Задача № 39.
Частица с энергией E падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U 0 .
U
Найдите приближённое выражение для коэффициента отражения R для случая 0 1 .
E
Решение:
Прямоугольный потенциальный порог имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
0, x 0
U ( x)
U 0 , x 0
Составим уравнение Шредингера для области x 0 :
2 1 2m
2 E 1 0
x 2
(1)
Для области x 0 :
2 2 2m
2 ( E U 0 ) 2 0
x 2
(2)
Запишем дифференциальные уравнения (1) и (2) в виде:
2 1
k12 1 0
x 2
(3)
2 2
k22 2 0
2
x
(4)
где k12
2m
2
E и k22
2m
2
( E U 0 ) . В нашем случае E U 0 . Решения дифференциальных
уравнений (3) и (4) имеют вид:
1 ( x) A1 exp(ik1 x) B1 exp(ik1 x)
(5)
2 ( x) A2 exp(ik2 x) B2 exp(ik2 x)
(6)
Первое слагаемое выражения (5) соответствует падающей дебройлевской волне, второе
слагаемое – отражённой волне. В области x 0 существует только прошедшая волна,
которой соответствует первое слагаемое выражения (6), поэтому коэффициент B2 0 .
Таким образом, выражение (6) примет вид:
2 ( x) A2 exp(ik2 x)
(7)
Волновая функция частицы должна удовлетворять стандартным условиям. Используя
условие непрерывности в точке x 0 , получим:
A1 B1 A2
(8)
Используя условие гладкости (непрерывности первых производных), получим:
k1 A1 k1B1 k2 A2
(9)
Из уравнений (8) и (9) следует:
k1 A1 k1B1 k2 A1 k2 B1
(k1 k2 ) A1 (k1 k2 ) B1
Откуда получим:
B1 k1 k2
A1 k1 k2
(10)
Так как квадрат амплитуды волновой функции в нашем случае характеризует плотность
вероятности местонахождения частицы, а скорость движения частицы v k , то поток
плотности вероятности:
P vA2
kA2
(11)
Для падающей дебройлевской волны поток плотности вероятности:
P
k1 A12
(12)
Для отражённой дебройлевской волны поток плотности вероятности:
P ' k1B12
(13)
Коэффициент отражения частицы от потенциального порога равняется:
P ' B12 k1 k2
R
P A12 k1 k2
Так как k1
2mE
2
, k2
(14)
2m( E U 0 )
, получим:
k k
R 1 2
k1 k2
2
U0
2mE 2m( E U 0 ) E E U 0 1 1 E
2mE 2m( E U 0 ) E E U 0
U0
1 1
E
2
2
2
(15)
U0
1 . В этом случае в числителе выражения (15) получим
E
нуль. Таким образом, R 0 , то есть дебройлевская волна практически полностью
проходит в область потенциального порога.
Теперь рассмотрим случай
U0
1 коэффициент отражения R 0 , то есть дебройлевская волна
E
практически полностью проходит в область потенциального порога.
Ответ: В случае
