Стереометрия
ТЕМА: 2.6
ЦИЛИНДР.СЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА.
АК ВГУЭС
Преподаватель
БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА
специальности:
08011051 «Банковское дело»
10110151 «Гостиничный сервис»
080110151 «Сервис домашнего и
коммунального хозяйства»
10080151 «Товароведение и
экспертиза качества потребительских
товаров»
3
Требования к знаниям, умениям и
навыкам
В результате изучения лекции студент должен знать:
* Представление о цилиндрической поверхности.
* Определение цилиндра и его изображение .
* Элементы цилиндра. Свойства элементов.
*Цилиндр
как тело вращения.
* Виды сечений.
* Формулы площадей боковой и полной поверхностей,
объем цилиндра.
В результате изучения лекции студент должен уметь:
■ Изображать цилиндр.
■ Решать задачи на построение сечений цилиндра.
■ Решать задачи на нахождение площадей и
объемов цилиндра.
Содержание:
1.Понятие цилиндрической поверхности.
2. Определение цилиндра, его
элементов.
3.Изображение цилиндра.
4.Сечения цилиндра.
5. Формулы площадей боковой и полной
поверхностей, объем цилиндра.
Общая цилиндрическая поверхность,
её направляющая L и образующая m
L
m
• Рассмотрим две
1.Понятие
параллельные
плоскости и
цилиндрической
окружность,расположен
поверхности
ную в одной из
плоскостей. Через
цилиндра.
каждую точку
окружности проведем
прямую,
перпендикулярную к
данной плоскости.
Отрезки этих прямых,
заключенные между
плоскостями,
образуют
цилиндрическую
поверхность.
Цилиндр
-тело, ограниченное
цилиндрической
поверхностью и
двумя кругами с
границами L и L1
Слово «Цилиндр»
происходит от греческого слова
«Kylindros» - килиндрос, то есть
«вращаю», «катаю», «валик»,
«свиток» .
Наклонный круговой цилиндр
круг
Н
радиус (r)
основание
О1
боковая
поверхность
oбразующая
(H)
О
основание
ось цилиндра
Цилиндр может быть
получен вращением
прямоугольника
вокруг одной из его
сторон.
Равносторонний
цилиндр.
• Высота цилиндра
равна диаметру
основания.
• Осевое сечениеквадрат.
С
О1
В
Осевое сечение
цилиндра
О
А
D
B1
О1
А1
О
B
А
Сечение
цилиндра
плоскостью,
параллельной
его оси
О1
Сечение цилиндра
плоскостью,
перпендикулярной
его оси
О2
О
О1
Сечение цилиндра
плоскостью,
наклоненной под
углом к его оси
О
Касательная плоскость
цилиндра
- это плоскость
проходящая через
образующую
цилиндра и
перпендикулярная
плоскости осевого
сечения,
содержащей эту
образующую
С 2R
R
О1
О1
H
So R
2
Sб 2R H
О
S п 2R H 2R 2R ( H R)
2
О
R
Площадь поверхности
цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна
произведению длины окружности основания на высоту
цилиндра.
A
O
Площадью полной поверхности цилиндра
является сумма площадей боковой
поверхности и двух оснований
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
B
(Sбок.= 2ПRH)
(Sосн. = ПR²)
h
h
h
r
r
r
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
V = πr²h.
Найдите диагональ осевого сечения
цилиндра ,если радиус цилиндра
равен 1,5м,а высота – 4м.
h
2r
Диагональ осевого сечения цилиндра
равна 48 см.Угол между этой
диагональю и образующей цилиндра
равен 60 градусов. Найдите: а)высоту
цилиндра; б)радиус
цилиндра;в)площадь основания
цилиндра.
h
.
2r
Вычислить, какую площадь трубы
необходимо обмотать пленкой, если
диаметр трубы 154см, длина 5 км.
Решение:
π=3
Sбок=2πRH=πdH=3·1,54·5000=2310
0(м2)
Для двукратного покрытия трубы
понадобится
23100·2=46200(м2) изоляционной
пленки.
Ответ: 46200 м2
Вычислить, какую площадь трубы
необходимо обмотать пленкой, если
диаметр трубы 76 см, длина 5 км.
Решение:
π=3
Sбок=2πRH=πdH=3·0,76·5000=
11400(м2)
Для двукратного покрытия трубы
понадобится
11400·2=22800(м2) изоляционной
пленки.
Ответ: 22800 м2
Осевое сечение цилиндра – квадрат,
диагональ которого равна 20 см. Найдите:
а) высоту цилиндра; б) So цилиндра
Решение.
B
C
1. Проведем диагональ АС
сечения АВСD.
2. ADC – равнобедренный,
прямоугольный, АD=DC, h = 2r,
45
20
CAD = ACD=45, тогда
2
h AC cos 45 20
10 2 .
2
3. Найдем радиус основания
45
A
D
4. Найдем площадь основания
Ответ:
а)10 2 ;
б )50 .
h 10 2
r
5 2.
2
2
2
S o r 5 2 50 .
2
Площадь осевого сечения цилиндра
равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2.
Найдите высоту цилиндра.
C
Решение.
1. Площадь основания – круг,
B
So r 2 , тогда r S 5 .
2. Площадь сечения – прямоугольник,
Sc AB BC h 2r , тогда
D
A
r
Sc
5
h
10 2
5
5 .
2r
5
Ответ:
5 .
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра.
Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между
прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту,
если r = 10, d = 8, AB = 13.
В
Решение.
1. Построим отрезок АВ.
2. Проведем радиус АО.
3. Построим отрезок d.
4. Отрезок ОК – искомое расстояние.
5. Из прямоугольного АОК находим:
a
AK r 2 d 2 100 64 6,
С
К
А
значит АС = 12.
6. Из прямоугольного АВС находим:
d r
ВС АВ 2 АС 2 169 144 5.
r
Итак, h = 5.
Ответ: 5.
Вопросы для
самопроверки
• Что такое цилиндр, его поверхность?
• Назвать основные элементы цилиндра.
• Как можно получить цилиндр?
• Какие фигуры можно получить в
сечении цилиндра?
• Назвать формулы площадей боковой и
полной поверхностей, объем цилиндра
• Где в жизни встречается цилиндр?
33
Используемая литература:
1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под
ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.:
Просвещение, 2010.
2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И.
Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011
3. Геометрия.10-11 классы И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва:
Мнемозина, 2003
