Лабораторная работа №
1.5
Определение момента инерции крестообразного маятника Обербека
Принадлежности: 1) крестообразный маятник Обербека (с набором грузов),.2) электронный секундомер
(вмонтирован в прибор).
Целью работы является: 1) определение момента инерции маятника; 2) сравнение найденного в опыте момента инерции с его значением, вычисленным теоретически.
Теоретическое введение
Рассмотрим твердое тело, например, диск, который может
вращаться вокруг закрепленной оси. На рис. 1 ось вращения
OZ проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.
Силы, параллельные оси вращения, не могут произвести
вращение тела, а могут только сдвинуть тело вдоль этой оси.
Поэтому вращать могут только силы, лежащие в плоскости,
перпендикулярной оси вращения. Например, сила F , котоРис. 1
рая приложена по касательной к боковой поверхности диска.
Моментом Mz силы относительно оси OZ называется скалярная величина, равная произведению модуля силы на ее плечо, т.е. на длину
перпендикуляра, проведенного от оси до прямой, вдоль которой действует сила. В нашем случае плечо силы F равно радиусу r диска, то есть момент силы
Mz = Fr.
(1)
В поступательном движении тела, мерой
инертности является его масса m. Тело с большей
массой является более инертным, сильнее «сопротивляется» попыткам изменить его скорость.
Например, покоящемуся телу с большой массой
труднее сообщить скорость, или, наоборот, массивное движущееся тело труднее остановить.
Во вращательном движении твердого тела
инертность (т.е. способность сохранять угловую
скорость вращения) определяется моментом инерции IZ.
Моментом инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси вращения, называется величина, равная произведению
массы этой точки на квадрат расстояния ее от оси
вращения т.е.
I = mr2
Момент инерции тела относительно некоторой
оси Z равен сумме моментов инерции материаль-
1
ных точек, из которых состоит тело, т.е. сумме произведений элементарных
масс mi, на которые мысленно разбиваем тело, на квадраты расстояний ri каждой элементарной массы от оси вращения (см. рис. 2)
n
I z m r 2 m r 2 m r 2 ... mn rn2 mi ri2 .
11
22
33
i1
(2)
Здесь ∑ — принятый в математике для краткой записи знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Единица измерения момента инерции в СИ кг∙м2.
Из формулы (2) для момента инерции видно, что точки, лежащие дальше
от оси вращения, вносят в сумму значительно больший вклад, чем близкие точки.
Таким образом, момент инерции зависит не только от массы тела, но и
того, как эта масса распределена по объему тела – далеко или близко от оси.
Это свойство момента инерции можно иллюстрировать с помощью т.н. крестообразного маятника (рис. 3). В его средней
части укрепляются спицы, и имеется отверстие
для оси. Такое колесо вращается с помощью
подшипника вокруг горизонтальной оси. Вдоль
укрепленных радиально четырех спиц, могут
перемещаться грузы-насадки , закрепленные на
спицах с помощью винтов.
Рис. 3.
На обод колеса (называемый шкивом) наматывается нить.
К свободному концу нити подвешивается массивное тело. При падении
массивного тела движение через нить передается шкиву, и крестовина начинает
вращаться.
На рисунках 3 а и 3 б масса вращающейся крестовины с грузами одна и та
же. Но она по-разному распределена в двух опытах. Чем дальше от оси вращения находятся грузы, тем больше сумма произведений масс на квадраты их расстояний от оси – момент инерции (2). Другими словами, момент инерции крестовины в случае 3 б больший.
Опыт показывает, что в случае 3 б раскрутить крестовину при воздействии
одного и того же массивного тела на нити труднее, чем в случае а.
Для раскручивания стержней с грузами до одной и той же угловой скорости
в случае 3 б требуется большее время, чем в случае 3 а.
Напомним, что второй закон Ньютона для поступательного движения тела
имеет вид ma = F (произведение массы тела на его ускорение равно силе, действующей на тело). Другими словами, ускорение, приобретаемое телом под действием силы, пропорционально частному от деления силы на массу тела:
a
F
.
m
Аналогично записывается уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
2
ε
M
.
I
(3)
Из сопоставления формул механики поступательного движения и вращения
вокруг неподвижной оси следует, что роль линейного ускорения a играет угловое
ускорение ε, роль массы m – момент инерции I, силы F– момент силы M.
Подытоживая, можно сказать, что момент инерции твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси является мерой инертности этого тела во
вращении вокруг данной оси: чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием одного и того же момента внешних сил (см. формулу (3)).
Описание экспериментальной установки
Применяемый в настоящей работе крестообразный маятник Обербека состоит из
цилиндрической муфты с двумя шкивами
разного размера. Муфта вращается на оси,
укрепленной горизонтально на стойке. В
муфту ввинчены крестообразно четыре
стержня (фото 1). Перемещая грузы-насадки
m0 вдоль стержней, можно изменять момент
инерции маятника.
Маятник приводится во вращение при
помощи падающих грузов различной массы
m, прикрепляемых к концу намотанной на
тот или иной шкив нити.
Наверху вертикальной стойки размещен
малоинерционный шкив (колесико неподвижного блока), изменяющий направление
движения нити, на которой подвешен падающий груз. На стойке закреплены также
верхний датчик начала отсчета времени вертикального движения падающего груза и
нижний датчик окончания отсчета времени
движения этого груза.
Теория опыта
На рис. 4 показаны силы, действующие на тела в данной задаче. На падающий груз массой m, подвешенный на нити, действуют две силы (рис. 4): mg –
сила тяжести – вертикально вниз и Т – сила натяжения нити – вертикально
вверх. По второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно сумме приложенных сил:
ma = mg + T
3
Под действием этих сил падающий груз движется вниз поступательно с
ускорением а. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикаль
ma = mg – T
(4)
По третьему закону Ньютона сила, равная по модулю силе натяжения Т, но
направленная противоположно ей, приложена ко второму из взаимодействующих тел – к шкиву (по касательной). Она обозначена на рисунке – Т.
Эта сила и создает вращающий момент Мz
Mz = Tr
(5)
(для простоты индексы z в дальнейших формулах опущены).
Моментом сил трения пренебрегаем.
Ускорение а может быть найдено из формулы пути при равноускоренном
движении без начальной скорости. Если h – путь, пройденный падающим грузом за время t, то
at 2
,
h
2
откуда
2h
(6)
a 2 .
t
Из уравнений (4), (5) и (6) находим значение вращающего момента М
2h
(7)
M mr ( g 2 ) .
t
Груз m, падая с ускорением a, увлекает
за собой нить, намотанную на шкив, поэтому
точки обода шкива будут иметь такое же линейное ускорение, что и падающий груз.
Учитывая связь линейного а и углового
ускорений, выразим угловое ускорение точки
А на ободе шкива через ее линейное ускорение и радиус шкива r:
a 2h
(8)
2.
r rt
Далее, пользуясь основным уравнением
(3) динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси
M = Iε ,
из (7) и (8) получаем расчетную формулу для момента инерции крестообразного маятника
gt 2
I mr 2 (
1)
(9)
2h
4
Измеряя время t, в течение которого падающий груз массой m из состояния
покоя опустится на расстояние h, по этой формуле можно определить момент
инерции I маятника.
Измерения
Задание 1. Определение момента инерции крестообразного маятника при двух
положениях грузов (на концах спиц и сдвинутых к ступице).
1. Закрепить насадки ближе к концам спиц (R ≈ 20-25 см). Каждый раз, закрепляя насадки на спицах, необходимо проверить, правильно ли сбалансирована система, т. е. находится ли она в безразличном равновесии. Включить
прибор кнопкой «Сеть».
2. Задать высоту h падения груза m1 по отметке на вертикальной стойке.
3. На конец нити прикрепить груз m1. Вращением крестовины намотать нить
на шкив радиуса r1 и поднять груз вверх. Нить при наматывании должна находиться с правой стороны шкива. Радиусы шкивов r1 и r2 указаны в таблице.
4. Маятник Обербека готов к опыту, т.е. груз находится в исходном положении, когда он поднят наверх к верхнему фотодатчику так, чтобы нижнее основание груза находилось вблизи оптической оси датчика. Придерживая рукой
крестовину, установить падающий груз по отметке.
5. Дважды нажать кнопку «Пуск» и отпустить крестовину.
6. После прохождения падающим грузом нижнего фотодатчика записать
время t опускания груза m1 с высоты h. Нажать кнопку «Сброс».
7. Изменить массу падающего груза, подвешенного к нити – привязать по
очереди грузы m2 и m3 и повторить опыты.
8. Затем нить перебросить на другой шкив (радиуса r2 ) и повторить все опыты.
9. Сдвинуть насадки до значений R ≈ 7 – 10 см и повторить измерения по
пунктам 1 – 8.
8. Результаты измерений заносить в таблицу и рассчитать моменты инерции
с раздвинутыми (Таблица 1) и сдвинутыми (Таблица 2) насадками.
5
Таблица 1.
2.
3.
4.
5.
6.
m1 =
0,051
m2 =
0,101
m3 =
0,151
Шкив r2 =
m1 =
0,051
m2 =
0,101
m3 =
0,151
S<I>
tα,n
Δ<I>
E%
I
по
(9)
I1
ΔI1
I2
ΔI2
I3
I
I 1 I 2 ... I 6
6
ΔI3
I4
ΔI4
I5
ΔI5
I6
ΔI6
I = <I> ± <I> (кг∙м2)
По таблице Стьюдента из
Приложения
1.
ΔIi
<I>
Смотрите Приложение
N
п/п
Шкив r1 =
m, кг
h,м
t, c
при α =
Таблица 2.
2.
3.
m1 =
0,051
m2 =
0,101
m3 =
0,151
ΔIi
I
по (9)
I1
ΔI1
I2
ΔI2
I3
ΔI3
I4
ΔI4
I5
ΔI5
I6
ΔI6
Шкив r2 =
4.
5.
6.
m1 =
0,051
m2 =
0,101
m3 =
0,151
I = <I> ± <I> (кг∙м2)
S<I>
tα,n
Δ<I>
E%
По таблице Стьюдента из
Приложения
1.
<I>
Смотрите Приложение
N п/п
Шкив r1 =
m, кг
h,м
t, c
при α =
6
ПРИЛОЖЕНИЕ
Методика обработки эксперимента
1. Проводят n независимых опытов и определяют n значений искомой величины х1, х2, х3,
…, хn.
2. Рассчитывают среднее арифметическое значение искомой величины:
х х2 ... хn 1 n
х 1
хi .
n
n i 1
3.Рассчитывают отклонение каждого результата от среднего значения:
xi хi х .
4. Определяют стандартное отклонение среднего
n
( х х )
2
х12 х22 х32 ...
.
n(n 1)
n(n 1)
5. Задают доверительную вероятность . Обычно доверительную вероятность полагают
равной 0,90; 0,95; 0,98; 0,99. По выбранному значению доверительной вероятности α и для
выполненного количества измерений n по таблице определяют коэффициент Стьюдента tα,n .
6. Вычисляют полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность среднего)
Δ<х> = tα,n S<x>.
7. Определяют относительную погрешность
х
E
100% .
х
8. Окончательный результат измерения записывают в виде:
S х
i 1
i
x = (<x> ± <х>) единиц измерения, при α = …
n
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
2
3,08
6,31
12,7
0
31,8
0
63,7
0
Таблица коэффициентов Стьюдента tα,n.
3
4
5
6
7
8
9
10
1,89
2,92
4,30
1,64
2,35
3,18
1,53
2,13
2,78
1,48
2,02
2,57
1,44
1,94
2,45
1,42
1,89
2,36
1,40
1,86
2,31
1,38
1,83
2,26
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
Задание 2. (Выполняется по указанию преподавателя при наличии времени).
Сравнение значения момента инерции, найденного в опыте, с теоретическим.
Из данных первого опыта определяют среднее значение момента инерции I
системы при раздвинутых насадках. Затем найденное значение I сравнивают с
его теоретическим значением.
7
Согласно теории, момент инерции Iтеор маятника равен сумме моментов
инерции пустой крестовины и четырех насадок, масса которых m0.
Iтеор = I кр + 4m0R2,
(11)
R – расстояние от оси вращения до центра масс насадок.
Момент инерции I кр крестовины маятника - это момент инерции двух больших взаимно перпендикулярных стержней, образующих крест, относительно
оси, проходящей через их середину
1
I кр 2 mстl 2 .
(12)
12
Здесь mст - масса стержня, l - его длина написаны на приборе.
Теоретическое значение момента инерции вычисляют по формулам (11) и (12).
Iтеор =
1
6
mстl2 + 4m0R2.
(13)
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции тела относительно данной оси? Чему
равен момент силы относительно оси? Какова роль момента инерции во вращательном движении?
2. Напишите основной закон динамики тела при вращении вокруг неподвижной оси. Сравните формулы I = M и ma = F. В чем состоит аналогия между
этими выражениями?
3. Момент какой силы заставляет маятник вращаться?
4. Как можно изменить момент инерции маятника.
5. Как можно изменить момент вращающей силы (2 способа).
6. Выведите рабочую формулу (9).
7. Сравните измеренные на опыте значения момента инерции маятника со
сдвинутыми и раздвинутыми насадками. Сделайте вывод.
Литература
1. Кучерук І.М. та ін. Загальний курс фізики. Навч. посібник Т.1. Механіка.
Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.:Техніка.,1999 – 536 с.
2. Савельев И.В. Курс физики. В 3-х т. Т 1: Механика. Молекулярная физика. – М.: «Наука», 1989, – 352с.,
Составил И.П.Гаркуша
8
