Задача 5.15. В момент времени t 0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме шириной a с бесконечно высокими стенками имеет вид: C 1 C 2 где C - некоторая константа, 1 - волновая функция основного состояния, а 2 равновероятная суперпозиция основного и второго возбужденного состояний. Найдите волновую функцию ( x, t ) и среднее значение импульса частицы в данном состоянии. Решение: Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1: Рисунок 1 , x 0 U ( x) 0, 0 x a , x a Составим уравнение Шредингера для стационарных состояний для области 0 x a : 2 2m 2 E 0 (1) 2 2m 2 E 0 x 2 2 k 2 0 2 x где k 2 2m 2 (2) E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид: ( x) A sin(kx ) На волновую функцию вида (3) налагаются граничные условия. Из условия непрерывности следует: (3) (0) 0 sin 0 0 (a) 0 sin ka 0 ka n, где n 1, 2,3,... (4) Таким образом, собственные волновые функции имеют вид: nx a n ( x) A sin (5) где n 1, 2,3,... - квантовое число. Найдём энергетический спектр частицы в 2m потенциальной яме данного вида. Так как k 2 2 E , то: k2 2m E 2 2n2 a2 En 2 2 2ma 2 n2 (6) Таким образом, в потенциальной яме данного вида, значение энергии частицы может принимать одно из значений дискретного энергетического спектра (6). Определим постоянную A в выражении для собственных волновых функций (5), используюусловие нормировки: a 2 2 2 2 dx 1 A n sin a nx dx 1 A a a 0 0 (7) Значит, волновые функции собственных состояний имеют вид: n ( x) 2 sin nx a a (8) Волновая функция основного состояния частицы (при n 1 ), имеет вид: 1 2 sin x a a (9) Волновая функция второго возбуждённого состояния (при n 3 ), имеет вид: 3 2 3 x sin a a (10) Равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого состояний: 1,3 1 1 1 1 3 2 2 2 2 1 sin x a 2 a 2 3 x 1 3 sin sin x sin x a a a a a Таким образом, волновая функция имеет вид: 2 1 3 sin x sin x sin x a a a a a C 1 C 1,3 C 2 1 1 3 C sin x sin x a a a a (11)