§9. Линейные представления конечных групп
G обозначается конечная группа, а через k | алгебраически замкнутое поле, причём char(k) - |G|.
Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через
9.1. Разложение представлений на неприводимые. Мы будем обозначать множество всех
различных неприводимых представлений группы
вления | через
:G
G через Irr(G), а сами неприводимые предста-
- GL(U ), и писать в этом случае, что ∈ Irr(G) или U ∈ Irr(G) .
Согласно теор. 8.1 любой конечномерный
числа неприводимых:
G-модуль V является прямой суммой конечного
V = ⊕ Vi ;
(9-1)
i
Vi изоморфен ровно одному из неприводимых U ∈ Irr(G). Сумма всех слагаемых
U ∈ Irr(G) , называется -изотипным подмодулем и
обозначается V ⊂ V . Целое неотрицательное число
где каждый из
этого разложения, изоморфных данному
m (V ) = dim V = dim U ;
U прямых слагаемых разложения (9-1), называется кратно в представлении V .
Покажем, что кратности m (V ) и изотипные подмодули V ⊂ V зависят только от V и ,
но не от выбора разложения (9-1). Для этого вначале зафиксируем у каждого G-модуля какоеравное количеству изоморфных
стью неприводимого представления
нибудь разложение в сумму неприводимых подмодулей и дадим инвариантную характеризацию
кратностям и изотипным подмодулям.
Лемма 9.1
Для любых
G-модулей V и W
G (V; W ) =
X
dim Hom
В частности,
∈Irr(G)
m (V ) m (W ) :
(9-2)
m (V ) = dim HomG (U ; V ) не зависит от выбора разложения (9-1).
V = ⊕ Vi и W = ⊕ Wj два разложения в сумму неприводимых подi
j
L
модулей. Тогда HomG (V; W ) = HomG (⊕ Vi ; ⊕ Wj ) =
HomG (Vi ; Wj ) , где каждый из Vi , Wj
Доказательство. Пусть
i
неприводим. По лемме Шура для
Hom
j
ij
U ; U0 ∈ Irr(G)
G (U ; U0 ) =
(
k · IdU
0
0 = 0
при 6= :
при
(9-3)
Отсюда получается формула (9-2). Второе утверждение является её частным случаем.
Следствие 9.1
G (V; W ) = dim HomG (W; V ) для любых G-модулей V и W .
dim Hom
Следствие 9.2
Представления
V и W изоморфны тогда и только тогда, когда m (V ) = m (W ) для всех .
Доказательство. Модули с одинаковыми разложениями (9-1), ясное дело, изоморфны. Если же
m (V ) 6= m (W ) при каком-то , то dim HomG (U ; V ) 6= dim HomG (U ; W ) и такие модули не
могут быть изоморфны.
§9. Линейные представления конечных групп
74
G-модулей V , W пространство HomG (V; W ) является тривиальным G-модулем (подмодулем неподвижных векторов действия G на Hom(V; W )
9.1.1. Каноническая свёртка. Для любых
сопряжениями). Отображение
Hom
G (V; W ) ⊗ V
'⊗v7→'(v) -
W
(9-4)
G-модулей и называется канонической свёрткой .
является гомоморфизмом
Упражнение 9.1. Убедитесь, что отображение (9-4) получается ограничением на подпространство
- W , который пеV; W ) ⊗ V ⊂ Hom(V; W ) ⊗ V линейного оператора Hom(V; W ) ⊗ V
реходит в тождественный эндоморфизм пространства Hom(V; W ) при каноническом изоморфизме
Hom(Hom(V; W ) ⊗ V ; W ) ≃ Hom(V; W )∗ ⊗ Hom(V; W ) ≃ End Hom(V; W ) .
HomG (
G (V; W ) какой-нибудь базис '1 ; '2 ; : : : ; 'm , то G-модуль
G-подмодулей (k · 'i ) ⊗ V , каждый из которых
Если зафиксировать в пространстве Hom
Hom
G (V; W ) ⊗ V
изоморфен
разложится в прямую сумму
G-модулю V :
Hom
G V; W ) ⊗ V ≃
(
m
⊕ k · 'i ⊗ V = ('1 ⊗ V ) ⊕ ('2 ⊗ V ) ⊕ · · · ⊕ ('m ⊗ V ) ;
i=1
(для сокращения записи мы будем опускать
k перед 'i , однако сам 'i будем оставлять, чтобы
запомнить в обозначении, какому именно базисному гомоморфизму
соответствующее прямое слагаемое
вается формулой
(
G (U ; V ) ⊗ U
X
i
'i (vi )
(9-5)
- V является изоморфизмом на -изотипный под-
Каноническая свёртка Hom
модуль
- W отвечает
V ). В этих обозначениях каноническая свёртка (9-4) описы-
'1 ⊗ v1 ; '2 ⊗ v2 ; : : : ; 'm ⊗ vm ) 7−→
Лемма 9.2
'i : V
V ⊂ V . В частности, этот подмодуль не завит от способа разложения V в прямую сумму
неприводимых подмодулей.
V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn на неприводимые
m были изоморфны U , а остальные нет. Соm
гласно (9-3) , HomG (U ; V ) = HomG (U ; ⊕ Vi ) = ⊕ HomG (U ; Vi ) . Выберем в каждом одномерном
Доказательство. Возьмём произвольное разложение
подмодули и перенумеруем их так, чтобы первые
i=1
i
U ; Vi ) (где i ⩽ m) какой-нибудь базисный изоморфизм 'i : U - Vi . Тогда
m операторов æi : u 7−→ (0; : : : ; 0; 'i (u) ; 0; : : : ; 0) ∈ V = ⊕ Vj составят базис в HomG (U ; V ) , а
j
G-модуль HomG (U ; V ) ⊗ U разложится в прямую сумму
∼
пространстве Hom(
Hom
G (U ; V ) ⊗ U ≃ (æ1 ⊗ U ) ⊕ (æ2 ⊗ U ) ⊕ · · · ⊕ (æm ⊗ U ) ;
и каноническая свёртка, согласно формуле (9-5), будет действовать по правилу
æ1 ⊗ u1 ; æ2 ⊗ u2 ; : : : ; æm ⊗ um 7−→ '1 (u1 ); '2 (u2 ); : : : ; 'm (um ); 0; : : : ; 0 :
Её образ содержится в
V = ⊕ Vi ⊂ V и любой вектор (v1 ; v2 ; : : : ; vm ; 0; : : : ; 0) ∈ V получается
из единственного вектора
i⩽m
m
'−1 1 (v1 ); '−2 1 (v2 ); : : : ; '−m1 (vm ) ∈ ⊕ 'i ⊗ U .
i=1
Следствие 9.3
Образ каждой изотипной компоненты при любом гомоморфизме
G-модулей содержится в изо-
типной компоненте того же типа.
v ∈ V как v =
i ui с i ∈ HomG (U ; V ) и ui ∈ U . Тогда 'v =
P
' i v ∈ W для любого ' ∈ HomG (V; W ), поскольку ' i ∈ HomG (U ; W ) .
Доказательство. Запишем
P
9.2. Строение групповой алгебры.
75
Следствие 9.4
W = W ∩ V для любого G-подмодуля W ⊂ V .
Доказательство. Применим предыдущее следствие к вложению
9.2. Строение групповой алгебры. Групповая алгебра k[
ет собою
X
g
cf =
G] конечной группы G представля-
|G|-мерное векторное пространство с каноническим
базисом, состоящим из элементов
P
группы. Элементы групповой алгебры имеют вид
где
V ⊂W.
P
gh=f
ag bh =
P
t
Действие группы
ag g
X
P
as bs−1 f .
aft−1 bt =
s
h
bh h =
X
gh
c=
g ∈ G cg g
ag bh gh =
X
f
и перемножаются как
cf f ;
G на k[G] умножениями с левой стороны называется левым регулярным
представлением и обозначается
L:G
Для каждого
g7→Lg -
k G]) ;
End( [
(где
Lg : h 7→ gh.)
∈ Irr(G) обозначим через I ⊂ k[G] -изотипную компоненту левого регулярного
k[G] = ⊕I (сумма по всем для которых I 6= 0).
представления. Таким образом,
Лемма 9.3
Каждое подпространство
Доказательство. Все
I ⊂ k[G] является двусторонним идеалом.
G-подмодули левого регулярного представления тавтологически являются
I тоже левый идеал. Отображения k[G] - k[G], задаваемые
левыми идеалами. В частности,
умножением на произвольно заданный элемент справа и умножением на произвольно заданный
G-эндоI в себя. Значит, I
элемент слева, перестановочны. Поэтому умножение справа на любой элемент является
морфизмом левого регулярного представления. По сл. 9.3 оно переводит
является правым идеалом.
Следствие 9.5
Если
f ∈ I , а g ∈ I0 и 6= 0 , то fg = 0.
Доказательство.
fg ∈ I ∩ I0 = 0 .
Упражнение 9.2. Докажите, что I являются минимальными (по включению) двусторонними идеалами алгебры k[
суммами идеалов
G], и что все двусторонние идеалы групповой алгебры исчерпываются прямыми
I .
Лемма 9.4
% : k[G]
- End(V ), не содержащее в своём разложении неприводимо- End(U )
го представления , переводит I в нуль. Неприводимое представление : k[G]
Любое представление
эпиморфно отображает
I на всю алгебру эндоморфизмов End(U ).
I
Доказательство. Поскольку является левым идеалом, для любого
v ∈ V подпространство
W = I v = {fv | f ∈ I }
G-подмодулем в V , а отображение I - W , переводящее f в fv, является сюрьективным гомоморфизмом G-модулей. По сл. 9.3 весь модуль W является в этом случае -изотипным, т. е. W = W . С другой стороны, если -изотипная компонента V = 0, то по сл. 9.4
W = W ∩ V = 0. Это доказывает первое утверждение. Из него следует, что каждое неприводи- End(U ) отображает в нуль все прямые слагаемые разложения
мое представление : k[G]
k[G] = ⊕ I0 кроме слагаемого I . По сл. 8.4 неприводимое представление эпиморфно. Поэтому
0
(I ) = End(U ).
является
§9. Линейные представления конечных групп
76
Теорема 9.1 (теорема Машке)
Гомоморфизм алгебр
Rep :
k[G]
Q
-
U ) , переводящий элемент f ∈ k[G] в набор
End(
∈Irr(G)
операторов, которыми этот элемент действует во всех неприводимых представлениях группы
G, является изоморфизмом алгебр. Его ограничение на изотипный идеал I ⊂ k[G] является
I на матричную алгебру End(U ).
изоморфизмом
I
Доказательство. По лем. 9.4 гомоморфизм Rep эпиморфно отображает на компоненту
(
: : : ; 0; : : : ; 0 ; End(U ) ; 0; : : : ; 0; : : : ) ∈
Y
U ) :
End(
∈Irr(G)
В частности, гомоморфизм Rep эпиморфен. Остаётся доказать его инъективность. Если элемент
f ∈ k[G] действует нулевым оператором во всех неприводимых представлениях, то он действует
нулевым оператором вообще в любом представлении. В частности, в левом регулярном представлении
f · 1 = 0, откуда f = 0.
Следствие 9.6
Множество Irr(
G) конечно и
2
P
∈Irr(G)
dim
U = |G|.
Упражнение 9.3. Докажите, что m (k[G]) = dim U .
9.2.1. Центр групповой алгебры. Напомним, что центром кольца или группы
K называK.
ется множество всех элементов, мультипликативно коммутирующих со всеми элементами
Элемент
z ∈ k[G] коммутирует со всей алгеброй тогда и только тогда, когда он коммутирует с
её базисом. Поэтому центр групповой алгебры
Zk[G] = {z ∈ k[G] | zx = xz ∀ x ∈ k[G] } = {z ∈ k[G] | gzg−1 = z ∀ g ∈ G } :
gzg−1 = z на элемент z = zh h означает, что все элементы h, лежащие в одном классе
h
сопряжённости, входят в z с одним и тем же коэффициентом. Таким образом, сопоставляя
каждому классу сопряженности C ⊂ G элемент
P
Условие
zC =
X
h∈C
h
(9-6)
Zk[G] . В частности, dim Zk[G] равна числу классов сопряжённых элементов
G. Мы будем обозначать это число через cl(G) и называть числом классов .
Ещё одно описание центра получается из теоремы Машке. Алгебра
⊕ End(U ) предста-
мы получаем базис в
в группе
∈Irr(G)
вляет собой прямую сумму матричных алгебр и её центр равен прямой сумме их центров. Центр
каждой матричной алгебры End(
U ) состоит из скалярных матриц c · IdU . Отсюда вытекает
Следствие 9.7
Число неприводимых представлений группы
|Irr(G)| = cl(G).
G равно числу классов сопряжённых элементов:
9.2.2. Базисные идемпотенты. Обозначим прообраз
мента прямой суммы
⊕
U )
End(
∈Irr(G)
-того базисного центрального эле-
при отображении Rep из теоремы Машке через
e = Rep−1 ( : : : ; 0; IdU ; 0; : : : ) ∈ I ⊂ k[G]:
Элементы
(9-7)
e называются неприводимыми (или минимальными ) идемпотентами . По построе-
нию, они образуют базис центра групповой алгебры и перемножаются по правилам
e e0 =
(
e
0
0 = 0
при 6= :
при
(9-8)
9.2. Строение групповой алгебры.
В любом представлении
77
k[G]
- End(V ) каждый из неприводимых идемнотентов e тожде-
-изотипной компоненте V ⊂ V и переводит в нуль все остальные изоe - V . Это свойство
типные компоненты, т. е. является G-инвариантным проектором V
однозначно определяет элементы e .
ственно действует на
Упражнение 9.4. Проверьте, что главный левый идеал k[G]·e является минимальным (по включению)
левым идеалом и как
G-модуль (относительно действия G умножениями слева) изоморфен непривоU . Покажите также, что двусторонний идеал, порождённый e , есть I .
димому представлению
9.2.3. Пример: простенькие представления симметрических групп. Напомню, что классы
Sn состоят из всех перестановок фиксированного циклового типа и, тем самым, взаимно однозначно соответствуют n-клеточным диаграмсопряжённых элементов симметрической группы
1
мам Юнга . Таким образом, число неприводимых представлений симметрической группы равно
числу разбиений
2
p(n).
У любой симметрической группы
и знаковое представление sgn :
Sn
Sn имеются два одномерных представления | тривиальное
- {±1}, в котором перестановка действует умножени-
). Базисными идемпотентами, отвечающими этим представлениям являются
ем на знак sgn(
операторы симметризации и альтернирования
e(n) =
1
X
n! g∈Sn
g
и
e(1n ) =
1
X
n! g∈Sn
g g
sgn( )
Упражнение 9.5. Покажите, что каждый из них лежит в центре и является идемпотентным (тем
самым, в любом представлении эти операторы являются
Sn -инвариантными проекторами).
Легко видеть, что образ оператора симметризации лежит в тривиальной изотипной компоненте,
и он тождественно на ней действует. Аналогично, образ оператора альтернирования лежит в
знаковой изотипной компоненте, и он тоже действует на ней тождественно.
Каждая симметрическая группа
Sn имеет (n − 1)-мерное симплициальное представление
n − 1)-мерного симплекса3 .
несобственной группой правильного (
Упражнение 9.6 (симплициальное и тавтологическое представления Sn ). Покажите, что не-
n-вершинного симплекса с центром в начале координат пространSn и неприводимо действует в kn−1 . Покажите также, что тавтологическое
собственная группа правильного
ства kn−1 изоморфна
представление Sn перестановками стандартных базисных векторов пространства kn является прямой суммой тривиального одномерного представления в линейной оболочке суммы базисных векторов и симплициального представления в гиперплоскости векторов с нулевой суммой координат.
Неприводимые представления группы
S3 , имеющей ровно три класса сопряжённости, исчер-
пываются тривиальным, знаковым и симплициальным представлением группой треугольника.
Если обозначить цикл
|1; 2; 3i через , а транспозицию |1; 2i | через , то элементы неприводи-
мые идемпотенты, отвечающие этим представлениям, будут иметь вид
e(3) =
e(13 ) =
1
X
6
g ∈S 3
1
X
6
g ∈S 3
g = (1 + + 2 + + + 2 )=6
g g = (1 + + 2 − − − 2 )=6
sgn( )
e(2;1) = 1 − e(3) − e(13 ) = (2 − − 2 )=3
(про симметризацию
e(3) и альтернирование e(13 ) мы это уже установили выше; e(2;1) аннулиру-
ет тривиальный и знаковый модули и действует тождественным оператором в представлении
группой треугольника).
1
длины строк диаграммы суть длины независимых циклов, на которые раскладывается перестановка
2
напомню, что количество всех n-клеточных диаграмм обозначается p(n) и называется числом разбиений числа
n (в сумму неупорядоченных целых неотрицательных слагаемых)
3
при n = 2 оно совпадает со знаковым
§9. Линейные представления конечных групп
78
Упражнение 9.7. Проверьте прямым вычислением в групповой алгебре, что e(2;1) лежит в центре и
идемпотентен.
У группы
S4 , имеющей 5 классов сопряжённости, кроме тривиального, знакового и 3-мерного
представления несобственной группой тетраэдра имеется ещё одно трёхмерное представление
собственной группой куба и двумерное представление группой треугольника, индуцированное
факторизацией
S4
- S3 по подгруппе Клейна D2 ⊂ S4 .
Упражнение 9.8. Покажите, что все эти представления неприводимы, причём два трёхмерных не
изоморфны и получаются одно из другого тензорным умножением на знаковое представление. Раз-
S4 -модулей представления группы вращений куба в пространстве
ложите в сумму неприводимых
функций на множестве
а) вершин
б) рёбер
в) граней
этого куба.
G
9.2.4. Скалярное произведение на k[
]. Левое регулярное представление
L : k[G]
вкладывает групповую алгебру
- End(k[G])
k[G] в алгебру End(k[G]), на которой имеется стандартная симL(k[G]) задаёт
метричная билинейная форма | след композиции. Ограничение этой формы на
на
k[G] симметричное скалярное произведение
(
f; g) = tr (Lf Lg ) = tr (Lfg ) :
Поскольку след левого умножения на единицу группы равен
|G|, а умножение на любой другой
элемент группы бесследно, скалярные произведения элементов группы задаются формулой
(
g; h) =
(
|G|
h = g −1
−1
при h 6= g
.
при
0
1
(9-9)
{g }
c ∈ k[G]
Таким образом, скалярное произведение невырождено , и двойственным базисом к базису
{|G
g
|−1 ·
из групповых элементов является базис
−1 }. В частности, каждый элемент
разлагается по базису из групповых элементов в виде
Ó=
1
|G|
X
(
g ∈G
g−1 ; c) · g
(9-10)
Упражнение 9.9. Покажите, что левое и правое умножение на заданный элемент сопряжены другу
fg; h) = (f; gh) и выведите отсюда, что ортогональG] является правым идеалом, а ортогональное дополнение
другу относительно скалярного произведения: (
ное дополнение к любому левому идеалу в k[
к правому | левым (тем самым, ортогональное дополнение к любому двустороннему идеалу тоже
двусторонний идеал).
Изоморфизм
Rep :
k[G]
∼
Q
-
U )
End(
∈Irr(G)
из теоремы Машке позволяет вычислять скаляр-
ные произведения в терминах следов действия элементов в неприводимых представлениях.
Предложение 9.1 (формула Планшереля)
(
f; g) =
P
U ) · tr ((fg))
dim (
∈Irr(G)
для любых
L
f; g ∈ k[G].
Доказательство. Вычислим tr ( fg ) в алгебре
⊕
∈Irr(G)
U ). Он равен сумме по всем неприво-
End(
следов левого умножения на (fg) в End(U ). След левого умножения
M в матричной алгебре Matn (k) равен n · tr (M ), поскольку каждая матричная единица Eij входит в MEij с коэффициентом mii .
димым представлениям
на матрицу
1
отметим, что если характеристика поля делит порядок группы, то это не так
9.3. Характеры.
79
Следствие 9.8
Базисные идемпотенты составляют ортогональный базис центра групповой алгебры и имеют
e ; e ) = dim U )2 .
скалярные квадраты (
Следствие 9.9
Разложение левого регулярного представления в прямую сумму изотипных подмодулей
k[G] =
⊕
∈Irr(G)
I
является ортогональным разложением, и неприводимые идемпотенты являются ортогональны-
ми проекциями единицы 1 ∈ k[
Следствие 9.10
Базисный идемпотент
G] на идеалы I .
e выражается через элементы группы по формуле
e =
В частности, при любом представлении
в
U X
−1
tr (g
) g
|G|
g ∈G
dim
(9-11)
- End(V ) правая часть этого равенства перейдёт
k[G]
G-инвариантный проектор на -изотипный подмодуль V ⊂ V .
e = |G|−1
Доказательство. Согласно формуле (9-10)
(
g−1 ; e ) =
X
поскольку умножение слева на
(
g−1 ; e ) · g. По формуле Планшереля
0 ∈Irr(G)
U0 ) · tr 0 (g−1 e ) = dim (U ) · tr (g−1 ) ;
dim (
0 ∈Irr(G)
P
e аннулирует все неприводимые U0 c 0 6= , а на U действует
тождественным оператором.
% : [G] - GL(V ) линейная
- k на групповой алгебре, сопоставляющая каждому элементу f ∈ G след его
9.3. Характеры. Для произвольного линейного представления
форма
% : k[G]
V
действия на
% (f ) = tr %(f )
называется характером представления %. В силу того, что след оператора не меняется при
сопряжении, характер любого представления постоянен на классах сопряжённых элементов.
Поскольку любая линейная форма однозначно задаётся своими значениями на базисных век-
k[x]∗ естественно отождествляется с пространством kG
- k. С другой стороны, скалярное произведение на групповой алгебре позволя-
торах, пространство линейных форм
функций
G
ет отождествить
k[G]∗ c k[G] при помощи изоморфизма, сопоставляющего вектору функционал
скалярного умножения на этот вектор:
f 7−→(f; ∗ ) -
k[G]
k[G]∗ :
(9-12)
g ∈ G перейдёт при этом изоморфизме в умноженную на |G|
−1 , а функция G '- k | в элемент
форму, вычисляющую координату вдоль базисного вектора g
Согласно (9-9) базисный вектор
групповой алгебры
'b =
1
|G|
X
g ∈G
' g −1 · g
(его иногда называют преобразованием Фурье от функции
'). Отметим, что по сл. 9.10 преобра-
зования Фурье от характеров неприводимых представлений пропорциональны неприводимым
идемпотентам:
b =
1
dim
U
· e
(9-13)
§9. Линейные представления конечных групп
80
Перенесём при помощи изоморфизма (9-12) скалярное произведение из групповой алгебры в
пространство функций на группе, полагая по-определению
(
'; ) = (';
b b) =
1
|G|2
X
g;h∈G
' g −1
h−1 (g; h) =
1
|G|
X
g ∈G
' g −1
g
( )
(9-14)
Из (9-13) и сл. 9.8 вытекает
Следствие 9.11
Неприводимые характеры образуют ортонормальный базис в пространстве функций, постоян-
ных на классах сопряжённых элементов.
G действует на векторном пространстве переg ∈G
равно числу неподвижных элементов перестановки g . В частности, сказанное перед формулой
9.3.1. Вычисление характеров. Если группа
становками базисных векторов, то значение характера такого представления на элементе
(9-9) означало, что характер регулярного представления имеет вид
L ( g ) =
(
|G|
если
0
если
g=e
g 6= e
Упражнение 9.10. Вычислите характеры тавтологического и симплициального представлений Sn .
Характеры геометрических представлений обычно без проблем вычисляются прямым сложением собственных значений соответствующих поворотов и отражений. Например, легко видеть,
что значения характеров пяти представлений симметрической группы
S4 , перечисленных перед
упр. 9.8, задаются таблицей:
классы
число элементов
1
6
3
8
6
значения характеров:
тривиального
1
1
1
1
1
знакового
1
1
1
тетраэдрального
3
−1
−1
0
кубического
3
1
−1
−1
−1
−1
0
1
треугольного
2
0
2
−1
0
из которой непосредственно видно, что они ортонормальны.
Лемма 9.5
Для любых двух представлений
V , W группы G с характерами U и V
V ⊕ W ( g ) = V ( g ) + W ( g )
V ⊗ W ( g ) = V ( g ) W ( g )
V ∗ ( g ) = V ( g − 1 )
Hom(V;W ) (g) = V (g−1 )W (g)
(9-15)
(9-16)
(9-17)
(9-18)
Доказательство. Поскольку любой оператор g из конечной группы полупрост, в пространствах
V и W имеются базисы {vi } и {wj } из собственных векторов g. Пусть i и j | соответствующие
наборы собственных чисел. Набор собственных чисел g в представлении V ⊕ W получается
объединением этих наборов, откуда следует (9-15). Собственными числами g в представлении
V ⊗ W являются всевозможные попарные произведения i j , что даёт (9-16). Формула (9-17)
−1
следует из того, что матрица g в двойственном представлении транспонирована к матрице g
в исходном (см. n
◦ 8.2). Последняя формула следует из двух предыдущих.
9.3. Характеры.
81
Упражнение 9.11. Докажите, что производящие функции для характеров симметрических и внешних
степеней представления
X
⩾0
V имеют вид:
˜ V (g) t = det(1 + t g)
Следствие 9.12
Характер любого представления
⩾0
S V (g) t =
1
det(1 −
t g)
V выражается через неприводимые характеры как
V =
где
X
X
∈Irr(G)
m (V ) · (9-19)
m (V ) обозначает кратность вхождения U в разложение V на неприводимые (см. n◦ 9.1).
Доказательство. Применяем (9-15) к разложению
V в прямую сумму неприводимых.
Следствие 9.13
G (V; W ) = (V ; W ) для любых G-модулей V и W .
dim Hom
P
Доказательство. Обе части равны
m (V )m (W ) : левая | по лем. 9.1, правая | в силу
∈Irr(G)
сл. 9.12 и ортонормальности характеров.
Следствие 9.14
U в произвольное представление V равна
m (V ) = ( ; V ).
Кратность вхождения неприводимого представления
скалярному произведению их характеров
Доказательство. Скалярно умножаем обе части (9-19) на
и пользуемся ортонормальностью
характеров.
Следствие 9.15
Представление
V неприводимо тогда и только тогда, когда (V ; V ) = 1.
Доказательство. Из ортонормальности характеров и сл. 9.12 вытекает, что
(
где все
V ; V ) =
X
∈Irr(G)
m2 (V ) ;
m (V ) целые неотрицательные. Такая сумма равна единице только если она состоит из
одного слагаемого, равного единице.
Упражнение 9.12. Опишите все неприводимые представления и вычислите их характеры для групп:
а)
Dn
б)
A4
в)
A5
г)
S5 .
