Задача № 27.
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, имеющей ширину a . В каких точках интервала 0 x a плотность
вероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбуждённого
состояний?
Решение:
Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
, x 0
U ( x) 0, 0 x a
, x a
Составим уравнение Шредингера для области 0 x a :
2 2m
2 E 0
x 2
(1)
или в виде:
2
k 2 0
x 2
где k 2
2m
2
(2)
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
( x) A sin(kx )
(3)
Используя условие непрерывности на краях ямы (в точках x 0 и x a ), получим:
sin 0 0
sin ka 0 ka n, n 1, 2,3
(4)
С учётом выражений (4) волновая функция (3) примет вид:
nx
a
( x) A sin
(5)
Постоянную A в выражении (5) найдём, используя условие нормировки:
a
2
2
dx 1 A sin a nx dx 1 A a
2
2
(6)
0
В этом случае волновые функции собственных состояний частицы в потенциальной яме
имеют вид:
2
sin nx
a
a
n
(7)
Физический смысл пси-функции заключается в том, что её квадрат модуля определяет
плотность вероятности местонахождения частицы. Поэтому плотность вероятности
обнаружения частицы, находящейся в n ом собственном состоянии, равняется:
2
a
nx
a
n n sin 2
2
(8)
Для основного состояния ( n 1 ) имеем:
2
a
x
a
1 sin 2
(9)
Для второго возбуждённого состояния ( n 3 ) имеем:
2
a
3
x
a
3 sin 2
(10)
Найдём точки интервала 0 x a , в которых выполняется 1 3 . Для этого составим
уравнение:
2 2 2 2 3
sin x sin
x
a
a a
a
(11)
3
sin 2 x sin 2
x
a
a
Учитывая тригонометрическое соотношение sin 2
2
6
1 cos
x 1 cos
x
a
a
2
2
2
6
cos
x cos
x
a
a
1 cos 2
, получим:
2
Воспользуемся тригонометрическим соотношением cos3 4cos3 3cos и получим:
2
2
2
cos
x 4 cos3
x 3cos
x
a
a
a
2
2
cos 2
x cos
x 1 0
a
a
2
2
Отсюда получим, что cos
x 0 или cos
x 1 . Отсюда получим:
a
a
2
2
a a
x p1 или
x 2 p2 , где p1 и p2 - целые числа. Поэтому x p1 ,
a
2
a
4 2
a
3a
. Поэтому в точках
x ap2 . Интервалу 0 x a принадлежат решения x и x
4
4
a
3a
плотности вероятностей для основного и второго возбуждённого
x1 , x2
4
4
состояний одинаковы. Графики функций (9) и (10) приведены на рисунке 2:
Рисунок 2
a
3a
, x2
плотности вероятностей обнаружения частицы одинаковы
4
4
для основного и второго возбуждённого состояний.
Ответ: В точках x1
