Геометрические методы решения алгебраических задач

Задача 1.
Вычислите arctg1  arctg2  arctg3
.
Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон,
как задание выполняется практически устно.
arctg3  BAM , arctg2  CAN , arctg1  BAC
B

(угол BAC – острый
угол прямоугольного
.
равнобедренного треугольника АВС, угол С—
прямой).
C
M
A
N
Ответ: 
Задача 2.
5
1
Вычислитеctg  arccos .
13 
2
Решение. Если использовать понятия косинуса и
котангенса острого угла прямоугольного треугольника,
теорему Пифагора и свойство биссектрисы треугольника,
то задача решается почти мгновенно.
В
5  BC
5 .3
1
ctg arccos  


13  MC 5 x 2
2
13
5
13x
5x
А
С
М
Ответ:1,5
12
Задача 3.Решите систему уравнений  x  y  z  3
 2
2
2
x

y

z
 3.

• Уравнение x  y  z  3 – есть
уравнение плоскости,
пересекающей оси
прямоугольной декартовой
системы координат в точках
А(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3).
2
2
2
• Уравнение x  y  z  3 есть
уравнение сферы с центром
в точке О(0;0;0) и радиусом
R, равным 3 .
•
Вычислим расстояние от
точки О до плоскости АВС.
Для этого рассмотрим
тетраэдр ОАВС.
Объём V тетраэдра ОАВС равен
1
S ABC  H где H=OD (D — центр
3
треугольника АВС).
1 (3 2 ) 2 3
3H 3
V 
H 
3
4
2
Этот объём можно найти
иначе:
1
1 1
9
V  SOAB  CO    32  3  .
3
3 2
2
Приравняв эти выражения, получаем
H  3 . Это означает, что
расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а
значит, плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания
является центром треугольника АВС.
Поскольку D(x;y;z) – центр равностороннего треугольника АВС,
где A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3), то x  y  z
.
Заменив y и z на x в уравнениях данной системы, получаем х=1.
Ответ: (1;1;1).
Задача 4.
2
2
y

(
x

1

2

z
),
x

y

7
,
25
y
y

0
Вычислите значение
если ,
, z2
и y2  x  1  2  z .
Решение.
Заметим, что x  1 и z  2 , т.к. при x  1 или z  2 , y  0 .
2
2
Для таких значений переменных
и условия x  y  7,25 и y  z  2
2
2
(
x

1
)

y
 6,25
можно преобразовать соответственно в уравнения
и y 2  ( 2  z )2  4 .
По теореме, обратной теореме Пифагора, числа
x  1 ,y и 2,5
являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника
АBD с прямым углом АDB, и также числа 2  z ,y и 2 в треугольнике
BDC с прямым углом BDC.
Из третьего условия следует, что треугольник ABC – прямоугольный с
прямым углом ABC.
Тогда y  ( x  1  2  z )  2S  2,5  2  5
ABC
Геометрические методы решения алгебраических задач