Линейная алгебра. Матрицы: Методические указания

РОСЖЕЛДОР
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(РГУПС)
О. А. Беляк, С. К. Гаврилов, Е.В. Кручинина, Т. В. Суворова
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ
Методические указания
Ростов-на-Дону
2006
УДК 512.1
Беляк, О.А.
Элементы линейной алгебры. Матрицы: методические указания /О. А.
Беляк, С. К. Гаврилов, Е. В. Кручинина, Т .В. Суворова; Рост. гос. ун-т путей
сообщения. ─ Ростов н/Д, 2006. ─ 36 с.
В методических указаниях приведены сведения о матрицах, рассматриваемых как элементы линейных пространств, освещены понятия базиса, линейного оператора, собственных чисел. Приведены задания для самостоятельной работы, выполненные в виде тестов.
Предназначены для студентов технических специальностей РГУПС.
Рецензент: д-р техн. наук, проф. К.С. Ахвердиев (РГУПС)
Учебное издание
Беляк Ольга Александровна, Гаврилов Станислав Константинович,
Кручинина Екатерина Владимировна, Суворова Татьяна Виссарионовна
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ
Методические указания
Редактор А.И. Гончаров
Техническое редактирование и корректура А.И. Гончаров
Подписано в печать 29.09.2006. Формат 60х84/16.
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ.л. 2,09.
Уч.-изд.л. 2,0. Тираж 100 экз. Изд. № 122. Заказ №
Ростовский государственный университет сообщения.
Ризография РГУПС.
Адрес университета; 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2
4
© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2006
СОДЕРЖАНИЕ
1. Матрицы. Основные определения
2. Основные операции над матрицами
3. Возведение матрицы в степень
4. Клеточно-диагональные матрицы. Операции с ними
5. Транспонирование матрицы
6. Обратная матрица
7. Ортогональные матрицы
8. Линейное пространство. Основные понятия
8.1. Понятие нормы
8.2. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в
заданном базисе
9. Матрица перехода к новому базису
10. Ранг матрицы. Исследование линейной зависимости
11. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы
12. Отображение. Линейный оператор. Матрица линейного оператора
13. Собственные значения и собственные векторы
14. Тесты для самостоятельной работы
15. Ответы к тестам
Библиографический список
1. МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрицы позволяют более просто представлять различные математические и физические операции с помощью числовых операций над элементами
матриц. Понятие матрицы впервые появилось в середине ХIX века в работах У.
5
Гамильтона 1 и А. Кэли 2. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу 3, К. Жордану 4. И.А. Лаппо-Данилевский 5 развил
теорию аналитических функций многих матричных переменных и применил ее
к изучению систем линейных дифференциальных уравнений.
Матрица размерности m  n – прямоугольная таблица, состоящая из m
строк и n столбцов, элементы которой aij ,i=1,2,…m, j=1,2,…n, принадлежат
некоторому множеству К.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A
  aij 
..........
..........
........


 am1 am 2 ... amn 


. (1)
Элемент akl расположен на пересечении k-й строки и в l-го столбца матрицы (1).
Здесь будем рассматривать важный случай, когда в качестве множества
К выступает поле действительных чисел R.
Матрица размера n  1 называется вектор-столбцом, а матрица размера
1  n ─ вектор-строкой.
Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, m=n , n при этом называется порядком матрицы. Для квадратных матриц
Гамильтон Уильям Роуан (4.08.1805 0 2.09.1865) – ирландский математик, член-корреспондент Петербургской Академии наук. Основные работы Гамильтона относятся к механике, теории дифференциальных уравнений, функциональному анализу, где важную роль играет Гамильтонов оператор.
2
Кэли Артур (16.08.1821-2.01.1895) – английский математик, профессор Кембриджского университета. Заложил основы современной алгебраической геометрии, создал алгебру ( исчисление ) матриц.
3
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815 – 19.02.1897) – немецкий математик. Научные работы посвящены математическому анализу, теории аналитических функций, дифференциальной геометрии и линейной
алгебре.
4
Жордан Камиль Мари Эдмон (5.01.1838-21.01.1922) – французский математик, издатель французского математического журнала, член-корреспондент Петербургской Академии наук. Работы Жордана относятся к алгебре, теории чисел, теории функций, геометрии. С его именем связана нормальная (жорданова) форма матриц.
5
Лаппо-Данилевский Иван Александрович (28.10.1895-15.03.1931) – советский математик, член-корреспондент
Академии наук СССР. Создал теорию аналитических функций от матриц и применил ее для решения вопросов
теории линейных дифференциальных уравнений.
1
6
определена единичная матрица ─ матрица, все элементы которой на главной
диагонали единицы, а остальные ─ нули:
1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
Е 
.......... .... 


0
0
...
1

.
Главная диагональ квадратной матрицы идет из левого верхнего в правый
нижний угол.
Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En, где n ─ порядок матрицы.
Квадратная матрица называется треугольной, если при i  j aij  0 .
Квадратная матрица называется диагональной, если при i  j aij  0 .
Квадратная матрица называется симметричной, если
i  j aij  a ji
.
В диагональной матрице отличны от нуля только элементы, стоящие на
главной диагонали квадратной матрицы
Нулевая матрица О  размера m  n есть матрица, все элементы которой
равны нулю.
Пример 1.
1 0 0 0 


 2 0 0
1 2 5 




 0 0 0 0
 0 1 0 0


A   0 3 0 ; B  
;
O

;
C

0
3
3

;
 0 0 0 0

0
0
1
0


0 0 5
 0 0 2






 0 0 0 1
А, В – диагональные матрицы размерности 3  3 и 4  4 соответственно,
кроме этого, матрица В – единичная четвертого порядка. О – ноль-матрица раз7
мерности 2  4, С – треугольная матрица. А, В, С – квадратные матрицы. Операции сложения и умножения, определенные на множестве К, естественным образом переносятся на матрицы.Так возникает матричное исчисление – предмет
теории матриц.
2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Операции над матрицами определяются с помощью операций над их элементами.
1. Две матрицы А и В размера m  n равны А=В в том и только в том слуа  bij
чае, если ij
для всех i,j .
2. Суммой двух матриц
 и В  bij  одинаковой размерности m  n
А  аij
называется матрица той же размерности m  n, каждый элемент которой равен
сумме соответствующих элементов слагаемых.

А  В  аij  bij
Пример 2. Найти сумму матриц
8
.
3. Произведение матрицы
А  аij 
размера m  n на число  есть матри-
ца того же размера m  n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на это число  .
A  aij 
Из определения операций над матрицами вытекают их главные алгебраические свойства, совпадающие со свойствами операций над векторами.
 Сложение матриц коммутативно: А+В=В+А.
 Сложение матриц ассоциативно: А+(В+С)=(А+В)+С.
 А+О=О+А=А.
 Для матрицы -А=(-1)А: А+(-А)=(-А)+А=О.
 Умножение на число ассоциативно  ( A)  ( ) A;
 Умножение на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
(   ) A  A  A ;
 Умножение на число дистрибутивно относительно сложения матриц
 ( A  B)  A  B;
 О∙А=О; 1∙А=А.
9
4. Произведением матрицы А  аij  размера m  k на матрицу B  bij 
размера k  n называется матрица С  сij  размера m  n , у которой элемент
сij
равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца
матрицы В.
c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a ik b kj , i=1, ..., m, j=1, ..., n.
Матрицы A и B называются согласованными, если число столбцов первой из них равно числу строк второй. Перемножать можно только согласованные матрицы.
Произведение матриц A и B обозначается AB , т.е. C=AB.
Правило умножения матриц легко запомнить, если сформулировать его
так: элемент c ij матрицы С, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца
равен скалярному произведению i-й вектор-строки матрицы А и j-го векторстолбца матрицы В.
1 3 
6 
А    В   
2 .
 4 5 и
Пример 4. Найти произведение матриц
1 3  6   1  6  3  2  12 
   
А  В      
 4 5  2   4  6  5  2   34  .
3 0 3 


 0 2 0 В   0 2 0 

А  
1 0 1 
4
0
6

.

и
Пример 5. Найти произведение матриц
3 0 3 

0 2 0 
   0 2 0  
А  В  
 4 0 6 

1 0 1 
10
 0  3  2  0  0 1
 
 4  3  0  0  6 1
0  0  2  2  0  0 0  3  2  0  0  1  0 4 0 


4  0  0  2  6  0 4  3  0  0  6  1  18 0 18  .
Перечислим некоторые свойства умножения матриц.
1. Умножение матриц ассоциативно:
(АВ)С=А(ВС).
2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц:
А(В+С)=АВ+АС; (В+С)А=ВА+СА.
3. Умножение матриц некоммутативно. Произведение квадратных матриц
зависит от порядка сомножителей и в общем случае не обладает перестановочным свойством АВ  ВА .
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.
Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство
единичной матрицы:
ЕА=АЕ=А.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую
единичную матрицу не меняет матрицы. Это и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при
умножении чисел.
Пример 6. Вычислить АЕ и ЕА для матриц третьего порядка:
 a11 a12 a13 


1 0 0 




A  a21 a22 a23
Е

0
1
0




 a31 a32 a33 
0 0 1 

и

.
 a11 a12 a13  1 0 0   a11 a12 a13 

 

 



A  Е  a21 a22 a23   0 1 0   a21 a22 a23 




 a31 a32 a33   0 0 1  a31 a32 a33 



.
11
1 0 0   a11 a12 a13   a11 a12 a13 


Е  A   0 1 0    a21 a22 a23    a21 a22 a23 
 

 0 0 1 

  a31 a32 a33   a31 a32 a33  .
Откуда АЕ=А и ЕА=А.
Пример 7. Вычислить матрицу 2A-BA, где
 2 3
2 0 1




А   1 0 ; В   1  2 2 ;
  1 3
 5 0 7




 4 6   2  2  0  1  1  (1)

 
2 А  ВА   2 0    1  2  0  1  2  (1)
  2 6   5  2  0  1  7  (1)

 
2  3  0  0  1  (1) 

1  3  (2)  0  2  (1)  
5  3  0  0  7  (1) 
1 
 4 6  3 5  1

 
 

  2 0    0 1    2  1 ;
  2 6   3 8   5  2

 
 

Пример 8. Проверить перестановочность матриц
 2 0  1
 1 1 0




А   0 2 0 ; В   0  1 1 ;
 0 0 2
 0 0  1




 2 2 1 
 2 2 1 




АВ   0  2 2 ; ВА   0  2 2 ;
 0 0 2 
 0 0  2




12
Так как АВ=ВА , матрицы перестановочны.
Пример 9. Проверить перестановочность матриц В и С
 1 0  1
 1



В   0 1 0 ; С   8
 0 0 1
 0



1 1

ВС   8 0
 0 4

0
 1


1 ; СВ   8
 0
0 

3
0
4
0

1 ;
0 
3 1

0  7 ; ВС  СВ;
4 0 
Матрицы не перестановочны.
3. Возведение матрицы в степень
Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:
A0 =E, A1 =A, A 2 =AA, ..., A n =A n-1 A, ... .
 2 3

А  
0
1
2
1
0

.
Пример 10. Найти A ,A ,A , если
1 0 

;
0
0
1
 A1=A.
По определению A =Е= 
 2 3  2 3  7 6 

  
  

2
1
0
1
0
2
3
 
 
.
A = A A= 
13
4. КЛЕТОЧНО-ДИАГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ.
ОПЕРАЦИИ С НИМИ
Пусть A1, A2 ,..., Ak  квадратные матрицы. Клеточно-диагональная матрица (или блочно-диагональная) имеет вид
 A1  0 ... 0 


 0  A2  ... 0 
A
.......... .......... . 


 0  0 ...  A 
k .

Такую
матрицу
удобно
обозначить
(2)
следующим
образом:
diag ( A1, A2 ,..., Ak ) .
Отметим свойства клеточно-диагональных матриц:
1. Для любого  , diag ( A1, A2 ,..., Ak )  diag (A1, A2 ,..., Ak ).
2.
Пусть
A  diag ( A1, A2 ,..., Ak ), B  diag ( B1, B2 ,..., Bk )
─
клеточно-
диагональные матрицы с одинаковыми размерами соответствующих диагональных клеток. Тогда
A  B  diag ( A1  B1, A2  B2 ,..., Ak  Bk ),
A  B  diag ( A1  B1, A2  B2 ,..., Ak  Bk ),
3. Ранг клеточно-диагональной матрицы равен сумме рангов ее диагональных клеток. Определение ранга матрицы будет дано ниже.
Простейшим случаем клеточно-диагональной матрицы является диагональная матрица, для которой также справедливы свойства 1-3.
Пример 11.
14
 2 0 0
 1



A   0 3 0 ; B   0
 0 0 5
 0



Найти произведение матриц
0
8
0
0

0
4  .
Решение . Матрицы А и В являются диагональными, поэтому на основании свойства 2 получим:
 2  (1) 0

A В   0
38
 0
0

0  2 0 0 
 

0    0 24 0 
5  4   0 0 20  .
5. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ
Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.
Матрица, получающаяся из произвольной матрицы A заменой строк
столбцами, называется транспонированной по отношению к исходной матрице
и обозначается A T:
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2n 
A
;
..........
..........
........


a

 m1 am 2 ... amn 
 a11 a21 ... am1 



a
a
...
a
12
22
m2 
AТ  
.
..........
..........
........


a

 1n a2n ... amn 
Если матрица А имела размерность m  n , то АТ имеет размерность
nm.
Легко убедиться, что верны соотношения:
(AT )T =A;
(A+B)T=AT +BT ;
15
(AB)T =BT AT.
Квадратная матрица A, для которой A T = A, является симметричной.
Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной
диагонали, равны.
 1

А 8
 0

Пример 12. Найти А Т , если
3
0
4
0

1
0  .
Решение.
 1

АТ   3
 0

0

0 4
1 0  .
8
6. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Матрица A -1 называется обратной к матрице A , если выполняются соотношения A A -1 =A -1A=E.
Квадратная матрица A называется обратимой, если существует ее обратная матрица.
Матрица A называется невырожденной, если ее определитель не равен
нулю.
Если матрица A невырождена, то для нее существует единственная обратная матрица A -1.
Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.
Для того, чтобы построить матрицу, обратную к матрице А, надо:
а) найти ее определитель det(A) и убедиться, что он отличен от нуля;
б) составить матрицу из алгебраических дополнений матрицы А;
16
в) транспонировать ее и разделить на det(A).
1

А 2
1

Пример 13. Найти А -1 , если
2
1
3
2

2 ;
2 
а) определитель матрицы А найдем в виде разложения по элементам первой строки
det( A)  1
1 2
2 2
2 1
2
2
 4  4  10  2  0
3 2
1 2
1 3
.
Матрица не вырожденная и имеет обратную.
б)
А11 
1 2
2 2
2 1
 4 ; А12  
 2 ; А13 
 5;
3 2
1 2
1 3
2 2
1 2
 2 ; А22 
 0;
3 2
1 2
А23  
2 2
1 2
 2 ; А32  
 2;
1 2
2 2
А33 
А21  
А31 
1 2
 1;
1 3
1 2
 3;
2 1
 4  2 5 


Аij   2
0  1 ;
 2
2  3 

2   2
1
1 
 4 2




1
1
A1 
АТij    2 0
2    1
0
1 
det( A)
2
 

 5  1  3   2,5  0,5  1,5  .
в)
17
Легко убедиться, что A A -1 =A -1A=E.
А А
1
1 2

 2 1
1 3

2   2
1
1 
 

2    1
0
1 
2   2,5  0,5  1,5 
  2  2  5 1  0  1 1  2  3  1 0 0 

 

   4  1  5 2  0  1 2  1  3    0 1 0   Е.
  2  3  5 1  0  1 1  3  3  0 0 1

 

7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Квадратная матрица U, для которой U -1 =UT, называется ортогональной
матрицей.
Ортогональная матрица обладает свойствами:
 Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.
 Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.
 Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной
матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю.
Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.
 cos 
U  
  sin 
Пример 14. Проверить, что матрица
 cos 
U Т  
 sin 
U 1 
sin  

cos   ортогональна.
 sin  
;
cos  
 cos 

cos 2   sin 2   sin 
1
18
 sin    cos 

cos    sin 
 sin  
  U Т
cos  
Матрица U ортогональна.
8. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть
М ─ множество элементов произвольной природы. Определим
операции сложения и умножения на действительное число следующим образом:
паре элементов множества х  М , у  М отвечает элемент
х  уМ ,
называемый суммой x и y;
паре, состоящей из элемента х  М , произвольного числа   R отвечает
элемент х  М , называемый произведением числа  и элемента x.
Часто встречающееся в определениях понятие « для всех, для каждого»
удобно обозначать квантором общности  , а понятие «существует» ─ квантором существования  .
Множество
L называется линейным пространством, если для всех его
элементов определены операции сложения и умножения на действительное
число и для любых элементов х, у, z  L и произвольных чисел  ,  выполняются аксиомы линейного пространства :
1. х+у=у+х, сложение коммутативно;
2. . х+(у+z)=(x+у)+z, сложение ассоциативно;
3.  единственный нулевой элемент О  L такой, что x  O  x x  L;
4.  элемента х  единственный противоположный элемент – х такой,
что x  ( х)  О x  L;
5.  (  х)  (  ) х , умножение на число ассоциативно;
6.  единичный элемент из L, такой , что 1  x  x x  L;
7.  ( х  у)   х  у , умножение на число дистрибутивно относительно
сложения элементов;
19
8., (   ) х   х   у , умножение элемента на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
Примеры линейных пространств.
1. Совокупность свободных векторов на плоскости R2 или в пространстве
R3 с операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует
линейное пространство. Это очевидно из основных свойств векторов.
Нейтральный элемент есть 0 – вектор.
2.
Рассмотрим
x  ( x1 , x 2 ,..., x n)
упорядоченный
набор
n
действительных
чисел
и по аналогии с трехмерным пространством назовем его n-
мерным вектором. Множество n-мерных векторов обозначим Rn . Операции
сложения и умножения n-мерных векторов на число вводятся по аналогии с
обычными векторами, то есть покоординатно. Операции над n-мерными векторами обладают теми же алгебраическими свойствами, что и операции над векторами на плоскости и в пространстве, и выполняются все аксиомы линейного
пространства. Нейтральным элементом является вектор О с нулевыми координатами. Таким образом, Rn- - линейное пространство.
3. Множество действительных чисел R есть линейное пространство с
обычными арифметическими операциями сложения и умножения чисел.
Нейтральный элемент – ноль.
4. Совокупность прямоугольных матриц размерности m  n образует линейное пространство относительно операций сложения матриц и умножения
матрицы на число. Нейтральный элемент – нулевая матрица О. Следует отметить, что пространство Rn- ─ частный случай пространства матриц при m=1.
Замечание. Пространство векторов Rn – типичное линейное пространство.
Поэтому линейное пространство часто называют векторным пространством, а
его элементы, независимо от их природы, векторами.
8.1. ПОНЯТИЕ НОРМЫ
20
Нормой вектора х из линейного пространства L называется число х , обладающее следующими свойствами:
1. х  0; х  0 тогда и только тогда, когда х=0.
2. х    х   R , x  L .
3. x  y  x  y x  L, y  L .
Для обычного геометрического вектора его длина есть норма в пространстве свободных векторов. Условие 3, называемое неравенством треугольника,
выражает то, что длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух
других его сторон.
В пространстве Rn норма вектора может быть введена как
x  x12  x22  ...  xn2 . (3)
Несложно убедиться, что свойства нормы при этом все выполнены.
Это не единственный способ задать норму в пространстве Rn, например,
норма может быть задана как
х  х1  х2  ...  хn ;
х 
max
i 1, 2,..., n
хi .
(4)
Каждая из формул (3)-(4) определяет норму в Rn. Несложно убедиться,
что аксиомы нормы в этих случаях выполняются. Поэтому задать норму или,
как говорят, нормировать пространство, можно по-разному.
21
Ax
x 0 x . Такая норма об-
A  max
Нормой матрицы А называется величина
ладает всеми свойствами, присущими норме. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Например, если
х  х1  х2  ...  хn ;
m
А  max  aij .
j
i 1
8.2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ
Вектор х линейного пространства L линейно выражается через векторы
e1, e2 ,..., en  L , если его можно представить в виде линейной комбинации этих
элементов x  1e1   2e2  ...   n en .
Система векторов
х1, х2 ,..., хn называется линейно зависимой, если
найдется набор чисел 1,  2 ,...,  n , не все из которых равны нулю, такой, что
выполняется равенство 1х1   2 х2  ...   n хn  0 . Если из этого равенства следует, что 1   2  ...   n ,то система векторов является линейно независимой.
Справедливо следующее утверждение.
Система х1, х2 ,..., хn векторов линейного пространства L линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства 1х1   2 х2  ...   n хn  0 следует равенство нулю всех коэффициентов 1   2  ...   n  0 .
22
Пример 15. Векторы
1
  1
1
 
 
 
 2
0
6
x1   ; x2   ; x3   
0
5
10
 
 
 
 4
1
14  из L4 удовлетворяют
уравнению 3x1  2 x2  x3  0 и поэтому линейно зависимы. Любые два из этих
векторов линейно зависимы.
Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1)-го вектора линейно зависима, то
число n называется размерностью пространства L и обозначается dim(L). В этом
случае пространство L называют n-мерным линейным пространством или nмерным векторным пространством.
Любая
упорядоченная
линейно
независимая система
векторов
n
e1, e2 ,..., en  L n линейного пространства Ln образует базис пространства, и лю-
бой вектор х  Ln единственным образом выражается через векторы базиса: x  x1e1  x2e2  ...  xn en
Числа
х1, х2 ,..., хn называют
координатами
вектора
x
в
базисе
e1, e2 ,..., en и обозначают x  ( х1, х2 ,..., хn ) . При этом для любых двух произ-
вольных
векторов
n-мерного
линейного
пространства x  ( х1, х2 ,..., хn ) ,
y  ( y1, y2 ,..., yn ) и произвольного числа  справедливо:
x  y  ( x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn );  x  (x1 , x2 ,..., xn );
Это означает, что все n-мерные линейные пространства обладают свойствами, аналогичными таковым в пространстве Rn векторов-столбцов из n действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству Rn.
Линейные пространства L и M называются изоморфными, если между их
элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что
если векторам l1 и l2 из L соответствуют векторы m1 и m2 из M, то вектору l1 + l2
23
соответствует вектор m1 + m2 и при любом  вектору  l  L соответствует вектор  m  M .
Изоморфизм n-мерных линейных пространств пространству Rn означает,
что соотношения между элементами n-мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Rn и операции с ними. Всякое утверждение относительно векторов из Rn справедливо для
соответствующих элементов любого n-мерного линейного пространства.
Теорема. Система n векторов e1 , e2 ,..., en  R
n
 е11 
 е12 
 е1n 


 


 е12 
 е22 
 е2 n 
е1  
е2   
еn  
... 
... 
...




 
е
е
е
 n 2  ,...,
 nn 
 1n  ,
образует базис в Rn тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы со столбцами e1, e2 ,..., en :
 e11 e12

e
e
det A   21 22
...
...

e
 n1 en 2
... e1n 

... e2n 
... ... 

... enn  .
Для векторов e1, e2 ,..., en  L это означает, что они образуют базис в L тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами
которой являются компоненты векторов e1, e2 ,..., en .
9. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ БАЗИСУ
24
Пусть e1, e2 ,..., en и l1, l2 ,..., ln - два базиса в L. Матрицей перехода от базиса e1, e2 ,..., en к базису l1, l2 ,..., ln называется матрица Pel , столбцами которой
являются координаты векторов l1, l2 ,..., ln в базисе e1, e2 ,..., en :
l1  l11e1  l21e2  ...  ln1en ;
l2  l12 e1  l22 e2  ...  ln2en ;
ln  l1n e1  l2n e2  ...  lnnen .
 l11 l12

l
l
Pel   21 22
... ...

 ln1 ln 2
... l1n 

... l2 m 
; det( Pel )  0.
... ... 

... lnn 
Вектор x  L линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда,
если
x  x1e1  x2e2  ...  xn en  y1l1  y2l2  ...  ynln ,
то координаты вектора в
старом базисе e1, e2 ,..., en , и его координаты в
новом базисе l1, l2 ,..., ln связаны соотношениями
 x1   l11 l12
  
 x2   l21 l22
 ...    ... ...
  
 x  l
 n   n1 ln 2
25
... l1n   y1 
  
... l2n   y 2 

... ...   ... 
  
... lnn   y n  .
Отметим некоторые свойства матриц перехода:
 Pee  E;
 Peu Pu l  Pel ;
1
 P l  e  Pe l .
10. РАНГ МАТРИЦЫ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Пусть А прямоугольная матрица размерности m  n :
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2n 
A

 .......... .......... ........ 
a

 m1 am 2 ... amn 
.
Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из Rn:
 a1 j 


a
 2j 
Аj  
; j  1,2,..., n ; А j  R n ;

...


 amj 


и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость ─ это значит установить, является система векторов линейно зависимой или нет.
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы.
Эта теорема позволяет исследовать систему векторов Rn на линейную зависимость следующим образом.
26
Пусть b1, b2 ,..., bk ─ исследуемая система векторов. Запишем матрицу В,
столбцами которой являются векторы b1, b2 ,..., bk :
B j  b j , j  1,2,..., k
, и вычис-
лим ее ранг r  Rank (B) . Если r= k , то исследуемая система векторов линейно
независима, если же r<k, то она линейно зависима.
Ранг матрицы равен максимальному порядку отличного от нуля минора
матрицы.
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Напомним, что под элементарными преобразованиями строк или столбцов матрицы понимается умножение на число и сложение.
Вычислить ранг матрицы В можно приведением ее к треугольной форме
элементарными операциями со строками, при этом некоторые строки могут
оказаться нулевыми, если ее ранг меньше количества строк r<k
1 0 ... 0 1,r 1

 0 1 ... 0  2,r 1

 ... ... ... ... ...
В   0 0 ... 1  r ,r 1

 0 0 ... 0 0

 ... ... ... ... ...
 0 0 ... 0 0

... 1,k 

...  2,k 

... ... 
...  r ,k 

... 0


... ... 

... 0

.
Векторы-столбцы b1, b2 ,..., br , входящие в базисный минор, определитель
которого не равен нулю, образуют линейно независимую подсистему, а векторы br 1, br  2 ,..., bk следующим образом линейно выражаются через базисные
векторы:
27
br 1  1, r 1b1   2, r 1b2  ...   r , r 1br ,
br  2  1, r  2b1   2, r  2b2  ...   r , r  2br ,
.......... .......... .......... .......... .......... .......... ......,
bk  1, k b1   2, k b2  ...   r , k br .
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Для любой матрицы ранг по строкам и ранг по столбцам совпадают.
 2 1 2 


А  5 3 3 
 1 0  2

.
Пример 16. Найти ранг матрицы
Решение.
Вычислим определитель матрицы, это несложно сделать, так как матрица
А третьего порядка. Вычисляя определитель матрицы разложением по элементам третьей строки, имеем:
А  (1)
1 2
2 1
 0  (2)
 3  2  1  0
3 3
5 3
.
Так как определитель матрицы – это ее единственный минор третьего порядка, и он не равен нулю, ранг матрицы равен 3.
0 1
 2


А 4 2
3
  6 2  2

.
Пример 17. Найти ранг матрицы
Решение.
Вычислим определитель матрицы разложением по элементам первой
строки:
28
А  (2)
M 11 
2 3
4 2
 0  (1)
 2  (4  6)  1  (8  12)  4  4  0,
2 2
6 2
2 3
 2  0.
2 2
Так как определитель матрицы равен нулю , а минор второго порядка не
равен нулю, ранг матрицы равен 2.
1 0  1 0 1 0 


0 1 0 1 0 1
A  1  1 0 0 1  1.


0 1 1 0 0 1
1 0 0  1 1 0 


Пример 18. Определить ранг матрицы
Решение
При большом порядке матрицы, как правило, нерационально вести поиск
ненулевого минора, тем более, что матрица не является квадратной. Чтобы
найти ранг матрицы, элементарными преобразованиями можно привести ее к
треугольному виду, количество ненулевых строк равно рангу матрицы.
Приведем матрицу А к треугольному виду элементарными преобразованиями со строками, для этого из третьей и из пятой строки вычтем первую
строку, затем вторую строку вычтем из третьей, четвертой и пятой, и, наконец,
третью строку вычтем из четвертой и пятой, в результате получим
1 0  1 0 1 0  1 0  1 0 1 0  1 0  1 0 1 0 

 
 

0
1
0

1
0
1
0
1
0

1
0
1
0
1
0

1
0
1

 
 






A  1  1 0 0 1  1  0  1 1 0 0  1  0 0 1 1 0 0  

 
 

 0 1  1 0 0 1  0 1  1 0 0 1   0 0 1 1 0 0 
1 0 0  1 1 0   0 0 1  1 0 0   0 0 1  1 0 0 

 
 

29
1 0  1 0 1 0 


 0 1 0 1 0 1 
  0 0 0 1 0 0 


0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 

.
В матрице три ненулевых строки, ранг матрицы Rank ( А)  3.
11. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
Линейное пространство Е называется евклидовым, если каждой паре векторов х, у из этого пространства поставлено в соответствие действительное
число х∙у, называемое скалярным произведением, и удовлетворяющее следующим свойствам:
1. x  y  y  x (коммутативность);
2. (x)  y   ( x  y) (ассоциативность относительно умножения на число);
3. ( x  y)  z  x  z  y  z (дистрибутивность относительно сложения векторов) ;
4. x  x  0 при х  0 ,
для любых х, у, z из Е и любого действительного числа  .
Свойства скалярного произведения позволяют обращаться с ним по
обычным арифметическим правилам: раскрывать скобки и выносить за скобки
общий множитель, а также выносить число за знак скалярного произведения.
Скалярное произведение порождает норму в пространстве Е, которую часто называют длиной вектора, так как норма, введенная через скалярное произведение, есть обобщение геометрической длины трехмерного вектора.
Число х  х  х называется длиной вектора x.
Определенная таким образом норма удовлетворяет трем аксиомам нормы
(убедитесь в этом самостоятельно).
30
Число x  y  ( x  y )  ( x  y ) называется расстоянием между векторами
х, у.
Углом между векторами х, у, х  0, у  0 , называется угол  [0, ] , косиcos  
нус которого определяется формулой
x y
xy.
Векторы х, у из евклидова пространства Е называются ортогональными,
если х∙у = 0.
Система векторов e1, e2 ,..., en евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.
Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и
имеют единичную длину.
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, поэтому в дальнейшем будем рассматривать в n-мерном
евклидовом пространстве Еn только ортонормированные базисы.
Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство Rn ─
пространство вектор-столбцов, в котором скалярное произведение введено
формулой
n
х  у   xi yi
i 1
.
Для любых x  ( x1, x2 ,..., xn ), y  ( y1, y2 ,..., yn ) из Rn справедливы формулы, определяющие длину вектора и угол между векторами:
31
n
x
 xi yi
n
 xi 2 , cos  
i 1
i 1
n
 xi
i 1
2
n
 yi 2
i 1
.
Пример 19. Найти длину векторов a, b ,
угол 
между ними.
Решение.
a 
4
 ai 
2
52  02  32  42  25 2 , b  02  02  32  42  5.
i 1
4
cos  
 aibi
i 1
4
2
 ai
i 1
4
 bi

2
5  0  0  0  5  0  3  4  4  (3)
 0.
25 2 5  5
i 1
Векторы ортогональны.
Все евклидовы пространства размерности n изоморфны пространству Rn.
Скалярное произведение векторов, угол между ними, длина вектора характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если e1, e2 ,..., en и l1, l2 ,..., ln ─ два ортонормированных базиса в n мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к
другому ─ ортогональная матрица.
Замечание. Евклидово пространство обобщает геометрические понятия
для плоских и пространственных свободных векторов. Операциям над свобод32
ными векторами поставлены в соответствие абстрактные операции умножения
на число и сложения элементов линейного пространства. Коллинеарности и
компланарности векторов соответствует линейная зависимость конечной системы векторов. Обобщены также понятия длины вектора, расстояния, скалярного произведения. Путь от конкретных математических объектов к их абстрактным обобщениям весьма часто встречается в математике. В данном случае от обычного вектора как направленного отрезка пришли к понятию вектора
как элемента линейного пространства произвольной природы.
12. ОТОБРАЖЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР.
МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Отображение – это закон, по которому каждому элементу из множества
Х ставится в соответствие элемент множества Y. Такое соотношение элементов
x  X , y  Y записывается в виде y  f ( x), y  fx . Пишут также f : X  Y и говорят, что отображение f действует из X в Y. Логически понятие отображение
совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование.
Результат действия отображения f на элемент х обозначают у=fх. При
этом у называют образом элемента х; элемент х ─ прообразом элемента у.
Пример 20. Найти образ отрезка [1,2] при отображении y=3x+2.
Решение. Так как при линейном отображении образом отрезка [ x1 , x2 ] будет являться отрезок
[ y1 , y2 ] ,
то
достаточно
найти
y1  3  1  2  5;
y2  3  2  2  8; искомый образ – [5;8].
Пусть заданы линейные пространства Х и Y. Отображение, по которому
каждому элементу х  Х ставится в соответствие единственный элемент y  Y ,
называется линейным оператором, действующим из Х в Y, если выполняются
условия А(х1+х2)= Ах1+Ах2; А(αх)= αАх х1 , х2 , х  Х .
33
Множество элементов линейного пространства х, для которых определено действие оператора А, называют областью определения оператора и обозначают D(A).
Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора А , называют образом оператора и обозначают Im(A).
Если пространства Х и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в
пространстве Х и является эндоморфизмом. В дальнейшем будем рассматривать именно такие линейные операторы..
Рассмотрим линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве Х размерности n,
e1, e2 ,..., en ─ базис в Х. Тогда
Аe1  (a11 , a21 ,..., an1 ),..., Аen  (a1n , a2n ,..., ann ) ─ образы базисных векторов
e1, e2 ,..., en .
Матрица
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2n 
A

 .......... .......... ........ 
a

 n1 a n 2 ... a nn 
,
столбцами которой являются координаты образов базисных векторов,
называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.
Каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном
пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n. Верно и
обратное: каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
34
 y1   a11 a12 ... a1n   x1 
 
 


a
a
...
a
y
21
22
2
n
 
 x2 
y  Ax; y   2   
 
...
...
   .......... .......... ........   
y  
 
 n   a n1 a n 2 ... a nn   xn 
связывают координаты образа у=Ах с координатами прообраза х.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора изменяется. Пусть в пространстве Х с базисом e1, e2 ,..., en задан линейный оператор
А с матрицей Ае.. Перейдем в пространстве Х от базиса e1, e2 ,..., en к базису
e1 , e2 ,..., en . Обозначим матрицу оператора А в новом базисе Ае .
При этом имеет место соотношение, связывающее матрицы оператора А
в старом и новом базисе:
Ае  Pe e1 Ae Pe e , Ае  Pe e Ae Pe e1, где Pe e – матрица пере-
хода от базиса e1, e2 ,..., en к базису e1 , e2 ,..., en .
13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Пусть А ─ линейный оператор, действующий в линейном пространстве L.
Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор х соответствующим собственным вектором линейного оператора А, если имеет место
соотношение
Ах  х . (5)
Пусть А ─ матрица оператора в некотором базисе.
Собственные значения оператора и соответствующие им собственные
векторы связаны соотношением
35
( А  Е ) х  0 .
То есть собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы ( А  Е ) х  0 , которое существует тогда и только
тогда, когда
det( А  Е )  0 . (6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением.
Из него вычисляются собственные значения линейного оператора, а соответствующие собственные векторы находятся как решения соответствующих
однородных систем. Собственные векторы определены с точностью до числового множителя.
Собственные значения матрицы А и ее собственные векторы, также удовлетворяют соотношениям (5), (6).
Для собственных значений и собственных векторов справедливы следующие утверждения:
 характеристическое уравнение оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, является многочленом n-й степени относительно  ;
 линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве
имеет не более n различных собственных значений;
 собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,
линейно независимы.
Если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве L, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве L; и этот базис называют собственным
базисом оператора;
Матрица оператора в собственном базисе имеет диагональную форму
с собственными значениями на диагонали.
36
1 4 
.
A  
1

2


Пример 21. Найти собственные значения матрицы
Решение. Собственные числа матрицы находятся из характеристического
уравнения
1  
A  E  
 1
1  2; 2  3.
4 
.  (1   )(2   )  4  2    6;
 2
 2 1 2 


А  5 3 3 
 1 0  2

.
Пример 22. Найти собственные значения матрицы
Решение. Составим характеристическое уравнение для определения собственных чисел матрицы
det( А  Е )  0 ;
2
1
5
1
3
0
2
3  12  32  4  3  3  2 
2
 (3  32  3  1)  (  1)3  0; 1, 2,3  1.
Убедитесь самостоятельно, решая соответствующую однородную систему, что собственный вектор, соответствующий этой матрице, имеет вид
  1
 
с  1; с  0.
 0
 
37
В заключение приведем без доказательства две теоремы.
Теорема 1. Собственные значения вещественной симметричной матрицы
вещественны.
Теорема 2.
Собственные векторы, соответствующие различным соб-
ственным значениям симметричной матрицы, ортогональны.
14. ТЕСТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Тест 1
Соответствие между видом матрицы и ее названием :
 2 37 


A   0 3 8 ;
 0 0 5


1 0 0 


B   0 1 0 ;
0 0 1 


а) нулевая б) единичная
1 0 0 0 


0
3
0
0
0 0 0




C 
;
0 0 2 0  D   0 0 0 ;


0 0 0


0 0 0 4
в) диагональная г) треугольная
Тест 2
1 3 2 
 4 5 6




А   2 4 1 В    1 0 3 
1 0 0 
 803

и

 равна
Сумма матриц
 4 5 6
1 3 2 
 556
 5 8 8








  1 0 3
 2 4 1
  1 4 3
 14 4








а)  8 0 3  ; б) 1 0 0  ; в)  8 0 3  ; г)  9 0 3  .
Тест 3
38
 0 3
9 
 В   
А  
 2  равно
 2 5 и
Произведение матриц
 0 27 
6 


 
4
10
 ; б)  28  ;
а) 
 0 27 
0 


 
18
45
 ; г)  4  .
в) 
Тест 4
 0 3


1 3 0  В   2 0 

А  
 41
2
0
6

 равно

 и
Произведение матриц
 6 3


24
12

;
а)
3 9 0 


6
0
18

;
б)
 9
 
в)  36  ;
 0 9


4
0

.
г)
Тест 5
 4 0 6
 3 


 
С    1 0 3
В 2 
 7 0 2
 1

 и
  равно
Произведение матриц
 12 0 6 


  2 0 3


а)  7 0 2  ;
 12 


 2 


б)  7  ;
 18 


 0 


в)  23  ;
Тест 6
39
 18 


 6 


г)  2  .
Выражение 3A+BA, где
1 0 2 


1 3 
 2 0 1
 
 3 6 1
 ; б)  4 5  ;
а) 
 4 2
3 0 1 




А   1 0 , В   6  2 2 ,
1 0 
 5 0 7



 равно
 23 12 


3 4 0
 23 12 


10 10 
6
2
18
 ; д) 
.
в) 4; г) 
1 0 
  1 2
3 0
 В  
 С  

А  
2

1
2
1
1
2

,

,

 перестановочны
Тест 7 Среди матриц
матрицы
а) А и В;
б) А и С;
в) В и С;
г) нет перестановочных.
Тест 8
1 3 

А  
2
0
 2  4  равно
Значение матричного многочлена А  8 А  10 А при
 5  8
1 3 


 
4
5


а)
; б)  2 5  ;
1 0 
 
в)  0 5  ;
 25 15 

.
10
0

.
г)
Тест 9
 1 1

В  
2
0

1
1

 равно
Значение матричного многочлена  В  2 В  В при
 0  8
1 3 
1 0 
1 0 








4
0
2
5
0
1
0
8
 ; б) 
 ; в) 
 ; г) 
.
а) 
40
Тест 10
 0 2

В  
2
0

 матрица В Т равна
Для матрицы
а)
 0 2 
 0 2 




 2 0  ; б)   2 0  ;
 2 0 


0

2

;
в)
2 0 


0
2

.
г)
Тест 11
1  1 3 


С  0  2 4 
2 0 3

 матрица С Т равна
Для матрицы
 1 0 2 


1  2 0 


а)  3 4 3  ;
1  1 3 


0  2 4 


б)  2 0 3  ;
 1 0 2 
1  1 3 




 1 2 0 
0 0 0 




в)   3  4 3  ; г)  0 0 0  .
Тест 12.
1  1

А  
1
0

 ее обратная матрица равна
Для матрицы
 1  1
 0 1
0  2 







1
1
1
0
2

2





 ; г) нет обратной матрицы.
а)
; б)
; в)
Тест 13
41
1 3 0 


С  0 1 0 
1 5 1 

 ее обратная матрица С 1 равна
Для матрицы
 1 0 2 



1
2
0


 0 1 0 
;
а) 
 1 3 0 
 1 0 2 
1 3 0 






0
1
0
1

2
0
0
1
0






 1  2 1 
 3 4 3
1 5 1 
 ; в) 
 ; г) 
.
б) 
Тест 14
 2 3 7

А  
4
5
14

 равен
Ранг матрицы
а) 0;
б) 1;
в) 2;
г) 3.
Тест 15
 1 2 3


А 2 4 3 
  3  6 12 

 равен
Ранг матрицы
а) 0;
б) 1;
в) 2;
Тест 16.
1

3
А
0

0
Ранг матрицы
0 0

4 0 0
0 2 1

0 4 2  равен
2
42
г) 3.
а) 4;
б) 1;
в) 2;
г) 3.
Тест 17
  2 3

А  
4
2

 равны
Собственные значения матрицы
а) 4;-4;
б) 1;-1;
в) 0;2;
Тест 18
 1  2 0


А    2 4 0
 0 2 1

 равны
Собственные значения матрицы
а) 1;4;1;
б) 0;1;5;
в) 0;0;1;
г) 0;1;-2;
Тест 19
  3  2 0


А 2 1 0 
 0 0 3 

 равны
Собственные значения матрицы
а) -3;0;2;
б) -3;1;3;
в) -1;-1;3;
г) 0;1;-2.
Тест 20
Образ отрезка [1,3] при отображении y=5x+ 4 равен
а) [9; 19]
б) (9; 19)
в) (0; 20)
43
г ) [0; 20].
г) -2;3.
15. ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ
№\ а б в г
1
D B C A
2
+
3
4
+
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
10
+
11 +
12
+
13
+
14
+
15
+
16
+
17 +
18
+
19
20
+
+
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. ─ М. : Наука,
1976. ─ 352 с.
44
2.
Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и ин-
женеров
/ Г. Корн, Т. Корн – М. : Наука, 1974. - 832 с.
3.
Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош - М. : Наука,
1975. – 468 с.
4.
Ланкастер, П. Теория матриц /П. Ланкастер П. – М. : Наука, 1978. -
5.
Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. - М:
280 с.
Советская энциклопедия, 1982, - Т. 3. - 1183 с.
6.
Турецкий В.Я. Математика и информатика / В. Я. Турецкий - М. :
Инфра-М, 2000. - 558 с.
45