давления в баллоне P
от времени t при истечении воздуха из капилляра. Для этого:
4.1. Закрыв кран К2 и открыв кран К1, аккуратно накачайте ручным насосом воздух в баллон до избыточного давления около
220 мм водяного столба, после чего закройте кран К1. Дождитесь
(0,5−1 мин), пока показание манометра перестанет меняться.
204
(В течение этого времени воздух, слегка нагревшийся при закачке в
баллон, остынет до комнатной температуры.) Нажатием кнопки
SET сбросьте показание секундомера.
4.2. Откройте кран К2. Когда показание манометра достигнет
отметки 200 мм, кнопкой ADVANCE включите секундомер.
4.3. Когда давление достигнет значения Р = 180 мм вод. ст.,
кнопкой ADVANCE остановите секундомер и закройте кран К2 (по
возможности одновременно).
4.4. Запишите значения «нижнего» давления Р и времени t в
табл. 2.27.1.
4.5. Повторите пп. 4.1−4.4 три раза (для данного значения «нижнего» избыточного давления Р).
4.6. Повторите пп. 4.1−4.5 для значений «нижнего» избыточного давления Р = 160, 140, 120, ..., 40 мм вод. ст.
5. Переставьте шланг, идущий от штуцера Ш2, на дроссель Др2
и снимите зависимость Р от t для нового значения диаметра капилляра (согласно пп. 4.1−4.6).
Таблица 2.27.1
Др1
Р, мм
вод. ст.
d =…
L=…
lnР
t, c
Др2
<t>, c
t, c
d =...
t, c
L =…
<t>, c
t, c
180
160
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для обоих капилляров, для всех значений Р:
1.1. Вычислите натуральные логарифмы значений Р, занесите
их в таблицу.
205
1.2. Вычислите средние значения времени истечения воздуха
<t> (по трем измеренным значениям), занесите их в таблицу.
1.3. Оцените случайную погрешность времени истечения t как
полуразность максимального и минимального времен (из трех значений, соответствующих данному Р), занесите ее в таблицу.
2. Постройте графики зависимости lnР от времени t для обоих
капилляров (можно поместить оба графика на одних осях). Графики должны быть прямолинейными. Отложите на графиках погрешности экспериментальных точек.
3. По наклону графиков определите значение постоянной времени в экспоненциальной зависимости Р(t) (для обоих капилляров).
4. Используя найденные значения , по формуле (2.27.7) вычислите значения коэффициента вязкости для обоих капилляров.
При расчете следует принять <P> Ратм 105 Па, V0 = 3,00·10−3 м3.
5. В пределах «коридора» погрешностей экспериментальных точек проведите (пунктиром) на графиках прямые линии с максимальным и минимальным наклонами. По наклонам этих прямых
найдите (для обоих капилляров) максимальное и минимальное
значения и, соответственно, максимальное и минимальное значения max и min. Оцените погрешность найденного значения вязкости по формуле
η
η
∆η
2
для обоих капилляров.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение по работе, в котором укажите следующее.
1. Какое физическое явление изучалось в данной работе, какая
величина, характеризующая это явление, была измерена.
2. Какой метод измерения этой величины был использован в работе.
3. Приведите результаты измерений с указанием экспериментальных погрешностей.
4. Укажите природу и источники погрешностей.
206
5. Найдите в справочной литературе значения измеренной вами
величины, полученные другими авторами (так называемые табличные значения). Сравните ваши результаты с табличными. В случае
заметных расхождений обсудите их возможные причины.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем проявляется свойство вязкости текучих сред – газов и
жидкостей?
2. В чем состоит «механизм» возникновения сил внутреннего
трения на границе между двумя смежными слоями газа?
3. Чем объясняется различная зависимость коэффициента вязкости газа от давления в области больших и малых давлений?
4. Как изменяется вязкость газов с увеличением температуры?
5. От чего зависят силы внутреннего трения на границе между
двумя смежными слоями газа?
6. Чем различаются ламинарное и турбулентное течения жидкости или газа?
7. При каких условиях ламинарное течение жидкости или газа
переходит в турбулентное?
8. Что такое число Рейнольдса?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006.
207
Работа 2.28
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ
МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЦИЛИНДРОВ
Цель: изучить экспериментальный метод определения удельной
теплоемкости металлов.
Оборудование: установка для измерения теплоемкости; сменные металлические цилиндры; термометр или термопара с цифровым термометром; гири; секундомер; динамометры; штангенциркуль.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных энергетических величин, характеризующих
состояние любой термодинамической системы, является внутренняя энергия. Внутренняя энергия U термодинамической системы
складывается из кинетических энергий составляющих ее атомов
или молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Кинетическая энергия термодинамической системы как целого и потенциальная энергия ее частей во внешнем поле сил не входят во внутреннюю энергию системы.
Внутренняя энергия есть функция состояния системы, т.е. в
каждом конкретном состоянии внутренняя энергия зависит только
от параметров этого состояния и не зависит от предыстории системы. Поэтому приращение внутренней энергии при переходе термодинамической системы из одного состояния в другое есть разность
ее конечного и начального значений.
Во все термодинамические законы входит не сама внутренняя
энергия, а ее приращение. Поэтому внутреннюю энергию можно
определять с точностью до произвольной аддитивной постоянной,
выбираемой в каждом конкретном случае из соображений удобства.
Существуют два различных способа изменения внутренней
энергии термодинамической системы: совершение работы A над
системой и сообщение системе количества теплоты Q.
Совершение работы над термодинамической системой связано с
макроскопическим перемещением под действием внешних сил ча208
стей системы друг относительно друга, сопровождаемым изменением ее формы или объема.
Работа внешней силы F по перемещению материальной точки
из точки 1 траектории в точку 2 в общем случае зависит от формы
траектории и определяется выражением
2
A Fdr ,
(2.28.1)
1
где интеграл берется вдоль траектории.
Из выражения (2.28.1) и третьего закона Ньютона непосредственно следует, что работа внешних сил над системой A и работа
самой системы над внешними телами A связаны выражением
A A .
(2.28.2)
Сообщение термодинамической системе количества теплоты Q
не связано с макроскопическим перемещением частей системы
друг относительно друга. Оно происходит при контакте двух систем, имеющих разную температуру, или при контакте системы с
излучением. В первом случае молекулы одной из систем (имеющей
большую температуру) двигаются быстрее и при столкновениях на
поверхности соприкосновения с молекулами второй системы
(имеющей меньшую температуру) передают им часть своей энергии. Во втором случае молекулы на поверхности или в объеме рассматриваемого тела поглощают часть падающего излучения, приобретая дополнительную энергию. Таким образом, сообщение системе количества теплоты можно охарактеризовать как изменение
ее внутренней энергии без совершения работы.
Совокупность микроскопических процессов, приводящих к передаче энергии термодинамической системе без совершения работы, называется теплопередачей.
Подчеркнем, что как работа, так и количество теплоты не являются функциями состояния, т.е. эти величины имеют смысл только
для перехода термодинамической системы из одного состояния в
другое, поэтому они не могут быть записаны как приращение какой-то величины.
В соответствии с вышеизложенным, изменение внутренней
энергии термодинамической системы U происходит из-за совершения внешними силами работы над системой A и из-за сообщения
системе количества теплоты Q. Поэтому для рассматриваемой тер209
модинамической системы можно записать закон сохранения энергии в виде
(2.28.3)
U Q A ,
где U – приращение внутренней энергии.
Уравнение (2.28.3) называется превым началом термодинамики.
Для бесконечно малого изменения состояния системы уравнение
(2.28.3) примет вид
(2.28.4)
dU d Q d A .
В выражении (2.28.4) dU – полный дифференциал, т.е. приращение
внутренней энергии системы, а величины d Q и d A не являются
полными дифференциалами (поэтому около буквы «d» стоит
«штрих»), они представляют собой бесконечно малое количество
теплоты, сообщенное системе, и бесконечно малую работу, совершенную внешними силами над системой соответственно.
Теплоемкостью тела Cтела называется количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы оно нагрелось на один градус:
d Q
Cтела
.
(2.28.5)
dT
Теплоемкость тела зависит от его массы, поэтому в качестве характеристики вещества, из которого сделано тело, удобно использовать
удельную теплоемкость. Удельной теплоемкостью называется количество теплоты, которое нужно сообщить телу единичной массы, чтобы оно нагрелось на один градус:
1
1 d Q
.
(2.28.6)
c Cтела
m
m dT
Так как даже одно и то же вещество ведет себя по-разному при различных термодинамических процессах (изобарном, изохорном), то
принято различать удельную теплоемкость при постоянном давлении c p и удельную теплоемкость при постоянном объеме cV .
Металлы обладают малой сжимаемостью, поэтому при температурах, много меньших температуры плавления, их теплоемкость
при постоянном объеме отличается от теплоемкости при постоянном давлении на доли процента.
Экспериментально удобно измерять теплоемкость при постоянном давлении, так как удержание нагреваемых твердых образцов
при постоянном объеме сопряжено с рядом технических трудно210
стей. Поэтому в справочниках для металлов (и других веществ в
твёрдой фазе), в основном, представлены величины, измеренные
при постоянном давлении, т.е. c p .
Вообще говоря, удельные теплоемкости c p и cV для всех веществ сильно зависят от температуры. Например, в чистом алюминии удельная теплоемкость при постоянном давлении меняется от
8,9Дж кг К при температуре 20 К до 1037 Дж кг К при температуре 600 К.
В настоящей работе повышение температуры металлических
образцов составляет несколько градусов T 8 K . Поэтому в
условиях выполняемого эксперимента удельную теплоемкость металла можно считать постоянной величиной.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В работе используется установка для измерения удельной теплоемкости металлов, в которой применяются вращающиеся цилиндры. Установка показана на рис. 2.28.1.
Основной деталью установки является металлический цилиндр
1, который можно вращать вокруг своей оси ручкой 2. В комплект
входят три цилиндра – два латунных (малый и большой) и алюминиевый.
На цилиндр наматывается специальная полимерная лента 3, которая одним концом закрепляется на кронштейне 5 через динамометр 4, а на другой ее конец подвешивается гиря 6.
При вращении цилиндра с помощью ручки происходит его движение относительно ленты. Гиря создает натяжение ленты. За счет
возникающего трения ленты о поверхность цилиндра происходит
выделение тепла, и цилиндр нагревается.
Изменение температуры цилиндра может быть зарегистрировано с помощью термометра 7, закрепленного на штативе 8 так, что
сам термометр расположен на оси вращающегося цилиндра, а его
измерительная часть погружена в наполненное термопастой отверстие на торце цилиндра.
В работе температура внутри цилиндра измеряется через равные
промежутки времени, определяемые по электронному секундомеру 9.
Вместо обычного спиртового термометра (как на рис. 2.28.1) для
измерения температуры может быть применен цифровой термометр, использующий терморезистор, в качестве датчика температу211
ры. В этом случае терморезистор крепится к столу с помощью зажима штатива 8 так, что его измерительная часть погружается в
отверстие на торце цилиндра, наполненное термопастой.
Рис. 2.28.2
Рис. 2.28.1
Внешний вид передней панели цифрового термометра представлен на рис. 2.28.2. Терморезистор должен быть подключен к входу
цифрового термометра, обозначенному на его панели «T1» (см.
рис. 2.28.2). Тогда в верхнем окне цифровой термометр покажет
измеряемую температуру. Включение цифрового термометра осуществляется с помощью кнопки, расположенной на его задней панели (на рисунке не показана).
Рассмотрим подробнее процессы, происходящие в системе при
вращении рукоятки 2.
При вращении цилиндра с постоянной угловой скоростью лента
и гиря покоятся, и динамометр показывает некоторое постоянное
значение силы натяжения ленты над цилиндром. При этом на ленту
действуют три силы: сила со стороны динамометра Fд (ее значение
непосредственно показывает динамометр), сила трения между лентой и цилиндром Fтр и сила тяжести гири Fт Mg (рис. 2.28.3), где
M – масса гири.
212
Рис. 2.28.3
По второму закону Ньютона для ленты в проекции на вертикальную ось получим
Fтр Fт Fд Mg Fд .
(2.28.7)
Таким образом, при известных массе гири и показаниям
динамометра сила трения, действующая на ленту со стороны
движущегося цилиндра, может быть вычислена по формуле (2.28.7).
Пусть, равномерно вращая рукоятку, цилиндр повернули на N
оборотов, тогда перемещение ленты относительно поверхности
цилиндра составит s 2r N dN , где r и d – радиус и диаметр
цилиндра соответственно. Так как сила трения всегда направлена в
сторону, противоположную движению, то ее работа отрицательна.
Используя (2.28.1), получим для работы силы трения следующее
выражение:
Aтр Fтр s Fтр dN ,
(2.28.8)
где Fтр – модуль силы трения, определяемый по формуле (2.28.7).
При скольжении ленты по цилиндру основная доля работы,
затраченной на вращение рукоятки посредством трения, переходит
в тепло. Таким образом, согласно закону сохранения энергии, всей
термодинамической системе, в состав которой входят детали
установки (цилиндр, лента, термометр), в процессе вращения
рукоятки сообщается некоторое количество теплоты Q, равное по
модулю работе силы трения (2.28.8), т.е.
213
Q Aтр Fтр dN .
(2.28.9)
Согласно первому началу термодинамики (2.28.3), вся эта энергия
переходит во внутреннюю энергию тел,
входящих в
термодинамическую систему, т.е. U Q .
После окончания вращения рукоятки система охлаждается из-за
теплообмена с окружающей средой.
Так как в условиях эксперимента теплоемкость тел,
составлющих систему, можно считать не зависящей от
температуры, то, используя определения теплоемкости (2.28.5) и
удельной теплоемкости (2.28.6), количество теплоты Q можно
записать в виде
Q Cтерм T CлентыT c p mT .
(2.28.10)
Здесь Cтерм и Cленты – теплоемкости термометра и ленты соответственно; T – приращение температуры системы; c p – удельная
теплоемкость материала цилиндра при постоянном давлении; m –
масса цилиндра.
В выражении (2.28.10) первое слагаемое определяет количество
теплоты, идущее на нагрев термометра, второе – на нагрев ленты и
третье – на нарев металлического цилиндра.
Используя соотношения (2.28.7), (2.28.9) и (2.28.10), получим
выражения для вычисления удельной теплоемкости металла, из
которого сделан цилиндр, при постоянном давлении на основе
экспериментальных данных:
cp
1 Mg Fд dN
Cтерм Cленты .
m
T
(2.28.11)
Рассматриваемая система является открытой (незамкнутой), так
как, во-первых, она не теплоизолирована от окружающих тел и
воздуха в комнате, а во-вторых, в нее поступает энергия через
вращающуюся ручку. Таким образом, присутствует постоянный
теплообмен с окружающими телами. Поэтому для определения
приращения температуры частей системы из-за трения между ними
используется особая методика.
Измеряется температура через равные промежутки времени,
причем начинать измерения следует за несколько минут до начала
214
вращения цилиндра. Затем цилиндр вращают необходимое число
оборотов и снова измеряют температуру через равные промежутки
времени в течение нескольких минут. В итоге, если изобразить полученную зависимость температуры от времени графически, то
получится кривая, представленная на рис. 2.28.4.
Рис. 2.28.4
Для определения величины T необходимо на полученном графике экстраполировать прямолинейные участки графика (наклонные
пунктирные прямые на рис. 2.28.4) и затем провести вертикальную
прямую, параллельную оси температур, таким образом, чтобы площади отсекаемых фигур B1 и B2 (см. рис. 2.28.4) были одинаковы. Тогда величина T равна разности температур точек пересечения экстраполированных прямых с вертикальной прямой, т.е. T T2 T1 .
Так как точность такого метода определения разности температур
не высока, то в качестве абсолютной погрешности величины T следует взять либо разность полученной экстраполированной температуры T2 и максимальной измеренной температуры Tmax , т.е.
T T2 Tmax , либо приборную погрешность термометра, в зависимости от того, какая из них больше.
В заключение приведем формулу для расчета погрешности
удельной теплоемкости металла при постоянном давлении, вычисленной по формуле (2.28.11):
215
c p
c p
cp
2
2
т T d g M Fд
.
2
m T d
Mg Fд
2
2
2
(2.28.12)
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Перед началом работы убедитесь, что все детали установки
достаточно прочно закреплены на рабочем столе.
2. Ни в коем случае не изменяйте положение и угол наклона
штатива, фиксирующего термометр (термопару).
3. При вращении цилиндра не прилагайте избыточных усилий,
чтобы избежать поломки термометра и получения травмы.
4. Не снимайте гирю с нижнего конца пластиковой ленты. Не
прилагайте к гире дополнительных усилий в направлении вниз.
5. Вращайте цилиндр ТОЛЬКО в направлении, указанном
стрелкой!
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Измерение удельной теплоемкости металлов
1. Работа выполняется для одного из имеющихся в комплекте цилиндров. Для конкретной установки на рабочем столе приведен материал используемого в установке цилиндра, его масса и диаметр, а
также масса гири. Перед началом работы перепишите эти данные в
лабораторный журнал.
2. В течение четырех минут измеряйте температуру T цилиндра
каждые 30 с. Результаты запишите в заранее подготовленную
табл. 2.28.1.
Внимание! Секундомер не выключайте.
3. Затем равномерно вращайте рукоятку, сделав 200 об. Запишите
число оборотов N в лабораторный журнал.
Внимание! Рукоятку следует вращать только по направлению
указанному стрелкой.
216
В процессе вращения рукоятки необходимо с помощью динамометра определить силу натяжения ленты над цилиндром Fд и
записать это значение в лабораторный журнал.
4. Сразу после окончания вращения продолжайте измерять
температуру каждые 30 с в течение 10–15 мин. Результаты продолжайте записывать в табл. 2.28.1.
5. Прекратите измерения и подождите 10 мин.
6. Выполните еще две серии измерений, согласно пп. 2–5.
Таблица 2.28.1
№
1
2
3
…
t, c
Серия 1
T, C
t, c
Серия 2
T, C
t, c
Серия 3
T, C
…
…
…
…
…
…
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Постройте графики зависимости температуры от времени для
каждой серии измерений. На графиках выполните все дополнительные построения и определите величины T .
2. Вычислите среднее значение T и его погрешность. В качестве абсолютной погрешности величин T используйте максимальное значение среди погрешностей этих величин, определенных по графикам, и случайной погрешности их разброса вычисленной по методу Корнфельда.
3. С помощью формул (2.28.11) и (2.28.12) рассчитайте удельную теплоемкость материала цилиндра и ее погрешность.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ
В заключении к работе представьте три графика зависимости
температуры от времени для каждой серии измерений. Также приведите рассчитанные значения разности температур T .
217
Представьте рассчитанное значение удельной теплоемкости материала цилиндра. Сравните полученный результат для удельной
теплоемкости металла с табличным значением.
Табличные значения
Большой латунный
Маленький латунный
Алюминиевый
Теплоемкость термометра, Дж/К
Теплоемкость ленты, Дж/К
Удельная теплоемкость алюминия
при постоянном давлении, Дж/кг∙К
Удельная теплоемкость латуни
при постоянном давлении, Дж/кг∙К
Массы
цилиндров, г
12801
6401
3901
4
4
902
385
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое внутренняя энергия термодинамической системы?
2. Укажите способы изменения внутренней энергии термодинамической системы.
3. Дайте понятия работы и количества теплоты.
4. Что такое теплоемкость, удельная теплоемкость?
5. От чего зависит удельная теплоемкость металлов?
6. Сформулируйте первое начало термодинамики.
7. Чему равна работа силы трения?
8. Как определяется сила трения ленты о цилиндр в используемой установке?
9. Как выглядит закон сохранения энергии для исследуемой
термодинамической системы?
10. Какие величины получаются в работе в ходе прямых измерений, а какие – в ходе косвенных измерений?
11. Из каких основных деталей состоит установка?
12. С какой целью в ходе работы используется секундомер?
13. Как в ходе работы определяется приращение температуры
цилиндра при его взаимодействии с лентой?
14. Какие величины вносят наибольший вклад в погрешность
результирующего значения удельной теплоемкости металла?
218
15. Какие источники систематических ошибок могут присутствовать в настоящей работе?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003. С. 14–22.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006. С. 44–64.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. С. 9–17.
2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа,
1981. С. 119–124.
219
Работа 2.29
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ Ср/СV ДЛЯ ВОЗДУХА
МЕТОДОМ КЛЕМАНА−ДЕЗОРМА
Цель: определить отношение теплоемкостей воздуха при постоянных давлении и объеме методом Клемана−Дезорма, основанном на адиабатическом расширении некоторой массы газа и
последующем изохорическом нагревании.
Оборудование: сосуд объемом 5 л; кран, соединяющий сосуд с
атмосферой; кран, соединяющий сосуд с насосом; водяной манометр; насос; соединительные шланги.
ВВЕДЕНИЕ
Тепломкостью С тела называется отношение сообщенного телу
количества тепла d Q к вызванному этим теплом приращению
температуры dT:
d Q
.
dT
Поскольку теплоемкость тел одинакового химического состава в
одинаковых условиях пропорциональна массе m, то вводят удельную теплоемкость
1 d Q
C уд
m dT
и молярную теплоемкость
M d Q
Cм
,
m dT
где М − масса моля вещества.
Теплоемкость определяется не только свойствами тел, но и характером процесса, в ходе которого передается тепло рассматриваемому телу. Зависимость теплоемкости от характера процесса
наиболее ярко проявляется у тел, способных к заметному изменению объема, т.е. тел газообразных.
C
220
Из первого начала термодинамики известно:
(2.29.1)
d Q dU pdV ,
где dU − приращение внутренней энергии тела; pdV − элементарная
работа, совершенная телом при увеличении объема на величину dV
против внешнего давления p. Из формулы (2.29.1) видно, что для
увеличения температуры на величину dT в процессе при постоянном давлении требуется большее количество тепла d Q , чем в процессе при постоянном объеме, так как в первом случае часть этого
тепла расходуется на совершение работы. Таким образом,
C p CV , где C p и CV − теплоемкости тела при постоянном давлении и объеме соответственно.
Важной характеристикой свойств газов является величина
C p / CV . Эта величина обусловлена числом степеней свободы
молекул газа, она входит в уравнение, связывающее друг с другом
параметры состояния идеального газа в адиабатическом процессе:
(2.29.2)
pV const ,
определяет значение скорости звука в газе и т.д. Прямое нахождение величины через измерение теплоемкостей затруднительно,
поскольку измерение C p сопряжено с определенными экспери-
ментальными сложностями.
В настоящей работе для измерения C p / CV используется метод,
предложенный в 1819 г. Клеманом и Дезормом. Суть метода заключается в следующем. Берут некоторую массу газа в состоянии с
параметрами р1, Т1 (состояние 1) и адиабатически ее расширют,
переводя в состояние 2 с параметрами р2, Т2. Из уравнения (2.29.2)
с учетом уравнения состояния идеального газа легко получить
1
1
1
1
p1 T1 p 2 T2 .
(2.29.3)
Затем этот газ изохорически (т.е. при постоянном объеме)
нагревают до исходной температуры Т1. Давление при этом возрастает до величины р3 (это состояние обозначим номером 3). Параметры состояний 2 и 3 связаны соотношением, вытекающим из
уравнения состояния идеального газа:
221
p3 p 2
.
T1 T2
(2.29.4)
Рис. 2.29.1
Значения р1, Т1, р2, р3, в принципе, могут быть измерены, и, таким образом, уравнения (2.29.3) и (2.29.4) представляют собой систему с двумя неизвестными и Т2, так что величина легко может
быть найдена.
На практике метод Клемана−Дезорма реализуется следующим
образом. В баллон Б (рис. 2.29.1) накачивают воздух до давления
р1, несколько выше атмосферного. После установления термодинамического равновесия воздуха в баллоне с окружающей средой
(состояние 1 на рис. 2.29.2) открывают кран К1, соединяющий баллон с атмосферой. Излишек воздуха выходит из баллона, давление
в баллоне падает до атмосферного, температура становится несколько ниже комнатной (состояние 2 на рис. 2.29.2). Этот процесс
протекает достаточно быстро (за время не более секунды), поэтому
теплообменом баллона с атмосферой можно в данных условиях
пренебречь, т.е. считать процесс расширения газа адиабатическим.
Затем кран К1 закрывают и выжидают некоторое время, пока
оставшийся в баллоне газ не нагреется до комнатной температуры
(состояние 3 на рис. 2.29.2). Состояния 1 и 2 лежат на адиабате, т.е.
справедливо соотношение
p1V1 p 2V2 ,
222
(2.29.5)
где V2 Vб − объем баллона; V1 − объем при давлении p1 той части
газа, которая после адиабатического расширения осталась в баллоне. Из (2.29.5) вытекает
1
V2 p1
.
V1 p 2
(2.29.6)
Рис. 2.29.2
Состояние 3 лежит на одной изотерме с состоянием 1, т.е.
(2.29.7)
p1V1 p3V2 ; V2 / V1 p1 / p3 .
Из уравнений (2.29.6) и (2.29.7) легко получить выражение для
величины :
γ
ln( p1 / p2 )
.
ln( p1 / p3 )
(2.29.8)
Таким образом, для нахождения достаточно измерить давления p1, p2, p3.
223
Выражение (2.29.8) можно упростить, использовав малость отличия давлений р1 и p3 от атмосферного давления p2. Перепишем
(2.29.8) в виде
где
p p2
ln1 1
p 2 ln 1
ln p1 / p 2
,
ln p1 / p3
p1 p3 ln 1
ln1
p3
(2.29.9)
p p3
p p2
1.
1
1; 1
p3
p2
Оставляя лишь линейный член в разложении логарифма в ряд
Маклорена ln(1 + x) = x, получим из (2.29.9)
p1 p2 p3
.
p 2 p1 p3
С учетом равенства p3/p21 получаем
p p2
.
1
p1 p3
Запишем давления p1 и p3 в виде p1 = p2 + p1; p3 = p2 + p3, где
p1 и p3 − отличия давлений в состояниях 1 и 3 от атмосферного
давления р2. Выражение для принимает вид
p1
.
p1 p3
(2.29.10)
Из полученного выражения следует, что давления в данной работе удобно измерять U-образным жидкостным манометром, у которого разность Н уровней жидкости в сообщающихся трубках
пропорциональна разности между измеряемым давлением и атмосферным. При этом в формулу (2.29.10) можно подставить разность уровней в произвольных единицах длины:
H1
,
H1 H 3
224
(2.29.11)
где Н1 и Н3 − разности уровней жидкости в манометре, соответствующие давлениям р1 и р3. Из формул (2.29.10) и (2.29.11) видно,
что для определения величины необходимо по возможности точно зафиксировать момент окончания адиабатического расширения
газа, т.е. установление состояния 2. Установить этот момент при
одновременном измерении давления не представляется возможным, но эту трудность можно обойти следующим образом.
Допустим, что кран К1 перекрыт не в момент окончания адиабатического расширения, а через промежуток времени после этого
момента. Тогда после установления в баллоне комнатной температуры давление в нем будет иметь величину 𝐻3’ , отличающуюся от
величины H 3 , которую следует подставлять в (2.29.11). Известно,
однако, что величины 𝐻3 , 𝐻3’ и связаны соотношением
lgH 3 lg H 3 Aτ , где A = const. Если повторить такой опыт несколько раз с разными , то путем экстраполяции прямолинейного графика зависимости lgH 3 f () можно найти lgH 3 (рис. 2.29.3).
Рис. 2.29.3
225
Строго говоря, в описанной процедуре измеряется не время запаздывания, а сумма времени запаздывания и времени протекания
адиабатического процесса t 0 . Но в условиях данного опыта t 0
пренебрежимо мало по сравнению с . В ходе работы оказывается
возможным определить приращение энтропии воздуха в баллоне
при изохорическом нагревании на участке 2−3 (см. рис. 2.29.2):
3
T
2
T2
d Q 3 m
dT m iR T3
S
CV
ln
,
T
M
T
M 2 T2
где i − параметр, определяемый числом степеней свободы молекулы газа; R − универсальная газовая постоянная.
Из уравнения Менделеева–Клапейрона для состояний 2 и 3 получим
T3 p 2 gH 3 m
p gH3
Vб ,
R 2
;
p2
T2
T3
M
где − плотность жидкости в манометре (вода); Vб = 10 л – объем
баллона. Окончательно, учитывая, что gH3 p2 , получаем
p gH 3
i p gH 3
S 2
Vб ln 2
T3
2
p2
p gH 3
i gH 3
Vб
2
.
T3
2 p2
(2.29.12)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки для измерения Cp /Cv методом Клемана−Дезорма
приведена на рис. 2.29.1. Воздух накачивается в баллон Б насосом Н
при открытом кране К2 и закрытом кране К1. По окончании накачки
кран К2 следует закрыть. Для измерения давления воздуха в баллоне
служит U-образный водяной манометр М.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Стеклянный кран поворачивать осторожно и без усилия.
2. Накачивая воздух в баллон, следить за уровнями жидкости в Uобразном манометре. Не допускать выброса жидкости из манометра.
226
3. В остальном руководствоваться стандартной инструкцией о технике безопасности, озвученной на вводном занятии в лаборатории.
ЗАДАНИЕ
Определение отношения теплоемкостей воздуха при постоянных
давлении и объеме методом Клемана−Дезорма
1. При закрытом кране К1 и открытом кране К2 накачать в баллон
воздух до разности уровней в манометре Н1 от 220 до 250 мм. Кран К2
закрыть.
2. Выждать около 2−4 мин, пока уровни воды в манометре перестанут меняться и, чуть приоткрыв кран К1, медленно довести разность уровней Н1 до 200 мм.
3. Быстро открыть кран К1 одновременно включая секундомер.
Держать кран открытым в течение 3 с, затем быстро перекрыть.
Таблица 2.29.1
, c
𝐻3′, мм
lg𝐻3′
4. Выждав несколько минут, пока давление в баллоне перестанет
меняться, сделать отсчет разности уровней в манометре 𝐻3′ . Результаты записать в табл. 2.29.1.
5. Повторить опыт при различных временах запаздывания не менее шести раз, каждый раз увеличивая время запаздывания на 3 с.
6. Выполнить измерения согласно пп. 1−5 при начальных разностях уровней в манометре Н1 = 210 мм и Н1 = 220 мм.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Построить (в одних осях) три графика зависимости
lg H 3 f () для трех значений начального давления H1. У экспери227
ментальных точек отложить приборную погрешность величины
lg H 3 .
2. По каждому графику определить значение H3 и вычислить величину .
3. Найти среднее значение <> и оценить случайную погрешность
по формулам
min
min
.
; max
max
2
2
4. Через экспериментальные точки одного из трех графиков провести в пределах погрешностей две прямые с максимально различающимися наклонами. По различию положений точек пересечения
этих прямых с осью ординат оценить приборную погрешность . В
заключении по работе привести наибольшую из случайной и приборной погрешностей .
5. Вычислить приращение энтропии газа при изохорическом
нагревании (участок 2−3 на рис. 2.29.2) по формуле (2.29.12).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключении к работе должны быть представлены три графика
для трех значений начального давления. Также необходимо для экспериментальных точек отложить приборную погрешность величины
lg H 3 . Для каждого графика определить значение давления H3 и вычислить величину , среднее значение <> и оценить случайную погрешность . Через экспериментальные точки одного из трех графиков провести в пределах погрешностей две прямые с максимально
различающимися наклонами. По различию положений точек пересечения этих прямых с осью ординат оценить приборную погрешность
. В заключении по работе привести наибольшую из случайной и
приборной погрешностей . Сделать вывод о причинах, вносящих
систематическую ошибку в результаты работы при использовании
установки такой конструкции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое теплоемкость тела, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость?
228
2. Чем отличаются теплоемкости при постоянном давлении и
постоянном объеме? Какая из них больше и почему?
3. Как связаны теплоемкости C p и CV идеального газа с числом степеней свободы молекулы?
4. Дать определение изохорического и адиабатического процессов. Написать уравнения этих процессов в переменных p−V, Т−p,
T−V для идеального газа.
5. Что такое энтропия? Вывести формулы для приращения энтропии идеального газа при изохорическом, изобарическом, изотермическом и адиабатическом процессах.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. М.: Наука, 1987.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. М.: Наука, 1990.
229
Работа 2.30
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРОЙНОЙ ТОЧКИ ВЕЩЕСТВА
Цель: определить тройную точку нафталина по зависимости
давления насыщенных паров от температуры.
Оборудование: электрическая печь; откачанная ампула с
нафталином, припаянная к ртутному манометру; термопарный измеритель температуры.
ВВЕДЕНИЕ
Вещество может находиться в твёрдом, жидком и газообразном
состояниях (фазах). Фаза представляет собой физически однородную часть вещества; это значит, что физические свойства в пределах данной фазы одинаковы. Если две или три граничащие друг с
другом фазы вещества имеют неизменные массы, т.е. масса каждой
фазы не изменяется за счёт масс соседних фаз, то такая система
находится в фазовом равновесии. Переход вещества из одной фазы
в другую называется фазовым переходом. Фазовые переходы связаны с выделением или поглощением некоторого количества тепла,
называемого теплотой перехода. Испарение жидкости, конденсация пара, сублимация, т.е. переход твёрдого тела в газообразное
состояние, плавление твердого тела, переход газа или жидкости в
твёрдое состояние — все эти процессы являются фазовыми переходами.
Равновесие двух соприкасающихся фаз может осуществляться в
определённом интервале температур. Каждой температуре однозначно соответствует давление, при котором фазы находятся в равновесии. Таким образом, равновесные состояния двухфазной системы на диаграмме ( p, T ) образуют кривую p f (T ) .
Кривые, описывающие состояния равновесия между разными
фазами вещества на диаграмме ( p, T ) , называются диаграммой состояния (рис. 2.30.1).
Твердая, жидкая и газообразная фазы вещества могут находиться в равновесии только при единственных значениях температуры
230
и давления, которые определяются на диаграмме состояния точкой
пересечения кривых плавления pп (T ) , испарения pи (T ) и сублимации pc (T ) . Эта точка называется тройной точкой Tтр .
Рис. 2.30.1
Рассмотрим кривые сублимации и испарения. Давление равновесного состояния двух фаз связано с температурой уравнением
Клапейрона–Клаузиуса, которое для соответствующих кривых
имеет вид
dpc
c
при T Tтр ;
dT T Vг Vтв
dpи
и
при T Tтр ,
dT T Vг Vж
231
(2.30.1)
где c и и – удельные теплоты сублимации и испарения; Vг , V тв ,
Vж – удельные объемы газообразной, твердой и жидкой фаз.
Поскольку удельный объем газа значительно больше удельных
объемов жидкой и твердой фаз, ими можно пренебречь. Тогда
c
dpc
dpи
;
и .
dT Vг T dT Vг T
(2.30.2)
Упростим уравнения (2.30.2), допустив, что в области невысоких давлений к парам применимы законы идеальных газов, и вычислив удельный объем из уравнения Менделеева–Клапейрона:
V уд
RT
V
.
m pM
(2.30.3)
Подставив в уравнение (2.30.2) уравнение (2.30.3) и разделив
переменные, получим
dp M dT
.
R T2
p
Теплота испарения и с повышением температуры уменьшается, но для температур, далёких от критической, это изменение незначительно.
Приняв постоянной для не слишком большого температурного
интервала, получим
λ𝑀 1
ln𝑝 = const − 𝑅 𝑇 .
2.30.4)
Таким образом, lnp зависит от 1/Т линейно. Отклонения от линейности имеют место только в небольшой области вблизи Tтр . Из
рис. 2.30.2 следует, что график lnp имеет два прямолинейных
участка с различными наклонами, отвечающих значениям λ и и λс.
232
Рис. 2.30.2
Угловой коэффициент прямолинейного графика можно найти,
используя координаты пары точек, выбранных на этом графике:
ln p 2 ln p1
,
(2.30.5)
k
1 / T1 1 / T2
причем для T Tтр k1 c M / R , для T Tтр k 2 и M / R .
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе исследуется технический
нафталин C10H2. Прибор для определения тройной
точки представляет собой ампулу с нафталином,
воздух из которой откачан до давления порядка
102 мм рт. ст. (рис. 2.30.3).
К ампуле припаян U-образный манометр, который измеряет давление насыщенных паров нафталина. Ампула помещена в кожух нагревателя. Тем
233
Рис. 2.30.3
пература нафталина определяется с помощью термопарного термометра, датчик температуры которого вмонтирован в кожух.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Соблюдать осторожность во время прикосновения к кожуху
электрической печи.
2. Запрещается открывать дверцу электрической печи и прикасаться к ампуле с нафталином и ртутному манометру.
3. Не нагревать ампулу с нафталином выше рекомендованного
значения максимальной температуры: 105–110 ○С.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Целесообразно проводить измерения в интервале температур от
50 до 100 оС. Нагрев системы необходимо проводить достаточно
медленно, чтобы по мере роста температуры отмечать положение
уровня жидкости в одном из колен манометра, одновременно изменяя температуру.
1. Измерить давление насыщенных паров нафталина в зависимости от температуры:
а) поставить движок реостата в положение «Выведен», включить нагреватель и осветитель;
б) когда температура достигнет 60 оС, следует немедленно приступить к измерению, записывая положение уровней в обоих коленах манометра hл и hпр (через 2 мм) и, соответственно, температуру, при которой измерялись уровни;
в) при температуре 80 оС поставить движок реостата в положение «Введен», при 95 оС – в положение «Выведен»;
г) при температуре 105 оС можно закончить измерения, выключить нагреватель и осветитель;
д) в таблице измерений следует отмечать фазовое состояние вещества («появляется жидкость», «все вещество – жидкость» и т.п.).
Полученные данные занести в табл. 2.30.1.
234
Таблица 2.30.1
№
п/п
hл
hпр
р
t, oC
T
lnp
1/T
Фазовое
состояние
1
2
…
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Вычислить 1/Т, lnp и записать в таблицу.
2. Построить график зависимости давления от температуры. Согласно уравнениям (2.30.2) кривая р(Т) испытывает излом в тройной точке. По излому кривой найти температуру и давление тройной точки Tтр и p тр .
3. Построить график зависимости lnp от 1/Т.
Найти угловые коэффициенты линейных участков этого графика: k1 – для T Tтр и k 2 – для T Tтр . Продолжив линейные
участки до пересечения друг с другом, найти координаты точки
пересечения и по ним p тр и Tтр .
4. Используя формулу (2.30.4), вычислить удельную теплоту
испарения и и удельную теплоту сублимации c . Молярная масса нафталина равна М = 128,2 г/моль.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Напишите заключение о работе, в котором приведите найденные вами значения температуры и давления в тройной точке
нафталина. Приведите также значения удельной теплоты испарения и сублимации. Сравните эти значения друг с другом (какая
теплота должна быть больше – испарения или сублимации?).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое фаза вещества?
235
2. Чем различаются фазовые переходы первого и второго рода?
3. Что представляют собой процессы испарения и сублимации
вещества?
4. Чем объясняется различие величин теплоты испарения и теплоты сублимации?
5. Что такое тройная точка вещества?
6. Какие условия эксперимента необходимы для снятия кривой
плавления?
7. Каковы главные источники погрешностей при определении
тройной точки в данной работе?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и
молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа,
1981.
236
Работа 2.31
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
ПО СКОРОСТЯМ
Цель: установить максвелловский характер распределения
термоэлектронов по скоростям и измерить температуру катода
электронной лампы.
Оборудование: установка для измерения вольт-амперных характеристик электронной дампы, содержащая вакуумный диод;
источник накального и анодного напряжения; вольтметр для измерения анодного напряжения; миллиамперметр для измерения анодного тока; амперметр для измерения тока накала; переключатель
для изменения полярности анодного напряжения.
ВВЕДЕНИЕ
Испускание электронов с поверхности сильно нагретого металла
(или полупроводника) можно наблюдать, поместив его в вакуум. Это
явление, называемое термоэлектронной эмиссией, используется в
различного рода электровакуумных приборах.
Простейший из этих приборов – вакуумный диод – состоит из
двух электродов (катода и анода), между которыми создается соответствующая разность потенциалов. Испускаемые электроны с катода, попадая на анод, создают ток в анодной цепи. Зависимость тока
от напряжения I а = f (U а ) приведена на рис. 2.31.1.
Покидать металл или полупроводник могут только те электроны,
кинетическая энергия которых больше характерного для данного
материала значения, называемого работой выхода e . При нагревании металла или полупроводника энергия части электронов увеличивается настолько, что они оказываются в состоянии преодолеть
удерживающие их силы и при скоростях V > V0 = 2e/m вылетают
с поверхности. Чем сильнее нагрет материал, т.е. чем выше его
237
Рис. 2.31.1
температура Т, тем больше электронов будут обладать скоростью,
необходимой для выхода с поверхности в вакуум. Температура
накаленного катода Т определяется током накала I н . Таким образом, чем больше ток накала I н , тем больше электронов покинет поверхность катода и тем больше значение тока I а при одном и том
же анодном напряжении U а . Чтобы сделать анодный ток равным
нулю, необходимо подать на анод отрицательное напряжение U з .
Это запирающее напряжение U з определяется скоростью самых
быстрых термоэлектронов, которые вылетают при данной температуре Т из катода. Если последовательно изменять отрицательное
напряжение U а от значения U з до нуля, то анодный ток будет увеличиваться, так как при этом всё большее число термоэлектронов
может достигать анода. Очевидно, что последовательный прирост
тока I а при уменьшении тормозящего напряжения U а определяется вкладом термоэлектронов со все меньшими скоростями. Поэтому
зависимость тока I а от отрицательного напряжения U а может дать
информацию о распределении термоэлектронов по скоростям.
Известно, что распределение термоэлектронов по скоростям подчиняется классическому закону Максвелла. В соответствии с максвелловским распределением число частиц (в данном случае термо238
электронов), компоненты скоростей которых лежат в пределах от 𝑣𝑥
до 𝑣𝑥 + 𝑑𝑣𝑥 , от 𝑣𝑦 до 𝑣𝑦 + 𝑑𝑣𝑦 и от 𝑣𝑧 до 𝑣𝑧 + 𝑑𝑣𝑧 , можно представить как
𝑑𝑁𝑣𝑥,𝑣𝑦 ,𝑣𝑧 = 𝑁φ(𝑣𝑥 )φ(𝑣𝑦 )φ(𝑣𝑧 )𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 ,
(2.31.1)
φ(𝑣𝑥 ) = (𝑚/2π𝑘𝑇)1/2 exp(−𝑚𝑣𝑥 2 /2𝑘𝑇),
(2.31.2)
𝑑𝑁𝑣 = 𝑁𝐹(𝑣)𝑑𝑣,
(2.31.3)
где N – полное число частиц, а функция φ(𝑣𝑥 ) имеет вид
где m – масса электрона; k – постоянная Больцмана.
Аналогично записываются функции φ(𝑣𝑦 ) и φ(𝑣𝑧 ). Если нас интересует число частиц, абсолютное значение (модуль) скорости которых лежит в интервале от 𝑣 до 𝑣 + 𝑑𝑣, то, переходя в выражении
(2.31.1) от декартовой к сферической системе координат и произведя
интегрирование по углам и , получаем
где
3
𝐹 (𝑣) = 4π(𝑚/2π𝑘𝑇) ⁄2 𝑣 2 exp(−𝑚𝑣 2 /2𝑘𝑇).
(2.31.4)
Скорость, отвечающая максимуму функции 𝐹(𝑣), есть наиболее
вероятная скорость термоэлектронов 𝑣вер . Из (2.31.4) для 𝑣вер находим
(2.31.5)
𝑣вер = √2𝑘𝑇 ⁄𝑚 .
Совместим координатную ось x с направлением от катода к аноду. Тогда величина тока 𝐼а , переносимого термоэлектронами, будет
определяться выражением
3
∞
𝑚 2
) ∫ 𝑣𝑥 exp(−𝑚𝑣𝑥2 /2𝑘𝑇)𝑑𝑣𝑥 ×
𝐼а = 𝑒 ∫ 𝑣𝑥 𝑑𝑁𝑣𝑥,𝑣𝑦 ,𝑣𝑧 = 𝑒𝑁 (
2π𝑘𝑇
∗
𝑣𝑥
𝑚𝑣𝑦2
+∞
+∞
𝑚𝑣 2
× ∫−∞ exp (− 2𝑘𝑇 ) 𝑑𝑣𝑦 ∙ ∫−∞ exp (− 2𝑘𝑇𝑧 ) 𝑑𝑣𝑧 .
(2.31.6)
Нижний предел интегрирования по 𝑣𝑥 v x находится из условия
239
𝑚(𝑣𝑥∗)2
2
= 𝑒|𝑈а |.
(2.31.7)
Это означает, что анодный ток I а при данном тормозящем (отрицательном) напряжении U а определяется лишь теми электронами, скорости которых превышают значение 𝑣𝑥∗ = √2|𝑈а | 𝑒⁄𝑚 .
Интегрирование приводит к результату
𝐼а = 𝐴exp(−𝑒|𝑈а |/𝑘𝑇).
Константа A может быть определена независимо, исходя из значения I а I 0 при отсутствии тормозящего напряжения ( I а 0 ).
Тогда
(2.31.8)
I а = I 0 exp(eU а / kT ) ,
где U а 0 .
Полученное соотношение означает, что логарифм анодного тока
является линейной функцией анодного напряжения
e
Uа .
(2.31.9)
kT
Линейный характер такой зависимости, обнаруживаемый на опыте, должен подтверждать наше исходное предположение о максвелловском распределении термоэлектронов по скоростям.
Экспоненциальный характер зависимости анодного тока от анодного напряжения (2.31.8) сохраняется и в области U а 0 до тех пор,
пока величина ускоряющего напряжения U а kT / e . При анодных
напряжениях U а kT / e экспоненциальная зависимость сменяется
степенной (так называемый закон «степени 3/2»), что связано с влиянием объемного заряда электронов, возникающего в пространстве
между катодом и анодом.
При малых значениях анодного тока I а , т. е. в случае, когда
U а U з зависимость (2.31.8) может нарушаться также вследствие
ряда неучтенных факторов (токи утечки с анода, фототоки и т.д.).
Используя экспериментально измеренную зависимость I а
f (U а ) в той области, где справедлива формула (2.31.8), можно
ln I а ln I 0
240
определить температуру катода Т (при заданном токе накала I н ).
Простейший способ определения Т опирается на линейный характер
зависимости ln I а от U а (формула (2.31.9)), поскольку тангенс угла
наклона соответствующей прямой обратно пропорционален температуре катода Т.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Принципиальная электрическая схема установки для измерения
вольт-амперных характеристик вакуумного диода представлена на
рис. 2.31.2.
С источника питания УНИП-7, имеющего 2 входа, на исследуемый вакуумный диод подаётся анодное напряжение и напряжение
накала катода. Режим работы диода (ток накала и анодное напряжение) можно менять с помощью переменных сопротивлений. Ток
накала измеряется амперметром А, анодное напряжение − вольтметром, анодный ток − миллиамперметром mA. В установке предусмотрен переключатель, с помощью которого можно изменять полярность анодного напряжения.
Рис. 2.31.2
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
Запрещается устанавливать ток накала большим, чем рекомендовано в описании работы и настольном приложении.
241
В остальном следует руководствоваться инструкцией по технике
безопасности, озвученной на вводном занятии в лаборатории.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться со схемой установки (рис. 2.31.2).
2. На источнике питания УНИП-7 повернуть против часовой
стрелки до упора ручки на панелях «КАНАЛ-1» и «КАНАЛ-2».
Включить источник питания УНИП-7. Нажать клавиши «10-20» на
панели «КАНАЛ-1» и «0-10» на панели «КАНАЛ-2».
Нажать клавишу « v1 ». Нажать клавишу «ВКЛ» на панели «КАНАЛ-1» и, медленно вращая ручку, установить ток накала I н =
= 0,26 A на миллиамперметре Э-513. Плавная регулировка I н производится ручкой « R1 » на панели измерительного блока.
Нажать клавишу « v11 ». Нажать клавишу «ВКЛ» на панели «КАНАЛ-2» и, медленно вращая ручку, установить напряжение 10 В на
вольтметре УНИП-7.
3. Тумблер полярности анодного напряжения поставить в положение «+» (это положение соответствует положительному потенциалу на аноде лампы). Вращением ручки R2 на измерительном блоке
установить величину анодного напряжения равной +0,1 В. (Величина анодного напряжения контролируется стрелочным вольтметром с
ценой деления 0,01 В.)
Измерить анодный ток на цифровом миллиамперметре В720.Результаты занести в табл. 2.31.1.
4. Изменяя величину анодного напряжения медленным вращением ручки R2 на измерительном блоке, снять зависимость анодного тока I а от анодного напряжения U а . Рекомендуемые значения
анодного напряжения приведены в табл. 2.31.1.
Величину отрицательного анодного напряжения следует увеличивать до тех пор, пока анодный ток не обратится в нуль.
5. Установить ток накала I н = 0,29 A. Измерить зависимость I а
от U а аналогично пп. 3 и 4. Следует иметь в виду, что для установления температуры катода после изменения тока накала следует выждать три минуты. Результаты измерений записать в табл. 2.31.1.
242
Таблица 2.31.1
Uа, В
Iа, мА
Iн = 0,26 А
Iн = 0,29 А
+ 0,1
+ 0,05
0
– 0,05
– 0,1
и т. д.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. По снятым вольт-амперным характеристикам I а f (U а ) построить графики зависимости ln I а f (U а ) для обоих значений тока накала. По наклону прямой определить температуру катода, отвечающую данному току накала.
2. Опираясь на полученные значения температуры, найти
наиболее вероятные скорости термоэлектронов, соответствующие
различным токам накала (см. формулу (2.31.5)).
3. Построить графики функции распределения электронов по
скоростям F(v) (см. формулу (2.31.4)) для двух использовавшихся
значений тока накала. Обе зависимости нанести на один рисунок.
При построении этих графиков удобно выбирать значения скорости v в диапазоне от 0,2∙vвер до 2,0∙vвер с интервалом 0,2∙vвер, что потребует вычисления десяти значений функции F(v).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как изменится функция распределения частиц по скоростям
Максвелла с увеличением температуры? Нарисовать для сравнения
две кривые для Т1 и Т2 > T1.
243
2. Во сколько раз и в какую сторону изменится среднее значение
скорости частиц, подчиняющихся распределению Максвелла, при
увеличении абсолютной температуры вдвое?.
3. Как по экспериментальной кривой I а f (U а ) построить график функции распределения частиц по скоростям?
4. Каким образом можно определить температуру катода?
5. Какой смысл имеет величина задерживающего напряжения?
6. При каких значениях анодного напряжения имеется линейная
зависимость между ln I а и величиной U а ?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т. 2.
Учебное пособие. М.: Дрофа, 2001.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, 2008.
244
Работа 2.32
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА
ПО СКОРОСТЯМ
Цель: изучить распределение молекул идеального газа по скоростям и его основные характеристики.
Оборудование: установка для моделирования теплового движения; источник питания; стеклянные шарики; стальные шарики;
строботахометр; пробирки; линейка; миллисекундомер; кисточка.
ВВЕДЕНИЕ
Функция распределение молекул идеального газа по скоростям. Молекулы идеального газа находятся в непрерывном беспорядочном движении. Сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда,
они меняют свою скорость как по направлению, так и по величине.
Однако если газ находится в равновесном состоянии, то термодинамические параметры газа остаются неизменными, а такое возможно
только при наличии равновесного распределения молекул газа по
скоростям. Это распределение должно оставаться неизменным во
времени и однородным в пространстве, что позволяет оставаться
неизменными во времени и пространстве таким термодинамическим
параметрам, как температура и давление. Такое распределение было
впервые получено Дж. Максвеллом в 1859 г.
В этой модели газ рассматривается как совокупность большого
числа одинаковых абсолютно упругих молекул, находящихся в сосуде с заданной температурой стенок. Для данного газа можно
определить среднее число молекул, скорости которых лежат в интервале скоростей от до d . Если полное число частиц в сосуде N, то число частиц dN, имеющих скорости в интервале d ,
определяется выражением
dN NF d ,
(2.32.1)
где F – функция распределения молекул по скоростям, а
d d x d y d z – элемент объема в пространстве скоростей. Тогда
вероятность dP , d того, что молекула имеет скорость, лежащую в интервале от до d , определяется отношением
245
числа частиц, удовлетворяющих этому условию, к полному числу
частиц:
dN
dP , d
F d .
(2.32.2)
N
В одномерном случае вероятность dP x , x d x того, что xсоставляющая скорости молекулы, попадает в интервал от x до
x d x должна, аналогично предыдущему случаю, быть пропорциональна ширине рассматриваемого интервала, причем коэффициент пропорциональности x должен зависеть от величины
x , т.е.
dP x , x d x x d x ,
(2.32.3)
где x – одномерная функция распределения молекул газа по
проекции скорости на ось x. Зная функцию распределения молекул
по проекции скорости на ось x, можно найти вероятность
P x1 x x 2 того, что проекция скорости лежит в произвольном интервале от x1 до x 2 :
x 2
P x1 x x 2 x d x .
(2.32.4)
x1
Вероятность того, что проекция скорости молекулы может принять хотя бы какое-нибудь значение из всех возможных, – достоверное событие, поэтому
x d x 1 .
(2.32.5)
Это соотношение называется условием нормировки.
Вероятность того, что значение скорости лежит в интервале от
до d , связана с вероятностями того, что проекции скорости
на оси x, y и z лежат, соответственно, в интервалах от x до
x d x , от y до y d y и от z до z d z , следующим соотношением:
dP , d dP x , x d x
dP y , y d y dP z , z d z .
246
(2.32.6)
Оси декартовой системы координат равноправны, поэтому
функции распределения молекул по проекциям скорости на все оси
декартовой системы координат должны определяться одинаковыми
функциями. Тогда для функций распределения должно выполняться следующее соотношение:
F x y z .
(2.32.7)
Используя данное соотношение, можно получить для функции распределения по проекции скорости следующий вид:
m 2
(2.32.8)
x A exp x .
2kT
.
Рис. 2.32.1
Из условия нормировки для коэффициента A получается выражение
𝐴=√
𝑚
2π𝑘𝑇
.
Таким образом, нормированная функция распределения по проекции скорости на ось x имеет вид
m 2
m
(2.32.9)
exp x .
x
2kT
2kT
Полученная функция – четная, ее вид приведен на рис. 2.32.1.
247
Тогда для функции распределения по скоростям из соотношения
(2.32.7) следует
3
m x 2
m
F
exp
2kT
2kT
m y 2
m 2
exp z
exp
2kT
2kT
3/2
m 2
m
.
(2.32.10)
exp
2kT
2kT
Полученная функция уже удовлетворяет условию нормировки,
т.е. F d 1 .
Функция распределение молекул идеального газа по модулю
скорости. Полученная функция распределения молекул по скорости зависит только от модуля скорости, что позволяет легко получить функцию распределения молекул по абсолютному значению
скорости (по модулю скорости). Для этого запишем элемент объема в пространстве скоростей в сферической системе координат
d 2 sin d d d
и проинтегрируем функцию распределения молекул по скорости по
полярному и азимутальному углам. Это отвечает тому, что проводим суммирование по всем возможным направлениям вектора скорости, оставляя для модуля скорости возможными значения в пределах от до d . После интегрирования получаем для вероятности dP , d молекуле иметь модуль скорости, лежащий в
пределах интервала d ,
dP , d F 4 2d .
(2.32.11)
Отношение вероятности к ширине интервала определяет функцию распределения молекул по модулю скорости
3/2
m 2
m
2
(2.32.12)
F
exp
4 .
2
kT
2
kT
Условие нормировки для данной функции также выполняется
автоматически, вид функции приведен на рис. 2.32.2.
248
Распределение Максвелла является статистическим законом, т.е.
его точность возрастает при увеличении числа частиц в исследуемом газе.
Характерные скорости распределения Максвелла. Распределение молекул и по проекции скорости, и по ее модулю можно характеризовать несколькими характерными скоростями: наиболее
вероятной, средней и средней квадратичной. Рассмотрим эти скорости для функции распределения молекул по модулю скорости.
Рис. 2.32.2
1. Наиболее вероятной называется скорость, которую имеют
большинство молекул, т.е. такое значение скорости, при котором
функция распределения молекул по модулю скорости принимает
максимальное значение. Для нахождения этой скорости необходимо приравнять нулю производную от функции распределения:
dF
(2.32.13)
0.
d
Решение этого уравнения определяет наиболее вероятную скорость
2kT
.
(2.32.14)
вер
m
Зная наиболее вероятную скорость, можно также найти максимальное значение функции распределения молекул по модулю скорости
249
4
m
4 1
.
(2.32.15)
e 2kT
e вер
Из выражений (2.32.14) и (2.32.15) видно, что при возрастании
температуры значение наиболее вероятной скорости растет, а максимум функции распределения уменьшается. Аналогичные изменения происходят при уменьшении массы молекулы. И наоборот,
при уменьшении температуры (увеличении массы молекулы)
наиболее вероятная скорость уменьшается, а высота пика растет.
Необходимо помнить, что площадь под кривой функции распределения молекул по модулю скорости определяет вероятность частицы иметь какую-либо скорость, т.е. вероятность достоверного события, поэтому она всегда остается неизменной и равна единице.
2. Средняя скорость по определению равна
F вер
dP F d .
(2.32.16)
0
Вычисление записанного интеграла дает для средней скорости значение
8kT
.
(2.32.17)
m
Стоит обратить внимание на то, что средняя скорость частиц всегда
превышает наиболее вероятную:
8
1,13 .
2
вер
3. Средняя квадратичная скорость ср. кв
2 . Среднее от
квадрата скорости молекулы также находится интегрированием
2 2 F d .
0
В результате для средней квадратичной скорости молекулы получаем значение
3kT
.
(2.32.18)
ср. кв
m
250
Значение средней квадратичной скорости больше и значения
наиболее вероятной скорости, и значения средней скорости
ср. кв 1,22вер 1,09 .
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Для изучения закона распределения молекул газа по скоростям используется механическая модель. На рис. 2.32.3 приведена схема
установки для моделирования распределения Максвелла.
7
6
5
4
8
2
1
3
9
Рис. 2.32.3
Роль молекул играют шарики, определенное количество которых засыпается во внутреннее пространство прибора 2. Шарики
приводятся в движение из-за колебательного движения основания 9
и упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Таким
образом имитируется тепловое движение молекул.
Интенсивность «теплового» движения можно изменять, меняя
напряжение, подаваемое на прибор от источника 1. Величина пода251
ваемого напряжения U и высота H поршня 6 (рабочие параметры)
влияют на движение шариков, моделируя различную интенсивность теплового движения. Шарики засыпаются в прибор через отверстие 8.
Если регулятор 7 переместить вверх, то выходное отверстие
прибора будет открыто и шарики, вылетая из отверстия кюветы 5,
попадут в верхний приемник 4, разделенный на 24 отсека. Верхний
приемник жестко крепится на нижнем приемнике 3, отсеки которого имеют цилиндрическую форму и совпадают с отсеками верхнего
приемника. Каждый верхний отсек заполняется шариками, имеющими определенное значение горизонтальной скорости. Эта скорость должна быть достаточной для перемещения по горизонтали
на расстояние от выходного отверстия кюветы до соответствующего отсека приемника, независимо от направления отклонения в горизонтальной плоскости. Все шарики, попавшие в отсеки верхнего
приемника, осыпаются через отверстия в дне в отдельные отсеки
нижнего приемника с прозрачными стенками. Полученное в результате этого распределение шариков по отсекам нижнего приемника подобно распределению Максвелла для скоростей молекул
газа.
ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Подготовка установки
1. Перед началом работы необходимо установить горизонтальное положение установки при помощи регулировочных винтов в ее
основании и основании нижнего приемника.
2. Расположите регистрирующее устройство так, чтобы оно
плотно прилегало к прибору, и измерьте разницу высот h между
выпускным отверстием и приемником.
3. Для исследования распределения молекул по скоростям необходимо, чтобы плотность молекул оставалась постоянной в течение
всего эксперимента. Поэтому нужно пополнять количество шариков во внутренней камере прибора. Для этого перед началом рабо252
ты необходимо подготовить 12 пробирок, поместив в них приблизительно по 50 шариков.
4. Поршень 6 с помощью регулировочного винта установите на
высоте Н 6,0 см .
Задание 2. Получение модели распределения Максвелла
1. Включите строботахометр и установите рабочую частоту
1 50 Гц .
2. При закрытом выходном отверстии (регулятор 7 находится в
нижнем положении) включите источник питания и, регулируя выходное напряжение, добейтесь того, чтобы основание внутренней
камеры прибора казалось неподвижным. В этом случае частота колебаний основания совпадает с частотой мигания лампы строботахометра.
3. Дождитесь, пока все шарики придут в движение, затем, перемещая регулятор 7 вверх, откройте выходное отверстие и одновременно включите секундомер.
4. В течение 30 мин наблюдайте за заполнением отсеков нижнего приемника, каждые 5 мин добавляя во внутреннюю камеру прибора шарики из одной пробирки. По окончании эксперимента выключите секундомер и уменьшите напряжение на источнике до нуля. Закройте выходное отверстие, перемещая регулятор 7 вниз.
5. С помощью кисточки стряхните шарики из ячеек верхнего
приемника в нижний приемник. Аккуратно снимите верхний приемник.
6. Измерьте линейкой высоту столбиков во всех заполненных
ячейках нижнего приемника и занесите результаты в табл. 2.32.1.
Таблица 2.32.1
Номер
ячейки i
Высота
столбика hi ,
мм
Скорость шарика i , м/с
1
2
…
253
Значение функции распределения F (i ) , с/м
7. Проведите аналогичные измерения для частоты ν2 = 70 Гц.
В этом случае время эксперимента должно составлять 15 мин, а
добавлять шарики нужно каждые 2,5 мин. Результаты измерения
занесите в таблицу, аналогичную табл. 2.32.1.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Число шариков N1, попавших в первый отсек, моделирует число
молекул, скорости которых имеют значения от нуля до 1 . Число
шариков N2, попавших во второй отсек, моделирует число молекул
со скоростями от 1 до 2 и т.д. Обозначим общее число шариков
(молекул) через N. Отношение Ni / N есть вероятность того, что молекулы модельного газа имеют скорости в интервале от i до
i . А значение функции распределения можно найти, разделив
вероятность на ширину интервала :
(2.32.19)
F Ni / ( N ) .
Изменение скорости в пределах одной ячейки определяется шириной ячейки s . А значение скорости i шарика, попавшего в i-й
отсек, можно найти, зная его дальность полета si , отвечающее
каждой ячейке, которое легко определить, умножив ширину каждой
ячейки верхнего приемника на ее номер:
s i
i
,
(2.32.20)
t
s
.
(2.32.21)
t
Для определения времени движения шарика воспользуемся измеренной в задании 1 разницей высот между выходным отверстием и
основанием верхнего приемника шариков h :
t 2h / g ,
(2.32.22)
где g – ускорение свободного падения.
Подставив (2.32.21) в (2.32.19) и (2.32.20), получаем
i s i g / (2h) ,
(2.32.23)
s g / (2h) .
254
(2.32.24)
Так как для обработки результатов нам необходимо только отношение числа частиц в каждой ячейке к полному числу частиц вылетевших в течение эксперимента, то мы можем не вычислять число частиц, а воспользоваться высотой столбика шариков в каждой ячейке
h
Ni / N i ,
(2.32.25)
hi
где суммирование ведется по номерам всех заполненных ячеек.
По формулам (2.32.23) и (2.32.19), (2.32.24), (2.32.25) рассчитать
скорости шариков, попавших в i-й отсек и значение функции распределения, отвечающее этой скорости. Построить экспериментальную зависимость функции распределения для обеих рабочих
частот.
Максимум кривой соответствует наиболее вероятной скорости
вер . Закон распределения Максвелла можно переписать, учитывая
выражение (2.9.14) для наиболее вероятной скорости вер , как
3/2
1
2
F
4 2 exp 2 .
(2.32.26)
вер
вер
Таким образом, зная значение наиболее вероятной скорости,
можно рассчитать теоретический вид распределения Максвелла и
сравнить его с полученным экспериментально распределением.
Для этого в тех же осях, что и экспериментальные графики, необходимо построить рассчитанные по формуле (2.9.26) теоретические.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Каков физический смысл функции распределения молекул газа
по скоростям?
2. Какой вид имеет распределение молекул газа по скоростям?
3. Каков физический смысл площади, ограниченной кривой
графика распределения молекул по скоростям и осью абсцисс?
4. Что такое наиболее вероятная скорость? Как ее определить по
графику распределения Максвелла?
5. Запишите формулы для расчета характерных скоростей распределения Максвелла.
255
6. Каково соотношение между характерными скоростями распределения Максвелла?
7. Выведите формулу для получения наиболее вероятной скорости.
8. Как влияет повышение температуры на вид распределения
Максвелла? Сделайте рисунок для двух различных температур.
9. Как влияет повышение массы молекул газа на вид распределения Максвелла? Сделайте рисунок для молекул двух различных
масс.
10. Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения
молекул при переходе от кислорода к водороду?
11. При каких условиях распределение молекул газа по скоростям описывается распределением Максвелла?
12. В чем заключается идея метода по моделированию распределения молекул газа по скоростям, использованного в работе?
13. Почему во время эксперимента необходимо поддерживать
постоянную плотность частиц в устройстве для моделирования
распределения?
14. Как в эксперименте рассчитывается скорость шарика, попадающего в каждый отсек?
15. Чему равно среднее значение проекции скорости на ось декартовой системы координат?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, 2008.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под
ред. Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Бином. Лаборатория
знаний, 2010.
256
Работа 2.33
БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Цель: изучить распределение молекул идеального газа по координатам и его основные характеристики.
Оборудование: прибор для моделирования теплового движения; источник питания; стробоскоп; фотодатчик; миллисекундомер; стеклянные и стальные шарики.
ВВЕДЕНИЕ
Любые макроскопические тела, находящиеся в поле внешних
сил, стремятся занять положение, отвечающее минимальной потенциальной энергии, т.е., оказываясь
в поле тяжести Земли, они занимают
положение, отвечающее минимальной
высоте. Но молекулы идеального газа
участвуют в постоянном хаотическом
тепловом движении и не могут упасть
на поверхность Земли, даже находясь
в поле силы тяжести. В отсутствие
внешних силовых полей за счет теплового движения молекулы газа распределяются в пространстве равномерно, но в случае действия внешнего
силового поля их распределение в
пространстве меняется. Установим
Рис. 2.33.1
характер их распределения, рассмотрев вертикальный столб воздуха с площадью поперечного сечения S, находящийся в поле действия силы тяжести.
Выделим элементарный объем газа высоты dh и рассмотрим силы, действующие на него (рис. 2.33.1). Масса рассматриваемого
257
элемента газа dm Sdh . Так как выделенный элемент находится в
равновесии, то суммарная сила должна быть равна нулю:
dm g p h S p h dh S 0 .
Подставляя выражение для массы и сокращая выражение на S, получаем
(2.33.1)
g dh p h p h dh dp .
Давление, создаваемое газом, связано с концентрацией молекул n
уравнением состояния идеального газа p nkT , считая, что температура не меняется, получаем
dp kT dn .
(2.33.2)
Плотность газа также можно выразить через его концентрацию и
массу молекулы газа m:
m n .
(2.33.3)
Подставляя выражения (2.33.2) и (2.33.3) в уравнение (2.33.1), получаем дифференциальное уравнение, связывающее концентрацию
с высотой
mg
dn
dh .
kT
n
Решая это уравнение, получаем зависимость концентрации молекул от высоты в поле силы тяжести в приближении изотермической атмосферы
mgh
n h n0 exp
(2.33.4)
,
kT
где n0 – концентрация молекул на нулевой высоте.
Соотношение (2.33.4) может быть представлено через молярную
массу M газа, а не через массу каждой молекулы. Учитывая что
m M / NA , получаем
Mgh
Mgh
(2.33.5)
n h n0 exp
n0 exp
.
RT
N AkT
Соотношения (2.33.4) и (2.33.5), определяющие зависимость концентрации молекул от высоты в поле силы тяжести Земли, называются распределением Больцмана в поле силы тяжести.
Из формулы (2.33.4) следует, что с понижением температуры
число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, а при темпе258
ратуре, равной абсолютному нулю, вообще обращается в нуль. При
абсолютном нуле все молекулы упали бы на земную поверхность,
так как при нулевой температуре интенсивность теплового движения обращается в нуль. При высоких температурах, напротив, концентрация n слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются почти равномерно распределенными по высоте.
Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой mg ) стремится расположить их на поверхности Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной kT )
стремится разбросать молекулы по всем высотам. Чем больше m и
меньше T, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы
сгущаются у поверхности Земли. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и молекулы стремятся как можно равномернее распределиться в занимаемом им сосуде, т.е. концентрация
молекул медленно убывает с увеличением высоты.
Если число частиц остается неизменным, то при изменении
температуры меняется концентрация частиц на нулевом уровне.
Выясним, как они связаны между собой.
Полное число частиц определяется через концентрацию следующим интегралом:
N n dV n h Sdh ,
(2.33.6)
0
где S – площадь сечения рассматриваемого столба воздуха. Записанный
интеграл пропорционален площади
под графиком зависимости концентрации молекул от высоты, т.е. площадь под кривой не должна изменяться при увеличении и уменьшении
температуры (рис. 2.33.3). Это возможно только при изменении концентрации на нулевой высоте.
259
Рис. 2.33.2
Рассмотрение интеграла (2.33.6) определяет концентрацию на
N mg
нулевой высоте n0
, т.е. отношение концентраций на нулеS kT
вой высоте связано с температурами следующим образом:
n0 T
(2.33.7)
.
n0 T
На рис. 2.33.2 приведены графики зависимости концентрации
молекул идеального газа от высоты для двух температур, отличающихся в три раза.
Барометрическая формула. Зная зависимость концентрации
молекул от высоты в поле силы тяжести, при помощи уравнения
состояния идеального газа легко можно получить зависимость давления, создаваемого столбом газа, от высоты. Концентрация n h
молекул на высоте h
p h
,
(2.33.8)
n h
kT
концентрация n0 молекул на нулевой высоте
p0
,
(2.33.9)
kT
где p0 – давление, создаваемое газом на нулевой высоте.
Подставляя выражения (2.33.8) и (2.33.9) в зависимость (2.33.4)
и предполагая, что температура на различной высоте одинакова,
получаем
mgh
p h p0 exp
(2.33.10)
.
kT
Соотношение (2.33.10), аналогично распределению Больцмана,
может быть представлено через молярную массу газа, а не через
массу каждой молекулы
Mgh
p h p0 exp
(2.33.11)
.
RT
Таким образом, для изотермической атмосферы зависимость
давления от высоты может быть описана соотношениями (2.33.10)
и (2.33.11), называемыми барометрическими формулами.
n0
260
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Для изучения закона распределения молекул идеального газа по
высоте в поле тяжести Земли используется механическая модель.
На рис. 2.33.3 приведена экспериментальная установка для моделирования распределения Больцмана.
Роль молекул играют стальные или стеклянные шарики, определенное количество которых помещено во внутреннее пространство
прибора для моделирования теплового движения 4. Шарики приводятся в движение благодаря колебаниям основания прибора и
упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Таким
образом имитируется тепловое движение молекул, интенсивность
которого, т.е. температура газа, будет определяться частотой колебаний основания. Интенсивность «теплового» движения можно
изменять, меняя напряжение, подаваемое на прибор от источника
питания 2. Измерение частоты колебаний основано на стробоскопическом эффекте: если при освещении основания стробоскопом 1
оно кажется неподвижным, то частота колебаний основания и частота вспышек лампы стробоскопа совпадают.
Рис. 2.33.3
Для определения концентрации молекул на определенной высоте в данной работе используется фотодатчик (рис. 2.33.4). При
261
установке переключателя 2 в режим «Count», фотодатчик фиксирует количество пересечений шариками луча фотодатчика. Количество пересечений отражается на дисплее 1. Для обнуления показаний прибора необходимо нажать клавишу «Set» 3. Конструкция
установки позволяет легко перемещать фотодатчик по вертикали.
Для измерения высоты фотодатчика удобнее всего воспользоваться
шкалой, нанесенной на переднюю стеклянную стенку внутреннего
пространства прибора, моделирующего тепловое движение. Таким
образом, проводя измерения количества пересечений шариками
луча фотодатчика за равные промежутки времени на различной
высоте, можно определить зависимость концентрации молекул
идеального газа от высоты в поле тяжести Земли. Равные промежутки времени отсчитываются при помощи секундомера 3 (см.
рис. 2.33.3).
Рис. 2.33.4
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. При работе со стробоскопом соблюдать осторожность, не допуская прямого попадания света стробоскопа в глаза.
2. При перемещении фотодатчика вдоль кронштейна следить за
тем, чтобы его плоскость была горизонтальна.
262
3. При подаче питания на прибор, моделирующий тепловое
движение, напряжение увеличивать плавно.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Убедиться в том, что поршень прибора для моделирования
теплового движения находится на высоте 150 мм, а переключатель
фотодатчика установлен в положении «Count».
2. Включить стробоскоп и выставить на нем частоту 1 = 70 Гц.
3. Осветить стробоскопом основание прибора для моделирования теплового движения и, регулируя напряжение на источнике,
добиться кажущейся неподвижности основания. Выключить стробоскоп. При проведении измерений напряжение не изменять.
4. Поместить фотодатчик на высоте 15 мм (высота измеряется
по нижней горизонтальной плоскости датчика).
Таблица 2.33.1
№
п/п
1
2
2
…
…
1 = 70 Гц
h, мм
N1
N2
N3
N
N
ln N
ln N
15
30
45
…
…
5. Одновременно запустить секундомер и нажать кнопку «Set»
на фотодатчике. Измерить количество пересечений шариками луча
фотодатчика в течение 30 с (показания фотодатчика по прошествии
30 с). Результаты занести в табл. 2.33.1. Повторить измерения еще
два раза.
6. Перемещая датчик по вертикали с шагом 15 мм, проводить
измерения, описанные в п. 5, до тех пор, пока количество пересечений не станет меньше 30.
7. Провести измерения, описанные в пп. 2–6, для частоты
2 = 90 Гц. Результаты занести в таблицу, составленную по образцу табл. 2.33.1.
263
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Как уже было сказано, если количество пересечений на различных высотах измеряется в течение равных промежутков времени,
то зависимость количества пересечений от высоты будет пропорциональна зависимости концентрации молекул от высоты. Из зависимости (2.33.4), полученной в теоретическом введении к работе,
следует, что
mgh
ln N const
,
kT
т.е. зависимость логарифма количества пересечений от высоты
также должна быть линейной, а угловой коэффициент этой прямой
mg
равен
. Для построения графика необходимо вычислить
kT
среднее значение количества пересечений на каждой высоте и его
погрешность. Погрешность вычисляется методом Корнфельда:
N min
N
N max
.
2
Затем необходимо вычислить натуральный логарифм количества
N
. Полученные значепересечений и его погрешность ln N
N
ния занесите в табл. 2.33.1 и таблицу, построенную в п. 7 аналогично табл. 2.33.1. Постройте полулогарифмический график зависимости количества пересечений от высоты для каждой частоты.
Убедитесь в том, что графики линейны.
Методом парных точек определите угловой коэффициент графика зависимости логарифма количества пересечений от высоты и
его погрешность. Вычисления необходимо провести для обеих частот.
В силу того, что частота колебаний основания прибора моделирующего тепловое движение определяет температуру газа, то отношение угловых коэффициентов графиков должно быть равно
обратному отношению частот.
264
Вычислите отношение угловых коэффициентов графика и его
погрешность
эксп 1 ,
2
2
2
2
эксп 1
.
1 2
Вычислите теоретическое значение отношения угловых коэффициентов
теор 2 .
1
Сравните экспериментальные и теоретические значения.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
Результаты данной работы должны быть представлены в виде
двух полулогарифмических графиков зависимости количества пересечений от высоты для частот 1 = 70 Гц и 2 = 90 Гц, а также
угловых коэффициентов этих графиков и экспериментального и
теоретического значений отношения угловых коэффициентов. В
заключении к работе должно быть проведено обсуждение формы
графиков, обсуждение погрешности и сравнение теоретических и
экспериментальных данных.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Можно ли проводить измерения количества пересечений шариками луча фотодатчика на разных высотах в течение разного
времени? Обоснуйте свой ответ.
2. На какой высоте нужно прекратить измерения количества пересечений шариками луча фотодатчика?
3. Какой вид имеет зависимость логарифма количества пересечений от высоты?
4. Чему равен угловой коэффициент зависимости логарифма количества пересечений от высоты?
265
5. Как угловой коэффициент зависимости логарифма количества
пересечений от высоты зависит от массы шариков? А от частоты
колебаний основания прибора для моделирования теплового движения?
6. Как распределены молекулы идеального газа в отсутствие
внешних силовых полей?
7. При изменении температуры газа меняется ли давление газа
на нулевой высоте? А концентрация молекул?
8. Что происходит с концентрацией газа на нулевой высоте при
уменьшении температуры?
9. Какой эффект используется для определения частоты колебаний основания прибора, моделирующего тепловое движение молекул?
10. Каким образом в данной работе можно менять «температуру
газа»?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, 2008.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под
ред. Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Бином. Лаборатория
знаний, 2010.
266
Работа 2.34
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ МЕТОДОМ ОТРЫВА
КОЛЬЦА С ПРИМЕНЕНИЕМ УСТАНОВКИ «КОБРА-3»
Цель: измерить коэффициент поверхностного натяжения воды.
Оборудование: установка для измерения поверхностного
натяжения методом отрыва кольца, содержащая горизонтальную
платформу с возможностью плавного изменения высоты; сосуд с
водой; металлическое кольцо с подвесом; штатив; электронный
динамометр; электронный блок «Кобра-3»; персональный компьютер.
ВВЕДЕНИЕ
Жидкое состояние вещества является в определенном смысле
промежуточным между твердым и газообразным состоянием. С
одной стороны, плотность жидкости близка к плотности того же
вещества в твердом состоянии, следовательно, межмолекулярные
расстояния в жидком и твердом состоянии примерно одинаковы. С
другой стороны, молекулы жидкости могут перемещаться на значительные расстояния в пределах сосуда, содержащего эту жидкость (в отличие от кристаллов, где молекулы могут лишь колебаться около своих равновесных положений в узлах кристаллической решетки). Молекулы жидкости взаимодействуют друг с другом, и если межмолекулярное расстояние превышает размер молекулы, то это взаимодействие является притяжением. Силы притяжения молекул довольно быстро спадают с ростом расстояния
между ними, тем не менее каждая молекула жидкости взаимодействует одновременно с некоторым количеством других молекул,
находящихся поблизости. Результат этого взаимодействия оказывается различным для молекул, находящихся внутри жидкости, и
молекул приповерхностного слоя.
Чтобы понять это различие, окружим каждую молекулу воображаемой сферой молекулярного действия (ее радиус равен расстоя267
нию, за пределами которого межмолекулярным притяжением можно пренебречь). Этот радиус точно не определен, он будет разным
для молекул разной химической природы, ориентировочно его
принимают равным примерно 10−7 см. Если молекула находится
внутри жидкости и удалена от поверхности на расстояние больше
радиуса сферы молекулярного действия, то эти силы уравновешиваются.
Вблизи границы жидкости с газом в приграничном слое, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия, появляется результирующая сила молекулярного действия на молекулу,
направленная внутрь жидкости (рис. 2.34.1). Из-за этого поверхность жидкости пребывает в особом (напряженном) состоянии, отдаленно напоминающем состояние растянутой упругой (например, тонкой резиновой) пленки.
Рис. 2.34.1
Такое состояние поверхности жидкости называют поверхностным
натяжением. Как и в случае тонкой упругой пленки, на любой элемент
прямой линии Δl, выделенной на поверхности, действует сила ΔFпов,
направленная перпендикулярно этому элементу по касательной к поверхности, стремящаяся уменьшить площадь поверхности. Различие
поверхностной «пленки» жидкости и растянутой резиновой пленки
состоит в том, что при дальнейшем растягивании (увеличении площади поверхности) резиновой пленки упругая сила, действующая по касательной к поверхности, возрастает, а сила поверхностного натяжения жидкости в аналогичных условиях остается постоянной.
268
Количественную меру поверхностного натяжения жидкости (коэффициент поверхностного натяжения) можно определить как силу
поверхностного натяжения, приходящуюся на единичный элемент
длины линии на поверхности:
α
F
.
l
Возможно другое определение коэффициента поверхностного
натяжения. При изотермическом увеличении поверхности жидкости
элемент линии Δl перемещается на расстояние Δx и внешняя сила,
перемещающая этот элемент, по величине равная силе поверхностного натяжения, совершает работу, равную
δA Fпов x α l x α S ,
где ΔS – приращение площади поверхности жидкости. Эта работа
«запасается» в элементе поверхности ΔS. Таким образом, поверхность
жидкости содержит некоторую избыточную энергию, которую называют свободной энергией поверхности (свободная энергия – термодинамическая величина, свойства которой здесь обсуждаться не будут):
∆𝐸пов = δ𝐴 = α ∙ ∆𝑆.
Коэффициент поверхностного натяжения можно определить как
свободную энергию единицы площади поверхности жидкости:
α
Eпов
.
S
Очевидно, эти определения эквивалентны так же, как вытекающие из них размерности коэффициента поверхностного натяжения:
α =
Н Дж
=
.
м м2
При соприкосновении твердого тела с жидкостью поверхностная свободная энергия жидкости и форма поверхности жидкости
зависят от силы взаимодействия молекул жидкости друг с другом,
с молекулами твердого тела и с молекулами пара, с которыми жидкость граничит.
Для характеристики сил взаимодействия молекул служит краевой угол . Этот угол отсчитывается внутри жидкости между касательными к поверхности твердого тела и к поверхности жидкости.
269
Если краевой угол 0 < < π/2, то говорят о частичном смачивании поверхности твердого тела; если = 0, то имеет место полное
смачивание (рис. 2.34.2).
Рис. 2.34.2
Измерение коэффициента поверхностного натяжения
жидкости методом отрыва кольца
Кольцо из материала, полностью смачиваемого исследуемой
жидкостью, подвешивают к чувствительному динамометру так,
чтобы плоскость кольца была горизонтальной. Кольцо погружают
в жидкость, затем уровень жидкости медленно понижают. Когда
уровень жидкости достигает нижней кромки кольца, силы поверхностного натяжения увлекают жидкость за поднимающимся относительно поверхности кольцом (рис. 2.34.3).
При дальнейшем подъеме кольца над невозмущенной горизонтальной поверхностью жидкости кольцо отрывается от жидкости.
Непосредственно перед отрывом кольца динамометр показывает
сумму силы тяжести кольца и силы поверхностного натяжения на
границе жидкости и кольца. После отрыва кольца динамометр показывает только силу тяжести кольца. Таким образом, разность показаний динамометра непосредственно перед отрывом кольца и
после отрыва равна силе поверхностного натяжения на линии соприкосновения поверхности жидкости и боковой поверхности
кольца (наружной и внутренней).
270
Рис. 2.34.3
В соответствии с определением коэффициента поверхностного
натяжения силу поверхностного натяжения f можно представить в
виде
f L,
(2.34.1)
где L – длина контура поверхности, вдоль которого действует сила.
В данном случае L равна длине внешней и внутренней окружности
кольца. В случае тонкого кольца можно взять среднее значение
диаметра кольца, тогда
f d1 d2 2d ,
(2.34.2)
где d1 – внешний диаметр; d2 – внутренний диаметр; d – средний
диаметр кольца.
Таким образом, получаем следующее выражение коэффициента
поверхностного натяжения:
f
.
(2.34.3)
2d
271
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для измерения коэффициента поверхностного натяжения жидкости с использованием компьютерной измерительной
системы «Кобра-3» представлена на рис. 2.34.4.
Рис. 2.34.4
На подъемной платформе 1, высоту которой можно изменять
поворотом рукоятки 2, установлен сосуд (чашка Петри) с исследуемой жидкостью (в нашем случае – водой). Рядом с подъемной
платформой установлен штатив 3, на котором закреплен электронный датчик силы 4 (динамометр, выдающий электрический сигнал,
пропорциональный приложенной силе).
На чувствительный элемент датчика силы подвешивается кольцо 5 – часть установки, на которую будет действовать сила поверхностного натяжения жидкости. Электрический сигнал от датчика
силы подается на один из аналоговых входов универсального электронного блока «Кобра-3» 6, предназначенного для связи экспериментальной установки с персональным компьютером (компьютер
на рисунке не показан).
В ходе выполнения работы экспериментатор поворотом рукоятки 2 поднимает платформу 1 до положения, в котором кольцо 5
272
оказывается погруженным в жидкость, затем плавно опускает
платформу, в результате чего кольцо поднимается над поверхностью жидкости, увлекая за собой поверхностную пленку. При
этом датчик силы 4 регистрирует величину возникающей силы поверхностного натяжения, действующей на кольцо, а блок «Кобра-3» выдает на своем выходе цифровой код, соответствующий
измеряемой силе. Этот код по кабелю передается на один из
USB-портов компьютера. Написанная для данной работы компьютерная программа позволяет выводить на экран монитора измеренное значение силы, записывать величину силы в заданные моменты
времени и выводить на экран график зависимости измеряемой силы от времени.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Вращайте рукоятку подъёмной платформы осторожно и плавно, не прилагая заметных усилий.
2. Не толкайте лабораторный стол – от его вибраций на поверхности воды возникнут волны, искажающие результаты измерений.
3. В остальном руководствуйтесь правилами стандартной инструкции по технике безопасности, озвученной на вводном занятии в
лаборатории.
ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ
1. Убедитесь, что чашка Петри на подъемной платформе наполнена водой примерно на 2/3 ее объема.
2. Убедитесь, что персональный компьютер, входящий в состав
лабораторной установки, включен и находится в режиме ожидания.
3. Убедитесь, что базовый блок «Кобра-3» включен (у включенного прибора светится зеленый светодиод в правом верхнем углу
лицевой панели блока). Если вышеупомянутые устройства не
включены, попросите сотрудников лаборатории подготовить их к
работе.
4. Найдите на рабочем столе компьютера иконку в виде желтой
латинской буквы m с надписью «Измерение» и дважды щелкните
по ней левой кнопкой «мыши». На экране возникнет диалоговое
273
окно программы, обслуживающей измерения с помощью блока
«Кобра-3», с заголовком «Phywemeasure 4».
5. В меню, расположенном в верхней части окна, найдите опцию «Прибор» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши». На
экране появится «выпадающее» меню, в котором перечислены программы, управляющие различными измерительными приборами,
входящими в комплект оборудования от фирмы Phywe.
Рис. 2.34.5
Найдите в этом меню строку строку «Сила/Тесла» и щелкните
по ней левой кнопкой «мыши». На экране появится настроечное
окно для работы с измерителем силы, использующимся в данной
работе (рис. 2.34.5). Окно содержит элементы управления, с помощью которых можно задавать режим измерений. По умолчанию
при запуске программы устанавливаются значения параметров, не274
обходимые для выполнения данной работы, так что менять эти
установки не следует.
6. Поворотом рукоятки установите подъемную платформу на
высоту, при которой верхняя кромка кольца окажется на 1–2 мм
ниже поверхности жидкости.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. В нижней части настроечного окна (см. рис. 2.34.5) найдите
клавишу «Далее» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши».
Настроечное окно исчезнет с экрана, вместо него появятся два других (рис. 2.34.6). На одном из них индицируется значение силы,действующей на датчик. Это сила тяжести кольца за вычетом архимедовой силы, действующей на часть кольца, погруженную в воду. Второе (малых размеров окошко с заголовком
«Кобра-3 – измерение») предназначено для запуска процесса
измерения зависимости силы от времени. Пронаблюдайте за
показаниями датчика силы на экране дисплея и убедитесь, что
эти показания остаются постоянными с точностью до тысячных долей ньютона.
Рис. 2.34.6
275
Внимание! При выполнении дальнейших действий будьте внимательны, собранны и аккуратны.
2. Щелкните левой кнопкой «мыши» по клавише «Начать измерение» окна с заголовком «Кобра-3 – измерение». Запись зависимости силы, действующей на кольцо от времени, началась.
3. Плавно вращая рукоятку против движения часовой стрелки,
опустите подъемную платформу до положения, при котором кольцо окажется на высоте 3–4 мм над поверхностью воды. Обратите
внимание, как в ходе в процессе понижения уровня воды кольцо
«вытягивает» за собой поверхностную пленку. Характерная длительность опускания платформы 3–5 с.
4. После того, как кольцо оторвется от поверхностной пленки,
плавно вращая рукоятку по часовой стрелке, поднимите платформу
до положения, при котором верхняя кромка кольца окажется на
глубине 1–2 мм под поверхностью воды.
5. Повторите 8–10 раз пп. 3 и 4, после чего щелкните левой
кнопкой «мыши» по клавише «Закончить измерение» на управляющем окне с заголовком «Кобра-3 – измерение».
Рис. 2.34.7
276
После этого запись зависимости силы от времени закончится и
на экране появится график этой зависимости (рис. 2.34.7).
6. Полученная зависимость обычно подвержена сильным флуктуациям (случайным отклонениям от среднего значения), и для
удобства дальнейшей работы график следует сгладить. Для сглаживания на инструментальной паели в верхней части открытого на
экране окна найдите иконку программы сглаживания (на ней
изображен отрезок кривой линии, «зажатый» между двумя горизонтально расположенными пластинами). После щелчка по этой
иконке на экране возникнет окно управления режимом сглаживания (рис. 2.34.8).
Рис. 2.34.8
7. В левой части этого окна находится шкала установки степени
сглаживания. Указатель этой шкалы следует «мышью» установить
в крайнее правое положение (максимальное сглаживание). В правой части окна следует щелкнуть кнопку «Переписать» для замены
полученного «сырого» графика сглаженным. Сделав описанные
установки, щелкните клавишу «Гладкость» в нижней части окна, и
на экране возникнет сглаженный график зависимости силы от времени (примерный вид графика приведен на рис. 2.34.9). По полученному графику можно определить величину силы поверхностного натяжения, возникающую при извлечении кольца из воды.
277
Рис. 2.34.9
8. Для этого найдите на панели инструментов (в правой части
верхние строки этой панели) иконку в виде белого прямоугольника, ограниченного жирной черной линией. Щелкните по этой иконке левой кнопкой «мыши», и на экране (поверх графика) появится
прямоугольник, две вершины которого, лежащие на одной диагонали, обозначены цифрами «1» и «2», а в верхней правой части
экрана появится окошко, где представлены координаты этих вершин в единицах, которые отложены по осям графика (рис. 2.34.10).
Там же приведены значения разностей одноименных координат
вершин.
Если подвести к одной из этих вершин курсор «мыши», то,
нажав и удерживая нажатой левую кнопку, можно перемещать эту
вершину по экрану с помощью «мыши». Добейтесь такого положения прямоугольника, при котором его нижняя горизонтальная сторона соответствует силе, действующей на датчик при погруженном
в воду кольце (Fпогр = Y1), а верхняя – силе в момент отрыва поверхностной пленки от кольца (Fотр = Y2) (рис. 2.34.10). Разность
этих сил ΔF = Fотр − Fпогр = ΔY равна силе поверхностного натяжения, действовавшей на кольцо в момент перед его отрывом от поверхностной пленки.
278
Рис. 2.34.10
9. Запишите в табл. 2.34.1 значения Fпогр, Fотр и ΔF для всех «пиков» полученной зависимости силы от времени. (Таблица должна
быть заготовлена заранее при подготовке к работе и должна содержать не менее десяти строк.)
Таблица 2.34.1
№
п/п
Fпогр, Н
Fотр, Н
ΔF, Н
α, Н/м
1
…
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для каждого измерения силы отрыва кольца вычислите значение коэффициента поверхностного натяжения воды по формуле
F
,
2d
где d – диаметр кольца (кольцо – тонкое, поэтому его внутренний и
наружный диаметры можно считать совпадающими). Значение d
указано на лабораторном столе.
279
2. Обработайте полученные результаты измерений методом
Корнфельда, т.е. вычислите:
среднее значение коэффициента поверхностного натяжения
max min
;
2
абсолютную погрешность коэффициента поверхностного натяжения:
min
max
;
2
доверительную вероятность для найденного доверительного интервала:
n 1
1
p 1 ,
2
где n – число выполненных измерений силы отрыва.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ
Напишите краткое заключение по работе, в котором укажите:
что и каким методом измерялось;
приведите полученный результат – значение коэффициента поверхностного натяжения с погрешностью и доверительной вероятностью, в приводимых численных значениях сохраняйте правильное количество значащих цифр;
укажите природу и источник экспериментальной погрешности;
сравните полученное значение α и значение, известное из литературы (табличное); если табличное значение не попадает в
найденный вами доверительный интервал, прокомментируйте возможные причины этого различия.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение коэффициента поверхностного натяжения
через силу поверхностного натяжения, возникающую в плоскости,
касательной к поверхности жидкости
2. Дайте определение коэффициента поверхностного натяжения
жидкости через свободную поверхностную энергию.
280
3. На проволочный каркас натянута мыльная пленка, на которую
положили петлю из легкой нити. Петля может иметь произвольную
форму. Какую форму примет петля, если пленку проколоть внутри
петли?
4. Объясните, почему жидкости малых объемов в свободном состоянии стремятся приобрести форму шара.
5. Почему сила, действующая на молекулу жидкости в пограничном слое, направлена внутрь объема жидкости, если она граничит с собственным паром?
6. От каких параметров жидкости зависит коэффициент поверхностного натяжения?
7. Исходя из различных определений коэффициента поверхностного натяжения, дайте возможные размерности в системе СИ.
8. Что такое краевой угол смачивания?
9. Каковы источники случайных и систематических ошибок в данном методе определения коэффициента поверхностного натяжения?
10. Почему загрязненная поверхность кольца и кюветы могут
повлиять на результат измерений?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1982.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Бином, Лаборатория знаний, 2004.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1975.
2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Физматгиз, 1976.
281
Работа 2.35
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА
ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ ДИЛАТОМЕТРА
Цель: познакомиться с явлением теплового расширения твердых тел, определить термические коэффициенты линейного расширения различных твердых материалов.
Оборудование: дилатометр с индикатором часового типа; иммерсионный термостат А100; ванна для термостата; лабораторный
термометр; измерительная труба; соединительные резиновые трубки; набор стержней из исследуемых материалов.
ВВЕДЕНИЕ
Зависимость потенциальной энергии взаимодействия атомов U
от межатомного расстояния r в кристаллической решетке, как правило, может быть описана функцией, представленной на рис.
2.35.1. В первом приближении колебания атомов в узлах решетки
можно считать гармоническими (пунктирная кривая). Положение
минимума r0 в случае малых колебаний совпадает со средней величиной межатомных расстояний. С увеличением температуры T возрастают средняя скорость атомов и, следовательно, амплитуда колебаний, в результате начинает заметнее проявляться их ангармонизм (отклонение от гармонического закона). Из графика видно,
что, в силу асимметрии энергетической «ямы», при увеличении
энергии колебаний среднее межатомное расстояние r становится
больше, чем r0. Это означает, что с увеличением температуры объем V твердых тел возрастает.
Коэффициент αоб = (∂V/∂T)p/V называется термическим коэффициентом объемного расширения, α = (∂l/∂T)p/l – термическим коэффициентом линейного расширения (l – длина тела). Можно показать, что в первом приближении α не зависит от температуры, следовательно, относительное удлинение тела оказывается пропорциональным приращению температуры:
(2.35.1)
dl / l dt .
282
Рис. 2.35.1
При больших изменениях температуры или высокой точности
измерений и расчетов следует учитывать, что, на самом деле, с
увеличением температуры этот коэффициент возрастает, однако
зависимость эта весьма слабая. Так, для железа средний по интервалу температуры коэффициент линейного расширения при нагревании от 0 до 75С равен 1,21105 град.1 , а для интервала от 0 до
750 С – 1,52 105 град.1 . Поэтому считается, что при небольших
изменениях температуры не зависит от температуры, и для
практических расчетов пользуются средним коэффициентом линейного расширения:
l 2 l1 /l1 t 2 t1 ,
(2.35.2)
где t1 и t 2 – начальная и конечная температуры тела, С; l1 и l2 –
длины тела, соответствующие этим температурам.
Большинство жидкостей при нагревании ведут себя аналогичным образом, однако имеются и исключения (например, вода при
температурах от 0 до +4 С).
Уравнение
(2.35.2)
удобно
преобразовать
к
виду
l2 l1 1 t 2 t1 , откуда следует, что если принять длину тела
l0 при температуре 0 С за начальную, то длина тела lt при температуре t равна
283
(2.35.3)
lt l0 (1 t ).
Выражение (2.35.3) кладется в основу практических расчетов по
определению коэффициента линейного расширения тел. Действительно, если при температуре t1 длина тела равна l1 , а при температуре t 2 – l2 , то на основании равенства (2.35.3) имеем
l1 l0 1 t1 ; l2 l0 1 t2 .
Отсюда получаем выражение для
l2 l1 / l1t 2 l2t1 .
(2.35.4)
Ввиду малости длины l1 и l2 исследуемого образца в небольшом интервале температур отличаются долями процента
(0,005–0,01 %), и поэтому расчетную формулу можно упростить,
представив ее в виде (2.35.2). Ошибка, получающаяся при таком
упрощении, много меньше погрешности метода данной работы.
Поэтому в качестве расчетной формулы в данной работе используют именно формулу (2.35.2).
Термический коэффициент линейного расширения представляет
собой важную характеристику твердого тела. Однако его измерения
из-за малости удлинения образцов связаны с экспериментальными
трудностями, а сами измерения могут быть выполнены лишь на
приборах с высокой степенью точности. В настоящей работе применяется метод прямого (непосредственного) измерения удлинения
образца с помощью дилатометра, прибора высокого класса точности.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка (рис. 2.35.2) содержит три образца из различных материалов, предназначенных для измерения коэффициента теплового расширения. Каждый образец представляет собой отрезок трубки с закрытыми торцами и двумя ниппелями для обеспечения циркуляции воды, обеспечивающей требуемую температуру образцов.
Один из торцов каждого образца жестко зафиксирован, другой,
способный перемещаться, находится в механическом контакте с
чувствительным элементом дилатометра – прибора, предназначенного для измерения удлинения образца при нагревании. Малые
(доли миллиметра) перемещения чувствительного элемента дилатометра посредством механической системы преобразуются в за284
метные (десятки угловых градусов) углы поворота индикаторной
стрелки. Дилатометры, применяемые в данной работе, имеют по
две шкалы (и стрелки) существенно различных размеров. Малая
шкала проградуирована в миллиметрах, большая – в сотых долях
миллиметра.
Исследуемые образцы резиновыми шлагами соединены последовательно друг с другом и подключены к термостату – прибору,
предназначенному для нагрева и поддержания заданной температуры воды.Температура воды измеряется по лабораторному термометру, прикрепленному к термостату. Нагретая вода прокачивается
через образцы циркуляционным насосом, входящим в состав термостата.
Рис. 2.35.2
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Не трогать переключатели на задней панели термостата.
2. Не нагревать термостат выше 60 °С.
3. Не снимать соединительные резиновые трубки.
285
ЗАДАНИЕ
Измерение линейного расширения стержня
1. Записать в лабораторный журнал материалы образцов.
2. Записать в лабораторный журнал начальную (комнатную) температуру образцов.
3. На дилатометре каждого образца, вращая черное кольцо
на внешней обойме корпуса, подвести нулевое деление большой шкалы к концу индикаторной стрелки. Цена деления
большой шкалы 0,01 мм.
4. Включить термостат. Поворотом ручки задатчика температуры на панели термостата установить температуру на 4 ºС выше
комнатной. Подождать, пока вода нагреется до заданной температуры (при этом лампочка индикатора на панели термостата начнет
периодически выключаться и включаться). Подождать еще 5 мин!
Истинное значение температуры определить по показаниям лабораторного термометра, установленного в термостате, и записать в
соответствующую ячейку табл. 2.35.1. Измерить приращения длин
образцов по показаниям дилатометров и записать их в табл. 2.35.1.
5. Продолжить измерения согласно п. 4, постпенно повышая
температуру образцов до 60 ºС с шагом 4 ºС (не менее 8–9 точек).
При достижении очередного значения температуры обязательно подождать не менее 5 мин!
Таблица 2.35.1
№
t, °С
Δt, °С
Образец 1
Материал:
Образец 1
Материал:
Образец 1
Материал:
Δl, мм
Δl, мм
Δl, мм
1
2
3
…
286
ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. По результатам измерений втаблице построить графики зависимости удлинения стержней l (в мкм) от приращения температуры t . Если измерения проводились правильно, то графики
должен быть почти прямолинейными.
2. Определить угловые коэффициенты наклона графиков к оси
абсцисс: k l / t . Для определения k использовать метод парных
точек.
3. Погрешности углововых коэффициентов оценить по методу
Корнфельда: k k max k min / 2 , где k max и k min – максимальное и минимальное значения k i , полученные методом парных точек.
4. Для каждого образца найти средний коэффициент линейного
расширения по формуле
l / l t k / l1 ,
следующей из выражения (2.35.2).
5. Для каждого образца оценить относительную погрешность
величины по формуле
1/2
2
2
E k / k l1 / l1 .
Здесь l1 – длина образца при комнатной температуре; Δl1 – абсолютная погрешность этой длины.
Найти абсолютную погрешность по формуле E .
6. Сравнить полученные в работе коэффициенты линейного
расширения с табличными значениями для соответствующих
материалов. Если различие измеренных и табличных значений α
заметно превышает экспериментальные погрешности, дать заключение о возможных причинах такого различия.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему при нагревании тела, как правило, расширяются?
2. Какие вам известны исключения из этого правила?
3. Что такое термический коэффициент линейного расширения?
287
4. Зависит ли термический коэффициент линейного расширения
тел от температуры?
5. С чем связаны трудности экспериментального измерения термического коэффициента линейного расширения твердых тел?
6. Что такое дилатометр, и для чего он служит в этой работе?
7. Что такое термостат, и для чего он служит в этой работе?
8. Какой образец будет использоваться в этой работе для измерения термического коэффициента линейного расширения?
9. В каком температурном диапазоне будет исследоваться зависимость удлинения образца от температуры?
10. Что должен представлять собой график зависимости удлинения образца от приращения температуры?
11. С чем могут быть связаны основные погрешности в этой работе?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1998.
2. Иродов И.В. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория
газов и жидкостей: Пер. с англ. М., 1961.
2. Новикова С.И. Тепловое расширение твердых тел. М., 1974.
288
Работа 2.35а
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
С ПОМОЩЬЮ ДИЛАТОМЕТРА
Цель: познакомиться с явлением теплового расширения жидкостей, определить объемные коэффициенты теплового расширения
глицерина и минеральных масел.
Оборудование: дилатометр для жидкостей; термостат.
ВВЕДЕНИЕ
С тепловым расширением мы часто встречаемся в повседневной
жизни – все пользуются жидкостными термометрами. Принцип
действия обычного комнатного или медицинского спиртового или
ртутного термометра основан именно на явлении теплового расширения: с ростом температуры объем жидкости увеличивается.
Тепловое расширение проявляется не только в жидкостях, но и в
твердых телах. При создании любых технических устройств или
сооружений, эксплуатация которых планируется при изменяющейся температуре, всегда учитывают тепловое расширение, чтобы
предотвратить его вредное воздействие. Простой пример, при
укладке рельсов их закрепляют не вплотную друг к другу, а оставляя стыки определенной ширины – «тепловые зазоры». Это делается для того, чтобы при наступлении жаркой погоды из-за теплового
расширения рельсы не уперлись друг в друга и не деформировались.
Качественно явление теплового расширения в твердых телах
можно объяснить следующим образом. Зависимость потенциальной энергии атома U в твердом теле от межатомного расстояния r
вблизи положения равновесия r0 может быть описано функцией
вида
U r U 0 c r r0 g r r0 h r r0 ,
2
289
3
4
(2.35а.1)
где U 0 , c, g, h – положительные константы, причем c gr0 hr02 ,
т.е. каждое следующее слагаемое много меньше предыдущего.
Рис. 2.35а.1
Характерный вид зависимости (2.35а.1) представлен на рис.
2.35а.1 (сплошная линия). Также на рисунке, для сравнения, пунктиром изображена зависимость, отвечающая только первому –
гармоническому слагаемому в (2.35а.1). Поскольку ангармонизм
(вклад последних двух членов в потенциальную энергию (2.35а.1))
мал, в нулевом приближении колебания атомов в узлах решетки
можно считать гармоническими (пунктирная кривая). В любом
случае при температурах значительно ниже температуры плавления материала колебания атомов около положения равновесия происходит в узкой области вблизи минимума потенциальной энергии.
Положение минимума r0 в случае малых колебаний совпадает со
средней величиной межатомных расстояний при нулевой температуре. С ростом температуры T возрастают средняя скорость атомов
и, следовательно, амплитуда колебаний, в результате начинает заметнее проявляться эффект ангармонизма (отклонение от гармонического закона). Из рис. 2.35а.1 видно, что, в силу асимметрии
энергетической «ямы», при увеличении энергии колебаний среднее
межатомное расстояние r становится больше, чем r0. Это означает,
что с увеличением температуры объем V твердых тел возрастает,
т.е. наблюдается тепловое расширение.
290
Для количественной оценки зависимости среднего расстояния
между атомами от температуры воспользуемся распределением
Больцмана, согласно которому функция распределения атомов по
величине межатомного расстояния r задается соотношением
U r
f (r ) f 0 exp
,
kT
(2.35а.2)
где f 0 − константа, определяемая из условия нормировки; k − постоянная Больцмана; T – температура жидкости или твердого тела.
Тогда среднее значение межатомного расстояния определяется
стандартным образом:
r2
r1
0
r rf (r )dr rf (r )dr ,
(2.35а.3)
Подчеркнем, что поскольку рассматривается случай температур
много меньше температуры плавления материала, то все межатомные расстояния порядка r0, т.е. экспоненту, входящую в функцию
распределения (2.35а.2), с достаточной степенью точности можно
заменить нулём за пределами интервала r1 , r2 (см. рис. 2.35а.1).
Поэтому в выражении (2.35а.3) для удобства интегрирования пределы заменены на [0, ) .
Подставляя (2.35а.1) и (2.35а.2) в выражение (2.35а.3) и учитывая, что ангармонические члены в выражении для потенциальной
энергии малы, получим
r r0
3gkT
.
4c
(2.35а.4)
Таким образом, в рассматриваемом приближении с ростом температуры межатомное расстояние в твердом теле возрастает линейно. Кроме того, определяющим фактором для наличия теплового расширения является именно ангармонизм.
В жидкостях качественное объяснение теплового расширения
несколько сложнее, поэтому здесь не приводится. Однако основной
результат такой же, как и в твердых телах: с ростом температуры
объем жидкости увеличивается, и в большинстве жидкостей в уз291
ком диапазоне температур зависимость их объема от температуры
можно считать линейной. Встречаются и исключения из этого правила: иногда жидкость сжимается при росте температуры (например, вода при температурах от 0 до +4 С).
В качестве основной характеристики теплового расширения
жидкостей принято использовать термический коэффициент объемного расширения αоб = (∂V/∂T)p/V, а для твердых тел –
термический коэффициент линейного расширения, α = (∂l/∂T)p/l,
(где l – длина тела). Индекс «p» в обоих выражениях говорит о том,
что измерение этих величин проводилось при фиксированном давлении. Для твердых тел можно также использовать коэффициент
объемного расширения, однако поскольку обычно измеряют изменение одного из размеров тела с ростом температуры, удобнее сразу из эксперимента извлечь коэффициент линейного расширения.
В случае, когда рассматривается небольшой диапазон изменения температуры, в первом приближении α не зависит от температуры. Из определения коэффициента линейного расширения следует, что относительное удлинение тела оказывается пропорциональным приращению температуры:
dl / l dt .
(2.35а.5)
При больших изменениях температуры или высокой точности
измерений и расчетов надо учитывать, что на самом деле с увеличением температуры этот коэффициент возрастает, однако зависимость эта чрезвычайно слабая. Так, для железа средний по интервалу температуры коэффициент линейного расширения при нагревании от 0 до 75 С равен 1,21105 град1 , а для интервала от 0 до
750 С – 1,52 105 град.1 .
Если принять длину тела l0 при температуре 0С за начальную,
то, интегрируя уравнение (2.35а.5), получим длину тела lt при температуре t (маленькой буквой будем обозначать температуру, выраженную в градусах Цельсия):
(2.35а.6)
lt l0 (1 t ).
Выражение (2.35а.6) кладется в основу практических расчетов
по определению коэффициента линейного расширения тел. Дей292
ствительно, если при температуре t1 длина тела равна l1 , а при
температуре t 2 – l2 , то на основании равенства (2.35а.6) получим
l2 l1 / l1t 2 l2t1 .
(2.35а.7)
Ввиду малости длины l1 и l2 исследуемого образца в небольшом интервале температур отличаются долями процента
(0,005–0,01 %), и поэтому расчетную формулу можно упростить,
представив ее в виде
α l2 l1 / l1 t2 t1 .
(2.35а.8)
Ошибка, получающаяся при таком упрощении, много меньше
погрешности метода данной работы.
Полностью аналогично, исходя из определения, можно получить
расчетное выражение для коэффициента объемного расширения,
которое справедливо и для жидкостей:
αоб V2 V1 / V1 t2 t1 ,
(2.35а.9)
где V1 – объем твердого тела (или жидкости) при температуре t1,
а V2 – объем при температуре t2.
Термические коэффициенты линейного и объемного расширения
представляют собой важную характеристику твердого тела. Однако
измерение коэффициентов расширения из-за малости удлинения образцов (или малости изменения объемов) связаны с экспериментальными трудностями.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В настоящей работе применяется метод прямого (непосредственного) измерения увеличения объема жидкости с помощью дилатометра. Дилатометрами называют приборы для измерения расширения тел (dilato– расширяю (лат.)).
Установка состоит из трех дилатометров для жидкости
(рис. 2.35а.2,а),
погруженных в
емкость
термостата
1
(рис. 2.35а.2,б). Нагреватель термостата и насос для перемешивания жидкости смонтированы в едином блоке нагревателя 2. Термостат используется для нагрева образцов и поддержания фиксированной их температуры.
293
Дилатометр для жидкости представляет собой небольшой закрытый сосуд, в верхней части которого установлена тонкая стеклянная трубка со шкалой. Жидкостью заполнены весь объем сосуда
и часть трубки. По изменению уровня жидкости в трубке в ходе
нагрева сосуда непосредственно измеряется величина изменения
объема жидкости V. Цена деления шкалы 1 мм. В качестве
погрешности высоты уровня жидкости следует брать погрешность
отсчета. Диаметр капилляра d = 4,0 ± 0,1 мм.
а
Рис. 2.35а.2
б
Если объем дилатометра до нулевого деления шкалы равен V0, а
высота столба жидкости в его трубке равна h, то полный объем
жидкости в дилатометре
V V0 πd 2 h 4 ,
(2.35а.10)
Тогда если экспериментально измерить зависимость высоты
уровня жидкости в дилатометре от температуры h(t) и построить
график этой зависимости, то по угловому коэффициенту k этого
графика, используя формулы (2.35а.9) и (2.35а.10), можно вычислить коэффициент объемного расширения жидкости:
294
α об
1 V
1
πd 2 h 4
πd 2 4
k . (2.35а.11)
V1 t V0 πd 2h0 4 t
V0 πd 2h0 4
Поскольку конструктивно дилатометр устроен так, что объем
трубки много меньше объема сосуда, то для вычисления погрешности коэффициента объемного расширения, рассчитанного по
формуле (2.35а.11), следует использовать упрощенную формулу
для погрешности:
2
Eоб
V d k
α об
0 2
,
α об
V0 d k
2
2
(2.35а.12)
где V0 , d и k – абсолютные погрешности соответствующих
величин.
Все три дилатометра пронумерованы. На рабочем столе указаны
жидкости, налитые в дилатометры.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Не трогать переключатели на задней панели термостата.
2. Не нагревать термостат выше 60 °С.
3. Не пытаться вынуть дилатометры из сосуда термостата.
ЗАДАНИЕ
Измерение коэффициентов объемного расширения жидкостей
1. Записать название исследуемых жидкостей-образцов (см. далее раздел «Табличные значения») и начальный объем дилатометров V0 128,5 см3 в лабораторный журнал.
2. При комнатной температуре, до включения термостата записать в лабораторный журнал начальные показания всех дилатометров h0.
3. Установить ручкой термостата температуру на 4 ○С выше
комнатной. Подождать пока вода нагреется до установленной температуры. Подождать еще 5 мин!!! Измерить новые значения
уровней жидкости в дилатометрах h (в мм по шкале). Результаты
записать в заранее подготовленную табл. 2.35а.1.
295
4. Продолжить измерения согласно п. 3, постепенно повышая
температуру. Рекомендуемый диапазон изменения температуры: от
комнатной до 60 ○С через каждые 4 ○С (не менее 8−9 точек). После
каждого изменения положения рукоятки регулятора температуры
термостат нагревает воду в течение некоторого времени. Когда
требуемая температура установится, перед началом измерений
необходимо ОБЯЗАТЕЛЬНО подождать не менее 5 мин!!!
Таблица 2.35а.1
№
t, ᵒС
t, ᵒС
Образец № 1
__________
h0=____ мм
Образец № 2
__________
h0=____ мм
Образец № 3
__________
h0=____ мм
h, мм
h, мм
h, мм
h, мм
h, мм
h, мм
1
…
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Для каждого образца и для каждой температуры рассчитать
изменение высоты столба жидкости в дилатометре h.
2. Построить в одних координатных осях графики зависимости
повышения уровня жидкости в трубке дилатометра h от увеличения температуры t для всех образцов.
3. Для каждой жидкости определить по графику угловой коэффициент k методом парных точек.
4. Рассчитать коэффициент объемного расширения каждой
жидкости и его погрешность по формулам (2.35а.11) и (2.35а.12).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
По результатам работы представить графики зависимости увеличения уровня жидкости в дилатометре от приращения температуры для всех образцов. Сделать вывод о характере полученной
зависимости.
Привести полученные значения коэффициентов объемного расширения исследованных жидкостей. Сравнить результаты с табличными значениями.
296
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему при нагревании твердые тела и жидкости, как правило, расширяются? Какие известны исключения из этого правила?
2. Где применяется тепловое расширение жидкостей? Как
устраняют вредное воздействие теплового расширения твердых
тел?
3. Как качественно объясняется тепловое расширение твердых
тел?
4. Как межатомное расстояние в твердых телах зависит от температуры в ангармоническом приближении?
5. Что такое термические коэффициенты объемного и линейного
расширения?
6. Зависит ли термический коэффициент линейного расширения
тел от температуры?
7. Что такое дилатометр для жидкости, и как его использовать?
8. В каком температурном диапазоне рекомендуется исследовать тепловое расширение жидкостей в работе?
9. Как качественно будет выглядеть график зависимости изменения объема жидкости-образца от приращения температуры?
Табличные значения
Дилатометр
№1
№2
№3
Жидкость
Глицерин
Касторовое масло
Вазелиновое масло
αоб, 10−5 К−1
50
90
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1998.
2. Иродов И.В. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
297
Дополнительная
1. Новикова С.И. Тепловое расширение твердых тел. М., 1974.
298
Работа 2.36
ИЗУЧЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА.
ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ Сp /CV ДЛЯ ВОЗДУХА
МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО СЖАТИЯ
Цель: изучить адиабатический процесс в воздухе; измерить
отношение Сp /CV для воздуха методом адиабатического сжатия.
Оборудование: стеклянный баллон; шприц со шкалой; соединительные шланги; датчик давления; персональный компьютер с
соответствующим программным обеспечением.
ВВЕДЕНИЕ
Идеальным принято считать газ, в котором взаимодействием
молекул друг с другом можно пренебречь. Это не означает, что его
нет – молекулы, сталкиваясь, передают друг другу импульс и энергию. Но поскольку время столкновений пренебрежимо мало по
сравнению с временем свободного движения молекул, а силы их
взаимодействия существенны лишь на расстояниях порядка размеров самих молекул, для описания макроскопического состояния,
характеризующего газ в целом, взаимодействие между молекулами
можно не учитывать.
Воздух при давлениях, близких к атмосферному, и температурах в диапазоне (0 − 100) °С ведет себя как идеальный газ. Поэтому
основные законы термодинамики идеального газа были экспериментально обнаружены достаточно давно. Так Бойль и Мариотт
еще в середине XVII в. установили, что если менять объем V воздуха, поддерживая его температуру постоянной T = const (т.е. изотермически), то давление p будет меняться обратно пропорционально объему:
pV const .
(2.36.1)
Обобщив результаты многочисленных экспериментов своих
предшественников, Пуассон в начале XIX в. установил, что если
объем газа меняется в отсутствие теплообмена с окружающими
299
телами (т.е. адиабатически), то в закон Бойля-Мариотта (2.36.1)
надо внести поправку. В адиабатическом процессе зависимость
давления от объема имеет вид
pV γ const ,
(2.36.2)
где – константа больше единицы, называемая показателем адиабаты. Показатель адиабаты – важная термодинамическая характеристика любого реального газа, поэтому ее измерение представляет
собой существенную практическую задачу.
На самом деле перечисленные газовые законы справедливы, если процессы, происходящие с газом, квазистатические (или обратимые), т.е. представляют собой последовательность равновесных
состояний газа. Может показаться, что это очень сильное ограничение, которому трудно удовлетворить, однако это не так. Реальные процессы в реальных газах во многих практически значимых
случаях идут с такой малой скоростью, что в системе каждый раз
успевает устанавливаться термодинамическое равновесие, и можно
считать с достаточной степенью точности, что условие квазистатичности выполнено.
Поскольку квазистатический процесс есть последовательность
равновесных состояний термодинамической системы, каждому состоянию можно сопоставить значение макроскопических переменных: давления, объема и температуры. Поэтому такие процессы
можно изобразить в виде непрерывной линии на диаграмме термодинамических параметров (например, изотерма – гипербола в осях
p – V). И именно для таких процессов имеют смысл газовые законы, записанные в виде соотношений (2.36.1) и (2.36.2).
Кроме того, для квазистатического процесса первое начало термодинамики имеет вид
d ' Q dU pdV ,
(2.36.3)
где dV – приращение объема газа; p – давление; dU – приращение
внутренней энергии; d ' Q – количество тепла, сообщенное системе.
Последнее слагаемое в (2.36.3) имеет смысл элементарной работы
газа.
Одной из самых важных в практическом плане характеристик
любой термодинамической системы (в том числе и газа, заключенного в сосуд,) является ее теплоемкость. Теплоемкостью C называется количество d ' Q , которое нужно сообщить системе, чтобы
300
увеличить ее температуру на dT, отнесенное к величине этого интервала, т.е.:
(2.36.4)
C d ' Q dT .
В действительности теплоемкость характеризует вещество, из
которого сделано тело, поэтому вместо величины C удобно использовать удельную c или молярную c(M) теплоемкости. Первая представляет собой теплоемкость единицы массы, а вторая – теплоемкость одного моля вещества:
1 d 'Q (M ) 1 d 'Q
, c
,
(2.36.5)
c
m dT
ν dT
где m – масса порции газа; – количество вещества.
Теплоемкость любой термодинамической системы, вообще говоря, является функцией макроскопических термодинамических
параметров (например, температуры), а также процесса, происходящего в системе. Для газов зависимость от температуры для достаточно широких интервалов температур – очень слабая, т.е. теплоемкость практически константа. Однако один и тот же газ имеет
существенно различную теплоемкость в разных процессах. Например, теплоемкость газа при постоянном давлении c (pM ) (или C p )
всегда больше теплоемкости при постоянном объеме cV( M ) (или CV ).
В случае идеальных газов теплоемкости при постоянном давлении
и при постоянном объеме связаны законом Майера:
c(pM ) cV( M ) R (или C p CV νR ),
(2.36.6)
где R – универсальная газовая постоянная.
Действительно, подставляя в определение теплоемкости (2.36.4)
выражение для количества тепла, сообщенного системе, из первого
начала термодинамики (2.36.3), для изохорного (V = const) и изобарного (p = const) процессов получим:
U
CV d ' Q dT V
,
T V
(2.36.7)
U
V
C p d ' Q dT p
p
.
T p
T p
Здесь нижний индекс обозначает параметр, который не меняется в
процессе.
301
Для идеального газа уравнение состояния, т.е. соотношение,
связывающее основные термодинамические параметры: температуру, давление и объем, известно – это уравнение Менделеева–
Клапейрона:
(2.36.8)
pV νRT .
Кроме того, теплоемкости газа, который можно считать идеальным, в широком диапазоне температур постоянны, поэтому дифференцируя объем, выраженный из соотношения (2.36.8) по температуре при постоянном давлении, и подставляя в (2.36.7), окончательно получим:
dV
(2.36.9)
C p CV p
CV R.
dT p
Рассмотрим теперь адиабатический квазистатический процесс
( d ' Q = 0), происходящий с идеальным газом. Подставляя в (2.36.3)
уравнение Менделеева–Клапейрона, получим:
pV
0 dU pdV CV dT pdV CV d
pdV
νR
CV pdV CVVdp νRpdV CV νR pdV CVVdp 0
C p pdV CVVdp 0.
Разделяя переменные в последнем соотношении и интегрируя, получим уравнение адиабатического процесса в переменных p – V для
идеального газа:
Cp
CV
(2.36.10)
const .
pV
Из соотношения (2.36.10) и полученного при анализе экспериментальных данных закона для адиабатического процесса (2.36.2)
видно, что показатель адиабаты есть отношение теплоемкости газа
при постоянном давлении к теплоемкости того же газа при постоянном объеме:
C
c( M )
γ p (pM ) .
(2.36.11)
CV cV
Предложенный вывод соотношения (2.36.11) принадлежит
Пуассону.
Исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы с учетом соотношения (2.36.9), можно показать, что теплоем302
кость идеального газа при постоянном объеме и при постоянном
давлении определяется целочисленным параметром i, связанным с
числом степеней свободы молекул газа i:
i
i2
(2.36.12)
cV( M ) R, c(pM )
R.
2
2
Так, в случае одноатомного газа (например, аргона) есть только
три поступательные степени свободы (i = 3), а для двухатомного
газа при не слишком высоких температурах (например, азот, кислород при температурах от 0 до 100 °С) возбуждены только поступательные и вращательные степени свободы (i = 5).
Формула (2.36.12) позволяет рассчитать теплоемкости газа, однако она получена в приближениях идеального газа и справедливости закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Поэтому она нуждается в экспериментальной проверке.
Непосредственное измерение теплоемкости газа сопряжено с
существенными трудностями. Гораздо проще измерить отношение
теплоемкостей при постоянном объеме и при постоянном давлении, т.е. показатель адиабаты.
Рассмотрим один из методов экспериментального определения
величины .
Рис. 2.36.1
Пусть в закрытом сосуде большого объема V0 находится в равновесии некоторое количество воздуха при атмосферном давлении
303
p0. Пусть есть способ быстро уменьшить объем газа на малую величину V << V0 (достаточно быстро, чтобы процесс можно было
считать адиабатическим, т.е. чтобы теплообмен с окружающими
телами произойти не успел, но не настолько быстро, чтобы процесс
стал не квазистатическим). Тогда этому процессу на плоскости p –
V соответствует участок адиабаты 0−1 (на рис. 2.36.1 сплошная
кривая), а сам процесс описывается уравнением (2.36.2). Температура газа в таком процессе увеличивается.
Если в дальнейшем объем газа остается неизменным, то газ постепенно остывает до температуры окружающей среды, т.е. изохорически охлаждается. Этому процессу соответствует участок изохоры 1−2 на рис. 2.36.1. Поскольку конечная температура газа равна начальной, точки 0 и 2 лежат на одной изотерме (пунктирная
кривая на рис. 2.36.1).
Так как изначально предполагалось малое изменение объема газа, изменение его давления будет также мало по сравнению с исходным, т.е.
V V0 ,
(2.36.13)
ps p1 p0 p0 ,
pT p2 p0 p0 .
Здесь индексами s и T обозначены адиабатический и изотермический процессы, соответственно (см. рис. 2.36.1). Обозначение s соответствует тому, что при квазистатическом адиабатическом процессе не меняется энтропия газа S.
Поскольку процесс 0−1 – адиабатический, т.е. участок 0−1 на
рис. 2.36.1 – адиабата, для него справедливо соотношение (2.36.2).
Запишем его для рассматриваемого участка на графике:
γ
γ
(2.36.14)
p0V0γ p1 V0 V p0 ps V0 V .
Разлагая (2.36.14) в ряд при выполнении условий (2.36.13), имеем:
ps
V
γ
.
(2.36.15)
p0
V0
Производя аналогичные действия для точек 2 и 0, лежащих на
изотерме с учетом закона Бойля-Мариотта (2.36.1), получим:
pT V
.
(2.36.16)
p0
V0
304
Сравнивая выражения (2.36.15) и (2.36.16), получаем формулу,
позволяющую вычислить показатель адиабаты, через изменения
давления газа в указанных процессах:
ps
p p0
.
(2.36.17)
γ
1
pT p2 p0
Таким образом, возникает следующий план эксперимента.
1. Возьмем сосуд объема V0 с некоторым количеством газа при
атмосферном давлении p0.
2. Быстро уменьшим объем сосуда на величину V адиабатически, и подождем некоторое время, чтобы температура газа стала
равной температуре окружающей среды. В ходе всего процесса будем измерять давление в системе, т.е. в результате сможем определить давления p0, p1 и p2.
3. Повторим п. 2 для разных значений V.
В результате такого эксперимента можно получить зависимости
приращений давления ps и pT от изменения объемаV.
Эти экспериментальные данные позволят определить показатель
адиабаты газа двумя способами.
1 способ. Построить график зависимости ps от V, и если зависимость – линейная (что, в свою очередь, подтверждает закон
адиабатического процесса (2.36.2)), вычислить его угловой коэффициент ks ( ps ks V ). Рассчитать показатель адиабаты по формуле, следующей из соотношения (2.36.15):
Vk
γ= 0 s .
(2.36.18)
p0
2 способ. Непосредственно рассчитать по формуле (2.36.17).
В заключение приведем формулы для расчета погрешностей показателя адиабаты, вычисленных по формулам (2.36.17) и (2.36.18),
соответственно:
ps pT
γ
Eγ
;
γ
ps pT
2
2
2
2
2
V k p
γ
0 s 0 .
Eγ
γ
V0 k s p0
305
(2.36.19)
(2.36.20)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Фотография установки для изучения адиабатического процесса
в воздухе представлена на рис. 2.36.2. Установка состоит из массивного стеклянного баллона 1 объемом V0 = 11,60,1 л, стеклянного шприца 2 со шкалой, трехходового крана 3, соединительных
шлангов 4 и пьезоэлектрического датчика давления 5, соединенного с компьютером.
Рис. 2.36.2
Схема устройства трехходового крана представлена на
рис. 2.36.3. Верхняя часть рисунка показывает положение ручки
крана, нижняя – соединение патрубков крана в соответствующем
положении ручки. Ручка имеет метку в виде кружочка коричневого
цвета на одной из сторон (обозначена на рис. 2.36.3). В положении
ручки А (метка на ручке справа) открыто соединение патрубков 2 и
306
3 крана, а в положении Б (метка на ручке внизу) открыто соединение
патрубков 1, 2 и 3 крана.
Таким образом, в положении А шприц, подключенный к патрубку крана 3, оказывается герметично соединенным с баллоном,
подключенным к патрубку крана 2; а в положении Б и шприц, и баллон открыты для доступа атмосферного воздуха из патрубка 1.
Рис. 2.36.3
Шприц закреплен на штативе, вмонтированном в массивное основание установки. и расположен с небольшим наклоном в сторону
выходного патрубка. Внутри шприца помещены маленькие пластмассовые шарики для предотвращения удара стекла о стекло при
быстром введении поршня (рис. 2.36.4,а). На боковой поверхности
цилиндрического корпуса шприца нанесены две шкалы в миллилитрах. При проведении эксперимента используется шкала с нулем у
основания шприца (со стороны выходного патрубка). Отсчет положения поршня проводится по коричневой метке на фаске поршня
шприца (см. рис. 2.36.4,а). Соответствующий отсчет для случая,
307
изображенного на рис. 2.36.4,а, составляет 50 мл. Погрешность отсчета по шкале шприца Vпр = 0,5 мл.
Рис. 2.36.4
При выполнении работы не прилагайте к поршню шприца излишних усилий. Нагрузку прикладывайте только вдоль оси поршня. Необходимое перемещение поршня рекомендуется осуществлять одним пальцем (см. рис. 2.36.4,б), чтобы не повредить шприц.
Также строго запрещается ударять по поршню шприца.
Для измерения давления в установке используется пьезоэлектрический датчик давления, закрепленный в нижней части установки и герметично соединенный с баллоном резиновым шлангом.
Датчик подключен к компьютеру со специальным программным
обеспечением.
Для запуска программного обеспечения необходимо воспользоваться ярлыком «Практикум по общей физике» на рабочем столе.
Сразу после этого откроется окно «Выбор эксперимента». Щелкните по значку «+» около пункта «Молекулярная физика» и в появившемся выпадающем меню выберите пункт «Измерение отношения Ср/СV воздуха». После этого откроется основное окно программы, содержащее панель инструментов (рис. 2.36.5) и пустое
поле графика зависимости давления (в кПа) от времени (в с).
308
Рис. 2.36.5
Перечислим основные инструменты программы, используемые
в работе (см. рис. 2.36.5): кнопка 1 – открывает дополнительное
окно, позволяющее изменить масштаб по оси X; кнопка 2 – открывает дополнительное окно, позволяющее изменить масштаб по оси
Y; кнопка 3 – запускает запись отсчетов датчика давления; кнопка 4
– останавливает измерения.
Методика измерений следующая.
1. Проверить: установлен ли трехходовой кран в положение Б
(см. рис. 2.36.3)? Если нет, установить и подождать 10 мин.
2. Аккуратно переместить поршень в необходимое начальное
положение, согласно описанию заданий. Перевести трехходовой
кран в положение А.
3. С помощью панели инструментов программы установить необходимый масштаб измерений (0−200 с по оси времени).
4. Запустить измерение давления.
5. Подождать 18−20 с, после этого одним пальцем быстро вдвинуть поршень в шприц до упора в пластиковые шарики и удерживать его в этом положении до момента времени 190–200 с. Для отсчета времени следите за графиком зависимости давления от времени в окне программы.
6. По истечении необходимого промежутка времени (200 с), не
отпуская поршень (!!!), нажмите кнопку «Остановить измерения».
309
7. Отпустите поршень. Переведите трехходовой кран в положение Б. Перед началом следующего измерения подождите не менее
10 мин!
Рис. 2.36.6
В результате измерений на экране появится график зависимости
давления от времени вида, представленного на рис. 2.36.6. Если
график имеет вид прямой линии, это значит, что масштаб по оси
давлений (оси Y) установлен неправильно. Установите масштаб
так, чтобы график соответствовал рис. 2.36.6. При этом ширина
диапазона измеряемых величин должна быть 1−1,2 кПа (например,
на рис. 2.36.6 от 96,6 до 97,6 кПа).
Зависимость давления от времени в ходе эксперимента имеет
следующий вид. Сначала давление постоянно – равно атмосферному p0 (состоянию газа соответствует точка 0 на рис. 2.36.1). Затем
сразу после адиабатического сжатия оно резко возрастает до значения p1 (состоянию газа соответствует точка 1 на рис. 2.36.1). По
истечении промежутка времени порядка 200 с в системе устанавливается тепловое равновесие при давлении p2 (состоянию газа соответствует точка 2 на рис. 2.36.1).
Конструкция датчика давления такова, что он даже при постоянном давлении в системе выдает серии импульсов сходной ампли310
туды, но дрейфующие во времени. Интересующие нас серии импульсов обведены на рис. 2.36.6 пунктирными прямоугольниками
для соответствующих участков графика. Поэтому для определения
давления рекомендуется следующая процедура.
Рис. 2.36.7
1. Определение по графику давления p0. Развернуть соответствующий участок графика на экране путем изменения масштаба
по оси абсцисс до промежутка 0−35 с (рис. 2.36.7). Выделить мысленно уместившуюся серию импульсов (на рис. 2.36.7 пунктирный
прямоугольник). Измерить координаты двух точек этой серии с
минимальным и максимальным давлением (точки 0-min и 0-max на
рис. 2.36.7). Для этого навести курсор на каждую из точек, и
нажать левую кнопку мыши. При этом появится вертикальная желтая полоса и сверху на фоне панели инструментов возникнет окошко, самая верхняя цифра в котором соответствует измеренному
значению давления в кПа (обозначено на рис. 2.36.7).
2. Определение по графику давления p1. Измерить один раз координату максимума (точка 1 на рис. 2.36.7).
311
3. Определение по графику давления p2. Выделить нужную серию импульсов, развернув соответствующий конечный участок
графика на экране путем изменения масштаба по оси абсцисс до
промежутка 170−200 с. Провести два измерения давления (для максимального и минимального значений) в пределах попавшей в указанный диапазон серии импульсов аналогично п.1.
Приборная погрешность при таком способе измерений составляет pпр = 0,06 кПа.
По окончании измерений не забудьте перевести трехходовой
кран в положение Б и полностью вдвинуть поршень в шприц.
Перед началом следующего измерения установите масштаб по
оси абсцисс 0−200 с.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Аккуратно обращайтесь со стеклянными частями установки.
Не прилагайте излишних усилий к поршню шприца и ручке трехходового крана.
2. Поршень шприца задвигайте одним пальцем! Не ударяйте по
поршню, резко не толкайте его. Плавно задвигайте поршень до
упора в пластмассовые шарики.
3. По окончании измерений обязательно переведите ручку
трехходового крана в положение Б и задвиньте поршень в шприц.
ЗАДАНИЕ
Изучение адиабатического процесса. Измерение отношения
Сp /CV для воздуха методом адиабатического сжатия
1. Включите компьютер, дождитесь загрузки операционной системы. Запустите программу.
2. Проверьте, находится ли трехходовой кран в положении Б.
Если нет, переведите его в это положение и подождите не менее
10 мин.
3. Установите поршень шприца в начальное положение
Vн = 40 мл. Запишите это значение в заранее подготовленную
312
табл. 2.36.1. Переведите трехходовой кран в положение А. Установите масштаб по оси абсцисс 0−200 с.
4. Запустите измерения давления (на поле графика появится
кривая давления). Подождите 20−25 с.
5. Одним пальцем вдвиньте поршень в шприц до упора в пластиковые шарики. Удерживайте поршень в нажатом состоянии до
момента 195−200 с от начала измерений. Пока идет время эксперимента, запишите в лабораторный журнал значение конечного объема шприца Vк.
6. Остановите измерения. И только после этого (!!!) отпустите
поршень, и переведите трехходовой кран в положение Б. Подождите не менее 10 мин перед началом следующего измерения.
7. По полученной зависимости давления от времени, согласно
процедуре, изложенной в описании установки, снимите соответствующие значения давления p0max , p0min , p1 , p2max , p2min и запишите
их в табл. 2.36.1 (поскольку для p0 и p2 нужно измерить два значения, – в соответствующих ячейках таблицы две строки).
8. Повторите пп. 3−7 задания для других значений начального
объема шприца: 50, 60, … 100 мл.
Таблица 2.36.1
№
Vн, мл
1
40
2
50
…
…
Vк, мл
p0, кПа
p1, кПа
p2, кПа
…
…
…
…
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Вычислите для каждого приращения объема V = Vн – Vк
давления p0 и p2 как полусумму максимального и минимального
значений. Приборная погрешность давления полученного таким
образом (как, впрочем, и давления p1) приведена в описании установки. Результаты запишите в заранее подготовленную
табл. 2.36.2.
313
Таблица 2.36.2
№
V, мл
p0, кПа
p1, кПа
p2, кПа
ps, кПа
…
…
…
…
…
pT,
кПа
1
2
…
2. Рассчитайте приращения давления в адиабатическом ps и
изотермическомpT процессах для каждого значения V.
3. Постройте график зависимости ps от V для адиабатического процесса. Определите его угловой коэффициент ks методом парных точек.
4. Вычислите показатель адиабаты воздуха и его погрешность
по формулам (2.36.18) и (2.36.20).
5. Рассчитайте показатель адиабаты воздуха и его погрешность
вторым способом: по формулам (2.36.17) и (2.36.19).
6. Вычислите теоретическое значение в рамках приближенной
теории, основанной на законе равнораспределения энергии молекул по степеням свободы (формула (2.36.12)). Сравните полученные значения.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключении к работе представить график зависимости увеличения давления от уменьшения объема газа при адиабатическом
сжатии. Привести угловой коэффициент графика и показатели
адиабаты воздуха, полученные разными способами. Сравнить полученные значения с рассчитанным по формуле (2.36.12).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое идеальный газ? В каком случае можно пренебречь
взаимодействием между молекулами?
2. Сформулируйте газовые законы для изотермического и адиабатического процессов.
3. Что такое квазистатический процесс? Приведите примеры.
314
4. Что такое теплоемкость вещества, удельная и молярная теплоемкость?
5. От чего зависит теплоемкость газа?
6. Какая теплоемкость газа больше Cp или CV , и почему?
7. Чему равна теплоемкость газа в адиабатическом процессе?
8. Напишите уравнение адиабатического процесса в идеальном
газе в переменных P – V, T – V, P – T.
9. Какой из газов имеет больший показатель адиабаты − азот,
или аргон?
10. Опишите методику измерений, рекомендуемую в настоящей
работе. Какие процессы будут происходить с газом в ходе проведения эксперимента?
11. Почему процесс сжатия газа в данной лабораторной работе
можно считать адиабатическим, квазистатическим?
12. Почему конечное состояние лежит на одной изотерме с
начальным?
13. В каких состояниях необходимо измерить давление газа?
14. Какими двумя способами рекомендуется определять показатель адиабаты газа?
15. Как рекомендуется измерять давление с помощью пьезоэлектрического датчика? Как определять соответствующие давления по результирующему графику в окне программы?
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 3. М.: Астрель
АСТ, 2003.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Москва.: Физматлит,
2006.
315
Работа 2.37
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСТАНОВКИ «КОБРА-3»
Цель: измерить теплоемкость алюминия, железа и меди, по результатам проведенных экспериментов проверить справедливость закона Дюлонга–Пти.
Оборудование: калориметр; термометрический датчик; нагреватель; металлические образцы; химический стакан; штатив; блок
«Кобра-3»; персональный компьютер; электронные весы.
ВВЕДЕНИЕ
Важнейший из параметров состояния любого термодинамического тела – температура – может изменяться при обмене энергией
между рассматриваемым телом и окружающей его средой, в частности при обмене теплом. Теплоемкостью тела называют отношение элементарного количества тепла d Q , полученного телом, к
приращению температуры тела dT, вызванному получением этого
количества тепла:
С d Q / dT .
Теплоемкость конкретного тела определяется химической природой и физическим состоянием вещества, из которого состоит тело, его массой и характером процесса, в ходе которого тело получает тепло.
Чтобы избавиться от зависимости теплоемкости от массы, вводят удельную теплоемкость (теплоемкость единицы массы вещества)
1 d Q
c
m dT
и молярную теплоемкость (теплоемкость одного моля вещества)
M d Q
.
Cm
m dt
Согласно первому началу термодинамики полученное телом
316
тепло идет на приращение внутренней энергии тела dU и совершение работы над окружающими телами:
d Q dU d A .
Если процесс, в ходе которого тело получает тепло, равновесный
(квазистатический), и если в ходе этого процесса изменяется объем
тела, то выражение для элементарной работы имеет вид
d A pdV ,
где р – давление, оказываемое рассматриваемым телом на окружающие тела; dV – приращение объема тела.
Внутренняя энергия в общем случае зависит от температуры и
объема тела:
U = U(T,V).
В некоторых случаях, например в случае идеального газа, внутренняя энергия определяется только температурой и от объема не
зависит:
Uиг = Uиг(T).
Таким образом, теплоемкость, т.е. температурный «отклик» на
подведенное тепло, определяется тем, в каком соотношении это
тепло распределяется между приращением внутренней энергии и
совершением работы. Распределение подведенного тепла зависит
от того, насколько меняется объем тела в процессе подведения тепла, т.е. теплоемкость определяется, кроме всего прочего, характером термодинамического процесса, совершаемого телом.
Поскольку объем газов может меняться в очень широких пределах, зависимость величины теплоемкости от характера процесса
для газообразных веществ оказывается существенной. В то же время изменение объема конденсированных (жидких и твердых) тел
при нагревании пренебрежимо мало, из-за чего зависимость теплоемкости от характера процесса незаметна. Поэтому говорят просто
о теплоемкости конденсированных тел без оговорок о характере
процесса. Однако теплоемкость конденсированных тел не является
постоянной величиной, она зависит от температуры. Измерения
показывают, что для химически простых кристаллических тел
(например, металлических) эта зависимость имеет характерный вид
(рис. 2.37.1, где Θ D – так называемая характеристическая температура, ее значения различны для различных веществ). При низких
температурах теплоемкость весьма сильно зависит от температуры,
при сравнительно высоких температурах «выходит на плато», т.е.
317
остается постоянной при изменениях температуры. Примечательным является тот факт, что максимальное (высокотемпературное)
значение молярной теплоемкости химически простых кристаллических тел оказывается одинаковым для тел разной химической
природы и равно примерно Смол ≈ 25 Дж/(моль∙К). Этот факт был
экспериментально установлен в 1819 г. французскими физиками
П.Л. Дюлонгом и А.Т. Пти и носит название закона Дюлонга и Пти.
Температурная зависимость теплоемкости кристаллов была теоретически объяснена в 1912 г. голландским физиком П. Дебаем на
основе квантовых представлений о колебаниях кристаллической
решетки (квантовая теория теплоемкости Дебая).
Рис. 2.37.1
Настоящая лабораторная работа посвящена измерению теплоемкости ряда простых веществ (алюминия, меди и железа) и проверке закона Дюлонга и Пти.
Применяемый в данной работе метод измерения теплоемкости
состоит в следующем. Образец (тело, теплоемкость которого измеряется) массой mобр нагревают до некоторой заданной начальной
температуры Тобр (например, температуры кипения воды при атмосферном давлении, 100 ºC = 373 К). Нагретый образец помещают в
калориметр (теплоизолированный сосуд с водой), имеющий некоторую начальную температуру Тнач. В результате теплообмена образец остывает, а корпус калориметра и содержащаяся в нем вода
нагреваются, и через некоторое время в калориметре, содержащем
318
образец, устанавливается термическое равновесие, при котором
образец, корпус калориметра и содержащаяся в нем вода имеют
общую температуру Трав. Измерив эту температуру, легко рассчитать удельную теплоемкость материала образца собр.
Теплоемкость корпуса калориметра Скал будем предполагать измеренной ранее и известной (в данной установке Скал = 80 Дж/К).
Количество тепла, отданное образцом в процессе установления
равновесия, может быть записано следующим образом:
Qотд. обр mобр cобр Tобр Tрав .
Количество тепла, полученное водой и корпусом калориметра:
Qпол. кал cкал Tрав Tнач mв cв Tрав Tнач ,
где mв и св – масса воды и удельная теплоемкость воды соответственно. Приравнивая эти количества тепла друг другу, получаем
уравнение относительно искомой величины cобр, решение которого
имеет вид
C mв cв Tрав Tнач
cобр кал
.
(2.37.1)
mобр
Tобр Tрав
Измерительная система, используемая в настоящей работе, позволяет в автоматическом режиме измерить зависимость от времени
температуры воды в калориметре после погружения в нее нагретого образца. По графику этой зависимости, выведенному на экран
монитора, можно определить начальную температуру воды Тнач и
конечную (после установления равновесия в калориметре) Трав и
затем вычислить удельную теплоемкость материала образца по
формуле (2.37.1).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Общий вид установки для измерения теплоемкости металлических образцов представлен на рис. 2.37.2.
319
Рис. 2.37.2
В центре установки расположен калориметр 1, в который погружен закрепленный на штативе 2 термометрический датчик 3.
Правее калориметра расположен штатив 4, на котором установлен
химический стакан с водой 5, в воду погружен металлический образец 6 в виде трех брусков, соединенных в гирлянду отрезком
проволоки. Под стаканом с водой расположен нагреватель 7. На
рисунке представлен нагреватель в виде газовой горелки, но в зависимости от комплектации нагревателем может служить либо
спиртовая горелка, либо электрический нагреватель. Термометрический датчик 3 подключен к базовому блоку «Кобра-3» 8, который служит для преобразования сигнала термометрического датчика в цифровую форму и для связи с персональным компьютером
(компьютер на рис. 2.37.2 не представлен). Значения температуры
из блока «Кобра-3» передаются в компьютер, где специально созданная для данной лабораторной работы программа визуализирует
зависимость температуры от времени и фиксирует значения темпе320
ратуры, необходимые для нахождения теплоемкости образцов.
Для начала работы, прежде всего, следует подготовить к работе
электронные приборы системы измерения температуры.
1. Убедитесь, что персональный компьютер, входящий в состав
лабораторной установки, включен и находится в режиме ожидания.
2. Убедитесь, что базовый блок «Кобра-3» включен (у включенного прибора светится зеленый светодиод в правом верхнем
углу лицевой панели блока). Если вышеупомянутые устройства не
включены, попросите сотрудников лаборатории подготовить их к
работе.
3. Найдите на рабочем столе компьютера иконку в виде желтой
латинской буквы m с надписью «Измерение» и дважды щелкните
по ней левой кнопкой «мыши». На экране возникнет диалоговое
окно программы, обслуживающей измерения с помощью блока
«Кобра 3», с заголовком «Phywe measure 4».
4. В меню, расположенном в верхней части окна, найдите опцию «Прибор» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши». На
экране появится «выпадающее» меню, в котором перечислены программы, управляющие различными измерительными приборами,
входящими в комплект оборудования от фирмы Phywe.
5. Найдите в этом меню строку «Кобра-3 – Температура» и
щелкните по ней левой кнопкой «мыши». На экране появится
настроечное окно для работы с измерителем температуры, использующимся в данной работе (рис. 2.37.3). Окно содержит элементы
управления, с помощью которых можно задавать режим измерений. По умолчанию при запуске программы устанавливаются значения параметров, необходимые для выполнения данной работы,
так что менять эти установки не следует.
Теперь следует подготовить к работе физическую часть лабораторной
установки.
6. С помощью мерного стакана налейте в калориметр 300 мл
воды из-под крана. Объем налитой в калориметр воды запишите в
заранее подготовленную табл. 2.37.1 в лабораторном журнале.
7. Выберите (согласовав с преподавателем) одну из связок,
предлагаемых в работе образцов, взвесьте ее с помощью электронных весов, стоящих на лабораторном столе, массу образца запишите в табл. 2.37.1.
321
Рис. 2.37.3
8. Убедитесь, что химический стакан (5 на рис. 2.37.2) наполнен
водой примерно на 2/3 объема. При необходимости попросите сотрудников лаборатории долить воды.
9. Связку образцов повесьте на горизонтальный фиксатор штатива
4 так, чтобы образцы оказались полностью погруженными в воду.
10. В левом нижнем углу главного настроечного окна термодатчика на экране монитора (см. рис. 2.37.3) найдите клавишу «Далее» и щелкните по ней левой кнопкой «мыши». Настроечное окно
исчезнет с экрана, вместо него появятся два других. Одно из них –
информационное, на нем индицируется значение температуры воды в калориметре, измеряемое термодатчиком. Второе – малых
размеров окошко с заголовком «Кобра-3 – измерение» – предназначено для запуска процесса измерения зависимости температуры
от времени. Пронаблюдайте за показаниями термодатчика на
экране дисплея и убедитесь, что эти показания остаются постоянными с точностью до десятых долей градуса.
322
11. Зажгите горелку 7, расположенную под стаканом 5 (или
включите электронагреватель), и нагрейте воду в стакане с погруженной в нее связкой образцов до кипения.
Таблица 2.37.1
Объем воды в калориметре, мл
Масса воды в калориметре, кг
Масса образца, кг
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. В ходе работы вода, налитая в стакан, установленный на
нагревателе, и погруженные в воду образцы нагреваются до температуры 100 °C, поэтому существует опасность ожога.
2. Выполняя работу, следует:
быть внимательным, собранным и осторожным;
не делать резких движений;
не прикасаться к горячей поверхности нагревателя и к нагреваемому стакану с водой.
3. Перемещая нагретые образцы из стакана в калориметр, не
прикасаться образцами к стенкам стакана, чтобы не опрокинуть
или не разбить стакан с кипятком.
4. При возникновении опасных ситуаций немедленно обращаться к ведущему занятия преподавателю или дежурному сотруднику
лаборатории.
ЗАДАНИЕ
Измерение теплоёмкости металлов
1. Левой кнопкой «мыши» щелкните по кнопке «Начать измерение» на малом окошке «Кобра-3 – измерение». С этого момента
запись зависимости температуры воды в калориметре от времени
началась.
2. Подождите 5–10 с, чтобы образец полностью прогрелся до
температуры кипящей воды.
3. Выключите нагреватель воды.
323
4. Осторожно извлеките образец из сосуда с кипящей водой и
поместите его в калориметр. Проследите, чтобы образец был полностью погружен в воду и не касался температурного датчика в
калориметре.
5. Следите за повышением температуры в калориметре по показаниям изображения стрелочного прибора на дисплее компьютера.
Периодически (два раза в минуту) помешивайте воду в калориметре легкой пластмассовой ложечкой.
6. Когда температура перестанет расти и даже обнаружит тенденцию к снижению, щелкните левой кнопкой «мыши» по клавише
«Прекратить измерения». На экране появится график зависимости
температуры воды в калориметре от времени (рис. 2.37.4).
Рис. 2.37.4
7. Попросите преподавателя, ведущего занятия в вашей подгруппе, оценить график. Если график будет признан неудовлетворительным, измерение придется повторить.
8. В случае одобрения графика преподавателем следует определить численные значения Тнач и Трав. Для этого найдите на панели
инструментов (в верхней части экрана, справа) иконку в виде белого
324
прямоугольника, ограниченного жирной черной линией. Щелкните
по этой иконке левой кнопкой «мыши» и на экране (поверх графика)
появится прямоугольник, две вершины которого, лежащие на одной
диагонали, обозначены цифрами «1» и «2», а в верхней правой части
экрана появится окошко, где представлены координаты этих вершин
в единицах, которые отложены по осям графика. Там же приведены
значения разностей одноименных координат вершин.
9. Если подвести к одной из этих вершин курсор «мыши», то, нажав
и удерживая нажатой левую кнопку, можно перемещать эту вершину
по экрану с помощью «мыши». Добейтесь такого положения прямоугольника, при котором его нижняя горизонтальная сторона соответствует температуре Тнач, а верхняя – температуре Трав (рис. 2.37.5).
Рис. 2.37.5
10. Запишите в первую строку табл. 2.37.2 в своем лабораторном журнале высвеченные на экране значения Тнач и Трав.
Таблица 2.37.2
Номер
измерения
1
2
3
Тнач, С
Трав, С
ΔТ = Трав–Тнач, С
С, Дж/(кг·К)
11. Выполните измерение удельной теплоемкости того же образца еще два раза. Для этого:
325
извлеките связку с образцами из калориметра и поместите
его в химический стакан с водой, стоящий на нагревателе, включите нагреватель;
в верхней строке меню на экране дисплея компьютера выберите пункт «Файл» (крайняя левая позиция), щелкните по нему
«мышью», на выпавшем меню выберите верхнюю строку («Новое
измерение»);
когда вода с погруженным в нее образцом закипит, выполните пп. 1–10 раздела «Порядок выполнения работы».
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Вычислите значения теплоемкости образца для всех выполненных измерений по формуле (2.37.1), используя данные, занесенные в табл. 2.37.1 и 2.37.2, и значение теплоемкости калориметра Скал = 80 Дж/К.
2. Обработайте результаты измерений по методу Корнфельда, а
именно:
вычислите среднее значение теплоемкости образца по формуле
c
c
c max min ,
2
где сmax и cmin – максимальное и минимальное значение теплоемкости из табл. 2.37.2 соответственно.
3. Обработайте результаты измерений по методу Корнфельда, а
именно:
вычислите среднее значение теплоемкости образца по формуле
c
c
c max min ,
2
где сmax и cmin – максимальное и минимальное значение теплоемкости из табл. 2.37.2 соответственно;
вычислите полуширину доверительного интервала для теплоемкости по формуле
c
c
c max min ;
2
326
вычислите доверительную вероятность,
найденному доверительному интервалу
1
1
2
соответствующую
n1
.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ
По результатам проделанной работы напишите в лабораторном
журнале заключение, в котором:
1) укажите, что (какая физическая величина) измерялось в данной работе;
2) укажите, каким методом выполнялись измерения;
3) приведите полученное в работе значение удельной теплоемкости с погрешностью и доверительной вероятностью, соответствующей представленному доверительному интервалу;
4) по справочным таблицам определите (и укажите в заключении) материал, из которого изготовлены экспериментальные образцы, использовавшиеся в данной работе;
5) обсудите точность измерений и природу погрешности, с которой измерена теплоемкость в данной работе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение теплоемкости термодинамического тела,
молярной и удельной теплоемкости вещества.
2. Зависит ли теплоемкость тела от характера процесса, в ходе
которого тело получает тепло?
3. Какова причина зависимости теплоемкости от характера процесса?
4. Возможно ли отрицательное значение теплоемкости? При каких условиях оно возникает?
5. Существенна ли зависимость теплоемкости от характера процесса в случае конденсированных тел?
6. Изобразите примерный вид графика зависимости теплоемкости химически простого кристаллического тела от температуры.
7. В чем состоит закон Дюлонга и Пти?
327
8. Предполагая известной зависимость теплоемкости тела от
температуры С(Т), напишите выражение для количества тепла, которое необходимо сообщить телу для нагревания его от температуры Т1 до температуры Т2.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 3. Молекулярная физика и термодинамика. М.: Астрель, АСТ, 2003.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006.
328
Работа 2.38
ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ.
ГРАДУИРОВКА ТЕРМОПАРЫ
Цель: изучить методы измерения температуры в физическом
эксперименте, провести градуировку термопары, определить
термический коэффициент электродвижущей силы термопары.
Оборудование: сосуд с глицерином; электронагреватель с терморегулятором; термопара хромель-алюмель; сосуд Дьюара; цифровой вольтметр В7-21.
ВВЕДЕНИЕ
I. Температура
При изучении тепловых процессов среди основных измеряемых
физических величин особое место занимает температура.
Температура является мерой энергии, заключенной в нагретом
теле, и представляет собой один из макропараметров, т.е. параметров макроскопической системы в целом. Критерий макроскопичности системы − большое число молекул или атомов N, ее составляющих, т.е. N >> 1. Однако не любой макроскопической системе
можно поставить в соответствие температуру.
Для введения понятия температуры макроскопическая система
должна находиться в состоянии термодинамического равновесия.
Согласно наиболее общему определению состояния термодинамического равновесия, в равновесной системе функция распределения
всех ее молекул или атомов не зависит от времени. В таком случае
от времени не будут зависеть и средние значения всех основных
макропараметров, характеризующих данную систему: давление,
плотность, и можно будет говорить о температуре.
Постулат о существовании температуры в состоянии равновесия
часто называют нулевым началом термодинамики.
В состоянии равновесия для любого вещества может быть написано уравнение, связывающее перечисленные три макропараметра:
329
давление, плотность и температуру. Такое уравнение называется
уравнением состояния. Например, для идеального газа уравнение
состояния – это уравнение Менделеева−Клапейрона.
При незначительном изменении внешних условий система также будет менять свое состояние, т.е. будет осуществляться термодинамический процесс. Через некоторое время, называемое временем релаксации рел, система вновь придет в состояние термодинамического равновесия, и установятся новые значения макропараметров.
Особый класс термодинамических процессов составляют квазистатические процессы, которые протекают достаточно медленно,
и можно с достаточной степенью точности считать, что они представляют собой последовательность равновесных состояний. Формально это означает: для квазистатического процесса характерное
время изменения макропараметров кс значительно больше времени
релаксации, т.е. кс >>рел.
Существенными являются два опытных факта, касающихся
температуры.
1. Если два тела первоначально находились в состояниях равновесия и имели разные температуры TA и TB ( TA TB ), то, как показывает опыт, при контакте этих тел возникает неравновесное состояние и начинается обмен теплом. Через некоторое время система оказывается снова в равновесном состоянии с температурой T,
причем выполняется условие TA T TB .
2. Если два тела А и В, не взаимодействуя друг с другом непосредственно, находятся в равновесии с телом С, то они находятся в
равновесии друг с другом. Формально это означает, что если
TA TC и TB TC , то TA TB .
Второе свойство имеет большое практическое значение. Если тело
C настолько мало, что его контакт с телами А и B практически не меняет их температуру, хотя изменения температуры самого тела
Cмогут быть значительными, то тело С может быть использовано для
сравнения температур тел А и В. Такую систему позволяющую сравнивать температуры тел называют термоскоп. О постоянстве или
непостоянстве температуры термоскопа можно судить по изменениям характеризующих его состояние физических величин. Из опыта
известно, что практически все физические свойства макроскопиче330
ских тел зависят от температуры. Например, большинство веществ
при нагревании расширяются; сопротивление металлов растет с увеличением температуры, и т.д. Все эти явления могут быть использованы для построения термоскопа.
Чтобы термоскоп стал термометром, необходимо проградуировать его определенным образом. Но для начала необходимо ввести
количественную меру температуры, т.е. построить шкалу температуры. Для этого нужно задать опорные точки (реперные точки), т.е. постулировать значения температуры для этих точек. Например, до
1954 г. температурную шкалу принято было строить по двум опорным
точкам: нормальной точке кипения воды Tк и нормальной точке плавления льда Tп. Разность температур этих двух точек постулировалась:
Tк – Tп = 100 °С. Однако нормальная точка кипения воды и нормальная точка плавления льда обладают плохой воспроизводимостью.
Гораздо лучшую воспроизводимость имеет тройная точка воды.
В термодинамике показано, что в принципе можно построить температурную шкалу, используя всего одну реперную точку. Такая шкала температур называется абсолютной термодинамической шкалой
(или шкалой Кельвина). В абсолютной термодинамической шкале
тройной точке воды соответствует температура 273,16 K. Абсолютная
термодинамическая шкала является основной в физике.
Наряду с ней часто используется шкала Цельсия. Шкала Цельсия
строится по двум реперным точкам – нормальной точке плавления
льда и нормальной точке кипения воды. Первой ставится в соответствие температура 0 °C, а второй – температура 100 °С. Шкала Цельсия отличается от шкалы Кельвина положением нуля. Если t – температура в градусах Цельсия, а T – температура в кельвинах, то приближенно выполняется соотношение
t =T – 273,15 °C.
(2.38.1)
Поскольку измерения температуры в рамках абсолютной термодинамической шкалы сопряжены с заметными трудностями, в практических целях используется Международная практическая шкала температур (МПТШ-68). Она основана на двенадцати хорошо воспроизводимых первичных реперных температурных точках, которым приписаны определенные значения температуры. Единицами измерения
температуры в рамках МПТШ-68 являются кельвин и градус Цельсия
в зависимости от выбора начала отсчета. Шкала охватывает диапазон
от 13,81 К (тройной точки водорода) до 1337,58 К (точка затвердева331
ния золота). Между первичными реперными точками температурная
шкала устанавливается с помощью интерполяционных формул, дающих соотношение между температурой и показаниями стандартных
термометров, градуированных по этим точкам. Весь диапазон шкалы
разделен на промежутки, в каждом из которых рекомендованы свои
методы измерения температур и свои интерполяционные формулы.
В диапазоне от 13,81 К (тройной точки водорода) до 903,89 К (точки затвердевания сурьмы) стандартным прибором для измерения
температуры является платиновый термометр сопротивления.
МПТШ-68 и абсолютная термодинамическая шкала трудно согласуются в реперных точках, однако в промежутках между ними расхождения настолько малы, что при проведении измерений ими можно
пренебречь.
II. Типы термометров
В практических целях используют вторичные термометры, проградуированные по стандартным термометрам. Рассмотрим типы
термометров, наиболее часто применяемые в физическом эксперименте.
1. Жидкостные термометры.
В жидкостных термометрах используется свойство жидкости расширяться при нагреве. Жидкость обычно помещена в резервуар, к которому прикреплен длинный капилляр. С другой стороны капилляр
запаян (иногда область над жидкостью в капилляре наполнена газом).
В диапазоне температур, для которых предназначен термометр, жидкость заполняет часть капилляра. Капилляр прикреплен к шкале, по
которой производится отсчет температуры. Чем больше размер резервуара, тем выше чувствительность термометра. Однако точность жидкостных термометров невелика (обычно погрешность жидкостного
термометра не меньше, чем 0,01 °С).
В качестве жидкости, являющейся рабочим телом в жидкостном
термометре, чаще всего применяется ртуть (от −38 до +357 °С). Другие используемые жидкости: пентан (от −200 до +20 °С); этиловый
спирт (от −110 до +50 °С); толуол (от −70 до +100 °С).
К недостаткам жидкостных термометров следует отнести их большую инертность вследствие сравнительно большого размера и, соответственно, большой теплоемкости.
332
2. Термометры сопротивления.
В термометрах сопротивления используется свойство металлов,
состоящее в увеличении их сопротивления с ростом температуры.
Непосредственно датчиком температуры является проволочка из чистого металла или сплава, которую включают в электрическую схему
мостика Уитстона. Отношение увеличения сопротивления проволочки при изменении температуры на один градус к сопротивлению
при 0 °C называется температурным коэффициентом сопротивления. Для большинства чистых металлов этот коэффициент составляет
~ 0,004 K−1.
Для реальных металлов зависимость сопротивления от температуры можно считать линейной лишь приближенно. Особенно заметными становятся отклонения от этой зависимости при низких температурах. Поэтому термометры сопротивления имеют нелинейную шкалу и нуждаются в специальной градуировке.
Наиболее часто применяются термометры сопротивления, рабочая
часть которых изготовлена из платины или меди. Платиновый термометр применяется для измерения температур от +10 до +1100 °С.
Медный термометр применяется для измерения температур от +73 до
+400 °С. Точность платинового термометра в диапазоне температур
от +20 до +70 °С составляет ~ 0,01 °С, а при измерении разности
температур ~ 0,001 °С. Точность измерения температуры медным
термометром примерно на порядок меньше.
3. Термопарные термометры.
Термопара представляет собой два разнородных проводника ACB и
ADFB спаянных в двух точках A и B (рис. 2.38.1). В разрыв DF одного
из проводников подключается милливольтметр U.
Рис. 2.38.1
333
Если спаи A и B имеют разные температуры, то в цепи возникает
ЭДС и вольтметр показывает отличное от нуля напряжение. По величине этого напряжения судят о разности температур спаев A и B.
При измерении температуры один из спаев, называемый спаем
сравнения, поддерживается при постоянной температуре, например
погружается в сосуд с плавящимся льдом. Второй спай, называемый
измерительным, приводится в контакт с телом, температура которого
измеряется.
Возникающая в цепи ЭДС термопары является функцией разности температур спаев A и B, т.е. TA и TB:
(2.38.2)
TA TB ,
где – термический коэффициент электродвижущей силы термопары. В общем случае он зависит от температуры, однако если измерения проводятся в узком диапазоне температур (как, например, в
настоящей работе), то термический коэффициент электродвижущей
силы термопары практически не зависит от температуры.
Для наиболее часто применяемых на практике термопар диапазоны
измеряемых температур и термические коэффициенты электродвижущей силы представлены в табл. 2.38.1.
Таблица 2.38.1
Металлы
Диапазон
температур, °С
, мкВ/К
Медь−константан
От −200 до +350
От +27 до −50
Хромель−алюмель
(термопара K−типа)
От −200 до +1100
От +30 до −40
От 0 до +1600
От +6 до −10
Платина−платинородиевый
сплав
Термопарные термометры отличают простота изготовления, малые
размеры, малая теплоемкость, малая тепловая инерция и достаточно
широкий диапазон измерения.
Точность измерений температуры термопарными термометрами в
некоторых случаях достигает 0,01 °С, а при измерении разности температур 0,001 °С.
К недостаткам термопарных термометров следует отнести нелинейность зависимости ЭДС термопары от разности температур спаев
и резкое падение точности при низких температурах.
334
Наиболее часто применяемой термопарой для измерений в диапазоне от 0 до +100 °С в настоящее время является пара «хромель алюмель». Хромель представляет собой сплав ~ 89−91 % никеля с
~ 8−10 % хрома и малого содержания других примесей, а алюмель −
сплав ~ 93−96 % никеля с ~ 1,8−2,5 % алюминия, ~ 1,8−2,2 % марганца и ~ 0,8−1,2 % кремния. Термопары «хромель−алюмель» в международной классификации называются термопарами К-типа.
III. Термостат
Для поддержания термодинамической системы в состоянии термодинамического равновесия при заданной температуре часто используются термостаты, представляющие собой массивную емкость (часто закрытую), стенки которой обладают низкой теплопроводностью.
В эту емкость налита жидкость (в большинстве случаев вода), которая
благодаря внутренним системам термостата может быть нагрета,
охлаждена или прокачана через трубопровод в систему (либо установку), где необходимо поддерживать термодинамическое равновесие
при заданной температуре. Термостат также обладает системой перемешивания жидкости, для равномерного нагрева или охлаждения.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе используется одна принципиальная схема установки, хотя реализация термостатирования рабочей жидкости может
быть выполнена в двух вариантах.
Фотография первого варианта установки представлена на
рис. 2.38.2.
Рабочая жидкость (глицерин) налита в стакан 1, который установлен на электроплитку 2. Работа электроплитки регулируется
блоком управления 3 и терморегулятором 4. Терморегулятор 4 измеряет и поддерживает температуру жидкости. Температура измеряется термометром сопротивления 5, опущенным в исследуемую
жидкость. При достижении установленной температуры терморегулятор отключает питание электроплитки. Для равномерного
нагрева по всему объему жидкость перемешивается магнитным
стержнем 6, который вращается на дне сосуда 1 с помощью магнитного поля мешалки интегрированной в корпус электроплитки.
335
Включение электроплитки осуществляется кнопкой 1 (рис. 2.38.3).
Мощность электроплитки регулируется ручкой 2 на ее блоке
управления. При включении нагрева лампочка 3 загорается, при
выключении − гаснет. На этой же панели находится ручка 4 регулировки частоты вращения магнитной мешалки. Частота вращения
может меняться от нуля до 1400 об./мин (1400 rpm).
Рис. 2.38.2
Установка температуры рабочей жидкости в стакане производится следующим образом. На передней панели терморегулятора
(рис. 2.38.4) необходимо нажать кнопку SET. При этом на табло в
нижней части появится значение температуры, до которой будет
нагреваться жидкость при включении электроплитки. Кнопками
и установить необходимую температуру. Через несколько секунд терморегулятор приступит к нагреву рабочей жидкости до
заданной температуры. В ходе нагрева периодически включается
электроплитка, о чем свидетельствует лампочка 3 на ее блоке
управления (рис. 2.38.3), а в верхней части табло терморегулятора
наблюдается ряд движущихся квадратиков.
336
Для точного измерения температуры жидкости в первом варианте
установки служит контрольный ртутный термометр с ценой деления
0,5 °С (7 на рис. 2.38.2).
Рис. 2.38.3
Рис. 2.38.4
Фотография второго варианта установки представлена на
рис. 2.38.5. В этом варранте для поддержания рабочей жидкости (во337
ды) в состоянии равновесия используется штатный термостат фирмы
ThermoScientific.
Термостат состоит из открытого бачка 1 с водой, в которую погружена спираль нагревателя термостата.
Над нагревателем расположен насос, который, если необходимо,
обеспечивает циркуляцию воды между бачком 1 и внешней термостатируемой системой. Над насосом находится блок управления
термостатом 2.
Вид лицевой панели блока управления термостатом представлен
на рис. 2.38.6. Требуемая температура устанавливается ручкой 1.
При включенном насосе горит лампочка 2. Лампочка 3 сигнализирует о работе нагревателя: при нагреве воды она горит. По достижении температуры воды значения, установленного ручкой 1, лампочка 3 гаснет. Если температура воды в бачке становится ниже
установленной, то нагреватель снова автоматически включается.
Рис. 2.38.5
338
Контрольный спиртовой термометр 4 измеряет температуру воды в бачке. Цена деления шкалы термометра 0,5 °С. Переключатель 5 служит для включения термостата.
В обоих вариантах установки в рабочую жидкость погружен один
из спаев исследуемой в работе термопары (например, 8 на рис. 2.38.2).
Другой спай помещен в сосуд Дьюара с плавящимся льдом (9 на
рис. 2.38.2). Таким образом, точкой отсчета температуры для термопары служит значение 0 °С.
ЭДС термопары измеряется милливольтметром В7-21 (на рисунках
не показан). Измерения проводятся на пределе измерений 10 мВ. Относительная погрешность измерения определяется по формуле
U
U
(2.38.3)
EU
0,1 0,03 m % ,
U
U
где Um − предел измерений.
Все измерения в данной работе проводятся в диапазоне температур
от комнатной до 50 ○C.
Рис. 2.38.6
339
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Не прикасайтесь к термометру и его креплениям.
2. Не перегибайте провод термопары. Это может привести к его
поломке и выходу измерителя температуры из строя.
3. Не прикасайтесь к металлическому кожуху нагревательной
панели электроплитки или к бачку термостата. Это может привести
к ожогу.
4. Не повышайте температуру рабочей жидкости выше 50 °C.
5. После окончания измерений сразу выключите нагреватель!
ЗАДАНИЕ
Градуировка термопары, определение термического
коэффициента электродвижущей силы термопары
1. Включите вольтметр В7-21 нажатием клавиши «Сеть».
2. Поместите второй спай термопары в сосуд Дьюара с плавящимся льдом.
3. Для первого варианта установки:
включите электроплитку выключателем на ее правой боковой панели;
с помощью терморегулятора установите температуру ниже комнатной;
включите нагреватель кнопкой 1 (см. рис. 2.38.3);
установите мощность нагревателя ручкой 2 до деления шкалы, соответствующего 75 °С;
ручку регулировки скорости вращения мешалки установите в положение, соответствующее 750 rpm.
Для второго варианта установки:
ручкой 1 (см. рис. 2.38.6) термостата установите температуру ниже комнатной;
включите термостат кнопкой 5 (см. рис. 2.38.6).
4. Подождите не менее 15 мин, пока показания вольтметра не
установятся (после выдержки необходимого времени допускаются
колебания измеряемого напряжения не более, чем 1 мкВ).
340
5. Снимите показания контрольного термометра Tк и соответствующее значение ЭДС термопары с помощью вольтметра. Результаты
запишите в заранее подготовленную табл. 2.38.2.
Таблица 2.38.2
№
1
2
Tк, ○С
U, мкВ
U, мкВ
…
…
…
6. С помощью терморегулятора электроплитки или регулятора
температуры термостата установите температуру на 3−4 ○С выше первоначально измеренной.
7. Подождите не менее 15 мин, пока температура по контрольному
термометру и напряжение на термопаре не перестанут меняться.
8. Снимите показания контрольного термометра Tк и соответствующее значение ЭДС термопары с помощью вольтметра. Результаты
запишите в заранее подготовленную табл. 2.38.2. Для первого варианта установки при нагреве выше 30 ○С мощность нагревателя установите ручкой 2 (см. рис. 2.38.3) до деления шкалы, соответствующего
100 ○С.
9. Продолжайте увеличивать температуру и производить измерения согласно пп. 6−8, пока не достигнете температуры 50 ○С. Снимите
показания при этой температуре и закончите измерения. Всего должно получиться не менее 7−8 экспериментальных точек в диапазоне от
комнатной температуры до 50 ○С.
10. Отключите нагреватель и вольтметр.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Рассчитайте погрешность измерения ЭДС термопары по формуле (2.38.3).
2. По результатам табл. 2.38.2 постройте градуировочный график
термопары, т.е. график зависимости температуры по контрольному
термометру от ЭДС термопары.
341
3. Методом парных точек определите угловой коэффициент k полученной зависимости и его погрешность по методу Корнфельда.
4. Оцените термический коэффициент электродвижущей силы
термопары по формуле следующей из (2.38.2):
2
(2.38.4)
1 k ; k k .
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
В заключение к работе должен быть представлен градуировочный
график термопары. Сделать вывод, насколько оправдано предположение о постоянстве коэффициента электродвижущей силы исследуемой термопары в диапазоне температур от 20 до 50 ○С. Приведите полученное значение коэффициента электродвижущей силы термопары.
Сравните полученный результат с табличным (см. табл. 2.38.1).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое температура? Каковы ее свойства?
2. Как в принципе осуществляется измерение температуры?
3. Что такое термодинамическое равновесие и квазистатический
процесс?
4. Что такое температурная шкала? Приведите примеры температурных шкал?
5. Какие типы термометров используют в настоящей работе?
6. На чем основан принцип работы этих термометров?
7. Как зависит ЭДС термопары от разности температур спаев?
8. Как устроен термостат?
9. Какая система термостатирования используется в двух вариантах работы?
10. Как установить температуру на терморегуляторе электроплитки?
11. Как установить температуру на термостате?
12. Для какой цели служит контрольный термометр?
13. В каком диапазоне температур и с каким шагом необходимо
делать измерения?
14. Как в работе определяется коэффициент электродвижущей
силы термопары?
342
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 2. М.: Наука, 1990.
2. Анализ и представление результатов эксперимента / Под ред.
Н.С. Вороновой. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.
Дополнительная
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа,
1981.
343
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
КУРСА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Разделы «КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ»,
«МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА»
Под редакцией В.А. Шилова
Редактор М.В. Макарова
Подписано в печать 22.06.2022. Формат 60х84 1/16
Уч.-изд. л. 21,5. Печ. л. 21,5.
Изд. № 1/62. Тираж 200 экз.
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Типография НИЯУ МИФИ.
115409, Москва, Каширское ш., 31
