Задача 5.15.
В момент времени t 0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме
шириной a с бесконечно высокими стенками имеет вид:
C 1 C 2
где C - некоторая константа, 1 - волновая функция основного состояния, а 2 равновероятная суперпозиция основного и второго возбужденного состояний. Найдите
волновую функцию ( x, t ) и среднее значение импульса частицы в данном состоянии.
Решение:
Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
, x 0
U ( x) 0, 0 x a
, x a
Составим уравнение Шредингера для стационарных состояний для области 0 x a :
2
2m
2
E 0
(1)
2 2m
2 E 0
x 2
2
k 2 0
2
x
где k 2
2m
2
(2)
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
( x) A sin(kx )
На волновую функцию вида (3) налагаются граничные условия. Из условия
непрерывности следует:
(3)
(0) 0 sin 0 0
(a) 0 sin ka 0 ka n, где n 1, 2,3,...
(4)
Таким образом, собственные волновые функции имеют вид:
nx
a
n ( x) A sin
(5)
где n 1, 2,3,... - квантовое число. Найдём энергетический спектр частицы в
2m
потенциальной яме данного вида. Так как k 2 2 E , то:
k2
2m
E
2
2n2
a2
En
2 2
2ma 2
n2
(6)
Таким образом, в потенциальной яме данного вида, значение энергии частицы может
принимать одно из значений дискретного энергетического спектра (6). Определим
постоянную A в выражении для собственных волновых функций (5), используюусловие
нормировки:
a
2
2
2
2
dx
1
A
n
sin a nx dx 1 A a
a
0
0
(7)
Значит, волновые функции собственных состояний имеют вид:
n ( x)
2
sin nx
a
a
(8)
Волновая функция основного состояния частицы (при n 1 ), имеет вид:
1
2
sin x
a
a
(9)
Волновая функция второго возбуждённого состояния (при n 3 ), имеет вид:
3
2
3 x
sin
a
a
(10)
Равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого состояний:
1,3
1
1
1
1 3
2
2
2
2
1
sin x
a
2
a
2
3 x 1
3
sin
sin x sin
x
a
a a
a
a
Таким образом, волновая функция имеет вид:
2
1
3
sin x
sin x sin
x
a
a
a
a
a
C 1 C 1,3 C
2 1 1
3
C
sin x
sin
x
a
a
a
a
(11)
