Урок 88. Зачет по теме «Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств»
Цели урока: проверить теоретические и практические знания по теме
«Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II. Работа в группах.
На уроке, учащиеся объединяются в пять групп. Каждая группа
получает теоретическую установку. Согласно этой установке, учитель
распределяет собранный материал по группам. В каждой группе идет
работа по созданию развернутого теоретического конспекта на уроке
(дома необходимо довести его до реферата, проекта или презентации
по заданной теме).
Надо обязательно использовать собранный во время изучения
темы «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»,
справочный материал, иллюстрации и интересные задачи по этой теме,
а также подборку заданий ЕГЭ из различных учебных сборников для
поступления в ВУЗы. Все учащиеся группы собранный материал,
оценивают по важности, продумывают последовательность его
изложения.
Работая внутри группы, можно помогать друг другу, но оценка
выставляется каждому учащемуся индивидуально.
Группа №1
Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности
уравнений. Преобразование уравнения в уравнениетеория
следствие. Проверка корней. Потеря корней.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические
выводы группы.
Решите уравнения:
практика
5 3 x 5 3 x 3 x
Уровень A
Уровень B
Уровень C
теория
3
8 x 4 x 3 64 x 8 0
x x 1 1
x 1 3 x 2 3 2x 3 0
10 x 3x 2 x 1 0
x3 x 2 1 x3 x 2 2 3
Группа №2
Общие методы решения уравнений. Замена уравнения
3
2
1
h f x h g x уравнением f x g x . Метод
разложения на множители. Метод введения новой
переменной. Функционально-графический метод.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические
выводы группы.
Решите уравнения методом введения новой переменной и
практика
разложением на множители:
Уровень A
x 2 32 2 4 x 2 32 3
x 3 x 1 56
3
3
x2 1
x
5
5
2
2,5
x 1 x 1 32 x
x
x 1
8
4
4
x3 x 2 3
2
Уровень C
x 3 x 5 16
2
x x
Группа №3
Равносильность неравенств. Теоремы о равносильности
неравенств. Системы и совокупности неравенств.
теория
Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические
выводы группы.
Решите неравенства:
практика
1
3
0
2
x 1 3 x x 2 0
Уровень A
3x 2 x 2 7 x 4 3x 2
Уровень B
Уровень B
Уровень C
1
2
1 2x
x 1 x 2 x 1 x3 1
2
1
1
2
2
x
2 4 x
2 4 x
21x 6 19 x3 1
x3 1 1 x
Группа №4
Системы уравнений. Метод подстановки, метод
алгебраического сложения, метод введения новой
теория
переменной, графический метод и метод умножения.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические
выводы группы.
Решите системы уравнений:
практика
2
Уровень A
x y 3 x y 6,
3
2
6 x y x y 8.
2 3
x y 16,
3 2
x y 2.
Уровень B
x y y x 30,
x x y y 35.
x 2 y 20,
2
x y 20.
x y x y 2,
x y z 4,
2
2 xy z 16.
y x y x 1.
Группа №5
Уравнения и неравенства с параметром. Линейные,
квадратичные, иррациональные уравнения и неравенства
теория
с параметром.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические
выводы группы.
Решить уравнение и неравенство с параметром:
практика
При каком целом значении p уравнения
Уровень C
Уровень A
Уровень A
3x2 4 x p 2 0 и x 2 2 px 5 0 имеют общий
корень? Найти этот корень.
2
При каких значениях m неравенство x 2 mx
m
выполняется для любых x ?
При каком положительном значении p корни уравнения
5x 2 4 p 3 x 4 p 2 противоположны по знаку?
Найти эти корни.
mx
При каких значениях m неравенство 2
1,5
Уровень B
x 4
выполняется для любых x ?
Найдите параметры a и b уравнения
Уровень C
x 4 x 3 18 x 2 ax b 0 , если известно, что среди его
корней имеются три равных целых числа.
При каких значениях m неравенство
2 x 2 mx 4
Уровень C
6
4 выполняется для любых x ?
x2 x 1
Подведение итогов.
Уровень B
3
Домашнее задание: Творческое задание: При каких значениях
параметра a уравнение 4a 2 x 4 2a 8 x 2 a a 0 имеет на
1 33
полуинтервале 1;1 ровно три корня? (Ответ: a ;
и
4
a 1)
Урок 89. Зачет по теме «Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств»
Цели урока: проверить теоретические и практические знания по теме
«Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств».
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II. Работа в группах.
Учитель сам выделяет пять лидеров, анализируя работу всех групп
прошлого урока. Эти лидеры собирают учащихся в пять группы по
пять человек в каждой. Каждая группа получает набор заданий. Лидер
группы распределяет задания между всеми учащимися. Учитель
готовит билетики с номерами заданий. После 10 минут решения,
учитель вытягивает билетики и вызывает к доске для решения на
оценку, учеников из всех групп, задавая вопросы по теории. Повторяя
эту процедуру несколько раз, учитель сможет дополнительно оценить
учащихся в течение урока.
№1712, 1778, 1784, 1834, 1841
Группа №1 (а)
№1713, 1779, 1784, 1835, 1843
Группа №2 (б)
№1716, 1780, 1785, 1836, 1844
Группа №3 (а)
№1719, 1781, 1785, 1837, 1845
Группа №4 (б)
№1722, 1783, 1786, 1839, 1846
Группа №5 (а)
Лидеры групп собираются в пятую группу для решения заданий
повышенной сложности. Решение может быть коллективное, учащиеся
могут помогать друг другу, но оценка будет выставятся
индивидуально.
№1678
№1739
№1743
№1787
№1829
Подведение итогов.
4
Домашнее задание: Творческое задание: При каких значениях
y ax 3 x a y 1 0,
параметра a система
имеет решение?
x 4 y xy
(Ответ: a ; 1 1; )
Урок 90. Контрольная работа
Цели урока:
проверить знания и умение учащихся по теме
«Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств».
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II. Решение контрольных заданий.
Вариант №1
Уровень A
1. Решить уравнение 2 x 3 4 x 3 x 7 .
2. Решите неравенство log 2 3x 1 log 2 5x 1 log 2 x 1 2 .
Уровень B
x
x
1. Решить уравнение 2sin 2 5cos 4 .
2
2
2. Решите неравенство 2 x 2 x 2 x 2 .
Уровень C
x
1. Решите неравенство x 2 8 x 15 log 1 1 cos 2
1.
4
2
Вариант №2
Уровень A
1. Решить уравнение 2 x 9 1 2 x 4 3 x .
2. Решите неравенство log 1 3 x 4 log 1 3 x 4 log 1 x 2 2 .
2
2
2
Уровень B
1. Решить уравнение 5sin 2 x 1 2 cos 2 2 x .
2. Решите неравенство 3x 2 x 2 2 x 12 .
Уровень C
5
x
1. Решите неравенство 10 x x 2 24 log 5 4sin 2
1 1 .
2
Вариант №3
Уровень A
1. Решить уравнение 2 x 1 2 x x 7 .
2. Решите неравенство log 1 2 x 1 log 1 25 2 x 3 log 1 x 2 .
3
3
3
Уровень B
2
1. Решить уравнение 2sin 3x 5cos 3 x 1 0 .
2. Решите неравенство 3x 2 x 2 2 x 12 .
Уровень C
x
1. Решите неравенство 12 x x 2 35 lg 9 cos 2
1.
3
Вариант №4
Уровень A
1. Решить уравнение 8 x 1 3 x 3 x 2 .
2. Решите неравенство log3 5 2 x log3 25 x log3 x 5 2 .
Уровень B
x
2x
1. Решить уравнение 4 cos sin 1 .
3
3
2. Решите неравенство 18 2 x 2 x 2 3x .
Уровень C
x
1. Решите неравенство x 2 6 x 8 log 1 3 sin 2
1.
6
4
Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческое задание: При каких значениях
параметра a все пары x, y , удовлетворяющие неравенству
y 5 x a 9 a 2 , удовлетворяют и неравенству y x2 3 ?
2
(Ответ: a 0 )
6
Уроки 91-95. Учебно-тренировочные тестовые
задания ЕГЭ по теме «Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств»
Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий
базового уровня A , более сложного уровня B , наиболее сложного
уровня C по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и
неравенств»
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II. Организация решения тестовых заданий.
Учитель распределяет тестовые задания на пять уроков
следующим образом:
Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня A .
Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня A и тестовых
заданий более сложного уровня B .
Урок 93. Решение тестовых заданий более сложного уровня B .
Урок 94. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня C .
Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня C .
III. Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ
Тестовые задания базового уровня A .
А1. Система линейных уравнений
Ответы
x y
4 4 2,
А1.1 Решите систему уравнений:
A
x y 2.
6 3
A) (4; 4) B) (-4; -4) C) (-4; 4) D) (4; -4) E) бесконечно
А1.2 Сколько решений имеет система уравнений:
2x 5 y
31,
y
E
x 2 y 11.
y
A) B) 1 C) 2 D) 3 E) бесконечно много
А1.3 Найдите значение выражения x0 ( y0 7) , где ( x0 , y0 )
A
7
– решение системы уравнений
3x y 2 x 4 y
4,
7
2
3 x y 2 x 4 y 1.
7
3
A) 16
B) 18
C) 20
D) 14
E) 22
А1.4 Если 3a - b = 7, b - c = 5 и 3c - a = 2, то чему равно a
+c?
A)
10 B)
14 C)
8 D)
6 E) 7
А1.5 Если 2m + n = 2; 2n + p = 6 и 2p + m = 4, то чему
равно
m+n+p?
A)
6 B)
4 C)
5 D)
3 E) 8
А1.6 Известно, что 2q - 4p = -9; 2t - 4q = -7 и 2p - 4t = 2.
Чему равно
p+q+t?
A)
-7 B)
8 C)
7 D)
-8 E) 6
А1.7 3a + 4b = 16; 2c - b = 1. Найдите 3a + 8c.
A) 18 B) 4 C) 20 D) 23 E) невозможно определить
А1.8 Найдите x + y, если x + y + 2z = 13, x + 2y + z = 12 и
2x + y + z = 11.
A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 7
a
А1.9 Вычислить
, если a = 4b (b 0) и c + 3b = 0.
c
1
1
2
1
2
A)
B) 1
C)
1
D)
-1
E)
3
3
3
3
3
А2. Квадратные уравнения. Теорема Виета
А2.1 x1 и x2 – корни уравнения x 2 x 3 0 . Найдите
1
1
5
7
11
4
3
.
A)
B)
C)
D)
E)
x12 x24 x14 x22
81
81
81
27
16
E
B
C
C
C
D
Ответы
B
А2.2 Найдите x14 x24 , где x1 и x2 – корни уравнения
x 2 3x 3 0 .
A) 207
B) 192
C) 243
D) 168
E) 252
А2.3 Найдите сумму всех корней уравнения:
2 x4 7 x2 2 0 .
A) 7 B) 3,5 C) 0 D) 2 E) невозможно определить
А2.4 Найдите отношение суммы всех корней уравнения
13 x 4 5 x 2 17 0 к их произведению.
A
C
B
8
3
2
2
E) невозможно определить
3
А2.5
Найдите разность наибольшего и наименьшего
корней уравнения: x 4 13x 2 36 0 .
A)
5 B)
1 C)
7 D)
0 E) 6
А2.6 Определите число корней уравнения
x4-( 5 3) x 2 15 0 .
A) 2
B) 4
C) 1
D) 0
E) 3
А2.7 Найдите сумму действительных корней уравнения:
x 6 9 x3 8 0 . A) 3 B) 9 C) -9 D) 8 E) 4
А2.8 Определите сумму всех действительных корней
5x4 1
уравнения x8
.
3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 2,5
E) невозможно
определить
А2.9 Вычислите произведение корней уравнения
A) 1 B) 0
C)
D)
E
B
A
A
2
1
1
x 4,5 x 5 0.
x
x
A) 4
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
А2.10 Сколько корней имеет уравнение
x 1 3 x 1 4 0 ?
2
4
2
2
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 5
А3. Алгебраические, дробно-линейные уравнения
А3.1 Найдите произведение корней уравнения
1
2 1
x 2 4 x 5 0.
x
x
A) 3
B) 2 3
C) 6
D) -2 3
E) 1
А3.2 Найдите сумму чисел целых корней уравнения
6
x 2 3x
1
2 3x x 2
A) -3
B) 1
C) -5
D) 3
E) 4
А3.3 Найдите сумму корней уравнения
1
5
2
2
2
x 3x 3 x 3x 1
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
C
D
Ответы
E
A
A
9
А3.4 Найдите произведение всех действительных корней
уравнения (4x2 – 7x – 5)(5x2 + 13x + 3)(3x – x2 – 8) = 0.
A) 1
B) 0
C) 0,75
D) -0,75
E) 1,25
a3
А3.5 При каком значении a значение дроби 2
равно
a 1
27
?
A) 3 B) 2 C)
27 D)
8 E)
9
8
А3.6 Найдите сумму действительных корней уравнения:
(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 120.
A)
3 B)
-3 C)
2 D)
-5 E)
-4
А3.7 В каком промежутке содержаться решения
x2 1
x
уравнения:
2
2,5 .
x
x 1
A) (- ; -1) B) [-1; 8) C) [2; 8) D) [3; 8) E) [4; 8)
А3.8 Вычислите a 3 a 3 , если a a 1 5 .
A) 110
B) 70
C) 80
D) 90
E) 100
a6 1
1
А3.9 Известно, что a 3 . Найдите значение
.
a3
a
1
A) 27
B) 24
C) 18
D) 21
E) определить
3
нельзя
1
1
А3.10 Чему равно a 4 4 , если a 7 ?
a
a
A) 81
B) 79
C) 49
D) 63
E) 77
А4. Система алгебраических уравнений
y 4 2,
А4.1 Решите систему: 2
x y 2.
A)
(1; -2) B)
(-1; -2) C)
(1; 2) D)
(-1; -2) и
(1; -2) E)
(-1; 2) и (1; -2)
А4.2 Найдите x y , если x2 + y2 = 225 и x2 - y2 = 63.
A)
3 B)
4 C)
5 D)
6 E)
7
x 2 y 2 4,
А4.3 Сколько решений имеет система:
x y 2.
A)
4 B)
3 C)
2 D)
1 E)
не имеет
D
A
D
B
A
C
B
Ответы
D
A
C
10
2
2
x y xy 120,
А4.4 Известно, что 2
. Найдите x2 – y2.
2
x y xy 30.
A) 16
B) 20
C) 25
D) 34
E) 42
А4.5 Найдите p + q, если p 2 pq 96 и q2 pq 48 .
A) 12
B) 14
C)
±12 2
D) ±12
E)
±14 2
x 2 2 xy y 2 9,
xy 10.
A)
7 B)
6 C)
5 D)
8 E) 4
x 2 5 xy y 2 47,
А4.7 Найдите x + y + x - y, если
xy 21.
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 9
А4.8 x - y = 5;
x3y + xy3 = ?
xy = 7
A)
162 B) 271 C)
354 D)
216 E) 273
x
y
5,
А4.9 Найдите x4y – xy 4, если
.
x y 3
A) 275
B) 405
C) 600
D) 480
E) 510
А4.10 x + y = 3; xy = 1.
x5y + xy5 - ?
A)
47 B)
29 C)
51 D)
24 E)
18
А5. Линейные неравенства и системы
17 3x
А5.1 Решите неравенство:
1
1,5 x .
2
A) (-2,5; 0) B) (- ; -2,5) C) (- ; 0) D) x R E)
А5.2 Найдите наименьшее целое отрицательное решение
6 x 8 x 2 1 5x 1
неравенства 8
.
10
6
8
4
A) -6
B) -7
C) -5
D) -4
E) -8
А5.3 Укажите наибольшее целое решение неравенства
2x 7 7 x 2
1 x
.
3
6
3
2
A) 2
B) -1
C) 1
D) 0
E) -2
А5.4 Сколько натуральных решений имеет система
x 3 4 2 x,
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
5 x 3 4 x 1?
А4.6 Вычислите | x y | , если
A
D
A
D
E
E
A
E
A
C
A
11
А5.5 Найдите сумму всех целых решений системы
неравенств:
x 5 2 x 2,
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2 x 2 3 3 x.
А5.6 Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего
2 x 3 17,
целого решения системы:
4 x 6 8.
A)
8 B)
11 C)
12 D)
9 E) 10
А5.7 На сколько больше наибольшее целое, чем
2 x 3 17,
наименьшее целое решение системы
14 3 x 13?
A)
17 B)
19 C)
16 D)
12 E)
18
А5.8 Чему равно среднее пропорциональное между
наибольшим и наименьшим решениями системы
2 x 5 x 7,
A) 2 B) 10 C) 4 D) 6 E) 8
3x 4 2 x 4?
А5.9 Найдите наименьшее целое решение системы
x 8 12,
неравенств:
A) -5 B) -3 C) -6 D) -4 E) 3
3 x 15.
А5.10 Найдите среднее арифметическое целых решений
5 x 2 2 x 1,
системы:
2 x 3 18 3 x.
2
A)
3 B)
2,5 C)
2 D)
1,5 E)
1
3
А6. Алгебраические неравенства и системы
А6.1 Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых
x 4 3 x
0.
решений неравенства
2
x 2
A)
1 B)
-1 C)
-2 D)
2 E) 7
2
x( x 1)
0. A) (-1; 0]
А6.2 Решите неравенство
( x 2)3
C
E
E
C
D
C
C
D
B) (-2; 1] C) (-2; 0] D) (-2; 0] {1} E) (-2; -1] {0}
12
x2 2x 3
0.
x 1
A) (1; ) B) [1; ) C) (- ; 1) D) (- ; 1] E)
А6.3 Решите неравенство:
А6.4 Укажите решение неравенства:
3x 2 4 x 5
0.
2x 3
A) (- ; -1,5) B) (-1,5; 2) C) (-4; -1,5)
D) (-1,5; -1,2) E) (- ; -2,5)
А6.5 Найдите произведение наибольшего целого
отрицательного и наименьшего целого положительного
x 4 3x3 2 x 2
решения неравенства
0.
30 x 2 x
A)
-30 B)
-35 C)
-36 D)
-42 E)
-48
А6.6 Сколько целых решений имеет неравенство
x 2 x 1 x 2 x 2 0 ?
x 2 7 x 12
A) 4 B) 1 C)
2 D) 3 E)
бесконечно много
x 2 ( x 1)
А6.7 Решите неравенство:
0.
x3
A) (-3; 1] B) (-3; 0) (0; 1] C) (-; -3) {0} (1; )
D) (-; -3) {0} [1; )
E) (-; -3) [1; )
А6.8 Сколько целых решений имеет неравенство:
x2 x 1 x 2 2 x 3 0 .
x 2 3x 2
A) 5 B) 4 C) 3 D) бесконечно много E)
2
5x 8
А6.9 Решите неравенство:
2.
4 x
A) (- ; 0) (4; + ) B) (- ; -4) (0; 4) C) [-4; 4]
D) E)
(- ; + )
1
А6.10 Решите неравенство:
> x.
x
A) (- ; -1) (0; 1) B) [0; 1) C) (-1; 1)
E)
D)
(- ; 1)
Тестовые задания более сложного уровня B .
В1. Система алгебраических уравнений
В1.1 Если x2 4 xy y 2 4 2 xy и x y 12 , то чему
A
A
D
A
D
C
A
A
Ответы
B
13
равно xy ?
A) 32
B) 35
C) 30
D) 34
E) 36
25
144
b и b
a
a
b
119
A) 13 B) 12 C) 5 D)
E) 14
В1.3 Найдите сумму всех значений x, являющихся
x 5 y 7 32,
решением системы уравнений 7 5
x y 128.
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
В1.4 Вычислите a ·b ·c , если a ·b 18 , b ·c 25 и
В1.2 Найдите |a + b|, если a
a ·c 8 .
A) 2 15
B) 15 2
В1.5 Вычислите:
3 B)
A
A
C) 6 5
D) 8 3
2 C)
В1.6 Вычислить
x y , если
3
3 3
D)
x y
, если
3
3 15
E)
x y 10,
.
2
2
3 xy 3 x y 17
3
A)
A
3
E)
9
3
x 3 x y y 20,
2
3 xy 7.
3
A
2
C
A)
3 B)
2 C)
1 D)
0 E) 6
В1.7 Найдите x y из системы уравнений
3
2
2
x 2 x y xy x y 2,
3
2
2
y 2 xy x y x y 6.
A) 1
B) 2
C) -1
D) -2
B
E) 3
x
В1.8 Числа x, y и z связаны соотношениями
x 3
z
y
y
2
8
4
1 . Найдите .
и
y
z
3
1
5
B) 2
C)
D)
4
2
7
В1.9 Если (x; y) – решение системы
A)
y z
2 4 1
z
D
E)
4
3
E
14
x 3y 1 y x 3
2,
y
2( x 2)
, то чему равно xy ?
y x 1
A) 15
B) -6
C) -8
D) 6
E) 12
В2. Линейные неравенства и системы
В2.1 Сколько целых решений имеет система неравенств:
y 3 y 5
2 3 ,
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
y 1 y 4 .
4
5
В2.2 Найдите сумму целых решений системы
неравенств:
x 1 x
4 5 ,
A) 12 B) 9 C) 7 D) 8 E) 1
x x 4.
3
7
В2.3 Найдите сумму целых решений системы
неравенств:
x 1 x
2 3 ,
A) 2 B) 3 C) -1 D) -3 E) 1
x 1 x .
2
5
В2.4 Укажите наибольшее целое решение системы
x5
4 2 x 0,
неравенств:
x 2 x 8 1 2 x.
5
A)
-1 B)
1 C)
2 D)
-2 E) 0
В2.5 Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее
2 x
0,5(2 x 5) 2 1,
системе неравенств
0, 2(3 x 2) 3 4 x 0,5( x 1).
3
A) -9
B) -8
C) 7
D) 9
E) 8
В2.6 Решите систему неравенств:
Ответы
D
B
A
E
E
C
15
3x 7 5 x 1 6,
2
x 2 8 x x 2 10.
A) (-11; 2] B) [-2; 7) C) (-7; -2] D) [2; 11) E) (- ; -7)
В2.7 Сколько целых чисел входит в решение системы
( x 2)(2 x) ( x 3)(4 x),
неравенств 3 x 1 2 x
4 6 1?
A) 7
B) 8
C) 6
D) 9
E) 12
В2.8 Найдите сумму целых решений системы неравенств
2
12 x (2 x 3)(6 x 1) x,
2
(5 x 1)(5 x 1) 25 x x 6.
A) 6
B) 7
C) 9
D) 12
E) 15
В2.9 Сколько простых чисел входят в решения двойного
x3
неравенства 1
4?
4
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 7
2 y 1
В2.10 При каких значениях y значения дроби
3
принадлежат промежутку (-1; 1) ?
1
A) (-1; 2) B) (0; 2) C) (- ; 1) D) (-2; 2)
2
E) другой ответ
В3. Алгебраические неравенства и системы
1
В3.1 Решите неравенство
2.
x 1
A) (-: 1) [1,5; )
B) (1; 2]
C) (1; 2)
D) (1; 1,5]
E) (1; 1,5)
В3.2 Укажите число целых решений неравенства
x 2 12 x 23
2
.
( x 1)( x 4)
x4
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
x2 5x 2
В3.3 Укажите все решения неравенства
x.
x 3
A) (-3; 1) B) (1; 3) C) (-1; 3) D) (-; 1) E) (3; )
A
E
A
A
Ответы
A
D
B
16
В3.4 Найдите все значения x , для которых дробь
x2 4 x 5
отрицательна.
2x 5
A) (2,5; 5)
B) (-: -1)
C) (-: -1] (2,5; 5]
D) (-: -1) (2,5; 5)
E) (-; 2,5)
2
3
В3.5 Решите неравенство 2
.
2
x 9 x 16
A) (-; ) (-4; -3) (3; 4) C) (; -4) (-3; 3) (4; )
D) (; -4) (4; )
E) (; -4) (3; 4) (6; )
В3.6 Найдите число целых решений неравенства
8 x 19
1
2
.
2
2
( x 3) ( x 5 x) x 3x
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
В3.7 Найдите сумму наибольшего и наименьшего
2
x 3 x 4 0,
решений системы неравенств 2
x 6 x 8 0.
A)
3 B)
4 C)
5 D)
6 E) 7
В3.8 Найдите разность между наибольшим и
( x 6)( x 3)
0,
наименьшим решениями системы 3 x 2 2 x 7
x 2 25.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 6
E) 10
3a 10
В3.9 При каких значениях a неравенство 1 <
<2
a4
имеет место?
A) (-1,5; 4) B) (-7; -1,5) C) (-7; 4) D) E) (-3; -2)
В3.10 Сколько целых решений имеет неравенство
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) 24?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
В4. Модуль: вычисления и уравнения
В4.1
Чему равна сумма всех натуральных чисел,
являющихся корнями уравнения: |x2 - 8x + 7I = -7 + 8x - x2
A) 8 B) 40 C) 25 D) 28 E) невозможно определить
В4.2 Сколько целых решений имеет уравнение
| x2 2 x | 2 x x2 ?
D
C
C
D
B
E
E
Ответы
D
C
17
A) 1 B) 2 C) 3 D) ни одного E) бесконечно много
В4.3 Найдите сумму всех натуральных чисел,
удовлетворяющих уравнению:
x5
x5
.
x 16 16 x 4
4
A)
3 B)
1 C)
6 D)
10 E)
15
В4.4 Найдите произведение всех корней уравнения
2
2 x 1 x . A) 161 B) 161 C) 14 D) - 14 E) 1
В4.5 Найдите сумму корней уравнения | x |=x2+x-4
A) 2- 5 B) 1-2 5 C) –1- 5 D) 1+ 5 E) 1- 5
В4.6 Чему равно 5+x, если | 5 - x| = 2(2x-5) ?
A) 8 B) 7 C) 9 D) 11 E) 10
В4.7 Какие значения принимает сумма x + y, если (x; y) –
x 1 y 5 1,
решение системы
y 5 x 1 ?
A) 6 и 8
B) 7
C) 8 и 10
D) 6 и 7
E) 9
2
x 2 | y | 4,
В4.8 Найдите x + y, если имеет место
| x 2 | | y | 2.
A) или 4; или 2; или 0 B)
0 или 3 C)
2 или 4
D)
0 или 4 E)
3 или 4
x y 5,
В4.9 Числа x и y удовлетворяют системе
xy 4, 75.
Каково расстояние между числами x и y на числовой оси?
A) 6
B) 3
C) 5
D) 7
E) 13
В5. Модуль: решение неравенств.
В5.1 Найдите сумму всех целых решений неравенства
3
6
.
x7 7
A) 39
B) 45
C) 32
D) 49
E) 42
В5.2 Найти произведение наибольшего и наименьшего
3
1
целых решений неравенства
x2 4
A) 42 B) -117 C) -140 D) -130 E) определить нельзя
В5.3 Сколько целых решений имеет неравенство:
B
A
E
A
D
D
A
Ответы
E
C
A
18
2 x 1 x 3 ?
A) 6 B) 5 C) бесконечно много D)
0 E)
8
В5.4 Решите неравенство x 2 x 8 .
2
A) x < -4, x > 2
B) -4 < x < 2
C) x < -4
D) x > 2
E) x > -4
В5.5 Найдите сумму целых решений неравенства
A) 6 B) 7 C) 9 D) 12 E) 16
x 2 3x 10 .
В5.6 Решите систему неравенств:
x 3,
A) 2 x 3 B) 2 x 4
| x 3 | 1.
D) x 4 E) x 2
C) 3 x 4
2 x 3 1,
В5.7 Решите систему неравенств
5 0, 4 x 0.
A) [1; 2]
B) (-; 2)
C) (-; 1] (2;)
D) (-0,4; 2)
E) (0; 1]
В5.8 Решите неравенство 1 < x 2 < 3.
A) (-1; 1) (3; 5) B) (-1; 1) C) (3; 5) D) (-1; 5)
E) (0; 4)
В5.9 Найдите разность между наибольшим и
наименьшим целыми положительными решениями
неравенства
| x | 10
6 B)
8 C)
9 D)
7 E)
5
0 . A)
2 | x |
В5.10 Найдите сумму целых решений неравенства x2-3|x|4 0.
A) 0
B) 2
C) 3
D) 1 E) 4
В6. Смешанные уравнения и неравенства
В6.1 Решите уравнение 7
A) -1,5; 1
B) 1,5
2 x2 5 x 9
2
C) -2,5; 4
2
B) 6
C) 4
D) 2,5
D) 3
2 и 3 B)
3 C)
2 D)
C
A
A
D
A
Ответы
E
E) -1,5; 4
D
E) 2
В6.3 Решите уравнение: log3 3x 8 2 x .
A)
C
3log 2 7
В6.2 Решите уравнение log3 32 x 26 3x x .
A) 9
A
2 и -1 E)
В6.4 Найдите сумму корней уравнения
C
4
C
19
lg(3
x2 4 x
x 3
1) 1 . A) 10
B) 2
C) 8
D) 25
E) -3
В6.5 Решите уравнение lg 2 x x 4 x x lg 5 .
A
A) -4
B) -3
C) -2
D) 1
E) 2
В6.6 Найдите произведение корней уравнения
x (lg x 5) / 3 105 lg x
A) 100
B) 10
C) 1
D) 0,1
E) 0,01
E
В6.7 Решите уравнение xlogx ( x 1) 3.
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
2
A
2
x
В6.8 Решите уравнение x .
10
A) 10
B) 100
C) 0,1
D) 0,01
E) 1000
x lg 25 25lg x 10 .
В6.9 Решить уравнение
lg x
2
10
A) 10
B) 1 C)
D)
5
E)
В6.10 На сколько наименьшее целое решение
100
неравенства 2log2 x 3 x 3 6 меньше 15?
A)
10 B)
9 C)
11 D)
8 E) 14
В7. Тесты повышенной сложности
2 x 3 y 24
В7.1 Найдите x y , если y x .
81
2 3
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 7
В7.2 Найдите наибольшее целое решение неравенства
2
x 2 3 x 10
B
C
C
Ответы
D
x 2 3 x 10
sin
cos
6
6
A) -2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
В7.3 Какое из следующих выражений больше 1 ?
a = 0,72,3 0,30,8;
b = 3,2-4,2 1,2-0,8; c = 0,7-1,2 0,6-0,4;
0,4
0,6
d = 0,6 0,3 ; e = 0,40 3,5-1,3
A)
a B)
b C)
c D)
d E)
e
В7.4 Среди следующих чисел: a = 0,2-0,7 0,3-0,6;
b = 0,8-1/3 30,4; c = 20,7 0,2-0,1;
d = 1,20,4 1,11,5.
найти числа меньше единицы.
A)
a B)
b C)
c D)
d E)
таких нет
В7.5 Выразите log478,4 через a и b, если log72 = a,
log210 = b.
D
C
E
D
20
1 b
1 b
1 b
B) 2
C) 2
a 2
a 2
a 2
1 b
1 b
D) 2
E) 2
a 2
a 2
В7.6 Решите уравнение
log 72 ( x 2 5 x 13) log 21 ( x 2 8 x 13) 0.
A) 2
B
7
E)
A) 3
B) 2
C) 5
D) 1
В7.7 Решите уравнение:
2
3
8
3 log3 x log3 x log3 x ... log3 x 27 x 30
A)
3 B)
2
C)
3
D)
A
1
E)
2
В7.8 Один из корней уравнения 2 ·3 6 равен 1.
Найдите другой корень.
2
3
A) -log26 B) log23 C) log36 D)
E)
x2
5 x 5 x 13,
В7.9 x
x
28 17 .
A)
135
B) - 145
x
Найдите 5-x – 5x.
C)
175
D
165
D)
A
E) - 155
В7.10 Найдите сумму корней уравнения: õ õõ
A)
5 B)
10 C)
11 D)
4 E) 8
Тестовые задания наиболее сложного уровня C .
õ
A
Ответы
С1 Сколько корней имеет уравнение
x
arcsin 2arccos x ?
2
A) 1 B) 2 C) D) 3 E) бесконечно много
С2 Найдите сумму корней уравнения
2 arc2 cos x 2 3 arccos x .
A)
2
B) -1 C) 1 D)
2
A
B
2
1
E)
2
2
С3 Решите неравенство arcsin x x2 1.
B) {-1} C) {-1; 1} D) (0; ] E) [ ;0)
2
2
С4 Найдите наибольшее целое значение x,
A) {1}
B
B
21
удовлетворяющее неравенству arctgx 0 .
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
С5 Решите неравенство arcsin x arcsin 1 x .
1
1
) B) [-1; 1] C) (- ; ] D) [0; 2] E)
2
2
С6 Решите неравенство: arccos x arccos x 2 .
A) (0; 1) B) [-1; 0) C) [-1; 1] D) [- ; 0)
+)
E) (1; + )
С7 Найдите середину отрезка, на котором решается
5
2
неравенство arccos 2 x arccos x
0.
6
6
A) [0;
A) 0,5
B) 0,4
C) 0,25
D)
A
B
C
E)
4
2
С8 Найдите наибольшее целое решение неравенства:
1 x arccos( x 2)
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
2
2
С9 Решите неравенство: x 4 x arccos x 4 x 5 0 .
A) {2} B) (1; 5) C) (-2; 3) D) ( arccos1 ; 10)
E) не имеет решений
С10 На интервале [0; 2 ] найдите все значения x,
B
E
ln 2 cos x
e
1
2 3
3 5
5
A) ; ; B) ; C) ;
3 2 2 3
3 3
3 2
3 5
3 5
D) ; ; E) ; ;
6
2
2
6
3 2 2 3
С11 Найдите все решения неравенства
удовлетворяющие неравенству:
e
ln cos 4 x sin 4 x
1 принадлежащие промежутку
3
3
A) 0; ; 2 B) 0; ; 2
2 2
2 2
3
3
C) 0; ; D) ; ; 2
4 2 2
4 4
0; .
E
E
22
3
E) 0;
4 4;
С12 Сколько корней имеет уравнение:
7
x2 5 x 7
7 · x 2 x 12·lg 2 x 7
ln 3 x 5 · 2 x 1 8 x
A)
0.
B
С13 Решите уравнение:
x log3 x log3 x 10
2
2
1
.
x2
1
1
1
B) 1; 9 C) 1;
D) 9;
81
81
81
1
E) 4; 1;
81
С14 Найдите сумму корней уравнения
x 13 log 2 x 3 3 13 x .
A) 1; 9;
A)
39 B)
130 C)
169 D) 24 E)
С15 x и z удовлетворяют равенству
z
72 x 2·7 x cos 1 0 . Вычислите |z + 3|x
2
A)
9 B)
0 C)
3 D)
1 E) 27
A
D
78
D
2
1
1
3
2
7 12
ln
48
7
С16 Вычислите: 3·128 ·e
tg
6
6
A)
1 B)
2 C)
3 D)
4 E) 5
С17 Сколько корней имеет уравнение
cos lg 2 3x
2
3
x2
B)
A)
бесконечно много C) 1 D) 2 E)
С18 Решите неравенство arcsin log3 x 0
A) (1; 3] B) (-1; 1) C) [1; + ) D) (3; + )
E) (1; 3)
С19 y и t удовлетворяют равенству
0, 09 y 2·0,3 y ·cos 2t 1 0 .
2
2
E
C
3
A
C
23
3ty
Вычислите sin
.
2
3
1
A)
B)
C)
0 D) 1 E)
2
2
С20 Решите уравнение log sin x cos x 1 .
A)
4
B)
4
C) -
4
1
2
n, n Z
D
2 n, n Z
4
4
С21 Решите неравенство
cos 2 x 1 log 4 3 2 x x 2 1 .
D
A) [ -1;0 ) B) [ -2;-1 ] C) -2; -1 D) -1
E) ( -3;0 ) ( 0;1)
С22 Сколько корней имеет уравнение:
log3 x log x 3 2cos 6 x 2 ?
B
D)
2 n, n Z
n, n Z
-
E) -
A) B)
1 C)
2 D) 3 E) 4
С23 Какому отрезку принадлежат корни уравнения
sin x = x2 – x + 0,75?
A) [0; ] B) [-; 0] C) [; 2] D)[1,5; 2] E)
A
С24 Решите неравенство cos 2 x 1 lg 9 2 x x 2 1 .
B
A) (-; -1]
B) {-1} C) [-1; 0)
D) (0; )
E) [-1; 1)
Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания:
Урок 91. При каких значениях параметра a все решения уравнения
2 x a a 4 x 0 удовлетворяют неравенству 0 x 4 ?
4
(Ответ: ; 2 )
3
Урок 92. Найти все значения параметра a , при которых неравенство
x 2a 1
0 выполняется для всех таких x , что 1 x 2 .
xa
1
(Ответ: ;1 )
2
24
Урок 93. При каких значениях параметра a система уравнений
ax 4 y 1 a,
не имеет решение? (Ответ: a 4 )
2 x a 6 y 3 a
Урок 94. Найдите все действительные значения параметра a , при
x8 ax 4 1 0
которых
уравнение
имеет
ровно
четыре
действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
1
(Ответ: a 9 )
9
Урок 95. При каких значениях параметра a система
4 x 3 y 12a,
имеет единственное решение?
2
2
2
x y 14ax 6ay 57 a 16a 64
(Ответ: a 2 )
25
