Квантовая теория: Операторное представление динамических переменных

Квантовая теория
Семестр I
Журавлев В.М.
Лекция III
Операторное изображение
динамических переменных
Оператор – это правило, с
помощью которого
каждой функции гильбертова
пространства
сопоставляются другие
функции этого пространства
Базовые постулаты
Много ли квантовых
состояний?
I. Постулат числа состояний
1. Для каждой физической обстановки
число состояний с фиксированным
значением динамических переменных
энергии и импульса таково, что волновые
функции ΨQ(q,x,y,z,t) для всех значений
динамической переменной Q: qЄ{Q}
образуют базис в гильбертовом
пространстве
I. Постулат числа состояний
2. Любая функция из гильбертова
пространства может быть
представлена в виде суперпозиции этих
функций:
 ( x, y, z, t )   Cq Q (q, x, y, z, t )
q{Q}
3. Базис функций ΨQ(q,x,y,z,t) являетсяполным
Правила вычислений
Вычисление средних
II. Среднее значение и дисперсия
координат частицы
1. Правила вычисления средних и всех
моментов квантовых случайных величин
определяются статистическим
постулатом
2
x (t )   x |  ( x, y, z , t ) | dxdydz
V
II. Среднее значение и дисперсия
координат частицы
2. Среднее значение динамической
переменной Q определяется
распределением вероятности
обнаружит значение q этой
переменной в состоянии Ψ
Q (t )   q | Cq (t ) |
q{Q}
2
II. Среднее значение и дисперсия
координат частицы
Процедура вычислений:
1
 ( x, y, z, t )   Cq Q (q, x, y, z, t )
q{Q}
2
Cq (t )    (q, x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
*
Q
V
3
Q (t )   q | Cq (t ) |
q{Q}
2
Пример
Среднее значение импульса в
состоянии с фиксированной
энергией в пустом пространстве
  C p  C  p 
e
iEt
h

 C e


ipx
h
 C e

ipx
h




p  p | C |  p | C |  p | C |  | C |
2
2
2
2

Операторное
представление
Как упростить вычисление
средних?
III. Операторное представление
Рассмотрим эксперимент по измерению
динамической переменной Q в состоянии
Ψ.
 ( x, y, z, t )   Cq Q (q, x, y, z, t )
q{Q}
Cq (t )    (q, x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
*
Q
V
Q (t )   q | Cq (t ) |2
q{Q}
III. Операторное представление
Q (t )   q | Cq (t ) |   qC (t )Cq (t ) 
2
q{Q}
*
q
q{Q}
  q   (q, r ) (r )dV  Q (q, r ' ) (r ' )dV ' 
q{Q}
*
Q
*
V
V'
   (r ' )   (r )  qQ (q, r ' ) (q, r )dVdV ' 
*
V
q{Q}
V'
ˆ  (r ' )dV '
   (r ' )Q
*
V
*
Q
III. Операторное представление
ˆ  (r )dV '
Q (t )    (r ' )Q
*
V
*
ˆ
Q (r ' )    qQ (q, r ' )Q (q, r ) (r )dV 
V q{Q}
  Q(r' , r ) (r )dV
V
Q(r' , r )   qQ (q, r' )Q* (q, r)
q{Q}
Оператор импульса
Как выглядит оператор импульса?
IV. Оператор импульса
1. Ядро оператора импульса

p( x' , x)   pP ( p, x' ) ( p, x)dp
*
P

p  Ce
ipx

IV. Оператор импульса (ядро)

p( x' , x) | C |  pe
2


 ip ( x  x ')


 i | C |
e

x 
2

ipx ' ipx


e dp | C |  pe
2
ip ( x  x ')

dp 


 ik ( x  x ')
dp  i | C |
e
dk 

x 
2
2



1
2
2 
ik ( x  x ')
2
2 
 i 2  | C |
dk   i 2  | C |
 ( x  x' )
 e
x  2 
x

k  p , dk  dp


IV. Оператор импульса
(дифференциальное представление)

p( x' , x)  i 2  | C |
 ( x  x' )
x
2
2

pˆ  ( x)   p( x, x' ) ( x' )dx' 



 2 i | C |   ( x  x' ) ( x' )dx' 
x

2
IV. Оператор импульса
(дифференциальное представление)


pˆ  ( x)  2 i  | C |
 ( x  x' ) ( x' )dx' 

x 
2
2

 2  i | C |
 ( x)
x
2

p̂  i
x
2
2  | C |  1
2
IV. Оператор импульса

(окончательные
соотношения)
p̂  i
x
1
C
2 
1
p 
e
2
ipx

Оператор координаты
Как устроен оператор координаты?
IV. Оператор координаты
2 Ядро оператора координаты

X ( x' , x)   x' ' X ( x' ' , x' ) ( x' ' , x)dx' '
*
X

X ( x, x' )   ( x  x' )
IV. Оператор координаты

xˆ  ( x)   X ( x, x' ) ( x' )dx' 


  x ( x  x' ) ( x' )dx'  x ( x)

Оператор координаты является
оператором умножения на координату!
Операторы динамических
переменных
Как вычислить оператор любой
переменной?
IV. Оператор кинетической энергии
2
p
E
2m

1
1
2
Ek ( x ' , x ) 
p
e

2m  
2

ip ( x  x ')
2

1

pe

4m 

ipx '

ipx

1
e dp 
2

 
ik ( x  x ')
dp  
e
dk 
2 
4m x 
2
2


  1 ik ( x  x ') 
2 2

e
dk   
 ( x  x' )
2 
2

2m x  2 
2m x

2
2
IV. Оператор кинетической энергии
(дифференциальное представление)
 
E ( x' , x)  

(
x

x
'
)
2
2m x
2
2

ˆ  ( x)  E ( x, x' ) ( x' )dx' 
E



 
 

 ( x  x' ) ( x' )dx'  
 ( x)
2
2
2m x
2m x

2
2
2
2
IV. Степени операторов

pˆ  ( x)   Pn ( x, x' ) ( x' )dx' 
n



n
ˆ
  i 

(
x

x
'
)

(
x
'
)
dx
'

(
p
)
 ( x)
n 
x 
n
n

xˆ n  ( x)   X n ( x, x' ) ( x' )dx' 


  x  ( x  x' ) ( x' )dx'  x  ( x)
n

n
IV. Функции от операторов
Оператор любой
динамической переменной
ˆ  Q (pˆ , xкак
ˆ)
Q
, x) вычислен
Qкл ( pбыть
может
кл
классическая
функция
[k , j ]

)
0
(
Q
k j
кл
операторов
импульса
и
p x
Qкл ( p, x) 
k! j!
координаты!!!
k , j 0


[k , j ]
Qкл (0) k j
ˆ
pˆ xˆ
Q ( x )  
k! j!
k , j 0
IV. Оператор полной энергии
Функция Гамильтона
2
p
H 
 U ( x)
2m
Оператор Гамильтона
2
2
2
ˆ
p


Hˆ 
 U (xˆ )  
 U ( x)
2
2m
2m x
Кафедра Теоретической физик, 2009
IV. Оператор момента импульса
Компоненты момента импульса
L  [r  p]
L 


x p ;
Lx  yp z  zp y ,
Ly  zp x  xp z ,
Lz  xp y  yp x

123
1
IV. Оператор момента импульса
ˆ  [rˆ  p
ˆ]
L
Компоненты
оператора момента


123
ˆ
импульса
ˆ ; 
L 
xˆ  p
1




ˆ z  zˆp
ˆ y  ih y
,
Lˆ x  yˆ p
z
y 
 z
 
 
ˆ
ˆ x  xˆp
ˆ z  ih z
L y  ẑp
x
,
z 
 x
 
 
ˆ
ˆ y  yˆ p
ˆ x  ih x

Lz  xˆp
y
x 
 y
1. Свойства операторов,
изображающих динамические
переменные
2. Свойства собственных функций
эрмитовых операторов
3. Принцип неопределенности
Гейзенберга