Определенный интеграл
Опр. Под определенным интегралом
b
f
(
x
)
dx
a
от данной непрерывной функции f (x)
на отрезке [a; b] понимается
соответствующее приращение ее
первообразной.
b
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
a
b
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
a
Опр. Данная формула называется
формулой Ньютона-Лейгенца.
Для того, чтобы найти определенный
интеграл, надо найти одну из
первообразных функции f (x), т.е.
функцию F (x) и найти разность
F (b) F (a).
Схематично правило выглядит так:
b
b
a
a
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
F
(
b
)
F
(
a
)
f (x) - подынтегральная функция;
f ( x)dx - подынтегральное выражение;
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний предел интегрирования.
Теорема. Определенный интеграл не
зависит от выбора первообразной
для интегрирования функции.
Теорема. Для всякой, непрерывной на
отрезке [a; b] функции, существует
соответствующий определенный
интеграл.
Доказательство основано на теореме
Коши, т.е. существует определенный
интеграл, значит, существует разность
значений первообразной.
Свойства определенного интеграла
Пусть на отрезке (a; b) существует
определенный интеграл
b
где
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
,
F ' ( x ) f ( x)
a
b
b
a
a
a
1. f ( x)dx f (t )dt
2. f ( x)dx 0
a
b
a
a
b
3. f ( x)dx f ( x)dx
4. Константу как множитель можно
выносить за знак определенного
интеграла.
5. Определенный интеграл от
суммы конечного числа
непрерывных функций равен сумме
определенных интегралов от этих
функций.
6. Если подынтегральная функция f (x)
неотрицательна, то и определенный
интеграл от нее неотрицателен.
7. Теорема о среднем
Если f (x) - непрерывная функция, то
определенный интеграл равен:
b
f
(
x
)
dx
(
b
a
)
f
(
c
),
c
(
a
;
b
)
a
8
Геометрический смысл определенного
интеграла
b
Теорема. Определенный интеграл
f ( x)dx от
a
непрерывной неотрицательной f (x)на отрезке
[иa; b] численно равен площади прямолинейной
трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми x с a,
xи b и графиком функции y f (x).
y
y f (x)
a
x
0
b
Следствие.
Если линейная трапеция ограничена графиком
функции y f (x), y g (x), прямыми x aб, xбб b,
бf ( x) g ( x) для x (a; b), площадь
вычисляется по формуле:
b
S ( f ( x) g ( x))dx
y
a
y f (x)
y g (x)
x
0
a
b
Связь и отличие определенных и
неопределенных интегралов
Связь:
Как в неопределенном, так и
в определенном интеграле
нужно находить
первообразную для функции f (x).
Отличие:
Неопределенный интеграл –
общее выражение для всех
первообразных, определенный
интеграл – это число.
Определенный интеграл с
переменным верхним пределом
'
f (t )dt f ( x),
a
x
x ; .
Интегрирование по частям в
определенном интеграле
Если u u (x), v v(x) на отрезке (a; b) непрерывные дифференцируемые
функции, то на этом отрезке
справедлива формула:
b
b
a
a
b
udv
u
v
vdu
a
Замена переменной в определенном
интеграле
b
Теорема. Дано:
f ( x)dx, f ( x) (a; b).
a
Введем новую переменную,
связанную с x формулой x (t ),
(tb) непрерывна на отрезке ; ,
при этом ( ) a, ( ) b,
тогда
b
f
(
x
)
dx
a
x (t )
dx ' (t ) dt
x a b
t
f ( (t )) ' (t )dt F (t ) F ( ) F ( )
Приложение определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y f (x) ( f ( x) 0, непрерывна), прямыми
тx a, x b и осью Ox, вычисляется по формуле:
b
b
a
a
S ydy f ( x)dx y
0
a
y f (x)
x
b
Площадь фигуры, ограниченной кривой
р
y f (x) ( f ( x) 0, непрерывна), прямыми
оx a, x b и осью Ox равна
b
y
a
S f ( x)dx
a
0
b
y f (x)
x
Площадь фигуры, ограниченной двумя
непрерывными кривыми y f1 ( x) и y f 2 ( x),
a, x b
м
f1 ( x) f 2 ( x) и двумя прямыми xнаходится
по формуле
b
S f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
y
y f 1 ( x)
a
0
b
y f 2 ( x)
x
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то
прямыми, параллельными оси Oy, её следует разбить на
части так, чтобы можно было бы применить уже известные
формулы:
y
y f (x)
y g (x)
0
x
c
b
a
Здесь непрерывные и неотрицательные функции y f (x)
и y g (x) пересекаются в точке с абсциссой x c.
c
b
S f ( x)dx g ( x)dx
a
c
Вычисление длины дуги
Если плоская кривая отнесена к
прямоугольной системе координат и задана
уравнением y f (x), то
b
2
l 1 f ' ( x) dx
a
где a, b - абсциссы начала и конца дуги
a b.
Если кривая задана уравнением x g ( y ),
то
d
l 1 g ' ( y ) dy,
2
c
где c, d - ординаты начала и конца дуги
c d .
Если кривая задана параметрическими
уравнениями x x(t ), y y(t ), то
длина дуги выражается формулой
t2
l
x y dt
2
'
t
2
'
t
t1
где t1 , t 2 - значения параметра,
соответствующие концам дуги t1 t 2 .
Вычисление объема тела вращения
плоской фигуры
Если тело образуется при вращении вокруг оси
Ox
т криволинейной трапеции, то любое его
плоское сечение, перпендикулярное к оси Oy,
будет круг, радиус которого равен
соответствующей ординате кривой y f (x).
Объем тела вращения определяется формулой:
x2
2
1
2
ox
x1
V y ( x)dx
x x
Если тело образуется при вращении
криволинейной трапеции, принадлежащей
к оси Oy, то объем тела вращения
определяется формулой:
y2
Voy x ( y )dy
2
y1
y1 y2
