Задачи по математическому анализу, 1 семестр

МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
2012-2013
ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ,
I СЕМЕСТР.
Предел последовательности
n
(-1)
= 0;
n ¥
n
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) lim
3
n
б) lim (0.8) = 0 ; в) lim
n ¥
n¥
n 2 sin n 2
ln n
= 0 ; г) lim
= 0.
n
+¥
n
n +1
2. Докажите, что:
n
3n
1
а) lim n = 0 ; б) lim
= 0.
= 0 ; в) lim n 5 = 1 ; г) lim n n = 1 ; д) lim n
n ¥
n ¥ n !
n ¥
n ¥ 2
n+¥
n!
3. Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:
( )
æ
1
1ö
а) an = n ; б) an = (-1) ⋅ n ; в) an = n 2 sin ; г) an = çç1 + ÷÷÷ .
çè
n
n ÷ø
n2
n
nö
æ
4. Докажите, что последовательность x n = çç1 + (-1) ÷÷ n неограниченная.
è
ø
nö
æ
5. Докажите, что последовательность x n = çç1 + (-1) ÷÷ n не является бесконечно большой.
è
ø
6. Докажите сходимость последовательности x n и найдите ее предел, если она определяется
рекуррентным соотношением:
1æ
a ö÷
а) x 1 - произвольное положительное число, x n +1 = çççx n + ÷÷, n ³ 1, a > 0 .
2 çè
x n ÷ø
3
б) x 1 = , x n +1 = 3x n - 2 .
2
7. Найдите все предельные точки последовательностей x n , а также lim x n , lim x n :
n ¥
n
n ¥
n
(-1)
1 + (-1)
n -1
2pn
2pn
а) x n =
+
; б) x n =
; в) x n = cosn
.
cos
n
3
2
n +1
3
na - 1
в зависимости от параметра α.
8. Исследуйте сходимость последовательности x n = 2
2n + n + 1
3n
n
9. Найдите: а) lim
n ¥
n2 + n - n2 - n
(-2) + 3n
æ
2ö
; б) lim
; в) lim çç1 + ÷÷ ;
n +1
+
n
1
n ¥ (-2)
n ¥ è
n
nø
+3
2
1
.
2n
Предел и непрерывность функции.
n
an x + an-1x n -1 + ... + a 0
10. Пусть R (x ) =
, an ¹ 0, bn ¹ 0 , m  0 , n  0 . Докажите, что:
bm x m + bm -1x m -1 + ... + b0
г) lim (3 + n )n ; д) lim 3n sin
n ¥
n ¥
а) lim R (x ) = ¥ при n > m ; б) lim R (x ) =
x ¥
x ¥
11. Найдите: а) lim
x 4
1
an
bn
при n = m ; в) lim R (x ) = 0 при n < m .
x ¥
4
4
1 + 2x - 3
1-x - 3
x -2
x -1
lim
lim
; б) lim
;
в)
;
г)
.
3
3
16
8
x
x

x

1
2+ x
x -2
x -4
x -1
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
2012-2013
(x - 3) (5x + 1)
x2 - 4
x+ x+ x
; б) lim
; в) lim
;
25
x ¥ (x - 2)(x + 1)
x +¥
x ¥
x +1
3x 2 - 2
40
12. Найдите: а) lim
г) lim
5
x +¥
10
(
x +4x +3x
; д) lim
3
x ¥
2x + 1
)
( x + 2x + 3x - x - 3x + 5x ) .
4
2
4
2
x
1
; б) lim ; в) lim x sgn(x - 1) ; г) lim cos x ;
x 1
x ¥
x 0 x
x 0 x
13. Докажите, что не существует: а) lim
sin x
1
д) lim sin ; е) lim
.
x 0
x 0
x
x
ì
ï0, x -иррац.
14. Докажите, что функция Дирихле D(x ) = ï
не имеет предела ни в одной точке.
í
1, x -рац.
ï
ï
î
sin 5x
sin x
1
; б) lim
; в) lim x sin .
15. Найдите: а) lim
x 0
x ¥
x ¥
x
x
x
ln(1 + x )
ax - 1
16. Докажите, что: а) lim
= 1; б) lim
= ln a, a > 0 .
x 0
x 0
x
x
17. Укажите все значения   0 , для которых верно равенство f (x ) = o x b при x  +0 :
( )
а) f (x ) = x 2 + x 3 ; б) f (x ) = sin x - x ; в) f (x ) = cos x - 1 ; г) f (x ) = 1 + x - 1 ;
x
; е) f (x ) = ln (1 + x ) - x ; ж) f (x ) = 1 + x - 1 - x .
2
18. Пользуясь свойствами символа " o - малое" , укажите все значения   0 , для которых верно
bö
æ
равенство f (x ) = o çç(x - a ) ÷÷ :
è
ø
д) f (x ) = 1 + x - 1 -
(
)
б) f (x ) = (x - 1)o ((x - 1) + o(x - 1)) при x  1 + 0 ;
а) f (x ) = o -5x + x 2 + o(-5x + x 2 ) при x  +0 ;
2
1
o(5x + x 2 ) при x  +0 ;
3x
1
г) f (x ) = 2 o 2x 4 + o x 4 + 2x 2 при x  +0 ;
x
3ö
5ö
æ
æ
o çç2 (x + 2) ÷÷ o çç4 (x + 2) ÷÷
è
ø
è
ø
+
д) f (x ) =
при x  -2 + 0 .
2
4
+
+
x
2
x
2
(
)
(
)
в) f (x ) =
(
(
))
æ1ö
19. Укажите все значения k  0 , при которых верно равенство f (x ) = o ççç k ÷÷÷ при x  +¥ :
è x ø÷
3
2
1
- ; б) f (x ) =
; в) f (x ) = x + 1 - x - 1 ;
2
x ln x
x
x
æ1
æ 1 öö
æ
1ö
г) f (x ) = ln çç1 + ÷÷÷ ; д) f (x ) = x ⋅ o ççç 2 + o çç 3 ÷÷÷÷÷÷ ; е) f (x ) = x 2 + x - x ;
çè x ÷ø÷ø
çè
çè x
x ÷ø
а) f (x ) =
æ2ö
ж) f (x ) = 3 x 3 + x - x ; з) f (x ) = ln cos ççç ÷÷÷ ; и) f (x ) = e1/ x - 1 .
è x ø÷
2
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
2012-2013
20.
Напишите формулу Тейлора с центром разложения x 0 = 0 и остаточным членом o x n для
( )
указанных функций и указанных n : а) sin2 (5x + x 2 ) , n  4 ; б) cos(4x 2 + x ) , n  4 ;
(
)
2
в) ln(1 - x 2 + x ) , n  2 ; г) ln(cos 2x ) , n  2 ; д) ln e x + x , n  2 ; е) sin
( cos x - 1) , n  2 .
cos x - cos 3x
sin(x - p / 3)
px
; б) lim
; в) lim(1 - x )tg
;
2
x 0
x p / 3 1 - 2 cos x
x 1
2
x
m
1 + ax - n 1 + bx
Найдите: г) lim
22.
, m, n Î  ; д) lim 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2 ;
x 0
x 0
x
3
cos x - cos x
; ж) lim 3 x 3 + 3x 2 - x 2 - 2x .
е) lim
x 0
x +¥
sin2 x
x
ln cos x
Найдите: а) lim x ln x ; б) lim
; в) lim
.
23.
x +0
x +0 ln x
x 0
x2
21.
Найдите: а) lim
(
(
)
)
1
æ sin x ö÷x 2
÷÷ .
; б) lim (cos x )x 2 ; в) lim çç
x 0 ç
x 0
è x ÷ø
24.
Найдите: а) lim (sin x )
25.
Найдите: а) lim
26.
Найдите: а) lim n 2 n a -
tg x
x p /2
x 0
1
(
)
ln ch 2x
; б) lim cos p x 2 + x ; в) lim(1 - x )logx 2 .
x 1
x ¥
ln cos 3x
(
n +¥
n +1
x
ln (x 2 + e x )
æ 1
1ö
a , a > 0 ; б) lim ççsin + cos ÷÷ ; в) lim
.
x +¥ ln x 4 + e 2x
x ¥ è
x
xø
(
)
)
-
1
27. Найдите точки разрыва функций и укажите их тип: а) f (x ) = e x ; б) f (x ) =
x 2 - 8x + 12
;
x 2 - 5x + 6
1
1
x 2 - 3x + 2
; е) f (x ) = x ln x .
в) f (x ) = (1 + x )x ; г) f (x ) = x sin ; д) f (x ) =
x
ln x
Дифференцирование
28. Пользуясь определением производной, найдите производную функции f  x  в точке x0 :
а) f (x ) = x , x 0 = 4 ; б) f (x ) = x x , x 0 = 0 ; в) f (x ) = x 2 ln x , x  0 , f  0   0 , x 0 = 0 .
29. Найдите левую и правую производные функций:
 x 2  x  1 при x  0,
а) y = x в точке x  0 ; б) f  x   
в точке x  0 ;
x
при x  0
 e
1
 x 1  x  x при x  0,
в) f (x ) = x - 1 e в точке x  1 ; г) f  x   
в точке x  0 ;
при
x
0

0

x
 sin  x 2 

, x  0,
в точке x  0 .
д) f  x    x

x0
 0,
30. Найдите производную и дифференциал функции f  x  :
а) f
3
 x 
x  x  x ; б) f  x   sin 2  cos x   cos 2  sin x  ; в) f  x   e x cos 2 x ;
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
2
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
г) f
 x   xsin x ; д) f  x   ee  x e ; е) f  x   ln  ln  ln x   ;
x
x


3
2012-2013
2
ж) f  x   arctg x  1  x 2 ;


з) f  x   arcsin x  1 ln 1  x ; и) f  x   ln e x  1  e 2 x ; к) f  x   sin x cos x .
1  x2
2
1 x
31. Найдите производную функции f  x  в точке x0 . Найдите значение дифференциала
функции f  x  в точке x0 для указанного значения dx :
1
3
1
; б) f  x   arcsin x , x0  , dx  .
2
4
4
32. Найдите первую и вторую производные функции f  x  в точке x0 . Найдите значения
а) f  x   arctg x , x0  1, dx 
первого и второго дифференциалов функции f  x  в точке x0 для указанного значения dx :
1
1
1
; б) f  x   arcsin x, x0  , dx  ;
2
2
2
1
в) f  x   ln 1  x  , x0  0, dx  ; г) f  x   x , x0  16, dx  9 ;
2
а) f  x   arctg x, x0  1, dx 
д) f  x   tg x, x0  0, dx 

; е) f  x   cos x, x0 

, dx  

.
4
2
2
ìï f (x ), x £ x ,
0
причем функция f (x ) имеет левую производную в точке x 0 .
33. Пусть F (x ) = ïí
ïïpx + q, x > x 0 ,
ïî
При каком выборе коэффициентов p и q функция F (x ) будет: а) непрерывной в точке x 0 ?
б) дифференцируемой в точке x 0 ?
ïìïpx 2 + q, x £ 2,
При каком выборе коэффициентов p и q функция F (x )
34. Пусть F (x ) = ïí 4
ïï , x > 2.
ïïî x
будет: а) непрерывной; б) дифференцируемой на промежутке (-¥, +¥) ?
35. Заменяя функцию (подберите ее самостоятельно) многочленом Тейлора Pn  x, x0  , найдите
приближенное значение числа A без калькулятора: а) A = 3 1, 01 , n  2 ;
1
11
, n  2 ; в) A = e 5 , n  2 .
10
36. Напишите уравнение касательной к графику функции y  f  x  , заданной параметрически
б) A = arctg
p
p
; б) t = .
4
2
37. Напишите уравнение касательной к графику функции y  f  x  , заданной параметрически
уравнениями x = a cos t, y = b sin t , 0  t   , при: а) t =
уравнениями x = t - sin t, y = 1 - cos t ,   t   , при: а) t =
p
p
; б) t = .
4
2
38. Найдите дифференциал n-го порядка функции f  x  : а) f (x ) = ln(1 + x ) ; б) f (x ) =
в) f (x ) = x n -1 + x n + x n +1 ; г) f (x ) = e 3x +2 .
39. Найдите дифференциал n –го порядка функции f  x  для указанного n :
а) f (x ) = x 2 sin 2x , n = 20 ; б) f (x ) = xe 5x , n = 11 ; в) f (x ) = x 2 ln (1 + x ), n = 12 .
4
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
x -1
;
x +1
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
2012-2013
40. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа f (b)  f (a )  f '(c)(b  a ) для
ì1
ï
2
ï
ï 2 (3 - x ), 0 £ x £ 1,
на сегменте [0;2] .
функции f (x ) = ïí
ï
1
ï ,
1£x £¥
ï
ï
îx
ax - xa
x x - aa
ch x - cos x
; б) lim
; в) lim
;
41. Используя правило Лопиталя, найдите: а) lim
x 0
x a x - a
x a x - a
x2
pö
ln (sin ax )
æ
, a > 0, b > 0 .
г) lim ççx - ÷÷ ctg 2x ; д) lim
x p 2 è
x +0 ln (sin b x )
2ø
42. Напишите формулу Тейлора с многочленом Тейлора порядка n и остаточным членом в
форме Пеано с центром разложения в точке x 0 для функций:
3
а) f (x ) = (2 + x ) , x 0 = 1, n = 3 ; б) f (x ) = x , x 0 = 1, n = 3 ;
в) f (x ) = 1 - x , x 0 = 0, 36; n = 2 ; г) f (x ) = e x , x 0 = 2, n = 3 ;
1
, x 0 = 1, n = 4 .
1+x
43. Разложите по формуле Маклорена до члена указанного порядка n включительно следующие
2
функции: а) f (x ) = sin (sin x ), n = 3 ; б) f (x ) = ln cos x , n = 4 ; в) f (x ) = e 2x -x , n = 3 ;
д) f (x ) = ln x , x 0 = 1, n = 4 ; е) f (x ) =
sin x
, n = 4 ; д) 4 + x , n = 2 .
x
44. Найдите значение многочлена Тейлора Pn  x, x0  функции f  x  для указанных значений x0 ,
г) f (x ) = ln
x и n:
а) f (x ) = 3 x , x 0 = 8, x = 9, n = 2 ;
1
, n = 3;
10
в) f (x ) = e x , x 0 = 0, x = 1, n = 4 ;
б) f (x ) = ln (1 + x ), x 0 = 0, x =
г) f (x ) = sin x , x 0 = 0, x = 2, n = 5 .
45. Напишите выражение остаточного члена Rn 1  x, x0  в форме Лагранжа формулы Тейлора
для функции f  x  для указанных значений x0 , x и n :
а) f (x ) = e x , x 0 = 0, x = 1, n = 3 ;
б) f (x ) = sin x , x 0 = 0, x = 2, n = 5 ;
в) f (x ) = ln (1 + x ), x 0 = 0, x =
cos x - e
46. Найдите: а) lim
x 0
x4
д) lim x
x +¥
32
1
, n = 3.
10
-x 2 2
; б) lim
2x - x 2
x 2
x -2
( x + 1 + x - 1 - 2 x ) ; е) lim
x 0
; в) lim
x e
ex - x e
(x - e )
2
sin 2x - 2 tg x
;
x 0
ln (1 + x 3 )
; г) lim
e x + e -x - 2
æ1
1 ö÷
; ж) lim çç ;
2
x 0 è x
2x
sin x ÷ø
æ1
1 ö÷
÷.
з) lim ççç 2 x 0 è x
x sin x ÷÷ø
Исследование поведения функций и построение графиков
5
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
2012-2013
47. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) , точки локального экстремума,
промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба. Нарисуйте эскиз графика
ln x
;
функции: а) f (x ) = x 3 - 6x 2 + 9 ; б) f (x ) = x ln x ; в) f (x ) = x 2 ln x ; г) f (x ) =
x
3
x
; ж) f (x ) = x 2 (5 - x ) .
д) f (x ) = xe -x ; е) f (x ) =
2
1-x
48. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) , точки локального экстремума.
Найдите наклонные асимптоты графика функции. Нарисуйте эскиз графика функции:
x +1
x +1
а) f (x ) = x arctg x ; б) f (x ) = x ln
; в) f (x ) = x 2 ln
; г) f (x ) = x 2 + x ;
x
x
3
sin x
1
1
д) f (x ) =
; e) f (x ) = x 2 sin ; ж) f (x ) = x cos
; з) f (x ) = 5 x 2 (5 - x ) ;
x
x
x
(x - 3)
5
и) f (x ) = 3
x2
.
49. Найдите: а) ò (x 3 + 1)x 2dx ; б) ò
Интегрирование.
dx
x 2dx
; в) ò
; г) ò
2 - 5x
1 + x2
д) ò sin 3xdx ; е) ò
ex
dx ; ж) ò
1 + ex
dx
1+x
.
dx ; з) ò
2
2 3/2
1-x
a
+
x
(
)
1
3
dx
3 + 8x 2
p
2
1
dx
; г) ò cos 3 x sin2 xdx ;
2
3+x
0
0
50. Найдите: а) ò x (1 - x ) dx ; б) ò x 7 (3 - x ) dx ; в) ò
5
10
0
0
p
12
2
e
;
1
sin(ln x )
dx
dx
д) ò cos xdx ; е) ò
; з) ò
; и) ò 1 - x 2 dx .
dx ; ж) ò x
3/2
2
e -1
x
1
1
0
0 (1 - x )
-1
4
51. Найдите: а) ò (x + 1)cos 2xdx ; б) ò xe -xdx ; в) ò x 5e x dx ; г) ò arctg xdx ;
3
д) ò e x cos xdx ; е) ò cos ln x dx ; ж) ò x sin ln x dx .
p
p6
e
2
(
)
52. Найдите: а) ò e sin x dx ; б) ò e 2x cos 3xdx ; в) ò ln xdx ; г) ò ln x + 1 + x 2 dx .
x
0
1
0
0
2p
d 2
d æç sin x ö÷
÷dx .
x ln x dx ; б) ò
ç
çè x ÷÷ø
dx
dx
p
1
e
53. Найдите: а) ò
(
)
1
1
2
 2  x при x  0
54. Найдите: а) ò x dx ; б) ò sign xdx ; в) ò f (x )dx , если f  x   
.
2
0
x
при
x




-1
-1
-2
xdx
x 2dx
(x - 1)dx
; б) ò 2
; в) ò 2
.
55. Найдите: а) ò
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
x +x -2
x +x -2
dx
x2 + 1
dx ; б) ò
.
56. Найдите: а) ò
2
2
(x + 1) (x - 1)
x2 + 1
(
)
1
1
1
(2x + 1)dx
dx
xdx
dx
; б) ò 2
; в) ò 2
; г) ò 3
.
57. Найдите: а) ò 2
x +x +1
x +x +1
x -8
x +x +1
-1
0
0
0
1
6
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
МГУ им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики
dx
dx
58. Найдите: а) ò
; б) ò
.
(2 + cos x ) sin x
2 sin x - cos x + 5
p /2
p/4
dx
;
sin x + cos 4 x
0
59. Найдите: а) ò sin xdx , б) ò
5
0
60. Найдите: а) ò
г) ò
dx
x 2 + 4x + 3
dx
2
x -x +1
; д) ò
b
61. Найдите:
x3
d
д)
dx ò
x2
7
1 + t2
4
; б) ò
x 2dx
2
x +x +1
dx
3
2
4
(x + 1) (x - 1)
d
а)
sin x 2dx ;
ò
db a
tdt
2012-2013
0
Математический анализ Курс 1 Семестр 1
dx
-x 2 - x
;
.
2
d
б) ò e -x dx ;
dt t
.
; в) ò
x2
d
в)
1 + t 2 dt ;
ò
dx 0
x3
d
г)
dx ò
x2
dt
1 + t2
;