Задание №2. Расчет установившегося синусоидального режима
Постановка задачи
1.
Для заданных двухполюсников "1","2","3" при питании от источника синусоидального
напряжения
определить функции времени мгновенных значений токов в
ветвях, а также показания приборов, измеряющих действующие значения.
2. Для каждой схемы построить векторные диаграммы токов и напряжений, продемонстрировав
выполнение законов Кирхгофа в векторной форме.
3. Определить активные мощности, потребляемые двухполюсниками на заданной частоте.
4. Для схем"1"и"2" получить частотные зависимости модуля комплексного входного
сопротивления
Z вх
, построить график
Z вх
в частотном диапазоне 0 .
Схема 3
Рисунок 2.7 - Схема 3
1.
Комплексные сопротивления всех пассивных элементов цепи:
Z C1 j
1
j
j 500 Ом
3
w C1
2 10 1 10 6
Z C 2 Z C1 j 500 Ом
Z C Z C1 j 500 Ом
Z R1 R1 100 Ом
Z R 2 R2 100 Ом
Z L w j L 0,01 2000 j j 20Ом
Комплексное сопротивление на участке R1C :
Z R1C Z R1 Z C 100 j500 509,9e j 78,7 Ом
Комплексное сопротивление на участке R2 L :
Z R 2 L Z R 2 Z L 100 j 20 101,98e j11,3Ом
Комплексное сопротивление на участке R1CR2 L :
Z R1CR 2 L
Z R1C Z R 2 L
509 ,9e j 78, 7 101,98e j11,3
51999 ,602 e j 78, 7 11,3
Z R1C Z R 2 L 509 ,9e j 78, 7 101,98e j11,3 101,985cos 78,7 j sin 78,7 cos11,3 j sin 11,3
51999 ,602 e j 67 , 4
51999 ,602 e j 67 , 4 51999 ,602 e j 67 , 4
100 Ом
101,980,9797 j 4,9 0,98 j 0,196
199 ,9 480 j
519 ,99e j 67 , 4
Здесь ошибка в расчете. Синус 78о не равен 4,9. ZL не равно ZC, поэтому в цепи нет параллельного
резонанса и сопротивление не равно 0.
Полное комплексное сопротивление:
Z Z C1 Z C 2 Z R1CR 2 L j500 j500 100 100 j1000 1005 e j 84,3 м
Комплексное действующее значение тока:
U
113,14e j 0
I
0,11e j 84 ,3 A
j 84 , 3
Z 1005 e
Показание амперметра 0,11A .
Находим мгновенное значение тока:
i(t ) 0,11 2 sin 2000 t 84,3 0,155 sin 2000 t 84,3
Находим напряжение на участке R1CR2 L :
U
IZ
0,11e j 84,3 100 11e j 84,3 В
R1CR 2 L
R1CR 2 L
Находим токи в параллельных ветвях:
j0
I U 113,14e 0,02e j163 A
1
Z R1C 510 e j 78, 7
U
113,14e j 0
I2
0,1e j 73 A
j11, 3
Z R2L
102 e
Находим мгновенные значения токов параллельных в ветвях:
i1 (t ) 0,02 2 sin 2000 t 163 0 0,028 sin 2000 t 163 0
i2 (t ) 0,1 2 sin 2000 t 73 0 0,14 sin 2000 t 73 0
Напряжения на участках цепи:
U C1 I Z C1 0,11e j 84 ,3 500 e j 90 55e j 5, 7 В
U I Z 0,11e j 84 ,3 500 e j 90 55e j 5, 7 В
C1
C2
U C I1 Z C 0,02e j163 500 e j 90 10e j 73 В
U I Z 0,02e j163 100 2e j163 В
R1
1
R1
U R 2 I2 Z R 2 0,1e j 73 100 10e j 73 В
U I Z 0,1e j 73 20e j 90 2e j163 В
L
2.
2
L
Построим векторную диаграмму токов:
Рисунок 2.8 - Векторная диаграмма токов к схеме 3
Построим векторную диаграмму напряжений:
Рис.2.9. Векторная диаграмма напряжений к схеме 3
Таким образом, справедлива система уравнений Кирхгофа в комплексной форме:
R1CR2 L
I I1 I2
U U C1 U C 2 U R1 U C
U U U U
C
R2
L
R1
Активная мощность, потребляемая от источника:
3.
P I R1 I 22 R2 0,02 100 0,1 100 0,04 0,1 1,04 Вт
2
1
2
2
P U I cos 113,4 0,11 0 0 84,30 1,23 Вт
Задание 5
1. Для заданной пассивной цепи получить в общем виде передаточную
функцию
К(р)=uвых(р)/uвх(р),
где uвх(р) и uвых(р) – изображения по Лапласу входной uвх(t) и выходной
uвых(t) величин.
Рисунок 5.1 – Схема задания 5
2. По найденной функции К(р) определить переходную h(t) и
импульсную hδ(t) характеристики. Функцию h(t) изобразить на графике.
3. Воспользовавшись формулой интеграла Дюамеля, записать выражения
для функции uвых(t) при импульсном воздействии, заданном графически:
Рисунок 5.1 – Импульсное воздействие для задания 5
Решение:
1. Для заданной пассивной цепи получим в общем виде передаточную
функцию
К(р)=uвых(р)/uвх(р),
где uвх(р) и uвых(р) – изображения по Лапласу входной uвх(t) и выходной
uвых(t) величин.
Рисунок 5.3 – Передаточная функция
U вх (p)
,
1
R
pC
U ( p)
I 2 (p) вх
,
2R
U вых (p) I1 (p)R I 2 (p)R,
Отсюда передаточная функция
U вх (p)
U ( p)
R вх
R
1
2R
R
U вых (p) I1 (p)R I 2 (p)R pC
K ( p)
U вх (p)
U вх (p)
U вх (p)
I1 ( p )
R
1
R
pC
U ( p)
1
вх
R
2R
2
1
RC .
1
p
RC
p
2. По найденной функции К(р) определим переходную h(t)
1
p
1
1
t
t
1 1
1
1 1
1
1
1
RC
RC
RC
h ( t ) K ( p)
. e
e
1 p
1
p 2
2 p
2
2
p
p
RC
RC
и импульсную hδ(t) характеристики.
'
1
1
t
1
d
1 RC t
RC
h (t) h(t) e
RC e
dt
2
Импульсная функция
h ( t ) = h( 0 ) ( t ) + h ў( t ) . Добавьте слагаемое.
Функцию h(t) изобразим на графике.
Рисунок 5.4 – График функции h(t)
3. Воспользовавшись формулой интеграла Дюамеля, запишем выражения
для функции uвых(t) при импульсном воздействии, заданном графически:
Рисунок 5.1 – Импульсное воздействие
t
u вых ( t ) u вх (0) h ( t ) u ' () h ( t )d.
0
Получаем
1
1 t
h ( t ) e RC
2
1
1
t
1
h ( t ) e RC e RC
2
В первый интервал времени 0≤t<t1:
uвх(0)=0,
u ()
A
A
u ' ( )
t1
t1
t
1 1 t t A 1 1 t 1
u вых ( t ) u вх (0) h ( t ) u ' () h ( t )d 0 e RC e RC e RC d
0
2
0 t1 2
1
1
1 t
1
t
A 1 RC t RC
1 A
A t
e
e d d e RC e RC d
t
2
2 t1 0
t1
0 1
0
t
1
1
t
t
1 A
A
RC RC
.
t RC e
e
1
2 t1
t1
Во второй интервал времени t1≤t<2t1:
u 2 ( ) A u 2 ' ( ) 0
t1
t1
t
1 RC tRC
u вых (t ) u вх (0) h(t ) u1 ' ( ) h(t )d A
(e
e RC )
0
2 t1
В третий интервал времени 2t1≤t<3t1:
u 3 ( )
A
A
3 A u 3 ' ( )
t1
t1
t1
t
0
2 t1
u вых (t ) u вх (0) h(t ) u1 ' ( ) h(t )d u 3 ' ( ) h(t )d
t1
t
1
1
t
1 RC tRC
t A 1
A
(e
e RC e RC e RC d
2 t1
2t1 t1 2
t1
t 2 t1
t
1 RC tRC
A
ARC
A
(e
e RC
(t 2t1 )
(1 e RC )
t1
2 t1
2t1
t
t t
t 2 t1
1
3 RC
t
RC
RC 1
RC
A (
(e
e
)
1 e RC .
2 t1
2t1
t1
В четвертый интервал времени 3t1≤t:
t1
3t1
u вых (t ) u вх (0) h(t ) u1 ' ( ) h(t )d u 3 ' ( ) h(t )d
0
1 RC
A
(e
2 t1
t t
1
RC
e
2 t1
t
RC
1
1
t
A 1
RC
RC
e
e d
t 2
2t1 1
3t1
t
t 3t
t 2 t1
1 RC t t1
A
ARC RC1
A
(e RC e RC 1
(3t1 2t1 )
(e
e RC )
2 t
2t
t1
1
1
t t
t 2 t1
t
1
t RC3t1
A
RC
RC
(e
e
e
e RC .
RCt1
