Курс физики: Учебное пособие для вузов

ВЫСШЕЕ П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Е О Б Р А З О В А Н И Е
Т. И. ТРОФИМОВА
КУРС
ФИЗИКИ
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для инженерно-технических
специальностей высшихучебных заведений
9 -е издание, переработанное и дополненное
Москва
aca dem 'a
2004
УДК 53(075.8)
Б Б К 22.3я73
Т761
Рецензент —
профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта
Московского энергетического института (технического университета) В.А.Касъянов
Т761
Трофимова Т. И.
Курс физики. Учеб. пособие для вузов / Таисия И вановна Трофимо­
ва. — Изд. 9-е, перераб. и доп. — М.: Издательский центр «Академия»,
2004. - 560 с.
ISBN 5-7695-1670-4
Учебное пособие состоит из семи частей, в которых изложены физические основы ме­
ханики, молекулярной физики и термодинамики, электричества и магнетизма, оптики, кван­
товой физики атомов, молекул и твердых тел, физики атомного ядра и элементарных час­
тиц. Рационально решен вопрос об объединении механических и электромагнитных коле­
баний. Установлена логическая преемственность и связь между классической и современ­
ной физикой. Приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Для ст}щентёв'Инзкенерно-1'ехнических специальностей высших учебных введений.
IT
-
3
.
?
Ц академ ик С л о н с с м *ае ,
])
вты кдагы
; /•
■
ISBN 5-7695-1670-4'
**
У Д К 53(075.8)
Б Б К 22.3я73
©Трофимова Т. И., 2004
© Образовательно-издательский центр «Академия», 2004
© Оформление. Издательский центр «Академия», 2004
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие написано в соот­
ветствии с действующей программой
курса физики для инженерно-техничес­
ких специальностей высших учебных
заведений. Небольшой объем учебного
пособия достигнут с помощью тщатель­
ного отбора и лаконичного изложения
материала.
Книга состоит из семи частей. В пер­
вой части дано систематическое изложе­
ние физических основ классической ме­
ханики, а также рассмотрены элементы
специальной (частной) теории относи­
тельности. Вторая часть посвящена ос­
новам молекулярной физики и термо­
динамики. В третьей части представле­
ны электростатика, постоянный элект­
рический ток и электромагнетизм. В чет­
вертой части, посвященной теории ко­
лебаний и волн, механические и элек­
тромагнитные колебания рассмотрены
параллельно, указаны их сходства и
различия и сопоставлены физические
процессы, происходящие при соответ­
ствующих колебаниях. В пятой части
изложены элементы геометрической и
электронной оптики, волновая оптика
и квантовая природа излучения. Шес­
тая часть посвящена элементам кванто­
вой физики атомов, молекул и твердых
тел. В седьмой части рассмотрены эле­
менты физики атомного ядра и элемен­
тарных частиц.
Изложение материала ведется без
громоздких математических выкладок,
особое внимание обращено на физиче­
скую суть явлений и описывающих их
понятий и законов, а также на преем­
ственность современной и классичес­
кой физики. Все биографические дан­
ные приведены по книге Ю. А. Храмо­
ва «Физики» (М.: Наука, 1983).
Автор выражает глубокую благо­
дарность коллегам и читателям, чьи
доброжелательные замечания и поже­
лания способствовали улучш ению
книги, и особую признательность про­
фессору В. А . Касьянову за рецензиро­
вание пособия и сделанные им замеча­
ния.
Ознакомиться с работами автора
можно в И нтернете на сайте
www.miem.edu.ru в разделе «Учебные
пособия». Замечания и предложения
просьба направлять автору по элект­
ронной почте [email protected].
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ
Окружающий нас мир, все сущест­
вующее вокруг нас и обнаруживаемое
нами посредством ощущений представ­
ляют собой материю.
Неотъемлемым свойством материи и
формой ее существования является дви­
жение. Движение в широком смысле
слова — это всевозможные изменения
материи —от простого перемещения до
сложнейших процессов мышления.
Разнообразные формы движения
материи изучаются различными наука­
ми, в том числе и физикой. Предмет
физики, как, впрочем, и любой науки,
может быть раскрыт только по мере его
детального изложения. Дать строгое
определение предмета физики доволь­
но сложно, потому что границы между
физикой и рядом смежных дисциплин
условны. На данной стадии развития
нельзя сохранить определение физики
только как науки о природе.
Академик А. Ф. Иоффе (1880 —1960;
российский физик) определил физику
как науку, изучающую общие свойства
и законы движения вещества и поля.
В настоящее время общепризнано, что
все взаимодействия осуществляются по­
средством полей, например гравитацион­
ных, электромагнитных, полей ядерных
сил. Поле наряду с веществом является
одной из форм существования материи.
Неразрывная связь поля и вещества, а
также различие в их свойствах будут рас­
смотрены по мере изучения курса.
Физика —наука о наиболее простых
и вместе с тем наиболее общих формах
4
движения материи и их взаимных пре­
вращениях. Изучаемые физикой формы
движения материи (механическая, теп­
ловая и др.) присутствуют во всех выс­
ших и более сложных формах движения
материи (химических, биологических и
др.). Поэтому они, будучи наиболее про­
стыми, являются в то же время наибо­
лее общими формами движения мате­
рии. Высшие и более сложные формы
движения материи —предмет изучения
других наук (химии, биологии и др.).
Теснейшая связь физики с многими
отраслями естествознания, как отмечал
академик С. И. Вавилов (1891 —1955;
российский физик и общественный де­
ятель), привела к тому, что физика глу­
бочайшими корнями вросла в астроно­
мию, геологию, химию, биологию и дру­
гие естественные науки. В результате
образовался ряд новых смежных дис­
циплин, таких, как астрофизика, био­
физика и др.
Физика тесно связана и с техникой,
причем эта связь имеет двусторонний
характер. Физика выросла из потребно­
стей техники (развитие механики у
древних греков, например, было вызва­
но запросами строительной и военной
техники того времени), и техника, в
свою очередь, определяет направление
физических исследований (например, в
свое время задача создания наиболее
экономичных тепловых двигателей выз­
вала интенсивное развитие термодина­
мики). С другой стороны, от развития
физики зависит технический уровень
производства. Физика —база для созда­
ния новых отраслей техники (электрон­
ная техника, ядерная техника и др.).
Бурный темп развития физики, рас­
тущие связи ее с техникой указывают
на значительную роль курса физики во
втузе — это фундаментальная база для
теоретической подготовки инженера,
без которой его успешная деятельность
невозможна.
ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Основным методом исследования в
физике является опыт — основанное
на практике чувственно-эмпирическое
познание объективной действительно­
сти, т. е. наблюдение исследуемых явле­
ний в точно учитываемых условиях,
позволяющих следить за ходом явле­
ний и многократно воспроизводить его
при повторении этих условий.
Для объяснения эксперименталь­
ных данных выдвигаются гипотезы. Ги­
потеза — это научное предположение,
позволяющее уяснить сущность проис­
ходящих явлений и требующее провер­
ки на опыте и теоретического обосно­
вания для того, чтобы стать достовер­
ной научной теорией.
В результате обобщения экспери­
ментальных данных, а также накоплен­
ного опыта людей устанавливаются
физические законы —устойчивые по­
вторяющиеся объективные закономер­
ности, существующие в природе. Наи­
более важные законы устанавливают
связь между физическими величинами.
Измерение физической величины есть
действие, выполняемое с помощью
средств измерений для нахождения зна­
чения физической величины в приня­
тых единицах.
Единицы физических величин мож­
но выбрать произвольно, но тогда воз­
никнут трудности при их сравнении.
Поэтому целесообразно ввести систему
единиц, охватывающую единицы всех
физических величин.
Для построения системы единиц
произвольно выбирают единицы для
нескольких не зависящих друг от друга
физических величин. Эти единицы на­
зываются основными. Остальные же
единицы, называемые производными,
выводятся из физических законов, свя­
зывающих их с основными единицами.
В научной, а также в учебной лите­
ратуре обязательна к применению Си­
стема интернациональная (СИ), кото­
рая строится на семи основных едини­
цах —метр, килограмм, секунда, ампер,
кельвин, моль, кандела —и двух допол­
нительных —радиан и стерадиан.
Метр (м) —длина пути, проходимо­
го светом в вакууме за 1/299 792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равная
массе международного прототипа кило­
грамма (платиноиридиевого цилиндра,
хранящегося в Международном бюро
мер и весов в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное
9 192 631770 периодам излучения, со­
ответствующего переходу между двумя
сверхтонкими уровнями основного со­
стояния атома цезия-133.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по
двум параллельным прямолинейным
проводникам бесконечной длины и
ничтожно малого поперечного сечения,
расположенным в вакууме на расстоя­
нии 1 м один от другого, создает меж­
ду этими проводниками силу, равную
2 • 10-7 Н на каждый метр длины.
5
Кельвин (К) — 1/273,16 часть тер­
модинамической температуры тройной
точки воды.
Моль (моль)
количество веще­
ства системы, содержащей столько же
структурных элементов, сколько ато­
мов содержится в нуклиде 12С массой
0,012 кг.
Кандела (кд) —сила света в задан­
ном направлении источника, испуска­
ющего монохроматическое излучение
частотой 540 • 1012 Гц, энергетическая
сила света которого в этом направлении
составляет 1/683 Вт/ср.
Радиан (рад) — угол между двумя
радиусами окружности, длина дуги
между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с
вершиной в центре сферы, вырезающий
на поверхности сферы площадь, равную
площади квадрата со стороной, равной
радиусу сферы.
ЧАСТЬ 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
§ 1. Модели в механике.
Система отсчета. Траектория,
длина пути, вектор перемещения
М ех а н и к а —часть физики, которая
изучает закономерности механическо­
го движения и причины, вызывающие
или изменяющие это движение. М е х а ­
ническое движ ен ие — это изменение с
течением времени взаимного располо­
жения тел или их частей.
Развитие механики как науки начи­
нается с III в. до н.э., когда древнегре­
ческий ученый Архимед (287 —212 до
н.э.) сформулировал закон равновесия
рычага и законы равновесия плавающих
тел. Основные законы механики уста­
новлены итальянским физиком и астро­
номом Г. Галилеем (1564 —1642) и окон­
чательно сформулированы английским
ученым И. Ньютоном (1643 —1727).
Механика Галилея —Ньютона назы­
вается классической м еханикой. В ней
изучаются законы движения макроско­
пических тел, скорости которых малы по
сравнению со скоростью света с в ваку­
уме. Законы движения макроскопических
тел со скоростями, сравнимыми со ско­
ростью с, изучаются релят и вист ской
механикой, основанной на специальной
теории от носит ельност и, сформули­
рованной А. Эйнштейном (1879—1955).
Для описания движения микроскопиче­
ских тел (отдельные атомы и элементар­
ные частицы) законы классической ме­
ханики неприменимы — они заменяют­
ся законами квант овой механики.
Уравнения релятивистской механи­
ки в пределе (для скоростей, малых по
сравнению со скоростью света) перехо­
дят в уравнения классической механи­
ки, уравнения квантовой механики в
пределе (для масс, больших по сравне­
нию с массами атомов) также перехо­
дят в уравнения классической механи­
ки. Это указывает на ограниченность
применимости классической механи­
ки — механики тел больших масс (по
сравнению с массой атомов), движу­
щихся с малыми скоростями (по срав­
нению со скоростью света).
Механика делится на три раздела:
1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.
К и н ем ат ика изучает движение тел,
не рассматривая причины, которые это
движение обусловливают.
Д и н а м и к а изучает законы движе­
ния тел и причины, которые вызывают
или изменяют это движение.
С т ат ика изучает законы равнове­
сия системы тел. Если известны зако­
ны движения тел, то из них можно ус7
тановить и законы равновесия. Поэто­
му законы статики отдельно от законов
динамики физика не рассматривает.
В механике для описания движения
тел в зависимости от условий конкрет­
ных задач используются разные физи­
ческие модели. Простейшей моделью
является материальная точка —тело,
обладающее массой, размерами которо­
го в данной задаче можно пренебречь.
Материальная точка — понятие абст­
рактное, но его введение облегчает ре­
шение практических задач. Например,
изучая движение планет по орбитам
вокруг Солнца, можно принять их за
материальные точки.
П роизвольное макроскопическое
тело или систему тел можно мысленно
разбить на малые взаимодействующие
между собой части, каждая из которых
рассматривается как материальная точ­
ка. Тогда изучение движения произ­
вольной системы тел сводится к изуче­
нию системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга
тела могут деформироваться, т. е. изме­
нять свою форму и размеры. Поэтому в
механике вводится еще одна модель —
абсолютно твердое тело. Абсолютно
твердым называют тело, которое ни
при каких условиях не может деформи­
роваться и при всех условиях расстоя­
ние между двумя точками (или точнее
между двумя частицами) этого тела ос­
тается постоянным.
Любое движение твердого тела мож­
но представить как комбинацию посту­
пательного и вращательного движений.
Поступательное движение —это дви­
жение, при котором любая прямая, же­
стко связанная с движущимся телом,
остается параллельной своему первона­
чальному положению. Вращательное
движение — это движение, при кото­
ром все точки тела движутся по окруж­
ностям, центры которых лежат на од­
8
ной и той же прямой, называемой осью
вращения.
Д виж ение тел происходит в про­
странстве и во времени. Поэтому для
описания движения материальной точ­
ки надо знать, в каких местах простран­
ства и в какие моменты времени эта
точка находилась в том или ином поло­
жении.
Положение материальной точки оп­
ределяется по отношению к какомулибо другому, произвольно выбранно­
му телу, называемому телом отсчета.
С ним связы вается система от сче­
та —совокупность системы координат
и часов. В декартовой системе коорди­
нат, используемой наиболее часто, по­
ложение точки А в данный момент вре­
мени по отношению к этой системе ха­
рактеризуется тремя координатами х, у
и гили радиусом-вектором г, проведен­
ным из начала системы координат в
данную точку (рис. 1).
При движении материальной точки
ее координаты с течением времени из­
меняются. В общем случае ее движение
определяется скалярными уравнениями
х - x(t), у = y(t), z = z(t), (1.1)
эквивалентными векторному уравнению
r = r(t).
(1.2)
Уравнения (1.1) и (1.2) называются
кинематическими уравнениями дви­
жения материальной точки.
Число независимых величин, полно­
стью определяющих положение точки
в пространстве, называется числом
степеней свободы. Если материальная
точка свободно движется в простран­
стве, то, как уже было сказано, она об­
ладает тремя степенями свободы (коор­
динаты х, у и -г); если она движется по
некоторой поверхности, то двумя сте­
пенями свободы, если вдоль некоторой
линии, то одной степенью свободы.
Исключая t в уравнениях (1.1) и
(1.2), получим уравнение траектории
движения материальной точки. Траек­
тория — линия, описываемая в про­
странстве движущейся точкой. В зави­
симости от формы траектории движе­
ние может быть прямолинейным или
криволинейным.
Рассмотрим движение материальной
точки вдоль произвольной траектории
(рис. 2). Отсчет времени начнем с мо­
мента, когда точка находилась в положе­
нии Л, Длина участка траектории АВ,
пройденного материальной точкой с
момента начала отсчета времени, назы­
вается длиной пути A sh является ска­
лярной функцией времени: As = As(£).
Вектор Аг = г2 —г ь проведенный из на­
чального положения движущейся точки
в положение ее в данный момент време­
ни (приращение радиуса-вектора точки
за рассматриваемый промежуток време­
ни), называется перемещением.
При прямолинейном движении век­
тор перемещения совпадает с соответ­
ствующим участком траектории и мо­
дуль перемещения |Д г| равен пройден­
ному пути As.
§ 2. Скорость
Для характеристики движения мате­
риальной точки вводится векторная
величина — скорость, которой опреде-
Рис. 3
ляется как быстрота движения, так и
его направление в данный момент вре­
мени.
Пусть материальная точка движет­
ся по какой-либо криволинейной тра­
ектории так, что в момент времени t ей
соответствует радиус-вектор г г (рис. 3).
В течение малого промежутка времени
A t точка пройдет путь As и получит
элементарное (бесконечно малое) пере­
мещение А г.
Вектором средней скорости (v )
называется отношение приращения А г
радиуса-вектора точки к промежутку
времени A t:
{v) = А г
(2 .1)
At
Направление вектора средней скоро­
сти совпадает с направлением А г. При
неограниченном уменьшении A t сред­
няя скорость стремится к предельному
значению, которое называется мгно­
венной скоростью v:
dr
т Аг
v = lim ——
д<->о A t
dt
Мгновенная скорость v, таким обра­
зом, есть векторная величина, опреде­
ляемая первой производной радиусавектора движущейся точки по времени.
Так как секущая в пределе совпадает с
касательной, то вектор скорости v на­
правлен по касательной к траектории в
сторону движения (см. рис. 3). По мере
уменьшения A t длина пути As все боль­
ше будет приближаться к |Дг|, поэтому
модуль мгновенной скорости
«lim —
А—
г
At->0 A t
д«-о A t
— lim A i ——
д*-*о A t dt
Таким образом, модуль мгновенной
скорости равен первой производной
пути по времени:
•
(22)
При неравномерном движении мо­
дуль мгновенной скорости с течением
времени изменяется. В данном случае
пользуются скалярной величиной (v) —
средней скоростью неравномерного
движения:
Из рис. 3 вытекает, что (v) > |Д v|, так
как As > |А г |, и только в случае прямо­
линейного движения
As = |Дг|.
Если выражение ds = vdt [см. фор­
мулу (2.2)] проинтегрировать по време­
ни в пределах от t до t + At, то найдем
длину пути, пройденного точкой за вре­
мя At:
t+д*
s= J vdt
(2.3)
t
В случае равномерного движения
числовое значение мгновенной скоро­
сти постоянно; тогда выражение (2.3)
примет вид
- г+дг
з = v J / d ts s v At.
t
Длина пути, пройденного точкой за
промежуток времени от tx до <2, опре­
деляется интегралом
h
s = J v(t)dt.
<i
10
§ 3. Ускорение
и его составляющие
В случае неравномерного движения
важно знать, как быстро изменяется
скорость с течением времени. Физиче­
ской величиной, характеризующей бы­
строту изменения скорости по модулю
и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е.
движение, при котором все участки тра­
ектории точки лежат в одной плоско­
сти. Пусть вектор v задает скорость точ­
ки Л в момент времени t. За время Д t
движущаяся точка перешла в положе­
ние В и приобрела скорость, отличную
от v как по модулю, так и направлению
и равную = v + Av. Перенесем век­
тор vxв точку А и найдем Av (рис. 4).
Средним ускорением неравномер­
ного движения в интервале от t до
t -f A t называется векторная величина,
равная отношению изменения скорос­
ти Av к интервалу времени At:
(а) = дАН
ач
х ' At
Мгновенным ускорением а {уско­
рением) материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускоре­
ния:
а — lim (а) ~ lim
=—.
д<-*о'
Ai-»o A t
d£
Таким образом, ускорение а есть
векторная величина, определяемая
первой производной скорости по вре­
мени.
Разложим вектор Av на две составля­
ющие. Для этого из точки А (см. рис. 4)
по направлению скорости v отложим
вектор AD, по модулю равный щ. Оче­
видно, что вектор CD, равный A vT, оп­
ределяет изменение скорости за время
A t по модулю: Дит = Vi — v. Вторая же
составляющая Avnвектора Д v характе­
ризует изменение скорости за время A t
по направлению.
Тангенциальная составляющая
ускорения
,. A v.
Л. Av du
а. = lim -г -2- = lim —— = — ,
д«-*о A t
At—
*о A t
dt
т.е. равна первой производной по вре­
мени от модуля скорости: она опреде­
ляет быстроту изменения скорости по
модулю.
Найдем вторую составляющую уско­
рения. Допустим, что точка В достаточ­
но близка к точке А, поэтому А з можно
считать дугой окружности некоторого
радиуса г, мало отличающейся от хор­
ды А В. Тогда из подобия треугольни­
ков АОВ и EAD следует
= —, но
АВ
так как АВ = vAt, то
A vn _ Wi
At
r
В пределе при Д£ —►0 получим vx—>v.
Поскольку v 1 —>vt угол EAD стре­
мится к нулю, а так как треугольник
EAD равнобедренный, то угол ADE
между v и A vn стремится к прямому.
Следовательно, при Д£—>0 векторы Av„
и v оказываются взаимно перпендику­
лярными. Так как вектор скорости на­
правлен по касательной к траектории,
то вектор Avn, перпендикулярный век­
тору скорости, направлен к центру ее
кривизны. Составляющая ускорения
A vn
ап = lim — f
д/-+о A t
называется нормальной составляю­
щей ускорения и направлена по глав­
ной нормали к траектории к центру ее
кривизны.
Полное ускорение тела есть геомет­
рическая сумма тангенциальной и нор­
мальной составляющих (рис. 5):
dv =• ат
-* +а„.
.
о-* = —
dt
Итак, тангенциальная составляю­
щая ускорения характеризует быстро­
ту изменения модуля скорости (направ­
лена по касательной к траектории), а
нормальная составляющая ускорения —
быстроту изменения направления ско­
рости (направлена по главной норма­
ли к центру кривизны траектории).
Составляющие от и о„ перпендикуляр­
ны друг другу.
В зависимости от тангенциальной и
нормальной составляющих ускорения
движение можно классифицировать
следующим образом:
1) аг = 0, ап — 0 — прямолинейное
равномерное движение;
2) ar = а = const, ап= 0 —прямоли­
нейное равнопеременное движение.
При таком виде движения
Av v2 —vx
ar —а = ——= —---- -.
At
t2 ~tx
Если начальный момент времени
f! = 0, а начальная скорость Vi = % то,
Рис. 5
11
приняв t<L 5* t и г>2 = v, получим
V —Vn
а = —j-*-,
откуда
v = t>о+ at.
Проинтегрировав эту формулу в
пределах от нуля до произвольного мо­
мента времени t, найдем, что длина
пути, пройденного точкой, в случае рав­
нопеременного движения
t
t
2
s = J vdt = J (v0 + at)dt =, v0t +rr~»
0
0
' *-V!.s5
3) oT= f(t), o„ = 0 —прямолинейное
движение с переменным ускорением;
4) ат = 0, о„ = const. При ат = 0 ско­
рость изменяется только по направлеv2 следует, что
нию. Из формулы ап = —
радиус кривизны должен быть постоян­
ным. Следовательно, движение по ок­
ружности является равномерным;
5) От= 0, an 0 —равномерное кри­
волинейное движение;
6) От = const, ап ^ 0 —криволиней­
ное равнопеременное движение;
7) о,. = /(£), а„ 5* 0 —криволинейное
движение с переменным ускорением.
§ 4. Угловая скорость
и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое
вращается вокруг неподвижной оси.
Тогда отдельные точки этого тела бу­
дут описывать окружности разных ра­
диусов, центры которых лежат на оси
вращения. Пусть некоторая точка дви­
жется по окружности радиуса R (рис.
6). Ее положение через промежуток
времени A t задается углом Дф.
Элементарные (бесконечно малые)
повороты можно рассматривать как
векторы (они обозначаются Дфили d$).
Модуль вектора dip равен углу поворо­
12
та, а его направление совпадает с на­
правлением поступательного движения
острия винта, головка которого враща­
ется в направлении движения точки по
окружности, т.е. подчиняется правилу
правого винта (см. рис. 6). Бекторы,
направления которых связываются с
направлением вращения, называются
псевдовекторами или аксиальными
векторами. Эти векторы не имеют оп­
ределенных точек приложения: они
могут откладываться из любой точки
оси вращения.
Угловой скоростью называется век­
торная величина, определяемая первой
производной угла поворота тела по вре­
мени:
Вектор ш направлен вдоль оси вра­
щения по правилу правого винта, т.е.
так же, как и вектор dip (рис. 7). Размер­
ность угловой скорости dimw = Т -1, а
ее единица —радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
v = l i m ^ = lim
= R lim
= Rw,
At—
ЮA t At-Ю Д*
Ai-^OA t
т. е.
. v = biR.
В векторном виде формулу для ли­
нейной скорости можно написать как
векторное произведение:
v = [шД].
При этом модуль векторного про­
изведения, по определению , равен
ui?sin(u>.R), а направление совпадает с
направлением поступательного движе­
ния правого винта при его вращении от
ш кй.
Если и = const, то вращение равно­
мерное и его можно характеризовать
периодом вращения Т — временем, за
которое точка совершает один полный
оборот, т. е. поворачивается на угол 2iv.
Так как промежутку времени Д t = Т сол = г.
2tv, откуда
ответствует Дф
2-гс, то и = —
Рис. 9
жении вектор е сонаправлен вектору и
(рис. 8), при замедленном — противо­
направлен ему (рис. 9).
Тангенциальная составляющая ус­
корения ат = ——, v —шЯ и
dt
Т=
Ч и с л о п о л н ы х оборотов, совершае­
мых телом при равномерном его движе­
нии по окружности в единицу времени,
называется частотой вращения:
ат
откуда
и = 2тт.
Угловым ускорением называется
векторная величина, определяемая пер­
вой производной угловой скорости по
времени:
dt
= Д — = Де.
dt
Нормальная составляющая ускорения
и 2Д 2
°"
_ 1 _ и
п ~ Т ~ цЦ
_
Рис. 8
Д
R
_
2
= и 2Д .
Таким образом, связь между линей­
ными (длина пути s, пройденного точ­
кой по дуге окружности радиусом R, ли­
нейная скорость v, тангенциальное уско­
рение ат, нормальное ускорение а„) и
угловыми величинами (угол поворота ip,
угловая скорость и, угловое ускорение
е) выражается следующими формулами:
du
5 = Дф, v = i2w, ат = Re, ап = ш2R.
dt
В случае равнопеременного движе­
ния точки по окружности (е = const)
При вращении тела вокруг непод­
вижной оси вектор углового ускорения
направлен вдоль оси вращения в сторо­
ну вектора элементарного приращения
угловой скорости. При ускоренном дви-
и) = ш0 ± et, ip = u)Qt ± et
где w0 — начальная угловая скорость.
Контрольные вопросы
•
•
•
Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?
Что такое система отсчета?
Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку
пути, пройденному точкой?
13
• Какое движение называется поступательным? вращательным?
• Дайте определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной ско­
рости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?
• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляю­
щая ускорения? Каковы их модули?
• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенци­
альное ускорение? Приведите примеры.
• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направ­
ления?
• Какова связь между линейными и угловыми величинами?
ЗАДАЧИ
1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А + Bt +
+ Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Определите: 1) время после начала движения,
через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение (а) тела за этот
промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]
1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под которым тело брошено
к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна М дальности его полета. [45°]
1.3. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от
времени задается уравнением ш = 2At + 5Bt4 (Л = 2 рад/с2 и В = 1 рад/с5). Определите
полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с после начала вращения и число оборотов,
сделанных колесом за это время, [а = 8,5 м/с2; N = 0,48]
1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом г= 4 м , задает­
ся уравнением а„ = А ЩBt + Ct2(А = 1 м/с2, 5 = 6 м/с3, С= 3 м/с4). Определите: 1) танген­
циальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время Ц = 5 с после начала дви­
жения; 3) полное ускорение для момента времени t2 = 1с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]
1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t = 1 мин уменьши­
лась от 300 до 180 мин-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборо­
тов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 240]
1.6. Диск радиусом Д = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость
угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением if Я А + Bt 4- Ct2 + Dt3 (В =
= 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D — 1 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса к концу
второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ат; 2) нормальное
ускорение 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]
Глава 2
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 5. Первый закон Ньютона.
Масса. Сила
В основе классической динамики
(основной раздел механики) лежат три
закона Ньютона, сформулированные
14
им в «Математических началах нату­
ральной философии» (1687). Законы
Ньютона играют исключительную роль
в механике и являются обобщением ог­
ромного числа опытных данных. Пра­
вильность этих законов (для обширно-
го, но все же ограниченного круга яв­
лений) подтверждается согласием с
опытом получаемых с их помощью ре­
зультатов.
П ервы й за к о н Н ью т о н а : всякая ма­
териальная точка (тело) сохраняет со­
стояние покоя или равномерного пря­
молинейного движения до тех пор, пока
воздействие со стороны других тел не
заставит ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние
покоя или равномерного прямолиней­
ного движения называется и н ер т н о с­
т ью . Поэтому первый закон Ньютона
называют также за к о н о м инерции.
Механическое движение относи­
тельно, и его характер зависит от сис­
темы отсчета. Первый закон Ньютона
выполняется не во всякой системе от­
счета, а те системы, по отношению к
которым он выполняется, называются
ин ерциальн ы м и сист ем ам и от счет а.
Инерциальной системой отсчета явля­
ется такая система отсчета, относитёльно которой материальная точка, свобод­
ная от внешних воздействий, либо по­
коится, либо движется равномерно и
прямолинейно. Первый закон Ньютона
утверж дает существование инерциаль­
ных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что
инерциальной можно считать гелио­
центрическую (звездную) систему от­
счета (начало координат находится в
центре Солнца, а оси проведены в на­
правлении определенных звезд). Сис­
тема отсчета, связанная с Землей, стро­
го говоря, неинерциальна, однако эф­
фекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг соб­
ственной оси и вокруг Солнца), при
решении многих задач пренебрежимо
малы, и в этих случаях ее можно счи­
тать инерциальной.
Из опыта известно, что при одина­
ковых воздействиях различные тела
неодинаково изменяют скорость свое­
го движения, т. е., иными словами, при­
обретают различные ускорения. Уско­
рение зависит не только от величины
воздействия, но и от свойств самого
тела (от его массы).
М а с с а т ел а — физическая величи­
на, являющаяся одной из основных ха­
рактеристик материи, определяющая ее
инерционные (и н ерт н ая м а с с а ) и гра­
витационные ( гр а в и т а ц и о н н а я м а с ­
с а ) свойства. В настоящее время мож­
но считать доказанным, что инертная и
гравитационная массы равны друг дру­
гу (с точностью, не меньшей 10-12 их
значения).
Чтобы описывать воздействия, упо­
минаемые в первом законе Ньютона, вво­
дят понятие силы. Под действием сил
тела либо изменяют скорость движения,
т. е. приобретают ускорения (динамиче­
ское проявление сил), либо деформиру­
ются, т. е. изменяют свою форму и раз­
меры (статическое проявление сил).
В каждый момент времени сила ха­
рактеризуется числовым значением,
направлением в пространстве и точкой
приложения. Итак, си л а — это вектор­
ная величина, являющаяся мерой меха­
нического воздействия на тело со сто­
роны других тел или полей, в результа­
те которого тело приобретает ускорение
или изменяет свою форму и размеры.
§ 6. Второй закон Ньютона
В т орой за к о н Н ью т она — основной
закон динамики поступательного дви­
жения — отвечает на вопрос, как изме­
няется механическое движение матери­
альной точки (тела) под действием при­
ложенных к ней сил.
Если рассмотреть действие различ­
ных сил на одно и то же тело, то оказы­
вается, что ускорение, приобретаемое
15
телом, всегда пропорционально равно­
действующей приложенных сил:
а ~ F (т = const).
(6.1)
При действии одной и той же силы
на тела с разными массами их ускорения
оказываются различными, а именно
а fcs — (F = const).
(6.2)
т
Используя выражения (6.1) и (6.2)
и учитывая, что сила и ускорение —ве­
личины векторные, можем записать
Соотношение (6.3) выражает вто­
рой закон Ньютона: ускорение, при­
обретаемое материальной точкой (те­
лом), пропорционально вызывающей
его силе, совпадает с нею по направле­
нию и обратно пропорционально массе
материальной точки (теЛа).
В СИ коэффициент пропорциональ­
ности k = 1. Тогда
а=
F
т
или
F = та = т — .
(6.4)
dt
Учитывая, что масса материальной
точки (тела) в классической механике
есть величина постоянная, в выраже­
нии (6.4) ее можно внести под знак про­
изводной:
F = ^ (m 3 ).
, dt
Векторная величина
р = т$,
(6.5)
F =
(6.7)
dt
Это выражение —более общая фор­
мулировка второго закона Ньютона:
скорость изменения импульса матери­
альной точки равна действующей на нее
силе. Выражение (6.7) называется так­
же уравнением движения матери­
альной точки.
Если на тело действует несколько
сил, то в формулах (6.4) и (6.7) под F
подразумевается их результирующая
(векторная сумма сил).
Единица силы в СИ —ньютон (Н):
1 Н —сила, которая массе 1 кг сообща­
ет ускорение 1 м/с2 в направлении дей­
ствия силы:
1 Н = 1 кг ■м/с2.
Второй закон Ньютона справедлив
только в инерциальных системах отсче­
та. Казалось бы, первый закон Ньюто­
на входит во второй как его частный
случай. В самом деле, в случае равен­
ства нулю равнодействующей сил (при
отсутствии воздействия на тело со сто­
роны других тел) ускорение [см. (6.3)]
также равно нулю. Однако первый за­
кон Ньютона рассматривается как са­
мостоятельный закон, так как именно
он утверждает существование инерци­
альных систем отсчета, в которых толь­
ко и выполняется уравнение (6.7).
Если на материальную точку одно­
временно действуют несколько сил Fu
F2, ..., Pw то ее ускорение
(6.6)
численно равная произведению массы
материальной точки на ее скорость и
имеющая направление скорости, назы­
16
вается импульсом (количеством дви­
жения) этой материальной точки.
Подставляя (6.6) в (6.5), получим
-
где а{ = - 1
Fi
&
Следовательно, если на материаль­
ную точку действует одновременно не­
сколько сил, то каждая из этих сил со­
общает материальной точке ускорение
согласно второму закону Ньютона, как
будто других сил не было (принцип не­
зависимости действия сил).
Силы и ускорения можно разлагать
на составляющие, использование кото­
рых приводит к существенному упро­
щению решения задач.
Например, на рис. 10 действующая
сила F = та разложена на два компо­
нента: тангенциальную силу FT(направ­
лена по касательной к траектории) и
нормальную силу Fn (направлена по
нормали к центру кривизны). Испольdv
v2
зуя выражения ат = — и а„ = — , a
также v = Ru>, можно записать
Fr = та. = т — \
dt
Fn = тап = T0L. —mu2R.
R
= ~ F 2г,
( 7 .1 )
где Fn —сила, действующая на первую
материальную точку со стороны вто­
рой; F2i —сила, действующая на вторую
материальную точку со стороны пер­
вой. Эти силы приложены к разным ма­
териальным точкам (телам), всегда дей­
ствуют парами и являются силами од­
ной природы.
Третий закон Ньютона позволяет
осуществить переход от динамики от­
дельной материальной точки к дина­
мике системы материальных точек.
Это следует из того, что и для систе­
мы материальных точек взаимодей­
ствие сводится к силам парного взаи­
модействия между материальными
точками.
Третий закон Ньютона, как впрочем
и первые два, справедлив только в инер­
циальных системах отсчета. Отметим
также, что при движении со скоростя­
ми, сравнимыми со скоростью света,
наблюдаются отступления от этого за­
кона. Однако в рамках классической
механики он справедлив, и утверждение
о его невыполнимости имеет принци­
пиальное значение лишь для определе­
ния границ применимости механики
Ньютона.
§ 8. Силы трения
§ 7. Третий закон Ньютона
Взаимодействие между материаль­
ными точками (телами) определяется
третьим законом *Ньютона: всякое
действие материальных точек (тел)
друг на друга носит характер взаимо­
действия;'силы, с котбрыми действуют
друг на друга материальные точки, все­
гда равны по модулю, противополож­
но направлены и действуют вдольпря-'
мой, соединяющей эти точки!;
Из опыта известно, что всякое тело,
движущееся по горизонтальной повер­
хности другого тела, при отсутствии
действия на него других сил с течени­
ем времени замедляет свое движение и
в конце концов останавливается. Это
можно объяснить существованием си­
лы трения, которая препятствует
скольжению соприкасающихся тел от­
носительно друг друга. Силы трения за­
висят ототносительных скоростей тел,
17
§ а ка д *.
'jp-'
<•!>
в результате их действия механическая
энергия всегда превращ ается во внут­
реннюю энергию соприкасающихся тел,
т. е. в энергию теплового движ ения ча­
стиц.
Различаю т внеш нее (сухое) и внут­
реннее (жидкое или вязкое) трение. Это
деление, впрочем, имеет условны й ха­
рактер. Внешним т рением назы вается
трение, возникаю щ ее в плоскости каса­
ния двух соприкасаю щ ихся тел при их
относительном перемещении. Если со­
прикасающиеся тела неподвижны отно­
сительно друг друга, говорят о трении
покоя, если же происходит относитель­
ное перемещ ение этих тел, то в зависи­
мости от характера их относительного
движ ения говорят о трении скольж е­
ния, качения или верчения.
В нут ренним т рением назы вается
трение между частями одного и того же
тел а, н ап р и м е р м еж д у р а зл и ч н ы м и
слоям и ж и дкости или газа, скорости
к о то р ы х м е н я ю т с я от с л о я к слою .
В отли чи е от внеш него тр ен и я здесь
отсутствует трение покоя. Е сли тела
ск о л ьзя т о тн о си тел ьн о д р у г друга и
18
разделены прослойкой вязкой ж и дко­
сти (см азки ), то трение происходит в
слое смазки. В таком случае говорят о
ги д р о д и н а м и ч е с к о м т рен и и (с л о й
см азки достаточно толсты й) и гран и ч­
ном трении (толщ ин а см азочной про­
слойки составляет около 0,1 мкм и ме­
нее).
С илы трения определяю тся характе­
ром взаимодействия между м олекула­
ми вещ ества и являю тся по своей при­
роде электромагнитными силами. Эти
силы описываю тся закономерностями,
полученными опытным путем.
О бсудим некоторые закономернос­
ти внешнего трения. Это трение обус­
ловлено ш ероховатостью соприкасаю ­
щ ихся поверхностей, а в случае очень
гладких поверхностей — силами межм олекулярного притяж ения.
Рассмотрим лежащ ее на плоскости
тело (рис. 11), к которому прилож ена
горизонтальная сила F. Тело придет в
движение лиш ь тогда, когда прилож ен­
ная сила F будет больш е силы трения
FTр. Ф ранцузские ф изики Г .Амонт он
(1663 - 1 7 0 5 ) и Ш . К улон ( 1736 - 1 8 0 6 )
опы тны м путем устан ови л и следую ­
щий закон: сила трения скольж ения К
пропорциональна силе N нормального
давления, с которой одно тело действу­
ет на другое:
где / — коэф ф ициент трения ск о л ь­
жения, зависящ ий от свойств соприка­
сающ ихся поверхностей.
Найдем значение коэффициента тре­
ния. Если тело находится на наклонной
плоскости с углом наклона а (рис. 12),
то оно приходит в движение только ког­
д а т а н ге н ц и ал ьн ая с о ста в л я ю щ а я F
силы тяжести Р больше силы трения F™,
С ледовательно, в предельном случае
(начало скольж ения тела) F = FTp, или
P s i n a = f N = f P cos а , откуда
/=
tgO io.
Таким образом, коэффициент тре­
ния равен тангенсу угла а 0>при кото­
ром начинается скольжение тела по на­
клонной плоскости.
Для гладких поверхностей опреде­
ленную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них приме­
няется закон трения скольжения
FTp = f ttCT{ N + Sp0),
где / ист — истинный коэффициент тре­
ния скольжения; S — площадь контак­
та между телами; р0 — добавочное дав­
ление, обусловленное силами межмоле­
кулярного притяжения, которые быст­
ро уменьшаются с увеличением рассто­
яния между частицами.
Трение играет большую роль в при­
роде и технике. Благодаря трению дви­
жется транспорт, удерживается заби­
тый в стену гвоздь и т.д. В некоторых
случаях силы трения оказывают вред­
ное действие и поэтому их надо умень­
шать. Для этого на трущиеся поверхно­
сти наносят смазку (сила трения умень­
шается примерно в 10 раз), которая за­
полняет неровности между этими по­
верхностями и располагается тонким
слоем между ними так, что поверхнос­
ти как бы перестают касаться друг дру­
га, а скользят относительно друг друга
отдельные слои жидкости. Таким обра­
зом, внешнее трение твердых тел заме­
няется значительно меньшим внутрен­
ним трением жидкости.
Радикальным способом уменьшения
силы трения является замена трения
скольжения трением качения (шарико­
вые и роликовые подшипники и т.д.).
Сила трения качения определяет­
ся по закону, установленному Куло­
ном:
В Ш 1г
где / к — коэффициент трения качения,
имеющий размерность d im /K= L\ г —
радиус катящегося тела.
Из (8.1) следует, что сила трения ка­
чения обратно пропорциональна ради­
усу катящегося тела.
§ 9. Закон сохранения импульса.
Центр масс
Для вывода закона сохранения им­
пульса рассмотрим некоторые понятия.
С овокупность материальны х точек
(тел), рассматриваемых как единое це­
лое, называется механической систе­
мой.
Силы взаимодействия между мате­
риальными точками механической си­
стемы называются внутренними.
Силы, с которыми на материальные
точки системы действую т внеш ние
тела, называются внешними.
Механическая система тел, на кото­
рую не действуют внешние силы, назы­
вается замкнутой (или изолирован­
ной).
Если мы имеем механическую сис­
тему, состоящую из многих тел, то, со­
гласно третьему закону Ньютона, силы,
действующие между этими телами, бу­
дут равны и противоположно направ­
лены, т. е. геометрическая сумма внут­
ренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из п тел, масса и скорость
которых соответственно равны m i,jn 2,
...,m nVLvb щ ,...,уп. Пусть F[, F2, ..., F'n—
равнодействующие внутренних сил,
действующих на каждое из этих тел, а
Fx, F2, ..., Fn —равнодействующие вне­
шних сил.
Запишем второй закон Ньютона для
каждого из п тел механической систе­
мы:
19
вdt и в ш а я
■^(тщйг) = Р? + Fb
j-t (mnvn) = T ’ + Fn.
Складывая почленно эти уравнения,
получим
=
-J7 (щщ + ЩУ2 +=... + mnvn) =
dt
: + F n.
Так как геометрическая сумма внут­
ренних сил механической системы
по третьему закону Ньютона равна
нулю, то
3 7 (ш§8 + чщщ + ... + mnvn) —
at
= щ + Д + . . . + Рп,
или
^ = F ,+ # s + ... + F„,
(9.1)
dt
n
где Р = Y ] mi^i ~ импульс системы.
1=1
Таким образом, производная по вре­
мени от импульса механической систе­
мы равна геометрической сумме вне­
шних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил
(рассматриваем замкнутую систему)
4 £ = У 'А ( т Д ) = 0,т.е.
d ( щ 0Щ
Ц
р=У
= const.
i=l
Последнее выражение и является
законом сохранения импульса: им­
пульс замкнутой системы сохраняется,
т.е. не изменяется с течением времени.
20
Закон сохранения импульса спра­
ведлив не только в классической физи­
ке, хотя он и получен как следствие за­
конов Ньютона. Эксперименты доказы­
вают, что он выполняется и для замк­
нутых систем микрочастиц (они подчи­
няются законам квантовой механики).
Этот закон носит универсальный ха­
рактер, т.е. закон сохранения импуль­
са —фундаментальный закон природы..
Отметим, что, согласно (9.1), им­
пульс сохраняется и для незамкнутой
системы, если геометрическая сумма
всех внешних сил равна нулю. Также
сохраняется проекция импульса на на­
правление, вдоль, которого равнодей­
ствующая сил равна нулю.
Закон сохранения импульса являет­
ся следствием определенного свойства
симметрии пространства —его однород­
ности. Однородность пространства
заключается в том, что при параллель­
ном переносе в пространстве замкнутой
системы тел как целого ее физические
свойства и законы движения не изме­
няются, иными словами, не зависят от
выбора положения начала координат
инерциальной системы отсчета.
Импульс системы может быть выра­
жен через скорость ее центра масс. Цен­
тром масс (или центром инерции)
системы материальных точек называет­
ся воображаемая точка С, положение
которой характеризует распределение
массы этой системы. Ее радиус-вектор
равен
*П
.*_1
где т{ и fj —соответственно масса и ра­
диус-вектор г-й материальной точки;
п —число материальных точек в систеп
ме; т = ^ 2 щ ~ масса системы.
i=i
Скорость центра масс
У} щ
У2 тр,
% = dть= Щ ___ <И_ = jz {____
dt
тп
тп
П
Учитывая, что р{ = т $ {, а
есть
»=i
импульс р системы, можно записать
р = m vc,
(9.2)
т. е. импульс системы равен произведе­
нию массы системы на скорость ее цен­
тра масс.
Подставив выражение (9.2) в урав­
нение (9.1), получим
ния ракеты. Если в момент времени t
масса ракеты т, а ее скорость v, то по
истечении времени d t ее масса умень­
шится на dm и станет равной т —dm, а
скорость станет равной v + dv. Изме­
нение импульса системы за отрезок вре­
мени dt
d р = [(т —dm) (v + dv) + dm(v + u)] —mv,
где и —скорость истечения газов отно­
сительно ракеты.
Тогда
dp = m dv
(учли, что dm du — малый высшего по­
рядка малости по сравнению с осталь­
ными). Если на систему действуют вне­
шние силы, то dp = Fdt, поэтому
m ^ Q . = F1+ F 2 + ... + Fn, (9.3)
dt
т.е. центр масс системы движется как
материальная точка, в которой сосредо­
точена масса всей системы и на кото­
рую действует сила, равная геометри­
ческой сумме всех внешних сил, прило­
женных к системе. Выражение (9.3)
представляет собой закон движения
центра масс.
В соответствии с (9.2) из закона со­
хранения импульса вытекает, что центр
масс замкнутой системы либо движет­
ся прямолинейно и равномерно, либо ос­
тается неподвижным.
§ 10. Уравнение движения
тела переменной массы
Движение некоторых тел сопровож­
дается изменением их массы, например
масса ракеты уменьшается вследствие
истечения газов, образующихся при
сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела
переменной массы на примере движе­
и dm
F d t — m dv + и dm,
или
dv
й -*dm
/j a j \
m — = F —it——.
(10-1)
dt
dt
Второе слагаемое в правой части
(10.1) называют реактивной силой Fp.
Если и противоположен v по направ­
лению, то ракета ускоряется, а если со­
впадает с v, то тормозится.
Таким образом, мы получили у р а в ­
нение движ ения тела переменной
массы
та = F + Fp,
(10.2)
которое впервые было выведено И. Б. Ме­
щерским (1859—1935).
Идея применения реактивной силы
для создания летательных аппаратов
высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибаль­
чичем (1854—1881). В 1903 г. К .Э .Ц и­
олковский (1857—1935) опубликовал
статью, где предложил теорию движе­
ния ракеты и основы теории жидко­
стного реактивного двигателя, поэтому
его считают основателем отечественной
космонавтики.
21
Применим уравнение (10.1) к дви­
жению ракеты, на которую не действу­
ют внешние силы. Полагая F = 0 и
считая, что скорость выбрасываемых
газов относительно ракеты постоянна
(ракета движется прямолинейно), по­
лучим
откуда
v = —и Г
J т
= —« In 771+ С.
Значение постоянной интегрирова­
ния С определим из начальных усло­
вий. Если в начальный момент време­
ни скорость ракеты равна нулю, а ее
стартовая масса тп0, то С = u In тп0. Сле­
довательно,
v = и In — .
(10.3)
тп
Это соотношение называется фор­
мулой Циолковского. Она показывает,
что: 1) чем больше конечная масса ра­
кеты тп, тем больше должна быть стар­
товая масса ракеты тп0; 2) чем больше
скорость и истечения газов, тем боль­
ше может быть конечная масса при дан­
ной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получе­
ны для нерелятивистских движений,
т. е. для случаев, когда скорости v и и
малы по сравнению со скоростью с рас­
пространения света в вакууме.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с
Землей, неинерциальна?
Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?
Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?
В чем заключается принцип независимости действия сил?
Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие
виды внешнего (сухого) трения вы знаете?
Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля­
ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?
В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По­
чему он является фундаментальным законом природы?
Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения им­
пульса?
Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс
замкнутой системы?
ЗАДАЧИ
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело.
Определите скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффици­
ент трения 0,15. [10,9 м/с]
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наимень­
шая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?
[28 м/с]
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизон­
том углы а = 30° и (3 = 45°. Гири равной массы (m t = m2 = 2 кг) соединены нитью, переки­
нутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о
22
наклонные плоскости равными fx= /2 = / = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определите:
1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м /с2; 2) 12 Н]
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой про­
изводится выстрел вдоль полотна под углом а = 45° к горизонту. Масса платформы с пуш­
кой М = 20 т, масса снаряда тп= 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и
рельсами / = 0,002. Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа откати­
лась на расстояние s = 3 м. [ v0 = М
. = 970 м/с]
m cosa
2.5. На катере массой тп = 5 т находится водомет, выбрасывающий р, = 25 кг/с воды со
скоростью и = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению
катера, определите: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно
возможную скорость катера. [1) v = и 1 —ехр(—— ) = 4,15 м/с; 2) 7 м/с]
Глав а 3
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
§ 11. Энергия, работа, мощность
Энергия — универсальная мера раз­
личных форм движения и взаимодей­
ствия. С различными формами движе­
н и я м атер и и св я зы в а ю т р а зл и ч н ы е
формы энергии: механическую, тепло­
вую, электромагнитную, ядерную и др.
В одних явлениях форма движения ма­
терии не изменяется (например, горя­
чее тело нагревает холодное), в других —
переходит в иную форму (например, в
результате трения механическое движе­
ние превращается в тепловое). Однако
существенно, что во всех случаях энер­
гия, отданная (в той или иной форме)
одним телом другому телу, равна энер­
гии, полученной последним телом. V
И зменение механического движ е­
ния тела вызывается силами, действу­
ющими на него со стороны других тел.
Чтобы количественно характеризовать
процесс обмена энергией между взаи­
модействующими телами, в механике
вводится понятие работ ы силы.
Если тело движется прямолинейно и
на него действует постоянная сила F,
которая составляет некоторый угол a
с направлением перемещения, то рабо­
та этой силы равна произведению про­
екции силы F, на направление переме­
щ ения (F3= F cos а ), умноженной на пе­
ремещение точки прилож ения силы:
А — F3s = F s c o s a .
(11.1)
Сила может изменяться как по мо­
дулю, так и по направлению, поэтому в
общем случае формулой (11.1) пользо­
ваться нельзя. Если, однако, рассмот­
реть элементарное перемещение d f, то
силу F можно считать постоянной, а
движение точки ее прилож ения — пря­
молинейным. Элементарной работ ой
силы F на перемещении d r называется
скалярная величина
dA — F d r = F cos a d s = Fsds,
23
где а — угол между векторами F и dr;
d s = |d r |—элементарный путь; F,—про­
екция вектора F на вектор dr* (рис. 13).
Работа силы на участке траектории
от точки 1 до точки 2 равна алгебраи­
ческой сумме элементарных работ на
отдельных бесконечно малых участках
пути. Эта сумма приводится к интегралу
2
2
А = J Fdscoea = J F sds. (11.2)
i
'
i
Для вычисления этого интеграла
надо знать зависимость силы F, от пути з
вдоль траектории 1—2. Пусть эта зави­
симость представлена графически (рис.
14), тогда искомая работа А определя­
ется на графике площадью затонированной фигуры. Если, например, тело
движется прямолинейно, сила F = const
и a = const, то получим
2
2
A —J F d sco sa = F c o 6 a J ds= Fscosa,
i
-l
где s — путь, пройденный телом [см.
также формулу (11.1)].
Из формулы (11.1) следует, что при
a < ^ работа силы положительна, в
этом случае составляющая Fs совпадает
по направлению с вектором скорости
движения v (см. рис. 13). Если a > —,
i£t
то работа силы отрицательна. При
a = ^ (сила направлена перпендику­
24
лярно перемещению) работа силы рав­
на нулю.
Единица работы — джоуль (Дж):
1 Дж —работа, совершаемая силой 1 Н
на пути 1 м (1 Дж = 1 Н • м).
Чтобы охарактеризовать скорость
совершения работы, вводят понятие
мощности:
лг= М
(11.3)
dt
За время d t сила F совершает рабо­
ту Fdr, и мощность, развиваемая этой
силой, в данный момент времени
N=
= Fv,
dt
I
т.е. равна скалярному произведению
вектора силы на вектор скорости, с ко­
торой движется точка приложения этой
силы; N —величина скалярная.
Единица мощности — ватт (Вт):
1 Вт — мощность, при которой за вре­
мя 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт =
= 1 Дж/с).
§ 12. Кинетическая
и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механиче­
ской системы — энергия механическо­
го движения этой системы.
Сила F, действуя на покоящееся тело
и вызывая его движение, совершает ра­
боту, а энергия движущегося тела возра­
стает на величину затраченной^ работы.
Таким образом, работа dA силы F hslпути,
который тело прошло за время возраста­
ния скорости от 0 до v, идет на увеличе­
ние кинетической энергии d Г тела, т.е.
dA = dT.
Используя второй закон Ньютона
F = т — и умножая на перемещение
dt
d r, получим
F dr = m — dr = dA
dt
Так как v = — , то d 4 = raudv =
dt
= Ttivdv —d T, откуда
T — f mv dv = HBL.
1
2
Таким образом, тело массой т, дви­
жущееся со скоростью v, обладает ки­
нетической энергией
Т = ™ 1.
(1 2 .1 )
Из формулы (12.1) видно, что кине­
тическая энергия зависит только от
массы и скорости тела, т.е. кинетиче­
ская энергия системы есть функция со­
стояния ее механического движения.
При выводе формулы (12.1) предпо­
лагалось, что движение рассматривает­
ся в инерциальной системе отсчета, так
как иначе нельзя было бы использовать
законы Ньютона. В разных инерциаль­
ных системах отсчета, движущихся друг
относительно друга, скорость тела, а
следовательно, и его кинетическая
энергия будут неодинаковы. Таким об­
разом, кинетическая энергия зависит от
выбора системы отсчета.
Кинетическая энергия механиче­
ской системы равна сумме кинетиче­
ских энергий тел, входящих в систему.
Так, кинетическая энергия системы из
п материальных точек равна
г= £гпЩ i=l
z
где Vi —скорость г-й материальной точ­
ки массой Шу
Пусть взаимодействие тел осуществ­
ляется посредством силовых полей (на­
пример, поля упругих сил, поля грави­
тационных сил), характеризующихся
тем, что работа, совершаемая действу­
ющими силами при перемещении тела
из одного положения в другое, не зави­
сит от того, по какой траектории это
перемещение произошло, а зависит
только от начального и конечного по­
ложений. Такие поля называются п о ­
т енциальны м и, а силы, действующие
в них, — к о н серват и вн ы м и . Если же
работа, совершаемая силой, зависит от
траектории перемещения тела из одной
точки в другую, то такая сила называ­
ется ди ссипат и вной ; ее примером яв­
ляется сила трения.
Тела, находясь в п о т ен ц и а л ьн о м
п о л е с и л , обладают потенциальной
энергией П. П от енциальная эн ер ги я —
механическая энергия системы тел, оп­
ределяемая их взаимным расположени­
ем и характером сил взаимодействия
между ними. Работа консервативных
сил при элементарном (бесконечно ма­
лом) изменении конфигурации систе­
мы равна приращению потенциальной
энергии, взятому со знаком «—» (рабо­
та совершается за счет убыли потенци­
альной энергии):
dA — —d n .
(12.2)
Работа dA выражается как скаляр­
ное произведение силы F на перемеще­
ние d f (см. § 11), и выражение (12.2)
можно записать в виде
Fdr = —d n .
(12.3)
Следовательно, если известна фун­
кция П(г), то из формулы (12.3) мож­
но найти силу F по модулю и направ­
лению.
Согласно формуле (12.3), потенци­
альная энергия
П = —J Fdr + С,
где С — постоянная интегрирования,
т. е. потенциальная энергия определяет­
ся с точностью до некоторой произволь­
ной постоянной. Это, однако, не суще25
ственно, так как в физические соотно­
шения входит или разность потенци­
альных энергий в двух точках, или про­
изводная функции П по координатам.
Поэтому потенциальную энергию тела
в каком-то определенном положении
условно считают равной нулю (выби­
рают нулевой уровень отсчета), а потен­
циальную энергию тела в других поло­
жениях отсчитывают относительно ну­
левого уровня.
Для консервативных сил
р 1
9П
Ц
5*
|
___дП
р __Ш
V
|8
или в векторном виде
F = -g ra d n ,
(12.4)
где
j -рт = —
5П-?г +. —
©Ж-?
5 П кг /<
о с\
gradH
j +| —
(12.5)
ах
ay
az
(г, j, к — единичные векторы коорди­
натных осей). Вектор, определяемый
выражением (12.5), называется гради­
ентом скаляра П.
Д ля него наряду с обозначением
grad П применяется также обозначение
УП. V («набла») означает символиче­
ский вектор, называемый оператором
Гамильтона1 или «набла»-операто­
ром:
ах
ay
oz
(12.6)
Конкретный вид функции П зависит
от характера рилового поля. Например,
потенциальная энергия тела массой го,
поднятого на высоту h над поверхнос­
тью Земли,
П = mgh,
(12.7)
где высота h отсчитывается от нулево­
го уровня, для которого По = 0. Выра­
1
У. Гамильтон (1805—1865) —ирландский
математик и физик.
26
жение (12.7) вытекает непосредствен­
но из того, что потенциальная энергия
равна работе силы тяжести при падении
тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается
произвольно, то потенциальная энер­
гия может иметь отрицательное значе­
ние (кинетическая энергия всегда поло­
жительна!). Если принять за нуль по­
тенциальную энергию тела, лежащего
на поверхности Земли, то потенциаль­
ная энергия тела, находящегося на дне
шахты (глубина h'), П = —mgh1.
Найдем потенциальную энергию
упругодеформированного тела (пружи­
ны). Сила упругости пропорциональна
деформации:
LFх упр' t=*-kr
где i ^ p —проекция силы упругости на
ось х] к — коэффициент упругости
(для пружины — жесткость), а знак
«—» указывает на то, что .Р1упр направ­
лена в сторону, противоположную де­
формации х.
По третьему закону Ньютона, де­
формирующая сила равна по модулю
силе упругости и направлена противо­
положно е й , т.е.
±р х — _РXзупр—
-- lrr
Л'-*'Элементарная работа dA, совершае­
мая силой Fxпри бесконечно малой де­
формации dx,
dA = Fxdx — kxdx,
а полная работа
идет на увеличение потенциальной
энергии пружины. Таким образом, по­
тенциальная энергия упругодеформи­
рованного тела
П отенциальная энергия системы
является функцией состояния системы.
Она зависит только от конфигурации
системы и ее положения по отношению
к внешним телам.
Полная механическая энергия си­
стемы — энергия механического дви­
жения и взаимодействия:
т 1^ ! - = Д ' + 1'1+ /1,
7Щ
at
= Fz + &2 + /21
mn^ - = F^ + Fn + fn,
Е= Г+П,
т. е. равна сумме кинетической и потен­
циальной энергий.
§ 13. Закон сохранения
механической энергии
Закон сохранения энергии —резуль­
тат обобщения многочисленных опыт­
ных данных. Идея этого закона принад­
лежит М. В. Ломоносову (1711 —1765),
изложившему закон сохранения мате­
рии и движения, а количественная фор­
мулировка закона сохранения энергии
дана немецким врачом Ю. Майером
(1 8 1 4 —1878) и немецким естество­
испытателем Г. Гельмгольцем (1821 —
1894)/
Рассмотрим систему материальных
точек массами т ь т 2, ..., тт движу­
щихся со скоростями v b v2, v n. Пусть
F[, F2, ...,F'n —равнодействующие внут­
ренних консервативных сил, действу­
ющих на каждую из этих точек, a Fv
F2, ..., Fn— равнодействующие вне­
шних сил, которые также будем счи­
тать консервативными. Кроме того,
будем считать, что на материальные
точки действуют еще и внешние некон­
сервативные силы; равнодействующие
этих сил, действующих на каждую из
материальных точек, обозначим / 1( / 2,
При v < с массы материальных
точек постоянны и уравнения второго
закона Ньютона для этих точек следу­
ющие:
Двигаясь под действием сил, мате­
риальные точки системы за интервал
времени d t совершают перемещения,
соответственно равные d r b d r2, ..., d rn.
Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и,
учитывая, что d r; = Vidt, получим
тпlOJidvj) - (F{ + F1)dr1 = /id rb
m2(v2dv2) - (F2 + F2)dr2 - f2dr2,
mn(vndvn)
(Fn -\- Fn)dvn
fndvn.
Сложив эти уравнения, получим
Y2 miОМЧг) ~
i=l
1=1
= ± № .
=
(13.1)
1=1
Первое слагаемое левой части равен­
ства (13.1)
£ m ^ ) = £ d ( ^ ] = d r,
i=1
i=l V " /
где d T — приращение кинетической
энергии системы.
П
^
Второе слагаемое
{Щ + -Fjdrj равi=1
но элементарной работе внутренних и
внешних консервативных сил, взятой
со знаком «—», т.е. равно элементарно­
му приращению потенциальной энер­
гии d n системы [см. (12.2)].
27
П равая часть равенства (13.1) зада­
ет работу внеш них неконсервативны х
сил, действую щ их на систему. Т аким
образом, имеем
d ( r + n ) = dA
(13.2)
П ри переходе систем ы из со сто я ­
ния 1 в какое-либо состояние 2
2
J d (T 4- П) = Аи ,
1
т.е. изм енение полной м еханической
энергии системы при переходе из одно­
го состояния в другое равно работе, со­
вершенной при этом внеш ними не кон­
сервативны м и силами. Е сли внеш ние
не консервативны е силы отсутствуют,
то из (13.2) следует, что
d ( T + n ) = 0,
откуда
Т + П = Е = const,
(13.3)
т. е. полная механическая энергия сис­
темы сохраняется постоянной. Выраже­
ние (13.3) представляет собой за ко н
сохранения м еханической эн ерги и: в
системе тел, между которыми действу­
ют только консервативные силы, пол­
ная механическая энергия сохраняется,
т. е. не изм еняется со временем.
М еханические системы, на тела ко­
торых действую т только консерватив­
ные силы (внутренние и внеш ние), н а­
зы ваю тся кон серват и вн ы м и си ст е­
мам и. З а к о н сохран ен и я м ех а н и ч е­
ской энергии можно сф ормулировать
так: в консервативны х системах полная
механическая энергия сохраняется.
З а к о н с о х р а н е н и я м ех ан и ч еск о й
энергии связан с однородностью време­
ни. Однородность времени проявляет­
ся в том, что ф изические законы инва­
риантны относительно выбора начала
отсчета времени. Н априм ер, при сво­
28
бодном падении тела в поле сил тяж ес­
ти его скорость и пройденный путь за ­
висят лиш ь от начальной скорости и
продолж ительности свободного паде­
ния тела и не зависят от того, когда тело
начало падать.
Сущ ествует еще один вид систем —
диссипат ивны е сист емы, в которы х
м еханическая эн ерги я постепенно
уменьш ается за счет преобразования в
другие (немеханические) ф ормы эн ер­
гии. Э тот процесс п олучил н азван ие
диссипации (и л и р а ссея н и я ) энергии.
Строго говоря, все системы в природе
являю тся диссипативными.
В консервативны х системах полная
м еханическая энергия остается посто­
янной. М огут происходить лиш ь пре­
вращ ения кинетической энергии в по­
тенциальную и обратно в эквивалент­
ных количествах так, что полная энер­
гия остается неизменной, что и дем он­
стрируется на примере свободного па­
дения тела (рис. 15) без учета сопротив­
ления среды. Этот закон не есть просто
з а к о н количест венного с о х р а н е н и я
энергии, а закон сохранения и превра­
щ ения энергии, вы раж аю щ ий и каче­
ственную сторону взаимного превращ е­
ния различны х ф орм движ ения друг в
друга. Закон сохранения и превращ е­
ния энергии — фундаментальный закон
природы, он справедлив как для систем
Ч)= о
А Л Е = П = mgh
А П уменьI шается
/
/,
АЩ
rnghi^^M
Е - mg}
BLM
^
В
h
К
Е = Т= ?ф
1
П умень- /. mvi
I ш ается/
2
т
/
1т
//
/ Т увёличи-
С /
Рис. 15
вается
макроскопических тел, так и для систем
микротел.
В системе, в которой действуют так­
же неконсервативные силы, например
силы трения, полная м еханическая
энергия системы не сохраняется. Сле­
довательно, в этих случаях закон сохра­
нения механической энергии несправед­
лив. Однако при «исчезновении» меха­
нической энергии всегда возникает эк­
вивалентное количество энергии друго­
го вида. Таким образом, энергия никог­
да не исчезает и не появляется вновь,
она лишь превращается из одного вида
в другой. В этом и заключается физичес­
кая сущность закона сохранения и
превращения энергии — сущность не­
уничтожимое™ материи и ее движения.
§ 14. Графическое
представление энергии
Во многих задачах рассматривается
одномерное движение тела, потенци­
альная энергия которого является фун­
кцией лишь одной переменной (напри­
мер, координаты х), f.e. П = П(ж). Гра­
фик зависимости потенциальной энер­
гии от некоторого аргумента называет­
ся потенциальной кривой. Анализ по­
тенциальных кривых позволяет опреде­
лить характер движения тела.
Будем рассматривать только консер­
вативные системы, т. е. системы, в ко­
торых взаимные превращения механи­
ческой энергии в другие виды отсут­
ствуют. Тогда справедлив закон сохра­
нения энергии в форме (13.3). Рассмот­
рим графическое представление потен­
циальной энергии для тела в однород­
ном поле тяжести и для упругодеформированного тела.
Потенциальная энергия тела массой т,
поднятого на высоту h над поверхностью
Земли, согласно (12.7), П(Л) = mgh. Гра-
-Е
О
= т+п
п
i
Л
Атах Ь
Рис. 16
фик данной зависимости П = H(7i) —
прямая линия, проходящая через нача­
ло координат (рис. 16), угол наклона
которой к оси h тем больше, чем боль­
ше масса тела (так как t g a = mg).
Пусть полная энергия тела равна Е
(ее график — прямая, параллельная
оси h). На высоте Лтело обладает потен­
циальной энергией П, которая опреде­
ляется отрезком вертикали, заключен­
ным между точкой h на оси абсцисс и
графиком П (h). Естественно, что кине­
тическая энергия Гзадается ординатой
между графиком П (h) и горизонтальной
прямой ЕЕ. Из рис. 16 следует, что если
h = hmax, то Т = 0 и П = E = m g h max,T.e.
потенциальная энергия становится мак­
симальной и равной полной энергии.
Из приведенного графика можно най­
ти скорость тела на высоте h:
7777Ш I
Т - Е - П ,т.е. - у - = mghmax - mgh,
откуда
v = ^2g(hmax - h).
Зависимость потенциальной энергии
kx2
упругой деформации П =
от дефор­
мации х имеет вид параболы (рис. 17),
где график заданной полной энергии
29
тела Е — прямая, параллельная оси аб­
сцисс х, а значения Т и П определяют­
ся так же, как на рис. 16. Из рис. 17 сле­
дует, что с увеличением деформации х
потенциальная энергия тела возраста­
ет, а кинетическая — уменьшается. Аб­
сцисса хшах определяет максимально
возможную деформацию растяжения
тела, а —хтах — максимально возмож­
ную деформацию сжатия тела. Если
х -■ ±3^ov, то Т = 0 и Ц = Е = ^ т -, т.е.
потенциальная энергия становится
максимальной и равной полной энер­
гии.
Из анализа графика на рис. 17 выте­
кает, что при полной энергий тела, рав­
ной Е, тело не может сместиться вправо
от хтя, и влево от —х,пах, так как кинети­
ческая энергия не может быть отрица­
тельной и, следовательно, потенциаль­
ная энергия не может быть больше пол­
ной энергии. В таком случае говорят,
что тело находится в п от ен ц и а л ьн о й
я м е с координатами —xmax < х <
В общем случае потенциальная кри­
вая может иметь довольно сложный
вид, например с несколькими чередую­
щимися максимумами и минимумами
(рис. 18). Проанализируем эту потенци­
альную кривую. Если Е —заданная пол­
ная энергия частицы, то частица может
находиться только там, где П(х) < Е, т. е.
в областях I и III.
Переходить из области I в III и обрат­
но частица не может, так как ей препят­
ствует п о т ен ц и а л ьн ы й б а р ь е р CDG,
ширина которого равна интервалу зна­
30
чений х, при которых Е < П, а его высо­
та определяется разностью Птазс — Е.
Для того чтобы частица смогла преодо­
леть потенциальный барьер, ей необхо­
димо сообщить дополнительную энер­
гию, равную высоте барьера или превы­
шающую ее. В области I частица с пол­
ной энергией доказывается «запертой»
в потенциальной яме А В С и совершает
колебания между точками с координа­
тами хА и хс.
В точке В с координатой х0 (см. рис.
18) потенциальная энергия частицы
минимальна. Так как действующая на
частицу сила (см. § 12) Fx = - ^ - (П —
дх
функция только одной координаты), а
условие минимума потенциальной энергии ——= 0 , то в точке В Fx = 0. При
ох
смещении частицы из положения ж0
(и влево, и вправо) она испытывает дей­
ствие возвращающей силы, поэтому по­
ложение х0 является положением у с ­
т ой ч и вого р а в н о в е с и я . Указанные ус­
ловия выполняются и для точки x'Q(для
Птах)- Однако эта точка соответствует
положению н е у с т о й ч и в о го р а в н о в е ­
сия, так как при смещении частицы из
положения Хо появляется сила, стремя­
щаяся удалить ее от этого положения.
§ 15. Удар абсолютно упругих
и неупругих тел
У д а р (или с о у д а р е н и е ) — это стол­
кновение двух или более тел, при кото­
ром взаимодействие длится очень ко­
роткое время. Помимо ударов в прямом
смысле этого слова (столкновения ато­
мов или бильярдных шаров) сюда мож­
но отнести и такие, как удар человека о
землю при прыжке с трамвая и т.д.
Силы взаимодействия между стал­
кивающимися телами (;уд а р н ы е или
мгновенные силы) столь велики, что вне­
шними силами, действующими на них,
можно пренебречь. Это позволяет сис­
тему тел в процессе их соударения при­
ближенно рассматривать как замкну­
тую систему и применять к ней законы
сохранения.
Тела во время удара испытывают
деформацию. Сущность удара заключа­
ется в том, что кинетическая энергия
относительного движения соударяю­
щихся тел на короткое время преобра­
зуется в энергию упругой деформации.
Во время удара имеет место перерасп­
ределение энергии между соударяющи­
мися телами. Наблюдения показывают,
что относительная скорость тел после
удара не достигает своего прежнего зна­
чения. Это объясняется тем, что нет
идеально упругих тел и идеально глад­
ких поверхностей. Отношение нор­
мальных составляющих относительной
скорости тел после и до удара называ­
ется коэффициентом восстановле­
ния е:
Если для сталкивающихся тел е = О,
то такие тела называются абсолютно
неупругими, если е = 1 — абсолютно
упругими. На практике для всех тел
О < е < 1 (например, для стальных ша­
ров е « 0,56, для шаров из слоновой ко­
сти е « 0,89, для свинца е т 0). Однако
в некоторых случаях тела можно с боль­
шой степенью точности рассматривать
либо как абсолютно упругие, либо как
абсолютно неупругие.
Прямая, проходящая через точку
соприкосновения тел и нормальная к
поверхности их соприкосновения, на­
зывается линией удара. Удар называ­
ется центральным, если тела до удара
движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс. Мы будем рас­
сматривать только центральные абсо­
лютно упругие и абсолютно неупругие
удары.
Абсолютно упругий удар — столк­
новение двух тел, в результате которо­
го в обоих взаимодействующих телах не
остается никаких деформаций и вся ки­
нетическая энергия, которой обладали
тела до удара, после удара снова превра­
щается в кинетическую энергию (под­
черкнем, что это идеализированный слу­
чай).
Для абсолютно упругого удара вы­
полняются закон сохранения импуль­
са и закон сохранения кинетической
энергии.
Обозначим скорости шаров массами
тп! и т2до удара через и v2, после уда­
ра — через v[ и v'2 (рис. 19). В случае
прямого центрального удара векторы
скоростей шаров до и после удара ле­
жат на прямой линии, соединяющей их
центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скорос­
тей. Их направления учтем знаками:
положительное значение припишем
движению вправо, отрицательное —
движению влево.
При указанных допущениях законы
сохранения имеют вид
m^Vi + m 2v2 = 77i]V\ + m2v2,
rriiVi
2
2
2
(15.1)
/2
2
v
'
Произведя соответствующие преоб­
разования в выражениях (15.1) и (15.2),
получаем
%
771о -f
гъ. ь
9
9
Рис. 20
31
mi(vi - u{) =
Рис. 23
- v2),
(15.3)
m^v? - 1>{2) = m2(«22 - vi),
(15.4)
ТЙ1+ ТП2
(15.5)
в) 77г.! < т2. Направление движения
первого шара при ударе изменяется —
шар отскакивает обратно. Второй шар
движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с
меньшей скоростью, т. е. v2 < vt (рис. 22);
г) т 2
тпj (например, столкнове­
ние шара со стеной). Из уравнений
(15.8)и (15.9) следует, что v[ = —vb v2 ta
2m,iVi
0.
ТП2
2. При mi — т2 выражения (15.6) и
(15.7) будут иметь вид
откуда
V\ + v[ = v2 + v2.
Решая уравнения (15.3) и (15.5), на­
ходим
vi =
(щ —m2)'»i + %Щщ
гщ+чщ
v2 —
{тп2 —тщ)у2 + 2ЩЬ1
TTlj
7712
(15.6)
(15.7)
Разберем несколько примеров.
1. При % = О
/
ГПп—ТПо
772j “ГТП2
(15.8)
/
2т!
v2 = ------— vx.
тщ+тщ
(15.9)
Проанализируем выражения (15.8)
и (15.9) для двух шаров различных
масс:
а) тих = тп2. Если второй шар до уда­
ра висел неподвижно ( v2 —0) (рис. 20),
то после удара остановится первый шар
(v'x —0), а второй будет двигаться с той
же скоростью и в том же направлении,
в котором двигался первый шар до уда­
ра (ч | = vx)\
б) тх > тп2. Первый шар продолжа­
ет двигаться в том же направлении, как
и до удара, но с меньшей скоростью
(v[ < $М Скорость второго шара после
удара больше, чем скорость первого
после удара ( 4 > v[) (рис. 21);
В 02=
= 0
Рис. 21
32
Рис. 22
v[ = v2, v'2 = Vi,
т.е. шары равной массы «обменивают­
ся» скоростями.
Абсолютно неупругий удар —стол­
кновение двух тел, в результате которого
тела объединяются, двигаясь дальше как
единое целое. Продемонстрировать аб­
солютно неупругий удар можно с помо­
щью шаров из пластилина (глины), дви­
жущихся навстречу друг другу (рис. 23).
Если массы шаров тх и т2, их ско­
рости до удара и г?2, то, используя за­
кон сохранения импульса, можно запи­
сать
тпj иj + m2v2 = (mx + 7П2)и,
где v —скорость движения шаров пос­
ле удара. Тогда
| L
± VbSx,
(15.10)
ТЩ+ТЩ
Если шары движутся навстречу друг
другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую дви­
гался шар, обладающий большим им­
пульсом. В частном случае, если массы
шаров равны {т х — т2), то
Е сли ударяем ое тело бы ло первон а­
чально неподвиж но (v 2 = 0), то
~ = Vi±V2
2
В ы ясним , к ак и зм ен яется к и н ети ­
ческая энергия ш аров при центральном
абсолю тно неупругом ударе. Т ак как в
п р о ц е с с е с о у д а р е н и я ш ар о в м еж д у
ними действую т силы , зависящ ие не от
самих деф орм аций, а от их скоростей,
то мы имеем дело с силами, подобны ­
ми силам трения, поэтом у закон сохра­
нения механической энергии не должен
соблю даться. В следствие деф орм ации
п р о и сх о д и т « п о тер я » к и н е т и ч е с к о й
энергии, переш едш ей в тепловую или
другие ф орм ы энергии. Э ту «потерю»
мож но определить по разности ки нети­
ческой энергии тел до и после удара:
ДТ =
mjv 1
ш^Ут.
{тх + га2)и2
И спользуя (15.10), получаем
ДТ =
ГПлУл
2(т1 + т 2)
v=
mivi
ttij + т 2
АТ =
m2
TTljVi
m x -sr m 2 2
Когда m 2 » m i (м асса неп одвиж но­
го тела очень больш ая), то v «С i/i, и по­
чти вся кинетическая энергия тела при
ударе переходит в другие ф орм ы эн ер­
гии. Поэтому, например, д ля получения
значительной деф орм ации наковальня
долж на бы ть м ассивнее м олотка. Н а ­
оборот, при забивании гвоздей в стену
м асса м о л о тк а д о л ж н а б ы ть гораздо
больш ей (тп1'^> тп2), тогда v « Uj и прак­
тически вся энергия затрачивается на
возмож но больш ее перемещ ение гвоз­
д я, а не н а остаточ н ую д еф о р м ац и ю
стены.
Абсолю тно неупругий удар — п ри­
мер того, как происходит «потеря» м е­
ханической энергии под действием дис­
сипативны х сил.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
В чем различие между понятиями энергии и работы?
Как найти работу переменной силы?
Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномер­
но движущемуся по окружности?
Что такое мощность? Выведите ее формулу.
Дайте определения и выведите формулы для известных видов механической энергии.
Какова связь между силой и потенциальной энергией?
Чем обусловлено изменение потенциальной энергии?
Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения ме­
ханической энергии?
В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он вы­
полняется?
В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он яв­
ляется фундаментальным законом природы?
Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?
Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных
кривых?
Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия?
Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?
Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием
каких законов являются эти выражения?
2 Курс физики
33
ЗАДАЧ И
Хъош0ви£ш ж 1)ра&яуяеат)пш гррж яяояж ж ш ш &ялоавоаяь2)сравшж м3)ыж -
сииаяидчвмоивюсшвццс мвгеп ygpoicna, есяи масса ф р а И) кг. дд—в и н а я —o i
уи— » —
| чи iira-j r^S» и м ^ — —
(1> Ш Дж 2) Ж Bi; 3) Ш BiJ
37 С fa m m t M u n w & T i м fty i w n w n брг—гв n w
Й1 « ^ . ш и ь ^ п У
n ir m if ll т flpf fifjprn i
а и р о ш я д и м и дщпц , аиргдгшгг 1) скорость, с которой бровми камень, если через 1с
...................................... н и — т и > ш т м ц —
г в г п ч я i ДП^аг'У) ■ и ш и и ^ и т и р
пн» ш и через 1 с восле виал» лмовеввя. (I ) 17Д м/с; 2 ) f t J5Дж|
33т р т м . n y y n g ю ш м у ^ и i ni); г Hinm i i iH H i m in i
IIJHH н и n i l И И Л ИМ ВИ HI irfij ЦМ ini — MJ I H H I |U 1 J1|¥M 10 М. тюбы CM*
«у м «
a ja i« if l6 i.[ g i^
ЗА П у1»1иаЫ |«=Ц 1ггл е и ш м птотоет1м ю сраи1росш р>=5ОО10,няшц1Г1>
Гт вн i иипгнй мтлтввшг i — пй f I w m n n n i y
тли 'ли о я аан кн тп яа. (1СКП
1шги im щгн¥ г » т м П ищ и нпт
3L5LЗ м а м о п » акпеминалыной эверпвш чалмы * вевтраямаом с т м воле от рас______
_______________
,
А В
_
__________________
{ « ш м г д р н и г ра и а м з а д и ц и у ш и н м П ( г ) = — - — ,1 ж Л и д - « о .1п д п п г и и г
носто1ииаме.0 иревеяитезначение >»соо1ветствукяиверавновесному впмтигавмпчастяаи!Является ли а*о имоишие иозаавемнем устойчивого равновесия? (% =~ - |
П р т И ^ Т | Ц » ч ч А п - т и у ^ р у и п м у у | 1»
w »n т тп Д
jr fiy w if
о ноюм—ееса д а о массой ш> а р о у л г о к ч и о а д росд и гр и о го теа ушишаегош > ■ =
—Ц р щ О нрокапк: 1) отношение — ; 2) г—г жшчгкшуюзнгрпнр порош « п «сии
и р а щ т а е м кмиепиесиая имрпм первого теза Tt —Ц М 0 Д к .[!)^ 2 )8 » Д » |
3,7 Т г г “ **, * ^ <Т | - 1 " У |"г " г ,* " , ыт ‘>|'"и" ^ д:а*1|/|Г*'3Г,1Г"Я'Г"Я'|>,М "|ЯМП>
т а о т а и й а к м к т С ш .м з и у н и ф ш я м и иу^рзтам.онргл гап гаи и ч гш ! тга
кип ш imiHfinnpHTiTfif (11т]
Г лава 4
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 16. Момент инерции
чек системы на газдраты их расстояний
до рассматриваемой осте
При изучении вранкяия твердых тел
пользуются понятием им и h i i инер■ми. М омент инериин тела — мера
инертности твердое тел оря вращатель­
ном движении. Его роль такая лее, что и
массы при поступатеяыкт движении.
М омекяш м шиерщш. системы (тела)
относительно данной оси называется
физическая величина, равная сумме
произведений масс в материальных то­
Суммирование производится во
всем элементарным массам яц. на кото­
рые разбивается тело (рис. 24).
В случае непрерывного р аел р гтлеимл маос эта сумма скуцпгя к 1ягтгф 1 ту
34
J = J r*dm.
где интегрирование производится по
всему объему тела. Величина г в этом
случае есть функция положения точки
с координатами х, у, z. Момент инер­
ции —величина аддитивная: момент
инерции тела относительно некоторой
оси равен сумме моментов инерции ча­
стей тела относительно той же оси.
В качестве примера найдем момент
инерции однородного сплошного ци­
линдра высотой h и радиусом R отно­
сительно его геометрической оси (рис.
25). Разобьем цилиндр на отдельные
полые концентрические цилиндры бес­
конечно малой толщины dr с внутрен­
ним радиусом г и внешним г + dr.
М ом ен т и н е р ц и и к а ж д о г о п о л о г о
цилиндра d J — г 2d m (т а к к а к d r
г, т о
считаем, что р а с с т о я н и е в с е х т о ч е к ц и ­
линдра от оси р ав н о г), г д е d m — м а с с а
всего э л е м е н т а р н о г о ц и л и н д р а ; е г о
объем 2irr/idr. Е сли р — п л о т н о с т ь м а т е ­
риала, то dm = 2Tcr/ipdrH d J — 2 tv/ip г 3d г.
Тогда момент и н ер ц и и с п л о ш н о г о ц и ­
линдра
J = Г d J = 2'к/гр f r 3d r = —'кНК4р,
о
2
но так как "KR2h — о б ъ е м ц и л и н д р а , т о
его масса т = Tt#2/ip, а м о м е н т и н е р ­
ции
Таблица
1
35
но твердое тело, то угловая скорость
вращения этих объемов одинакова:
J = —mR2.
2
Если известен момент инерции тела
относительно оси, проходящей через
его центр масс, то момент инерции от­
носительно любой другой параллель­
ной оси определяется теоремой Штей­
нера: момент инерции тела J относи­
тельно произвольной оси равен момен­
ту его инерции Jc относительно парал­
лельной оси, проходящей через центр
масс С тела, сложенному с произведе­
нием массы т тела на квадрат расстоя­
ния а между осями:
J = Jc + та2.
(16.1)
В заклю чение приведем значения
моментов инерции (табл. 1) для неко­
торых тел (тела считаются однородны­
ми, т — масса тела).
§ 17. Кинетическая энергия
вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело
(см. § 1), вращающееся около неподвиж­
ной оси z, проходящей через него. Мыс­
ленно разобьем это тело rfa маленькие
объемы с элементарными массами т и
т2, ■. ■, тп, находящиеся на расстоянии
г1? г2, ..., г„ от оси. При вращении твер­
дого тела относительно неподвижной
оси отдельные его элементарные объе­
мы массами т , опишут окружности раз­
личных радиусов т-j и будут иметь раз­
личные линейные скорости vt (рис. 26).
Но так как мы рассматриваем абсолютРис. 26
Z
(С ° - • 4
1щ
36
П
гг
г„
Кинетическую энергию вращающе­
гося тела найдем как сумму кинетиче­
ских энергий его элементарных объемов:
Т
=
| m2^2 j
j rn„vl|
щч
или
Используя выражение (17.1), полу­
чим
где Jz — момент инерции тела относи­
тельно оси z.
Таким образом, кинетическая энер­
гия вращающегося тела
Т
х вр =
(17.2)
И з сравнения формулы (17.2) с вы­
раж ением (1 2.1) д л я ки нетической
энергии тела, движущ егося поступаtrtv2
тельно ( Т = ----- ), следует, что, как
уже указы валось (см. § 16), момент
инерции —мера инертности тела при
вращ ательном движ ении. Ф орм ула
(17.2) справедлива для тела, вращаю­
щегося вокруг неподвижной оси4}
В случае плоского движения тела,
например цилиндра, скатывающегося с
наклонной плоскости без скольжения,
энергия движ ени я склады вается из
энергии поступательного движения и
энергии вращения:
Т _ mvс , Jq U2
2
2 *
где т — масса катящегося т^ла; vc —
скорость центра масс тела; J c — момент
инерции тела относительно оси, прохо­
дящей через его центр масс; ш — угло­
вая скорость тела.
§ 18. Момент силы. Уравнение
динамики вращательного
движения твердого тела
Для характеристики вращательного
эффекта силы при действии ее на твер­
дое тело вводят понятие момента силы.
Различают моменты силы относитель­
но неподвижной точки и относительно
неподвижной оси.
М ом ент ом силы от носит ельно
неподвижной точки О называется фи­
зическая величина М, определяемая век­
торным произведением радиуса-векто­
ра г, проведенного из точки О в точку
А Арилокения силы, на силу F (рис. 27):
| М = [rF],
где М — псевдовектор, его направление
совпадает с направлением поступатель­
ного движения правого винта при его
вращении от г к F.
Модуль момента силы
М = F rsina.'= FI,
(18.1)
где а — угол между г и F; г sin а = I —
кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой О — плечо
силы.
М ом ент ом силы от носит ельно
неподвижной оси z называется скаляр­
ная величина Mz, равная проекции на
эту ось вектора Ммоментасилы, опре­
деленного относительно произвольной
точки О данной оси z (рис. 28). Значе­
ние момента Mz не зависит от выбора
положения точки О на оси z.
Если ось z совпадает с направлени­
ем вектора М, то момент силы представ­
ляется в виде вектора, совпадающего с
осью:
Я = [w ] ,.
Найдем выражение для работы при
вращении тела (рис. 29). Пусть сила F
приложена в точке В, находящейся от
оси z на расстоянии г, а — угол между
направлением силы и радиусом-векто­
ром г. Так как тело абсолютно твердое,
то работа этой силы равна работе, за­
траченной на поворот всего тела. При
повороте тела на бесконечно малый
угол dip точка приложения В проходит
путь ds = г dip и работа равна произве­
дению проекции силы на направление
смещения на величину смещения:
dA = F sin а г dip.
(18.2)
Учитывая (18.1), можем записать
dA = Мг dip,
где F r sin a = FI = М, — момент силы
относительно оси z. Таким образом, ра­
бота при вращении тела равна произве­
дению момента действующей силы на
угол поворота.
Работа при вращении тела идет на
увеличение его кинетической энергии:
37
dA = d f , но
dr =
Рис. 30
1 J,w du>,
поэтому Mz dtp = Jzu dw, или Mz — =
1 ii
df
zu)dt'
Учитывая, что w =
получим
Mz = Jz ^ - ~ J zz.
dt
(18.3)
Уравнение (18.3) представляет со­
бой уравнение динамики вращатель­
ного движения твёрдого тела отно­
сительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось z со­
впадает с главной осью инерции (см.
§ 20), проходящей через центр масс, то
имеет место векторное равенство
М = Je,
(18.4)
где J — главный момент инерции тела
(момент инерции относительно глав­
ной оси).
§ 19. Момент импульса
и закон его сохранения
При сравнении законов вращатель­
ного и поступательного движений про­
сматривается аналогия между ними,
только во вращательном движении вме­
сто силы «выступает» ее момент, а роль
массы «выполняет» момент инерции.
Какая же величина будет аналогом им­
пульса тела? Ею является момент им­
пульса тела относительно оси.
Моментом импульса ( количества
движения) материальной точки А от­
носительно неподвижной точки О
называется физическая величина, опре­
деляемая векторным произведением:
L = [гр] = [r,mv],
материальной точки (рис. 30); L —псев­
довектор (см. § 4), его направление со­
впадает с направлением поступательно­
го движения правого винта при его вра­
щении от г к р.
Модуль вектора момента импульса
L — rp sin а = m vr sin а = pi,
где а —угол между векторами г и р\ I —
плечо вектора р относительно точки О.
М омент ом и м п ул ьса от носи­
тельно неподвижной оси z называет­
ся скалярная величина Lz, равная про­
екции на эту ось вектора момента им­
пульса, определенного относительно
произвольной точки О данной оси.
Момент импульса Lz не зависит от по­
ложения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого
тела вокруг неподвижной оси z каждая
отдельная точка тела движется по ок­
ружности постоянного радиуса с неко­
торой скоростью
Скорость v, и им­
пульс т,ц перпендикулярны этому ради­
усу, т.е. радиус является плечом вектора
Поэтому можем записать, что мо­
мент импульса отдельной частицы равен
Liz='miviri
и направлен по оси в сторону, опреде­
ляемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела
относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:
П
где г —радиус-вектор, проведенный из
точки О в точку А) р — mv — импульс
38
(19.1)
4
=
»=1
Используя формулу (17.1) Vj = шгг,
получим
П
П
Lz = £ т ;т;2ы =
pi
= Jzw,
тельно оси равна моменту сил относи­
тельно той же оси.
Можно показать, что имеет место
векторное равенство
»=i
т. е.
(19.3)
Lz = J zu.
(19.2)
Таким образом, момент импульса
твердого тела относительно оси равен
произведению момента инерции тела
относительно той же оси на угловую
скорость.
П родифференцируем уравнение
(19.2) по времени:
dL,
тЯ
т
,,
ВЯЯВна
d4 = М,.
dt
Это выражение — еще одна форма
уравнения динамики вращательного
движения твердого тела относитель­
но неподвижной оси: производная мо­
мента импульса твердого тела относи­
dt
В замкнутой системе момент вне­
шних сил М —0 и — = 0, откуда
dt
(19.4)
L = const.
Выражение (19.4) представляет со­
бой закон сохранения момента им­
пульса: момент импульса замкнутой
системы сохраняется, т. е. не изменяет­
ся с течением времени.
Закон сохранения момента импуль­
са —ф ундам ент альны й закон природы.
Он связан со свойством симметрии
пространства —его изотропностью, т. е.
с инвариантностью физических зако­
нов относительно выбора направления
осей координат системы отсчета (отно­
сительно поворота замкнутой системы
в пространстве на любой угол).
Таблица 2
Вращательное движение
Поступательное движение
Масса
т
J
_ dip
ы = dt
,
du
Z ~ dt
Момент силы
Мг или М
Скорость
II ;
тр
Момент инерции
Угловая скорость
Ускорение
dv
а=—
dt
У гл овое ускорение
Сила
F
Импульс
р = TTIV
Момент импульса
Lz = «7гш
Основное уравнение
динамики
F = та;
Основное уравнение
динамики
М2= Jze;
Работа
dA = i^ d s
Работа
dA = Mz dip
Кинетическая энергия
F=&
dt
■mv2
2
Кинетическая энергия
м = *к
dt
/ , ш2
2
39
iv ,
Ш
JlUj и^Цл
Рис. 31
Продемонстрировать закон сохране­
ния момента импульса можно с помо­
щью скамьи Жуковского. Пусть чело­
век, сидящий на скамье, которая без
трения вращается вокруг вертикальной
оси, и держащий на вытянутых руках
гантели (рис. 31), приведен во враще­
ние с угловой скоростью шх. Если чело­
век прижмет гантели к себе, то момент
инерции системы уменьшится. По­
скольку момент внешних сил равен
нулю, момент импульса системы сохра­
няется и угловая скорость вращения ш2
возрастает. Аналогично, гимнаст во вре­
мя прыжка через голову поджимает к
туловищу руки и ноги, чтобы умень­
шить свой момент инерции и увеличить
тем самым угловую скорость вращения.
Сопоставим основные величины и
уравнения, определяющие вращение
тела вокруг неподвижной оси и его по­
ступательное движение (табл. 2).
вается. Однако существуют такие оси
вращения тел, которые не изменяют
своей ориентации в пространстве без
действия на нее внешних сил. Эти оси
называются свободными осями (или
осями свободного вращения).
Можно доказать, что в любом теле
существуют три взаимно перпендику­
лярные оси, проходящие через центр
масс тела, которые могут служить сво­
бодными осями (они называются глав­
ными осями инерции тела). Например,
главные оси инерции однородного пря­
моугольного параллелепипеда прохо­
дят через центры противоположных
граней (рис. 32).'
Для однородного цилиндра одной из
главных осей инерции является его гео­
метрическая ось, а в качестве остальных
осей могут быть две любые взаимно
перпендикулярные оси, проведенные
через центр масс в плоскости, перпен­
дикулярной геометрической оси ци­
линдра. Главными осями инерции шара
являются любые три взаимно перпен­
дикулярные оси, проходящие через
центр масс.
Для устойчивости вращения боль­
шое значение имеет, какая именно из
свободных осей служит осью вращения
тела. Так, вращение вокруг главных
осей с наибольшим и наименьшим мо­
ментами инерции оказывается устойчи­
вым, а вращение около оси со средним
§ 20. Свободные оси. Гироскоп
Для того чтобы сохранить положе­
ние оси вращения твердого тела с тече­
нием времени неизменным, использу­
ют подшипники, в которых она удержи­
40
Рис. 32
Рис. 33
моментом — неустойчивым. Так, если
подбросить тело, имеющее форму па­
раллелепипеда, приведя его одновре­
менно во вращение, то оно, падая, бу­
дет устойчиво вращаться вокруг осей 1
и 2 (см. рис. 32).
Если, например, палочку подвесить
за один конец нити, а другой конец, зак­
репленный к шпинделю центробежной
машины, привести в быстрое вращение,
то палочка будет вращаться в горизон­
тальной плоскости около вертикальной
оси, перпендикулярной оси палочки и
проходящей через ее середину (рис. 33).
Это и есть ось свободного вращения
(момент инерции при этом положении
палочки максимальный). Если теперь
палочку, вращающуюся вокруг свобод­
ной оси, освободить от внешних связей
(аккуратно снять верхний конец нити
с крючка шпинделя), то положение оси
вращения в пространстве в течение не­
которого времени сохраняется.
Свойство свободных осей сохранять
свое положение в пространстве широ­
ко применяется в технике. Наиболее
интересны в этом плане гироскопы —
массивные однородные тела, вращаю­
щиеся с большой угловой скоростью
около своей оси симметрии, являющей­
ся свободной осью.
Рассмотрим одну из разновидностей
гироскопов — гироскоп на кардановом
подвесе (рис. 34). Дискообразное тело —
гироскоп — закреплено на оси АА, ко­
торая может вращаться вокруг перпен­
дикулярной ей оси ВВ, которая, в свою
очередь, может поворачиваться вокруг
вертикальной оси DD. Все три оси пе­
ресекаются в одной точке С, являющей­
ся центром масс гироскопа и остающей­
ся неподвижной, а ось гироскопа может
принять любое направление в про­
странстве. Силами трения в подшипни­
ках всех трех осей и моментом импуль­
са колец пренебрегаем.
Рис. 34
Так как трение в подшипниках ма­
ло, то, пока гироскоп неподвижен, его
оси можно придать любое направление.
Если начать гироскоп быстро вращать
(например, с помощью намотанной на
ось веревочки) и поворачивать его под­
ставку, то ось гироскопа сохраняет свое
положение в пространстве неизменной.
Это можно объяснить с помощью ос­
новного закона динамики вращательно­
го движения.
Для свободно вращающегося гирос­
копа сила тяжести не может изменить
ориентацию его свободной оси, так как
эта сила приложена к центру масс
(центр вращения ^совпадает с центром
масс), а момент силы тяжести относи­
тельно закрепленного центра масс ра­
вен нулю. Моментом сил трения мы
также пренебрегаем. Поэтому если мо­
мент внешних сил относительно его
закрепленного центра масс равен нулю,
то, как следует из уравнения (19.4),
L = const, т. е. момент импульса гирос­
копа сохраняет свою величину и на­
правление в пространстве. Следова­
тельно, вместе с ним сохраняет свое
положение в пространстве и ось гирос­
копа.
Чтобы ось гироскопа изменила свое
направление в пространстве, необходи­
мо, согласно (19.3), отличие от нуля
момента внешних сил. Если момент
41
Рис. 35
Oi
внешних сил, приложенных к вращаю­
щемуся гироскопу, относительно его
центра масс отличен от нуля, то наблю­
дается явление, получившее название
гироскопического эффекта. Оно со­
стоит в том, что под действием пары сил
F, приложенной к оси вращающегося
гироскопа, ось гироскопа ОхОх(рис. 35)
поворачивается вокруг прямой 030 3, а
не вокруг прямой 0202, как это казалось
бы естественным на первый взгляд ( 0 ХОх
и 0 20 2 лежат^в плоскости чертежа, а
0303 и силы F перпендикулярны ей).
Гироскопический эффект объясня­
ется следующим образом. Момент М
пары сил F направлен вдоль прямой
0 20 2. За время dl момент импульса L
гироскопа получит приращение d L =
= Mdt (направление dL совпадает с на­
правлением М ) и станет равным^' =
й L + d L. Направление вектора L' со­
впадает с новым направлением оси вра­
щения гироскопа. Таким образом, ось
вращения гироскопа повернется вокруг
прямой 0 30 3. Если время действия
силы мало, тс; хотя момент сил М и ве­
лик, изменение момента импульса dL
гироскопа будет также весьма малым.
Поэтому кратковременное действие
сил практически не приводит к измене­
нию ориентации оси вращения гирос­
копа в пространстве. Для ее изменения
42
следует прикладывать силы в течение
длительного времени.
Если ось гироскопа закреплена под­
шипниками, то вследствие гироскопи­
ческого эффекта возникают так назы­
ваемые гироскопические силы, дей­
ствующие на опоры, в которых враща­
ется ось гироскопа. Их действие необ­
ходимо учитывать при конструирова­
нии устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части.
Гироскопические силы имеют смысл
только во вращающейся системе отсче­
та и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. § 27).
Гироскопы применяются в различ­
ных гироскопических навигационных
приборах (гирокомпас, гирогоризонт и
т. д.). Другое важное применение гирос­
копов — поддержание заданного на­
правления движения транспортных
средств, например судна (авторулевой)
и самолета (автопилот) и т.д. При вся­
ком отклонении от курса вследствие ка­
ких-то воздействий (волны, порыва
ветра и т.д.) положение оси гироскопа
в пространстве сохраняется. Следова­
тельно, ось гироскопа вместе с рамами
карданова подвеса поворачивается от­
носительно движущегося устройства.
Поворот рам карданова подвеса с помо­
щью определенных приспособлений
включает рули управления, которые
возвращают движение к заданному
курсу.
Впервые гироскоп применен фран­
цузским физиком Ж. Фуко (1819 —
1868) для доказательства вращения
Земли.
§ 21. Деформации твердого тела
Рассматривая механику твердого
тела, мы пользовались понятием абсо­
лютно твердого тела. Однако в приро-
де абсолютно твердых тел нет, так как
все реальные тела под действием сил из­
меняют свою форму и размеры, т. е. де­
формируются.
Деформация называется упругой,
если после прекращения действия вне­
шних сил тело принимает первоначаль­
ные размеры и форму. Деформации,
которые сохраняются в теле после пре­
кращения действия внешних сил, назы­
ваются пластическими (или ост а­
точными). Д еф орм ации реального
тела всегда пластические, так как они
после прекращения действия внешних
сил никогда полностью не исчезают.
Однако если остаточные деформации
малы, то ими можно пренебречь и рас­
сматривать упругие деформации, что
мы и будем делать.
В теории упругости доказывается,
что все виды деформаций (растяжение
или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение)
могут быть сведены к одновременно
происходящим деформациям растяже­
ния или сжатия и сдвига.
Рассмотрим однородный стержень
длиной I и площадью поперечного се­
чения S (рис. 36), к концам которого
приложены направленные вдоль его
оси силы Fx и F2 (Fx = F2 = F), в ре­
зультате чего длина стержня меняется
на величину А1. Естественно, что при
растяжении А1 положительно, а при
сжатии отрицательно.
При деформации тела возникают
силы упругости. Физическая величина,
определяемая модулем силы упругос­
ти, действующей на единицу площади
поперечного сечения тела, называется
напряжением:
о=|.
(21.1)
Если сила направлена по нормали
к поверхности, напряжение называет­
ся нормальным, если же по касатель­
fi
И
1—
L_
!
1
'f 2
ной к поверхности — т ангенциаль­
ным.
Количественной мерой, характери­
зующей степень деформации, испыты­
ваемой телом, является его относи­
т ельная деформация. Так, относи­
тельное изм енение длины стерж ня
(продольная деформация)
В !
( 21.2)
относительное поперечное растяжение
(сжатие)
где d —диаметр стержня.
Деформации е и е' всегда имеют раз­
ные знаки (при растяжении Д / положи­
тельно, а Дс?отрицательно, при сжатии
А1 отрицательно, а Д ^ положительно).
Из опыта вытекает взаимосвязь е и е':
е' = —|хе,
где р, — положительный коэффициент,
зависящий от свойств материала и на­
зываемый коэффициентом Пуассона
Английский физик Р. Гук (1635 —
1703) экспериментально установил, что
для малых деформаций относительное
удлинение е и напряжение ст пропорци­
ональны друг другу:
ст = Ее,
(21.3)
1 С.Пуассон (1781 —1840) — французский
ученый.
43
где Е —коэффициент пропорциональ­
ности, называемый модулем Юнга1.
Из выражения (21.3) видно, что мо­
дуль Юнга определяется напряжением,
вызывающим относительное удлине­
ние, равное единице.
Из формул (21.2), (21.3) и (21.1)
вытекает, что
Р Л1
Е I
Е
=Л
ES'
или
F = l j - A l = kAl,
(21.4)
ется заметная остаточная деформация
( и 0,2 %), называется пределом теку­
чести (стт) —точка Сна кривой. В об­
ласти CD деформация возрастает без
увеличения напряжения, т.е. тело как
бы «течет». Эта область называется об­
ластью текучести (или областью
пластических деформаций).
Материалы, для которых область
текучести значительна, называются
вязкими, для которых же она практи­
чески отсутствует — хрупкими. При
дальнейшем растяжении (за точку D)
происходит разрушение тела. Макси­
мальное напряжение, возникающее в
теле до разрушения, называется преде­
лом прочности (Стр).
Диаграмма напряжений для реальных
твердых тел зависит от различных фак­
торов. Одно и то же твердое тело может
при кратковременном действии сил про­
являть себя как хрупкое, а при длитель­
ных, но слабых силах является текучим.
Вычислим потенциальную энергию
упругорастянутого (сжатого) стержня,
которая равна работе, совершаемой вне­
шними силами при деформации:
где к —коэффициент упругости.
Выражение (21.4) также определя­
ет закон Гука, согласно которому удли­
нение стержня при упругой деформа­
ции пропорционально действующей на
стержень силе.
Деформации твердых тел подчиня­
ются закону Гука до известного преде­
ла. Связь между деформацией и напря­
жением представляется в виде диаграм­
мы напряжений, качественный ход ко­
торой мы рассмотрим для металличес­
кого образца (рис. 37). Из рисунка вид­
но, что линейная зависимость ст(е), ус­
тановленная Гуком, выполняется лишь
в очень узких пределах до так называе­
мого предела пропорциональности
(сгп). При дальнейшем увеличении на­
пряжения деформация еще упругая
(хотя зависимость а(е) уже нелинейна)
и до предела упругости (сгу) остаточ­
ные деформации не возникают.
За пределом упругости в теле возни­
кают остаточные деформации и график,
Д1
описывающий возвращение тела в пер­
П = Л = f Fdx,
воначальное состояние после прекра­
о
щения действия силы, изобразится не
где х — абсолютное удлинение стерж­
кривой ВО, а прямой CF, параллельной
ня, изменяющееся в процессе деформа­
О
А. Напряжение, при котором появляции от 0 до А1. Согласно закону Гука
ES
1Т; Юнг (1773—1829) —английский ученый.
(21.4), F = kx = -p ar, поэтому
44
П= Г— xdx = - — (Д/)2,
■j I
2 Z v
'
т. e. потенциальная энергия упругорас­
тянутого стержня пропорциональна
квадрату деформации (А/)2Деформацию сдвига проще всего
осуществить, если взять брусок, име­
ющий форму прямоугольного парал­
лелепипеда, и приложить к нему силу
Fr (рис. 38), касательную к его поверх­
ности (нижняя часть бруска закрепле­
на неподвижно). Относительная де­
формация сдвига определяется из фор­
мулы
где A s —абсолютный сдвиг параллель­
ных слоев тела относительно друг дру­
га; h — расстояние между слоями (для
малых углов tg^|« 4 )•
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Что такое момент инерции тела?
Какова роль момента инерции во вращательном движении?
Выведите формулу для момента инерции обруча.
Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.
Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, и как ее вывести?
Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? относительно не­
подвижной оси? Как определяется направление момента силы?
Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется на­
правление вектора момента импульса?
В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В ка­
ких системах он выполняется? Приведите примеры.
Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона со­
хранения момента импульса? Сопоставьте основные уравнения динамики поступатель­
ного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.
Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?
Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?
Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?
Дайте объяснение диаграммы напряжений ст(е). Что такое пределы пропорциональности, упругости и прочности?
Каков физический смысл модуля Юнга?
ЗАДАЧИ
4.1.
С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без
скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Опреде­
лите: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) отношение скоростей
в данный момент времени. [1) 14/15; 2) 14/15]
45
4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная
касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М =
= 2 Н •м. Определите массу тпдиска, если известно, что его угловое ускорение е постоянно
и равно 12 рад/с2. [32 кг]
4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой тп= 1 кг
перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами mx—1 кг и тп^—
= 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношения
То сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с2; 2) 1,11]
■ч
4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг • м2, вращающегося при
торможении равнозамедленно, за время t —1 мин уменьшилась от nt —300 мин-1 до п2 =
= 180 мин"1. Определите: 1) угловое ускорение е колеса; 2) момент М силы торможения;
3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с2; 2) 0,42 Н • м; 3) 630 Дж]
4.5. Человек массой m = 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой
М = 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой
пх = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а
человека —точечной массой, определите, с какой частотой п2будет тогда вращаться плат­
форма. [26 мин-1]
4.6. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растя­
жении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2,
модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. [ — =
= 0,03 ]
/
VESI
Глава 5
ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 22. Законы Кеплера. Закон
всемирного тяготения
Еще в глубокой древности было за­
мечено, что в отличие от звезд, которые
неизменно сохраняют свое взаимное
расположение в пространстве в течение
столетий, планеты описывают среди
звезд слож нейш ие траектории. Д ля
объяснения петлеобразного движения
планет древнегреческий ученый К. Пто­
лемей (II в. н.э.), считая Землю распо­
ложенной в центре Вселенной, предпо­
ложил, что каждая из планет движется
по малому кругу (эпициклу), центр ко­
торого равномерно движется по боль­
шому кругу, в центре которого находит­
ся Земля. Эта концепция получила на­
46
звание птолемеевой геоцентрической
системы мира.
В начале XVI в. польским астроно­
мом Н.Коперником (1473—1543) обо­
снована гелиоцентрическая система
(см. § 5), согласно которой движения
небесных тел объясняются движением
Земли (а также других планет) вокруг
Солнца и суточным вращением Земли.
Теория и наблюдения Коперника вос­
принимались как занимательная ф ан­
тазия.
К началу XVII столетия большин­
ство ученых, однако, убедилось в спра­
ведливости гелиоцентрической систе­
мы мира. И. Кеплер (немецкий ученый,
1571 —1630), обработав и уточнив ре­
зультаты многочисленных наблюдений
датского астронома Т. Браге (1546 —
1601), эмпирически установил за к о н ы
движ ения планет'.
1. Каждая планета движется по эл­
липсу, в одном из фокусов которого на­
ходится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные
промежутки времени описывает одина­
ковые площади.
3. Квадраты периодов обращения
планет вокруг Солнца относятся как
кубы больших полуосей их орбит.
Впоследствии И. Ньютон, изучая
движение небесных тел, на основании
законов Кеплера и основных законов
динамики установил за к о н всем и р н о ­
го т ягот ения, между -любыми двумя
материальными точками действует
сила взаимного притяжения, прямо
пропорциональная произведению масс
этих точек (тп! и т2) и обратно пропор­
циональная квадрату расстояния меж­
ду ними (г2):
F = G HhIR2 .
г
(22.1)
Эта сила называемся гр а ви т а ц и о н ­
ной (или с и л о й всем и р н о го т я го т е­
ния). Силы тяготения всегда являются
силами притяжения и направлены вдоль
прямой, проходящей через взаимодей­
ствующие тела. Коэффициент пропор­
циональности G называется гр а в и т а ­
ционной пост оянной.
Закон всемирного тяготения спра­
ведлив лишь для тел, которые можно
считать материальными точками, т.е.
для таких тел, размеры которых малы
по сравнению с расстоянием между
ними. Для вычисления силы взаимо­
действия между протяженными (не то­
чечными) телами их следует «разбить»
на элементарные массы, чтобы их мож­
но было считать материальными точка­
ми, подсчитать по формуле (22.1) силы
притяжения между всеми попарно взя­
тыми элементами, а затем геометриче­
ски их сложить (проинтегрировать),
что является довольно сложной мате­
матической задачей.
Впервые экспериментальное доказа­
тельство закона всемирного тяготения
для земных тел, а также числовое опре­
деление гравитационной постоянной G
проведено английским физиком Г. Ка­
вендишем (1731 —1810).
Принципиальная схема опыта Ка­
вендиша, применившего к р у т и л ьн ы е
весы , представлена на рис. 39. Легкое
коромысло А с двумя одинаковыми
шариками массой т = 729 г подвешено
на упругой нити В. На коромысле С
укреплены на той же высоте массивные
шары массой М = 158 кг. Поворачивая
коромысло (7вокруг вертикальной оси,
можно изменять расстояние между ша­
рами с массами т и М. Под действием
пары сил, приложенных к шарикам т
со стороны шаров М, коромысло А по­
ворачивается в горизонтальной плоско­
сти, закручивая нить В до тех пор, пока
момент сил упругости не уравновесит
момент сил тяготения. Зная упругие
свойства нити, по измеренному углу
поворота можно найти возникающие
силы притяжения, а так как массы ша­
ров известны, то и вычислить значе­
ние G.
Значение G —фундаментальная фи­
зическая постоянная, принимаемая
равной 6,6720 • 10-11 Н • м2/кг2, т.е. два
точечных тела массой по 1 кг каждое,
находящиеся на расстоянии 1 м друг
от друга, притягиваются с силой
47
6,6720 • 10_u H. Очень малая величина
G показывает, что сила гравитационно­
го взаимодействия может быть значи­
тельной только в случае больших масс.
§ 23. Сила тяжести и вес.
Невесомость
где М — масса Земли; R — расстояние
между телом и центром Земли.
Эта формула дана для случая, когда
тело находится на поверхности Земли.
Если тело расположено на высоте h
от поверхности Земли, Й0 — радиус
Земли, тогда
п_п
Вблизи поверхности Земли все тела
падают с одинаковым ускорением, ко­
торое получило название ускорения
свободного падения д. Таким образом,
в системе отсчета, связанной с Землей,
на всякое тело массой т действует
сила
Р = nig,
называемая силой тяжести.
Согласно фундаментальному физи­
ческому закону — обобщенному зако­
ну Галилея, все тела в одном и том же
поле тяготения падают с одинаковым
ускорением. Следовательно, в данном
месте Земли ускорение свободного па­
дения одинаково для всех тел. Оно из­
меняется вблизи поверхности Земли с
широтой в пределах от 9,780 м /с2на эк­
ваторе до 9,832 м /с2 на полюсах. Это
обусловлено суточным вращением Зем­
ли вокруг своей оси, с одной стороны,
и сплюснутостью Земли —с другой (экваториальный и полярный радиусы
Земли равны соответственно 6378 и
6357 км). Так как различие значений д
невелико, то ускорение свободного па­
дения, которое используется при реше­
нии практических задач, принимается
равным 9,81 м/с'2.
Если пренебречь суточным враще­
нием Земли вокруг своей оси, то сила
тяжести и сила гравитационного тяго­
тения равны между собой:
г. —G
г,т
Рп = тпд —F
- дМ
р,
48
гпМ
(До+Л)2 ’
т. е. сила тяжести с удалением от поверх­
ности Земли уменьшается.
Весом тела называют силу, с кото­
рой тело действует на опору (или под­
вес) вследствие гравитационного при­
тяжения к Земле. Вес тела проявляет­
ся только в том случае, если тело дви­
жется с ускорением, отличным от д, т. е.
когда на тело кроме силы тяжести дей­
ствуют другие силы. Состояние тела,
при котором оно движется только под
действием силы тяжести, называется
состоянием невесомости.
Таким образом, сила тяжести дей­
ствует всегда, а вес проявляется толь­
ко в том случае, когда на тело кроме силы
тяжести действуют еще другие силы,
вследствие чего тело движется с уско­
рением а, отличным от д. Если тело дви­
жется в поле тяготения Земли с уско­
рением а э* д, то к этому телу приложе­
на дополнительная сила N, удовлетво­
ряющая условию
Й + Р = та.
Тогда вес тела
Р ' ——N —Р —та —тд —та —т(д —а),
т.е. если тело покоится или движется
прямолинейно и равномерно, то а * 0
и г = тд. Если тело свободно движет­
ся в поле тяготения по любой траекто­
рии и в любом направлении, то а —g и
Р' = 0, т. е. тело будет невесомым. На­
пример, невесомыми являются тела, на-
ходящиеся в космических кораблях,
свободно движущихся в космосе.
Рис. 40
04
I X'
92
§ 24. Поле тяготения
и его напряженность
Закон тяготения Ньютона (22.1) оп­
ределяет зависимость силы тяготения
от масс взаимодействующих тел и рас­
стояния между ними, но не показыва­
ет, как осуществляется это взаимодей­
ствие. Тяготение принадлежит к особой
группе взаимодействий. Силы тяготе­
ния не зависят от того, в какой среде
находятся взаимодействующие тела.
Тяготение существует и в вакууме.
Гравитационное взаимодействие
между телами осуществляется с помо­
щью поля тяготения, или гравитаци­
онного поля. Это поле порождается те­
лами и является формой существова­
ния материи. Основное свойство поля
тяготения заключается в том, что на
всякое тело массой тп, внесенное в это
поле, действует сила тяготения, т. е.
F = rrig.
Для графического изображения си­
лового поля используются силовые ли­
нии (линии напряженности). Силовые
линии выбираются так, что вектор на­
пряженности поля направлен по каса­
тельной к силовой линии.
§ 25. Работа в поле тяготения.
Потенциал поля тяготения
Определим работу, совершаемую
силами поля тяготения при перемеще­
нии в нем материальной точки мас­
сой т. Вычислим, например, какую
надо совершить работу для удаления
тела массой т о т Земли. На расстоянии
R (рис. 41) на данное тело действует
сила
(24.1)
Вектор д не зависит от тп и называ­
ется напряженностью поля тяготения.
Напряженность поля тяготения оп­
ределяется силой, действующей со сто­
роны поля на материальную точку еди­
ничной массы, и совпадает по направ­
лению с действующей силой. Напря­
женность есть силовая характеристи­
ка поля тяготения.
Поле тяготения называется одно­
родным, если его напряженность во
всех точках одинакова, и централь­
ным, если во всех точках поля векторы
напряженности направлены вдоль пря­
мых, которые пересекаются в одной
точке (Л), неподвижной по отношению
к какой-либо инерциальной системе
отсчета (рис. 40).
F= G
тМ
R2 '
где М — масса Земли.
При перемещении этого тела на рас­
стояние d R совершается работа
dA = - G ^ d R .
щ
(25.1)
Знак «—» появляется потому, что
сила и перемещение в данном случае
противоположны по направлению (см.
рис. 41).
Рис. 41
Земля
dR
49
Если тело перемещать с расстояния
Rx до R2, то работа
д,
= ТП
'GM
GM'
, R*
А
(25.2)
>
Из формулы (25.2) вытекает, что
работа в поле тяготения не зависит от
траектории перемещения, а определя­
ется лишь начальным и конечным по­
ложениями тела, т.е. силы т яготения
действительно консервативны, а поле
т ягот ения я вляет ся пот енциальны м
(см. § 12).
Согласно формуле (12.2), работа,
совершаемая консервативными силами,
равна изменению потенциальной энер­
гии системы, взятому со знаком «—»,
т. е.
А = -Д П = -(П 2 - ПО = Щ - П2.
Из формулы (25.2) получим
Щ —П2 = — 771
fGM
GM
i R\
R%
. (25.3)
Так как в формулы входит только
разность потенциальных энергий в двух
состояниях, то для удобства принимают
потенциальную энергию при R2—>оо
равной нулю ( lim П2 = 0 ). Тогда (25.3)
запишется в виде тт
тенциалом. Потенциал поля тяготе­
ния ф — скалярная величина, опреде­
ляемая потенциальной энергией тела
единичной массы в данной точке поля
или работой по перемещению единич­
ной массы из данной точки поля в бес­
конечность. Таким образом, потенциал
поля тяготения, создаваемого телом
массой М,
* = -Щ ,
(25.4)
R
где R —расстояние от этого тела до рас­
сматриваемой точки.
Из формулы (25.4) вытекает, что гео­
метрическое место точек с одинаковым
потенциалом образует сферическую по­
верхность (R = const). Поверхности,
для которых потенциал постоянен, на­
зываются эквипотенциальными.
Рассмотрим взаимосвязь между по­
тенциалом (ф) поля тяготения и его
напряженностью ( д). Из выражений
(25.1) и (25.4) следует, что элементар­
ная работа dА, совершаемая силами
поля при малом перемещении тела мас­
сой т,
dA = —m dtp.
С другой стороны, dА = F d l ( dl —
элементарное перемещение). Учитывая
(24.1), dА = m gdl, т.е. m g d l = —mdip,
или
п 7ПМ Так
гр
9= -
R\
как первая точка была выбрана произ­
вольно, то
П = -G
тпМ
R
Величина
является энергетической характ ерис­
тикой поля тяготения и называется по­
50
dl
dtp
Величина — характеризует изме­
нение потенциала на единицу длины в
направлении перемещения в поле тяго­
тения. Можно показать, что
д = —gradtp,
П
tp = —
тп
dtp
где gradtp =
ох
(25.5)
+ ^ - k — rpa-
оу
oz
диент скаляра ф [см. (12.5)]. Знак « -»
в формуле (25.5) показывает, что век­
тор напряженности д направлен в сто­
рону убывания потенциала.
В качестве частного примера, исхо­
дя из представлений теории тяготения,
рассмотрим потенциальную энергию
тела, находящегося на высоте h относи­
тельно Земли:
П= -G
г2
г
Если спутник движется вблизи по­
верхности Земли, то г ~ R q (радиус
Земли) и д =
Щ
[см. (25.6)], поэтому
у поверхности Земли
V\ = \JgRo = 7,9 км/с.
тМ
Rq-\-h
где R0 —радиус Земли.
Так как
Р —G ^M - мд = — = G ^ >
Щ
р тМ _ mv I
ТП
Щ
то, учитывая условие h «С R0, получаем
S г, mMh
,
П = G— — = mgh.
Таким образом, мы вывели форму­
лу, совпадающую с (12.7), которая по­
стулировалась раньше.
§ 26. Космические скорости
Для запуска ракет в космическое
пространство надо в зависимости от
поставленных целей сообщать им опре­
деленные начальные скорости, называ­
емые космическими.
Первой космической (или круго­
вой) скоростью Vi называют такую ми­
нимальную скорость, которую надо со­
общить телу, чтобы оно могло двигать­
ся вокруг Земли по круговой орбите,
т.е. превратиться в искусственный
спутник Земли. На спутник, движу­
щийся по круговой орбите радиусом г,
действует сила тяготения Земли, сооб-
vi .
щающая ему нормальное ускорение —
г
По второму закону Ньютона,
Первой космической скорости недо­
статочно для того чтобы тело могло
выйти из сферы земного притяжения.
Необходимая для этого скорость назы­
вается второй космической. Второй
космической (или параболической)
скоростью v2 называют ту наимень­
шую скорость, которую надо сообщить
телу, чтобы оно могло преодолеть при­
тяжение Земли и превратиться в спут­
ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле
тяготения Земли стала параболической.
Для того чтобы тело (при отсутствии
сопротивления среды) могло преодо­
леть земное притяжение и уйти в кос­
мическое пространство, необходимо,
чтобы его кинетическая энергия была
равна работе, совершаемой против сил
тяготения:
тг>| _
2
г п тМ ,
i G-
п тМ
dr=G^
откуда
= yj2gRo = 11,2 км/с.
Третьей космической скоростью щ
называют скорость, которую необходи­
мо сообщить телу на Земле, чтобы оно
покинуло пределы Солнечной системы,
преодолев притяжение Солнца. Третья
космическая скорость v3 = 16,7 км/с.
Сообщение телам таких больших на­
чальных скоростей является сложной
технической задачей. Ее первое теоре­
тическое осмысление начато К. Э. Ци51
олковским, им была выведена уже рас­
смотренная нами формула (10.3), по­
зволяющая рассчитывать скорость ра­
кет.
Впервые космические скорости бы­
ли достигнуты в СССР: первая — при
запуске первого искусственного спут­
ника Земли в 1957 г., вторая — при за­
пуске ракеты в 1959 г. После историче­
ского полета Ю. А. Гагарина в 1961 г.
начинается бурное развитие космонав­
тики.
§ 27. Неинерциальные системы
отсчета. Силы инерции
Как уже отмечалось (см. § 5, 6), за­
коны Ньютона выполняются только в
инерциальных системах отсчета. Сис­
темы отсчета, движущиеся относи­
тельно инерциальной системы с уско­
рением, называются неинерциалъными. Ц неинерциальных системах зако­
ны Ньютона, вообще говоря, уже не­
справедливы. Однако законы динами­
ки можно применять и для них, если
кроме сил, обусловленных воздействи­
ем тел друг на друга, ввести в рассмот­
рение силы особого рода —так называ­
емые силы инерции.
Если учесть силы инерции, то вто­
рой закон Ньютона будет справедлив
для любой системы отсчета: произведе­
ние массы тела на ускорение в рассмат­
риваемой системе отсчета равно сумме
всех сил, действующих на данное тело
(включая и силы инерции). Силы инер­
ции FI1Hпри этом должны быть такими,
чтобы вместе с силами F, обусловлен­
ными воздействием тел друг на друга,
они сообщали телу ускорение о', каким
оно обладает в неинерциальных систе­
мах отсчета, т.е.
тпа' = F + FHH.
52
(27.1)
Так как F — та (а —ускорение тела в
инерциальной системе отсчета), то
та' = та + F„H.
Силы инерции обусловлены уско­
ренным движением системы отсчета
относительно измеряемой системы, по­
этому в общем случае нужно учитывать
следующие случаи проявления этих
сил: 1) силы инерции при ускоренном
поступательном движении системы от­
счета; 2) силы инерции, действующие
на тело, покоящееся во вращающейся
системе отсчета; 3) силы инерции, дей­
ствующие на тело, движущееся во вра­
щающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.
1.
Сильптнерции при ускоренном посту­
пательном движении системы отсчета.
Пусть на тележке к штативу на нити подве­
шен шарик массой тп(рис. 42). Пока тележ­
ка покоится или движется равномерно и
прямолинейно, нить, удерживающая шарик,
занимает вертикальное положение и сила
тяжести Р уравновешивается силой реакции
нити Т.
Если тележку привести в поступатель­
ное движение с ускорением а0, то нить нач­
нет отклоняться от вертикали назад до та­
кого угла а, пока результирующая сила F =
= Р + Т не обеспечит ускорение шарика,
равное а0. Таким образом, результирующая
сила F направлена в сторону ускорения те­
лежки а0и для установившегося движения
шарика (шарик теперь движется вместе с те­
лежкой с ускорением Оц) равна F=mg tg а =
== тпа0, откуда
т. е. угол отклонения нити от вертикали тем
больше, чем больше ускорение тележки.
Относительно системы отсчета, связан­
ной с ускоренно движущейся тележкой,
шарик покоится, что возможно, если сила F
уравновешивается равной и противополож­
но направленной ей силой FHH,которая яв­
ляется не чем иным, как силой инерции, так
окружности радиусом R (расстояние от цен­
тра вращающегося шарика до оси враще­
ния). Следовательно, на него действует
сила, равная F = muPR и направленная пер­
пендикулярно оси вращения диска. Она яв­
ляется равнодействующей силы^тяжести Р
и силы натяжения нити Т: F = Р + Т. Ког­
да движение шарика установится, то F —
= m <7tg a = т ы 2Д, откуда
как на шарик никакие другие силы не дей­
ствуют. Таким образом,
F„н = —ша0.
(27.2)
т.е. углы отклонения нитей маятников бу­
дут тем больше, чем больше расстояние R
от центра шарика до оси вращения диска и
чем больше угловая скорость вращения ш.
Относительно системы отсчета, связан­
ной с вращающимся диском, шарик покоит­
ся, что возможно, если сила ^ уравновеши­
вается равной и противополбжно направ­
ленной ей силой Fu, которая является не чем
иным, как силой инерции, так как на шарик
никакие другие силы не действует. Сила Fn,
называемая центробежной силой инерции,
направлена по горизонтали от оси вращения
диска и равна
Проявление сил инерции при поступа­
тельном движении наблюдается в повсе­
дневных явлениях. Например, когда поезд
набирает скорость, то пассажир, сидящий по
ходу поезда, под действием силы инерции
прижимается к спинке сиденья. Наоборот,
при торможении поезда сила инерции на­
правлена в противоположную сторону и
пассажир удаляется от спинки сиденья. Осо­
бенно эти силы заметны при внезапном тор­
можении поезда. Силы инерции проявляют­
ся в перегрузках, которые возникают при
запуске и торможении космических кораб­
jFu = —mu>2R.
(27.3)
лей. ,
2.
Силы инерции, действующие на тело,
Действию центробежных сил инерции
покоящееся во вращающейся системе от­
подвергаются, например, пассажиры в дви­
счета. Пусть диск равномерно вращается с
жущемся транспорте на поворотах, летчи­
угловой скоростью ы (и = const) вокруг вер­
ки при выполнении фигур высшего пилота­
тикальной оси, проходящей через его центр.
жа; центробежные силы инерции использу­
На диске, на разных расстояниях от оси вра­
ются во всех центробежных механизмах:
щения, установлены маятники (на нитях
насосах, сепараторах и т. д., где они достига­
подвешены шарики массой тп). При враще­
ют огромных значений. При проектирова­
нии маятников вместе с диском шарики от­
нии быстро вращающихся деталей машин
клоняются от вертикали на некоторый угол
(роторов, винтов самолетов и т.д.) принима­
(рис. 43).
ются специальные меры для уравновешива­
В инерциальной системе отсчета, связан­
ния центробежных сил инерции.
ной, например, с помещением, где установ­
Из формулы (27.3) вытекает, что центро­
лен диск, шарик равномерно вращается по
бежная сила инерции, действующая на тела
во вращающихся системах отсчета в направ­
лении радиуса от оси вращения, зависит от
угловой скорости вращения шсистемы отсче­
та и радиуса Я , но не зависит от скорости тел
относительно вращающихся систем отсчета.
Следовательно, центробежная сила инерции
действует во вращающихся системах отсче­
та на все тела, удаленные от оси вращения на
конечное расстояние, независимо от того, по53
ы
Рис. 45
коятся ли они в этой системе (как мы пред­
полагали до сих пор) или движутся относи­
тельно нее с какой-то скоростью.
Сила Кориолиса действует только на
3.
Силы инерции, действующие на тело,
тела, движущиеся относительно вращаю­
движущееся во вращающейся системе от­
щейся системы отсчета, например относи­
счета. Пусть шарик массой тп движется с
тельно Земли. Поэтому действием этих сил
постоянной скоростью v' вдоль радиуса рав­
объясняется ряд наблюдаемых на Земле яв­
номерно вращающегося диска ( v' = const,
лений.
Так, если тело движется в Северном
u>= const, v1 _L u>). Если диск не вращается,
полушарии на север (рис. 45), то действу­
то шарик, направленный вдоль радиуса, дви­
ющая на него сила Кориолиса, как это сле­
жется по радиальной прямой и попадает в
дует из выражения (27.4), будет направле­
точку А, если же диск привести во враще­
на вправо по отношению к направлению
ние в направлении, указанном стрелкой, то
движения, т. е. тело несколько отклонится
шарик катится по кривой ОВ (рис. 44, а),
на восток. Если тело движется на юг, то
причем его скорость v' относительно диска
сила Кориолиса также действует вправо,
изменяет свое направление. Это возможно
если смотреть по направлению движения,
лишь тогда, если на шарик действует сила,
т.е. тело отклонится на запад. Поэтому в
перпендикулярная скорости v'.
Северном полушарии наблюдается более
Для того чтобы заставить шарик катить­
сильное
подмывание правых берегов рек;
ся по вращающемуся диску вдоль радиуса,
правые рельсы железнодорожных путей по
используем жестко укрепленный вдоль ра­
движению изнашиваются быстрее, чем ле­
диуса диска стержень, на котором шарик
вые, и т.д. Аналогично можно показать, что
движется без трения равномерно и прямо­
в Южном полушарии сила Кориолиса, дей­
линейно со скоростью v' (рис. 44, б). При от­
ствующая на движущиеся тела, будет на­
клонении шарика стержень действует на
правлена влево по отношению к направле­
него с некоторой силой F. Относительно
нию движения.
диска (вращающейся системы отсчета) ша­
Благодаря силе Кориолиса падающие на
рик движется равномерно и прямолинейно,
поверхность Земли тела отклоняются к во­
что можно объяснить тем, что сила F урав­
стоку (на широте 60° это отклонение долж­
новешивается приложенной к шарику си­
но составлять 1 см при падении с высоты
лой инерции FK, перпендикулярной скоро­
100 м). С силой Кориолиса связано поведе­
сти v1. Эта сила называется кориолисовой
ние
маятника Фуко, явившееся в свое вре­
силой инерции.
мя одним из доказательств вращения Зем­
Можно показать, что сила Кориолиса1
ли. Если бы этой силы не было, то плоскость
колебаний качающегося вблизи поверхнос­
= 2m[v'u].y
(27.4)
ти Земли маятника оставалась бы неизмен­
Вектор х*к перпендикулярен векторам
ной (относительно Земли). Действие же сил
скорости v1тела и угловой скорости враще­
Кориолиса приводит к вращению плоскости
ния и системы отсчета в соответствии с пра­
колебаний вокруг вертикального направле­
вилом правого винта.
ния.
Раскрывая содержание FHI1в форму­
1
Г.Кориолис (1792 —1843) — французский
ле (27.1), получим основной закон Эмфизик и инженер.
54
намики для неинерциалъны х систем
от счет а:
та! = F + Fm + Fu+ FK,
где силы инерции задаются формулами
(2 7 .2 )- (2 7 .4 ) .
Обратим еще раз внимание на то, что
силы инерции вызываются не взаимо­
действием тел, а ускоренным движени­
ем системы отсчета. Поэтому они не
подчиняются третьему закону Ньюто­
на, так как если на какое-либо тело дей­
ствует сила инерции, то не существует
противодействующей силы, приложен­
ной к данному телу. Два основных по­
ложения механики, согласно которым
ускорение всегда вызывается силой, а
сила всегда обусловлена взаимодей­
ствием между телами, в системах отсче­
та, движущихся с ускорением, одновре­
менно не выполняются.
Для любого из тел, находящихся в
неинерциальной системе отсчета, силы
инерции являются внешними, следова­
тельно, здесь нет замкнутых систем. Это
означает, что в неинерциальных систе­
мах отсчета не выполняются законы
сохранения импульса, энергии и момен­
та импульса. Таким образом, силы инер­
ции действуют только в неинерциалъ­
ных системах. В инерциальных систе­
мах отсчета таких сил не существует.
Возникает вопрос о «реальности» или
«фиктивности» сил инерции. В нью тонов­
ской механике, согласно которой сила есть
р езу л ьтат в за и м о д е й с тв и я тел, на силы
инерции можно смотреть как на «ф иктив­
ные», «исчезающие» в инерциальных систе­
мах отсчета. О днако возможна и другая их
интерпретация. Т ак как взаимодействия тел
осущ ествляю тся посредством силовых по­
лей, то силы инерции рассматриваю тся как
воздействия, которым подвергаются тела со
стороны каких-то реальных силовых полей,
и тогда их м ож но счи тать «реальны м и».
Н езависим о от того, рассм атриваю тся л и
силы инерции в качестве «ф иктивных» или
«реальных», многие явления, о которых упо­
миналось в настоящ ем параграфе, объясня­
ю тся с помощью сил инерции.
С илы инерции, действую щ ие на тела в
неинерциальной системе отсчета, пропорци­
ональны их массам и при прочих равны х
условиях сообщают этим телам одинаковые
ускорения. П оэтому в «поле сил инерции»
эти тела движ утся соверш енно одинаково,
если только одинаковы начальные условия.
Тем же свойством обладают тела, находящи­
еся под действием сил поля тяготения.
При некоторых условиях силы инерции
и силы тяготения невозмож но различить.
Н апример, движ ение тел в равноускорен­
ном лиф те происходит точно так же, как и в
неподвижном лиф те, висящ ем в однород­
ном поле тяж ести. Н икакой эксперимент,
выполненный внутри лиф та, не может от­
делить однородное поле тяготения от одно­
родного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения
и силами инерции лежит в основе прин­
ципа эквивалентности гравитационных
сил и сил инерции ( принципа эк в и ва ­
лентности Эйнштейна): все физичес­
кие явления в поле тяготения происхо­
дят совершенно так же, как и в соответ­
ствующем поле сил инерции, если на­
пряженности обоих полей в соответ­
ствующих точках пространства совпа­
дают, а прочие начальные условия для
рассматриваемых тел одинаковы. Этот
принцип является основой общей тео­
рии относительности.
Контрольные вопросы
•
•
Как определяется гравитационная постоянная и каков ее физический смысл?
Н а какой высоте над планетой ускорение свободного падения вдвое меньше, чем на ее
поверхности?
55
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Что такое вес тела?
В чем отличие веса тела от силы тяжести?
Как объяснить возникновение невесомости при свободном падении?
Что такое напряженность поля тяготения?
Какое поле тяготения называется однородным? центральным?
Какие величины вводятся для характеристики поля тяготения и какова связь между
ними?
Покажите, что силы тяготения консервативны.
Чему равно максимальное значение потенциальной энергии системы из двух тел, нахо­
дящихся в поле тяготения?
Какие траектории движения имеют спутники, получившие первую и вторую космиче­
ские скорости?
Как вычисляются первая и вторая космические скорости?
Когда и почему необходимо рассматривать силы инерции?
Что такое силы инерции? Чем они отличаются от сил, действующих в инерциальных
системах отсчета?
Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса? Когда они проявля­
ются?
В Северном полушарии производится выстрел вдоль меридиана на север. Как скажется
на движении снаряда суточное вращение Земли?
Сформулируйте и поясните принцип эквивалентности Эйнштейна.
ЗАДАЧИ
5.1. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с
другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров
увеличить в 4 раза. [Возрастет в 6,35 раза]
5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3 г/см 3. Каким
должен быть период обращения планеты вокруг собственной оси, чтобы на экваторе тела
были невесомыми? [ Т =
= 1,9 ч]
\и р
5.3. Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Зем­
ли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли
и Луны равно R, масса Земли в 31 раз больше массы Луны. [0,9Я]
5.4. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с
другом. Определите, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимо­
действия, если массу шаров увеличить в четыре раза. [Возрастет в 14,6 раза]
5.5. Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по круговым орбитам раЕп
диусами Ri и # 2. Определите: 1) отношение полных энергий спутников
2) отношеI-----m2
г
Дп
J?
ние их моментов импульса ( у 1-). [1) -?£; 2) .
]
Vt§fl
5.6. Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трения составляет
20 % от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 10 г. Определите:
1) силу, действующую на нить; 2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 0,1 Н;
2) 1Г 3 5 ']
5.7. Тело массой 1,5 кг, падая свободно в течение 5 с, попадает на Землю в точку с
географической широтой ф = 45°. Учитывая вращение Земли, нарисуйте и определите
все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н;
3) 7,57 мН]
56
Глава 6
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ
§ 28. Давление жидкости и газа
Молекулы газа, совершая беспоря­
дочное, хаотическое движение, не свя­
заны или весьма слабо связаны силами
взаимодействия, поэтому они движут­
ся свободно и в результате соударений
стремятся разлететься во все стороны,
заполняя весь предоставленный им
объем, т. е. объем газа определяется объе­
мом того сосуда, который газ занимает.
Жидкость же, имея определенный
объем, принимает форму того сосуда, в
который она заключена. Но в жидко­
стях в отличие от газов среднее рассто­
яние между молекулами остается прак­
тически постоянным, поэтому жид­
кость обладает практически неизмен­
ным объемом.
Свойства жидкостей и газов во мно­
гом отличаются, однако в ряде механи­
ческих явлений их поведение определя­
ется одинаковыми параметрами и иден­
тичными уравнениями. Поэтому ги д ­
р о а э р о м е х а н и к а — раздел механики,
изучающий равновесие и движение
жидкостей и газов, их взаимодействие
между собой и обтекаемыми ими твер­
дыми телами, — использует е д и н ы й
п одход к изучению жидкостей и газов.
В механике с большой степенью точ­
ности жидкости и газы рассматривают­
ся как сплош ны е непрерывно распре­
деленные в занятой ими части про­
странства. Плотность же газов от дав­
ления зависит существенно. Сжимае­
мостью жидкости и газа во многих за­
дачах можно пренебречь и пользовать­
ся единым понятием н е с ж и м а е м о й
ж идкост и — жидкости, плотность ко­
торой всюду одинакова и не изменяет­
ся со временем.
Если в покоящуюся жидкость поме­
стить тонкую пластинку, то части жид­
кости, находящиеся по разные стороны
от нее, будут действовать на каждый ее
элемент A S с силами AF, которые не­
зависимо от того, как пластинка ориен­
тирована, будут равны по модулю и на­
правлены перпендикулярно площадке
AS, так как наличие касательных сил
привело бы частицы жидкости в движе­
ние (рис. 46).
Физическая величина, определяе­
мая нормальной силой, действующей со
стороны жидкости на единицу площа­
ди, называется да вл ен и ем р жидкости:
_ AF
Р AS'
Единица давления — п а с к а л ь (Па):
1 Па равен давлению, создаваемому си­
лой 1 Н, равномерно распределенной по
нормальной к ней поверхности площа­
дью 1 м2 (1 Па = 1 Н /м2).
Давление при равновесии жидко­
стей (газов) подчиняется з а к о н у П а с ­
к а л я 1: давление на поверхности жидко­
сти, произведенное внешними силами,
передается жидкостью одинаково во
всех направлениях.
Рассмотрим, как влияет вес жидко­
сти на распределение давления внутри
1
Б.Паскаль (1623—1662) — французский
ученый.
57
покоящейся несжимаемой жидкости.
При равновесии жидкости давление по
горизонтали всегда одинаково, иначе не
было бы равновесия. Поэтому свобод­
ная поверхность покоящейся жидкости
всегда горизонтальна вдали от стенок
сосуда. Если жидкость несжимаема, то
ее плотность не зависит от давления.
Тогда при поперечном сечении S стол­
ба жидкости, его высоте h и плотности р
вес Р = рgSh, а давление на нижнее ос­
нование
?=? к Я В
Шр
т.е. давление изменяется линейно с
высотой. Давление pgh называется гид­
ростатическим давлением.
Согласно формуле (28.1), сила дав­
ления на нижние слои жидкости будет
больше, чем на верхние, поэтому на
тело, погруженное в жидкость, действу­
ет сила, определяемая законом А рхи­
меда: на тело, погруженное в жидкость
(газ), действует со стороны этой жид­
кости направленная вверх выталкива­
ющая сила, равная весу вытесненной
телом жидкости (газа):
* а = РgV,
где р —плотность жидкости; V — объем
погруженного в жидкость тела.
§ 29. Уравнение неразрывности
Движение жидкостей называется
течением, а совокупность частиц дви­
жущейся жидкости —потоком. Графи­
чески движение жидкостей изобража­
ется с помощью линий тока, которые
проводятся так, что касательные к ним
совпадают по направлению с вектором
скорости жидкости в соответствующих
точках пространства (рис. 47). Линии
58
тока проводятся так, чтобы густота их,
характеризуемая отношением числа
линий к площади перпендикулярной
им площадки, через которую они про­
ходят, была больше там, где больше ско­
рость течения жидкости, и меньше там,
где жидкость течет медленнее. Таким
образом, по картине линий тока можно
судить о направлении и модуле скоро­
сти в разных точках пространства, т. е.
можно определить состояние движения
жидкости. Линии тока в жидкости мож­
но «проявить», например, подмешав в
нее какие-либо заметные взвешенные
частицы.
Часть жидкости, ограниченную ли­
ниями тока, называют трубкой тока.
Течение жидкости называется уст ано­
вившимся (или стационарным), если
форма и расположение линий тока, а
также значения скоростей в каждой ее
точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку
тока. Выберем два ее сечения Si и 52,
перпендикулярные направлению ско­
рости (рис. 48).
За время A t через сечение S прохо­
дит объем жидкости SvAt] следователь­
но, за 1 с через щ пройдет объем жид­
кости Sivlt где
— скорость течения
жидкости в месте сечения Si, Через се­
чение <?2 за 1 с пройдет объем жидкости
S2V2, где Wj — скорость течения жидко­
сти в месте сечения S2. Здесь предпола­
гается, что скорость жидкости в сечении
постоянна. Если жидкость несжимаема
(р = const), то через сечение S2 пройдет
такой же объем жидкости, как и через
сечение Sh т. е.
SiVy = S2v2 = const.
(29.1)
Следовательно, произведение скоро­
сти течения несжимаемой жидкости на
поперечное сечение трубки тока есть
величина постоянная для данной труб­
ки тока. Соотношение (29.1) называет­
ся уравнением неразрывности для не­
сжимаемой жидкости.
§ 30. Уравнение Бернулли
и следствия из него
В реальных жидкостях между от­
дельными слоями потока возникают
силы внутреннего трения, тормозящие
относительное смещение слоев. Одна­
ко в ряде случаев ими ,можно пренеб­
речь. Поэтому для вывода ряда законо­
мерностей пользуются физической м о­
делью идеальной жидкости —вообра­
жаемой жидкости, у которой внутрен­
нее трение полностью отсутствует.
Выделим в стационарно текущей
несжимаемой идеальной жидкости
трубку тока, ограниченную сечениями
Si и S2, по которой жидкость течет сле­
ва направо (рис. 49). Пусть в месте се­
чения Sx скорость течения vu давление
Pi и высота, на которой это сечение рас­
положено, hi. Аналогично, в месте се­
чения S2 скорость течения щ, давление
р2, высота сечения h2. За малый проме­
жуток времени Д £жидкость перемеща­
ется от сечения Si к сечению S[, от S2
к S2.
Согласно закону сохранения энер­
гии, изменение полной энергии Е2 — Ех
идеальной несжимаемой жидкости дол­
жно быть равно работе А внешних сил
по перемещению массы т жидкости:
Е2 - Ei = А,
(30.1)
где Ei и Е2 —полные энергии жидкости
массой т в местах сечений Sx и S2 соот­
ветственно.
С другой стороны, А — это работа,
совершаемая при перемещении всей
жидкости, заключенной между сечени­
ями Si и S2, за рассматриваемый малый
промежуток времени A t. Для перене­
сения массы т о т до S[ жидкость дол­
жна переместиться на расстояние 1Х=
= vxAt, и от S2 до S2 — на расстояние
l2 = u ^A t.
Отметим, что 1г и 12настолько малы,
что всем точкам объемов, закрашенных
на рис. 49, приписывают постоянные
значения скорости, давления и высоты.
Следовательно,
А = F J i + F2l2,
(30.2)
где Fi = piSi и F2 = —p2S2 (отрицательна,
так как направлена в сторону, противо­
положную течению жидкости; см. рис. 49).
Полные энергии Ехи Е2 будут скла­
дываться из кинетической и потенци­
альной энергий массы т жидкости:
Е 1=^+<пдК
(30.3)
Ei = ^
(30.4)
+ mght .
59
Рис. 50
J U
U
L
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и
приравнивая (30.1) и (30.2), получим
+ mghx + p&ViAt 1
хранения энергии применительно к ус­
тановившемуся течению идеальной
жидкости. Оно хорошо выполняется и
для реальных жидкостей, внутреннее
трение которых не очень велико.
Величина р в формуле (30.6) назы­
вается статическим давлением (дав­
ление жидкости на поверхность обтека­
Согласно уравнению неразрывности
для несжимаемой жидкости (29.1),
объем, занимаемый жидкостью, остает­
ся постоянным, т. е.
емого ею тела), величина ^ -----дина­
мическим давлением. Как уже указы­
валось выше (см. § 28), величина pgh
представляет собой гидростатическое
давление.
Для горизонтальной трубки тока ( hj =
= Л2) выражение (30.6) принимает вид
Д V = SiViAt = S2v2A t.
—f р = const,
=
+ P2S-aoiAt.
(30.5)
Разделив выражение (30.5) на Д V,
получим
^Y +pgK +pi =^Y+P9h+P2,
где р —плотность жидкости.
Так как сечения выбирались произ­
вольно, то можем записать
2
+ pgh + р = const. (30.6)
Выражение (30.6) выведено швей­
царским физиком Д. Бернулли (1700—
1782; опубликовано в 1738 г.) и назы­
вается уравнением Бернулли. Уравне­
ние Бернулли —выражение закона со­
60
(30.7)
где р +
называется полным давле­
нием.
Из уравнения Бернулли (30.7) для
горизонтальной трубки тока и уравне­
ния неразрывности (29.1) следует, что
при течении жидкости по горизонталь­
ной трубе, имеющей различные сечения,
скорость жидкости больше в местах су­
жения, а статическое давление больше
в более широких местах, т.е. там, где
скорость меньше. Это можно продемон­
стрировать, установив вдоль трубы ряд
манометров (рис. 50). В соответствии
с уравнением Бернулли опыт показы­
вает, что в манометрической трубке В,
прикрепленной к узкой части трубы,
уровень жидкости ниже, чем в маномет­
рических трубках А и С, прикреплен­
ных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление свя­
зано со скоростью движения жидкости
(газа), то уравнение Бернулли позволя­
ет измерять скорость потока жидкости.
Для этого применяется трубка Пито—
Прандтля (рис. 51). Прибор состоит из
двух изогнутых под прямым углом тру­
бок, противоположные концы которых
присоединены к манометру. С помо­
щью одной из трубок измеряется пол­
ное давление (р0), с помощью другой —
статическое (р). Манометром измеря­
ют разность давлений:
Вода
Рис. 52
Р о ~ Р = РоФ,
(30.8)
где р0—плотность жидкости в маномет­
ре. С другой стороны, согласно уравне­
нию Бернулли, разность полного и ста­
тического давлений равна динамиче­
скому давлению:
Ро- Р = е £ .
(зо.9)
Из формул (30.8) и (30.9) получаем
искомую скорость потока жидкости:
v_ J IS I
Уменьшение статического давления
в точках, где скорость потока больше,
положено в основу работы водоструй­
ного насоса (рис. 52). Струя воды по­
дается в трубку, открытую в атмосфе­
ру, так что давление на выходе из труб­
ки равно атмосферному. В трубке име­
ется сужение, по которому вода течет с
большей скоростью. В этом месте дав­
ление меньше атмосферного. Это дав­
ление устанавливается и в откачанном
сосуде, который связан с трубкой через
разрыв, имеющийся в ее узкой части.
Воздух увлекается вытекающей с боль­
шой скоростью водой из узкого конца.
Таким образом можно откачивать воз­
дух из сосуда до давления 100 мм рт. ст.
(1 мм рт. ст. = 133,32 Па).
Уравнение Бернулли используется
для нахождения скорости истечения
жидкости через отверстие в стенке или
дне сосуда. Рассмотрим цилиндричес­
кий сосуд с жидкостью, в боковой стен­
ке которого на некоторой глубине ниже
уровня жидкости имеется маленькое
отверстие (рис. 53).
Рассмотрим два сечения (на уров­
не hi свободной поверхности жидкости
в сосуде и на уровне h2выхода ее из от­
верстия) и запишем уравнение Бернул­
ли:
+ 99th + Pi =
+ pglh + рг.
Так как давления рхи р2 в жидкости
на уровнях первого и второго сечений
равны атмосферному, т.е. рх = р2, то
уравнение будет иметь вид
Яр
^2+9Ы
Из уравнения неразрывности (29.1)
v
о
следует, что — = —Ц где Si и S2 —пло-
1
s2
щади поперечных сечений сосуда и отvv
верстия. Если S i» S2, то слагаемым —
можно пренебречь. Тогда
61
V$ = 2g(hi - Л2) = 2ffh,
v2 = j2gh.
Это выражение получило название
формулы Торричелли*.
§ 31. Вязкость (внутреннее трение).
Ламинарный и турбулентный
режимы течения жидкостей
Рассмотренная ранее (см. § 30) иде­
альная жидкость —воображаемая жид­
кость, в которой отсутствуют силы
внутреннего трения, есть физическая
абстракция. Всем реальным жидко­
стям и газам присуща вязкость (внут­
реннее трение).
Вязкость (внутреннее трение) —
это свойство реальных жидкостей ока­
зывать сопротивление перемещению
одной части жидкости относительно
другой. При перемещении одних слоев
реальной жидкости относительно дру­
гих возникают силы внутреннего тре­
ния, направленные по касательной к по­
верхности слоев. Действие этих сил
проявляется в том, что со стороны слоя,
движущегося быстрее, на слой, движу­
щийся медленнее, действует ускоряю­
щая сила. Со стороны же слоя, движу­
щегося медленнее, на слой, движущий­
ся быстрее, действует тормозящая^сила.
Сила внутреннего трения F тем
больше, чем больше рассматриваемая
площадь поверхности слоя S (рис. 54),
и зависит от того, насколько быстро ме­
няется скорость течения жидкости при
переходе от'слоя к слокь На рисунке
представлены два слоя, отстоящие друг
от друга на расстоянии Дж и движу­
щиеся со скоростями Vi и щ. При этом
Vi —v2=>Av. Направление, в котором
отсчитывается расстояние между сло­
ями, перпендикулярно скорости течения
слоев. Величина
показывает, как
Ах
быстро меняется скорость при перехо­
де от слоя к слою в направлении х, пер­
пендикулярном направлению движе­
ния слоев, и называется градиентом
скорости. Таким образом, модуль силы
внутреннего трения
(31.1)
F = л Av S,
Ах
где коэффициент пропорциональнос­
ти т], зависящий от природы жидкости,
называется динамической вязкостью
(или просто вязкостью).
Единица вязкости —паскаль-секунда (Па • с): 1 Па - с равен динамической
вязкости среды, в которой при ламинар­
ном течении и градиенте скорости с мо­
дулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает
сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2
поверхности касания слоев (1 Па ■с =
= 1 Н • с/м2).
Чем больше вязкость, тем сильнее
жидкость отличается от идеальной, тем
большие силы внутреннего трения в
ней возникают. Вязкость зависит от
температуры, причем характер этой за­
висимости для жидкостей и газов раз­
личен (для жидкостей т) с увеличением
температуры уменьшается, у газов, на­
оборот, увеличивается), что указывает
на различие в них механизмов внутрен­
него трения. Особенно сильно от тем-
1
Э.Торричелли (1608—1647) —Итальянский
физик и математик.
62
Рис. 54
Ах
ш
-
пературы зависит вязкость масел. Н а­
пример, вязкость касторового масла в
интервале 18 —40 °С падает в четыре
раза. Российский ф изик П. Л. Капица
(1 8 9 4 —1984; Н о б ел ев ск ая п р ем и я
1978 г.) открыл, что при температуре
2,17 К жидкий гелий переходит в сверх­
текучее состояние, в котором его вяз­
кость равна нулю.
С ущ ествует два реж им а течения
жидкостей. Течение называется л а м и ­
нарны м (слоист ы м ), если вдоль пото­
ка каждый выделенный тонкий слой
скользит относительно соседних, не пе­
ремешиваясь с ними, и т урбулент ны м
(вихревы м ), если вдоль потока проис­
ходит интенсивное вихреобразование и
перемешивание жидкости (газа).
Ламинарное течение жидкости на­
блюдается при небольших скоростях ее
движения. Внешний слой жидкости,
примыкающий к поверхности трубы, в
которой она течет, из-за сил молекуляр­
ного сцепления прилипает к ней и ос­
тается неподвижным. Скорости после­
дующих слоев тем больше, чем больше
их расстояние до поверхности трубы, и
наибольшей скоростью обладает слой,
движущийся вдоль оси трубы.
При турбулентном течении частицы
жидкости приобретают составляющие
скоростей, перпендикулярные течению,
поэтому они могут переходить из одного
слоя в другой. Скорость частиц жидко­
сти быстро возрастает по мере удаления
от поверхности трубы, затем изменяется
довольно незначительно. Так как части­
цы жидкости переходят из одного слоя в
другой, то их скорости в различных сло­
ях мало отличаются. Из-за большого гра­
диента скоростей у поверхности трубы
обычно происходит образование вихрей.
Профиль усредненной скорости при
турбулентном течении в трубах (рис. 55)
отличается от параболического профи­
ля при ламинарном течении более бы-
»Ш = 2(d)
vmax = l,23{v)
Ламинарное
Турбулентное
Рис. 55
стрым возрастанием скорости у стенок
трубы и меньшей кривизной в цент­
ральной части течения. Характер тече­
ния зависит от безразмерной величины,
называемой числом Р ейнольдса1:
йе = ?Ш = Ш
Т]
V
где р —плотность жидкости; {v) — сред­
няя по сечению трубы скорость жидко­
сти; d — характерный линейный размер,
например диаметр трубы; v = — — кир
немат ическая вязкость.
При малых значениях числа Р ей ­
нольдса (Re < 1000) наблюдается лами­
нарное течение, переход от ламинарно­
го течения к турбулентному происхо­
дит в области 1000 < Re < 2000, а при
Re = 2300 (для гладких труб) течение
турбулентное. Если число Рейнольдса
одинаково, то режим течения различ­
ных жидкостей (газов) в трубах разных
сечений одинаков.
§ 32. Методы определения
вязкости
1.
Метод Стокса2. Этот метод опре­
деления вязкости основан на измере­
нии скорости медленно движущихся в
О.Рейнольдс (1842—1912) — английский
ученый.
2
Дж. Стокс (1819 —1903) —английский фи­
зик и математик.
63
жидкости небольших тел сферической
формы.
На шарик, падающий в жидкости
вертикально вниз, действуют три силы:
сила тяжеста Р = —иг3р0 (р—платность
3
О
(р; —плотность жидкости) и сила со­
противления, эмпирически установлен­
ная Дж. Стоксом: F = 6то]п; (г —ради­
ус шарика, v —его скорость). При рав­
номерном движении шарика
P=F a + F
—nr 5pg=—чгНр'^+бтг^ги,
3
Ч
У
^
шарика), сила Архимеда FK= —"кг3р'д
или
Рис. 56
* Кг ч
1И ^ А
линдра, уравновешивается силой дав­
ления, действующей на его основание:
—т| -2irrl
= Apr г2, d v = — rdr.
dr
2т\1
После интегрирования, полагая, что
у стенок имеет место прилипание жид­
кости, т. е. скорость на расстоянии R от
оси равна нулю, получаем
о
откуда
ffp-pQgr2
9т,
Отсюда видно, что скорости частиц
жидкости распределяются по параболи­
ческому закону, причем вершина пара­
болы лежит на оси трубы (см. также
рис. 55). За время t из трубы вытечет
жидкость, объем которой
00
о
1
Измерив скорость равномерного
движения шарика, можно определить
вязкость жидкости (газа).
2. Метод Пуазейля1. Пуазейль, изу­
д
чая ламинарное течение жидкости в
vt-2ixrdr = ^ t A p J'r(R 2 —r 2) d r =
круглой трубе, нашел закон изменения
скорости с расстоянием гот оси трубы.
В жидкости мысленно выделим цилин­
TitА р [г2Л 2
Л тxRHAp
дрический объем радиусом г и толщи­
2
4
2 г\1
ной dr (рис. 56). Сила внутреннего тре­
ния [см. (31.1)], действующая на боко­ откуда вязкость
вую поверхность этого объема,
rR^tAp
F = U ^ d S = -Л* 2*W— ,
dr
dr
где d S —боковая поверхность цилинд­
рического слоя; знак <-» означает, что
при возрастают радиусаскорость умень­
шается.
Для установившегося течения жид­
кости сила внутреннего трения, дей­
ствующая на боковую поверхность ци1 Ж. Пуазейль (1799—1868) —французский
физиолог и физик.
64
Эта формула называется формулой
Пуазейля.
§ 33. Движение тел
в жидкостях и газах
Одной из важнейших задач аэро- и
гидродинамики является исследование
движения твердых тел в газе и жидко-
Рис. 57
Рис. 59
сти, в частности изучение тех сил, с ко­
торыми среда действует на движущее­
ся тело. Эта проблема приобрела осо­
бенно большое значение в связи с бур­
ным развитием авиации и увеличени•ем скорости движения морских судов.
На тело, движущееся в жидкости
или газе, действуют две силы (их рав­
нодействующую обозначим R), одна из
которых (R x) направлена в сторону,
противоположную движению тела
(в сторону потока), — лобовое сопро­
тивление, а вторая (R y) перпендику­
лярна этому направлению — подъем­
ная сила (рис. 57).
Если тело симметрично и его ось
симметрии совпадает с направлением
скорости, то на него действует только
лобовое сопротивление, подъемная же
сила в этом случае равна нулю. Можно
доказать, что в идеальной жидкости рав­
номерное движение происходит без ло­
бового сопротивления. Если рассмот­
реть движение цилиндра в такой жид­
кости (рис. 58), то картина линий тока
симметрична как относительно прямой,
проходящей через точки А и В, так и
относительно прямой, проходящей че­
рез точки С и D, т. е. результирующая
сила давления на поверхность цилинд­
ра будет равна нулю.
Иначе обстоит дело при движении
тел в вязкой жидкости (особенно при
увеличении скорости обтекания).
Вследствие вязкости среды в области,
прилегающей к поверхности тела, об­
разуется пограничный слой частиц,
движущихся с меньшими скоростями.
В результате тормозящего действия
этого слоя возникает вращение частиц
и движение жидкости в пограничном
слое становится вихревым. Если тело
не имеет обтекаемой формы (нет
плавно утончающейся хвостовой час­
ти), то пограничный слой жидкости
отрывается от поверхности тела. За
телом возникает течение жидкости
(газа), направленное противополож­
но набегающему потоку. Оторвав­
шийся пограничный слой, следуя за
этим течением, образует вихри, вра­
щающиеся в противоположные сторо­
ны (рис. 59).
Лобовое сопротивление зависит от
формы тела и его положения относитель­
но потока, что учитывается безразмер­
ным коэффициентом сопротивления Сх,
определяемым экспериментально:
3 Курс физики
65
R ,= C ,S j-S ,
(33.1)
где p — плотность среды; v — скорость
движения тела; S — наибольшее попе­
речное сечение тела.
Составляющую Rx можно значи­
тельно уменьшить, подобрав тело такой
формы, которая не способствует обра­
зованию завихрения.
Подъемная сила может быть опреде­
лена формулой, аналогичной (33.1):
р
_ г*
с
Ку Г v~2l.7'
где Су — безразмерный коэффициент
подъемной силы.
Для крыла самолета требуется боль­
шая подъемная сила при малом лобо­
вом сопротивлении [это условие вы­
полняется при малых углах атаки а
(угол к потоку); см. рис. 57].
Крыло тем лучше удовлетворяет
этому условию, чем больше величина
tjGy
К=
называемая качеством кры­
ла.
х
Большие заслуги в конструировании
требуемого профиля крыла и изучении
влияния геометрической формы тела
на коэффициент подъемной силы при­
надлежат «отцу русской авиации»
Н.Е.Жуковскому (1847—1921).
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Что такое давление в жидкости? Давление —величина векторная или скалярная? Како­
ва единица давления в СИ?
Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.
Что называют линией тока? трубкой тока?
Что характерно для установившегося течения жидкости?
Каков физический смысл уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и как
его вывести ?
Выведите уравнение Бернулли.
Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? пол­
ное давление?
Что такое градиент скорости?
Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?
Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует
число Рейнольдса?
Поясните (с выводом) практическое применение методов Стокса и Пуазейля.
Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидко­
сти? Может ли оно быть равным нулю?
Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис. 57)?
ЗАДАЧИ
6.1. Полый железный шар (р = 7,87 г/см3) весит в воздухе 5 Н, а в воде (р' = 1 г/см3) —
3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определите объем внутренней полости
шара. [139 см3]
6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м2 и объемом V = 3 м3 за­
полнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определите время t, необходимое для опусто­
шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью Sx = 10 см2.
[* = i J l I E = 13ми„]
S i\ 9
66
6.3.
Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой Я = 5 м, имеет форму усечен­
ного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения dx = 6 см, верхнего — — 2 см.
Высота сопла Л = 1 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в
сопле, определите: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность Ар давления в
»2
нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды р = 1 г/см3. [1) у]2дН
=
= 3,1 • 10 3 mVc; 2) Ар = pgh + pffff 11 —^^1 = 58,3 кПа]
6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхно­
сти которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше попе­
речного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии hx= 64 см ниже уров­
ня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и на расстоянии Л2 = 25 см от дна
сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определите, на каком расстоянии по горизонтали от
сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]
6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,2 г/см3), падает с
установившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик (р' = 2,7 г/см3) диаметром 1 мм. Оп­
ределите динамическую вязкость глицерина. [16 Па •с]
6 .6 . В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен
на высоте h x = 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d — 2 мм и длиной I = 1 см.
В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность р = 0,9 г/см 3 и
динамическая вязкость т] = 0,1 Па •с) на высоте h2= 80 см выше капилляра. Определите, на
каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя
масла, вытекающая из отверстия. [ s = d2ph2
= 8,9 см]
6.7. Определите наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий
в воздухе (р = 1,29 г/см3) стальной шарик (р7 = 9 г/см3) массой т = 20 г. Коэффициент Сх
принять равным 0,5. [94 см/с]
Глава 7
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ)
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 34. Преобразования Галилея.
Механический принцип
относительности
Рассмотрим две системы отсчета:
инерциальную систему К (с координа­
тами х, у, z), которую условно будем
считать неподвижной, и систему К 1
(с координатами х \ у', z 1), движущую­
ся относительно К равномерно и пря­
молинейно со скоростью й ( й = const).
Отсчет времени начнем с момента, ког­
да начала координат обеих систем со­
впадают. Пусть в произвольный момент
времени t расположение этих систем
относительно друг друга имеет вид,
изображенный на рис. 60. Скорость и
направлена вдоль ОО', радиус-вектор,
проведенный из О в O', r0 — ut.
Найдем связь между координатами
произвольной точки А в обеих систе­
мах. Из рис. 60 видно, что
г = г 1+ r0 = г* + ut.
(34.1)
67
Уравнение (34.1) можно записать в
проекциях на оси координат
х= х' + Uji, у - у ' + Uyt,
z = z ' + uzt.
(34.2)
Уравнения (34.1) и (34.2) носят на­
звание преобразований координат Га­
лилея.
В частном случае, когда система К*
движется со скоростью v вдоль положи­
тельного направления оси х системы К
(в начальный момент времени оси ко­
ординат совпадают), преобразования
координат Галилея имеют вид
х= з? + vt, у = у1, z= z‘.
В классической механике предпола­
гается, что ход времени не зависит от
относительного движения систем от­
счета, т.е. к преобразованиям (34.2)
можно добавить еще одно уравнение:
*=*'.
(34.3)
Записанные соотношения справед­
ливы лишь в случае классической меха­
ники (и с), а при скоростях, сравни­
мых со скоростью света, преобразования
Галилея заменяются более общими пре­
образованиями Лоренца* (см. § 36).
Продифференцировав выражение
(34.1) по времени [с учетом (34.3)], по­
лучим уравнение
v —v' + и,
(34.4)
которое представляет собой правило
сложения скоростей в классической
механике.
1 X. Лоренц (1853—1928) — нидерландский
физик-теоретик.
68
Ускорение в системе отсчета К
- _ du _ d(t/ -f ц) _ dtf _ -/
dt
dt
dt
Таким образом, ускорение точки А
в системах отсчета К и К * , движущихся
относительно друг друга равномерно и
прямолинейно, одинаково:
а — а!.
(34.5)
Следовательно, если на точку А дру­
гие тела не действуют (а = 0), то, со­
гласно (34.5), и а! = 0, т.е. система К1
является инерциальной (точка движет­
ся относительно нее равномерно и пря­
молинейно или покоится).
Из уравнения (34.5) следует, что
если выполняется равенство F —та, то
выполняется и равенство г —та! (мас­
са имеет одинаковое числовое значение
во всех системах отсчета). Поскольку
системы K y i К ' были выбраны произ­
вольно, то полученный результат озна­
чает, что уравнения динамики при пере­
ходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой формулируются оди­
наково. Это утверждение и есть меха­
нический принцип относительности
(принцип относительности Гали­
лея). Галилей первым обратил внима­
ние на то, что никакими механически­
ми опытами, проведенными в данной
инерциальной системе отсчета, нельзя
установить, покоится ли она или дви­
жется равномерно и прямолинейно.
Например, сидя в каюте корабля, дви­
жущегося равномерно и прямолинейно,
мы не можем определить, покоится ко­
рабль или движется, не выглянув в окно.
I
§ 35. Постулаты специальной
(частной) теории относительности
Классическая механика Ньютона
прекрасно описывает движение макро­
тел, движущихся с малыми скоростями
Это и удалось сделать А. Эйнш тейну,
(v < с). Однако в конце XIX в. выясни­
который пришел к выводу о том, что
лось, что выводы классической механи­
мирового эфира — особой среды, кото­
ки противоречат некоторым опытным
рая могла бы быть принята в качестве
данным, в частности при изучении дви­
абсолютной системы, — не существует.
жения быстрых заряженных частиц
Наличие постоянной скорости распро­
оказалось, что их движение не подчи­
странения света в вакууме находилось
няется законам классической механи­
в согласии с уравнениями М аксвелла.
ки. Далее возникли затруднения при
Таким образом, А. Эйнш тейн зал о ­
попытках применить механику Ньюто­
жил основы специальной т еории о т ­
на к объяснению распространения све­
носительности. Эта теория представ­
та. Если источник и приемник света
ляет собой современную ф изическую
движутся друг относительно друга рав­
теорию пространства и времени, в ко­
номерно и прямолинейно, то, согласно
торой, как и в классической нью тонов­
классической механике, измеренная
ской механике, предполагается, что вре­
скорость должна зависеть от относи­
мя однородно (см. § 13), а пространство
тельной скорости их движения.
однородно (см. § 9) и изотропно (см.
Американский физик А.Майкель§ 19). Специальная теория относитель­
сон (1852 —1913) в 1881 г., а затем в
ности часто называется также р е л я т и ­
1887 г. совместно с Е.Морли (амери­
вист ской т еорией, а специф ические
канский физик, 1838—1923) пытался
явления, описываемые этой теорией, —
обнаружить движение Земли относи­
релят ивист ским и эф ф ект ам и.
тельно эфира (эфирный ветер) —опыт
В основе специальной теории отно­
Майкельсона—Морли, применяя ин­
сительности лежат пост улат ы Э йн ш ­
терферометр, названный впоследствии
тейна, сформулированные им в 1905 г.
интерферометром Майкельсона (см.
1. Принцип от носит ельност и: н и ­
§ 175). Обнаружить эфирный ветер
какие опыты (механические, электри­
Майкельсону не удалось, как, впрочем,
ческие, оптические), проведенные внут­
не удалось его обнаружить и в других
ри данной инерциальной системы от­
многочисленных опытах. Опыты «уп­
счета, не дают возм ож ности о б н ару­
рямо» показывали, что скорости света
в двух движущихся относительно друг
жить, покоится ли эта система или дви­
жется равномерно и прямолинейно; все
друга системах равны. Это противо­
речило правилу сложения скоростей
законы природы инвариантны 1 по отно­
классической механики.
шению к переходу от одной инерциаль­
Одновременно было показано проти­
ной системы отсчета к другой.
воречие между классической теорией и
II.
Принцип инвариант ност и ск о ­
уравнениями (см. § 139) Дж. К. Макс­
рости света: скорость света в вакуум е
велла (английский физик, 1831 —1879),
не зависит от скорости движения источ­
лежащими в основе понимания света
ника света или наблюдателя и одинакова
как электромагнитной волны.
во всех инерциальных системах отсчета.
Для объяснения этих и некоторых
Первый постулат Эйнштейна, я в л я ­
других опытных данных необходимо
ясь обобщением механического принбыло создать новую теорию, которая,
объясняя эти факты, содержала бы нью­
Инвариантные величины —величины, име­
тоновскую механику как предельный
ющие одно и то же числовое значение во всех
случай для малых скоростей (и С с).
системах отсчетах.
69
ципа относительности (принципа отно­
сительности Галилея) на любые физи­
ческие процессы, утверждает, таким
образом, что физические законы инва­
риантны по отношению к выбору инер­
циальной системы отсчета, а уравнения,
описывающие эти законы, одинаковы
по форме во всех инерциальных систе­
мах отсчета. Согласно этому постулату,
все инерциальные системы отсчета со­
вершенно равноправны, т.е. явления
(механические, электродинамические,
оптические и др.) во всех инерциальных
системах отсчета протекают одинаково.
Согласно второму постулату Эйнш­
тейна, постоянство скорости света —
фундаментальное свойство природы, ко­
торое констатируется как опытный факт.
Специальная теория относительно­
сти потребовала отказа от привычных
представлений о пространстве и време­
на, принятых в классической механике,
поскольку они противоречили принци­
пу постоянства скорости света. Потеря­
ло смысл не только абсолютное про­
странство, но и абсолютное время.
Постулаты Эйнштейна и теория,
построенная на их основе, установили
новый взгляд на мир и новые простран­
ственно-временные представления, та­
кие, например, как относительность
длин и промежутков времени, относи­
тельность одновременности событий.
Эти и другие следствия из теории Эйн­
штейна находят надежное эксперимен­
тальное подтверждение, являясь тем
самым обоснованием постулатов Эйн­
штейна — обоснованием специальной
теории относительности.
им постулатов, показал, что классичес­
кие преобразования Галилея несовме­
стимы с ними и, следовательно, долж­
ны быть заменены преобразованиями,
удовлетворяющими постулатам теории
относительности.
Для иллюстрации этого вывода рас­
смотрим две инерциальные системы
отсчета: К (с координатами х, у, z) и К'
(с координатами х', у', z1), движущую­
ся относительно К (вдоль оси ж) со ско­
ростью v = const (рис. 61). Пусть в на­
чальный момент времени t = t' = 0, ког­
да начала координат От О' совпадают,
излучается световой импульс. Согласно
второму постулату Эйнштейна, скорость
света в обеих системах одна и та же и
равна с. Поэтому если за время t в сис­
теме К сигнал дойдет до некоторой точ­
ки А (см. рис. 61), пройдя расстояние
х= cl,
(36.1)
то в системе К' координата светового
импульса в момент достижения точ­
ки А
x'= ct',
(36.2)
где t' —время прохождения светового
импульса от начала координат до точ­
ки Л в системе К'. Вычитая (36.1) из
(36.2), получим
аг7- I = c(t' — t).
Так как х' ^ х (система К' переме­
щается по отношению к системе К), то
i's* t,
т.е. отсчет времени в системах К я К'
различен —отсчет времени имеет от­
носительный характер (в классической
Рис. 61
§ 36. Преобразования Лоренца
Анализ явлений в инерциальных си­
стемах отсчета, проведенный А. Эйнш­
тейном на основе сформулированных
70
X
s'
физике считается, что время во всех
инерциальных системах отсчета течет
одинаково, т. е. t = t').
Эйнштейн показал, что в теории от­
носительности классические преобра­
зования Галилея, описывающие пере­
ход из одной инерциальной системы
отсчета к другой:
К
К'
К ' -* К
X = х' + vt,
х1= х —гit,
у-у'<
у1— У>
z = z\
г' — z,
t' = t,
t = t',
заменяются преобразованиями Лорен­
ца, удовлетворяющими постулатам
Эйнштейна (формулы представлены
для случая, когда К' движется относи­
тельно К со скоростью v вдоль оси х).
Эти преобразования предложены
Лоренцем в 1904 г., еще до появления
теории относительности, как преобра­
зования, относительно которых уравне­
ния Максвелла (см. § 139) инвариантны.
Преобразования Лоренца имеют вид
К -* К'
I
х —vt
K' -* К
x'■ + vt'
X =
: ■
v' = v,
у —у',
z = z',
lip
J — Z,
Л
Jt. — V5-2
t '= — E -
t=
5
Ш
Ж
(36.3)
(3 = - .
с
Из сравнения приведенных уравне­
ний вытекает, что они симметричны и
отличаются лишь знаком при v. Это
очевидно, так как если скорость движе­
ния системы К' относительно системы
К равна v, то скорость движения К от­
носительно К' равна —V.
Из преобразований Лоренца вытека­
ет также, что при малых скоростях (по
сравнению со скоростью с), т.е. когда
(3 1 , они переходят в классические пре­
образования Галилея (в этом заключает­
ся суть принципа соответствия), кото­
рые являются, следовательно, предель­
ным случаем преобразований Лоренца.
При v > с выражения (36.3) для х, t, х\ t'
теряют физический смысл (становятся
мнимыми). Это находится, в свою оче­
редь, в соответствии с тем, что движение
со скоростью, большей скорости распро­
странения света в вакууме, невозможно.
Из преобразований Лоренца следу­
ет очень важный вывод о том, что как
расстояние, так и промежуток времени
между двумя событиями меняются при
переходе от одной инерциальной сис­
темы отсчета к другой, в то время как в
рамках преобразований Галилея эти ве­
личины считались абсолютными, не из­
меняющимися при переходе от систе­
мы к системе.
Кроме того, как пространственные,
так и временные преобразования [см.
(36.3)] не являются независимыми, по­
скольку в закон преобразования коор­
динат входит время, а в закон преобра­
зования времени — пространственные
координаты, т.е. устанавливается вза­
имосвязь пространства и времени. Та­
ким образом, теория Эйнштейна опери­
рует не с трехмерным пространством, к
которому присоединяется понятие вре­
мени, а рассматривает неразрывно свя­
занные пространственные и временные
координаты, образующие четырехмер­
ное пространство-время.
§ 37. Следствия
из преобразований Лоренца
1. Одновременность событий в раз­
ных системах отсчета. Пусть в систе71
ме К в точках с координатами xl vix2'&
моменты времени txи t2происходят два
события. В системе К1 им соответству­
ют координаты х[ и х2 и моменты вре­
мени t[ и t2. Если события в системе К
происходят в одной точке (ajj = х2) и яв­
ляются одновременными ( tt = t2), то,
согласно преобразованиям Лоренца
(36.3),
Хх —Х2,
t x —t2,
т. е. эти события являются одновремен­
ными и пространственно совпадающи­
ми для любой инерциальной системы
отсчета.
Если события в системе К простран­
ственно разобщены (zj ^ х2), но одно­
временны ( ti= t2), то в системе К', со­
гласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Xi —vt
_ x2 —vt
хх =
x2
■ frl?
~ V i-F ’
v
ti -----Хч
t'l
t!>
V m *’
x[ ^ x2t
4
,/l^ F '
t[ ^ t^.
Таким образом, в системе К' эти со­
бытия, оставаясь пространственно ра­
зобщенными, оказываются и неодновре­
менными. Знак разности t2 — t[ опреде­
ляется знаком выражения v(xx — х2),
поэтому в различных точках системы от­
счета К' (при разных v) разность t2 - t[
будет различной по величине и может
отличаться по знаку. Следовательно, в
одних системах отсчета первое событие
может предшествовать второму, в то
время как в других системах отсчета,
наоборот, второе событие предшеству­
ет первому. Сказанное, однако, не отно­
сится к причинно-следственным собы­
тиям, так как можно показать, что по­
рядок следования причинно-следствен­
ных событий одинаков во всех инерци­
альных системах отсчета.
72
2. Длительность событий в разных
системах отсчета. Пусть в некоторой
точке (с координатой х), покоящейся
относительно системы К, происходит
событие, длительность которого (раз­
ность показаний часов в конце и нача­
ле события) T = t2 — tv где индексы 1 и
2 соответствуют началу и концу собы­
тия. Длительность этого же события в
системе К'
(37.1)
т' = t2 - t[,
причем началу и концу события, соглас­
но (36.3), соответствуют
,
V
.
V
|3
2 1
2
2 2
11 н Е й р * 1 IT h F ' (37 2)
Подставляя (37.2) в (37.1), получим
/
to. —tl
ИЛИ
л/1-32 '
(37.3)
Из соотношения (37.3) вытекает, что
т < т', т.е. длительность события, про­
исходящего в некоторой точке, наимень­
шая в той инерциальной системе отсче­
та, относительно которой эта точка
неподвижна. Этот результат может быть
еще истолкован следующим образом:
интервал времени т', отсчитанный по
часам в системе К', с точки зрения на­
блюдателя в системе К, продолжитель­
нее интервала т, отсчитанного по его
часам. Следовательно, часы, движущи­
еся относительно инерциальной систе­
мы отсчета, идут медленнее покоящих­
ся часов, т.е. ход часов замедляется в
системе отсчета, относительно которой
часы движутся.
На основании относительности по­
нятий «неподвижная» и «движущаяся»
системы соотношения для т и т ' обра­
тимы. Из (37.3) следует, что замедле­
ние хода часов становится заметным
лишь при скоростях, близких к скорос­
ти распространения света в вакууме.
В связи с обнаружением релятивис­
тского эффекта замедления хода часов
в свое время возникла проблема «пара­
докса часов» (иногда рассматривается
как «парадокс близнецов»), вызвавшая
многочисленные дискуссии. Предста­
вим себе, что осуществляется космиче­
ский полет к звезде, находящейся на рас­
стоянии 500 световых лет (расстояние,
на которое свет от звезды до Земли до­
ходит за 500 лет), со скоростью, близ­
кой к скорости света (-Jl —(З2 = 0,001).
По земным часам полет до звезды и об­
ратно продлится 1000 лет, в то время
как для системы корабля и космонавта
в нем такое же путешествие займет все­
го 1 год. Таким образом, космонавт воз­
вратится на Землю в ^ - = раз более
молодым, чем его брат-близнец, остав­
шийся на Земле.
Это явление, получившее название
парадокса бли знец о в, в действитель­
ности парадокса не содержит. Дело в
том, что принцип относительности ут­
верждает равноправность не всяких
систем отсчета, а только инерциальных.
Неправильность рассуждения состоит
в том, что системы отсчета, связанные
с близнецами, не эквивалентны: земная
система инерциальна, а корабельная —
неинерциальна, поэтому к ним принцип
относительности неприменим.
Релятивистский эффект замедления
хода часов является совершенно реаль­
ным и получил экспериментальное под­
тверждение при изучении нестабиль­
ных, самопроизвольно распадающихся
элементарных частиц в опытах с тт-мезонами. Среднее время жизни покоя­
щихся тт-мезонов (по часам, движущим­
ся вместе с ними) т и 2,2 • 10"8 с. Сле­
довательно, тт-мезоны, образующиеся в
верхних слоях атмосферы (на высоте
«30 км) и движущиеся со скоростью,
близкой к скорости с, должны были бы
проходить расстояния ст « 6,6 м, т.е.
не могли бы достигать земной поверх­
ности, что противоречит действительно­
сти. Объясняется это релятивистским
эффектом замедления хода времени:
для земного наблюдателя срок жизни
тт-мезона т' = ■ -------:, а путь этих частиц в атмосфере ит' = (Зет' =
—.
>/1-32
Так как (3 « 1, то ит
ст.
3. Длина тел в разных системах от­
счета. Рассмотрим стержень, располо­
женный вдоль оси х' и покоящийся от­
носительно системы К'. Длина стерж­
ня в системе К ' будет l'Q— х2 — х[, где х[
и х2 —не изменяющиеся со временем t 1
координаты начала и конца стержня, а
индекс 0 показывает, что в системе от­
счета К 1стержень покоится. Определим
длину этого стержня в системе К , от­
носительно которой он движется со
скоростью V. Для этого необходимо из­
мерить координаты его концов хх и х2 в
системе К в один и mom же момент вре­
мени t. Их разность I = х2 — хх и опре­
делит длину стержня в системе К. Ис­
пользуя преобразования Лоренца
(36.3), получим
Zq —х2
хх —
_ х2 —vt _ X j —vt _ x2 —a?i
“ V i-p 2
•к ч ? '
т.е.
(37Д)
Таким образом, длина стержня, из­
меренная в системе, относительно ко73
торой он движется, оказывается мень­
ше длины, измеренной в системе, отно­
сительно которой стержень покоится.
Если стержень покоится в системе К,
то, определяя его длину в системе К',
опять-таки придем к выражению (37.4).
Из выражения (37.4) следует, что
линейный размер тела, движущегося
относительно инерциальной системы
отсчета, уменьшается в направлении
движения в >/l —(З2 раз, т.е. так назы­
ваемое лоренцево сокращение длины
тем больше, чем больше скорость дви­
жения. Из второго и третьего уравне­
ний преобразований Лоренца (36.3)
следует, что
Ап. — Р § 1 + v d t '
.
Q2 ’ d V =
. /
.
d t' + ^ d x '
dt =
— . c
.
Произведя соответствующие преоб­
разования, получаемрелятивистский
закон сложения скоростей специаль­
ной теории относительности:
К-+ К’
Н И И
1
и
к '^ к
v!x+v
I
1Ш
сг в
В ! !
2/2 - Ух = Уг - У\ и z'2 - z[ = z2- zu
т.е. поперечные размеры тела не зави­
сят от скорости его движения и одина­
ковы во всех инерциальных системах от­
счета. Таким образом, линейные разме­
ры тела наибольшие в той инерциаль­
ной системе отсчета, относительно
которой тело покоится. •
4. Релятивистский закон сложения
скоростей. Рассмотрим движение ма­
териальной точки в системе К', в свою
очередь движущейся относительно си­
стемы К со скоростью v Определим ско­
рость этой же точки в системе К. Если
в системе К движение точки в каждый
момент времени £определяется коорди­
натами х, у, г, а в системе К' в момент
времени t' —координатами х\ у1, z \ то
dx
ж—
d t'
dу
dz
и, —
dt
d t'
t dx1 • / dy' i . dz'
и^ : ш ^ = Ж цЩ Щ
представляют собой соответственно
проекции на оси x,y,z и х\ у\ г' вектора
скорости рассматриваемой точки отно­
сительно систем К и К'. Согласно пре­
образованиям Лоренца (36.3),
74
. , -
dV ’ dz = dz ,
(37.5)
i + -с1
r« i
.,_Щ у1тП Р
1г~ —
te a *
Если материальная точка движется
параллельно оси х, то скорость и отно­
сительно системы К совпадает с и*, а
скорость и' относительно К' —с и'х. Тог­
да закон сложения скоростей примет
вид
и=
и’+V
(37.6)
i+ 4 v
Легко убедиться в том, что если ско­
рости v, и1 и и малы по сравнению со
скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6)
переходят в закон сложения скоростей
в классической механике [см. (34.4)].
Таким образом, законы релятивистской
механики в предельном случае для ма­
лых скоростей (по сравнению со скоро­
стью распространения света в вакууме)
переходят в законы классической фи­
зики, которая, следовательно, является
частным случаем механики Эйнштей­
на для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения
скоростей подчиняется второму посту­
лату Эйнштейна (см. § 35). Действи­
тельно, если и' — с, то формула (37.6)
примет вид и = — и = с (аналогичИ —5-с
с1
но можно показать, что при и — с ско­
рость и' также равна с). Этот результат
свидетельствует о том, что релятивист­
ский закон сложения скоростей нахо­
дится в согласии с постулатами Эйнш­
тейна.
Докажем также, что если складывае­
мые скорости сколь угодно близки к ско­
рости с, то их результирующая скорость
всегда меньше или равна с. В качестве
примера рассмотрим предельный случай
и' = v = с. После подстановки в форму­
лу (37.6) получим и = с. Таким образом,
при сложении любых скоростей резуль­
тат не может превысить скорости света с
в вакууме. Скорость света в вакууме
есть предельная скорость, которую не­
возможно превысить. Скорость света в
какой-либо среде, равная — (п —абсо„
п
лютныи показатель преломления сре­
ды), предельной величиной не является
(подробнее см. § 189).
риантной по отношению к преобразо­
ваниям координат.
В четырехмерном пространстве Эйн­
штейна, в котором каждое событие ха­
рактеризуется четырьмя координатами
(ж, у, z, t), такой физической величиной
является интервал между двумя собы­
тиями:
§ 38. Интервал между событиями
Согласно преобразованиям Лоренца
(36.3),
Преобразования Лоренца и след­
ствия из них приводят к выводу об от­
носительности длин и промежутков
времени, значение которых в различ­
ных системах отсчета разное. В то же
время относительный характер длин и
промежутков времени в теории Эйнш­
тейна означает относительность отдель­
ных компонентов какой-то реальной
физической величины, не зависящей от
системы отсчета, т. е. являющейся инва­
|||
(38.1)
= \Л к -k Y - fa - X i? (2/2
где yl{x2 - жх)2 + {у2- y i ) 2 + (z2 - z xf =
= 11 2 —расстояние между точками трех­
мерного пространства, в которых эти
события произошли. Введя обозначение
t12 = t2 — tit получим
*12 = Vc2<122 - In •
Покажем, что интервал между дву­
мя событиями одинаков во всех инер­
циальных системах отсчета. Обозначив
Д t = t2 —ti, А х = х2 —хх, А у = у2 —Vi и
A z = z2 — zx, выражение (38.1) можно
записать в виде
4 = c \ A t f -(Д ж )2 - { A y f - { A z f .
Интервал между теми же события­
ми в системе К' равен
(5(2)2= c \A t')2—(Дж')2—
-(Д y')2-{A z')2.
(38.2)
Дх' =
, Ay' = Ay, A z' = Az,
N p f
A t' =
A t —^ r A x
. c
.
mm
Подставив эти значения в (38.2),
после элементарных преобразований
получим, что (s{2)2 = c2{At)2 —(Дж)2 —
-(Д у )2 - {Az)2, т.е.
75
§ 39. Основной закон
релятивистской динамики
материальной точки
(s 12 )2 — s12-
Обобщая полученные результаты,
можно сделать вывод, что интервал,
определяя пространственно-времен­
ные соотношения между событиями,
является инвариантом при переходе от
одной инерциальной системы отсчета
к другой. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относи­
тельность длин и промежутков време­
ни, течение событий носит объектив­
ный характер и не зависит от системы
отсчета.
Теория относительности, таким об­
разом, сформулировала новое пред­
ставление о пространстве и времени.
Пространственно-временные отноше­
ния являются не абсолютными величи­
нами, как утверждалось в механике
Галилея—Ньютона, а относительными.
Следовательно, представления об абсо­
лютном пространстве и времени явля­
ются несостоятельными. Кроме того,
инвариантность интервала между дву­
мя событиями свидетельствует о том,
что пространство и время органически
связаны между собой и образуют еди­
ную форму существования материи —
«пространство—время». Пространство
и время не существуют вне материи и
независимо от нее.
Дальнейшее развитие теории отно­
сительности (общая теория относи­
тельности, или теория тяготения)
показало, что свойства пространствавремени в данной области определяют­
ся действующими в ней полями тяго­
тения. При переходе к космическим
масштабам геометрия пространствавремени не является евклидовой (т.е.
не зависящей от размеров области
«пространство—время»), а изменяется
от одной области к другой в зависимо­
сти от концентрации масс в этих облас­
тях и их движения.
76
Из принципа относительности Эйн­
штейна (см. § 35), утверждающего ин­
вариантность всех законов природы
при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой, следует ус­
ловие инвариантности уравнений фи­
зических законов относительно преоб­
разований Лоренца. Основной закон
динамики Ньютона F = ^ оказываетdt
ся также инвариантным по отношению
к преобразованиям Лоренца, если в нем
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса.
Основной закон релятивистской
динамики материальной точки имеет
вид
F=
dt
(39.1)
т
f= M
dt ’
(39.2)
где
P=
(39.3)
—релятивистский импульс матери­
альной точки (m —масса материальной
точки).
Отметим, что уравнение (39.2)
внешне совпадает с основным уравне­
нием ньютоновской механики (6.7).
Однако физический смысл его другой:
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса, опреде­
ляемого формулой (39.3). Таким обра­
зом, уравнение (39.1) инвариантно по
отношению к преобразованиям Лорен­
ца и, следовательно, удовлетворяет
принципу относительности Эйнштей­
на. Следует учитывать, что ни импульс,
ни сила не являются инвариантными
величинами. Более того, в общем слу­
чае ускорение не совпадает по направ­
лению с силой.
Анализ формул (39.3) и (39.1) пока­
зывает, что при скоростях, значитель­
но меньших скорости с, уравнение
(39.1) переходит в основной закон [см.
(6.5)] классической механики. Следова­
тельно, условием применимости зако­
нов классической (ньютоновской) ме­
ханики является условие v -С с. Зако­
ны классической механики получают­
ся как следствие теории относительнос­
ти для предельного случая v -С с (фор­
мально переход осуществляется при
с —I оо). Таким образом, классическая
механика — это механика макротел,
движущихся с малыми скоростями (по
сравнению со скоростью света в вакуу­
ме).
§ 40. Энергия
в релятивистской механике
Найдем кинетическую энергию ре­
лятивистской частицы. Элементарная
работа силы F на малом перемещении
d r равна dA = Fdr = F vdt= v dp [учли
основной закон релятивистской дина­
мики (39.2)]. Тогда <■
mvdv
dA =
_ j
боте на том же перемещении (см. § 12 ):
dT = dA. Тогда
dT = d
1 -5
Интегрируя это выражение, получим
„ ,„ 2
Т=
+ С.
1-
Поскольку кинетическая энергия
при v = 0 должна обращаться в нуль, то
постоянная интегрирования С= —тс2.
Следовательно, кинетическая энергия
релятивистской частицы
1
Т = тс2
—1
(40.1)
1 --
Выражение (40.1) при скоростях
v ■С с переходит в классическое:
I2
Т = mv
2
(разлагая в ряд 1 —
Iv t
„2 W/2
с
8 с4
(40.2)
1
= 1+ - —+
2 с2
небречь слагаемыми второго порядка
малости).
Полная энергия свободной частицы,
т.е. частицы, на которую не действуют
силы,
Е=
(40.3)
me2
3/2
■
УЩ
(этот результат можно проверить диф­
ференцированием).
Приращение кинетической энергии
материальной точки на элементарном
перемещении равно элементарной ра­
Отметим, что в полную энергию Е не
входит потенциальная энергия тела во
внешнем силовом поле. Полная энер­
гия частицы в разных системах отсчета
различна.
В случае покоящейся частицы (v = 0)
из формулы (40.3) найдем, что
77
Eq = me2.
(40.4)
Величина, определяемая выражени­
ем (40.4), называется энергией покоя.
Значения т и Е0 не зависят от выбора
инерциальной системы отсчета. В энер­
гию покоя, как и в полную энергию
(40.3), не входит энергия тела во внеш­
нем силовом поле. В классической ме­
ханике энергия покоя Е0не учитывает­
ся, считая, что при v = 0 энергия поко­
ящегося тела равна нулю.
Как энергия Е, так и импульс р реля­
тивистской частицы имеют различные
значения в разных системах отсчета. Но
существует величина Е 2 — р2с2 = inv,
являющаяся инвариантной (имеющей
одно и то же значение в разных систе­
мах отсчета):
Е 2 —р2с2 =
_2 4
2 2 2
77ГС4
т V ci
о 4
= -----5---------- гг = тп с = Щ
1_ _
ч у
2
2
с1
с1
/х л с \
(40.5)
[учли формулы (39.3), (40.3) и (40.4)].
Согласно формуле (40.5), получим
= m2?^]Ьткуда связь между
энергией и импульсом
ИЛИ
тН2'с*
vЁy2-= ---- ’+ ^p2j?
Е 2 = Е$ + р2с2.
(40.6)
Из выражений (40.3), (40.1) и (40.4)
следует, что полная энергия системы
Е = Т + Е0= Т + тпе2, (40.7)
т.е. складывается из ее кинетической
энергии и энергии покоя. Подставив
(40.7) в (40.6), получим
рс = yjT(T + 2 т с2),
(40.8)
откуда следует, что при Т с тпе2 выра­
жение (40.8) переходит в ньютоновское
(р = v 2m T), а при Г » т с 2 приобретаТ.
ет вид р = —
с
78
Согласно формуле (40.4), масса тела
и его энергия покоя связаны соотноше­
нием Eq = т с 2. Э то означает, что вся­
кое изменение массы тела Д т сопро­
вождается изменением энергии покоя
А Е 0, и э т и изменения пропорциональ­
ны друг другу, т.е.
А Е 0 = с2Атп.
(40.9)
Выражение (40.9) носит название
закона взаимосвязи массы и энергии
покоя.
Чтобы охарактеризовать прочность
связи и устойчивость системы какихлибо частиц (например, атомного ядра
как системы из протонов и нейтронов),
вводят понятие энергии связи. Энергия
связи системы равна работе, которую
необходимо затратить, чтобы разло­
жить эту систему на составные части
(например, атомное ядро —на протоны
и нейтроны). Энергия связи системы
-^св = Х )т *с2 “ Мс2, (40.10)
i=i
где т{ — масса г-й частицы в свобод­
ном состоянии; М — масса системы.
Закон взаимосвязи массы и энергии
покоя (иногда говорят просто энергии)
подтвержден экспериментами о выде­
лении энергии при протекании ядерных
реакций. Он широко используется для
расчета энергетических эффектов при
ядерных реакциях и превращениях эле­
ментарных частиц.
Выводы специальной теории относи­
тельности, как, впрочем, и любые круп­
ные открытия, потребовали пересмотра
многих установившихся и ставших при­
вычными представлений. Так, длина тел
и длительность событий не являются аб­
солютными величинами, а носят отно­
сительный характер, масса и энергия
покоя оказались связанными друг с дру­
гом, хотя они и являются качественно
различными свойствами материи.
Основной вывод теории относитель­
ности сводится к тому, что простран­
ство и время органически взаимосвяза­
ны и образую т единую ф орму сущ е­
ствования материи «пространство —
время». Т олько поэтому пространственно-временной интервал между дву­
мя событиями является абсолютным,
в то врем я как п ростран ствен н ы е и
временные промежутки между этими
собы тиям и относительны . С ледова­
тельно, вытекающие из преобразований
Лоренца следствия являю тся выраже­
нием объективно существующих про­
странственно-временных соотношений
движущейся материи.
Контрольные вопросы
•
•
I
•
•
•
В чем физическая сущность механического принципа относительности?
В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?
Каковы причины возникновения специальной теории относительности?
В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?
Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?
Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они пе­
реходят в преобразования Галилея?
• Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Ло­
ренца?
• Одновременны ли события в системе К', если в системе К они происходят в одной точке
и одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обоснуйте ответ.
• Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и
длительности событий в разных системах отсчета? Обоснуйте ответ.
I При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела
составит 25 %?
• В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?
• В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он
находится в согласии с постулатами Эйнштейна?
• Как определяется интервал между событиями? Докажите, что он является инвариан­
том при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
• Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики? Чем он отличается от ос­
новного закона ньютоновской механики?
| В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?
• Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии
релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу?
• Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая
сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.
З АДАЧИ
7.1. Определите собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относитель­
но которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с
измерительными приборами) его скорость v — 0,8 с, длина I = 1 м и угол между ним и на­
правлением движения 0 = 30°. [ l0 = iJjl —^jsin 2ojjl —
= 1,53 м ]
7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5 % от времени жизни по непод­
вижным часам. Определите (3 ——. [0,172]
79
7.3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К', движущейся отно­
сительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определите: 1) скорость тела относительно
системы К\ 2) его массу в этой системе. [1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]
7.4. Воспользовавшись тем, что интервал —инвариантная величина по отношению к
преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел и-мезон с момента
рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета Д t = 5 мкс, а собствен­
ное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Д t0= 2,2 мкс.
[1,35 км]
7.5. Определите скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее
ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 с]
7.6. Определите скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую раз­
ность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]
7.7. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого
1 ГэВ. [5,34 • 10- 19 Н • с]
ЧАСТЬ 2
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
И ТЕРМОДИНАМИКИ
Глава 8
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
§ 41. Статистический
и термодинамический методы.
Опытные законы идеального газа
щества и тепловые явления были близки к современным. Строгое развитие
молекулярной теории относится к се­
редине XIX в. и связано с работами неСтатистический и термодинамичемецкого физика Р. Клаузиуса (1822 —
ский методы исследования. Молеку1888), Дж. Максвелла и Л. Больцмана,
лярная физика и термодинамика —разПроцессы, изучаемые молекулярной
делы физики, в которых изучаются
физикой, являются результатом совомакроскопические процессы в телах,
купного действия огромного числа мосвязанные с огромным числом содержалекул. Законы поведения огромного
щихся в них атомов и молекул. Для исчисла молекул, являясь статистическиследования этих процессов применяют
ми закономерностями, изучаются с подва качественно различных и взаимно
мощью статистического метода.
дополняющих друг друга метода: стаЭтот метод основан на том, что свойтистический {молекулярно -кинетиства макроскопической системы в коческий) и термодинамический. Пернечном счете определяются свойствами
вый лежит в основе молекулярной фичастиц системы, особенностями их двизики, второй —термодинамики.
жения и усредненными значениями диМолекулярная физика — раздел
намических характеристик этих частиц
физики, в котором изучаются строение
(скорости, энергии и т.д.) Например,
и свойства вещества исходя из молекутемпература тела определяется скоролярно-кинетических представлений,
стью хаотического движения его молеосновывающихся на том, что все тела
кул, но так как в любой момент времесостоят из молекул, находящихся в нени разные молекулы имеют различные
прерывном хаотическом движении.
скорости, то она может быть выражена
Идея об атомном строении вещества только через среднее значение скоросвысказана древнегреческим философом ти движения молекул. Нельзя говорить
Демокритом (460—370 до н. э.). Атомис- о температуре одной молекулы. Таким
тика возрождается вновь лишь в XVII в.
образом, макроскопические характерии развивается в работах М.В.Ломоностики тел имеют физический смысл
сова, взгляды которого на строение ве- лишь в случае большого числа молекул.
81
Термодинамика — раздел физики,
в котором изучаются общие свойства
макроскопических систем, находящих­
ся в состоянии термодинамического
равновесия, и процессы перехода меж­
ду этими состояниями. Термодинами­
ка не рассматривает микропроцессы,
которые лежат в основе этих превраще­
ний. Этим термодинамический метод
отличается от статистического. Термо­
динамика базируется на двух началах —
фундаментальных законах, установлен­
ных в результате обобщения опыта.
Область применения термодинами­
ки значительно шире, чем молекуляр­
но-кинетической теории, ибо нет таких
областей физики и химии, в которых
нельзя было бы пользоваться термоди­
намическим методом. Однако с другой
стороны, термодинамический метод
несколько ограничен: термодинамика
ничего не говорит о микроскопическом
строении вещества, о механизме явле­
ний, а лишь устанавливает связи меж­
ду макроскопическими свойствами ве­
щества. Молекулярно-кинетическая
теория и термодинамика взаимно до­
полняют друг друга, образуя единое
целое, но отличаясь различными мето­
дами исследования.
Термодинамика имеет дело с тер­
модинамической системой — сово­
купностью макроскопических тел, ко­
торые взаимодействуют и обменивают­
ся энергией как между собой, так и с
другими телами (внешней средой). Ос­
нова термодинамического метода —оп­
ределение состояния термодинамичес­
кой системы. Состояние системы зада­
ется термодинамическими парамет­
рами (параметрами состояния) —
совокупностью физических величин,
характеризующих свойства термодина­
мической системы. Обычно в качестве
параметров состояния выбирают темпе­
ратуру, давление и удельный объем.
82
Температура — одно из основных
понятий, играющих важную роль не
только в термодинамике, но и в физике
в целом. Температура — физическая
величина, характеризующая состояние
термодинамического равновесия мак­
роскопической системы.
В соответствии с решением XI Гене­
ральной конференции по мерам и весам
(I960) в настоящее время можно при­
менять только две температурные шка­
лы —термодинамическую и Междуна­
родную практическую, градуированные
соответственно в кельвинах (К) и в гра­
дусах Цельсия (°С). В Международ­
ной практической шкале температу­
ра замерзания и кипения воды при дав­
лении 1,013-105 Па соответственно 0 и
100 °С (реперные точки).
Термодинамическая температур­
ная шкала определяется по одной ре­
перной точке, в качестве которой взята
тройная точка воды (температура,
при которой лед, вода и насыщенный
пар при давлении 609 Па находятся в
термодинамическом равновесии). Тем­
пература этой точки по термодинами­
ческой шкале равна 273,16 К (точно).
Градус Цельсия равен кельвину. В тер­
модинамической шкале температура за­
мерзания воды равна 273,15 К (при том
же давлении, что и в Международной
практической шкале), поэтому, по оп­
ределению, термодинамическая темпе­
ратура и температура по Международ­
ной практической шкале связаны соот­
ношением
Т = 273,15 + £.
Температура Т= 0 К называется ну­
лем кельвин. Анализ различных про­
цессов показывает, что 0 К недостижим,
хотя приближение к нему сколь угодно
близко возможно.
Удельный объем v —это объем еди­
ницы массы. Когда тело однородно, т. е.
У = -1 .
его плотность р = const, то v = —
т р
Так как при постоянной массе удель­
ный объем пропорционален общему
объему, то макроскопические свойства
однородного тела можно характеризо­
вать объемом тела.
Параметры состояния системы мо­
гут изменяться. Любое изменение в тер­
модинамической системе, связанное с
изменением хотя бы одного из ее тер­
модинамических параметров, называет­
ся термодинамическим процессом.
Макроскопическая система находится
в термодинамическом равновесии,
если ее состояние с течением времени
не меняется (предполагается, что вне­
шние условия рассматриваемой систе­
мы при этом не изменяются).
В молекулярно-кинетической тео­
рии пользуются идеализированной мо­
делью идеального газа, согласно кото­
рой считают, что:
1 ) собственный объем молекул газа
пренебрежимо мал по сравнению с
объемом сосуда;
2 ) между молекулами газа отсут­
ствуют силы взаимодействия;
3 ) столкновения молекул газа меж­
ду собой и со стенками сосуда абсолют­
но упругие.
Наиболее близко свойствам идеаль­
ного газа соответствуют достаточно раз­
реженные газы. Модель идеального газа
можно использовать также при изучении
реальных газов, так как они в условиях,
близких к нормальным (например, водо­
род и гелий), а также при низких давле­
ниях и высоких температурах близки по
своим свойствам к идеальному газу. Кро­
ме того, внеся поправки, учитывающие
собственный объем молекул газа и дей­
ствующие молекулярные силы, можно
перейти к теории реальных газов.
Рассмотрим законы, описывающие
поведение идеальных газов.
Закон Бойля —М ариоттаи. для
данной массы газа при постоянной тем­
пературе произведение давления газа
на его объем есть величина постоянная:
p V = const
(41.1)
при Т = const, тп = const.
График зависимости между пара­
метрами состояния газа при постоян­
ной температуре называется изотер­
мой. Изотермы в координатах р, ^пред­
ставляют собой гиперболы, располо­
женные на графике тем выше, чем выше
температура, при которой происходит
процесс (рис. 62).
Законы Гей-Люссака2: 1) объем дан­
ной массы газа при постоянном давлении
изменяется линейно с температурой:
V= V„(l + at)
(41.2)
при р = const, т — const.
2 ) давление данной массы газа при
постоянном объеме изменяется линей­
но с температурой:
V
р Ро(1 + а£)
(41.3)
при V = const, т = const.
В этих уравнениях t —температу­
ра по шкале Цельсия, р0и У0 —давле­
ние и объем при О°С, коэффициент
а = 1/273,15 К '1.
Процесс, протекающий при посто­
янном давлении, называется изобар1Р.Бойль(1627—1691)—английский ученый;
Э.Мариотт (1620—1684) —французский физик.
2 Ж.Гей-Люссак (1778—1850) — француз­
ский ученый.
83
Рис. 64
1 О
t, °С
О 1
т, к
Закон Авогадро1: 1 моль любого газа
при одинаковых температуре и давле­
нии занимает одинаковый объем. При
нормальных условиях этот объем равен
22,41 • 10“ 3 м3/моль.
По определению, 1 моль различных
веществ содержит одно и то же число
молекул, называемое постоянной А во­
гадро:
ным. Н а диаграмме в координатах V, t
(рис. 63) этот процесс изображается
прямой, называемой изобарой. Процесс,
протекающий при постоянном объеме,
называется изохорным. На диаграмме в
координатах р, t (рис. 64) он изобража­
ется прямой, называемой изохорой.
Из (41.2) и (41.3) следует, что изо­
бары и изохоры пересекают ось темпе­
ратур в точке t = —~ = —273,15°С,
определяемой из условия 1 + a.t = 0.
Если перенести начало отсчета в эту
точку, то происходит переход к шкале
Кельвина (см. рис. 64), откуда
T = t+- .
а
Вводя в формулы (41.2) и (41.3) тер­
модинамическую температуру, законам
Гей-Люссака можно придать более
удобный вид:
V = V0{l+ a t) = V0 1 + а !Г -—) = v 0*T,
\
а/
P = PoO-+<*t) = p0 1 + а V - —) = PqOlT,
а/
v2 T2
при p = const, m = const,
Pi _ T\_
P2
?2
(41.4)
(41.5)
при V = const, m = const,
где индексы 1 и 2 относятся к произ­
вольным состояниям, лежащим на од­
ной изобаре или изохоре.
84
N a = 6,022 • 1023 моль-1.
Закон Дальтона2: давление смеси
идеальных газов равно сумме парциаль­
ных давлений р и р2, ..., рп входящих в
нее газов:
р = Рх + р2 + ... + рп.
Парциальное давление — давление,
которое производил бы газ, входящий
в состав газовой смеси, если бы он один
занимал объем, равный объему смеси
при той же температуре.
§ 42. Уравнение
Клапейрона— Менделеева
Как уже указывалось, состояние не­
которой массы газа определяется тре­
мя термодинамическими параметрами:
давлением р, объемом V и температу­
рой Т. Между этими параметрами су­
ществует определенная связь, называ­
емая уравнением состояния, которое
в общем виде задается выражением
f ( p , v , T) = о,
где каждая из переменных является
функцией двух других.
Ф ранцузский физик и инженер
Б. Клапейрон (1799—1864) вывел урав­
нение состояния идеального газа, объе1 А. Авогадро (1776—1856) —!итальянский
физик и химик.
2 Дж.Дальтои (1766— 1844) — английский
химик и физик.
динивзаконыБойля- Мариотта и ГейЛюссака. Пустьнекоторая массагаза за­
нимает объем имеет давление рх и
находится при температуре Th Эта же
масса газа в другом произвольном со­
стояниихарактеризуется параметрами
Рг, V2, Т2(рис. 65).
Переходизсостояния 1в состояние 2
осуществляется в виде двух процессов:
1) изотермического (изотерма 1- 1 ’),
2) изохорного (изохора 1'-2).
Всоответствии с законами Бойля—
Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5)
запишем:
P iW iV *
(42.1)
Русский ученый Д. И. М ен д елеев
(1834 — 1907) объединил ур а вн е н и е
Клапейрона с законом Авогадро, отне­
ся уравнение (42.3) к 1 моль газа, ис­
пользовав молярный объем Vm. Соглас­
но закону Авогадро, при одинаковых р
и Т молярные объемы Vm различных
газов одинаковы, поэтому постоянная
В будет одинаковой для всех газов. Эта
общая для всех газов постоянная обо­
значается R и называется м олярной
газовой постоянной. Уравнению
pVm= RT
(42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно
является уравнением состояния иде­
ального газа, называемым также у р а в ­
нением Клапейрона—Менделеева.
Числовое значение молярной газо­
вой постоянной определим из форму­
лы (42.4), полагая, что 1 моль газа на­
ходится при нормальных у сл ови ях
(р0= 1,013 • 105 Па, Т0 = 273,15 К, Vm =
= 22,41 • 10~3 м3/моль):
R = 8,31 ДжДмоль • К).
От уравнения (42.4) для 1 моль газа
можно
перейти к уравнению Клапейро­
jL i
(42.2)
на-М
енделеева
для произвольной
vi Ш
массы газа. Если при некоторых задан­
Исключив из уравнений (42.1) и ных давлении и температуре 1 моль газа
(42.2) pi, получим
занимает молярный объем Vm, то при
тех же условиях масса тп газа займет
PiVi _ P2V2
объем V = Vm,где М—молярная м ас­
I
| ‘
са (масса 1 моль вещества). Единица
Так как состояния 1 и 2 были выб­
молярной массы — килограмм на моль
раныпроизвольно, то для данной мас(кг/моль). Уравнение К лапейрона—
pV
сытаза величина др­ остается посто- Менделеева для массы тп газа
янной, т.е.
тп
pV = ^ R T = v R T ,
(42.5)
М
(42.3)
— = В = const.
тп
где v = — —количество вещества.
Выражение (42.3) является уравне­
Часто пользуются несколько иной
ниемКлапейрона, в котором В —газо­ формой записи уравнения состояния
вая постоянная, различная для разных идеального газа, вводя пост оянную
газов.
Больцмана-.
85
к=
= 1,38 •10-23 Дж/К.
Рис. 66
Исходя из этого уравнение состоя­
ния (42.4) запишем в виде
*т
щ
где -Nгa- = п — концентрация молекул
(число молекул в единице объема).
Таким образом, из уравнения
р= пкТ
(42.6)
следует, что давление идеального газа
при данной температуре пропорцио­
нально концентрации его молекул (или
плотности газа). При одинаковых тем­
пературе и давлении все газы содержат
в единице объема одинаковое число
молекул. Число молекул, содержащих­
ся в 1 м3 газа при нормальных условиях,
называется числом Лошмидта1:
JVL = J k - = 2, 68 -Ю25 м~3.
кТ0
§ 43. Основное уравнение
молекулярно-кинетической
теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения
молекулярно-кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный
газ. Молекулы газа движутся хаотичес­
ки, число взаимных столкновений меж­
ду молекулами газа пренебрежимо мало
по сравнению с числом ударов о стенки
сосуда, а соударения молекул со стенка­
ми сосуда абсолютно упругие. Выделим
на стенке сосуда некоторую элементар­
ную площадку Д S'(рис; 66) и вычислим
давление, оказываемое на эту площадку.
При каждом соударении молекула, дви1 И.Лошмидт (1821 —1895) — австрийский
химик и физик.
86
жущаяся перпендикулярно площадке,
передает ей импульс m0v — (—m0v) = J
= 2m0v, где m0—масса молекулы, v — ее
скорость. За время A t площадки Д S до­
стигнут только те молекулы, которые
заключены в объеме цилиндра с основа­
нием A S и высотой vA t (см. рис. 66).
Число этих молекул равно nA SvA t(n —
концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что j
реально молекулы движутся к площад­
ке A S под разными углами, имеют раз­
личные скорости, причем скорость мо^О
лекул при каждом соударении меняет- .
ся. Для упрощения расчетйЬ хаотиче\ j
ское движение молекул заменяют дви-V ]
жением вдоль трех взаимно перпенди- Л
кулярных направлений, так что в лю­
бой момент времени вдоль каждого иэ*в=
них движется !/з молекул, причем ц з ^
них половина (tyg) движется вдоль дан-4""1
ного направления в одну сторону, по-."*
ловина — в противоположную. ТогдЪ^
число ударов молекул, движущихся в
заданном направлении, о площадку A S
будет j-nASvAt. При столкновении с
площадкой эти молекулы передадут ей
импульс
AP=2m 0v j?nASvAt= g nm0v2A SA t.
Тогда давление газа, оказываемое им
на стенку сосуда,
5
(431)
Если газ в объеме V содержит N мо­
лекул, движущихся со скоростями «х, Vi,
%, то целесообразно рассматривать
среднюю квадратичную скорость
/
v
13RT
[3kT
//Q7\
<4 3 -2 >
(437)
характеризующую всю совокупность
молекул газа. Уравнение (43.1) с уче­
том (43.2) примет вид
где к = — постоянная Больцмана.
\А.
Отсюда найдем, что при комнатной
температуре молекулы кислорода име­
ют среднюю квадратичную скорость
480 м/с, водорода —1900 м/с. При тем­
пературе жидкого гелия те же скорости
будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия по­
ступательного движения одной молеку­
лы идеального газа
р = |n m 0(uKB)2.
(43.3)
Выражение (43.3) называется ос­
новным уравнением молекулярно-ки­
нетической теории идеальных газов.
Точный расчет с учетом движения мо­
лекул по всевозможным направлениям
дает ту же формулу. ^
Учитывая, что «<,= —, получим
PV= \N m Q{vm)\
<е0>= | = Zis&sl. = §«■ (43.8)
(43.4)
[использовали формулы (43.5) и (43.7)]
пропорциональна термодинамической
температуре и зависит только от нее.
При предельно низких температурах
(близких к 0 К) выражение (43.8) не
справедливо, т. е. средняя кинетическая
энергия молекул не пропорциональна
температуре. Поэтому утверждение о
том, что при 0 К прекращается движе­
ние молекул газа, некорректно. В насто­
ящее время доказано, что даже при 0 К
частицы вещества совершают так назы­
ваемые нулевые колебания.
Таким образом, термодинамическая
температура является мерой средней ки­
нетической энергии поступательного
движения молекул идеального газа, и
формула (43.8) раскрывает молекулярно­
кинетическое толкование температуры.
или
pV = - N ^ Vm^ = -Е , (43.5)
*
3
2
3
где Е — суммарная кинетическая энер­
гия поступательного движения всех
молекул газа.
Так как масса газа т = Nm0, то урав­
нение (43.4) можно переписать в виде
pV= ^ m { v KB)2.
Для 1 моль газа т= М (М —моляр­
ная масса), поэтому
PV„=
где Vm—молярный объем.
С другой стороны, по уравнению
Клапейрона—Менделеева, pVm = RT.
Таким образом,
д г = | м ( 0 2,
(4з-б)
§ 44. Закон Максвелла
о
распределении молекул
идеального газа по скоростям
и энергиям теплового движения
Так как М = m0NA, где т0 — масса од­
ной молекулы, a iVA—постоянная Аво­
гадро, то из уравнения (43.6) следует,
что
Молекулы газа совершают хаотичес­
кое движение. В результате многократ­
ных соударений скорость каждой моле-
откуда
|'
^ = Щ
87
\
кулы изменяется как по модулю, так и
по направлению. Однако из-за хаоти­
ческого движения молекул все направ­
ления движения являются равноверо­
ятными, т.е. в любом направлении в
среднем движется одинаковое число
молекул. По молекулярно-кинетичес­
кой теории, как бы ни изменялись ско­
рости молекул при столкновениях, сред­
няя квадратичная скорость молекул мас­
сой т0в газе, находящемся в состоянии
равновесия при ( Т= const), остается по­
ти будет приходиться некоторое число
молекул dN{v), имеющих скорость, зак­
люченную в этом интервале. Функция
f(v) определяет относительное число
(долю) молекул
, скорости кото­
рых лежат в интервале от v до v + du, т. е.
стоянной и равной
nJ
Ndv
Применяя методы теории вероятно­
стей, Максвелл нашел функцию/(и) —
закон распределения молекул иде­
ального газа по скоростям:
Это объясняется тем, что в газе, на­
ходящемся в состоянии равновесия, ус­
танавливается некоторое стационарное,
не меняющееся со временем распреде­
ление молекул по скоростям, которое
подчиняется вполне определенному
статистическому закону. Этот закон те­
оретически выведен Дж. Максвеллом
(1859).
При выводе закона распределения
молекул по скоростям считалось, что
газ состоит из очень большого числа ЛГ
тождественных молекул, находящихся
в состоянии беспорядочного теплового
движения при одинаковой температу­
ре. Предполагалось также, что силовые
поля на газ не действуют.
Закон Максвелла описывается неко­
торой функцией/(v), называемой фун­
кцией распределения молекул по ско­
ростям. Если разбить диапазон скоро­
стей молекул на малые интервалы, рав­
ные dv, то на каждый интервал скорос­
dN(v)
=f(y)dv,
N
откуда
I т
\ 3/2
М-ЦалЫ л |р <441>
Из (44.1) видно, что конкретный вид
функции зависит от рода газа (от мас­
сы молекулы) и от параметра состояния
(от температуры Г).
График функции (44.1) приведен на
рис. 67. Так как при возрастании v мноЩлА
житель е 2кТ уменьшается быстрее,
чем растет множитель v2, то функция
f(v), начинаясь от нуля, достигает мак­
симума при vBи затем асимптотически
стремится к нулю. Кривая несиммет­
рична относительно vB.
dN(y)
Относительное число молекул
N \
скорости которых лежат в интервале от
v до v + dv, находится как площадь то­
нированной полоски на рис. 67. Смысл
этого интеграла в следующем: если про­
суммировать все доли молекул, имею­
щих всевозможные значения скоростей,
то получим единицу. Функция /(и)
удовлетворяет условию нормировки
Jf(v)dv ■ 1.
88
Скорость, при которой функция рас­
пределения молекул идеального газа по
скоростям максимальна, называется
наиболее вероятной скоростью. Зна­
чение наиболее вероятной скорости
можно найти, продифференцировав
выражение (44.1) (постоянные множи­
тели опускаем) по аргументу v, прирав­
няв результат нулю и используя усло­
вие для максимума выражения /(у):
о\
тли
ШоШ I - 2кТ _
=
0.
Значения v = 0 и v = оо соответству­
ют минимумам выражения (44.1), а
значение v, при котором выражение в
скобках становится равным нулю, и
есть искомая наиболее вероятная ско­
рость vB:
loi.'T
Io bt
I (44.2)
Из формулы (44.2) следует, что при
повышении температуры максимум
функции распределения молекул по
скоростям (рис. 68) сместится вправо
(значение наиболее вероятной скорос­
ти становится больше). Однако пло­
щадь, ограниченная кривой, остается
неизменной, поэтому при повышении
температуры кривая распределения
молекул по скоростям будет растяги­
ваться и понижаться.
Средняя скорость молекулы {у)
(средняя арифметическая скорость)
определяется по формуле
00
оо
{и)=—J vdN(v) = J vf(v)dv.
о
о
Подставляя сюда f(v) и интегрируя,
получим
! v l8kT
ш т ш
I8RT
ш -
оЧ
(44-3)
Рис. 68
Скорости, характеризующие сос­
тояние газа: 1) наиболее вероятная
=
2) средняя Ы =
= 1,13ив; 3) средняя квадратичная
I3RT
Ш Й я М = 1,22ив (см. рис. 67). Ис­
ходя из распределения молекул по ско­
ростям
/ „ \3/2 -1м1
dN(v)=N-4^ ( 2^ )
v2e 2kTdv, (44.4)
можно найти распределение молекул
газа по значениям кинетической энер­
гии е. Для этого перейдем от перемен­
ной г;к переменной е =
. Подставив
в (44.4) v = J — и dv — (2moe)-1/2de,
VЩ>
получим
dN(e)= ^ (jfcr)-3/2e.-V2e kTde __#/(e)de,
где dN(e) — число молекул, имеющих
кинетическую энергию поступательно­
го движения, заключенную в интерва­
ле от е до е + de.
Таким образом, функция распреде­
ления молекул по энергиям теплово­
го движения
/(е) = -у=(кТ)~3/2еУ2е~кТ.
vif
Средняя кинетическая энергия (е)
молекулы идеального газа
89
высотой dh с основанием площадью
1 м2:
(е) = J e/(e)de =
О
р - (p + dp) = pgdh,
оо
_e_
= -4= (kT )-3'2 Гe *2е kTde = - k T ,
V*
J0
2
т. e. получили результат, совпадающий
с формулой (43.8).
§ 45. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана
При выводе основного уравнения мо­
лекулярно-кинетической теории газов и
максвелловского распределения моле­
кул по скоростям предполагалось, что на
молекулы газа внешние силы не действу­
ют, поэтому молекулы равномерно рас­
пределены по объему. Однако молекулы
любого газа находятся в потенциальном
поле тяготения Земли. Тяготение, с од­
ной стороны, и тепловое движение моле­
кул — с другой, приводят к некоторому
стационарному состоянию газа, при ко­
тором давление газа с высотой убывает.
Выведем закон изменения давления
с высотой, предполагая, что поле тяго­
тения однородно, температура постоян­
на и масса всех молекул одинакова.
Если атмосферное давление на высоте h
равно р (рис. 69), то на высоте h + dh
оно равно p + dp (при dh > 0 dp < 0, так
как давление с высотой убывает). Раз­
ность давлений р и р + dp равна весу
газа, заключенного в объеме цилиндра
Рис. 69
Р2Т
p + dp
Р
Jdh
рj--
N
777777777777777777777777777
77Г7}
90
где р — плотность газа на высоте h (dh
настолько мало, что при изменении
высоты в этом пределе плотность газа
можно считать постоянной).
Следовательно,
d p = —pgdh.
(45.1)
Воспользовавшись уравнением сотп
стояния идеального газа p v —— R T
( 7П— масса газа, М
газа), находим, что
М
молярная масса
_ тп _ рМ
Р_ V ~ RT'
Подставив это выражение в (45.1),
получим
dp = - ^ У -pdh, или — = - - ^ - d h .
RT
р
RT
С изменением высоты от hxдо h2дав­
ление изменяется от рх до р2 (см. рис.
69), т.е.
1 ’ Ш р I В R Tй
JBr . B pS
tJ
)
или
Mgfa-hj)
р2 = Pie
RT
1W .
(45.2)
Выражение (45.2) называется баро­
метрической формулой. Она позволя­
ет найти атмосферное давление в зави­
симости от высоты или, измерив давле­
ние, найти высоту. Так как высоты обо­
значаются относительно уровня моря,
где давление считается нормальным, то
выражение (45.2) может быть записа­
но в виде
Mgh
р = р0е RT,
где р —давление на высоте h.
(45.3)
Прибор для определения высоты
над земной поверхностью называется
высотомером (или альтиметром).
Его работа основана на использовании
формулы (45.3). Из этой формулы сле­
дует, что давление с высотой убывает
тем быстрее, чем тяжелее газ.
Барометрическую формулу (45.3)
можно преобразовать, если воспользо­
ваться выражением (42.6) р = пкТ:
Mgh
п = ще ЛТ,
где п — концентрация молекул на вы­
соте h, п0 — то же, на высоте h = 0.
Так как М = mQNA (NA — постоян­
ная Авогадро, тп0 — масса одной моле­
кулы), a R = kNA, то
И
п = п0е кТ ,
(45.4)
где m0gh = П —потенциальная энергия
молекулы в поле тяготения, т. е.
п
п = ще кТ.
(45.5)
Выражение (45.5) называется рас­
пределением Больцмана для внешне­
го потенциального поля. Из него сле­
дует, что при постоянной температуре
плотность газа больше там, где меньше
потенциальная энергия его молекул.
Если частицы имеют одинаковую
массу и находятся в состоянии хаоти­
ческого теплового движения, то распре­
деление Больцмана (45.5) справедливо
в любом внешнем потенциальном поле,
а не только в поле сил тяжести.
§ 46. Среднее число
столкновений и средняя длина
свободного пробега молекул
Молекулы газа, совершая хаотиче­
ское движение, непрерывно сталкива­
ются друг с другом. Между двумя пос­
ледовательными столкновениями мо­
лекулы проходят некоторый путь I, ко­
торый называется длиной свободного
пробега. В общем случае длина пути
между последовательными столкнове­
ниями различна, но так как мы имеем
дело с огромным числом хаотически
движущихся молекул, то можно гово­
рить о средней длине свободного про­
бега молекул (I).
Минимальное расстояние, на кото­
рое сближаются при столкновении цен­
тры двух молекул, называется эффек­
тивным диаметром молекулы d (рис.
70). Он зависит от скорости сталкива­
ющихся молекул, т.е. от температуры
газа (несколько уменьшается с ростом
температуры).
Так как за 1 с молекула проходит в
среднем путь, равный средней арифме­
тической скорости (v), и если (z) —сред­
нее число столкновений, испытывае­
мых одной молекулой газа за 1 с, то
средняя длина свободного пробега
Для определения (z) представим
себе молекулу в виде шарика диамет­
ром d, которая движется среди других
«застывших» молекул. Эта молекула
столкнется только с теми молекулами,
центры которых находятся на расстоя­
ниях, равных или меньших d, т. е. лежат
внутри «ломаного» цилиндра радиусом
d (рис. 71).
Среднее число столкновений за 1 с
равно числу молекул в объеме «лома­
ного» цилиндра:
Рис. 70
Рис. 71
91
(z) = nV,
место, подобно пылинкам в солнечном
луче. Впоследствии оказалось, что по­
добное сложное зигзагообразное дви­
жение характерно для любых частиц
малых размеров ( « 1 мкм), взвешенных
в газе или жидкости. Интенсивность
этого движения, названного броунов­
(z) = n’Kd2(v).
ским, повышается с ростом температу­
ры среды, с уменьшением вязкости и
Расчеты показывают, что при учете
размеров частиц (независимо от их хи­
движения других молекул
мической природы).
Причина броуновского движения
(z) = 'j2n'Kd2{v).
долго оставалась неясной. Лишь через
Тогда средняя длина свободного
80 лет после обнаружения этого эффек­
пробега
та ему было дано объяснение: броунов­
ское движение взвешенных частиц вы­
зывается ударами молекул среды, в ко­
^ ^ -Т2тгй2п*
торой частицы взвешены. Так как мо­
т.е. (I) обратно пропорциональна кон­
лекулы движутся хаотически, то броу­
центрации п молекул. С другой сторо­
новские частицы получают толчки с
ны, из (42.6) следует, что при постоян­
разных сторон, поэтому и совершают
ной температуре п пропорциональна
движение столь причудливой формы.
давлению р. Следовательно,
Таким образом, броуновское движение
является подтверждением выводов мо­
(О _ п2 _ Pi
лекулярно-кинетической теории о хао­
{h) Щ Рх ’
тическом (тепловом) движении атомов
и молекул.
2.
Опыт Штерна. Первое экспери­
§ 47. Опытное обоснование
ментальное определение скоростей мо­
молекулярно-кинетической
лекул выполнено немецким физиком
теории
О.Штерном (1888—1970). Его опыты
позволили также оценить распределе­
ние молекул по скоростям.
Рассмотрим некоторые явления, эк­
Схема установки Штерна представ­
спериментально подтверждающие ос­
лена на рис. 72. Вдоль оси внутреннего
новные положения и выводы молекуцилиндра с щелью натянута платино­
лярно-кинетической теории.
1.
Броуновские движение. Это яв­ вая проволока, покрытая слоем сереб­
ра, которая нагревается током при отление открыто (1827) Броуном1, кото­
рый, наблюдая с помощью сильной
лупы за взвесью цветочной пыльцы в
Рис. 72
воде, обнаружил, что частицы пыльцы
оживленно и беспорядочно двигались,
то вращаясь, то перемещаясь с места на
где n — концентрация молекул; V =
= тul2(v) ((v) —средняя скорость моле­
кулы или путь, пройденный ею за 1 с).
Таким образом, среднее число
столкновений
1 Р.Броун (1773 —1858) — шотландский бо­
таник.
92
качанном воздухе. При нагревании се­
Источник
ребро испаряется. Атомы серебра выле­
тая через щель, попадают на внутрен­
нюю поверхность второго цилиндра,
давая изображение щели О. Если при­
бор привести во вращение вокруг об­
щей оси цилиндров, то атомы серебра
Ось
осядут не против щели, а сместятся от
Рис. 73
точки О на некоторое расстояние s.
Изображение щели получается размы­
тым. Исследуя толщину осажденного! емник, можно выяйитЬ закон распреде­
слоя, можно оценить распределение ления молекул по скоростям. Этот опыт
молекул по скоростям, которое соответ­ также подтвердил справедливость мак­
ствует максвелловскому распределе­ свелловского распределения молекул
по скоростям.
нию.
4.
Опытное определение постоян­
Зная радиусы цилиндров, их угло­
ной Авогадро. Воспользовавшись иде­
вую скорость вращения, а также изме­
ей распределения молекул по высоте
ряя з, можно вычислить скорость дви­
[см. формулу (45.4)], французский уче­
жения атомов серебра при данной тем­
ный
Ж. Перрен (1870 —1942) экспери­
пературе проволоки. Результаты опы­
ментально
определил значение посто­
та показали, что средняя скорость ато­
янной
Авогадро.
Исследуя в микроскоп
мов серебра близка к той, которая сле­
броуновское движение, он убедился,
дует из максвелловского распределения
что броуновские частицы распределя­
молекул по скоростям.
ются по высоте подобно молекулам газа
3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позво­
ляет более точно определить закон рас­ в поле тяготения. Применив к ним
больцмановское распределение, можно
пределения молекул по скоростям. Схе­
ма вакуумной установки приведена на записать
(m—mi )gh
рис. 73. Молекулярный пучок, сформи­
IcT
П—ще
'* ,
рованный источником, проходя через
щель, попадает в приемник. Между ис­ где т —масса частицы, тп1— масса вы­
точником и приемником помещают два тесненной ею жидкости; m = 4/зтгг3р,
диска с прорезями, закрепленных на тп1= 4/зтгг3р! (г —радиус частицы, р —
общей оси.
плотность частицы, рх—плотность жид­
При неподвижных дисках молекулы кости).
достигают приемника, проходя через
Если пхи п2—концентрации частиц
прорези в обоих дисках. Если ось при­
то
вести во вращение, то приемника дос­ на уровнях hi и h2, к =
тигнут только те прошедшие прорезь в
первом диске молекулы, которые зат­
ЗЙТ1п—
рачивают для пробега между дисками
Ы
Ш___
______
^ ------ .
время, равное или кратное времени обо­
4irr3(p - Р1МЛ 2 - М
рота диска. Другие же молекулы задер­
Значение JVA, получаемое из работ
живаются вторым диском. Меняя угло­
вую скорость вращения дисков и изме­ Ж. Перрена, соответствовало значени­
ряя число молекул, попадающих в при­ ям, полученным в других опытах, что
93
подтверждает применимость к бро­
уновским частицам распределения
(45.4).
§ 48. Явления переноса
в термодинамически
неравновесных системах
пературы, равный скорости изменения
температуры на единицу длины х в на­
правлении нормали к этой площадке.
Знак <<—» показывает, что при тепло­
проводности энергия переносится в
направлении убывания температуры
,
dT
(поэтому знаки у jE и -т— противопоd$
ложны).
Теплопроводность X численно рав­
на плотности теплового потока при гра­
диенте температуры, равном единице.
Можно показать, что
В термодинамически неравновес­
ных системах возникают особые нео­
братимые процессы, называемые явле­
ниями переноса, в результате которых
(48.2)
происходит пространственный перенос
энергии, массы, импульса. К явлениям где Су —удельная теплоемкость газа
переноса относятся теплопровод­ при постоянном объеме (количество
ность (обусловлена переносом энер­ теплоты, необходимое для нагревания
гии), диффузия (обусловлена перено­ 1 кг газа на 1 К при постоянном объе­
сом массы) и внутреннее трение
ме); р —плотность газа; (и) —средняя
(обусловлено переносом импульса). Для скорость теплового движения молекул;
простоты ограничимся одномерными
(I) — средняя длина свободного про­
явлениями переноса. Систему отсчета бега.
выберем так, чтобы ось х была ориен­
2.
Диффузия. Явление диффузии
тирована в направлении переноса.
заключается в том, что происходит са­
1.
Теплопроводность. Если в одной мопроизвольное проникновение и пе­
области газа средняя кинетическая ремешивание частиц двух соприкасаю­
энергия молекул больше, чем в другой, щихся газов, жидкостей и даже твердых
то с течением времени вследствие по­ тел; диффузия сводится к обмену масс
стоянных столкновений молекул про­ частиц этих тел, возникает и продолжа­
исходит процесс выравнивания сред­ ется, пока существует градиент плотно­
них кинетических энергий молекул, сти.
т.е., иными словами, выравнивание
Во время становления молекуляр­
температур.
но-кинетической теории по вопросу
Перенос энергии в форме теплоты диффузии возникли противоречия. Так
подчиняется закону Фурье:
как молекулы движутся с огромными
скоростями, диффузия должна проис­
vdr
(48.1) ходить очень быстро. Если же открыть
J e ?-----л ——,
ах
в комнате сосуд с пахучим веществом,
где jE —плотность теплового пото­ то запах распространяется довольно
ка — величина, определяемая энерги­ медленно. Однако противоречия здесь
ей, переносимой в форме теплоты в еди­ нет. Молекулы при атмосферном дав­
ницу времени через единичную площад­ лении обладают малой длиной свобод­
ку, перпендикулярную оси ж; X —теп­ ного пробега и, сталкиваясь с другими
лопроводность; 4 — — градиент тем- молекулами, в основном «стоят» на
месте.
I ах
94
Явление диффузии для химически
однородного газа подчиняется закону
Фика:
ф
(48.3)
dx’
где jm— плотность потока массы —
величина, определяемая массой веще­
ства, диффундирующего в единицу вре­
мени через единичную площадку, пер­
пендикулярную оси х; D — диффузия
Зт = - D
(коэффициент диффузии)]
—гра­
диент плотности, равный скорости из­
менения плотности на единицу длины х
в направлении нормали к этой площад­
ке. Знак «—» показывает, что перенос
массы происходит в направлении убы­
вания плотности (поэтому знаки у jmи
где т] — динамическая вязкость (вязv. ------градиент
dv
„
кость);
скорости, пока|р
зывающий быстроту изменения скоро­
сти в направлении х, перпендикуляр­
ном направлению движения слоев; S —
площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев соглас­
но второму закону Ньютона можно рас­
сматривать как процесс, при котором от
одного слоя к другому в единицу вре­
мени передается импульс, по модулю
равный действующей силе. Тогда выра­
жение (48.5) можно представить в виде
dv
мшшт da;’
(48.6)
где jp — плотность потока импуль­
са — величина, определяемая полным
импульсом, переносимым в единицу
4^- противоположны). Диффузия D времени в положительном направлении
ох
численно равна плотности потока мас­ оси х через единичную площадку, перШ
сы при градиенте плотности, равном пендикулярную оси ж; —
—градиент
ах
единице. Согласно кинетической тео­
скорости.
Знак
«—
»
указывает,
что им­
рии газов,
пульс переносится в направлении убы­
(48.4) вания скорости (поэтому знаки у jp и
0 = !« § .
3.
Внутреннее трение (вязкость). ^ противоположны).
dx
Механизм возникновения внутреннего
Динамическая вязкость т] численно
трения между параллельными слоями равна плотности потока импульса при
газа (жидкости), движущимися с различ­ градиенте скорости, равном единице;
ными скоростями, заключается в том, что она вычисляется по формуле
из-за хаотического теплового движения
<48.7)
происходит обмен молекулами между
слоями, в результате чего импульс слоя,
Из сопоставления формул (48.1),
движущегося быстрее, уменьшается, дви­ (48.3) и (48.6), описывающих явления
жущегося медленнее —увеличивается, переноса, следует, что закономерности
что приводит к торможению слоя, дви­ всех явлений переноса сходны между
жущегося быстрее, и ускорению слоя, собой. Эти законы были установлены
движущегося медленнее. '
задолго до того, как они были обосно­
Согласно формуле (31.1), сила внут­ ваны и выведены из молекулярно-ки­
реннего трения между двумя слоями нетической теории, позволившей уста­
газа (жидкости) подчиняется закону
новить, что внешнее сходство их мате­
Ньютона:
матических выражений обусловлено
общностью лежащего в основе явлений
S,
(48.5) теплопроводности, диффузии и внут95
реннего трения молекулярного меха­
низма перемешивания молекул в про­
цессе их хаотического движения и стол­
кновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика
и Ньютона не вскрывают молекулярно­
кинетического смысла коэффициентов
X, D и rj. Выражения для коэффициен­
тов переноса выводятся на основе ки­
нетической теории. Они записаны без
вывода, так как строгое рассмотрение
явлений переноса довольно громоздко,
а качественное—не имеет смысла. Фор­
мулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают
коэффициенты переноса и характерис­
тики теплового движения молекул. Из
этих формул вытекают простые зависи­
мости между \ , D и т\:
Ш Ш
аН иЩ .
Т)Су
Используя эти формулы, можно по
найденным из опыта одним величинам
определить другие.
§ 49. Вакуум и методы
его получения. Свойства
ультраразреженных газов
Если из сосуда откачивать газ, то по
мере понижения давления число стол­
кновений молекул друг с другом умень­
шается, что приводит к увеличению их
длины свободного пробега. При доста­
точно большом разрежении столкнове­
ния между молекулами относительно
редки, поэтому основную роль играют
столкновения молекул со стенками со­
суда. Вакуумом называется состояние
газа, при котором средняя длина сво­
бодного пробега (/) сравнима или боль­
ше характерного линейного размера d
сосуда, в котором газ находится. В за­
висимости от соотношения (I) и d раз­
96
личают низкий ((I) < d), средний ((I) <
< d), высокий ((£) > d) и сверхвысокий
((/) » d) вакуум. Газ в состоянии вы­
сокого вакуума называется улыпраразреженным.
Вопросы создания вакуума имеют
большое значение в технике, так как,
например, во многих современных
электронных приборах используются
электронные пучки, формирование ко­
торых возможно лишь в условиях ва­
куума. Для получения различных сте­
пеней разрежения применяются ваку­
умные насосы. В настоящее время ис­
пользуются вакуумные насосы, позво­
ляющие получить предварительное раз­
режение (форвакуум) «0,13 Па, а так­
же вакуумные насосы и лабораторные
приспособления, позволяющие дос- ‘
тичь давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа
( 10- 7—10-14 мм рт. ст.).
Принцип работы форвакуумного
насоса представлен на рис. 74. Внутри
цилиндрической полости корпуса вра­
щается эксцентрично насаженный ци­
линдр. Две лопасти 1 и 1\ вставленные
в разрез цилиндра и раздвигаемые пру­
жиной 2 , разделяют пространство меж­
ду цилиндром и стенкой полости на две
части. Газ из откачиваемого сосуда по­
ступает в область 3, по мере поворачи­
вания цилиндра лопасть 1отходит, про­
странство 3 увеличивается и газ засасы­
вается через трубку 4. При дальнейшем
вращении лопасть 1' отключат про­
странство 3 от трубки 4 и начинает вы­
теснять газ через клапан 5 наружу. Весь
процесс непрерывно повторяется.
4
5
Рис. 74
Для получения высокого вакуума
применяются диффузионные насосы
(рабочее вещество —ртуть или масло),
которые не способны откачивать газ из
сосудов начиная с атмосферного давле­
ния, но способны создавать добавочную
разность давлений, поэтому их использу­
ют вместе с форвакуумными насосами.
Рассмотрим схему действия диффу­
зионного насоса (рис. 75). В колбе на­
гревается ртуть и ее пары, поднимаясь
по трубке 1, вырываются из сопла 2 с
большой скоростью, увлекая за собой
молекулы газа из откачиваемого сосу­
да (в нем создан предварительный ва­
куум). Эти пары, попадая затем в «во­
дяную рубашку», конденсируются и
стекают обратно в резервуар, а захва­
ченный газ выходит в пространство (че­
рез трубку 3), в котором уже создан
форвакуум. Если применять многосту­
пенчатые насосы (несколько сопл рас­
положены последовательно), то реаль­
но при хороших уплотнениях можно с
их помощью получить разрежение до
10-7 мм рт. ст.
Для дальнейшего понижения давле­
ния применяются так называемые «ло­
вушки». Между диффузионным насо­
сом и откачиваемым объектом распола­
гают специально изогнутое колено
(1 или 2) соединительной трубки (ло­
вушку), которую охлаждают жидким
Рис. 75
4 Курс физики
Рис. 76
азотом (рис. 76). При такой температу­
ре пары ртути (масла) вымораживают­
ся и давление в откачиваемом сосуде
понижается приблизительно на 1 —2
порядка. Описанные ловушки называ­
ют охлаждаемыми.
Можно применять также неохлаждаемые ловушки. Специальное рабочее
вещество (например, алюмогель) поме­
щают в один из отростков соединитель­
ной трубки вблизи откачиваемого
объекта, которое поддерживается при
температуре 300 °С. При достижении
высокого вакуума алюмогель охлажда­
ется до комнатной температуры, при
которой он начинает поглощать имею­
щиеся в системе пары. Преимущество
этих ловушек состоит в том, что с их
помощью в откачиваемых объектах
можно поддерживать высокий вакуум
уже после непосредственной откачки в
течение даже нескольких суток.
Остановимся на некоторых свой­
ствах ультраразреженных газов. Так
как в состоянии ультраразрежения мо­
лекулы практически друг с другом не
сталкиваются, то газ в этом состоянии
не обладает внутренним трением. От­
сутствие соударений между молекула­
ми разреженного газа отражается так­
же на механизме теплопроводности.
Если при обычных давлениях перенос
энергии молекулами производится «эс­
тафетой», то при ультраразрежении
каждая молекула сама должна перене­
сти энергию от одной стенки сосуда к
другой. Явление уменьшения тепло­
проводности вакуума при понижении
давления используется на практике для
создания тепловой изоляции. Напри­
мер, для уменьшения теплообмена меж­
ду телом и окружающей средой тело
помещают в сосуд Дьюара1, имеющий
1 Д. Дьюар (1842 —1923) —английский хи­
мик и физик.
97
d_ J
(49.1)
Я В Щпг Ы .
где пх и п2 — концентрации молекул в
обоих сосудах, (vx) и (v2) — средние ско­
рости молекул. Учитывая, что п _ Р
кТ
8 RT
и (v) =
, из условия (49.1) полуттМ
чаем
Рис. 78
(49.2)
2
4
Рис. 77
К насосу
Т2
двойные стенки, между которыми нахо­
дится разреженный воздух (теплопро­
водность воздуха очень мала).
Рассмотрим два сосуда 1 и 2, поддер­
живаемых соответственно при темпера­
турах Тх и Т2 (рис. 77) и соединенных
между собой трубкой. Если длина сво­
бодного пробега молекул гораздо мень­
ше диаметра соединительной трубки
((О
d), то стационарное состояние
газа характеризуется равенством давле­
ний в обоих сосудах (рх = р2). Стацио­
нарное же состояние ультраразреженного газа ((I) » d), находящегося в двух
сосудах, соединенных трубкой, возмож­
но лишь в том случае, когда встречные
потоки частиц, перемещающихся из
одного сосуда в другой, одинаковы, т. е.
т.е. в условиях высокого вакуума вы­
равнивания давлений не происходит.
Если в откачанный стеклянный бал­
лон (рис. 78) на пружину 1 насадить
слюдяной листочек 2 , одна сторона ко­
торого зачернена, и освещать его, то воз­
никнет разность температур между
светлой и зачерненной поверхностями
листочка. Из выражения (49.2) следу­
ет, что в данном случае разным будет и
давление, т.е. молекулы от зачернен­
ной поверхности будут отталкиваться
с большей силой, чем от светлой, в ре­
зультате чего листочек отклонится. Это
явление называется радиомет риче­
ским эффектом. На радиометриче­
ском эффекте основано действие радио­
метрического манометра.
Контрольные вопросы
1 Почему термодинамический и статистический (молекулярно-кинетический) методы
исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют
друг друга?
• Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам
известны?
• Как объяснить закон Бойля —Мариотга с точки зрения молекулярно-кинетической теории?
• Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы?
| Каков физический смысл постоянной Авогадро? числа Лошмидта?
• При некоторых значениях температуры и давления азот количеством вещества 1 моль
занимает объем 20 л. Какой объем при этих же условиях займет водород количеством
вещества 1 моль?
• В чем заключается молекулярно-кинетическое толкование давления газа? термодина­
мической температуры?
• В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения молекулярно-кинетиче­
ской теории газов?
• Каков физический смысл распределения молекул по скоростям? по энергиям?
98
• Как, зная функцию распределения молекул по скоростям, перейти к функции распреде­
ления по энергиям?
• Как определяется наиболее вероятная скорость? средняя скорость?
• Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от
кислорода к водороду?
• В чем суть распределения Больцмана?
• Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?
• Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?
• В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают?
• Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона.
• Каков механизм теплопроводности ультраразреженных газов?
ЗАДАЧИ
8.1. Начертите и объясните графики изотермического и изобарного процессов в коорди­
натах р и V, р и Т, Ти V.
8.2. В сосуде при температуре Т —20 °С и давлении р = 0,2 МПа содержится смесь газов —
кислорода массой тх—16 г и азота массой т 2= 21 г. Определите плотность смеси. [2,5 кг/м3]
8.3. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при
давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3. [478 м/с]
8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоростям, найдите
закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям и ( и —— ). [/(и) =
1 - f e-“V ]
щ
8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным ско­
ростям (см. задачу 8.4), определите, какая доля молекул кислорода, находящегося при тем­
пературе t = 0 °С, имеет скорости от 100 до 110 м/с. [0,4]
8.6 . На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне
моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [55 км]
8.7. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при
температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным
0,28 нм. [170 не]
8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны
соответственно 1,42 • 10-4 м2/с и 8,5 мкПа •с. Определите концентрацию молекул воздуха
при этих условиях. [1,25 ■1024 м_3]
Глава 9
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 50. Число степеней свободы
молекулы. Закон равномерного
распределения энергии
по степеням свободы молекул
Важной характеристикой термоди­
намической системы является ее внут ­
ренняя энергия U — энергия хаотиче­
ского (теплового) движения микроча­
стиц системы (молекул, атомов, элект­
ронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодей­
ствия этих частиц. Из этого определе­
ния следует, что к внутренней энергии
не относятся кинетическая энергия
99
движения системы как целого и потен­
циальная энергия системы во внешних
полях.
Внутренняя энергия —однозначная
функция термодинамического состоя­
ния системы, т.е. в каждом состоянии
система обладает вполне определенной
внутренней энергией (она не зависит от
того, как система пришла в данное со­
стояние). Это означает, что при перехо­
де системы из одного состояния в дру­
гое изменение внутренней энергии оп­
ределяется только разностью значений
внутренней энергии этих состояний и
не зависит от пути перехода.
В § 1 было введено понятие числа
степеней свободы: это число независи­
мых величин, полностью определяю­
щих положение системы в простран­
стве. В ряде задач молекулу одноатом­
ного газа (рис. 79, а) рассматривают как
материальную точку, которой приписы­
вают три степени свободы поступатель­
ного движения. При этом энергию вра­
щательного движения можно не учитыТ.,2
вать ( г —>0, J = т г 2 —+0, Гвр = ------- >0 ).
В классической механике молекула
двухатомного газа в первом приближе­
нии рассматривается как совокупность
двух материальных точек, жестко свя­
занных недеформируемой связью (рис.
79, б). Эта система кроме трех степеней
свободы поступательного движения име­
ет еще две степени свободы вращатель­
ного движения. Вращение вокруг тре­
тьей оси (оси, проходящей через оба
100
атома) лишено смысла. Таким образом,
двухатомный газ обладает пятью степе­
нями свободы (г = 5).
Трехатомная (рис. 79, в) и много­
атомная нелинейные молекулы имеют
шесть степеней свободы: три поступа­
тельных и три вращательных. Есте­
ственно, что жесткой связи между ато­
мами не существует. Поэтому для ре­
альных молекул необходимо учитывать
также степени свободы колебательно­
го движения.
Независимо от общего числа степе­
ней свободы молекул три степени сво­
боды всегда поступательные. Ни одна
из поступательных степеней свободы не
имеет преимущества перед другими,
поэтому на каждую из них приходится
в среднем одинаковая энергия, равная
!/з значения (eq) в (43.8):
(е ) = Ы = ±кТ.
' 1/
3
2
В классической статистической фи­
зике выводится закон Больцм ана о
равномерном распределении энергии
по степеням свободы молекул', для
статистической системы, находящейся
в состоянии термодинамического рав­
новесия, на каждую поступательную и
вращательную степени свободы прихо­
дится в среднем кинетическая энергия,
равная —fcT, а на каждую колебатель­
ную степень свободы —в среднем энер­
гия, равная кТ.
Колебательная степень «обладает»
вдвое большей энергией потому, что на
нее приходится не только кинетическая
энергия (как в случае поступательного
и вращательного движений), но и по­
тенциальная, причем средние значения
кинетической и потенциальной энергий
одинаковы. Таким образом, средняя
энергия молекулы
<е> = | кТ,
где i — сумма числа поступательных,
числа вращательных и удвоенного чис­
ла колебательных степеней свободы
молекулы:
*
^пост + ®вращ "Ь 2 ^ КОлеб*
В классической теории рассматрива­
ют молекулы с жесткой связью между
атомами; для них г совпадает с числом
степеней свободы молекулы.
Следует отметить, что закон Больц­
мана является приближенным (полу­
чен на основе классических представ­
лений о характере движения молекул)
и пересмотрен в квантовой статистике.
Так как в идеальном газе взаимная
потенциальная энергия молекул равна
нулю (молекулы между собой не взаи­
модействуют), то внутренняя энергия,
отнесенная к 1 моль газа, будет равна
сумме кинетических энергий Nk моле­
кул:
Р „ = |* ™ д = |й Г .
(50.1)
Внутренняя энергия для произволь­
ной массы тп газа
U = - - R T —v-RT,
М 2
2
«г
ш — ко­
где М — молярная масса; v = —
личество вещества.
§ 51. Первое начало
термодинамики
Рассмотрим термодинамическую
систему, для которой механическая
энергия постоянна, а изменяется лишь
ее внутренняя энергия. Внутренняя
энергия системы может изменяться в
результате различных процессов, на­
пример совершения над системой рабо­
ты или сообщения ей теплоты. Так,
вдвигая поршень в цилиндр, в котором
находится газ, мы сжимаем этот газ, в
результате чего его температура повы­
шается, т. е. тем самым изменяется (уве­
личивается) внутренняя энергия газа.
С другой стороны, температуру газа и
его внутреннюю энергию можно увели­
чить за счет сообщения ему некоторого
количества теплоты — энергии, пере­
данной системе внешними телами пу­
тем теплообмена (процесс обмена внут­
ренними энергиями при контакте тел с
разными температурами).
Таким образом, можно говорить о
двух формах передачи энергии от одних
тел к другим: работе и теплоте. Энер­
гия механического движения может
превращаться в энергию теплового дви­
жения, и наоборот. При этих превраще­
ниях соблюдается закон сохранения и
превращения энергии; применительно
к термодинамическим процессам этим
законом и является первое начало тер­
модинамики, установленное в резуль­
тате обобщения многовековых опыт­
ных данных.
Допустим, что некоторая система
(газ, заключенный в цилиндр под пор­
шнем), обладая внутренней энергией Ub
получила некоторое количество тепло­
ты Q и, перейдя в новое состояние, ха­
рактеризующееся внутренней энергией
U2, совершила работу А над внешней
средой, т. е. против внешних сил. Коли­
чество теплоты считается положитель­
ным, когда оно подводится к системе, а
работа — положительной, когда систе­
ма совершает ее против внешних сил.
В соответствии с законом сохранения
энергии при любом способе перехода
системы из первого состояния во вто­
рое изменение внутренней энергии
A U — U2 — иг будет одинаковым и рав­
ным разности между количеством теп101
лоты Q, полученным системой, и рабо­
той А, совершенной системой против
внешних сил:
Д [/= Q - А,
или
Q= AU+A.
(51.1)
Уравнение (51.1) выражает первое
начало термодинамики: теплота, со­
общаемая системе, расходуется на из­
менение ее внутренней энергии и на со­
вершение ею работы против внешних
сил.
Выражение (51.1) для элементарно­
го процесса можно записать в виде
dQ = dU + dA ,
или в более корректной форме
bQ = dU+bA,
(51.2)
где bQ— бесконечно малое количество
теплоты; d U —бесконечно малое изме­
нение внутренней энергии системы;
8А —элементарная работа. В этом вы­
ражении d U является полным диффе­
ренциалом, а 6А и 6<2таковыми не яв­
ляются. В дальнейшем будем использо­
вать запись первого начала термодина­
мики в форме (51.2).
Из формулы (51.1) следует, что в СИ
количество теплоты выражается в тех
же единицах, что работа и энергия, т.е.
в джоулях (Дж).
Если система периодически воз­
вращается в первоначальное состояние,
то изменение ее внутренней энергии
Д [/= 0. Тогда, согласно первому нача­
лу термодинамики,
A=Q,
т. е. вечный двигатель первого рода —
периодически действующий двигатель,
который совершал бы большую работу,
чем сообщенная ему извне энергия, не­
возможен (одна из формулировок пер­
вого начала термодинамики).
102
§ 52. Работа газа
при изменении его объема
Для рассмотрения конкретных про­
цессов найдем в общем виде внешнюю
работу, совершаемую газом при изме­
нении его объема. Рассмотрим, напри­
мер, газ, находящийся под поршнем в
цилиндрическом сосуде (рис. 80). Если
газ, расширяясь, передвигает поршень
на бесконечно малое расстояние dl, то
производит над ним работу
ЬА = Fdl = pSdl=pdV,
где S — площадь поршня; Sdl = dV^ —>
изменение объема системы.
Таким образом,
6А = pdV.
(52.1)
Полную работу А, совершаемую га­
зом при изменении его объема от Vxдо
У2, найдем интегрированием формулы
(52.1): |
Ул
A ? J pdV.
(52.2)
* n
Результат интегрирования опреде­
ляется характером зависимости между
давлением и объемом газа. Найденное
для работы выражение (52.2) справед­
ливо при любых изменениях объема
твердых, жидких и газообразных тел.
Произведенную при том или ином
процессе работу можно изобразить гра­
фически с помощью кривой в коорди­
натах р, V. Пусть изменение давления
р| 1
2
I р
<
VA
IГ
зет
Рис. 80
А
: dv;
Рис. 81
V, V
газа при его расширении изображается
кривой на рис. 81. При увеличении
объема на dV совершаемая газом рабо­
та равна pdV, т.е. определяется площа­
дью полоски с основанием dV, тониро­
ванной на рисунке. Поэтому полная ра­
бота, совершаемая газом при расшире­
нии от объема Vxдо объема V2, опреде­
ляется площадью, ограниченной осью
абсцисс, кривой p = f(V) и прямыми' Vx
иЩ
Графически можно изображать толь­
ко равновесные процессы —процессы,
состоящие из последовательности рав­
новесных состояний. Они протекают
так, что изменение термодинамических
параметров за конечный промежуток
времени бесконечно мало. Всереальные
процессы неравновесны (они протекают
с конечной скоростью), но в ряде слу­
чаев неравновесностыо реальных про­
цессов можно пренебречь (чем медлен­
нее протекает процесс, тем он ближе к
равновесному). В дальнейшем рассмат­
риваемые процессы будем считать рав­
новесными.
§ 53. Теплоемкость
Удельная теплоемкость вещест­
ва —величина, равная количеству теп­
лоты, необходимому для нагревания
1 кг вещества на 1 К:
mdT
Единицей удельной теплоемкости
является джоуль на килограмм-кельвин [ДжДкг • К)].
Молярная теплоемкость — вели­
чина, равная количеству теплоты, необ­
ходимому для нагревания 1 моль веще­
ства на 1 К:
(53.1)
Ст = bQ
vdT’
где v = — —количество вещества.
М
Единица молярной теплоемкости -у
джоульнамоль-кельвин [ДжДмоль ■К)].
Удельная теплоемкость с связана с мо­
лярной Стсоотношением
Ст= сМ,
(53.2)
где М — молярная масса вещества.
Различают теплоемкости при по­
стоянном объеме и постоянном давле­
нии, если в процессе нагревания веще­
ства его объем или давление поддержи­
вается постоянным.
Запишем выражение первого нача­
ла термодинамики (51.2) для 1 моль
газа с учетом формул (52.1) и (53.1): ■
CmdT=i dUm + pdVm.
(53.3)
Если газ нагревается при постоян­
ном объеме, то работа внешних сил рав­
на нулю [см. (52.1)] и сообщаемая газу
извне теплота идет только на увеличе­
ние его внутренней энергии:
d Um
(53.4)
dТ ’
т. е. молярная теплоемкость газа при по­
стоянном объеме Су равна изменению
внутренней энергии 1 моль газа при по­
вышении его температуры на 1К Соглас­
но формуле (50.1), dUm = -R dT , тогда
2
C v= ± R .
(53.5)
Если газ нагревается при постоян­
ном давлении, то выражение (53.3)
можно записать в виде
dUm . pdVm
dТ
dT
не зависит от
Учитывая, что
dТ
вида процесса (внутренняя энергия
идеального газа не зависит ни от р, ни
от V, а определяется лишь температу103
рой Т ) и всегда равна Су [см. (53.4)], и
дифференцируя уравнение Клапейро­
на-Менделеева pVm = ЯГ [см. (42.4)]
по Т (р = const), получаем
пературы. Молекула двухатомного газа
обладает тремя поступательными, дву­
мя вращательными и одной колебатель­
ной степенями свободы.
По закону равномерного распреде­
Ср = Cv Л- к.
(53.6)
ления энергии по степеням свободы
Выражение (53.6) называется урав­
(см. § 50), для комнатных температур
нением М айера ;оно показывает, что Ср Су = 7/ 2-R. Из качественной экспери­
всегда больше Су на величину моляр­ ментальной зависимости молярной
ной газовой постоянной. Это объясня­ теплоемкости Су водорода (рис. 82)
ется тем, что при нагревании газа при следует, что Су зависит от температу­
постоянном давлении требуется еще
ры: при низкой температуре («50 К)
дополнительное количество теплоты на
Су = 3/2Д, при комнатной ;—; Су = 5/гЛ
совершение работы расширения газа,
(вместо расчетных 7/ 2# 1) и при очень
так как постоянство давления обеспе­ высокой —Су —7/гД- Это можно объяс­
чивается увеличением объема газа. Ис­ нить, предположив, что при низких тем­
пользовав (53.5), выражение (53.6)
пературах наблюдается только поступа­
можно записать в виде
тельное движение молекул, при ком­
натных —добавляется их вращение, а
Cp = i± ^ A
(53.7) при высоких —к этим двум видам дви­
жения добавляются еще колебания мо­
При рассмотрении термодинамиче­ лекул.
ских процессов важно знать характер­
Расхождение теории и эксперимен­
ное для каждого газа отношение Срк Су.
та нетрудно объяснить. Дело в том, что
при вычислении теплоемкости надо
^= S =
(53.8) учитывать квантование энергии враще­
С/у
%
ния и колебаний молекул (возможны
не любые вращательные и колебатель­
Из формул (53.5) и (53.7) следует,
что молярные теплоемкости определя­ ные энергии, алишь определенныйдис­
ются лишь числом степеней свободы и кретный ряд значений энергий). Если
энергия теплового движения недоста­
не зависят от температуры. Это утвер­
ждение молекулярно-кинетической те­ точна, например, для возбуждения ко­
ории справедливо в довольно широком лебаний, то эти колебания не вносят
интервале температур лишь для одно­ своего вклада в теплоемкость (соответ­
ствующая степень свободы «заморажи­
атомных газов. Уже у двухатомных га­
вается» —к ней неприменим закон рав­
зов число степеней свободы, проявля­ нораспределения энергии). Этим
ющееся в теплоемкости, зависит от тем- объясняется, что теплоемкость 1 моль
двухатомного газа —водорода —при
Рис. 82
Cyjf
комнатной температуре равнаtyR вме­
сто 7/ 2^. Аналогично можно объяснить
уменьшение теплоемкости при низкой
температуре («замораживаются» вра­
щательные степени свободы) и увели­
чение при высокой («возбуждаются»
колебательные степени свободы).
О 50 300 6000
Т
104
§ 54. Применение первого
начала термодинамики
к изопроцессам
Среди равновесных процессов, про­
исходящих с термодинамическими си­
стемами, выделяются изопроцессы,
при которых один из основных пара­
метров состояния сохраняется постоян­
ным.
Изохорный процесс (V = const).
График зависимости между параметра­
ми состояния идеального газа при V =
= const называется изохорой. Изохора
в координатах р, V изображается пря­
мой, параллельной оси ординат (рис. 83),
где процесс 1—2 есть изохорное нагре­
вание, а 3 —4 —изохорное охлаждение.
При изохорном процессе газ не совер­
шает работы над Внешними телами, т. е.
5А = pdV — 0.
Как уже указывалось в § 53, из пер­
вого начала термодинамики (bQ=dU+
+ 6j4) д л я изохорного процесса следу­
ет, что вся теплота, сообщаемая газу,
идет на увеличение его внутренней энер­
гии:
6Q = df7.
Согласно формуле (53.4),
dVm =CvdT.
Тогда для произвольной массы газа
получим
bQ=dU = ^ C vdT.
М
Р
о
1
2
Т
У
Рис. 83
%
А = J pdV = p(F2 - К) (54.2)
и определяется площадью тонирован­
ного прямоугольника (рис. 84). Если
использовать уравнение Клапейрона—
Менделеева (42.5) для выбранных нами
двух состояний, то
рЪ = f a r , ,
ш -а л ч ,
откуда
v2~ v l = ^ { T 2- T x).
М р
-
Тогда выражение (54.2) для работы
изобарного расширения примет вид
А = ^-Я(Тг ~Т1).
м
(54.3)
Из этого выражения вытекает физи­
ческий смысл молярной газовой посто­
янной R: если Т2 — Тх = 1 К, то для
1 моль газа R = А, т. е. R численно рав­
на работе изобарного расширения 1 моль
идеального газа при нагревании его на
1 К.
В изобарном процессе при сообще­
нии газу массой то количества теплоты
Р
2 \3
‘I I
о
(54.1)
Изобарный процесс (р = const). Гра­
фик зависимости между параметрами
состояния идеального газа при р = const
называется изобарой. Изобара в коор­
динатах р, F изображается прямой, па­
раллельной оси V. При изобарном про­
цессе работа газа [см. (52.2)] при уве­
личении объема от Vxдо V2равна
о Ух
Vj V
Рис. 84
ь ч = % с ,й т
его внутренняя энергия возрастает на
величину [согласно формуле (53.4)]
dU. = — CydT.
М
105
При этом газ совершит работу, опреде­
ляемую выражением (54.3).
Изотермический процесс ( Т= const).
Как уже указывалось в § 41, изотерми­
ческий процесс описывается законом
Бойля—Мариотта:
p V = const.
График зависимости между пара­
метрами состояния идеального газа при
Т = const называется изотермой. Изо­
терма в координатах р, V представляет
собой гиперболу (см. рис. 62), располо­
женную на диаграмме тем выше, чем
выше температура, при которой проис­
ходит процесс.
Исходя из выражений (52.2) и (42.5),
найдем работу изотермического расши­
рения газа:
А Ш P<*V = f % R T ^ - =
I
{ М
В
= § ЯГ1п| а § s ДГЬ-Ь..
М
Щ
М
р%
Так как при Т = const внутренняя
энергия идеального газа не изменяется:
dU = — CydT = 0,
М
то из первого начала термодинамики
(8Q = dU + 6Д) следует, что для изо­
термического процесса
8Q=6A,
т.е. все количество теплоты, сообщае­
мое газу, расходуется на совершение им
работы против внешних сил:
Q = A = ^j Я Т 1 п ^ = — R T ln & . (54.4)
М
р2
М
Vi
Следовательно, для того чтобы при
расширении газа температура не пони­
жалась, к газу в течение изотермиче­
ского процесса необходимо подводить
106
количество теплоты, эквивалентное
внешней работе расширения.
§ 55. Адиабатный процесс.
Политропный процесс
Адиабатным называется процесс,
при котором отсутствует теплообмен
между системой и окружающей средой
(6 <5=0). К адиабатным процессам мож­
но отнести все быстропротекающие
процессы. Адиабатным процессом, на­
пример, можно считать процесс распро­
странения звука в среде, так как ско­
рость распространения звуковой волны
настолько велика, что обмен энергией
между волной и средой произойти не
успевает. Адиабатные процессы приме­
няются в двигателях внутреннего сго­
рания (расширение и сжатие горючей
смеси в цилиндрах), в холодильных ус­
тановках и т.д. Из первого начала тер­
модинамики (bQ = dU+ 6Я) для адиа­
батного процесса следует, что
ЬА = -dU,
(55.1)
т. е. внешняя работа совершается за счет
изменения внутренней энергии сис­
темы.
Используя выражения (52.1) и (53.4),
для произвольной массы газа перепи­
шем уравнение (55.1) в виде
pdV = ——CydT.
(55.2)
М
Продифференцировав уравнение
состояния для идеального газа pV =
= — RT, получим
М
pdV+ Vdp =
RdT. (55.3)
М
Исключим из (55.2) и (55.3) темпе­
ратуру Т:
pdV+Vdp = _ R _ = Ср -С у
pdiV
Су
Су
Разделив переменные и учитывая,
Р
что — = ч [см. (53.8)], найдем
Су
d £ _ _ dV
V
В£
Интегрируя это уравнение в преде­
лах от Pi до р2и соответственно от до
У2, а затем потенцируя, придем к выра­
жению
Pi
Так как состояния 1 и 2 выбраны
произвольно, то можно записать
рЮ = const.
(55.4)
Йолученное выражение есть урав­
нение адиабатного процесса, называ­
емое также уравнением Пуассона.
Для перехода к переменным Т, Уши
р, Т исключим из (55.4) с помощью
уравнения Клапейрона—Менделеева
pV = — RT соответственно давление
М
или объем:
T\n~l = const,
(55.5)
Т'У "'1 = const.
(55.6)
Выражения (55.4) —(55.6) представ­
ляют собой уравнения адиабатного про­
цесса. В этих уравнениях безразмерная
величина [см. (53.8) и (53.2)]
~= ^
Су
= £г. = 1 ± 2
Су
(55.7)
i
называется показателем адиабаты
(или коэффициентом Пуассона). Для
одноатомных газов (Ne, Не и др.), дос­
таточно хорошо удовлетворяющих ус­
ловию идеальности, г= 3, ч = 1,67. Для
двухатомных газов (Н2, N2,0 2и др.) г= 5,
Ч = 1,4. Значения % вычисленные по
формуле (55.7), хорошо подтверждают­
ся экспериментом.
■ График зависимости между пара­
метрами состояния идеального газа при
8Q = 0 называется адиабатой. Адиаба­
та в координатах р, V изображается ги­
перболой (рис. 85). На рисунке видно,
что адиабата (рУ"1?? const) более кру­
та, чем изотерма (p F = const). Это
объясняется тем, что при адиабатном
сжатии увеличение давления газа обус­
ловлено не только уменьшением его
объема, как при изотермическом сжа­
тии, но и повышением температуры.
Вычислим работу, совершаемую га­
зом в адиабатном процессе. Запишем
уравнение (55.1) в виде
А = -2-С удТ.
М
Если газ адиабатно расширяется от
объема Vi до У2, то его температура
уменьшается от Щ до Т2 и работа рас­
ширения идеального газа
6
А —-Щ -С у f d T =22-Су(Тх—Т2). (55.8)
М
JTi
М
Применяя те же приемы, что и при
выводе формулы (55.5), выражение
(55 .8) для работы при адиабатном рас­
ширении можно преобразовать к виду
рМ
ч- 1
_ R T X тп
®
рйИ
Ш J ~Ч-1 М
м
107
Работа, совершаемая газом при
адиабатном расширении 1—2 (опре­
деляется тонированной площадью на
рис. 85), меньше, чем при изотерми­
ческом расширении. Это объясняется
тем, что при адиабатном расширении
происходит охлаждение газа, тогда
как при изотермическом температура
поддерживается постоянной за счет
притока извне эквивалентного коли­
чества теплоты.
Рассмотренные изохорный, изобар­
ный, изотермический и адиабатный
процессы имеют общую особенность —
они происходят при постоянной тепло­
емкости. В первых двух процессах теп­
лоемкости соответственно равны Су и
Ср, в изотермическом процессе (d Т = 0)
теплоемкость равна ±оо, в адиабатном
(6Q= 0) теплоемкость равна нулю. Про­
цесс, в котором теплоемкость остается
постоянной, называется политропным.
Исходя из первого начала термоди­
намики при условии постоянства теп­
лоемкости ( С = const), можно вывести
уравнение политропы:
pVn = const,
(55.9)
С —С
где п = ——-pf- —показатель политроС —Су
пы. График зависимости между пара­
метрами состояния идеального газа
при С = const называется политропой.
Политропа в координатах р, V—гипер­
бола, занимающая промежуточное по­
ложение между изотермой и адиаба­
той.
Очевидно, что при С = 0, п = ч из
( 55 .9 ) получается уравнение адиабаты;
при С = оо, n = 1 —уравнение изотер­
мы; при С= Ср,п = 0 —уравнение изо­
бары, при С = Су, п = ±оо —уравнение
изохоры. Таким образом, все рассмот­
ренные процессы являются частными
случаями политропного процесса.
108
§ 56. Обратимые
и необратимые процессы.
Круговой процесс (цикл)
Термодинамический процесс назы­
вается обратимым, если он может про­
исходить как в прямом, так и в обрат­
ном направлении, причем если такой
процесс происходит сначала в прямом,
а затем в обратном направлении и сис­
тема возвращается в исходное состоя­
ние, то в окружающей среде и в этой си­
стеме не происходит никаких измене­
ний. Всякий процесс, не удовлетворя­
ющий этим условиям, будет необрати­
мым.
Любой обратимый процесс являет­
ся равновесным. Обратимость равновес­
ного процесса, происходящего в систе­
ме, следует из того, что ее любое про­
межуточное состояние есть состояние
термодинамического равновесия; для
него «безразлично», идет процесс в пря­
мом или обратном направлении.
Реальные процессы сопровождают­
ся диссипацией энергии (из-за трения,
теплопроводности и т.д.), которая нами
не обсуждается. Обратимые процес­
сы —это идеализацияреальных процес­
сов. Их рассмотрение важно по двум
причинам: 1 ) многие процессы в при­
роде и технике близки к обратимым;
2) для обратимых процессов термичес­
кий коэффициент полезного действия
максимален, что позволяет указать пути
повышения КПД реальных тепловых
двигателей.
Круговым процессом (или циклом)
называется процесс, при котором сис­
тема, пройдя через ряд состояний, воз­
вращается в исходное. На диаграмме
р —V равновесный круговой процесс
изображается замкнутой кривой (рис.
86). Цикл, совершаемый идеальным га­
зом, можно разбить на процессы расши­
рения (1—2) и сжатия (2— 1) газа.
Q — Qi ~ Qz>
p
0 Vt
v2
V
0 Ж:
% У
Рис. 86
Работа расширения (определяется
площадью фигуры 1a2V2Vl1) положи­
тельна (dV > 0), работа сжатия (опре­
деляется площадью фигуры 2Ы VxV22y
отрицательна (dF < 0). Следовательно,
работа, совершаемая газом за цикл, опре­
деляется площадью, охватываемой зам­
кнутой кривой. Если за цикл совершает­
ся положительная работа А = j)pdV > 0
(цикл протекает по часовой стрелке), то
он называется прямым (рис. 86, а), если
за цикл совершается отрицательная ра­
бота А = (f>pdV < 0 (цикл протекает
против часовой стрелки), то он называ­
ется обратным (рис. 86, б).
Прямой цикл используется в теп­
ловы х двигателях — периодически
действующих двигателях, совершаю­
щих работу за счет полученной извне
теплоты. Обратный цикл используется'
в холодильных машинах — периоди­
чески действующих установках, в кото­
рых за счет работы внешних сил тепло­
та переносится к телу с более высокой
температурой.
В результате кругового процесса си­
стема возвращается в исходное состоя­
ние и, следовательно, полное изменение
внутренней энергии газа равно нулю.
Поэтому первое начало термодинами­
ки (51.1) для кругового процесса
Q = A U + А = А,
$6.1)
т. е. работа, совершаемая за цикл, равна
количеству полученной извне теплоты.
Однако в результате кругового процес­
са система может теплоту как получать,
так и отдавать, поэтому
где Qi —количество теплоты, получен­
ное системой; Q2 — количество тепло­
ты, отданное системой.
Поэтому термический коэффици­
ент полезного действия для кругово­
го процесса
n = A - Ql~&L = \-Q 2 .. (56.2)
4
а
о
,
f t
§ 57. Энтропия,
ее статистическое толкование
и связь с термодинамической
вероятностью
Понятие энтропии введено в 1865 г.
Р. Клаузиусом. Для выяснения физи­
ческого содержания этого понятия рас­
сматривают отношение теплоты Q, по­
лученной телом в изотермическом про­
цессе, к температуре Г теплоотдающе­
го тела, называемое приведенным ко­
личеством теплоты.
Приведенное количество теплоты,
сообщаемое телу на бесконечно малом
участке процесса, равно
Строгий
теоретический анализ показывает, что
приведенное количество теплоты, сооб­
щаемое телу в любом обратимом круго­
вом процессе, равно
g g jf
(57.1)
Из равенства нулю интеграла (57.1),
взятого по замкнутому контуру, следу­
ет, что подынтегральное выражение
— есть полный дифференциал неко­
торой функции, которая определяется
только состоянием системы и не зави­
сит от пути, каким система пришла в это
состояние. Таким образом,
109
I H i
(57.2)
T
Функция состояния, дифференциалом
60
которой является
называется эн­
тропией и обозначается S.
Из формулы (57.1) следует, что для
обратимых процессов изменение энтро­
пии
Д $ = 0.
(57.3)
В термодинамике доказывается, что
энтропия системы, совершающей нео­
братимый цикл, возрастает:
Д £ > 0.
(57.4)
Выражения (57.3) и (57.4) относят­
ся только к замкнутым системам, если
же система обменивается теплотой с
внешней средой, то ее энтропия может
вести себя любым образом. Соотноше­
ния (57.3) и (57.4) можно представить
в виде неравенства Клаузиуса
A S > 0,
(57.5)
т.е. энтропия замкнутой системы мо­
жетлибо возрастать (в случае необра­
тимых процессов), либо оставаться по­
стоянной (в случае обратимых процес­
сов).
Если система совершает равновес­
ный переход из состояния 1 в состоя­
ние 2, то, согласно (57.2), изменение эн­
тропии
Д
_ т r г d T . m р г dV
~ M CvJП~ T + M RJЩТ '
или
Д iSi_,2 = 5*2 — S i ~
+№й
(57'7)
т.е. изменение энтропии ASX_2 идеаль­
ного газа при переходе его из состоя­
ния 1 в состояние 2, не зависит от вида
процесса перехода 1 —*2.
Так как для адиабатного процесса
bQ= 0, то A S = 0 и, следовательно,
S = const, т.е. адиабатный обратимый
процесс протекает при постоянной эн­
тропии. Поэтому его часто называют
изоэнтропийным процессом. Из фор­
мулы (57.7) следует, что при изотерми­
ческом процессе (Тх = Г2)
д* = ¥ йь| ;
при изохорном процессе ( Vi = V2)
= <$2— ~
J d ff+ M
(57 .6)
где подынтегральное выражение и пре­
делы интегрирования определяются че­
рез величины, характеризующие иссле­
дуемый процесс. Энтропия определяет­
ся с точностью до аддитивной посто­
янной. Значение постоянной, с которой
110
определяется энтропия, не играет роли,
так как физический смысл имеет не
сама энтропия, а разность энтропий.
Исходя из выражения (57.6), найдем
изменение энтропии в йроцессах иде­
ального газа. Поскольку d U = ^ -C vdT,
л /
М
bA=pdV = ^ R T ^ , i o
М
V
Д i9i_»2 = £2 —Si =
f.
Энтропия обладает свойством адди­
тивности: энтропия системы равна
сумме энтропий тел, входящих в систе­
му. Свойством аддитивности обладают
также внутренняя энергия, масса, объем
(температура и давление таким свой­
ством не обладают).
Более глубокий смысл энтропии
вскрывают в статистической физике:
энтропия связывается с термодинами­
ческой вероятностью состояния системы.
Термодинамическая вероятность W
состояния системы — это число спосо­
бов, которыми может быть реализова­
но данное состояние макроскопической
системы, или число микросостояний,
осуществляющих данное макросостбяние [по определению, W ^ 1, т. е. термо­
динамическая вероятность не есть ве­
роятность в математическом смысле
(последняя < 1 !)].
Согласно Больцману (1872), энтро­
пия системы и термодинамическая ве­
роятность связаны между собой следу­
ющим образом:
§ = jfclnW,
(57.8)
где к —постоянная Больцмана.
Таким образом, энтропия определя­
ется логарифмом числа микросостоя­
ний, с помощью которых может быть
реализовано данное макросостояние.
Следовательно, энтропия может рас­
сматриваться как мера вероятности со­
стояния термодинамической системы.
Формула Больцмана (57.8) позволяет
дать энтропии следующее статисти­
ческое толкование: энтропия является
мерой неупорядоченности системы.
В самом деле, чем больше число мик­
росостояний, реализующих данное мак­
росостояние, тем больше энтропия.
В состоянии равновесия —наиболее ве­
роятного состояния системы — число
микросостояний максимально, при
этом максимальна и энтропия.
' Так как реальные процессы необра­
тимы, то можно утверждать, что все
процессы в замкнутой системе ведут к
увеличению ее энтропии — принцип
возрастания энтропии. При статисти­
ческом толковании энтропии это озна­
чает, что процессы в замкнутой систе­
ме идут в направлении увеличения чис­
ла микросостояний, иными словами, от
менее вероятных состояний к более ве­
роятным —до тех пор, пока вероятность
состояния не станет максимальной.
Сопоставляя выражения (57.5) и
(57.8), видим, что энтропия и термоди­
намическая вероятность состояний
замкнутой системы могут либо возрас­
тать (в случае необратимых процессов),
либо оставаться постоянными (в случае
обратимых процессов).
Отметим, однако, что эти утвержде­
ния имеют место для систем, состоящих
из очень большого числа частиц, но
могут нарушаться в системах с малым
числом частиц. Для «малых» систем
могут наблюдаться флуктуации, т.е.
энтропия и термодинамическая вероят­
ность состояний замкнутой системы на
определенном отрезке времени могут
убывать, а не возрастать, или оставать­
ся постоянными.
§ 58. Второе начало
термодинамики
Первое начало термодинамики, вы­
ражая закон сохранения и превращения
энергии, не позволяет установить на­
правление протекания термодинами­
ческих процессов. Кроме того, можно
представить процессы, не противореча­
щие первому началу, в которых энергия
сохраняется, а в природе они не проис­
ходят. Появление второго начала тер­
модинамики связано с необходимостью
дать ответ на вопрос, какие процессы в
природе возможны, а какие нет. Второе
начало термодинамики определяет на­
правление протекания термодинами­
ческих процессов.
Используя понятие энтропии и не­
равенство Югаузиуса (см. § 57), второе
начало термодинамики можно сфор111
мулировать как закон возрастания
энтропии замкнутой системы при нео­
братимых процессах: любой необрати­
мый процесс в замкнутой системе про­
исходит так, что энтропия системы
при этом возрастает.
Можно дать более краткую форму­
лировку второго начала термодинами­
ки: в процессах, происходящих в замкну­
той системе, энтропия не убывает.
Здесь существенно, что речь идет о зам­
кнутых системах, так как в незамкну­
тых системах энтропия может вести
себя любым образом (убывать, возрас­
тать, оставаться постоянной). Кроме
того, отметим еще раз, что энтропия
остается постоянной в замкнутой сис­
теме только при обратимых процессах.
При необратимых процессах в замкну­
той системе энтропия всегда возра­
стает.
Формула Больцмана (57.8) позволя­
ет объяснить постулируемое вторым
началом термодинамики возрастание
энтропии в замкнутой системе при нео­
братимых процессах: возрастание энт­
ропии означает переход системы из ме­
нее вероятных в более вероятные состо­
яния. Таким образом, формула Больц­
мана позволяет дать статистическое
толкование второго начала термодина­
мики. Оно, являясь статистическим за­
коном, описывает закономерности ха­
отического движения большого числа
частиц, составляющих замкнутую сис­
тему.
Укажем еще две формулировки вто­
рого начала термодинамики:
1) по Кельвину, невозможен круго­
вой прогресс, единственным результа­
том которого является превращение
теплоты, полученной от нагревателя, в
эквивалентную ей работу',
2) по Клаузиусу: невозможен круго­
вой процесс, единственным результа­
том которого является передача теп­
112
лоты от менее нагретого тела к более
нагретому.
Можно довольно просто доказать
(предоставим это читателю) эквивален­
тность формулировок Кельвина и Кла­
узиуса. Кроме того, показано, что если
в замкнутой системе провести вообра­
жаемый процесс, противоречащий вто­
рому началу термодинамики в форму­
лировке Клаузиуса, то он сопровожда­
ется уменьшением энтропии. Это же
доказывает эквивалентность формули­
ровки Клаузиуса (а следовательно, и
Кельвина) и статистической формули­
ровки, согласно которой энтропия зам­
кнутой системы не может убывать.
В середине XIX в. возникла проблема так
называемой тепловой смерти Вселенной.
Рассматривая Вселенную как замкнутую
систему и применяя к ней второе начало тер­
модинамики, Клаузиус свел его содержание
к утверждению, что энтропия Вселенной
должна достигнуть своего максимума. Это
означает, что со временем все формы дви­
жения должны перейти в тепловую. Пере­
ход же теплоты от горячих тел к холодным
приведет к тому, что температура всех тел
во Вселенной сравняется, т. е. наступит пол­
ное тепловое равновесие и все процессы во
Вселенной прекратятся — наступит тепло­
вая смерть Вселенной. Ошибочность выво­
да о тепловой смерти заключается в том, что
бессмысленно применять второе начало тер­
модинамики к незамкнутым системам, на­
пример к такой безграничной и бесконечно
развивающейся системе, как Вселенная.
Первое и второе начала термодина­
мики дополняются третьим началом
термодинамики, или теоремой Нернста1—Планка: энтропия всех тел в со­
стоянии равновесия стремится к нулю
по мере приближения температуры к
нулю кельвин:
lim 5 = 0.
Г-40
1 В.Ф.Г.Нернст (1864 —1941) — немецкий
физик и химик.
Поскольку энтропия определяется с
точностью до аддитивной постоянной,
то эту постоянную удобно взять равной
нулю. Отметим, однако, что это произ­
вольное допущение, так как энтропия
по своей сущности всегда определяет­
ся с точностью до аддитивной постоян­
ной. Из теоремы Нернста—Планка сле­
дует, что теплоемкости Ср и
при ОК
равны нулю.
§ 59. Тепловые двигатели
и холодильные машины.
Цикл Карно и его КПД
для идеального газа
Из формулировки второго начала
термодинамики по Кельвину следует,
что вечный двигатель второго р ода —
периодически действующий двигатель,
совершающий работу за счет охлажде­
ния одного источника теплоты, — не­
возможен. Для иллюстрации этого по­
ложения рассмотрим работу теплового
двигателя (исторически второе начало
термодинамики и возникло из анализа
работы тепловых двигателей).
Принцип действия теплового двига­
теля приведен на рис. 87. От термоста­
та1с более высокой температурой Ти на­
зываемого нагревателем, за цикл отби­
рается количество теплоты Qv а термо­
стату с более низкой температурой Т2,
называемому холодильником, за цикл
передается количество теплоты Q2, при
этом совершается работа А = Qx — Q2.
Чтобы термический коэффициент
полезного действия теплового двигате­
ля (56.2) был равен 1, необходимо вы­
полнение условия Q2 = 0, т.е. тепловой
двигатель должен был бы иметь один
1 Термодинамическая система, которая мо­
жет обмениваться теплотой с телами без изме­
нения температуры.
_т\__
п
M~Qi
Ж
Т К
т о:
Рис. 87
Рис. i
источник теплоты. Однако, согласно
Карно1, для работы теплового двигате­
ля необходимо не менее двух источни­
ков теплоты с различными температу­
рами, иначе это противоречило бы вто­
рому началу термодинамики.
Двигатель второго рода, будь он возмо­
жен, был бы практически вечным. Охлаж­
дение, например, воды океанов на 1 ° дало бы
огромную энергию. Масса воды в Мировом
океане составляет примерно 1018 т, при ох­
лаждении которой на 1 ° выделилось бы при­
мерно 1024 Дж теплоты, что эквивалентно
полному сжиганию 1014 т угля. Железнодо­
рожный состав, нагруженный таким коли­
чеством угля, растянулся бы на расстояние
10“ км, что приблизительно совпадает с раз­
мерами Солнечной системы!
Процесс, обратный происходящему
в тепловом двигателе, используется в
холодильной м аш ине , принцип дей­
ствия которой представлен на рис. 88.
Системой за цикл от термостата с бо­
лее низкой температурой Т2 отбирает­
ся количество теплоты Q2 и отдается за
цикл термостату с более высокой тем­
пературой Тх количество теплоты Qv
Для кругового процесса, согласно (56.1),
Q = А, но, по условию, Q = Q2 — Qx < 0,
поэтому А < 0 и Q2 — Qi = —А или Qx—
= Q2 + А, т. е. количество теплоты Qb
отданное системой источнику теплоты
при более высокой температуре Ть
больше количества теплоты Q2, полу­
ченного от источника теплоты при бо­
лее низкой температуре Т2, на величи1
Н.Л.С.Карно(1796—1832) —французский
физик и инженер.
113
ну работы, совершенной над, системой.
Следовательно, без совершенияработы
нельзя отбирать теплоту от менее на­
гретого тела и отдавать ее более нагре­
тому. Это утверждение есть не что
иное, как второе начало термодинами­
ки в формулировке Клаузиуса.
Однако второе начало термодинами­
ки не следует представлять так, что оно
совсем запрещает переход теплоты от
менее нагретого тела к более нагрето­
му. Ведь именно такой переход осуще­
ствляется в холодильной машине. Но
при этом надо помнить, что внешние
силы совершают работу над системой,
т. е. этот переход не является единствен­
ным результатом процесса.
Из всех периодически действующих
тепловых машин, имеющих одинако­
вые температуры нагревателей (Тх) и
холодильников ( Т2), наибольшим КПД
обладают обратимые машины; при этом
КПД обратимых машин, работающих
при одинаковых температурах нагрева­
телей ( Тх) и холодильников ( Т2), рав­
ны друг другу и не зависят от природы
рабочего тела (тела, совершающего кру­
говой процесс и обменивающегося
энергией с другими телами), а опреде­
ляются только температурами нагрева­
теля и холодильника. Это утверждение
носит название теоремы Карно.
Из всевозможных круговых процес­
сов важное значение в термодинамике
имеет цикл Карно —цикл, состоящий
из четырех последовательных обрати­
мых процессов: изотермического рас­
ширения, адиабатного расширения,
изотермического сжатия и адиабатно­
го сжатия.
Прямой цикл Карно изображен на
рис. 89, где изотермические расширение
и сжатие заданы соответственно кривы­
ми 1—2 и 3 — 4 , а адиабатные расшире­
ние и сжатие —кривыми 2 —3 и 4—1.
При изотермическом процессе U= const,
114
поэтому, согласно (54.4), количество
теплоты Qi, полученное газом от нагре­
вателя, равно работе расширения Ап,
совершаемой газом при переходе из со­
стояния 1 в состояние 2:
4 , = I f яг.
= Q,. (59.1)
При адиабатном расширении 2 —3
теплообмен с окружающей средой от­
сутствует и работа расширения i423 со­
вершается за счет изменения внутрен­
ней энергии [см. (55.1) и (55.8)]:
^ 3 = - § C 'v (T2 - T 1).
Количество теплоты Q2, отданное га­
зом холодильнику при изотермическом
сжатии, равно работе сжатия Ам:
АМ = ^ Н Т 2Ы ^ — f t. (59.2)
М
Уз
Работа адиабатного сжатия
~Щ ~ “ jV
Работа, совершаемая в результате
кругового процесса,
А = А12 + Аы + Ам + А41 —
‘ == Qi + А2з —Q2 —А2з = Qi — Q2
и определяется площадью, тонирован­
ной на рис. 89.
Термический КПД цикла Карно, со­
гласно (56.2),
_ _А_ _ Qi —Q2
Qi
Qi
Применив уравнение (55.5) для ади­
абат 2 —3 и 4 —1] получим
I I V?-1 = Т2V?-1,
ТхV?-1 = Т2V?-\
откуда
Vi
(59.3)
V4
Подставляя (59.1) и (59.2) в форму­
лу (56.2) и учитывая (59.3), получаем
I,
_Q l-Q 2
™ fiT ln K - ] R R T 2ln Q
М
1 Ух М
2 У4 _
m
тх-т2
m
(59.4)
I
т. е. для цикла Карно КПД действитель­
но определяется только температурами
нагревателя и холодильника (доказа­
тельство теоремы Карно); Для повыше­
ния КПД необходимо увеличивать раз­
ность температур нагревателя и холо­
дильника. Например, при Тх = 400 К и
Т2 = 300 К т] = 0,25. Если же темпера­
туру нагревателя повысить на 100 К,
а температуру холодильника понизить
на 50 К, то т] = 0,5. КПД всякого реаль­
ного теплового двигателя из-за трения
и неизбежных тепловых потерь гораз­
до меньше вычисленного для цикла
Карно.
Обратный цикл Карно положен в
основу действия тепловых насосов.
В отличие от холодильных машин теп­
ловые насосы должны как можно боль­
ше тепловой энергии отдавать горяче­
му телу, например системе отопления.
Часть этой энергии отбирается от окру­
жающей среды с более низкой темпера­
турой, а часть получается за счет меха­
нической работы, производимой, на­
пример, компрессором.
Теорема Карно послужила основа­
нием для установления термодинами­
ческой шкалы температур. Сравнив
левую и правую части формулы (59.4),
получим
|М |1
(59.5)
*\
чЛ
т. е. для сравнения температур Тх и Т2
двух тел необходимо осуществить цикл
Карно, в котором одно тело использу­
ется в качестве нагревателя, другое —
как холодильник. Из равенства (59.5)
видно, что отношение температур тел
равно отношению отданного в этом
цикле количества теплоты к получен­
ному. Согласно теореме Карно, хими­
ческий состав рабочего тела не влияет
на результаты сравнения температур,
поэтому такая термодинамическая шка­
ла не связана со свойствами какого-то
определенного термометрического
тела. Отметим, что практически таким
образом сравнивать температуры труд­
но, так как реальные термодинамиче­
ские процессы, как уже указывалось,
являются необратимыми.
Контрольные вопросы
• В чем суть закона Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы моле­
кул?
• Почему колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергией, чем поступа­
тельная и вращательная?
• Что такое внутренняя энергия идеального газа? В результате каких процессов может
изменяться внутренняя энергия системы?
115
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Что такое теплоемкость газа? Какая из теплоемкостей — С^или Ср — больше и почему?
Как объяснить температурную зависимость молярной теплоемкости водорода?
Чему равна работа изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании на 1 К?
Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется при постоянном дав­
лении?
Температура газа в цилиндре постоянна. Запишите на основе первого начала термоди­
намики соотношение между сообщенным количеством теплоты и совершенной рабо­
той.
Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо­
яние 2 в результате следующих процессов: а) изотермического; б) изобарного; в) изохорного. Рассмотрев эти процессы графически, покажите: 1) в каком процессе работа
расширения максимальна; 2) когда газу сообщается максимальное количество теп­
лоты.
Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо­
яние 2 в результате следующих процессов: а) изобарного процесса; б) последователь­
ных изохорного и изотермического процессов. Рассмотрите эти переходы графически.
Одинаковы или различны в обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии; 2) затра­
ченное количество теплоты?
Почему адиабата более крутая, чем изотерма?
Как изменится температура газа при его адиабатном сжатии?
Показатель политропы n > 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ при сжатии?
Проанализируйте прямой и обратный циклы.
Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы
необратимы?
Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя, полностью преобра­
зуется в работу?
В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой
системы?
Дайте понятие энтропии (определение, размерность и математическое выражение энт­
ропии для различных процессов).
Изобразите в системе координат Т, S изотермический и адиабатный процессы.
Представив цикл Карно на диаграмме р, V графически, укажите, какой площадью опре­
деляется: 1) работа, совершенная над газам; 2) работа, совершенная самим расширяю­
щимся газом.
Представьте графически цикл Карно в переменных Т, S.
ЗАДАЧИ
9.1. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определите: 1) внутреннюю энер­
гию молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул
азота. Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж]
9.2. Определите удельные теплоемкости cv иср некоторого двухатомного газа, если плот­
ность этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м3. [cv = 650 Дж/(кг • К), Ср=910 Дж/(кг • К)]
9.3. Водород массой т = 20 г был нагрет на Д Г = 100 К при постоянном давлении. Опре­
делите: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение A U внутренней энергии
газа; 3) работу А расширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9 кДж; 3) 8,4 кДж]
9.4. Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определите, какое количе­
ство теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате
изохорного процесса. [5 кДж]
9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под давлением
0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Ра­
116
бота, затраченная на сжатие, А = —1,37 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначаль­
ный удельный объем газа. [1) гелий; 2) 1,25 м3/кг].
9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем Vx = 1 л и находится под давлением
Pi = 0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характеризуется объемом V2 и давлением р2.
В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной тем­
пературы, а его давление р3 = 0,2 МПа. Определите: 1) объем V2]2) давление р2. Представь­
те эти процессы графически. [1) 0,5 л; 2) 0,26 МПа]
9.7. Идеальный газ количеством вещества v = 2 моль сначала изобарно нагрели так,
что его объем увеличился в п = 2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа
уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных процессов.
[11,5 Дж /К ]
9.8. Тепловая машина, совершая обратный цикл Карно, за один цикл совершает работу
1 кДж. Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определите: 1) КПД маши­
ны; 2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество
теплоты, отдаваемое холодильнику за цикл. [1) 25 %; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж]
9.9. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого равен 0,3. Опре­
делите работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения со­
ставляет 300 Дж. [—210 Дж]
Г л а в а 10
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
§ 60. Силы и потенциальная
энергия межмолекулярного
взаимодействия
Модель идеального газа (см. § 41), ис­
пользуемая в молекулярно-кинетиче­
ской теории газов, позволяет довольно
хорошо описывать поведение разрежен­
ных реальных газов. При выводе урав­
нения состояния идеального газа раз­
мерами молекул и их взаимодействием
друг с другом пренебрегают. Повыше­
ние давления приводит к уменьшению
среднего расстояния между молекула­
ми, поэтому необходимо учитывать
объем молекул и взаимодействие меж­
ду ними. Так, в 1 м3 газа при нормаль­
ных условиях содержится 2,68 • 1025 мо­
лекул, занимающих объем примерно
10-4 м3 (радиус молекулы примерно
Ю-10 м), которым по сравнению с объе­
мом газа (1 м3) можно пренебречь. При
давлении 500 МПа (1 атм = 101,3 кПа)
объем молекул составит уже половину
всего объема газа. Таким образом, при
высоких давлениях указанная модель
идеального газа непригодна.
При рассмотрении реальны х га­
зов — газов, свойства которых зависят
от взаимодействия молекул, надо учи­
тывать силы межмолекулярного вза­
имодействия. Они проявляются на
расстояниях ^ 10-9 м и быстро убыва­
ют с увеличением расстояния между
молекулами. Такие силы называются
короткодействующими.
В XX в., по мере развития представ­
лений о строении атома и квантовой ме­
ханики, было выяснено, что между мо­
лекулами вещества одновременно дей­
ствуют силы притяжения и силы от­
талкивания. На рис. 90, а приведена
качественная зависимость сил межмо­
лекулярного взаимодействия от расс­
тояния г между молекулами, где F0 и
F„ — соответственно силы отталкива117
ния и притяжения, a У — их результи­
рующая.
Силы отталкивания считаются поло­
жительными, а силы взаимного притя­
жения —отрицательными.
На расстоянии г = г0 результирую­
щая сила У = 0, т. е. силы притяжения и
отталкивания уравновешивают друг
друга. Таким образом, расстояние г0со­
ответствует равновесному расстоянию
между молекулами, на котором бы они
находились в отсутствие теплового дви­
жения. При г < г0преобладают силы от­
талкивания (У > 0), при г > г0 —силы
притяжения (У < 0). На расстояниях
г > 10-9 м межмолекулярные силы вза­
имодействия практически отсутствуют
(У -» 0).
Элементарная работа 64 силы Упри
увеличении расстояния между молеку­
лами на dr совершается за счет умень­
шения взаимной потенциальной энер­
гии молекул, т.е.
bA = F dr= ~ dU .
(60.1)
Из анализа качественной зависимо­
сти потенциальной энергии взаимодей­
ствия молекул от расстояния между
ними (рис. 90, б) следует, что если мо­
118
лекулы находятся друг от друга на рас­
стоянии, на котором межмолекулярные
силы взаимодействия не действуют
(г-* оо), то П == 0. При постепенном
сближении молекул между ними появ­
ляются силы притяжения (У < 0), ко­
торые совершают положительную рабо­
ту ( 6Л = .Fdr > 0). Тогда, согласно
(60.1), потенциальная энергия взаимо­
действия уменьшается, достигая мини­
мума при г = г0.
При г < г0с уменьшением г силы от­
талкивания (У > 0) резко возрастают и
совершаемая против них работа отри­
цательна (8j4 = Уdr < 0). Потенциаль­
ная энергия начинает также резко воз­
растать и становится положительной.
Из данной потенциальной кривой сле­
дует, что система из двух взаимодей­
ствующих молекул в состоянии устой­
чивого равновесия (г = г0) обладает ми­
нимальной потенциальной энергией.
Критерием различных агрегатных
состояний вещества является соотно­
шение между величинами 1 р | и кТ.
Пщш наименьшая потенциальная
энергия взаимодействия молекул —оп­
ределяет работу, которую нужно совер­
шить против сил притяжения для того,
чтобы разъединить молекулы, находя­
щиеся в равновесии (г = г0); кТ опре­
деляет удвоенную среднюю энергию,
приходящуюся на одну степень свобо­
ды хаотического (теплового) движения
молекул.
Если Пт!п «; кТ, то вещество нахо­
дится в газообразном состоянии, так как
интенсивное тепловое движение моле­
кул препятствует соединению молекул,
сблизившихся до расстояния г0, т.е. ве­
роятность образования агрегатов из мо­
лекул достаточно мала.
Если Пд^а » кТ, то вещество находит­
ся в твердом состоянии, так как молеку­
лы, притягиваясь друг к другу, не могут
удалиться на значительные расстояния
и колеблются около положений равно­
весия, определяемого расстоянием г0.
Если IImin и кТ, то вещество нахо­
дится в жидком состоянии, так как в ре­
зультате теплового движения молеку­
лы перемещаются в пространстве, об­
мениваясь местами, но не расходясь на
расстояние, превышающее г0.
Таким образом, любое вещество в
зависимости от температуры может на­
ходиться в газообразном, жидком или
твердом агрегатном состоянии, причем
температура перехода из одного агре­
гатного состояния в другое зависит от
значения n min для данного вещества.
Например, у инертных газов Пт!п мало,
а у металлов велико, поэтому при обыч­
ных (комнатных) температурах они
находятся соответственно в газообраз­
ном и твердом состояниях.
не Vm, a Vm— Ъ, где Ь—объем, занимае­
мый самими молекулами. Объем bравен
учетверенному собственному объемумо­
лекул. Если, например, в сосуде находят­
ся две молекулы, то центр любой из них
не может приблизиться к Центру другой
молекулы на расстояние, меньшее диа­
метра d молекулы. Это означает, что для
центров обеих молекул оказывается не­
доступным сферический объем радиу­
са d, т.е. объем, равный восьми объемам
молекулы или учетверенному объему
молекулы в расчете на одну молекулу.
2.
Учет притяжения молекул. Дей­
ствие сил притяжения газа приводит к
появлению дополнительного давления
на газ, называемого внутренним дав­
лением. По вычислениям Ван-дер-Ва­
альса, внутреннее давление обратно
пропорционально квадрату молярного
объема:
§ 61. Уравнение Ван-дер-Ваальса
р, = -4г,
(61.1)
Как указывалось в § 60, для реаль­ где а — постоянная Ван-дер-Ваальса,
ных газов необходимо учитывать раз­ характеризующая силы межмолеку­
меры молекул и их взаимодействие лярного притяжения; Vm —молярный
друг с другом, поэтому модель идеаль­ объем.
Вводя эти поправки, получим урав­
ного газа и уравнение Клапейрона—
нение Ван-дер-Ваальса для 1моль газа
Менделеева (42.4) pVm = R T (для
(уравнение состояния реальных га­
1 моль газа), описывающее идеальный
зов)'.
газ, для реальных газов непригодны.
Учитывая собственный объем моле­
К И К - р ^ Д Т . (81.2)
кул и силы межмолекулярного взаимо­
действия, голландский физик И. Вандер-Ваальс (1837 —1923) вывел уравне­
Для произвольного количества веТТЬ с учетом того,
ние состояния реального газа. Ван-дерщества v газа (v = -j&)
Ваальсом в уравнение Клапейрона—
что V = v Vm, уравнение Ван-дер-Вааль­
Менделеева введены две поправки.
1.
Учет собственного объема моле­ са примет вид
кул. Наличие сил отталкивания, кото­
рые противодействуют проникновению
в занятый молекулой объем других мо­
лекул, сводится к тому, что фактический или
свободный объем, в котором могут дви­
( г » + . | | ] : ( Г - у б ) = уД У ,
гаться молекулы реального газа, будет
119
где поправки а и b — постоянные для
каждого газа величины, определяемые
опытным путем (записываются уравне­
ния Ван-дер-Ваальса для двух извест­
ных из опыта состояний газа и решают­
ся относительно а и Ь).
При выводе уравнения Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений,
поэтому оно также весьма приближен­
ное, хотя и лучше (особенно для не­
сильно сжатых газов) согласуется с
опытом, чем уравнение состояния иде­
ального газа.
§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса
и их анализ
Для исследования поведения реаль­
ного газа рассмотрим изотермы Вандер-Ваальса — кривые зависимости р
от Vm при заданных Т, определяемые
уравнением Ван-дер-Ваальса (61.2) для
1 моль газа. Эти кривые (рассматрива­
ются для четырех различных темпера­
тур; рис. 91) имеют довольно своеобраз­
ный характер. При высоких температу­
рах ( Т > Тк) изотерма реального газа
отличается от изотермы идеального
газа только некоторым искажением ее
формы, оставаясь монотонно спадаю­
щей кривой. При некоторой температу­
ре Тк на изотерме имеется лишь одна
точка перегиба К. Эта изотерма назы­
вается критической, соответствующая
120
ей температура Тк — критической
температурой; точка перегиба К на­
зывается критической точкой, в этой
точке касательная к ней параллельна
оси абсцисс. Соответствующие этой
точке объем VKи давление рк называ­
ются также критическими.
Состояние с критическими парамет­
рами (рк, VK, Тк) называется критиче­
ским состоянием. При низких темпе­
ратурах ( Т < Тк) изотермы имеют вол­
нообразный участок, сначала монотон­
но опускаясь вниз, затем монотонно
поднимаясь вверх и снова монотонно
опускаясь.
Для пояснения характера изотерм
преобразуем уравнение Ван-дер-Вааль­
са (61.2) к виду
PVm~(RT+pb)V£+aVm—ab=0. (62.1)
Уравнение (62.1) при заданных р и
Т является уравнением третьей степе­
ни относительно Fm; следовательно,
оно может иметь либо три веществен­
ных корня, либо один вещественный и
два мнимых, причем физический смысл
имеют лишь вещественные положи­
тельные корни. Поэтому первому слу­
чаю соответствуют изотермы при низ­
ких температурах (три значения объема
газа Vv V2 и V3) отвечают (индекс «т»
для простоты опускаем) одному значе­
нию давления р{), второму случаю —
изотермы при высоких температурах.
Рассматривая различные участки
изотермы при Т < Тк (рис. 92), видим,
что на участках 1—3 и 5 — 7 при умень­
шении объема Кт давление р растет, что
естественно. На участке 3 —5 сжатие ве­
щества приводит к уменьшению давле­
ния; практика же показывает, что такие
состояния в природе не осуществляют­
ся. Наличие участка 3 —5 означает, что
при постепенном изменении объема
вещество не может оставаться все вре­
мя в виде однородной среды; в некото­
рый момент должно наступить скачко­
образное изменение состояния и распад
вещества на две фазы. Таким образом,
истинная изотерма будет иметь вид ло­
маной линии 7—6 —2 —1.
Часть 6—7 отвечает газообразному
состоянию, а часть 2 —1 — жидкому.
В состояниях, соответствующих гори­
зонтальному участку изотермы 6—2,
наблюдается равновесие жидкой и га­
зообразной фаз вещества. Вещество в
газообразном состоянии при темпера­
туре ниже критической называется па­
ром, а пар, находящийся в равновесии
со своей жидкостью, называется насы­
щенным.
Данные выводы, следующие из ана­
лиза уравнения Ван-дер-Ваальса, были
подтверждены опытами ирландского
ученого Т. Эндрюса (1813—1885), изу­
чавшего изотермическое сжатие угле­
кислого газа. Отличие эксперимен­
тальных (Эндрюс) и теоретических
(Ван-дер-Ваальс) изотерм заключается
в том, что превращению газа в жидкость
в первом случае соответствуют гори­
зонтальные участки, а во втором —вол­
нообразные.
Для нахождения критических пара­
метров подставим их значения в урав­
нение (62.1) и запишем
pKV3-(R T K+pKb)V2+ aV -ab= 0 (62.2)
(индекс «ш» для простоты опускаем).
Поскольку в критической точке все три
корня совпадают и равны VK,уравнение
приводится к виду
ных соответствующих степеней. Поэто­
му можно записать
pKVK= ab, 3pKV* = а, 3pKVK= RTK+ pKb.
Решая полученные уравнения, най­
дем
VK
(62.4)
к = 36, рк = -2 4
7 Ь^2, Тк
к = 27 R b
v
/
Если через крайние точки горизон­
тальных участков семейства изотерм
(см. рис. 92) провести линию, то полу­
чится колоколообразная кривая (рис.
93), ограничивающая область двухфаз­
ных состояний вещества. Эта кривая и
критическая изотерма делят диаграмму
р, Vmпод изотермой на три области: под
колоколообразной кривой располагает­
ся область двухфазных состояний
(жидкость и насыщенный пар), слева от
нее находится область жидкого состоя­
ния, а справа —область пара.
Пар отличается от остальных газо­
образных состояний тем, что при изо­
термическом сжатии претерпевает про­
цесс сжижения. Газ же при температу­
ре выше критической не может быть
превращен в жидкость ни при каком
давлении.
P » ( V -V * ) 3 ~ О,
или
А ^ - З а ^ + З PKVZV-pKVK=0. (62.3)
Так как уравнения (62.2) и (62.3)
тождественны, то в них должны быть
равны и коэффициенты при неизвест­
121
тенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия. Потенциальная
энергия реального газа обусловлена
только силами притяжения между мо­
лекулами. Наличие сил притяжения
приводит к возникновению внутренне­
го давления на газ [см. (61.1)]:
Сравнивая изотерму Ван-дер-Вааль­
са с изотермой Эндрюса (верхняя кри­
вая на рис. 94), видим, что последняя
имеет прямолинейный участок 2 —6,
соответствующий двухфазным состоя­
ниям вещества. Правда, при некоторых
условиях могут быть реализованы со­
стояния, изображаемые участками вандер-ваальсовой изотермы 5 —6 и 2 —3.
Эти неустойчивые состояния называ­
ются метастабилъными. Участок 2—3
изображает перегретую жидкость,
5 —6 —пересыщенный пар. Обе фазы
ограниченно устойчивы.
При достаточно низких температу­
рах изотерма пересекает ось Vm, пере­
ходя в область отрицательных давле­
ний (нижняя кривая на рис. 94). Веще­
ство под отрицательным давлением на­
ходится в состоянии растяжения. При
некоторых условиях такие состояния
также реализуются. Участок 8 —9 на
нижней изотерме соответствует пере­
гретой жидкости, участок 9 —10 -*
растянутой жидкости.
§ 63. Внутренняя энергия
реального газа
Внутренняя энергия реального газа
складывается из кинетической энергии
теплового движения его молекул (оп­
ределяет внутреннюю энергию идеаль­
ного газа, равную СуТ\ см. § 53) и по­
122
Работа, которая затрачивается для
преодоления сил притяжения, действу­
ющих между молекулами газа, как из­
вестно из механики, идет на увеличение
потенциальной энергии системы, т.е.
6А = p'dVm = 8П,или 6П = - ^ d V , от­
куда
m
(постоянная интегрирования принята
равной нулю). Знак «—» означает, что
молекулярные силы, создающие внут­
реннее давление р', являются силами
притяжения (см. § 60). Учитывая оба
слагаемых, получим, что внутренняя
энергия 1 моль реального газа
Um = C vT - - ± -
(63.1)
растет с повышением температуры и
увеличением объема.
Если газ расширяется без теплооб­
мена с окружающей средой (адиабат­
ный процесс, т.е. 8Q = 0) и не соверша­
ет внешней работы (расширение газа в
вакуум, т.е. 6Л = 0), то на основании
первого начала термодинамики [6Q =
— (U2— Ui) + 6А] получим,что
Л ( и2.
(63.2)
Следовательно, при адиабатном рас­
ширении без совершения внешней ра­
боты внутренняя энергия газа не изме­
няется.
Равенство (63.2) формально спра­
ведливо как для идеального, так и для
реального газов, но его физический
смысл для обоих случаев совершенно
различен. Для идеального газа равен­
ство Ui = U2означает равенство темпе­
ратур (Т х = Т2), т.е. при адиабатном
расширении идеального газа в вакуум
его температура не изменяется. Для ре­
ального газа из равенства (63.2), учиты­
вая, что для 1 моль газа
И = GyTi § § | U2 ==CvT2- ± , (63.3)
V1
г2
получим
т гр _ а [ 1
Т' - Т г~ с ; т - Т 2)-
1
Так как V2 > Vb то Тх > Т2, т.е. ре­
альный газ при адиабатном расшире­
нии в вакуум охлаждается. При адиа­
батном сжатии в вакуум реальный газ
нагревается.
§ 64. Эффект Джоуля—Томсона
Если идеальный газ адиабатно рас­
ширяется и совершает при этом рабо­
ту, то он охлаждается, так как работа в
данном случае совершается за счет его
внутренней энергии (см. § 55). Подоб­
ный процесс, но с реальным газом —
адиабатное расширение реального газа
с совершением внешними силами поло­
жительной работы —осуществили анг­
лийские физики Дж. Джоуль (1818—
1889) и У. Томсон (лорд Кельвин,
1824-1907).
Рассмотрим эффект Джоуля—Том­
сона. На рис. 95 представлена схема их
опыта. В теплоизолированной трубке с
пористой перегородкой находятся два
поршня, которые могут перемещаться
без трения. Пусть сначала слева от пе-
Рис. 95
регородки газ под поршнем 1 находит­
ся под давлением рь занимает объем Vi
при температуре Ть а справа газ отсут­
ствует (поршень 2 придвинут к перего­
родке). После прохождения газа через
пористую перегородку в правой части
газ характеризуется параметрами р2, V2,
Т2. Давления рх и р2 поддерживаются
ПОСТОЯННЫМ И ( P i > р 2) .
Так как расширение газа происходит
без теплообмена с окружающей средой
(адиабатно), то на основании первого
начала термодинамики
6Q = ( U2 - Ux) Ч- 8А = 0. (64.1)
Внешняя работа, совершаемая газом,
состоит из положительной работы при
движении поршня 2 (А2 = p2V2) и от­
рицательной при движении поршня 1
(Ai = pi Vi), т.е. 6А = А2 —Ах. Подстав­
ляя выражения для работ в формулу
(64.1), получим
Ui + Pi Vi = U2 + vi Vi- (64.2)
Таким образом, в опыте Джоуля—
Томсона сохраняется (остается неиз­
менной) величина U+pV. Она являет­
ся функцией состояния и называется
энтальпией.
Ради простоты рассмотрим 1 моль
газа. Подставляя в формулу (64.2) вы­
ражение (63.3) и рассчитанные из урав­
нения Ван-дер-Ваальса (61.2) значения
Pi Vi и р2V2 (индекс «т» опять опуска­
ем) и производя элементарные преоб­
разования, получаем
123
ширения, или, как говорят, адиабат­
ного дросселирования —медленного
прохождения газа под действием пере­
Су -ЬR
пада давления сквозь дроссель (напри­
мер, пористую перегородку), называет­
ш^ ~ й
(64.3) ся эффектом Джоуля—Томсона. Эф­
фект Джоуля—Томсона принято назы­
Cv "f R
Из выражения (64.3) следует, что вать положительным, если газ в про­
дросселирования охлаждается
знак разности ( Т2—2\) зависит от того, цессе
(А Т < 0), и отрицательным, если газ
какая из поправок Ван-дер-Ваальса иг­ нагревается
(Д Г > 0 ).
рает большую роль. Проанализируем
В зависимости от условий дроссели­
данное выражение, сделав допущение,
рования для одного и того же газа эф­
что р2 < Pi и V2» Vi.
Джоуля—Томсона может быть
1)
а и 0 —не учитываем силы при­ фект
как
положительным,
так и отрицатель­
тяжения между молекулами, а учитыва­ ным. Температура, при
которой (для
ем лишь размеры самих молекул. Тогда данного давления) происходит
измене­
ние
знака
эффекта
Джоуля—
Томсона,
Т2 - Т х ~b(P2~Pl) > 0,
называется температурой инверсии.
Cv + R
Ее зависимость от объема получим,
т. е. газ в данном случае нагревается;
приравняв выражение (64.4) нулю:
2) Ъи 0 —не учитываем размеров мо­
лекул, а учитываем лишь силы притя­
Т = — f l ——
(64.5)
жения между молекулами. Тогда
Rb\ V
Кривая, определяемая уравнением
2а
(64.5), —кривая инверсии —приведе­
Т2 - Т х
< 0,
на на рис. 96. Область выше этой кри­
Су + R
вой соответствует отрицательному эф­
т.е. газ в данном случае охлаждается;
фекту Джоуля—Томсона, ниже —по­
3) учитываем обе поправки. Подста­ ложительному. Отметим, что при боль­
вив в выражение (64.3) вычисленное из ших перепадах давления на дросселе
уравнения Ван-дер-Ваальса (61.2) зна­ температура газа изменяется значи­
чение pi, имеем
тельно. Так, при дросселировании от 20
до 0,1 МПа и начальной температуре
ba ab
17 °С воздух охлаждается на 35 °С.
y ^ V i - b V? V?
T2 - T i
Эффект Джоуля—Томсона обус­
Cv +R
Cv + R
ловлен отклонением газа от идеальноbRTi 2 a
' Vi-b Vi
(64.4)
Cy -j- R
т.е. знак разности температур зависит
от значений начального объема Vx и
начальной температуры
Изменение температуры реального
газа в результате его адиабатного рас­
2а
124
сти. В самом деле, для 1 моль идеаль­
ного газа pVm= RT, поэтому выраже­
ние (64.2) примет вид
(Щ + Д7\ = CVT2 + RT2,
откуда следует, что Тг = Т2.
□
ТО
П Др
T f
Н ,0
дс
Рис. 97
§ 65. Сжижение газов
нике (X) до температуры ниже темпе­
ратуры инверсии, в результате чего при
дальнейшем расширении газа наблюда­
ется положительный эффект Джоуля —
Томсона (охлаждение газа при его рас­
ширении). Затем сжатый воздух прохо­
дит по внутренней трубе теплообмен­
ника (ТО) и пропускается через дрос­
сель (Др), при этом он сильно расши­
ряется и охлаждается. Расширивший­
ся воздух вновь засасывается по внеш­
ней трубе теплообменника, охлаждая
вторую порцию сжатого воздуха, теку­
щего по внутренней трубе.
Так как каждая следующая порция
воздуха предварительно охлаждается, а
затем пропускается через дроссель, то
температура понижается все больше.
В результате 6 —8 -часового цикла часть
воздуха (« 5 %), охлаждаясь до темпе­
ратуры ниже критической, сжижается
и поступает в дьюаровский сосуд (ДС)
(см. § 49), а остальная его часть возвра­
щается в теплообменник.
Второй метод сжижения газов осно­
ван на охлаждении газа при соверше­
нии им работы. Сжатый газ, поступая в
поршневую машину (детандер), рас­
ширяется и совершает при этом работу
по передвижению поршня. Так как ра­
бота совершается за счет внутренней
энергии газа, то его температура при
этом понижается.
Академик П. Л. Капица предложил
вместо детандера применять турбоде­
1
К.Линде (1 8 4 2 —1934) — немецкий физик тандер, в котором газ, сжатый всего
и инженер.
лишь до 500 —600 кПа, охлаждается,
Превращение любого газа в жид­
кость — сжижение газа — возможно
лишь при температуре ниже критиче­
ской (см. § 62). При ранних попытках
сжижения газов оказалось, что некото­
рые газы (Cl2, С 0 2, NH3) легко сжижа­
лись изотермическим сжатием, а целый
ряд газов ( 0 2, N2, Н2, Не) сжижению не
поддавался. Подобные неудачные по­
пытки объяснил Д. И. Менделеев, пока­
зав, что сжижение этих газов произво­
дилось при температуре, большей кри­
тической, и поэтому заранее было об­
речено на неудачу. Впоследствии уда­
лось получить жидкие кислород, азот и
водород (их критические температуры
равны соответственно 154,4, 126,1 и
33 К), а в 1908 г. нидерландский физик
Г.Камерлинг-Оннес (1853—1926) до­
бился сжижения гелия, имеющего са­
мую низкую критическую температуру
(5,3 К).
Для сжижения газов чаще применя­
ются два промышленных метода, в ос­
нове которых используется либо эф­
фект Джоуля—Томсона, либо охлажде­
ние газа при совершении им работы.
Схема одной из установок, в которой
используется эффект Джоуля —Томсо­
на, —машины Линде1 —представлена
на рис. 97. Воздух в компрессоре (К)
сжимается до давления в десятки ме­
гапаскалей и охлаждается в холодиль-
125
совершает работу по вращению турби­
ны. Этот метод успешно применен Ка­
пицей для сжижения гелия, предвари­
тельное охлаждение которого произво­
дилось жидким азотом. Современные
мощные холодильные установки рабо­
тают по принципу турбодетандера.
§ 66. Свойства жидкостей.
Поверхностное натяжение
Жидкость является агрегатным со­
стоянием вещества, промежуточным
между газообразным и твердым, поэто­
му она обладает свойствами как газооб­
разных, так и твердых веществ. Жидко­
сти, подобно твердым телам, имеют оп­
ределенный объем, а подобно газам,
принимают форму сосуда, в котором
они находятся (см. § 28). Молекулы
газа практически не связаны между со­
бой силами межмолекулярного взаимо­
действия, и в данном случае средняя
энергия теплового движения молекул
газа гораздо больше средней потенци­
альной энергии, обусловленной силами
притяжения между ними (см. § 60), по­
этому молекулы газа разлетаются в раз­
ные стороны и газ занимает предостав­
ленный ему объем.
В твердых и жидких телах силы при­
тяжения между молекулами уже суще­
ственны и удерживают молекулы на оп­
ределенном расстоянии друг от друга.
В этом случае средняя энергия хаоти­
ческого (теплового) движения молекул
меньше средней потенциальной энер­
гии, обусловленной силами межмоле­
кулярного взаимодействия, и-ее недо­
статочно для преодоления сил притя­
жения между молекулами, поэтому
твердые тела и жидкости имеют опре­
деленный объем.
Рентгеноструктурный анализ жид­
костей показал, что характер располо­
126
жения частиц жидкости промежуточен
между газом и твердым телом. В газах
молекулы движутся хаотично, поэтому
нет никакой закономерности в их вза­
имном расположении. Для твердых тел
наблюдается так называемый дальний
порядок в расположении частиц, т. е. их
упорядоченное расположение, повторя­
ющееся на больших расстояниях. В жид­
костях имеет место так называемый
ближний порядок в расположении ча­
стиц, т. е. их упорядоченное расположе­
ние, повторяющееся на расстояниях,
сравнимых с межатомными.
Теория жидкости до настоящего вре­
мени полностью не развита. Разработка
ряда проблем в исследовании свойств
жидкости принадлежит Я. И. Френке­
лю (1894 —1952). Тепловое движение в
жидкости он объяснял тем, что каждая
молекула в течение некоторого време­
ни колеблется около определенного
положения равновесия, после чего
скачком переходит в новое положение,
отстоящее от исходного на расстоянии
порядка межатомного. Таким образом,
молекулы жидкости довольно медлен­
но перемещаются по всей массе жидко­
сти и диффузия происходит гораздо
медленнее, чем в газах. С повышением
температуры жидкости частота колеба­
тельного движения резко увеличивает­
ся, возрастает подвижность молекул,
что, в свою очередь, является причиной
уменьшения вязкости жидкости.
На каждую молекулу жидкости со
стороны окружающих молекул дей­
ствуют силы притяжения, быстро убы­
вающие с расстоянием (см. рис. 90);
следовательно, начиная с некоторого
минимального расстояния силами при­
тяжения между молекулами можно
пренебречь, Это расстояние (порядка
10-9 м) называется радиусом молеку­
лярного действия г, а сфера радиуса
г —сферой молекулярного действия.
Выделим внутри жидкости какуюлибо молекулу А (рис. 98) и проведем
вокруг нее сферу радиусом г. Достаточ­
но, согласно определению, учесть дей­
ствие на данную молекулу только тех
молекул, которые находятся внутри
сферы молекулярного действия. Силы,
с которыми эти молекулы действуют на
молекулу А, направлены в разные сто­
роны и в среднем скомпенсированы,
поэтому результирующая сила, дей­
ствующая на молекулу внутри жидко­
сти со стороны других молекул, равна
нулю.
Иначе обстоит дело, если молекула,
например молекула В, расположена от
поверхности на расстоянии, мень­
шем г. В данном случае сфера молеку­
лярного действия лишь частично рас­
положена внутри жидкости. Так как
концентрация молекул в расположен­
ном над жидкостью газе мала по срав­
нению с их концентрацией в жидкости,
то равнодействующая сил F, прило­
женных к каждой молекуле поверхно­
стного слоя, не равна нулю и направ­
лена внутрь жидкости. Таким образом,
результирующие силы всех молекул
поверхностного слоя оказывают на
жидкость давление, называемое моле­
кулярным (или внутренним). Моле­
кулярное давление не действует на
тело, помещенное в жидкость, так как
оно обусловлено силами, действующи­
ми только между молекулами самой
жидкости.
Суммарная энергия частиц жидко­
сти складывается из энергии их хаоти­
ческого (теплового) движения и потен­
циальной энергии, обусловленной си­
лами межмолекулярного взаимодей­
ствия. Для перемещения молекулы из
глубины жидкости в поверхностный
слой надо затратить работу. Эта работа
совершается за счет кинетической энер­
гии молекул и идет на увеличение их
Рис. 98
потенциальной энергии. Поэтому моле­
кулы поверхностного слоя жидкости
обладают большей потенциальной
энергией, чем молекулы внутри жидко­
сти. Эта дополнительная энергия, кото­
рой обладают молекулы в поверхност­
ном слое жидкости, называемая поверх­
ностной энергией, пропорциональна
площади слоя AS:
AE=csAS,
(66.1)
где ст —поверхностное натяжение.
Так как равновесное состояние ха­
рактеризуется минимумом потенциаль­
ной энергии, то жидкость при отсут­
ствии внешних сил будет принимать
такую форму, чтобы при заданном
объеме она имела минимальную повер­
хность, т.е. форму шара. Наблюдая
мельчайшие капельки, взвешенные в
воздухе, можем видеть, что они дей­
ствительно имеют форму шариков, но
несколько искаженную из-за действия
сил земного тяготения. В условиях не­
весомости капля любой жидкости (не­
зависимо от ее размеров) имеет сфери­
ческую форму, что доказано экспери­
ментально на космических кораблях.
Итак, условием устойчивого равно­
весия жидкости является минимум по­
верхностной энергии. Это означает, что
жидкость при заданном объеме долж­
на иметь наименьшую площадь повер­
хности, т. е. жидкость стремится сокра­
тить площадь свободной поверхности.
В этом случае поверхностный слой
127
жидкости можно уподобить растянутой
упругой пленке, в которой действуют
силы натяжения.
Рассмотрим поверхность жидкости
(рис. 99), ограниченную замкнутым
контуром. Под действием сил поверх­
ностного натяжения (направлены по
касательной к поверхности жидкости и
перпендикулярно участку контура, на
который они действуют) поверхность
жидкости сократилась и рассматривае­
мый контур переместился в новое по­
ложение, отмеченное на рисунке стрел­
ками. Силы, действующие со стороны
выделенного участка на граничащие с
ним участки, совершают работу
A A ^fAlAx,
где /—сила поверхностного натяжения,
действующая на единицу длины конту­
ра поверхности жидкости.
Из рис. 99 видно, что А1Ах= AS, т. е.
AA=fAS.
(66.2)
Эта работа совершается за счет
уменьшения поверхностной энергии,
т.е.
АА = АЕ.
(66:3)
Из сравнения выражений (66.1) —
(66.3) видно, что
0 */,
(66.4)
т.е. поверхностное натяжение равно
силе поверхностного натяжения, при­
ходящейся на единицу длины контура,
ограничивающего поверхность. Едини­
128
ца поверхностного натяжения —нью­
тон на метр (Н/м) или джоуль на квад­
ратный м етр (Дж/м2) [см. (66.4) и
(66.1)]. Большинство жидкостей при
температуре 300 К имеет поверхностное
натяжение порядка 10 ~2—10“1 Н/м. По­
верхностное натяжение с повышением
температуры уменьшается, так как уве­
личиваются средние расстояния между
молекулами жидкости.
Поверхностное натяжение суще­
ственным образом зависит от примесей,
имеющихся в жидкостях. Вещества,
ослабляющие поверхностное натяже­
ние жидкости, называются поверхностно-активными. Наиболее известным
поверхностно-активным веществом по
отношению к воде является мыло. Оно
сильно уменьшает ее поверхностное
натяжение (примерно с 7,5 • 10-2 до
4,5 • 10-2 Н/м). Поверхностно-активны­
ми веществами, понижающими повер­
хностное натяжеНие воды, являются
также спирты, эфиры, нефть и др.
Существуют вещества (сахар, соль),
которые увеличивают поверхностное
натяжение жидкости благодаря тому,
что их молекулы взаимодействуют с
молекулами жидкости сильнее, чем
молекулы жидкости между собой. На­
пример, если посолить мыльный ра­
створ, то в поверхностный слой жидко­
сти выталкивается молекул мыла боль­
ше, чем в пресной воде. В мыловарен­
ной технике мыло «высаливается» этим
способом из раствора.
§ 67. Смачивание
Из повседневной практики извест­
но, что капля воды растекается на стек­
ле и принимает форму, изображенную
на рис. 100 , в то время как ртуть на той
же поверхности превращается в не­
сколько сплюснутую каплю (рис. 10 1 ).
I
В первом случае говорят, что жидкость
Газ (3)
смачивает твердую поверхность, во
втором — не смачивает ее.
ст23
Смачивание зависит от характера
сил, действующих между молекулами
поверхностных слоев соприкасающих­
ся сред. Д ля смачивающей жидкости
силы притяжения между молекулами
жидкости и твердого тела больше, чем
между молекулами самой жидкости, и
жидкость стремится увеличить повер­
хность соприкосновения с твердым те­
лом . Д ля несмачивающей жидкости
силы притяжения между молекулами
жидкости и твердого тела меньше, чем
между молекулами жидкости, и жид­
кость стремится уменьш ить поверх­
ность своего соприкосновения с твер­
дым телом.
К линии соприкосновения трех сред
(точка О есть ее пересечение с плоско­
стью чертежа) приложены три силы
поверхностного натяжения, которые
направлены по касательной внутрь по­
верхности соприкосновения соответ­
ствующих двух сред (см. рис. 100 и 101).
Эти силы, отнесенные к единице длины
линии соприкосновения, равны соот­
ветствующим поверхностным натяже­
ниям ст12, ст13, сг23. Угол 0 между касатель­
ными к поверхностям жидкости и твердого тела называется краевым углом.
Условием равновесия капли (см. рис.
100) является равенство нулю суммы
проекций сил поверхностного натяже­
ния на направление касательной к по­
верхности твердого тела, т. е.
—СТ13 + СТ12 + 023 cos 0 = 0 ,
откуда
cos 0 — —^
(67. 1)
°23
Из условия (67.1) вытекает, что кра­
евой угол может быть острым или ту­
пым в зависимости от значений ст13 и ст12.
5 Курс физики
O'i2
Рис. 100
Жидкость (2)
O'23 COS 0
Твердое тело (V)
Газ (3)
Жидкость (2)
Рис. 101
О
Твердое тело ( 1)
Если ст13 > ст12, то cos0 > 0 и угол 0 —
острый (см. рис. 100), т.е. жидкость сма­
чивает твердую поверхность. Е сли
ст13 < ст12, то cos0 < 0 и угол 0 — тупой
(рис. 101), т.е. жидкость не смачивает
твердую поверхность. Краевой уго л
удовлетворяет условию (67.1), если
'
<£
(67.2)
ст23
Если условие (67.2) не выполняет­
ся, то капля жидкости (2) ни при каких
значениях 0 не может находиться в рав­
новесии. Если ст13 > ст12 + ст23, то жид­
кость растекается по поверхности твер­
дого тела, покрывая его тонкой пленкой
(например, керосин на поверхности
стекла), — имеет место полное смачи­
вание (в данном случае 0 = 0). Если
ст12 > ст13 + <т23, то жидкость стягивается
в шаровую каплю, в пределе имея с ней
лишь одну точку соприкосновения (на­
пример, капля воды на поверхности
парафина), — имеет место полное несмачивание (в данном случае 0 = -к).
Смачивание и несмачиванне я в ля­
ются понятиями относительными, т. е.
жидкость, смачивающая одну твердую
поверхность, не смачивает другую. На­
пример, вода смачивает стекло, но не
129
смачивает парафин; ртуть не смачива­
ет стекло, но смачивает чистые поверх­
ности металлов.
Явления смачивания и несмачивания имеют большое значение в техни­
ке. Например, в методе флотационного
обогащения руды (отделение руды от
пустой породы) ее, мелко раздроблен­
ную, взбалтывают в жидкости, смачи­
вающей пустую породу и не смачиваю­
щей руду. Через эту смесь продувается
воздух, а затем она отстаивается. При
этом смоченные жидкостью частицы
породы опускаются на дно, а крупинки
минералов «прилипают» к пузырькам
воздуха и всплывают на поверхность
жидкости. При механической обработ­
ке металлов их смачивают специальны­
ми жидкостями, что облегчает и уско­
ряет обработку.
(рис. 102). На каждый бесконечно ма­
лый элемент длины А1 этого контура
действует сила поверхностного натяже­
ния A F = оА1, касательная к поверх­
ности сферы.
Разложив AF на два компонента
( A F x и A jF 2) , в и д и м , ч т о геометричес­
кая сумма сил A F2 равна нулю, так как
эти силы на противоположных сторо­
нах контура направлены в обратные
стороны и взаимно уравновешиваются.
Поэтому равнодействующая сил повер­
хностного натяжения, действующих на
вырезанный сегмент, направлена пер­
пендикулярно плоскости сечения
внутрь жидкости и равна алгебраиче­
ской сумме составляющих A Fx:
F = 2 > F , = 5 > F s in a = 2 > A ( i =
=
§ 68. Давление под искривленной
поверхностью жидкости
Если поверхность жидкости не плос­
кая, а искривленная, то она оказывает
на жидкость избыточное (добавочное)
давление. Это давление, обусловленное
силами поверхностного натяжения, для
выпуклой поверхности положительно,
а для вогнутой —отрицательно.
Для расчета избыточного давления
предположим, что свободная поверх­
ность жидкости имеет форму сферы
радиусом R) от которой мысленно от­
сечен шаровой сегмент, опирающийся
на окружность радиусом г = R sin а
= 2itr.
R^
R
Разделив эту силу на площадь осно­
вания сегмента тгг2, вычислим избыточ­
ное давление на жидкость, создаваемое
силами поверхностного натяжения и
обусловленное кривизной поверхности:
ь р = 1 = ? 2 ™±= 2 г . (68.1)
v S Вжгг
R '
Если поверхность жидкости вогну­
тая, то можно доказать, что результи­
рующая сила поверхностного натяже­
ния направлена из жидкости и равна
Лр=~.
(68.2)
К
Следовательно, давление внутри
жидкости под вогнутой поверхностью
меньше, чем в газе, на величину Ар.
Формулы (68.1) и (68.2) являются
частным случаем формулы Лапласа\
определяющей избыточное давление
1
ный.
130
П.Лаплас(1749—1827)—французский уче­
для произвольном поверхности жидко­
сти двоякой кривизны:
Др = ст — + — 1
Ц! Щ
Ртуть
Рис. 103
т
(68.3)
где fij и й 2 - радиусы кривизны двух
любых взаимно перпендикулярных нор­
мальных поверхности жидкости в дан­
ной точке.
Радиус кривизны положителен, если
центр кривизны соответствующего се­
чения находится внутри жидкости, и
отрицателен, если центр кривизны на­
ходится вне жидкости.
Для сферической искривленной по­
верхности (Д х = R2 = R) выражение
(68.3) переходит в (68.1), для цилинд­
рической (Л х = R и R2 = о о ) — избы­
точное давление
_Всща
поднимается, так как под плоской повер­
хностью жидкости в широком сосуде
избыточного давления нет. Если же жид­
кость не смачивает стенки капилляра, то
положительное избыточное давление
приведет к опусканию жидкости в ка­
пилляре.* Явление изменения высоты
уровня жидкости в капиллярах называ­
ется капиллярностью^Жидкость в ка­
пилляре поднимается или опускается
на такую высоту h, при которой давле­
ние столба жидкости ( гидростатиче­
ское давление) pgh уравновешивается
избыточным давлением Др, т. е.
2ст
В случае плоской поверхности (Л х=
= R2 — оо) силы поверхностного натя­
жения избыточного давления не создают.
§ 69. Капиллярные явления
Если поместить один конец узкой
трубки (капилляр) в широкий сосуд,
наполненный жидкостью, то вследст­
вие смачивания или несмачивания
жидкостью стенок капилляра кривизна
поверхности жидкости в капилляре ста­
новится значительной. Если жидкость
смачивает материал трубки, то внутри
ее поверхность жидкости — мениск —
имеет вогнутую форму, если не смачи­
вает, —выпуклую (рис. 103).
Под вогнутой поверхностью жидко­
сти появится отрицательное избыточное
давление, определяемое по формуле
(68.2). Наличие этого давления приво­
дит к тому, что жидкость в капилляре
R
= pgh,
где р — плотность жидкости; g — уско­
рение свободного падения.
Если г —радиус капилляра, 0 —кра­
евой угол, то из рис. 103 следует, что
2 ctc o s0
--------= pgh,. откуда
2 стcos 6
pgr
(69.1)
В соответствии с тем, что смачиваю­
щая жидкость по капилляру поднимает­
ся, а несмачивающая опускается, из фор­
мулы (69.1) при 0 < ^ (cos0 > 0) полу­
чим положительные значения h, а при
0 > — (cos0 < 0 ) — отрицательные. Из
выражения (69.1) также видно, что вы­
сота поднятия (опускания) жидкости в
капилляре обратно пропорциональна
его радиусу. В тонких капиллярах жид­
кость поднимается достаточно высоко.
Так, при полном смачивании (0 = 0)
131
вода (р = 1000 кг/м3, ст = 0,073 Н/м)
в капилляре диаметром 10 мкм подни­
мается на высоту h « 3 м.
Капиллярные явления играют боль*
шую роль в природе и технике. Напри­
мер, влагообмен в почве и растениях
осуществляется за счет поднятия воды
по тончайшим капиллярам.
На капиллярности основано дей­
ствие фитилей, впитывание влаги бето­
ном и т. д.
§ 70. Твердые тела.
Моно- и поликристаллы
Твердые тела (кристаллы) характе­
ризуются наличием значительных сил
межмолекулярного взаимодействия и
сохраняют постоянными не только свой
объем, но и форму. Кристаллы имеют
правильную геометрическую форму,
которая, как показали рентгенографи­
ческие исследования немецкого физика-теоретика М. Лауэ (1879—1960), яв­
ляется результатом упорядоченного
расположения частиц (атомов, моле­
кул, ионов), составляющих кристалл.
Структура, для которой характерно
регулярное расположение частиц с пе­
риодической повторяемостью в трех
измерениях, называется кристалли­
ческой решеткой. Точки, в которых
расположены частицы, а точнее —сред­
ние равновесные положения, около ко­
торых частицы совершают колебания,
называются узлами кристаллической
решетки.
Кристаллические тела можно разде­
лить на две группы: монокристаллы и
поликристаллы. Монокристаллы —
твердые тела, частицы которых образу­
ют единую кристаллическую решетку.
Кристаллическая структура монокрис­
таллов обнаруживается по их внешней
форме. Хотя внешняя форма монокри­
132
сталлов одного типа может быть раз­
личной, но углы между соответствую­
щими гранями у них остаются постоян­
ными. Это закон постоянства углов,
сформулированный М. В. Ломоносо­
вым. Он сделал важный вывод о том,
что правильная форма кристаллов свя­
зана с закономерным размещением ча­
стиц, образующих кристалл.
Монокристаллами является боль­
шинство минералов. Однако крупные
природные монокристаллы встречают­
ся довольно редко (например, лед, по­
варенная соль, исландский шпат). В на­
стоящее время многие монокристаллы
выращиваются искусственно. Условия
роста крупных монокристаллов (чис­
тый раствор, медленное охлаждение и
т.д.) часто не выдерживаются, поэтому
большинство твердых тел имеет мелко­
кристаллическую структуру, т. е. состо­
ит из множества беспорядочно ориен­
тированных мелких кристаллических
зерен. Такие твердые тела называются
поликристаллами (многие горные
породы, металлы и сплавы).
Характерной особенностью моно­
кристаллов является их анизотроп­
ность, т.е. зависимость физических
свойств —упругих, механических, теп­
ловых, электрических, магнитных, оп­
тических —от направления.
Анизотропия монокристаллов объяс­
няется тем, что в кристаллической ре­
шетке различно число частиц, приходя­
щихся на одинаковые по длине, но раз­
ные по направлению отрезки (рис. 104),
т.е. плотность расположения частиц
кристаллической решетки по разным
направлениям неодинакова, что и при­
водит к различию свойств кристалла
вдоль этих направлений. В поликрис­
таллах анизотропия наблюдается толь­
ко для отдельных мелких кристалли­
ков, но их неодинаковая ориентация
приводит к тому, что свойства поликри-
Рис. 104
О •
О •
о
•
о
о
о
тие трехмерной периодической струк­
туры —пространственной решетки,
или решетки Бравэ, представление о
которой введено французским кристал­
лографом О. Бравэ (1811 —1863). Вся­
кая пространственная решетка может
быть составлена повторением в трех раз­
личных направлениях одного и того же
о
сталла по всем направлениям в среднем
одинаковы.
Таблица 3
Кристалле- 'Характеристи­
графическая ка элементар­
ной ячейки
система
Форма
элементарной
ячейки
1 J -------- -я
с,
Триклинная
§ 71. Типы кристаллических
твердых тел
Ik
'
Ь
а&Ь**~с,
Моноклин­
Существует два признака для клас­
Gl= (3 =
ная
сификации кристаллов: 1 ) кристалло­
= 90
4
графический; 2 ) физический (природа
Ь
частиц, расположенных в узлах крис­
таллической решетки, и характер сил
а 5*
с,Ромбичевзаимодействия между ними).
• ская
а = Р«=
1. Кристаллографический признак
= 4 = 90°
кристаллов. В данном случае важна
ь
только пространственная периодичность
Тетраго­
а
=
Ъ
е,,
в расположении частиц, поэтому мож­
нальная
а г з р .=
но отвлечься от их внутренней струк­
L = ч = 90°
туры, рассматривая частицы как гео­
метрические точки.
ь
Кристаллическая решетка может
Ромбоэдри­ о = Ь = с ,
обладать различными видами симмет­
а = (3 ==
ческая
рии. Симметрия кристаллической (тригональ' ==4^ 90°
решетки —ее свойство совмещаться с
ная)
0
собой при некоторых пространствен­
ных перемещениях, например парал­
а = Ь ** с,
Гексаго­
Qt i
1
лельных переносах, поворотах, отра­
а = Р = 90°,
нальная
жениях или их комбинациях и т. д.
Ч = 60°
. ' ф
- ;j
Кристаллической решетке, как доказал
русский кристаллограф Е. С. Федоров
А--- >—---(1853—1919), присущи 230 комбина­ Кубическа*I а —Ь~. с ,
/у 1
/Л
а = Р=
ций элементов симметрии, или 230 раз­
= 4 = 90°
личных пространственных групп.
С переносной симметрией в трех­
•р
мерном пространстве связывают поня­
!
°
&
133
структурного элемента —элементар­
ной ячейки. Всего существует 14 типов
решеток Бравэ, отличающихся по виду
переносной симметрии. Они распреде­
ляются по семи кристаллографиче­
ским системам, или сингониям, пред­
ставленным в порядке возрастающей
симметрии в табл. 3.
Для описания элементарных ячеек
пользуются кристаллографическими
осями координат, которые проводят па­
раллельно ребрам элементарной ячейки,
а начало координат выбирают в левом
углу передней грани элементарной ячей­
ки. Элементарная кристаллическая
ячейка представляет собой параллеле­
пипед, построенный на ребрах а, Ь, с с
углами а, 0 и ч между ребрами (табл. 3).
Величины а, Ьисиа,(3ич называются
параметрами элементарной ячейки и
однозначно ее определяют.
2. Физический признак кристал­
лов. В зависимости от рода частиц, рас­
положенных в узлах кристаллической
решетки, и характера сил взаимодей­
ствия между ними кристаллы разделя­
ются на четыре типа: ионные, атомные,
металлические, молекулярные.
Ионные кристаллы. В узлах крис­
таллической решетки располагаются
поочередно ионы противоположного
знака. Типичными ионными кристал­
лами является большинство галоидных
соединений щелочных металлов (NaCl,
CsCl, КВг и т.д.), а также оксидов раз­
личных элементов (MgO, СаО и т.д.).
CsCl
NaCl
Рис. 105
134
Структуры решеток двух наиболее
характерных ионных кристаллов —
NaCl (решетка представляет собой две
одинаковые гранецентрированные ку­
бические решетки, вложенные друг в
друга; в узлах одной из этих решеток на­
ходятся ионы Na+, в узлах другой —
ионы СГ) и CsCl (кубическая объемно
центрированная решетка — в центре
каждой элементарной решетки нахо­
дится ион) — показаны на рис. 105.
Силы взаимодействия между ионами
являются в основном электростатиче­
скими (кулоновскими).
Связь, обусловленная кулоновски­
ми силами притяжения между разно­
именно заряженными нонами, называ­
ется ионной (или гетерополярной).
В ионной решетке нельзя выделить от­
дельные молекулы: кристалл представ­
ляет собой как бы одну гигантскую мо­
лекулу.
Атомные кристаллы. В узлах крис­
таллической решетки располагаются
нейтральные атомы, удерживающиеся
в узлах решетки гомеополярными, или
ковалентными, связями квантово-ме­
ханического происхождения (у сосед­
них атомов обобществлены валентные
электроны, наименее связанные с ато­
мом). Атомными кристаллами являют­
ся алмаз и графит (два различных со­
стояния углерода), некоторые неорга­
нические соединения (ZnS, ВеО и т. д.),
а также типичные полупроводники —
германий Ge и кремний Si. Структура
решетки алмаза приведена на рис. 106,
где каждый атом углерода окружен че­
тырьмя такими же атомами, которые
располагаются на одинаковых рассто­
яниях от него в вершинах тетраэдров.
Валентные связи осуществляются
парами электронов, движущихся по ор­
битам, охватывающим оба атома, и но­
сят направленный характер: ковалент­
ные силы направлены от центрального
атома к вершинам тетраэдра. В отличие
от графита решетка алмаза не содержит
плоских слоев, что не позволяет сдви­
гать отдельные участки кристалла, по­
этому алмаз является прочным соеди­
нением.
Металлические кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располага­
ются положительные ионы металла.
При образовании кристаллической ре­
шетки валентные электроны, сравни­
тельно слабо связанные с атомами, от­
деляются от атомов и коллективизиру­
ются: они уже принадлежат не одному
атому, как в случае ионной связи, и не
паре соседних атомов, как в случае гомеополярной связи, а всему кристаллу
в целом. Таким образом, в металлах
между положительными ионами хаоти­
чески, подобно молекулам газа, дви­
жутся «свободные» электроны, наличие
которых обеспечивает хорошую элект­
ропроводность металлов. Так как ме­
таллическая связь не имеет направлен­
ного действия и положительные ионы
решетки одинаковы по свойствам, то
металлы должны иметь симметрию вы­
сокого порядка. Действительно, боль­
шинство металлов имеет кубическую
объемно центрированную (Li, Na, К, Rb,
Cs) и кубическую гранецентрированную (Си, Ag, Pt, Аи) решетки. Чаще
всего металлы встречаются в виде по­
ликристаллов.
Молекулярные кристаллы. В узлах
кристаллической решетки располага­
ются нейтральные молекулы вещества,
силы взаимодействия между которыми
обусловлены незначительным взаим­
ным смещением электронов в элект­
ронных оболочках атомов. Эти силы
называют ван-дер-ваальсовыми, так
как они имеют ту же природу, что и
силы притяжения между молекулами,
приводящими к отклонению газов от
идеальности.
Молекулярными кристаллами явля­
ется, например, большинство органи­
ческих соединений (парафин, спирт,
резина и т.д.), инертные газы (Ne, Аг,
Кг, Хе) и газы С 0 2, 0 2, N2 в твердом со­
стоянии, лед, а также кристаллы бро­
ма Вг2 и иода 12. Ван-дер-ваальсовы
силы довольно слабые, поэтому моле­
кулярные кристаллы легко деформи­
руются.
В некоторых твердых телах одновре­
менно может осуществляться несколь­
ко видов связи. Примером может слу­
жить графит (гексагональная решетка).
Решетка графита (рис. 107) состоит из
ряда параллельных плоскостей, в кото­
рых атомы углерода расположены в
вершинах правильных шестиугольни­
ков. Расстояние между плоскостями
более чем в два раза превышает рассто­
яние между атомами шестиугольника.
Плоские слои связаны друг с другом
ван-дер-ваальсовыми силами. В преде­
лах слоя три валентных электрона каж­
дого атома углерода образуют ковален-
135
тную связь с соседними атомами угле­
рода, а четвертый электрон, оставаясь
«свободным», коллективизируется, но
не во всей решетке, как в случае метал­
лов, а в пределах одного слоя. Таким
образом, в данном случае осуществля­
ются три вида связи: гомеополярная и
металлическая — в пределах одного
слоя; ван-дер-ваальсова —между слоя­
ми. Этим объясняется мягкость графи­
та, так как его слои могут скользить от­
носительно друг друга.
Различие в строении кристалличес­
ких решеток двух разновидностей угле­
рода —графита и алмаза —объясняет
различие в их физических свойствах:
мягкость графита и твердость алмаза;
графит — проводник электричества,
алмаз — диэлектрик (нет свободных
электронов) и т- Д.
Расположение атомов в кристаллах
характеризуется также координацион­
ным числом —числом ближайших од­
нотипных с данным атомом соседних
атомов в кристаллической решетке или
молекул в молекулярных кристаллах.
Для модельного изображения кристал­
лических структур из атомов и ионов
пользуются системой плотной упаков­
ки шаров.
Рассматривая простейший случай
плотной упаковки шаров одинакового
радиуса на плоскости, приходим к двум
способам их расположения (рис. 108, а,
б). Правая упаковка является более
плотной, так как при равном числе ша­
ров площадь ромба со стороной, равной
стороне квадрата, меньше площади
квадрата. Как видно из рисунка, разли­
чие в упаковках сводится к различию
координационных чисел: в левой упа­
ковке координационное число равно 4,
в правой —6 , т, е. чем плотнее упаков­
ка, тем больше координационное число.
Рассмотрим, при каких условиях
плотная упаковка шаров в пространстве
136
а
б
Рис. 108
может соответствовать той или иной
кристаллической структуре, приводи­
мой ранее. Начнем строить решетку со
слоя шаров, представленных на рис.
108, б. Для упрощения дальнейших рассуждений спроецируем центры шаров
на плоскость, на которой они лежат, обо­
значив их белыми кружками (рис. 109).
На эту же плоскость спроецируем цент­
ры просветов между шарами, которые
обозначены на рис. 109 соответственно
черными кружками и крестиками.
Любой плотноупакованный слой
будем называть слоем А, если центры
его шаров расположены над светлыми
кружками, слоем В —если над темны­
ми кружками, слоем С—если над крес­
тиками. Над слоем А уложим второй
плотноупакованный слой так, чтобы
каждый шар этого слоя лежал на трех
шарах первого слоя. Это можно сделать
двояко: взять в качестве второго слоя
либо В, либо С. Третий слой можно
опять уложить двояко и т. д. Итак, плот­
ную упаковку можно описать как пос­
ледовательность АВСВАС..., в которой
не могут стоять рядом слои, обозначен­
ные одинаковыми буквами.
Рис. 109
Из множества возможных комбина­
ций в кристаллографии реальное значе­
ние имеют два типа упаковки: 1 ) двух­
слойная упаковка АВАВАВ... —гекса­
гональная плотноупакованная структу­
ра (рис. 110 ); 2 ) трехслойная упаковка
АВСАВС... —кубическая гранецентрированная структура (рис. 111). В обеих
решетках координационное число рав­
но 12 и плотность упаковки одинако­
ва —атомы занимают 74 %общего объе­
ма кристалла. Координационное число,
соответствующее кубической объемно
центрированной решетке, равно 8 , ре­
шетке алмаза (см. рис. 106) равно 4.
Кроме двух- и трехслойных упако­
вок можно построить многослойные
упаковки с большим периодом повто­
ряемости одинаковых слоев, например
АВСВАСАВСВАС... —шестислойная
упаковка. Существует модификация
карбида SiC с периодом повторяемос­
ти 6,15 и 243 слоя.
Если кристалл построен из атомов
различных элементов, то его можно
представить в виде плотной упаковки
шаров разных размеров. На рис. 112
Рис. 111
приведено модельное изображение кри­
сталла поваренной соли. Крупные ионы
хлора (г = 181 пм) образуют плотную
трехслойную упаковку, у которой боль­
шие пустоты заполнены меньшими по
размеру ионами натрия (г = 98 пм).
Каждый ион Na окружен шестью иона­
ми С1 и, наоборот, каждый ион С1 —
шестью ионами Na.
§ 72. Дефекты в кристаллах
Рассмотренные в § 71 идеальные
кристаллические структуры существу­
ют лишь в очень малых объемах реаль­
ных кристаллов, в которых всегда име­
ются отклонения от упорядоченного
расположения частиц в узлах решетки,
называемые дефектами кристалли­
ческойрешетки. Дефекты делятся на
макроскопические, возникающие в
процессе образования и роста кристал­
лов (например, трещины, поры, инород­
ные макроскопические включения), и
микроскопические, обусловленные
микроскопическими отклонениями от
периодичности.
Микродефекты делятся на точеч­
ные и линейные. Точечные дефекты
бывают трех типов: 1 ) вакансия —от­
сутствие атома в узле кристаллической
решетки (рис. 113, а); 2 ) междоузельный атом —атом, внедрившийся в
междоузельное пространство (рис. 113,
б); 3) примесный атом —атом приме­
си, либо замещающий атом основного
137
а
6
в
Рис. 114
вещества в кристаллической решетке
(примесь замещения, рис. 113, в), либо
внедрившийся в междоузельное про­
странство (примесь внедрения, рис.
113, б\только в междоузлии вместо ато­
ма основного вещества располагается
атом примеси). Точечные дефекты на­
рушают лишь ближний порядок в кри­
сталлах, не затрагивая дальнего поряд­
ка, —в этом состоит их характерная осо­
бенность.
Линейные дефекты нарушают даль­
ний порядок. Как следует из опытов,
механические свойства кристаллов в
значительной степени определяются
дефектами особого вида —дислокаци­
ями. Дислокации —линейные дефек­
ты, нарушающие правильное чередова­
ние атомных плоскостей.
Дислокации бывают краевые и вин­
товые. Если одна из атомных плоско­
стей обрывается внутри кристалла, то
край этой плоскости образует краевую
дислокацию (рис. 114, а). В случае вин­
товой дислокации (рис. 114, б) ни одна
из атомных плоскостей внутри кристал­
ла не обрывается, а сами плоскости
лишь приблизительно параллельны и
смыкаются друг с другом так, что фак­
тически кристалл состоит из одной
атомной плоскости, изогнутой по вин­
товой поверхности.
Плотность дислокаций (число
дислокаций, приходящихся на единицу
площади поверхности кристалла) для
совершенных монокристаллов состав­
ляет 102—103 см-2, для деформирован­
ных кристаллов —Ю10—1012 см-2. Дис­
138
локации никогда не обрываются, они
либо выходят на поверхность, либо раз­
ветвляются, поэтому в реальном крис­
талле образуются плоские или про­
странственные сетки дислокаций. Дис­
локации и их движение можно наблю­
дать с помощью электронного микро­
скопа, а также Методом избирательно­
го травления —в местах выхода дисло­
кации на поверхность возникают ямки
травления (интенсивное разрушение
кристалла под действием реагента),
«проявляющие» дислокации.
Наличие дефектов в кристалличе­
ской структуре влияет на свойства кри­
сталлов, анализ которых проведем
ниже.
§ 73. Теплоемкость твердых тел
В качестве модели твердого тела рас­
смотрим правильно построенную кри­
сталлическую решетку, в узлах которой
частицы (атомы, ионы, молекулы), при­
нимаемые за материальные точки, ко­
леблются около своих положений рав­
новесия —узлов решетки —в трех вза­
имно перпендикулярных направлени­
ях. Таким образом, каждой составляю­
щей кристаллическую решетку части­
це приписывается три колебательных
степени свободы, каждая из которых,
согласно закону равнораспределения
энергии по степеням свободы (см. § 50),
обладает энергией кТ.
Внутренняя энергия 1 моль твердо­
го тела
ит = 3NAkT= 3 ЯГ,
где Na —постоянная Авогадро; NAk= Я
(Я — молярная газовая постоянная).
М олярная теплоемкость твердого
тела
Cv = ~~~= 3R= 25 Дж/(моль ■К), (73.1)
аГ
т.е. молярная (атомная) теплоемкость
химически простых тел в кристалличес­
ком состоянии одинакова (равна 3 R) и
не зависит от температуры. Этот закон
был эмпирически получен французски­
ми учеными П. Дюлонгом (1785 — 1838)
и Л. Пти (17 9 1 —1820) и носит название
закона Дюлонга и Пти.
Если твердое тело является хими­
ческим соединением (например, NaCl),
то число частиц в 1 моль не равно по­
стоянной Авогадро, а равно nNA, где п —
число атомов в молекуле (для NaCl чис­
ло частиц в 1 моль равно 2 NA, так. в
1 моль NaCl содержится NA атомов Na
и NAатомов С1). Таким образом, моляр­
ная теплоемкость твердых химичес­
ких соединений
Cv = 3 nR « 25 п ДжДмоль • К),
т.е. равна сумме атомных теплоемкос­
тей элементов, составляющих это со­
единение.
Т аблиц а 4
Вещество
Алюминий А1
Алмаз С
Бериллий Be
Бор В
Железо Fe
Серебро Ag
NaCl
AgCl
СаС12
Cv, ДжДмоль •К)
Теорети­ Эксперимен­
ческое
тальное
значение
значение
25
25,5
25
5,9
25
15,6
25
13,5
25
26,8
25
25,6
50
50,6
50
50,9
76,2
75
Как показывают опытные данные
(табл. 4), д л я многих веществ закон
Дюлонга и Пти выполняется с доволь­
но хорошим приближением, хотя неко­
торые вещества (С, Be, В) имеют боль­
шие отклонения от вычисленных зна­
чений теплоемкостей. Кроме того, так
же как и в случае газов (см. § 53), опы­
ты по измерению теплоемкости твер­
дых тел при низких температурах по­
казали, что она зависит от температу­
ры (рис. 115). Вблизи нуля кельвин теп­
лоемкость тел пропорциональна Г 3, и
только при достаточно высоких темпе­
ратурах, характерных для каждого ве­
щества, выполняется условие (7 3 .1).
Алмаз, например, имеет теплоемкость,
равную 3 R при 1800 К! Однако д л я
большинства твердых тел комнатная
температура является уже достаточно
высокой.
Расхождение опытных и теоретиче­
ских значений теплоемкостей, вычис­
ленных на основе классической теории,
объяснили, исходя из квантовой теории
теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай.
§ 74. Испарение, сублимация,
плавление и кристаллизация.
Аморфные тела
Как в жидкостях, так и в твердых
телах всегда имеется некоторое число
молекул, энергия которых достаточна
для преодоления притяжения к другим
молекулам и которые способны ото­
рваться от поверхности жидкости или
13 9
твердого тела и переити в окружающее
их пространство. Этот процесс для жид­
кости называется испарением (или па­
рообразованием), д ля твердых тел —
сублимацией (или возгонкой).
Испарение жидкостей идет при лю ­
бой температуре, но его интенсивность
с повышением температуры возрастает.
Наряду с процессом испарения проис­
ходит компенсирующий его процесс
конденсации пара в жидкость. Если
число молекул, покидающих жидкость
за единицу времени через единицу по­
верхности, равно числу молекул, пере­
ходящих из пара в жидкость, то насту­
пает динамическое равновесие между
процессами испарения и конденсации.
Пар, находящийся в равновесии со сво­
ей жидкостью, называется насыщен­
ным (см. § 62).
Для большинства твердых тел про­
цесс сублимации при обычных темпе­
ратурах незначителен и давление пара
над поверхностью твердого тела мало;
оно увеличивается с повышением тем­
пературы. Интенсивно сублимируют
такие вещества, как нафталин, камфо­
ра, что обнаруживается по резкому,
свойственному им запаху. Особенно
интенсивно сублимация происходит в
вакууме, что используется для изготов­
ления зеркал. Известный пример суб­
лимации — превращение льда в пар —
мокрое белье высыхает на морозе.
Если, твердое тело нагревать, то его
внутренняя энергия (складывается из
энергии колебаний частиц в узлах ре­
шетки и энергии взаимодействия этих
частиц) возрастает. При повышении
температуры амплитуда колебаний ча­
стиц увеличивается до тех пор, пока
кристаллическая решетка не разрушит­
ся, — твердое тело плавится. На рис.
116, а изображена примерная зависи­
мость T(Q), где Q — количество тепло­
ты, получаемое телом при плавлении.
140
/
/тг
о
Плав­
ление
ж
«
о
Q
Рис. 116
По мере сообщения твердому телу теп­
лоты его температура повышается, а
при температуре плавления Тпл начи­
нается переход тела из твердого состо­
яния в жидкое. Температура Тпл оста­
ется постоянной до тех пор, пока весь
кристалл не расплавится, и только тог­
да температура жидкости вновь начнет
повышаться.
Нагревание твердого тела до Т[1Леще
не переводит его в жидкое состояние,
поскольку энергия частиц вещества
должна быть достаточной для разруше­
ния кристаллической решетки. В про­
цессе плавления теплота, сообщаемая
веществу, идет на совершение работы
по разрушению кристаллической ре­
шетки, а поэтому Тпл = const до рас­
плавления всего кристалла. Затем под­
водимая теплота опять пойдет на уве­
личение энергии частиц жидкости и ее
температура начнет повышаться. Коли­
чество теплоты, необходимое для рас­
плавления 1 кг вещества, называется
удельной теплотой плавления.
Если жидкость охлаждать, то про­
цесс протекает в обратном направлении
(рис. 116, б\ Q' — количество теплоты,
отдаваемое телом при кри сталли за­
ции): сначала температура жидкости
понижается, затем при постоянной тем­
пературе, равной Тпл, начинается крис­
таллизация, после ее завершения тем­
пература кристалла начнет понижаться.
Для кристаллизации вещества необ­
ходимо наличие так называемых цен-
трое кристаллизации — кристалли­
ческих зародышей, которыми могут
быть не только кристаллики образую­
щегося вещества, но и примеси, а так­
же пыль, сажа и т. д. Отсутствие цент­
ров кристаллизации в чистой жидкости
затрудняет образование микроскопи­
ческих кристалликов, и вещество, оста­
ваясь в жидком состоянии, охлаждает­
ся до температуры, меньшей темпера­
туры кристаллизации, при этом образу­
ется переохлажденная жидкость (на
рис. 116, б ей соответствует штриховая
кривая). При сильном переохлаждении
начинается спонтанное образование
центров кристаллизации и вещество
кристаллизуется довольно быстро.
Обычно переохлаждение расплава
происходит от долей до десятков гра­
дусов, но для ряда веществ может дос­
тигать сотен градусов. Из-за большой
вязкости сильно переохлажденные
жидкости теряют текучесть, сохраняя,
как и твердые тела, свою форму. Эти
тела получили название аморфных
твердых тел; к ним относятся смолы,
воск, сургуч, стекло. Аморфные тела,
являясь, таким образом, переохлажден­
ными жидкостями, изотропны, т.е. их
свойства во всех направлениях одина­
ковы; для них, как и для жидкостей,
характерен ближний порядок в располо­
жении частиц; в них в отличие от жид­
костей подвижность частиц довольно
мала.
Особенностью аморфных тел явля­
ется отсутствие у них определенной
точки плавления, т. е. невозможно ука­
зать определенную температуру, выше
которой можно было бы констатиро­
вать жидкое состояние, а ниже —твер­
дое. Из опыта известно, что в аморфных
телах со временем может наблюдаться
процесс кристаллизации, например в
стекле появляются кристаллики; оно,
теряя прозрачность, начинает мутнеть
и превращаться в поликристаллическое
тело.
Широкое распространение получи­
ли полимеры —органические аморф­
ные тела, молекулы которых состоят из
большого числа одинаковых длинных
молекулярных цепочек, соединенных
химическими (валентными) связями.
К полимерам относятся как естествен­
ные (крахмал, белок, каучук, клетчатка
и др.), так и искусственные (пластмас­
са, резина, полистирол, лавсан, капрон
и др.) органические вещества.
Полимерам присущи прочность и
эластичность; некоторые полимеры вы­
держивают растяжение, в 5 —10 раз пре­
вышающее их первоначальную длину.
Это объясняется тем, что длинные мо­
лекулярные цепочки могут при дефор­
мации либо сворачиваться в плотные
клубки, либо вытягиваться в прямые
линии. Эластичность полимеров прояв­
ляется только в определенном интерва­
ле температур, ниже которого они ста­
новятся твердыми и хрупкими, а выше
— пластичными. Хотя синтетических
полимерных материалов создано очень
много (искусственные волокна, замени­
тели кожи, строительные материалы,
заменители металлов и др.), но теория
полимеров до настоящего времени пол­
ностью не разработана. Ее развитие оп­
ределяется запросами современной тех­
ники, требующей синтеза полимеров с
заранее заданными свойствами.
§ 75. Фазовые переходы
I и II рода
Фазой называется термодинамичес­
ки равновесное состояние вещества,
отличающееся по физическим свой­
ствам от других возможных равновес­
ных состояний того же вещества. Если,
например, в закрытом сосуде находит141
ся вода, то эта система является двух­
фазной: жидкая фаза —вода, газообраз­
ная фаза — смесь воздуха с водяными
парами. Если в воду бросить кусочки
льда, то эта система станет трехфазной,
в которой лед является твердой фазой.
Часто понятие «фаза» употребляет­
ся в смысле агрегатного состояния, од­
нако надо учитывать, что оно шире, чем
понятие «агрегатное состояние». В пре­
делах одного агрегатного состояния ве­
щество может находиться в нескольких
фазах, отличающихся по своим свой­
ствам, составу и строению (лед, напри­
мер, встречается в пяти различных мо­
дификациях — фазах).
Переход вещества из одной фазы в
другую — фазовый переход — всегда
связан с качественными изменениями
свойств вещества. Примером фазового
перехода могут служить изменения аг­
регатного состояния вещества или пе­
реходы, связанные с изменениями в со­
ставе, строении и свойствах вещества
(например, переход кристаллического
вещества из одной модификации в дру­
гую).
Различают фазовые переходы двух
родов. Фазовый переход I рода (на­
пример, плавление, кристаллизация)
сопровождается поглощением или вы­
делением теплоты, называемой теп ло­
той фазового перехода. Фазовые пе­
реходы I рода характеризуются посто­
янством температуры, изменениями эн­
тропии и объема. Объяснение этому
можно дать следующим образом. На­
пример, при плавлении телу нужно со­
общить некоторое количество теплоты,
чтобы вызвать разрушение кристалли­
ческой решетки. Подводимая при плав­
лении теплота идет не на нагрев тела, а
на разрыв межатомных связей, поэто­
му плавление протекает при постоян­
ной температуре. В подобных перехо­
дах — из более упорядоченного крис­
142
таллического состояния в менее упоря­
доченное жидкое состояние — степень
беспорядка увеличивается, т. е., соглас­
но второму началу термодинамики,
этот процесс связан с возрастанием эн­
тропии системы. Если переход происхо­
дит в обратном направлении (кристал­
лизация), то система выделяет теплоту.
Фазовые переходы, не связанные с
поглощением или выделением теплоты
и изменением объема, называются фа­
зовыми переходам II рода. Эти пере­
ходы характеризуются постоянством
объема и энтропии, но скачкообраз­
ным изменением теплоемкости. Общая
трактовка фазовых переходов II рода
предложена академиком Л. Д. Ландау
(1908—1968). Согласно этой трактов­
ке, фазовые переходы II рода связаны с
изменением симметрии: выше точки пе­
рехода система, как правило, обладает
более высокой симметрией, чем ниже
точки перехода. Примерами фазовых
переходов II рода являю тся: переход
ферромагнитных веществ (железа, ни­
кел я) при определенных давлении и
температуре в парамагнитное состоя­
ние; переход металлов и некоторых
сплавов при температуре, близкой к
0 К, в сверхпроводящее состояние, ха­
рактеризуемое скачкообразным умень­
шением электрического сопротивления
до нуля; превращение обыкновенного
жидкого гелия (гелия I) при Г = 2,9 К
в другую жидкую модификацию (гелий
II), обладающую свойствами сверхтеку­
чести.
§ 76. Диаграмма состояния.
Тройная точка
Если система является однокомпо­
нентной, т. е. состоящей из химически
однородного вещества или его соедине­
ния, то понятие фазы совпадает с поня-
тием агрегатного состояния. Согласно ения термодинамической температур­
§ 60, одно и то же вещество в зависимо­ ной шкалы.
Термодинамика дает метод расчета
сти от соотношения между удвоенной
средней энергией, приходящейся на кривой равновесия двух фаз одного и
одну степень свободы хаотического того же вещества. Согласно уравнению
(теплового) движения молекул, и наи­ Клапейрона—Клаузиуса, Производ­
меньшей потенциальной энергией вза­ ная от равновесного давления'по тем­
имодействия молекул может находить­ пературе равна
ся в одном из трех агрегатных состоя­
нии: твердом, жидком или газообраз­
-2- = —-——----(76.1)
d r T(y2 -Vi)
ном. Это соотношение, в свою очередь,
определяется внешними условиями — где L —теплота фазового перехода; Т—
температурой и давлением. Следова­ температура перехода (процесс изотер­
тельно, фазовые превращения также мический); (V2 —Vx) —изменение объе­
определяются изменениями температу­ ма вещества при переходе его из первой
ры и давления.
фазы во вторую.
Для наглядного изображения фазо­
Уравнение Клапейрона —Клаузиуса
вых превращений используется диаг­ позволяет определить наклоны кривых
рамма состояния (рис. 117), на кото­ равновесия. Поскольку L и Т положи­
рой в координатах р, Т задается зави­ тельны, наклон задается знаком (V2—Vi).
симость между температурой фазового При испарении жидкостей и сублима­
перехода и давлением в виде кривых ис­ ции твердых тел объем вещества всегда
парения (КИ), плавления (КП) и суб­ возрастает, поэтому согласно (76.1),
лимации (КС), разделяющих поле ди­
> 0 ; следовательно в этих процес­
аграммы на три области, соответству­
ющие условиям существования твер­ сах повышение температуры приводит
дой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной к увеличению давления, и наоборот.
(Г) фаз. Кривые на диаграмме называ­ При плавлении большинства веществ
ются кривыми фазового равновесия, объем, как правило, возрастает, т.е.
каждая точка на них соответствует ус­
> 0 ; следовательно, увеличение
ловиям равновесия двух сосуществую­
щих фаз: КП —твердого тела и жидко­ давления приводит к повышению тем­
сти, КИ —жидкости и газа, КС —твер­ пературы плавления (сплошная линия
КП на рис. 117). Для некоторых же ве­
дого тела и газа.
Точка, в которой пересекаются эти ществ (Н20, Ge, чугун и др.) объем жид­
кривые и которая, следовательно, оп­ кой фазы меньше объема твердой фазы,
ределяет условия (температуру Ттр и
соответствующее ей равновесное дав­
ление Ртр) одновременного равновес­
ного сосуществования трех фаз веще­
ства, называется тройной тонкой.
Каждое вещество имеет только одну
тройную точку. Тройная точка воды
соответствует температуре 273,16 К
(или температуре 0,01 °С) и является
основной реперной точкой для постро­
143
Рис. 118
т.е.
< 0 ;следовательно,увеличение
dr
давления сопровождается понижением
температуры плавления (штриховая
линия на рис. 117).
Диаграмма состояния, строящаяся на
основе экспериментальных данных, по­
зволяет судить, в каком состоянии на­
ходится данное вещество при опреде­
ленных р и Т, а также какие фазовые пе­
реходы будут происходить при том или
ином процессе. Например, при услови­
ях, соответствующих точке 1 (рис. 118),
вещество находится в твердом состоя­
нии, точке 2 —в газообразном, а точке
3 —одновременно в жидком и газооб­
разном состояниях.
Допустим, что вещество в твердом
состоянии, соответствующем точке 4,
подвергается изобарному нагреванию,
изображенному на диаграмме состоя­
ния горизонтальной штриховой пря­
мой 4—5 —6. Из рисунка видно, что при
температуре, соответствующей точке 5,
вещество плавится, при более высокой
температуре, соответствующей точке
6, начинает превращаться в газ.
Если же вещество находится в твер­
дом состоянии, соответствующем точ­
ке 7, то при изобарном нагревании
(штриховая прямая 7—8) кристалл
превращается в газ, минуя жидкую фазу.
Если вещество находится в состоянии,
соответствующем точке 9, то при изо­
термическом сжатии (штриховая пря­
мая 9 —10) оно пройдет следующие три
состояния: газообразное —жидкое —
кристаллическое.
На диаграмме состояний (см. рис. 117
и 118) видно, что кривая испарения за­
канчивается в критической точке К. По­
этому возможен непрерывный переход
вещества из жидкого состояния в газо­
образное и обратно в обход критической
точки без пересечения кривой испаре­
ния (переход 11— 12 на рис. 118), т.е.
такой переход, который не сопровожда­
ется фазовыми превращениями. Это
возможно благодаря тому, что различие
между газом и жидкостью является чи­
сто количественным (оба эти состояния,
например, являются изотропными).
Переход же кристаллического состо­
яния (характеризуется анизотропией)
в жидкое или газообразное может быть
только скачкообразным (в результате
фазового перехода), поэтому кривые
плавления и сублимации не могут об­
рываться, как это имеет место для кри­
вой испарения в критической точке.
Кривая плавления уходит в бесконеч­
ность, а кривая сублимации идет в точ­
ку, где р = 0 и Т= ОК.
Контрольные вопросы
• Каков критерий различных агрегатных состояний вещества?
• Запишите и проанализируйте уравнение Ван-дер-Ваальса для 1 моль газа; для произ­
вольного количества вещества.
• Чем отличаются реальные газы от идеальных?
• Каков смысл поправок при выводе уравнения Ван-дер-Ваальса?
• Почему перегретая жидкость и пересыщенный пар являются метастабильными состоя­
ниями?
144
• При адиабатном расширении газа в вакуум его внутренняя энергия не изменяется. Как
изменится температура, если газ идеальный? реальный?
• Какова суть эффекта Джоуля —Томсона? Когда он положителен? отрицателен?
• Почему у всех веществ поверхностное натяжение уменьшается с температурой?
• Что представляют собой поверхностно-активные вещества?
• При каком условии жидкость смачивает твердое тело? не смачивает?
• От чего зависит высота поднятия смачивающей жидкости в капилляре?
• Что такое узлы кристаллической решетки?
• В чем заключается анизотропность монокристаллов?
• Что такое капиллярность?
• Чем отличаются монокристаллы от поликристаллов?
• Как можно классифицировать кристаллы?
• Что такое ионная связь? ковалентная связь?
• Какие типы кристаллографических систем вам известны?
• Как получить закон Дюлонга и Пти, исходя из классической теории теплоемкости?
• Что такое насыщенный пар?
• Некоторое количество твердого вещества смешано с тем же веществом в жидком состо­
янии. Почему при нагревании этой смеси ее температура не поднимается?
• Что такое фаза? фазовый переход?
• Чем отличается фазовый переход I рода от фазового перехода II рода?
• Что можно «вычитать» из диаграммы состояния, используемой для изображения фазо­
вых превращений?
ЗАДАЧИ
10.1. Углекислый газ массой тп= 1 кг находится при температуре 290 К в сосуде вмести­
мостью 20 л. Определите давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Объясните
различие в результатах. Поправки а и bпринять равными соответственно 0,365 Н •м4/моль2
и 4,3 • 10-5 м3/моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76 МПа]
10.2. Кислород, содержащий количество вещества v = 2 моль, занимает объем Vx= 1 л.
Определите изменение Д Ттемпературы кислорода, если он адиабатно расширяется в ва­
куум до объема V2 = 10 л. Поправку а принять равной 0,136 Н •м4/моль2. [—11,8 К]
10.3. Покажите, что эффект Джоуля —Томсона всегда отрицателен, если дросселирует­
ся газ, силами притяжения молекул которого можно пренебречь.
10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определите рабо­
ту А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от dx= 2 см до d2 = 6 см. По­
верхностное натяжение а мыльного раствора принять равным 40 мН/м. [0,8 мДж]
10.5. Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h = 20 см под
поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давле­
ние принять нормальным. Поверхностное натяжение воды ст= 73 мН/м, а ее плотность р =
= 1 г/см3. [118 кПа]
10.6. Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d = 3 мм опущен в со­
суд с ртутью. Определите радиус кривизны ртутного мениска в капилляре, если разность
уровней ртути в сосуде и в капилляре ДЛ= 3,7 мм. Плотность ртути р = 13,6 г/см3, а повер­
хностное натяжение а = 0,5 Н/м. [2 мм]
10.7. Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30 °С затратили коли­
чество теплоты, равное 117 Дж. Определите теплоемкость шарика согласно закону Дюлон­
га и Пти и материал шарика. [М и 0,107 кг/моль; серебро]
ЧАСТЬ 3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Г ла ва 11
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 77. Закон сохранения
электрического заряда
но носителями элементарных отрица­
тельного и положительного зарядов.
Все тела в природе способны элект­
Еще в глубокой древности было из­ ризоваться, т.е. приобретать электри­
вестно, что янтарь, потертый о шерсть, ческий заряд. Электризация тел может
притягивает легкие предметы. Англий­ осуществляться различными способа­
ский врач Джильберт (конец XVI в.) ми: соприкосновением (трением), элек­
назвал тела, способные после натира­ тростатической индукцией (см. § 92) и
ния притягивать легкие предметы, на­ др. Всякий процесс заряжения сводит­
электризованными. Сейчас мы гово­ ся к разделению зарядов, при котором
рим, что тела при этом приобретают на одном из тел (или части тела) появ­
электрические заряды.
ляется избыток положительного заря­
Несмотря на огромное разнообразие да, а на другом (или другой части те­
веществ, в природе существует только ла) —избыток отрицательного заряда.
два типа электрических зарядов: заря­ Общее количество зарядов обоих зна­
ды, подобные возникающим на стекле, ков, содержащихся в телах, не изменя­
потертом о кожу (их назвали положи­ ется: эти заряды только перераспреде­
тельными), и заряды, подобные возни­ ляются между телами.
кающим на эбоните, потертом о мех (их
Из обобщения опытных данных был
назвали отрицательными)', одноимен­ установлен фундаментальный закон
ные заряды друг от друга отталкивают­ природы, экспериментально подтверж­
денный в 1843 г. английским физиком
ся, разноименные —притягиваются.
Опытным путем (1910—1914) аме­ М. Фарадеем (1791 —1867), —закон со­
риканский физик Р. Милликен (1868— хранения заряда: алгебраическая сум­
1953) показал, что электрический заряд ма электрических зарядов любой замк­
дискретен, т.е. заряд любого тела сос­ нутой системы (системы, не обменива­
тавляет целое кратное от элементар­ ющейся зарядами с внешними телами)
ного электрического заряда е (е = остается неизменной, какиебыпроцессы
1,6 • 10~19 Кл). Электрон ( т е = ни происходили внутри этой системы.
Электрический заряд —величина
ж 9,11 *10-31 кг) и протон ( т р =
= 1,67-10-27кг) являются соответствен­ релятивистски инвариантная, т.е. не
146
зависит от системы отсчета, а значит, не
зависит от того, движется этот заряд
или покоится.
В зависимости от концентрации сво­
бодных зарядов тела делятся на провод­
ники, диэлектрики и полупроводники.
Проводники —тела, в которых элек­
трический заряд может перемешаться
по всему его объему. Проводники де­
лятся на две группы: 1 ) проводники
первого рода (металлы) — перенос в
них зарядов (свободных электронов) не
сопровождается химическими превра­
щениями; 2 ) проводники второгорода
(например, расплавленные соли, ра­
створы кислот) —перенос в них заря­
дов (положительных и отрицательных
ионов) ведет к химическим изменениям.
Диэлектрики (например, стекло,
пластмассы) —тела, в которых практи­
чески отсутствуют свободные заряды.
Полупроводники (например, герма­
ний, кремний) занимают промежуточ­
ное положение между проводниками и
диэлектриками. Указанное деление тел
является весьма условным, однако боль­
шое различие в них концентраций сво­
бодных зарядов обусловливает огром­
ные качественные различия в их пове­
дении и поэтому оправдывает деление
тел на проводники, диэлектрики и по­
лупроводники.
Единица электрического заряда (про­
изводная единица, так как определяет­
ся через единицу силы тока) —кулон
(Кл): 1 Кл —электрический заряд, про­
ходящий через поперечное сечение про­
водника при силе тока 1 А за время 1 с.
подобных тем, которые (см. § 22 ) ис­
пользовались Г. Кавендишем для опре­
деления гравитационной постоянной
(ранее этот закон был открыт Г. Кавен­
дишем, однако его работа оставалась не­
известной более 100 лет).
Точечным называется заряд, сосре­
доточенный на теле, линейные разме­
ры которого пренебрежимо малы по
сравнению с расстоянием до других за­
ряженных тел, с которыми он взаимо­
действует. Понятие точечного заряда,
как и материальной точки, является
физической абстракцией.
Закон Кулона: сила взаимодействия
F между двумя неподвижными точеч­
ными зарядами, находящимися в ваку-'
уме, пропорциональна зарядам Qxи Q2
и обратно пропорциональна квадрату
расстояния г между ними:
г.
где к —коэффициент пропорциональ­
ности, зависящий от выбора системы
единиц.
Сила Р направлена по прямой, со­
единяющей взаимодействующие заря­
ды, т.е. является центральной, и соот­
ветствует притяжению (F < 0) в случае
разноименных зарядов и отталкиванию
(F> 0) в случае одноименных. Эта сила
называется кулоновской силой. В век­
торной форме закон Кулона имеет вид
4 =j
§ 78. Закон Кулона
(78. 1)
г г
где F12 —сила, действующая на заряд
Qxсо стороны заряда Q2, г 12 —радиусвектор, соединяющий заряд Q2 с заря­
дом Qy, г= |г12|(рис. 119). На заряд Q2
Закон взаимодействия неподвижных
точечныхэлектрических зарядов экспе­
риментально установлен в 1785 г. Ш. Ку­
лоном с помощью крутильных весов,
Pl2 Qi>о
%
.02>о Р21
-------- Он-------------щ
Рис. 119
147
со стороны заряда Qx действует сила
F-i\——F12*
В СИ коэффициент пропорцио­
нальности
к = -Г~-
4тте0
Тогда закон Кулона в СИ запишет­
ся в виде:
F ——-—QiQl '
4jrcej> г 1
(78.2)
Величина е0 называется электри­
ческой постоянной; она относится к
числу фундаментальных физических
постоянных и равна
е0 = 8,85 • 10-12 Кл2/(Н •м2) или
е0 = 8,85 •1 0 -12 Ф/м (78.3)
[где фарад (Ф ) —единица электроем­
кости (см. § 93)].
Тогда
Точность выполнения закона Куло­
на на больших расстояниях, вплоть до
107 м, установлена при исследовании
магнитного поля с помощью спутников
в околоземном пространстве. Точность
же его выполнения на малых расстоя­
ниях, вплоть до 1 0 -17 м, проверена экс­
периментами по взаимодействию эле­
ментарных частиц.
§ 79. Электростатическое поле.
Напряженность
электростатического поля
Если в пространство, окружающее
электрический заряд, внести другой за­
ряд, то на него будет действовать кулоновская сила, следовательно в про­
странстве, окружающем электрические
148
заряды, существует силовое поле. Со­
гласно представлениям современной
физики, поле реально существует и на­
ряду с веществом является одной из
форм существования материи, посред­
ством которого осуществляются опре­
деленные взаимодействия между мак­
роскопическими телами или частица­
ми, входящими в состав вещества. В дан­
ном случае говорят об электрическом
поле —поле, посредством которого вза­
имодействуют электрические заряды.
В данной главе будем рассматривать
электрические поля, которые создают­
ся неподвижными электрическими за­
рядами и называются электростати­
ческими.
Для обнаружения и опытного иссле­
дования электростатического поля ис­
пользуется пробный точечный поло­
жительный заряд —такой заряд, ко­
торый не искажает исследуемое поле
(не вызывает перераспределения заря­
дов, создающих поле). Если в поле, со­
здаваемое зарядом Q, поместить проб­
ный заряд Q0, то на него действует сила
F, различная в разных точках поля, ко­
торая, согласно закону Кулона (78.2),
пропорциональна пробному заряду Q0.
Поэтому отношение — не зависит от
Q q и характеризует электростатическое
поле в той точке, где пробный заряд
находится. Эта величина называется
напряженностью и является силовой
характеристикой электростатическо­
го поля.
Напряженность электростати­
ческого поля в данной точке есть фи­
зическая величина, определяемая си­
лой, действующей на пробный единич­
ный положительный заряд, помещен­
ный в эту точку поля:
Ц тЖ .
Уо
(79.1)
Как следует из формул (79.1) и
(78.1), напряженность поля точечного
заряда в вакууме
Ё = - ^ — % L или Ж =
4ж ео
г
г
Ц . (79.2)
4 tv e q г
Направление вектора Е совпадает с
направлением силы, действующей на
положительный заряд. Если поле созда­
ется положительным зарядом, то век­
тор Е направлен вдоль радиуса-векто­
ра от заряда во внешнее пространство
(отталкивание пробного положитель­
ного заряда); если поле создается отри­
цательным зарядом, то вектор Е на­
правлен к заряду (рис. 120).
Из формулы (79.1) следует, что еди­
ница напряженности электростатиче­
ского поля — ньютон на кулон (Н/Кл):
1 Н/Кл —напряженность такого поля,
которое на точечный заряд 1 Кл дей­
ствует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл = 1 В/м,
где В (вольт) — единица потенциала
электростатического поля (см. § 84).
Графически электростатическое
поле изображают с помощью линий на­
пряженности — линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с
направлением вектора Ё (рис. 121). Им
приписывается направление, совпадаю­
щее с направлением вектора Е в рас­
сматриваемой точке линии. Так как в
каждой данной точке пространства век­
тор напряженности имеет лишь одно
направление, то линии напряженности
никогда не пересекаются.
Для однородного поля (когда век­
тор напряженности в любой точке по­
стоянен по модулю и направлению) Ли­
нии напряженности параллельны век­
тору напряженности. Если поле созда­
ется точечным зарядом, то линии на­
пряженности — радиальные прямые,
выходящие из заряда, если он положи­
телен (рис. 121, а), и входящие в него,
если заряд отрицателен (рис. 121, б).
Рис. 120
Рис. 121
Вследствие большой наглядности гра­
фический способ представления элек­
тростатического поля широко применя­
ется в электротехнике.
Чтобы с помощью линий напряжен­
ности можно было характеризовать не
только направление, но и значение на­
пряженности электростатического поля,
условились проводить их с определен^
ной густотой (рис. 122): число линий
напряженности, пронизывающих еди­
ницу площади поверхности, перпенди­
кулярную линиям напряженности, дол­
жно быть равно модулю вектора Е. Тог­
да число линий напряженности, прони­
зывающих элементарную площадку d S,
нормаль п к которой образует угол а с
вектором Ё, равно EdScosa. — EndS, где
Еп—проекция вектора Е на нормаль п
к площадке d S (рис. 123). Величина
АФЕ= End S = E dS
называется потоком вектора напря­
женности сквозь площадку d S. Здесь
d S = dSn — вектор, модуль которого ра­
вен d S, а направление совпадает с на­
правлением нормали п к площадке.
Выбор направления вектора п (а следо­
вательно, и d S) условен, так как его
можно направить в любую сторону.
Единица потока вектора напряженнос­
ти электростатического поля — вольт­
метр (В • м).
149
Для произвольной замкнутой повер­
хности S поток вектора Е сквозь эту
поверхность
ФЕ = f EndS = §EdS, (79.3)
s
s
где интеграл берется по замкнутой по­
верхности S. Поток вектора 2? является
алгебраической величиной', зависит не
только от конфигурации поля Е, но и
от выбора направления п. Для замкну­
тых поверхностей за положительное на­
правление нормали принимается внеш­
няя нормаль, т.е. нормаль, направлен­
ная наружу области, охватываемой по­
верхностью.
В истории развития физики имела
место борьба двух теорий: дальнодей­
ствия и близкодействия. В теории даль­
нодействия принимается, что электри­
ческие явления определяются мгновен­
ным взаимодействием зарядов на лю­
бых расстояниях. Согласно теории
близкодействия, все электрические яв­
ления определяются изменениями по­
лей зарядов, причем эти изменения рас­
пространяются в пространстве от точ­
ки к точке с конечной скоростью.
Применительно к электростатичес­
ким полям обе теории дают одинаковые
результаты, хорошо согласующиеся с
опытом. Переход же к явлениям, обус­
ловленным движением электрических
зарядов, приводит к несостоятельнос­
ти теории дальнодействия, поэтому со­
временной теорией взаимодействия за­
ряженных частиц является теория
близкодействия. f
§ 80. Принцип суперпозиции
электростатических полей.
Поле диполя
Рассмотрим систему неподвижных
точечных зарядов Qb Q2, Qn. Экспе­
150
риментально установлено, что сила вза­
имодействия двух точечных зарядов не
изменяется в присутствии другихзарядов. Тогда результирующая сила F, дей­
ствующая со стороны поля на пробный
заряд Qo, равна векторной сумме сил Fit
приложенных к нему со стороны каж­
дого из зарядов Qi'.
F ^ F i.
(80.1)
i=l
Согласно (79.1), F = Q0E, где Ё —
напряженность результирующего поля,
а Е{ —напряженность поля, создавае­
мого зарядом Qj. Подставляя последние
выражения в (80.1), получаем
Я=
(80.2)
«=1
Формула (80.2) выражает принцип
суперпозиции (наложения) электро­
статических полей, согласно которо­
му напряженность Ё результирующего
поля, создаваемого системой зарядов,
равна геометрической сумме напряжен­
ностей полей, создаваемых в данной
точке каждым из зарядов в отдельности.
Отметим, что принцип суперпози­
ции является обобщением опытных
данных и, возможно, нарушается на
малых расстояниях (^ 10-15 м).
Принцип суперпозиции позволяет
рассчитать электростатические поля
любой системы неподвижных зарядов,
поскольку если заряды не точечные, то
их можно всегда мысленно разделить
на малые части, считая каждую из них
точечным зарядом.
Применим принцип суперпозиции
для расчета электростатического поля
электрического диполя. Электриче­
ский диполь —система двух равных по
модулю разноименных точечных заря­
дов (+Q, —Q), расстояние I между ко­
торыми значительно меньше расстоя-
Рис. 124
0
-
^
ля в точке А направлена по оси диполя
и по модулю равна
ЕА = Е+ — Е_.
ния до рассматриваемых точек поля.
Обозначив расстояние от точки А до
Вектор, направленный по оси диполя
середины
оси диполя через г, на осно­
(прямой, проходящей через оба заряда)
от отрицательного заряда к положи­ вании формулы (79.2) для случая ваку­
тельному и равный расстоянию между ума можно записать
ними, называется плечом диполя I.
1
Вектор
Q
Ел =
P=\Q\l,
(80.3)
4те0
[И Г г+1
совпадающий по направлению с плечом
диполя и равный произведению заряда
|Q| на плечо I, называется электриче­
Г+2 + Г _ 2
ским моментом диполя или дипольным моментом (рис. 124).
4тт£п
Согласно принципу суперпозиции
r+ 2
(80.2), напряженность Е поля диполя в
произвольной точке
^ Согласно определению диполя,
- <С г, поэтому
Е = Е^_ ЩЕ_,
1
2QI _ 1 2р
где Е+иЕ_ —напряженности полей, со­
Et
здаваемых соответственно положитель­
4теп г 3 4'гсеп г 3
ным и отрицательным зарядами.
2.
Напряженность поля на перпен­
Воспользовавшись этой формулой, дикуляре, восставленном к оси из его
рассчитаем напряженность поля в про­
извольной точке на продолжении оси середины, в точке В [рис. 125, б (рису­
диполя и на перпендикуляре к середи­ нок не в масштабе)]. Точка В равноуда­
лена от зарядов, поэтому
не его оси.
1.
Напряженность поля на продол­
Е, = Е _ =
жении оси диполя в точке А (рис. 125, а).
4тео (г')2 '+ Е
Как видно из рисунка (рисунок не в
масштабе), напряженность поля дипо­
(80.4)
4та0 (г')2'
где г' —расстояние от точки В до сере­
дины плеча диполя.
Из подобия равнобедренных треу­
гольников, опирающихся на плечо ди­
поля и вектор Ев, получим
IО
“ТО
Ев
Ш'
Рис. 125
I
rr+
I
£
151
откуда
J
E i- # .
Г
(80.5)
Подставив в выражение (80.5) зна­
чение (80.4), получим
Е
1 QI _ 1 Р
в 4тге0 (г7)3 4ттс0 (г ')3 ’
Вектор Ев имеет направление, про­
тивоположное вектору электрического
момента диполя (вектор р направлен от
отрицательного заряда к положитель­
ному).
§ 81. Теорема Гаусса
для электростатического поля
в вакууме
Вычисление напряженности поля
системы электрических зарядов с помо­
щью принципа суперпозиции электро­
статических полей можно значительно
упростить, используя выведенную не­
мецким ученым К. Гауссом (1777 —
1855) теорему, определяющую поток
вектора напряженности электрическо­
го поля сквозь произвольную замкну­
тую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3)
поток вектора напряженности сквозь
сферическую поверхность радиуса г,
охватывающую точечный заряд Q, на­
ходящийся в ее центре (рис. 126), равен
Фв = (£E„dS = — ^ J i r 2 = Я
Js
4та0га
e0
Этот результат справедлив для замк­
нутой поверхности любой формы. Дей­
ствительно, если окружить сферу (рис.
126) произвольной замкнутой поверх­
ностью, то каждая линия напряженно­
сти, пронизывающая сферу, пройдет и
сквозь эту поверхность.
'
152
Ш у
Рис. 126
Рис. 127
Если замкнутая поверхность произ­
вольной формы охватывает заряд (рис.
127), то при пересечении любой выб­
ранной линии напряженности с поверх­
ностью она то входит в нее, то выходит
из нее. Нечетное число пересечений при
вычислении потока в конечном счете
сводится к одному пересечению, так как
поток считается положительным, если
линии напряженности выходят из по­
верхности, и отрицательным для ли­
ний, входящих в поверхность. Если зам­
кнутая поверхность не охватывает за­
ряда, то поток сквозь нее равен нулю,
так как число линий напряженности,
входящих в поверхность, равно числу
линий напряженности, выходящих из
нее.
Таким образом, для поверхности
любой формы, если она замкнута и зак­
лючает в себя точечный заряд Q, поток
вектора Е будет равен —, т. е.
ео
ФЕ = fE dS = <fEndS =
8
8
(81.1)
£°
Знак потока совпадает со знаком за­
ряда Q.
Рассмотрим общий случай произ­
вольной поверхности, окружающей п
зарядов. В соответствии с принципом
суперпозиции (80.2) напряженность Е
поля, создаваемого всеми зарядами,
равна сумме напряженностей Е{ полей,
создаваемых каждым зарядом в отдель­
ности: Е =
Поэтому
I
<bE = § E d S = § f a % W = 52<f&,dS.
3
s \ i l
1 3
Согласно (81.1), каждый из интегра­
лов, стоящий под знаком суммы, равен
— . Следовательно,
Ц
Ф ормула (8 1.2 ) выражает тео р е­
му Гаусса для электр остати ч еско­
го поля в вакууме : поток вектора на­
пряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен алгеб­
раической сумме заключенных внут­
ри этой поверхности зарядов, делен­
ной на е0. Эта теорема выведена мате­
матически для векторного поля лю ­
бой природы русским математиком
М. В. Остроградским (18 0 1 — 1862), а
затем независимо от него примени­
тельно к электростатическому полю —
К. Гауссом.
В общем случае электрические заря­
ды могут быть «размазаны» с некото­
рой объемной плотностью о =
к
dV
различной в разных местах простран­
ства. Тогда суммарный заряд, заклю­
ченный внутри замкнутой поверхнос­
ти 5, охватывающей некоторый объем
§ 82. Применение теоремы
Гаусса к расчету некоторых
электростатических полей
в вакууме
1. Поле равномерно заряженной беско­
нечной плоскости. Бесконечная плоскость
(рис. 128) заряжена с постоянной поверх­
ностной плотностью +а ( а =
—заcl5
ряд, приходящийся на единицу поверхнос­
ти). Линии напряженности перпендикуляр­
ны рассматриваемой плоскости и направле­
ны от нее в обе стороны.
В качестве замкнутой поверхности мыс­
ленно построим цилиндр, основания кото­
рого параллельны заряженной плоскости, а
ось перпендикулярна ей. Так как образую­
щие цилиндра параллельны линиям напря­
женности (cos а = 0 ), то поток вектора на­
пряженности сквозь боковую поверхность
цилиндра равен нулю, а полный поток
сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь
его основания (площади оснований равны
и для основания Епсовпадает с Е), т.е. ра­
вен 2ES. Заряд, заключенный внутри пост­
роенной цилиндрической поверхности, ра­
вен aS. Согласно теореме Гаусса (81.2),
2 ES = — , откуда
1 1
(82.1)
p»d
Следует отметить, что это формула спра­
ведлива только для малых (по сравнению с
размерами плоскости) расстояний от плос­
кости, так как только тогда плоскость мож­
но считать бесконечной. Из формулы (82.1)
следует, что поле равномерно заряженной
плоскости однородно.
2. Поле двух бесконечных параллель­
ных разноименно заряженных плоскостей
(рис. 129). Пусть плоскости заряжены рав№
V, равен J p d V . Используя этот ре-
v
зультат, теорему Гаусса (81.2) можно
записать так:
$E d S = § E ndS = — f pdV.
s
s
e° V
+
(—f* --- +
— "
153
~а
+°
ь!<£
и
кГ
К
Ё._
S
1
щ
Рис. 129
If
Ё.
щийцентр с заряженной сферой. Если г > R,
то внутрь поверхностипопадаетвесь заряд Q,
создающий рассматриваемое поле, и, по те­
ореме Гаусса (81.2), 4-itг2£ = —, откуда
I Efl
E=
<823>
При г > R поле убывает с расстоянием г
номерно разноименными зарядами с повер­
хностными плотностями +ст и —<х. Поле та­ по такому же закону, как у точечного заря­
ких плоскостей найдем как суперпозицию да. График зависимости Еот г приведен на
полей, создаваемых каждой из плоскостей рис. 131. Если г' < R, то замкнутая поверх­
в отдельности. На рисунке верхние стрелки ность не содержит внутри зарядов, поэтому
соответствуют полюот положительно заря­ внутри равномерно заряженной сферичес­
женной плоскости, нижние —от отрица­ кой поверхности электростатическое поле
тельно заряженной. Слева и справа от плос­ отсутствует (Е= 0).
4. Поле объемнозаряженногошара. Шар
костей поля вычитаются (линии напряжен­
ности направлены навстречу друг другу), радиусом Rс общим зарядом Qзаряжен рав­
поэтому здесь напряженность поля Е = 0. номернос объемнойплотностьюр(р=
—
В области между плоскостями Е= Е++ £L
ак
[Е+и Е_ определяются по формуле (82.1)]. заряд, приходящийся на единицу объема).
Учитывая соображения симметрии (см.
Поэтому результирующая напряженность
п. 3), можно показать, что для напряженно­
Е = 2-.
(82.2) сти поля вне шара получится тот же резуль­
6о
тат, что и в предыдущем случае [см. (82.3)].
Внутри шара напряженность поля будет
Таким образом, результирующая напря­ другая.
радиусом г' < Rохватывает за­
женность поля в области между плоскостя­ ряд Q' =Сфера
4
/зтг(г')
3р. Поэтому, согласнотеоре­
ми описывается формулой (82.2), а вне
объема, ограниченного плоскостями, равна ме Гаусса (81.2), 4ъ(г')2Е= = 4/^Л(Г„) Р.
о
So
to
нулю.
3. Поле равномерно заряженной сфе­ Учитывая, что р = . •^ _, получаем
V *
рической поверхности. Сферическая по­
верхность радиусом R с общим зарядом Q
заряжена равномерно с поверхностной
В = 4 ^ Ь | г < 82'4>
плотностью +а. Благодаря равномерному
Таким образом, напряженность поля вне
распределениюзаряда по поверхности поле,
создаваемое им, обладает сферической сим­ равномерно заряженного шара описывает­
метрией. Поэтому линии напряженности ся формулой (82.3), а внутри него изменяет­
направлены радиально (рис. 130). Построим ся линейно с расстоянием г' согласно выра­
мысленно сферу радиусом г, имеющую об- жению(82.4). Графикзависимости Ear г для
рассмотренногослучая приведен на рис. 132.
5. Поле равномерно заряженного беско­
нечного цилиндра (нити). Бесконечный ци­
линдр радиусом R(рис. 133) заряжен равноРис. 132
154
Рис. 133
Рис. 134
~ плотностью т t(т = —
dQ
мерно с линеинои
7- —
ск
заряд, приходящийся на единицу длины).
Из соображений симметрии следует, что ли­
нии напряженности будут направлены по
радиусам круговых сечений цилиндра с оди­
наковой густотой во все стороны относи­
тельно оси цилиндра.
В качестве замкнутой поверхности мыс­
ленно построим коаксиальный цилиндр ра­
диусом г и высотой I (см. рис. 133). Поток
вектора Е сквозь торцы коаксиального ци­
линдра равен нулю (торцы параллельны ли­
ниям напряженности), а сквозь боковую по­
верхность равен 2 i\rlE. По теореме Гаусса
(81.2), при r> R 2т\г1Е = —, откуда
ео
£ = 2 ^ 7 < ^ л >'
Ё|
Если г < R, то замкнутая поверхность за­
рядов внутри не содержит, поэтому в этой
области Е = 0. Таким образом, напряжен­
ность поля вне равномерно заряженного
бесконечного цилиндра определяется выра­
жением (82.5), внутри же его поле отсут­
ствует.
§ 83. Циркуляция вектора
напряженности
электростатического поля
Если в электростатическом поле то­
чечного заряда Q из точки 1 в точку 2
вдоль произвольной траектории (рис.
134) перемещается другой точечный за­
ряд Qo.то сила, приложенная к заряду,
совершает работу. Работа силы F на
элементарном перемещении dl равна
dA =FdI —Fdl cos a = —-—ЯЯ1 dj cos a.
4те 0 t*
Так как dZcosa=dr, то
dA = „ 1
4тте0 r
dr.
Работа при перемещении заряда Q0
из точки 1 в точку 2
dr =
1 id A = QQo Г—
У
4тсе0 ^ г 2
QQo
4ттел
QQo
(83.1)
не зависит от траектории перемещения,
а определяется только положениями
начальной 1 и конечной 2 точек. Сле­
довательно, электростатическое поле
точечного заряда является потенци­
альным, а электростатические силы —
консервативными (см. § 1 2 ).
Из формулы (83.1) следует, что ра­
бота, совершаемая при перемещении
электрического заряда во внешнем
электростатическом поле по любому
замкнутому пути L, равна нулю, т. е.
§dA —0.
(83.2)
155
Если в качестве заряда, переносимо­
го в электростатическом поле, взять
единичный точечный положительный
заряд, то элементарная работа сил поля
на пути dl равна Edl =. Etdl, где Et =
= Еcos а —проекция вектора Ё на на­
правление элементарного перемеще­
ния. Тогда формулу (83.2) можно запи­
сать в виде
<fEdl = j>E[dl = 0.
(83.3)
L
L
Ицгеграл (f>EdI = (j>Etdl называетL
L
ся циркуляцией вектора напряжен­
ности. Таким образом, циркуляция
вектора напряженности электростати­
ческого поля вдоль любого замкнутого
контура равна нулю. Силовое поле, об­
ладающее свойством (83.3), называет­
ся потенциальным. Из обращения в
нуль циркуляции вектора Ё следует,
что линии напряженности электроста­
тического поля не могут быть замкну­
тыми, они начинаются и кончаются на
зарядах (соответственно на положи­
тельных или отрицательных) или же
уходят в бесконечность.
Формула (83.3) справедлива только
для электростатического поля. В даль­
нейшем будет показано, что для поля
движущихся зарядов (поля, изменяю­
щегося со временем) условие (83.3) не
выполняется (для него циркуляция
вектора напряженности отлична от
нуля).
§ 84. Потенциал
электростатического поля
Тело, находящееся в потенциальном
поле сил (а электростатическое поле
является потенциальным), обладает
потенциальной энергией, за счет кото­
рой силами поля совершается работа
156
(см. § 12). Работа консервативных сил
совершается за счет убыли потенциаль­
ной энергии [см. (12.2)]. Тогда работу
(83.1) сил электростатического поля
можно представить как разность потен­
циальных энергий, которыми обладает
точечный заряд Q0в начальной и конеч­
ной точках поля заряда Q:
Д
—
12
1
QQo
1
QQo _
4те0 Г\ 4тге0 г2
= UX-U 21
(84.1)
откуда следует, что потенциальная энер­
гия заряда Q0в, поле заряда Qравна
U=....I .. 99.0.+с.
4тге0 г
Потенциальная энергия [/определя­
ется с точностью до постоянной С. Зна­
чение постоянной обычно выбирается
так, чтобы при удалении заряда на бес­
конечность (г —>оо) потенциальная
энергия обращается в нуль ({7=0), тог­
да (7= 0 и потенциальная энергия за­
ряда Q0, находящегося в поле заряда Q
на расстоянии гот него, равна
u = _L-Q oQ'
(84.2)
4та0 г
Для одноименных зарядов Q0Q > 0
и потенциальная энергия их взаимодей­
ствия (отталкивания) положительна,
для разноименных зарядов Q0Q < 0 и
потенциальная энергия их взаимодей­
ствия (притяжения) отрицательна.
Если поле создается системой п то­
чечных зарядов Qb Q2, ..., Qn, то работа
электростатических сил, совершаемая
над зарядом Q0, равна алгебраической
сумме работ сил, обусловленных каж­
дым из зарядов в отдельности. Поэто­
му потенциальная энергия Uзаряда Q0,
находящегося в этом поле, равна сум­
ме потенциальных энергий Щкаждого
из зарядов:
2
^ = Ё С,! = (З о Ё т Й- -
(84-3)
Ла = / OoMv
1
(84.7)
Из формул (84.2) и (84.3) вытекает,
что отношение — не зависит от Q0 и
Qo
является энергетической характерис­
тикой электростатического поля, назы­
ваемой потенциалом:
Приравняв (84.6) и (84.7), придем к
выражению для разности потенциалов:
ф |||
(84.4)
Qo
Потенциал ip в какой-либо точке
электростатического поля есть физиче­
ская величина, определяемая потенци­
альной энергией единичного положи­
тельного заряда, помещенного в эту точку.
Из формул (84.4) и (84.2) следует,
что потенциал поля, создаваемого то­
чечным зарядом Q, равен
где интегрирование можно произво­
дить вдоль любой линии, соединяющей
начальную и конечную точки, так как
работа сил электростатического поля не
зависит от траектории перемещения.
Если перемещать заряд Q0из произ­
вольной точки за пределы поля, т.е. на
бесконечность, где, по условию, потен­
циал равен нулю, то работа сил элект­
ростатического поля, согласно (84.6),
А * = Qo4>,откуда
Ф = *М 1.
4ite0 г
фИМ
(84.9)
1 Qo
Таким образом, потенциал — физи­
ческая величина, определяемая рабо­
той по перемещению единичного поло­
жительного заряда при удалении его из
данной точки поля на бесконечность.
Эта работа численно равна работе, со­
вершаемой внешними силами (против
сил электростатического поля) по пе­
ремещению единичного положитель­
ного заряда из бесконечности в данную
точку поля.
Из выражения (84.4) и (84.6) следу­
ет, что единица потенциала и разности
потенциалов —вольт (В): 1 В —потен­
циал такой точки поля, в которой заряд
в 1 Кл обладает потенциальной энер­
гией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая
размерность вольта, можно показать,
что введенная в § 79 единица напряжен­
ности электростатического поля дей­
ствительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл =
= 1Н •м/(Кл •м) = 1 ДжДКл •м) = 1 В/м
(84.5)
Работа, совершаемая силами элект­
ростатического поля при перемещении
заряда Qoиз точки 1 в точку 2 [см. (84.1),
(84.4), (84.5)], может быть представле­
на как
■^12 =
— ^2 = QoOPi —Ф2)» (84.6)
т. е. равна произведению перемещаемо­
го заряда на разность потенциалов в
начальной и конечной точках.
Разность потенциалов двух точек 1
в 2 в электростатическом поле определя­
ется работой, совершаемой силами поля,
при перемещении единичного положи­
тельного заряда из точки 1 в точку 2.
При решении конкретных задач фи­
зический смысл имеет разность потенци­
алов между двумя точками электроста­
тического поля.
Работа сил поля при перемещении
заряда Q0 из точки 1 в точку 2 может
быть записана также в виде
2
ipi-ipa = J M
1
2
= f E,dl, (84.8)
1
157
Из формул (84.3) и (84.4) вытекает,
что если поле создается несколькими
зарядами, то потенциал поля системы
зарядов равен алгебраической сумме
потенциалов полей всех этих зарядов:
т.е. напряженность Ё поля равна гра­
диенту потенциала со знаком « - » . Знак
«—» определяется тем, что вектор на­
пряженности Ё поля направлен в сто­
рону убывания потенциала.
Для графического изображения рас­
пределения потенциала электростати­
ческого поля, как и в случае поля тяго­
тения (см. § 25), пользуются эквипо­
тенциальными поверхностями —по­
верхностями,
во всех точках которых
§ 85. Напряженность
потенциал tp имеет одно и то же значе­
как градиент потенциала.
ние.
Эквипотенциальные поверхности
Если поле создается точечным заря­
дом, то его потенциал, согласно (84.5),
Найдем взаимосвязь между напря­
-— Таким образом, эквипоженностью электростатического по­ Ф = —
4те0 г
ля —силовой характеристикой поля, и тенциальные поверхности в данном
потенциалом —энергетической харак­ случае — концентрические сферы.
теристикой поля.
С другой стороны, линии напряженно­
Работа по перемещению единичного сти в случае точечного заряда —ради­
точечного положительного заряда из альные прямые. Следовательно, линии
одной точки поля в другую вдоль оси напряженности в случае точечного за­
х при условии, что точки расположе­ ряда перпендикулярныэквипотенциаль­
ны бесконечно близко друг к другу и ным поверхностям.
хх —Х2 = dz, равна Exdx. Та же работа
Линии напряженности всегда нор­
равна —<р2= ~dip. Приравняв оба вы­ мальны к эквипотенциальным поверх­
ражения, можем записать
ностям. Действительно, все точки экви­
потенциальной поверхности имеют
одинаковый потенциал, поэтому рабо­
<851> та по перемещению заряда вдоль этой
Где символ частной производной под­ поверхности равна нулю, т.е. электро­
черкивает, что дифференцирование статические силы, действующие на за­
производится только по х. Повторив ряд, всегда направлены по нормалям к
аналогичные рассуждения для осей у эквипотенциальным поверхностям.
Следовательно, вектор Ё всегда норма­
и z, можем найти вектор Е:
лен к эквипотенциальным поверхнос­
тям, а поэтому линии вектора Ё ор­
£ = - ( § £ i + § E J + §£*i,
тогональны
этим поверхностям.
[ох
оу
ох
Эквипотенциальных поверхностей
где г, j,k —единичные векторы коор­ вокруг каждого заряда и каждой систе­
мы зарядов можно провести бесчислен­
динатных осей х, у, z.
Из определения градиента (12.4) и ное множество. Однако их обычно про­
водят так, чтобы разности потенциалов
(12.6) следует, что
между любыми двумя соседними экви­
Ё = —gradip, или Ё з=—Уф, (85.2) потенциальными поверхностями были
158
Таблица 5
Сравниваемые
характеристики
Гравитационное
1 F
9=—
тп
Напряженность
1 \Q\Qi\
4те0 г2
Е= 1
Qo
(GM GM)
1 ^2
^1 J
= m(ipi—ф2)
д_
1 (QQo _ QQo|_
4те0 1 1
В J
= Фо(ф1 —Фг)
j>dA = 0
i
L
П
Ф= —
m
и
Ф Qo
3 = -grad ip
Е——§гаЛф
Потенциал
одинаковы. Тогда густота эквипотенци­
альных поверхностей наглядно харак­
теризует напряженность поля в разных
точках. Там, где эти поверхности рас­
положены гуще, напряженность поля
больше.
Итак, зная расположение линий на­
пряженности электростатического поля,
можно построить эквипотенциальные
поверхности и, наоборот, по известно­
му расположению эквипотенциальных
поверхностей можно определить в каж­
дой точке поля модуль и направление
напряженности поля. На рис. 135 для
о.
II
о
А
Работа по замкнутому контуру
Связь между напряженностью
и потенциалом
Р
р —Qт 1т 2
Г2
Сила
Работа по перемещению тела
или заряда
Виды полей
Электростатическое
примера показан вид линии напряжен­
ности (штриховые линии) и сечений
эквипотенциальных поверхностей
(сплошные линии) полей положитель­
ного точечного заряда (рис. 135, а) и за­
ряженного металлического цилиндра,
имеющего на одном конце выступ, а на
другом —впадину (рис. 135, б).
В табл. 5 приведено сопоставление
характеристик гравитационного и элект­
ростатического полей.
§ 86. Вычисление
разности потенциалов
по напряженности поля
Установленная в § 85 связь между
напряженностью поля и потенциалом
позволяет по известной напряженнос­
ти поля найти разность потенциалов
между двумя произвольными точками
этого поля.
159
1. Поле равномерно заряженной беско­
нечной плоскости определяется по формуле
(82.1): Е —- —, где ст — поверхностная
2е0
плотность заряда. Разность потенциалов
между точками, лежащими на расстояниях
и х2от плоскости, равна [используем фор­
мулу (85.1)]
ij
ij
Ф1 - Ч>2 = fEdx Щ[ щаж = -£-(х2 - а*).
J
Ч 2е0
2еп
Х\
Xj
и
и
2. Поле двух бесконечных параллель­
ных разноименно заряженных плоскостей
определяется формулой (82.2): Е = —, где
ео
ст —поверхностная плотность заряда. Раз­
ность потенциалов между плоскостями, рас­
стояние между которыми равно d[см. фор­
мулу (85.1)], равна
л
л
ipx—ip2 =7 fEdx = f —dx = —d. (86.1)
I
оI
e°
3. Поле равномерно заряженной сфе­
рической поверхности радиусом Rс общим
зарядом Qвне сферы (г > R) вычисляется
по (82.3): Е = . . Разность потенциа4те0 г2
лов между двумя точками, лежащими на
расстояниях гхи г2от центра сферы (г, > R,
r2 > R, г2 > 7д); равна
Vl- V2= / £ d r = / j i - ^ d r =
Г,
г,
=
u
(86 .2 )
4тге01л гг)
Если принять 7j = г и г2= оо, то потенциал
поля вне сферической поверхности, соглас­
но формуле (86.2), задается выражением
j = -----а
1 Q
ф
4те0 г
[ср. с формулЬй (84.5)]. Внутри сфериче­
ской поверхности потенциал всюду одина­
ков и равен
Q- -- .
Ф ——■
4теоД
График зависимости ip от г приведен на
рис. 136.
160
4. Поле объемно заряженного шара
радиусом R с общим зарядом Q вне шара
(г> R) вычисляется по формуле (82.3), по­
этому разность потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях щи г2
от центра шара (rx> R,r2> R, г2> т^), опре­
деляется формулой (86.2). В любой точке,
лежащей внутри шара на расстоянии г' от
его центра (г; <R), напряженность опреде­
ляется выражением (82.4): Е = =Р——гг'.
4тге0 R3
Следовательно, разность потенциалов между
двумя точками, лежащими на расстояниях
г[ и г2от центра шара (r{ < R, г2< R, г2 > г[),
равна
5. Поле равномерно заряженного бес­
конечного цилиндра радиусом R, заряжен­
ного с линейной плотностью т, вне цилинд­
ра (г > Д) определяется по формуле (82.5):
1 Т I
Е = В------ . Следовательно, разность по2те0 г
тенциалов между двумя точками, лежащи­
ми на расстояниях Ши г2от оси заряженно­
го цилиндра (rj > R, r2 > R, г2 > гх), равна
Ф1-Ч>2 = fJ Edr = 7r—f
2те0 J —
г z=
r\
:=е—1-1вА .
2те0 г\
u п
(86.3)
§ 87. Типы диэлектриков.
Поляризация диэлектриков
Диэлектрик (как и всякое вещество)
состоит из атомов и молекул. Так как
положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду элект­
ронов, то молекула в целом электриче­
ски нейтральна.
Если заменить положительные заря­
ды ядер молекул суммарным зарядом
+Q, находящимся в центре «тяжести*
положительных зарядов, а заряд всех
электронов — суммарным отрицатель­
ным зарядом —Q, находящимся в центре
«тяжести» отрицательных зарядов, то
молекулу можно рассматривать какэлек­
трический диполь с электрическим мо­
ментом, определяемым формулой (80.3).
Первую группу диэлектриков (N2,
ВЦ, Oj, СО* СН4. ...) составляют веще­
ства. молекулы которых имеют симмет­
ричное строение, т. е. центры «тяжести»
положительных и отрицательных заря­
дов в отсутствие внешнего электриче­
ского поля совпадают и, следовательно,
дипольный момент р молекулы равен
нулю. Молекулы таких диэлектриков
называются неполярными. Под дей­
ствием внешнего электрического поля
заряды неполярных молекул смещают­
ся в противоположные стороны (поло­
жительные по полю, отрицательные
против поля) и молекула приобретает
дипольный момент.
Вторую группу диэлектриков (Н20,
КН3, SOj, СО, „.) составляют вещества,
молекулы которых имеют асимметрич­
ное строение, т.е. центры «тяжести»
положительных и отрицательных заря­
дов не совпадают. Таким образом, эти
молекулы в отсутствие внешнего элек­
трического поля обладают дипольным
моментом. Молекулы таких диэлектри­
ков называются полярными. При от­
сутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул
вследствие теплового движения ориен[ тированы в пространстве хаотично и их
результирующий момент равен нулю.
1
Если такой диэлектрик поместить во
6
фш п
внешнее поле, то силы этого поля бу­
дут стремиться повернуть диполи вдоль
поля и в результате возникнет отлич­
ный от нуля результирующий момент.
Третью группу диэлектриков (NaCl,
КCl, КВг,...) составляют вещества, мо­
лекулы которых имеют ионное строе­
ние. Ионные кристаллы представляют
собой пространственные решетки с пра­
вильным чередованием ионов разных
знаков. В этих кристаллах нельзя вы­
делить отдельные молекулы, а рассмат­
ривать их можно как систему двух вдви­
нутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный крис­
талл электрического поля происходит
некоторая деформация кристалличе­
ской решетки или относительное сме­
щение подрешеток, приводящее к воз­
никновению дипольных моментов.
Таким образом, внесение всех трех
групп диэлектриков во внешнее элект­
рическое поле приводит к возникнове­
нию отличного от нуля результирую­
щего электрического момента диэлек­
трика или, иными словами, к поляри­
зации диэлектрика.
Поляризацией диэлектрика называ­
ется процесс ориентации диполей или
появления под воздействием внешнего
атектрического поля ориентированных
по полю диполей.
Соответственно трем группам ди­
электриков различают три вида поля­
ризации:
электронная, или деформацион­
ная, поляризация диэлектрика с непо­
лярными молекулами, заключающаяся
в возникновении у атомов индуциро­
ванного дипольного момента за счет де­
формации электронных орбит,
ориентационная. или диполъная,
поляризация диэлектрика с полярны­
ми молекулами, заключающаяся в ори­
ентации имеющихся дипольных момен­
тов молекул по полю. Естественно, что
161
тепловое движение препятствует пол­
ной ориентации молекул, но в резуль­
тате совместного действия обоих факто­
ров (электрическое поле и тепловое дви­
жение) возникает преимущественная
ориентация дипольных моментов моле­
кул по полю. Эта ориентация тем силь­
нее, чем больше напряженность элект­
рического поля и ниже температура;
ионная поляризация диэлектриков
с ионными кристаллическими решетка­
ми, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль
поля, а отрицательных —против поля,
приводящем к возникновению диполь­
ных моментов.
§ 88. Поляризованность.
Напряженность поля
в диэлектрике
При помещении диэлектрика во
внешнее электрическое поле он поля­
ризуется, т. е. приобретает отличный от
нуля дипольный момент pv = У^р,,где
Pi —дипольный момент i-й молекулы.
Для количественного описания поля­
ризации диэлектрика пользуются век­
торной величиной —поляризованноетью, определяемой как дипольный мо­
мент единицы объема диэлектрика:
Ей
162
(Г
—
то
+—
+—
z/ о Ч
—-
—_
-т
I
»
U)
Р = Pv
V
V
Из опыта следует, что для большого
класса диэлектриков (за исключением
сегнетоэлектриков, см. § 91) поляризо­
ванность Р линейно зависит от напря­
женности поля Е. Если диэлектрик
изотропный и Ё не слишком велико, то
Р= агеД
(88.2)
где ае —диэлектрическая восприим­
чивость вещества, характеризующая
свойства диэлектрика; ге —величина
безразмерная, причем всегда гг > 0 и
для большинства диэлектриков (твер­
дых и жидких) составляет несколько
единиц (хотя, например, для спирта
гв ~ 25, для воды ае = 80).
Для установления количественных
закономерностей поля в диэлектрике
внесем в однородное внешнее электри­
ческое поле Е0(создается двумя беско­
нечными параллельными разноименно
заряженными плоскостями) пластинку
из однородного диэлектрика, располо­
жив ее так, как показано на рис. 137. Под
действием поля диэлектрик поляризу­
ется, т. е. происходит смещение зарядов:
положительные смещаются по полю,
отрицательные — против поля. В ре­
зультате этого на правой грани диэлект­
рика, обращенного к отрицательной
плоскости, будет избыток положитель­
ного заряда с поверхностной плотнос­
тью +ст', на левой —отрицательного за­
ряда с поверхностной плотностью —о*.
Эти нескомпенсированные заряды, по­
являющиеся в результате поляризации
диэлектрика, называются связанными.
Поверхностная плотность о' меньше
плотности о свободных зарядов плос­
костей, поэтому не все поле Е компен­
сируется полем зарядов диэлектрика:
часть линий напряженности пройдет
сквозь диэлектрик, другая же часть об­
рывается на связанных зарядах. Следо­
вательно, поляризация диэлектрика
+—
+
___ ^—
Рис. 137
вызывает уменьшение в нем поля по
сравнению с первоначальным внешним
полем. Вне диэлектрика Е —Е0.
Таким образом, появление связан­
ных зарядов приводит к возникнове­
нию дополнительного электрического
поля Ё' (поля, создаваемого связанны­
ми зарядами), которое направлено про­
тив внешнего поля Е0 (поля, создавае­
мого свободными зарядами) и ослабля­
ет его. Результирующее поле внутри
диэлектрика
Е =Е 0 -Е '.
Поле Е' = — [поле, созданное дву­
мя бесконечными заряженными плос­
костями; см. формулу (82.2)], поэтому
Е = Е0 - —.
(88.3)
ео
Определим поверхностную плот­
ность связанных зарядов а'. По (88.1)
полный дипольный момент пластинки
диэлектрика pv = PV = PSd, где S —
площадь грани пластинки, d —ее тол­
щина. С другой стороны, полный ди­
польный момент, согласно (80.3), равен
произведению связанного заряда каж­
дой грани Q' = a'S на расстояние d меж­
ду ними, т.е. pv = o'Sd. Таким образом,
PSd = o'Sd или
o' = Р,
(88.4)
т. е. поверхностная плотность о' свя­
занных зарядов равна поляризованности Р.
Подставив в (88.3) выражения (88.4)
и (88.2), получаем
Е= Е0 —агЕ,
откуда напряженность результирующе­
го поля внутри диэлектрика равна
Я=
1 + эе
=
I
(88.5)
Безразмерная величина
е = 1 + as
(88.6)
называется диэлектрической прони­
цаемостью среды. Сравнивая (88.5) и
(88.6), видим, что е показывает, во
сколько раз поле ослабляется диэлект­
риком, и характеризует количественно
свойство диэлектрика поляризоваться
в электрическом поле.
§ 89. Электрическое смещение.
Теорема Гаусса
для электростатического поля
в диэлектрике
Напряженность электростатическо­
го поля, согласно (88.5), зависит от
свойств среды: в однородной изотроп­
ной среде напряженность поля Е обрат­
но пропорциональна е. Вектор напря­
женности Е, переходя через границу
диэлектриков, претерпевает скачкооб­
разное изменение, создавая тем самым
неудобства при расчетах электростати­
ческих полей. Поэтому оказалось необ­
ходимым помимо вектора напряженно­
сти характеризовать поле еще векто­
ром электрического смещения, кото­
рый для электрически изотропной сре­
ды, по определению,
D = гфЁ.
(89.1)
Используя формулы (88.6) и (88.2),
вектор электрического смещения мож­
но выразить как
D = е0Ё + Р.
(89.2)
Единица электрического смещения —
кулон на метр в квадрате (Кл/м2).
Рассмотрим, с чем можно связать
вектор электрического смещения. Свя­
занные заряды появляются в диэлект­
рике при наличии внешнего электро­
статического поля, создаваемого систе163
мой свободных электрических зарядов,
т. е. в диэлектрике на электростатичес­
кое поле свободных зарядов наклады­
вается дополнительное поле связанных
зарядов. Результирующее поле в ди­
электрике описывается вектором на­
пряженности Ё, и потому он зависит от
свойств диэлектрика.
Вектором D описывается электро­
статическое поле, создаваемое свобод­
нымизарядами. Связанные заряды, воз­
никающие в диэлектрике, могут выз­
вать, однако, перераспределение сво­
бодных зарядов, создающих поле. По­
этому вектор Dхарактеризует электро­
статическое поле, создаваемое свобод­
ными зарядами (т.е. в вакууме), но при
таком их распределении в простран­
стве, какое имеется при наличиидиэлек­
трика.
Аналогично, как и поле Ё, поле б
изображается с помощью линий элек­
трического смещения, направление и
густота которых определяются точно
так же, как и для линий напряженнос­
ти (см. § 79).
Линии вектора Ёмогут начинаться
и заканчиваться на любых зарядах —
свободных и связанных, в то время как
линии вектора D—только на свободных
зарядах. Через области поля, где нахо­
дятся связанные заряды, линии векто­
ра D проходят не прерываясь.
Для произвольной замкнутой по­
верхности S поток вектора Dсквозь эту
поверхность
Фи
f3 d S = §DndS,
S
где Dn —проекция вектора D на нор­
маль п к площадке dS.
Теорема Гаусса для электроста­
тического поля в диэлектрике:
,8
§DdS = §Dn&S = f2Qi, (89-3)
s
s
i=l
164
т.е. поток вектора смещения электро­
статического поля в диэлектрике сквозь
произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме заключен­
ных внутри этой поверхности свобод­
ных электрических зарядов. В такой
форме теорема Гаусса справедлива для
электростатического поля как для од­
нородной и изотропной, так и для не­
однородной и анизотропной сред.
Для вакуума Д, = е0Еп(е = 1), тогда
поток вектора напряженности Ё сквозь
произвольную замкнутую поверхность
[ср. с (81.2)] равен
S
**
Так как источниками поля Ё в среде
являются как свободные, так и связан­
ные заряды, То теорему Гаусса (81.2)
для поля Ё в самом общем виде можно
записать как
f e„BdS = f e A d S =
s
3
‘=1
n
+ £ q , c„
»=1
k
где
и E & cd —соответственно ал­
гебраические суммы свободных и свя­
занных зарядов, охватываемых замкну­
той поверхностью S. Однако эта форму­
ла неприемлема для описания поля Ё в
диэлектрике, так как она выражает
свойства неизвестного поля Е через
связанные заряды, которые, в свою оче­
редь, определяются им же. Это еще раз
доказывает целесообразность введения
вектора электрического смещения.
§ 90. Условия на границе раздела
двух диэлектрических сред
Рассмотрим связь между векторами
ЁиЗкл границе раздела двух однород-
ных изотропных диэлектриков (ди­
электрические проницаемости которых
ег и е2) при отсутствии на границе сво­
бодных зарядов. Построим вблизи гра­
ницы раздела диэлектриков 1 и 2 не­
большой замкнутый прямоугольный
контур ABCDA длиной I, ориентировав
его так, как показано на рис. 138. Со­
гласно теореме (83.3) о циркуляции
вектора Е,
j___ .
£| А.
Рис. 138
в 1
е2 п
И
AS
Рис. 139
1
2
(f Edl = О,
ABCDA
откуда
Е-т\1 Ет21= О
(знаки интегралов по АВ и CD разные,
так как пути интегрирования противо­
положны, а интегралы по участкам ВС
и DA ничтожно малы). Поэтому
Ят1 = Д 2.
(90.1)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора Е проекциями вектора D, де­
ленными на е0е, получим
0 L = —.
(90.2)
Х/Т2 £2
На границе раздела двух диэлектри­
ков (рис. 139) построим прямой ци­
линдр ничтожно малой высоты, одно
основание которого находится в первом
диэлектрике, другое —во втором. Ос­
нования AS настолько малы, что в пре­
делах каждого из них вектор D одина­
ков. Согласно теореме Гаусса (89.3),
DtaA S - D iaA S= 0
(нормали п и п' к основаниям цилинд­
ра направлены противоположно). По­
этому
=
(90.4)
П„2 Ш
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух диэлектрических
сред тангенциальная составляющая
вектора Е(ЕТ) ненормальная составля­
ющая вектора D(Dn) изменяются не­
прерывно (не претерпевают скачка), а
нормальная составляющая вектора
Е(Еп) и тангенциальная составляющая
вектора D( Д ) претерпевают скачок.
Из условий (90.1) —^90.4) для со­
ставляющих векторов Е и D следует,
что линии этих векторов испытывают
излом (преломляются). Найдем связь
между углами а х и а 2 (на рис. 140
е2 > е:). Согласно (90.1) и (90.4), Ет2 =
= Д , и е^Еп2 = t xEnl. Разложим векто­
ры Ех и Ё2 у границы раздела на тан­
генциальные и нормальные составляю­
щие. Из рис. 140 следует
t g g 2 _ Д г 1 1 п2
tg a i Г Ет1/Еп1'
|ni | Да(90.3)
Заменив, согласно (89.1), проекции
вектора D проекциями вектора Е, ум­
ноженными на е0е, получим
165
Учитывая записанные выше условия,
получим законпреломления линий на­
пряженности Е (а значит, и линий сме­
щения D)
tg a 2 _ £2
tgoti еГ
Эта формула показывает, что, входя
в диэлектрик с большей диэлектричес­
кой проницаемостью, линии Ей Dуда­
ляются от нормали.
польных моментов доменов по полю, а
возникшее при этом суммарное элект­
рическое поле доменов будет поддер­
живать их некоторую ориентацию и
после прекращения действия внешне­
го поля. Поэтому сегнетоэлектрики
имеют аномально большие значения
диэлектрической проницаемости (для
сегнетовой соли, например, 6 ^ и 104).
Сегнетоэлектрические свойства
сильно зависят от температуры. Для
каждого сегнетоэлектрика имеется оп­
ределенная температура, выше которой
§ 91. Сегнетоэлектрики
его необычные свойства исчезают и он
становится обычным диэлектриком.
Сегнетоэлектрики —диэлектрики, Эта температура называется тонкой
обладающие в определенном интерва­ Кюри [в честь французского физика
ле температур спонтанной (самопроиз­ Пьера Кюри (1859—1906)]. Как прави­
вольной) поляризованностью, т. е. поля- ло, сегнетоэлектрики имеют только
ризованностью в отсутствие внешнего одну точку Кюри; исключение составля­
электрического поля. К сегнетоэлект- ют лишь сегнетова соль (—18 и +24 °С)
рикам относятся, например, детально и изоморфные с нею соединения. В сегизученные И. В. Курчатовым (1903 — нетоэлектриках вблизи точки Кюри
1960) и П. П. Кобеко (1897 —1954) сег- наблюдается также резкое возрастание
нетова соль NaKC4H40 6-4H20 (от нее теплоемкости вещества. Превращение
и получили свое название сегнетоэлек­ сегнетоэлектриков в обычный диэлек­
трик, происходящее в точке Кюри,
трики) и титанат бария ВаТЮ3.
При отсутствии внешнего электри­ сопровождается фазовым переходом
ческого поля сегнетоэлектрик представ­ II рода (см. § 75).
Диэлектрическая проницаемость е
ляет собой как бы мозаику из доменов —
областей с различными направлениями (а следовательно, и диэлектрическая
поляризованности. Это схематически восприимчивость ав) сегнетоэлектриков
показано на примере титаната бария зависит от напряженности Е поля в ве­
(рис. 141), где стрелки и знаки ©, Фука­ ществе, а для других диэлектриков эти
зывают направление вектора Р. Так как величины являются характеристиками
в смежных доменах эти направления вещества.
Для сегнетоэлектриков формула
различны, то в целом дипольный мо­
мент диэлектрика равен нулю. При вне­ (88.2) несоблюдается; для них связь меж­
сении сегнетоэлектрика во внешнее ду векторами поляризованности (Р) и
поле происходит переориентация ди­ напряженности (Е) нелинейная и зави­
сит от значений Ё в предшествующие
моменты времени. В сегнетоэлектриках
наблюдается явление диэлектриче­
ского гистерезиса («запаздывания»).
Как видно из рис. 142, с увеличением
напряженности Е внешнего электри-
торых при сжатии или растяжении в опре­
деленных направлениях возникает поляри­
зованность даже в отсутствие внешнего
электрического поля (прямой пьезоэф­
фект).
Наблюдается и обратный пьезоэф­
фект —появление механической деформа­
ции под действием электрического поля.
У некоторых пьезоэлектриков решетка по­
ложительных ионов в состоянии термоди­
ческого поля поляризованность Р рас­
намического равновесия смещена относи­
тельно решетки отрицательных ионов, в ре­
тет, достигая насыщения (кривая 1).
зультате чего они оказываются поляризо­
Уменьшение Р с уменьшением Е про­
ванными даже без внешнего электрическо­
исходит по кривой 2, и при Е = 0 сегнетоэлектрик сохраняет остаточную по-^ го поля. Такие кристаллы называются пи­
роэлектриками.
ляризованность Рос, т^е. сегнетоэлекЕще существуют электреты —диэлек­
трик остается поляризованным в отсут­
трики, длительно сохраняющие поляризо­
ствие внешнего электрического поля.
ванное состояние после снятия внешнего
Чтобы уничтожить остаточную по­
электрического поля (электрические анало­
ги постоянных магнитов). Эти группы ве­
ляризованность, надо приложить элек­
ществ находят широкое применение в тех­
трическое поле обратного направления
(—Ес). Величина Есназывается коэрци- * нике и бытовых устройствах.
тивной силой (от лат. coercitio —удер­
живание). Если далее изменять Е, то Р
§ 92. Проводники
изменяется по кривой 3 петли гисте­
в
электростатическом
поле
резиса.
Интенсивному изучению сегнетоЕсли поместить проводник во внеш­
электриков послужило открытие акаде­
нее
электростатическое поле или его
миком Б.М .Вулом (1903—1985) ано­
зарядить, то на заряды проводника бу­
мальных диэлектрических свойств тидет действовать электростатическое
таната бария. Титанат бария из-за его
поле, в результате чего они начнут пе­
химической устойчивости и высокой
ремещ
аться. Перемещение зарядов
механической прочности, а также из-за
(ток) продолжается до тех пор, пока не
сохранения сегнетоэлектрических
установится равновесное распределе­
свойств в широком температурном ин­
ние зарядов, при котором электроста­
тервале нашел большое научно-техни­
тическое поле внутри проводника обра­
ческое применение (например, в каче­
щается в нуль. Это происходит в тече­
стве генератора и приемника ультразву­
ние очень короткого времени. В самом
ковых волн). В настоящее время извес­
деле, если бы поле не было равно нулю,
тно более сотни сегнетоэлектриков, не
то в проводнике возникло бы упорядо­
считая их твердых растворов. Сегнеточенное движение зарядов без затраты
электрики широко применяются также
энергии от внешнего источника, что
в качестве материалов, обладающих
противоречит закону сохранения энер­
большими значениями е (например, в
гии. Итак, напряженность поля во всех
конденсаторах).
точках внутри проводника равна нулю:
Следует упомянуть еще о пьезоэлект­
риках —кристаллических веществах, в ко­
Ё = 0.
167
Отсутствие поля внутри проводни­
ка означает, согласно (85.2), что потен­
циал во всех точках внутри проводни­
ка постоянен (ip = const), т.е. поверх­
ность проводника в электростатиче­
ском поле является эквипотенциальной
(см. § 85). Отсюда же следует, что век­
тор напряженности поля на внешней
поверхности проводника направлен по
нормали к каждой точке его поверхно­
сти. Если бы это было не так, то под дей­
ствием касательной составляющей Ё
заряды начали бы по поверхности про­
водника перемещаться, что, в свою оче­
редь, противоречило бы равновесному
распределению зарядов.
Если проводнику сообщить некото­
рый заряд Q, то нескомпенсированные
заряды располагаются только на поверх­
ности проводника. Это следует непос­
редственно из теоремы ГаусСа (89.3),
согласно которой заряд Q, находящий­
ся внутри проводника в некотором
объеме, ограниченном произвольной
замкнутой поверхностью,
Q= (j>DdS = <f>DndS = О,
S
S
так как во всех точках внутри поверх­
ности D = 0.
Найдем взаимосвязь между напря­
женностью Е поля вблизи поверхнос*
ти заряженного проводника и поверх­
ностной плотностью ст зарядов на его
поверхности. Для этого применим тео­
рему Гаусса к бесконечно малому ци­
линдру с основаниями AS, пересекаю­
щему границу «проводник—диэлект­
рик». Ось цюшндра ориентирована
вдоль вектора Ё (рис. 143). Поток век­
тора электрического смещения через
внутреннюю часть цилиндрической
поверхности равен нулю, так как внут­
ри проводника щ (а следовательно, и Д )
равен нулю, поэтому поток вектора
D сквозь замкнутую цилиндрическую
поверхность определяется только пото­
ком сквозь наружное основание цилинд­
ра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот
поток (DAS) равен сумме зарядов
(Q = оAS), охватываемых поверхнос­
тью: DAS = оAS, т.е.
D= o
(92.1)
или
B=
(92.2)
£оЕ
где е—диэлектрическая проницаемость
среды, окружающей проводник.
Таким образом, напряженность
электростатического поля у поверхно­
сти проводника определяется поверх­
ностной плотностью зарядов. Можно
показать, что соотношение (92.2) зада­
ет напряженность электростатического
поля вблизи поверхности проводника
любой формы.
Если во внешнее электростатиче­
ское поле внести нейтральный провод­
ник, то свободные заряды (электроны,
ионы) будут перемещаться: положи­
тельные —по полю, отрицательные —
против поля (рис. 144, а). На одном кон­
це проводника будет скапливаться из­
быток положительного заряда, на дру­
гом —избыток отрицательного. Эти за­
ряды называются индуцированными.
Процесс будет происходить до тех пор,
пока напряженность поля внутри про­
водника не станет равной нулю, а ли­
нии напряженности вне проводника —
перпендикулярными его поверхности
(рис. 144, б). Таким образом, нейтраль­
ный проводник, внесенный в электро­
статическое поле, разрывает часть ли­
ний напряженности; они заканчивают­
ся на отрицательных индуцированных
зарядах и вновь начинаются на положи­
тельных. Индуцированные заряды рас­
пределяются на внешней поверхности
проводника. Явление перераспределе­
ния поверхностных зарядов на провод­
нике во внешнем электростатическом
поле называется электростатиче­
ской индукцией.
Из рис. 144, б следует, что индуци­
рованные заряды появляются на про­
воднике вследствие смещения их под
действием поля, т. е. а является поверх­
ностной плотностью смещенных заря­
дов. По (92.1), электрическое смеще­
ние D вблизи проводника численно
равно поверхностной плотности сме­
щенных зарядов. Поэтому вектор D
получил название вектора электриче­
ского смещения.
Так как в состоянии равновесия
внутри проводника заряды отсутству­
ют, то создание внутри него полости не
повлияет на конфигурацию расположе­
ния зарядов и тем самым на электроста­
тическое поле. Следовательно, внутри
полости поле будет отсутствовать. Если
теперь этот проводник с полостью за­
землить, то потенциал во всех точках
полости будет нулевым, т.е. полость
полностью изолирована от влияния
внешних электростатических полей. На
этом основана электростатическая
защита — экранирование тел, напри­
мер измерительных приборов, от влия­
ния внешних электростатических по­
лей. Вместо сплошного проводника для
защиты может быть использована гус­
тая металлическая сетка, которая, кста­
ти, является эффективной при наличии
не только постоянных, но и переменных
электрических полей.
а
б
Свойство зарядов располагаться на
внешней поверхности проводника ис­
пользуется для устройства электро­
статических генераторов, предназ­
наченных для накопления больших за­
рядов и достижения разности потенци­
алов в несколько миллионов вольт.
Электростатический генератор, изобре­
тенный американским физиком Р. Вандер-Граафом (1901 —1967), состоит из
шарообразного полого проводника 1
(рис. 145), укрепленного на изолято­
рах 2. Движущаяся замкнутая лента 3
из прорезиненной ткани заряжается от
источника напряжения с помощью си­
стемы остриев 4, соединенных с одним
из полюсов источника, второй полюс
которого заземлен. Заземленная плас­
тина 5 усиливает стекание зарядов с ос­
триев на ленту. Другая система остри­
ев 6 снимает заряды с ленты и передает
их полому шару, и они переходят на его
169
внешнюю поверхность. Таким образом,
сфере передается постепенно большой
заряд и удается достичь разности потен­
циалов в несколько миллионов вольт.
Электростатические генераторы при­
меняются в высоковольтных ускорите­
лях заряженных частиц, а также в сла­
боточной высоковольтной технике.
§ 93. Электроемкость
уединенного проводника
Рассмотрим уединенный провод­
ник, т.е. проводник, который удален от
других проводников, тел и зарядов. Его
потенциал, согласно (84.5), пропорци­
онален заряду проводника.
Из опыта следует, что разные про­
водники, будучи одинаково заряжен­
ными, имеют различные потенциалы.
Поэтому для уединенного проводника
можно записать
Q= С\р.
Величину
С=£
Ф
(93.1)
называют электроемкостью (или
просто емкостью) уединенного про­
водника. Емкость уединенного провод­
ника определяется зарядом, сообщение
которого проводнику изменяет его по­
тенциал на единицу.
Емкость проводника зависит от его
размеров и формы, но не зависит от
материала, агрегатного состояния, фор­
мы и размеров полостей внутри провод­
ника. Это связано с тем, что избыточ­
ные заряды распределяются на внеш­
ней поверхности проводника. Емкость
также не зависит от заряда проводника
и его потенциала.
Единица электроемкости —фарад
(Ф): 1 Ф —емкость такого уединенно­
170
го проводника, потенциал которого из­
меняется на 1 В при сообщении ему за­
ряда 1 Кл.
Согласно (84.5), потенциал уединен­
ного шара радиусом R, находящегося в
однородной среде с диэлектрической
проницаемостью е, равен
1
Q
^ 4тге0 ей *
Используя формулу (93.1), полу­
чим, что емкость шара
С= 4тевеЯ.
(93.2)
Отсюда следует, что емкостью 1 Ф
обладал бы уединенный шар, находя­
щийся в вакууме и имеющий радиус
R —•
~ 9-106 км, что примерно в
1400 раз больше радиуса Земли (элект­
роемкость Земли Сfa 0,7 мФ). Следо­
вательно, фарад —очень большая вели­
чина, поэтому на практике используют­
ся дольные единицы —миллифарад
(мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад
(нФ), пикофарад (пФ). Из формулы
(93.2) вытекает также, что единица
электрической постоянной ео —фарад
на метр (Ф/м) [см. (78.3)].
§ 94. Конденсаторы
Чтобы проводник обладал большой
электроемкостью, он должен иметь
очень большие размеры (см. § 93). На
практике, однако, необходимы устрой­
ства, обладающие способностью при
малых размерах и небольших относи­
тельно окружающих тел потенциалах
накапливать значительные по величи­
не заряды, иными словами, обладать
большой емкостью. Эти устройства по­
лучили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику
приближать другие тела, то на них воз-
никают индуцированные (на проводни­
ке) или связанные (на диэлектрике)
заряды, причем ближайшими к наводя­
щему заряду Q будут заряды противо­
положного знака. Эти заряды, есте­
ственно, ослабляют поле, создаваемое
зарядом Q, т.е. понижают потенциал
проводника, что приводит [см. (93.1)]
к повышению его электроемкости.
Конденсатор состоит на двух про­
водников (обкладок), разделенных ди ­
электриком. На емкость конденсатора
не должны оказывать влияния окружа­
ющие тела, поэтому проводникам при­
дают такую форму, чтобы поле, созда­
ваемое н акапливаем ы м и зарядам и,
было сосредоточено в узком зазоре
между обкладками конденсатора. Это­
му условию удовлетворяют (см. § 82):
1) две плоские пластины; 2) два коак­
сиальных цилиндра; 3) две концентри­
ческие сферы. Поэтому в зависимости
от формы обкладок конденсаторы де­
лят на плоские, цилиндрические и сфе­
рические.
Так как поле сосредоточено внутри
конденсатора, то линии напряженности
начинаются на одной обкладке и кон­
чаются на другой, поэтому свободные
заряды, возникающие на разных об­
кладках, являются равными по модулю
разноименными зарядами. Под емкос­
тью конденсатора понимается физи­
ческая величина, равная отношению
заряда Q, накопленного в конденсато­
ре, к разности потенциалов (ipx — ip2)
между его обкладками:
_
С=
Q
Ш - Фа
(94.1)
Рассчитаем емкость плоского кон­
денсатора, состоящего из двух парал­
лельных металлических пластин пло­
щадью S каждая, расположенных на
расстоянии d друг от друга и имеющих
заряды + Qи —Q. Если расстояние меж­
ду пластинами мало по сравнению с их
линейными размерами, то краевыми
эффектами можно пренебречь и поле
между обкладками считать однород­
ным. Его можно рассчитать, используя
формулы (86.1) и (94.1). При наличии
диэлектрика между обкладками раз­
ность потенциалов между ними, соглас­
но (86.1),
ad
ipi —ip2 ——
—,
tot
(94.2)
где e — диэлектрическая проницае­
мость.
Тогда из формулы (94.1), заменяя
Q = aS, с учетом (94.2), получим выра­
жение для емкости плоского конденса­
тора:
_ £0eS
С=
(94.3)
d
Для определения емкости цилиндриче­
ского конденсатора, состоящего из двух по­
лых коаксиальных цилиндров радиусами rt
и г2 (г2 > гх), вставленных один в другой,
опять пренебрегая краевыми эффектами,
считаем поле радиально-симметричным и
сосредоточенным между цилиндрическими
обкладками.
Разность потенциалов между обкладка­
ми вычислим по формуле (86.3) для поля
равномерно заряженного бесконечного ци­
линдра с линейной плотностью т = ^ (/ —
длина обкладок). При наличии диэлектри­
ка между обкладками разность потенциалов
ф1- ф2 = —- —In— = —
2те0е
2ж0е1
l n^. (94.4)
ft
Подставив (94.4) в (94.1), получим вы­
ражение для емкости цилиндрического кон­
денсатора:
С = 2-KEpd
1пй
(94.5)
Для определения емкости сферического
конденсатора, состоящего из двух концент171
рических обкладок, разделенных сфериче­
ским слоемдиэлектрика, используемформу­
лу (86.2) для разности потенциалов между
двумя точками, лежащими на расстояниях гх
иг2(га> гх) от центра заряженной сферичес­
кой поверхности. При наличии диэлектрика
между обкладками разность потенциалов
(94.6)
г2
Подставив (94.6) в (94.1), получим
Ф1 - Фа = 4теое1п
Я ркШ Ш
(94.7)
П -г2
Если d—г2—гг т\, то г2« гхи г и С=
_ 4та0ег у ак как 4 ,^ 2 —площадь сфериа
ческой обкладки, то получаем формулу
(94.3). Таким образом, при малой величине
зазора по сравнению с радиусом сферы вы­
ражения для емкости сферического и плос­
кого конденсаторов совпадают. Этот вывод
справедлив идля цилиндрического конден­
сатора: при малом зазоре между цилиндра­
ми по сравнениюс их радиусами в формуле
(94.5) In—можно разложить в ряд, ограниI
чиваясь только членом первого порядка.
В результате опять приходим к формуле
(94.3).
Из формул (94.3), (94.5) и (94.7)
вытекает, что емкость конденсаторов
любой формы пропорциональна диэ­
лектрической проницаемости диэлект­
рика, заполняющего пространство меж­
ду обкладками. Поэтому применение в
качестве прослойки сегнетоэлектриков
значительно увеличивает емкость кон­
денсаторов. •
Конденсаторы характеризуются
пробивным напряжением — разно­
стью потенциалов между обкладками
конденсатора, при которой происходит
Рис. 146
Qi 11 Сх
ОгНСа
<г™
+1Ы»
172
пробой —электрический разряд через
слой диэлектрика в конденсаторе. Про­
бивное напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.
Для увеличения емкости и варьиро­
вания ее возможных значений конден­
саторы соединяют в батареи, при этом
используется их параллельное и после­
довательное соединения.
1.
Параллельное соединение кон­
денсаторов (рис. 146). У параллельно
соединенных конденсаторов разность
потенциалов на обкладках конденсато­
ров одинакова и равна <j>A—ipB. Если ем­
кости отдельных конденсаторов Сь Cj,
Сп, то, согласно (94.1), их заряды
равны
Qi — РхСфл —Фв)»
Q2 — Ог(фл ~ Фв)>
Qn= сп(<рА- <ря),
а заряд батареи конденсаторов.
Q= '%
2 Qi =(Cl+^2+-"+^n)(‘Pi4—Фв)"
<=1
Полная емкость батареи
С=^
=С‘ +С’ + -+С”Ф
'
т. е. при параллельном соединении кон­
денсаторов она равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов.
2.
Последовательное соединение
конденсаторов (рис. 147). У последова­
тельно соединенных конденсаторов заря­
ды всех обкладок равны по модулю, а раз­
ность потенциалов на зажимах батареи
та
Дф = 5 > фо
it=l
где для любого из рассматриваемых кон­
денсаторов Дф4 = |R.. С другой стороны,
Щ
рис. 147
Согласно (84.5),
С\
Cj
с„
+11-
+И-
+11 -
Дф1
1
Ф12 —4ттс0 г
Aipn
-о+
И Ф21
т‘ х
1
4тте0 г
поэтому Wi= W2= W и
W l = Ql^Pl2 — Ql'-P21 = 2 ( ^1^12 + ^2ф21)-
® |§§|
откуда
-1 = V J L
I
кст. е. при последовательном соединении
конденсаторов суммируются величи­
ны, обратные емкостям. Таким образом,
при последовательном соединении кон­
денсаторов результирующая емкость С
всегда меньше наименьшей емкости,
используемой в батарее.
Добавляя к системе из двух зарядов
последовательно заряды Q3, Qit ....мож­
но убедиться в том, что в случае п не­
подвижных зарядов энергия взаимо­
действия системы точечных зарядов
равна
(95.1)
где —потенциал, создаваемый в той
точке, где находится заряд Qit всеми за­
рядами, кроме г-го.
2.
Энергия заряженного уединен­
ного проводника. Пусть имеется уеди­
ненный проводник, заряд, емкость и по­
§ 95. Энергия системы зарядов,
тенциал которого соответственно рав­
уединенного проводника
ны Q, С, ф . Увеличим заряд данного
и конденсатора. Энергия
проводника на dQ. Для этого необходи­
электростатического поля
мо перенести заряд dQ из бесконечнос­
ти на уединенный проводник, затратив
1.
Энергия системы неподвижных на это работу
точечных зарядов. Электростатиче­
cLA= ipdQ = Cipdip.
ские силы взаимодействия консерватив­
ны (см. § 83); следовательно, система за­ Чтобы зарядить тело от нулевого потен­
рядов обладает потенциальной энерги­ циала до ф, необходимо совершить ра­
ей. Найдем потенциальную энергию си­
стемы двух неподвижных точечных за­ боту
Т
рядов Qj и Q2, находящихся на рассто­
Сф2
(95.2)
А = ГС ^ф =
янии г друг от друга. Каждый из этих
зарядов в поле другого обладает потен­
циальной энергией [см. (84.2) и (84.5)]:
Энергия заряженного проводника
равна
той работе, которую необходимо
W l = $1ф12>
Щг= Ф гф 21»
совершить, чтобы зарядить этот про­
где ф12и 1р21 —соответственно потенци­ водник:
алы, создаваемые зарядом Q2в точке на­
хождения заряда Qi и зарядом в точ­
W ^=С ф1 = 0 ф = 01 (953)
2
2
2С
ке нахождения заряда Q2.
173
Формулу (95.3) можно получить
исходя и из того, что потенциал провод­
ника во всех его точках одинаков, так
как поверхность проводника является
эквипотенциальной. Полагая потенци­
ал проводника равным ip, из формулы
(95.1) найдем
F = - dW
dx
2EneS ’
где знак >указывает, что сила F яв­
ляется силой притяжения.
4.
Энергия электростатического
поля. Преобразуем формулу (95.4), вы­
ражающую энергию плоского конден­
сатора посредством зарядов и потенци­
алов, воспользовавшись выражением
для емкости плоского конденсатора.
П
где Q —Y^Qi ~ заРяД проводника.
( с = SsfefL) и разности потенциалов
»=i
d
3. Энергия заряженного конденса­ между его обкладками (Д ф = Ed).
тора. Как всякий заряженный провод­ Тогда
ник, конденсатор обладает энергией,
w =MELSi =S!&£Lv, (9 5 .7 )
которая в соответствии с формулой
(95.3) равна
где V = Sd—объем конденсатора.
С(Ач>)2 QAip Q1 . . . . .
Формула (95.7) показывает, что
W=
2
2
2С
энергия конденсатора выражается через
где Q —заряд конденсатора; С —его величину, характеризующую электро­
емкость; Дф —разность потенциалов статическое поле, —напряженность Е.
Объемная плотность энергии элек­
между обкладками конденсатора.
Используя выражение (95.4), мож­ тростатического поля (энергия едини­
но найти механическую (пондеромо- цы объема)
торную) силу, с которой пластины
(95 8)
конденсатора притягивают друг друга.
Предположим, что первоначальное
расстояние х между пластинами уве­
Выражение (95.8) справедливо толь­
личиваем на dx. При этом приложен­ ко для изотропного диэлектрика, для
ная к пластине сила совершает работу которого выполняется соотношение
dA = Fdx3a счет уменьшения потенци­ (88.2): Р = m eji
альной энергия системы: Fdx = —d W,
Формулы (95.4) и (95.7) соответ­
откуда
ственно связывают энергию конденса­
тора с зарядом на его обкладках и с на­
F = - dW
(95.5) пряженностью поля. Возникает, есте­
dx
ственно, вопрос о локализации энергии
Подставив в (95.4) выражение и что является ее носителем —заряды
(94.3), получим
или поле? Ответ на этот вопрос может
дать только опыт. Электростатика изу­
(95.6) чает постоянные во времени поля непод­
2С 2e0eS
вижных зарядов, т.е. в ней поля и обус­
Производя дифференцирование при ловившие их заряды неотделимы друг от
конкретном значении энергии [см. (95.5) друга, поэтому электростатика ответить
на поставленные вопросы не может.
и (95.6)], найдем искомую силу:
174
Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во
времени электрические и магнитные
поля могут существовать обособленно,
независимо от возбудивших их зарядов,
и распространяться в пространстве в
виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия: энергиялокализована в поле и носителем энергии
является поле.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления закона.
Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона.
Какие поля называют электростатическими?
Что такое напряженность Е электростатического поля?
Каково направление вектора напряженности Е? Единица напряженности в СИ.
Что такое поток вектора Е? Единица его в СИ?
Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток ФЕсквозь
эту поверхность?
• Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов + Qи +2 Q,
находящихся на расстоянии /друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.
• Чему равно отношение напряженностей электростатических полей в точке А, лежащей
на продолжении оси диполя, и в точке В, лежащей на перпендикуляре, проходящем че­
рез середину Ооси этого диполя, если ОА = ОВ?
• В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в
вакууме?
• Что такое линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов?
• Как показать, что электростатическое поле является потенциальным?
• Что называется циркуляцией вектора напряженности?
• Дайте определения потенциала данной точки электростатического поля и разности по­
тенциалов двух точек поля. Каковы их единицы?
• Приведите графики зависимостей Е(г) и ip(r) для равномерно заряженной сферической
поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.
• Какова связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля? Выве­
дите ее и объясните. Каков физический смысл этих понятий?
• Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?
• Что такое поляризованность?
• Что показывает диэлектрическая проницаемость среды?
• Выведите связь между диэлектрическими восприимчивостью вещества и проницаемо­
стью среды.
• В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?
• Определите, чему равна диэлектрическая проницаемость при построении рис. 137.
• Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует?
• Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.
• Выведите и прокомментируйте условия для векторов Е и D на границе раздела двух
диэлектрических сред.
• Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на
поверхности заряженного проводника?
• На чем основана электростатическая защита?
• Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой —парал­
лельно. Во сколько раз и когда емкость батареи будет больше?
• Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является
ее носителем —заряды или поле? Почему?
175
• Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражая ее через заряд на
обкладках конденсатора и через напряженность поля.
ЗАДАЧИ
11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в
керосин плотностью 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы
угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая прони­
цаемость керосина е = 2. [1,6 г/см3]
11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с.
поверхностной плотностью ст = 1,5 нКл/см2 расположена круглая пластинка. Плоскость
пластинки составляет с линиями напряженности угол а = 45°. Определите поток вектора
напряженности через эту пластинку, если ее радиус г= 10 см. [1,88 кВ ■м]
11.3. Кольцо радиусом г = 10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной
плотностью т = 10 hIOi/m. Определите напряженность поля на оси, проходящей через центр
кольца в точке А, удаленной на расстояние а = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м]
11.4. Шар радиусом Д = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью р = 5 нКл/м3.
Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии гх= 2 см от центра
шара; 2) на расстоянии г2= 12 см от центра шара. Постройте зависимость E(r). [1) 3,77 В/м;
2) 13,1 В/м]
11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной ни­
тью с постоянной линейной плотностью т = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет элект­
рон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния
Г! = 2,5 см до г2 = 1,5 см? [18 Мм/с]
11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 4 см, равномерно заря­
женной с поверхностной плотностью ст= 1 нКл/м2. Определите разность потенциалов между
двумя точками поля, лежащими на расстояниях гх= 6 см и г2 = 10 см. [1,2 В]
11.7. Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если ра­
бота сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния гг = 10 см до г2 = 5 см в
направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]
11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином
(е = 2). Расстояние между пластинами
8,85 мм. Какую разность потенциалов необходи­
мо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине
составляла 0,05 нКл/см2? [500 В]
11.9. Свободные заряды с объемной плотностью р = 10 нКл/м3равномерно распределены
по шару радиусом R = 5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической
проницаемостью е = 6. Определите напряженности электростатического поля на расстоя­
ниях щ= 2 см и г2 = 10 см от центра шара. [Ех= 1,25 В/м; Щ= 23,5 В/м]
11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом
(е = 7). Расстояние между пластинами d = 5 мм, разность потенциалов U= 500 В. Опреде­
лите энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь 5= 50 см2. [6,64 мкДж]
11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С7= 10 пФ заряжен до разности по­
тенциалов U=' 1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстоя­
ние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определите: 1) разность
потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по
раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]
11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U= 200 В. Площадь каж­
дой пластины S = 100 см2, расстояние между пластинами d = 1 мм, пространство между
ними заполнено парафином (е = 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.
[3,54 мН]
176
Глава 12
П О С ТО Я Н Н Ы Й ЭЛ ЕКТРИ ЧЕСКИ Й ТО К
§ 96. Электрический ток,
сила и плотность тока
В электродинамике —разделе уче­
ния об электричестве, в котором рас­
сматриваются явления и процессы,
обусловленные движением электриче­
ских зарядов или макроскопических за­
ряженных тел, —важнейшим понятием
является понятие электрического тока.
Электрическим током называется
любое упорядоченное (направленное)
движение электрических зарядов.
В проводнике под действием прило­
женного электрического поля Есвобод­
ные электрические заряды перемеща­
ются: положительные —по полю, отри­
цательные —против поля (рис. 148, а),
т.е. в проводнике возникает электри­
ческий ток, называемый током прово­
димости.
Если же упорядоченное движение
электрических зарядов осуществляется
перемещением в пространстве заря­
женного макроскопического тела (рис.
148, б), то возникает так называемый
конвекционный ток.
Для возникновения и существова­
ния электрического тока необходимо, с
одной стороны, наличие свободных но­
сителей тока —заряженных частиц,
Рис. 148
1 ___________________ _
\ ,
йш ©— 11 Ё
способных перемещаться упорядочен­
но, а с другой —наличие электрическо­
го поля, энергия которого, каким-то об­
разом восполняясь, расходовалась бы
на их упорядоченное движение. За на­
правление тока условно принимают на­
правление движения положительных
зарядов.
Количественной мерой электричес­
кого тока служит сила тока I —ска­
лярная физическая величина, опреде­
ляемая электрическим зарядом, прохо­
дящим через поперечное сечение про­
водника в единицу времени:
Если сила тока и его направление не
изменяются со временем, то такой ток
называется постоянным. Для постоян­
ного тока ‘
ш
,
t
где Q—электрический заряд, проходя­
щий за время t через поперечное сече­
ние проводника. Единица силы тока —
ампер (А) [см. Введение].
Физическая величина, определяе­
мая силой тока, проходящего через еди­
ницу площади поперечного сечения
проводника, перпендикулярного на­
правлению тока, называется плотнос­
тью тока:
.........................
Выразим силу и плотность тока че­
рез скорость (v) упорядоченного движе­
ния зарядов в проводнике. Если кон­
центрация носителей тока равна п и
177
каждый носитель имеет элементарный
заряд е (что не обязательно для ионов),
то за время dt через поперечное сече­
ние S проводника переносится заряд
dQ = ne{v)Sdt. Сила тока
I Я - 0 - = ne(v)S,
dt
w
а плотность тока j = ne(v).
Плотность тока —вектор', направле­
ние вектора j совпадает с направлени­
ем упорядоченного движения положи­
тельных зарядов:
j = ne(v).
(96.1)
Единица плотности тока — ампер
на метр в квадрате (А/м2).
Сила тока сквозь произвольную по­
верхность S определяется как поток
вектора j, т.е.
J = fjd S ,
(96.2)
s
где dS = ndS (n —единичный вектор
нормали к площадке dS, составляющей
с вектором j угол а).
§ 97. Сторонние силы.
Электродвижущая сила
и напряжение
Если в цепи на носители тока дей­
ствуют только силы электростатическо­
го поля, то происходит перемещение
носителей (они предполагаются поло­
жительными) от точек с большим по­
тенциалом к точкам с меньшим потен­
циалом. Это приводит к выравниванию
потенциалов во всех точках цепи и к
исчезновению электрического поля.
Поэтому для существования постоян­
ного тока необходимо наличие в цепи
устройства, способного создавать и под­
держивать разность потенциалов за
178
счет работы сил неэлектростатическо­
го происхождения. Такие устройства
называются источниками тока.
Силы неэлектростатического про­
исхождения, действующие на заряды со
стороны источников тока, называются
сторонними.
Природа сторонних сил может быть
различной. Например, в гальваничес­
ких элементах они возникают за счет
энергии химических реакций между
электродами и электролитами; в гене­
раторе —за счет механической энергии
вращения ротора генератора и т. п. Роль
источника тока в электрической цепи,
образно говоря, такая же, как роль на­
соса, который необходим для перека­
чивания жидкости в гидравлической
системе. Под действием создаваемого
поля сторонних сил электрические за­
ряды движутся внутри источника тока
против сил электростатического поля,
благодаря чему на концах цепи поддер­
живается разность потенциалов и в
цепи течет постоянный электрический
ток.
Сторонние силы совершают работу
по перемещению электрических заря­
дов. Физическая величина, определяе­
мая работой, совершаемой сторонними
силами при перемещении единичного
положительного заряда, называется
электродвижущей силой (ЭДС), дей­
ствующей в цепи:
Эта работа производится за счет
энергии, затрачиваемой в источнике
тока, поэтому величину Щможно также
называть электродвижущей силой ис­
точника тока, включенного в цепь. Ча­
сто, вместо того чтобы сказать: «в цепи
действуют сторонние силы», говорят:
«в цепи действует ЭДС», т.е. термин
«электродвижущая сила» употребляет­
ся как характеристика сторонних сил.
ЭДС, как и потенциал, выражается в
вольтах [ср. (84.9) и (97.1)].
Сторонняя сила
действующая на
заряд Qo, может быть выражена как
jF c t ,
&ст = ДггФо>
где Ё„ —напряженность поля сторон­
них сил.
Работа сторонних сил по перемеще­
нию заряда Qo на замкнутом участке
цепи
A = (f F„dl = Q0§E„dl. (97.2)
Разделив (97.2) на Q0, получим вы­
ражение для ЭДС, действующей в цепи:
% = § E„<U,
т.е. ЭДС, действующая в замкнутой
цепи, может быть определена как цир­
куляция вектора напряженности поля
сторонних сил. ЭДС, действующая на
участке 1 —2, равна
2
^
r 12= / £ CTd?.
(97.3)
г
На заряд Q0 помимо сторонних сил
действуют также силы электростати­
ческого поля Fe= Q0E. Таким образом,
результирующая сила, действующая в
цепи на заряд Q0, равна
F = F CT+ Fe=Q>(4T + £).
Работа, совершаемая результирую­
щей силой над зарядом Q0 на участке
1—2, равна
2
2
A12=Qof^crdT+QofFdl
1
1
Используя выражения (97.3) и
(84.8), можем записать
Aw = Qo&uif QoiWi ~ Фг)- (97.4)
Для замкнутой цепи работа электро­
статических сил равна нулю (см. § 83),
поэтому в данном случае Ап = Qa&nНапряжением Uна участке 1—2 на­
зывается физическая величина, опреде­
ляемая работой, совершаемой суммар­
ным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при переме­
щении единичного положительного за­
ряда на данном участке цепи. Таким
образом, согласно (97.4),
V\2= ipx —Фг + ^12Понятие напряжения является обоб­
щениемпонятия разности потенциалов:
напряжение на концах участка цепи
равно разности потенциалов в том слу­
чае, если на этом участке не действует
ЭДС, т. е. сторонние силы отсутствуют.
§ 98. Закон Ома.
Сопротивление проводников
Немецкий физик Г. Ом (1787 —1854)
экспериментально установил, что сйла
тока I, текущего по однородному метал­
лическому проводнику (т.е. провод­
нику, в котором не действуют сторон­
ние силы), пропорциональна напряже­
нию U на концах проводника
1= *-,
(98.1)
R
где R —электрическое сопротивление
проводника.
Уравнение (98.1) выражает закон
Ома для участка цепи (не содержаще­
го источника тока): сила тока в провод­
нике прямо пропорциональна прило­
женному напряжению и обратно прог
порциональна сопротивлению провод­
ника. Формула (98:1) позволяет уста­
новить единицу сопротивления ом (Ом):
1 Ом —сопротивление такого провод179
ника, в котором при напряжении 1 В те­
чет постоянный ток 1 А.
Величина
называется электрической проводи­
мостью проводника. Единица проводи­
мости —сименс (См): 1 См —прово­
димость участка электрической цепи
сопротивлением 1 Ом. Сопротивление
проводников зависит от его размеров и
формы, а также от материала, из кото­
рого проводник изготовлен. Для одно­
родного линейного проводника сопро­
тивление R прямо пропорционально
его длине Iи обратно пропорциональ­
но площади его поперечного сечения S:
л1 1 '
(98.2)
где р —коэффициент пропорциональ­
ности, характеризующий материал про­
водника и называемый удельным элек­
трическим сопротивлением.
Единица удельного электрического
сопротивления —ом-метр (Ом *м).
Наименьшим удельным сопротивлени­
ем обладают серебро (1,6 • 10~8 Ом •м)
и медь (1,7 • 10~8 Ом •м). На практике
наряду с медными применяются алю­
миниевые провода. Хотя алюминий и
имеет большее, чем медь, удельное со­
противление (2,6 • 1бг8 Ом •м), но зато
обладает меньшей плотностью но срав­
нению с медью.
Закон Ома можно представить в
дифференциальной форме. Подставив
выражение для сопротивления (98.2) в
закон Ома (98.1), получим
1U
(98.3)
Р I'
где величина, обратная удельному со­
противлению,
180
1--
Р
называется удельной электрической
проводимостью вещества проводника.
Ее единица —сименс на метр (См/м).
Учитывая, что ——Е — напряжен­
ность электрического поля в проводни­
ке, —= j —плотность тока, формулу
S
(98.3) можно записать в виде
j = *\E.
(98.4)
Так как в изотропном проводнике
носители тока в каждой точке движут­
ся в направлении вектора Ё, то направ­
ления j и Ё совпадают. Поэтому фор­
мулу (98.4) можно записать в виде
(98.5)
j = lE.
Выражение (98.5) —закон Ома в
дифференциальной форме, связыва­
ющий плотность тЬка в любой точке
внутри проводника с напряженностью
электрического поля в этой же точке.
Это соотношение справедливо и для
переменных полей.
Опыт показывает, что в первом при­
ближении изменение удельного сопро­
тивления, а значит и сопротивления с
температурой описывается линейным
законом:
р = р0(1 + at), R = Яо(1 + <*t),
где р и р0, R и J?o ~ соответственно
удельные сопротивления и сопротивле­
ния проводника при t и О°С; а —тем­
пературный коэффициент сопро­
тивления, для чистых металлов (при
не очень низких температурах) близкий
к I/273 К-1. Следовательно, температур­
ная зависимость сопротивления может
быть представлена в виде
R = оВД
(98.6)
где Г—термодинамическая температура
Рис. 149
ся термисторами. Они позволяют из­
мерять температуру с точностью до
миллионных долей кельвин.
Д
"и
тк
г,К
Зависимость сопротивления от тем­
пературы (98.6) представлена на рис. 149
(кривая 1). При низких температурах
наблюдается отступление от этой зави­
симости.
Впоследствии было обнаружено, что
сопротивление многих металлов (на­
пример, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов
при очень низких температурах Тк
(0,14 —20 К), называемых критиче­
скими, характерных для каждого веще­
ства, скачкообразно уменьшается до
нуля (кривая 2 ), т.е. металл становит­
ся абсолютным проводником. Впервые
это явление, названное сверхпроводи­
мостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути.
Явление сверхпроводимости объяс­
няется на основе квантовой теории.
Практическое использование сверхпро­
водящих материалов (в обмотках сверх­
проводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их
низких критических температур. В на­
стоящее время обнаружены и активно
исследуются керамические материалы,
обладающие сверхпроводимостью при
температуре выше 140 К.
На зависимости электрического со­
противления металлов от температуры
основано действие термометров со­
противления, которые позволяют по
градуированной взаимосвязи сопро­
тивления от температуры измерять тем­
пературу с точностью до 0,001 К. Тер­
мометры сопротивления, в которых в
качестве рабочего вещества использу­
ются полупроводники, изготовленные
по специальной технологии, называют­
§ 99. Работа и мощность тока.
Закон Джоуля— Ленца
Рассмотрим однородный провод­
ник, к концам которого приложено на­
пряжение U.
За время dt через сечение проводника
переносится заряд dq = Idt. При этом
силы электростатического поля и сторон­
ние силы совершают работу [см. (84.6)]
dA=Udq = IUdt.
(99.1)
Если сопротивление проводника R,
то, используя закон Ома (98.1), полу­
чим, что работа тока
dA = I 2Rdt=^-dt. (99.2)
it
Из (99.1) и (99.2) следует, что мощ­
ность тока
р =*йА = ui ЩPR = 4 1 . (99.3)
РР
it
Если сила тока выражается в ампе­
рах, напряжение —в вольтах, сопротив­
ление —в омах, то работа тока выража­
ется в джоулях, а мощность в ваттах. На
практике применяются также внесис­
темные единицы работы тока: ватт-час
(Вт •ч); киловатт-час (кВт -ч);1Вт-ч —
работа тока мощностью 1 Вт в течение
1 ч; 1 Вт •ч = 3600 Вт «с = 3,6 -103 Дж;
1 кВт •ч = 103 Вт •ч = 3,6 •106Дж.
Если ток проходит по неподвижно­
му металлическому проводнику, то вся
работа идет на его нагревание и,,по за­
кону сохранения энергии,
dQ = dA.
(99.4)
Таким образом, используя выраже­
ния (99.4), (99.1) и (99.2), получим
181
dQ = IUdt = PRdt = Щ-dt. (99.5)
Л
Выражение (99.5) представляет со­
бой закон Д ж оул я—Ленца, экспери­
ментально установленный независимо
друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Лен­
цем1.
Выделим в проводнике элементар­
ный цилиндрический объем dV —dSdl
(ось цилиндра совпадает с направлени­
ем тока), сопротивление которого R =
= р— . По закону Джоуля—Ленца за
dS
время dt в этом объеме выделится теп­
лота
dQ = PRdt = & {jdS)2dt = pj*dVdt.
dS
Количество теплоты, выделяющее­
ся за единицу времени в единице объе­
ма, называется удел ь н ой т епловой
мощностью тока. Она равна
w s p j3.
(99.6)
Используя дифференциальнуюфор­
му закона Ома (j =^Е) и соотношение
1
р = —, получим
женером В. В. Петровым (1761 —1834)],
контактной электросварки, бытовых
электронагревательных приборов и т. д.
§ 100. Закон Ома
для неоднородного участка цепи
Мы рассматривали закон Ома [см.
(98.1)] для однородного участка цепи,
т. е. такого, в котором не действует ЭДС
(не действуют сторонние силы). Теперь
рассмотрим неоднородный участок
цепи, где действующую ЭДС на участ­
ке 1—2 обозначим через
а прило­
женную на концах участка разность
потенциалов —через ipx—<pj.
Если ток проходит по неподвижным
проводникам, образующим участок 1—2,
то работа Ап всех сил (сторонних и
электростатических), совершаемая над
носителями тока, по закону сохранения
и превращения энергии равна теплоте,
выделяющейся на участке. Работа сил,
совершаемая при перемещении заря­
да Qo на участке 1—2, согласно (97.4),
^12 = Оо&12 + Фо(ф1 ~ Фз)* (Ю 0.1)
ЭДС
как и сила тока I, —вели­
w = jE = ^Е*.
(99.7) чина скалярная. Ее необходимо брать
Формулы (99.6) и (99.7) являются либо с положительным, либо с отрица­
обобщенным выражением за к о н а тельным знаком в зависимости от зна­
Д ж оуля —Ленца в диф ф еренциаль­ ка работы, совершаемой сторонними
ной форме, пригодным для любого про­ силами. Если ЭДС способствует движе­
нию положительных зарядов в выбран­
водника.
Тепловое действие тока находит ши­ ном направлении (в направлении 1—2),
рокое применение в технике, которое т о > 0. Если ЭДС препятствует дви­
началось с открытия в 1873 г. русским жению положительных зарядов в дан­
инженером А. Н. Лодыгиным (1847 — ном направлении, то Ра < 0За время t в проводнике выделяется
1923) лампы накаливания.
На нагревании проводников элект­ теплота [см. (99.5)]
рическим током основано действие
Q = I2Rt = IR(It) ш IRQ0. (100.2)
электрических муфельных печей, элек­
Из формул (100.1) и (100.2) полу­
трической дуги [открыта русским ин­
чим
1Э-Х-Ленц (1804— 1865) — русский физик.
IR = (if, - tp2) +
(100.3)
F„,
182
откуда
, j = y x - ^ ± f i2 ,
(100.4)
R
Выражение (100.3) или (100.4) пред­
ставляет собой закон Ома для неодно­
родного участка цепи в интегральной
форме, который является обобщенным
законом Ома.
Если на данном участке цепи источ­
ник тока отсутствует
—0), то из
(100.4) приходим к закону Ома для од­
нородного участка цепи (98.1):
§ 101. Правила Кирхгофа
для разветвленных цепей
Обобщенный закон Ома [см. (100.3)]
позволяет рассчитать практически лю­
бую сложную цепь. Однако непосред­
ственный расчет разветвленных цепей,
содержащих несколько замкнутых кон­
туров (контуры могут иметь общие уча­
стки, каждый из контуров может иметь
несколько источников тока и т.д.), до­
вольно сложен. Эта задача более про­
сто решается с помощью двух правил
Кирхгофа}.
г _ Ф1 -Ф 2 _ U
Любая точка разветвления цепи, в
......
R
R
которой сходится не менее трех провод­
[при отсутствии сторонних сил напря­ ников с током, называется узлом. При
жение на концах участка равно разно­ этом ток, входящий в узел, считается
сти потенциалов (см. § 97)]. Если же положительным, а ток, выходящий из
электрическая цепь замкнута, то выб­ узла, —отрицательным.
ранные точки 1 и 2 совпадают, ipx = ip2>
Первое правило Кирхгофа: алгебра­
тогда из (100.4) получаем закон Ома для ическая сумма токов, сходящихся в
замкнутой цепи:
узле, равна нулю:
5> = о.
к
Например, для рис. 150 первое пра­
вило Кирхгофа запишется так:
где Ш—ЭДС, действующая в цепи; R —
суммарное сопротивление всей цепи.
В общем случае R = г+ Rx(г —внут­
J i - / 2 + J3- J 4 - / 6 = 0,
реннее сопротивление источника тока,
— сопротивление внешней цепи). Первое правило Кирхгофа вытекает
Поэтому закон Ома для замкнутой цепи из закона сохранения электрического
будет иметь вид
заряда. Действительно, в случае устано­
вившегося постоянного тока ни в одной
точке проводника и ни на одном его
участке не должны накапливаться элек­
Если цельразомкнута и, следователь­ трические заряды. В противном случае
но, в ней ток отсутствует (1= 0), то из токи не могли бы оставаться постоян­
закона Ома (100.4) получим, что 1Г12 = ными.
Второе правило Кирхгофа является
= ф2 —ipx, т.е. ЭДС, действующая в ра­
зомкнутой цепи, равна разности потен­ обобщением закона Ома для разветв­
циалов на ее концах. Следовательно, ленных цепей. Рассмотрим контур, со­
для того чтобы найти ЭДС источника стоящий из трех участков (рис. 151).
тока, надо измерить разность потенци­ Направление обхода по часовой стрелалов на его клеммах при разомкнутой
1 Г. Кирхгоф (1824—1887) —немецкий физик.
цепи.
183
«з,Лз,/з
Рис. 151
ке примем за положительное, отметив,
что выбор этого направления совершен­
но произволен. Все токи, совпадающие
по направлению с направлением обхо­
да контура, считаются положительны­
ми, не совпадающие с направлением
обхода —отрицательными. Источники
тока считаются положительными, если
они создают ток, направленный в сто­
рону обхода контура. Применяя к уча­
сткам закон Ома (100.3), можно запи­
сать:
I i R x = 4>a ~ 4 > b + & и ' *
—I2R2 = Фв —Фс —^2>
/ А = Ф«?—Фд + С и
Складывая почленно эти уравнения,
получим
№ - /2Д2+ I3R3 = ^ - ^ 2+ Г3. (101.1)
Уравнение (101.1) выражает второе
правило Кирхгофа: в любом замкну­
том контуре, произвольно выбранном
в разветвленной электрической цепи,
алгебраическая сумма произведений
сил токов на сопротивления R{соот­
ветствующих участков этого контура
равна алгебраической сумме ЭДС &к,
встречающихся в этом контуре:
(101.2)
i
к
При расчете сложных цепей посто­
янного тока с применением правил
Кирхгофа необходимо:
184
1. Выбрать произвольное направле­
ние токов на всех участках цепи; дей­
ствительное направление токов опреде­
лится при решении задачи: если иско­
мый ток получится положительным, то
его направление было выбрано пра­
вильно, отрицательным —его истинное
направление противоположно выбран­
ному.
2. Выбрать направление обхода кон­
тура и строго его придерживаться; про­
изведение IR положительно, если ток
на данном участке совпадает с направ­
лением обхода, и, наоборот; ЭДС, дей­
ствующие по выбранному направлению
обхода, считаются положительными,
против —отрицательными.
3. Составить столько уравнений,
чтобы их число было равно числу ис­
комых величин (в систему уравнений
должны входить все сопротивления и
ЭДС рассматриваемой цепи); каждый
рассматриваемый контур должен со­
держать хотя бы один элемент, не со­
держащийся в предыдущих контурах,
иначе получатся уравнения, являющи­
еся простой комбинацией уже состав­
ленных.
В качестве примера использования пра­
вил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 152)
измерительногомоста УитстонаСопро­
тивления Rlt R2, R3и Д4образуют его «пле­
чи». Между точками АиВ моста включена
батарея с ЭДС З’и сопротивлением г, меж­
ду точками (7 и D включен гальванометр с
сопротивлением Rc. Для узлов А, В и С,
применяя первое правило Кирхгофа, полу­
чим
/г- / 1- /4= 0, /3+ /3- / г = 0,
Л-^а —V - 0 .
(101.3)
Для контуров АСВA, ACDА и CBDC, со­
гласно второму правилу Кирхгофа, можно
записать:
1Ч. Уитстон (1802 —1875) —английский фи-
Рис. 152
Irr —I\Ri + I2R2— I\R\ + ^G-^G“ I4R4—Of
I2R2- I 3R3- I GRG= 0. (101.4)
Если известны все сопротивления и
ЭДС, то, решая полученные шесть уравне­
ний, можно найти неизвестные токи. Изме­
няя известные сопротивления R2, R3 и Л4,
можно добиться того, чтобы ток через галь­
ванометр был равен нулю (IG= 0). Тогда из
(101.3) найдем
h = h h = h\
из (101.4) получим
(Ю1.5)
Рис. 153
IxRx= kR4; I2R2 = I3R3. (101.6)
Из (101.5) и (101.6) вытекает, что
Щ Щ
Щ
(Ю1.7)
Таким образом, в случае равновесного
моста (/G= 0) при определении искомого
сопротивления RxЭДС батареи, сопротив­
ления батареи и гальванометра роли не иг­
рают.
На практике обычно используется реохордныймост Уитстона (рис. 153), где со­
противления R3 и Ri представляют собой
длинную однородную проволоку (реохорд)
с большим удельным сопротивлением, так
R3 можно заменить отношечто отношение —
R4
нием —. Тогда, используя выражение
h
(101.7), можно записать
R i= R 3 j-•Я
( 101.8 )
Длины 13 и 1Алегко измеряются по шка­
ле, a R2всегда известно. Поэтому уравнение
(101.8) позволяет определить неизвестное
сопротивление Rx.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
Что называют силой тока? плотностью тока? Каковы их единицы? Дать определения.
Назовите условия возникновения и существования электрического тока.
Что такое сторонние силы? Какова их природа?
В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, действующей в цепи?
напряжения? разности потенциалов?
• Почему напряжение является обобщенным понятием разности потенциалов?
• Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и
удельной проводимостью?
• В чем заключается явление сверхпроводимости? Каковы его перспективы?
• На чем основано действие термометров сопротивления?
• Выведите законы Ома и Джоуля—Ленца в дифференциальной форме.
• В чем заключается физический смысл удельной тепловой мощности тока?
• Проанализируйте обобщенный закон Ома. Какие частные законы можно из него полу­
чить?
• Поясните физический смысл электродвижущей силы, разности потенциалов и напря­
жения на участке электрической цепи.
185
• Как формулируются правила Кирхгофа? На чем они основаны?
• Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа?
ЗАДАЧИ
12.1. По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток; сила тока 1 А. Определите сред­
нюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что
на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3.
[74 мкм/с]
12.2. Определите, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую
печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от f: = 20 °С
до <2 = 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным
3,65 •Ю-з К "1. [В 5 раз]
12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определите силу, действую­
щую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопро­
тивление меди 17 нОм ■м. [2,72 •10-21 Н]
12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от 10 = 3 А до
/ = 0 за 30 с. Определите выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.
[900 Дж]
12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определи­
те удельную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм •м.
[65 Дж/(м3- с)]
12.6. Определите внутреннее сопротивление г источника тока, если во внешней цепи
при силе тока 1Х= 5 А выделяется мощность Рх = 10 Вт, а при силе тока / 2 = 8 А мощность
Р2 = 12 Вт. [0,17 Ом]
12.7. Три источника тока с ЭДС
= 1,8 В, ё?2 = 1,4 В и <f3 = 1,1 В соединены накоротко
одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника гг = 0,4 Ом, вто­
рого — г2 = 0,6 Ом. Определите внутреннее сопротивление третьего источника, если через
первый источник идет ток Д = 1,13 А. [0,2 Ом]
Глава
13
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ,
ВАКУУМЕ И ГАЗАХ
§ 102. Элементарная
классическая теория
электр оп р оводн ости м еталлов
Носителями тока в металлах явля­
ются свободные электроны, т. е. элект­
роны, слабо связанные с ионами крис­
таллической решетки металла. Это
представление о природе носителей
тока в металлах основывается на элек­
186
тронной теории проводимости м е ­
таллов, созданной немецким физиком
П. Друде (1863 —1906) и разработанной
впоследствии нидерландским физиком
X. Лоренцем, а также на ряде класси­
ческих опытов, подтверждающих поло­
жения электронной теории.
Первый из таких опытов — опыт
Рикке1(1901), в котором в течение года
1 К.Рикке (1845—1915) — немецкий физик.
электрический ток пропускался через
три последовательно соединенных с
тщательно отшлифованными торцами
металлических цилиндра (Си, А1, Си)
одинакового радиуса. Несмотря на то
что общий заряд, прошедший через эти
цилиндры, достигал огромного значе­
нии («3,5 •106 Кл), никаких, даже мик­
роскопических, следов переноса веще­
ства не обнаружилось. Это явилось
экспериментальным доказательством
того, что ионы в металлах не участву­
ют в переносе электричества, а перенос
заряда в металлах осуществляется час­
тицами, которые являются общими для
всех металлов. Такими частицами мог­
ли быть открытые в 1897 г. английским
физиком Д.Томсоном (1 8 5 6 —1940)
электроны.
Для доказательства этого предполо­
жения необходимо было определить
знак и величину удельного заряда но­
сителей (отношение заряда носителя к
его массе). Идея подобных опытов зак­
лючалась в следующем: если в металле
имеются подвижные, слабо связанные
с решеткой носители тока, то при рез­
ком торможении проводника эти части­
цы должны по инерции смещаться впе­
ред, как смещаются вперед пассажиры,
стоящие в вагоне при его торможении,
результатом смещения зарядов должен
быть импульс тока; по направлению
тока можно определить знак носителей
тока, а зная размеры и сопротивление
проводника, можно вычислить удель­
ный заряд носителей.
Идея этих опытов (1913) и их каче­
ственное воплощение принадлежат
российским физикам С. Л. Мандельш­
таму (1879—1944) и Н.Д.Папалекси
(1880—1947). Эти опыты в 1916 г. были
усовершенствованы и проведены аме­
риканским физиком Р.Толменом
(1881 — 1948) и ранее шотландским
физиком Б.Стюартом (1828—1887).
Ими экспериментально доказано, что
носители тока в металлах имеют отри­
цательный заряд, а их удельный заряд
приблизительно одинаков для всех ис­
следованных металлов. По значению
удельного заряда носителей электри­
ческого тока и по определенному ранее
Р.Милликеном элементарному элект­
рическому заряду была определена их
масса. Оказалось, что значения удель­
ного заряда и массы носителей тока и
электронов, движущихся в вакууме, со­
впадали. Таким образом, было оконча­
тельно доказано, что носителями элек­
трического тока в металлах являются
свободные электроны.
Существование свободных электро**
нов в металлах можно объяснить сле­
дующим образом: при образовании кри­
сталлической решетки металла (в ре­
зультате сближения изолированных
атомов) валентные электроны, сравни­
тельно слабо связанные с атомными яд­
рами, отрываются от атомов металла,
становятся «свободными» и могут пе­
ремещаться по всему объему. Таким об­
разом, в узлах кристаллической решет­
ки располагаются ионы металла, а меж­
ду ними хаотически движутся свобод­
ные электроны, образуя своеобразный
электронный газ, обладающий, соглас­
но электронной теории металлов, свой­
ствами идеального газа.
Электроны проводимости при сво­
ем движении сталкиваются с ионами
решетки, в результате чего устанавли­
вается термодинамическое равновесие
между электронным газом и решеткой.
По теории Друде—Лоренца, электро­
ны обладают такой же энергией тепло­
вого движения, как и молекулы одно­
атомного газа. Поэтому, применяя вы­
воды молекулярно-кинетической тео­
рии [см. (44.3)], можно найти среднюю
скорость теплового движения электро­
нов
187
■ив
v ^те
которая для Т = 300 К равна 1,1 •105 м/с.
Тепловое движение электронов, явля­
ясь хаотическим, не может привести к
возникновению тока.
При наложении внешнего электри­
ческого поля на металлический провод­
ник кроме теплового движения элект­
ронов происходит их упорядоченное
движение, т. е. возникает электрический
ток. Среднюю скорость (v) упорядо­
ченного движения электронов можно
оценить согласно формуле (96.1) для
плотности тока: j = ne(v). Выбрав до­
пустимую плотность тока, например
для медных проводов 107 А/м2, полу­
чим, что при концентрации носителей
тока п = 8 •1028 м-3 средняя скорость
(v) упорядоченного движения электро­
нов равна 7,8 •10~4 м/с. Следовательно,
(v) <С (и), т.е. даже при очень больших
плотностях тока средняя скорость упо­
рядоченного движения электронов,
обусловливающего электрический ток,
значительно меньше их скорости теп­
лового движения. Поэтому при вы­
числениях результирующую скорость
((v) + (г*)) можно заменять скоростью
теплового движения (и).
Казалось бы, полученный результат
противоречит факту практически
мгновенной передачи электрических
сигналов на большие расстояния. Дело
в том, что замыкание электрической
цепи влечет ва собой распространение
электрического поля со скоростью с
(с = 3 ♦108 м/q). Через время t —^ (I—
длина цепи) вдоль цепи установится
стационарное электрическое поле и в
ней начнется упорядоченное движение
электронов. Поэтому электрический
ток возникает в цепи практически од­
новременно с ее замыканием.
188
§ 103. Вывод основных законов
электрического тока
в классической теории
проводимости металлов
1.
Закон Ома. Пусть в металличе
ском проводнике существует электри­
ческое поле напряженностью 25= const.
Со стороны поля заряд е испытывает
действие силы F = e E и приобретает ус­
корение а = — = — . Таким образом,
m m
во время свободного пробега электро­
ны движутся равноускоренно, приобре­
тая к концу свободного пробега ско­
рость
где (t) — среднее время между двумя
последовательными соударениями элек­
трона с ионами решетки.
Согласно теории Друде, в конце сво­
бодного пробега электрон, сталкиваясь
с ионами решетки, отдает им накоплен­
ную в поле энергию, поэтому скорость
его упорядоченного движения стано­
вится равной нулю. Следовательно,
средняя скорость направленного дви­
жения электрона
/ \= Ц.тах +О = ggft)
Р . . 2
2т
(103.1)
v
'
Классическая теория металлов не
учитывает распределения электронов
по скоростям, поэтому среднее время (<)
свободного пробега определяется сред­
ней длиной свободного пробега (I) и
средней скоростью движения электро­
нов относительно кристаллической ре­
шетки проводника, равной (и) + (и)
((и) —средняя скорость теплового дви­
жения электронов), В § 102 было пока­
зано, что (и) «с (и), поэтому
Подставив значение (t) в формулу
(103.1), получим
Плотность тока в металлическом
проводнике по (96.1)
, .
пе2(1) „
j = пет = - —7-7 Е,
J
I ' 2m(u>
Если п —концентрация электронов,
то в единицу времени происходит n(z)
столкновений и решетке передается
энергия
w=n{z){EK),
(103.5)
которая идет на нагревание проводни­
ка. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5),
получим энергию, передаваемую ре­
шетке в единице объема проводника за
единицу времени,
w = n ^ l E2
2тп(и)
(103.6)
Величина wявляется удельной теп­
ловой мощностью тока (см. § 99). Ко­
эффициент пропорциональности меж­
ду wи Е 2по (103.2) есть удельная про­
водимость^ следовательно, выражение
(103.6) —закон Джоуля—Ленца в диф­
ференциальной форме [ср. с (99.7)].
3. Закон Видемана —Франца. Ме­
таллы обладают как большой электри­
(103.2)
ческой проводимостью, так и высокой
2т(и)
теплопроводностью. Это объясняется
тем, что носителями тока и теплоты в
которая тем больше, чем больше кон­
металлах являются одни и те же части­
центрация свободных электронов и
цы — свободные электроны, которые,
средняя длина их свободного пробега.
2.
Закон Джоуля—Ленца. К концу перемещаясь в металле, переносят не
только электрический заряд, но и при­
свободного пробега электрон под дей­
сущую им энергию хаотического (теп­
ствием поля приобретает дополнитель­
лового) движения, т.е. осуществляют
ную кинетическую энергию
перенос теплоты.
Видеманом и Францем в 1853 г. экс­
ш| У
= ?Щ - Е2. (103.3)
периментально установлен закон, со­
' к/
2
2т(и)2
гласно которому отношение теплопро­
При соударении электрона с ионом
водности (X) к удельной проводимос­
эта энергия полностью передается ре­
ти (4 ) для всех металлов при одной и
шетке и идет на увеличение внутренней
той же температуре одинаково и увели­
энергии металла, т. е. на его нагревание.
чивается пропорционально термодина­
За единицу времени электрон испы­
мической температуре:
тывает с узлами решетки в среднем {z)
столкновений:
- = (ЗГ,
.4
где (3 — постоянная, не зависящая от
=
(103.4)
рода металла.
откуда видно, что плотность тока про­
порциональна напряженности поля,
т.е. получили закон Ома в дифферен­
циальной форме [ср. с (98.4)]. Коэффи­
циент пропорциональности между j и Е
есть не что иное, как удельная прово­
димость материала
189
Элементарная классическая теория
электропроводности металлов позво­
лила найти значение р: (3 = 3 (^j , где
к —постоянная Больцмана. Это значе­
ние хорошо согласуется с опытными
данными. Однако, как оказалось впос­
ледствии, это согласие теоретического
значения с опытным случайно. Лоренц,
применив к электронному газу статис­
тику Максвелла — Больцмана, учтя тем
самым распределение электронов по
скоростям, получил 3 = 2
, что при­
вело к резкому расхождению теории с
опытом.
Таким образом, классическая теория
электропроводности металлов объяс­
нила законы Ома и Джоуля—Ленца, а
также дала качественное объяснение
закона Видемана—Франца. Однако она
помимо рассмотренных противоречий
в законе Видемана—Франца столкну­
лась еще с рядом трудностей при объяс­
нении различных опытных данных.
Рассмотрим некоторые из них.
Температурная зависимость сопро­
тивления. Из формулы удельной про­
водимости (103.2) следует, что сопро­
тивление металлов, т.е. величина, об­
ратно пропорциональная %должна воз­
растать пропорционально у[т [в (103.2)
п и (/) от температуры не зависят, а
(и) ~ у/Т]. Этот вывод электронной те­
ории противоречит опытным данным,
согласно которым R ~ Т (см. § 98).
Оценка средней длины свободного
пробега электронов в металлах. Что­
бы по формуле (103.2) получить % со­
впадающие с опытными значениями,
надо принимать ( I) значительно боль­
ше истинных, иными словами, предпо­
лагать, что электрон проходит без со­
ударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласу­
ется с теорией Друде —Лоренца.
190
Теплоемкость металлов. Теплоем­
кость металла складывается из тепло­
емкости его кристаллической решетки
и теплоемкости электронного газа. По­
этому атомная (т.е. рассчитанная на
1 моль) теплоемкость металла должна
быть значительно больше атомной теп­
лоемкости диэлектриков, у которых нет
свободных электронов. Согласно зако­
ну Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоем­
кость одноатомного кристалла равна
3 R. Учтем, что теплоемкость одноатом­
ного электронного газа равна 3/ R.
Тогда атомная теплоемкость металлов
должна быть близка к 4 ,5 R. Однако
опыт доказывает, что она равна 3 R, т. е.
для металлов, так же как и для диэлек­
триков, хорошо выполняется закон
Дюлонга и Пти. Следовательно, нали­
чие электронов проводимости практи­
чески не сказывается на значении теп­
лоемкости, что не объясняется класси­
ческой электронной теорией.
Указанные расхождения теории
с опытом можно объяснить тем, что
движение электронов в металлах под­
чиняется не законам классической ме­
ханики, а законам квантовой механики
и, следовательно, поведение электро­
нов проводимости надо описывать не
статистикой Максвелла—Больцмана,
а квантовой статистикой. Поэтому
объяснить затруднения элементарной
классической теории электропроводно­
сти металлов можно лишь квантовой
теорией, которая будет рассмотрена в
дальнейшем. Надо, однако, отметить,
что классическая электронная теория
не утратила своего значения и до насто­
ящего времени, так как во многих слу­
чаях (например, при малой концентра­
ции электронов проводимости и высо­
кой температуре) она дает правильные
качественные результаты и является по
сравнению с квантовой теорией про­
стой и наглядной.
2
§ 104. Работа вы хода
электронов из металла
Как показывает опыт, свободные
электроны при обычных температурах
практически не покидают металл. Сле­
довательно, в поверхностном слое ме­
талла должно быть задерживающее
электрическое поле, препятствующее
выходу электронов из металла в окру­
жающий вакуум. Работа, которую нуж­
нозатратить для удаления электрона из
металла в вакуум, называется работой
выхода. Укажем две вероятные причи­
ны существования работы выхода.
1. Если электрон по какой-то причи­
не удаляется из металла, то в том мес­
те, которое электрон покинул, возника­
ет избыточный положительный заряд и
электрон притягивается к индуциро­
ванному им самим положительному
заряду.
2. Отдельные электроны, покидая
металл, удаляются от него на расстояния
порядка атомных и создают тем самым
надповерхностьюметалла «электронное
облако», плотность которого быстро
убывает с расстоянием. Это облако вме­
сте с наружным слоем положительных
ионов решетки образует двойной элек­
трический слой, поле которого подобно
полюплоского конденсатора. Толщина
этого слоя равна нескольким межатом­
нымрасстояниям (1СГ10—10-9 м). Он не
создает электрического поля во внеш­
нем пространстве, но препятствует
выходу свободных электронов из ме­
талла.
Таким образом, электрон при выле­
те из металла должен преодолеть задер­
живающее его электрическое поле двой­
ного слоя. Разность потенциалов Дер в
этом слое, называемая поверхност­
ным скачком потенциала, определя­
ется работой выхода (Л) электрона из
металла:
А
М
А ,
= —
е
где е — заряд эл ектрон а.
Так как вне д в о й н о го с л о я э л е к т р и ­
ческое поле о т су т ст в у е т , т о п о т е н ц и а л
среды равен нулю, а в н у тр и м е т а л л а п о ­
тенциал полож ителен и р а в е н A ip. П о ­
тенциальная энерги я с в о б о д н о г о э л е к ­
трона внутри м еталла р а в н а — е Д ip и я в ­
ляется относительно в а к у у м а о т р и ц а ­
тельной. И сх о д я из э т о г о м о ж н о с ч и ­
тать, что весь объем м е т а л л а д л я э л е к т ­
ронов проводимости п р е д с т а в л я е т п о ­
тенциальную ям у с п л о ск и м д н о м , г л у ­
бина которой равна р а б о т е в ы х о д а А .
Работа выхода в ы р аж ается в э л е к т ­
рон-вольтах (э В ): 1 э В р ав ен р а б о т е , с о ­
вершаемой силами поля при п е р е м е щ е ­
нии элементарного э л е к т р и ч е ск о го з а ­
ряда (заряда, равного зар я д у э л е к т р о н а )
при прохождении им р а зн о ст и п о т е н ц и ­
алов в 1 В. Т ак как зар я д э л е к т р о н а р а ­
вен 1,6 •1СГ19 Кл, то 1 э В = 1 ,6 • 1 0 ~ 19 Д ж .
Работа вы хода з а в и с и т о т х и м и ч е ­
ской природы металлов и о т ч и с т о т ы и х
поверхности и к о л еб л ется в п р е д е л а х
нескольких эл ек тр он -в ол ьт (н а п р и м е р ,
у калия А = 2 ,2 э В , у п л а т и н ы А =
= 6,3 э В ). П одобрав о п р е д е л е н н ы м о б ­
разом покрытие п о в е р х н о с т и , м о ж н о
значительно ум еньш ить р а б о т у в ы х о д а .
Например, если н анести н а п о в е р х н о с т ь
вольфрама ( А — 4 ,5 э В ) с л о й о к с и д а щ е ­
лочно-земельного м е т а л л а ( С а , S r , В а ) ,
то работа вы хода с н и ж а е т ся д о 2 э В .
§ 105. Эмиссионные явления
и их применение
Если сообщ ить э л е к т р о н а м в м е т а л ­
лах энергию , н е о б х о д и м у ю д л я п р е ­
одоления работы в ы хо д а, т о ч а с т ь э л е к ­
тронов мож ет п о к и н у т ь м е т а л л , в р е ­
зультате чего н а б л ю д ается я в л е н и е и с -
191
пускания электронов, или электрон­
ной эмиссии. В зависимости от спосо­
ба сообщения электронам энергии раз­
личают термоэлектронную, фотоэлек­
тронную, вторичную электронную и ав-
и подаче на анод положительного на­
пряжения (относительно катода) в
анодной цепи диода возникает ток.
Если поменять полярность батареи Ба,
то ток прекращается, как бы сильно ка­
тоэлектронную эмиссии.
тод ни накаливали. Следовательно, ка­
1.
Термоэлектронная эмиссия —это тод испускает отрицательные частицы —
испускание электронов нагретыми
электроны.
металлами. Концентрация свободных
Если поддерживать температуру на­
электронов в металлах достаточно вы­
каленного катода постоянной и снять
сока, поэтому даже при средних темпе­
зависимость анодного тока /от анодно­
ратурах вследствие распределения
го напряжения U — вольт-амперную
электронов по скоростям (по энергиям)
характеристику (рис. 155), то оказы­
некоторые электроны обладают энерги­
вается, что она не является линейной,
ей, достаточной для преодоления по­
т. е. для вакуумного диода закон Ома не
тенциального барьера на границе ме­
выполняется. Зависимость термоэлек­
талла. С повышением температуры чис­
тронного тока I от анодного напряже­
ло электронов, кинетическая энергия
ния в области малых положительных
значений Uописывается законом трех
теплового движения которых больше
работы выхода, растет и явление термо­
вторых [установлен русским физиком
электронной эмиссии становится за­
С. А Богуславским (1883 —1923) и аме­
риканским физиком И.Ленгмюром
метным.
Исследование закономерностей тер­
(1881 *-1957)]:
моэлектронной эмиссии можно прове­
1 = в и 3*2,
сти с помощью простейшей двухэлект­
где В — коэффициент, зависящий от
родной лампы — вакуумного диода,
формы и размеров электродов, а также
представляющего собой откачанный
их взаимного расположения.
баллон, содержащий два электрода: ка­
При увеличении анодного напряже­
тод К и анод А. В простейшем случае
ния ток возрастает до некоторого мак­
катодом служит нить из тугоплавкого
симального значения /нас, называемого
металла (например, вольфрама), нака­
током насыщения. Это означает, что
ливаемая электрическим током. Анод
почти все электроны, покидающие ка­
чаще всего имеет форму металлическо­
тод, достигают анода, поэтому дальней­
го цилиндра, окружающего катод. Если
шее возрастание напряженности поля
диод включить в цепь, как это показано
не может привести к увеличению терна рис. 154, то при накаливании катода
Рис. 155
192
моэлектронного тока. Следовательно,
плотность тока насыщения характери­
зует эмиссионную способность матери­
ала катода.
Плотность тока насыщения опреде­
ляется формулой Ричардсона -Деш мана, выведенной теоретически на ос­
нове квантовой статистики:
1шс = СТ*е~Я,
где А — работа выхода электронов из
катода; Т —термодинамическая темпе­
ратура; С — постоянная, теоретически
одинаковая для всех металлов (это не
подтверждается экспериментом, что,
по-видимому, объясняется поверхнос­
тными эффектами). •
Уменьшение работы выхода приво­
дит к резкому увеличению плотности
тока насыщения. Поэтому применяют­
ся оксидные катоды (например, никель,
покрытый оксидом щелочно-земельно­
го металла), работа выхода которых
равна 1 —1,5 эВ.
На рис. 155 представлены вольт-амперные характеристики для двух тем­
ператур катода: Щи Г2, причем Т2 > Tv
С повышением температуры катода ис­
пускание электронов с катода интен­
сивнее, при этом увеличивается и ток
насыщения. При U = 0 наблюдается
анодный ток, т. е. некоторые электроны,
эмиттируемые катодом, обладают энер­
гией, достаточной для преодоления ра­
боты выхода и достижения анода без
приложения электрического поля.
Явление термоэлектронной эмиссии
используется в приборах, в которых
необходимо получить поток электронов
в вакууме, например в электронных
лампах, рентгеновских трубках, элект­
ронных микроскопах и т.д. Электрон­
ные лампы широко применяются в
электро- и радиотехнике, автоматике и
телемеханике для выпрямления пере­
7 Курс физики
менных токов, усиления электрических
сигналов и переменных токов, генери­
рования электромагнитных колебаний
и т.д. В зависимости от назначения в
лампах используются дополнительные
управляющие электроды.
2. Фотоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов из металла под дей­
ствием света, а также коротковолново­
го электромагнитного излучения (на­
пример, рентгеновского). Основные за­
кономерности этого явления будут рас­
смотрены в § 202.
3. Вторичная электронная эмис­
сия — это испускание электронов по­
верхностью металлов, полупроводни­
ков или диэлектриков при бомбарди­
ровке их пучком электронов. Вторич-,
ный электронный поток состоит из
электронов, отраженных поверхностью
(упруго и неупруго отраженные элект­
роны), и «истинно» вторичных элект­
ронов —электронов, выбитых из метал­
ла, полупроводника или диэлектрика
первичными электронами.
Отношение числа вторичных элект­
ронов Пз к числу первичных щ, вызвав­
ших эмиссию, называется коэффициен­
том вторичной электронной эмиссии:
' 6= ^ .
щ
Коэффициент 6 зависит от природы
материала поверхности, энергии бом­
бардирующих частиц и их угла падения
на поверхность. У полупроводников и
диэлектриков 8 больше, чем у металлов.
Это объясняется тем, что в металлах,
где концентрация электронов проводи­
мости велика, вторичные электроны,
часто сталкиваясь с ними, теряют свою
энергию и не могут выйти из металла.
В полупроводниках и диэлектриках изза малой концентрации электронов
проводимости столкновения вторич­
ных электронов с ними происходят го193
Рис. 156
О
1
3
5
7
9
Е, кэВ
раздо реже и вероятность выхода вто­
ричных электронов из эмиттера возра­
стает в несколько раз.
Для примера на рис. 156 приведена
качественная зависимость коэффици­
ента вторичной электронной эмиссии б
от энергии £ падающих электронов для
КС1. С увеличением энергии электро­
нов 6 возрастает, так как первичные
электроны все глубже проникают в кри­
сталлическую решетку и, следовательно,
выбивают больше вторичных электро­
нов. Однако при некоторой энергии пер­
вичных электронов 8 начинает умень­
шаться. Это связано с тем, что с увели­
чением глубины проникновения пер­
вичных электронов вторичным все
труднее вырваться на поверхность. Зна­
чение 8тах для КС1 достигает и12 (для
чистых металлов оно не превышает 2).
Явление вторичной электронной
эмиссии используется в фотоэлект­
ронных умножителях (ФЭУ), приме­
няемых для усиления слабых электри­
ческих токов. ФЭУ представляет собой
вакуумную трубку с фотокатодом К и
анодом А, между которыми расположе­
но несколько электродов—эмиттеров
(рис. 157). Электроны, вырванные из
фотокатода под действием света, попа­
дают на эмиттер 3 lf пройдя ускоряю­
щую разность потенциалов между К и
Эх. Из эмиттера Эхвыбивается 8 элект­
ронов. Усиленный таким образом элек­
тронный поток направляется на эмит­
тер Э2, и процесс умножения повторя­
ется на всех последующих эмиттерах.
Если ФЭУ содержит п эмиттеров, то на
аноде А, называемом коллектором, по­
лучается усиленный в 8" раз фотоэлек­
тронный ток.
4.
Автоэлектронная эмиссия — это
эмиссия электронов с поверхности ме­
таллов под действием сильного внешне­
го электрического поля. Эти явления
можно наблюдать в откачанной трубке,
конфигурация электродов которой (ка­
тод —острие, анод —внутренняя повер­
хность трубки) позволяет при напряже­
ниях примерно 103 В получать электри­
ческие поля напряженностью примерно
107 В/м. При постепенном повышении
напряжения уже при напряженности
поля у поверхности катода примерно
10б—10® В/м возникает слабый ток,
обусловленный электронами, испускае­
мыми катодом. Сила этого тока увели­
чивается с повышением напряжения на
трубке. Токи возникают при холодном
катоде, поэтому описанное явление назы­
вается также холоднойэмиссией. Объяс­
нение механизма этого явления возмож­
но лишь на основе квантовой теории.
§ 106. Ионизация газов.
Несамостоятельный газовый
разряд
Газы при не слишком высоких тем­
пературах и при давлениях, близких к
атмосферному, являются хорошими
изоляторами. Если поместить в сухой
атмосферный воздух заряженный элек­
трометр с хорошей изоляцией, то его за-
194
ряд долго остается неизменным. Это
объясняется тем, что газы при обычных
условиях состоят из нейтральных ато­
мов и молекул и не содержат свободных
зарядов (электронов и ионов). Газ ста­
новится проводником электричества,
когда некоторая часть его молекул иони­
зуется, т.е. произойдет расщепление
нейтральных атомов и молекул на ионы
и свободные электроны. Для этого газ
надо подвергнуть действию какого-либо
ионизатора (например, поднеся к заря­
женному электрометру пламя свечи, на­
блюдаем спад его заряда; здесь электро­
проводность газа вызвана нагреванием).
Таким образом, при ионизации газов
под действием какого-либо ионизатора
происходит вырывание из электронной
оболочки атома или молекулы одного
или нескольких электронов, что приво­
дит к образованию свободных электро­
нов и положительных ионов. Электро­
ны могут присоединяться к нейтраль­
ным молекулам и атомам, превращая их
в отрицательные ионы. Следовательно,
в ионизованном газе имеются положи­
тельные и отрицательные ионы и сво­
бодные электроны. Прохождение элек­
трического тока через газы называется
газовым разрядом.
Ионизация газов может происхо­
дить под действием различных иониза­
торов: сильный нагрев (столкновения
быстрых молекул становятся настоль­
ко сильными, что они разбиваются на
ионы), коротковолновое электромаг­
нитное излучение (ультрафиолетовое,
рентгеновское и ^-излучения), корпус­
кулярное излучение (потоки электро­
нов, протонов, а-частиц) и т.д. Для того
чтобы выбить из молекулы (атома)
один электрон, необходимо затратить
определенную энергию, называемую
энергией ионизации, значения которой
для атомов различных веществ лежат в
пределах 4 —25 эВ.
Одновременно с процессом иониза­
ции газа всегда идет и обратный про­
цесс — процесс рекомбинации: поло­
жительные и отрицательные ионы, по­
ложительные ионы и электроны, встре­
чаясь, воссоединяются между собой с
образованием нейтральных атомов и
молекул. Чем больше ионов возникает
под действием ионизатора, тем интен­
сивнее идет и процесс рекомбинации.
Строго говоря, проводимость газа
никогда не равна нулю, так как в нем
всегда имеются свободные заряды, об­
разующиеся в результате действия на
газы излучения радиоактивных вёществ,
имеющихся на поверхности Земли, а
также космического излучения. Эта
незначительная проводимость воздуха
(интенсивность ионизации под дей­
ствием указанных факторов невелика)
служит причиной утечки зарядов на­
электризованных тел даже при хорошей
их изоляции.
Характер газового разряда опреде­
ляется составом газа, его температурой
и давлением, размерами, конфигура­
цией и материалом электродов, при­
ложенным напряжением, плотностью
тока.
Рассмотрим цепь, содержащую газо­
вый промежуток (рис. 158), подверга­
ющийся непрерывному, постоянному
по интенсивности воздействию иониза­
тора. В результате действия ионизато­
ра газ приобретает некоторую проводи­
мость и в цепи потечет ток, зависимость
195
В
с У
/
Несамостоя­
тельный
разряд
•
Iи
Самостоя­
тельный
разряд
которого от приложенного напряжения
приведена на рис. 159.
На участке кривой (М сила тока воз­
растает пропорционально напряжению,
т.е. выполняется закон Ома. При даль­
нейшем увеличении напряжения закон
Ома нарушается: рост силы тока замед­
ляется (участок АВ) и наконец прекра­
щается совсем (участок ВС). Это дос­
тигается в том случае, когда ионы и
электроны, создаваемые внешним иони­
затором за единицу времени, за это же
время достигают электродов. В резуль­
тате получаем ток насыщения ( /нас), зна­
чение которого определяется мощнос­
тью ионизатора. Ток насыщения, таким
образом, является мерой ионизирующе­
го действия ионизатора. Если в режиме
ОС прекратить действие ионизатора, то
прекращается и разряд. Разряды, суще­
ствующие только под действием вне­
шних ионизаторов, называются несамо­
стоятельными. При дальнейшем уве­
личении напряжения между электрода­
ми сила тока вначале медленно (участок
CD), а затем резко (участок DE ) возрас­
тает. Механизм этого явления будет рас­
смотрен в следующем параграфе.
Рассмотрим условия возникновения
самостоятельного разряда. Как уже ука­
зывалось в § 106, при больших напря­
жениях между электродами газового
промежутка (см. рис. 158) ток сильно
возрастает (участки CD и DE на рис.
159). При больших напряжениях возни­
кающие под действием внешнего иони­
затора электроны, сильно ускоренные
электрическим полем, сталкиваясь с
нейтральными молекулами газа, иони­
зируют их, в результате чего образуют­
ся вторичные электроны и положитель­
ные ионы (процесс 1 на рис. 160). По­
ложительные ионы движутся к катоду,
а электроны — к аноду. Вторичные
электроны вновь ионизируют молеку­
лы газа, и, следовательно, общее коли­
чество электронов и ионов будет возра­
стать по мере продвижения электронов
к аноду лавинообразно. Это является
причиной увеличения электрического
тока на участке CD (см. рис. 159). Опи­
санный процесс называется ударной
ионизацией.
Однако ударная ионизация под дей­
ствием электронов недостаточна для
поддержания разряда при удалении
внешнего ионизатора. Для этого необ­
ходимо, чтобы электронные лавины
«воспроизводились», т.е. чтобы в газе
под действием каких-то процессов воз­
никали новые электроны. Такие процес­
сы схематически показаны на рис. 160:
§ 107. Самостоятельный
газовый разряд и его типы
Разряд в газе, сохраняющийся пос­
ле прекращения действия внешнего
ионизатора, называется самостоя­
тельным.
196
Рис. 160
1) ускоренные полем положительные
ионы, ударяясь о катод, выбивают из
него электроны (процесс 2)\ 2) положительные ионы, сталкиваясь с молекулами газа, переводят их в возбужденное
состояние; переход таких молекул в
нормальное состояние сопровождается
испусканием фотона (процесс 3)', 3) фотон, поглощенный нейтральной молекулой, ионизирует ее, происходит так
называемый процесс фотонной ионизации молекул (процесс 4)\4) выбивание
электронов из катода под действием
фотонов (процесс 5).
Наконец, при значительных напряжениях между электродами газового
промежутка наступает момент, когда
положительные ионы, обладающие
меньшей длиной свободного пробега,
чем электроны, приобретают энергию,
достаточную для ионизации молекул
газа (процесс 6), и к отрицательной пластине устремляются ионные лавины.
Когда возникают кроме электронных
лавин еще и ионные, сила тока растет
уже практически без увеличения напряжения (участок DE на рис. 159).
В результате описанных процессов
(1—6) число ионов и электронов в
объеме газа лавинообразно возрастает
и разряд становится самостоятельным,
т. е. сохраняется после прекращения
действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возникает самостоятельный разряд, называется напря-
степенно откачивая и з тр у б к и в о з д у х ,
то при давлении « 5 ,3 — 6 ,7 к П а в о з н и кает разряд в виде св е т я щ е го ся и з в и л и стого шнура красноватого ц вета, и д у щ е го от катода к аноду. П ри д а л ь н е й ш е м
понижений давления ш нур у т о л щ а е т ся, и при давлении « 1 3 П а р а зр я д и м е ет вид, схематически и зо б р а ж ен н ы й н а
рис. 161.
Непосредственно к к ато д у п р и л е г а ет тонкий светящ ийся сл о й 1 — п е р в о е
кат одн ое свеч ен и е, и л и к а т о д н а я
пленка, затем следует тем н ы й с л о й 2 —
катодное т емное п р ост р ан ст в о , п е реходящее в дальнейш ем в с в е т я щ и й с я
слой 3 —т леющ ее свечени е, и м е ю щ е е
резкую границу со стор он ы к а то д а , н е ­
степенно исчезающ ую со сто р о н ы а н о да. Оно возникает и з-за р ек о м б и н ац и и
электронов с полож ительны м и и он ам и ,
С тлеющим свечением гр ан и ч и т т е м ный промежуток 4 — ф а р а д е е в о т ем ное пространство, за к о то р ы м с л е д у ет столб ионизированного с в е т я щ е г о с я
газа 5 — п олож и т ельны й ст ол б. П о ­
ложительный столб в п оддерж ании р а зряда существенной роли не и гр ает. Н а пример, при ум еньш ении р а с с т о я н и я
между электродами тр уб ки е го д л и н а
сокращается, в то врем я к а к к а т о д н ы е
части разряда по ф орме и в е л и ч и н е QCтаются неизменными,
В тлеющем разряде о со б о е зн а ч е н и е
для его поддержания и м ею т т о л ь к о д в е
его части; катодное тем н о е п р о с т р а н жением пробоя.
ство и тлеющее свечен и е. В к а т о д н о м
В зависимости от давления газа, кон- темном пространстве п р о и схо д и т с и л ь фигурации электродов, параметров ное ускорение эл ек тр о н о в и п о л о ж и внешней цепи можно говорить о четы- тельных ионов, вы б и ваю щ и х э л е к т р о рех типах самостоятельного разряда; ны с катода (вторичная э м и с с и я ). В о б тлеющем, искровом, дуговом и коронном. ласти тлеющ его свеч ен и я п р о и с х о д и т
1. Тлеющий разряд возникает при
низких давлениях. Если к электродам,
впаянным в стеклянную трубку длиной
30—50 см, приложить постоянное на­
пряжение в несколько сотен вольт, пор ис
197
ударная ионизация электронами моле­
кул газа. Образующиеся при этом по­
ложительные ионы устремляются к ка­
тоду и выбивают из него новые элект­
роны, которые, в свою очередь, опять
ионизируют газ и т.д. Таким образом
непрерывно поддерживается тлеющий
разряд.
При дальнейшем откачивании труб­
ки при давлении « 1 ,3 Па свечение газа
ослабевает и начинают светиться стен­
ки трубки. Электроны, выбиваемые из
катода положительными ионами, при
таких разрежениях редко сталкивают­
ся с молекулами газа и поэтому, уско­
ренные полем, ударяясь о стекло, вы­
зывают его свечение, так называемую
катодолюминесцемцмю. Поток этих
электронов исторически получил на­
звание катодных лучей. Если в като­
де просверлить малые отверстия, то
положительные ионы, бомбардирую­
щие катод, пройдя через отверстия,
проникают в пространство за катодом
и образуют резко ограниченный пу­
чок, получивший название Качало­
вых (или положительных) лучей , на­
званных по знаку заряда, который они
несут.
Тлеющий разряд широко использу­
ется в технике. Так как свечение поло­
жительного столба имеет характерный
для каждого газа цвет, то его использу­
ют в газосветных трубках для светя­
щихся надписей и реклам (например,
неоновые газоразрядные трубки дакгг
красное свечение, аргоновые —синева­
то-зеленое). В лампах дневного света,
более экономичных, чем лампы накали­
вания, излучение тлеющего разряда,
происходящее в парах ртути, поглоща­
ется нанесенным на внутреннюю повер­
хность трубки флуоресцирующим ве­
ществом (люминофором), начинающим
под воздействием поглощенного излу­
чения светиться. Спектр свечения при
198
соответствующем подборе люминофо­
ров близок к спектру солнечного излу­
чения. Тлеющий разряд используется
для катодного напыления металлов.
Вещество катода в тлеющем разряде
вследствие бомбардировки положи­
тельными ионами, сильно нагреваясь,
переходит в парообразное состояние.
Помещая вблизи катода различные
предметы, их можно покрыть равно­
мерным слоем металла.
2.
Искровой разряд возникает при
больших напряженностях электричес­
кого поля (иЗ ■106 В/м) в газе, находя­
щемся под давлением порядка атмос­
ферного. Искра имеет вид ярко светя­
щегося тонкого канала, сложным обра­
зом изогнутого и разветвленного.
Объяснение искрового разряда дает­
ся на основе стримерной теории, со­
гласно которой возникновению ярко
светящегося канала искры предшеству­
ет появление слабосветящихся скопле­
ний ионизованного газа — стримеров.
Стримеры возникают не только в ре­
зультате образования электронных ла­
вин посредством ударной ионизации,
но и в результате фотонной ионизации
газа. Лавины, догоняя друг друга, обра­
зуют проводящие мостики из стриме­
ров, по которым в следующие моменты
времени устремляются мощные потоки
электронов, образующие каналы искро­
вого разряда. Из-за выделения при рас­
смотренных процессах большого коли­
чества энергии газ в искровом проме­
жутке нагревается до очень высокой
температуры (примерно 104 К), что при­
водит к его свечению. Быстрый нагрев
газа ведет к повышению давления и воз­
никновению ударных волн, объясняю­
щих звуковые эффекты при искровом
разряде — характерное потрескивание
в слабых разрядах и мощные раскаты
грома в случае молнии, являющейся
примером мощного искрового разряда
между грозовым облаком и Землей или
Дуговой разряд находит широкое
между двумя грозовыми облаками.
применение для сварки и резки метал­
Искровой разряд используется для
лов, получения высококачественных
воспламенения горючей смеси в двига­
сталей (дуговая печь) и освещения
телях внутреннего сгорания и предох­
(прожекторы, проекционная аппарату­
ранения электрических линий переда­
ра). Широко применяются также дуго­
чи от перенапряжений (искровые раз­
вые лампы с ртутными электродами в
рядники). При малой длине разрядно­
кварцевых баллонах, где дуговой раз­
го промежутка искровой разряд вызы­
ряд возникает в ртутном паре при от­
качанном воздухе. Дуга, возникающая
вает разрушение (эрозию) поверхнос­
в ртутном паре, является мощным ис­
ти металла, поэтому он применяется
точником ультрафиолетового излуче­
для электроискровой точной обработ­
ния и используется в медицине (напри­
ки металлов (резание, сверление). Его
мер, кварцевые лампы). Дуговой разряд
используют в спектральном анализе
при низких давлениях в парах ртути
для регистрации заряженных частиц
используется в ртутных выпрямителях
(искровые счетчики).
3.
Дуговой разряд. Если после за­ для выпрямления переменного тока.
4.
Коронный разряд —высоковольт­
жигания искрового разряда от мощно­
ный электрический разряд при высо­
го источника постепенно уменьшать
ком (например, атмосферном) давле­
расстояние между электродами, то раз­
нии в резко неоднородном поле вблизи
ряд становится непрерывным — возни­
электродов с большой кривизной по­
кает дуговой разряд. При этом сила тока
верхности (например, острия). Когда
резко возрастает, достигая сотен ампер,
напряженность поля вблизи острия до­
а напряжение на разрядном промежут­
стигает 30 кВ/см, то вокруг него возни­
ке падает до нескольких десятков вольт.
кает свечение, имеющее вид короны,
Дуговой разряд можно получить от
чем и вызвано название этого вида раз­
источника низкого напряжения, минуя
ряда.
стадию искры. Для этого электроды
В зависимости от знака корониру(например, угольные) сближают до со­
ющего электрода различают отрица­
прикосновения, они сильно раскаляют­
тельную или положительную корону.
ся электрическим током, потом их раз­
В случае отрицательной короны рожде­
водят и получают электрическую дугу
ние электронов, вызывающих ударную
(именно так она была открыта В. В. Пет­
ионизацию молекул газа, происходит за
ровым). При атмосферном давлении
счет эмиссии их из катода под действи­
температура катода приблизительно
ем положительных ионов, в случае по­
равна 3900 К. По мере горения дуги
ложительной короны — вследствие
угольный катод заостряется, а на аноде
ионизации газа вблизи анода. В есте­
образуется углубление — кратер, явля­
ственных условиях корона возникает
ющийся наиболее горячим местом дуги.
под влиянием атмосферного электриче­
По современным представлениям,
ства у вершин мачт (на этом основано
дуговой разряд поддерживается за счет
действие молниеотводов), деревьев1.
высокой температуры катода из-за ин­
Вредное действие короны вокруг про-.
тенсивной термоэлектронной эмиссии,
а также термической ионизации моле­
кул, обусловленной высокой темпера­
1 Это явление получило в древности назва­
ние огней святого Эльма.
турой газа.
199
водов высоковольтных линий переда­
чи проявляется в возникновении вред­
ных токов утечки. Для их снижения
провода высоковольтных линий дела­
ются толстыми. Коронный разряд, яв­
ляясь прерывистым, становится также
источником радиопомех.
Используется коронный разряд в
электрофильтрах, применяемых для
очистки промышленных газов от при­
месей. Газ, подвергаемый очистке, дви­
жется снизу вверх в вертикальном ци­
линдре, ло оси которого расположена
коронирующая проволока. Ионы, име­
ющиеся в большом количестве во внеш­
ней части короны, оседают на частицах
примеси и увлекаются полем к внеш­
нему некоронирующему электроду и на
нем оседают. Коронный разряд приме­
няется также при нанесении порошко­
вых и лакокрасочных покрытий.
§ 108. Плазма и ее свойства
Плазмой называется сильно иони­
зованный газ, в котором концентрации
положительных и отрицательных заря­
дов практически одинаковы. Различа­
ют высокотемпературную плазму,
возникающую при сверхвысоких тем­
пературах, и газоразрядную плазму,
возникающую при газовом разряде.
Плазма характеризуется степенью
ионизации а — отношением числа
ионизованных частиц к полному их
числу в единице объема плазмы. В за­
висимости от величины а говорят о
слабо ( а составляет доли процента),
умеренно ( а — несколько процентов)
и полностью ( а близко к 100 %) иони­
зованной плазме.
Заряженные частицы (электроны,
ионы) газоразрядной плазмы, находясь
в ускоряющем электрическом поле,
имеют разную среднюю кинетическую
200
энергию. Это означает, что температу­
ра электронного Те и ионного ТИгазов
различна, причем Те > ТИ. Несоответ­
ствие этих температур указывает на то,
что газоразрядная плазма является
неравновесной, поэтому она называет­
ся также неизотермической. Убыль
числа заряженных частиц в процессе
рекомбинации в газоразрядной плаз­
ме восполняется ударной ионизацией
электронами, ускоренными электри­
ческим полем. Прекращение действия
электрического поля приводит к исчез­
новению газоразрядной плазмы.
Высокотемпературная плазма яв­
ляется равновесной, или изотермиче­
ской, т. е. при определенной температу­
ре убыль числа заряженных частиц вос­
полняется в результате термической
ионизации. В такой плазме соблюдает­
ся равенство средних кинетических
энергий, составляющих плазму различ­
ных частиц. В состоянии подобной
плазмы находятся звезды, звездные ат­
мосферы, Солнце. Их температура до­
стигает десятков миллионов градусов.
Условием существования плазмы
является некоторая минимальная плот­
ность заряженных частиц, начиная с
которой можно говорить о плазме как
таковой. Эта плотность определяется в
физике плазмы из неравенства L^> D,
где L —линейный размер системы заря­
женных частиц, D —так называемый дебаевскийрадиус экранирования, пред­
ставляющий собой то расстояние, на
котором происходит экранирование кулоновского поля любого заряда плазмы.
Плазма обладает следующими ос­
новными свойствами: высокой степе­
нью ионизации газа, в пределе — пол­
ной ионизацией; равенством нулю ре­
зультирующего пространственного за­
ряда (концентрация положительных и
отрицательных частиц в плазме прак­
тически одинакова); большой электро-
т е рМ О '
ntr в плазме создается в
вИЖныМИ част
с
наиболее подви
аим0деистви
" "„ем; сильным взаи ^
полЯМи,
^ р и ч е с к я м и “ а™ нов , Плазм е с
колебаниями эле р
вызываю
^ ШОГ
ц и он н« состояние
щими общее вибрац
„дновреплазмы; «колле „ вием громадного
менным взаимодеиствием ^
части_
числа частиц (в о б ь и ю в г
^
аСТ:2
ственное своеобразие плазмы, позволя
ющее считать ее особым, четвертым, со-
стоянием вещества.
^
Изучение физических свойств плаз­
мы дает возможность, с одной стороны,
решать многие проблемы астрофизики,
поскольку в космическом пространстве
плазма — наиболее распространенное
состояние вещества, а с другой — откры­
вает принципиальные возм ож ности
ядерН°оваСний по yW aB**czB bic°K O leyl'
пературная п
2gg )
2 3 Я * п р е^ Г к Г Г /р ато р ах
нитогидродин
_ установках для
(МГД-генераторах;
j образования
ма перспективных для дли
мических полетов.
Низкотемпературная плазма, п олу­
чаемая в плазмотронах, исп ользуется
для резки и сварки металлов, для п олучения некоторых химических соедин е­
ний (например, галогенидов инертных
газов), которые не удается получить
другими способами, и т. д.
Контрольные вопросы
Какими
Каковы
ДавитепН
орВ Н Ы е В Д е И Э Л е к т р и ч е с к о г о т о к * в металлах?
ческоготока?
Ние электРонов не может привес™ t "
электротехнике) .
Выведите на основе классш»
возникновению электои
с°противле0 бВДСните"“Г Траз,1°видностаГ ИЯ?
т е о РИИ электгюг,
^«азывакп " б ^ еРнук>хараст№?СИОННЬ«явлений? п
Р° ПровоДНости
Дайте объ
к
1
aKoidv >. ^Ика on?
Г
^
Н^
tui
ЭЛектроньти КУУМН°Г0 л и п »
1^ависил*
КТР°НЫИ
3ХХодС
г о ^ ато:
т0
да^
олО ДоН0
ог^к
й У „й „й0Й
ИКаЧ^
I R o ark s
и Да, то как?
IННааззьы1вваа ее тт гс .я ^
4^ я э т о я в Т о н н о й
^*ЬН01
>М Г й 1 л
В0МразРяде?
201
• Охарактеризуйте типы самостоятельного газового разряда. В чем их особенности?
• Охарактеризуйте процесс ионизации; рекомбинации.
• В чем отличие самостоятельного газового разряда от несамостоятельного? Каковы ус­
ловия, необходимые для его осуществления?
• В чем отличие равновесной плазмы от неравновесной?
• Приведите основные свойства плазмы. Каковы возможности ее применения?
ЗАДАЧИ
13.1. Концентрация электронов проводимости в металле равна 2,5 •1022 см-3. Определите
среднюю скорость их упорядоченного движения при плотности тока 1 А/мм2. [0,25 мм/с]
13.2. Работа выхода электрона из вольфрама составляет 4,5 эВ. Определите, во сколько
раз увеличится плотность тока насыщения при повышении температуры от 2000 до 2500 К.
[В 290 раз]
13.3. Работа выхода электрона из металла равна 2,5 эВ. Определите скорость вылетаю­
щего из металла электрона, если он обладает энергией 10~18Дж. [1,15 Мм/с]
13.4. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируется рентгеновским
излучением. Сила тока, текущего между пластинами, 10 мкА. Площадь каждой пластины
конденсатора равна 200 см2, расстояние между ними 1 см, разность потенциалов 100 В. Под­
вижность положительных ионов Ь+ = 1,4 см2/(В •с) и отрицательных 6_ = 1,9 см2/(В •с);
заряд каждого иона равен элементарному заряду. Определите концентрацию пар ионов меж­
ду пластинами, если ток далек от насыщения. [9,5 •1014 м~3]
13.5. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен 9,6 пА. Определите число
пар ионов, создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3 •107]
Г л а в а 14
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 109. Магнитное поле
и его характеристики
Подобно тому как в пространстве,
окружающем электрические заряды,
возникает электростатическое поле,
так и в пространстве, окружающем
токи и постоянные магниты, возника­
ет силовое поле, называемое магнит­
ным. Наличие магнитного поля обна­
руживается по силовому действию на
внесенные в него проводники с током
или постоянные магниты. Название
«магнитное поле» связывают с ориен­
тацией магнитной стрелки под действи­
ем поля, создаваемого током [это явле­
202
ние впервые обнаружено датским фи­
зиком X.Эрстедом (1 7 7 7 — 1851)].
Электрическое поле действует как на
неподвижные, так и на движущиеся в
нем электрические заряды. Важнейшая
особенность магнитного поля состоит
в том, что оно действует только на дви­
жущиеся в нем электрические заряды.
Опыт показывает, что характер воздей­
ствия магнитного поля на ток различен
в зависимости от формы проводника,
по которому течет ток, от расположения
проводника и от направления тока.
Следовательно, чтобы охарактеризо­
вать магнитное поле, надо рассмотреть
его действие на определенный ток.
Подобно тому как при изучении
электростатического поля использова­
лись точечные заряды, при исследова­
нии магнитного поля пользуются зам­
»»
кнутым плоским контуром с током
(рамка с током), линейные размеры ко­
lчi f/ *
торого малы по сравнению с расстояни­
ем до токов, образующих магнитное
поле. Ориентация контура в простран­
стве определяется направлением нор­
мали к контуру. Направление нормали
задается правилом правого винта: за
положительное направление нормали
принимается направление поступатель­
ного движения винта, головка которо­
го вращается в направлении тока, теку­
щего в рамке (рис. 162).
Опыты показывают, что магнитное
поле оказывает на рамку с током ори­
ентирующее действие, поворачивая ее
определенным образом. Этот результат
используется для выбора направления
магнитного поля. За направление маг­
нитного поля в данной точке принима­
ется направление, вдоль которого рас­
полагается положительная нормаль к
рамке (рис. 163).
За направление магнитного поля мо­
жет быть также принято направление,
совпадающее с направлением силы, ко­
торая действует на северный полюс маг­
нитной стрелки, помещенной в данную
точку. Так как оба полюса магнитной
стрелки лежат в близких точках поля, то
силы, действующие на оба полюса, рав­
ны друг другу. Следовательно, на маг­
нитную стрелку действует пара сил, по­
ворачивающая ее так, чтобы ось стрел­
ки, соединяющая южный полюс с север­
ным, совпадала с направлением поля.
Рамкой с током можно воспользо­
ваться также и для количественного
описания магнитного поля. Так как
рамка с током испытывает ориентиру­
ющее действие поля, то на нее в магнит­
ном поле действует пара сил. Вращаю-
► ■■
Рис. 162
Рис. 163
щий момент сил зависит как от свойств
поля в данной точке, так и от свойств
рамки и определяется по формуле
М = [ртВ],
(1 0 9 .1 )
где рт — вектор магнитного момен­
та рамки с током; В — вектор маг­
нитной индукции (количественная ха­
рактеристика магнитного поля).
Для плоского контура с током I
Рт — ISn,
(1 0 9 .2 )
где S — площадь поверхности контура
(рамки); п — единичный вектор норма­
ли к поверхности рамки.
Таким образом, направление ртсо­
впадает с направлением положитель­
ной нормали.
Если в данную точку магнитного
поля помещать рамки с различными
магнитными моментами, то на них дей­
ствуют различные вращающие момен­
ты, однако отношение — 5И£- (Мгаах —
о
Не
максимальный вращающии момент)
для всех контуров одно и то же и по­
этому может служить характеристи­
кой магнитного поля, называемой маг­
нитной индукцией:
М
о __ ■
*** шах
Рт
Магнитная индукция в данной точ­
ке Однородного магнитного поля опре­
деляется максимальным вращающим
моментом, действующим на рамку с
магнитным моментом, равным едини­
це, когда нормаль к рамке перпендику203
лярна направлению поля. Следует отме­
тить, что вектор В может быть выведен
также из закона Ампера (см. § 111) и из
выражения для силы Лоренца (см. § 114).
Так как магнитное поле является
силовым, то его, по аналогии с электри­
ческим, изображают с помощью линий
магнитной индукции — линий, каса­
тельные к которым в каждой точке со­
впадают с направлением вектора В. Их
направление задается правилом право­
го винта: головка винта, ввинчиваемо­
го по направлению тока, вращается в
направлении линий магнитной индук­
ции.
Линии магнитной индукции можно
«проявить» с помощью железных опи­
лок, намагничивающихся в исследуемом
поле и ведущих себя подобно маленьким
магнитным стрелкам. На рис. 164, а по­
казаны линии магнитной индукции поля
кругового тока, на рис. 164, б — линии
магнитной индукции поля соленоида
(iсоленоид — равномерно намотанная
на цилиндрическую поверхность про­
волочная спираль, по которой течет
электрический ток).
£/1инии магнитной индукции всегда
замкнуты и охватывают проводники с
током. Этим они отличаются от линий
напряженности электростатического
поля, которые являются разомкнуты­
ми [начинаются на положительных за­
рядах и кончаются на отрицательных
(см. § 79)].
На рис. 165 изображены линии магнит­
ной индукции полосового магнита; они вы-
Рис. 164
20 4
Рис. 165
ходят из северного полюса и входят в юж­
ный. Вначале казалось, что здесь наблюда­
ется полная аналогия с линиями напряжен­
ности электростатического поля и полюсы
магнитов играют роль магнитных «зарядов»
(магнитных монополей). Опыты показали,
■что, разрезая магнит на части, его полюсы
I разделить нельзя, т.е. в отличие от электриI ческих зарядов свободные магнитные заря­
ды не существуют, поэтому линии магнит­
ной индукции не Moiyr обрываться на по­
люсах. В дальнейшем было установлено, что
внутри полосовых магнитов имеется маг­
нитное поле, аналогичное полю внутри со­
леноида, и линии магнитной индукции это­
го магнитного поля являются продолжени­
ем линий магнитной индукции вне магни­
та. Таким образом, линии магнитной индук­
ции магнитного поля постоянных магнитов
являются также замкнутыми.
До сих пор мы рассматривали мак­
роскопические токи, текущие в провод­
никах. Однако, согласно предположе­
нию французского физика А. Ампера
( 1 7 7 5 — 1836), в любом теле существу­
ют микроскопические токи, обусловлен­
ные движением электронов в атомах и
молекулах. Эти микроскопические мо­
лекулярные токи создают свое магнит­
ное поле и могут поворачиваться в маг­
нитных полях макротоков. Например,
если вблизи какого-то тела поместить
проводник с током (макроток), то под
действием его магнитного поля микро­
токи во всех атомах определенным об­
разом ориентируются, создавая в теле
дополнительное магнитное поле. Век­
тор магнитной индукции В характери­
зует результирующее магнитное поле,
создаваемое всеми макро- и микрото­
ками, т.е. при одном и том же токе и
прочих равных условиях вектор В ъраз­
личных средах будет иметь разные зна­
чения.
Магнитное поле макротоков описы­
вается вектором напряженности Н.
Для однородной изотропной среды век­
тор магнитной индукции связан с век­
тором напряженности следующим со­
отношением:
В = Р ор Д
( 1 0 9 .3 )
где Цо— магнитная постоянная; р — без­
размерная величина—магнитная про­
ницаемость среды, показывающая, во
сколько раз магнитное поле макрото­
ков Н усиливается за счет поля микро­
токов среды.
Сравнивая векторные характеристи­
ки электростатического (Е и D) и маг­
нитного (В и Н) полей, укажем, что ана­
логом вектора напряженности электро­
статического поля Е является вектор
магнитной индукции В, так как векто­
ры и В определяют силовые действия
этих полей и зависят от свойств среды.
Аналогом вектора электрического сме­
щения D является вектор напряженно­
сти Й магнитного поля.
§ 110. Закон Био— Савара—
Лапласа и его применение
к расчету магнитного поля
Магнитное поле постоянных токов
различной формы изучалось француз­
скими учеными Ж. Био (1774 —1862) и
Ф.Саваром (1791 — 1841). Результаты
этих опытов были обобщены выдаю­
щимся французским математиком и
физиком П. Лапласом.
Закон Био —Савара—Лапласа для
проводника с током I, элемент dl ко­
торого создает в некоторой точке А
(рис. 166) индукцию поля dВ, записы­
вается в виде
\d.j? = W .y fe lP
4тт
г6
(lio.l)
где dl —вектор, по модулю равный дли­
не dl элемента проводника и совпада­
ющий по направлению с током; г —радиус-вектор, проведенный из элемента
dl проводника в точку А поля; г — мо­
дуль радиуса-вектора г.
Направление d В перпендикулярно
dl и г, т. е. перпендикулярно плоскости,
в которой они лежат, и совпадает с ка­
сательной к линии магнитной индук­
ции. Это направление может быть за­
дано по правилу нахождения линий маг­
нитной индукции {правилу правого вин­
та): направление вращения головки
винта дает направление dВ, если посту­
пательное движение винта соответству­
ет направлению тока в элементе.
Модуль вектора d В определяется
выражением
дд = W / d i a n ct
4ir
(Ц0.2)
г2
где а — угол между векторами dl и г.
Для магнитного поля, как и для элект­
рического, справедлив принцип супер­
позиции: вектор магнитной индукции
результирующего поля, создаваемого
несколькими токами или движущими­
ся зарядами, равен векторной сумме маг­
нитных индукций складываемых полей,
создаваемых каждым током или движу­
щимся зарядом в отдельности:
В щ Ш {.
(110.3)
205
индукция, создаваемая одним элемен­
том проводника, равна
Рис. 167
dB
sinada.
(110.4)
4т\R
Так как угол а для всех элементов
прямого тока изменяется в пределах от
0 до тг, то, согласно (110.3) и (110.4),
d В, В
Расчет характеристик магнитного
поля (В и Н ) по приведенным форму­
В1 И Ш
Щ !» =
лам в общем случае сложен. Однако
J
4iv iJ J
4tt R
если распределение тока имеет опреде­
Следовательно, магнитная индук­
ленную симметрию, то применение за­
ция поля прямого тока
кона Био—Савара—Лапласа совмест­
но с принципом суперпозиции позволя­
в _ М-оМ»21
(110.5)
ет просто рассчитать конкретные поля.
4ir R
Рассмотрим два примера.
Магнитное поле в центре круго­
1.
Магнитное поле прямого тока — 2.
вого проводника с током (рис. 168).
тока, текущего по тонкому прямому
Как следует из рисунка, все элементы
проводу бесконечной длины (рис. 167).
кругового проводника с током создают
В произвольной точке А, удаленной от
в центре магнитные поля одинакового
оси проводника на расстояние R, век­
направления — вдоль нормали от вит­
торы с1В от всех элементов тока имеют
ка. Поэтому сложение векторов d В
одинаковое направление, перпендику­
можно заменить сложением их мо­
лярное плоскости чертежа («к нам»).
дулей. Так как все элементы проводни­
Поэтому сложение векторов dB можно
ка перпендикулярны радиусу-вектору
заменить сложением их модулей.
(sin a = 1) и расстояние всех элементов
В качестве постоянной интегрирова­
проводника до центра кругового тока
ния выберем угол а (угол между век­
одинаково и равно Я, то, согласно
торами dl и г), выразив через него все
( 110.2 ),
остальные величины. Из рис. 167 сле­
дует, что
R
dim
sin a
rd a
sin a
(радиус дуги CD вследствие малости dl
равен г, поэтому угол FD С можно счи­
тать прямым). Подставив эти выраже­
ния в (110.2), получим, что магнитная
Рис. 168
я
\
dB, S
т Щ
Ш
4и R2
Тогда
f i= / dB= ^ / di=
Следовательно, магнитная индук­
ция поля в центре кругового проводни­
ка с током
В = Unii——
'2R
206
.
§ 111. Закон Ампера.
Взаимодействие
параллельных токов
Магнитное поле (см. § 109) оказы­
вает на рамку с током ориентирующее
действие. Следовательно, вращающий
момент, испытываемый рамкой, есть
результат действия сил на отдельные ее
элементыЮбобщая результаты иссле­
дования действия магнитного поля на
различные проводники с током, А. Ам­
пер установил, что сила dF, с которой
магнитное поле действует на элемент
проводника dl с током, находящегося в
магнитном поле, равна
d F = I [d l,B ],
(111.1)
где d l — вектор, по модулю равный dl
и совпадающий по направлению с то­
ком, В — вектор магнитной индукции.
Направление вектора dF может быть
найдено, согласно (111.1), по общим
правилам векТорного произведения,
откуда следует правило левой руки :
если ладонь левой руки расположить
так, чтобы в нее входил вектор В, а че­
тыре вытянутых пальца — по направ­
лению тока в проводнике, то отогнутый
большой палец покажет направление
силы, действующей на ток.
Модуль силы Ампера [см. (111.1)]
вычисляется по формуле
d F= / B d / sin a,
(111.2)
где a — угол между векторами dl и dB.
Закон Ампера применяется для оп­
ределения силы взаимодействия двух
токов. Рассмотрим два бесконечных
прямолинейных параллельных тока 1г
и 12 (на рис. 169 токи направлены пер­
пендикулярно плоскости чертежа к нам),
расстояние между которыми равно R.
Каждый из проводников создает магнит­
ное поле, которое действует по закону
Ампера на другой проводник с током.
Рассмотрим, с какой силой действу­
ет магнитное поле тока 1Хна элемент dl
второго проводника с током 12. Ток 1Х
создает вокруг себя магнитное поле,
линии индукции которого представля­
ют собой концентрические окружнос­
ти. Направление вектора By определя­
ется правилом правого винта, его мо­
дуль по формуле (110.5) равен
та ...
1
И
4тх R '
Направление силы d Fj, с которой
поле Вхдействует на участок dl второ­
го тока, определяется по правилу левой
руки и указано на рисунке. Модуль
силы, согласно (111.2), с учетом того,
что угол а между элементами тока 12 и
вектором Вх прямой, равен
dFi = IjBidl.
Подставляя значение для Вь получим
dF, = ШЙ
dl.
1
4тт R
(111.3)
Рассуждая аналогично, можно пока­
зать, что сила dF2, с которой магнитное
поле тока 12 действует на элемент dl
первого проводника с током 1Ь направ­
лена в противоположную сторону и по
модулю равна
dF2 = IxB2dl = M L M lh d i (1Ц .4)
4тт R
207
I
Сравнение выражений (111.3) и
(111.4) показывает, что
dF1 = dF2,
т. е. два параллельных тока одинакового
направления притягиваются друг к дру­
гу с силой
dF = M 2A Z a.dz
4tv R
(Ц 1.5)
Если токи имеют противоположные
направления, то, используя правило ле­
вой руки, можно показать, что между
ними действует сила отталкивания, оп­
ределяемая по формуле (111.5).
/ dl
Единица магнитной индукции —
тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индук­
ция такого однородного магнитного
поля, которое действует с силой 1 И на
каждый метр длины прямолинейного
проводника, расположенного перпен­
дикулярно направлению поля, если по
этому проводнику течет ток 1 А:
1 Тл = 1 Н/(А-м).
Так как |х0 = 4it •10~7 Н/А2, а в слу­
чае вакуума (|х = 1), согласно (109.3),
В = ноН, то для данного случая
Я *= — .
§ 112. Магнитная постоянная.
Единицы магнитной индукции и
напряженности магнитного поля
Если два параллельных проводника
с током находятся в вакууме (|а= 1), то
сила взаимодействия на единицу дли­
ны проводника, согласно (111.5), равна
d-У
dl
М*о 2Д/г
4тх R
'
С112 1}
Для нахождения числового значения
Новоспользуемся определением ампера,
dF
согласно которому —
j j = 2 * 10-7 Н/м
при 1Х= /2 = 1 А и R =* 1 м. Подставив
это значение в формулу (112.1), получим
Hq= 4ix-10“7 Н/А2 = 4-гс•10"7 Гн/м.
Единица индуктивности — генри
(Гн) (см. § 126).
Закон Ампера позволяет определить
единицу магнитной индукции В. Пред­
положим, что элемент проводника dl с
током /перпендикулярен направлению
магнитного поля. Тогда закон Ампера
[см. (111.2)] запишется в виде d/1 =
= IBdl, откуда
208
Цо
Единица напряженностимагнитного
поля —ампер на метр (А/м): 1 А/м —
напряженность такого поля, магнитная
индукция которого в вакууме равна
4тт •10“7 Тл.
§ 113. Магнитное поле
движущегося заряда
Каждый проводник с током создает
в окружающем пространстве магнитное
поле. Электрический ток представляет
собой упорядоченное движение элект­
рических зарядов, поэтому можно ска­
зать, что любой движущийся в вакууме
или среде заряд создает вокруг себя
магнитное поле. В результате обобще­
ния опытных данных был установлен
закон, определяющий поле В точечно­
го заряда Q, свободно движущегося с
нерелятивистской скоростью v. Под
свободным движением заряда понима­
ется его движение с постоянной скоро­
стью. Этот закон выражается формулой
5 = М Й |3
4тт г3
(113.1)
где г — радиус-вектор, проведенный от
заряда Q к точке наблюдения М (рис.
170).
Согласно выражению (113.1), век­
тор В направлен перпендикулярно
плоскости, в которой расположены век­
торы v и г, а именно: его направление
совпадает с направлением поступатель­
ного движения правого винта при его
вращении от v к г. Вектор В представ­
ляет собой псевдовектор.
Модуль магнитной индукции (113.1)
вычисляется по формуле
£ _ № Qv ginа ,
(И3.2)
4тг г
где а — угол между векторами и и г.
Сравнивая выражения (110.1) и
(113.1), видим, что движущийся заряд
по своим магнитным свойствам экви­
валентен элементу тока.
Приведенные закономерности (113.1)
и (113.2) справедливы лишь для малых
скоростей ( v < с) движущихся зарядов,
когда электрическое поле свободно дви­
жущегося заряда можно считать элект­
ростатическим, т. е. создаваемым непод­
вижным зарядом, находящимся в той
точке, где в данный момент времени
расположен движущийся заряд.
Формула (113.1) определяет маг­
нитную индукцию положительного за­
ряда, движущегося со скоростью v. Если
движется отрицательный заряд, то Q
надо заменить на —Q. Скорость v — от­
носительная скорость, т. е. скорость от­
носительно наблюдателя. Вектор В в
рассматриваемой системе отсчета зави­
сит как от времени, так и от положения
точки М наблюдения. Поэтому следует
подчеркнуть относительный характер
магнитного поля движущегося заряда.
Впервые поле движущегося заряда
удалось обнаружить американскому
физику Г.Роуланду ( 1 8 4 8 —1901).
Окончательно этот факт был установлен
кВ
Рис. 170
профессором Московского университе­
та А.А.Эйхенвальдом (1 8 6 3 —1944),
изучившим магнитное поле конвекци­
онного тока, а также магнитное поле
связанных зарядов поляризованного
диэлектрика. Магнитное поле свобод­
но движущихся зарядов было измере­
но академиком А. Ф. Иоффе, доказав­
шим эквивалентность, в смысле воз­
буждения магнитного поля, электрон­
ного пучка и тока проводимости.
§ 114. Действие магнитного поля
на движущийся заряд
Опыт показывает, что магнитное
поле действует не только на проводни­
ки с током (см. § 111), но и на отдель­
ные заряды, движущиеся в магнитном
поле. Сила, действующая на электри­
ческий заряд Q, движущийся в магнит­
ном поле со скоростью v, называется
силой Лоренца и выражается форму­
лой
P=Q [vB),
(И 4.1)
где В — индукция магнитного поля, в
котором заряд движется.
Направление силы Лоренца опреде­
ляется с помощью правила левой руки:
если ладонь левой руки расположить
так, чтобы в нее входил вектор В, а
четыре вытянутых пальца направить
вдоль вектора v (для Q > 0 направле­
ния I и v совпадают, для Q < 0 — про­
тивоположны), то отогнутый большой
палец покажет направление силы, дей­
ствующей на положительный заряд. На
рис. 171 показана взаимная ориентация
векторов v, В (поле направлено к нам,
209
Это выражение называется форму­
лой Лоренца. Скорость v в этой фор­
Рис. 171
муле есть скорость заряда относитель­
но магнитного поля.
на рисунке показано точками) и F для
положительного и отрицательного заря­
дов. На отрицательный заряд сила дей­
ствует в противоположном направле­
нии. Модуль силы Лоренца [см. (114.1)]
F = QvB sin а ,
где а — угол между v и В.
Отметим еще раз (см. § 109), что маг­
нитное поле не действует на покоящий­
ся электрический заряд. В этом суще­
ственное отличие магнитного поля от
электростатического. Магнитное поле
действует только на движущиеся в нем
заряды.
Выражение (114.1) для силы Лорен­
ца может быть использовано (наравне
с другими, см. § 109) для определения
вектора магнитной индукции В.
Сила Лоренца всегда перпендику­
лярна скорости движения заряженной
частицы, поэтому она изменяет только
направление этой скорости, не меняя ее
модуля. Следовательно, сила Лоренца
работы не совершает. Иными словами,
постоянное магнитное поле не соверша­
ет работы над движущейся в нем заря­
женной частицей и кинетическая энер­
гия этой частицы при движении в маг­
нитном поле не изменяется.
Если на движущийся электрический
заряд помимо магнитного поля с индук­
цией В действует и электрическое поле
с напряженностью Е, то результирую­
щая сила F, приложенная к заряду, рав­
на векторной сумме сил — силы, дей­
ствующей со стороны электрического
поля, и силы Лоренца:
F = Q E+Q [vB).
210
§ 115. Движение заряженных
частиц в магнитном поле
Выраж ение для силы Лоренца
(114.1) позволяет найти ряд закономер­
ностей движения заряженных частиц в
магнитном поле. Направление силы
Лоренца и направление вызываемого
ею отклонения заряженной частицы в
магнитном поле зависят от знака заря­
да Q частицы. На этом основано опре­
деление знака заряда частиц, движу­
щихся в магнитных полях.
Для вывода общих закономерностей
будем считать, что магнитное поле од­
нородно и на частицы электрические
поля не действуют. Если заряженная
частица движется в магнитном поле со
скоростью v вдоль линий магнитной
индукции, то угол а между векторами
v и В равен 0 или tv. Тогда по формуле
(114.1) сила Лоренца равна нулю, т.е.
магнитное поле на частицу не действу­
ет и она движется равномерно и прямо­
линейно.
Если заряженная частица движется
в магнитном поле со скоростью v, пер­
пендикулярной вектору В, то сила Ло­
ренца F — Q[vB] постоянна по модулю
и нормальна к траектории частицы. Со­
гласно второму закону Ньютона, эта
сила создает центростремительное ус­
корение. Отсюда следует, что частица
будет двигаться по окружности, ради­
ус г которой определяется из условия
QvB =
г
откуда
Ш Я)
r = « F
/ААС 4\
(115Л )
Период вращения частицы, т. е. вре­
мя Т, за которое она совершает один
полный оборот,
Рис. 172
j, _ Шш
V
Подставив сюда выражение (115.1),
получим
Т=~ ,
о Q
(115.2)
т.е. период вращения частицы в одно­
родном магнитном поле определяется
только величиной, обратной удельному
заряду ( ^ ) частицы, и магнитной ин­
дукцией поля, но не зависит от ее ско­
рости (при v -с с). На этом основано
действие циклических ускорителей за­
ряженных частиц (см. § 116).
Если скорость v заряженной части^
цы направлена под углом а к вектору В
(рис. 172), то ее движение можно пред­
ставить как наложение двух движений:
1) равномерного прямолинейного дви­
жения ВДОЛЬ ПОЛЯ СО СКОрОСТЬЮ U|| =
= vcos а; 2) равномерного движения со
скоростью v± = vsin а по окружности в
плоскости, перпендикулярной полю.
Радиус окружности определяется фор­
мулой (115.1) (в данном случае надо за­
менить v на
= vsina). Поэтому тра­
ектория заряженной частицы — спи­
раль, ось которой параллельна магнит­
ному полю (см. рис. 172). Шаг винто­
вой линии
h —V||Т = vT cos a.
Подставив в последнее выражение
(115.2), получим
,
2тгтг; cos a
h -------- BQ —
Направление, в котором закручива­
ется спираль, зависит от знака заряда
частицы.
Если скорость v заряженной части­
цы составляет угол а с направлением
вектора В неоднородного магнитного
поля, индукция которого возрастает в*
направлении движения частицы, то г и
h уменьшаются с увеличением В. На
этом основана фокусировка заряжен­
ных частиц в магнитном поле.
§ 116. Ускорители заряж енны х
частиц
Ускорителями заряженных частиц
называются устройства, в которых под
действием электрических и магнитных
полей создаются и управляются пучки
высокоэнергетичных заряженных час­
тиц (электронов, протонов, мезонов и
т.д.).
Любой ускоритель характеризуется
типом ускоряемых частиц, энергией,
сообщаемой частицам, разбросом час­
тиц по энергиям и интенсивностью пуч­
ка. Ускорители делятся на непрерыв­
ные (из них выходит равномерный по
времени пучок) и импульсные (из них
частицы вылетают порциями — им­
пульсами). Последние характеризуют1
ся длительностью импульса. По форме
траектории и механизму ускорения ча211
стиц ускорители делятся на линейные,
циклические и индукционные. В ли­
нейных ускорителях траектории дви­
жения частиц близки к прямым лини­
ям, в циклических и индукционных —
траекториями частиц являются окруж­
ности или спирали.
Рассмотрим некоторые типы уско­
рителей заряженных частиц.
1. Линейный ускоритель. Ускорение
частиц осуществляется электростатичес­
ким полем, создаваемым, например, вы­
соковольтным генератором Ван-де-Граафа (см. § 92). Заряженная частица про­
ходит поле однократно: заряд Q, прохо­
дя разность потенциалов
ПРИ*
обретает энергию W = Q(y>i —<р2)- Та­
ким способом частицы ускоряются до
«1 0 МэВ. Их дальнейшее ускорение с
помощью источников постоянного на­
пряжения невозможно из-за утечки за­
рядов, пробоев и т.д.
2. Линейный резонансный ускори­
тель. Ускорение заряженных частиц
осуществляется переменным электри­
ческим полем сверхвысокой частоты,
синхронно изменяющимся с движением
частиц. Таким способом протоны уско­
ряются до энергий порядка десятков
мегаэлектрон-вольт, электроны — до
десятков гигаэлектрон-вольт.
3. Циклотрон — циклический резо­
нансный ускоритель тяжелых частиц
(протонов, ионов). Его принципиаль­
ная схема приведена на рис. 173. Меж­
ду полюсами сильного электромагнита
Рис. 173
212
помещается вакуумная камера, в кото­
рой находятся два электрода (1 и 2) в
виде полых металлических полуцилин­
дров, или дуантов. К дуантам приложе­
но переменное электрическое поле.
Магнитное поле, создаваемое электро­
магнитом, однородно и перпендикуляр­
но плоскости дуантов.
Если заряженную частицу ввести в
центр зазора между дуантами, то она,
ускоряемая электрическим и отклоня­
емая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус
которой пропорционален скорости ча­
стицы [см. (115.1)]. К моменту ее вы­
хода из дуанта 1 полярность напряже­
ния изменяется (при соответствующем
подборе изменения напряжения между
дуантами), поэтому частица вновь ус­
коряется и, переходя в дуант 2, описы­
вает там уже полуокружность больше­
го радиуса и т.д.
Для непрерывного ускорения час­
тицы в циклотроне необходимо выпол­
нить условие синхронизма (условие
«резонанса») —периоды вращения ча­
стицы в магнитном поле и колебаний
электрического поля должны быть
равны. При выполнении этого усло­
вия частица будет двигаться по рас­
кручивающейся спирали, получая при
каждом прохождении через зазор до­
полнительную энергию. На после­
днем витке, когда энергия частиц и
радиус орбиты доведены до макси­
мально допустимых значений, пучок
частиц посредством отклоняющего
электрического поля выводится из
циклотрона.
Циклотроны позволяют ускорять
протоны до энергий примерно 25 МэВ.
В случае более высоких энергий пери­
од вращения частицы оказывается за­
висящим от скорости, а именно период
вращения увеличивается, в результате
чего нарушается условие синхронизма.
электрического поля одновременно из­
Ускорение релятивистских частиц в
меняются во времени так, чтобы ради­
циклических ускорителях можно, одна­
ус равновесной орбиты частиц оставал­
ко, осуществить, если применять пред­
ся постоянным. Протоны ускоряются в
ложенный в 1944 г. В. И. Векслером
синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.
(1907 —1966) и в 1945 г. американским
7.
Бетатрон — циклический индук­
физиком Э.Мак-Милланом (1907 —
ционный ускоритель электронов, в ко­
1991) принцип автофазировки. Его
тором ускорение осуществляется вих­
идея заключается в том, что для ком­
ревым электрйческим полем (см. § 137),
пенсации увеличения периода враще­
индуцируемым переменным магнит­
ния частиц, ведущего к нарушению син­
ным полем, удерживающим электроны
хронизма, изменяют либо частоту уско­
на круговой орбите. В бетатроне в от­
ряющего электрического, либо индук­
личие от рассмотренных выше ускори­
цию магнитного полей, либо то и дру­
телей не существует проблемы синхро­
гое. Принцип автофазировки использу­
низации. Электроны в бетатроне ус­
ется в фазотроне, синхротроне и синх­
коряются до энергий 100 МэВ. При
рофазотроне.
W > 100 МэВ режим ускорения в бета­
4. Фазотрон (синхроциклотрон) —
троне нарушается электромагнитным
циклический резонансный ускоритель
излучением электронов. Особенно
тяжелых заряженных частиц (напри­
распространены бетатроны на энергии
мер, протонов, ионов, а-частиц), в ко­
20 - 5 0 МэВ.
тором управляющее магнитное поле
постоянно, а частота ускоряющего элек­
трического поля медленно изменяется
с периодом. Движение частиц в фазо­
§ 117. Эффект Холла
троне, как и в циклотроне, происходит
по раскручивающейся спирали. Час­
Эффект Холла1 (1879) — это воз­
тицы в фазотроне ускоряются до энер­
никновение в металле (или полупро­
гий, примерно равных 1 ГэВ (ограни­
воднике) с током плотностью j, поме­
чения здесь определяются размерами
щенном в магнитное поле В, электри­
фазотрона, так как с возрастанием ско­
ческого поля в направлении, перпендирости частиц увеличивается радиус их , кулярном В и
орбиты).
Поместим металлическую пластин­
5. Синхротрон —циклический резо­
ку с током плотностью j в магнитное
нансный ускоритель ультрарелятивиполе В, перпендикулярное j (рис. 174).
. стских электронов, в котором управля­
При данном направлении j скорость
ющее магнитное поле изменяется во
носителей тока в металле — электро­
времени, а частота ускоряющего элект­
нов —направлена справа налево. Элек­
рического поля постоянна. Электроны
троны испытывают действие силы Ло­
в синхротроне ускоряются до энергий
ренца (см. § 114), которая в данном
5 - 1 0 ГэВ.
случае направлена вверх. Таким обра­
6. Синхрофазотрон —циклический
зом, у верхнего края пластинки воз­
резонансный ускоритель тяжелых заря­
никнет повышенная концентрация
женных частиц (протонов, ионов), в ко­
электронов (он зарядится отрицатель­
тором объединяются свойства фазотро­
но), а у нижнего — их недостаток (зана и синхротрона, т.е. управляющее
1Э. Холл (1855 —1938)—американский физик.
магнитное поле и частота ускоряющего
213
Рис. 174
——_
/
М
/
___ 7
а
J
7
рядится положительно). В результате
этого между краями пластинки воз­
никнет дополнительное поперечное
электрическое поле Ев, направленное
снизу вверх.
Когда напряженность Ев этого попе­
речного поля достигнет такой величи­
ны, что его действие на заряды будет
уравновешивать силу Лоренца, то уста­
новится стационарное распределение
зарядов в поперечном направлении.
Тогда
еЕд —
а
= evB, или Дф = vBa,
где а —ширина пластинки; Дф — попе­
речная (хопловская) разность потенци­
алов.
Учитывая, что сила тока / = jS =»
nevS (S — площадь поперечного сече­
ния пластинки толщиной d, п —концен­
трация электронов, v — средняя ско­
рость упорядоченного движения элек­
тронов), получим
*
I п
1 IB
0 1В ( лаП п
Дф с=-------Ва = ----- —= R - , (117.1)
пеаа
еп а
а
т.е. холловская поперечная разность
потенциалов пропорциональна магнит­
ной индукции В , силе тока I и обратно
пропорциональна толщине пластинки d.
В формуле (117.1) Я = — — постоян­
ная Холла, зависящая от вещества.
По измеренному значению постоян­
ной Холла можно: 1) определить кон­
центрацию носителей тока в проводни­
214
ке (при известных характере проводи­
мости и заряде носителей); 2) судить о
природе проводимости полупроводни­
ков (см. § 242,243), так как знак посто­
янной Холла совпадает со знаком заря­
да е носителей тока. Поэтому эффект
Холла — наиболее эффективный метод
изучения энергетического спектра но­
сителей тока в металлах и полупровод­
никах. Он применяется также для умно­
жения постоянных токов в аналоговых
вычислительных машинах, в измери­
тельной технике (датчики Холла) и т. д.
§ 118. Циркуляция вектора В
магнитного поля в вакууме
Аналогично циркуляции вектора
напряженности электростатического
поля (см. § 83) вводят циркуляцию век­
тора магнитной индукции. Циркуляци­
ей вектора В по заданному замкнуто­
му контуру называется интеграл
<£ш = £ ц ы ,1
I
£
где dГ — вектор элементарной длины
контура, направленной вдоль обхода
контура; Bt = В cos а — составляющая
вектора В в направлении касательной
к контуру (с учетом выбранного на­
правления обхода); а —угол между век­
торами B n d l.
Закон полного тока для магнит­
ного поля в вакууме (теорема о цир­
куляции вектора В): циркуляция век­
тора В по произвольному замкнутому
контуру равна произведению магнит­
ной постоянной р-о на алгебраическую
сумму токов, охватываемых этим кон­
туром:
j>Bdf- = cfBidl = ц о
L
L
*=1
(118.1)
точке этого контура вектор В одинаков
по модулю и направлен по касательной
к окружности (она является и линией
магнитной индукции). Следовательно,
циркуляция вектора В равна
<£j3,di = j>Bdl = В§А1 = В - 2 -к г .
L
L
L
Согласно выражению (118.1), полу­
чим В- 2тгг = [х0/(в вакууме), откуда
где п - число проводников с токами,
охватываемых контуром L произволь­
нойформы.
В=
2тсг
Каждый ток учитывается столько
раз, сколько раз он охватывается кон­
туром. Положительным считается ток,
Таким образом, исходя из теоремы
о циркуляции вектора В получили вы ­
ражение для магнитной индукции поля
направление которого образует с на­ прямого тока, выведенное выше [см.
правлением обхода по контуру право­
(110.5)].
винтовуюсистему; ток противополож­
Сравнивая выражения ( 8 3 .3 ) и
ного направления считается отрица­
(118.1) для циркуляции векторов Е и
тельным. Например, для системы то­
Д видим, что между ними существует
ков, изображенных на рис. 175,
принципиальное различие. Циркуляция
вектора Е электростатического поля
всегда равна нулю, т.е. электростати­
= h + 2^2 “ 0 •/з - 14.
ческое поле является потенциальным.
ы
Циркуляция вектора В м агнитного
Выражение (118.1) справедливо
поля не равна нулю. Такое поле назы­
только для поля в вакууме, поскольку,
вается вихревым.
как будет доказано ниже, для поля в
Теорема о циркуляции вектора В
веществе необходимо учитывать моле­
имеет в учении о магнитном поле такое
кулярные токи.
же значение, как теорема Гаусса в элек­
Продемонстрируем справедливость
тростатике, так как позволяет находить
теоремы о циркуляции вектора В на
магнитную индукцию поля без приме­
примере магнитного поля прямого то­
нения закона Био—Савара—Лапласа.
ка I, перпендикулярногоплоскостичер­
тежаинаправленного к нам (рис. 176).
Представим себе замкнутый контур в
§ 119. Магнитные поля
виде окружности радиуса г. В каждой
соленоида и тороида
Рис. 176
Рассчитаем, применяя теорем у о
циркуляции, индукцию м агнитного
поля внутри соленоида. Рассмотрим со-,
леноид длиной I, имеющий Nвитков, по
которому течет ток (рис. 177). Длину
соленоида считаем во много раз болъ215
(
\
— __Z ____5$
р
Щ
У **'
ШШ
,
]
i
7
Рис. 177
ше, чем диаметр его витков, т.е. рас­
сматриваемый соленоид бесконечно
длинный. Экспериментальное изуче­
ние магнитного поля соленоида (см.
рис. 164, б) показывает, что внутри со­
леноида поле является однородным,
вне соленоида —неоднородным и очень
слабым.
На рис. 177 представлены линии
магнитной индукции внутри и вне со­
леноида. Чем соленоид длиннее, тем
меньше магнитная индукция вне его.
Поэтому приближенно можно считать,
что поле бесконечно длинного солено­
ида сосредоточено целиком внутри
него, а полем вне соленоида можно пре­
небречь.
Для нахождения магнитной индук­
ции В выберем замкнутый прямоуголь­
ный контур ABCDA, как показано на
рис. 177. Циркуляция вектора В по зам­
кнутому контуру ABCDA, охватываю­
щему все N витков, согласно (118.1),
равна
j> B,dl = n0NI.
ABCDA
Рис. 178
216
Интеграл по АВ CDА можно пред­
ставить в виде четырех интегралов: по
АВ, ВС, CD и DA. На участках АВтл CD
контур перпендикулярен линиям маг­
нитной индукции и 4 = 0 . На участке
вне соленоида В = О^На участке DA
циркуляция вектора В равна В1 (учас­
ток контура совпадает с линией магнит­
ной индукции); следовательно,
f Btdl = Bl = \i0NI.
(119.1)
DA
Из (119.1) приходим к выражению
для магнитной индукции поля внутри
соленоида (в вакууме):
^ = цоШ
(119.2)
Таким образом, поле внутри солено­
ида однородно (краевыми эффектами в
областях, прилегающих к торцам соле­
ноида, при расчетах пренебрегают). Од­
нако отметим, что вывод этой форму­
лы не совсем корректен (линии магнит­
ной индукции замкнуты, и интеграл по
внешнему участку магнитного поля
строго нулю не равен). Корректно рас­
считать поле внутри соленоида можно,
применяя закон Био—Савара—Лапла­
са; в результате получается та же фор­
мула (119.2).
Важное значение для практики име­
ет также магнитное поле mopouda —
кольцевой катушки, витки которой на­
мотаны на сердечник, имеющий форму
тора (рис. 178). Магнитное поле, как
показывает опыт, сосредоточено внут­
ри тороида, вне его поле отсутствует.
Линии магнитной индукции в дан­
ном случае, как следует из соображений
симметрии, есть окружности, центры
которых расположены по оси тороида.
В качестве контура выберем одну такую
окружность радиусом г. Тогда, по тео­
реме о циркуляции (118.1), В- 2ттг =
= ноN1, откуда следует, что магнитная
индукция внутри тороида (в вакууме)
в _ НоN1
2т\г
где N — число витков тороида.
Если контур проходит вне тороида,
то токов он не охватывает и В •2т\г = 0.
Это означает, что поле вне тороида от­
сутствует (что показывает и опыт).
§ 120. Поток вектора
магнитной индукции.
Теорема Гаусса для поля В
Потоком вектора магнитной ин­
дукции ( магнитным потоком) через
площадку d S называется скалярная фи­
зическая величина, равная
d$B= B d S = BndS,
Фв = j B d S = f BndS. (120.2)
s
s
Для однородного поля и плоской
поверхности, расположенной перпен­
дикулярно вектору В, Вп = В = const и
Из этой формулы определяется еди­
ница магнитного потока вебер (Вб):
1 Вб — магнитный поток, проходящий
сквозь плоскую поверхность площадью
1 м2, расположенную перпендикулярно
однородному магнитному полю, индук­
ция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл ■м2).
Теорема Гаусса для поля В: поток
вектора магнитной индукции сквозь
любую замкнутую поверхность равен
нулю:
f 3 d S m j B ndS = 0. (120.3)
(120.1)
где Вп = В cos а — проекция вектора В
на направление нормали к площадке dS
( а —угол между векторами nn B );d S =
= dSn — вектор, модуль которого ра­
вен dS, а направление его совпадает с
направлением нормали п к площадке.
Поток вектора В может быть как по­
ложительным, так и отрицательным в
зависимости от знака cos а (определя­
ется выбором положительного направ­
ления нормали п). Поток вектора В свя­
зывают с контуром, по которому течет
ток. В таком случае положительное на­
правление нормали к контуру нами уже
определено (см. § 109): оно связывает­
ся с током правилом правого винта.
Следовательно, магнитный поток, созда­
ваемый контуром через поверхность,
ограниченную им самим, всегда поло­
жителен.
Поток вектора магнитной индук­
ции Фв через произвольную поверх­
ность S равен
S
S
Эта теорема отражает факт отсут­
ствия магнитных зарядов, вследствие
чего линии магнитной индукции не
имеют ни начала, ни конца и являются
замкнутыми.
Итак, для потоков векторов В и Е
сквозь замкнутую поверхность в вихре­
вом и потенциальном полях получают­
ся различные выражения [см. (120.3),
(81.2)].
В качестве примера рассчитаем поток
вектора В сквозь соленоид. Магнитная
индукция однородного поля внутри
соленоида с сердечником с магнитной
проницаемостью и> согласно (119.2),
равна
в _ Ноj j § j
Магнитный поток сквозь один виток
соленоида площадью S равен
Фг I BS,
217
а полный магнитный поток, сцеплен­
ный со всеми витками соленоида и на­
зываемый потокосцеплением,
Ф = ФХЛГ = NBS =
ь
(120.4)
§ 121. Работа по перемещению
проводника и контура с током
в магнитном поле
На проводник с током в магнитном
поле действуют силы, определяемые за­
коном Ампера (см. ,§111). Если провод­
ник не закреплен (например, одна из
сторон контура изготовлена в виде под­
вижной перемычки, рис. 179), то под
действием силы Ампера он будет в маг­
нитном поле перемещаться. Следова­
тельно, магнитное поле совершает ра­
боту по перемещению проводника с то­
ком.
Для определения этой работы рас­
смотрим проводник длиной I с током I
(он может свободно перемещаться),
помещенный в однородное внешнее
магнитное поле, перпендикулярное
плоскости контура. Сила, направление
которой определяется по правилу левой
руки, а значение — по закону Ампера
[см. (111.2)], равна
F = IBL
Под действием этой силы проводник
переместится параллельно самому себе
на отрезок dx из положения 1 в поло­
жение 2. Работа, совершаемая магнит­
ным полем, равна
Рис. 179
§
А
А'
dA = Fdx = IBldxs* '
= IB d S = МФ,
где Idx = dS — площадь, пересекаемая
проводником при его перемещении в
магнитном поле; B dS= dФ —поток век­
тора магнитной индукции, пронизыва­
ющий эту площадь.
Таким образом,
dA = МФ,
dА = dAx + dA2.
218
(121.1)
т.е. работа по перемещению проводни­
ка с током в магнитном поле равна про­
изведению силы тока на магнитный
поток, пересеченный движущимся про­
водником. Полученная формула спра­
ведлива и для^произвольного направле­
ния вектора В.
Вычислим работу по перемещению
замкнутого контура с постоянным то­
ком /в магнитном поле. Предположим,
что контур М перемещается в плоско­
сти чертежа и в результате бесконечно
малого перемещения займет положение
М1, изображенное на рис. 180 штрихо­
вой линией. Направление тока в конту­
ре (по часовой стрелке) и магнитного
поля (перпендикулярно плоскости чер­
тежа — за чертеж) указано на рисунке.
Контур М мысленно разобьем на два со­
единенных своими концами проводни­
ка: ABC и CDA.
Работа dА совершаемая силами Ам­
пера при рассматриваемом перемеще­
нии контура в магнитном поле, равна
алгебраической сумме работ по переме­
щению проводников ABC (dAx) и CDA
(dA2), т. е.
(121.2)
Силы, приложенные к участку CDA
контура, образуют с направлением пе­
ремещения острые углы, поэтому со­
вершаемая ими работа сМ2 > 0. Соглас­
но (121.1), эта работа равна произведе­
нию силы тока / в контуре на пересе­
ченный проводником CDA магнитный
поток. Проводник CDА пересекает при
своем движении поток <1Ф0 сквозь тони­
рованную поверхность и поток с1Ф2,
пронизывающий контур в его конечном
положении. Следовательно,
dA2 = I (d $ 0 -I- с1Ф2).
(121.3)
Силы, действующие на участок A BC
контура, образуют с направлением пе­
ремещения тупые углы, поэтому совер­
шаемая ими работа d-Aj < 0. Проводник
АВ С пересекает при своем движении
поток dФ0 сквозь тонированную повер­
хность и поток dФ1, пронизывающий
контур в начальном положении. Следо­
вательно,
d А х = - J ( d Ф0 + dФ1). (121.4)
Подставляя (1 2 1 .3 ) и (1 2 1 .4 ) в
(121.2), получим выражение для эле­
ментарной работы:
d А = I(d Ф2 - dФ1),
где dФ2 — dФ1 = dФ, — изменение маг­
нитного потока сквозь площадь, огра­
ниченную контуром с током.
Таким образом,
d А = МФ'.
(121.5)
Проинтегрировав выражение (121.5),
определим работу, совершаемую силами
Ампера, при конечном произвольном
перемещении контура в магнитном поле:
А = /ДФ,
(121.6)
т.е. работа по перемещению замкнуто­
го контура с током в магнитном поле
равна произведению силы тока в кон­
туре на изменение магнитного потока,
сцепленного с контуром. Формула
(121.6) остается справедливой для кон­
тура любой формы в произвольном маг­
нитном поле.
Контрольные вопросы
• Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников по­
стоянного тока?
• Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?
• Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора В ?
• Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого
тока?
• Записав закон Био —Савара —Лапласа, объясните его физический смысл.
• Рассчитайте, применяя закон Био—Савара —Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока;
2) в центре кругового проводника с током.
• Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных оди­
наковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.
• Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте им
определения.
• Определите числовое значение магнитной постоянной.
• Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?
• Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический за­
ряд, движущийся в магнитном поле?
• Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обо­
сновать.
219
• Как будет двигаться заряженная частица, влетевшая в однородное магнитное поле, к век­
тору В под углом —?
• Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг
спирали? Ответы подтвердите выводами формул.
• Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризу­
ются?
• Почему для ускорения электронов не применяются циклотроны?
• В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?
• В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потен­
циалов.
• Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе экспери­
ментального исследования эффекта Холла?
• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции В? Применив
ее, рассчитайте магнитное поле прямого тока.
• Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов Ё и В ?
• Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулиру­
ется?
• Почему магнитное поле является вихревым?
• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукцйи В, рассчитайте магнит­
ное поле тороида.
• Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для
магнитного поля, объяснив ее физический смысл.
• Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.
ЗАДАЧИ
14.1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределен­
ный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с-1 от­
носительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Опре­
делите отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его момен­
ту импульса. [251 нКл/кг]
14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоян­
ный ток 3 А. Определите индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл]
14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние
между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Оп­
ределите магнитную индукцию В в точке, удаленной на гх= 30 см от первого и г2 —40 см от
второго проводника. [9,5 мкТл]
14.4. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом
10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра
кольца. [10,7 мкТл]
14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми тока­
ми, текущими в одном направлении, находится друг от друга на расстоянии R. Чтобы их
раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается ра­
бота А = 220 нДж. Определите силу тока в проводниках. [10 А]
14.6. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнит­
ное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определите радиус этой окружнос­
ти. [3,23 см]
14.7. Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендику­
лярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля
с Е = 10 кВ/м и В = 0,2 Тл, не отклоняется. [50 км/с]
220
14.8. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определите радиус дуантов цик­
лотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]
14.9. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластин­
ка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру
пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной
концентрации атомов, определите возникающую в пластине поперечную (холловскую) раз­
ность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [1,85 мкВ]
14.10. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определите, пользу­
ясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В в точке, расположенной на
расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]
14.11. Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напря­
женность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержа­
щей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний —
40 см. [0,24 мТл; 191 А/м]
14.12. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без
сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида I = 25 см. Определите магнитный момент рт
этого соленоида. [1 А •м2]
14.13. Круглая рамка с током площадью 20 см2закреплена параллельно магнитному полю
(В = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН •м. Рамку освободили, после
поворота на 90° ее угловая скорость стала равна 20 с-1. Определите: 1) силу тока, текущего
в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3 •10-6 кг ■м2]
Г л а в а 15
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
§ 122. Я вл ен и е
электром агнитной индукции
(опы ты Ф арадея)
В гл. 14 было показано, что электри­
ческие токи создают вокруг себя маг­
нитное поле. С вязь магнитного поля с
током привела к многочисленным по­
пыткам возбудить ток в контуре с по­
мощью магнитного поля. Э та фунда­
ментальная задача была блестящ е ре­
шена в 1831 г. английским ф изиком
М . Ф а р а д еем , о тк р ы вш и м я в л е н и е
элект ром агнит ной индукции. Оно
заклю ч ается в том, что в зам кнутом
проводящ ем контуре при изменении
потока магнитной индукции, охватыва­
емого этим контуром, возникает элект­
рический ток, получивший название
индукционного.
Р ассм отр и м кл асси ч еск и е опы ты
Фарадея, с помощью которых было об­
наружено явление электромагнитной
индукции.
Опыт I (рис. 181, а). Если в замкнутый на
гальванометр соленоид вдвигать или выдви­
гать постоянный магнит, то в моменты его
вдвигания или выдвигания наблюдается от­
клонение стрелки гальванометра (возника­
ет индукционный ток); направления откло­
нений стрелки при вдвигании и выдвигании
магнита противоположны. Отклонение стрел­
ки гальванометра тем больше, чем больше
скорость движения магнита относительно ка­
тушки. При изменении полюсов магнита на­
правление отклонения стрелки изменится.
Для получения индукционного тока магнит
можно оставлять неподвижным, тогда нужно­
относительно магнита передвигать соленоид.
Опыт II. Концы одной из катушек, встав­
ленных одна в другую, присоединяются к
221
так как была доказана возможность по­
лучения электрического тока с помощью
магнитного поля. Этим была установле­
на взаимосвязь между электрическими
и магнитными явлениями, что послужи­
ло в дальнейшем толчком для разработ­
ки теории электромагнитного поля.
а
Рис. 181
гальванометру, а через другую катушку про­
пускается ток. Отклонение стрелки гальвано­
метра наблюдается в моменты включения или
выключения тока, в моменты его увеличения
или уменьшения, при перемещении катушек
друг относительно друга (рис. 181,6). Направ­
ления отклонений стрелки гальванометра так­
же противоположны при включении или вык­
лючении тока, его увеличении или уменьше­
нии, сближении или удалении катушек.
Обобщая результаты своих много­
численных опытов, Фарадей пришел к
выводу, что индукционный ток возни­
кает всегда, когда происходит измене­
ние сцепленного с контуром потока
магнитной индукции.
Например, при повороте в однород­
ном магнитном поле замкнутого прово­
дящего контура в нем также возникает
индукционный ток. В данном случае
индукция магнитного поля вблизи про­
водника остается постоянной, а меня­
ется только поток магнитной индукции
сквозь контур.
Опытным путем было также уста­
новлено, что значение индукционного
тока совершенно не зависит от способа
изменения потока магнитной индукции,
а определяется лишь скоростью его из­
менения (в опытах Фарадея также до­
казывается, что отклонение стрелки
гальванометра (сила тока) тем больше,
чем больше скорость движения магни­
та, или скорость изменения силы тока,
или скорость движения катушек).
Открытие явления электромагнит­
ной индукции имело большое значение,
§ 123. Закон Фарадея и его вывод
из закона сохранения энергии
Обобщая результаты своих много­
численных опытов, М. Фарадей пришел
к количественному закону электромаг­
нитной индукции. Он показал, что вся­
кий раз, когда происходит изменение
сцепленного с контуром потока магнит­
ной индукции, в контуре возникает ин­
дукционный ток, что указывает на на­
личие в цепи электродвижущей силы,
называемой электродвижущей силой
электромагнитой индукции. Значе­
ние индукционного тока, а следователь­
но, и ЭДС электромагнитной индук­
ции Щопределяются только скоростью
изменения магнитного потока, т. е.
ай И Н
1
dt
(123.1)
Теперь необходимо выяснить знак
В § 120 было показано, что знак магнит­
ного потока зависит от выбора положи­
тельной нормали к контуру. В свою оче­
редь, положительное направление нор­
мали определяется правилом правого
винта (см. § 109). Следовательно, вы­
бирая положительное направление нор­
мали, можно определить как знак пото­
ка магнитной индукции, так и направ­
ление тока и ЭДС в контуре.
Если величины Фи tвыразить в од­
ной системе единиц, то можно записать:
dt
.
N
(123.2)
Формула (123.2) выражает закон
электромагнитной индукции Фара­
дея.
где R —полное сопротивление к о н ту р а.
Тогда
ние потока |— > 0 вызывает ЭДС
dt
%< 0, т. е. поле индукционного тока на­
правлено навстречу потоку; уменьше­
ние потока
< о| вызывает ^ > 0,
т.е. направления потока и поля индук­
ционного тока совпадают. Знак « - » в
формуле (123.2) соответствует прави­
луЛенца (1833) - общему правилу для
нахождения направления индукцион­
ного тока.
Правило Ленца: индукционный ток
в контуре имеет всегда такое направле­
ние, что создаваемое им магнитное поле
препятствует изменению магнитного
потока, вызывающему этот индукцион­
ный ток.
К формуле (123.2) можно прийти с
помощью закона сохранения энергии,
как это впервые сделал Г. Гельмгольц1.
Рассмотрим, следуя Г. Гельмгольцу,
проводник с током I, который помещен
в однородное магнитное поле, перпен­
дикулярное плоскости контура, и мо­
жет свободно перемещаться (см. рис.
179). Поддействием силы Ампера F, на­
правление которой показано на рисун­
ке, проводник перемещается на отрезок
ch. Таким образом, сила Ампера произ­
водит работу [см. (121.1)] с\А = МФ, где
с1Ф- пересеченный проводником маг­
нитный поток.
Согласно закону сохранения энер­
гии, работа источника тока за время dt
(%Idt) расходуется на джоулеву тепло­
ту (I2Rdt) и работу по перемещению
проводника в магнитном поле (/с!Ф):
m t = I 2R dt+ Id Ф,
Г. Гельмгольц (1821 -1 8 9 4 ) - немецкий ес­
тествоиспытатель.
с!Ф
Г
Знак «-» показывает, что увеличе­
dt
R
с!Ф
г д е -------=
есть не что иное, к ак з а dt
кон Фарадея [см. ( 1 2 3 .2 ) ].
Закон Фарадея можно сф о р м у л и ­
ровать таким образом: Э Д С Щэ л е к т р о ­
магнитной индукции в контуре ч и сл ен ­
но равна и противополож на по з н а к у
скорости изменения м агнитного п о т о ­
ка сквозь поверхность, огр ан и ч ен н ую
этим контуром. Э тот зак он я в л я е т с я
универсальным: Э Д С ^ не з а в и си т о т
способа изменения магнитного п оток а.
ЭДС электромагнитной индукции в ы ­
ражается в вольтах. Д е й с т в и т е л ь н о ,
учитывая, что единицей м а г н и т н о г о
потока является вебер (В б ), получи м
аФ
dt
Вб ^ Тл •м 2
с
с
Н м 2
А ■м •с
_ Дж _ А •В ■с _ g
А •с
А •с
Какова природа Э Д С электром агнит­
ной индукции? Если проводник ( п о д ­
вижная перемычка контура на рис. 1 7 9 )
движется в п о сто я н н о м м а г н и т н о м
поле, то сила Лоренца, дей ствую щ ая н а
заряды внутри проводника, д в и ж у щ и ­
еся вместе с проводником, б у д е т н а ­
правлена противоположно току, т. е. о н а
будет создавать в проводнике и н д ук ц и ­
онный ток противоположного н ап р ав ­
ления (за направление эл ек тр и ч еск ого
тока принимается движ ение п о л о ж и ­
тельных зарядов). Таким о б р азо м , в о з ­
буждение Э Д С индукции при д в и ж е ­
нии контура в постоянном м агн и тн о м
поле объясняется действием си л ы Л о ­
ренца, возникаю щ ей при д в и ж е н и и
проводника.
223
Согласно закону Фарадея, возник­
новение ЭДС электромагнитной ин­
дукции возможно и в случае неподвиж­
ного контура, находящегося в перемен­
ном магнитном поле. Однако сила Ло­
ренца на неподвижные заряды не дей­
ствует, поэтому в данном случае ею
нельзя объяснить возникновение ЭДС
индукции. Максвелл для объяснения
ЭДС индукции в неподвижных провод­
никах предположил, что всякое пере­
менное магнитное поле возбуждает в
окружающем пространстве электриче­
ское поле, которое и является причиной
возникновения индукционного тока в
проводнике. Циркуляция вектора Е в
этого поля по любому неподвижному
контуру L проводника представляет
собой ЭДС электромагнитной индук­
ции:
Щ = j)E BdX ± - з Ц .
(123.3)
номерно с угловой скоростью ш= const.
Магнитный поток, сцепленный с рам­
кой площадью S, в любой момент вре­
мени t, согласно (120.1), равен
Ф = BnS = BS cos а = BScoswt,
где а = и)£ — угол поворота рамки в мо­
мент времени t (начало отсчета выбра­
но так, чтобы при I = 0 было а = 0).
При вращении рамки в ней будет
возникать переменная ЭДС индукции
[см. (123.2)]
Я = —— = BSusinwt, (124.1)
ц
изменяющаяся со временем по гармо­
ническому закону. ЭДС
максималь­
на при smut = 1, т. е.
Zmax= B Su.
(124.2)
Учитывая (124.2), выражение (124.1)
можно записать в виде
= ^maxsinu^-
§ 124. Вращение рамки
в магнитном поле
Явление электромагнитной индук­
ции применяется для преобразования
механической энергии в энергию элек­
трического тока. Для этой цели исполь­
зуются генераторы, принцип действия
которых можно рассмотреть на приме­
ре плоской рамки, вращающейся в од­
нородном магнитном поле (рис. 182).
Пусть рамка вращается в однород­
ном магнитном поле ( В = const) равРис. 182
224
Таким образом, если в однородном
магнитном поле равномерно вращает­
ся рамка, то в ней возникает перемен­
ная ЭДС, изменяющаяся по гармони­
ческому закону.
Из формулы (124.2) вытекает, что
«РшУ(следовательно, и ЭДС индукции)
находится в прямой зависимости от ве­
личин ш, В и Ц В России принята стан­
дартная частота тока | = — = 50 Гц,
2тт
поэтому возможно лишь возрастание
двух остальных величин. Для увеличе­
ния В применяют мощные постоянные
магниты или в электромагнитах про­
пускают значительный ток, а также
внутрь электромагнита помещают сер­
дечники из материалов с большой маг­
нитной проницаемостью р Если вра­
щать не один, а ряд витков, соединен­
ных последовательно, то тем самым
увеличивается S. Переменное напряже-
ние снимается с вращающегося витка с
помощью щеток, схематически изобра­
женных на рис. 182.
Процесс превращения механической
энергии в электрическую обратим. Если
по рамке, помещенной в магнитное
поле, пропускать ток, то в соответствии
с (109.1) на нее будет действовать вра­
щающий момент и рамка начнет вра­
щаться. Н а этом принципе основана
работа электродвигателей, предназна­
ченных для превращения электриче­
ской энергии в механическую.
§ 125. Вихревые токи (токи Фуко)
Индукционный ток возникает не
только в линейных проводниках, но и в
массивных сплошных проводниках, по­
мещенных в переменное магнитное
поле. Эти токи оказываются замкнуты­
ми в толще проводника и поэтому на­
зываются вихревыми. Их также назы­
вают токами Фуко — по имени перво­
го исследователя.
Токи Фуко, как и индукционные
токи в линейных проводниках, подчи­
няются правилу Ленца: их магнитное
поле направлено так, чтобы противо­
действовать изменению магнитного
потока, индуцирующему вихревые
токи. Например, если между полюсами
невключенного электромагнита мас­
сивный медный маятник совершает
практически незатухающие колебания
(рис. 183), то при включении тока он ис­
пытывает сильное торможение и очень
быстро останавливается. Это объясня­
ется тем, что возникшие токи Фуко
имеют такое направление, что действу­
ющие на них со стороны магнитного
поля силы тормозят движение маятни­
ка. Этот факт используется для успоко­
ения ( демпфирования) подвижных ча­
стей различных приборов. Если в опи8 Курс физики
Рис. 183
1 #
санном маятнике сделать радиальные
вырезы, то вихревые токи ослабляют­
ся и торможение почти отсутствует.
Вихревые токи помимо торможения
(как правило, нежелательного эффек­
та) вызывают нагревание проводников.
Поэтому для уменьшения потерь на
нагревание якоря генераторов и сер­
дечники трансформаторов делают не
сплошными, а изготовляют из тонких
пластин, отделенных одна от другой
слоями изолятора, и устанавливают их
так, чтобы вихревые токи были направ­
лены поперек пластин.
Джоулева теплота, выделяемая тока­
ми Фуко, используется в индукционных
металлургических печах. Индукционная
печь представляет собой тигель, поме­
щаемый внутрь катушки, в которой про­
пускается ток высокой частоты. В метал­
ле возникают интенсивные вихревые
токи, способные разогреть его до плав­
ления. Такой способ позволяет плавить
металлы в вакууме, в результате чего по­
лучаются сверхчистые материалы.
Вихревые токи возникают и в про­
водах, по которым течет переменный
ток. Направление этих токов можно
определить по правилу Ленца. На рис.
184, а показано направление вихревых
токов при возрастании первичного тока
в проводнике, а на рис. 184, б — при его
убывании. В обоих случаях направле­
ние вихревых токов таково, что они
противодействуют изменению первич225
где L — коэффициент пропорциональ­
ности, называемый индуктивностью
контура.
Рис. 184
ного тока внутри проводника и способ­
ствуют его изменению вблизи поверх­
ности. Таким образом, вследствие воз­
никновения вихревых токов быстропе­
ременный ток оказывается распреде­
ленным по сечению провода неравно­
мерно — он как бы вытесняется на по­
верхность проводника. Это явление по­
лучило название скин-эффекта (от
англ. skin — кожа) или поверхностно­
го эффекта. Так как токи высокой ча­
стоты практически текут в тонком по­
верхностном слое, то провода для них
делаются полыми.
Если сплошные проводники нагре­
вать токами высокой частоты, то в ре­
зультате скин-эффекта происходит на­
гревание только их поверхностного
слоя. На этом основан метод поверхно­
стной закалки металлов. Меняя часто­
ту поля, он позволяет производить за­
калку на любой требуемой глубине.
§ 126. Индуктивность контура.
Самоиндукция
Электрический ток, текущий в зам­
кнутом контурё, создает вокруг себя
магнитное поле, индукция которого, по
закону Био —Савара—Лапласа [см.
(110.2)], пропорциональна току. Сцеп­
ленный с контуром магнитный поток Ф
поэтому пропорционален току в контуре:
Ф = Ы,
226
(126.1)
При изменении силы тока в контуре *
будет изменяться также и сцепленный
с ним магнитный поток; следовательно*
в контуре будет индуцироваться ЭДС.
Возникновение ЭДС индукции в про­
водящем контуре при изменении в нем
силы тока называется самоиндукцией.
Из выражения (126.1) определяется
единица индуктивности генри (Гн):
1 Гн — индуктивность такого контура,
магнитный поток самоиндукции кото­
рого при токе в 1 А равен 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб/А = 1 В •с/А.
Рассчитаем индуктивность беско­
нечно длинного соленоида. Согласно
(1 2 0 .4 ), полный магнитный поток
сквозь соленоид (потокосцепление)
N 2I
тт
равен р,0р,^—- 5 . Подставив это выра­
жение в формулу (126.1), получим
1 = 1 1 # ^ ,'
(126.2)
т. е. индуктивность соленоида зависит
от числа N витков соленоида, его дли­
ны I, площади S и магнитной проница­
емости |лвещества, из которого изготов­
лен сердечник соленоида.
Можно показать, что индуктивность
контура в общем случае зависит толь­
ко от геометрической формы контура,
его размеров и магнитной проницаемо­
сти той среды, в которой он находится.
В этом смысле индуктивность конту­
ра — аналог электрической емкости
уединенного проводника, которая так­
же зависит только от формы проводни­
ка, его размеров в диэлектрической про­
ницаемости среды (см. § 93).
Применяя к явлению самоиндукции
закон Фарадея [см. (123.2)], получим,
что ЭДС самоиндукции
dt
dt
I
dt
dt)
Если контур не деформируется и
магнитная проницаемость среды не из­
меняется (в дальнейшем будет показа­
но, что последнее условие выполняет­
ся не всегда), то L = const и
% = -Ь — ,
dt
(126.3)
I
||
где знак «—» обусловлен правилом Лен­
ца, согласно которому наличие индук­
тивности в контуре приводит к замед­
лению изменения тока в нем.
Если ток со временем возрастает, то
>0 и
< 0, т.е. ток самоиндукции
направлен навстречу току, обусловлен­
ному внешним источником, и замедля­
ет его возрастание. Если ток со време­
нем убывает, то — < 0 и <gs > 0, т. е. инdt
дукционный ток имеет такое же направ­
ление, как и убывающий ток в контуре,
и замедляет его убывание. Таким обра­
зом, контур, обладая определенной ин­
дуктивностью, приобретает электриче­
скую инертность, заключающуюся в
том, что любое изменение тока тормо­
зится тем сильнее, чем больше индук­
тивность контура.
в цепи, т. е. направлены противополож­
но току, создаваемому источником. При
выключении источника тока экстрато­
ки имеют такое же направление, что и
ослабевающий ток. Следовательно, на­
личие индуктивности в цепи приводит
к замедлению исчезновения или уста­
новления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения
тока в цепи, содержащей источник тока
с ЭДС резистор сопротивлением R и
катушку индуктивностью L. Под дей­
ствием внешней ЭДС в цепи течет по­
стоянный ток
(внутренним сопротивлением источни­
ка тока пренебрегаем).
В момент времени t = 0 отключим
источник тока. Ток в катушке индуктив­
ностью L начнет уменьшаться, что при­
ведет к возникновению ЭДС самоиндук­
= —L — , препятствующей, соdt
гласно правилу Ленца, уменьшению тока.
В каждый момент времени ток в цепи опции
ределяется законом Ома I —— >или
R
IR = - L — .
(127.1)
dt
Разделив в выражении (127.1) переd Т
§ 127. Токи при размыкании
и замыкании цепи
При всяком изменении силы тока в
проводящем контуре возникает ЭДС
самоиндукции, в результате чего в кон­
туре появляются дополнительные токи,
называемые экстратоками самоин­
д
менные, получим — = ——dt. Интег­
рируя это уравнение по /(от 10до /) и t
(от 0 до t), находим In — = — -г , или
/0
L
1 4 Щ
(127.2)
дукции.
L
R
временем релаксации.
Экстратоки самоиндукции, согласно
правилу Ленца, всегда направлены так,
чтобы препятствовать изменениям тока
Из (127.2) следует, что т есть время,
в течение которого сила тока уменьша­
ется в е раз.
где т = — — постоянная, называемая
227
Сила тока возрастает от начального зна­
чения 1= 0 и асимптотически стремится
Щ
R
к установившемуся значению 10 = — .
Скорость нарастания тока определяет­
ся тем же временем релаксации т * - ,
R
Таким образом, в процессе отключе­
ния источника тока сила тока убывает
по экспоненциальному закону (127.2)
и определяется кривой 1 на рис. 185.
Чем больше индуктивность цепи и
меньше ее сопротивление, тем больше
т и, следовательно, тем медленнее
уменьшается ток в цепи при ее размы­
кании.
При замыкании цепи помимо внеш­
ней ЭДС %возникает ЭДС самоиндук­
ции
препятствующая, co­
at
гласно правилу Ленца, возрастанию
тока. По закону Ома, IR = В,+ ё ’я, или
что и убывание тока. Установление тока
происходит тем быстрее, чем меньше
индуктивность цепи и больше ее сопро­
тивление.
Оценим значение ЭДС самоиндук­
ции l?s, возникающей при мгновенном
увеличении сопротивления цепи посто­
янного тока от R0 до R. Предположим,
что мы размыкаем контур, когда в нем
течет установившийся ток /0 = — .При
R
размыкании цепи ток изменяется по
формуле (127.2). Подставив в нее вы­
ражение для 10 и т, получим
Т
I=V
dt
*
Ш
■
ЭДС самоиндукции
Введя новую переменную и = IR —
преобразуем это уравнение к виду
du
и.
dt
dt
т.е. при значительном увеличении со-
где т — время релаксации.
В момент замыкания (< = 0) сила
тока 1= 0 и и =
Следовательно, ин­
тегрируя по и (от
до IR и t (от
т р __g ?
*
0 до t), находим In-----—— = — , или
—е
т
/ = ! ■ „ ( ( 1 2 7 . 3 )
g?
где 1й —— —установившийся ток (при
t —* оо).
Таким образом, в процессе включе­
ния источника тока нарастание силы
тока в цепи задается функцией (127.3)
и определяется кривой 2 на рис. 185.
228
До
R
Rq
противления цепи ( — » 1 ) , обладающей большой индуктивностью, ЭДС
самоиндукции может во много раз
превышать ЭДС источника тока,
включенного в цепь. Таким образом,
необходимо учитывать, что контур, со­
держащий индуктивность, нельзя рез­
ко размыкать, так как это (возникно­
вение значительных ЭДС самоиндук­
ции) может привести к пробою изоля­
ции и выводу из строя измерительных
приборов. Если в контур сопротивле­
ние вводить постепенно, то ЭДС само­
индукции не достигнет больших значе­
ний.
1
§ 128. Взаимная индукция
Рассмотрим два неподвижных кон­
тура (1 и 2), расположенных достаточ­
но близко друг от друга (рис. 186). Если
в контуре 1 течет ток Ilt то магнитный
поток, создаваемый этим током (поле,
создающее этот поток, на рисунке изоб­
ражено сплошными линиями), пропор­
ционален 1Ь Обозначим через Ф21 ту
часть потока, которая пронизывает кон­
тур 2. Тогда
Ф21
аф2] = -Lo
dt
dt
Аналогично, при протекании в кон­
туре 2 тока /2 магнитный поток (его
поле изображено на рис. 186 штриховы­
ми линиями) пронизывает первый кон­
тур. Если Ф12 —часть этого потока, про­
низывающего контур 1, то
Ф12 = / 12^2•
Если ток /2 изменяется, то в конту­
ре 1 индуцируется ЭДС^а, которая рав­
на и противоположна по знаку скорос­
ти изменения магнитного потока Ф12,
созданного током во втором контуре и
пронизывающего первый:
Г.-, = -
аФ,
dt
-и
dl0
Рис. 186
дукцией. Коэффициенты пропорцио­
нальности Z/21 и Ь12называются взаим­
ной индуктивностью контуров. Рас­
четы, подтверждаемые опытом, показы­
вают, что
L\o — 1тл.
(128.1)
где Ь21 — коэффициент пропорциональ­
ности.
Если ток 1Хизменяется, то в конту­
ре 2 индуцируется ЭДС «fi2, которая по
закону Фарадея [см. (123.2)] равна и
противоположна по знаку скорости из­
менения магнитного потока Ф21, создан­
ного током в первом контуре и прони­
зывающего второй:
2
(128.2)
Коэффициенты L21 и Ь12зависят от гео­
метрической формы, размеров, взаим­
ного расположения контуров и от маг­
нитной проницаемости окружающей
контуры среды. Единица взаимной ин­
дуктивности та же, что и для индуктив­
ности, — генри (Гн).
Рассчитаем взаимную индуктивность
двух катушек, намотанных на общий то­
роидальный сердечник. Этот случай
имеет большое практическое значение
(рис. 187). Магнитная индукция поля,
создаваемого первой катушкой с чис­
лом витков JVj, током Ii и магнитной
проницаемостью ц сердечника, соглас­
но (119.2), В = [ХоМ-—jl-, где I — длина
сердечника по средней линии. Магнит­
ный поток сквозь один виток второй
катушки Ф2 = BS = [а0|х:
1
Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную об­
мотку, содержащую N2 витков,
Рис. 187
dt
Явление возникновения ЭДС в од­
ном из контуров при изменении силы
тока в другом называется взаимной ин­
229
Sh ' "
Ф = #2-^2 =
Поток Ф создается током 1Ь поэто­
му, согласно (128.1), получаем
г
Ф
N-^N2 п /inn д\
Lji = — = м-оИ-—
(128.3)
Если вычислить магнитный поток,
создаваемый катушкой 2 сквозь катуш­
ку 1, то для L12 получим выражение в
соответствии с формулой (128.3). Та­
ким образом, взаимная индуктивность
двух катушек, намотанных на общий
тороидальный сердечник,
г
г
W,JVa с
j
Ьц —Lqi —и-оИ*
щий в сердечнике трансформатора пе­
ременный магнитный поток Ф, который
практически полностью локализован в
железном сердечнике и, следовательно,
почти целиком пронизывает витки вто­
ричной обмотки. Изменение этого по­
тока вызывает во вторичной обмотке
появление ЭДС взаимной индукции,
а в первичной — ЭДС самоиндукции.
Ток 1Хпервичной обмотки определя­
ется согласно закону Ома:
г ,- ^ (В Д
где Rx— сопротивление первичной об­
мотки. Падение напряжения IXRXна со­
противлении Rx при быстроперемен­
ных полях мало по сравнению с каждой
из двух ЭДС, поэтому
§ 129. Трансф орматоры
Принцип действия трансформато­
ров — устройств, применяемых для по­
вышения или понижения напряжения
переменного тока, основан на явлении
взаимной индукции. Впервые транс­
форматоры были сконструированы
русским электротехником П. Н. Яблоч­
ковым (1847 —1894) и русским физи­
ком И .Ф .Усагиным (1855 — 1919).
Принципиальная схема трансформато­
ра показана на рис. 188. Первичная и
вторичная катушки (обмотки), имею­
щие соответственно Nxи N2витков, ук­
реплены на замкнутом железном сер­
дечнике. Так как концы первичной об­
мотки присоединены к источнику пере­
менного напряжения с ЭДС 1Г1( то в ней
возникает переменный ток 1Ь создаюРис. 188
(129.1)
ас
ЭДС взаимной индукции, возника­
ющая во вторичной обмотке,
Г2
dt
=
(129.2)
dt
Сравнивая выражения (129.1) и
(129.2), получим, что ЭДС, возникаю­
щая во вторичной обмотке,
(129.3)
где знак «—» показывает, что ЭДС в
первичной и вторичной обмотках про­
тивоположны по фазе.
Отношение числа витков -2 -, пока-
Nx
зывающее, во сколько раз ЭДС во вто­
ричной обмотке трансформатора боль­
ше (или меньше), чем в первичной, на­
зывается коэффициентом трансфор­
мации.
Пренебрегая потерями энергии, ко­
торые в современных трансформаторах
230
не превышают 2 % и связаны в основ­
ном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых
токов, и применяя закон сохранения
энергии, можем записать, что мощнос­
ти тока в обеих обмотках трансформа­
тора практически одинаковы:
ад,
откуда, учитывая соотношение (129.3),
найдем
т. е. токи в обмотках обратно пропорци­
ональны числу витков в этих обмотках.
к
Ц > ■1,, то имеем дело с повы ­
Если
—-
ш ающ им т рансф ормат ором, увели­
чивающим переменную ЭДС и понижа­
ющим ток (применяются, например,
для передачи электроэнергии на боль­
шие расстояния, так как в данном слу­
чае потери на джоулеву теплоту, про­
порциональные квадрату силы тока,
ч
No
,
сниж аются); если —f < 1, то имеем
дело с пониж аю щ им т рансф ормат о­
ром, уменьшающим ЭДС и повышаю­
щим ток (применяются, например, при
электросварке, так как для нее требует­
ся большой ток при низком напряже­
нии).
Мы рассматривали трансформато­
ры, имеющие только две обмотки. Од­
нако трансформаторы, используемые в
радиоустройствах, имеют 4 — 5 обмоток,
обладающих разными рабочими напря­
жениями. Трансформатор, состоящий
из одной обмотки, называется авт о­
трансформатором. В случае повыша­
ющего автотрансформатора ЭДС под­
водится к части обмотки, а вторичная
ЭДС снимается со всей обмотки. В по­
нижающем автотрансформаторе напря­
жение сети подается на всю обмотку, а
вторичная ЭДС снимается с части об­
мотки.
§ 130. Энергия магнитного поля
Проводник, по которому протекает
электрический ток, создает в окружаю­
щем пространстве магнитное поле, при­
чем магнитное поле появляется и исче­
зает вместе с появлением и исчезнове­
нием тока.
Магнитное поле, подобно электри­
ческому, является носителем энергии.
Естественно предположить, что энер­
гия магнитного поля равна работе, ко­
торая затрачивается током на создание
этого поля.
Рассмотрим контур индуктивнос­
тью L, по которому течет ток /. С дан­
ным контуром сцеплен магнитный по­
ток [см. (126.1)] Ф = LI, причем при из­
менении тока на d / магнитный поток
изменяется на d $ = Ldl. Однако для
изменения магнитного потока на вели­
чину d $ (см. § 121) необходимо совер­
шить работу dA = МФ = LIdl. Тогда
работа по созданию магнитного пото­
ка будет
A = f L Id l =
LP
Следовательно, энергия магнитного
поля, связанного с контуром,
W= —
2
(130.1)
Исследование свойств переменных
магнитных полей, в частности распро­
странения электромагнитных волн,
явилось доказательством того, что энер­
гия магнитного поля локализована в
пространстве. Это соответствует пред­
ставлениям теории поля.
231
Энергию магнитного поля можно
представить как функцию величин, ха­
рактеризующих это поле в окружаю­
щем пространстве. Д ля этого рассмот­
рим частный случай — однородное маг­
нитное поле внутри длинного солено­
ида. Подставив в формулу (1 3 0 .1 ) вы ­
ражение (12 6 .2 ), получим
Таблица 6
Электрическое поле Формулы и обозначения
Магнитное поле
Формулы и обозначения
Точечный заряд
Элемент провод­
ника с током
Idl
Взаимодействие
токов
Р ... Рур 2/j/2 1|
Q
Взаимодействие
точечных зарядов
р _
Электрическая
постоянная
1 iQiQzl
4тте0 г2
4тг
Магнитная
постоянная
£о
г2
Мо
Силовая характе­
ристика электри­
ческого поля
Qo
Силовая характе­
ристика магнит­
ного поля
п _ ^тях
Рт
Однородное элек­
трическое поле
Е = const
Однородное маг­
нитное поле
В = const
Принцип
суперпозиции
Принцип
суперпозиции
я = £ Д
М
Линии напряжен­
ности вектора Е
-
Поляризованность
Е й
n _ Pv _ i
Электроемкость
уединенного
проводника
c =Q
ч>
V
V
Энергия заряжен­
ного конденсатора
2
Линии магнитной
индукции
-
Намагниченность
Т -Ъ п V
Индуктивность
катушки
Магнитная
проницаемость
_ W _ ереЕ2 _ ED
V
2
2
Объемная плот­
ность энергии
Объемная плот­
ность энергии
W
Поток вектора Е
сквозь поверх­
ность 5
ФЕ = (fE d S = (fE „dS сквозь поверх­
ность 5
s
s
Циркуляция
вектора Е
232
V
ч
Энергия катушки
с током
е
Диэлектрическая
проницаемость
<=1
в
w
w _ ц ;# я 2 _ вв_
V
2
2
Поток вектора В
<f)Edl = § E t<\l
l
L
Циркуляция
вектора В
Фв = f S d S = § B ndS
s
S
j>Bdl = <fB,dl
L
L
g
N 2I 2 I
1
= 2
j-
Поскольку / =
— - [см. (119.2)] и
B = \i0\iH[см. (109.3)], to
W= —
7 = —
2ц0Ц
V,
(130.2)
2
где V = SI — объем соленоида.
Магнитное поле соленоида однород­
но и сосредоточено внутри него, поэто­
му энергия [см. (130.2)] заключена в
объеме соленоида и распределена в нем
с постоянной объемной плотностью
W _
V
2|х0р.
W f f _2_ _ Ж
2
2
(1 30.3)
v
7
Выражение (130.3) для объемной
плотности энергии магнитного поля
имеет вид, аналогичный формуле (95.8)
для объемной плотности энергии элек­
тростатического поля, с той разницей,
что электрические величины заменены
в нем магнитными. Формула (130.3)
выведена для однородного поля, но она
справедлива и для неоднородных по­
лей. Выражение (130.3) справедливо
только для сред, для которых зависи­
мость В от Нлинейная, т. е. оно относит­
ся только к пара- и диамагнетикам (см.
§ 132).
В табл. 6 представлена аналогия при
рассмотрении электрических и магнит­
ных полей.
Контрольные вопросы
• Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем кон­
туре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?
• В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты
Фарадея.
• Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый провод­
ник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
• Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
• Как направлен индукционный ток?
• Всегда ли при изменении магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает
ЭДС индукции? индукционный ток?
• Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в од­
нородном магнитном поле?
• Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.
• Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?
• Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в
однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
• Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
• Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
• Когда ЭДС самоиндукции больше —при замыкании или размыкании цепи постоянного
тока?
• В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивно­
сти двух контуров? От чего они зависят?
• В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС ин­
дукции для обоих случаев.
,
• В чем заключается физический смысл времени релаксации т = —? Докажите, что т имеетразмерность времени.
• Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электроста­
тического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнит­
ного поля?
233
• Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плот­
ность энергии магнитного поля?
• Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышаю­
щего трансформатора.
ЗАДАЧИ
15.1. Кольцо из алюминиевого провода (р = 26 нОм •м) помещено в магнитное поле пер­
пендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм.
Определите скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0,33 Тл/с]
15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой
300 мин-1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу.
Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения перпендикулярна оси ка­
тушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в
катушке. [31,4 В]
15.3. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, ди­
аметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный ци­
линдр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн.
[3040]
15.4. Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предель­
ного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индук­
тивностью 0,4 Гн. [0,16 с]
15.5. Два соленоида (индуктивность одного Щ = 0,36 Гн, другого Ь2 = 0,64 Гн) одинако­
вой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определите взаимную
индуктивность соленоидов. [0,48 Гн]
15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с Ux —5,5 кВ до U2 = 220 В, содер­
жит в первичной обмотке
= 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки Д2 = 2 Ом.
Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая
сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной обмотке транс­
форматора. [68]
Г л а в а 16
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩ ЕСТВА
§ 131. Магнитные моменты
электронов и атомов
Рассматривая действие магнитного
поля на проводники с током и на дви­
жущиеся заряды, мы не интересовались
процессами, происходящими в веще­
стве. Свойства среды учитывались фор­
мально с помощью магнитной прони­
цаемости р. Для того чтобы разобрать­
ся в магнитных свойствах сред и их вли­
234
янии на магнитную индукцию, необ­
ходимо рассмотреть действие магнит­
ного поля на атомы и молекулы веще­
ства.
Опыт показывает, что все вещества,
помещенные в магнитное поле, намаг­
ничиваются. Рассмотрим причину это­
го явления с точки зрения строения ато­
мов и молекул, положив в основу гипо­
тезу Ампера (см. § 109), согласно кото­
рой в любом теле существуют микро-
скопические токи, обусловленные дви­
жением электронов в атомах и молеку­
лах.
Для качественного объяснения маг­
нитных явлений с достаточным при­
ближением можно считать, что элект­
рон движется в атоме по круговым ор­
битам. Электрон, движущийся по одной
из таких орбит, эквивалентен кругово­
му току, поэтому он обладает орби­
тальным магнитным моментом [см.
(109.2)] рт = ISn, модуль которого
рт — IS = euS,
(1 31.1)
где 1 = ev — сила тока; у — частота вра­
щения электрона по орбите; S — пло­
щадь орбиты.
Если электрон движется по часовой
стрелке (рис. 189), то ток направлен
против часовой стрелки и вектор р т
(в соответстви и с правилом правого
вин та) направлен перпендикулярно
плоскости орбиты электрона, как ука­
зано на рисунке.
С другой стороны, движущийся по
орбите электрон обладает механичес­
ким моментом импульса Lt, модуль ко­
торого, согласно (19.1),
1ц = mvr = 2 mvS,
(131.2)
где v = 2тшг, Tvr2 = S. Вектор Lt (его на­
правление также определяется по пра­
вилу правого винта) называется орби­
тальным м еханическим моментом
электрона.
И з рис. 189 следует, что направления
рти ^противоположны, поэтому, учи­
тывая выражения (13 1 .1 ) и (131.2), по­
лучим
Рт = ~ Ц = д Ц ,
2т
где величина
(131.3)
Рт
Рис. 189
V
называется гиромагнитным отноше­
нием орбит альны х моментов (о б ­
щепринято писать со знаком «—», ука­
зывающим на то, что направления мо­
ментов противоположны). Это отно­
шение, определяемое универсальными
постоянными, одинаково для любой
орбиты, хотя для разных орбит значе­
ния v я г различны. Ф ормула (1 3 1 .4 )
выведена для круговой орбиты, но она
справедлива и для эллиптических ор­
бит.
Эксперим ентальное определение
гиромагнитного отношения проведено
в опытах Эйнштейна и де Гааза1 (1 9 1 5 ),
которые наблюдали поворот свободно
подвешенного на тончайшей кварцевой
нити железного стержня при его намаг­
ничивании во внешнем магнитном поле
(по обмотке соленоида пропускался пе­
ременный ток с частотой, равной час­
тоте крутильных колебаний стержня).
При исследовании вынужденных
крутильных колебаний стержня опре­
делялось гиромагнитное отношение,
которое оказалось р а вн ы м ----- . Таким
образом, знак носителей, обусловлива­
ющих молекулярные токи, совпадал со
знаком заряда электрона, а гиромагнит­
ное отношение оказалось в два раза
большим, чем введенная ранее величи­
на д [см. (131 .4 )]. Для объяснения это­
го результата, имевшего большое зна­
чение для дальнейшего развития физи­
ки, было предположено, а впоследствии
1 В. И. де Гааз (1878—1960) —нидерландский
физик.
235
доказано, что кроме орбитальных мо­
ментов [см. (131.1) и (131.2)] электрон
обладает собственным механическим
моментом им пульса Lls, называемым
спином.
Считалось, что спин обусловлен вра­
щением электрона вокруг своей оси, что
привело к целому ряду противоречий.
В настоящее время установлено, что
спин является неотъемлемым свой­
ством электрона, подобно его заряду и
массе. Спину электрона Lu соответству­
ет собственный ( спиновый) магнит ­
ный момент ртз, пропорциональный Ьы
и направленный в противоположную
сторону:
Ртз
(131.5)
Величина gs называется гиромагнит­
ным от нош ением спиновы х м о м ен ­
тов.
Проекция собственного магнитного
момента на направление вектора В мо­
жет принимать только одно из следую­
щих двух значений:
РтзВ =
2тп
= ±М-в.
где h = — (h — постоянная Планка);
2-тс
|iB — магнетон Бора, являющийся еди­
ницей магнитного момента электрона.
В общем случае магнитный момент
электрона складывается из орбитально­
го и спинового магнитных моментов.
Магнитный момент атома, следователь­
но, складывается из магнитных момен­
тов входящих в его состав электронов
и магнитного момента ядра (обуслов­
лен магнитными моментами входящих
в ядро протонов и нейтронов). Однако
магнитные моменты ядер в тысячи раз
меньше магнитных моментов электро­
нов, поэтому ими пренебрегают. Таким
образом, общий магнитный момент ато­
ма (молекулы) ра равен векторной сум­
236
ме магнитных моментов (орбитальных
и спиновых), входящих в атом (моле­
кулу) электронов:
P&=J2Pm+Y,P™ -
(131.6)
Еще раз обратим внимание на то, что
при рассмотрении магнитных момен­
тов электронов и атомов мы пользова­
лись классической теорией, не учиты­
вая ограничений, накладываемых на
движение электронов законами кванто­
вой механики. Однако это не противо­
речит полученным результатам, так как
для дальнейшего объяснения намагни­
чивания веществ существенно лишь то,
что атомы обладают магнитными мо­
ментами.
§ 132. Диа- и парам агнетизм
Всякое вещество является магнети­
ком, т. е. оно способно под действием
магнитного поля приобретать магнит­
ный момент (намагничиваться). Для
понимания механизма этого явления
необходимо рассмотреть действие маг­
нитного поля на движущиеся в атоме
электроны.
Ради простоты предположим, что
электрон в атоме движется по кру­
говой орбите. Если орбита электрона
ориентирована относительно вектора В
произвольным образом, составляя с
Рис. 190
I
ним угол а (рис. 19 0 ), то можно дока­
зать, что она приходит в такое движе­
ние вокруг В, при котором вектор маг­
нитного момента рт, сохраняя постоян­
ным угол а , вращается вокруг вектора В
с некоторой угловой скоростью. Такое
движение в механике называется пре­
цессией. Прецессию вокруг вертикаль­
ной оси, проходящей через точку опо­
ры, совершает, например, диск волчка
при замедлении движения.
Таким образом, электронные орби­
ты атома под действием внешнего маг­
нитного поля совершают прецессион­
ное движение, которое эквивалентно
круговому току. Так как этот микроток
индуцирован внешним магнитным по­
лем, то, согласно правилу Ленца, у ато­
ма появляется составляющая магнит­
ного поля, направленная противопо­
ложно внешнему полю. Наведенные
составляющие магнитных полей ато­
мов (молекул) складываются и образу­
ют собственное магнитное поле веще­
ства, ослабляющее внешнее магнитное
поле. Этот эффект получил название
диамагнитного эффекта, а вещества,
намагничивающиеся во внешнем маг­
нитном поле против направления поля,
называются диамагнетиками.
В отсутствие внешнего магнитного
поля диамагнетик немагнитен, посколь­
ку в данном случае магнитные момен­
ты электронов взаимно компенсируют­
ся, и суммарный магнитный момент
атома [он равен векторной сумме маг­
нитных моментов (орбитальных и спи­
новых) составляющ их атом электро­
нов] равен нулю. К диамагнетикам от­
носятся многие металлы (например, Bi,
Ag, Au, Си), большинство органических
соединений, смолы, углерод и т.д.
Так как диамагнитный эффект обус­
ловлен действием внешнего магнитно­
го поля на электроны атомов вещества,
то диамагнетизм свойствен всем веще­
ствам. Однако наряду с диамагнетика­
ми существуют и парамагнетики — ве­
щества, намагничивающиеся во внеш­
нем магнитном поле по направлению
поля.
У парамагнитных веществ при от­
сутствии внешнего магнитного поля
магнитные моменты электронов не
компенсируют друг друга, и атомы (м о­
лекулы) парамагнетиков всегда облада­
ют магнитным моментом. Однако вслед­
ствие теплового движения молекул их
магнитные моменты ориентированы
беспорядочно, поэтому парамагнитные
вещества магнитными свойствами не
обладают. При внесении парамагнети­
ка во внешнее магнитное поле устанав­
ливается преимущественная ориента­
ция магнитных моментов атомов по
полю (полной ориентации препятству­
ет тепловое движение атомов). Таким
образом, парамагнетик намагничивает­
ся, создавая собственное магнитное
поле, совпадающее по направлению с
внешним полем и усиливающее его.
Этот эффект назы вается парамаг­
нитным.
При ослаблении внешнего магнит­
ного поля до нуля ориентация магнит­
ных моментов вследствие теплового
движения нарушается и парамагнетик
размагничивается. К парамагнетикам
относятся редкоземельные элементы,
P t, А1 и т.д. Диамагнитный эффект на­
блюдается и в парамагнетиках, но он
значительно слабее парамагнитного и
поэтому остается незаметным.
Из рассмотрения явления парамаг­
нетизма следует, что его объяснение
совпадает с объяснением ориентацион­
ной (дипольной) поляризации диэлек­
триков с полярными молекулами (см.
§ 8 7 ), только электрический момент
атомов в случае поляризации надо за­
менить магнитным моментом атомов в
случае намагничивания.
237
Подводя итог качественному рас­
смотрению диа- и парамагнетизма, еще
раз отметим, что атомы всех веществ
являются носителями диамагнитных
свойств.
Если магнитный момент атомов ве­
лик, то парамагнитные свойства преоб­
ладают над диамагнитными и вещество
является парамагнетиком; если магнит­
ный момент атомов мал, то преоблада­
ют диамагнитные свойства и вещество
является диамагнетиком.
§ 133. Намагниченность.
Магнитное поле в вещ естве
Подобно тому, как для количествен­
ного описания поляризации диэлектри­
ков вводилась поляризованность (см.
§ 88), для количественного описания
намагничивания магнетиков вводят
векторную величину — намагничен­
ность, определяемую магнитным мо­
ментом единицы объема магнетика:
7 _ Рт _ Е Р а
V
где Рт =
V
'
магнитный момент маг­
нетика, представляющий собой вектор­
ную сумму магнитных моментов от­
дельных молекул [см. (131.6)].
Рассматривая характеристики маг­
нитного поля (см. § 109), мы вводили
вектор магнитной индукции В, харак­
теризующий результирующее магнит­
ное поле, создаваемое всеми макро- и
микротоками, и вектор напряженнос­
ти Н, характеризующий магнитное поле
макротоков. Следовательно, магнитное
поле в веществе складывается из двух
полей: внешнего поля, создаваемого
током, и поля, создаваемого намагни­
ченным веществом. Тогда можем запи­
23 8
сать, что вектор магнитной индукции
результирующего магнитного поля в
магнетике равен векторной сумме маг­
нитных индукций внешнего поля В0
(создаваемого намагничивающим то­
ком в вакууме) и поля микротоков В'
(создаваемого молекулярными токами):
В = В 0 + В',
(133.1)
где В0 = [До# [см. (109.3)].
Для описания поля, создаваемого
молекулярными токами, рассмотрим
магнетик в виде кругового цилиндра
сечения S и длины | внесенного в од­
нородное внешнее магнитное поле с
индукцией В0. Возникающее в магнети­
ке магнитное поле молекулярных токов
будет направлено противоположно
внешнему полю для диамагнетиков и
совпадать с ним по направлению для
парамагнетиков. Плоскости всех моле­
кулярных токов расположатся перпен­
дикулярно вектору В0, так как векторы
их магнитных моментов рт антипараллельны вектору В0 (для диамагне­
тиков) и параллельны Д, (для парамаг­
нетиков).
Если рассмотреть любое сечение
цилиндра, перпендикулярное его оси,
то во внутренних участках сечения маг­
нетика молекулярные токи соседних
атомов направлены навстречу друг дру­
гу и взаимно компенсируются (рис.
191). Некомпенсированными будут
лишь молекулярные токи, выходящие
на боковую поверхность цилиндра.
Ток, текущий по боковой поверхно­
сти цилиндра, подобен току в соленои^
Р
и
с
oqopo 1
\?о °о °о 5 /
.
191
де и создает внутри него поле, магнит­
ную индукцию В1которого можно вы­
числить, учитывая формулу (1 1 9 .2 ) для
N = 1 (соленоид из одного витка):
В = р0 р
(1 3 3 .2 )
где I' — сила молекулярного тока; I —
длина рассматриваем ого цилиндра;
|л0 = 1 — магнитная проницаемость.
1
„
Г
С другой стороны, —— ток, прихо­
дящийся на единицу длины цилиндра,
или его линейная плотность, поэтому
магнитный момент этого тока рт =
вещества. Для диамагнетиков х отри­
цательна (поле молекулярных токов
противоположно внешнему), для пара­
магнетиков —положительна (поле моле­
кулярных токов совпадает с внешним).
Используя формулу (1 3 3 .6 ), выра­
жение (1 3 3 .4 ) можно записать в виде
5 = Ц0(1 + Х )Я ,
откуда
Щ | х) |
Безразмерная величина
I'lS
I'V
= ----- = —j—, где V — объем магнетика.
Если Рт — магнитный момент маг­
нетика объемом V, то намагниченность
магнетика
Р
J = ^
I'
= y .
(1 3 3 .3 )
Сопоставляя (1 3 3 .2 ) и (133.3), полу­
чим, что
В1= |Ло/>
или в векторной форме
я' = м Д
Подставив выражения для В0и В' в
(133.1), получим
В = \i0H + PqJ = ро(Я + J ), (133.4)
или
^- = H + J.
(1 3 3 .5 )
М-о
Как показывает опыт, в несильных
полях намагниченность пропорцио­
нальна напряженности поля, вызываю­
щего намагничивание, т.е.
J = хЯ ,
(133.6)
где х — безразмерная величина, называ­
емая м агнит ной восприимчивост ью
(1 3 3 .7 )
р=1 + Х
(133.8)
представляет собой магнитную прони­
цаемость вещества. Подставив (133.8)
в ( 1 3 3 .7 ) , придем к соотнош ению
(1 0 9 .3 ) В = \Iq\i H, которое ранее посту­
лировалось.
Так как абсолютное значение маг­
нитной восприимчивости для диа- и
парамагнетиков очень мало (порядка
10-4 —10-6), то для них [х незначитель­
но отличается от единицы. Это просто
понять, так как магнитное поле моле­
кулярных токов значительно слабее
намагничивающего поля. Таким обра­
зом, для диамагнетиков х < 0 и р < 1,
для парамагнетиков х > 0 и р > 1.
Закон полного тока для м агнит ­
ного поля в вещест ве ( т еорема о цир­
куляции вектора В ) является обобще­
нием закона (118.1):
фвЩ = SBtdl = р0(/ + Г),
L
L
где I и I 1 соответственно алгебраиче­
ские суммы макротоков (токов прово­
димости) и микротоков (молекулярных
токов), охватываемых произвольным
замкнутым контуром L.
Следовательно, циркуляция векто­
ра магнитной индукции В по произ239
вольному замкнутому контуру равна
алгебраической сумме токов проводи­
мости и молекулярных токов, охваты­
ваемых этим контуром, умноженной на
магнитную постоянную.
Таким образом, вектор В характери­
зует результирующее поле, созданное
как макроскопическими токами в про­
водниках (токами проводимости), так
и микроскопическими токами в магне­
тиках, поэтому линии вектора магнит­
ной индукции В не имеют источников
и являются замкнутыми.
Из теории известно, что циркуляция
намагниченности J по произвольному
замкнутому контуру L равна алгебраи­
ческой сумме молекулярных токов, ох­
ватываемых этим контуром:
§ Шщ Й Г.
Тогда закон полного тока для маг­
нитного поля в веществе можно запи­
сать также в виде
2 - - J dl = I,
§ 134. Условия на границе
раздела двух магнетиков
Установим связь для векторов В и
Я на границе раздела двух однородных
магнетиков (магнитные проницаемое-1
ти jii и p^) при отсутствии на границе
тока проводимости.
Построим вблизи границы раздела
магнетиков 1 и 2 прямой цилиндр нич­
тожно малой высоты, одно основание
которого находится в первом магнети-«
ке, другое — во втором (рис. 192). Ос­
нования AS настолько малы, что в пре­
делах каждого из них вектор В одина­
ков. Согласно теореме Гаусса (120.3),
_BnlA S - B a A S = 0
(нормали п и п 'к основаниям цилиндра
направлены противоположно). Поэтому
Вп1 = В ^
(134.1)
Заменив, согласно В = Цо|хЯ, проек­
ции вектора В проекциями вектора Я,
умноженными на цоц, получим
Яш _ М
-2
-Я„2
М-1
(133.9)
М-о
где I, подчеркнем это еще раз, есть ал­
гебраическая сумма токов проводимо­
сти.
Выражение, стоящее в скобках в
(133.9), согласно (133.5), есть не что
иное, как введенный ранее вектор Я
напряженности магнитного поля. Итак,
циркуляция вектора Я по произвольно­
му замкнутому контуру L равна алгеб­
раической сумме токов проводимости,
охватываемых этим контуром:
= I.
(133.10)
L
Выражение (133.10) представляет
собой теорему о циркуляции векто­
ра Н.
240
(134.2)
Вблизи границы раздела двух магне­
тиков 1 и 2 построим небольшой замк­
нутый прямоугольный контур АВ CDА
длиной I, ориентировав его так, как по­
казано на рис. 193. Согласно теореме
(133.10) о циркуляции вектора Я,
§Hdl = 0
ABCDA
(токов проводимости на границе разде­
ла нет), откуда
Hi
№
Тй'
Рис. 192
Р-1
На
А
в 1
_ 2
Рис. 193
HTll - Hr2l= 0
(знаки интегралов по А В и CD разные,
так как пути интегрирования противо­
положны, а интегралы по участкам ВС
и DA ничтожно малы). Поэтому
Ят1 = Ят2.
(134.3)
Заменив, согласно В = ц,0цЯ, проек­
ции вектора Я проекциями вектора В,
деленными на |х0ц, получим
A l = Ё 1.
Я Т2
(134.4)
М-2
Таким образом, при переходе через
границу раздела двух магнетиков нор­
мальная составляющая вектора В (Вп)
и тангенциальная составляющая векто­
ра Я (Я т) изменяются непрерывно (не
претерпевают скачка), а тангенциаль­
ная составляющая вектора В (Д .) и нор­
мальная составляющая вектора Я (Я т)
претерпевают скачок.
Из полученных условий (1 3 4 .1 )—
(134.4) для составляющих векторов В
и Я следует, что линии этих векторов
испытывают излом (преломляются).
Как и в случае диэлектриков (см. § 90),
можно найти закон преломления ли­
ний В (а значит, и линий Я ):
М £ 2 = Ё2
tg a !
(134.5)
м-i
Из этой формулы следует, что, вхо­
дя в магнетик с большей магнитной
проницаемостью, линии В и Н удаля­
ются от нормали.
вещества — ферромагнетики — веще­
ства, обладающие спонтанной намагни­
ченностью, т.е. они намагничены даже
при отсутствии внешнего магнитного
поля. К ферромагнетикам кроме основ­
ного их представителя —железа (от него
и идет название «ферромагнетизм») —
относятся, например, кобальт, никель,
гадолиний, их сплавы и соединения.
Ферромагнетики помимо способно­
сти сильно намагничиваться обладают
еще и другими свойствами, существен­
но отличающими их от диа- и парамаг­
нетиков. Если для слабомагнитных ве­
ществ зависимость J от Я линейна [см.
(133.6) и рис. 194], то для ферромагне­
тиков эта зависимость, впервые изучен­
ная в 1878 г. методом баллистического
гальванометра для железа русским фи­
зиком А.Г.Столетовым (1 8 3 9 — 1896),
является довольно сложной. По мере
возрастания Я намагниченность J сна­
чала растет быстро, затем медленнее и,
наконец, достигается так называемое
магнитное насыщение J„ac, уже не за­
висящее от напряженности поля.
Подобный характер зависимости J
от Я можно объяснить тем, что по мере
увеличения намагничивающего поля
возрастает степень ориентации молеку­
лярных магнитных моментов по полю.
Однако этот процесс начнет замедлять­
ся, когда остается все меньше и меньше
несориентированных моментов, и, на­
конец, когда все моменты будут ориен­
тированы по полю, дальнейшее увели­
чение Япрекращается и наступает маг­
нитное насыщение.
§ 135. Ф ерром агнетики
и их с в о й с т в а
Помимо рассмотренных двух классов
веществ —диа- и парамагнетиков, назы­
ваемых слабомагнитными вещества­
ми, существуют еще сильномагнитные
Рис. 194
. Ферромагнетик
Парамагнетик
Диамагнетик
241
J = «7нас = const с ростом Я отношение
Характерная особенность ферромаг­
нетиков состоит также в том, что для
них зависимость J от Я ( а следователь­
но, и В от Я ) определяется предысто­
рией намагничивания ферромагнетика.
Это явление получило название маг­
нитного гистерезиса. Если намагни­
тить ферромагнетик до насыщения
(рис. 197, точка 1), а затем начать умень­
шать напряженность Я намагничиваю­
щего поля, то, как показывает опыт,
уменьшение описывается кривой 1—2,
лежащей выше кривой 1 —0. При Я = 0
J отличается от нуля, т. е. в ферромаг­
нетике наблюдается остаточное на­
Магнитная индукция В = ^ ( Я + J )
[см. (1 3 3 .4 )] в слабых полях растет бы­
стро с увеличением Я вследствие воз­
растания J , а в сильных полях, посколь­
ку второе слагаемое постоянно ( J = Jmc),
В возрастает с увеличением Я по линей­
ному закону (рис. 195).
Существенная особенность ферро­
магнетиков — не только большие зна­
чения jui (например, для железа — 5000,
для сплава су пермаллоя — 800 0001), но
и зависимость ||от Я (рис. 196). Внача­
ле ||растет с увеличением Я, затем, до­
стигая максимума, начинает умень­
шаться, стремясь в случае сильных по-
В
J
лей к 1 ( [i = ------ = Ц — , поэтому при
■ 1
н
242
магничивание J oc.
С наличием остаточного намагниче­
ния связано существование постоян­
ных магнитов. Намагничивание обра­
щается в нуль под действием поля Яс,
имеющего направление, противопо­
ложное полю, вызвавшему намагничи­
вание. Напряженность Яс называется
коэрцитивной силой.
При дальнейшем увеличении проти­
воположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3 —4), и при
Я = —Янас достигается насыщение (точ­
ка 4). Затем ферромагнетик можно
опять размагнитить (кривая 4 —5 —6)
и вновь перемагнитить до насыщения
(кривая 6 — 1).
Таким образом, при действии на
ферромагнетик переменного магнитно­
го поля намагниченность J изменяется
в соответствии с кривой 1—2 —3 —4 —
5 —6 —1, которая называется петлей
гистерезиса (от греч. «запаздывание»).
Гистерезис приводит к тому, что намаг­
ничивание ферромагнетика не являет­
ся однозначной функцией Н, т. е. одно­
му и тому же значению Я соответству­
ет несколько значений J.
Различные ферромагнетики дают
разные гистерезисные петли. Ферро­
магнетики с малой (в пределах от не­
скольких тысячных до 1 — 2 А /см ) ко­
эрцитивной силой Я с (с узкой петлей
гистерезиса) называются мягкими, с
большой (от нескольких десятков ты­
сяч ампер на сантиметр) коэрцитивной
силой (с широкой петлей гистерези­
са) — жесткими. Величины Я с, Joc и
(лтах определяют применимость ферро­
магнетиков для тех или иных практи­
ческих целей. Так, жесткие ферромаг­
нетики (напри м ер, углероди сты е и
вольфрамовые стал и ) применяются
для изготовления постоянных магни­
тов, а мягкие (например, мягкое желе­
зо, сплав железа с никелем) — для из­
готовления сердечников трансформа­
торов.
Ферромагнетики обладают еще од­
ной существенной особенностью: для
каждого ферромагнетика имеется опре­
деленная тем п ер атур а, назы ваем ая
точкой Кюри, при которой он теряет
свои магнитные свойства. При нагрева­
нии образца выше точки Кюри ферро­
магнетик превращается в обычный па­
рамагнетик. Переход вещества из фер­
ромагнитного состояния в парамагнит­
ное, происходящий в точке Кюри, не
сопровождается поглощением или вы­
делением теплоты, т.е. в точке Кюри
происходит фазовый переход II рода
(см. § 7 5 ).
Наконец, процесс намагничивания
ф ерром агн ети ков соп р овож д ается
изменением его линейных размеров
и объема. Это явление получило на­
звание магнитострикции (открыто
Д. Джоулем, 1842). Величина и знак эф­
фекта зависят от напряженности Я на­
магничивающ его поля, от природы
ферромагнетика и ориентации кристал­
лографических осей по отношению к
полю.
§ 136. Природа ферромагнетизма
Рассматривая магнитные свойства
ферромагнетиков, мы не вскрывали фи­
зическую природу этого явления. Опи­
сательная теория ф ерромагнетизма
была разработана французским физи­
ком П. Вейссом (1 8 6 5 — 1940). Последо­
вательная количественная теория на
основе квантовой механики развита
Я. И. Френкелем и немецким физиком
В. Гейзенбергом (1901 — 1976).
Согласно представлениям Вейсса,
ф ерромагнетики при тем п ератур ах
ниже точки Кюри обладают спонтанной
намагниченностью независимо от нали­
чия внешнего намагничивающего поля.
Спонтанное намагничивание, однако,
находится в кажущемся противоречии
с тем, что многие ферромагнитные ма­
териалы даже при температурах ниже
точки Кюри не намагничены. Для уст­
ранения этого противоречия Вейсс ввел
гипотезу, согласно которой ферромаг­
нетик ниже точки Кюри разбивается на
большое число малых макроскопиче­
ских областей — доменов, самопроиз­
вольно намагниченных до насыщения.
При отсутствии внешнего магнитно­
го поля магнитные моменты отдельных
доменов ориентированы хаотически и
компенсируют друг друга, поэтому ре­
зультирующий магнитный момент фер­
ромагнетика равен нулю и ферромагне­
тик не намагничен. Внешнее магнитное
поле ориентирует по полю магнитные
моменты не отдельных атомов, как это
имеет место в случае парамагнетиков,
а целых областей спонтанной намагни­
ченности. Поэтому с ростом Янамагниченность J (см. рис. 194) и магнитная
индукции В (см. рис. 195) уже в доволь­
но слабых полях растут очень быстро.
Этим объясняется также увеличение ц
ферромагнетиков до максимального
значения в слабых полях (см. рис. 196).
243
Эксперименты показали, что зависи­
мость В от Я не является такой плав­
ной, а имеет ступенчатый вид, как по­
казано на рис. 195. Это свидетельствует
о том, что внутри ферромагнетика доме­
ны поворачиваются по полю скачком.
При ослаблении внешнего магнит­
ного поля до нуля ферромагнетики со­
храняют остаточное намагничивание,
так как тепловое движение не в состоя­
нии быстро дезориентировать магнит­
ные моменты столь крупных образова­
ний, какими являются домены. Поэто­
му и наблюдается явление магнитного
гистерезиса (рис. 197). Для того чтобы
ферромагнетик размагнитить, необхо­
димо приложить коэрцитивную силу;
размагничиванию способствуют также
встряхивание и нагревание ферромаг­
нетика. Точка Кюри оказывается той
температурой, выше которой происхо­
дит разрушение доменной структуры.
Существование доменов в ферро­
магнетиках доказано эксперименталь­
но. Прямым экспериментальным мето­
дом их наблюдения является метод по­
рошковых фигур. На тщательно отпо­
лированную поверхность ферромагне­
тика наносится водная суспензия мел­
кого ферромагнитного порошка (на­
пример, магнетита). Частицы оседают
преимущественно в местах максималь­
ной неоднородности магнитного поля,
т. е. на границах между доменами. По­
этому осевший порошок очерчивает
границы доменов и подобную картину
можно сфотографировать под микро­
скопом. Линейные размеры доменов
оказались равными 10-4—10-2 см.
Дальнейшее развитие теории ферро­
магнетизма Френкелем и Гейзенбергом,
а также ряд экспериментальных фактов
позволили выяснить природу элемен­
тарных носителей ферромагнетизма.
В настоящее время установлено, что
магнитные свойства ферромагнетиков
244
определяются спиновыми магнитными
моментами электронов (прямым экспе­
риментальным указанием этого служит
опыт Эйнштейна и де Гааза, см. § 131).
Установлено также, что ферромаг­
нитными свойствами могут обладать
только кристаллические вещества, в ато­
мах которых имеются недостроенные
внутренние электронные оболочки с нескомпенсированными спинами. В по­
добных кристаллах могут возникать
силы, которые вынуждают спиновые
магнитные моменты электронов ориен­
тироваться параллельно друг другу, что
и приводит к возникновению областей
спонтанного намагничивания. Эти силы,
называемые обменными силами, имеют
квантовую природу — они обусловлены
волновыми свойствами электронов.
Так как ферромагнетизм наблюдает­
ся только в кристаллах, а они обладают
анизотропией (см. § 70), то в монокри­
сталлах ферромагнетиков должна иметь
место анизотропия магнитных свойств
(их зависимость от направления в кри­
сталле). Действительно, опыт показы­
вает, что в одних направлениях в крис­
талле его намагниченность при данном
значении напряженности магнитного
поля наибольшая (направление легчай­
шего намагничивания), в других — наи­
меньшая (направление трудного намаг­
ничивания). Из рассмотрения магнит­
ных свойств ферромагнетиков следует,
что они похожи на сегнетоэлектрики
(см. §9 1 ).
Существуют вещества, в которых об­
менные силы вызывают антипараллель ную ориентацию спиновых магнитных
моментов электронов. Такие тела назы­
ваются антиферромагнетиками. Их
существование теоретически было пред­
сказано Л. Д. Ландау. Антиферромагне­
тиками являются некоторые соединения
марганца (MnO, MnF2), железа (FeO,
FeCl2) и многих других элементов. Для
них также существует антиферромаг-
митная точка Кюри (точка Неелях),
при которой магнитное упорядочение
спиновых магнитных моментов нару­
шается и антиферромагнетик превра­
щается в парамагнетик, претерпевая
фазовый переход II рода (см. § 75).
В последнее время большое значе­
ние приобрели полупроводниковые
ферромагнетики — ферриты, химиче­
ские соединения типа Me ■Fe20 3, где
Me — ион двухвалентного металла (Мп,
Со, Ni, Си, Mg, Zn, Cd, Fe). Они отлича­
ются заметными ферромагнитными
свойствами и большим удельным элек­
трическим сопротивлением (в милли­
арды раз большим, чем у металлов).
Ферриты применяются для изготовле­
ния постоянных магнитов, ферритовых
антенн, сердечников радиочастотных
контуров, элементов оперативной па­
мяти в вычислительной технике, для
покрытия пленок в магнитофонах и ви­
деомагнитофонах и т. д.
Контрольные вопросы
• Почему орбитальные магнитный и механический моменты электрона в атоме противо­
положно направлены?
• Что называют гиромагнитным отношением?
• Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома?
• Можно ли провести аналогию между намагничиванием диамагнетика и поляризацией
диэлектрика с неполярными молекулами?
• Можно ли провести аналогию между намагничиванием парамагнетика и поляризацией
диэлектрика с полярными молекулами?
• Что такое диамагнетики? парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?
• Что такое намагниченность? Какая величина может служить ее аналогом в электроста­
тике?
• Запишите и объясните соотношения между магнитными проницаемостью и восприим­
чивостью для парамагнетика; для диамагнетика.
• Выведите соотношение между векторами магнитной индукции, напряженности магнит­
ного поля и намагниченности.
• Объясните физический смысл циркуляции по произвольному замкнутому контуру век­
торов: 1) В] 2) Я; 3) J .
• Выведите и прокомментируйте условия для векторов В и Н на границе раздела двух
магнетиков.
• Проанализируйте теорему о циркуляции вектора В в веществе.
• Получите формулу (134.5).
• Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика. Что такое магнитострикция?
• Какие ферромагнетики являются магнитомягкими? магнитожесткими? Где их приме­
няют?
• Каков механизм намагничивания ферромагнетиков?
• Какую температуру для ферромагнетика называют точкой Кюри?
ЗАДАЧИ
16.1.
Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м. Определите
магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная вое-:
приимчивость меди |\| = 8,8 - 10-8. [1,11 пТл]
1Л. Неель (род. 1904) — французский физик.
245
1 6 .2 .
П о круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий кислород, течет
т о к 1,5 А. Определите намагниченность в центре этого контура, если магнитная восприим­
чивость жидкого кислорода 3,4 •10~3. [5,1 мА/м)
16.3.
П о обмотке соленоида индуктивностью 1 мГн, находящегося в диамагнитной среде,
течет ток 2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см2 и 400 вит­
ков. Определите внутри соленоида-. 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность. [1) 5 мТл;
2 ) 2 0 А /м ]
16.4.
Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное магнитное поле (В0=
= 1 Т л ). Определите магнитный момент, приобретенный шариком, если магнитная воспри­
имчивость алюминия 2,1 •10-5 . [8,75 мкА •м2]
Г л а в а 17
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 137. Вихревое
электрическое поле
И з з а к о н а Ф а р а д е я [с м . ( 1 2 3 .2 ) ]
— -------- сл ед у ет, что любое измене-
dt
н и е с ц е п л е н н о г о с к он ту р ом потока
м агн и т н о й индукции приводит к воз­
н и к н о в е н и ю эл ектродви ж ущ ей силы
и н д ук ц и и и всл ед стви е этого появляет­
с я индукц и он н ы й ток. Следовательно,
в озн и к н ов ен и е Э Д С электромагнитной
и н д ук ц и и возм ож н о и в неподвижном
к о н т у р е , н а х о д я щ е м ся в переменном
м агн и т н о м поле. О днако Э Д С в любой
ц еп и в о зн и к а е т тол ьк о тогда, когда в
н ей н а н оси тели тока действуют сторон­
н и е си л ы — силы неэлектростатическо­
го п р о и схо ж д ен и я (см . § 9 7 ). Поэтому
в д а н н о м сл у ч ае в стает вопрос о приро­
д е ст о р о н н и х сил.
О п ы т показы вает, что эти сторонние
си л ы н е св я зан ы ни с тепловыми, ни с
хи м и ч еск и м и процессами в контуре. Их
в озн и к н ов ен и е такж е нельзя объяснить
с и л а м и Л о р е н ц а , так как они не дей­
с т в у ю т н а неподвиж ны е заряды. М акс­
в ел л в ы ск азал гипотезу, что всякое пе­
246
ременное магнитное поле возбуждает в
окружающем пространстве электричес­
кое поле, которое и является причиной
возникновения индукционного тока в
контуре. Согласно представлениям
Максвелла, контур, в котором появля­
ется ЭДС, играет второстепенную роль,
являясь своего рода лишь «прибором»,
обнаруживающим это поле.
Итак, по Максвеллу, изменяющееся
во времени магнитное поле порождает
электрическое поле Ев, циркуляция ко­
торого, по (123.3),
(137.1)
где Еш — проекция вектора Ев на на­
правление dl.
Подставив в формулу (137.1) выра­
жение Ф = j B d S [см. (120.2)], получим
if
Если поверхность и контур непод­
вижны, то операции дифференцирова*
+Q |I -Q
ния и интегрирования можно поменять
местами. Следовательно,
j)E Bdl = - J
черкивает тот факт, что интеграл J BdS
s
является функцией только времени.
Согласно (83.3), циркуляция векто­
ра напряженности электростатическо­
го поля (обозначим его E q ) вдоль лю­
бого замкнутого контура равна нулю:
§ E Qdl = § E Qldl = 0. (137.3)
L
L
Сравнивая выражения (1 3 7 .1 ) и
(137.3), видим, что между рассматрива­
емыми полями (Е в и E q) имеется прин­
ципиальное различие: циркуляция век­
тора Ёв в отличие от циркуляции век­
тора Eq не равна нулю. Следовательно,
электрическое поле Ев, возбуждаемое
магнитным полем, как и само магнит­
ное поле (см. § 118), является вихревым.
;!
t
(137.2)
где символ частной производной под­
Рис. 198
11
-------о о—
разряжающегося конденсатора имеется
переменное электрическое поле, поэто­
му, согласно Максвеллу, через конден­
сатор «протекают» токи смещения, при­
чем в тех участках, где отсутствуют про­
водники.
Найдем количественную связь меж­
ду изменяющимся электрическим и
вызываемым им магнитным полями.
По Максвеллу, переменное электриче­
ское поле в конденсаторе в каждый мо­
мент времени создает такое магнитное
поле, как если бы между обкладками
конденсатора существовал ток смеще­
ния, равный току в подводящих прово­
дах. Тогда можно утверждать, что токи
проводимости ( I) и смещения (/см) рав­
ны: 1 = 1 Ш.
Ток проводимости вблизи обкладок
конденсатора
I ^Щ _ Д. radg
dt
§ 138. Ток смещения
Согласно Максвеллу, если всякое
переменное магнитное поле возбужда­
ет в окружающем пространстве вихре­
вое электрическое поле, то должно су­
ществовать и обратное явление: всякое
изменение электрического поля долж­
но вызывать появление в окружающем
пространстве вихревого магнитного по­
ля. Для установления количественных
отношений между изменяющимся элек­
трическим полем и вызываемым им маг­
нитным полем Максвелл ввел в рассмот­
рение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую конденсатор (рис. 198).
Между обкладками заряжающегося и
df J
= f^ -d S = f ^ d S
J dt
4. ot
(138.1)
(поверхностная плотность заряда ст на
обкладках равна электрическому сме­
щению D в конденсаторе [см. (92.1)].
Подынтегральное выражение в (138.1)
можно рассматривать как частный слу-
Я й
чаи скалярного произведения -j—d<b,
Щ иЩ
когда ——
do взаимно параллельны.
at
Поэтому для общего случая можно за­
писать
ЭР
8 Шdt dS.
247
Сравнивая это выражение с I —/см=
= J р М [см. (96.2)], имеем
s
JCM
dD
dt
(138.2)
Выражение (138.2) и было названо Мак­
свеллом плотностью тока смещения.
Рассмотрим, каково же направление
векторов плотностей токов проводимо­
сти и смещения (j и j CM). При зарядке
конденсатора (рис. 199, а) через провод­
ник, соединяющий обкладки, ток течет
от правой обкладки к левой, поле в кон­
денсаторе усиливается, следовательно,
dD >
^Л
дЪ
—
0 , т. е. вектор —
— направлен в ту
at
_ dt
же сторону, что и D. Из рисунка видно,
что направления векторов
dt
и j сов-
падают.
При разрядке конденсатора (рис.
199, б) через проводник, соединяющий
обкладки, ток течет от левой обкладки
к правой, поле в конденсаторе ослабля8D < 0 ,т.е. вектор
ется;следовательно, -^7
dt
-dD
— направлен противоположно вектоdt £
ап
ру D. Однако вектор — направлен
dt _
опять так же, как и вектор j.
Из разобранных примеров следует,
что направление вектора j, а следова­
тельно, и вектора j CMсовпадает с направ­
лением вектора
dt
( как это и следует
из формулы (138.2).
Подчеркнем, что из всех физических
свойств, присущих току проводимости,
Максвелл приписал току смещения лишь
одно —способность создавать в окру­
жающем пространстве магнитное поле.
Таким образом, ток смещения (в ваку­
уме или веществе) создает в окружаю­
щем пространстве магнитное поле (ли­
нии индукции магнитных полей токов
смещения при зарядке и разрядке кон­
денсатора показаны на рис. 199 штри­
ховыми линиями).
В диэлектриках ток смещения состо­
ит из двух слагаемых^Так как, соглас­
но (89.2), D = е0Ё + Р, где Ё —напря­
женность электростатического поля,
а Р —поляризованность (см. § 8 8 ), то
плотность тока смещения
-?
дЁ dP
J“ =E" a r + a P
/*00 q\
<13а3)
dЁ
dt
ния в вакууме; dP_ плотность тока
dt
поляризации — тока, обусловленного
где е0 ----- плотность тока см еще -
упорядоченным движением электри­
ческих зарядов в диэлектрике (смеще­
ние зарядов в неполярных молекулах
или поворот диполей в полярных мо­
лекулах).
Возбуждение магнитного поля тока­
ми поляризации правомерно, так как
токи поляризации по своей природе не
отличаются от токов проводимости.
Однако то, что и другая часть плотности тока смещения (/е0 д Ё ,), не связан­
ная с движением зарядов, а обусловлен­
ная только изменением электрическо­
го поля во времени, также возбуждает
248
магнитное поле, является принципиаль­
но новым утверждением Максвелла.
Даже в вакууме всякое изменение во
времени электрического поля приводит
к возникновению в окружающем про­
странстве магнитного поля.
Следует отметить, что название «ток
смещения» является условным, а точ­
нее исторически сложившимся, так как
ток смещения по своей сути —это из­
меняющееся со временем электричес­
кое поле. Ток смещения поэтому суще­
ствует не только в вакууме или диэлек­
триках, но и внутри проводников, по ко­
торым проходит переменный ток. Од­
нако в данном случае он пренебрежимо
мал по сравнению с током проводимос­
ти. Наличие токов смещения подтверж­
дено экспериментально А. А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле
тока поляризации, который, как следу­
ет из (138.3), является частью тока сме­
щения.
Максвелл ввел понятие полного
тока, равного сумме токов проводимо­
сти (а также конвекционных токов) и
смещения. Плотность полного тока
-1
Й
.7ПОЛИ J Т
дЪ
•
Введя понятия тока смещения и пол­
ного тока, Максвелл по-новому подо­
шел к рассмотрению замкнутости цепей
переменного тока. Полный ток в них
всегда замкнут, т. е. на концах провод­
ника обрывается лишь ток проводимо­
сти, а в диэлектрике (вакууме) между
концами проводника имеется ток сме­
щения, который замыкает ток проводи­
мости.
Максвелл обобщил теорему о цир­
куляции вектора Н [см. (133.10)], вве­
дя в ее правую часть полный ток /полн=
= J jnomdS сквозь поверхность S, наs
тянутую на замкнутый контур L. Тогда
обобщенная теорема о циркуляции
вектора Н запишется в виде
d S. (138.4)
Выражение (138.4) справедливо все­
гда, свидетельством чего является пол­
ное соответствие теории и опыта.
§ 139. Уравнения Максвелла
для электромагнитного поля
Введение Максвеллом понятия тока
смещения привело его к завершению
созданной им макроскопической тео­
рии электромагнитного поля, позво­
лившей с единой точки зрения не толь­
ко объяснить электрические и магнит­
ные явления, но и предсказать новые,
существование которых было впослед­
ствии подтверждено.
В основе теории Максвелла лежат
рассмотренные выше четыре уравне­
ния:
1.
Электрическое поле (см. § 137)
может быть как потенциальным ( Eq),
так и вихревым (Ев), поэтому напря­
женность суммарного поля Е =_EQ+ Ев.
Так как циркуляция вектора Eq равна
нулю [см. (137.3)], а циркуляция век­
тора Ев определяется выражением
(137.2), то циркуляция вектора напря­
женности суммарного поля
= -f| | a s.
I
s т
Это уравнение показывает, что ис­
точниками электрического поля могут
быть не только электрические заряды,
но и изменяющиеся во времени магнит­
ные поля.
249
2.
Обобщенная теорема о циркуля­ где е0и |х0—соответственно электриче­
ская и магнитная постоянные; е и ц - 1
ции вектора Я [см. (138.4)]:
соответственно диэлектрическая и маг­
нитная проницаемости; г/ —удельная
dS.
проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает, I
Это уравнение показывает, что маг­ что источниками электрического поля
нитные поля могут возбуждаться либо могут быть либо электрические заряды,
движущимися зарядами (электриче­ либо изменяющиеся во времени маг­
скими токами), либо переменными нитные поля, а магнитные поля могут :
возбуждаться либо движущимися элек-_
электрическими полями.
3. Теорема Гаусса для поля D [см. трическими зарядами (электрическими!
токами), либо переменными электри* I
(89.3)]:
ческими полями. Уравнения Максвел­
(fddS = Q.
(139.1) ла не симметричны относительно элек- ]
трического и магнитного полей. Это!
а
связано с тем, что в природе существу-1
Если заряд распределен внутри зам­ ют электрические заряды, но отсутству-1
кнутой поверхности непрерывно с ют магнитные.
объемной плотностью р, то формула
Для стационарных полей (Е = const '
(139.1) запишется в виде
и В = const) уравнения Максвелла при­
мут вид
j) B d S = JpdV.
4. Теорема Гаусса для поля В [см.
(120.3)]:
JB
cLS =
0.
а
Итак, полная система уравнений
Максвелла в интегральной форме:
(fE d T = r f
l
a
S)
f pdK ;
8
v
<fHdi=fBdS=0.
Величины, входящие в уравнения
Максвелла, не являются независимыми
и между ними существует следующая
связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):
D = е0ёД В = |Хо|лЯ, j = уЁ,
250
(fEdl = 0; ! £ 3d S = Q,
L
S t
fE d l = Г,
i
f BdS = 0,
s
т.е. источниками электрического поля
в данном случае являются только элек­
трические заряды, а источниками маг­
нитного —только токи проводимости.
В данном случае электрические и маг­
нитные поля независимы друг от друга,
что и позволяет изучать отдельно посто­
янные электрическое и магнитное поля.
Воспользовавшись известными из
векторного анализа теоремами Стокса
и Гаусса
j ) A d l = JTO tAdS] f l d S = f div^dK,
i
a
a
v
можно представить полную систему
уравнений Максвелла в дифференци­
альной форме (характеризующих поле
в каждой точке пространства):
votE = —^г~>
dt
divjD = p;
I
rot H = j + 4r~‘> divi? = 0.
dt
Если заряды и токи распределены в
пространстве непрерывно, то обе фор­
мы уравнений Максвелла —интеграль­
ная и дифференциальная —эквивален­
тны. Однако если имеются поверхнос­
ти разрыва —поверхности, на которых
свойства среды или полей меняются
скачкообразно, то интегральная форма
уравнений является более общей.
Уравнения Максвелла в дифферен­
циальной форме предполагают, что все
величины в пространстве и времени
изменяются непрерывно. Чтобы дос­
тичь математической эквивалентности
обеих форм уравнений Максвелла, диф­
ференциальную форму дополняют гра­
ничными условиями, которым должно
удовлетворять электромагнитное поле
на границе раздела двух сред. Интег­
ральная форма уравнений Максвелла
содержит эти условия. Они были рас­
смотрены раньше (см. § 90,134):
Д а —Да! Д -l = ЕГ2, Вл —Да! Нт1 = Ят2
(первое и последнее уравнения отвеча­
ют случаям, когда на границе раздела
нет ни свободных зарядов, ни токов
проводимости ).
Уравнения Максвелла — наиболее
общие уравнения для электрических и
магнитных полей в покоящихся средах.
Они играют в учении об электромагне­
тизме такую же роль, как законы Нью­
тона в механике. Из уравнений Макс­
велла следует, что переменное магнит­
ное поле всегда связано с порождаемым
им электрическим полем, а переменное
электрическое поле всегда связано с по­
рождаемым им магнитным, т.е. элект­
рическое и магнитное поля неразрыв­
но связаны друг с другом —они обра­
зуют единое электромагнитное поле.
Теория Максвелла, являясь обобще­
нием основных законов электрических
и магнитных явлений, не только смог­
ла объяснить уже известные экспери­
ментальные факты, что также являет­
ся важным ее следствием, но и предска­
зала новые явления. Одним из важных
выводов этой теории явилось существо­
вание магнитного поля токов смещения
(см. § 138), что позволило Максвеллу
предсказать существование электро­
магнитных волн —переменного элек­
тромагнитного поля, распространяю­
щегося в пространстве с конечной ско­
ростью.
В дальнейшем было доказано, что
скорость распространения свободного
электромагнитного поля (не связанно­
го с зарядами и токами) в вакууме рав­
на скорости света с = 3 • 108 м/с. Этот
вывод и теоретическое исследование
свойств электромагнитных волн приве­
ли Максвелла к созданию электромаг­
нитной теории света, согласно которой
свет представляет собой также электро­
магнитные волны. Электромагнитные
волны на опыте были получены немец­
ким физиком Г.Герцем (1857—1894),
доказавшим, что законы их возбужде­
ния и распространения полностью опи­
сываются уравнениями Максвелла. Та­
ким образом, теория Максвелла была
экспериментально подтверждена.
К электромагнитному полю приме­
ним только принцип относительности
Эйнштейна, так как факт распростране­
ния электромагнитных волн в вакууме
во всех системах отсчета с одинаковой
скоростью с не совместим с принципом
относительности Галилея.
Согласно принципу относитель­
ности Эйнштейна, механические, оп­
тические и электромагнитные явления
во всех инерциальных системах отсче­
251
та протекают одинаково, т. е. описыва­
ются одинаковыми уравнениями. Урав­
нения М аксвелла инвариантны относи­
тельно преобразований Лоренца: их вид
не меняется при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к дру­
гой, хотя величины Е, В, D,H в них пре­
образуются по определенным прави­
лам.
Из принципа относительности выте­
кает, что отдельное рассмотрение элек­
трического и магнитного полей имеет
относительный смысл. Так, если элек­
трическое поле создается системой не­
подвижных зарядов, то эти заряды, яв­
ляя сь неподвиж ны ми относительно
одной инерциальной системы отсчета,
движутся относительно другой и, сле­
довательно, будут порождать не толь­
ко электрическое, но и магнитное поле.
Аналогично, неподвижный относитель­
но одной инерциальной системы отсче­
та проводник с постоянным током, воз­
буждая в каждой точке пространства
постоянное магнитное поле, движется
относительно других инерциальных
систем, и создаваемое им переменное
магнитное поле возбуждает вихревое
электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла,
ее экспериментальное подтверждение,
а также принцип относительности Эй­
нштейна приводят к единой теории
электрических, магнитных и оптиче­
ских явлений, базирующейся на пред­
ставлении об электромагнитном поле.
Контрольные вопросы
• Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли­
чается от электростатического поля?
• Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?
• Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?
• Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.
• Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора
напряженности магнитного поля.
• Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной
форме и объясните их физический смысл.
• Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен­
но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.
• Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?
• Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла?
ЧАСТЬ 4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Глава 18
МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 140. Гармонические колебания
и их характеристики
^Колебаниями называются движе­
ния или процессы, которые характериI зуются определенной повторяемостью
во времени^Колебательные процессы
широко распространены в Природе и
технике, например качание маятника
часов, переменный электрический ток
и т.д. При колебательном движении
маятника изменяется координата его
центра масс, в случае переменного
тока колеблются напряжение и ток в
цепи.
Физическая природа колебаний мо­
жет быть разной, поэтому различают
колебания механические, электромаг­
нитные и др. Однако различные коле­
бательные процессы описываются оди­
наковыми характеристиками и одина­
ковыми уравнениями. Отсюда следует
целесообразность единого подхода к
изучению колебаний различной физи­
ческой природы. Например, единый под­
ход к изучению механических и элект­
ромагнитных колебаний применялся
английским физиком Д. У. Рэлеем
(1842—1919), А.Г.Столетовым, рус­
ским инженером-экспериментатором
П.Н.Лебедевым (1866—1912). Боль­
V/
шой вклад в развитие теории колебаний
внесли Л. И. Мандельштам (1879 —
1944) и его ученики.
Колебания называются свободны­
ми (или собственными), если они со­
вершаются за счет первоначально сооб­
щенной энергии при последующем от­
сутствии внешних воздействий на ко­
лебательную систему (систему, совер­
шающую колебания).
Простейшим типом колебаний яв­
ляются гармонические колебания —
колебания, при которых колеблющая­
ся величина изменяется со временем по
закону синуса (косинуса). Рассмотре­
ние гармонических колебаний важно по
двум причинам: 1) колебания, встреча­
ющиеся в природе и технике, часто
близки к гармоническим; 2) различные
периодические процессы (процессы,
повторяющиеся через равные проме­
жутки времени) можно представить как
наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания величины s
описываются уравнением типа
s ==Acos(w0t + ф), (140.1)
где А —максимальное значение колеб­
лющейся величины, называемое ампли­
тудой колебания; и0—круговая (цик­
лическая) частота.
Периодически изменяющийся аргу­
мент косинуса (w0t + ф) называется
фазой колебания. Она определяет сме­
щение колеблющейся величины от по­
ложения равновесия в данный момент
времени t. Величина фв уравнении гар­
монических колебаний называется на­
чальной фазой. Она определяет смеще­
ние колеблющейся величины от поло­
жения равновесия в начальный момент
времени ( t = 0).
Значение начальной фазы определя­
ется выбором начала отсчета времени.
Так как косинус изменяется в пределах
от +1 до —1, то s может принимать зна­
чения от +А до —А.
Определенные состояния системы,
совершающей гармонические колеба­
ния, повторяются через промежуток
времени Т, называемый периодом ко­
лебания, за который фаза колебания
получает приращение 2-гс, т.е.
Величина, обратная периоду колеба­
ний,
1
(140.3)
т.е. число полных колебаний, совер­
шаемых в единицу времени, называет­
ся частотой колебаний. Сравнивая
(140.2) и (140.3), получим
i% —2tw.
Единица частоты —герц (Гц): 1 Гц —*
частота периодического процесса, при
которой за 1 с совершается один цикл
процесса.
Запишем первую и вторую произ-?
водные по времени от гармонически?;
колеблющейся величины s:
ds
— = - A d 0 sin(u>
0 + ф) =
= Au0 cos/u0|^ p< f ^ j ; (140.4)1
ь ф Й !?) 4" Ф ==(шц£+ ф) + 2тс,
откуда
= -Аы§ cos(u0* + ф ) =
Т= —
Ч>'
(140.2)
+А
0
-4 J
da
dt
+j4ujo
0
—Ащ
hJи г
и
Гл
1
t
( 140.5)
т. е. имеем гармонические колебания с
той же циклической частотой. Амплиту­
ды величин (140.4) и (140.5) соответ­
ственно равны Ajj0 и Аид. Фаза величи­
ны (140.4) отличается от фазы величи­
ны (140.1) на —.афазавеличины (140.5)
отличается от фазы величины ( 140.1) на
tv. Следовательно, в моменты времени,
когда s = 0, —- приобретает наибольшие
dt
значения; когда а достигает максимальdV
d2s
di2
+j4u)q
0
t
—
Аи& У
Рис. 200
254
= Aujq c o s (ш 0£ + ф + tv),
ного отрицательного значения, то
имеет наибольшее положительное зна­
чение (рис. 200; начальная фаза ф = 0).
Из выражения (140.5) следует диф-
ференциальнбе уравнение гармони­
ческих колебаний
0
+ u& = O,
Решением этого уравнения является
выражение (140.1).
Гармонические колебания изобра­
жаются графически методом враща­
ющегося вектора амплитуды, или
методом векторных диаграмм. Для
этого из произвольной точки О, выб­
ранной на оси х, под углом ср, равным
начальной фазе колебания, откладыва­
ется вектор А, модуль которого равен
амплитуде А рассматриваемого колеба­
ния (рис. 201). Если этот вектор приве­
сти во вращение с угловой скоростью ы0,
равной циклической частоте колеба­
ний, то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси хи принимать зна­
чения от —А до +А, а колеблющаяся ве­
личина будет изменяться со временем
по закону s = A cos (w0t + ip). Таким об­
разом, гармоническое колебание мож­
но представить проекцией на некото­
рую произвольно^выбранную ось векто­
ра амплитуды А, отложенного из про­
извольной точки оси под углом ip, рав­
ным начальной фазе, и вращающегося
с угловой скоростьюloqвокруг этой точки.
В физике часто применяется другой
метод, который отличается от метода
вращающегося вектора амплитуды лишь
по форме. В этом методе колеблющую­
ся величину представляют комплекс­
ным числом. Согласно формуле Эйле­
ра, для комплексных чисел
е” = cos а 4-г sin а,
(140.7)
где г = V—1 —мнимая единица. Поэто­
му уравнение гармонического колеба­
ния (140.1) можно записать в комплек­
сной форме:
5 = Ле,'(ыой"р).
(140.8)
Вещественная часть выражения
(140.8)
/
Рис. 201
(140.6)
A *\
/
1
1
/
>VP
t
3
Re(s) = A cos((jt>01 + <р) = s
представляет собой гармоническое ко­
лебание. Обозначение Re вещественной
части условимся опускать и (140.8) бу­
дем записывать в виде
| = i4ei(“et+tp).
В теории колебаний принимается,
что колеблющаяся величина s равна
вещественной части комплексного вы­
ражения, стоящего в этом равенстве
справа.
§ 141. Механические
гармонические колебания
Пусть материальная точка соверша­
ет прямолинейные гармонические ко­
лебания вдоль оси координат х около
положения равновесия, принятого за
начало координат.
Тогда зависимость координаты хот
времени t задается уравнением, анало­
гичным уравнению (140.1), где з = х:
х= A cos(w0t + tp).
(141.1)
Согласно выражениям (140.4) и
(140.5), скорость v и ускорение а колеб­
лющейся точки соответственно равны
v ——Ado sin(u)0 + ip) ==
= A j 0 cos
+ ф+ 7Ч!
21 (141.2)
a = —As>3qcos(u)0t + tp). =
'.= А щ cos(w0<+ ip + it).
255
Сила F= т а , действующая на колеб­
лющуюся материальную точку мас­
сой ш, с учетом (141.1) и (141.2) равна
Рис. 202
F = —ти§гс.
Следовательно, сила пропорцио­
нальна смещению материальной точки
из положения равновесия и направле­
на в противоположную сторону (к по­
ложению равновесия).
Кинетическая энергия материаль­
ной точки, совершающей прямолиней­
ные гармонические колебания, равна
Т = !™ 1 = ™ M sin2(uJot + ip), (141.3)
П
Е
—Е
2Ь
0
r = ^ ^ [ 1 - Cos2 (u0t + 43)]. (141.4)
Потенциальная энергия матери­
альной точки, совершающей гармони­
ческие колебания под действием упру­
гой силы F, равна
Из формул (141.4) и (141.6) следу­
ет, что Ти Пизменяются с частотой 2ц,,
т.е. с частотой, которая в два раза пре­
вышает частоту гармонического коле­
бания. На рис. 202 представлены графи­
ки зависимости х, ТиПот времени. Так
как (sin2 а) = (cos2 а) = i , то из формул
П= -| № = ^ | ^ =
_ тА^ыр сод2£Шо£
П=
(141.3), (141.5) и (141.7) следует, что
(141.5)
[1 + cos 2 (w0f + tp)]. (141.6)
Сложив (141.3) и (141.5), получим
формулу для полной энергии:
Е = Т + П= гпА2< . (141.7)
Полная энергия остается постоян­
ной, так как при гармонических коле­
баниях справедлив закон сохранения
механической энергии, поскольку упру­
гая сила консервативна.
256
m = <n>= i U
§ 142. Гармонический
осциллятор. Пружинный,
физический и математический
маятники
Гармоническим осциллятором на­
зывается система, совершающая коле­
бания, описываемые уравнением вида
(140.6):
s + и>о«= 0.
(142.1)
Колебания гармонического осцил­
лятора являются важным примером
периодического движения и служат
точной или приближенной моделью во
многих задачах классической и кванто­
вой физики. Примерами гармоническо­
го осциллятора являются пружинный,
физический и математический маятни­
ки, колебательный контур (для токов и
напряжений столь малых, что элемен­
ты контура можно было бы считать
линейными; см. § 146).
1 Шружинный маятник —это груз
массой т , подвешенный на абсолютно
упругой пружине и совершающий гар­ дящей через точку О, не совпадающую
с центром масс Стела^(рис. 203).
монические колебания под действием
Если маятник отклонен из положе­
упругой силы F = —кх, где к — ж ест­
ния равновесия на некоторый угол а, то
кость пружины.]Уравнение движения
в соответствии с уравнением динами­
маятника в отсутствие сил трения
ки вращательного движения твердого
. . .
.. к
п
тела (18.3) в отсутствие сил трения вра­
гпх = —кх, или х Н— х = U.
т
щающий момент М можно записать в
виде
Из выражений (142.1) и (140.1) сле­
дует, что пружинный маятник соверша­
М = Je = J6l=
ет гармонические колебания по закону
= —mgl sin а « —mgloi, (142.4)
х = A cos (ш0£ + ip) с циклической час­
тотой
где J — момент инерции маятника от­
носительно оси, проходящей через точ­
ЯЩ
(142.2)
ку подвеса 0 ,1 —расстояние между ней
Vт
и центром масс маятника.
и периодом
Вращающий момент стремится вер­
нуть маятник в положение равновесия
Т'= 2ъ М .
(142.3)
и в этом отношении аналогичен упру­
гой силе. Поэтому так же, как смеще­
нию и упругой силе, моменту М и уг­
Формула (142.3) справедлива для
ловому смещению а приписывают про­
упругих колебаний в пределах, в кото­
тивоположные знаки. При малых коле­
рых выполняется закон Гука [см. (21.3)],
баниях маятника (малых отклонениях
т. е. когда масса пружины мала по срав­
маятника из положения равновесия)
нению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинно­
sina « а. Тогда уравнение (142.4) мож­
го маятника, согласно (141.5) и (142.2),
но записать в виде
mgl
2
2.1Физический маятник —это твер­
дое тело, совершающее под действием
силы тяжесрги колебания вокруг не­
подвижной горизонтальной оси, прохо­
9 Курс физики
Ja. + mglo. ==0, или a + —j —а = 0.
Принимая
|ь;= | р
(142.5)
257
получим уравнение
Момент инерции математического
маятника
а + w§a = О,
идентичное с (142.1), решение которо­
го [см. (140.1)] известно:
а = а 0 cos(u>0£+ ip).
(142.6)
Из выражения (142.6) следует, что
при малых колебаниях физический ма­
ятник совершает гармонические коле­
бания с циклической частотой ш0 [см.
(142.5)] и периодом
Т = — = 2тг4Е = 2тг [4 , (142.7)
ы0
\ mgl
уд
где L - —- — приведенная длина фиmi
зического маятника.
Точка О' на продолжении прямой
ОС, отстоящая от точки О подвеса ма­
ятника на расстоянии приведенной дли­
ны L, называется центром качаний фи­
зического маятника (см. рис. 203). При­
меняя теорему Штейнера (16.11 получим
г 1
j _ J c + т Р __ ,
Jc I f
ml
ml
ml
’
т.е. ОО' всегда больше ОС. Точка под­
веса О маятника и центр качаний О'
обладают свойством взаимозаменяе­
мости: если точку подвеса перенести в
центр качаний, то прежняя точка Опод­
веса станет новым центром качаний, и
период колебаний физического маят­
ника не изменится.
3.[М атематический м аятник —
это идеализированная система, состоя­
щая из материальной дочки массой т ,
подвешенной на нерастяжимой невесо­
мой нити, и колеблющаяся под действи­
ем силы тяжести, i
Хорошим приближением математи­
ческого маятника является небольшой
тяжелый шарик, подвешенный на тон­
кой длинной нити.
258
J = ml2,
(142.8)
где I —длина маятника.
Так как математический маятник
можно представить как частный случай
физического маятника, предположив,
что вся его масса сосредоточена в одной
точке —центре масс, то, подставив вы­
ражение (142.8) в формулу (142.7), по­
лучим выражение для периода малых
колебаний математического маятника
Т = 2 iv ^ .
(142.9)
Сравнивая формулы (142.7) и (142.9),
видим, что если приведенная длина L
физического маятника равна длине I
математического маятника, то периоды
колебаний этих маятников одинаковы.
Следовательно, приведенная длина
физического маятника — это длина
такого математического маятника, пе­
риод колебаний которого совпадает с
периодом колебаний данного физичес­
кого маятника.
§ 143. Свободные
гармонические колебания
в колебательном контуре
Среди различных физических явле­
ний особое место занимают электро­
магнитные колебания, при которых
электрические величины (заряды, токи)
периодически изменяются и которые
сопровождаются взаимными превраще­
ниями электрического и магнитного
полей. Для возбуждения и поддержа­
ния электромагнитных колебаний ис­
пользуется колебательный контур —
цепь, состоящая из включенных после­
довательно катушки индуктивностью L,
конденсатора емкостью С и резистора
сопротивлением R.
Рассмотрим последовательные ста­
дии колебательного процесса в идеали­
зированном контуре, сопротивление
которого пренебрежимо мало (R и 0).
Для возбуждения в контуре колебаний
конденсатор предварительно заряжают,
сообщая его обкладкам заряды ± Q. Тог­
да в начальный момент времени t — 0
(рис. 204, а) между обкладками конден­
сатора возникнет электрическое поле,
щ
энергия которого
[см. (95.4)]. Если
замкнуть конденсатор на катушку ин­
дуктивности, он начнет разряжаться, и
в контуре потечет возрастающий со вре­
менем ток I. В результате энергия элек­
трического поля будет уменьшаться, а
энергия магнитного поля катушки (она
LQ\
равна
) —возрастать.
Так как R та 0, то, согласно закону
сохранения энергии, полная энергия
Е = П„
ё-
Е = Т„
!
Е= п„
Е = Тт
Рис. 204
W=— +
—const,
2С
2
так как она на нагревание не расходуТ
ется. Поэтому в момент t = —, когда
конденсатор полностью разрядится,
энергия электрического поля обраща­
ется в нуль, а энергия магнитного поля
(а следовательно, и ток) достигает наи­
большего значения (рис. 204, б). С это­
го момента ток в контуре будет убывать,
следовательно, начнет ослабевать маг­
нитное поле катушки, и в ней будет ин­
дуцироваться ток, который течет (со­
гласно правилу Ленца) в том же направ­
лении, что и ток разрядки конденсато­
ра. Конденсатор начнет перезаряжать­
ся, возникнет электрическое поле, стре­
мящееся ослабить ток, который в кон­
це концов обратится в нуль, а заряд на
обкладках конденсатора достигнет мак­
симума (рис. 204, в). Далее те же про­
цессы начнут протекать в обратном на­
правлении (рис. 204, г) и система к мо­
менту времени t = Г придет в первона­
чальное состояние (см. рис. 204, а). Пос­
ле этого начнется повторение рассмот­
ренного цикла разрядки и зарядки кон­
денсатора.
Если бы потерь энергии не было, то
в контуре совершались бы периодичес­
кие незатухающие колебания, т. е. пери­
одически изменялись (колебались) бы
заряд Q на обкладках конденсатора,
напряжение U на конденсаторе и сила
тока I, текущего через катушку индук­
тивности. Следовательно, в контуре
возникают электромагнитные колеба­
ния, причем колебания сопровождают­
ся превращениями энергий электричес­
кого и магнитного полей.
Электромагнитные колебания в ко­
лебательном контуре можно сопоста­
вить с механическим колебаниями ма­
ятника (рис. 204), сопровождающими259
ся взаимными превращениями потен­
циальной и кинетической энергий ма­
ятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора ( — )
20
аналогична потенциальной энергии ма­
ятника, энергия магнитного поля катушки ( —2—) —кинетической энергии,
сила тока в контуре —скорости движе­
ния маятника. Индуктивность L игра­
ет роль массы т , а сопротивление кон­
тура —роль силы трения, действующей
на маятник
Согласно закону Ома, для контура,
содержащего катушку индуктивнос­
тью L, конденсатор емкостью С и рези­
стор сопротивлением R,
где IR — напряжение на резисторе;
Uc
—напряжение на конденсатоdI
ре;
——L— — ЭДС самоиндукции,
U*
возникающая в катушке при протека­
нии в ней переменного тока —един­
ственная ЭДС в контуре).
Следовательно,
(143.1)
Разделив (143.1) на I и подставив
/ = Q и — = Q, получим дифференци­
ал
альное уравнение колебаний заряда Q
в контуре:
0+ f< ?+ ^ Q = a
(143.2)
В данном колебательном контуре
внешние ЭДС отсутствуют, поэтому
рассматриваемые колебания представ­
ляют собой свободные колебания (см.
§ 140). Если сопротивление Я = 0, то
свободные электромагнитные колеба­
ния в контуре являются гармонинески260
ренциальное уравнение свободных гар­
монических колебаний заряда в контуре:
Q + jc Q = a
Из выражений (142.1) и (140.1) вы­
текает, что заряд Qсовершает гармони­
ческие колебания по закону
Q=Qmcos (u*,<+ «р), (143.3)
где Qm—амплитуда колебаний заряда
конденсатора с циклической частотой
ojq, называемой собственной часто­
той контура, т.е.
( ШЛ)
и периодом
т + и с = К,
L ~ + IR + Q = 0.
at
С
ми. Тогда из (143.2) получим диффе­
Г = 2W LC.
(143.5)
Формула (143.5) впервые была по­
лучена У. Томсоном и называется фор­
мулой Томсона. Сила тока в колеба­
тельном контуре [см. (140.4)]
/ = $ = -W0Gmsin(uot + ф) =
= /„cos(u,0f + 4>+ §), (143.6)
где /ш= w0Qm—амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
= ^ -со вЫ + ф ) =
= Umcos(u0i + ф),
(143.7)
Q — амплитуда напряже­
где Um= —
ния.
Из выражений (143.3) и (143.6) вы­
текает, что колебания тока / опережа­
ют по фазе колебания заряда Q на —,
т.е., когда ток достигает максимально­
го значения, заряд (а также и напряже­
ние [см. (143.7)] обращается в нуль, и
наоборот.
Рис. 205
§ 144. Сложение гармонических
колебаний одного направления
и одинаковой частоты. Биения
Колеблющееся тело может участво­
вать в нескольких колебательных про­
цессах, тогда необходимо найти резуль­
тирующее колебание, иными словами,
колебания необходимо сложить. Сло­
жим гармонические колебания одного
направления и одинаковой частоты:
\щ= Ai cos(u)0t + фД
■x2 = A2 c o s ( w 0t + tp2)>
воспользовавшись методом вращающе­
гося вектора амплитуды (см. § 140). По­
строим векторные диаграммы этих ко­
лебаний (рис. 205). Так как векторы Ах
и А2 вращаются с одинаковой угловой
скоростью ы0, то разность фаз (ф2 — <Pi)
между ними остается постоянной. Оче­
видно, что уравнение результирующе­
го колебания будет
х = хх4- х2 = i4cos(u0£+ ip). (144.1)
В выражении (144Д) амплитуда А и
начальная фаза ф соответственно зада­
ются соотношениями
А2 = А2 +А2 + 2АхА2 cos(ip2 —ipi);
_ Д зтф ! 4- А2sinф2 (144.2)
Ai cosipj + A2 cosip2 ’
Таким образом, тело, участвуя в двух
гармонических колебаниях одного на­
правления и одинаковой частоты, совер­
шает также гармоническое колебание в
том же направлении и с той же часто­
той, что и складываемые колебания.
Амплитуда результирующего колеба­
ния зависит от разности фаз (ф2 — фх)
складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (144.2)
в зависимости от разности фаз (ф2—фх):
1) ф2 —ф1 = ±2rair ( т = 0,1, 2, ...),
тогда А = Ai + А2, т.е. амплитуда ре­
зультирующего колебания А равна сум­
ме амплитуд складываемых колебаний;
2)ф2—фх=± (2 т + 1)тт ( т = 0 , 1,2 ,...),
тогда А = \АХ- А2\, т . е. амплитуда ре­
зультирующего колебания равна разно­
сти амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес пред­
ставляет случай, когда два складывае­
мых гармонических колебания одина­
кового направления мало отличаются
по частоте. В результате сложения этих
колебаний получаются колебания с пе­
риодически изменяющейся амплиту­
дой. Периодические изменения ампли­
туды колебания, возникающие при сло­
жении двух гармонических колебаний
с близкими частотами, называются би­
ениями.
Пусть амплитуды складываемых ко­
лебаний равны А, а частоты равны ши
u) + Aw, причем Дш -С и. Начало отсче­
та выберем так, чтобы начальные фазы
обоих колебаний были равны нулю:
%i = A cos ui,
х2 = Acos(u + Дш)£.
Складывая эти выражения и учитыДш
„
вая, что - у <си, найдем .
х = ^A co s^p ij coswt. (144.3)
Результирующее колебание (144.3)
можно рассматривать как гармониче261
ское с частотой и, амплитуда кото­
рого изменяется по следующему пери­
одическому закону:
Ас. =
_.
Дш.
2Acos-^-t
(144.4)
Частота изменения А6 в два раза
больше частоты изменения косинуса
(так как берется по модулю), т. е. час­
тота биений равна разности частот
складываемых колебаний:
U)g = Ди).
Период биений
2тт
Та =
Ди'
Характер зависимости (144.3) пока­
зан на рис. 206, где сплошные линии
дают график результирующего колеба­
ния (144.3), а огибающие их штрихо­
вые —график медленно меняющейся
по уравнению (144.4) амплитуды.
Определение частоты тона [звука оп­
ределенной высоты (см. § 158)] биений
между эталонным и измеряемым колеба­
ниями —наиболее широкоприменяемый
на практике метод сравнения измеряемой
величины с эталонной. Метод биений
используется для настройки музыкаль­
ных инструментов, анализа слуха и т.д.
Любые сложные периодические ко­
лебания s —f(t) можно представить в
виде суперпозиции одновременно совер­
шающихся гармонических колебаний с
различными амплитудами, различными
начальными фазами, а также частотами,'
кратными циклической частоте ш0:
a = /(£) = ф + Л cos(u0£+ Фх) +
+ Ai cos(2u0£+ ip2) + •*•
... + Апc©s(mo0t + ф„).
Представление периодической фун­
кции в виде (144.5) связывают с поня­
тием гармонического анализа слож­
ного периодического колебания, или
разложения Фурье1. Слагаемые ряда
Фурье, определяющие гармонические,
колебания с частотами ш0,2ш0, Зш0, ..., на­
зываются первой (или основной), вто­
рой, третьей и т. д. гармониками слож­
ного периодического колебания.
§ 145. Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний
Рассмотрим результат сложения двух-'
гармонических колебаний одинаковой
частоты из, происходящих во взаимно
перпендикулярных направлениях вдоль
осей х и у. Для простоты начало отсче­
та выберем так, чтобы начальная фаза
первого колебания была равна нулю, и
запишем
х = A cosuit,
coswf
(144.5)
у = В cos(uit + ot),
(145.1)
где а —разность фаз обоих колебаний;
А и В —амплитуды складываемых ко­
лебаний.
Уравнение траектории результиру­
ющего колебания находится исключе­
нием из выражений (145.1) параметра t.
1Ж. Фурье (1768—1830) —французский уче-
Рис. 206
262
Записывая складываемые колебания в
виде
х
—= cos иг,
А
х
У-= cos(u)t 4- а ) = cos ut cos а —sin wi sin а
В
v
и заменяя во втором уравнении cos u)t
на и sinut на
получим пос­
ле несложных преобразований уравне­
ние эллипса, оси которого ориентирова­
ны относительно координатных осей
произвольно:
"lT- TD COSa + "D2 = sin2a . (145.2)
А2
В2
Так как траектория результирующе­
го колебания имеет форму эллипса, то
такие колебания называются эллипти­
чески поляризованными.
Ориентация эллипса и размеры его
осей зависят от амплитуд складывае­
мых колебаний и разности фаз а. Рас­
смотрим некоторые частные случаи,
представляющие физический интерес:
1) a = 2 т — (т = 0, ±1, ±2, ...).
В данном случае эллипс вырождается в
отрезок прямой
y = ± jx ,
(145.3)
где знак «+» соответствует нулю и
четным значениям т (рис. 207, а), а
знак « —» — нечетным значениям т
а
m = 0, ±2, i4 , ...
б
in—zfcl, ±3,...
Рис. 208
(рис. 207, б). Результирующее колеба­
ние является гармоническим колебани­
ем с частотой ши амплитудой у/А2+В2 ,
совершающимся вдоль прямой [см.
(145.3)], составляющей с осью х угол
Ф=arctg cos miTj. В данном случае
имеем дело с линейно поляризованны­
ми колебаниями ;
2)
a= (2m +l)| ( т = 0, ±1, ±2,...).
В данном случае уравнение примет вид
£ +£ > !•
(145.4)
Это уравнение эллипса, оси которого
совпадают с осями координат, а его по­
луоси равны соответствующим амп­
литудам (рис. 208). Кроме того, если
А = В, то эллипс [см. (145.4)] вырож­
дается в окружность. Такие колебания
называются циркулярно поляризован­
ными колебаниями или колебаниями,
поляризованными по кругу.
Если частоты складываемых взаим­
но перпендикулярных колебаний раз­
личны, то замкнутая траектория ре­
зультирующего колебания довольно
сложна. Замкнутые траектории, про­
черчиваемые точкой, совершающей од­
новременно два взаимно перпендику­
лярных колебания, называются фигу­
рами Лиссаж у1. Вид этих кривых за­
висит от соотношения амплитуд, частот
и разности фаз складываемых колебаг
1
физик.
Ж.Лиссажу (1822—1880) — французский
263
а=0
тг/4
ний. На рис. 209 представлены фигуры
Лиссажу для различных соотношений
частот (указаны слева) и разностей фаз
(указаны вверху; разность фаз прини­
мается равной а).
Отношение частот складываемых
колебаний равно отношению числа пе­
ресечений фигур Лиссажу с прямыми,
параллельными осям координат. По
виду фигур можно определить неизве­
стную частоту по известной или опре­
делить отношение частот складывае­
мых колебаний. Поэтому анализ фигур
Лиссажу —широко используемый ме­
тод исследования соотношений частот
и разности фаз складываемых колеба­
ний, а также формы колебаний.
264
■ф
3 it / 4
§ 146. Дифференциальное
уравнение свободных затухающих
колебаний (механических
и электромагнитных)
и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухаю­
щие колебания —колебания, амплиту­
ды которых из-за потерь энергии реаль­
ной колебательной системой с течени­
ем времени уменьшаются. Простейшим
механизмом уменьшения энергии коле­
баний является ее превращение в теп­
лоту вследствие трения в механических
колебательных системах, а также оми­
ческих потерь и излучения электромаг-
нитной энергии в электрических коле­
бательных системах.
Закон затухания колебаний опреде­
ляется свойствами колебательных сис­
тем. Обычно рассматривают линейные
системы — идеализированные реаль­
ные системы, в которых параметры,
определяющие физические свойства
системы, в ходе процесса не изменяют­
ся. Линейными системами являются,
например, пружинный маятник при ма­
лых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный
контур, индуктивность, емкость и со­
противление которого не зависят ни от
тока в контуре, ни от напряжения.
Различные по своей природе линей­
ные системы описываются идентичны­
ми линейными дифференциальными
уравнениями, что позволяет подходить
к изучению колебаний различной фи­
зической природы с единой точки зре­
ния, а также проводить их моделирова­
ние, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний
линейной системы задается в виде
(146.3)
Решение уравнения (146.3) зависит
от знака коэффициента перед искомой
величинойГ Рассмотрим случай, когда
этот коэффициент положителен:
и2 ==ш§ —б2
(146.4)
[если (ш§ —б2) > 0, то такое обозначе­
ние мы вправе сделать]. Тогда получим
уравнение типа (142.1) й + ш2м = 0, ре­
шением которого является функция
n= i40cos (ui .+ tp) [см. (140.1)]. Таким
образом, решение уравнения (146.1) в
случае малых затуханий (б2 <С ш§)
s = -A0e_8tcos (ioi + ip), (146.5)
где
А = A0e~6t
(146.6)
—амплитуда затухающих колеба­
ний; А0 —начальная амплитуда.
Зависимость (146.5) показана на
рис. 210 сплошной линией, а зависи­
мость (146.6) —штриховыми линиями.
Промежуток времени т = - , в течение
о
которого амплитуда затухающих коле­
баний уменьшается в е раз, называется
временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность
колебаний, поэтому затухающие коле­
бания не являются периодическими и,
строго говоря, к ним неприменимо по­
нятие периода или частоты. Однако
если затухание мало, то можно услов­
но пользоваться понятием периода как
промежутка времени между двумя пос■Л
8 = AffiГм соз(ш* + <р)
А = Дое-м
D
1
0 1
1/ V/
*
4)
■ч;
?
4
1^М Т
II
•ч:
§ + 26ж + ^ = 0- (1461)
где з — колеблющаяся величина, опи­
сывающая тот или иной физический
процесс; 6 = const —коэффициент за­
тухания, ш0 — циклическая частота
свободных незатухающих колебаний
той же колебательной системы, т.е. при
8 = 0 (при отсутствии потерь энергии)
называется собственной частотой
колебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмот­
рим в виде
s= e"64
(146.2)
где и = u(t).
После нахождения первой и второй
производных выражения (146.2) и под­
становки их в (146.1) получим
й + (ш§ —62)и = 0.
265
ледующими максимумами (или мини­
мумами) колеблющейся физической
величины (см. рис. 210). Тогда период
затухающих колебаний с учетом фор­
мулы (146.4) равен
j,
_ 2ту _
2тг
Если A(t) и A(t+T) —амплитуды
двух последовательных колебаний, со­
ответствующих моментам времени, от­
личающимся на период, то отношение
Ж0 _ сы
A(t 4- Т)
называется декрементом затухания,
а его логарифм
е = 1п—
A{t + Т)
=
=- =
т
N'
(146.7)
— логарифмическим декрементом
затухания; j\Te —число колебаний, со­
вершаемых за время уменьшения амп­
литуды в е раз. Логарифмический дек­
ремент затухания —постоянная вели­
чина для данной колебательной систе­
мы.
Для характеристики колебательной
системы пользуются понятием доб­
ротности Q, которая при малых зна­
чениях логарифмического декремента
« - ¥ - * * - й И * (146'8)
(так как затухание мало ( б2 «С ш§), то
Т принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что
добротность пропорциональна числу
колебаний Nt, совершаемых системой
за время релаксации.
Выводы, полученные для свободных
затухающих колебаний линейных сис­
тем, применимы для колебаний различ­
ной физической природы —механиче­
266
ских (в качестве примера рассмотрим
пружинный маятник) и электромагнит­
ных (в качестве примера рассмотрим
электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колеба
ния пружинного маятника. Для пру­
жинного маятника (см. § 142) массой тп,
совершающего малые колебания под
действием упругой силы F= —kx, сила
трения пропорциональна скорости, т. е.
Ftp = - г » = ~гх,
где г —коэффициент сопротивления;
знак » указывает на противополож­
ные направления силы трения и скоро­
сти.
При данных условиях закон движе­
ния маятника будет иметь вид
т х = —kx —ri.
(146.9)
Используя формулу ш0 =
[см.
Vт
(142.2)] и принимая, что коэффициент
затухания
(146.10)
получим идентичное уравнению (146.1)
дифференциальное уравнение затухаю­
щих колебаний маятника:
х + 28х + uqZ = 0.
Из выражений (146.1) и (146.5) вы­
текает, что колебания маятника подчи­
няются закону
х= A0e~6tcos(u)t + ip),
где частота
[см. (146.4)].
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10), Q =
.
2. Свободные затухающие колеба
ния в электрическом колебательном
контуре. Дифференциальное уравне­
ние свободных затухающих колебаний
заряда в контуре (при
[см. (143.2)]
0) имеет вид
^ +T ^ T c Q= 0-
Q + 2bQ + ojqQ —0.
Из выражений (146.1) и (146.5) выте­
кает, что колебания заряда совершают­
ся по закону
(146.12)
Q = Qme~bt COS(ш£ + ip)
Учитывая выражение (143.4) и прини­
мая коэффициент затухания
с частотой, согласно (146.4),
8= А
(146.11)
2L
дифференциальное уравнение (143.2)
можно записать в идентичном уравне­
нию (146.1) виде
меньшей собственной частоты конту­
ра ш0 [см. (143.4)]. При R = 0 формула
(146.13) переходит в (143.4).
<ш лз>
Таблиц а7
Колебания
электромагнитные
механические
...
г
к
п
жН— х-\— х —и
«+! е + ^ о = °
Дифференциальное
Дифференциальное
т
т
уравнение
уравнение
х + 26ж+ ш§х = 0
Q + 26Q + wgQ = 0
Масса
т
Индуктивность
катушки
L
Коэффициент
сопротивления
Коэффициент
жесткости
Смещение
Скорость
г
Сопротивление
R
Кинетическая энергия
Q
I
Q2
2С
LI2
2
У У н
1
I*-3
I!
3
Собственная частота
пружинного маятника
Циклическая частота
затухающих колебаний
Коэффициент
затухания
Добротность пружин­
ного маятника
1
С
1?*м н
Потенциальная энергия
Обратная величина
емкости
X
Заряд
V
Сила тока
Энергия электрическо­
го поля конденсатора
TTIV2
Энергия магнитного
поля катушки
2
Собственная частота
к_
“ »= J m
колебательного контура
\2 Циклическая частота
—
затухающих колебаний
ш Vтп \2тп)
Коэффициент
6= ~
2т
затухания
п _ Wfl. _ Vfcm Добротность колеба­
тельного контура
4 ~ 26 “
к
6= 4
2L
п—
1 [l
4 26 R\C
267
Логарифмический декремент зату­
хания определяется формулой (146.7),
а добротность колебательного контура
[см. (146.8)]
I fp
(14614)
В табл. 7 произведено сопоставление
затухающих колебаний пружинного
маятника и колебаний в электрическом
колебательном контуре.
В заключение отметим, что при уве­
личении коэффициента затухания 6пе­
риод затухающих колебаний растет и
при 6 = Ц) обращается в бесконечность,
т.е. движение перестает быть периоди­
ческим. В этом случае колеблющаяся
величина асимптотически приближает­
ся к нулю, когда t —» оо. Данный про­
цесс будет апериодическим, а не коле­
бательным.
Огромный интерес для техники пред­
ставляет возможность поддерживать
колебания незатухающими. Для этого
необходимо восполнять потери энергии
реальной колебательной системы. Осо­
бенно важны и широко применимы так
называемые автоколебания —незату­
хающие колебания, поддерживаемые в
диссипативной системе за счет посто­
янного внешнего источника энергии,
причем свойства этих колебаний опре­
деляются самой системой.
Автоколебания принципиально от­
личаются от свободных незатухающих
колебаний, происходящих без последу­
ющих внешних воздействий, а также от
вынужденных колебаний (см. § 147),
происходящих под действием периоди­
ческой силы. Автоколебательная систе­
ма сама управляет внешними воздей­
ствиями, обеспечивая согласованность
поступления энергии определенными
порциями в нужный момент времени (в
такт с ее колебаниями).
268
Примером автоколебательной сис-'
темы могут служить часы. Храповой
механизм подталкивает маятник в такт
с его колебаниями. Энергия, переда-*
ваемая при этом маятнику, берется
либо за счет раскручивающейся пру­
жины, либо за счет опускающегося
груза. Колебания воздуха в духовых
инструментах и органных трубах так­
же возникают вследствие автоколе­
баний, поддерживаемых воздушной
струей.
Автоколебательными системами яв­
ляются также двигатели внутреннего
сгорания, паровые турбины, ламповые
генераторы и т.д.
§ 147. Дифференциальное
уравнение вынужденных
колебаний (механических
и электромагнитных)
и его решение
Чтобы в реальной колебательной
системе получить незатухающие коле­
бания, надо компенсировать потери
энергии. Такая компенсация возможна
с помощью какого-либо периодически
действующего фактора X(t), изменяю­
щего по гармоническому закону:
X(t) = XflCoswi.
Если рассматривать механические
колебания, то роль X(t) играет внешняя
вынуждающая сила
F= F0coBwt.
(147.1)
С учетом (147.1) закон движения
для пружинного маятника (146.9) запи­
шется в виде
т х = —kx —гх 4- F0 coewt.
Используя (142.2) и (146.10), при­
дем к уравнению
x + 26i + u§x = — cosui. (147.2)
m
Если рассматривать электрический
колебательный контур, то роль X(t) иг­
рает подводимая к контуру внешняя
периодически изменяющаяся по гармо­
ническому закону ЭДС или переменное
напряжение
U = Umcosu)t.
(147.3)
Тогда уравнение (143.2) с учетом
(147.3) можно записать в виде
Q+ —Q+ ——Q = —^-cosutf.
* L * LC*
L
Используя (143.4) и (146.11), при­
дем к уравнению
Q + 28Q + ugQ = -^-cosuf. (147.4)
X/
Гколебания, возникающие под дей­
ствием внешней периодически изменя­
ющейся силы или внешней периодиче­
ски изменяющейся ЭДС, называются
соответственно вынужденными меха­
ническими и вынужденными элект­
ромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно
свести к линейному неоднородному
дифференциальному уравнению
+ 28 — + uqS = х0 cos ыЬ, (147.5)
сit
применяя впоследствии его решение
для вынужденных колебаний конкрет­
ной физической природы (х0 в случае
ной форме (см. § 140). Заменим правую
часть уравнения (147.5) на комплекс­
ную величину х0е'ш(:
s + 25s + ujjjS = x0eIU,t.
Частное решение этого уравнения бу­
дем искать в виде
s = Sqe'?*.
Подставляя выражение для s и его про­
изводных ( i = n]s0eIT1{, s = —■
r^soe"1* ) в
уравнение (147.6), получим
S o e ^ H l2 + 2*8т] + Uq) — х0еш1. (147.7)
Так как это равенство должно быть
справедливым для всех моментов вре­
мени, то время t из него должно исклю­
чаться. Отсюда следует, что т] = ш. Учи­
тывая это, из уравнения (147.7) найдем
величину s0 и умножим ее числитель и
знаменатель на (ш§ —ы2 —2г8ш):
„ ______ хо
0
_
_
(wjj —ит) + 2г8ш
(u)q—ш2) —2гбш
0 (ц>о —ш2)2 +482ы2
Это комплексное число удобно пред­
ставить в экспоненциальной форме:
s0 = Ае~^,
где
dt1
механических колебаний равно —, в
П чт
случае электромагнитных---- р-).
Jj
Решение уравнения (147.5) равно
сумме общего решения (146.5) одно­
родного уравнения (146.1) и частного
решения неоднородного уравнения.
Частное решение найдем в комплекс­
(147.6)
А = -г=------- ---------= ; (147.8)
■^(шо —и2)2 + 482ш2
Ф = arctg - ■
.
(147.9)
U jj — Ц
Следовательно, решение уравнения
(147.6) в комплексной форме примет
вид
s=
Его вещественная часть, являющая­
ся решением уравнения (147.5), равна
269
s = A cos (Cot —ф),
(147.10)
2’
где А и фзадаются соответственно фор­
мулами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение
неоднородного уравнения (147.5) име­
ет вид
и>,/Д2 +(ш£г —
(147.13)
и)С
шш
х0
_
-у/(шо - W2)2 + 4б2ш2
х cos;(io£—arctg ■
{
. 1.
—u>2J
(147.11)
Дифференцируя Q= Qmcos(w<- a)
по t, найдем силу тока в контуре при
установившихся колебаниях:
I = —u>Qmsin(wt —a) =:
Решение уравнения (147,5) равно
сумме общего решения однородного
уравнения
= /mcos|ut —a + ^ j, (147.14)
= Д)е-6<cos(b}xt —фх) (147.12)
[см. (146.5)] и частногорешения (147.11).
Слагаемое (147.12) играет существен­
ную роль только в начальной стадии
процесса (при установлении колеба­
ний) до тех пор, пока амплитуда вынуж­
денных колебаний не достигнет значе­
ния, определяемого равенством (147.8).
Графически вынужденные колебания
представлены на рис. 211. Следователь­
но, в установившемся режиме вынуж­
денные колебания происходят с часто­
той w и являются гармоническими; ам­
плитуда и фаза колебаний, определяе­
мые выражениями (147.8) и (147.9),
также зависят от ш.
Запишем формулы (147.10), (147.8)
и (147.9) для электромагнитных коле­
баний, учитывая, что
= Мй [см.
LC
(143.4)] и б * 4 [см. (146.11)]:
где
Рис. 211
Из формулы (147.16) вытекает, что
ток отстает по фазе от напряжения
ZJu
ImЩ
=
.(147.15)
Выражение (147.14) может быть за­
писано в виде
/= 4 cos (wt-ф ),
где ф= a — —сдвиг по фазе между
током и приложенным напряжением
[см. (147.3)].
В соответствии с выражением
(147.13)
tg4> = t g ^ * - - j=
•
Щ ----1_
i — i - = ------ т . (147.16)
tga
R
(ф > 0), если u L >
Установление
колебаний
270
, и опережает наЫС
пряжение (ф < 0), если wL<——.
ьзС
Формулы (147.15) и (147.16) мож­
но также получить с помощью вектор­
ной диаграммы (см. § 149).
§ 148. Амплитуда и фаза
вынужденных колебаний
(механических
и электромагнитных).
Резонанс
Рассмотрим зависимость амплиту­
ды А вынужденных колебаний от час­
тоты ш. Механические и электромаг­
нитные колебания будем рассматривать
одновременно, называя колеблющуюся
величину либо смещением (х) колеблю­
щегося тела из положения равновесия,
либо зарядом (Q) конденсатора.
Из формулы (147.8) следует, что
амплитуда А смещения (заряда) имеет
максимум. Чтобы определить резонан­
сную ч астоту шрез —частоту, при ко­
торой амплитуда А смещения (заряда)
достигает максимума, — нужно найти
максимум функции (147.8), или, что то
же самое, минимум подкоренного вы­
ражения. Продифференцировав подко­
ренное выражение по ш,и приравняв его
нулю, получим условие, определяющее
или близкой собственной частоте коле­
бательной системы, называется резо­
нансом (соответственно механи­
ческим или электрическим). При
б2 и>о значение шрез практически со­
впадает с собственной частотой и>0коле­
бательной системы. Подставляя (148.1)
в формулу (147.8), получим
Арез= ---- Ц
1
(148.2)
На рис. 212 приведены зависимости
амплитуды вынужденных колебаний от
частоты при различных значениях 8. Из
(148.1) и (148.2) вытекает, что чем
меньше 8, тем выше и правее лежит мак­
симум данной кривой. Если ш —» 0, то
все кривые [см. также (147.8)] достига­
ют одного и того же, отличного от нуля,
предельного значения — которое называют статическим отклонением.
В случае механических колебаний Щг =
F0
"ft
= — в случае электромагнитных —
-тЦг. Если ш—>0, то все кривые асимпхли0
тотически стремятся к нулю. Приведен­
ная совокупность кривых называется
резонансными кривыми.
Шрез-
—4(ыц —ш2)ш+ 882w = 0.
Это равенство выполняется при ы = 0,
±>/ш§ —282, у которых только лишь по­
ложительное значение имеет физиче­
ский смысл. Следовательно, резонанс­
ная частота
и > р е з= л й -2 6 2.
(148.1)
Явление резкого возрастания амп­
литуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей
силы (частоты вынуждающего пере­
менного напряжения) к частоте, равной
271
максимальна при шрез = u0 и равна
т.е. чем больше коэффициент затуха­
ния 6, тем ниже максимум резонансной
кривой. Используя формулы (142.2),
(146.10) и (143.4), (146.11), получим,
что амплитуда скорости при механиче­
ском резонансе равна
(А
V,ax —З
'О_
V^v/m
пс
2Ь
Г
>
а амплитуда тока при электрической4'
резонансе
Из формулы (148.2) вытекает, что
при малом затухании (6? -С ш§) резо­
нансная амплитуда смещения (заряда)
А
— хо
ц о хо = о х°
26ш0 26 Uo
Uq,’, •
где Q —добротность колебательной
системы [см. (146.8)];
—раССМОТреНЫо
ное выше статическое отклонение.
Отсюда следует, что добротность Q
характеризует резонансные свойства
колебательной системы: чем больше Q,
тем больше А^.
На рис. 213 представлены резонанс­
ные кривые для амплитуды скорости
(тока). Амплитуда скорости (тока)
1X3
yj(Wq —u*)* + 462w2
=jM
- S i +46,
(Л \
—Ш. —
И/Л"“ ~ 28 ~ R '
Из выражёния tgip =
0 [см.
Ц) —UT
(147.9)] следует, что если затухание в
системе отсутствует (8 = 0), то только
в этом случае колебания и вынуждаю*
щая сила (приложенное переменное на­
пряжение) имеют одинаковые фазы; во
всех других случаях ip ** 0.
Зависимость ip от шпри разных ко­
эффициентах 8 Графически представле­
на на рис. 214, из которого следует, что
при изменении и изменяется и сдвиг
фаз ф. Из формулы (147.9) вытекает,
что при ы = 0 ip = 0, а при и = ш0 не
зависимо от значения коэффициента
затухания ip=^-, т.е. сила (напряже­
ние) опережает по фазе колебания на
При дальнейшем увеличении и сдвиг
фаз возрастает и при ш ш0 ip —*it, т. е.
фаза колебаний почти противополож­
на фазе внешней силы (переменного на­
пряжения). Семейство кривых, изобра­
женных на рис. 214, называется фазо­
выми резонансными кривыми.
Явления резонанса могут быть как
вредными, так и полезными. Например,
при конструировании машин и различ­
ного рода сооружений необходимо, что­
бы собственная частота их колебаний
272
не совпадала с частотой возможных
внешних воздействий, в противном
случае возникнут вибрации, которые
могут вызвать серьезные разрушения.
С другой стороны, наличие резонанса
позволяет обнаружить даже очень сла­
бые колебания, если их частота совпа­
дает с частотой собственных колебаний
прибора. Так, радиотехника, приклад­
ная акустика, электротехника исполь­
зуют явление резонанса.
§ 149. Переменный ток
Установившиеся вынужденные элек­
тромагнитные колебания (см. § 147)
можно рассматривать как протекание в
цепи, содержащей резистор, катушку
индуктивности и конденсатор перемен­
ного тока. Переменный ток можно
считать квазистационарным, т.е. для
него мгновенные значения силы тока во
всех сечениях цепи практически одина­
ковы, так как их изменения происходят
достаточно медленно, а электромагнит­
ные возмущения распространяются по
цепи со скоростью, равной скорости
света.
Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон
Ома и вытекающие из него правила
Кирхгофа, которые будут использова­
ны применительно к переменным то­
кам (эти законы уже использовались
при рассмотрении электромагнитных
колебаний).
Рассмотрим последовательно про­
цессы, происходящие на участке цепи,
содержащем резистор, катушку индук­
тивности и конденсатор, к концам ко­
торого приложено переменное напря­
жение
17= tfmcosu*,
(149.1)
где Um—амплитуда напряжения.
а
6
Рис. 215
1. Переменный ток, текущий через
резистор сопротивлением R (L —>О,
С —>0) (рис. 215, а). При выполнении
условия квазистационарности ток через
резистор определяется законом Ома:
I =^
R
R
cos u i = Imcosu)t,
Т = Um
где амплитуда силы тока /т
Для наглядного изображения соот­
ношений между переменными токами
и напряжениями воспользуемся мето­
дом векторных диаграмм. На рис. 215, б
дана векторная диаграмма амплитуд­
ных значений тока/т и напряжения ищ
на резисторе (сдвиг фаз между /т и Um
равен нулю).
2. Переменный ток, текущий через
катушку индуктивностью L (R —* 0,
С~->0) (рис. 216, а). Если в цепи прило­
жено переменное напряжение (149.1), то
в ней потечет переменный ток, в резуль­
тате чего возникнет ЭДС самоиндук­
ции [см. (126.3)] Г, = -Ъ ^ - . Тогда заdt
кон Ома [см. (100.3)] для рассматрива­
емого участка цепи имеет вид
Umcosurf —L— = 0,
dt
откуда
L ~ Я Umcoswt.
at
а
L
б
(149.2)
иь=шЫт
Рис. 216
273
Так как внешнее напряжение приложе­
но к катушке индуктивности, то
(149.3)
есть падение напряжения на катушке.
Из уравнения (149.2) следует, что
d l = ^y-cosutdt.
!u
После интегрирования, учитывая, что
постоянная интегрирования равна нулю
(так как отсутствует постоянная состав­
ляющая тока), получим
I = ^%sin u>t =
cos (ы£ ——
wL
u>L \
2
Skm cos|ut - ^-j,
CD
L —>0) (рис. 217, а). Если переменное
напряжение (149.1) приложено к кон­
денсатору, то он все время перезаряжа­
ется, и в цепи течет переменный ток.
Так как все внешнее напряжение при­
ложено к конденсатору, а сопротивле­
нием подводящих проводов можно пре­
небречь, то
g
(149.4)
’ шС
Рис. 217
= U p = l/m c o s u j* .
Сила тока
I = ^P- = -uCUmsinui =
где Im=ЩгВеличина
dt
Rl —wL
(149.5)
называется реактивным индуктив­
ным сопротивлением (или индуктив­
ным сопротивлением). Из выражения
(149.5) вытекает, что для постоянного
тока (ы = 0) катушка индуктивности не
имеет сопротивления. Подстановка зна­
чения Um= ш//т в выражение (149.2)
с учетом (149.3) приводит к следующе­
му значению падения напряжения на
катушке индуктивности:
UL « ш£/т coswi.
(149.6)
= /„cos(u,t + |),
(149.7)
где Im= uiCUm = U„
1/(ыСУ
Величина
Rr. =
ujC
называется реактивным емкостным
сопротивлением (или емкостным со­
противлением). Для постоянного тока
(ш= 0) Rc= оо, т. е. постоянный ток че­
рез конденсатор течь не может. Паде­
ние напряжения на конденсаторе
Сравнение выражений (149.4) и
cosuit. (149.8)
(149.6) приводит к выводу, что падение
напряжения ULопережает по фазе ток I,
Сравнение выражений (149.7) и
текущий черед катушку, на что и по­ (149.8) приводит к выводу, что падение
напряжения Uc отстает по фазе от те­
казано на векторной диаграмме (рис.
кущего
через конденсатор тока /на
216, б).
3. Переменный ток, текущий через Это показано на векторной диаграмме
конденсатор емкостью С (R -* 0, (рис. 217, б).
274
a
R
4.
Цепь переменного тока, содер­
—г\ h■i'YVN.ph
жащая последовательно включенные
резистор, катушку индуктивности и
Ur
UL Uc
конденсатор. На рис. 218, а представ­
лен участок цепи, содержащий резистор
• >U
~o—
сопротивлением R, катушку индуктив­
ностью L и конденсатор емкостью С,
к концам которого приложено пере­
менное напряжение (149.1). В цепи
возникнет переменный ток, который
вызовет на всех элементах цепи соот­
ветствующие падения напряжения UR,
К и Uс.
На рис. 218, б представлена вектор­
ная диаграмма амплитуд падений на­
пряжений на резисторе ( UR), катушке где фи /т определяются соответственно
( UL) и конденсаторе ( Uc).
формулами (149.9) и (149.10). Величина
Амплитуда Um приложенного на­
пряжения должна быть равна вектор­
ной сумме амплитуд этих падений на­
Z = JR 2 + u L шС
пряжений. Как видно из рис. 218, б,
угол ip определяет разность фаз между
= y/R2 +(RL-R c )2 (149.12)
напряжением и силой тока. Из рисун­
ка следует, что [см. также формулу называется полным сопротивлением
(147.16)]
цепи, а величина
шL — 1
tgф
(149.9)
R
(RIm)2 +
откуда амплитуда силы тока имеет зна­
чение
Ш=
ит
г, (149.10)
ip +Ll — L
\
uС
—реактивным сопротивлением.
Из прямоугольного треугольника получаем
X = Rr —Rr = u)L —
ьзС
ujL т
^Ф = = -^;1т.= I
ит
== ■= (149.13)
y]R2 + (uL)2
R
совпадающее с (147.15).
Следовательно, если напряжение
в цепи изменяется по закону U =
= L/mcosurf, то в цепи течет ток
I = I mcos(urf —ф),
Рассмотрим частный случай, когда
в цепи отсутствует конденсатор. В дан­
ном случае падения напряжений UR и
UL в сумме равны приложенному на­
пряжению U. Векторная диаграмма для
данного случая представлена на рис.
219, из которого следует, что
wLI,
Рис. 219
( 1 4 9 .1 1 )
275
Выражения (149.9) и (149.10) совпа­
дают с (149.13), если в них ——= 0, т.е.
U)G
С—оо. Следовательно, отсутствие кон­
денсатора в цепи означает, что С—оо, а
не С = 0. Данный вывод можно тракто­
вать следующим образом: сближая об­
кладки конденсатора до их полного со­
прикосновения, получим цепь, в кото­
рой конденсатор отсутствует [расстоя­
ние между обкладками стремится к
нулю, а емкость —к бесконечности; см.
(94.3)).
§ 150. Резонанс напряжений
ния на активном сопротивлении равно
внешнему напряжению, приложенному
к цепи (UR = U), а падения напряже­
ний на конденсаторе ( Uc) и катушке ин­
дуктивности ( UL) одинаковы по ам­
плитуде и противоположны по фазе.
Это явление называется резонансом
напряжений (последовательным ре­
зонансом), а частота (150.2) —резо­
нансной частотой. Векторная диаг­
рамма для резонанса напряжений при­
ведена на рис. 220, а зависимость амп­
литуды силы тока от ы уже была дана
на рис. 213.
В случае резонанса напряжений
М ) т рез
Если в цепи переменного тока, со­
держащей последовательно включен­
ные конденсатор, катушку индуктивно­
сти и резистор (см. рис. 218),
Ш треэ = т
то сдвиг фаз фмежду током и напряже­
нием (149.9) обращается в нуль (ф=0),
т. е. изменения тока и напряжения про­
исходят синфазно. Условию (150.1)
удовлетворяет частота
1
>ILC'
(150.2)
В данном случае полное сопротивление
цепи Z (149.12) становится минималь­
ным, равным активному сопротивле­
нию R цепи, и ток в цепи определяется
этим сопротивлением, принимая мак­
симальные (возможные при данном Um)
значения. При этом падение напряжеРис. 220
wL L
RL
I&.
шС
276
т
тра-
Подставив в эту формулу значения ре­
зонансной частоты и амплитуды напря­
жений на катушке индуктивности и
конденсаторе, получим
т рез
\1 £
~
где Q—добротность контура, определя­
емая выражением (146.14).
Так как добротность обычных коле­
бательных контуров больше единицы, то
напряжение как на катушке индуктив­
ности, так и на конденсаторе превыша­
ет напряжение, приложенное к цепи. По­
этому явление резонанса напряжений
используется в технике для усиления ко­
лебания напряжения какой-либо опре­
деленной частоты. Например, в случае
резонанса на конденсаторе можно по­
лучить напряжение с амплитудой QUm
(Q в данном случае —добротность кон­
тура, которая может быть значительно
больше Um). Это усиление напряжения
возможно только для узкого интервала
частот вблизи резонансной частоты
контура, что позволяет выделить из
многих сигналов одно колебание опре­
деленной частоты, т.е. на радиоприем­
нике настроиться на нужную длину
волны.
Явление резонанса напряжений не­
обходимо учитывать при расчете изоля­
ции электрических линий, содержащих
конденсаторы и катушки индуктивно­
сти, так как иначе может наблюдаться
их пробой.
Рис. 221
А
L
L
-о-оU
т шШ ■
m2
ill
Начальная фаза ф2 этого тока [см.
(149.9)]
^§ф 2 = + О 0,
§ 15 1. Резонанс токов
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую параллельно включенные
конденсатор емкостью С и катушку ин­
дуктивностью L (рис. 221). Для Просто­
ты допустим, что активное сопротивле­
ние обеих ветвей настолько мало, что
им можно пренебречь. Если приложен­
ное напряжение изменяется по закону
U= Umcoswt [см. (149.1)], то, согласно
формуле (149.11), в ветви 1С2 течет ток
Щ
c o s ^ -ip j),
(151.2)
Ф2;=(2п+^|тг, гдеп = 1,2,3,... .
Из сравнения выражений (151.1) и
(151.2) вытекает, что разность фаз то­
ков в ветвях 1С2 и1Ь2 равна Фх —Фг = тт,
т.е. токи в ветвях противоположны по
фазе. Амплитуда силы тока во внешней
(неразветвленной) цепи
/щ |/щ1 /mj | Un ы С - шL
1
ЕСЛИ Ы— Шрез — j —— , гО
Imi
амплитуда которого, определяется из |и.Im= 0. Явление резкого уменьшения
выражения (149.10) при условии R = 0 амплитуды силы тока во внешней цепи,
питающей параллельно включенные
и L ==0:
конденсатор и катушку индуктивности,
1 3 Ш
при приближении частоты шприложен­
mi 1/(шС)'
ного напряжения к резонансной часто­
называется резонансом токов
Начальная фаза фх этого тока по фор­ те
(;параллельным резонансом). Б дан­
муле (149.9) определяется равенством
ном случае для резонансной частоты
ЩЙ = -оо,
получили такое же значение, как и при
(151.1) резонансе напряжений (см. § 150).
Фх = | 2 7г+-||тт, где п = 1,2,3,... .
Амплитуда силы тока /т оказалась
равна нулю потому, что активным со­
Аналогично, сила тока в ветви 1L2
противлением контура пренебрегли.
Если учесть сопротивление R, то раз­
h —Imj cos(wt —ф3),
ность фаз фх —ф2 не будет равна it, по­
амплитуда которого определяется из этому при резонансе токов амплитуда
(149.10) при условии R = 0 и С= оо силы тока 1т будет отлична от нуля, но
(условие отсутствия емкости в цепи, см. примет наименьшее возможное значе­
§ 149):
ние. Таким образом, при резонансе то277
ков во внешней цепи токи 1Хи 12 ком­
пенсируются и сила тока I в подводя­
щих проводах достигает минимально­
го значения, обусловленного только
током через резистор. При резонансе
токов силы токов 1г и 12 могут значи­
тельно превышать силу тока I.
Рассмотренный контур оказывает
большое сопротивление переменному
току с частотой, близкой к резонансной.
Поэтому это свойство резонанса токов
используется в резонансных усилите­
лях, позволяющих выделять одно опре­
деленное колебание из сигнала слож­
ной формы.
Резонанс токов используется также
в индукционных печах, где нагревание
металлов производится вихревыми то­
ками (см. § 125). В них емкость конден­
сатора, включенного параллельно на­
гревательной катушке, подбирается так,
чтобы при частоте генератора получил­
ся резонанс токов, в результате чего
сила тока через нагревательную катуш­
ку будет гораздо больше, чем сила тока
в подводящих проводах.
§ 152. Мощность, в ы дел я ем а я
в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности пе­
ременного тока равно произведению
мгновенных значений напряжения и
силы тока:
p (t)= u ( tm ,
где U{t) — Umcoswt, I(t) = Imcos (ut —<p)
[см. выражения (149.1) и (149.11)]. Рас­
крыв cos (ut —ip), получим
P(t) = ImUmcos(ut—ip)cosui * у
= ImUm(cos2 ijjt cos ip+ sin ut cos ut sin tp).
Практический интерес представля­
ет не мгновенное значение мощности,
278
а ее среднее значение за период ко­
лебания. Учитывая, что (cos2ui) = - ,
А
(smut cosut) = 0, получим
(P) = \ l A сое*.
(152.1)
Из векторной диаграммы (см. рис.
218) следует, что Umcosip = RIm. По­
этому
ш йШ
Такую же мощность развивает постоян­
ный ток I =
.
&
Величины
I = h r , С7 = %
■
n
/2
л/2 ‘
называются соответственно действую­
щими (или эффективными) значени­
ями тока и напряжения. Все ампер­
метры и вольтметры градуируются по
действующим значениям тока и напря­
жения.
Учитывая действующие значения
тока и напряжения, выражение средней
мощности (152.1) можно записать в
виде
(Р) = IV cosip,
(152.2)
где множитель cosip называется коэф­
фициентом мощности.
Формула (152.2) показывает, что
мощность/выделяемая в цепи перемен­
ного тока, в общем случае зависит не
только от силы тока и напряжения, но
и от сдвига фаз между ними. Если в
цепи реактивное сопротивление отсут­
ствует, то costp = 1 и Р = UI. Если цепь
содержит только реактивное сопротив­
ление (R = 0), то cosip —0 и средняя
мощность равна нулю, какими бы боль­
шими ни были ток и напряжение. Если
cos <римеет значения, существенно мень-
ше единицы, то для передачи заданной
мощности при данном напряжении ге­
нератора нужно увеличивать силу тока
/, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увели­
чения сечения проводов, что повысит
стоимость линий электропередачи. По­
этому на практике всегда стремятся
увеличить cosip, наименьшее допус­
тимое значение которого для промыш­
ленных установок составляет пример­
но 0,85.
Контрольные вопросы
• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические
процессы?
• Почему возможен единый подход при изучении колебаний различной физической при­
роды?
• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колеба­
ния.
• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?
• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как
функции времени.
• От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной
энергии при гармонических колебаниях.
• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному
значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?
• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подве­
шивании этих масс к пружине?
• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим?
математическим ?
• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математиче­
ского маятников.
• Что такое приведенная длина физического маятника?
• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебатель­
ном контуре? Чем определяется их период?
• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических
колебаний в контуре.
• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикуляр­
ных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Как получается окружность?
прямая?
• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых коле­
баний?
• Что такое биения? Чему равна частота биений? период?
• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Про­
анализируйте их для механических и электромагнитных колебаний.
• Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося
тела?
• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затуха­
ющие колебания периодическими?
• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных ко­
лебаний системы?
• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент
затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
279
• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
| Что такое автоколебания? В чем их отличие от свободных незатухающих и вынужден­
ных незатухающих колебаний? Где они применяются?
• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынуж­
денных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромаг­
нитных колебаний.
• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для ампли­
туды и фазы при резонансе.
• Нарисуйте и проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда)
и скорости (тока). В чем их отличие?
• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств сис­
темы?
• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?
• Что называется резонансом? Какова его роль?
• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление?
• Что называется реактивным сопротивлением?
• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока, текуще­
го через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с
помощью векторных диаграмм.
• Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последова­
тельно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.
• Назовите характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов. Приведите
графики резонанса токов и напряжений.
• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэф­
фициентом мощности?
ЗАДАЧИ
18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 2 Гц,
в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х0 = 6 см, со ско­
ростью 1%= 14 см/с. Определите амплитуду колебания. [6,1 см]
18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максималь­
ная сила, действующая на точку, равна 1 ,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки,
если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза Ц. [ х = 0,04 cos Гщ +
м]
18.3. При подвешивании грузов массами гпх = 500 г и щ = 400 г к свободным пружинам
последние удлинились одинаково (А1 = 15 см). Пренебрегая массой пружин, определите:
1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает боль­
шей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]
18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной
25 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы
частота колебаний была максимальной. [7,2 см]
18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на Д I—16 см, соверша­
ют за одно и то же время: один щ = 10 колебаний, другой
Ц 6 колебаний. Определите
длины маятников 1Хи l2. [^ = 9 см, /2 = 25 см]
18.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, ин­
дуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обклад­
ках конденсатора составляет 150 В. Определите максимальный магнитный поток, прони­
зывающий катушку. [0,3 мкВб]
18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковоТС
го периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет —. Напишите уравнение
280
движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза
одного из них равна нулю. [ х == 0 ,0 3 7 cosi^ t + ^ м ]
18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих
во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х = cositi и
у = cos —t. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
[2у2 - ж= 1]
18.9. За время, в течение которого система совершает 100 полных колебаний, амплитуда
уменьшается в три раза. Определите добротность системы. [286]
18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденса­
тор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Амплитуда заряда на обкладках
конденсатора Qm= 1 мКл. Определите: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический
декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на об­
кладках конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U= 100e-20tcos636iti, В]
18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор
подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Ока­
залось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определите разность
фаз между током и внешним напряжением. [60°]
18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площа­
дью поперечного сечения 10 см2, содержащая 3000 витков. Определите активное сопротив­
ление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]
18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряже­
ния равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определите амп­
литудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом.
[119 кВ]
18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГн и конденсатор
емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармониче­
ских колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо
подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно
малым, определите добротность данного контура. [100]
Г л а в а 19
УПРУГИЕ ВОЛНЫ
§ 153. В олновы е процессы .
П родольны е и поперечные волны
Колебания, возбужденные в какойлибо точке среды (твердой, жидкой
или газообразной), распространяются
в ней с конечной скоростью, зависящей
от свойств среды, передаваясь от одной
точки среды к другой. Чем дальше
расположена частица среды от источ­
ника колебаний, тем позднее она нач­
нет колебаться. Иначе говоря, фазы
колебаний частиц среды и источника
тем больше отличаются друг от дру­
га, чем больше это расстояние. При
изучении распространения колебаний
не учитывается дискретное (м олеку­
лярное) строение среды и среда рас­
сматривается как сплошная , т.е. не­
прерывно распределенная в простран­
стве и обладающая упругими свой­
ствами.
281
Процесс распространения колеба­
ний в сплошной среде называется вол­
новым процессом (или волной). При
распространении волны частицы среды
не движутся вместе с волной, а колеб­
лются около своих положений равно­
весия. Вместе с волной от частицы к
частице среды передаются лишь состо­
яние колебательного движения и его
энергия. Поэтому основным свойством
всех волн, независимо от их природы,
является перенос энергии без переноса
Упругая волна называется гармо­
нической, если соответствующие ей ко­
лебания частиц среды являются гармо­
ническими. На рис. 222 представлена
гармоническая поперечная волна, рас­
пространяющаяся со скоростью ивдоль
оси х, т.е. приведена зависимость меж­
ду смещением £частиц среды, участвуй
ющих в волновом процессе, и расстоя*]
нием х этих частиц (например, части­
цы В) от источника колебаний О для
какого-то фиксированного моменту
времени t.
вещества.
Приведенный график функции %(x,t)
Среди разнообразных волн, встреча­
ющихся в природе и технике, выделя­ напоминает график гармонического ко­
ются следующие их типы: волны на по­ лебания, однако они различны по суще­
верхности жидкости, упругие и элек­
ству. График волны дает зависимость
тромагнитные волны. Упругими (или
смещения всехчастиц среды от рассто­
механическими) волнами называются яния до источника колебаний в данный
механические возмущения, распростра­ момент времени, а график колебаний —
няющиеся в упругой среде. Упругие зависимость смещения данной частицы
волны бывают продольные и попереч­ от времени (см. рис. 202).
ные. В продольных волнах частицы
Расстояние между ближайшими ча­
среды колеблются в направлении рас­ стицами, колеблющимися в одинако­
пространения волны, в поперечных — вой фазе, называется длиной волны X
в плоскостях, перпендикулярных на­ (рис. 222). Длина волны равна тому рас­
правлению распространения волны.
стоянию, на которое распространяется
Продольные волны могут возбуж­ определенная фаза колебания за пери­
даться в средах, в которых возникают од, т.е.
упругие силы при деформации сжатия
X = vT,
j
ирастяжения, т. е.Ф твердых, жидких и
газообразных телах. Поперечные волны или, учитывая, что Т = —, где v —час­
могут возбуждаться в среде, в которой тота колебаний,
v
возникают упругие силы при деформа­
v
=
Xv.
ции сдвига, т.е. в твердых телах; в жид­
костях и газах возникают только про­
Если рассмотреть волновой процесс
дольные волны, а в твердых телах—как подробнее, то становится ясным, что ко­
продольные, так и поперечные. -леблются не только частицы, располо­
женные вдоль оси х, но и совокупность
частиц, расположенных в некотором
объеме, т.е. волна, распространяясь от
источника колебаний, охватывает все
новые и новые области пространства.
Геометрическое место точек, до кото­
рых доходят колебания к моменту вре­
мени t, называется волновым фрон­
282
том. Геометрическое место точек, ко­
леблющихся в одинаковой фазе, назы­
вается волновой поверхностью. Волно­
вых поверхностей можно провести бес­
численное множество, а волновой фронт
в каждый момент времени —один. Вол­
новой фронт также является волновой
поверхностью. Волновые поверхности
могут быть любой формы, а в простей­
шем случае они представляют собой со­
вокупность плоскостей, параллельных
друг другу, или совокупность концент­
рических сфер. Соответственно волна
называется плоской или сферической.
§ 154. Уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость.
Волновое уравнение
Бегущими волнами называются
волны, которые переносят в простран­
стве энергию. Перенос энергии волна­
ми количественно характеризуется
вектором плотности потока энер­
гии. Этот вектор для упругих волн на­
зывается вектором Умова [по имени
русского ученого Н. А. Умова (1846 —
1915), решившего задачу о распростра­
нении энергии в среде]. Направление
вектора Умова совпадает с направлени­
ем переноса энергии, а его модуль ра­
вен энергии, переносимой волной за
единицу времени через единичную пло­
щадку, расположенную перпендику­
лярно направлению распространения
волны.
Для вывода уравнения бегущей вол­
ны —зависимости смещения колеблю­
щейся частицы от координат и време­
ни —рассмотрим плоскую волну, пред­
полагая, что колебания носят гармони­
ческий характер, а ось х совпадает с на­
правлением распространения волны
(см. рис. 222). В данном случае волно­
вые поверхности перпендикулярны
оси х, а так как все точки волновой по­
верхности колеблются одинаково, то
смещение £ будет зависеть только от х
и t, т.е. £ = £,(x,t).
На рис. 222 рассмотрим некоторую
частицу В среды, находящуюся от ис­
точника колебаний О на расстоянии х.
Если колебания точек, лежащих в плос­
кости х = 0, описываются функцией
6,(0 ,£) = A cos ut, то частица В среды ко­
леблется по тому же закону, но ее коле­
бания будут отставать по времени от ко­
лебаний источника на т, так как для
прохождения волной расстояния х тре­
буется время т = где v — скорость
распространения волны. Тогда уравне­
ние колебаний частиц, лежащих в плос­
кости х, имеет вид
%(x,t) —Acosult —^-j, (154.1)
откуда следует, что £(ж, t) является не
только периодической функцией вре­
мени, но и периодической функцией
координаты х. Уравнение (154.1) есть
уравнение бегущей волны. Если плос­
кая волна распространяется в противо­
положном направлении,то
6,(ж ,£ ) = j 4 c o s u U + — I.
В общем случае уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль по­
ложительного направления оси х в сре­
де, не поглощающей энергию, имеет вид
£(s, f) = A cos
, (154.2)
где А = const —амплитуда волны; ш—
циклическая ч астота ; ip0 — началь­
ная фаза волны; определяемая в общем
случае выбором начал отсчета х и t\
—фаза плоской волны.
283
Для характеристики волн использу­
ется волновое число
к=
Ц
=— =
X i/Т v
(154.3)
Учитывая (154.3), уравнению (154.2)
можно придать вид
£(x,t) = Acos(u)t —кх + Фо)- (154.4)
Уравнение волны, распространяю­
щейся вдоль отрицательного направле­
ния оси х, отличается от (154.4) только
знаком к:г.
Основываясь на формуле Эйлера
(140.7), уравнение плоской волны мож­
но записать в виде
i(x,t) = ^ e i(ut-fcE+44
где физический смысл имеет лишь дей­
ствительная часть (см. § 140).
Предположим, что при волновом
процессе фаза постоянна, т.е.
ы(< —
+ фо = const.
(154.5)
где г —расстояние от центра волны до
рассматриваемой точки среды.
В случае сферической волны даже в
среде, не поглощающей энергию, ампли­
туда колебаний не остается постоянной,
а убывает с расстоянием по закону
Уравнение (154.7) справедливо лишь
для г, значительно превышающих раз- j
меры источника (тогда источник коле-1
баний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что
фазовая скорость
«=
к
(154.8)
Если фазовая скорость волн в среде
зависит от их частоты, то это явление |
называют дисперсией волн, а среда, в
которой наблюдается дисперсия волн,
называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной
изотропной среде в общем случае опи­
сы вается волновым уравнением — 1
дифференциальным уравнением в час­
тных производных
Продифференцировав выражение (154.5)
и сократив на ш, получим d t—-dx = 0,
откуда
£ = v.
ду2
dz2
v2 dt2 '
или
(154.6)
Следовательно, скорость v распро­
странения волны в уравнении (154.6)
есть не что иное, как скорость переме­
щения фазы волны, и ее называют ф а­
зовой скоростью .
Повторяя ход рассуждений для плос­
кой волны, можно доказать, что у р а в ­
нение сферической волны — волны,
волновые поверхности которой имеют
вид концентрических сфер, записы ва­
ется как
£(М) = ^соа(и>*-кг+ фо)» (154.7)
284
дх2
<l54-9> ]
Я2
где v —фазовая скорость; Л = —г +
д2
ду1
д2
ozi
+-r-г +—
-г —
оператор Лапласа,
Решением уравнения (154.9) явля­
ется уравнение любой волны. Соответ­
ствующей подстановкой можно убе­
диться, что уравнению (154.9) удовлет­
воряют, в частности, плоская волна [см.
(154.2)] и сферическая волна [см.
(154.7)]. Для плоской волны, распрос­
траняющейся вдоль оси х, волновое
уравнение имеет вид
d2j
дх 2
i_ d %
?4-
v2 d t2
(1 5 4 .1 0 )
Эта волна отличается от гармони­
ческой тем, что ее амплитуда
А = 2 Aq c o s
§ 155. Принцип суперпозиции.
Групповая скорость
Если среда, в которой распространя­
ется одновременно несколько волн,
линейна, т. е. ее свойства не изменяют­
ся под действием возмущений, создава­
емых волной, то к ним применим прин­
цип суперпозиции ( наложения) волн:
при распространении в линейной сре­
де нескольких волн каждая из них рас­
пространяется так, как будто другие
волны отсутствуют, а результирующее
смещение частицы среды в любой мо­
мент времени равно геометрической
сумме смещений, которые получают ча­
стицы, участвуя в каждом из слагающих
волновых процессов.
Исходя из принципа суперпозиции и
разложения Фурье [см. (144.5)], любая
волна может быть представлена в виде
суммы гармонических волн, т.е. в виде
волнового пакета, или группы волн.
Волновым пакетом называется су­
перпозиция волн, мало отличающихся
друг от друга по частоте, занимающая в
каждый момент времени ограниченную
область пространства.
Рассмотрим простейшую ipynny волн,
получающуюся в результате наложения
двух распространяющихся вдоль поло­
жительного направления оси х гармони­
ческих волн с одинаковыми амплитуда­
ми, близкими частотами и волновыми
числами, причем dw -С ши dk к Тогда
6, = Aq c o s ( u i t —кх) +
tdu—xdk
есть медленно изменяющаяся функция
координаты х и времени t.
За скорость распространения этой
негармонической волны (волнового па­
кета) принимают скорость перемеще­
ния максимума амплитуды волны, рас­
сматривая тем самым максимум в ка­
честве центра волнового пакета. При
условии, что idu —xdk = const, полу­
чим
da;
d£
du
(155.1)
dk
Скорость и есть групповая ско­
рость. Ее можно определить как ско­
рость движения группы волн, образу­
ющих в каждый момент времени лока­
лизованный в пространстве волновой
пакет. Выражение (155.1) получено для
простейшей группы волн из двух со­
ставляющих, однако оно справедливо и
для суперпозиции многих волн.
Рассмотрим связь между групповой
и —т г [см- (155.1)] и фазовой v = —
dk
k
[см. (154.8)] скоростями. Учитывая, что
к = ~ - [см. (154.3)], получим
А
_ dui _ djvk) _
dk
= 4i + k
, du _
dfc
dfc
/du dk]
dv A
= v+k
IdX d\j
dX dX i X /
l 2twd\
-I- Aq cos[(u -f- du)£ —(k + d&)x] =
= 2Aq c o s |^u_zdfcjcos(iof —kx).
u = v —\ dv
dX
(155.2)
285
Из формулы (155.2) вытекает, что и
может быть как меньше, так и больше v
dv . тэ
в зависимости от знака —
В недис­
пергирующей среде 4 г = 0 и группоQa
вал скорость совпадает с фазовой.
Понятие групповой скорости очень
важно, так как именно она фигурирует
при измерении дальности в радиолока­
ции, в системах управления космиче­
скими объектами и т. д. В теории отно­
сительности доказывается, что группо­
вая скорость и -с с, в то время как для
фазовой скорости ограничений не суще­
ствует.
§ 156. Интерференция волн
Согласованное протекание во време­
ни и пространстве нескольких колеба­
тельных или волновых процессов назы­
вают когерентностью. Волны являют­
ся когерентными, если разность их фаз
остается постоянной во времени. Оче­
видно, что когерентными могут быть
лишь волны, имеющие одинаковую час­
тоту.
ду фазами этих волн. Это явление на­
зывается интерференцией волн.
Рассмотрим наложение двух коге­
рентных сферических волн, возбужда­
емых точечными источниками
и S2
(рис. 223), колеблющимися с одинако­
выми амплитудой А0, частотой ш и по­
стоянной разностью фаз. Согласно
(154.7),
|| = — cos(u)t —кгг + ipx);
гх
А
£2 = ~ cos(wi —кщ + ф2),
г2
где *1 и г2 —расстояния от источников*
волн до выбранной точки В; к—волной
вое число; ф^и ф2 — начальные фазы
обеих рассматриваемых сферических
волн.
Амплитуда результирующей волны?,
в точке В по (144.2) равна
3
2
+—
'V2
*
c°s[fc(n - г 2) - ( ф 1 - ф2)] •.
-'V
Так как для когерентных источни­
При наложении в пространстве двух
(или нескольких) когерентных волн в ков разность начальных фаз (фх —ф2) •=
разных его точках получается усиление = const, то результат наложения двух
или ослабление результирующей вол­ волн в различных точках зависит от ве­
ны в зависимости от соотношения меж­ личины Д = ri —г2, называемой разно­
стью хода волн.
+
В точках, где
К г\- гг) ~ (ф1 - Фг) - ±2ттг
( « = 0 ,1 ,2 ,...),
(156.1)
наблюдается интерференционный
максимум: амплитуда результирующе­
го колебания А = ^
В точках,
где
ri
га
А(гх - г2) - (ф! - Фа) = ±(2го + 1 ) тт
( т = 0 ,1 ,2 ,...),
286
(156.2)
наблюдается интерференционный ми­
нимум: амплитуда результирующего колебания А =
П
»2
т _ о 1 2 , ...
называется порядком интерференци­
онного максимума или минимума.
Условия (156.1) и (156.2) сводятся
к тому, что
—r2 = const.
(156.3)
Выражение (156.3) представляет со­
бой уравнение гиперболы с фокусами в
точки Si и S2. Следовательно, геометри­
ческое место точек, в которых наблюда­
ется усиление или ослабление результи­
рующего колебания, представляет собой
семейство гипербол (см. рис. 223), от­
вечающих условию 4>i —ч>2 —0- Между
двумя интерференционными максиму­
мами (на рис. 223 сплошные линии)
находятся интерференционные мини­
мумы (на рис. 223 штриховые линии).
§ 157. Стоячие волны
Частным случаем интерференции
являются стоячие волны —это волны,
образующиеся при наложении двух бе­
гущих волн, распространяющихся на­
встречу друг другу с одинаковыми час­
тотами и амплитудами, а в случае по­
перечных волн еще и одинаковой поля­
ризацией.
Для вывода уравнения стоячей вол­
ны предположим, что две плоские вол­
ны распространяются навстречу друг
другу вдоль оси жв среде без затухания,
причем обе волны характеризуются
одинаковыми амплитудами и частота­
ми. Кроме того, начало координат вы­
берем в точке, в которой обе волны име­
ют одинаковую начальную фазу, а от­
счет времени начнем с момента, когда
начальные фазы обеих волн равны
нулю. Тогда соответственно уравнения
волны, распространяющейся вдоль по­
ложительного направления оси х, и вол­
ны, распространяющейся ей навстречу,
будут иметь вид
£,! = A cos(u t —kx),
£2 = Acos(ut + kx).
(157.1)
Сложив эти уравнения и учитывая,
2tv
что k = -r- [см. (154.3)], получимуравА
нение стоячей волны.
-f- 6,2 = 2y4cosfcrcosu>£ =
= 2^cos^pcosurf.
(157.2)
Из уравнения стоячей волны (157.2)
вытекает, что в каждой точке этой вол­
ны происходят колебания той же час­
тоты ш с амплитудой Аст =
о
2тг х , зависящей от координа­
2Aл cos -г—
А
ты х рассматриваемой точки.
В точках среды, где
^ Р = ±т-к ( т = 0,1,2,...), (157.3)
амплитуда колебаний достигает макси­
мального значения, равного 2А. В точ­
ках среды, где
^ р = ±(т+^|тт ( т = 0,1,2,...), (157.4)
амплитуда колебаний обращается в
нуль. Точки, в которых амплитуда ко­
лебаний максимальна (Лст = 2А), назы­
ваются пучностями стоячей волны, а
точки, в которых амплитуда колебаний
равна нулю (Лст = 0), называются уз­
лами стоячей волны. Точки среды, на­
ходящиеся в узлах, колебаний не совер­
шают.
Из выражений (157.3) и (157.4) по­
лучим соответственно координаты пуч­
ностей и узлов-.
287
аг„—± m y (m —0,1,2,...);
Ш
и И Н
(157.5)
(m=0,1,2,...). (157.6)
Из формул (157.5) и (157.6) следу­
ет, что расстояния между двумя сосед­
ними пучностями и двумя соседними
узлами одинаковы и равны
Рассто­
яние между соседними пучностью и уз­
лом стоячей волны равно
В отличие от бегущей волны, все
точки которой совершают колебания с
одинаковой амплитудой, но с запазды­
ванием по фазе [в уравнении (157.1) бе­
гущей волны фаза колебаний зависит от
координаты г рассматриваемой точки],
все точки стоячей волны между двумя
узлами колеблются с разными амплиту­
дами, но с одинаковыми фазами [в урав­
нении (157.2) стоячей волны аргумент
косинуса не зависит от х]. При переходе
9<тг
через узел множитель c o s жменя­
ет свой знак, поэтому фаза колебаний
х
х
х
4
2
2
Рис. 224
288
по разные стороны от узла отличается
на ir, т. е. точки, лежащие по разные сто­
роны от узла, колеблются в противо*
фазе.
Образование стоячих волн наблюда­
ют при интерференции бегущей и отраг
женной волн. Если конец веревки зак­
репить неподвижно (например, к стене),
то отраженная в месте закрепления ве­
ревки волна будет интерферировать с бе­
гущей волной, образуя стоячую волну.
На границе, где происходит отражение
волны, в данном Случае возникает узел.
Будет ли на границе отражения узел
или пучность, зависит от соотношения
плотностей сред. Если среда, от кото-рой происходит отражение, менее плот­
ная, то в месте отражения возникает
пучность (рис. 224, а), если более плот­
ная —узел (рис. 224, б). Образование
узла связано с тем, что волна, отража­
ясь от более плотной среды, меняет
фазу на противоположную и у грани­
цы происходит сложение колебаний с
противоположными фазами, в резуль­
тате чего получается узел. Если же вол­
на отражается от менее плотной среды,
то изменения фазы не происходит и у
границы колебания складываются с
одинаковыми фазами — образуется
пучность.
Если рассматривать бегущую волну,
то в направлении ее распространения
переносится энергия колебательного
движения. В случае же стоячей волны
переноса энергии нет, так как падающая
и отраженная волны одинаковой амп­
литуды несут одинаковую энергию в
противоположных направлениях. По­
этому полная энергия результирующей
стоячей волны в пределах между узло­
выми точками остается постоянной.
Лишь в пределах расстояний, равных
половине длины волны, происходят
взаимные превращения кинетической
энергии в потенциальную и обратно.
§ 15 8. З вуковы е во лн ы
I, Вт/м
Болевой
Область\порог
Звуковыми (и ли акустическими)
волнами назы ваю тся распространяю ­
щ иеся в среде уп р уги е волны , о б л а ­
даю щ и е ч а сто т а м и в п р е д е ла х 16 —
20 ООО Гц. Волны указанных частот, воз­
действуя на слуховой аппарат челове­
ка, вызывают ощущение звука. Волны с
у < 16 Гц ( инфразвуковые) и v > 20 кГц
(ультразвуковые ) органами слуха че­
ловека не воспринимаются.
Звуковые волны в газах и жидкостях
м огут быть только продольны ми, так
как эти среды обладаю т упругостью
лиш ь по отнош ению к деф ормациям
сжатия (растяжения). В твердых телах
звуковы е волны м огут быть как про­
д о л ь н ы м и , так и п оп еречн ы м и , п о ­
скольку твердые тела обладают упруго­
стью по отнош ению к деф орм ациям
сжатия (растяж ения) и сдвига.
Интенсивностью звука (и ли си­
лой звука) называется величина, опре­
деляем ая средней по времени энерги­
ей, переносимой звуковой волной в еди­
ницу времени сквозь единичную п ло­
щ адку, перпендикулярную направле­
нию распространения волны:
'i'M
Sf
Единица интенсивности звука в СИ —
в а т т на метр в квадрате (Вт/м2).
Чувствительность человеческого уха
различна д л я разных частот. Д ля того
чтобы вы звать зв ук о в о е ощ ущ ение,
волна долж на обладать некоторой ми­
нимальной интенсивностью, но если эта
интенсивность превышает определен­
ный предел, то звук не слышен и вызы­
вает только болевое ощущение. Таким
образом, д л я каждой частоты колеба­
ний сущ ествую т наименьш ая ( порог
слышимости) и наибольш ая ( порог
болевого ощущения) интенсивности
10 Курс физики
\слышимости у
N.
/П о р о г
./слышимости
10
102
103
104
105
V, Гц
Рис. 225
звука, которые способны вызвать зву­
ковое восприятие. На рис. 225 представ­
лены зависимости порогов слы ш имос­
ти и болевого ощ ущ ения от частоты
звука. Область, расположенная меж ду
этими двум я кривыми, является обла­
стью слышимости.
Если интенсивность звука является
величиной, объективно характеризую­
щей волновой процесс, то субъективной
характеристикой звука, связанной с его
интенсивностью, является громкость
звука, зависящая от частоты. Согласно
ф и зи ологи ч еск ом у зак о н у В ебера —
Фехнера, с ростом интенсивности зву­
ка громкость возрастает по логариф ми­
ческом у закону. На этом основании
вводят объективную оценку громкости
звука по изм ерен н ом у значению его
интенсивности:
L=
I
%
где 10 —интенсивность звука на пороге
слы ш имости, принимаемая д л я всех
звуков равной 10 -12 Вт/м2.
Величина L называется уровнем ин­
тенсивности звука и вы раж ается в
белах (в честь изобретателя телефона
Б елла). Обычно пользуются единица­
ми, в 10 раз меньшими, — децибелами
(ДБ).
Физиологической характеристикой
звука является уровень громкости, ко­
торый выражается в фонах (фон). Гром­
кость д ля звука в 1000 Гц (частота стан­
дартного чистого тона) равна 1 фон,
289
если его уровень интенсивности равен
1 дБ. Например, шум в вагоне метро
при большой скорости соответствует
w90 фон, а шепот на расстоянии 1м —
s*20 фон.
Реальный звук является наложени­
ем гармонических колебаний с боль­
шим набором частот, т.е. звук обладает
акустическим спектром, который мо­
жет быть сплошным (в некотором ин­
тервале присутствуют колебания всех
частот) и линейчатым (присутствуют
колебания отделенных друг от друга
определенных частот).
Звук характеризуется помимо гром­
кости еще высотой и тембром. Высота
звука —качество звука, определяемое
человеком субъективно на слух и зави­
сящее от частоты звука. С ростом час­
тоты высота звука увеличивается, т.е.
звук становится выше. Характер акус­
тического спектра и распределения
энергии между частотами определяет
своеобразие звукового ощущения, на­
зываемое тембром звука.
Так, различные певцы, берущие одну
и ту же ноту, имеют различный акусти­
ческий спектр, т. е. их голоса имеют раз­
личный тембр.
Источником звука может быть вся­
кое тело, колеблющееся в упругой сре­
де со звуковой частотой (например, в
струнных инструментах источником
звука является струна, соединенная с
корпусом инструмента).
Совершая колебания, тело вызыва­
ет колебания прилегающих к нему час­
тиц среды с такой же частотой. Состоя­
ние колебательного движения последо­
вательно передается к все более удален­
ным от тела .частицам среды, т.е. в сре­
де распространяется волна с частотой
колебаний, равной частоте ее источни­
ка, и с определенной скоростью, зави­
сящей от плотности и упругих свойств
среды. Скорость распространения зву­
290
ковых волн в газах вычисляется по фор­
муле
-
ср
Ш и!
(i58i
где к =?
— отношение молярных
Оу
теплоемкостей газа при постоянных
давлении и объеме; R —молярная га­
зовая постоянная; Т —термодинамиче­
ская температура; М —молярная массам
Из формулы (158.1) вытекает, что
скорость звука в газе не зависит от дав­
ления р газа, но возрастает с повыше­
нием температуры. Чем больше мо­
лярная масса газа, тем меньше в нем
скорость звука. Например, при Т =
= 273 К скорость звука в воздухе (М =1
= 29 ■10-3 кг/моль) v ==331 м/с, в водо­
роде (М= 2 ■10-3 кг/моль) v = 1260 м/с.
Выражение (158.1) соответствует опыт*
ным данным.
При распространении звука в атмо­
сфере необходимо учитывать целый
ряд факторов: скорость и направление
ветра, влажность воздуха, молекуляр­
ную структуру газовой среды, явления
преломления и отражения звука на гра­
нице двух сред. Кроме того, любая ре­
альная среда обладает вязкостью, по-'
этому наблюдается затухание звука, т. е.
уменьшение его амплитуды и, следова­
тельно, интенсивности звуковой волны
по мере ее распространения. Затухание
звука обусловлено в значительной мере
его поглощением в среде, связанным с
необратимым переходом звуковой энер­
гии в другие формы энергии (в основ­
ном в тепловую).
Для акустики помещений большое
значение имеет реверберация звука —
процесс постепенного затухания звука
в закрытых помещениях после выклю­
чения его источника. Если помещения
пустые, то происходит медленное зату­
хание звука и создается ««гулкость» по-
мещения. Если звуки затухают быстро
(при применении звукопоглощающих
материалов), то они воспринимаются
приглушенными. Время ревербера­
ции —это время, в течение которого ин­
тенсивность звука в помещении ослаб­
ляется в миллион раз, а его уровень —
на 60 дБ. Помещение обладает хорошей
акустикой, если время реверберации со­
ставляет 0,5 —1.5 с.
§ 159. Эф ф ект Доплера
в акустике
Рис. 226
ВистТ
приемника и вызовет колебания его зву­
кочувствительного элемента с частотой
v
v
v = \ = ^ f = v °Следовательно, частота v звука, ко­
торую зарегистрирует приемник, равна
частоте v0, с которой звуковая волна
излучается источником.
2.
Приемник приближается к источ­
нику, а источник покоится, т.е. гц > 0,
Эффектом Доплера1 называется
изменение частоты колебаний, воспри­
нимаемой приемником, при движении
Ч .С Г = 0источника этих колебаний и приемни­
В данном случае скорость распрост­
ка относительно друг друга. Например,
ранения волны относительно приемни­
из опыта известно, что тон гудка поез­
ка станет равной v + vap. Так как длина
да повышается по мере его приближе­
волны при этом не меняется, то
ния к платформе и понижается при уда­
v + v„p
v + t;,,,т> _ (w + UnpK
лении, т. е. движение источника колеба­
v=
ний (гудка) относительно приемника
X
vT
(уха) изменяет частоту принимаемых
т.е. частота колебании, воспринимаеколебаний.
V+.VficT раз Л
мых приемником, в —
боль­
Для рассмотрения эффекта Допле­
ра предположим, что источник и при­
ше частоты колебаний источника
емник звука движутся вдоль соединя­
3.
Источник приближается к прием­
ющей их прямой; иист и «„р — соответ­
нику, а приемник покоится, т. е. ц1СГ> 0,
ственно скорости движения источника
%
0.
и приемника, причем они положитель­
Скорость распространения колеба­
ны, если источник(приемник)прибли­
ний зависит лишь от свойств среды, по­
жается к приемнику (источнику), и от­
этому за время, равное периоду колеба­
рицательны, если удаляются. Частота
ний источника, излученная им волна
колебаний источника равна v0.
пройдет в направлении к приемнику
1.
Источник и приемник покоятся расстояние vT (равное длине волны X)
относительно среды, т.е. инст = ипр = 0.
независимо от того, движется ли источ­
Если v — скорость распространения
ник или покоится. За это же время ис­
звуковой волны в рассматриваемой сре­
точник пройдет в направлении волны
де, то длина волны X = vT = — . Расрасстояние и1|СГТ(рис. 226), т.е. длина
vо
волны в направлении движения сокра­
пространяясь в среде, волна достигнет
тится и станет равной
1 X. Доплер (180 3—18 53)—австрийский фи­
зик, математик и астроном.
X' I X 1 ц ^ Т = ( v - ц^)Т.
291
Тогда
_
V _
X
V
(w
УЛ„)Т
_
VV(j
V
1^ист
быть получены в виде строго направ­
ленных пучков.
Для генерации ультразвука исполь-Г
зуются в основном два явления.
Обратный пьезоэлектрический
т. е. частота v колебаний, воспринимаеэффект (см. § 91) —это возникнове­
v
мых приемником, увеличится в --------- ние деформации в вырезанной опреде­
и -и ИСт
раз. В случаях 2 и 3, если иист < 0 и ленным образом кварцевой пластинке
(в последнее время вместо кварца при­
vnp < 0, знак будет обратным.
4. Источник и приемник движутся меняется титанат бария) под действи­
относительно друг друга. Используя ем электрического поля. Если такую
результаты, полученные для случаев 2 пластинку поместить в высокочастот-'
и 3, можно записать выражение для ное переменное поле, то можно вызвать
частоты колебаний, регистрируемых ее вынужденные колебания. При резонансе на собственной частоте пластин­
приемником:
ки получают большие амплитуды коле-л
баний и, следовательно, большие интен­
У -Ш М
(159.1) сивности излучаемой ультразвуковой
v р и исг
волны. Идея кварцевого ультразвуково­
причем верхний знак берется, если при го генератора принадлежит французское
движении источника или приемника му физику П. Ланжевену (1872—1946).
происходит сближение, нижний знак —
Магнитострикция —это возникно­
в случае их взаимного удаления.
вение деформации в ферромагнетиках
Из приведенных формул следует, под действием магнитного поля. Помес­
что эффект Доплера различен в зави­ тив ферромагнитный стержень (напри­
симости от того, движется ли источник мер, из никеля или железа) в быстропе­
или приемник. Если направления ско­ ременное магнитное поле, возбуждают
ростей ипр и t^CTне совпадают с прохо­ его механические колебания, амплитуда
дящей через источник и приемник пря­ которых максимальна в случае резонанса.
мой, то вместо этих скоростей в форму­
Ультразвуки широко используются
ле (159.1) надо брать их проекции на в технике, например для направленной
направление этой прямой.
подводной сигнализации, обнаружения
подводных предметов и определения
глубин (гидролокатор, эхолот). Напри­
§ 160. Ультразвук и его применение
мер, в эхолоте от пьезокварцевого гене­
ратора, укрепленного на судне, посыла­
По своей природе ультразвук пред­ ются направленные ультразвуковые
ставляет собой упругие волны, и в этом сигналы, которые, достигнув дна, отра­
он не отличается от звука (см. § 158). жаются от него и возвращаются обрат­
Однако ультразвук, обладая высокими но. Зная скорость их распространения
частотами (v > 20 кГц) и, следователь­ в воде и определяя время прохождения
но, малыми длинами волн, характери­ (от подачи до возвращения) ультразву­
зуется особыми свойствами, что позво­ кового сигнала, можно вычислить глу­
ляет выделить его в отдельный класс бину. Прием эха также производится с
явлений. Из-за малых длин волн ульт­ помощью пьезокварца. Звуковые коле­
развуковые волны, как и свет, могут бания, дойдя до пьезокварца, вызыва292
ют в нем упругие колебания, в резуль­
тате чего на противоположных поверх­
ностях кварца возникают электричес­
кие заряды, которые измеряются.
Если п р о п ускать ул ьтр азвуко во й
сигнал через исследуемую деталь, то
можно обнаружить в ней дефекты по
характерному рассеянию пучка и по по­
явлению ультразвуковой тени. На этом
принципе создана целая отрасль техни­
ки — уль тр а зв у к о в а я деф ектоско­
пия, начало которой положено С. Я. Со­
коловы м (18 97 — 1957). Применение
ультразвука легло такж е в основу новой
области акустики — ак устоэлектр оники, позволяющей на ее основе разра-
батывать приборы для обработки сиг­
нальной информации в микрорадио­
электронике.
Ультразвук применяют для воздей­
ствия на различные процессы (кристал­
лизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т. д.) и биологиче­
ские объекты (повышение интенсивно­
сти процессов обмена и т.д.), для изу­
чения физических свойств веществ (по­
глощения, структуры вещества и т.д.).
Ультразвук используется также для ме­
ханической обработки очень твердых и
очень хрупких тел, в медицине (диаг­
ностика, ул ьтр азвуко вая хирургия,
микромассаж тканей) и т.д.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Как объяснить распространение колебаний в упругой среде? Что такое волна?
Что называется поперечной волной? продольной? Когда они возникают?
Что такое волновой фронт? волновая поверхность?
Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, скоростью и периодом?
Что такое волновое число? фазовая и групповая скорости?
В чем заключается физический смысл вектора Умова?
Какая волна является бегущей, гармонической, плоской, сферической? Каковы уравне­
ния этих волн?
При каких условиях возникает интерференция волн? Назовите условия интерферен­
ционных максимума и минимума.
Две когерентные волны с одинаковым периодом распространяются в одном направле­
нии. Разность хода равна четному числу полуволн. Что получится в результате интер­
ференции?
Всегда ли сохраняется энергия при интерференции двух волн? Ответ обосновать.
Когда на струне образуется стоячая волна, колебания падающей и отраженной волн в
узлах взаимно гасятся. Означает ли это, что исчезает энергия?
Две когерентные волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются толь­
ко амплитудами. Образуют ли они стоячую волну?
Чем стоячая волна отличается от бегущей?
Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? двумя соседни­
ми пучностями? соседними пучностью и узлом?
Что такое звуковые волны? Звуковые волны в воздухе продольные или поперечные?
Почему?
Может ли звук распространяться в вакууме?
От чего зависят громкость, высота и тембр звука?
Что такое эффект Доплера? Чему будет равна частота колебаний, воспринимаемых по­
коящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?
Какое влияние оказывает скорость ветра на эффект Доплера?
Как определить частоту звука, воспринимаемую приемником, если источник звука и
приемник движутся?
293
ЗАДАЧИ
19.1. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с поло­
жительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v = 12 м/с.
Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях Х\ = 7 м и Щ= 12 м от источника
колебаний, колеблются с разностью фаз Дф = —тт. Амплитуда волны А = 6 см. Определи6
те: 1) длину волны X; 2) уравнение волны; 3) смещение щ второй точки в момент времени
Я 3 с. [1) 12 см; 2) ^(x,t) = 0, Об cos f2tvi —^ x j, м; 3) 6 см]
19.2. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один
и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник находится на расстоянии 4 м от
центра динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определите, на какое расстояние от
центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафик­
сировал первый интерференционный минимум. [0,34 м]
19.3. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса ис­
пользуется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Рас­
стояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на
частоте 1700 Гц, составляет 10 см. Определите скорость звука в воздухе. [340 м/с]
19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых усло­
виях составляет 461 м/с. Определите скорость распространения звука при тех же условиях.
[315 м/с]
19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает
звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты Av = 54 Гц. Принимая скорость
звука равной 340 м/с, определите частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [611 Гц]
Глава
20
ЭЛ ЕКТРО М АГН И ТН Ы Е ВОЛНЫ
§ 161. Экспериментальное
получение
электромагнитных волн
Существование электромагнит­
ных волн — переменного электромаг­
нитного поля, распространяющегося в
пространстве с конечной скоростью, —
вытекает из уравнения Максвелла (см.
§ 139). Уравнения Максвелла сформу­
лированы в 1865 г. на основе обобще­
ния эмпирических законов электриче­
ских и магнитных явлений. Как уже ука­
зывалось, решающую роль для утвер­
ждения максвелловской теории сыгра­
ли опыты Герца (1888), согласно кото­
294
рым электрические и магнитные поля
действительно распространяются в
виде волн, поведение которых полно­
стью описывается уравнениями Мак­
свелла.
Источником электромагнитных волн
в действительности может быть любой
электрический колебательный контур
или проводник, по которому течет пе­
ременный электрический ток, так как
для возбуждения электромагнитных
волн необходимо создать в простран­
стве переменное электрическое поле
(ток смещения) или соответственно пе­
ременное магнитное поле. Однако из­
лучающая способность источника опре-
6
в
деляется его формой, размерами и час­ а
тотой колебаний.
Чтобы излучение играло заметную
роль, необходимо увеличить объем про­
странства, в котором создается пере­
Рис. 227
менное электромагнитное поле. Поэто­
му для получения электромагнитных
волн непригодны закрытые колебатель­ конденсатор, возникала искра и в кон­
ные контуры, так как в них электричес­ туре опять наблюдались колебания и
кое поле сосредоточено между обклад­ т.д. Для регистрации электромагнит­
ками конденсатора, а магнитное — ных волн Герц пользовался вторым
внутри катушки индуктивности.
вибратором, называемым резонато­
Г. Герц в своих опытах, уменьшая ром Р, имеющим такую же частоту соб­
число витков катушки и площадь плас­ ственных колебаний, что и излучающий
тин конденсатора, а также раздвигая их вибратор, т.е. настроенным в резонанс
(рис. 227, а, б), совершил переход от с вибратором. Когда электромагнитные
закрытого колебательного контура к волны достигали резонатора, то в его за­
открытому колебательному конту­ зоре проскакивала электрическая искра.
ру (вибратору Герца), представляю­
С помощью описанного вибратора
щему собой два стрежня, разделенных Герц экспериментировал с электромаг­
искровым промежутком (рис. 227, в). нитными волнами, длина волны кото­
Если в закрытом колебательном конту­ рых составляла примерно 3 м. П. Н. Ле­
ре переменное электрическое поле со­ бедев, применяя миниатюрный вибра­
средоточено внутри конденсатора (рис. тор из тонких платиновых стерженьков,
227, а), то в открытом оно заполняет Ок­ получил миллиметровые электромаг­
ружающее контур пространство (рис. нитные волны с X = 6—4 мм.
257, в), что существенно повышает ин­
Дальнейшее развитие методики эк­
тенсивность электромагнитного излу­ сперимента в этом направлении позво­
чения. Колебания в такой системе под­ лило в 1923 г. российскому физику
держиваются за счет источника ЭДС, А. А. Глаголевой-Аркадьевой (1884 —
подключенного к обкладкам конденса­ 1945) сконструировать массовый излу­
тора, а искровой промежуток применя­ чатель, в котором короткие электро­
ется для того, чтобы увеличить разность магнитные волны, возбуждаемые коле­
потенциалов, до которой первоначаль­ баниями электрических зарядов в атоно заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнит­
и
ных волн вибратор Герца (В) подклю­
чался к индуктору (И) (рис. 228). Ког­
да напряжение на искровом промежут­
ке достигало пробивного значения, об­
разовывалась искра, закорачивающая
обе половины вибратора, и в нем воз­
никали свободные затухающие колеба­
ния.'При исчезновении искры контур
размыкался и колебания прекраща­
лись. Затем индуктор снова заряжал
295
Таблица 8
< X уменьшается
1(Г9 10'
10~5 10-4 10"3 10-2 10"1
1
101
10J
Ц
10*
105
X, м
Рентгеновское
—— излучение —>
оя В
К
<
d. о
ЛF
•©
sc• g
я
Гамма- ^
излучение
Микро­
волновое
излучение
Волны, используемые
Д™ радио- и телевещания
-------------------
ю" 10“ 10“ ю
Радиоволны ---------V, Гц
ю14 io1J ю1г ю1:
10®
10е
Ю7
10е
105
10*
103
< v возрастает
Рентгеновское
излучение
Гамма-излучение
г
о
А.
О
3 *105—3 • 1012
3 , 9 - 1013- 3 ,8 - 1014 Лампы
7 , 8 - 10-7—3,9 • 10-7
4 ■10-7- 1 0 - 9
3,8 • 1014—7,7 • 1014 Лазеры
7 , 5 - 1014—3 • 1017
< 10-"
мах и молекулах, генерировались с по­
мощью искр, проскакиваем ы х м еж ду
металлическими опилками, взвеш ен­
ными в масле. Т ак были получены вол­
ны с X от 50 мм до 80 мкм. Тем самым
было доказано сущ ествование волн, пе­
рекрывающих интервал м еж ду радио­
волнами и инфракрасным излучением.
Н едостатком вибраторов Герца и
Л ебедева и массового излучателя Гла­
296
Частота волны, Гц
Таблица9
Некоторые возможные
источники излучения
Колебательный контур
Вибратор Герца
Массовый излучатель
Ламповый генератор
3 • 10~5—7,8 • 10~7
О
Световые волны:
инфракрасное
излучение
видимый свет
ультрафиолетовое
излучение
Классическое
I" I m i
Длина волны, м
Г
Радиоволны
г
ON
Вид излучения
<У"|
О
Квантовое
описание
3 • 1016—5 - 1021
> 3 • 1018
Трубки Рентгена
Радиоактивный распад
Ядерные процессы
Космические процессы
голевой-Аркадьевой являло сь то, что
свободные колебания в них быстро за­
тухали и обладали малой мощностью.
Д ля получения незатухающих колеба­
ний необходимо создать автоколеба­
тельную систему (см. § 146), которая
обеспечивала бы подачу энергии с час­
тотой, равной частоте собственных ко­
лебаний контура. Поэтому в 20-х годах
XX в. перешли к генерированию элект-
ромагнитных волн с помощью элект­
ронных ламп. Ламповые генераторы
позволяют получать колебания задан­
ной (практически любой) мощности и
синусоидальной формы.
Электромагнитные волны, обладая
широким диапазоном частот (или длин
с , где с —скорость электро­
волн \X = —
магнитных волн в вакууме), отличают­
ся друг от друга по способам их генера­
ции и регистрации, а также по своим
свойствам. Поэтому электромагнитные
волны делятся на несколько видов: ра­
диоволны, световые волны, рентгено­
вское и ^-излучения. Следует отметить,
что границы между различными вида­
ми электромагнитных волн довольно
условны. В табл. 8 и 9 приведены шкала
и диапазоны электромагнитных волн.
§ 162. Дифференциальное
уравнение
электромагнитной волны
Как уже указывалось (см. § 161), од­
ним из важнейших следствий уравне­
ний Максвелла (см. § 139) является су­
ществование электромагнитных волн.
Из уравнений Максвелла следует, что
для однородной и изотропной среды вда­
ли от зарядов и токов, создающих элек­
тромагнитное поле, векторы напряжен­
ностей Ей Н переменного электромаг­
нитного поля удовлетворяют волново­
му уравнению типа (154.9):
л -®= Л € г ;
гг o r
(162.1)
где
д= ! ? +8 7 +! ^ - оператор
Лапласа; v —фазовая скорость.
Всякая функция, удовлетворяющая
уравнениям (162.1) и (162.2), описыва­
ет некоторую волну. Следовательно,
электромагнитные поля действительно
могут существовать в виде электромаг­
нитных волн. Фазовая скорость элект­
ромагнитных волн определяется выра­
жением
у=- 1
1 = -р = , (162.3)
yjeоМ-о л/ем- v eH-
1 е0и |х0—соответственно
где с = ,-----;
V е оМ-о
электрическая и магнитная постоян­
ные; е и р, —соответственно электриче­
ская и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при е = 1 и |х = 1) ско­
рость распространения электромагнит­
ных волн совпадает со скоростью с. В ве­
ществе е(х > 1, поэтому скорость распро­
странения электромагнитных волн в ве­
ществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распро­
странения электромагнитного поля по
формуле (162.3) получается результат,
достаточно хорошо совпадающий с эк­
спериментальными данными, если учи­
тывать зависимость е и ц от частоты.
Совпадение же размерного коэффици­
ента в (162.3) со скоростью распрост­
ранения света в вакууме указывает на
глубокую связь между электромагнит­
ными и оптическими явлениями, по­
зволившую Максвеллу создать элект­
ромагнитную теорию света, согласно
которой свет представляет собой элек­
тромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла яв­
ляется также поперечностъ электро­
магнитных волн: векторы Е й //напря­
женностей электрического и магнитно­
го полей волны взаимно перпендику­
лярны (на рис. 229 показана моменталь­
ная «фотография» плоской электромаг­
нитной волны) и лежат в плоскости,
перпендикулярной вектору v скорости
297
где Е0 и Я0 —соответственно амплиту-j
ды напряженностей электрического ж
магнитного полей волны; и —круговая
U) волновое чисчастота волны; к• = ----v
-1
ло; ф —начальные фазы колебаний в
точках с координатой х = 0.
В уравнениях (162.7) и (162.8) фоди­
наково, так как колебания электриче­
ского и магнитного векторов в электро­
магнитной волне происходят в одина­
ковых фазах.
расщюстранения волны, причем векто­
ры Е, Яи v образуют правовинтовую си­
стему. Из уравнений Максвелла следу­
ет также, что в электромагнитной вол­
не векторы Е и Я всегда колеблются
в одинаковых фазах (см. рис. 229), при­
чем мгновенные значения Е и Я в лю­
бой точке связаны соотношением
yfe^E = yJ\i0\iH.
(162.4)
Следовательно, Ей Н одновремен­
но достигают максимума, одновремен­
но обращаются в нуль и т. д. От уравне­
ний (162.1) и (162.2) можно перейти к
уравнениям
д2Еу _ 1 д2Еу .
dt2
(162.5)
Э2Нг | 1 дгН2
дх2 V2 dt*
(162.6)
где соответственно индексы у и г при Е
и Я подчеркивают лишь то, что векто­
ры Е и Я направлены вдоль взаимно
перпендикулярных осей у и z
Уравнениям (162.5) и (162.6) удов­
летворяют, в частности, плоские моно­
хроматические электромагнитные
волны (электромагнитные волны од­
ной строго определенной частоты), опи­
сываемые уравнениями
Еу = Е0 сов(ы£ - kx + tp); (162.7)
Я, = Я0,cos(wt -k x + ip), ( 162.8)
298
§ 163. Энергия и импульс
электромагнитной волны
Возможность обнаружения электро­
магнитных волн указывает на то, что
они переносят энергию. Объемная плот­
ность wэнергии электромагнитной вол­
ны складывается из объемных плотно­
стей щл электрического [см. (95.8)] и гим
магнитного [см. (130.3)] полей:
w=
е0е#2 I 1А0рЯ2
+wu = - ^ —
■
Учитывая выражение (162.4), полу­
чим, что объемные плотности энергии
электрического и магнитного полей в
каждый момент времени одинаковы, т. е.
щл = wu. Поэтому можно записать
V) = 2wm = е0гЕ2 = yje0М>оу/щЕН.
Умножив плотность энергии w на
скорость v распространения волны в
среде [см. (162.3)], получим модуль
плотности потока энергии:
S ==wv —ЕН.
Так как векторы ЕпН взаимно пер­
пендикулярны и образуют с направле­
нием распространения волны право­
винтовую систему, то направление век­
тора [ЕЙ] совпадает с направлением пе­
реноса энергии, а модуль этого вектора
равен ЕН. Вектор плотности пото­
ка электромагнитной энергии назы ­
вается вектором Умова —Пойнтинга.
1 1 [ЕЙ].
Вектор S направлен в сторону рас­
п ространения электр ом агн итн ой в о л ­
ны, а его м о д уль равен энергии, пере­
носимой электром агнитной волной за
единицу времени через единичную п ло­
щ адку, п ер п ен ди к уляр н ую н ап р авле­
нию распространения волны .
Е сли электром агнитны е волны по­
гло щ а ю тся и л и отр аж аю тся т е л а м и
(эти яв лен и я подтверж дены опы тами
Г. Герца), то из теории М аксвелла с ле ­
дует, что электромагнитны е волны д о л ­
жны оказы вать на тела давление.
Д авлен и е электр ом агн и тн ы х волн
об ъ ясн яется тем , что п од д ей ств и ем
электрического п оля волны заряженные
частицы вещ ества начинают уп орядо­
ченно двигаться и подвергаются со сто­
роны магнитного п оля волны действию
сил Лоренца. Однако значение этого дав­
ления ничтожно мало. М ожно оценить,
что при средней мощности солнечного
излучения, приходящего на Землю, дав­
ление д л я абсолю тно поглощающей по­
верхности составляет примерно 5 мкПа.
В исключительно тонких эксперимен­
тах, ставших классическими, П. Н. Л еб е­
дев в 18 9 9 г. доказал существование све­
тового д ав лен и я на тверды е тела, а в
1 9 1 0 г. — на газы. Опыты П. Н. Л еб еде­
ва им ели огромное значение д л я утвер­
ж дения вы водов теории М ак свелла о
том, что свет п редставляет собой элек ­
тромагнитны е волны.
С ущ ествован ие дав лен и я элек тр о­
магнитных волн приводит к вы воду о
том, что им присущ механический и м ­
пульс. Э лектром агнитная волна, н есу­
щая энергию W, обладает и мпульсом
с
§ 164. Излучение диполя.
Применение
электромагнитных волн
Простейш им и злуч ателем элек тр о­
магнитны х волн я в л я е т с я элек тр и ч е­
ский диполь, электрический м омент ко­
торого изм еняется во времени по гар­
моническому закону
р = Роcosuit,
где р0 — ам п ли туда вектора р.
Примером подобного д и п оля мож ет
с л у ж и т ь си с те м а , о б р а зо в а н н а я н е ­
подвиж ны м точечны м зар ядом +Q и
к олеб лю щ и м ся о к о ло него в д о ль н а­
правления р с частотой и точечного за­
ряда 1 Q.
Задача об излучении д и п оля имеет
в теории излучаю щ их систем важное
значение, так как всякую реальную из­
лучаю щ ую систему (например, антен­
н у) можно рассчитывать, рассматривая
излучение диполя. Кроме того, многие
вопросы взаимодействия и злуч ен и я с
веществом можно объяснять на основе
к ла с си ч е с к о й теор и и , р а с с м атр и в а я
атомы как системы зарядов, в которых
электроны соверш ают гармонические
колебания около их полож ений равно­
весия.
Х арактер электром агн итн ого п оля
дип оля зависит от выбора рассматрива­
емой точки. Особый интерес подставля­
ет так называемая волновая зона дипо­
ля — точки пространства, отстоящие от
ди п оля на расстояниях г, значительно
превышающих д ли н у волны ( г » X), —
так как в ней картина электром агнит­
ного п оля ди п оля сильно упрощ ается.
Это связано с тем, что в волновой зоне
д и п о ля практически остаю тся только
«отпочковавш иеся» от ди п оля свобод­
но распространяющ иеся п оля, в то вре­
м я как п оля, колеблю щ и еся вместе с
д и п о л е м и имею щ ие б о лее слож ную
299
структуру, сосредоточены в области
расстояний г < X.
Если волна распространяется в од­
нородной изотропной среде, то время
прохождения волны до точек, удален­
ных от диполя на расстояние г, одина­
ково. Поэтому во всех точках сферы,
центр которой совпадает с диполем,
фаза колебаний одинакова, т.е. в вол­
новой зоне волновой фронт будет сфе­
рическим и, следовательно, волна, из­
лучаемая диполем, есть сферическая
волна.
В каждой точке векторы Е и Н ко­
леблются по закону cos (wf —кг), амп­
литуды этих векторов пропорциональ­
ны —sin0 (для вакуума), т. е. зависят от
расстояния г до излучателя и угла 0
между направлением радиуса-вектора и
осью диполя. Отсюда следует, что ин­
тенсивность излучения диполя в вол­
новой зоне
(164.1)
Г2
Зависимость (164.1) /от 0 призадан­
ном значении г, приводимая в поляр­
ных координатах (рис. 230), называет­
ся диаграммой направленного излу­
чения диполя. Как видно из выражения
(164.1) и приведенной диаграммы, ди­
поль сильнее всего излучает в направ­
лениях, перпендикулярных его оси
( 0 = ^ ). Вдоль своей оси (0 = 0 и 0 = тг)
диполь не излучает вообще. Диаграм­
ма направленности излучения диполя
Рис. 230
300
позволяет формировать излучение с оп­
ределенными характеристиками и ис­
пользуется при конструировании ан­
тенн.
Впервые электромагнитные волны
были использованы через семь лет пос­
ле опытов Герца. 7 мая'1895 г. препода­
ватель физики офицерских минных
классов А. С. Попов (1859 —1906) на за­
седании Русского физико-химического
общества продемонстрировал первый в
мире радиоприемник, открывший воз­
можность практического использова­
ния электромагнитных волн для бес­
проволочной связи, преобразившей
жизнь человечества. Первая передан!
ная в мире радиограмма содержала
лишь два слова: «Генрих Герц». Изоб­
ретение радио Поповым сыграло огром­
ную роль для распространения и разви­
тия теории Максвелла.
Электромагнитные волны сантимет­
рового и миллиметрового диапазонов,
встречая на своем пути преграды, отра­
жаются от них. Это явление лежит в"
основе радиолокации —обнаружения
предметов (например, самолетов, ко­
раблей и т.д.) на больших расстояниях
и точного определения их положения.
Помимо этого, методы радиолокации
используются для наблюдения прохож­
дения и образования облаков, движе­
ния метеоритов в верхних слоях атмо­
сферы и т.д.
Для электромагнитных волн харак­
терно явление дифракции —огибания
волнами различных препятствий. Имен­
но благодаря дифракции радиоволн
возможна устойчивая радиосвязь меж­
ду удаленными пунктами, разделенны­
ми между собой выпуклостью Земли.
Длинные волны (сотни и тысячи
метров) применяются в фототелегра­
фий, короткие волны (несколько мет­
ров и менее) применяются в телевиде­
нии для передачи изображений на не-
большие расстояния (немногим боль­
ше пределов прямой видимости).
Электромагнитные волны использу­
ются такж е в радиогеодезии для очень
точного определения расстояний с по­
мощью радиосигналов, в радиоастроно­
мии для исследования радиоизлучения
небесных тел и т.д. Полное описание
применения электром агнитны х волн
дать практически невозможно, так как
нет областей науки и техники, где бы
они не использовались.
Контрольные вопросы
Что такое электромагнитная волна? Какова скорость ее распространения?
Что может служить источником электромагнитных волн?
Каковы физические процессы, приводящие к возможности существования электромаг­
нитных волн?
Почему Герц в своих опытах использовал открытый колебательный контур?
Как можно представить себе шкалу электромагнитных волн, и каковы источники излу­
чения разных видов волн?
Какие характеристики поля периодически изменяются в бегущей электромагнитной
волне?
Почему слагаемое
в уравнении Максвелла
=jij
d«S нужно для по­
нимания распространения электромагнитной волны?
Запишите волновое уравнение для векторов ЕтлН переменного электромагнитного поля.
Проанализируйте его решения и объясните физический смысл.
Как определяется фазовая скорость электромагнитных волн?
Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне?
В чем заключается физический смысл вектора Умова —Пойнтинга? Чему он равен?
Почему важна задача об излучении диполя?
В чем заключается физический смысл диаграммы направленности излучения диполя?
З А ДА ЧИ
20.1. Электромагнитная волна с частотой 4 МГц переходит из немагнитной среды с ди­
электрической проницаемостью е = 3 в вакуум. Определите приращение ее длины волны.
[31,7 м]
20.2. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а другие индуктив­
но соединены с генератором электромагнитных колебаний, погружены в спирт. При соот­
ветствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние
между двумя узлами стоячих волн на проводах равно 0,5 м. Принимая диэлектрическую
проницаемость спирта е = 26, а его магнитную проницаемость ц = 1, определите частоту
колебаний генератора. [58,6 МГц]
20.3. В вакууме вдоль оси а:распространяется плоская электромагнитная волна. Ампли­
туда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определите интен­
сивность волны, т. е. среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу пло­
щади, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. [0,47 Вт/м2]
ЧАСТЬ 5
ОПТИКА.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Глав а 21
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМ ЕТРИЧЕСКОЙ
И ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ
§ 165. Основные законы оптики.
Полное отражение
Еще до установления природы све­
та были известны следующие основные
законы оптики: закон прямолинейного
распространения света в оптически од­
нородной среде; закон независимости
световых пучков (справедлив только в
линейной оптике); закон отражения
света; закон преломления света.
Закон прямолинейного распрост­
ранения света : свет в оптически одно­
родной среде распространяется прямо­
линейно.
Доказательством этого закона явля­
ется наличие тени с резкими граница­
ми от непрозрачных предметов при ос­
вещении их точечными источниками
света (источники, размеры которых
значительно меньше освещаемого пред­
мета и расстоянии до него). Однако экс­
перименты показали, что этот закон на­
рушается, если свет проходит сквозь
очень малые отверстия, причем откло­
нение от прямолинейности распростра­
нения тем больше, чем меньше отвер­
стия.
Закон независимости световых
пучков: эффект, производимый отдель­
ным пучком, не зависит от того, дей­
302
ствуют ли одновременно остальные
пучки или они устранены. Разбивая
световой поток на отдельные световые
пучки (например, с помощью диаф­
рагм), можно показать, что действие
выделенных световых пучков незави­
симо.
Если свет падает на границу раздела
двух сред (двух прозрачных веществ),
то падающий луч I (рис. 231) разделя­
ется на два —отраженный II и прелом­
ленный III, направления которых зада­
ются законами отражения и преломле­
ния.
Закон отражения света: отражен­
ный луч лежит в одной плоскости с па­
дающим лучом и перпендикуляром,
проведенным к границе раздела двух
сред в точке падения; угол Отражения i[
равен углу падения %:
i e hПадающий
луч
I
I
Отраженный
луч
/ U
1
Преломленный
I у 1
III
Рис. 231
Закон преломления света: луч па­
дающий, луч преломленный и перпен­
дикуляр, проведенный к границе разде­
ла в точке падения, лежат в одной плос­
кости; отношение синуса угла падения
к синусу угла преломления есть вели­
чина постоянная для данных сред:
Если свет распространяется из сре­
ды с большим показателем преломле­
ния щ (оптически более плотной) в сре­
ду с меньшим показателем преломле­
ния п2 (оптически менее плотную)
(щ > п2), например из стекла в воду, то,
согласно (165.4),
sin ц = П21,
Sin _ Щ
>1.
sin 1
я2
(165.1)
sin *2
где п21 — показатель преломления
второй среды относительно первой
(<относительный показатель пре­
ломления). Индексы в обозначениях
углов iv i[, г2 указывают, в какой среде
(первой или второй) идет луч.
Относительный показатель прелом­
ления двух сред равен отношению их
абсолютных показателей преломления:
71о
П21 = —
(165.2)
Абсолютным показателем пре­
ломления среды называется величина п,
равная отношению скорости с электро
магнитных волн в вакууме к их фазо­
вой скорости v в среде:
с
п = —.
v
(165.3)
При сравнении (165.3) с (162.3) видно,
что п —у/цИ, где е и ц- —соответственно
электрическая и магнитная проницае­
мости среды. Учитывая (165.2), закон
преломления (165.1) можно записать в
виде
щ sinij = n2sin^2.
(165.4)
Из симметрии выражения (165.4) вы­
текает обратимость световых лучей.
Если обратить луч III(см. рис. 231), за­
ставив его падать на границу раздела
под углом г2, то преломленный луч в
первой среде будет распространяться
под углом т. е. пойдет в обратном на­
правлении вдоль луча I.
Отсюда следует, что преломленный
луч удаляется от нормали и угол пре­
ломления г2больше, чем угол падения ц
(рис. 232, а). С увеличением угла паде­
ния увеличивается угол преломления
(рис. 232, б, в) до тех пор, пока при не­
котором угле падения (ц = гпр) угол
'К
преломления не окажется равным —.
Угол гпр называется предельным у г­
лом. При углах падения ц > гпрвесь па­
дающий свет полностью отражается
(рис. 232, г).
По мере приближения угла падения
к предельному интенсивность прелом­
ленного луча уменьшается, а отражен­
ного — растет. Если ц — гпр, то интен­
сивность преломленного луча обраща­
ется в нуль, а интенсивность отражен­
ного равна интенсивности падающего.
Таким образом, при углах падения в
пределах от гпр до ^ луч не преломля-
ш
ТТ>
2
7^2
Рис. 232
303
ется, а полностью отражается в первую
среду, причем интенсивности отражен­
ного и падающего лучей одинаковы.
Это явление называется полным о т р а ­
жением.
Предельный угол гпр определим из
формулы (165.4) при подстановке в нее
тс
V
Тогда
sin г,пр = — = тг21.
(165.5)
У равнение (1 6 5 .5 ) удо вл етво р яет
значениям угла гпр при п2 Ц щ. Следо­
вательно, явление полного отражения
имеет место только при падении света
из среды оптически более плотной в сре­
ду оптически менее плотную.
Явление полного отражения использует­
ся в призмах полного отражения. Показа­
тель преломления стекла равен п й 1,5, по­
этому предельный угол для границы стек­
ло—воздух равен inp=arcsin— =42°.Всвя1,5
зи с этим при падении света на границу стек­
ло —воздух при i > 42° всегда будет иметь
место полное отражение. На рис. 233, а —в
показаны призмы полного отражения, по­
зволяющие: а) повернуть луч на 90°; б) по­
вернуть изображение; в) обернуть лучи. Та­
кие призмы применяются в оптических при­
борах (например, в биноклях, перископах),
Э
Поворачивает
лучи на 90°
Поворачивает
изображение
Рис. 233
Рис. 234
304
Оборачивает
лучи
а также в рефрактометрах, позволяющих
определять показатели преломления тел (по
закону преломления, измеряя гпр, находим
относительный показатель преломления
двух сред, а также абсолютный показатель
преломления одной из сред, если показатель
преломления другой среды известен).
Явление полного отражения использует­
ся также в световодах ( светопроводах),
представляющих собой тонкие, произволь­
ным образом изогнутые нити (волокна) из
оптически прозрачного материала. В воло­
конных деталях применяют стеклянное во­
локно, световедущая жила (сердцевина)
которого окружается стеклом —оболочкой
из другого стекла с меньшим показателем
преломления. Свет, падающий на торец све­
товода под углами, большими предельного,
претерпевает на поверхности раздела серд­
цевины и оболочки полное отражение и рас­
пространяется только по световедущей жиле
(рис. 234).
Таким образом, с помощью световодов
можно как угодно искривлять путь светово­
го пучка. Диаметр световедущих жил лежит
в пределах от нескольких микрометров до
нескольких миллиметров. Для передачи
изображений, как правило, применяются
многожильные световоды. Вопросы переда­
чи световых волн и изображений изучают­
ся в специальном разделе оптики —воло­
конной оптике, возникшей в 50-е годы
XX столетия. Световоды используются в
электронно-лучевых трубках, электронно­
счетных машинах, для кодирования инфор­
мации, в медицине (например, диагностика
желудка), для целей интегральной оптики
и т. д.
§ 166. Тонкие линзы.
Изображения предметов
с помощ ью линз
Раздел оптики, в котором законы
распространения света рассматривают­
ся на основе представления о световых
лучах, называется геометрической оп­
тикой. Под световыми лучами пони­
мают нормальные к волновым поверх-
ностям линии, вдоль которых распрос­
траняется поток световой энергии. Гео­
метрическая оптика, оставаясь прибли­
женным методом построения изобра­
жений в оптических системах, позволя­
ет разобрать основные явления, связан­
ные с прохождением через них света, и
является поэтому основой теории оп­
тических приборов.
Линзы представляют собой прозрач­
ные тела, ограниченные двумя поверх­
ностями (одна из них обычно сферичес­
кая, иногда цилиндрическая, а вторая —
сферическая или плоская), преломля­
ющими световые лучи, способные фор­
мировать оптические изображения
предметов.
Материалом для линз служат стекло,
кварц, кристаллы, пластмассы и т. п. По
внешней форме (рис. 235) линзы делят­
ся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковы­
пуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свой­
ствам линзы делятся на собирающие и
рассеивающие.
Линза называется тонкой, если ее
толщина (расстояние между ограничи­
вающими поверхностями) значительно
меньше по сравнению с радиусами по­
верхностей, ограничивающих линзу.
Прямая, проходящая через центры кри­
визны поверхностей линзы, называет­
ся главной оптической осью.
Для всякой линзы существует точ­
ка, называемая оптическим центром
линзы, лежащая на главной оптической
оси и обладающая тем свойством, что
лучи проходят сквозь нее не преломля­
ясь. Оптический центр О линзы для
простоты будем считать совпадающим
с геометрическим центром средней ча­
сти линзы (это справедливо только для
двояковыпуклой и двояковогнутой
линз с одинаковыми радиусами кривиз­
ны обеих поверхностей; для плосковы-
1
1
2
3
4
(
1
1
Рис. 235
5
6
пуклых и плосковогнутых линз опти­
ческий центр О лежит на пересечении
главной оптической оси со сферической
поверхностью).
Для вывода формулы тонкой лин­
зы —соотношения, связывающего ра­
диусы кривизны Ri и R2 поверхностей
линзы с расстояниями а и b от линзы
до предмета и его изображения, —вос­
пользуемся принципом Ферма}, или
принципом наименьшего времени :
действительный путь распространения
света (траектория светового луча) есть
путь, для прохождения которого свету
требуется минимальное время по срав­
нению с любым другим мыслимым пу­
тем между теми же точками.
Рассмотрим два световых луча (рис.
236) —луч, соединяющий точки А и В
(луч АОВ), и луч, проходящий через
край линзы (луч АСВ ), —воспользо­
вавшись условием равенства времени
прохождения света вдоль АОВ и АСВ.
Время прохождения света вдоль А ОВ
1
П. Ферма (1601 —1665) —французский ма­
тематик и физик.
305
Аналогично,
.
a + N(e + d) + b
h -------*——----- S ;
с
где N = —— относительный показа711
тель преломления
( п и щ — соответ­
ственно абсолютные показатели пре­
ломления линзы и окружающей среды).
Время прохождения света вдоль АСВ
равно
Подставив найденные выражения в
(166.1), получим
| _ V(e + е)2 + Л2 + J(b + d)2 + h2
h .......... ........... • 111111
Для тонкой линзы е < а и d <С 6, по­
этому (166.2) можно представить в виде
■с
= h+d+W + iy
(166.2)
ШЯМ
Так как tx= t2, то
о + N(e ■+■d) Н~Ь—
|
Учитывая, что е = R2 —<Jr 2 —h2 = '
= yj(a + е)2 + Л2 + у1(Ъ+ d f Ч-Л2. (166.1)
Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи, т.е. лучи, образующие с
оптической осью малые углы. Только
при использовании параксиальных лу­
чей получается стигматическое изоб­
ражение, т.е. все лучи параксиального
пучка, исходящего из точки А, пересе­
кают оптическую ось в одной и той же
точке В. Тогда h < (а + е), h < (6 + d) и
yj(a + e)2 + h2 = (о + e)^jl +
= (а + е)
[ 1)1
2 '[а+е/
Л2
(а + е)2
= а + е+
11
1 21Ла
Л2
,
Л2
*** —— и соответственно а= ——
, полу2/<2
2ii[
чим
( 1 6 6 '3 )
Выражение (166.3) представляет собой
формулу тонкой линзы. Радиус кри­
визны выпуклой поверхности линзы
считается положительным, вогнутой —
отрицательным.
Если а = оо, т. е. лучи падают на линзу
параллельным пучком (рис. 237, а), то
2(а + с)
Н М т ^ Ч 1Рис. 237
а
Соответствующее этому случаю рас­
стояние b = OF = /называется фокус­
ным расстоянием линзы, определяе­
мым по формуле
О
/
6
А
J
306
п
о
/=
1
Фокусное расстояние зависит от от­
носительного показателя преломления
и радиусов кривизны.
Если b = оо, т. е. изображение нахо­ называется опт ической силой линзы.
дится в бесконечности и, следователь­ Ее единица —диоптрия (дптр). Диопт­
но, лучи выходят из линзы параллель­ р и я —оптическая сила линзы с фокус­
ным расстоянием 1 м: 1 дптр = 1 м-1.
ным пучком (рис. 237, б), то а = OF= f
Линзы с полож ит ельной оптиче­
Таким образом, фокусные расстояния
линзы, окруженной с обеих сторон оди­ ской силой являются собирающими,
наковой средой, равны. Точки F, лежа­ с отрицательной —рассеивающими.
щие по обе стороны линзы на расстоя­ Плоскости, проходящие через фокусы
нии, равном фокусному, называются линзы перпендикулярно ее главной оп­
фокусами линзы. Фокус —это точка, тической оси, называются фокальны­
в которой после преломления собира­ ми плоскостями. В отличие от соби­
ются все лучи, падающие на линзу па­ рающей рассеивающая линза имеет
мнимые фокусы. В мнимом фокусе схо­
раллельно главной оптической оси.
дятся (после преломлёния) вообража­
Величина
емые продолжения лучей, падающих на
рассеивающую линзу параллельно глав­
ной оптической оси (рис. 238).
(1 6 6 4 )
Т а б л и ц а 10
Линза
Собирающая
Рассеивающая
Расположение
изображения
Особенности
изображения
За двойным
фокусным
расстоянием
Между фокусом и
двойным фокусом по
другую сторону линзы
Действительное, пере­
вернутое, уменьшенное
В двойном
фокусе
В двойном фокусе по
другую сторону линзы
Действительное, пере­
вернутое, по величине
равно самому предмету
Между двойным
фокусным
расстоянием и
фокусом
За двойным фокусным
расстоянием по другую
сторону линзы
Действительное, пере­
вернутое, увеличенное
В фокусе
Видимого изображения
нет (изображение в
бесконечности)
Между фокусом
и линзой
За предметом, по ту же
сторону линзы, что и
предмет
Мнимое, прямое,
увеличенное
Любое
Между предметом и
линзой, по ту же
сторону линзы, что и
предмет
Мнимое, прямое,
уменьшенное
Расположение
предмета
307
Рис. 238
щ__
F
V 7—
•F
. *—
Учитывая (166.4), формулу линзы
(166.3) можно записать в виде
Для рассеивающей линзы расстоя­
ния /и Ьнадо считать отрицательными.
Построение изображения предмета
в линзах осуществляется с помощью
следующих лучей:
1) луча, проходящего через оптичес­
кий центр линзы и не изменяющего сво­
его направления;
2) луча, идущего параллельно глав­
ной оптической оси; после преломлеА
2F 1
г
/L
_
А'
ния в линзе этот луч (или его продол­
жение) проходит через второй фокус'
линзы;
3) луча (или его продолжения), про­
ходящего через первый фокус линзы;
после преломления в ней он выходит из
линзы параллельно ее главной оптичес­
кой оси.
Для примера приведены построения
изображений в собирающей (рис. 239)
и в рассеивающей (рис. 240) линзах:
действительное (рис. 239, а ) и мнимое
(рис. 239,б) изображения —в собира­
ющей линзе, мнимое —в^рассеивающей. I
В табл. 10 приведены особенности изображений в линзах.
Отношение линейных размеров изо-*
бражения и предмета называется ли­
нейным увеличением линзы. Отрица-•,
тельным значениям линейного увели­
чения соответствует действительное j
изображение (оно перевернутое), поло-1
жительным — мнимое изображение
(оно прямое). Комбинации собираю- s
щих и рассеивающих линз применяют- |
ся в оптических Приборах, используе- •
мых для решения различных научных ,
и технических задач.
§ 167. Аберрации (погрешности)
оптических систем
Рис. 239
Рис. 240
308
Рассматривая прохождение света че­
рез тонкие линзы, мы ограничивались
параксиальными лучами (см. § 166). По­
казатель преломления материала линзы
считали не зависящим от длины волны
падающего света, а падающий свет —
монохроматическим. Так как в реальных
оптических системах эти условия не
выполняются, то в них возникают иска­
жения изображения, называемые абер­
рациями (или погрешностями).
1.
Сферическая аберрация. Есл
расходящийся пучок света падает на
линзу, то параксиальные лучи после
преломления пересекаются в точке S
(на расстоянии OS' от оптического цен­
тра линзы), а лучи, более удаленные от
оптической оси, —в точке S", ближе к
линзе (рис. 241). В результате изобра­
жение светящейся точки на экране, пер­
пендикулярном оптической оси, будет
в виде расплывчатого пятна. Этот вид
погрешности, связанный со сферично­
стью преломляющих поверхностей, на­
зывается сферической аберрацией.
Количественной мерой сфериче­
ской аберрации является отрезок б =
= OS" — OS'. Применяя диафрагмы
(ограничиваясь параксиальными луча­
ми), можно сферическую аберрацию
уменьшить, однако при этом уменьша­
ется светосила линзы. Сферическую
аберрацию можно практически устра­
нить, составляя системы из собирающих
(6 < 0) и рассеивающих (8 > 0) линз.
Сферическая аберрация является час­
тным случаем астигматизма.
2. Кома. Если через оптическую си­
стему проходит широкий пучок от све­
тящейся точки, расположенной не на
оптической оси, то получаемое изобра­
жение этой точки будет в виде освещен­
ного пятнышка, напоминающего кометный хвост. Такая погрешность называ­
ется комой. Устранение комы произво­
дится теми же приемами, что и сфери­
ческой аберрации.
3. Дисторсия. Погрешность, при ко­
торой при больших углах падения лу­
чей на линзу линейное увеличение для
точек предмета, находящихся на разных
расстояниях от главной оптической
оси, несколько различается, называет­
ся дисторсией. В результате наруша­
ется геометрическое подобие между
предметом (прямоугольная сетка, рис.
242, а) и его изображением (рис. 242, б
— подушкообразная дисторсия, рис.
242, в —бочкообразная дисторсия).
Дисторсия особенно опасна в тех
случаях, когда оптические системы
применяются для съемок, например
при аэрофотосъемке, в микроскопии и
т.д. Дисторсию исправляют соответ­
ствующим подбором составляющих ча­
стей оптической системы.
4.
Хроматическая аберрация. До
сих пор мы предполагали, что коэффи­
циенты преломления оптической сис-'
темы постоянны. Однако это утвержде­
ние справедливо лишь для освещения
оптической системы монохроматичес­
ким светом (X = const); при сложном
составе света необходимо учитывать за­
висимость коэффициента преломления
вещества линзы (и окружающей среды,
если это не воздух) от длины волны (яв­
ление дисперсии). При падении на оп­
тическую систему белого света отдель­
ные составляющие его монохромати­
ческие лучи фокусируются в разных
точках (наибольшее фокусное рассто­
яние имеют красные лучи, наимень­
шее —фиолетовые), поэтому изображе­
ние размыто и по краям окрашено. Это
явление называется хроматической
аберрацией. Так как разные сорта сте­
кол обладают различной дисперсией,
а
б
в
Рис. 242
309
Ц 1) энергетические — характеризу­
то, комбинируя собирающие и рассеива­
ют энергетические параметры оптичес­
ющие линзы из различных стекол, мож­
кого излучения безотносительно к его
но совместить фокусы двух (ахрома­
действию на приемники излучения;
ты ) и трех (апохроматы) различных
v 2) световые — характеризуют фи­
цветов, устранив тем самым хроматиче­
зиологические действия света и оцени­
скую аберрацию. Системы, исправлен­
ваются по воздействию на глаз (исхо­
ные на сферическую и хроматическую
дят из так называемой средней чувстви­
аберрации, называются апланатами.
5.
Астигматизм. Погрешность, обус­ тельности глаза) или другие приемни­
ки излучения.
ловленная неодинаковостью кривизны
1.
Энергетические величины. Д
оптической поверхности в разных плос­
костях сечения падающего на нее све­ 'JmoK излучения Фе — величина, равная
тового пучка, называется астигматиз­
отношению энергии W излучения ко
мом. Так, изображение точки, удален­
времени t, за которое излучение про­
изошло:
ной от главной оптической оси, наблю­
дается на экране в виде расплывчатого
пятна эллиптической формы. Это пят­
но в зависимости от расстояния экрана
до оптического центра линзы вырожда­
Единица потока излучения — в а т т
ется либо в вертикальную, либо в гори­
(Вт).
зонтальную прямую.
j Энергетическая светимость (изАстигматизм исправляется подбором
лучательность) Re — величина, рав­
радиусов кривизны преломляющих по­
ная отношению потока излучения Фе,
верхностей и их фокусных расстояний.
испускаемого поверхностью, к площа­
Системы, исправленные на сферическую
ди S сечения, сквозь которое этот поток
и хроматическую аберрации и астигма­
проходит:
тизм, называются анастигматами.
Устранение аберраций возможно
лишь подбором специально рассчитан­
ных сложных оптических систем. Од­
т. е. представляет собой поверхностную
новременное исправление всех погреш­
плотность потока излучения.
ностей — задача крайне сложная, а
Единица энергетической светимос­
иногда даже неразрешимая. Поэтому
ти —в а т т на метр в квадрате (Вт/м2).
обычно устраняются полностью лишь
Энергетическая сила света (сила
те погрешности, которые в том или
излучения) 1еопределяется с помощью
ином случае особенно вредны.
понятия о точечном источнике света —
источнике, размерами которого по срав­
нению с расстоянием до места наблю­
§ 168. Основные фотометрические
дения можно пренебречь. Энергетичес­
величины и их единицы
кая сила света Ц — величина, равная
отношению потока излучения Феисточ­
Фотометрия —раздел оптики, за­
ника к телесному углу ы, в пределах ко­
нимающийся вопросами измерения ин­
торого это излучение распространяется:
тенсивности света и его источников.
В фотометрии используются следую­
щие величины:
и
310
Единица энергетической силы света —
в а т т на стерадиан (Вт/ср).
^ Энергетическим яркость (лучис­
то ст ь ) Ве—величина, равная отноше­
нию энергетической силы света А 1е
элемента излучающей поверхности к
площади Л S проекции этого элемента
на плоскость, перпендикулярную на­
правлению наблюдения:
нию (по его действию на селективный
приемник света с заданной спектраль­
ной чувствительностью).
Единица светового потока —люмен
(лм): 1 лм —световой поток, испускае­
мый точечным источником силой све­
та в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср
(при равномерности поля излучения
внутри телесного угла) (1 лм = 1 кд •ср).
kJ Светимость R определяется соот­
ношением
Единица энергетической яркости —
в а т т на стерадиан-метр в квадра­
Единица светимости — люмен на
т е [Вт/(ср •м2)].
J Энергетическая освещенность метр в квадрате (лм/м2).
rJЯркость By светящейся поверхнос­
(iоблученность) Ее характеризует ве­
ти в некотором направлении ip есть ве­
личину потока излучения, падающего
личина, равная отношению силы света
на единицу освещаемой поверхности.
I в этом направлении к площади S про­
Единица энергетической освещенности
екции светящейся поверхности на плос­
совпадает с единицей энергетической
кость, перпендикулярную данному на­
светимости (Вт/м2).
2.
Световые величины. При опти­ правлению:
ческих измерениях используются раз­
личные приемники излучения (напри
?
S cos ip
мер, глаз, фотоэлементы, фотоумножи­
Единица яркости — кандела на
тели), которые не обладают одинаковой
чувствительностью к энергии различ­ метр в квадрате (кд/м2).
\J Освещенность Е — величина, рав­
ных длин волн, являясь, таким образом,
ная отношению светового потока Ф, па­
селективными ( избирательными).
Каждый приемник излучения характе­ дающего на поверхность, к площади 5
этой поверхности:
ризуется своей кривой чувствительно­
сти к свету различных длин волн. По­
этому световые измерения, являясь
субъективными, отличаются от объек­
Единица освещенности —люкс (лк):
тивных, энергетических и для них вво­
1 лк — освещенность поверхности, на
дятся световые единицы, используемые
1 м2 которой падает световой поток в
только для видимого света.
1 лм (1 лк = 1 лм/м2).
Основной световой единицей в СИ
является единица силы света —кандела
(кд), определение которой дано выше
§ 169. Элементы
(см. Введение). Определение световых
электронной оптики
единиц аналогично энергетическим.
"^Световой поток Ф определяется
Область физики и техники, в кото­
как мощность оптического излучения
рой изучаются вопросы формирования,
по вызываемому им световому ощуще­
311
Если расходящийся пучок заряженных
фокусировки и отклонения пучков за­
частиц попадает в однородное магнитное
ряженных частиц и получения с их по­
поле, направленное вдоль оси пучка, то ско­
мощью изображений под действием
рость каждой частицы можно разложить на
электрических и магнитных полей в
два компонента: поперечный и продольный.
вакууме, называется электронной оп­
Первый из них определяет равномерное
тикой. Комбинируя различные электдвижение по окружности в плоскости, пер­
ронно-оптические элементы — элект­
пендикулярной направлению поля (см.
ронные линзы, зеркала, призмы — со­
§ 115), второй —равномерное прямолиней­
ное движение вдоль поля. Результирующее
здают электронно-оптические приборы,
движение частицы будет происходить по
например электронно-лучевую трубку,
спирали, ось которой совпадает с направле­
электронный микроскоп, электронно­
нием поля. Для электронов, испускаемых
оптический преобразователь.
под различными углами, нормальные со­
1.
Электронные линзы представля­ ставляющие скоростей будут различны, т. е.
ют собой устройства, с помощью элек­
будут различны и радиусы описываемых
трических и магнитных полей которых
ими спиралей. Однако отношение нормаль­
формируются и фокусируются пучки
ных составляющих скорости к радиусам
спиралей за период вращения (см. § 115)
заряженных частиц. Существуют элек­
будет для всех электронов одинаково; сле­
тростатические и магнитные линзы.
довательно, через один оборот все электро­
В качестве электростатической
ны сфокусируются в одной и той же точке
линзы может быть использовано элек­
на оси магнитной линзы.
трическое поле с вогнутыми и выпук­
«Преломление» электростатических
лыми эквипотенциальными поверхно­
и магнитных линз зависит от их фокус­
стями, например в системах металличе­
ных расстояний, которые определяют­
ских электродов и диафрагм, обладаю­
ся устройством линзы, скоростью элек­
щих осевой симметрией. На рис. 243
тронов, разностью потенциалов, прило­
изображена простейшая собирающая
женной к электродам (электростатичес­
электростатическая линза, где А —точ­
кая линза), и индукцией магнитного
ка предмета, В — ее изображение, пун­
поля (магнитная линза). Изменяя раз­
ктиром показаны линии напряженнос­
ность потенциалов или регулируя ток
ти поля.
в катушке, можно изменить фокусное
М агнитная линза обычно пред­
расстояние линз. Стигматическое изоб­
ставляет собой соленоид с сильным
ражение предметов в электронных лин­
магнитным полем, коаксиальным пуч­
зах получается только для параксиаль­
ку электронов. Чтобы магнитное поле
ных электронных пучков.
сконцентрировать на оси симметрии,
Как и в оптических системах (см.
соленоид помещают в железный кожух
§ 167), в электронно-оптических эле­
с узким внутренним кольцевым разре­
ментах также имеют место погрешнос­
зом.
ти: сферическая аберрация, кома, дисторсия, астигматизм. При разбросе ско­
ростей электронов в пучке наблюдает­
ся также и хроматическая аберрация.
Аберрации ухудшают разрешающую
способность и качество изображения, а
поэтому в каждом конкретном случае
необходимо их устранять.
Рис. 243
312
2.
Электронные микроскопы —ус­
Рис. 244
тройства, предназначенные для полу­
чения изображения микрообъектов; в
них в отличие от оптических микро­
скопов вместо световых лучей исполь­
зуют ускоренные до больших энергий
(30 —100 кэВ и более) в условиях глу­
бокого вакуума (примерно 0,1 мПа)
электронные пучки, а вместо обычных
линз — электронные линзы. В элект­
ронных микроскопах предметы рас­
сматриваются либо в проходящем, либо
в отраженном потоке электронов, по­
этому различают просвечивающие и
отражательные электронные мик­
роскопы.
На рис. 244 приведена принципиаль­
ная схема просвечивающего электрон­
ного микроскопа. Электронный пучок,
формируемый электронной пушкой 7,
попадает в область действия конденС помощью электронных микроско­
сорной линзы 2, которая фокусирует на
объекте 3 электронный пучок необхо­ пов можно добиться значительно боль­
димого сечения и интенсивности. Прой­ ших увеличений (до 106раз), что позво­
дя объект и испытав в нем отклонения, ляет наблюдать детали структур разме­
электроны проходят вторую магнитную рами 0,1 нм.
3. Электронно-оптические преоб­
линзу —объектив 4 —и собираются ею
в промежуточное изображение 5. Затем разователи —это устройства, предназ­
с помощью проекционной линзы 6 на наченные для усиления яркости свето­
флуоресцирующем экране достигается вого изображения и преобразования не­
видимого глазом изображения объекта
окончательное изображение 7.
Разрешающая способность элект­ (например, в инфракрасных или ульт­
ронного микроскопа ограничивается, с рафиолетовых лучах) в видимое. Схема
одной стороны, волновыми свойствами простейшего электронно-оптического
(дифракцией) электронов, с другой — преобразователя приведена на рис. 245.
аберрациями электронных линз. Соглас­ Изображение предмета А с помощью
но теории, разрешающая способность оптической линзы 1 проецируется на
микроскопа пропорциональна длине фотокатод 2. Излучение от объекта вы­
волны, а так как длина волны применя­ зывает с поверхности фотокатода фотоемых электронных пучков (примерно
1 пм) в тысячи раз меньше длины вол­
ны световых лучей, то разрешение элек­
тронных микроскопов соответственно
больше и составляет 0,01—0,0001 мкм
(для оптических микроскопов прибли­
зительно равно 0,2—0,3 мкм).
313
электронную эмиссию, пропорциональ­
ную распределению яркости спроеци­
рованного на него изображения. Фото­
электроны, ускоренные электрическим
полем (3 —ускоряющий электрод), фо­
кусируются с помощью электронной
линзы 4 на флуоресцирующий экран 5,
где электронное изображение преобра­
зуется в световое (получается оконча­
тельное изображение А"). Электронная
часть преобразователя находится в вы­
соковакуумном сосуде 6.
Из оптики известно, что всякое уве­
личение изображения связано с умень­
шением его освещенности. Достоин­
ство электронно-оптических преобра­
зователей заключается в том, что в них
можно получить увеличенное изобра­
жение А!' даже большей освещенности,
чем сам предмет А, так как освещен­
ность определяется энергией электро­
нов, создающих изображение на флуо­
ресцирующем экране. Разрешающая
способность каскадных (нескольких
последовательно соединенных) элект­
ронно-оптических преобразователей
составляет 25 —60 штрихов на 1 мм.
Коэффициент преобразования —отно­
шение излучаемого экраном светового
потока к потоку, падающему от объек­
та на фотокатод, — у каскадных электронно-оптических преобразователей
достигает «1 0 6. Недостаток этих прибо­
ров —малая разрешающая способность
и довольно высокий темновой фон, что
влияет на качество изображения.
Контрольные вопросы
• Может ли возникнуть явление полного отражения, если свет проходит из воды в стек­
ло?
• Сформулируйте и поясните основные законы оптики.
• В чем заключается физический смысл абсолютного показателя преломления среды? Что
такое относительный показатель преломления?
• При каком условии наблюдается полное отражение?
• В чем заключается принцип работы световодов?
• Поясните, что вы понимаете под световым лучом?
• Что такое линза? Какие они бывают?
• В чем заключается принцип Ферма?
• Выведите формулу тонкой линзы.
• Что такое фокусное расстояние линзы? оптическая сила линзы? фокальная плоскость
линзы?
• Как осуществляется построение изображения предметов в линзах?
• Какова основная световая единица в СИ? Дайте ее определение.
• Что представляют собой электронные линзы? магнитные линзы?
• Чем отличаются энергетические и световые величины в фотометрии? Какие они бывают?
• Почему разрешающая способность электронных микроскопов гораздо выше, чем обыч­
ных?
• Можно ли в электронно-оптических преобразователях получить увеличенное изобра­
жение большей освещенности, чем предмет? Почему?
ЗАДАЧИ
21.1.
На плоскопараллельную стеклянную пластинку (п = 1,5) толщиной 6 см падае
под углом 35° луч света. Определите боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту плас­
тинку. [1,41 см]
314
21.2. Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой 6 дптр. Опре­
делите радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления ма­
териала линзы равен 1,6. [10 см]
21.3. Определите, на какую высоту необходимо повесить лампочку мощностью 300 Вт,
чтобы освещенность расположенной под ней доски была равна 50 лк. Наклон доски состав­
ляет 35°, а световая отдача лампочки равна 15 лм/Вт. Принять, что полный световой поток,
испускаемый изотропным точечным источником света, Ф0 = 4тxl. [2,42 м]
Г лава
22
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
§ 170. Развитие представлений
о природе света
Основные законы оптики известны
еще с древних веков. Так, Платон (430 г.
до н.э.) установил закон прямолиней­
ного распространения и закон отраже­
ния света. Аристотель (350 г. до н. э.) и
Птолемей изучали преломление света.
Первые представления о природе света
возникли у древних греков и египтян,
которые в дальнейшем, по мере изобре­
тения и усовершенствования различ­
ных оптических инструментов, напри­
мер параболических зеркал (XIII в.),
фотоаппарата и микроскопа (XVI в.),
зрительной трубы (XVII в.), развива­
лись и трансформировались. В конце
XVII в. на основе многовекового опы­
та и развития представлений о свете
возникли две теории света: корпус­
кулярная (И. Ньютон) и волновая
(Р. Гук и X. Гюйгенс).
Согласно корпускулярной теории
(теории истечения), свет представляет
собой поток частиц (корпускул), испус­
каемых светящимися телами и летящих
по прямолинейным траекториям. Дви­
жение световых корпускул Ньютон
подчинил сформулированным им зако­
нам механики. Так, отражение света
понималось аналогично отражению
упругого шарика при ударе о плоскость,
где также соблюдается закон равенства
углов падения и отражения. Преломле­
ние света Ньютон объяснял притяже­
нием корпускул преломляющей средой,
в результате чего скорость корпускул
меняется при переходе из одной среды
в другую. Из теории Ньютона следова­
ло постоянство синуса угла падения ц
к синусу угла преломления г2:
sini\ = ^ = п,
|ш§| с
(170.1)
где v —скорость распространения све­
та в среде; с —скорость распростране­
ния света в вакууме. Так как п в среде
всегда больше единицы, то, по теории
Ньютона, v> с, т. е. скорость распрост­
ранения света в среде должна бы быть
всегда больше скорости его распростра­
нения в вакууме.
Согласно волновой теории, развитой
на основе аналогии оптических и акус­
тических явлений, свет представляет
собой упругую волну, распространяю­
щуюся в особой среде —эфире. Эфир за­
полняет все мировое пространство, про­
низывает все тела и обладает механичес­
кими свойствами —упругостью и плот­
ностью. Согласно Гюйгенсу, большая
скорость распространения света обус­
ловлена особыми свойствами эфира.
315
Волновая теория основывается на
принципе Гюйгенса: каждая точка, до
которой доходит волна, служит цент­
ром вторичных волн, а огибающая этих
волн дает положение волнового фрон­
та в следующий момент времени. На­
помним, что волновым фронтом назы­
вается геометрическое место точек, до
которых доходят колебания к моменту
времени t. Принцип Гюйгенса позволя­
ет анализировать распространение све­
та и вывести законы отражения и пре­
ломления.
Выведем законы отражения и преломле­
ния света, исходя из принципа Гюйгенса.
Пусть на границу раздела двух сред падает
плоская волна (фронт волны —плоскость
АВ), распространяющаяся вдоль направле­
ния /(рис. 246). Когда фронт волны достиг­
нет отражающей поверхности в точке А, эта
точка начнет излучать вторичную волну.
Для прохождения волной расстояния ВС
требуется время At =
. За это же время
фронт вторичной волны достигнет точек
полусферы, радиус ADкоторой равен vAt =
= ВС. Положение фронта отраженной вол­
ны в этот момент времени в соответствии с
принципом Гюйгенса задается плоскостью
DC, а направление распространения этой
волны —лучом II. Из равенства треуголь­
316
ников ABC и ADC вытекает закон отраже­
ния: угол отражения г{равен углу падения гг.
Для вывода закона преломления предпо­
ложим, что плоская волна (фронт волны —
плоскость АВ), распространяющаяся в ва­
кууме вдоль направления I со скоростью
света с, падает на границу раздела со средой,
в которой скорость ее распространения рав­
на v (рис. 247). Пусть время прохождения
волной пути ВС равно At. Тогда ВС= cAt.
За это же время фронт волны, возбуждае­
мый точкой А в среде со скоростью v, дос­
тигнет точек полусферы, радиус которой
AD = vAt. Положение фронта преломлен­
ной волны в этот момент времени в соответ­
ствии с принципом Гюйгенса задается плос­
костью DC, а направление ее распростране­
ния —лучом III. Из рис. 247 следует, что
ЛГ, —
ВС
AD
cAt
vAt
АС=
—1 = —
—- , т. е. —
—- = —
—- , откуда
suit!
simp
sin ц
^ к = 9. = п.
sinzj
v
sin 12
(170.2)
С равнивая выражения (170.2) и
(170.1), видим, что волновая теория
приводит к выводу, отличному от вы­
вода теории Ньютона. По теории Гюй­
генса, v < с, т. е. скорость распростране­
ния света в среде должна быть всегда
меньше скорости его распространения
в вакууме.
Таким образом, к началу XVIII в. су­
ществовало два противоположных под­
хода к объяснению природы света: кор­
пускулярная теория Ньютона и волно­
вая теория Гюйгенса. Обе эти теории
объясняли прямолинейное распростра­
нение света, законы отражения и пре­
ломления. XVIII век стал веком борь­
бы этих теорий. Экспериментальное до­
казательство справедливости волновой
теории было получено в 1851 г., когда
Э. Фуко (и независимо от него А. Физо) измерил скорость распространения
света в воде и получил значение, соот­
ветствующее формуле (170.2).
К началу XIX столетия корпуску­
лярная теория была полностью отверг­
нута и признана волновая теория. Боль­
шая заслуга в этом отношении принад­
лежит английскому физику Т. Юнгу,
исследовавшему явления дифракции и
интерференции, и французскому физи­
ку О.Френелю (1788—1827), допол­
нившему принцип Гюйгенса и объяс­
нившему эти явления.
Несмотря на признание волновой
теории, она обладала целым рядом не­
достатков. Так, явления интерферен­
ции, дифракции и поляризации могли
быть объяснены только в том случае,
если световые волны считать попереч­
ными. Но если световые волны — по­
перечные, то их носитель —эфир —дол­
жен обладать свойствами твердых тел.
Попытка же наделить эфир свойствами
твердого тела успеха не имела, так как
эфир не оказывает заметного воздей­
ствия на движущиеся в нем тела.
Далее эксперименты показали, что
скорость распространения света в раз­
ных средах различна, поэтому эфир
должен обладать в разных средах раз­
личными свойствами. Теория Гюйген­
са не могла объяснить также физичес­
кой природы наличия разных цветов.
Наука о свете накапливала экспери­
ментальные данные, свидетельствую­
щие о взаимосвязи световых, электри­
ческих и магнитных явлений, что по­
зволило Максвеллу в 70-х годах XIX в.
создать электромагнитную теорию све­
та (см. § 139). Согласно электромагнит­
ной теории Максвелла [см. (162.3)],
—= Jejjji = п,
v
где си v—соответственно скорости рас­
пространения света в вакууме и в среде
с диэлектрической проницаемостью е и
магнитной проницаемостью |х. Это со­
отношение связывает оптические, элек­
трические и магнитные постоянные ве­
щества.
По Максвеллу, е и р, —величины, не
зависящие от длины волны света, по­
этому электромагнитная теория не мог­
ла объяснить явление дисперсии (зави­
симость показателя преломления от
длины волны). Эта трудность была пре­
одолена в конце XIX в. X. Лоренцем,
предложившим электронную теорию,
согласно которой диэлектрическая про­
ницаемость е зависит от длины волны
падающего света. Теория Лоренца вве­
ла представление об электронах, колеб­
лющихся внутри атома, и позволила
объяснить явления испускания и по­
глощения света веществом.
Несмотря на огромные успехи элек­
тромагнитной теории М аксвелла и
электронной теории Лоренца, они были
несколько противоречивы и при их
применении встречался ряд затрудне­
ний. Обе теории основывались на гипо­
тезе об эфире, только «упругий эфир»
был заменен «эфиром электромагнит­
ным» (теория Максвелла) или «непод­
вижным эфиром» (теория Лоренца).
Теория Максвелла не смогла объяс­
нить процессов испускания и поглоще­
ния света, фотоэлектрического эффек­
та, комптоновского рассеяния и т. д. Те­
ория Лоренца, в свою очередь, не смог­
ла объяснить многие явления, связан­
ные с взаимодействием света с веще­
ством, в частности вопрос о распреде­
лении энергии по длинам волн при теп­
ловом излучении черного тела.
Перечисленные затруднения и проти­
воречия были преодолены благодаря сме­
лой гипотезе (1900) немецкого физика
М. Планка (1858—1947), согласно кото­
рой излучение и поглощение света про­
исходит не непрерывно, а дискретно, т.е.
определенными порциями (квантами),
энергия которых определяется частотой v:
е0 = hv,
(170.3)
где h —постоянная Планка.
317
Теория Планка не нуждалась в по­
нятии об эфире. Она объяснила тепло­
вое излучение черного тела. Эйнштейн
в 1905 г. создал квантовую теорию
света, согласно которой не только из­
лучение света, но и его распространение
происходит в виде потока световых
квантов —фотонов, энергия которых
определяется по (170.3).
Квантовые представления о свете
хорошо согласуются с законами излу­
чения и поглощения света, законами
взаимодействия света с веществом. Од­
нако как с помощью этих представле­
ний объяснить такие хорошо изученные
явления, как интерференция, дифрак­
ция и поляризация света? Эти явления
легко объясняются на основе волновых
представлений. Все многообразие изу­
ченных свойств и законов распростра­
нения света, его взаимодействия с ве­
ществом показывает, что свет имеет
сложную природу. Он представляет со­
бой единство противоположных видов
движения — корпускулярного (кван­
тового) и волнового (электромаг­
нитного).
Длительный путь развития привел к
современным представлениям о двой­
ственной корпускулярно-волновой
природе света. Выражение (170.3) свя­
зывает корпускулярные характеристи­
ки излучения —энергию кванта—с вол­
новыми —частотой колебаний (длиной
волны). Таким образом, свет представ­
ляет собой единство дискретности и не­
прерывности.
§ 171. Когерентность
и монохроматичность
световых волн
Интерференцию света можно объяс­
нить, рассматривая интерференцию
волн (см. § 156). Необходимым услови­
318
ем интерференции волн является их
когерентность, т.е. согласованное
протекание во времени и пространстве
нескольких колебательных или волно­
вых процессов. Этому условию удов­
летворяют монохроматические вол­
ны — неограниченные в пространстве
волны одной определенной и строго по­
стоянной частоты.
Так как ни один реальный источим;
не дает строго монохроматического све­
та, то волны, излучаемые любыми не­
зависимыми источниками света, всегда
некогерентны. Поэтому на опыте не
наблюдается интерференция света от
независимых источников, например от
двух электрических лампочек.
Понять физическую причину немонохроматичности, а следовательно, и
некогерентности волн, испускаемых
двумя независимыми источниками све­
та, можно исходя из самого механизм»;
испускания света атомами. В двух са­
мостоятельных источниках света атомы
излучают независимо друг от друга.
В каждом из таких атомов процесс из­
лучения конечен и длится очень корот­
кое время (т rj 10~8с). За это время воз­
бужденный атом возвращается в нор­
мальное состояние и излучение им све­
та прекращается. Возбудившись вновь,
атом снова начинает испускать свето^
вые волны, но уже с новой начальной,
фазой. Так как разность фаз между из­
лучением двух таких независимых ато­
мов изменяется при каждом новом акте
испускания, то волны, спонтанно излу­
чаемые атомами любого источника све­
та, некогерентны.
Таким образом, волны, испускаемые
атомами, лишь в течение интервала вре­
мени «1 0 -8 с имеют приблизительно
постоянные амплитуду и фазу колеба­
ний, тогда как за больший промежуток
времени и амплитуда, и фаза изменя­
ются. Прерывистое излучение света
атомами в виде отдельных коротких
импульсов называется волновым цу­
гом.
Описанная модель испускания све­
та справедлива и для любого макроско­
пического источника, так как атомы
светящегося тела излучают свет также
независимо друг от друга. Это означает,
что начальные фазы соответствующих
им волновых цугов не связаны между
собой. Помимо этого, даже для одного
и того же атома начальные фазы разных
цугов отличаются для двух последую­
щих актов излучения. Следовательно,
свет, испускаемый макроскопическим
источником, некогерентен.
Немонохроматический свет можно
представить в виде совокупности сме­
няющих друг друга независимых гармо­
нических цугов. Средней продолжи­
тельностью одного цуга определяется
время когерентности тког: если после
деления волны на два пучка.один из них
получит временную задержку, большую
продолжительности одного цуга, то Та­
кие два пучка не будут интерфериро­
вать, т. е. не будут взаимно когерентны­
ми. Когерентность существует только в
пределах одного цуга, и время когерент­
ности не может превышать времени
высвечивания атома, т.е. тког < т. При­
бор обнаружит четкую интерференци­
онную картину лишь тогда, когда вре­
мя разрешения прибора значительно
меньше времени когерентности накла­
дываемых световых волн.
Если волна распространяется в од­
нородной среде, то фаза колебаний в
определенной точке пространства со­
храняется только в течение времени
когерентности тког. За время когерент­
ности волна распространяется в вакуу­
ме на расстояние /ког = стког, называе­
мое длиной когерентности (или дли­
ной цуга). Таким образом, длина коге­
рентности есть расстояние, при прохож­
дении которого две или несколько волн
утрачивают когерентность. Отсюда сле­
дует, что наблюдение интерференции
света возможно лишь при оптических
разностях хода меньших длины коге­
рентности для используемого источни­
ка света.
Чем ближе волна к монохроматичес­
кой, тем меньше ширина Дш спектра ее
частот и, как можно показать, больше
ее время когерентности тког, а следова­
тельно, и длина когерентности 1К0Т. На­
пример, для видимого солнечного све­
та (сплошной спектр частот от 4 ■1014до
8 •1014 Гц) тког и Ю-14 с, для тепловых
источников (ширина спектральной ли­
нии «1 0 8 Гц) тког« 10-8 с и для лазеров
(ширина спектральной линии ж Ю2Гц)
тког« Ю-2 с.
#
Различают временную и простран­
ственную когерентность. Понятие
временной когерентности можно свя­
зать с контрастом интерференционной
картины, наблюдаемой в результате ин­
терференции двух волн, исходящих из
одной и той же точки поперечного се­
чения пучка (полученных методом де­
ления амплитуд). Временная когерен­
тность волныхарактеризует сохране­
ние взаимной когерентности при вре­
менном отставании одного из таких
лучей по отношению к другому. При
этом мерой временной когерентности
служит время когерентности тког —
максимально возможное время отстава­
ния одного луча по отношению к дру­
гому, при котором их взаимная когерен­
тность еще сохраняется. Временная ко­
герентность определяется степенью мо­
нохроматичности.
Пространственная когерент­
ность волны характеризует наличие
взаимной когерентности двух световых
пучков, взятых из различных точек сечения волны. Мерой пространственной
когерентности служит диаметр коге319
р е н т н о с т и — наибольший диаметр
круга, мысленно вырезаемый в попе­
речном сечении волны, при котором
любые два пучка, исходящие из различ­
ных точек внутри этого круга, еще ос­
таются взаимно когерентными (при
нулевой разности хода). Если из волно­
вой поверхности методом деления вол­
нового фронта выделить два пучка, ко­
торые отстоят друг от друга на расстоя­
ние, большее диаметра когерентности,
то они не будут интерферировать даже
при нулевой разности хода.
Для выяснения влияния на интер­
ференционную картину протяженнос­
ти реальных источников света их излу­
чение считают монохроматическим.
Протяженный источник света можно
мысленно разбить на большое число
точечных излучателей. Такие элемен­
тарные источники света, конечно, неко­
герентны. Тогда интенсивность в лю­
бом месте будет равна сумме интенсив­
ностей в интерференционных картинах,
создаваемых отдельными элементар­
ными источниками. Эти интерферен­
ционные картины от разных элементов
протяженного источника оказываются
смещенными относительно друг друга,
и в результате их наложения интерфе­
ренционные полосы оказываются раз­
мытыми. Их можно наблюдать лишь
при выполнении определенных усло­
вий для геометрии эксперимента.
Интерференционная картина в слу­
чае монохроматического света (длина
волны X) остается достаточно четкой,
если выполняется приближенное усло­
вие
asmw^ —,
4
(171.1)
где о —размеры источника (например,
ширина щели); 2ы —угол между выхо­
дящими из источника интерферирую­
щими лучами, называемый апертурой
320
интерференции. Из выражения (171.1)
следует, что чем меньше апертура ин­
терференции, тем больше допустимые
размеры источника.
§ 172. И нтерф еренция света
Предположим, что две монохрома­
тические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в опре­
деленной точке пространства колеба­
ния одинакового направления: ж* =
=
A i cos ( u I f| cpx) и
=
A 2 cos j p f f -I- ip2) :-
Под x понимают напряженность элект­
рического Е или магнитного Н полей
волны; векторы Е и Нколеблются во вза­
имно перпендикулярных плоскостях
(см. § 162). Напряженности электриче­
ского и магнитного полей подчиняются
принципу суперпозиции (см. § 80 и
110). Амплитуда результирующего ко­
лебания в данной точке А2 = А2 + А2 +
+ 2i41A2cos(ip2 —f if [см. (144.2)]. Так
как волны когерентны, то cos (ip2 —ipfj
имеет постоянное во времени (но свое
для каждой точки пространства) значе­
ние, поэтому интенсивность результи­
рующей волны (/~ А2)
I = I\ + /2 + 2\Jhh сов(ф2 -
(172.1)
В точках пространства, где cos (ф2 —
—<£§ > 0, интенсивность / > 1Х+ /2, где
cos (ф2 — ipi) < 0, интенсивность I <
< Щ+ /2. Следовательно, при наложе­
нии двух (или нескольких) когерентных
световых волн происходит простран­
ственное перераспределение светового
потока, в результате чего в одних мес­
тах возникают максимумы, а в других —
минимумы интенсивности. Это явление
называется интерференцией света.
Для некогерентных волн разность
(ip2 —ipj) непрерывно изменяется, по­
этому среднее во времени значение
cos(ip2 ~ Ф1) равно нулю, а интенсив­
ность результирующей волны всюду
одинакова и при = 12 равна 21Х(для
когерентных волн при данном условии
в максимумах 1= 4/1( в минимумах 1= 0).
Как можно создать условия, необхо­
димые для возникновения интерферен­
ции световых волн? Для получения ко­
герентных световых волн применяют
метод разделения волны, излучаемой
одним источником, на две части, кото­
рые после прохождения разных опти­
ческих путей накладываются друг на
друга, и наблюдается интерференцион­
ная картина.
Пусть разделение на две когерент­
ные волны происходит в определенной
точке О. До точки М, в которой наблю­
дается интерференционная картина,
одна волна в среде с показателем пре­
ломления щ прошла путь s1} вторая —
в среде с показателем преломления п2 —
путь s2. Если в точке Офаза колебаний
равна ui, то в точке Мпервая волна воз­
будит колебание Ахcos иди —^Ч, вторая
волна —колебание А2 cos ю| £—— где
с
соответственно фаvi = —
Tlj . v2 = - 2
зовая скорость первой и второй волн.
Разность фаз колебаний, возбуждаемых
волнами в точке М, равна
i l ——] = !^ ( s 2n2 - S jWj ) =
Щ Vi) Хо
= — ( 4 - А ) = |г Д
*0
Ло
/
ш = ---2тш= —
2тс, где Х0
ч —дли(учли, что —
с
с
л0
на волны в вакуум е). Произведение
геометрической длины а пути свето­
вой волны в данной среде на показа­
тель п преломления этой среды назы­
вается оптической длиной пути L, а
Д = L2 — L\ — разность оптических
1 1 Курс физики
длин проходимых волнами путей —на­
зывается оптической разностью хода.
Если оптическая разность хода рав­
на целому числу длин волн в вакууме
Д = ± т \ 0 (тп = 0,1,2,...), (172.2)
то б = ±2ттг, и колебания, возбуждае­
мые в точке М обеими волнами, будут
происходить в одинаковой фазе. Следо­
вательно, (172.2) является условием
интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода
Д = ±(2т + 1 )^ - (т = 0,1,2,...), (172.3)
то б = ±(2т + 1)it, и колебания, возбуж­
даемые в точке М обеими волнами, бу­
дут происходить в противофазе. Следо­
вательно, (172.3) является условием
интерференционного минимума.
§ 173. Методы наблюдения
интерференции света
Рассмотрим условия, при которых
возможно наблюдение интерференци­
онной картины. Для получения когерентных лучей необходимо свет от од­
ного и того же источника разделить на
два пучка (или несколько пучков) и за­
тем наложить их друг на друга так, что­
бы разность хода между интерфериру­
ющими лучами была меньше длины
когерентности (см. § 171). Метод полу­
чения когерентных пучков делением
волнового фронта (он пригоден только
для достаточно малых источников) зак­
лючается в том, что исходящий из ис­
точника пучок делится на два, напри­
мер, проходя через два близко располо­
женных отверстия, либо отражаясь от
зеркальных поверхностей и т.д.
1. Метод Юнга. Источником све­
та служит ярко освещенная щель S
321
|
ния в плоских зеркалах, можно пока­
зать, что и источник, и его изображе­
ния Si и 52 (угловое расстояние между
которыми равно 2<р) лежат на одной и
той же окружности радиуса г с цент­
ром в О (точка соприкосновения зер­
кал).
Световые пучки, отражаясь от обо­
(рис. 248), от которой световая волна
их зеркал, образуют два мнимых изоб­
падает на две узкие равноудаленные
ражения Sj и 53 источника, которые ко­
щели 5ц и S2, параллельные щели S. Та­
герентны (получены разбиением одно­
ким образом, щели и 5а играют роль
го и того же волнового фронта, исходя­
вторичных когерентных источников.
щего из S). Интерференционная карти­
Так как волны, исходящие из и 52, по­
на наблюдается в области взаимного
лучены разбиением одного и того же
перекрытия отраженных пучков (на
волнового фронта, исходящего из S, то
рис. 249 она затонирована). Можно по­
они когерентны, и в области перекры­
казать, что максимальный угол расхож­
тия этих световых пучков (область ВС)
наблюдается интерференционная кар­ дения перекрывающихся пучков не мо­
жет быть больше 2ip. Интерференцион­
тина на экране (Э), расположенном на
ная картина наблюдается на экране (Э),
некотором расстоянии параллельно
защищенном от прямого попадания
и Sj. Т. Юигу принадлежит первое на­
света заслонкой (3 ).
блюдение явления интерференции.
3.
Бипризма Френеля. Она состоит
2.
Зеркала Френеля. Свет от источ­
из двух одинаковых, сложенных основа­
ника S (рис. 249) падает расходящим­
ниями призм с малыми преломляющи­
ся пучком на два плоских зеркала А{0
ми
углами. Свет от источника 5 (рис. 250)
и А20, расположенных относительно
преломляется в обеих призмах, в ре­
друг друга под углом, лишь немного от­
зультате
чего за бипризмой распростра­
личающимся от 180° (угол ip мал). Ис­
няются
световые
лучи, как бы исходя­
пользуя правила построения изображе­
щие из мнимых источников Sxи 5а, яв­
ляющихся когерентными. Таким обра­
_3
э
зом, на поверхности экрана (в затонированной области) происходит наложе­
ние когерентных пучков и наблюдает­
ся интерференция.
Расчет интерференционной карти­
ны от двух источников. Расчет интер­
ференционной картины для рассмот­
ренных выше методов наблюдения ин­
Рис. 249
терференции света можно провести,
Э
используя две узкие параллельные ще­
I
ли, расположенные достаточно близко
друг к другу (рис. 251). Щели S, и S2
s
находятся на расстоянии ^друг от дру­
Sj
га и являются когерентными (реальны­
ми или мнимыми изображениями исРис. 250
Рис. 248
322
Э
зываемое шириной интерференцион­
ной полосы, равно
А
<
\
^-*^2
Й/2-
i
d/2- О
?2
точника S в какой-то оптической сис­
теме) источниками света. Интерферен­
ция наблюдается в произвольной точ­
ке А экрана, параллельного обеим ще­
лям и расположенного от них на рассто­
янии I, причем I
d. Начало отсчета
выбрано в точке О, симметричной от­
носительно щелей.
Интенсивность в любой точке А эк­
рана, лежащей на расстоянии х от О,
определяется оптической разностью
хода Д = 52 —Si (см. § 172). Из рис. 251
имеем
s%=l2+ (ж + |) ;
Sl2 = i2+ | x -| J ,
откуда s%- s 2 —2xd, или
Из условия 1 d следует, что Sj + s2 ~
« 2 1, поэтому
Д = -у .
(173.1)
Подставив найденное значение Д
(173.1) в условия (172.2) и (172.3), по­
лучим, что максимумы интенсивности
будут наблюдаться в случае, если
a w = ± т ^ \ 0 ( т = 0,1,2,...), (173.2)
а
а минимумы —в случае, если
Zmin=± (ш+|) 2 Х° (т==0’ 2>•■•)■(173.3)
Расстояние между двумя соседними
максимумами (или минимумами), на­
Дж = —\0,
(173.4)
d
Ах не зависит от порядка интерферен­
ции (величины га) и является постоян­
ной для данных l,d и \ 0. Согласно фор­
муле (173.4), Ах обратно пропорцио­
нально d, следовательно, при большом
расстоянии между источниками, напри­
мер при d та I, отдельные полосы стано­
вятся неразличимыми. Для видимого
света \0 « 10-7 м, поэтому четкая, дос­
тупная для визуального наблюдения
интерференционная картина имеет ме­
сто при 1 d (это условие и принима­
лось при расчете).
По измеренным значениям I, d\\Ах;
используя (173.4), можно эксперимен­
тально определить длину волны света.
Из выражений (173.2) и (173.3) следу­
ет, таким образом, что интерференци­
онная картина, создаваемая на экране
двумя когерентными источниками све­
та, представляет собой чередование свет­
лых и темных полос, параллельных друг
другу. Главный максимум, соответству­
ющий га = 0, проходит через точку О.
Вверх и вниз от него на равных расстоя­
ниях друг от друга располагаются мак­
симумы (минимумы) первого (га = 1),
второго (га = 2) порядков и т.д.
Описанная картина, однако, спра­
ведлива лишь при освещении монохро­
матическим светом (Х0 = const). Если
использовать белый свет, представля­
ющий собой непрерывный набор длин
волн от 0,39 мкм (фиолетовая граница
спектра) до 0,75 мкм (красная граница
спектра), то интерференционные мак­
симумы для каждой длины волны бу­
дут, согласно формуле (173.4), смеще­
ны относительно друг друга и иметь вид
радужных полос. Только для тп= 0 мак­
симумы всех длин волн совпадают, и в
323
середине экрана будет наблюдаться бе­
лая полоса, по обе стороны которой
симметрично расположатся спектраль­
но окрашенные полосы максимумов
первого, второго порядков и т.д. (бли­
же к белой полосе будут находиться
зоны фиолетового цвета, дальше —
зоны красного цвета).
§ 174. Интерференция света
в тонких пленках
В природе часто можно наблюдать
радужное окрашивание тонких пленок
(масляные пленки на воде, мыльные
пузыри, оксидные пленки на металлах),
возникающее в результате интерферен­
ции света, отраженного двумя поверх­
ностями пленки.
Если монохроматический свет пада­
ет на тонкую прозрачную плоскопарал­
лельную пластинку от точечного источ­
ника, то он отражается двумя поверх­
ностями этой пластинки: верхней и
нижней.
В любую точку, находящуюся с той
же стороны пластинки, что и источник,
приходят два луча, которые дают интер­
ференционную картину. На пластинке
происходит деление амплитуды, по­
скольку фронты волн в ней сохраняют­
ся, меняя лишь направление своего дви­
жения.
Пусть на плоскопараллельную про­
зрачную пленку с показателем прелом­
ления п и толщиной с?под углом i (рис.
252) падает плоская монохроматиче­
ская волна (для простоты рассмотрим^
один луч). На поверхности пленки в§
точке Олуч разделится на два: частич^
но отразится от верхней поверхности
пленки, а частично преломится. Пре­
ломленный луч, дойдя до точки С, час­
тично преломится в воздух (no = 1), а
частично отразится и пойдет к точке В.
Здесь он опять частично отразится
(этот ход луча в дальнейшем из-за ма­
лой интенсивности не рассматриваем^
и преломится, выходя в воздух под уг­
лом г.
Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 ко­
герентны, если оптическая разность их
хода мала по сравнению с длиной коге­
рентности падающей волны. Если на их
пути поставить собирающую линзу, то
они сойдутся в одной из точек Р фо­
кальной плоскости линзы. В результа­
те возникает интерференционная кар­
тина, которая определяется оптической
разностью хода между интерферирую­
щими лучами.
Оптическая разность хода между
двумя интерферирующими лучами от
точки Одо плоскости АВ,
Д = п{ОС+СВ)-ОА±^-,
где показатель преломления окружаю­
щей пленку среды принят равным 1, а
чле# ±-^- обусловлен потерей полу\ «
волны при отражении света от границы раздела. Если п > щ, то потеря полу­
волны произойдет в точке Оивышеупо-,
мянутый член будет иметь знак « - » ;
если же п < щ, то потеря полуволны
произойдет в точке С и — будет иметь
2
знак «+».
Согласно рис. 252, ОС = СВ » ——^
cos г
ОА = OBsini = 2dtgrsini. Учитывая
324
для данного случая закон преломления
sin г = п sin г (гг0 = 1), получим
А = 2dn cos г = 2dn-Jl —sin2 г =
= 2d-Jn2 —sin2 г.
С учетом потери полуволны для оп­
тической разности хода получим
вательно, интерферирующие лучи 1' и
1"«пересекаются» только в бесконечно­
сти, поэтому говорят, что полосы рав­
В точке Р будет интерференцион­
ного наклона локализованы в бесконеч­
ный максимум, если [см. (172.2)]
ности. Для их наблюдения используют
собирающую линзу и экран (Э), распо­
ложенный в фокальной плоскости лин­
2dyjn2 —sin2 i ± — = m\0
2
0 (174.2)
зы. Параллельные лучи 1' и ^"соберут­
(то = 0,1,2,...),
ся в фокусе F линзы (на рис. 253 ее оп­
тическая
ось параллельна лучам 1' и
и минимум, если [см. (172.3)]
1"), в эту же точку придут и другие лучи
(на рис. 253 — луч 2), параллельные
2dyjn2 —sin2 г± — =(2то+1)—
лучу 1, в результате чего увеличивает­
:
2 v
' 2 (174.3)
ся общая интенсивность. Лучи j?, накло­
(то=0,1,2,...).
ненные под другим углом, соберутся в
Интерференция наблюдается толь­ другой точке Р фокальной плоскости
линзы.
ко в том случае, если удвоенная толщи­
на пластинки меньше длины когерент­
Легко показать, что если оптическая
ось линзы перпендикулярна поверхно­
ности падающей волны.
1.
Полосы равного наклона (интер­ сти пластинки, то полосы равного на­
клона будут иметь вид концентриче­
ференция от плоскопараллельной пла­
ских колец с центром в фокусе линзы.
стины). Из выражений (174.2) и (174.3)
следует, что интерференционная карти­
2.
Полосы равной толщины (интер­
ференция от пластинки переменной
на в плоскопараллельных пластинках
(пленках) определяется величинами Xq, толщины). Пусть на тонкую прозрач­
d, п и г. Для данных
d и п каждому
ную пластинку (пленку) в виде клина
наклону i лучей соответствует своя ин­
(угол а между боковыми гранями мал)
терференционная полоса. Интерферен­
падает плоская волна, направление рас­
ционные полосы, возникающие в ре­
пространения которой совпадает с па­
зультате наложения лучей, падающих
раллельными лучами 1 и 2 (рис. 254).
на плоскопараллельную пластинку под
Из всех лучей, на которые разделяется
одинаковыми углами, называются по­
падающий луч 1, рассмотрим лучи 1' и
лосами равного наклона.
1", отразившиеся от верхней и нижней
Лучи 1' и 1", отразившиеся от верх­
поверхностей клина. При определен­
ней и нижней граней пластинки (рис.
ном взаимном положении клина и лин­
253), параллельны друг другу, так как
зы лучи 1' и 1" пересекутся в некото­
пластинка плоскопараллельна. Следо­
рой точке А, являющейся изображениА = 2d>Jn2 —sin2 г ± — . (174.1)
325
ем точки В. Так как лучи 1' и 1" коге­
рентны, они будут интерферировать.
Если источник расположен довольно
далеко от поверхности клина и угол а
ничтожно мал, то оптическая разность
хода между интерферирующими луча­
ми 1' и 1" может быть с достаточной сте­
пенью точности вычислена по форму­
ле (174.1), где d —толщина клина в ме­
сте падения на него луча. Лучи 2' и 2",
образовавшиеся при делении луча 2, па­
дающего в другую точку клина, собира­
ются линзой в точке А'. Оптическая раз­
ность хода уж е определяется толщи­
ной d '. Таким образом, на экране воз­
никает система интерференционных
полос. Каждая из полос появляется при
отражении от мест пластинки, имею­
щих одинаковую толщину (в общем
случае толщина пластинки может изме­
няться произвольно). Интерференци­
онные полосы, возникающие в резуль­
тате интерференции от мест одинако­
вой толщины, называются полосами
равной толщины.
Так как верхн яя и ниж няя грани
клина не параллельны между собой, то
лучи 1' и 1" (2' и 2") пересекаются вбли­
зи пластинки, в изображенном на рис.
254 случае — над ней (при другой кон­
фигурации клина они могут пересекать­
ся и под пластинкой). Таким образом,
полосы равной толщины локализованы
вблизи поверхности клина. Если свет
падает на пластинку нормально, то по­
лосы равной толщины локализуются на
верхней поверхности клина.
326
3.
Кольца Ньютона. Кольца Ньютона
являющиеся классическим примером полос
равной толщины, наблюдаются при отраже­
нии света от воздушного зазора, образован­
ного плоскопараллельной пластинкой и со­
прикасающейся с ней плосковыпуклой лин­
зой с большим радиусом кривизны (рис.
255). Параллельный пучок света падает нор­
мально на плоскую поверхность линзы и ча­
стично отражается от верхней и нижней по­
верхностей воздушного зазора между лин­
зой и пластинкой. При наложении отражен­
ных лучей возникают полосы равной тол­
щины, при нормальном падении света име­
ющие вид концентрических колец. Центры
колец Ньютона совпадают с точкой Осопри­
косновения линзы с пластинкой.
В отраженном свете оптическая разность
хода (с учетом потери полуволны при отра­
жении), согласно (174.1), при условии, что
показатель преломления воздуха n = 1, a t= О,
Д = 2d + ^ ,
где d —ширина зазора.
Из рис. 255 следует, что R2= (R —d)2 +
+ г2, где R —радиус кривизны линзы; г —
радиус кривизны окружности, всем точкам
которой соответствует одинаковый зазор d.
Учитывая, что d мало, получим а = ——.
2R
Следовательно,
(174.4)
Приравняв (174.4) к условиям макси­
мума (172.2) и минимума (172.3), получим
выражения для радиусов m-го светлого
кольца и m-го темного кольца соответст­
венно
В Й ! ) \0Д ( т = 1,2,3,...),
Рис. 255
г* = yJm\0R (тп = 0,1,2,3,...).
Измеряя радиусы соответствующих ко­
лец, можно (зная радиус кривизны линзы R)
определить Xq и , наоборот, по известной Х0
найти радиус кривизны R линзы.
Как для полос равного наклона, так
и для полос равной толщины положе­
ние максимумов зависит от длины вол­
ны Х„ [см. (174.2). Поэтому система
светлых в темных полос получается
только при освещении монохромати­
ческим светом. При наблюдении в бе­
лом свете получается совокупность
смещенных друг относительно друга
полос, образованных лучами разных
длин волн, и интерференционная кар­
тина приобретает радужную окраску.
Всерассуждения были проведены для
отраженного света. Интерференцию
можно наблюдать и в проходящем све­
те, причем в данном случае не наблюда­
ется потери полуволны. Следователь­
но, оптическая разность хода для про­
ходящего и отраженного света отлича­
ется на — , т.е. максимумам интерфе­
ренции в отраженном свете соответ­
ствуют минимумы в проходящем, и на­
оборот.
§ 175. Применение
интерференции света
Явление интерференции обусловле­
но волновой природой света; его коли­
чественные закономерности зависят от
длины волны Х0. Поэтому это явление
применяется для подтверждения вол­
новой природы света и для измерения
длин волн (интерференционная спек­
троскопия).
Явление интерференции применя­
ется также для улучшения качества оп­
тических приборов ( просветление оп­
тики) и получения высокоотражаю-
щих покрытий. Прохождение света че­
рез каждую преломляющую поверх­
ность линзы, например через границу
стекло —воздух, сопровождается отра­
жением « 4 % падающего потока (при
показателе преломления стекла «1 ,5 ).
Так как современные объективы содер­
жат большое количество линз, то чис­
ло отражений в них велико, а поэтому
велики и потери светового потока. Сле­
довательно, интенсивность прошедше­
го света ослабляется и светосила опти­
ческого прибора уменьшается. Кроме
того, отражения от поверхностей линз
приводят к возникновению бликов, что
часто (например, в военной технике)
демаскирует положение прибора.
Д ля устранения указанны х недо­
статков осуществляют так называемое
просветление оптики — это сведение
к минимуму коэффициентов отраже­
ния поверхностей оптических систем
путем нанесения на них прозрачных
пленок, толщина которых соизмерима
с длиной волны оптического излуче­
ния. Для этого на свободные поверхно­
сти линз наносят тонкие пленки с по­
казателем преломления, меньшим, чем
у материала линзы. При отражении све­
та от границ раздела воздух —пленка и
пленка —стекло возникает интерферен­
ция когерентных лучей 1' и 2' (рис. 256).
Толщину пленки d и показатели пре­
ломления стекла пс и пленки п можно
подобрать так, чтобы волны, отражен­
ные от обеих поверхностей пленки, га­
сили друг друга. Для этого их амплитуПросветляющий
слой —.
Воздух
...
4d
Стекло
1 1' 2' 2
2" ,
п
__ _
по
Рис. 256
П0< П< Пе
327
ды должны быть равны, а оптическая
разность хода равна ( 2 т + 1)-^- [см.
(172.3)]. Расчет показывает, что ампли­
туды отраженных волн равны, если
п = л/п^.
(175.1)
Так как пс, п и показатель прелом­
ления воздуха По удовлетворяют усло­
виям пс > п > По, то потеря полуволны
происходит на обеих поверхностях; сле­
довательно, условие минимума (пред­
полагаем, что свет падает нормально,
т. е. г = 0)
2nd = (2m + l ) ^ ,
где nd —оптическая толщина плен­
ки. Обычно принимают т = 0, тогда
nd = ^ :
4
Таким образом, если выполняется
условие (175.1) и оптическая толщина
пленки равна Х0 то в результате интер­
ференции наблюдается гашение отра­
женных лучей. Так как добиться одно­
временного гашения для всех длин волн
невозможно, то это обычно делается
для наиболее восприимчивой глазом
длины волны Х0 « 0,55 мкм. Поэтому
объективы с просветленной оптикой
имеют синевато-красный оттенок.
Создание высокоотражающих по­
крытий стало возможным лишь на ос­
нове многолучевой интерференции.
В отличие от двухлучевой интерферен­
ции, которую мы рассматривали до сих
пор, многолучевая интерференция воз­
никает при наложении большого числа
когерентных световых пучков. Распре­
деление интенсивности в интерферен­
ционной картине существенно различа­
ется; интерференционные максимумы
значительно уже и ярче, чем при нало­
328
жении двух когерентных световых пуч­
ков. Так, результирующая амплитуда'
световых колебаний одинаковой амп­
литуды в максимумах интенсивности^
где сложение происходит в одинаковой
фазе, в Nраз больше, а интенсивность в.
N2 раз больше, чем от одного пучка
(N—число интерферирующих пучков).*
Отметим, что для нахождения резуль­
тирующей амплитуды удобно пользо­
ваться графическим методом, исполь­
зуя метод вращающегося вектора амп­
литуды (см. § 140). Многолучевая ин­
терференция осуществляется в дифрак­
ционной решетке (см. § 180).
Многолучевую интерференцию
можно осуществить в многослойной
системе чередующихся пленок с разны­
ми показателями преломления (но оди­
наковой оптической толщиной, равной
^■), нанесенных на отражающую по*
верхность (рис. 257). Можно показать,
что на границе раздела пленок (между
двумя слоями ZnS с большим показа­
телем преломления щ находится плен­
ка криолита с меньшим показателем
преломления п2) возникает большое
число отраженных интерферирующих
лучей, которые при оптической толщи­
не пленок — будут взаимно усиливать­
ся, т. е. коэффициент отражения возра­
стает.
Характерной особенностью такой
высокоотражательной системы являет-
Рис. 257
ся то, что она действует в очень узкой
спектральной области, причем чем боль­
ше коэффициент отражения, тем уже
эта область. Например, система из семи
пленок для области, равной 0,5 мкм, дает
коэффициент отражения р « 96 % (при
коэффициенте пропускания «3 ,5 % и
коэффициенте поглощения <0,5 %).
Подобные отражатели применяются в
лазерной технике, а также используют­
ся для создания интерференционных
светофильтров (узкополосных оптиче­
ских фильтров).
Явление интерференции лежит в
основе устройства интерферомет­
ров —оптических приборов, с помощью
которых можно пространственно разде­
лить пучок света на два или большее
число когерентных пучков и создать
между ними определенную разность
хода. После сведения этих пучков вме­
сте наблюдается интерференция. Мето­
дов получения когерентных пучков
много, поэтому существует множество
конструкций интерферометров. На рис.
258 представлена упрощенная схема
интерферометра Майкельсона. Мо­
нохроматический свет от источника S
падает под углом 45° на плоскопарал­
лельную пластинку Рх. Сторона плас­
тинки, удаленная от S, посеребренная
и полупрозрачная, разделяет луч на две
части: луч 1 (отражается от посеребрен­
ного слоя) и луч 2 (проходит через
него). Луч 1 отражается от зеркала Мг
и, возвращаясь обратно, вновь проходит
через пластинку Рх(луч 1'). Луч 2 идет
к зеркалу М2, отражается от него, воз­
вращается обратно и отражается от пла­
стинки Pi (луч 2 1). Так как первый из
лучей проходит сквозь пластинку Рх
дважды, то для компенсации возника­
ющей разности хода на пути второго
луча ставится пластинка Р2 (точно та­
кая же, как и Plt только не покрытая
слоем серебра).
Рис. 258
Лучи 1’ и 2' когерентны, следова­
тельно, будет наблюдаться интерферен­
ция, результат которой зависит от оп­
тической разности хода луча 1 от точки
О до зеркала Мхи луча 2 от точки Одо
зеркала М2. При перемещении одного
из зеркал на расстояние Х0 разность
хода обоих лучей увеличится на
и
произойдет смена освещенности зри­
тельного поля. Следовательно, по не­
значительному смещению интерферен­
ционной картины можно судить о ма­
лом перемещении одного из зеркал и
использовать интерферометр Майкель­
сона для точного (порядка 10-7 м) из­
мерения длин [измерения длины тел,
длины волны света, изменения длины
тела при изменении температуры (ин­
терференционный дилатометр)].
Российский физик В.П.Линник
(1889 —1984) использовал принцип ра­
боты интерферометра Майкельсона для
создания микроинтерферометра
(комбинация интерферометра и мик­
роскопа), служащего, например, для
контроля чистоты обработки поверх­
ности.
Интерферометры —очень чувстви­
тельные оптические приборы, позволя­
ющие определять незначительные из­
менения показателя преломления про­
зрачных тел (газов, жидких и твердых
329
тел) в зависимости от давления, темпе­
ратуры, примесей и т.д. Такие интерфе­
рометры получили название интерфе­
ренционных рефрактометров.
На пути интерферирующих лучей
располагаются две одинаковые кюветы
длиной I, одна из которых заполнена,
например, газом с известным (п 0), а
другая — с неизвестным (пх) показате­
лями преломления. Возникшая между
интерферирующими лучами дополни­
тельная оптическая разность хода Д =
= (пх — п0)1. Изменение разности хода
приведет к сдвигу интерференционных
полос. Этот сдвиг можно характеризо­
вать величиной
_
_Д_К-По)(
" “И И --------1
'
где т 0 показывает, на какую часть ши­
рины интерференционной полосы сме­
стилась интерференционная картина.
Измеряя величину т 0 при известных I,
щ и X, можно вычислить пхили изме­
нение пх—п0. Например, при смещении
интерференционной картины на I/5 полосыпри 1= 10 см и X = 0,5 мкм пх—п0 =
= 10 -6, т.е. интерференционные реф­
рактометры позволяют измерять изме­
нение показателя преломления с очень
высокой точностью (до 1/1 ОООООО).
П рименение интерф ерометров
очень многообразно. Кроме перечис­
ленного, они используются для изуче­
ния качества изготовления оптических
деталей, измерения углов, исследова­
ния быстропротекающих процессов,
происходящих в воздухе, обтекающем
летательные аппараты, и т.д. Применяя
интерферометр, Майкельсон впервые
провел сравнение международного эта­
лона метра с длиной стандартной све­
товой волны. С помощью интерферо­
метров исследовалось также распрост­
ранение света в движущихся телах, что
привело к фундаментальным измене­
ниям представлений о пространстве и
времени.
Контрольные вопросы
• Каковы основные положения и выводы корпускулярной и волновой теорий света?
• Почему возникло представление о двойственной корпускулярно-волновой природе све­
та?
• В чем заключается основная идея теории Планка?
• Какую величину называют временем когерентности? длиной когерентности? Какова
связь между ними?
• Для чего вводятся понятия временной и пространственной когерентностей?
• Что такое оптическая длина пути? оптическая разность хода?
• Два когерентных световых пучка с оптической разностью хода Д = 3/2\ интерферируют
в некоторой точке. Максимум или минимум наблюдается в этой точке? Почему?
• Почему интерференцию можно наблюдать от двух лазеров и нельзя от двух электро­
ламп?
• Как изменится интерференционная картина в опыте Юнга (см. рис. 248), если эту сис­
тему поместить в воду?
• Будут ли отличаться интерференционные картины от двух узких близко лежащих па­
раллельных щелей при освещении их монохроматическим и белым светом? Почему?
• Что такое полосы равной толщины и равного наклона? Где они локализованы?
• Освещая тонкую пленку из прозрачного материала монохроматическим светом, падаю­
щим нормально к поверхности пленки, на ней наблюдают параллельные чередующиеся
равноудаленные темные и светлые полосы. Одинакова ли толщина отдельных участков
пленки?
330
• Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в проходящем свете, обычно светлый?
• Между двумя пластинками имеется воздушный клин, освещая который монохромати­
ческим светом наблюдают интерференционные полосы. Как изменится расстояние меж­
ду полосами, если пространство заполнить прозрачной жидкостью?
• В чем заключается суть просветления оптики?
• Когда и почему слой (слои) с оптической толщиной в четверть длины волны служит
(служат) для полного гашения отраженных лучей и для получения высокоотражающих
покрытий?
ЗАДАЧИ
22.1. Определите, какую длину пути sxпройдет фронт волны монохроматического света
в вакууме за то же время, за которое он проходит путь s2 = 1,5 мм в стекле с показателем
преломления га2 = 1,5. [2,25 мм]
22.2. В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освещались монохро­
матическим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определите расстояние от щелей до экрана,
если ширина интерференционных полос равна 1 мм. [0,5 м]
22.3. На стеклянный клин (га = 1,5) нормально падает монохроматический свет (X =
= 698 нм). Определите угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя
соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм. [0,4;]
22.4. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим све­
том, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пла­
стинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в
1,21 раза. Определите показатель преломления жидкости. [1,46]
22.5. На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает монохроматический
свет с длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отраженного света на линзу наносит­
ся тонкая пленка. Определите: 1) оптимальный показатель преломления пленки; 2) толщи­
ну пленки. [1) 1,24; 2) 0,111 мкм]
22.6. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной кар­
тины на 450 полос зеркало пришлось переместить на расстояние 0,135 мм. Определите дли­
ну волны падающего свсга. [0,6 мкм]
22.7. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра поместили откачан­
ную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина
сместилась на 131 полосу. Определите показатель преломления хлора, если наблюдение
производится в монохроматическом свете с длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]
Г л а в а 23
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 176. Принцип
Г ю йгенса— Френеля
Дифракцией назы вается огибание
волнами препятствий, встречающихся
на их пути, или в более широком смыс­
ле — любое отклонение распростране­
ния волн вблизи препятствий от зако­
нов геометрической оптики. Благодаря
дифракции волны могут попадать в об­
ласть геометрической тени, огибать пре­
пятствия, проникать через небольшие
331
отверстия в экранах и т.д. Например,
звук хорошо слышен за углом дома, т. е.
звуковая волна его огибает.
Явление дифракции, общее для всех
волновых процессов, имеет особенности
для света, а именно здесь, как правило,
длина волны X много меньше разме­
ров d преград (или отверстий). Поэто­
му наблюдать дифракцию можно толь­
ко на достаточно больших расстояниd2 ).
ях I от преграды ( I ^ —
1
Л
/ Дифракция света — это совокуп­
ность явлений, наблюдаемых при рас­
пространении света сквозь малые от­
верстия, вблизи границ непрозрачных
тел и т.д., обусловленных волновой
природой света. Под дифракцией света
обычно понимают отклонение от зако­
нов распространения света, описывае­
мых геометрической оптикой.
Объяснение дифракции возможно с
помощью принципа Гюйгенса (см. § 170),
согласно которому каждая точка, до ко­
торой доходит волна, служит центром
вторичных волн, а огибающая этих волн
задает положение волнового фронта в
следующий момент времени.
Пусть плоская волна нормально па­
дает на отверстие в непрозрачном экра­
не (рис. 259). Согласно Гюйгенсу, каж­
дая точка выделяемого отверстием уча­
стка волнового фронта служит источ­
ником вторичных волн (в однородной
изотропной среде они сферические).
Построив огибающую вторичных волн
для некоторого момента времени, ви­
дим, что фронт волны заходит в область
геометрической тени, т.е. волна огиба­
ет края отверстия.
ЦЩ Щ Щ Щ
V чг х Я а У
Рис. 259
332
Явление дифракции характерно для
волновых процессов. Поэтому если свет
является волновым процессом, то для
него должна наблюдаться дифракция,
т. е. световая волна, падающая на грани*
цу какого-либо непрозрачного тела,!
должна огибать его (проникать в об­
ласть геометрической тени). Из опыта,
однако, известно, что предметы, осве­
щаемые светом, идущим от точечного!
источника, дают резкую тень и, следо-1
вательно, лучи не отклоняются от их
прямолинейного распространения. По­
чему же возникает резкая тень, если
свет имеет волновую природу? К сожа­
лению, в теории Гюйгенса ответа на
этот вопрос нет.
Принцип Гюйгенса решает лишь за­
дачу о направлении распространения
волнового фронта, но не затрагивает
вопроса об амплитуде, а следовательно,
и об интенсивности волн, распростра­
няющихся по разным направлениям.
Френель вложил в принцип Гюйгенса
физический смысл, дополнив его иде­
ей интерференции вторичных волн.
J Согласно принципу Гюйгенса —
Френеля, световая волна, возбуждае­
мая каким-либо источником S, может
быть представлена как результат су­
перпозиции когерентных вторичных
волн, «излучаемых» фиктивными ис­
точниками. Такими источниками могут
служить бесконечно малые элементы'
любой замкнутой поверхности, охваты­
вающей источник S. Обычно в качестве
этой поверхности выбирают одну из
волновых поверхностей, поэтому все
фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распро­
страняющиеся от источника, являются
результатом интерференции всех коге­
рентных вторичных волн.
Френель исключил возможность
возникновения обратных вторичных
волн и предположил, что если между
источником и точкой наблюдения на­
ходится непрозрачный экран с отвер­
стием, то на поверхности экрана амп­
литуда вторичных волн равна нулю, а в
отверстии — такая же, как при отсут­
ствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных
волн позволяет в каждом конкретном
случае найти амплитуду (интенсив­
ность) результирующей волны в любой
точке пространства, т. е. определить за­
кономерности распространения света.
В общем случае расчет интерференции
вторичных волн довольно сложный и
громоздкий, однако, как будет показа­
но ниже, для некоторых случаев нахож­
дение амплитуды результирующего ко­
лебания осуществляется алгебраичес­
ким суммированием.
§ 177. Метод зон Френеля.
Прямолинейное
распространение света
Принцип Гюйгенса —Френеля в рам­
ках волновой теории должен был отве­
тить на вопрос о прямолинейном рас­
пространении света. Френель решил
эту задачу, рассмотрев взаимную интер­
ференцию вторичных волн и применив
прием, получивший название метода
зон Френеля.
Найдем в произвольной точке Мам­
плитуду световой волны, распространя­
ющейся в однородной среде из точеч­
ного источника S монохроматического
света (рис. 260). Согласно принципу
Гюйгенса—Френеля, заменим действие
источника S действием воображаемых
источников, расположенных на вспомо­
гательной поверхности Ф, являющейся
поверхностью фронта волны, идущей
из S (поверхность сферы с центром 5).
Френель предложил разбить волно­
вую поверхность Ф на кольцевые зоны
S
Рис. 260
такого размера, чтобы расстояния от
краев зоны до М отличались на ^ , т.е.
РхМ- Р0М= Р2М - РХМ - Р3М - Р2М=
= ... = ^ . Подобное разбиение фронта
волны на зоны можно выполнить, про­
ведя с центром в точке М сферы радиу­
сами 6 + —, 6 + 2—, 6 + 3 —____Так как
2
2
2
колебания от соседних зон проходят до
точки М расстояния, отличающиеся на
—, то в точку Мони приходят в противо­
положной фазе и при наложении эти ко­
лебании будут взаимно ослаблять друг
друга. Поэтому амплитуда результиру­
ющего светового колебания в точке М
А = Ах - А2 + А3 - А4 + ..., (177.1)
где Аи А2, ... —амплитуды колебаний,
возбуждаемых 1-й, 2-й ,... зонами.
Для оценки амплитуд колебаний
найдем площади зон Френеля. Пусть
внешняя граница га-й зоны выделяет на
волновой поверхности сферический
333
сегмент высоты /ц, (рис. 261). Обозна­
чив площадь этого сегмента через ат ,
найдем, что площадь т - й зоны Френе­
ля равна Дстт = ат - ат_ь где стт _х —
площадь сферического сегмента, выде­
ляемого внешней границей ( т — 1)-й
зоны. Из рисунка следует, что
гД = a2 - ( a - h m)2 =
| (V + m | )2 - (6 + / 0 2.
(177.2)
После элементарных преобразова­
ний, учитывая, что X <€. о и X <с Ъ,по­
лучим
Аг> А2 > А3 > Аа > ... .
Общее число зон Френеля, умещаю-1
щихся на полусфере, очень велико; например, при а= Ъ= 10 см и X = 0,5 мкм \
N = — (а + Ь) = 8 •105. Поэтому в к а -1
•тсаоХ
честве допустимого приближения мож-1
но считать, что амплитуда колебания Ат i
от некоторой га-й зоны Френеля равна 1
среднему арифметическому от амплий!
туд примыкающих к ней зон, т. е.
Аш=
л»
.
(177.5)1
Тогда выражение (177.1) можно за­
писать в виде
(1773)
Площадь сферического сегмента и
площадь т -й зоны Френеля соответ­
ственно равны
Л
7
ТТdbX .
стт = 2-каПт = ----- г га;
л~{~Ь
(177.4)
Доm — от am_i ттабХ
а+6
Выражение (177.4) не зависит от т ,
следовательно, при не слишком боль­
ших т площади зон Френеля одинако­
вы. Таким образом, построение зон
Френеля разбивает волновую поверх­
ность сферической волны на равнове­
ликие зоны.
Согласно предположению Френеля,
действие отдельных зон в точке М тем
меньше, чем больше угол ipm (см. рис.
261) между нормалью п к поверхности
зоны и направлением на М, т. е. действие
зон постепенно убывает от центральной
(около Р0) к периферическим. Кроме
того, интенсивность излучения в направ­
лении точки М уменьшается с ростом
га и вследствие увеличения расстояния
от зоны до точки М. Следовательно,
334
+ (4 1- л <+ ф ) + - = 4 - . (177-6)
так как выражения, стоящие в скобках,
согласно (177.5), равны нулю, а остав-;
шаяся часть от амплитуды последней
зоны ничтожно мала.
Таким образом, амплитуда резуль­
тирующих колебаний в произвольной
точке М определяется как бы действи­
ем только половины центральной зоны
Френеля. Следовательно, действие
всей волновой поверхности на точку М
сводится к действию ее малого участ­
ка, меньшего центральной зоны.
Если в выражении (177.2) положим,
что высота сегмента hm <С в (при не
слишком больших га), тогда гД = 2ahm.
Подставив сюда значение (177.3), най­
дем радиус внешней границы т-й зоны
Френеля:
ab тХ.
CL~Ь 6
(177.7)
При а= Ь= 10 см и X—0,5 мкм радиус
первой (центральной) зоны гх= 0,158 мм.
Следовательно, распространение света
от S к М происходит так, будто свето­
вой поток распространяется внутри
очень узкого канала вдоль SM, т. е. пря­
молинейно. Таким образом, принцип
Гюйгенса—Френеля позволяет объяс­
нить прямолинейное распространение
света в однородной среде.
Правомерность деления волнового
фронта на зоны Френеля подтвержде­
на экспериментально. Для этого ис­
пользуются зонные пластинки —в про­
стейшем случае стеклянные пластинки,
состоящие из системы чередующихся
прозрачных и непрозрачных концент­
рических колец, построенных по прин­
ципу расположения зон Френеля, т.е.
с радиусами гт зон Френеля, определя­
емыми выражением (177.7) для задан­
ных значений а, 6иХ( га —О,2 ,4 ,... для
прозрачных и т = 1,3,5,... для непроз­
рачных колец). Если поместить зонную
пластинку в строго определенном мес­
те (на расстоянии а от точечного источ­
ника и на расстоянии Ьот точки наблю­
дения на линии, соединяющей эти две
точки), то для света длиной волны Xона
перекроет четные зоны и оставит сво­
бодными нечетные, начиная с централь­
ной. В результате этого результирую­
щая амплитуда А —Ах + А3 + Аь + ...
должна быть больше, чем при полнос­
тью открытом волновом фронте. Опыт
подтверждает эти выводы: зонная пла­
стинка увеличивает освещенность в
точке М, действуя подобно собирающей
линзе.
распространения света. Первый тип
дифракции относится к случаю, когда
на препятствие падает сферическая или
плоская волна, а дифракционная кар­
тина наблюдается на экране, находя­
щемся за препятствием на конечном от
него расстоянии. Дифракционные яв­
ления этого типа впервые изучены Фре­
нелем и называются дифракцией Фре­
неля (или дифракцией в сходящихся
лучах).
При рассмотрении этого типа диф­
ракции воспользуемся гипотезой Фре­
неля (см. § 176), согласно которой часть
волнового фронта, закрытая экраном,
не действует вообще, а незакрытые уча­
стки волнового фронта действуют, как
в случае отсутствия экрана. Это при­
ближение вполне допустимо в случаях,
когда размеры отверстия значительно'
больше длины волны X, так как влия­
ние экрана существенно лишь в непос­
редственной близости от его края (на
расстояниях, сравнимых с длиной вол­
ны X).
,
1.
Дифракция на круглом отвер­
стии. Сферическая волна, распростра­
няющаяся из точечного источника S,
встречает на своем пути экран с круг­
лым отверстием. Дифракционную кар­
тину наблюдаем на экране Э в точке В,
лежащей на линии, соединяющей S с
центром отверстия (рис. 262). Экран па­
раллелен плоскости отверстия и нахо11
I»I I
I
I
Рис. 262
§ 178. Дифракция Ф ренеля
на круглом отверстии и диске
Дифракцию разделяют на два типа —
в зависимости от расстояний от источ­
ника и точки наблюдения (экрана) до
препятствия, расположенного на пути
335
дится от него на расстоянии Ь. Разобь­
ем открытую часть волновой поверхно­
сти Ф на зоны Френеля. Вид дифракци­
онной картины зависит от числа зон
Френеля, укладывающихся на откры­
той части волновой поверхности в плос­
кости отверстия. Амплитуда результи­
рующего колебания, возбуждаемого в
точке В всеми зонами [см. (177.1) и
(177.6)],
где знак «+» соответствует нечетным т
и «—>—четным т .
Если отверстие открывает нечетное
число зон Френеля, то амплитуда (ин­
тенсивность) в точке В будет больше,
чем при свободном распространении
волны, если четное, то амплитуда (ин­
тенсивность) будет равна нулю.
Если отверстие открывает одну зону
Френеля, то в точке В амплитуда А = Аъ
т.е. вдвое больше, чем в отсутствие не­
прозрачного экрана с отверстием (см.
§ 177). Интенсивность света больше со­
ответственно в четыре раза.
Если отверстие открывает две зоны
Френеля, то их действия в точке В прак­
тически уничтожат друг друга из-за ин­
терференции. Таким образом, дифрак­
ционная картина от круглого отверстия
вблизи точки В будет иметь вид череРис. 263
sТ
I
I
I
I
I
дующихся темных и светлых колец с
центрами в точке В (если т четное, то
в центре будет темное кольцо, если m
нечетное —то светлое кольцо), причем
интенсивность в максимумах убывает
с расстоянием от центра картины.
Расчет амплитуды результирующее
го колебания на внеосевых участках
экрана более сложен, так как соответ4
ствующие им зоны Френеля частично
перекрываются непрозрачным экра­
ном. Если отверстие освещается не мо­
нохроматическим, а белым светом, то;
кольца окрашены.
Число зон Френеля, открываемых
отверстием, зависит от его диаметра.
Если он большой, то Ат «С Ахи резульл
тирующая амплитуда А =
т.е. та­
кая же, как и при полностью открытом
волновом фронте. В данном случае
дифракции не наблюдается, свет рас­
пространяется, как и в отсутствие круг­
лого отверстия, прямолинейно.
2.
Дифракция на диске. Сферичес
кая волна, распространяющаяся от то­
чечного источника S, встречает на сво­
ем пути непрозрачный диск. Дифракци­
онную картину наблюдаем на экране Э
в точке В, лежащей на линии, соединя­
ющей S с центром диска (рис. 263).
В данном случае закрытый диском уча­
сток волнового фронта надо исключить
из рассмотрения и зоны Френеля стро­
ить, начиная с краев диска. Пусть диск
закрывает т первых зон Френеля. Тог­
да амплитуда результирующего колеба­
ния в точке В равна
=
^т+1
^ т + 2 "Ь ^ т + 3
— tfl+l I l^m+l
I 2 +Г 2
или
а
М
А= % ;
336
|
щ
—
Ат+3 \ ,
р :*
так как выражения, стоящие в скобках,
равны нулю. Следовательно, в точке В
всегда наблюдается интерференцион­
ный максимум (светлое пятно), соот­
ветствующий половине действия пер­
вой открытой зоны Френеля. Цент­
ральный максимум окружен концент­
рическими с ним темными и светлыми
кольцами, а интенсивность в максиму­
мах убывает с расстоянием от центра
картины.
С увеличением диаметра диска пер­
вая открытая зона Френеля удаляется
от точки В и увеличивается угол ipm(см.
рис. 261) между нормалью к поверхно­
сти этой зоны и направлением на точ­
ку Я В результате интенсивность цен­
трального максимума с увеличением
размеров диска уменьшается. При боль­
ших размерах диска за ним наблюдает­
ся тень, вблизи границ которой имеет
место весьма слабая дифракционная
картина.
§ 179. Дифракция Фраунгофера
на одной щели
этого практически достаточно, чтобы
длина щели была значительно больше
ее ширины). Пусть плоская монохрома­
тическая световая волна падает нор­
мально плоскости узкой щели шири­
ной а (рис. 264, а). Оптическая разность
хода между крайними лучами МСи ND,
идущими от щели в произвольном на­
правлении tp,
Д = NF= a simp,
(179.1)
где F — основание перпендикуляра,
опущенного из точки Мна луч ND.
Согласно принципу Гюйгенса —
Френеля, каждая точка щели является
источником вторичных волн. Откры­
тую часть волновой поверхности в
плоскости щели МЛ/разбивают на зоны
Френеля, имеющие вид полос, парал­
лельных ребру М щели. Ширина каж- ■
дой зоны выбирается так, чтобы раз­
ность хода от краев этих зон была рав­
на —, т.е. всего на ширине щели умес2 д
тится —- зон. Так как свет на щель паХ/2
дает нормально, то плоскость щели со-
Второй тип дифракции — дифрак­
ция Фраунгофера1 (или дифракция в
параллельных лунах) наблюдается в
том случае, когда источник света и точ­
ка наблюдения бесконечно удалены от
препятствия, вызвавшего дифракцию.
Чтобы этот тип дифракции осущест­
вить, достаточно точечный источник
света поместить в фокусе собирающей
линзы, а дифракционную картину ис­
следовать в фокальной плоскости вто­
рой собирающей линзы, установленной
за препятствием.
Рассмотрим дифракцию Фраунго­
фера от бесконечно длинной щели (для
-sin ip
1 И.Фраунгофер (17 87 —1826) — немецкий
физик.
х^у/\
"а
-а
° ^ 7 0,017
X
а
0
/W N l
X
а
ЧХ simp
“а Ца
Рис. 264
337
впадает с волновым фронтом; следова­
тельно, все точки волнового фронта в
плоскости щели будут колебаться в
одинаковой фазе. Амплитуды вторич­
ных волн в плоскости щели будут рав­
ны, так как выбранные зоны Френеля
имеют одинаковые площади и одинако­
во наклонены к направлению наблюде­
ния.
Из выражения (179.1) вытекает, что
число зон Френеля, укладывающихся
на ширине щели, зависит от угла ф. От
числа зон Френеля, в свою очередь, за­
висит результат наложения всех вто­
ричных волн. Из приведенного постро­
ения следует, что при интерференции
света от каждой пары соседнихзон Фре­
неля амплитуда результирующих коле­
баний равна нулю, так как колебания от
каждой пары соседних зон взаимно га­
сят друг друга. Следовательно, если
число зон Френеля четное, то
asinip = ± 2 т — ( т = 1,2,3,...), (179.2)
т
и в точке В наблюдается дифракцион­
ный минимум (полная темнота), если
же число зон Френеля нечетное, то
asmip=±(2m+l)-^ (m=1,2,3,...),(179.3)
и наблюдается дифракционный мак­
симум, соответствующий действий од­
ной нескомпенсированной зоны Фре­
неля. Отметим, что в направлении ф= О
щель действует как одна зона Френе­
ля, и в этом направлении свет распрос­
траняется с наибольшей интенсивнос­
тью, т.е. в точке В0 наблюдается цент­
ральный дифракционный максимум.
Из условий (179.2) и (179.3) можно
найти направления на точки экрана, в
которых амплитуда (а следовательно, и
интенсивность) равна нулю (sin.ipmhl =
= ± -^ -) или максимальна (sinip__=
338
= ± (2гн + 1)\) расПреДеление интен2а
сивности на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный
спектр), приведено на рис. 264, б. Рас­
четы показывают, что интенсивности я
центральном и последующих макси-|
мумах относятся как 1:0,047:0,017 :|
0,0083:..., т. е. основная часть световом
энергии сосредоточена в центральном
максимуме. С уменьшением ширины
щели центральный максимум расширяв
ется [согласно (179.2) возрастают углы
Ф = ia rc s in —, которые соответствую®
а
минимумам первого порядка, ограни-]
чивающим центральный максимум];
при этом яркость его уменьшается. Все
сказанное относится и к другим макси­
мумам.
С увеличением ширины щели (а > X)
дифракционные полосы становятся
уже и ярче, а число полос больше. При
а Xв центре получается резкое изоб­
ражение источника света (имеет мес­
то прямолинейное распространение
света).
При а =X (что соответствует sin ф* 1
и ф = ^ ) центральный максимум рас­
плывается в бесконечность и экран ос­
вещен равномерно. Отметим, что при
а < X приближенный метод Френеля не
применяют, так как волновое поле в
плоскости щели нельзя отождествлять
с неискаженным полем падающей вол­
ны. В данном случае необходимо стро­
гое решение задачи с использованием
уравнений Максвелла.
Положение дифракционных макси­
мумов зависит от длины волны X, по­
этому рассмотренная выше дифракци­
онная картина имеет место лишь для
монохроматического света. При осве­
щении щели белым светом централь­
ный максимум наблюдается в виде бе­
лой полоски; он общий для всех длин
волн (при vp = 0 разность хода равна
нулю для всех X). Боковые максимумы
радужно окрашены, так как условие
максимума при любых т различно для
разных X. Таким образом, справа и сле­
ва от центрального максимума наблю­
даются максимумы первого (m = 1),
второго (га = 2) и других порядков, об­
ращенные фиолетовым краем к центру
дифракционной картины. Однако они
настолько расплывчаты, что отчетливо­
го разделения различных длин волн с
помощью дифракции на одной щели
получить невозможно.
§ 180. Дифракция Фраунгофера
на дифракционной решетке
Большое практическое значение
имеет дифракция, наблюдаемая при
прохождении света через одномерную
дифракционную решетку —систему
параллельных щелей равной ширины,
лежащих в одной плоскости и разделен­
ных равными по ширине непрозрачны­
ми промежутками. Рассматривая диф­
ракцию Фраунгофера на щели, мы ви­
дели, что распределение интенсивнос­
ти на экране определяется направлени­
ем дифрагированных лучей. Это озна­
чает, что перемещение щели параллель­
но самой себе влево или вправо не из­
менит дифракционной картины. Следо­
вательно, если перейти от одной щели
ко многим (к дифракционной решетке),
то дифракционные картины, создавае­
мые каждой щелью в отдельности, бу­
дут одинаковыми.
Дифракционная картина на решет­
ке определяется как результат взаим­
ной интерференции волн, идущих от
всех ще^й, т.е. в дифракционной ре­
шетке осуществляется многолучевая
интерференция когерентных дифраги-
n u n t
М
й
N
С
Рис-265
D
FJ ^ MN= а
NG — Ь
в
рованных пучков света, идущих от всех
щелей.
Рассмотрим дифракционную решет­
ку. На рис. 265 для наглядности пока­
заны только ее две соседние щели MN
и CD. Если ширина каждой щели рав­
на а, а ширина непрозрачных участков
между щелями Ь, то величина d = а + Ь
называется постоянной (периодом)
дифракционнойрешетки. Пусть плос­
кая монохроматическая волна падает
нормально к плоскости решетки. Так
как щели находятся друг от друга на
одинаковых расстояниях, то разности
хода лучей, идущих от двух соседних
щелей, будут для данного направле­
ния ip одинаковы в пределах всей диф­
ракционной решетки:
Д = CF= (a-f b)sinip = dsinip. (180.1)
Очевидно, что в тех направлениях,
в которых ни одна из щелей не распрос­
траняет свет, он не будет распростра­
няться и при двух щелях, т.е. прежние
(главные) минимумы интенсивности
будут наблюдаться в направлениях, оп­
ределяемых условием (179.2):
a sin tp = ±mX (га = 1,2,3,...). (180.2)
Кроме того, вследствие взаимной ин­
терференции световых лучей, посылае­
мых двумя щелями, в некоторых направ­
лениях они будут гасить друг друга, т.е.
возникнут дополнительные миниму­
мы. Очевидно, что эти дополнительные
минимумы будут наблюдаться в тех на339
правлениях, которым соответствует
разность хода лучей ~ , 3 ..., посыла­
емых, например, от крайних левых то*
чек Ми С обеих щелей. Таким образом,
с учетом (180.1) условие дополнитель­
ных минимумов:
dsinip = ±(2m + l ) ^ (m = 0,1,2,...).
Наоборот, действие одной щели бу­
дет усиливать действие другой, если
dsimp = ± 2га—= ± тХ
2
( т = 0,1,2,...),
(180.3)
т.е. выражение (180.3) задает условие
главных максимумов.
Таким образом, полная дифракци­
онная картина для двух щелей опреде­
ляется из условий:
asirnp = X, 2\ ЗХ, ...
(главные минимумы);
(дополнительные минимумы);
dsinip = 0, X, 2Х, ЗХ,...
(главные максимумы),
т.е. между двумя главными максимума­
ми располагается один дополнитель­
ный минимум. Аналогично можно по­
казать, что между каждыми двумя глат
ными максимумами при трех щелях
располагается два дополнительных ми­
нимума, при четырех щелях —три и т. д.
Если дифракционная решетка состо­
ит из N щелей, то условием главных
минимумов является условие (180.2),
условием главных максимумов —усло|
вие (180.3), а условием дополнителен
ных минимумов
» *
asm(p
= ±■ 7f71r X
« |
N
(m; * 0, N,2N
(180.4)^
где т ' может принимать все целочися
ленные значения, кроме тех, при кото||
рых условие (180.4) переходит в (180.3)^:Следовательно, в случае N щелей меж­
ду двумя главнымимаксимумами распор
лагается N —1 дополнительных мини­
мумов, разделенных вторичнымимакси*
мумами, создающими весьма слабый)
фон.
Чем больше щелей N, тем большее!
количество световой энергии пройде?!
через решетку, тем больше минимумов!
образуется между соседними главными |
максимумами, а следовательно, более
интенсивными и более острыми будут
максимумы. На рис. 266 качественно
представлена дифракционная картина
от восьми щелей. Так как модуль simp
не может быть больше единицы, то из
(180.3) следует, что число главных мак­
симумов
т. е. определяется отношением периода
решетки к длине волны.
Положение главных максимумов
зависит от длины волны X [см. (180.3)].
340
Поэтому при пропускании через решет­
ку белого света все максимумы, кроме
центрального (те = 0), разложатся в
спектр, фиолетовая область которого
будет обращена к центру дифракцион­
ной картины, красная —наружу. Это
свойство дифракционной решетки ис­
пользуется для исследования спект­
рального состава света (определения
длин волн и интенсивностей всех мо­
нохроматических компонентов), т.е;
дифракционная решетка может быть
использована как спектральный прибор,
предназначенный для разложения све­
та в спектр и измерения длин волн.
'■ Дифракционные решетки, использу­
емые в различных областях спектра, от­
личаются размерами, формой, материа­
лом поверхности, профилем штрихов и
их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм,
что позволяет перекрывать область
спектра от ультрафиолетовой его час­
ти до инфракрасной). Например, сту­
пенчатый профиль решетки позволяет
концентрировать основную часть пада­
ющей энергии в направлении одного
определенного ненулевого порядка.
§ 181. Пространственная
решетка. Рассеяние света
Дифракция света наблюдается не
только на плоской одномернойрешет­
ке (штрихи нанесены перпендикуляр­
но некоторой прямой линии), но и на
двумерной решетке (штрихи нанесе. ны во взаимно перпендикулярных на­
правлениях в одной и той же плоско­
сти).
Большой интерес представляет так­
же дифракция на пространственных
(;трехмерных) решетках —простран­
ственных образованиях, в которых эле­
менты структуры подобны по форме,
имеют геометрически правильное и пе­
риодически повторяющееся располо­
жение, а также постоянные (периоды)
решеток, соизмеримые с длиной волны
электромагнитного излучения. Иными
словами, подобные пространственные
образования должны иметь периодич­
ность по трем, не лежащим в одной
плоскости, направлениям.
В качестве пространственных диф­
ракционных решеток могут быть ис­
пользованы кристаллические тела, так
как в них неоднородности (атомы, мо­
лекулы, ионы) регулярно повторяются
в трех направлениях.
Дифракция света может происхо­
дить также в так называемых мутных
средах —средах с явно выраженными
оптическими неоднородностями. К мут­
ным средам относятся аэрозоли (обла­
ка, дым, туман), эмульсия, коллоидные
растворы и т.д., т.е. такие среды, в ко­
торых взвешено множество очень мел­
ких частиц инородных веществ.
Свет, проходя через мутную среду,
дифрагирует от беспорядочно располо­
женных микронеоднородностей, давая
равномерное распределение интенсив­
ностей по всем направлениям, не созда­
вая какой-либо определенной дифрак­
ционной картины. Происходит так на­
зываемое рассеяние света в мутной
среде. Это явление можно наблюдать,
например, когда узкий пучок солнеч­
ных лучей, проходя через запыленный
воздух, рассеивается на пылинках и тем
самым становится видимым.
Рассеяние света (как правило, сла­
бое) наблюдается также и вчистых сре­
дах, не содержащих посторонних час­
тиц. Л. И. Мандельштам объяснил рас­
сеяние света в средах нарушением их
оптической однородности, при котором
показатель преломления среды не по­
стоянен, а меняется от точки к точке.
В дальнейшем польский физик
М.Смолуховский (1872—1917) пока341
зал, что причиной рассеяния света мо­
гут быть также флуктуации плотности,
возникающие в процессе хаотического
(теплового) движения молекул среды.
Рассеяние света в чистых средах, обус­
ловленное флуктуациями плотности,
анизотропии или концентрации, назы­
вается молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объяс­
няется, например, голубой цвет неба.
Согласно закону Д. Рэлея, интенсив­
ность рассеянного света обратно про­
порциональна четвертой степени дли­
ны волны (7~ X-4), поэтому голубые и
синие лучи рассеиваются сильнее, чем
желтые и красные, обусловливая тем
самым голубой цвет неба. По этой же
причине свет, прошедший через значи­
тельную толщу атмосферы, оказывает­
ся обогащенным более длинноволно­
вой частью спектра (сине-фиолетовая
часть спектра полностью рассеивается)
и поэтому при закате и восходе Солнце
кажется красным. Флуктуации плотно­
сти и интенсивность рассеяния света
возрастают с увеличением температу­
ры. Поэтому в ясный летний день цвет
неба является более насыщенным по
сравнению с таким же зимним днем.
§ 182. Дифракция
на пространственной решетке.
Формула Вульфа— Брэггов
Для наблюдения дифракционной
картины необходимо, чтобы постоян­
ная решетки была того же порядка, что
и длина волны падающего излучения
[см. (180.3)]. Кристаллы, являясь трех­
мерными решетками (см. § 181), име­
ют постоянную порядка Ю-10 м и, сле­
довательно, непригодны для наблюде­
ния дифракции в видимом свете (X «
« 5 • 10“7 м). М. Лауэ [немецкий физик
342
(1879 —1960)] обратил внимание на то,
что кристаллы можно использовать Я
качестве пространственных решеток1
для наблюдения дифракции рентгенощ
ского излучения, поскольку расстояние
между атомами в кристаллах одного по- j
рядка с длиной волны рентгеновского
излучения («1 0 -12—10"8м).
Метод расчета дифракции рентгена!
вского излучения от кристаллическом
решетки предложен независимо друг от
друга русским ученым Г. В. Вульфом
(1863 —1925) и английскими физикам®
Г. и Л.Брэггами [отец (1862—1942) и
сын (1890 —1971)]. Они предположили!
что дифракция рентгеновского излуче-ния является результатом его отражен
ния от системы параллельных кристал­
лографических плоскостей (плоско­
стей, в которых лежат узлы (атомы)
кристаллической решетки).
Представим кристалл в виде с о а я
купности параллельных кристаллограф
фических плоскостей (рис. 267), отсто­
ящих друг от друга ид расстоянии d. Пу­
чок параллельных монохроматических;
рентгеновских лучей (1,2) падает под
углом скольжения 6 (угол между на­
правлением падающих лучей и крис­
таллографической плоскостью) и воз­
буждает атомы кристаллической ре­
шетки, которые становятся источника­
ми когерентных вторичных волн 1'и2',
интерферирующих между собой, подоб­
но вторичным волнам, от щелей диф­
ракционной решетки. Максимумы ин-
тенсивности (дифракционные макси­
мумы) наблюдаются в тех направлени­
ях, в которых все отраженные атомны­
ми плоскостями волны будут находить­
ся в одинаковой фазе. Эти направления
удовлетворяют формуле Вульфа —
Брэггов
2d sin 0 = m\
(771
= 1,2,3,...), (182.1)
т.е. при разности хода между двумя лу­
чами, отраженными от соседних крис­
таллографических плоскостей, кратной
целому числу длин волн X, наблюдает­
ся дифракционный максимум.
При произвольном направлении па­
дения монохроматического рентгено­
вского излучения на кристалл дифрак­
ция не возникает. Чтобы ее наблюдать,
надо, поворачивая кристалл, найти угол
скольжения. Дифракционная картина
может быть получена и при произволь­
ном положении кристалла, для чего
нужно пользоваться непрерывным рен­
тгеновским спектром, иепускаемым
рентгеновской трубкой. Тогда Для.та­
ких условий опыта всегда найдутся дли­
ны волн X, удовлетворяющие условию
2.
Наблюдая дифракцию рентгено­
вского излучения неизвестной длины
волны на кристаллической структуре
при известном d и измеряя 0 и т , мож­
но найти длину волны падающего рен­
тгеновского излучения. Этот метод ле­
жит в основе рентгеновской спектро­
скопии.
§ 183. Разрешающая способность
оптических приборов
Используя даже идеальную оптиче­
скую систему (такую, Для которой от­
сутствуют дефекты и аберрации), не­
возможно получить стигматическое
изображение точечного источника, что
объясняется волновой природой света,
Изображение любой светящейся точки
в монохроматическом свете представ­
ляет собой дифракционную картину,
т. е. точечный источник отображается в
виде центрального светлого пятна, ок­
руженного чередующимися темными и
светлыми кольцами.
Согласно критерию Рэлея, изобра­
(182.1).
жения двух близлежащих одинаковых
Формула Вульфа —Брэггов исполь­ точечных источников или двух близле­
зуется при решении двух важных за­ жащих спектральных линий с равными
дач:
интенсивностями и одинаковыми сим­
1.
Наблюдая дифракцию рентгено­ метричными контурами разрешимы
вского излучения известной длины
(разделены для восприятия), если цен­
волны на кристаллической структуре
тральный максимум дифракционной
неизвестного строения и измеряя 0 и т ,
картины от одного источника (линии)
можно найти межплоскостное рассто­
яние (d), т.е. определить структуру ве­
щества. Этот метод лежит в основе рен­
тгеноструктурного анализа.
Формула Вульфа—Брэггов остает­
ся справедливой и при дифракции элек­
тронов и нейтронов. Методы исследо­
вания структуры вещества, основанные
на дифракции электронов и нейтронов,
называются соответственно электро­
нографией и нейтронографией.
Рис. 268
343
совпадает с первым минимумом диф­ где бф —наименьшее угловое расстояЙ]
ние между двумя точками, при которо^
ракционной картины от другого (рис.
они еще оптическим прибором разре*'
268, а).
шаются.
При выполнении критерия Рэлея
Согласно критерию Рэлея, изобрар
интенсивность «провала» между макси­
мумами составляет 80 % интенсивнос­ жения двух одинаковых точек разреши­
ти в максимуме, что является достаточ­ мы, когда центральный максимум диф­
ным для разрешения линий Хх и Х2. ракционной картины для одной точки
Если критерий Рэлея нарушен, то на­ совпадает с первым минимумом диф­
ракционной картины для другой (рией
блюдается одна линия (рис. 268, б).
1.
Разреш аю щ ая способность 269).
Из рисунка следует, что при выпол^
объектива. Если на объектив падает свет
от двух удаленных точечных источни­ нении критерия Рэлея угловое расстЩ
ков Si и 1?2 (например, звезд) с некото­ яние 6i|) между точками должно быть
рым угловым расстоянием б-ф,то вслед­ равно ф, т.е. с учетом (183.1)
ствие дифракции световых волн на кра­
,,
1,22Х
ях диафрагмы, ограничивающей объек­
тив, в его фокальной плоскости вместо
двух точек наблюдаются максимумы,
Следовательно, разрешающая спо­
окруженные чередующимися темными собность объектива
и светлыми кольцами (рис. 269).
Можно доказать, что две близлежа­
д= 1
(183.2*
щие звезды, наблюдаемые в объективе
&ф 1,22Х
■
I
в монохроматическом свете, разреши­
мы, если угловое расстояние между
зависит от его диаметра и длины вол­
ними
ны света.
Из формулы (183.2) видно, что для
(183.1) повышения разрешающей способное-*,
ти оптических приборов нужно либо
где X—длина волны света, D—диаметр увеличить диаметр объектива, либо
объектива.
уменьшить длину волны. Поэтому для
Разрешающей способностью (раз­ наблюдения более мелких деталей
решающей силой) объектива называ­ предмета используют ультрафиоле­
ют величину
товое излучение, а полученное изо*
бражение в данном случае наблюдает­
. й =—;
-Я В
ся с помощью флуоресцирующего эк­
рана, либо фиксируется на фотоплас­
тинке.
Еще большую разрешающую способ­
ность можно было бы получить с помо­
щью рентгеновского излучения, но оно
обладает большой проникающей спо­
собностью и проходит через вещество
не преломляясь; следовательно, в дан­
ном случае невозможно спадать пре­
ломляющие линзы.
344
Потоки электронов (при определен­
ных энергиях) обладают примерно та­
кой же длиной волны, как и рентгено­
вское излучение. Поэтому электронный
микроскоп имеет очень высокую разре­
шающую способность (см. § 169).
Разрешающей способностью спек­
трального прибора называют безраз­
мерную величину
§ 184. Понятие о голографии
X
- —1 - = mN. Так как \ и Х2 близки
X? —Л)
между собой, т.е. Х2 —Хх = 8Х, то, со­
гласно (183.3),
фазу идущей от предмета волны. В са­
мом деле, согласно формуле (144.2),
учитывая, что
А2, распределение ин­
тенсивности в интерференционной кар­
тине определяется как амплитудой ин­
терферирующих волн, так и разностью
их фаз. Поэтому для регистрации как
фазовой, так и амплитудной информа­
ции кроме волны, идущей от предмета
(так называемой предметной волны),
используют еще когерентную с ней вол­
ну, идущую от источника света (так на­
зываемую опорную волну). Идея го­
лографирования состоит в том, что фо­
тографируется распределение интен­
сивности в интерференционной карти­
IГолография (от греч. «полная за­
пись») —особый способ записи и пос­
ледующего восстановления волнового
поля, основанный на регистрации ин­
терференционной картины. Она обяза­
на своим возникновением законам вол­
новой оптики —законам интерферен­
ции и дифракции.
Я =А ,
(183.3)
Этот принципиально новый способ
ОХ
фиксирования и воспроизведения про­
где 8Х — абсолютное значение мини­ странственного изображения предме­
мальной разности длин волн двух сосед­ тов изобретен английским физиком
них спектральных линий, при которой Д. Габором (1900-1979) в 1947 г. (Но­
белевская премия 1971 г.). Эксперимен­
эти линии регистрируются раздельно.
2. Разрешающая способность диф­ тальное воплощение и дальнейшая раз­
ракционной решетки. Пусть максимум работка этого способа (Ю.Н.Денисюm-го порядка для длины волны Х2 на­ ком в 1962 г. и американскими физиками
блюдается под утлом iр, т.е., согласно Э.Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.)‘
(180.3), d8Шф = тХ2. При переходе от стали возможными после появления в
1960 г. источников света высокой сте­
максимума к соседнему минимуму раз­
пени когерентности — лазеров (см.
ность хода меняется на [см. (180.4)],
§233):
где N —число щелей решетки. Следо­
Рассмотрим элементарные основы
вательно, минимум Хх, наблюдаемый принципа голографии, т. е. регистрации
под углом ipmi,,, удовлетворяет условию и восстановления информации о пред­
dsinipnfo = mXj +~гг- По критерию Рэ- мете. Для регистрации и восстановле­
ния волны необходимо уметь регистри­
X^ или ровать и восстанавливать амплитуду и
лея, ip = ipmin, т.е. mX2 = тХг + —
•^диф.реш mN.
Таким образом, разрешающая спо­
собность дифракционной решетки про­
порциональна порядку т спектра и чис­
лу N щелей, т. е. при заданном числе
щелей увеличивается разрешающая
способность при переходе к большим
значениям порядка т спектра. Совре­
менные дифракционные решетки обла­
дают довольно высокой разрешающей
способностью (до 2 • 105).
345
не, возникающей при суперпозиции
волнового поля объекта и когерентной
ему опорной волны известной фазы.
Последующая дифракция света на за­
регистрированном распределении по­
чернений в фотослое восстанавливает
волновое поле объекта и допускает
изучение этого поля при отсутствии
объекта.
Практически эта идея может быть
осуществлена с помощью принципиаль­
ной схемы, показанной на рис. 270, а.
Лазерный пучок делится на две части,
причем одна часть отражается зеркалом
на фотопластинку (опорная волна), а
другая попадает на фотопластинку, от­
разившись от предмета (предметная
волна). Опорная и предметная волны,
являясь когерентными и накладываясь
друг на друга, образуют на фотоплас­
Голограмма
346
тинке интерференционную картину.
После проявления фотопластинки и
получается голограмма —зарегистри
рованная на фотопластинке интер­
ференционная картина, образованная
при сложении опорной и предметной
волн.
Для восстановления изображения
(рис. 270, 6) голограмма помещается я
то же самое место, где она находилаЛ
до регистрации. Ее освещают опорные
пучком того же лазера (вторая часть ла­
зерного пучка перекрывается диафрая
мой). В результате дифракции света на
интерференционной структуре голом
раммы восстанавливается копия пред­
метной волны, образующая объемное
(со всеми присущими предмету свой4
ствами) мнимое изображение предме!
та, расположенное в том месте, где пред!
мет находился при голографировании.
Оно кажется настолько реальным, что
его хочется потрогать. Кроме того, вое-,
станавливается еще действительное
изображение предмета, имеющее рель­
еф, обратный рельефу предмета, т. е.
выпуклые места заменены вогнутыми,
и наоборот (если наблюдение ведется
справа от голограммы).
Обычно пользуются мнимым голо-графическим изображением, которое по
зрительному восприятию создает пол|
ную иллюзию существования реально!
го предмета. Рассматривая из разные
положений объемное изображение
предмета, даваемое голограммой, мож-i
но увидеть более удаленные предметы!
закрытые более близкими из них (заг­
лянуть за ближние предметы). Это
объясняется тем, что, поворачивая го­
лову в сторону, мы воспринимаем изоб­
ражение, восстановленное от перифе­
рической части голограммы, на кото->
рую при экспонировании падали также
и лучи, отраженные от скрытых пред­
метов.
Голограмму можно расколоть на не­
сколько кусков. Но даже малая часть го­
лограммы восстанавливает полное изоб­
ражение. Однако уменьшение размеров
голограммы приводит к ухудшению
четкости получаемого изображения.
Это объясняется тем, что голограмма
для опорного пучка служит дифракци­
онной решеткой, а при уменьшении
числа штрихов дифракционной решет­
ки (при уменьшении размеров голо­
граммы) ее разрешающая способность
уменьшается.
Методы голографии (запись голо­
граммы в трехмерных средах, цветное
и панорамное голографирование и т.д.)
находят все большее развитие. При­
менение голографии разнообразно,
но наиболее важными, приобретающи­
ми все большее значение, являются за­
пись и хранение информации. Методы
голографии позволяют записывать в
сотни раз больше страниц печатного
текста, чем методы обычной микрофо­
тографии. По подсчетам, на фотоплас­
тинку размером 32 х 32 мм можно запи­
сать 1024 голограммы (площадь каждой
из них 1 мм2), т.е. на одной фотоплас­
тинке можно «разместить» книгу объе­
мом свыше тысячи страниц. В качестве
будущих разработок могут служить
ЭВМ с голографической памятью, го­
лографический электронный микро­
скоп, голографические кино и телеви­
дение, голографическая интерферомет­
рия и т.д.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
Почему дифракция звука повседневно более очевидна, чем дифракция света?
Каковы дополнения Френеля к принципу Гюйгенса?
Что позволил объяснить принцип Гюйгенса—Френеля?
В чем заключается принцип построения зон Френеля?
В чем заключается принцип действия зонных пластинок?
В чем отличие дифракции Френеля на круглом отверстии при освещении его монохро­
матическим и белым светом?
• Когда наблюдается дифракция Френеля? дифракция Фраунгофера?
• Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и больших дисках?
• Чем определяется, будет ли число зон Френеля, открываемых отверстием, четным или
нечетным? Ответ обосновать.
• Каковы характерные особенности дифракционной картины, получающиеся при диф­
ракции на малом непрозрачном диске?
• Найдите направления на точки экрана в случае дифракции на щели, в которых интен­
сивность равна нулю; интенсивность Максимальна.
• Отличается ли дифракция на щели при освещении ее монохроматическим и белым све­
том?
• Какова предельная ширина щели, при которой еще будут наблюдаться минимумы ин­
тенсивности?
• Как влияет на дифракцию Фраунгофера от одной щели увеличение длины волны и ши­
рины щели?
• Как изменится дифракционная картина, если увеличить общее число штрихов решет­
ки, rte меняя постоянную решетки?
• Сколько дополнительных минимумов и максимумов возникнет при дифракции на шес­
ти щелях?
• Почему дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр?
• Как определить наибольший порядок спектра дифракционной решетки?
347
• Как изменится дифракционная картина при удалении экрана от решетки?
• Почему при использовании белого света только центральный максимум белый, а боко­
вые максимумы радужно окрашены?
• Почему штрихи на дифракционной решетке должны быть тесно расположены друг к
другу? Почему их должно быть большое число?
• Запишите условия дифракционных минимумов для одной щели и главных максимумов
для решетки. Каков характер этих дифракционных картин?
• Каков механизм рассеяния света в мутной среде? в чистой среде?
• Как объяснить голубой цвет неба? Почему при восходе и закате Солнце кажется крас­
ным?
• Почему на кристаллах не наблюдается дифракция видимого света и наблюдается диф­
ракция рентгеновского излучения?
• Какое практическое применение имеет формула Вульфа—Брэггов?
• Каковы принципиальные пути повышения разрешающей способности оптических при­
боров?
• От чего зависит разрешающая способность объектива?
• Каково возможное применение голографии?
• Когда два одинаковых точечных источника разрешимы по Рэлею?
• От чего зависит разрешающая способность дифракционной решетки и как вывести фор­
мулу для ее определения?
• Почему для получения голограммы кроме предметной волны необходима еще и опор­
ная волна?
• В чем заключается идея голографирования?
ЗАДАЧИ
23.1. Плоская световая волна с X = 0,6 мкм падает нормально на диафрагму с круг­
лым отверстием диаметром 1 см. Определите расстояние от точки наблюдения до от­
верстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля. [ 1) 20,8 м;
2) 13,9 м]
23.2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника
монохроматического света (X = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном
находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при котором
центр дифракционной картины на экране будет наиболее темным. [0,5 мм]
23.3. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной вол­
ны 0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен парал­
лельно щели на расстоянии 1 м. Определите расстояние между первыми дифракционными
минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
[5 мм]
23.4. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу —соот­
ветствует максимум пятого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм.
[400 мм-1]
23.5. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения пада­
ет на грань кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определи­
те длину волны рентгеновского излучения, если под углом 30° к плоскости грани наблюда­
ется дифракционный максимум второго порядка. [140 пм]
23.6. Определите постоянную дифракционной решетки, если она в первом порядке раз­
решает две спектральные линии калия (X, = 578 нм и Х2 = 580 нм). Длина решетки 1 см.
[34,6 мкм]
348
Г л а в а 24
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
С ВЕЩЕСТВОМ
§ 185. Дисперсия света
Дисперсия света —•зависимость
фазовой скорости v света в среде от его
частоты. Так как v = — (с — скорость
п
света в вакууме, п—показатель прелом­
ления), то показатель преломления сре­
ды оказывается зависящим от частоты
(длины волны):
п = /(X).
(185.1)
Следствием дисперсии является раз­
ложение в спектр пучка белого света
при прохождении его через призму.
Первые экспериментальные наблю­
дения дисперсии света принадлежат
И. Ньютону (1672 г.).
Рассмотрим дисперсию-света в при­
зме. Пусть монохроматический пучок
света падает на призму с преломляю­
щим углом А и показателем преломле­
ния п (рис. 271) под углом а 2. После
двукратного преломления (на левой и
правой гранях призмы) луч оказывает­
ся отклоненным от первоначального
направления на угол iр. Из рисунка сле­
дует, что
ip = (оц - Pi) + (<*2 - (32) =
= сц + а 2 —А.
(185.2)
Предположим, что углы А и а хмалы,
тогда углы а 2, и |32 будут также малы
и вместо синусов этих углов можно вос­
пользоваться их значениями. Поэтому
{г1 = я, -2г. « А а так как 3, + (32 = А, то
Pi
оа
I
n
п \
а 2 = (32п = п(А — рх) = п(Л —
—пА —оц, откуда
+ оа = пА.
Из выражений (185.2) и (185.3) сле­
дует, что
Ф = А(п —1),
(185.4)
т. е. угол отклонения лучей призмой тем
больше, чем больше преломляющий
угол призмы.
Из выражения (185.4) вытекает, что
угол отклонения лучей призмой зави­
сит от величины (п —1), а п —функция
длины волны, поэтому лучи разных
длин волн после прохождения призмы
окажутся отклоненными на разные
углы, т. е. пучок белого света за призмой
разлагается в спектр, что и наблюдалось
И. Ньютоном. Таким образом, с помо­
щью призмы, так же как и с помощью
дифракционной решетки, разлагая свет
в спектр, можно определить его спект­
ральный состав.
Рассмотрим различия в дифракцион­
ном и призматическом спектрах.
1. Дифракционная решетка разлага­
ет падающий свет непосредственно по
длинам волн [см. (180.3)], поэтому по
измеренным углам (по направлениям
соответствующих максимумов) можно
вычислить длину волны. Разложение
света в спектр в призме происходит по
значениям показателя преломления,
поэтому для определения длины волны
=
(185.3)
349
света надо знать зависимость п = /(X)
На явлении нормальной дисперсии
основано действие призменных спек*
(185.1).
2.
Составные цвета в дифракцион­ трографов. Несмотря на их некоторый
ном и призматическом спектрах распо­
недостатки (например, необходимое^
лагаются различно. Из (180.3) следует,
градуировки, различная дисперсия в
что в дифракционной решетке синус
разных участках спектра) при опреде®
угла отклонения пропорционален дли­ лении спектрального состава света!
не волны. Следовательно, красные лучи,
призменные спектрографы находят ши­
имеющие большую длину волны, чем
рокое применение в спектральном ана^
фиолетовые, отклоняются дифракцион­ лизе. Это объясняется тем, что изготои
ной решеткой сильнее. Призма же раз­ ление призм значительно проще, чем
лагает лучи в спектр по значениям По­ дифракционных решеток. В призмен­
казателя преломления, который д ля всех
ных спектрографах также легче полу|
прозрачных веществ с увеличением
чить большую светосилу.
длины волны уменьшается (рис. 272).
Поэтому красные лучи отклоняются
призмой слабее, чем фиолетовые.
§ 186. Электронная теория
Величина
дисперсии света
называемая дисперсией вещества, по­
казывает, как быстро изменяется пока­
затель преломления с длиной волны.
Из рис. 272 следует, что показатель пре­
ломления для прозрачных веществ с
уменьшением длины волны увеличиваcIti
ется; следовательно, величина -гг по
dX
модулю также увеличивается с умень­
шением X. Такая дисперсия называет­
ся нормальной. Как будет показано
ниже, ход кривой п(Х) — кривой дис­
персии —вблизи линий и полос погло­
щения будет иным: п убывает с умень­
шением X. Такой ход зависимости п от
X называется аномальной дисперсией.
350
Из макроскопической электромаН
нитной теории Максвелла следует, что
абсолютный показатель преломления
среды
п = фр,,
где е —диэлектрическая проницаемосЯ
среды; р — магнитная проницаемость.
В оптической области спектра для всех,
веществ ц » 1, поэтому
п, ==>/£,
(186.1 и
Из формулы (186.1) выявляются;
некоторые противоречия с опытом: ве-личина п, являясь переменной (см.
§ 185), остается в то же время равной
определенной постоянной >/ё. Кроме
того, значения п, получаемые из этого
выражения, не согласуются с опытны­
ми значениями. Трудности объяснения
дисперсии света с точки зрения элект-:
ромагнитной теории Максвелла устра*!
няются электронной теорией Лоренца.
В теории Лоренца дисперсия света рас­
сматривается как результат взаимодейй
ствия электромагнитных волн с заря-
женными частицами, входящими в со­
став вещества и совершающими вынуж­
денные колебания в переменном элек­
тромагнитном поле волны.
Применим электронную теорию
дисперсии света для однородного диэ­
лектрика, предположив формально, что
дисперсия света является следствием
зависимости е от частоты w световых
волн. Диэлектрическая проницаемость
вещества, по определению [см. (88.6) и
(88.2)], равна
Р
£nЕ
где ае —диэлектрическая восприимчи­
вость среды; е0 —электрическая посто­
янная; Р —мгновенное значение поля­
ризованное™.
Следовательно,
п2 = 1 + - ^ - ,
(186.2)
ЧЕ
т.е. зависит от Р. В данном случае ос­
новное значение имеет электронная по­
ляризация, т.е. вынужденные колеба­
ния электронов под действием электри­
ческой составляющей поля волны, так
как для ориентационной поляризации
молекул частота колебаний в световой
волне очень высока ( у « 1015 Гц).
В первом приближении можно счи­
тать, что вынужденные колебания со­
вершают только внешние, наиболее
слабо связанные с ядром электроны —
оптические электроны. Для просто­
ты рассмотрим колебания только одно­
го оптического электрона. Наведенный
дипольный момент электрона, соверша­
ющего вынужденные колебания, равен
р = ея, где е —заряд электрона, х—сме­
щение электрона под действием элект­
рического поля световой волны. Если
концентрация атомов в диэлектрике
равна п0, то мгновенное значение поляризованности
Р = п0р = п0ех.
(186.3)
Из (186.2) и (186.3) получим
г2 = 1 I 0
(186.4)
ЕоЕ
Следовательно, задача сводится к
определению смещения а; электрона под
действием внешнего поля Е. Поле све­
товой волны будем считать функцией
частоты ш, т.е. изменяющимся по гар­
моническому закону: Е= E0cosut.
Уравнение вынужденных колебаний
электрона (см. § 147) для простейшего
случая (без учета силы сопротивления,
обусловливающей поглощение энергии
падающей волны) запишется в виде
ж+о)ож= — coswt =
c o s (186. 5)
т
т
где F0 = еЕ0 — амплитудное значение
силы, действующей на электрон со стоЛГ
роны поля волны; и0 = J ----- собствен­
ная частота колебаний электрона; т —
масса электрона.
Решив уравнение (186 .5 ), найдем
е = п2в зависимости от констант атома
(е, т , ш0) и частоты ш внешнего поля,
т. е. решим задачу дисперсии.
Решение уравнения (186.5) можно
записать в виде
х = A cos u t,
(186.6)
где
А=
еЕп
7тг(шо —to2) *
(186.7)
в чем легко убедиться подстановкой
[см. (147.8)]. П одставляя (186.6) и
(186.7) в (186.4), получим
п0е‘
. (186.8)
e077i и>о —ш2
Если в веществе имеются различные
заряды е„ совершающие вынужденные
п2 =1 +
351
колебания с различными собственны­
ми частотами
то
п2 = 1 + Ж у /- е^/т \ , (186.9)
SO i W& - Ш2
где тп{—масса г-го заряда.
Из выражений (186.8) и (186.9) сле­
дует, что показатель преломления п за­
висит от частоты и внешнего поля, т. е.
полученные зависимости действитель­
но подтверждают наличие дисперсии
света (правда, при несколько упрощен­
ных допущениях).
Из выражений (186.8) и (186.9) сле­
дует также, что в области от ш = 0 до
ш= ш0 п2 > 1 и возрастает с увеличени­
ем ш (нормальная дисперсия); при из =
= ш0 п2 = ±оо; в области от ш = ы0 до
ш = оо п2 < 1 и возрастает от —оо до 1
(нормальная дисперсия).
Перейдя от п2 к п, получим, что гра-,
фик зависимости п от и имеет вид, изоб­
раженный на рис. 273. Такое поведе­
ние п вблизи ш0—результат допущения
об отсутствии сил сопротивления при
колебаниях электронов. Если принять
в расчет и это обстоятельство, то гра­
фик функции п(ш) вблизи ш'о задается
штриховой линией А В. Область А В —
область аномальной дисперсии (п убы­
вает при возрастании ш), остальные уча­
стки зависимости гг от и описывают
нормальную дисперсию (п возрастает с
увеличением и).
Российскому физику Д. С. Рожде­
ственскому (1876—1940) принадлежит
классическая работа по изучению ано­
мальной дисперсии в парах натрия. Он
разработал интерференционный метод
для очень точного измерения показате­
ля преломления паров и эксперимен­
тально показал, что формула (186.9)
правильно характеризует зависимость
п от и, а также ввел в нее поправку, учи­
тывающую квантовые представления о
природе света.
§ 187. Поглощение (абсорбция)
света
Поглощением (абсорбцией) света
называется явление уменьшения энер­
гии световой волны при ее распростра­
нении в веществе вследствие преобра­
зования энергии волны в другие виды
энергии. В результате поглощения ин­
тенсивность света при прохождении
через вещество уменьшается.
Поглощение света в веществе опи­
сывается законом Бугера*:
1 = 1 пе-
(187.1)
где /0 и I —интенсивности плоской мо­
нохроматической световой волны соот­
ветственно на входе и выходе слоя по­
глощающего вещества толщиной х; а —
коэффициент поглощения, зависящий
от длины волны света, химической при­
роды и состояния вещества и не зави­
сящий от интенсивности света. При
1
1
х = —интенсивность света I по сравне­
нию с 10 уменьшается в е раз.
Коэффициент поглощения зависит
от длины волны X(или частоты ш) и для
разных веществ различен. Например,
одноатомные газы и пары металлов
(т. е. вещества, в которых атомы распо­
ложены на значительных расстояниях
друг от друга и их можно считать изо*
1 П. Бугер ( 16 9 8 —1758) — французский уче-
лированными) имеют близкий к нулю
коэффициент поглощения и лишь для
очень узки х спектральных областей
(примерно 10“12—10“11 м) наблюдают­
ся резкие максимумы (так называемый
линейчатый спектр поглощения).
Эти линии соответствуют частотам соб­
ственных колебаний электронов в ато­
мах. Спектр поглощения молекул, опре­
деляемый колебаниями атомов в моле­
кулах, характеризуется полосами по­
глощения (примерно 10~10—10"' м).
Коэффициент поглощения для ди­
электриков невелик (примерно 10-3—
1СГ5см-1), однако у них наблюдается се­
лективное поглощение света в опреде­
ленных интервалах длин волн, когда а
резко возрастает, и наблюдаются срав­
нительно широкие полосы поглоще­
ния, т.е. диэлектрики имеют сплошной
спектр поглощения. Это связано с
тем, что в диэлектриках нет свободных
электронов и поглощение света обус­
ловлено явлением резонанса при вы­
нужденных колебаниях электронов в
атомах и атомов в молекулах диэлект­
рика.
Коэффициент поглощения для ме­
таллов имеет большие значения (при­
мерно 103—105 см-1), поэтому металлы
являю тся непрозрачными для света.
В металлах из-за наличия свободных
электронов, движущ ихся под дейст­
вием электрического поля световой
волны, возникают быстропеременные
токи, сопровождающиеся выделением
джоулевой теплоты. Поэтому энергия
световой волны быстро уменьшается,
превращаясь во внутреннюю энергию
металла. Чем выше проводимость ме­
талла, тем сильнее в нем поглощение
света.
На рис. 274 представлены типичная
зависимость коэффициента поглоще­
ния а от длины волны света X и зависи­
мость показателя преломления п от X в
12
Курс физики
области полосы поглощения. Из рисун­
ка следует, что внутри полосы поглоще­
ния наблюдается аномальная диспер­
сия (те убывает с уменьшением X). Од­
нако поглощение вещ ества должно
быть значительным, чтобы повлиять на
ход показателя преломления.
Зависимостью коэффициента по­
глощения от длины волны объясняет­
ся окрашенность поглощающих тел.
Например, стекло, слабо поглощающее
красные и оранжевые лучи и сильно
поглощающее зеленые и синие, при ос­
вещении белым светом будет казаться
красным. Если на такое стекло напра­
вить зеленый и синий свет, то из-за
сильного поглощения света этих длин
волн стекло будет казаться черным. Это
явление используется для изготовле­
ния светофильтров, которые в зави­
симости от химического состава (стек­
ла с присадками различных солей,
пленки из пластмасс, содержащие кра­
сители, растворы красителей и т.д .)
пропускают свет только определенных
длин волн, поглощая остальные. Разно­
образие пределов селективного (изби­
рательного) поглощения у различных
веществ объясняет разнообразие и бо­
гатство цветов и красок, наблюдаемое
в окружающем мире.
Явление поглощения широко ис­
пользуется в абсорбционном спект­
ральном анализе смеси газов, основан­
ном на измерениях спектров частот и
интенсивностей линий (полос) погло­
щения. Структура спектров поглоще353
ния определяется составом и строени­
ем молекул, поэтому изучение спектров
поглощения является одним из основ­
ных методов количественного и каче­
ственного исследования веществ.
§ 188. Эффект Доплера
Эффект Доплера в акустике (см.
§ 159) объясняется тем, что частота ко­
лебаний, воспринимаемых приемни­
ком, определяется скоростями движе­
ния источника колебаний и приемника
относительно среды, в которой проис­
ходит распространение звуковых волн.
Эффект Доплера наблюдается также и
при движении относительно друг дру­
га источника и приемника электромаг­
нитных волн. Так как особой среды,
служащей носителем электромагнит­
ных волн, не существует, то частота све­
товых волн, воспринимаемых приемни­
ком (наблю дателем), определяется
только относительной скоростью ис­
точника и приемника (наблюдателя).
Закономерности эффекта Доплера для
электромагнитных волн устанавлива­
ются на основе специальной теории от­
носительности.
Согласно принципу относительнос­
ти Эйнштейна (см. § 35), уравнение све­
товой волны во всех инерциальных си­
стемах отсчета одинаково по форме.
Используя преобразования Лоренца
(см. § 36), можно получить уравнение
волны, посылаемой источником, в на­
правлении приемника в другой инерциальной системе отсчета, а следователь­
но, и связать частоты световых волн,
излучаемых источником (i/0) и воспри­
нимаемых приемником ( у ) . Теория от­
носительности приводит к следующей
формуле, описывающей эффект Доп­
лера для электромагнитных волн в
вакууме:
354
щ т
V= v0
i88i>
Н — cos0 1 Я | 1 <
с
где v —скорость источника света отно­
сительно приемника; с —скорость све­
та в вакууме; (3 = 0—угол между век-й
тором скорости v и направлением на­
блюдения, измеряемый в системе отсче-|
та, связанной с наблюдателем.
Из выражения (188.1) следует, что
при 0 = 0
v = v0
1 -2
- = »о 1 - 3
1+P‘
(188.2)
Формула (188.2) определяет так на­
зываемый продольный эффект Доп-i
лера, наблюдаемый при движении при-1
емника вдоль линии, соединяющей его >
с источником. При малых относительЗ
ных скоростях v (v -С с), разлагая
(188.2) в ряд по степеням 3 и пренебре*!
гая членом порядка (З2, получим
v = vo( l - 0 ) = vo( l - S ) . (188.3)]
Следовательно, при удалении источ-4
ника и приемника друг от друга (при их
положительной относительной скоро-]
ста) наблюдается сдвиг в более длин-!
новолновую область (у < v„, X > \ )
так называемое красное смещение.
При сближении же источника и прием­
ника (при их отрицательной относи-^
тельной скорости) наблюдается сдвиг в
более коротковолновую область ( у > v0,
X < Хо) —так называемое фиолетовое
смещение.
Если 0 = т^, то выражение (188.1)
примет вид
v=sv0J 1 - j y = v0>/l“ P2- ( 188-4)
Формула (188.4) определяет так назы­
ваемый поперечный эффект Доплера,
наблюдаемый при движении приемни­
ка перпендикулярно линии, соединяю­
щей его с источником.
Из выражения (188.4) следует, что
поперечный эффект Доплера зависит от
(З2, т. е. при малых (3является эффектом
второго порядка малости по сравнению
с продольным эффектом (зависит от (3
[см. (188.3)]), поэтому обнаружение по­
перечного эффекта Доплера связано с
большими трудностями. Поперечный
эффект, хотя и много меньше продоль­
ного, имеет принципиальное значение,
так как не наблюдается в акустике (при
v с из (188.4) следует, что v = v0I), и
является, следовательно, релятивист­
ским эффектом. Он связан с замедле­
нием течения времени движущегося
наблюдателя.
Экспериментальное обнаружение
поперечного эффекта Доплера явилось
еще одним подтверждением справедли­
вости теории относительности; он был
обнаружен в 1938 г. в опытах американ­
ского физика Г. Айвса.
Продольный эффект Доплера был
впервые обнаружен в 1900 г. в лабора­
торных условиях русским астрофизи­
ком А. А. Белопольским (1854—1934) и
повторен в 1907 г. русским физиком
Б.Б.Голицыным (1862—1919). Про­
дольный эффект Доплера использует­
ся при исследовании атомов, молекул,
а также космических тел, так как по
смещению частоты световых колеба­
ний, которое проявляется в виде сме­
щения или уширения спектральных
линий, определяется характер движе­
ния излучающих частиц или тел. .Эф­
фект Доплера получил широкое рас­
пространение в радиотехнике и радио­
локации, например в радиолокацион­
ных измерениях расстояний до движу­
щихся объектов.
§ 189. Излучение
Черенкова— Вавилова
Российский физик П. А. Черенков
(1904 —1990), работавший под руко­
водством С. И. Вавилова, показал, что
при движении релятивистских заря­
женных частиц в среде с постоянной
скоростью v, превышающей фазовую
скорость света в этой среде, т. е. при ус­
ловии v > — (п — показатель прелом71
ления среды), возникает электромаг­
нитное излучение, названное впослед­
ствии излучением (эффектом) Че­
ренкова —Вавилова. Природа данного
излучения, обнаруженного для разно­
образных веществ, в том числе и для чи­
стых жидкостей, подробно изучалась
С. И. Вавиловым. Он показал, что дан­
ное свечение не является люминесцен­
цией (см. § 245), как считалось ранее, и
высказал предположение, что оно свя­
зано с движением свободных электро­
нов сквозь вещество.
Излучение Черенкова—Вавилова в
1937 г. было теоретически объяснено
российскими учеными И.Е.Таммом
(1895-1971) и И. М. Франком (19 081990) (П. А. Черенков, И.Е.Тамм и
И. М. Франк в 1958 г. удостоены Нобе­
левской премии).
Согласно электромагнитной теории,
заряженная частица (например, элект­
рон) излучает электромагнитные вол­
ны лишь при движении с ускорением.
И. Е. Тамм и И. М. Франк показали, что
это утверждение справедливо только до
тех пор, пока скорость заряженной час­
тицы не превышает фазовой скорости
—электромагнитных волн в среде, в ко­
торой частица движется. Если частица
имеет скорость v > —,то, даже двигаясь
и
равномерно, она будет излучать элект­
ромагнитные волны. Таким образом,
355
согласно теории Тамма и Франка, элек­
трон, движущийся в прозрачной среде
со скоростью, превышающей фазовую
скорость света в данной среде, должен
сам излучать свет.
Отличительной особенностью излу­
чения Черенкова—Вавилова является
распространение излучения не по всем
направлениям, а лишь по направлени­
ям, составляющим острый угол 0 с тра­
екторией частицы, т. е. вдоль образую­
щих конуса, ось которого совпадает с
направлением скорости частицы. Угол 0
определяется из условия:
cos0 =
.
(189.1)
nv
.
Возникновение излучения Черенко­
в а —Вавилова и его направленность
объяснены Франком и Таммом на ос­
нове представлений об интерференции
света с использованием принципа Гюй­
генса.
На основе излучения Черенкова—]
Вавилова разработаны широко исполь-"
зуемые экспериментальные методы для
регистрации частиц высоких энергий и
определения их свойств (направление
движения, величина и знак заряда, энер-]
гия). Счетчики для регистрации заря*]
женных частиц, в которых используем
ся излучение Черенкова—Вавилова,
получили название черепковских счет­
чиков (см. § 261). В этих счетчиках час­
тица регистрируется практически мгно­
венно (при движении заряженной час­
тицы в среде со скоростью, превышаю­
щей фазовую скорость света в данной
среде, возникает световая вспышка,
преобразуемая с помощью фотоэлектт]
ронного умножителя (см. § 105) в им­
пульс тока). Это позволило в 1955 IV
итальянскому физику Э. Сегре (р. 1905)
открыть в черенковском счетчике короткоживущую античастицу — анти­
протон.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Что такое дисперсия света?
Как связаны между собой преломляющий угол призмы и угол отклонения лучей ею? >
Что показывает дисперсия вещества?
Чем отличается нормальная дисперсия от аномальной?
По каким признакам можно отличить спектры, полученные с помощью призмы и диф­
ракционной решетки?
Объясните дисперсионную кривую на рис. 273.
В чем заключаются основные положения и выводы электронной теории дисперсии света?
Почему металлы сильно поглощают свет?
В чем основное отличие эффекта Доплера для световых волн от эффекта Доплера в аку­
стике?
Почему поперечный эффект Доплера является релятивистским эффектом? Чем он обус­
ловлен?
Когда возникает излучение Черенкова—Вавилова?
ЗАДАЧИ
24.1. На грань стеклянной призмы (п = 1,5) нормально падает луч света. Определите
угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21/]
24.2. При прохождении света в некотором веществе пути х его интенсивность уменьши­
лась в два раза. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохож­
дении им пути Ах. [В 16 раз]
356
24.3. Источник монохроматического света с длиной волны Xq = 0,6 мкм движется по
направлению к наблюдателю со скоростью v = 0,15с (с —скорость света в вакууме). Опре­
делите длину волны X, которую зарегистрирует приемник. [516 нм]
24.4. Определите минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектрон-вольтах), ко­
торой должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления п —1,5 возник­
ло излучение Черенкова—Вавилова. [0,17 МэВ]
Глава 25
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
§ 190. Естественный
и поляризованный свет
Следствием теории Максвелла (см.
§162) является поперечность световых
волн: векторы напряженностей электри­
ческого Е и магнитного Я полей волны
взаимно перпендикулярны и колеблют­
ся перпендикулярно вектору скорос­
ти v распространения волны (перпен­
дикулярно лучу). Поэтому для описа­
ния закономерностей поляризации све­
та достаточно знать поведение лишь
одного из этих векторов. Обычно все
рассуждения ведутся относительно
светового вектора — вектора напря­
женности Е электрического поля (это
название обусловлено тем, что при дей­
ствии света на вещество основное зна­
чение имеет электрическая составляю­
щая поля волны, действующая на элек­
троны в атомах вещества).
Свет представляет собой суммарное
электромагнитное излучение множе­
ства атомов. Атомы же излучают свето­
вые волны независимо друг от друга,
поэтому световая волна, излучаемая
телом в целом, характеризуется всевоз­
можными равновероятными колебани­
ями светового вектора (рис. 275, а; луч
перпендикулярен плоскости рисунка).
В данном случае равномерное распре­
деление векторов Е объясняется боль­
шим числом атомарных излучателей, а
равенство амплитудных значений век­
торов Е —одинаковой (в среднем) ин­
тенсивностью излучения каждого из
атомов. Свет со всевозможными рав­
новероятными ориентациями вектора Е
(и, следовательно, Я ) называется есте­
ственным.
Свет, в котором направления коле­
баний светового вектора каким-то об­
разом упорядочены, называется поля­
ризованным. Так, если в результате ка­
ких-либо внешних воздействий появ­
ляется преимущественное (но не ис­
ключительное!) направление колеба­
ний вектора Е (рис. 275, б), то имеем
дело с частично поляризованным све­
том.
Свет, в котором вектор Е (и, следо­
вательно, Я ) колеблется только в одном
направлении, перпендикулярном лучу
(рис. 275, в), называется плоскополяризованным (линейно поляризован­
ным).
Рис. 275
357
Плоскость, проходящая через на-|
правление колебаний светового вектор
ра плоскополяризованной волны и н а !
правление распространения этой вол-а
ны, называется плоскостью поляриза­
ции. Плоскополяризованный свет яв­
ляется предельным случаем эллипти­
чески поляризованного света — све­
та, для которого вектор Е (вектор Й) из-1
меняется со временем так, что его ко-1
нец описывает эллипс, лежащий в плос4
кости, перпендикулярной лучу. Если!
эллипс поляризации вырождается (см|
§ 145) в прямую (при разности фаз vpJ
равной нулю или -к), то имеем дело с
рассмотренным выше плоскополяризованным светом, если в окружность (при;
Ф = ±т^ и равенстве амплитуд склады­
ваемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризо­
ванным по кругу) светом.
Степенью поляризации называет­
ся величина
Р — ~^max Anin
-^тах "t* -^min
гДе Jmax и 1пщ —соответственно макси­
мальная и минимальная интенсивнос­
ти частично поляризованного света,:
пропускаемого анализатором. Для есте­
ственного света Imax = friun и Р = 0, для
плоскополяризованного 1 ^ = 0 и Р = 1.
Естественный свет можно преобра­
зовать в плоскополяризованный, ис­
пользуя так называемые поляризато0'
Рис. 276
358
ры, пропускающие колебания только!
определенного направления (напрщ
мер, пропускающие колебания, парал-|
лельные главной плоскости поляриза-1
тора, и полностью задерживающие ко­
лебания, перпендикулярные этой плоЩ
кости). В качестве поляризаторов мо-|
гут быть использованы среды, анизот-1
ропные в отношении колебаний вектор
pa Е, например кристаллы (их анизот^
ропия известна, см. § 70). Из природ4
ных кристаллов, используемых в каче- j
стве поляризатора, следует отметит^
турмалин.
Рассмотрим классические опыты ей
турмалином (рис. 276). Направим есте- j
ственный свет перпендикулярно плас-:
тинке турмалина 2\, вырезанной парал­
лельно так называемой оптической оси
ОО' (см. § 192). Вращая кристалл Тг
вокруг направления луча, никаких из­
менений интенсивности прошедшего
через турмалин света не наблюдаем*
Если на пути луча поставить вторую
пластинку турмалина Г2 и вращать её
вокруг направления луча, то интенсив­
ность света, прошедшего через пластин­
ки, меняется в зависимости от угла а
между оптическими осями кристаллов
по закону Малюса1:
J /= I0c o s 4
(190.1)
где /о и / — соответственно интенсив­
ности света, падающего на второй кри­
сталл и вышедшего из него.
Следовательно, интенсивность про­
шедшего через пластинки света изменя­
ется от минимума (полное гашение све­
та) при о. = щ (оптические оси пласти­
нок перпендикулярны) до максимума
при а = 0 (оптические оси пластинок
параллельны). Однако, как это следует
из рис. 277, амплитуда Ё световых козик.
Э.
Малюс (1775—1812) —французскийфи
лебаний, прошедших через пластинку
Т2, будет меньше амплитуды световых
колебаний Е0, падающих на пластин­
ку К
Е = E0cosol.
Так как интенсивность света про­
порциональна квадрату амплитуды, то
получается выражение (190.1).
Результаты опытов с кристаллами
турмалина объясняются довольно про­
сто, если исходить из изложенных выше
условий пропускания света поляриза­
тором. Первая пластинка турмалина
пропускает колебания только опреде­
ленного направления (на рис. 276 это
направление показано стрелкой А В),
т.е. преобразует естественный свет в
плоскополяризованный. Вторая же
пластинка турмалина в зависимости от
ее ориентации из поляризованного све­
та пропускает большую или меньшую
его часть, которая соответствует компо­
ненту Ё, параллельному оси второй
пластинки турмалина. На рис. 276 обе
пластинки расположены так, что на­
правления пропускаемых ими колеба­
ний АВ и Л В' перпендикулярны друг
другу. В данном случае 7\ пропускает
колебания, направленные по АВ, а Т2
их полностью гасит, т. е. за вторую пла­
стинку турмалина свет не проходит.
Пластинка Ть преобразующая есте­
ственный свет в плоскополяризованный, является поляризатором. Плас­
тинка Т2, служащая для анализа степе­
ни поляризации света, называется ана­
лизатором. Обе пластинки совершен­
но одинаковы (их можно поменять ме­
стами).
Если пропустить естественный свет
через два поляризатора, главные плос­
кости которых образуют угол а, то из
первого выйдет плоскополяризованный
свет, интенсивность которого /0 = —1т>
из второго, согласно (190.1), выйдет
свет интенсивностью 1= I0cos2а. Сле­
довательно, интенсивность света, про­
шедшего через два поляризатора,
J
COS2 О,
откуда /тах —~/ест (поляризаторы па-»
раллельны) и /min = 0 (поляризаторы
скрещены). •
§ 191. Поляризация света
при отражении и преломлении
на границе двух диэлектриков
Если естественный свет падает на
границу раздела двух диэлектриков
(например, воздуха и стекла), то часть
его отражается, а часть преломляется и
распространяется во второй среде. Ус­
танавливая на пути отраженного и пре­
ломленного лучей анализатор (напри­
мер, турмалин), можно убедиться в том,
что отраженный и преломленный лучи
частично поляризованы: при вращении
анализатора вокруг лучей интенсив­
ность света периодически усиливается
и ослабевает (полного гашения не на­
блюдается!).
Дальнейшие исследования показа­
ли, что в отраженном луче преоблада­
ют колебания, перпендикулярные плос­
кости падения (на рис. 278 они обозна­
359
го поля на границе раздела двух изот­
ропных диэлектриков (так называемые
формулы Френеля).
Степень поляризации преломленно-1
го света может быть значительно повы­
шена (многократным преломлением
при условии падения света каждый раз
на границу раздела под углом Брюсте-;
ра). Если, например, для стекла (п =
Рис. 279
Рис. 278
= 1,53) степень поляризации прелом­
чены точками), в преломленном —ко­ ленного луча составляет «15%, то пос­
лебания, параллельные плоскости паде­ ле преломления на 8—10 наложенных
друг на друга стеклянных пластинок
ния (изображены стрелками).
Степень поляризации [степень вы­ вышедший из такой системы свет будет
деления световых волн с определенной практически полностью поляризован*
ориентацией электрического (и магнит­ ным. Такая совокупность пластинок на­
ного) вектора] зависит от угла падения зывается стопой. Стопа может служить
лучей и показателя преломления. Шот­ для анализа поляризованного света как
ландский физик Д. Брюстер (1781 — при его отражении, так и при его пре­
1868) установил закон, согласно кото­ ломлении.
рому при угле падения iB (угол Брюс­
тера), определяемого соотношением
tg »в = Щг
( Ti2i —показатель преломления второй
среды относительно первой), отражен­
ный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, пер­
пендикулярные плоскости падения)
(рис. 279). Преломленный же луч при
угле падения »в поляризуется макси­
мально, но не полностью.
Если свет падает на границу раздела
под углом Брюстера, то отраженный и
преломленный лучи взаимно перпендиKyjUipHbl(tgiB = ——
, 712! =
(* 2 Р
coszq
sinig
угол преломления), откуда cos гв = sin i2).
Следовательно, iB+i2 = —, но = гв
(закон отражения), поэтому *в + ^
Степень поляризации отраженного
и преломленного света при различных
углах падения можно рассчитать из
уравнений Максвелла, если учесть гра­
ничные условия для электромагнитно­
360
§ 192. Двойное лучепреломление
Все прозрачные,кристаллы (кроме
кристаллов кубической системы, кото­
рые оптически изотропны) обладают
способностью двойного лучепрелом­
ления, т. е. раздваивания каждого пада­
ющего на них светового пучка. Это яв­
ление, в 1669 г. впервые обнаруженное
датским ученым Э. Бартолином (1625—
1698) для исландского шпата (разно­
видность кальцита СаС03), объясняет­
ся особенностями распространения све­
та в анизотропных средах и непосред­
ственно вытекает из уравнений Макс­
велла.
Если на толстый кристалл исланд­
ского шпата направить узкий пучок све­
та, то из кристалла выйдут два про­
странственно разделенных луча, парал­
лельных друг другу и падающему лучу
(рис. 280). Даже в том случае, когда пер­
вичный пучок падает на кристалл нор­
мально, преломленный пучок разделя-
Рис. 281
№
ется на два, причем один из них явля­
ется продолжением первичного, а вто­
рой отклоняется (рис. 281). Второй из
этих лучей получил название необык­
новенного (е), а первый —обыкновен­
ного (о).
В кристалле исландского шпата име­
ется единственное направление, вдоль
которого двойное лучепреломление не
наблюдается. Направление в оптичес­
ки анизотропном кристалле, по кото­
рому луч света распространяется, не
испытывая двойного лучепреломления,
называется оптической осью крис­
т а л л а . В данном случае речь идет
именно о направлении, а не о прямой
линии, проходящей через какую-то
точку кристалла. Любая прямая, про­
ходящая параллельно данному направ­
лению, является оптической осью кри­
сталла.
Кристаллы в зависимости от типа их
симметрии бывают одноосные и двух­
осные, т. е. имеют одну или две оптиче­
ские оси (к первым и относится ислан­
дский шпат).
Исследования обыкновенного и не­
обыкновенного лучей показывают, что
они полностью поляризованы во взаим­
но перпендикулярных направлениях.
Плоскость, проходящая через направ­
ление луча света и оптическую ось кри­
сталла, называется главной плоско­
стью (или главным сечением кристал­
ла). Колебания светового вектора (век­
тора напряженности Е электрического
поля) в обыкновенном луче происходят
перпендикулярно главной плоскости, в
необыкновенном — в главной плоско­
сти (рис. 281).
Неодинаковое преломление обык­
новенного и необыкновенного лучей
указывает на различие для них показа­
телей преломления. Очевидно, что при
любом направлении обыкновенного
луча колебания светового вектора пер­
пендикулярны оптической оси крис­
талла, поэтому обыкновенный луч рас­
пространяется по всем направлениям с
одинаковой скоростью и, следователь­
но, показатель преломления п0для него
есть величина постоянная.
Для необыкновенного луча угол
между направлением колебаний свето­
вого вектора и оптической осью отли­
чен от прямого и зависит от направле­
ния луча, поэтому необыкновенные
лучи распространяются по различным
направлениям с разными скоростями.
Следовательно, показатель преломле­
ния пенеобыкновенного луча является
переменной величиной, зависящей от
направления луча. Таким образом,
обыкновенный луч подчиняется зако­
ну преломления (отсюда и название
«обыкновенный»), а для необыкновен­
ного луча этот закон не выполняется.
После выхода из кристалла, если не
принимать во внимание поляризацию
во взаимно перпендикулярных плоско­
стях, эти два луча ничем друг от друга
не отличаются.
Как уже рассматривалось, обыкно­
венные лучи распространяются в кри­
сталле по всем направлениям с одина­
ковой скоростью v„ = — , а необыкно°
с
венные — с разной скоростью ve = —
пе
(в зависимости от угла между вектором
Е и оптической осью). Для луча, рас361
Рис. 282
пространяющегося вдоль оптической
оси, п0 = пе, v0 = ve, т. е. вдоль оптичес­
кой оси существует только одна ско­
рость распространения света. Различие
в ve и v0 для всех направлений, кроме
направления оптической оси, и обус­
ловливает явление двойного лучепре­
ломления света в одноосных кристал­
лах.
Допустим, что в точке S внутри од­
ноосного кристалла находится точеч­
ный источник света. На рис. 282 пока­
зано распространение обыкновенного и
необыкновенного лучей в кристалле
(главная плоскость совпадает с плоско­
стью чертежа, ОО' —направление оп­
тической оси). Волновой поверхностью
обыкновенного луча (он распространя­
ется с v0 = const) является сфера, нео­
быкновенного луча (с ve^ const) —эл­
липсоид вращения.
Наибольшее расхождение волно­
вых поверхностей обыкновенного и
необыкновенного лучей наблюдается в
362
направлении, перпендикулярном оп- |
тической оси. Эллипсоид и сфера каса-1
ются друг друга в точках их пересече-jj
ния с оптической осью ОО1. Если ve<vA
(пе > п0), то эллипсоид необыкновенна
ного луча вписан в сферу обыкновен-|
ного луча (эллипсоид скоростей вытя-1
нут относительно оптической оси) и од­
ноосный кристалл называется поло­
жительным (рис. 282, а). Если ve > v0 ■
(ne < п0), то эллипсоид описан вокруг;
сферы (эллипсоид скоростей растянут,
в направлении, перпендикулярном
оптической оси) и одноосный крис­
т а л л называется отрицательным
(рис. 282, б). Рассмотренный выше ис­
ландский шпат относится к отрицатель?,;
ным кристаллам.
В качестве примера построения
обыкновенного и необыкновенного лу?
чей рассмотрим преломление плоской
волны на границе анизотропной среды,
например положительной (рис. 283).
Пусть свет падает нормально к прелом­
ляющей грани кристалла, а оптическая
ось ОО' составляет с нею некоторый
угол. С центрами в точках А и В пост­
роим сферические волновые поверхно­
сти, соответствующие обыкновенному
лучу, и эллипсоидальные —необыкно­
венному лучу. В точке, лежащей на ОО',эти поверхности соприкасаются. Со­
гласно принципу Гюйгенса, поверхность, касательная к сферам, будет
фронтом (а—а) обыкновенной волны,
поверхность, касательная к эллипсои­
дам, — фронтом ( Ъ—Ь) необыкновен­
ной волны.
Проведя к точкам касания прямые,
получим направления распростране­
ния обыкновенного (о)- и необыкно­
венного (е) лучей. Таким образом, в
данном случае обыкновенный луч пой­
дет вдоль первоначального направле­
ния, необыкновенный же отклонится
от первоначального направления.
§ 193. Поляризационные призмы
и поляроиды
В основе работы поляризационных
приспособлений, служащих для полу­
чения поляризованного света, лежит
явление двойного лучепреломления.
Наиболее часто для этого применяют­
ся призмы и поляроиды. Призмы де­
лятся на два класса:
1) призмы, дающие только плоскополярйзованный луч (поляризацион­
ные призмы);
2) призмы, дающие два поляризо­
ванных во взаимно перпендикулярных
плоскостях луча (двоякопреломляющие призмы).
Поляризационные призмы построе­
ны по принципу полного отражения
(см. § 165) одного из лучей (например,
обыкновенного) от границы раздела, в
то время как другой луч с другим пока­
зателем преломления проходит через
эту границу. Типичным представите­
лем поляризационных призм является
призма Николя*, называемая часто
николем.
Призма Николя (рис. 284) представ­
ляет собой двойную призму-из исланд­
ского шпата, склеенную вдоль линии
-ASканадским бальзамом с п—1,55. Оп­
тическая ось ОО' призмы составляет с
входной гранью угол 48°. На передней
грани призмы естественный луч, парал­
лельный ребру СВ, раздваивается на
два луча: обыкновенный (п0 = 1,66) и
необыкновенный (пе= 1,51). При соот­
ветствующем подборе угла падения,
равного или большего предельного,
обыкновенный луч испытывает полное
отражение (канадский бальзам для него
является средой оптически менее плот­
ной), а затем поглощается зачерненной
С
'О '
В
Рйс. 284
боковой поверхностью СВ. Необыкно­
венный луч выходит из кристалла па­
раллельно падающему лучу, незначи­
тельно смещенному относительно него
(ввиду преломления на наклонных гра­
нях АС и BD).
Дзоякопреломляющие призмы ис­
пользуют различие в показателях пре­
ломления обыкновенного и необыкно­
венного лучей, чтобы развести их воз­
можно дальше друг от друга. Примером
двоякопреломляющих призм могут
служить призмы из исландского шпата
и стекла, призмы, составленные из двух
призм из исландского шпата со взаим­
но перпендикулярными оптическими
осями. Для первых призм (рис. 285)
обыкновенный луч преломляется в
шпате и стекле два раза и, следователь­
но, сильно отклоняется, необыкновен­
ный же луч при соответствующем под­
боре показателя преломления стекла п
(п » пе) проходит призму почти без от­
клонения. Для вторых призм различие
в ориентировке оптических осей влия­
ет на угол расхождения между обыкно­
венным и необыкновенным лучами.
Двоякопреломляющие кристаллы
обладают свойством дихроизма, т.е.
различного поглощения света в зависи­
мости от ориентации электрического
вектора световой волны, и называются
дихроичными кристаллами.
1 У. Николь (1768 —1851) — шотландский
ученый.
363
Примером сильно дихроичного кри­
сталла является турмалин, в котором
из-за сильного селективного поглоще­
ния обыкновенного луча уже при тол­
щине пластинки 1 мм из нее выходит
только необыкновенный луч. Такое
различие в поглощении, зависящее,
кроме того, от длины волны, приводит
к тому, что при освещении дихроично­
го кристалла белым светом кристалл по
разным направлениям оказывается раз­
лично окрашенным.
Дихроичные кристаллы приобрели
еще более важное значение в связи с
изобретением поляроидов. Примером
поляроида может служить тонкая плен­
ка из целлулоида, в которую вкрапле­
ны кристаллики герапатита (сернокис­
лого иод-хинина). Герапатит — двоякопреломляющее вещество с очень
сильно выраженным дихроизмом в об­
ласти видимого света. Установлено, что
такая пленка уже при толщине «0,1 мм
полностью поглощает обыкновенные
лучи видимой области спектра, являясь
в таком тонком слое совершенным по­
ляризатором.
Преимущество поляроидов перед
призмами —возможность изготовлять
их с площадями поверхностей до не­
скольких квадратных метров. Однако
степень поляризации в них сильнее за­
висит от X, чем в призмах. Кроме того,
их меньшая по сравнению с призмами
прозрачность (приблизительно 30 %) в
сочетании с небольшой термостойкос­
тью не позволяет использовать поляро­
иды в мощных световых потоках. По­
ляроиды применяются, например, для
защиты от ослепляющего действия сол­
нечных лучей и фар встречного авто­
транспорта. >
Разные кристаллы созд ают различ­
ное по значению и направлению двой­
ное лучепреломление, поэтому, пропус­
кая через них поляризованный свет и
364
измеряя изменение его интенсивности
после прохождения кристаллов, можно§
определить их оптические характерно-]
тики и производить минералогический;;
анализ. Для этой цели используются!
поляризационные микроскопы.
§ 194. Анализ
поляризованного света
Пусть на кристаллическую пласт-шШ
ку, вырезанную, например, из одноосна
ного отрицательного кристалла парал-1
лельно его оптической оси, нормально!
падает плоскополяризованный свет"
(рис. 286). Внутри пластинки он разбиС-1
вается на обыкновенный (о) и необык-|
новенный (е) лучи, которые в кристалл j
ле пространственно не разделены (но
движутся с разными скоростями), а на
выходе из кристалла складываются.
Так как в обыкновенном и необык­
новенном лучах колебания светового^
вектора совершаются во взаимно пер­
пендикулярных направлениях, то на
выходе из пластинки в результате ело-,
жения этих колебаний возникают све­
товые волны, вектор Е (а следователь­
но, и Я ) в которых меняется со време­
нем так, что его конец описывает эл­
липс, ориентированный произвольно
относительно координатных осей.
Уравнение этого эллипса [см. (145.2)]:
! г 1 1 С08ф+ё “ “ ч<194-1)
In
Н-
#
Рис. 286
-0 -
где Е0 нЕе —соответственно составля­
ющие напряженности электрического
поля волны в обыкновенном и необык­
новенном лучах; ф — разность фаз ко­
лебаний.
Таким образом, в результате прохож­
дения через кристаллическую пластин­
ку плоскополяризованный свет превра­
щается в эллиптически поляризованный.
Между обыкновенным и необыкно­
венным лучами в пластинке возникает
оптическая разность хода
Д = (п0 - ne)d,
или разность фаз
2тс /
ч,
ло
где d —толщина пластинки; Х0 —длина
волны света в вакууме.
Ф = —- ( n 0 - n e ) d ,
Если Д = (п0 - ne)d = - , ф = ± ^ ,
то уравнение (194.1) примет вид
М м
т. е. эллипс ориентирован относительно
главных осей кристалла. При Е0 — Ее
(если световой вектор в падающем на
пластинку плоскополяризованном све­
те составляет угол а = 45° с направле­
нием оптической оси пластинки)
х2 + у2 = Е2,
т.е. на выходе из пластинки свет ока­
зывается циркулярно поляризованным.
Вырезанная параллельно оптичес­
кой оси пластинка, для которой опти­
ческая разность хода
Д = (п0 - n e)d = ±|m + i j X 0
(m = 0,1,2,...),
называется пластинкой в четверть
волны (пластинкой —). Знак «+ » соот4
ветствует отрицательным кристаллам,
« —» —положительным. ПлоскополяриX
зованныи свет, пройдя пластинку —, на
выходе превращается в эллиптически
поляризованный (в частном случае
циркулярно поляризованный). Конеч­
ный результат, как уже рассматривали,
определяется разностью фаз фи углом cl
Пластинка, для которой
(no- n e)d=±fm + i j \ 0 (m = 0,1,2,...),
называется пластикой в полволны и
т.д.
В циркулярно поляризованном све­
те разность фаз ф между любыми дву­
мя взаимно перпендикулярными коле­
баниями равна ± —. Если на пути тако2
X
го света поставить пластинку —, то она
внесет дополнительную разность фаз
± —. Результирующая разность фаз ста­
нет равной 0 или тт. Следовательно [см.
(194.1)], циркулярно поляризованный
свет, пройдя пластинку
становится
плоскополяризованным. Если теперь
на пути луча поставить поляризатор, то
можно добиться полного его гашения.
Если же падающий свет естественный,
X
то он при прохождении пластинки —
таковым и останется (ни при каком по­
ложении пластинки и поляризатора
погашения луча не достичь).
Таким образом, если при вращении
поляризатора при любом положении
пластинки интенсивность не меняется, то
падающий свет естественный. Если ин­
тенсивность меняется и можно достичь
полного гашения луча, то падающий свет
циркулярно поляризованный; если пол­
ного гашения не достичь, то падающий
свет представляет смесь естественного й
циркулярно поляризованного света.
365
Если на пути эллиптически поляри­
зованного света поместить пластинку
—, оптическая ось которой ориентиро­
вана параллельно одной из осей эллип­
са, то она внесет дополнительную раз­
ность фаз ± —. Результирующая раз­
ность фаз станет равной нулю или тт.
Следовательно, эллиптически поляри­
зованный свет, пройдя пластинку —;
повернутую определенным образом,
превращается в плоскополяризованный и может быть погашен поворотом
поляризатора. Этим методом можно
отличить эллиптически поляризован­
ный свет от частично поляризованного
или циркулярно поляризованный свет
от естественного.
§ 195. Искусственная оптическая
анизотропия
Двойное лучепреломление имеет
место в естественных анизотропных
средах (см. § 192). Существуют, одна­
ко, различные способы получения ис­
кусственной оптической анизотро­
пии, т. е. сообщения оптической анизот­
ропии естественно изотропным веще­
ствам.
Оптически изотропные вещества
становятся оптически анизотропными
под действием: 1) одностороннего сжа­
тия или растяжения (кристаллы куби­
ческой системы, стекла и др.); 2) элект­
рического поля (эффект Керра} \жид­
кости, аморфные тела, газы); 3) магнит­
ного поля (жидкости, стекла, коллои­
ды).
В перечисленных случаях вещество
приобретает свойства одноосного кри­
сталла, оптическая ось которого совпа-
дает с направлением деформации, элек­
трического или магнитного полей соот­
ветственно указанным выше воздей­
ствиям.
Мерой возникающей оптической
анизотропии служит разность показа­
телей преломления обыкновенного и
необыкновенного лучей в направле­
нии, перпендикулярном оптической
оси:
п0- п е= к ха (в случае
деформации);
п0- п е= к2Е2 (в случае элект- . . Q- ..
рического поля); ^
|
п0- п е= к3Н2(в случае маг­
нитного поля),
где кх, к2, к3 — постоянные, характери­
зующие вещество; а — нормальное на­
пряжение (см. § 2 1 ) ; Е и Я —соответ­
ственно напряженность электрическо­
го и магнитного полей.
На рис. 287 показана схема установ­
ки для наблюдения эффекта Керра в
жидкостях (установки для изучения
рассмотренных явлений однотипны).
Ячейка Керра — кювета с жидкостью
(например, нитробензолом), в которую
введены пластины конденсатора, поме­
щается между скрещенными поляриза­
тором Р и анализатором А.
При отсутствии электрического поля
свет через систему не проходит. При
наложении электрического поля жид­
кость становится двоякопреломляющей; при изменении разности потенци­
алов между электродами меняется сте­
пень анизотропии вещества, а следова­
тельно, и интенсивность света, прошед+
р
1 Д. Керр (1824 —1904) —шотландский физик.
366
'ТУТ Ж 6
Рис. 287
/ .
А
шего через анализатор. На пути I меж­
ду обыкновенным и необыкновенным
лучами возникает оптическая разность
хода
А = (п0 - пе)1 = к21Е2
[с учетом формулы (195.1)] или соот­
ветственно разность фаз
Ф=
= 2т\В1Е2,
щ
где В = — — постоянная Керра.
А
Эффект Керра — оптическая ани­
зотропия веществ под действием элек­
трического поля —объясняется различ­
ной поляризуемостью молекул жидко­
сти по разным направлениям. Это яв­
ление практически безынерционно, т. е.
время перехода вещества из изотропно­
го состояния в анизотропное при вклю­
чении поля (и обратно) составляет при­
близительно 10“10 с. Поэтому ячейка
Керра служит идеальным световым зат­
вором и применяется в быстропротекающих процессах (звукозапись, вос­
производство звука, скоростная фотои киносъемка, изучение скорости рас­
пространения света и т.д.), в оптичес­
кой локации, в оптической телефонии
и т.д.
И скусственная анизотропия под
действием механических воздействий
позволяет исследовать напряжения,
возникающие в прозрачных телах.
В данном случае о степени деформации
отдельных участков изделия (напри­
мер, остаточных деформаций в стекле
при закалке) судят по распределению в
нем окраски. Т ак как применяемые
обычно в технике материалы (металлы)
непрозрачны, то исследование напря­
жений производят на прозрачных мо­
делях, а потом делают соответствую­
щий пересчет на проектируемую конст­
рукцию.
§ 196. Вращение
плоскости поляризации
Некоторые вещества (например, из
твердых тел — кварц, сахар, киноварь,
из жидкостей — водный раствор саха­
ра, винная кислота, скипидар), называ­
емые оптически активными, облада­
ют способностью вращать плоскость
поляризации. Вращение плоскости по­
ляризации можно наблюдать на следу­
ющем опыте (рис. 288). Если между
скрещенными поляризатором Р и ана­
лизатором А, дающими темное поле
зрения, поместить оптически активное
вещество (например, кювету с раство­
ром сахара), то поле зрения анализато­
ра просветляется. При повороте анали­
затора на некоторый угол ф можно
вновь получить темное поле зрения.
Угол ф и есть угол, на который опти­
чески активное вещество поворачива­
ет плоскость поляризации света, про­
шедшего через поляризатор. Так как
поворотом анализатора можно полу­
чить темное поле зрения, то свет, про­
шедший через оптически активное веще­
ство, является плоскополяризованным.
Угол поворота плоскости поляриза­
ции для оптически активных кристал­
лов и чистых жидкостей
Ф = ad,
для оптически активных растворов
Ф = [а ]С У ,
(196.1)
где d—расстояние, пройденное светом в
оптически активном веществе; а ([а]) —
так называемое удельное вращение,
численно равное углу поворота плоско­
сти поляризации света слоем оптически
Рис. 288
367
активного вещества единичной толщи­
ны (единичной концентрации — для
растворов); С—массовая концентрация
оптически активного вещ ества в ра­
створе, кг/м3.
Удельное вращение зависит от при­
роды вещества, температуры и длины
волны света в вакууме.
Все вещества, оптически активные в
жидком состоянии, обладают таким же
свойством и в кристаллическом состо­
янии. Однако если вещества активны в
кристаллическом состоянии, то не все­
гда активны в жидком (например, рас­
плавленный кварц). Следовательно, оп­
тическая активность обусловливается
как строением молекул вещества (их
асимметрией), так и особенностями
расположения частиц в кристалличес­
кой решетке.
Оптически активные вещества в
зависимости от направления вращения
плоскости поляризации разделяются на
право- и левовращающие. В первом
случае плоскость поляризации, если
смотреть навстречу лучу, вращ ается
вправо (по часовой стрелке), во втором —
влево (против часовой стрелки). Вра­
щение плоскости поляризации объяс­
нено О. Френелем (1817 г.). Согласно
теории Френеля, скорость распростра­
нения света в оптически активных ве­
ществах различна для лучей, поляризо­
ванных по кругу вправо и влево.
Явление вращения плоскости поля­
ризации и, в частности, формула (196.1)
лежат в основе точного метода опреде­
ления концентрации растворов опти­
чески активных веществ, называемого
поляриметрией ( сахариметрией).
Для этого используется установка, по­
казанная на рис. 288. По найденному
углу поворота плоскости поляризации ip
и известному значению [а] из(196.1)находится концентрация растворенного
вещества.
Впоследствии М. Ф арадеем было
обнаружено вращение плоскости поля­
ризации в оптически неактивных веще­
ствах, возникающее под действием маг­
нитного поля. Это явление получило
название эффекта Фарадея (млн маг­
нитного вращения плоскости поля­
ризации). Оно имело огромное значе­
ние для науки, так как было первым я в ­
лением, в котором обнаружилась связь
между оптическими и электромагнит­
ными процессами.
Контрольные вопросы
I Возможна ли поляризация для продольных волн? Почему?
I Что называется естественным светом? плоскополяризованным светом? частично поля­
ризованным светом? эллиптически поляризованным светом?
• Как изменяется интенсивность света за поляризатором при его вращении вокруг пучка
естественного света?
• Как практически отличить плоскополяризованный свет от естественного?
• Чем замечателен угол Брюстера?
^
I Покажите, что при выполнении закона Брюстера отраженный и преломленный лучи
взаимно перпендикулярны.
• Интенсивность естественного света, пропущенного через два поляризатора, уменьши­
лась вдвое. Как ориентированы поляризаторы?
• Что называется оптической осью кристалла? Чем отличаются двухосные кристаллы от
одноосных?
• Чем обусловлено двойное преломление в оптически анизотропном одноосном кристал­
ле?
368
• Чем отличаются отрицательные кристаллы от положительных? Приведите построение
волновых поверхностей для о- и е- лучей.
• Какие поляризационные приборы вы знаете? В чем заключается принцип их действия?
• Что называется пластинкой в четверть волны? в полволны?
• На поляризатор падает циркулярно поляризованный свет с интенсивностью 10. Какова
интенсивность света за поляризатором?
• Как, используя пластинку в четверть волны и поляризатор, отличить циркулярно поля­
ризованный свет от естественного?
• Каково будет действие пластинки в полволны на естественный свет? На плоскополяризованный свет, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с оптической осью
пластинки?
• Объясните действие светового затвора ячейки Керра в сочетании с поляризатором и
анализатором. Что такое эффект Керра? Какова физическая причина его возникновения?
• Какие вещества называются оптически активными?
• В чем отличие оптической активности от двойного лучепреломления?
ЗАДАЧИ
25.1. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, про­
шедшего через два поляризатора, расположенные так, что угол между их главными плоско­
стями равен 45°, а в каждом из николей теряется 5 % интенсивности падающего на него
света. [В 4,43 раза]
25.2. Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла камен­
ной соли с воздухом равен 40,5°. Определите угол Брюстера при падении света из воздуха
на поверхность этого кристалла. [57°]
25.3. Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме X = 600 нм, падает
на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показате­
ли преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответ­
ственно п0 —1,66 и пе —1,49, определите длины волн этих лучей в кристалле. [Х0 = 361 нм,
Хе= 403 нм].
25.4. Определите наименьшую толщину кристаллической пластинки в полволны для
X= 589 им, если разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лу­
чей для данной длины волны п0 - пе= 0,17. [1,73 мкм]
25.5. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных
николей, между которыми находится кварцевая пластинка толщиной 4 мм, вырезанная пер­
пендикулярно оптической оси. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошед­
шего через эту систему, если удельное вращение кварца равно 15 угл. град/мм? [В 2,67 раза]
Г л а в а
26
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 197. Тепловое излучение
и его характеристики
Тела, нагретые до^цостаточно высо­
ких температур, светятся. Свечение тел,
обусловленное нагреванием, назы вает­
ся тепловым ( тем п ер атур н ы м ) из­
лучением. Тепловое излучение, я в л я ­
ясь самым распространенным в приро­
де, совершается за счет энергии тепло369
вого движения атомов и молекул веще­
ства (т.е. за счет его внутренней энер­
гии) и свойственно всем телам при тем­
пературе выше ОК.
Тепловое излучение характеризует­
ся сплошным спектром, положение мак­
симума которого зависит от температу­
ры. При высоких температурах излуча­
ются короткие (видимые и ультрафио­
летовые) электромагнитные волны,
при низких —преимущественно длин­
ные (инфракрасные).
/ Тепловое излучение —практически
единственный вид излучения, которое
является равновесным. Предположим,
что нагретое (излучающее) тело поме­
щено в полость, ограниченную идеаль­
но отражающей оболочкой. С течением
времени, в результате непрерывного об­
мена энергией между телом и излуче­
нием, наступит равновесие, т.е. тело в
единицу времени будет поглощать столь­
ко же энергии, сколько и излучать.
Допустим, что равновесие между те­
лом и излучением по какой-либо при­
чине нарушено и тело излучает энер­
гии больше, чем поглощает. Если в еди­
ницу времени тело больше излучает,
чем поглощает (или наоборот), то тем­
пература тела начнет понижаться (или
повышаться). В результате будет ос­
лабляться (или возрастать) количе­
ство излучаемой телом энергии, пока,
наконец, не установится равновесие.
Все другие виды излучения неравно­
весны.
Количественной характеристикой
теплового излучения служит спект­
ральная плотность энергетической
светимости ( излучательности)
тела —мощность излучения с едини­
цы площади Поверхности тела в интер­
вале частот единичной ширины:
370
где d W ^ dl>—энергия электромагнит*
ного излучения, испускаемого за едини­
цу времени (мощность излучения) с
единицы площади поверхности тела в
интервале частот от и до v + dv.
Единица спектральной плотности
энергетической светимости (RViT) Н
джоуль на метр в квадрате (Дж/м2),Записанную формулу для hViTмож­
но представить в виде функции длины
волны:
d ^ 7 +du= ^ , Tdv = /2XiTdX.
Так как с = Xv, то
dX __с_ _ X2
dv
v*
с 1
где знак « —» указывает на то, что с воз­
растанием одной из величин (v или X)
другая величина убывает. Поэтому в
дальнейшем знак « - » будем опускать.
Таким образом,
K,T = — RKT(197.1)
с
С помощью формулы (197.1) мож­
но перейти от Rv Tк Дх г, и наоборот.
Зная спектральную плотность энер­
гетической светимости, можно вычис­
лить интегральную энергетическую
светимость (интегральную излучательность) (ее называют просто энер­
гетической светимостью тела). Для это­
го следует просуммировать спектраль"
ную плотность энергетической свети­
мости по всем частотам:
00
Д г= /X rdv(197.2)
о
Способность тел поглощать падаю­
щее на них излучение характеризуется
спектральной поглощательной спо­
собностью
А-ттея
А
_ _ Yyv ,v + d v
**V,T j гг/
»
показывающей, какая доля энергии,
приносимой за единицу времени на еди­
ницу площади поверхности тела пада­
ющими на нее электромагнитными вол­
нами с частотами от v до v + dv, погло­
щается телом. Спектральная поглоща­
тельная способность —величина безраз­
мерная. Величины RvTи Л„г зависят от
природы тела, его термодинамической
температуры и при этом различаются
для излучений с разными частотами.
Поэтому эти величины относят к опре­
деленным Т и у (вернее, к достаточно
узкому интервалу частот от v до v + dv).
I / Тело, способное поглощать полно­
стью при любой температуре все пада­
ющее на него излучение любой часто­
ты, называется черным. Следователь­
но, спектральная поглощательная спо­
собность черного тела для всех частот
и температур тождественно равна еди­
нице ( А£т = 1). Черных тел в природе
нет, однако такие тела, как сажа, пла­
тиновая чернь, черный бархат и неко­
торые другие, в определенном интерва­
ле частот по своим свойствам близки к
ним.
Наиболее совершенной моделью
черного тела может служить замкнутая
полость с небольшим отверстием О
(рис. 289). Луч света, попавший внутрь
такой полости, испытывает многократ­
ные отражения от стенок, в результате
чего интенсивность вышедшего излуче­
ния оказывается практически равной
нулю. Опыт показывает, что при разме­
ре отверстия, меньшего 0,1 диаметра по­
лости, падающее излучение всех частот
практически полностью поглощается.
Вследствие этого открытые окна домов
со стороны улицы кажутся черными,
хотя внутри комнат достаточно светло
из-за отражения света от стен.
V Наряду с понятием черного тела ис­
пользуют понятие серого тела —тела,
поглощательная способность которого
меньше единицы, но одинакова для всех
частот и зависит только от температу­
ры, материала и состояния поверхнос­
ти тела. Таким образом, для серого тела
A lj = АТ = const < 1.
Исследование теплового излучения
сыграло важную роль в создании кван­
товой теории света, поэтому необходи­
мо рассмотреть законы, которым оно
подчиняется.
§ 198. Закон Кирхгофа
Кирхгоф, опираясь на второй закон
термодинамики и анализируя условия
равновесного излучения в изолирован­
ной системе тел, установил количе­
ственную связь между спектральной
плотностью энергетической светимос­
ти и спектральной поглощательной
способностью тел.Ютношение спект­
ральной плотности энергетической све­
тимости к спектральной поглощатель­
ной способности не зависит от природы
тела; оно является для всех тел универ­
сальной функцией частоты (длины вол­
ны) и температуры (закон Кирхгофа):
Ay?
= г„г .
(198.1)
Для черного тела А„т = 1, поэтому
из закона Кирхгофа [см. (198.1)] следу­
ет, что Rv т для черного тела равна rVyT.
Таким образом, универсальная функ­
ция Кирхгофа rv<Tесть не что иное, как
спектральная плотность энергетиче371
осой светимости черного тела. Следо­
вательно, согласно закону Кирхгофа,
для всех тел отношение спектральной
плотности энергетической светимости
к спектральной поглощательной способ­
ности равно спектральной плотности
энергетической светимости черного те­
ла при той же температуре и частоте.
Из закона Кирхгофа следует, что
спектральная плотность энергетичес­
кой светимости любого тела в любой
области спектра всегда меньше спект­
ральной плотности энергетической све­
тимости черного тела (при тех же зна­
чениях Г и v), так как AViT< 1 и поэто­
му R vj< t v J . Кроме того, из (198.1) вы­
текает, что если тело при данной тем­
пературе Т не поглощает электромаг­
нитные волны в интервале частот от v
до и + dv (AvT — 0), то оно их в этом
интервале частот при температуре Гне
излучает, так как | щ | в AuTrv T.
Используя закон Кирхгофа, выраже­
ние для энергетической светимости
тела (197.2) можно записать в виде
ние, которое закону Кирхгофа не под­
чиняется, не является тепловым.
§ 199. Законы
Стефана— Больцмана
и смещения Вина
Из закона Кирхгофа [см. (198.1)]
следует, что спектральная плоТцоетЬ,
энергетической светимости черного
тела является универсальной функции
ей, поэтому нахождение ее явной зави­
симости от частоты и температуры яв­
ляется важной задачей теории теплово-1
го излучения.
Австрийский физик Й. Стефан
(1835—1893), анализируя эксперимент
тальные данные (1879), и Л. Больцман,
применяя термодинамический метод
(1884), решили эту задачу лишь частич­
но, установив зависимость энергетиче­
ской светимости Reчерного тела от тем­
пературы. Согласно закону Стефа­
на —Больцмана,
00
Re= oT\
Rt = f A vTrVtTdv.
о
Для серого тела
00
й г = ATJ r vTdv = ATRe, (198.2)
о
где
00
R e = f rVtTdv
(198.3)
о
— энергетическая светимость чер­
ного тела (зависит только оргемпературы).
Закон Юфхгофа описывает только
тепловое излучение, являясь настоль­
ко характерным для него, что может
служить надежным критерием для оп­
ределения природы излучения. Излуче­
372
(199.1)
т.е. энергетическая светимость черно­
го тела пропорциональна четвертой сте­
пени его термодинамической темпера­
туры; ст—постоянная Стефана —Больц­
мана, ее экспериментальное значение
равно 5,67 ■10-8 Вт/(м2*К4).
Закон Стефана—Больцмана, опре­
деляя зависимость Re от температуры,
не дает ответа относительно спектраль­
ного состава излучения черного тела.
Из экспериментальных кривых зависи­
мости функции гх,т от длины волны X
(гх,т= Г7 Г1/,г) ПРИразличных темпераА
турах (рис. 290) следует, что распреде­
ление энергии в спектре черного тела
является неравномерным. Все кривые
имеют явно выраженный максимум,
Рис. 290
§ 200. Формулы
Рэлея— Джинса и Планка
г\,г
0
X
который по мере повышения темпера­
туры смещается в сторону более корот­
ких длин волн. Площадь, ограниченная
кривой зависимости гХ)т от X и осью аб­
сцисс, пропорциональна энергетичес­
кой светимости Reчерного тела и, сле­
довательно, по закону Стефана —Больц­
мана, четвертой степени температуры.
Немецкий физик В. Вин (186 4 —
1928), опираясь на законы термо- и
электродинамики, установил зависи­
мость длины волны \тах, соответству­
ющей максимуму функции гх т, от тем­
пературы Т. Согласно закону смеще­
ния Вина,
х » ,= £ ,
(199.2)
т. е. длина волны \тах, соответствующая
максимальному значению спектраль­
ной плотности энергетической свети­
мости гх,г черного тела, обратно про­
порциональна его термодинамической
температуре; b — постоянная Вина;
ее экспериментальное значение равно
2,9 • 10_3 м • К. Выражение (199.2) пото­
му называют законом смещения Вина,
что оно показывает смещение положе­
ния максимума функции г^т по мере
возрастания температуры в область ко­
ротких длин волн. Закон Вина объяс­
няет, почему при понижении темпера­
туры нагретых тел в их спектре все силь­
нее преобладает длинноволновое излу­
чение (например, переход белого кале­
ния в красное при остывании металла).
Из рассмотрения законов Стефана—
Больцмана и Вина следует, что термо­
динамический подход к решению зада­
чи о нахождении универсальной функ­
ции Кирхгофа rv r не дал желаемых ре­
зультатов. Следующая строгая попыт­
ка теоретического вывода зависимости
r v<Tпринадлежит английским ученым
Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877 —1946), ко­
торые применили к тепловому излуче­
нию методы статистической физики,
воспользовавшись классическим зако­
ном равномерного распределения энер­
гии по степеням свободы.
Формула Рэлея —Джинса для спек­
тральной плотности энергетической
светимости черного тела имеет вид
г„т, = ^ ( е ) = ^ к Т , (200.1)
С
<?,,
где (е) = кТ —средняя энергия осцил­
лятора с собственной частотой v. Для
осциллятора, совершающего колебания,
средние значения кинетической и потен­
циальной энергий одинаковы (см. § 50),
поэтому средняя энергия каждой коле­
бательной степени свободы (е) = кТ.
Как показал опыт, выражение (2 0 0 . 1)
согласуется с экспериментальными
данными только в области достаточно
малых частот и больших температур.
В области больших частот формула
373
Рэлея—Джинса резко расходится с эк­
спериментом, а также с законом смеще­
ния Вина (рис. 291). Кроме того, оказа­
лось, что попытка получить закон Сте­
фана-Больцмана [см. (199.1)] из фор­
мулы Рэлея—Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с
использованием (200.1) энергетическая
светимость черного тела [см. (198.3)]
ОО
_ 00
R e —J f'v.rd v = —^ 2
о
с
J v 2d v = ОО,
о
в то время как по закону Стефана—
Больцмана Re пропорциональна четвер­
той степени температуры. Этот резуль­
тат получил название «ультрафиолето­
вой катастрофы». Таким образом, в
рамках классической физики не уда­
лось объяснить законы распределения
энергии в спектре черного тела.
В области больших частот хорошее
согласие с опытом дает формула Вина
(закон излучения Вина), полученная им
из общих теоретических соображений:
Av
rvT = Cv3Ae т,
где rv T—спектральная плотность энергетической светимости черного тела;
См А—постоянные величины.
В современных обозначениях с ис­
пользованием постоянной Планка, ко­
торая в то время еще не была известна,
закон излучения Вина может быть за­
писан в виде
установившегося положения класси­
ческой физики, согласно которому
энергия любой системы может изме­
няться непрерывно, т.е. может принцн
мать любые сколь угодно близкие зна­
чения.
Согласно выдвинутой Планком кван­
товой гипотезе, атомные осциллятор
ры излучают энергию не непрерывно, а
определенными порциями —квантами,
причем энергия кванта пропорциональ­
на частоте колебания [см. (170.3)]:
(200.2)
А
где h * 6,625 • 10-34 Дж - с — постоян­
ная Планка.
Так как излучение испускается пор­
циями, то энергия осциллятора е может
принимать лишь определенные диск­
ретные значения, кратные целому чис­
лу элементарных порций энергии е0:
е = nhv (п = 0 ,1,2 ,...).
В данном случае среднюю энер­
гию (е) осциллятора нельзя принимать
равной кТ. В приближении, что распре­
деление осцилляторов по возможным
дискретным состояниям подчиняется
распределению Больцмана (см. § 45),
средняя энергия осциллятора
е И --1
а спектральная плотность энергетичес­
кой светимости черного тела
2тп/3 hv
2-ir/tv3 1
V'T ~ с3 е £
*
с2 е &
'
*т _ 1
кт _ i
Правильное, согласующееся с опыт­
ными данными выражение для спект­
ральной плотности энергетической све­
тимости черного тела было найдено в
1900 г. немецким физиком М. Планком.
Для этого ему пришлось отказаться от
374
Таким образом, Планк вывел для
универсальной функции Кирхгофа
формулу
_
_ 2l\hv3 1
-----£ -----е*г - 1
г*г =
/0лА оч
(200.3)
которая, к а к о казал о сь, бл естящ е со гл а­
с уется с эксп ер и м ен тал ьн ы м и дан н ы м и
по расп ределен и ю эн ерги и в сп ектр ах
и зл уч ен и я черного т е л а во всем интер­
вале ч а с т о т и тем ператур. Т ео р ети ­
ческий в ы в о д этой ф о р м улы М . П л ан к
и зло ж и л 14 д е к а б р я 1900 г. н а за с е д а ­
нии Н ем ец ко го ф и зического общ ества.
Э тот д ен ь стал дато й р о ж д ен и я к в ан т о ­
вой ф изики.
В области малых частот, т.е. при hv «С кТ
(энергия кванта очень мала по сравнению с
энергией теплового движения кТ), форму­
ла П ланка (200.3) совпадает с формулой
Рэлея—Джинса (200.1). Д ля доказательства
этого разложим экспоненциальную функ­
цию в ряд, ограничившись для рассматри­
ваемого случая двум я первыми членами:
hv
1+
hv
hv
екТ —1'
кТ' “
hv
кТ'
Подставляя последнее выражение в фор­
мулу Планка (200.3), найдем, что
2тгv
1
2irftv3
hv/(kT)
кТ,
2тт/iv3
1
r2
!sl
dv.
ekT —1
Введем безразмерную переменную х =
hv. .
A d v .j
kTdx
= ——; ах = —— dv = — :— . Ф ормула для
кТ
кТ
h
Re преобразуется к виду
,з' JQ/е9 - 11 Шш Ш
Ш
&
У
r , = ^ 2K t 4J
еж
2-кк4 7
х3
,
2-п5к'
г л е а = ж 1 7 Г 1 й1 = 1 Н л з ' т а к к а к
00
з
4
Г — — dx = — . Таким образом, действи15
0
гг
тельно формула Планка позволяет полу­
чить закон Стефана —Больцмана [(ср. фор­
J е* _ i
Чг ■
ГХ,Г -
2 tvc2/i
1
he
X5 e m
■1
откуда
[ h e
<Эг\,7
д\
—
2т\ c 2h
кТ\
he
he
Х 6(е * г х - 1 ) ■ е Ш Щ
1
г
0
Значение Хщах, при котором функция до­
сти гает м акси м ум а, райдем , приравняв
нулю эту производную. Тогда, введя х =
г
flQ
\
-, ifoлучим уравнение
£ГХ„
—5(еж—1)'= 0.
Решение этого трансцендентного урав­
нения методом последовательных приближе/ JlQ
ний дает х= 4,965. Следовательно, •
= 4,965, откуда
т.е. получили ф ормулу Р элея —Д ж инса
( 200 .1).
Из формулы Планка можно получить
закон С теф ан а—Б ольцм ан а. С огласно
(198.3) и (200.3),
Re = f r v,Tdv = J
мулы (199.1) и (200.4)]. Кроме того, подста­
новка числовых значений к, с и h дает для
постоянной Стефана —Больцмана значе­
ние, хорошо согласующееся с эксперимен­
тальными данными.
Закон смещения Вина получим с помо­
щью формул (197.1) и (200.3):
ГХ Б
he
4,965 к
= b,
т.е. получили закон смещения Вина [см.
(199.2)].
И з ф орм улы П л ан ка, зн а я ун и в ер ­
сал ьн ы е п остоян н ы е h, к и с, м ож н о в ы ­
числи ть п о сто ян н ы е С теф ана —Б ольц­
м ан а ст и В ин а Ь. С др уго й стороны, зн ая
э к с п е р и м е н т а л ь н ы е з н а ч е н и я ст и Ь,
м ож но вы ч и сли ть зн ач ен и я h и А;(и м ен ­
но т а к и бы ло вп ер вы е найдено число­
вое значение постоянной П л ан ка).
Т аки м образом, ф орм ула П л ан ка не
то лько хорошо со гл асует ся с эксп ер и ­
м ен тальн ы м и дан н ы м и , но и со дер ж и т
в себе ч астн ы е зако н ы теп лового и зл у­
ч ен и я, а т а к ж е п о зв о л я е т в ы ч и сл и ть
постоян н ы е в зако н ах теп лового и зл у ­
чени я. С ледо вательн о , ф орм ула П лан ­
к а я в л я е т с я полны м реш ением основ375
ной задачи теплового излучения. Ее
решение стало возможным лишь благо­
даря революционной квантовой гипо­
тезе Планка.
серым. Т огда, используя (1 9 9 .1 ) и
(198.2), можно записать
Ду s A'pRg —
С другой стороны,
§ 201. Оптическая пирометрия.
Тепловые источники света
Законы теплового излучения ис­
пользуются для измерения температу­
ры раскаленных и самосветящихся тел
(например, звезд). Методы измерения
высоких температур, использующие за­
висимость спектральной плотности
энергетической светимости или интег­
ральной энергетической светимости тел
от температуры, называются оптиче­
ской пирометрией.
Приборы для измерения температу­
ры нагретых тел по интенсивности их
теплового излучения в оптическом ди­
апазоне спектра называются пиромет­
рами. В зависимости от того, какой за­
кон теплового излучения используется
при измерении температуры тел, разли­
чают радиационную, цветовую и ярко-
Щ = аТр.
Из сравнения этих выражений вы­
текает, что
тр = ^ т .
Так как Ат < 1,то Тр < Т, т.е. истину
ная температура тела всегда выше ра­
диационной.
2.
Ц ветовая температура. Для се
рых тел (или тел, близких к ним по
свойствам) спектральная плотность»
энергетической светимости
R\,t = Атг\,т>
где Ат —const < 1. Следовательно, рас-;
пределение энергии в спектре излуче-,
ния серого тела такое же, как и в спект­
ре черного тела, ймеющего ту же тем­
пературу, поэтому к серым телам при*
меним закон смещ ения Вина [см.
(199.2)]. Зная длину волны \тах, соот­
стную температуры.
ветствующую максимальной спект­
1.
Радиационная температура —это ральной плотности энергетической све­
такая температура черного тела, при
тимости Ry Tисследуемого тела, мож­
которой его энергетическая светимость
но определить его температуру
Re [см. (198.3)] равна энергетической
светимости Дг [см. (197.2)] исследуемо­
го тела. В данном случае регистрирует­
ся энергетическая светимость исследу­
которая называется цветовой темпе­
емого тела и по закону Стефана—Боль­
ратурой. Для серых тел цветовая тем­
цмана (199.1) вычисляется его радиаци­
пература совпадает с истинной. Для тел,
онная температура:
которые сильно отличаются от серых
(например, обладающих селективным
поглощением), понятие цветовой тем­
пературы теряет смысл. Таким спосо­
Радиационная температура Тр тела
бом определяется температура на по­
всегда меньше его истинной температу­
верхности Солнца ( Гцrj 6500 К) и звезд.
3.
Яркостная температура Тя —эт
ры Т. Для доказательства этого предпо­
ложим, что исследуемое тело является
температура черного тела, при которой
376
для определенной длины волны его
спектральная плотность энергетичес­
кой светимости равна спектральной
плотности энергетической светимости
исследуемого тела, т. е.
( 201 .1)
г\,тя — R\,t >
где Т —истинная температура тела.
По закону Кирхгофа [см. (198.1)],
для исследуемого тела при длине вол­
ны X
R\,т
—ГХ,Г>
К,т
или, учиты вая (201.1),
А\,т —
гх.г,
(201.2)
г\,т
Т ак как для нечерных тел А < 1, то
и, следовательно, Тя < Т, т. е.
истинная температура тела всегда выше
яркостной.
В качестве яркостного пирометра
обычно используется пирометр с исче­
зающей нитью. Накал нити пирометра
подбирается таким, чтобы выполнялось
условие (201.1). В данном случае изоб­
ражение нити пирометра становится
неразличимым на фоне поверхности
раскаленного тела, т. е. нить как бы «ис­
чезает». И спользуя проградуирован­
ный по черному телу миллиамперметр,
можно определить яркостную темпера­
туру.
Зная поглощательную способность
Лх т тела при той же длине волны, по
яркостной температуре можно опреде­
лить истинную. Переписав формулу
Планка (200.3) в виде
г\,тя <
Г\ Т — ^ 2 r v J —
2т\c2h
he
\5
Н
-1
и учитывая это в (201.2), получим
he
em -1
he
J
е *Гя\ —2
т. е. при известных
г и X можно оп­
ределить истинную температуру иссле­
дуемого тела.
4.
Тепловые источники света. Све­
чение раскаленных тел используется
для создания источников света, первые
из которых —лампы накаливания и д у­
говые лампы — были соответственно
изобретены русскими учеными А. Н. Ло­
дыгиным в 1873 г. и П. Н. Яблочковым
в 1876 г.
На первый взгляд кажется, что чер­
ные тела должны быть наилучшими
тепловыми источниками света, так как
их спектральная плотность энергети­
ческой светимости для любой длины
волны больше спектральной плотнос­
ти энергетической светимости нечер­
ных тел, взятых при одинаковых тем­
пературах. Однако о казы вается, что
для некоторых тел (например, вольф­
р ам а), обладающих селективностью
теплового излучения, доля энергии,
приходящ аяся на излучение в види­
мой области сп ектра, значительно
больше, чем для черного тела, нагре­
того до той же температуры. Поэтому
вольфрам, обладая еще и высокой тем­
пературой плавления, явл яется наи­
лучшим материалом для изготовления
нитей ламп.
Температура вольфрамовой нити в
вакуумных лампах не должна превы­
шать 2450 К, поскольку при более высо­
ких температурах происходит ее силь­
ное распыление. Максимум излучения
при этой температуре соответствует
длине волны « 1 ,1 мкм, т.е. очень далек
от максимума чувствительности чело­
веческого глаза (« 0 ,5 5 м км ). Напол­
нение баллонов ламп инертными газа­
ми (например, смесью криптона и ксе­
377
нона с добавлением азота) при давле­
нии « 5 0 кПа позволяет увеличить тем­
пературу нити до 3000 К, что приводит
к улучшению спектрального состава из­
лучения. Однако светоотдача при этом
не увеличивается, так как возникают
дополнительные потери энергии из-за
теплообмена м еж ду нитью и газом
вследствие теплопроводности и кон­
векции.
Д ля уменьш ения потерь энергии
за счет теплообмена и повышения све­
тоотдачи газонаполненных ламп нить
изготовляют в виде спирали, отдель­
ные витки которой обогревают друг
друга. При вшадиойяажпературе вок­
р уг этой стсрсвяи ©^разуется непод­
вижный слой газа и исключается теп­
лообмен вследствие конвекции. Энер­
гетический КПД ламп накаливания в
настоящее время не превышает 5 %.
§ 202. Виды
фотоэлектрического эффекта.
Законы внешнего фотоэффекта
Гипотеза Планка, блестяще решив­
шая задачу теплового излучения черно­
го тела, получила подтверждение и даль­
нейшее развитие при объяснении фото­
эффекта —явления, открытие и иссле­
дование которого сыграло важную роль
в становлении квантовой теории. Раз­
378
личают фотоэффект внешний, внут­
ренний и вентильный,
i/ Внешним фотоэлектрическим
эффектом ( фотоэффектом) называ­
ется испускание электронов вещество»
под действием электромагнитного из­
лучения. Внешний фотбэффект наблюй,
дается в твердых телах (металлах, по­
лупроводниках, диэлектриках), а также
в газах на отдельных атомах и молеку­
лах (фотоионизация). Фотоэффект об­
наружен Г. Герцем (1887), наблюдав^
шим усиление процесса разряда при об­
лучении искрового промежутка ультра-1
фиолетовым излучением.
Первые фундаментальные исследси
вания фотоэффекта выполнены рус-у
ским ученым А.Г.Столетовым. П р и н ­
ципиальная схема для исследования1
фотоэффекта приведена на рис. 292.1
Два электрода (катод К из исследуемо^
го металла и анод А —в схеме Столето-1
ва применялась металлическая сетка) в |
вакуумной трубке подключены к бата- :
рее так, что с помощью потенциометра R
можно изменять не только значение, но
и знак подаваемого на них напряжения.
Ток, возникающий при освещении като­
да монохроматическим светом (через
кварцевое окошко), измеряется вклю­
ченным в цепь миллиамперметром.
Облучая катод светом различных
длин волн, А. Г. Столетов установил сле­
дующие закономерности, не утратившие
своего значения до нашего времени:
1) наиболее эффективное действие ока­
зывает ультрафиолетовое излучение;
2) под действием света вещество теряет
только отрицательные заряды; 3) сила
тока, возникающего под действием све­
та, прямо пропорциональна его интен­
сивности.
Д ж .Д ж . Томсон в 1898 г. измерил
удельный заряд испускаемых под дей­
ствием света частиц (по отклонению в
электрическом и магнитном полях).
I
Эти измерения показали, что под дей­
ствием света вырываются электроны.
\f Внутренний фотоэффект. — это
вызванные электромагнитным излуче­
нием переходы электронов внутри по­
лупроводника или диэлектрика из свя­
занных состояний в свободные без вы­
лета наружу. В результате концентра­
ция носителей тока внутри тела увели­
чивается, что приводит к возникнове­
нию фотопроводимости (повышению
проводимости полупроводника или ди­
электрика при его освещении) или к
возникновению ЭД С.
Вентильный фотоэффект, явл я­
ющийся разновидностью внутреннего
фотоэффекта, — возникновение ЭДС
(фото-ЭДС) при освещении контакта
двух разных полупроводников или по­
лупроводника и металла (при отсут­
ствии внешнего электрического поля).
Вентильный фотоэффект открывает,
таким образом, пути для прямого пре­
образования солнечной энергии в элек­
трическую. На экспериментальной ус/ тановке, приведенной на рис. 292, можГ но исследовать вольт-амперную ха­
рактеристику фотоэффекта — sa­
il висимость фототока I, образуемого по­
током электронов, испускаемых като­
дом под действием света, от напряже­
ния U между электродами. Вольт-амперная характеристика, соответствую­
щая двум различным освещенностям Ее
катода (частота света в обоих случаях
одинакова), приведена на рис. 293. По
мере увеличения U фототок постепен­
но возрастает, т. е. все большее число
. фотоэлектронов достигает анода. Поло­
гий характер кривых показывает, что
электроны вылетают из катода с раз­
личными скоростями. Максимальное
значение тока 7нас—фототок насыще­
ния —определяется таким значением U,
при котором все электроны, испускае­
мые катодом, достигают анода:
4ас = Р
где п —число электронов, испускаемых
катодом в 1 с.
Из вольт-амперной характеристики
следует, что при 27= 0 фототок не исче­
зает. Следовательно, электроны, выби­
тые светом из катода, обладают некото­
рой начальной скоростью v, а значит, и
отличной от нуля кинетической энер­
гией и могут достигнуть анода без внеш­
него поля. Для того чтобы фототок стал
равным нулю, необходимо приложить
задерживающее напряжение U0. При
U= U0ни один из электронов, даже об­
ладающий при вылете из катода макси­
мальной скоростью г>тах, не может пре­
одолеть задерживающего поля и дос­
тигнуть анода. Следовательно,
^ ^ = eU0t
(202.1)
т. е., измерив задерживающее напряже­
ние U0, можно определить максималь­
ные значения скорости и кинетической
энергии фотоэлектронов.
При изучении вольт-амперных ха­
рактеристик разнообразных материа­
лов (важна чистота поверхности, поэто­
му измерения проводятся в вакууме и
на свежих поверхностях) при различ­
ных частотах падающего на катод излу­
чения и различных энергетических ос­
вещенностях катода и обобщении полу­
ченных данных были установлены сле­
дующие три закона внешнего фото­
эффекта.
I.
Закон Столетова: при фиксиро­
ванной частоте падающего света число
I
I
Рис. 293
ь?
-U 0
0
U
379
фотоэлектронов, вырываемых из като­
да в единицу времени, пропорциональ­
но интенсивности света (сила фотото­
ка насыщения пропорциональна энер­
гетической освещенности Ее катода).
II. М аксимальная начальная ско­
рость (максимальная начальная кине­
тическая энергия) фотоэлектронов не
зависит от интенсивности падающего
света, а определяется только его часто­
той V .
III. Для каждого вещества существу­
ет красная граница фотоэффекта,
т. е. минимальная частота v0 света (за­
висящая от химической природы веще­
ства и состояния его поверхности),
ниже которой фотоэффект невозможен.
Качественное объяснение фотоэф­
фекта с точки зрения волновой теории
на первый взгляд не должно было бы
представлять трудностей. Действитель­
но, под действием поля световой вол­
ны в металле возникают вынужденные
колебания электронов, амплитуда кото­
рых (например, при резонансе) может
быть достаточной для того, чтобы элек­
троны покинули металл; тогда и наблю­
д ается фотоэффект. К ин ети ческая
энергия вырываемого из металла элек­
трона должна была бы зависеть от ин­
тенсивности падающего света, так как
с увеличением последней электрону пе­
редавалась бы большая энергия. Одна­
ко этот вывод противоречит II закону
фотоэффекта. Так как, по волновой те­
ории, энергия, передаваемая электро­
нам, пропорциональна интенсивности
света, то свет любой частоты, но доста­
точно болыйой Интенсивности должен
был бы вы р ы в а в электроны из метал­
ла; иными словами, красной границы
фотоэффекта не должно быть, что про­
тиворечит III закон у фотоэффекта.
Кроме того, волновая теория не смогла
объяснить безынерционность фото­
эффекта, установленную опытами. Та­
380
ким образом, фотоэффект необъясним
с точки зрения волновой теории светаЛ
§ 203. Уравнение Эйнштейна
для внешнего фотоэффекта.
Экспериментальное
подтверждение
квантовых свойств света
А.
Эйнштейн в 1905 г. показал, что
явление фотоэффекта и его закономер­
ности могут быть объяснены на основе
предложенной им квантовой теории
фотоэффекта. Согласно Эйнштейну,
свет частотой v не только испускается,
как это предполагал Планк (см. § 200),
но и распространяется в пространстве;,
и поглощается веществом отдельными
порциями (квантами), энергия которых
е0 = hv. Таким образом, распростране­
ние света нужно рассматривать не как
непрерывный волновой процесс, а как
поток локализованных в пространстве
дискретных световых квантов, движу­
щихся со скоростью с распространения
света в вакууме. Кванты электромаг­
нитного излучения получили название
фотонов.
По Эйнштейну, каждый квант по­
глощается только одним электроном.
Поэтому число вырванных фотоэлек­
тронов должно быть пропорциональ­
но интенсивности света (I закон фото­
эффекта). Безынерционность фотоэф­
фекта объясняется тем, что передача
энергии при столкновении фотона с
электроном происходит почти мгно­
венно.
Энергия падающего фотона расходу­
ется на совершение электроном работы
выхода А из металла (см. § 104) и на
сообщение вылетевшему фотоэлектро2
ну кинетической энергии ^ W . . По за­
кону сохранения энергии,
hv = А + Шл**'
(203.1)
Уравнение (203.1) называется урав­
нением Эйнштейна для внешнего фо­
тоэффекта.
Уравнение Эйнш тейна позволяет
объяснить II и III законы фотоэффек­
та. Из (203.1) непосредственно следу­
ет, что м акси м ал ьн ая ки н ети ческая
энергия фотоэлектрона линейно растет
с увеличением частоты падающего из­
лучения и не зависит от его интенсив­
ности (числа фотонов), так как ни А, ни
v от интенсивности света не зависят (II
закон фотоэффекта). Т ак как с умень­
шением частоты света кинетическая
энергия фотоэлектронов уменьшается
(для данного металла А = const), то при
некоторой достаточно малой частоте
v = Vq кинетическая энергия фотоэлек­
тронов станет равной нулю и фотоэф­
фект прекратится (III закон фотоэф­
ф екта). С огласно излож енн ом у, из
(203.1) получим, что
Vo = 4п,
<203-2>
и есть красная граница фотоэффекта
для данного металла. Она зависит лишь
от работы выхода электрона, т. е. от хи­
мической природы вещества и состоя­
ния его поверхности.
Выражение (203.1) можно записать,
используя (202.1) и (203.2), в виде
hv = hv0 + eU0.
Уравнение Эйнштейна было подтвер­
ждено опытами Р. М илликена. В его
приборе (1916) поверхность исследуе­
мого металла подвергалась очистке в
вакууме. Исследовалась зависимость
максимальной кинетической энергии
фотоэлектронов [изменялось задержи­
вающее напряжение U0 (см. (202.1)] от
частоты v и определялась постоянная
Планка.
В 1926 г. российские физики П. И. Лукирский (1894—1954) и С. С. Прилежа­
ев для исследования фотоэффекта при­
менили метод вакуумного сферичес­
кого конденсатора. Анодом в их уста­
новке служили посеребренные стенки
стеклянного сферического баллона, а
катодом — шарик (R « 1,5 см) из ис­
следуемого металла, помещенный в
центр сферы. В остальном схема прин­
ципиально не отличается от изображен­
ной на рис. 292. Т акая форма электро­
дов позволила увеличить наклон вольтамперных характеристик и тем самым
более точно определять задер ж и ва­
ющее напряжение U0 (а следовательно,
и h).
Значение h, полученное из данных
опытов, согласуется со значениями,
найденными другими методами [по из­
лучению черного тела (см. § 200) и по
коротковолновой границе сплошного
рентгеновского спектра (см. § 299)]. Все
это является доказательством правиль­
ности уравнения Эйнштейна, а вместе
с тем и его квантовой теории фотоэф­
фекта.
Если интенсивность света очень
большая (лазерные пучки; см. § 233), то
возможен многофотонный ( нелиней­
ный) фотоэффект, при котором элек­
трон, испускаемый металлом, может од­
новременно получить энергию не от
одного, а от ЛГфотонов (N—2 —7). Урав­
нение Эйнштейна для многофотонно­
го фотоэффекта
Nhv = A + ^ ^ .
2
В опытах с фокусируемыми лазер­
ными пучкам и плотность фотонов
очень большая, поэтому электрон мо­
ж ет поглотить не один, а несколько
фотонов. При этом электрон может
приобрести энергию, необходимую для
выхода из вещества, даже под действи­
381
ем света с частотой, меньшей красной
границы — порога однофотонного фо­
тоэффекта. В результате красная грани­
ца смещается в сторону более длинных
волн.
Идея Эйнштейна о распространении
света в виде потока отдельных фотонов
и квантовом характере взаимодействия
электромагнитного излучения с веще­
ством подтверждена в 1922 г. опытами
А. Ф . Иоффе и Н. И. Добронравова.
В электрическом поле плоского кон­
денсатора уравновешивалась заряжен­
ная пылинка из висмута. Нижняя об­
кладка конденсатора изготовлялась из
тончайшей алюминиевой фольги, кото­
рая являлась одновременно анодом ми­
ниатюрной рентгеновской трубки. Анод
бомбардировался ускоренными до 12 кВ
фотоэлектронами, испускаемыми като­
дом под действием ультрафиолетового
излучения. Освещенность катода под­
биралась столь слабой, чтобы из него в
1 с вырывалось лишь 1000 фотоэлект­
ронов, а следовательно, и число рент­
геновских импульсов было 1000 в 1 с.
Опыт показал гчто в среднем через каж­
дые 30 мин уравновешенная пылинка
выходила из равновесия, т.е. рентгено­
вское излучение освобождало из нее
фотоэлектрон.
Если бы рентгеновское излучение
распространялось в виде сферических
волн, а не отдельных фотонов, то каж ­
дый рентгеновский импульс отдавал
бы пылинке очень малую часть своей
энергии, которая распределялась бы, в
свою очередь, между огромным числом
электронов’, содержащихся в пылинке.
Поэтому при таком механизме трудно
вообразить, что один из электронов за
такое короткое время, как 30 мин, мо­
жет накопить энергию, достаточную
для преодоления работы выхода из пы­
линки. Напротив, с точки зрения кор­
пускулярной теории это возможно.
382
Так, если рентгеновское излучение
распространяется в виде потока диск­
ретных фотонов, то электрон выбивал
ется из пылинки только тогда, когда в
нее попадает фотон. Элементарный рас­
чет для выбранных условий показывай
ет, что в среднем в пылинку попадаем
один фотон из 1,8 • 106. Так как в 1 с вы­
летает 1000 фотонов, то в среднем в пы­
линку будет попадать один фотон в 30
мин, что согласуется с результатами
опыта.
Если свет представляет собой поток'
фотонов, то каждый фотон, попадая в
регистрирующий прибор (глаз, фото-i
элемент), должен вызывать то или иное
действие независимо от других фото-J
нов. Это же означает, что при регистра-]
ции слабых световых потоков должный
наблюдаться флуктуации их интенсив^
ности. Эти флуктуации слабых потоков!
видимого света действительно наблю-j
дались С. И. Вавиловым.
Наблюдения проводились визуаль-;
но. Глаз, адаптированный к темноте,!
обладает довольно резким порогом
зрительного ощущения, т. е. восприни­
мает свет, интенсивность которого не
меньше некоторого порога. Для света с
X = 525 нм порог зрительного ощуще­
ния соответствует у разных людей при­
мерно 100—400 фотонам, падающим на
сетчатку за 1 с. С. И. Вавилов наблюдал
периодически повторяющиеся вспыш­
ки света одинаковой длительности.
С уменьшением светового потока неко­
торые вспышки уже не воспринимались
глазом, причем чем слабее был свето­
вой поток, тем больше было пропусков
вспышек. Это объясняется флуктуаци­
ями интенсивности света, т.е. число
фотонов оказывалось по случайным
причинам меньше порогового значе­
ния. Таким образом, опыт Вавилова
явился наглядным подтверждением
квантовых свойств света.
§ 204. Применение фотоэфф екта
На явлении фотоэффекта основано
действие фотоэлектронных приборов,
получивших разнообразное примене­
ние в различных областях науки и тех­
ники. В настоящее время практически
невозможно указать отрасли производ­
ства, где бы не использовались фото­
элементы —приемники излучения, ра­
ботающие на основе фотоэффекта и
преобразующие энергию излучения в
электрическую.
Простейшим фотоэлементом с вне­
шним фотоэффектом является ваку­
умный фотоэлемент. Он представля­
ет собой откачанный стеклянный бал­
лон, внутренняя поверхность которого
(за исключением окошка для доступа
. излучения) покрыта фоточувствительным слоем, служащ им фотокатодом.
В качестве анода обычно используется
кольцо или сетка, помещаемая в цент­
ре баллона. Фотоэлемент включается в
цепь батареи, ЭДС которой выбирает­
ся такой, чтобы обеспечить фототок на­
сыщения. Выбор материала фотокато­
да определяется рабочей областью
спектра: для регистрации видимого све­
та и инфракрасного излучения исполь­
зуется кислородно-цезиевый катод, для
регистрации ультрафиолетового излу­
чения и коротковолновой части види­
мого света —сурьмяно-цезиевый.
Вакуумные фотоэлементы безынер­
ционны, и для них наблюдается стро­
гая пропорциональность фототока ин­
тенсивности излучения. Эти свойства
позволяют использовать вакуумные
фотоэлементы в качестве фотометри­
ческих приборов, например фотоэлек­
трический экспонометр, люксметр (из­
меритель освещенности) и т.д.
Для увеличения интегральной чув­
ствительности вакуум н ы х фотоэле­
ментов (фототок насыщения, приходя­
щийся на 1 лм светового потока) бал­
лон заполняется разреженным инерт­
ным газом (А г или Ne при давлении
« 1 ,3 —13 Па). Фототок в таком эле­
менте, называемом газонаполненным,
усиливается вследствие ударной иони­
зации молекул газа фотоэлектронами.
Интегральная чувствительность газона­
полненных фотоэлементов ( « 1 мА/лм)
гораздо выш е, чем д л я вакуум н ы х
(2 0 —150 мкА/лм), но они обладают по
сравнению с последними большей
инерционностью (менее строгой про­
порциональностью фототока интенсив­
ности излучения), что приводит к огра­
ничению области их применения.
Д ля усиления фототока применя­
ются уж е рассмотренные выше (см.
рис. 157) фотоэлектронные умножи­
тели, в которых наряду с фотоэффек­
том используется явление вторичной
электронной эмиссии (см. § 105). Раз­
меры фотоэлектронных умножителей
немного превышают размеры обычной
радиолампы, общий коэффициент уси­
ления составляет « 107 (при напряже­
нии питания 1 —1,5 кВ), а их интеграль­
ная чувствительность может достигать
10 А/лм. Поэтому фотоэлектронные
умножители начинают вытеснять фото­
элементы, правда, их применение свя­
зано с использованием высоковольт­
ных стабилизированных источников
питания, что несколько неудобно.
Фотоэлементы с внутренним фото­
эффектом, называемые полупроводни­
ковыми фотоэлементами или фото­
сопротивлениями ( фоторезистора­
ми), обладают гораздо большей интег­
ральной чувствительностью, чем ваку­
умные. Для их изготовления использу­
ются PbS, CdS, PbSe и некоторые дру­
гие полупроводники. Если фотокатоды
вакуумных фотоэлементов и фотоэлек­
тронных умножителей имеют красную
границу фотоэффекта не выше 1,1 мкм,
383
то п р им ен ен ие ф отосопротивлений
позволяет производить измерения в да­
лекой инфракрасной области спектра
(3 —4 м км ), а такж е в областях рентге­
новского и гам м а-и злуч ен и й . Кроме
того, они малогабаритны и имеют низ­
кое напряжение питания. Н едостаток
фотосопротивлений —их заметная инер­
ционность, поэтому они непригодны
д л я регистрации быстропеременных
световых потоков.
Ф отоэлементы с вентильным фото­
эффектом, назы ваемые вентильными
ф отоэлементами (ф отоэлем ента­
ми с запирающим слоем), обладая, по­
добно элементам с внешним фотоэф­
фектом, строгой пропорциональностью
ф ототока интенсивности и злучен и я,
имеют большую по сравнению с ними
интегральную чувствительность (при­
мерно 2 —30 мА /лм) и не нуждаю тся во
внешнем источнике ЭДС. К числу вен­
тильных фотоэлементов относятся гер­
маниевые, кремниевые, селеновые, купроксные, сернисто-серебряные и др.
К ремниевые и др уги е вентильные
фотоэлементы применяются для созда­
ния солнечных батарей, непосредствен­
но преобразующих световую энергию в
электрическую. Эти батареи уж е в те­
чение многих лет работают на косми­
чески х сп утн и ках и ко р аб л ях . КПД
этих батарей составляет « 1 0 % и, как
показывают теоретические расчеты, мо­
ж ет быть доведен до « 2 2 %, что откры­
вает широкие перспективы их исполь­
зования в качестве источников элект­
роэнергии д л я бы товы х и производ­
ственных нужд.
Рассмотренные виды фотоэффекта
используются такж е в производстве для
контроля, управления и автоматизации
различных процессов, в военной техни­
ке для сигнализации и локации невиди­
мым излучением, в технике звукового
кино, в различных системах связи и т.д.
384
§ 205. Энергия и импульс фотона.
Давление света
Согласно гипотезе световых квантов
Эйнштейна, свет испускается, поглоща­
ется и распространяется дискретными
порциями (квантам и ), названными фо­
тонами. Энергия фотона
Ео = hv.
(205.1)
Ф отон всегда дви ж ется со скорос­
тью с — скоростью распространения
света в вакуум е.
Согласно теории относительности,
п о лн ая эн ер ги я свободной частицы
(40.3)
Е= ^
.
В случае фотона v= си знаменатель
этого вы раж ен и я обращ ается в нуль.
Поскольку фотон имеет конечную энер­
гию [см. (205.1)], то это возможно лишь
при условии, что масса фотона равна
нулю.
Воспользовавшись связью Е2 —р2с*=
= т 2с* (4 0.5) и учиты вая, что д л я фо­
тона т = 0, видим, что фотон обладает
не только энергией (205.1), но и импуль­
сом
р = ео = /ш
(205.2)
с
с
Выражения (205.1) и (205.2) связы ­
вают корпускулярные характеристики
фотона — импульс и энергию — с вол­
новой характеристикой света —его час­
тотой V .
Если фотоны обладают импульсом,
то свет, падающий на тело, должен ока­
зы в а т ь на него давл ен и е. С о гласн о
квантовой теории, давление света на
поверхность обусловлено тем, что каж ­
дый фотон при соударении с поверхно­
стью передает ей свой импульс.
Рассчитаем с точки зрения квантовой
теории световое давление, оказываемое
на поверхность тела потоком монохро­
матического излучения (частота v), па­
дающего перпендикулярно поверхнос­
ти. Если в единицу времени на едини­
цу площади поверхности тела падает N
фотонов, то при коэффициенте отраже­
ния р света от поверхности тела отра­
зится рЛГфотонов, а поглотится (1 —р)N.
Каждый поглощенный фотон передает
h v , .а каждыйjповерхности импульс р = —
отраженный — 2р =
(при отраже­
нии импульс фотона изменяется на —р ) .
Давление света на поверхность равно
импульсу, который передают поверхно­
сти в 1 с N фотонов:
р = Ш
С
pN + — (1 - p)N = (1 + р)— N.
С '
о
Nhv = Ееесть энергия всех фотонов,
падающих на единицу поверхности в
единицу времени, т.е. энергетическая
освещенность поверхности (см. § 168),
Е
а — = w — объемная плотность энерЩус
гии излучения. Поэтому давление, про­
изводимое светом при нормальном па­
дении на поверхность,
р = ^ ( 1 + р) = Ц 1 + р). (205.3)
Формула (205.3), выведенная на ос­
нове квантовых представлений, совпа­
дает с выражением, получаемым из
электромагнитной (волновой) теории
Максвелла (см. § 163). Таким образом,
давление света одинаково успешно
объясняется как волновой, так и кван­
товой теорией. Как уже указывалось
(см. § 163), экспериментальное доказа­
тельство существования светового дав­
ления на твердые тела и газы дано в
опытах П. Н. Лебедева, сыгравших в
13
Курс физики
свое время большую роль в утвержде­
нии теории Максвелла.
Лебедев использовал легкий подвес
на тонкой нити, по краям которого при­
креплены легкие крылышки, одни из
которых зачернены, а поверхности дру­
гих зеркальные. Для исключения кон­
векции и радиометрического эффекта
(см. § 49) использовалась подвижная
система зеркал, позволяющая направ­
лять свет на обе поверхности крылы­
шек, подвес помещался в откачанный
баллон, крылышки подбирались очень
тонкими (чтобы температура обеих по­
верхностей была одинакова). Световое
давление на крылышки определялось
по углу закручивания нити подвеса и
совпадало с теоретически рассчитан­
ным. В частности оказалось, что давле­
ние света на зеркальную поверхность
вдвое больше, чем на зачерненную [см.
(205.3)].
§ 206. Эффект Комптона
и его элементарная теория
Наиболее полно корпускулярные
свойства света проявляются в эффекте
Комптона Американский физик А. Ком­
птон (1892—1962), исследуя в 1923 г.
рассеяние монохроматического рентге­
новского излучения веществами с лег­
кими атомами (парафин, бор), обнару­
жил, что в составе рассеянного излуче­
ния наряду с излучением первоначаль­
ной длины волны наблюдается также
более длинноволновое излучение. Опы­
ты показали, что разность ДХ = Х/ —X
не зависит от длины волны X падающе­
го излучения и природы рассеивающе­
го вещества, а определяется только уг­
лом рассеяния Ф:
ДХ = V - X = 2Xc sin2| , (206.1)
А
385
где X' — длина волны рассеянного из­
лучения; \с — комптоновская длина
волны (при рассеянии фотона на элек­
троне Хс = 2,426 пм).
Эффектом Комптона называется
упругое рассеяние коротковолнового
электромагнитного излучения (рентге­
новского и ^-излучений) на свободных
(или слабосвязанных) электронах ве­
щества, сопровождающееся увеличени­
ем длины волны. Этот эффект не укла­
дывается в рамки волновой теории, со­
гласно которой длина волны при рас­
сеянии изменяться не должна: под дей­
ствием периодического поля световой
волны электрон колеблется с частотой
поля и поэтому излучает рассеянные
волны той же частоты.
Объяснение эффекта Комптона да­
но на основе квантовых представлений
о природе света. Если считать, как это
делает квантовая теория, что излучение
имеет корпускулярную природу, т.е.
представляет собой поток фотонов, то
эффект Комптона —результат упруго­
го столкновения рентгеновских фото­
нов со свободными электронами веще­
ства (для легких атомов электроны сла­
бо связаны с ядрами атомов, поэтому их
можно считать свободными). В процес­
се этого столкновения фотон передает
электрону часть своих энергии и им­
пульса в соответствии с законами их
сохранения.
Рассмотрим упругое столкновение
двух частиц (рис. 294) — налетающего
фотона, обладающего импульсом Р = ~
и энергией е = hv, с покоящимся сво-'
бодным электроном (энергия покоя
W0 = т с 2; т — масса электрона). Фо­
тон, столкнувшись с электроном, nepe-f
дает ему часть своей энергии и импуль­
са и изменяет направление движения
(рассеивается). Уменьшение энергий
фотона означает увеличение длины
волны рассеянного излучения. При
каждом столкновении выполняются!
законы сохранения энергии и импульса^
Согласно закону сохранения энер^
гии,
W'0 + £= W+z',
Р = Ре + Р1’
386
(206.3)1
где W0 = т с 2 — энергия электрона до?
столкновения; е = hv — энергия нале-1
тающего фотона; W = yjp2c2 + т 2сА -3
энергия электрона после столкновения!
(используется релятивистская форму-]
ла, так как скорость электрона отдачи в
общем случае значительна); е! = hv' —1
энергия рассеянного фотона.
Подставив в выражение (206.2) зна­
чения величин и представив (206.3) в
соответствии с рис. 294, получим
т с 2 +hv = -\]р2с2 + т 2сЛ+ hv'\ (206.4)^
р! =М 2+М
2_ 2 ^ ^ о О 8 в .(2 0 6 .5 )]
Решая уравнения (206.4) и (206.5)
совместно, получим
mc\v —v') = hvv'(l —cos'd).
=
Рис. 294
(206.2)
а согласно закону сохранения импульса,]
Поскольку v =
—X, получим
= г-7 и AX =
ДХ = — (1 - cos ■Op) = — sin2 . (206.6)
me
me
2
Выражение (206.6) есть не что иное,
как полученная экспериментально
Комптоном формула (206.1). Подста­
новка в нее значений h, т и с дает комптоновскую длину волны электрона Хс =
• ; | Л т 2,426 пм.
I тс
. Наличие в составе рассеянного из­
лучения несмещенной линии (излуче­
ния первоначальной длины волны)
можно объяснить следующим образом.
При рассмотрении механизма рассея­
ния предполагалось, что фотон соуда­
ряется лишь со свободным электроном.
Однако если электрон сильно связан с
атомом, как это имеет место для внут­
ренних электронов (особенно в тяж е­
лых атомах), то фотон обменивается
энергией и импульсом с атомом в це­
лом. Так как масса атома по сравнению
&массой электрона очень велика, то ато­
му передается лишь ничтожная часть
энергии фотона. Поэтому в данном слу­
чае длина волны рассеянного излу­
чения практически не будет отличать­
ся от длины волны X падающего излу­
чения.
Из приведенных рассуждений сле­
дует также, что эффект Комптона не
может наблюдаться в видимой области
спектра, поскольку энергия фотона ви­
димого света сравнима с энергией свя­
зи электрона с атомом, при этом даже
внешний электрон нельзя считать сво­
бодным.
Эффект Комптона наблюдается не
j■
. только на электронах, но и на других
заряженных частицах, например прото­
нах, однако из-за большой массы про­
тона его отдача «просм атривается»
лишь при рассеянии фотонов очень
I высоких энергий.
Как эффект Комптона, так и фото­
эффект на основе квантовых представ­
лений обусловлены взаимодействием
фотонов с электронами. В первом слу­
чае фотон рассеивается, во втором —
поглощается. Рассеяние происходит
при взаимодействии фотона со свобод­
ным электроном, а фотоэффект — со
связанными электронами. Можно по­
казать, что при столкновении фотона со
свободным электроном не может про­
изойти поглощения фотона, так как это
находится в противоречии с законами
сохранения импульса и энергии. Поэто­
му при взаимодействии фотонов со сво­
бодными электронами может наблю­
даться только их рассеяние, т. е. эффект
Комптона.
§ 207. Единство корпускулярных
и волновых свойств
электромагнитного излучения
Рассмотренные в этой главе Явле­
ния —излучение черного тела, фотоэф­
фект, эффект Комптона — служат до­
казательством квантовых (корпуску­
лярных) представлений о свете как о
потоке фОтонов. С другой стороны, та­
кие явления, как интерференция, диф­
ракция и поляризация света, убедитель­
но подтверждают волновую (электро­
магнитную) природу света. Наконец,
давление и преломление света объяс­
няются как волновой, так и квантовой
теориями. Таким образом, электромаг­
нитное излучение обнаруживает уди­
вительное единство, казалось бы, вза­
имоисключающих свойств — непре­
рывных (волны) и дискретных (фото­
ны), которые взаимно дополняют друг
друга.
Основные уравнения (см. § 205),
связывающие корпускулярные свой­
ства электромагнитного излучения
(энергия и импульс фотона) с волно­
выми свойствами (частота или длина
волны):
g —jjy I — hv _ h
* >с
X'
387
Более детальное рассмотрение опти­
ческих явлений приводит к выводу, что
свойства непрерывности, характерные
для электромагнитного поля световой
волны, не следует противопоставлять
свойствам дискретности, характерным
для фотонов.
Свет, обладая одновременно корпус­
кулярными и волновыми свойствами,
обнаруживает определенные законо­
мерности в их проявлении. Так, волно­
вые свойства света проявляются в за­
кономерностях его распространения,
интерференции, дифракции, поляриза­
ции, а корпускулярные — в процессах
взаимодействия света с веществом. Чем
больше длина волны, тем меньше энер­
гия и импульс фотона и тем труднее об­
наруживаются квантовые свойства све­
та (с этим связано, например, существо­
вание красной границы фотоэффекта).
Наоборот, чем меньше длина волны,
тем больше энергия и импульс фотона
и тем труднее обнаруживаются волно­
вые свойства света [например, волно­
вые свойства (диф ракция) рентгено­
вского излучения обнаружены лишь
после применения в качестве дифрак­
ционной решетки кристаллов].
Взаимосвязь между двойственными
корпускулярно-волновыми свойствами
света можно объяснить, если использо­
вать, как это делает квантовая оптика,
статистический подход к рассмотре­
нию закономерностей распространения
света. Например, дифракция света на
щели состоит в том, что при прохожде­
нии света через щель происходит пере­
распределение фотонов в пространстве.
Так как вероятность попадания фото­
нов в различные точки экрана неодина­
кова, то и возникает дифракционная
картина. Освещенность экрана пропор­
циональна вероятности попадания фо­
тонов на единицу площ ади экрана.
С другой стороны, по волновой теории
освещенность пропорциональна квад­
рату амплитуды световой волны в той
же точке экрана. Следовательно, квад­
р ат амплитуды световой волны в дан­
ной точке пространства является ме­
рой вероятности попадания фотонов в
данную точку.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
|
•
•
На фарфоровой тарелке на светлом фоне имеется темный рисунок. Почему, если ее бы­
стро вынуть из печи, где она нагрелась до высокой температуры, и рассматривать в тем­
ноте, наблюдается светлый рисунок на темном фоне?
Чем отличается серое тело от черного?
В чем заключается физический смысл универсальной функции Кирхгофа?
Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его тер­
модинамическая температура уменьшится вдвое?
Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости гХ)т чёрного тела с повышением температуры?
Нарисуйте и сопоставьте кривые Jfg и гХ)Г.
Используя формулу Планка, найдите постоянную Стефана—Больцмана.
При каких условиях из формулы Планка получаются закон смещения Вина и формула
Рэлея—Джинса?
Почему фотоэлектрические измерения весьма чувствительны к природе и состоянию
поверхности фотокатода?
Может ли золотая пластинка служить фотосопротивлением?
Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с уменьшением осве­
щенности катода?
388
•
•
Как из опытов по фотоэффекту определяется постоянная Планка?
При замене одного металла другим длина волны, соответствующая красной границе,
уменьшается. Что можно сказать о работе выхода этих металлов?
• Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить I и II законы фотоэффекта?
• Нарисуйте и объясните вольт-амперные характеристики, соответствующие двум раз­
личным освещенностям катода при заданной частоте света и двум различным частотам
при заданной освещенности.
• Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачерненную поверхности?
• В чем отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эф­
фекте Комптона?
ЗАДАЧИ
26.1. Черное тело нагрели от температуры Тх = 500 К до Т2 = 2000 К. Определите: 1) во
сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как изменилась длина вол­
ны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости.
[1) В 256 раз; 2) уменьшилась на 4,35 мкм]
26.2. Черное тело находится при температуре 7\ = 2900 К. При его остывании длина
волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости,
изменилась на ДХ = 9 мкм. Определите температуру Г2, до которой тело охладилось. [290 К]
26.3. Определите работу выхода А электронов из вольфрама, если красная граница фо­
тоэффекта для него \0 = 275 нм. [4,52 эВ]
26.4. Определите постоянную Планка, если известно, что для прекращения фотоэффек­
та, вызванного облучением некоторого металла светом с частотой v l = 2,2- 1015с-1, необходи­
мо приложить задерживающее напряжение i/01 = 6,6 В, а светом с частотой v2 —4,6 • 1015 с-1 —
задерживающее напряжение £702 = 16,5 В. [6,6 • 10-34 Дж •с]
26.5. Определите в электрон-вольтах энергию фотона, при которой его масса равна мас­
се покоя электрона. [0,51 МэВ]
26.6. Давление монохроматического света с длиной волны 600 нм на зачерненную по­
верхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,1 мкПа. Оп­
ределите число фотонов, падающих на поверхность площадью 10 см2за 1 с. [9 • 1016]
26.7. Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 180° на свободном электроне.
Определите в электрон-вольтах кинетическую энергию электрона отдачи. [580 эВ]
ЧАСТЬ 6
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Г л а в а 27
ТЕОРИЯ АТОМ А ВОДОРОДА ПО БОРУ
§ 208. М одели атома Томсона
и Резерф орда
Представление об атомах как неде­
лимых мельчайших частицах вещества
(«атомос» —неразложимый) возникло
еще в античные времена (Демокрит,
Эпикур, Лукреций). К началу XVIII в.
атомистическая теория приобретает все
большую популярность, так как к это­
му времени в работах А. Л авуазье1,
М. В. Ломоносова и Д. Дальтона была
доказана реальность существования
атомов. Однако в это время вопрос о
внутреннем строении атомов даже не
возникал, так как атомы по-прежнему
считались неделимыми.
Большую роль в развитии атомисти­
ческой теории сыграл Д.И.Менделеев,
разработавший в 1869 г. Периодиче­
скую систему элементов, в которой
впервые на научной основе был постав­
лен вопрос о единой природе атомов.
Во второй половине XIX в. экспери­
ментально было доказано, что электрон
является одной из основных составных
частей любого вещества. Эти выводы, а
также экспериментальные данные приА. Лавуазье (1743—1794) —французский хи­
мик.
390
вели к тому, что в начале XX в. серьез­
но встал вопрос о строении атома.
Первая попытка создания на осно-]
ве накопленных экспериментальных
данных модели атома принадлежит
Дж. Дж.Томсону (1903). Согласно этой
модели, атом представляет собой непре­
рывно заряженный положительным за­
рядом шар радиусом порядка ДО-10 м,
внутри которого около своих положе­
ний равновесия колеблются электроны;
суммарный отрицательный заряд элек­
тронов равен положительному заряду
шара, поэтому атом в целом нейтрален.
Через несколько лет было доказано, что
представление о непрерывно распреде­
ленном внутри атома положительном
заряде ошибочно.
В развитии представлений о строе­
нии атома велико значение опытов анг­
лийского физика Э. Резерфорда (1871 —
1937) по рассеянию а-частиц в веще­
стве. Альфа-частицы возникают при
радиоактивных превращениях; они яв­
ляются положительно заряженными
частицами с зарядом 2е и массой, при­
мерно в 7300 раз большей массы элект­
рона. Пучки а-частиц обладают высо­
кой монохроматичностью [для данного
превращения имеют практически одну
и ту же скорость (порядка 107 м/с)].
Э.
Резерфорд, исследуя прохождение атоме по окружности под действием куа-ч асти ц в вещ естве (через золотую
лоновской силы:
фольгу толщиной примерно 1 м км), по­
Zee
казал, что основная их часть испытыва­
(208.1)
4т е 0г 2
ет незначительные отклонения, но неко­
торые а-ч асти ц ы (примерно одна из
где е0 — электрическая постоянная; т е
20 ООО) резко отклоняются от первона­
h v —масса и скорость электрона на ор­
чального направления (углы отклоне­
бите радиусом г.
ния достигали даж е 180°). Т ак как элек­
Уравнение (208.1) содержит два не­
троны не могут существенно изменить
известных: г vi v. Следовательно, сущ е­
движение столь тяж елых и быстрых ча­
ствует бесчисленное множество значе­
стиц, как а-частицы , то Резерфордом
ний радиуса и соответствую щ их ем у
был сделан вывод, что значительное от­
значений скорости (а значит, и энер­
клонение а-частиц обусловлено их вза­
гии), удовлетворяющих этому уравне­
имодействием с положительным заря­
нию. Поэтому величины г, v (следова­
дом большой массы. Однако значитель­
тельно, и Е) могут меняться непрерыв­
ное отклонение испытывают лишь не­
но, т. е. может испускаться любая, а не
многие а-частицы; следовательно, лишь
вполне определенная порция энергии.
некоторые из них проходят вблизи дан­
Т огда спектры атомов долж ны быть
ного положительного заряда. Это, в свою
сплошными. В действительности же
очередь, означает, что положительный
опыт показывает, что атомы имеют ли­
заряд атома сосредоточен в объеме, очень
нейчатый спектр.
малом по сравнению с объемом атома.
Из выражения (208.1) следует, что
На основании своих исследований
при г « 1 0 “10м скорость движения элек­
Резерфорд в 1911 г. предложил ядер­
тронов v « Ю6 м/с, а ускорение — =
ную ( планетарную ) модель атома.
= 1022м/с2. Согласно классической элек­
Согласно этой модели, вокруг положи­
тельного ядра, имеющего заряд Ze(Z— тродинамике, ускоренно движущ иеся
электроны должны излучать электро­
порядковый номер элемента в системе
магнитные волны и вследствие этого не­
Менделеева, е — элементарный заряд),
прерывно терять энергию. В результате
размер 10-15—10-14 м и массу, практи­
электроны будут приближаться к ядру
чески равную массе атома, в области с
и в конце концов упадут на него. Таким
линейными размерами порядка 10_ш м
образом, атом Резерфорда оказывается
по замкнутым орбитам дви ж утся элек­
неустойчивой системой, что опять-таки
троны, образуя электронную оболочку
противоречит действительности.
атома. Т ак как атомы нейтральны, то за­
Попытки построить модель атома в
р яд яд р а равен сум м ар н о м у за р яд у
рамках Классической физики не приве­
электронов, т.е. во кр уг ядр а должно
ли к успеху: модель Томсона была оп­
вращ аться Z электронов.
ровергнута опытами Резерфорда, ядерД л я простоты предполож им, что
ная же модель оказалась неустойчивой
электрон движ ется вокруг ядра по кру­
электродинамически и противоречила
говой орбите радиусом г. При этом куопытным данным. Преодоление воз­
лоновская сила взаимодействия между
никших трудностей потребовало созда­
ядром и электроном сообщает электро­
ния качественно новой — квантовой —
ну нормальное ускорение. Уравнение,
теории атома.
описывающее движение электрона в
391
§ 209. Линейчатый спектр
атома водорода
Исследования спектров излучения
разреженных газов (спектров излу­
чения отдельных атомов) показали,
что каждому газу присущ определен­
ный линейчатый спектр, состоящий из
отдельных спектральных линий или
групп близко расположенных линий.
Самым изученным явл яется спектр
наиболее простого атома —атома водо­
рода.
Ш вейцарский ученый И. Бальмер
(1825—1898) подобрал эмпирическую
формулу, описывающую все известные
в то время спектральные линии атома
водорода в видимой области спектра:
Ь
* ' ( £ - £ ) (" = 3,4,5,...), (209.1)
летовой области спектра находится се­
рия Лаймана:
v = * ( £ - ;? )
С” =2д 4„ 4
I
В инфракрасной области спектра
были также обнаружены:
серия Пашена
f§ f(^ f)
(п=4д6'"'); 1
серия Брэкета
серия Пфунда
* -* (£ -£ ).
(" = 6,7,8,...);
I
серия Хэмфри
где R' — 1,10* 107 м-1 — постоянная
РидбергаК Так как v = ~, то формула
(» = W 9 ,..) . I
А
(209.1) может быть переписана для ча­
стот;
V = R[ b ~ b ) (п = 3’4' 5’- 4
(209.2)
где R = R'c = Зт29 • ДО16 с-1—также по­
стоянная Ридберга.
Из выражений (209.1) и (209.2) вы­
текает, что спектральные линии, отли­
чающиеся различными значениями п,
образуют группу или серию линий, на­
зываемую1серией Бальмера. С увели­
чением плинии серии сближаются; зна­
чение п = оо определяет границу серии,
к которой со стороны больших частот
примыкает сплошной спектр.
В дальнейшем (в начале XX в.) в
спектре атома водорода было обнаруже­
но еще несколько серий. В ультрафио­
1 И.Ридберг (1854—1919) —шведский уче­
ный, специалист в области спектроскопии.
392
Все приведенные выше серии в спек­
тре атома водорода могут быть описа­
ны одной формулой, называемой обоб­
щенной формулой Бальмера:
k=
\тг
(209.3)
тг/
где га имеет в каждой данной серии по­
стоянное значение, га = 1,2,3,4,5,6 0оп­
ределяет серию), ппринимает целочис­
ленные значения, начиная с га + 1 ( оп­
ределяет отдельные линии этой серии).
Исследование более сложных спек­
тров —спектров паров щелочных метал­
лов (например, Li, Na, К ) — показало,
что они представляются набором неза­
кономерно расположенных линий. Ридбергу удалось разделить их на три се­
рии, каждая из которых располагается
подобно линиям бальмеровской серии.
Приведенные выше сериальные фор­
мулы подобраны эмпирически и долгое
время не имели теоретического обосно­
вания, хотя и были подтверждены экс­
периментально с очень большой точно­
стью. Приведенный выше вид сериаль­
ных формул, удивительная повторяе­
мость в них целых чисел, универсаль­
ность постоянной Ридберга свидетель­
ствуют о глубоком физическом смысле
найденных закономерностей, вскрыть
Который в рамках классической физи­
ки оказалось невозможным.
§ 210. Постулаты Бора
- П ервая попытка построить каче­
ственно новую — квантовую —теорию
атома была предпринята в 1913 г. дат­
ским физиком Нильсом Бором (1885 —
1962). Он поставил перед собой цель
связать в единое целое эмпирические
^закономерности линейчатых спектров,
ядерную модель атома Резерфорда и
квантовый характер излучения и погло­
щения света. В основу своейтёории Бор
положил два постулата.
Первый п остулат Бора ( посту­
л а т стационарных состояний): в ато­
ме существуют стационарные (не изме­
няющиеся со временем) состояния, в
которых он не излучает энергии; эти со­
стояния характеризуются определенны­
ми дискретными значениями энергии.
Стационарным состояниям атома
соответствуют стационарные орбиты,
по которым движутся электроны. Дви­
жение электронов по стационарным ор­
битам не сопровождается излучением
электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома
электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные кванто­
ванные значения момента импульса,
удовлетворяющие условию
mevrn = nh (п = 1 ,2 ,3 ,...), (210.1)
где т е.—масса электрона; v —его ско­
рость по п-й орбите радиуса г„; К =
Второй постулат Бора (правило
ч астот ); при переходе электрона с од­
ной стационарной орбиты на другую из­
лучается (поглощается) один фотон с
энергией
hv = En- E m>
(210.2)
равной разности энергий соответству­
ющих стационарных состояний [Еп и
Ет — соответственно энергии стацио­
нарных состояний атома до и после из­
лучения (поглощения)].
При Ет < Еппроисходит излучение
фотона (переход атома из состояния с
большей энергией в состояние с мень­
шей энергией, т.е. переход электрона с
более удаленной от ядра орбиты на бо­
лее близлежащую), при Ет > Еп—его
поглощение (переход атома в состояние
с большей энергией, т. е. переход элект­
рона на более удаленную от ядра ор­
биту). Набор возможных дискретных
ТР _ о
частот v = п - ——квантовых перехо­
дов и определяет линейчатый спектр
атома.
§ 211. Опыты Франка и Герца
И зучая методом задерживающего
потенциала столкновения электронов с
атомами газов (1 9 1 3 ), Д. Ф р ан к и
Г. Герц экспериментально доказали дис­
кретность значений энергии атомов.
Принципиальная схема их установ­
ки приведена на рис. 295. Вакуумная
трубка, заполненная парами ртути (дав­
ление приблизительно равно 13 Па), со­
держала катод (К ), две сетки (С х и С2)
и анод (А). Электроны, эмиттируемые
катодом, ускорялись разностью потен­
циалов, приложенной между катодом и
393
сеткой Cv. М ежду сеткой С2 и анодом
приложен небольшой (примерно 0,5 В)
задерживающий потенциал.
Электроны, ускоренные в области 1,
попадают в область 2 между сетками,
где испытывают соударения с атомами
паров ртути. Электроны, которые после
соударений имеют достаточную энер­
гию для преодоления задерживающего
потенциала в области 3, достигают ано­
да. При неупругих соударениях элект­
ронов с атомами ртути последние мо­
гут возбуждаться. Согласно боровской
теории, каждый из атомов ртути может
получить лишь вполне определенную
энергию, переходя при этом в одно из
возбуж денны х состояний. Поэтому
если в атомах действительно существу­
ют стационарные состояния, то элект­
роны, сталкиваясь с атомами ртути,
должны терять энергию дискретно, оп­
ределенными порциями, равными раз­
ности энергий соответствующих стаци­
онарных состояний атома.
Рис. 296 I
0
394
5
10
15 <р, В
Из опыта следует (рис. 296), что при
увеличении ускоряющего потенциала
вплоть до 4,86 В анодный ток возраста­
ет монотонно, его значение проходив
через максимум (4,86 В), затем резко
уменьшается и возрастает вновь. Даль­
нейшие максимумы наблюдаются при'
2-4,86 и 3-4,86 В.
Ближайшим к основному, невозбужИ
денному, состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоян
щее от основного по шкале энергий на
4,86 эВ. Пока разность потенциаловмежду катодом и сеткой меньше 4,86 В,
электроны, встречая на своем пути ато­
мы ртути, испытывают с ними только
упругие соударения.
При eip -- 4,86 эВ энергия электрон^
становится достаточной, чтобы вызвать
неупругий удар, при котором электрон
отдает атому ртути всю кинетическую
энергию, возбуждая переход одного из
электронов атома из нормального энер­
гетического состояния на возбужден­
ный энергетический уровень. Электро­
ны, потерявшие свою кинетическую
энергию, уже не смогут преодолеть тор­
мозящ его поля и достигнуть анода.
Этим и объясняется первое резкое па­
дение анодного тока при eip = 4,86 эВ.
При значениях энергии, кратных 4,86 эВ,
электроны могут испытать с атомами
ртути 2 ,3 ,... неупругих соударения, по­
теряв при этом полностью свою энер­
гию, и не достигнув анода, т.е. должно
наблюдаться резкое падение анодного
тока. Это действительно наблюдается
на опыте (см. рис. 296).
Таким образом, опыты Франка и Гер­
ца показали, что электроны при столк­
новении с атомами ртути передают ато­
мам только определенные порции энер­
гии, причем 4,86 эВ —наименьшая воз­
можная порция энергии (наименьший
квант энергии), которая может быть по­
глощена атомом ртути в основном энер-
получим выражение для радиуса ть-и
стационарной орбиты:
гетическом состоянии. Следовательно,
идея Бора о существовании в атомах ста­
ционарных состояний блестяще выдер­
жала экспериментальную проверку.
Атомы ртути, получившие при соуда­
рении с электронами энергию Д Е, пере­
ходят в возбужденное состояние и дол­
жны возвратиться в основное, излучая
при этом, согласно второму постулату
Бора [см. (210.2)], световой квант с часAF
тотой v = —г—.По известному значению
гп..Ze2
где п= 1 ,2 ,3 ,....
Из выражения (212.1) следует, что
радиусы орбит растут пропорциональ­
но квадратам целых чисел.
. Для атома водорода (Z = 1) радиус
первой орбиты электрона при п= 1, на­
зываемый первым боровским радиу­
сом (о), равен
п
ДЕ= 4,86 эВ можно вычислить длину
волны излучения: X = he 255 нм.
Таким образом, если теория верна,
то атомы ртути, бомбардируемые элек­
тронами с энергией 4,86 эВ, должны яв­
ляться источником ультрафиолетового
излучения с X« 255 нм. Опыт действи­
тельно обнаруживает одну ультрафио­
летовую линию с X« 254 нм. Таким об­
разом, опыты Франка и Герца экспери­
ментально подтвердили не только пер­
вый, но и второй постулат Бора. Эти
опыты имели огромное значение в раз­
витии атомной физики.
К2 - ^ е 0
1 - а = -------- =
тпее
= 0,528 •Ю“10 м = 52,8 пм, (212.2)
что соответствует расчетам на основа- ■
нии кинетической теории газов.
Полная энергия электрона в водоро­
доподобной системе складывается из
_ 2
Т
ТЬV V
его кинетической энергии ( — —) и по­
тенциальной энергии в электростати­
ке2
ческом поле ядра ( —-------):
4тге0г
Е=
§ 212. Спектр атома водорода
по Бору
Постулаты, выдвинутые Бором, по­
зволили рассчитать спектр атома водо­
рода и водородоподобных систем —
систем, состоящих из ядра с зарядом Ze
и одного электрона (например, ионы
Не+, Li2+), а также теоретически вычис­
лить постоянную Ридберга.
Следуя Бору, рассмотрим движение
электрона в водородоподобной системе,
ограничиваясь круговыми стационарны­
ми орбитами. Решая совместно уравне/оло II —-—
mev2 = ------Ze2 г , предложенние (208.1)
г
Щ|рт
ное Резерфордом, и уравнение (210.1),
,
тпл
Ze2
1 Ze2
4ire0r
2 4тге0г
mev2
1 Ze2
[уч ли , ч то - | - = 2 4 ^
m o n l
; CM. ( 2 0 8 . 1 ) ] .
Учитывая квантованные для радиуса
n-й стационарной орбиты значения
(212.1), получим, что энергия электро­
на может принимать только следующие
дозволенные дискретные значения:
1 Z2m ИИ
е * = - Л т п 4 - " = 1,2,3,... , (212.3)
пг 8/г.^ео
где знак « —» означает, что электрон на­
ходится в связанном состоянии.
Из формулы (212.3) следует, что
энергетические состояния атома обра­
зуют последовательность энергетиче­
ских уровней, изменяющихся в зависи395
мости от значения п. Целое число п в
выражении (212.3), определяющее энер­
гетические уровни атома, называется
главным квантовым числом. Энерге­
тическое состояние с п = 1 является
основным (нормальным) состояни­
ем, состояния с п > 1 являются воз­
бужденными. Энергетический уро­
вень, соответствующий основному со­
стоянию атома, называется основным
(нормальным) уровнем; все остальные
уровни являются возбужденными.
Придавая п различные целочислен­
ные значения, получим для атома водо­
рода (Z= 1), согласно формуле (-212.3),
возможные уровни энергии, схемати­
чески представленные, на рис. 297.
/Энергия атома водорода с увеличени­
ем п возрастает и энергетические уров­
ни сближаются к границе, соответству­
ющей значению п = оо. Атом водорода
обладает, таким образом, минимальной
энергией (Е\ = —13,6 эВ) при п = 1 и мак­
симальной (Ego = 0) при п= оо. Следо­
вательно, значение Еж = 0 соответству­
ет ионизации атома (отрыву от него
электрона). Согласно второму постула­
ту Бора [см. (210.2)], при переходе ато­
ма водорода (Z = 1) из стационарного
состояния п в стационарное состояние т
с меньшей энергией испускается квант
hv = En -E m ——
• U - *
8Л2ёо In2
откуда частота излучения
D ягее*
Гдей= 1 Щ Воспользовавшись при вычислении
R современными значениями универ­
сальных постоянных, получим величи­
ну, совпадающую с экспериментальным
значением постоянной Ридберга в эм396
Д эВ
гА
Ц
щ
V
.11
. 11
. 11
ЛГV
к -0,33
Серия
Пашена
Серия ш щ
Брэкета У -0,851
Серия
Бальмера
\ —1,51,
-3,38
-13,6
Серия Лаймана
Рис. 297
лирических формулах для атома водо-|
рода (см. § 209). Это совпадение убеди- j
тельно доказывает правильность полу-1
ченной Бором формулы (212.3) для !
энергетических уровней водородопо-1
добной системы.
Подставляя, например, в формулу )
(212.4) тог= 1 и п = 2,3,4,..., поЛучим
группу линий, образующих серию Лай­
мана (см. § 209) и соответствующих пе­
реходам электронов с возбужденных
уровней (п = 2 ,3 ,4 ,...) на основной
(m = 1). Аналогично, при подстановке
т = 2,3,4,5,6 и соответствующих им
значений п получим серии Бальмера,
Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри
(часть из них схематически представле­
на на рис. 297), описанные в § 209. Сле­
довательно, по теории Бора, количе­
ственно объяснившей спектр атома во­
дорода, спектральные серии соответ­
ствуют излучению, возникающему в
результате перехода атома в данное со­
стояние из возбужденных состояний,
расположенных выше данного.
Спектр поглощения атома водорода
является линейчатым, но содержит при
нормальных условиях только серию
Лаймана Он также объясняется теорией
Бора. Так как свободные атомы водоро­
да обычно находятся в основном состоя­
нии (стационарное состояние с наимень-
шей энергией при п = 1), то при сообще­
нии атомам извне определенной энергии
могут наблюдаться лишь переходы ато­
мов из основного состояния в возбуж­
денные (возникает серия Лаймана).
Теория Бора была крупным шагом
в развитии атомной физики и явилась
важным этапом в создании квантовой
механики. Однако эта теория обладает
внутренними противоречиями (с одной
стороны, применяет законы классичес­
кой физики, а с другой —основывается
на квантовых постулатах).
В теории Бора рассмотрены спект­
ры атома водорода и водородоподобных
систем и вычислены частоты спект­
ральных линий, однако эта теория не
смогла объяснить интенсивности спек­
тральных линий и ответить на вопрос:
почему совершаются те или иные пере­
ходы? Серьезным недостатком теории
Бора была невозможность описания с
ее помощью спектра атома гелия —од­
ного из простейших атомов, непосред­
ственно следующего за атомом водо­
рода.
Контрольные вопросы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Почему ядерная модель атома оказалась несостоятельной?
Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена
серия Бальмера?
Какой смысл имеют числа п и m в обобщенной формуле Бальмера?
Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой гра­
нице серии Брэкета?
Разъясните смысл постулатов Бора. Как с их помощью объясняется линейчатый спектр
атома?
На каких участках кривой рис. 296 наблюдаются упругие и неупругие столкновения
электронов с атомами?
Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Ф ранка и Герца?
Атом водорода находится в состоянии с п = 5. Сколько линий содержит его спектр излу­
чения?
Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые могут возникнуть при
переходе атома водорода из состояний с п = 3 и п = 4 .
Нанесите на шкалу длин волн три линии каждой из первых двух спектральных серий
атома водорода.
Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?
13 6
Покажите, что формулу (212.3) можно записать в виде Е„ = ----- у - , где Епвыражается
в электрон-вольтах.
ЗАДАЧИ
27.1. Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ультрафиолетовой
серии спектра атома водорода (серии Лаймана). [Етвх = 13,2 эВ, Етт = 10,2 эВ)
27.2. Определите длину волны, соответствующую границе серии Бальмера. [364 нм]
27.3. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона,
движущегося по второй орбите атома водорода. [рт =
= 1,8 •10-23 А • м 2]
2т
27.4. Используя теорию Бора, определите изменение орбитального механического мо­
мента электрона при переходе его из возбужденного состояния (п = 2) в основное с испус­
канием фотона с длиной волны X = 1,212 ■10~7 м. [ДЬ = h = 1,05 • 10-34 Дж ■с]
397
27.5. Определите потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В]
27.6. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Е{=§ 13,6 эВ, опреде­
лите второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]
27.7. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Et = 13,6 эВ, опреде­
лите в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии
серии Лаймана. [10,2 эВ]
Г л ава
28
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 2 1 3 . К орпускулярно-волновой
д у а л и зм свойств вещ ества
Французский ученый Луи де Бройль
(1892 —1987), осознавая существую­
щую в природе симметрию и развивая
представления о двойственной корпус­
кулярно-волновой природе света, выд­
винул в 1923 г. гипотезу об универсаль­
ности корпускулярно-волнового дуализ­
ма. Де Бройль утверждал, что не толь­
ко фотоны, но и электроны и любые
другие частицы материи наряду с кор­
пускулярными обладают также волно­
выми свойствами.
Итак, согласно де Бройлю, с каждым
микрообъектом связываются, с одной
стороны, корпускулярные характерис­
тики — энергия Е и импульс р, а с дру­
гой —волновые характеристики —час­
тота v и длина волны X. Количествен­
ные соотношения, связывающие кор­
пускулярные и волновые свойства час­
тиц, такие же, как для фотонов:
Е = Ац
(213.1)
А
Смелость гипотезы де Бройля зак­
лючалась именно в том, что соотноше­
ние (213.1) постулировалось не только
для фотонов, но и для других микроча­
стиц (в частности, электронов). Таким
образом, любой частице, обладающей
398
импульсом, сопоставляют волновой
процесс, длина волны которого опреде­
ляется по формуле де Бройля:
•\ = Д *
Р
(213.2)
Вскоре гипотеза де Бройля была под­
тверждена экспериментально. В 1927 г.
ам ер и кан ски е физики К. Д эвиссон
(1 8 8 1 - 1 9 5 8 ) и Л. Джермер ( 1 8 9 6 1971) обнаружили, что пучок электро­
нов, рассеивающийся от естественной
дифракционной решетки — кристалла
никеля, — дает отчетливую дифрак­
ционную картину. Дифракционные
максимумы соответствовали формуле
Вульфа—Брэггов (182.1), абрэгговская
длина волны оказалась в точности рав­
ной длине волны, вычисленной по фор­
муле (213.2).
В дальнейшем формула де Бройля
была подтверждена опытами П. С.Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших
дифракционную картину при прохож­
дении пучка быстрых электронов (энер­
ги я « 5 0 кэ В ) через металлическую
фолыу (толщиной « 1 мкм).
Так как дифракционная картина ис­
следовалась для потока электронов, то
необходимо было доказать, что волно­
вые свойства присущи не только пото­
ку большой совокупности электронов,
но и каждому электрону в отдельности.
скоростью 1 м/с, соответствует волна
Это удалось экспериментально под­
де Бройля с X = 6,62 ■10~31 м. Т акая дли­
твердить в 1948 г. российскому физику
В. А. Ф абриканту (1907 —1991). Он по­ на волны лежит за пределами доступ­
ной наблюдению области (периодичес­
казал, что даж е в случае столь слабо­
го электронного пучка, когда каждый
ких структур с периодом d « 10-31 м не
сущ ествует). Поэтому считается, что
электрон проходит через прибор неза­
м акроскопи чески е тел а п роявляю т
висимо от других (промежуток време­
только одну сторону своих свойств —
ни между двум я электронами в 10'1раз
корпускулярную и не проявляют вол­
больше времени прохождения электро­
новую.
ном прибора), возникающая при дли­
Представление о двойственной кор­
тельной экспозиции дифракционная
пускулярно-волновой природе частиц
картина не отличается от дифракцион­
вещества углубляется еще тем, что на
ных картин, получаемых при короткой
частицы вещ ества переносится связь
экспозиции для потоков электронов, в
между полной энергией частицы и час­
десятки миллионов раз более интенсив­
тотой:
ных. Следовательно, волновые свой| ства частиц не являю тся свойством их
11 Я
(213.3)
коллектива, а присущи каждой части­
Это
свидетельствует
о
том,
что
соот­
це в отдельности.
ношение между энергией и частотой в
Впоследствии дифракционные я в ­
формуле (213.3) имеет характер универ­
ления обнаружили также для нейтро­
сального соотношения, справедливого
нов, протонов, атомных и молекуляр­
как для фотонов, так и для любых дру­
ных пучков. Это окончательно послу­
гих микрочастиц. Справедливость же
жило доказательством наличия волно­
соотношения (213.3) вытекает из согла­
вых свойств микрочастиц и позволило
сия с опытом тех теоретических резуль­
описывать движение микрочастиц в
татов, которые получены с его помощью
виде волнового процесса, характеризу­
в квантовой механике, атомной и ядер­
ющегося определенной длиной волны,
ной физике.
рассчитываемой по формуле де Брой­
Подтвержденная экспериментально
ля (213.2). Открытие волновых свойств
гипотеза де Бройля о корпускулярно­
микрочастиц привело к появлению и
волновом дуализме свойств вещества
развитию новых методов исследования
коренным образом изменила представ­
структуры веществ, таких, как электро­
ления о свойствах микрообъектов. Всем
нография и нейтронография (см. § 182),
микрообъектам присущи как корпуску­
а также к возникновению новой отрас­
лярные, так и волновые свойства; в то
ли науки — электронной оптики (см.
же время любую из микрочастиц нельзя
1 169).
считать ни частицей, ни волной в клас­
Экспериментальное доказательство
сическом понимании. Современная
наличия волновых свойств микрочас­
трактовка корпускулярно-волнового
тиц привело к выводу, что перед нами
дуализма может быть выражена слова­
универсальное явление — общее свой­
ми академика В. А. Ф ока (1898 —1974):
ство материи. Но тогда волновые свой­
«М ож но сказать, что д л я атомного
ства должны быть присущи и макроско­
объекта существует потенциальная воз­
пическим телам. Почему же они не об­
можность проявлять себя, в зависимо­
наружены экспериментально? Напри­
сти от внешних условий, либо как волмер, частице массой 1 г, движущейся со
399
на, либо как частица, либо промежу­
точным образом. Именно в этой по­
тенциальной возможности различных
проявлений свойств, присущих микро­
объекту, и состоит дуализм «волн а—
частица». Всякое иное, более букваль­
ное, понимание этого дуализма в виде
какой-нибудь модели неправильно.»
(в сб.: Философские вопросы совре­
менной физики. — М .: И зд-во АН
СССР, 1959).
§ 214. Некоторые свойства
волн де Бройля
Рассмотрим свободно движущуюся
со скоростью и частицу массой т . Вы­
числим для нее фазовую и групповую
скорости волн де Бройля. Ф азовая ско­
рость, согласно (154.8),
ш
«фаз = f
к
Йш
пк
Е т с 2 с2 /о-i/ л\
— = ----- = — (214.1)
р
mv
v
(Е = hu и р = Нк, где к = ^ — волно-
X
вое число). Так как с > v, то фазовая
скорость волн де Бройля
> с (это
возможно, так как ифаз не характеризу­
ет ни скорости «сигнала», ни скорости
перемещения энергии).
Групповая скорость, согласно (155.1),
U
_ (1щ _ d(fiu) _ dE
d к d (hk)
dp
Д л я свободной частицы
= yjm2c* + p2c2 [ c m . (40.6)] и
ТИСС2
Е
тс1
= —— = — —= с, т.е. равна скорости?
самого фотона.
Волны де Бройля испытывают дис- i
Персию (см. § 154). Действительно, под* I
'
яШ
ставив в выражение (214.1)
= —|
1
—
.....
Р
V
ш2с4 + р2с2 , уви д и м ,!
что скорость волн де Бройля зависит от
длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в раз'*
витии положений квантовой механики. ■
После установления корпускуляр­
но-волнового дуализма делались по- i
пытки связать корпускулярные свой-ij
ства частиц с волновыми и рассматри­
вать частицы как «узкие» волновые п а-;
кеты (см. § 155), «составленные» из
волн де Бройля. Это позволяло как бы
отойти от двойственности свойств час­
тиц. Такая гипотеза соответствовала ло­
кализации частицы в данный момент
времени в определенной ограниченной
области пространства. Аргументом в
пользу этой гипотезы являлось и то, что
скорость распространения центра паке­
та (групповая скорость) оказалась, как
показано выше, равной скорости части­
цы. Однако подобное представление
частицы в виде волнового пакета (груп­
пы волн де Бройля) оказалось несосто­
ятельны м из-за сильной дисперсии
волн де Бройля, приводящей к «быст­
рому расплыванию» (примерно 10-26с1)
волнового пакета или даже разделению
его на несколько пакетов.
E—
dE _
pc2
_ pc2 _ mvc2 _ v
dp yjm2c4>+ p2c2
E | me2
[учли выражения (39.3) и (40.3)]. Та­
ким образом, групповая скорость волн
де Бройля равна скорости частицы.
400
Групповая скорость фотона и * »
DC2
§ 215. Соотношение
неопределенностей
Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц веще­
ства, для описании микрочастиц ис­
пользуются то волновые, то корпуску-
лярные представления. Поэтому при­
импульса (px,p y ,p z), причем неопреде­
писывать им все свойства частиц и все
ленности этих величин удовлетворяют
свойства волн нельзя. Естественно, что
условиям
необходимо внести некоторые ограни­
AxApx^h\ АуАру^ h\AzApz^ h, (215.1)
чения в применении к объектам м ик­
т.е.
произведение неопределенностей
ромира понятий классической м еха­
координаты и соответствующей ей про­
ники.
екции импульса не может быть меньше
В классической механике всякая ча­
величины порядка h.
стица дви ж ется по определенной тра­
Из соотношения неопределенностей
ектории, так что в любой момент вре­
(215.1) следует, что, например, если ми­
мени точно фиксированы ее координа­
крочастица находится в состоянии с точ­
та и импульс. М икрочастицы из-за на­
ным значением координаты (А х = 0),
личия у них волновых свойств сущ е­
то в этом состоянии соответствующая
ственно отличаю тся от классических
проекция ее импульса оказы вается со­
частиц.
вершенно неопределенной (Арх —* оо),
Одно из основных различий заклю ­
и наоборот. Таким образом, для микро­
чается в том, что нельзя говорить о дви­
частицы не существует состояний, в
жении микрочастицы по определенной
которых ее координаты и импульс име­
траектории и неправомерно говорить об
ли бы одновременно точные значения.
одновременных точных значениях ее
Отсюда вытекает и фактическая невоз­
координаты и импульса. Это следует из
можность одновременно с любой напе­
корпускулярно-волнового дуали зм а.
ред заданной точностью измерить коор­
Так, понятие «длина волны в данной
динату и импульс микрообъекта.
точке» лишено физического смысла, а
поскольку импульс выраж ается через
Поясним, что соотношение неопреде­
длину волны [см. (2 1 3 .1 )], то отсюда
ленностей действительно вытекает из вол­
следует, что микрочастица с определен­
новых свойств микрочастиц. Пусть поток
электронов проходит через узкую щель ши­
ным импульсом имеет полностью нео­
риной Дж, расположенную перпендикуляр­
пределенную координату. И наоборот,
но направлению их движения (рис. 298).
если микрочастица находится в состо­
Так
как электроны обладают волновыми
янии с точным значением координаты,
свойствами, то при их прохождении через
то ее импульс явл яется полностью нео­
щель, размер которой сравним с длиной
пределенным.
волны де Бройля X электрона, наблюдает­
В.
Гейзенберг, уч и ты вая волновые ся дифракция. Дифракционная картина,
свойства микрочастиц и связанные с
волновыми свойствами ограничения в
их поведении, пришел в 1927 г. к выво­
ду, что объект микромира невозможно
одновременно с любой наперед задан­
ной точностью характеризовать и коор­
динатой, и импульсом. Согласно соот­
ношению неопределенностей Гейзен­
берга, микрочастица (микрообъект) не
может иметь одновременно и опреде­
ленную координату ( x,y,z ), и опреде­
ленную соответствую щ ую проекцию
401
наблюдаемая на экране (Э), характеризу­
ется главным максимумом, расположен­
ным симметрично оси у, и побочными мак­
симумами по обе стороны от главного (их
не рассматриваем, так как основная доля
интенсивности приходится на главный
максимум).
До прохождения через щель электроны
двигались вдоль оси у, поэтому составляю­
щая импульса рх= 0, так что Д рх = 0, а ко­
ордината х частицы является совершенно
неопределенной. В момент прохождения
электронов через щель их положение в на­
правлении оси х определяется с точностью
до ширины щели, т.е. с точностью Ах В этот
же момент вследствие дифракции электро­
ны отклоняются от первоначального на­
правления и будут двигаться в пределах
угла 2ф (ф —угол, соответствующий перво­
му дифракционному минимуму). Следова­
тельно, появляется неопределенность в зна­
чении составляющей импульса вдоль оси х,
которая, как следует из рис. 298 и формулы
(213.1), равна
Арх —psinip = —sintp.
(215.2)
Для простоты ограничимся рассмотре­
нием только тех электронов, которые попа­
дают на экран в пределах главного макси­
мума. Из теории дифракции (см. § 179) из­
вестно, что первый минимум соответствует
углу ф, удовлетворяющему условию
Дя$тф = Х,
(215.3)
где Ах — ширина щели; X —длина волны
де Бройля.
Из формул (215.2) и (215.3) получим
Ах Арх= h,
где учтено, что для некоторой, хотя и незна­
чительной, части электронов, попадающих
за пределы главного максимума, величина
Арх ^ рвшф. Следовательно, получаем вы­
ражение
. АхАрх ^ Л,
т.е. соотношение неопределенностей (215.1).
Невозможность одновременно точ­
но определить координату и соответ­
ствующую проекцию импульса не свя­
402
зана с несовершенством методов изме­
рения или измерительных приборов, а
является следствием специфики мик­
рообъектов, отражающей особенности
их объективных свойств, а именно двой­
ственной корпускулярно-волновой при­
роды.
Соотношение неопределенностей
получено при одновременном исполь­
зовании классических характеристик
движения частицы (координаты, им­
п ул ьс а) и н аличия у нее волновы х
свойств. Т ак как в классической меха­
нике принимается, что измерение коор­
динаты и импульса может быть произ­
ведено с любой точностью, то соотно­
шение неопределенностей является, та­
ким образом, квантовым ограничением
применимости классической механики к
микрообъектам.
Соотношение неопределенностей,
отражая специфику физики микрочас­
тиц, позволяет оценить, например, в
какой мере можно применять понятия
классической механики к микрочасти­
цам, в частности, с какой степенью точ­
ности можно говорить о траекториях
микрочастиц. Известно, что движение
по траектории характеризуется в любой
момент времени определенными зна­
чениями координат и скорости. Выра­
зим соотношение неопределенностей
(215.1) в виде
Д хД ^А
т
(215.4)
Из этого выражения следует, что чем
больше масса частицы, тем меньше нео­
пределенности ее координаты и скоро­
сти и, следовательно, с тем большей
точностью можно применять к этой
частице понятие траектории. Так, на­
пример, уж е для пылинки массой 10~12
кг и линейными размерами 10-6 м, ко­
ордината которой определена с точно­
стью до 0,01 ее размеров (Д х = 10~8 м),
неопределенность скорости, по (215.4),
м/с = 6,63-10-» м/с,
т.е. не будет сказываться при всех ско­
ростях, с которыми пылинка может
двигаться.
Таким образом, для макроскопичес­
ких тел их волновые свойства не игра­
ют никакой роли; координата и ско­
рость макротел могут быть одновремен­
но измерены достаточно точно. Это оз­
начает, что для описания движения
макротел с абсолютной достоверностью
можно пользоваться законами класси­
ческой механики.
Предположим, пучок электронов
движется вдоль оси х со скоростью v =
—108 м/с, определяемой с точностью до
0,01 %(Avsta 104 м/с). Какова точность
определения координаты электрона?
По формуле (215.4),
Ах =
h
mAvs
6,63-10~34
9,11 -10“31-104
= 7,27 •10_6 м,
т.е. положение электрона может быть
определено с точностью до тысячных
долей миллиметра. Такая точность до­
статочна, чтобы можно было говорить
о движении электронов по определен­
ной траектории, иными словами, опи­
сывать их движение законами класси­
ческой механики.
Применим соотношение неопреде­
ленностей к электрону, движущемуся в
атоме водорода. Допустим, что неопре­
деленность координаты электрона Ах «
« Ю-10 м (порядка размеров самого ато­
ма, т. е. можно считать, что электрон при­
надлежит данному атому). Тогда, со-
Л
ш яи
гласно (215.4), Av. Ж----- 2------------—=
4
'
х 9,1110-3110-10
= 7,28 •106 м/с. Используя законы клас­
сической физики, можно показать, что
при движении электрона вокруг ядра по
круговой орбите радиуса « 0 ,5 -Ю-10 м
его скорость v и 2,3 •106 м/с. Таким об­
разом, неопределенность скорости со­
измерима со скоростью. Очевидно, что
в данном случае нельзя говорить о дви­
жении электрона в атоме по определен­
ной траектории, иными словами, для
описания движения электрона в атоме
нельзя пользоваться законами класси­
ческой физики.
В квантовой теории рассматривает­
ся также соотношение неопределенно­
стей для энергии и времени:
(215.5)
Подчеркнем, что АЕ —неопределен­
ность энергии некоторого состояния
системы, At —промежуток времени, в
течение которого оцо существует. Сле­
довательно, система, имеющая среднее
время жизни At, не может быть охарак­
теризована определенным значением
энергии; разброс энергии АЕ =
воз­
растает с уменьшением среднего време­
ни жизни.
Из выражения (215.5) следует, что
частота излученного фотона также долл =—
ДЯ
жна иметь неопределенность Av
—,
h
т. е. линии спектра должны характерио
, АЕ
зо ваться частотой, равной v ± ——.
п
Опыт подтверждает, что все спектраль­
ные линии размыты; измеряя ширину
спектральной линии, можно оценить
порядок времени существования атома
в возбужденном состоянии.
§ 216. Волновая функция
и ее статистический смысл
Экспериментальное подтверждение1
идеи де Бройля об универсальности
корпускулярно-волнового дуализма,
403
ограниченность применения классиче­
ской механики к микрообъектам, дик­
туемая соотношением неопределенно­
стей, а также противоречие целого ряда
экспериментов с применяемыми в на­
чале XX в. теориями привели к новому
этапу развития квантовой теории —со­
зданию квантовой механики, описы­
вающей законы движения и взаимодей­
ствия микрочастиц с учетом их волно­
вых свойств. Ее создание и развитие
охватывает период с 1900 г. (формули­
ровка Планком квантовой гипотезы; см.
§ 200) до 20-х годов XX в.; оно связано
прежде всего с работами австрийского
физика Э. Шредингера (1887 —1961),
немецкого физика В. Гейзенберга и ан­
глийского физика П. Дирака (1902 —
1984).
При становлении квантовой механи­
ки возникли принципиальные трудно­
сти, в частности проблема физической
природы волн де Бройля. Д ля выясне­
ния этой проблемы сравним дифрак­
цию световых волн и микрочастиц. Диф­
ракционная картина, наблюдаемая для
световых волн, характеризуется тем,
что в результате наложения дифраги­
рующих волн друг на друга в различ­
ных точках пространства происходит
усиление или ослабление амплитуды
колебаний. Согласно волновым пред­
ставлениям о природе света, интенсив­
ность дифракционной картины пропор­
циональна квадрату амплитуды свето­
вой волны. По представлениям фотон­
ной теории, интенсивность определяет­
ся числом фотонов, попадающих в дан­
ную точку дифракционной картины.
Следовательно, число фотонов в дан­
ной точке дифракционной картины за­
дается квадратом амплитуды световой
волны, в то время как для Одного фото­
на квадрат амплитуды определяет веро­
ятность попадания фотона в ту или
иную точку.
404
Дифракционная картина, наблюдав
емая для микрочастиц, также характе-;
ризуется неодинаковым распределени­
ем потоков микрочастиц, рассеянных
или отраженных по различным направ­
лениям, — в одних направлениях на­
блюдается большее число частиц, чем
в других.
Наличие максимумов в дифракци­
онной картине с точки зрения волновой
теории означает, что эти направления
соответствуют наибольшей интенсив--*
ности волн де Бройля. С другой сторо­
ны, интенсивность волн де Бройля ока­
зывается больше там, где имеется боль­
шее число частиц, т.е. интенсивность
волн де Бройля в данной точке про­
странства определяет число частиц, по­
павших в эту точку. Таким образом,
дифракционная картина для микроча­
стиц является проявлением статисти­
ческой (вероятностной) закономерно­
сти, согласно которой частицы попада­
ют в те места, где интенсивность волн
де Бройля наибольшая.
Н еобходимость вероятностного
подхода к описаниюмикрочастиц явл я­
ется важнейшей отличительной особен­
ностью квантовой теории. Можно ли
волны де Бройля истолковывать как
волны вероятности, т. е. считать, что ве­
роятность обнаружить микрочастицу в
различных точках пространства меня­
ется по волновому закону? Т&кое тол­
кование волн де Бройля уже неверно
хотя бы потому, что тогда вероятность
обнаружить частицу в некоторых точ­
ках пространства может быть отрица­
тельна, что не имеет смысла.
Чтобы устранить эти трудности, не­
мецкий физик М. Борн (1882 —1970)
в 1926 г. предположил, что по волново­
м у закону меняется не сама вероят­
ность, а величина, названная ампли­
тудой вероятности и обозначаемая
Щх, у, z, t). Эту величину называют так-
же волновой функцией (или Ф-фун­
кцией). Амплитуда вероятности мо­
жет быть комплексной, и вероятность
W пропорциональна квадрату ее мо­
дуля:
W^\^(x,y,z,t)\2
(216.1)
(|Ф|2 = ФФ*, Ф* —функция, комплексно
сопряженная с Ф). Таким образом, опи­
сание состояния микрообъекта с помо­
щью волновой функции имеет с т а т и ­
стический, вероятностный харак­
тер : квадрат модуля волновой функ­
ции (квадрат модуля амплитуды волн
де Бройля) определяет вероятность на­
хождения частицы в момент времени t
в области с координатами геи x+dx, у и
у + dу, z и z+ dz.
Итак, в квантовой механике состоя­
ние микрочастиц описывается принци­
пиально по-новому —с помощью волно­
вой функции, которая является основ­
ным носителем информации об их кор­
пускулярных и волновых свойствах.
Вероятность нахождения частицы в
элементе объемом dF равна
d W = |Ф(ЧК
(216.2)
Величина (квадрат модуля Ф-функции)
И
1 1
р
dV
имеет смысл плотности вероятнос­
ти , т.е. определяет вероятность нахож­
дения частицы в окрестности точки с
координатами х, у, z. Таким образом,
физический смысл имеет не сама Ффункция, а квадрат ее модуля |Ф|2, ко­
торым задается интенсивность волн де
Бройля.
Так как |Ф|МУ определяется как веро­
ятность, то необходимо волновую фун­
кцию Ф нормировать так, чтобы веро­
ятность достоверного события обраща­
лась в единицу, если за объем Vпринять
бесконечный объем всего пространства.
Это означает, что при данном условии
частица должна находиться где-то в
пространстве. Следовательно, условие
нормировки вероятностей
+00
J |Ф|Ч7=1,
(216.3)
—
00
где данный интеграл вычисляется по
всему бесконечному пространству, т. е.
по координатам х, у, z от —оо до +оо.
Таким образом, условие (216.3) говорит
об объективном существовании части­
цы в пространстве.
Чтобы волновая функция являлась
объективной характеристикой состоя­
ния микрочастиц, она должна удовлет­
ворять ряду ограничительных условий.
Функция Ф, характеризующая вероят­
ность обнаружения действия микроча­
стицы в элементе объема, должна быть
конечной (вероятность не может быть
больше единицы), однозначной (вероят­
ность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероят­
ность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет
принципу суперпозиции: если система
может находиться в различных состоя­
ниях, описываемых волновыми функ­
циями Фх, Ф2...... Ф„, ..., то она также
может находиться в состоянии Ф, опи­
сываемом линейной комбинацией этих
функций:
Вероятность найти частицу в момент
времени t в конечном объеме V, согласно
теореме сложения вероятностей, равна
п
W = J d W = J |Ф|Ч7.
v
v
где Сп (п = 1, 2, ...) — произвольные,
вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд
405
вероятностей), а не вероятностей (оп­
ределяемых квадратами модулей вол­
новых функций) принципиально отли­
чает квантовую теорию от классической
статистической теории, в которой для
независимых событий справедлива т е ­
орема сложения вероятностей.
Волновая функция Ф, явл яясь ос­
новной характеристикой состояния
микрообъектов, позволяет в квантовой
механике вычислять средние значения
физических величин, характеризующих
данный микрообъект. Например, сред­
нее расстояние (г) электрона от ядра
определяют по формуле
(г) =
J г|Ф|2а у ,
где интегрирование производится, как
и в случае (216.3):
§ 217. Общее уравнение
Шредингера.
Уравнение Шредингера
для стационарных состояний
Из статистического толкования волн
де Бройля (см .§2 1 6 )и соотношения не­
определенностей Гейзенберга (см. § 215)
следовало, что уравнением движения
в квантовой механике, описывающим
движение микрочастиц в различных
силовых полях, должно быть уравне­
ние, из которого бы вытекали наблю­
даемые на опыте волновые свойства
частиц.
Основное уравнение должно быть
уравнением.относительно волновой
функции Ф(х, у, z, t), так как именно она,
или, точнее, величина |Ф|2, определяет
вероятность пребывания частицы в мо­
мент времени t в объеме dV, т. е. в обла­
сти с координатами хи х + drc, у и у + dy,
406
z и z+dz. Так как искомое уравнение
должно учитывать волновые свойства
частиц, то оно должно быть волновым
уравнением, подобно уравнению, опи'сывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивист­
ской квантовой механики сформулиро­
вано в 1926 г. Э. Шредингером. Урав­
нение Шредингера, как и все основные
уравнения физики (например, уравне­
ния Ньютона в классической механике
и уравнения М аксвелла для электро­
магнитного поля), не выводится, а по­
стулируется. Правильность этого урав­
нения подтверждается согласием с опы­
том получаемых с его помощью резуль­
татов, что, в свою очередь, придает ему
характер закона природы. Уравнение
Шредингера имеет вид
- | ^ Д * + С Г ( з д г ,4 ) * = ж | р ( 2 1 7 .1 )
где К = — ] т — масса частицы; Д —
оператор Лапласа ( ДФ =
йИ
щ
щ
+
+ — j ) ; i —мнимая единица, U(x, у, z, t) —
потенциальная функция частицы в си­
ловом поле,т в котором она движется;
Ф(ж, у, z, || —искомая волновая функция
частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для
любой частицы (со спином, равным 0;
см. § 225), движущ ейся с малой (по
сравнению со скоростью света) скоро­
стью, т.е. со скоростью v «С с. Оно до­
полняется условиями, накладываемы­
ми на волновую функцию: 1) волновая
функция должна быть конечной, одно­
значной и непрерывной (си . § 216);
оч производные -г—,
с?Ф -г—
0Ф , —
5Ф
2)
—#Ф долж-
дх ду dz Wdt
ны быть непрерывны; 3) фмнкция |Ф|2
должна быть интегрируем^ это усло­
вие в простейших случаях сводится к
условию нормировки вероятностей
(216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера,
рассмотрим свободно движущуюся частицу,
которой, согласно идее де Бройля, сопостав­
ляется плоская волна. Для простоты рассмот­
рим одномерный случай. Уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль оси х,
имеет вид (см. § 154) £,(х, t) = A cos (wt —кх),
или в комплексной записи £(я, t) = А
Следовательно, плоская волна де Бройля
имеет вид
(217.2)
Ф = АеЛ^ - рх)
Е
(учтено, что и = — ,к = —). В квантовой
п
п
механике показатель экспоненты берут со
зн ако м « —», но п оскольку физический
смысл имеет только |Ф|2, то это несуществен­
но. Тогда
откуда
i Ф dt
Ф
dt
(217.3)
, 2 = - l f c 2^
Ф " дх2 '
Используя взаимосвязь между энерги­
ям2
ей Е и импульсом р(Е — ) и подставляя
2т
выражения (217.3), получим дифференци­
альное уравнение
_ Ц д?Ф _
2 т дх 2
dt ’
которое совпадает с уравнением (217.1) для
случая U= 0 (мы рассматривали свободную
частицу).
Если частица движется в силовом поле,
характеризуемом потенциальной энерги­
ей U, то полная энергия Е складывается из
кинетической и потенциальной энергий.
Проводя аналогичные рассуждения и ис­
пользуя взаимосвязь между Е и р (для дан-
Приведенные рассуждения не долж­
ны восприниматься как вывод уравне­
ния Шредингера. Они лишь поясняют,
как можно прийти к этому уравнению.
Доказательством правильности уравне­
ния Шредингера является согласие с
опытом тех выводов, к которым оно
приводит.
Уравнение (217.1) является общим
уравнением Шредингера. Его также
называют уравнением Шредингера,
зависящим о т времени. Для многих
физических явлений, происходящих в
микромире, уравнение (217.1) можно
упростить, исключив зависимость Ф от
времени, иными словами, найти урав­
нение Шредингера для стационарных
состояний — состояний с фиксирован­
ными значениями энергии. Это возмож­
но, если силовое поле, в котором час­
тица движется, стационарно, т. е. функ­
ция U= U(x, у, z) не зависит явно от вре­
мени и имеет смысл потенциальной
энергии.
В данном случае решение уравнения
Шредингера может быть представлено
в виде произведения двух функций,
одна из которых есть функция только
координат, другая — только времени,
причем зависимость от времени выражаiщ
ется множителем е_“ ‘ = е й , так что
l§LEt
^(x,y,z,t) = ^(x,y,z)e * , (217.4)
где Е —полная энергия частицы, посто­
янная в случае стационарного поля.
Подставляя (217.4) в (217.1), получим
—— е - лй Д<ф + [/фе~£а =
2т
= i h l —■^■Е'|'фе
V2
ного случая
= Е —U), придем к диффе2т
ренциальному уравнению, совпадающему с
(217.1).
откуда после деления на общий множиии!
тель е h и соответствующих преобра407
зований придем к уравнению, опреде­
ляющему функцию ф:
Д-ф + | ^ ( Е - а д = 0. (217.5)
Уравнение (217.5) называется у р а в ­
нением Шредингера для стационар­
ных состояний. В это уравнение в ка­
честве параметра входит полная энер­
гия Е частицы. В теории дифференци­
альных уравнений доказывается, что
подобные уравнения имеют бесчислен­
ное множество решений, из которых по­
средством наложения граничных усло­
вий отбирают решения, имеющие фи­
зический смысл.
Д ля уравнения Шредингера такими
условиями являю тся условия регуляр­
ности волновых функций', волновые
функции должны быть конечными, од­
нозначными и непрерывными вместе со
своими первыми производными.
Таким образом, реальный физичес­
кий смысл имеют только такие реше­
ния, которые выражаются регулярны­
ми функциями гр. Но регулярные реше­
ния имеют место не при любых значе­
ниях параметра Е, а лишь при опреде­
ленном их наборе, характерном для дан­
ной задачи. Эти значения энергии на­
зываются собственными. Решения же,
которые соответствуют собственным
значениям энергии, называются соб­
ственными функциями. Собственные
значения С м огут образовывать как не­
прерывный, так и дискретный ряд. В пер­
вом случае говорят о непрерывном, или
сплошном, спектре, во втором —о дис­
кретном спектре.
§ 218. Принцип причинности
в квантовой механике
Из соотношения неопределенностей
часто делают вывод о неприменимости
408
принципа причинности к явлениям,
происходящим в микромире. При этом
основываются на следующих соображё-|
ниях. В классической механике, соглас- i
но принципу причинности — принци­
пу классического детерминизма, по
известному состоянию системы в неко-j
торый момент времени (полностью оп­
ределяется значениями координат и
импульсов всех частиц системы) и си-.'
лам, приложенным к ней, можно абсо-.,
лютно точно задать ее состояние в лю­
бой последующий момент. Следова^
тельно, классическая физика основыва­
ется на следующем понимании причин­
ности: состояние механической ристе|
мы в начальный момент времени с из­
вестным законом взаимодействия час­
тиц есть причина, а ее состояние в пос­
ледующий момент —следствие.
С другой стороны, микрообъекты не
могут иметь одновременно и опреде­
ленную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса
[задаются соотношением неопределен­
ностей (215.1)], поэтому и делается вы­
вод о том, что в начальный момент вре­
мени состояние системы точно не оп­
ределяется. Если же состояние системы
не определенно в начальный момент
времени, то не могут быть предсказаны
и последующие состояния, т. е. наруша­
ется принцип причинности.
Однако никакого нарушения прин­
ципа причинности применительно к
микрообъектам не наблюдается, по­
скольку в квантовой механике понятие
состояния микрообъекта приобретает
совершенно иной смысл, чем в класси­
ческой механике. В квантовой меха­
нике состояние микрообъекта полнос­
тью определяется волновой функцией
Ф(x,y,z,t), квадрат м одуля которой
|Ф(ж, у, z, t)|J задает плотность вероятно­
сти нахождения частицы в точке с ко­
ординатами х, у, z.
В свою очередь, волновая функция
Ф(ж, y,z,t) удовлетворяет уравнению
Шредингера (217.1), содержащему пер­
вую производную функции Ф по време­
ни. Это же означает, что задание функ­
ции Ф0 (для момента времени t0) опре­
деляет ее значение в последующие мо­
менты. Следовательно, в квантовой ме­
ханике начальное состояние Ф0 есть
причина, а состояние Ф в последующий
момент — следствие. Это и есть форма
принципа причинности в квантовой
механике, т.е. задание функции Ф0 пре­
допределяет ее значения для любых
последующих моментов. Таким обра­
зом, состояние системы микрочастиц,
определенное в квантовой механике,
однозначно вытекает из предшествую­
щего состояния, как того требует прин­
цип причинности.
§ 219. Движение
свободной частицы
Свободная частица —частица, дви­
жущ аяся в отсутствие внешних полей.
Так как на свободную частицу (пусть
она движется вдоль оси х) силы не дей­
ствуют, то потенциальная энергия час­
тицы U(x) = const и ее можно принять
равной нулю. Тогда полная энергия ча­
стицы совпадает с ее кинетической
энергией. В таком случае уравнение
Шредингера (217.5) для стационарных
состояний примет вид
+
= 0-
Ф у н к ц и я 'ф(аг) = Aeila = Ае* 2тЕх
представляет собой только координат­
ную часть волновой функции Ф(х, £).
Поэтому зависящ ая от времени волно­
вая функция, согласно (217.4),
Ф(ж,<) = Ае~ы+^ = Ае~ь(Ш
~РхХ) (219.3)
(зд ес ь ш= -г-и к = j r ) . Ф у н к ц и я
(219.3) представляет собой плоскую
монохроматическую волну де Бройля
[см. (217.2)].
Из выражения (219.2) следует, что
зависимость энергии от импульса
Е _ i l l _ р1
2т
2т
оказывается обычной для нерелятиви­
стских частиц. Следовательно, энергия
свободной частицы может принимать
любые значения (так как волновое чис­
ло к может принимать любые положи­
тельные значения), т. е. энергетический
спектр свободной частицы является
непрерывным.
Таким образом, свободная квантовая
частица описывается плоской монохро­
матической волной де Бройля. Этому
соответствует не зависящая от време­
ни плотность вероятности обнаружения
частицы в данной точке пространства
|ф|2 = фф*= \А\2,
т. е. все положения свободной частицы
в пространстве являю тся равновероят­
ными.
(219.1)
Прямой подстановкой можно убе­
диться в том, что частным решением
уравнения (219.1) является функция
■ф(ж) = Ае***, где А = const и к —const,
с собственным значением энергии
§ 220. Частица в одномерной
прямоугольной «потенциальной
яме» с бесконечно высокими
«стенками»
I f —
Проведем качественный анализ ре­
шений уравнения Шредингера приме-
2т
.
(219.2)
4
7
409
Рис. 299
д 2,ф
дх2
U - оо
17— О
+ к 2:ф = 0,
где
117—»оо
к2 = 2тЕ
П2
нительно к частице в одномерной пря­
моугольной «потенциальной я м е » с
бесконечно высокими «стенками». Та­
кая «ям а» описывается потенциальной
энергией вида (для простоты принима­
ем, что частица движется вдоль оси х)
оо, х < О,
ОО, X > I,
где I—ширина «ям ы », а энергия отсчи­
тывается от ее дна (рис. 299).
Уравнение Шредингера (217.5) для
стационарных состояний в случае одно­
мерной задачи запишется в виде
|^| + | £ ( Я - а д = 0. (220.1)
По условию задачи (бесконечно вы ­
сокие «стенки »), частица не проникает
за пределы «ям ы », поэтому вероятность
ее обнаружения (а следовательно, и вол­
новая ф ункция) за пределами «ям ы »
равна нулю. На границах «ям ы » (при
1 = 0 и 1 = I) непрерывная волновая
функция такж е должна обращаться в
нуль. Следовательно, граничные усло­
вия в данном случае имеют вид
(220.2)
В пределах «ям ы » (0 §1 х ^ /) урав­
нение Ш редингера (220.1) сведется к
уравнению
или
410
(220.4)
Общее решение дифференциально­
го уравнения (220.3):
•ф(х) = Л sin Аж+ Bcoskx.
Т ак как по (220.2) ”ф(0) = 0, то В = 0.
Тогда
*ф(х) = A sin кх.
(220.5)
Условие (220.2) -ф(/) = A sin kl = О
выполняется только при kl = mt, где п —
целые числа, т. е. необходимо, чтобы
U(x) = О, 0 ^ х ^ /,
■ф(О) В ! | j j 0.
(220.3)
к = пй
I
(220.6)
Из выражений (220.4) и (220.6) сле­
дует, что
Еп=п* Ш (’> = i ’ 2. 3. - ) '< 22° j )
т. е. стационарное уравнение Шредин­
гера, описывающее движение частицы
в «потенциальной ям е» с бесконечно
высокими «стенками», удовлетворяет­
ся только при собственных значени­
ях Еп, зависящ их от целого числа п.
Следовательно, энергия Еп частицы в
«потенциальной ям е» с бесконечно вы ­
сокими «стенкам и » принимает лишь
определенные дискретные значения, т. е.
квантуется.
Квантованные значения энергии Еп
называются уровнями энергии, а чис­
ло п, определяющ ее энергетические
уровни частицы, называется главным
квантовым числом. Таким образом,
микрочастица в «потенциальной ям е»
с бесконечно высокими «стен кам и »
может находиться только на определен­
ном энергетическом уровне Ет или, как
говорят, частица находится в квантовом
состоянии п.
П одставив в (2 2 0 .5 ) значение к из
(220.6), найдем собственные функции:
*ф„(х) = A sin
х.
Постоянную интегрирования А най­
дем из усл о ви я нормировки (2 16 .3),
которое дл я данного случая запишется
в виде
Рис. 300
А2 Г sin2 — х&х = 1.
о
1
В результате интегрирования полу­
чим А —J ^ , а собственные функции
будут иметь вид
sin — х (п = 1,2,3 ,...). (220.8)
■Ф
»(x)=yjfsi
Граф ики со б ствен н ы х ф ункций
(2 2 0 .8 ), со о тветствую щ и е ур о вн ям
энергии (220.7) при п = 1,2,3, приведе­
ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра­
жена плотность вероятности обнаруже­
ния частицы на различных расстояни­
ях от «стенок» ям ы , равная |ij)n(x)|2 =
= 'фп(а:)'ФЛа:) для п = 1,2 и 3. Из рисун­
ка следует, что, например, в квантовом
состоянии с п = 2 частица не может на­
ходиться в середине «ям ы », в то время
как одинаково часто может пребывать
в ее левой и правой частях. Такое пове­
дение частицы у к а зы в а е т на то, что
представления о траекториях частицы
в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что
энергетический интервал между двум я
соседними уровнями равен
АЕп = Еп+1 - Еп =
тх2П2
(2 п +1)
2ml2
ту2Я2
ml2
(220.9)
Например, дл я электрона при раз­
мерах ям ы I = 10-1 м (свободные элек-
троны в металле) АЕп « 10~35п Д ж «
« 10~16пэВ, т. е. энергетические уровни
расположены столь тесно, что спектр
практически можно считать непрерыв­
ным. Если же размеры ям ы соизмери­
мы с атомными (I « Ю-10 м ), то дл я
электрона АЕп « 10-17п Д ж « 102п эВ,
т.е. получаются явно дискретные зна­
чения энергии (линейчатый спектр).
Таким образом, применение уравне­
ния Шредингера к частице в «потенци­
альной я м е » с бесконечно высокими
«стенками» приводит к квантованным
значениям энергии, в то время как клас­
сическая механика на энергию этой ча­
стицы никаких ограничений не накла­
дывает.
Кроме того, квантово-механическое
рассмотрение данной задачи приводит
к выводу, что частица «в потенциаль­
ной ям е» с бесконечно высокими «стен­
ками» не может иметь энергию меньше
минимальной, равной
тх2Н2
[см. (220.7)].
Наличие отличной от н уля мини­
мальной энергии не случайно и выте­
кает из соотношения неопределеннос­
тей. Неопределенность координаты Ах
частицы в «ям е» шириной /равна Ах= I.
Тогда, согласно соотношению неопре­
деленностей (215.1), импульс не может
иметь точное, в данном случае нулевое,
значение. Неопределенность импульса
Ар « у . Т ако м у разбросу значений
411
импульса соответствует кинетическая
энергия
Е„
(Ар)2 = П2
2т
2ml2 '
Все остальные уровни ( я > 1) име­
ют энергию, превышающую это мини­
мальное значение.
Из формул (220.9) и (220.7) следу­
ет, что при больших квантовых числах
(п
1)
А Еп
ш
Рассмотрим простейший потенщИ
альный барьер прямоугольной формы!
(рис. 301, а) для одномерного (по оси я) •
движения частицы. Д ля потенциально-l
го барьера прямоугольной формы вы­
сотой Uи шириной Iможем записать 1
0, х < 0
(для области 1),
U, 0 ^ х ^ I (для области 2),
п
т. е. соседние уровни расположены тес­
но: тем теснее, чем больше п. Если п
очень велико, то можно говорить о
практически непрерывной последова­
тельности уровней и характерная осо­
бенность квантовых процессов —диск­
ретность —сглаживается. Этот резуль­
тат является частным случаем принци­
па соответствия Бора (1923), соглас­
но которомузаконы квантовой механи­
ки должны при больших значениях
квантовых чисел переходить в законы
классической физики.
Более общая трактовка принципа
соответствия: вс як ая новая, более
общая теория, являющаяся развитием
классической, не отвергает ее полнос­
тью, а включает в себя классическую
теорию, указы вая границы ее примене­
ния, причем в определенных предель­
ных случаях новая теория переходит в
старую. Так, формулы кинематики и
динамики специальной теории относи­
тельности переводят при v < с в форму­
лы механики Ньютона. Например, хотя
гипотеза да Бройля приписывает вол­
новые свойства всем телам, но в тех слу­
чаях, когда мы имеем дело с макроско­
пическими телами, их волновыми свой­
ствами можно пренебречь, т.е. приме­
нять классическую механику Ньютона.
412
§ 221. Прохождение частицы
сквозь потенциальный барьер.
Туннельный эффект
0, х > I
(для области 3).
При данных условиях задачи клас-]
сическая частйца, обладая энергией Е, <
либо беспрепятственно пройдет над ба­
рьером (при Е > U), либо отразится от
него (при Е < U) и будет двигаться в ,
обратную сторону, т. е. она не может
проникнуть сквозь барьер. Д ля микро­
частицы, даже при Е > U, имеется от­
личная от нуля вероятность, что части­
ца отразится от барьера и будет двигать­
ся в обратную сторону. При Е< U име­
ется такж е отличная от нуля вероят­
ность, что частица окажется в области
х > I, т.е. проникнет сквозь барьер. По­
добные, казалось бы, парадоксальные
выводы следуют непосредственно из
решения уравнения Шредингера, опи-
сывающего движ ение микрочастицы
при условиях данной задачи.
Уравнение Шредингера (217.5) для
стационарных состояний для каждой из
выделенных на рис. 301, а области име­
ет вид
дЧ и
дх2
+ fc2o|>li3 = О
(для областей 1 и 3 к 2 =
Ш
);
— ^ . +, ^2 2i = 0п
( 221 .1)
(для области 2 q2 =
щ
" ).
Общие решения этих дифференци­
альных уравнений:
+ B1e~ikx
•фх(х) =
(для области 1);
(221.2)
■ф2(х) = A2eiqx+ B2e~iqx
(221.3)
В частности, для области 1 полная
волновая функция, согласно (217.4),
будет иметь вид
_
Ф1(х,*) = 'ф1(х)е л =
(221.4)
- l( E t- p ix )
= Ахе й
+
3=
yj2m(U-E)
Учитывая значение qw В3 = 0, полу­
чим решения уравнения Шредингера
для трех областей в следующем виде:
(для области 2);
■ф3(х) = А3е**+ В3е
(для области 3).
Решение (2 2 1 .3 ) содержит такж е
волны (после умножения на временной
множ итель), распространяющ иеся в
обе стороны. Однако в области 3 име­
ется только волна, прошедшая сквозь
барьер и распространяю щ аяся слева
направо. Поэтому коэффициент В3 в
формуле (221.3) следует принять рав­
ным нулю.
В области 2 решение зависит от со­
отношений E >U или Е < U. Физичес­
кий интерес представляет случай, ког­
да полная энергия частицы меньше вы­
соты потенциального барьера, посколь­
ку при E<U законы классической фи­
зики однозначно не разрешают части­
це проникнуть сквозь барьер. В данном
случае, согласно (221.1), q —г(3 — мни­
мое число, где
-~(El+pix)
«
В этом выражении первое слагаемое
п р едставляет собой плоскую волну
типа (219.3), распространяющуюся в
положительном направлении оси х(со­
ответствует частице, движущейся в сто­
рону барьера), а второе — волну, рас­
пространяющуюся в противоположном
направлении, т. е. отраженную от барь­
ера (соответствует частице, движущей­
ся от барьера налево).
■ф1(х) = Ахе,ь + Вхe~ikx
(для области 1);
'Фг(х) = А2е Рж+ В2е^
(221.5)
(для области 2);
■ф3(х) = Азе"3
(для области 3).
В области 2 функция (221.5) уже не
соответствует плоским волнам, распро­
страняющимся в обе стороны, посколь­
ку показатели степени экспонент не
мнимые, а действительные. Можно по­
казать, что для частного случая высо­
кого и широкого барьера, когда (3/» 1,
В2 « 0.
Качественный характер функций
яК(х), oJ)2(x) и 'фз(х) иллюстрируется на
рис. 301, б, откуда следует, что волно413
вая функция не равна нулю и внутри ба­
рьера, а в области 3, если барьер не
очень широк, будет опять иметь вид
волн де Бройля с тем же импульсом, т. е.
с той же частотой, но с меньшей ампли­
тудой. Следовательно, получили, что
частица имеет отличную от нуля веро­
ятность прохождения сквозь потенци­
альный барьер конечной ширины.
Таким образом, квантовая механика
приводит к принципиально новому спе­
цифическому квантовому явлению, по­
лучившему название туннельного эф­
фекта, в результате которого микро­
объект может «пройти» сквозь потен­
циальный барьер.
Для описания туннельного эффек­
та используют понятие коэффициента
прозрачности D потенциального барье­
ра, определяемого как отношение п лот­
ности п о то к а прошедших ч асти ц к
плотности потока падающих. Можно
(221.7)
где Dq —постоянный множитель, кото­
рый можно приравнять единице; U —
высота потенциального барьера; Е —
энергия частицы; I —ширина барьера.
Из выражения (221.7) следует, что
D сильно зависит от массы т частицы,
ширины I барьера и от (U — Е); чем
шире барьер, тем меньше вероятность
прохождения сквозь него частицы.
Для потенциального барьера произ­
вольной формы (рис. 302), удовлетво­
ряющей условиям так называемого квазиклассического приближения (доста­
точно гладкая форма кривой), имеем
D = Dne
Для того чтобы найти отношение
где U= U(x).
С классической точки зрения про­
хождение частицы сквозь потенциаль­
ный барьер при E < U невозможно, так
как частица, находясь в области барье­
ра, должна была бы обладать отрица­
тельной кинетической энергией. Тун­
, необходимо воспользоваться ус-
нельный эффект является специфиче­
ским квантовым эффектом.
показать, что
D = И зР
IA I2 '
Из
11
ловиями непрерывности -фи ф на гра­
ницах барьера х = 0 и х —I (рис. 301):
^i(O ) = *Ф2(0),
| | ®
|
( 221 .6 )
'ФгСО = "Фз(0»
'Ф /2 ( 0 = 'Фз ( 0 -
Эти четыре условия дают возмож­
ность выразить коэффициенты А2, А3,
Вх и В2 через А х. Совместное решение
уравнений (221.6) для прямоугольного
потенциального барьера дает (в предпо­
ложении, что коэффициент прозрачно­
сти мал по сравнению с единицей)
414
D = Dne
Прохождение частицы сквозь об­
ласть, в которую, согласно законам клас­
сической механики, она не может про­
никнуть, можно пояснить соотношени­
ем неопределенностей. Неопределен­
ность импульса Ар на отрезке Ах —I соL
ставляет Ар > —. Связанная с этим раз­
бросом в значениях импульса кинети-
(Д о)2
ческая энергия ^—t-i- может оказаться
2т
достаточной д л я того, чтобы полная
энергия частицы оказалась больше по­
тенциальной.
Основы теории туннельных перехо­
дов заложены в работах Л. И. М андель­
штама и М. А. Леонтовича (1903—1981).
Туннельное прохождение сквозь потен­
циальный барьер лежит в основе мно­
гих явлений физики твердого тела (н а­
пример, явления в контактном слое на
I границе двух полупроводников), атом­
ной и ядерной физики (например, а распад, протекание термоядерных реак­
ций).
§ 222. Линейный гармонический
осциллятор
в квантовой механике
Линейный гармонический осцил­
лятор — система, совершающая одно­
мерное движение под действием квазиупругой силы, —явл яется моделью, ис­
пользуемой во многих задачах класси­
ческой и квантовой теории (см. § 142).
Пружинный, физический и математи­
ческий маятники — примеры класси­
ческих гармонических осцилляторов.
П отенциальная энергия гармони­
ческого осциллятора [см. (141.5)] равна
и _ тш од2
2
(222.1)
’
где и>0 —собственная частота колебаний
осциллятора; т — масса частицы.
Зависимость (222.1) имеет вид пара­
болы (рис. 303), т.е. «потенциальная
ям а» в данном случае является парабо­
лической.
Амплитуда малых колебаний клас­
сического осциллятора определяется
его полной энергией Е (см. рис. 17).
Рис. 303
В точках с координатами ± 3 ^ полная
энергия Е равна потенциальной энер­
гии. Поэтому с классической точки зре­
ния частица не может выйти за преде­
лы области (—а^ах, +2Wx)- Такой выход
означал бы, что ее потенциальная энер­
гия больше полной, что абсурдно, так
как