ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА ВВЕДЕНИЕ Среди механических движений исключительную роль играет колебательное, которое характеризуется определенной повторяемостью во времени или периодичностью. Колебания широко используются в технике: акустике, радиотехнике, строительной технике и т. д. Хотя физическая природа колебаний может быть разной (механические, электромагнитные), существует единый подход к изучению различных колебательных процессов. Теория колебаний оперирует с моделями колеблющихся тел: математическим, физическим, пружинным маятниками, колебательным контуром и т. д. В основе этих моделей лежит представление о линейном гармоническом осцилляторе. В классической механике гармонический осциллятор - это материальная точка или абсолютно твердое тело, колеблющееся под действием квазиупругой силы по гармоническому закону. В настоящей работе изучаются свободные и вынужденные колебания на примере колебаний физического и математического маятников. Измеряются основные параметры колебательного процесса, рассматриваются резонансные явления. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Гармонические колебания Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Вынужденными называются колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся во времени силы. Простейший тип колебаний - гармонический, при котором колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Более сложные периодические процессы можно представить как наложение нескольких гармонических колебаний. Гармонические колебания материальной точки (тела) Здесь х - колеблющаяся величина, характеризует смещение материальной точки из положения равновесия. Другими словами, это координата (положение) тела в любой момент времени t. — циклическая частота колебаний, в системе СИ измеряется в с . Такие колебания совершает тело массы т в отсутствие сил трения под влиянием квазиупругой силы F = — кх , направленной к положению равновесия. Решение уравнения (1) имеет вид График функции (2) представлен на рис. 1. Рис. 1 По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной смещение х. А - амплитуда колебания, это максимальное отклонение материальной точки от положения равновесия. Ее значение определяется величиной первоначального отклонения или толчка, которым тело было выведено из положения равновесия. ω0t + φ0 - фаза колебания, определяет положение точки в данный момент времени t. На графике фаза (р отложена над осью времени. φ0 - начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0. Ее значение определяется выбором начала отсчета времени. В системе СИ фаза измеряется в радианах. Т - период колебания - это минимальный промежуток времени, Т фаза колебания получает приращение 2π, т. е. v - частота колебания, т. е. число колебаний в единицу времени Единица частоты - герц (Гц), это частота такого колебания, период которого равен 1 с. ω0 - круговая или циклическая частота, это число колебаний за 2π секунд. через который определенные положения точки повторяются; за период ω0 = 2πυ. (5) Понятие фазы содержит больше информации о колебаниях, чем смещение. Если задано смещение x1, мы знаем, где находится тело, но не знаем, в какую сторону оно движется. Задав фазу φ1, мы задаем и смещение х1; и направление движения - к положению равновесия. Фаза от заданного момента времени будет увеличиваться, а смещение - уменьшаться (см. рис. 1). Момент времени t = 0 в общем случае не является началом колебаний, он представляет собой начало отсчета времени t (например, момент включения секундомера). В этот момент все характеристики называются начальными Продифференцировав по времени (2), получим выражение для скорости точки где Aω0 - амплитуда скорости. Дифференцируя (6) по времени, найдем ускорение точки где Aω02 - амплитуда ускорения. Из (6) и (7) видно, что скорость и ускорение точки изменяются по гармоническому закону. Скорость опережает смещение по фазе на угол π/2, а ускорение опережает смещение на угол π, т. е. ускорение и смещение находятся в противофазе - это означает, что, если смещение максимально, скорость равна нулю, а ускорение также достигает наибольшего по величине отрицательного значения. Для каждого конкретного колебания важно знать амплитуду А начальную фазу φ0 . Эти величины определяются из начальных условий, т. е. по значениям смещения х0 и скорости υ0 в начальный момент времени t = 0. Полная энергия гармонических колебаний - величина постоянная так как действующая на точку квазиупругая сила консервативна и работа ее по замкнутой траектории равна 0. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты максимального отклонения точки о положения равновесия полная энергия Е состоит только и: потенциальной энергии, достигающей наибольшего значения где к = mω2 - коэффициент квазиупругой силы. Если точка проходит через положение равновесия, полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент имеет максимальное значение Выражения (8) и (9) равны. Полная энергия колебаний в любой момент времени t с учетом (2) и (6) т. е. величина постоянная, поскольку для данной системы величины m, А, к, ω0 не изменяются. Затухающие колебания Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных колебаний реальной системы обусловлено диссипацией ее энергии вследствие действия на систему сил сопротивления (трения). В простейшем случае сила сопротивления Fmp пропорциональна скорости и проекции на ось х. где r - коэффициент сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что векторы силы Fmp и скорости ν имеют противоположные направления. Для получения уравнения затухающих колебаний применим второй закон Ньютона для колебательной системы, в которой, кроме квазиупругой силы, действует сила трения Fmp тх" = —кх — rx'. (13) Преобразуем уравнение (13), введя коэффициенты где ω0 - собственная частота колебаний при отсутствии сил трения; β - коэффициент затухания, характеризует уменьшение амплитуды колебаний в единицу времени. Обе величины ω0 и β имеют одинаковую размерность (с-1). Следовательно, дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы можно записать в виде С учетом малости сил трения β < ω0 уравнение (15) имеет решение, характеризующее характер затухания колебаний в системе где ω - циклическая частота затухающих колебаний Величина рассматривается как амплитуда затухающих колебаний в зависимости от времени. Период затухающих колебаний увеличивается с ростом сил трения (β) и при β = ω0 становится бесконечно большим - колебания прекращаются. График зависимости (16) представлен на рис. 2. Рис. 2 Пунктирная кривая При отсутствии сил трения характеризует закон убывания получим собственные гармонические колебания. Помимо величины β, реальная колебательная система характеризуется логарифмическим декрементом затухания λ, который показывает, как уменьшается амплитуда колебаний за период Т, тогда как β определяет уменьшение амплитуды за единицу времени t. По определению, λ = In A(t) A(t + Т) (19) где A(t) и A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний, отличающихся на период Т. На практике для определения логарифмического декремента затухания измеряют амплитуды, разделенные достаточно большим промежутком времени пТ, где п — число колебаний между измерениями амплитуд. Это вызвано тем, что в большинстве колебательных систем с малым затуханием амплитуда колебаний за один период Т меняется незначительно и формула (19) не пригодна. В этом случае для расчета λ применяется выражение Формула (20) используется в практической части работы для определения логарифмического декремента затухания по измеренным амплитудам А(0) и А(пТ), где А(0) - начальная амплитуда в момент t = 0, а А(пТ) - амплитуда в момент времени t, за которое система совершит п-колебаний. Временем релаксации τ затухающих колебаний называется промежуток времени, за который амплитуда колебаний Прологарифмируем выражение для амплитуды A(t) = е раз и выразим коэффициент β Используя определение времени релаксации τ, получим уменьшается в За время релаксации τ система совершит N полных колебаний, значит Из выражения (25) следует физический смысл величины λ - с ее помощью можно определить полное число колебаний системы N за время релаксации т. Вынужденные колебания При действии на систему гармонической внешней силы, уравнение движения тела, на которое, кроме внешней силы ∕0 cos Ωt, действуют квазиупругая сила F = — кх и сила трения Fmp = -rx' запишется в виде где /0 - амплитуда внешней силы; Ω - круговая частота внешней силы. После преобразований дифференциальное вынужденных колебаний примет вид уравнение Решение уравнения (27) состоит из суммы собственных затухающих колебаний x1 и вынужденных колебаний х2, т. е. х = x1 + х2, где x1, выражается с помощью (16). Слагаемое x1 = A(t) cos(ωt + φ) играет существенную роль в начале процесса. В установившемся режиме происходят вынужденные колебания с частотой Ω где А - амплитуда вынужденных колебаний За время релаксации собственные колебания затухнут, и в системе установятся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы Ω. Как видно из (29), амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты собственных колебаний ω0 и от частоты вынуждающей силы Ω. График зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от частоты (ω0 или Ω) называется амплитудно-резонансной кривой (рис. 3). 10 Рис. 3 На рис. 3 изображены резонансные кривые А = f (ω0) при фиксированной частоте Ω и переменной ω0 для трех различных значений коэффициента затухания β (β1 < β2 < β3). Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (Ω) к частоте, равной или близкой к собственной частоте колебательной системы ( ω0 ), называется резонансом. Резонансная частота равна ω peз = √ω02-2 β 2 ■ Для малых затуханий δ совпадает с собственной амплитуды (резонансное) (30) << ω0 резонансная частота ωрез = ω0 . Максимальное значение Из (31) видно, что при β → 0 (малые затухания) Арез →∞ . Увеличение коэффициента затухания β приводит к сглаживанию резонансных кривых и уменьшению значения Amαx, т. е. к ослаблению явления резонанса и смещению кривых влево. Пружинный маятник. Собственные гармонические колебания Пружинный маятник - простейший гармонический осциллятор с одной степенью свободы. Горизонтальный маятник состоит из шарика массы т, который без сопротивления может скользить по стержню с помощью невесомой пружины с жесткостью к, прикрепленной к стенке и шарику (рис. 4). Сила тяжести уравновешивается реакцией стержня и не учитывается. Вся масса сосредоточена в шарике, а упругость - в пружине. Рис. 4 Для описания движения горизонтального пружинного маятника достаточно одной координаты х, которая отсчитывается от положения равновесия 0. Если шарик сместить из положения равновесия на расстояние х (равное деформации пружины) и отпустить, то на него будет действовать сила упругости пружины F, проекция которой на ось х равна с учетом малых растяжений пружины (когда справедлив закон Гука) F = -kx, где k - коэффициент жесткости пружины. (32) Маятник совершает колебания около положения равновесия 0, двигаясь поступательно. Движение тела описывается вторым законом Ньютона тх" = — кх . (33) Преобразовав (33), получим Сопоставляя (34) с (1), видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с круговой частотой ω0 , зависящей от параметров осциллятора: массы шарика т и коэффициента жесткости пружины к. Величина ω0 называется собственной частотой гармонических колебаний маятника ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Определение периода колебаний физического маятника и его приведенной длины 1. В демонстрационном стенде задайте параметры колебательной системы: массу груза, коэффициент жесткости пружины, коэффициент затухания. Определите параметры внешнего воздействия -частоту внешней силы. Нажмите кнопку пуск и познакомьтесь с временной и частотной зависимостью амплитуды колебательной системы. 2. Установите циклическую частоту внешней силы много меньшей чем собственная частота колебаний системы. Объясните полученный график зависимости амплитуды колебаний системы от времени. 3. Изменяя коэффициент затухания в пределах от 0,1 до 1, постройте график зависимости резонансной амплитуды от коэффициента затухания. 4. Задайте частоту внешней силы 0,1с , жесткость пружины 5н/м, массу груза 1,5 кг. По графикам зависимости амплитуды колебаний системы от времени определите время релаксации для коэффициентов затухания 0,1 0,3 0,5 0,7 (графики приведите в отчете). ВОПРОСОЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ 1. Логарифмический декремент затухания. Период затухающих колебаний. 2. Явление резонанса. При какой частоте он происходит? От чего зависит острота резонанса? 3. Напишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение и параметры. 4. Что такое установившиеся вынужденные колебания? Время их установления 5. Основные параметры гармонических колебаний. 6. Что такое коэффициент затухания и как он связан с остальными параметрами затухающих колебаний? 7. Напишите дифференциальное колебаний.Его решение и параметры. уравнение вынужденных 8. Что такое амплитудно-резонансная кривая? 9. Резонанс. Резонансные кривые при различных значениях коэфициента затухания. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. - М. : Наука, 1987, § 49, 50, 52-54, 58, 60. 2. Трофимова Т. И. Курс физики. - М. : АСАДЕМ1А, 2006, § 140142, 146-148.
